So, heute beweisen wir mal den Dreispiegelungssatz. Wie immer, euch versteht man nicht dem Video, sondern nur aus dem Off, ich wiederhole das, was ihr sagt, okay? So, der Dreispiegelungssatz besagt das Folgende. Die Verkettung von drei Achsenspiegelungen ist genau dann wieder eine Achsenspiegelung, wenn die drei Achsen im Büschel liegen.

Das heißt entweder parallel oder kopunktal sind. Das ist eine Aussage, die ein Genau-Dann-Wenn hat.

Genau-Dann-Wenn. Wie beweist man sowas oftmals? Eine Äquivalenz von zwei Aussagen. Wie beweist man die?

Bringer. Mit einem direkten Beweis, okay, wenn die drei Achsen im Büschel liegen, dann ist das eine Aussage. Wir werden einen direkten Beweis machen. So, und jetzt haben wir so ein Genau-Dann-Wenn, das wir beweisen wollen. New York?

Ja, genau. Also man zeigt die eine Richtung und die andere Richtung. Genau-Dann-Wenn. Genau-Dann-Wenn ist ja eine solche Aussage. Wenn die drei Achsen im Büschel liegen, dann ist die Verkettung eine Achsenspiegelung.

Und wenn die Verkettung eine Achsenspiegelung ist, dann liegen sie im Büschel. Das heißt einmal in die eine Richtung, einmal in die andere Richtung. Wir beweisen einmal diese Richtung und einmal diese Richtung.

Und wir fangen an mit dieser Richtung. Wenn die drei Achsen im Büschel liegen, das heißt entweder parallel oder kopunktal sind, dann ist deren Verkettung wieder eine Achsenspiegelung. Wir beginnen mit dieser Richtung, weil wir das schon gezeigt haben in der letzten Sitzung.

Das wiederholen wir jetzt also hier nochmal. Also wir beginnen bei der Voraussetzung, die drei Achsen liegen im Büschel und zeigen, dass sie dann wieder insgesamt eine Achsenspiegelung ergeben. Gut. Die drei Achsen liegen im Büschel.

Welche Möglichkeiten gibt es da, New York? Entweder parallel oder kopunktal. Das heißt wir müssen jetzt eine Pallunterscheidung machen. Also die drei Achsen liegen im Büschel. Pall 1.

Die drei Achsen sind parallel. Zeichen die mal hier so hin. Die Abstände sind ja beliebig. Ich habe jetzt mal konkrete Abstände hingemalt, aber eigentlich sind die Abstände egal zwischen den Achsen. Soll ja für beliebige Achsen gelten. Und denen geben wir mal Namen A, B, C.

Und diese Verkettung ist die Verkettung von A. Also Achsespiegelung A verkettet mit der Achsespiegelung B. Und dann verkettet mit der Achsespiegelung C. Ich habe das hier mal geklammert. Wir brauchen normalerweise keine Klammern, weil wir von links nach rechts lesen. Aber wir werden zunächst mal an A spiegeln und dann an B.

Das heißt zuerst mal diese Verkettung hier ausführen und dann anschließend an C spiegeln. Manche unterscheiden die Bezeichnung der Geraden und die Spiegelung an der Geraden. Man könnte jetzt hier Striche drunter machen. Um zu sagen, das ist die Gerade A und das hier ist die Achsespiegelung an der Achse A.

Wir schenken uns das, weil wir es nicht so genau nehmen. Was können wir jetzt machen, um zu zeigen, dass die Abbildung insgesamt eine Achsespiegelung ist?

Das haben wir letzte Woche gemacht. Jetzt wiederholen wir es nochmal. Was können wir machen?

Sehr gut. Die Spiegelung an A und an B nacheinander an zwei parallelen Geraden ist eine Verschiebung. In welche Richtung?

Orthogonal zu den Achsespiegelungen. Wir verschieben in diese Richtung hier. Das ist eine Verschiebung in diese Richtung. Und um welchen Betrag wird verschoben?

Genau, den doppelten Abstand zwischen den Geraden A und B. Wir haben festgestellt, das ist eine Verschiebung in die Richtung orthogonal auf die Geraden. In doppeltem Abstand der beiden Geraden. Es ist aber egal, wo die Geraden liegen. Die können hier liegen oder da liegen oder da liegen oder da liegen.

Es ist immer die gleiche Verschiebung. Da es immer die gleiche Verschiebung ist, ist es egal, wo sie liegen. Das heißt, wir können die beiden Achsen verschieben. Du hast schon richtig gesagt, wir verschieben die beiden Achsen jetzt so, dass B auf C liegt. Und ich zeichne die Situation mal daneben. Also wir haben jetzt hier die Gerade C.

Und wir haben die beiden Geraden A und B so verschoben auf A' und B'. Ich zeichne das hier mal so knapp daneben. Das ist gleich B', das ist gleich C und das ist die Gerade A'.

Und da es egal ist, wo die beiden Geraden liegen, wenn sie eine Verschiebung bilden, ist diese Abbildung gleich diese Abbildung hier. Wir spiegeln erst an A', dann an B' und dann an C.

Ich sehe immer noch nicht, dass das eine Achsenspiegelung ist. Was können wir jetzt ausnutzen? Ja, B' ist das gleiche wie C.

Das heißt, wir wenden hier mal das Assoziativgesetz an. Und fassen die Spiegelung an B' und an C als zusammengehörig auf. Das wird nacheinander ausgeführt.

Zwei Spiegelungen an derselben Achse sind die Identität sozusagen. Also ich spiegele an einer Achse und dann spiegele ich an derselben Achse nochmal, dann wird die erste Achsespiegelung rückgängig gemacht. Das heißt, es passiert gar nichts. Das heißt, B' verknüpft mit C, die Spiegelung, die Doppelspiegelung hier fällt weg

und es bleibt nur noch A' übrig. Das heißt, die Gerade, die in diesem konkreten Beispiel links von C so weit wegliegt, wie A' von B' wegliegt. Und jetzt haben wir gezeigt,

die Spiegelung an drei parallelen Achsen hintereinander ist, weil ich die ersten beiden Achsen so verschieben kann, dass die zweite Achse auf der dritten liegt und die sie aufhebt, ist insgesamt nur eine einzige Achsenspiegelung. Gibt es da zu fragen? Jetzt machen wir das Ganze natürlich nochmal für den zweiten Fall.

Die beiden Achsen, die drei Achsen sind kopunktal. A, B, C und ich spiegele wieder erst an A und dann an B und dann an C.

Kopunktal heißt, die schneiden sich alle in einem Stützpunkt S. Und wenn wir hinschreiben hier S, okay. Was machen wir jetzt? Wir begreifen A und B als zusammengehörig.

Und wir wissen, wenn zwei Geraden sich schneiden in einem Winkel Alpha

und wir spiegeln erst an A und dann an B, worum handelt es sich dann? Worum handelt es sich?

Oh, eine Drehung um? Genau, eine Drehung um den Punkt S mit dem Betrag zweimal Alpha. Genau, das haben wir gezeigt mit Hilfe von GeoGebra. Und dabei ist es egal, wie die Achsen A und B liegen.

Hauptsache, sie schneiden sich in S und Hauptsache, der Schnittwinkel ist Alpha. Okay, das heißt, wir können A und B um S so herumdrehen mit konstantem Schnittwinkel Alpha, so dass B Strich wieder auf C landet. So, mal ich mal gucken.

Ach so, ich wollte ihn rot malen. A Strich und hier liegt jetzt B Strich drauf.

B Strich gleich C. Naja, okay, dann haben wir wieder dieselbe Situation natürlich. Jetzt haben wir hier A Strich verkettet mit B Strich, verkettet mit C und B Strich liegt auf C, das heißt, die heben sich beide gegenseitig auf, die Achsenspiegelung daran. Das heißt, wenn wir die jetzt als Nacheinanderausführung betrachten

an B Strich und C, dann hebt sich das auf und es bleibt wieder A Strich übrig. Wichtiger praktischer Hinweis, ihr dürft die Nacheinanderausführung von zwei Achsenspiegelungen

an derselben Achse nur wegfallen lassen, wenn es direkt hintereinander ist. Wenn ihr an einer Achse spiegelt und dann gleich wieder an derselben Achse, dann hebt ihr es gegenseitig auf. Wenn dazwischen noch andere Abbildungen kommen, dürft ihr es nicht einfach wegfallen lassen.

Das muss schon in der Reihenfolge passieren. Ihr müsst immer auf die Reihenfolge achten. Die Reihenfolge ist wichtig, in der die Achsenspiegelungen durchgeführt werden. Ihr darf die Reihenfolge nicht beliebig vertauschen, außer in Spezialfällen, mit denen wir uns heute wahrscheinlich auch noch beschäftigen. Okay, jetzt haben wir die eine Richtung bewiesen.

Nämlich, wenn die drei Achsen im Bisch liegen, also entweder parallel sind oder kopunktal, dann ist es im Endeffekt nur eine einzige Achsenspiegelung in diesen beiden Beispielen jeweils an A Strich. Jetzt brauchen wir noch die Hinrichtung, wie man so schön sagt.

Also die Richtung in den Hinweg. Das ist ein schöner Formulier, glaube ich. Okay, wir gehen jetzt in diese Richtung. Und jetzt ist die Voraussetzung,

die Verkettung von drei Achsenspiegelungen ist eine einzige Achsenspiegelung. Und jetzt müssen wir zeigen, dass die drei Achsenspiegelungen dann entweder an parallelen oder kopunktalen Achsen stattfindet. Also es geht mir sozusagen von dem Ergebnis aus, was wir hier hatten. Wir haben irgendwelche drei Achsen

und wenn ich die verkette, ergeben die eine einzige Achsenspiegelung und dann zeigen wir, dann müssen diese drei Achsen entweder kopunktal oder parallel gewesen sein. So, das heißt, unsere Voraussetzung ist, wir haben drei Achsen, an denen wir spiegeln

und die ergeben eine Achsenspiegelung an einer Achse D. Drei Achsenspiegelungen hintereinander ist das gleiche wie eine einzige Achsenspiegelung. Das ist unsere Voraussetzung. Wir wissen aber jetzt noch nichts über A, B und C.

Irgendwelche Geraden, irgendwelche Drei ergeben eine Achsenspiegelung und jetzt müssen wir zeigen, dass die dann entweder parallel oder kopunktal sein müssen. Und jetzt wende ich mal einen Trick an, auf den man vermutlich jetzt so nicht kommt. Also ich würde euch jetzt nicht quälen. Was können wir jetzt hier machen?

Also man kann natürlich jetzt anfangen nachzudenken und so weiter. Aber manchmal kennt man so ein paar Tricks und wenn man die Tricks kennt, dann kann man es auch in ehrlichen Situationen wieder anwenden. Und der Trick hier ist, da diese beiden Abbildungen gleich sind, kann ich auch nach diesen beiden Abbildungen

wieder dieselbe Abbildung dranhängen. Also ich kann an dieser Abbildung hier, wenn ich das durchgeführt habe, spiegele ich nochmal an C und das ist das gleiche, wie wenn ich erst an D spiegele

und dann nochmal an C. Weil A, B und C verkettert gleich D ist, ist dieser Term gleich diesem Term. Wer sieht jetzt, warum ich das gemacht habe? Was hilft mir das?

Scharf hinschauen. Ich habe nicht an irgendwas gespiegelt hier, ich habe nicht da A oder B hingeschrieben, absichtlich, sondern C. Warum? Wer sieht es?

Kann ich das hier irgendwie umformen oder kann ich da irgendwas mitmachen? Ja, genau. Ich habe mit C verkettert, weil jetzt hier ich erst an der gerade C spiegele und dann nochmal an der gerade C und dann C spiegele und dann C spiegele

und das hebt sich gegenseitig auf, wenn es direkt nebeneinander passiert. Das heißt, hier links steht jetzt A verkettert B, ist gleich D verkettert C. Okay. Jetzt habe ich auf der linken Seite nur noch zwei Achsen, zwei Geraden.

Wie können zwei Geraden zueinander liegen? Genau, A und B können entweder parallel liegen oder sich schneiden. Fallunterscheidung, Fall 1,

A parallel zu B. Wenn A parallel zu B ist, was ist dann die Spiegelung an A und an B? Was ist dann dieser Ausdruck hier? Wenn die beiden parallel sind,

was ist dann A verkettert an B? Eine Verschiebung. Welche Verschiebung? Wie liegt die Verschiebung? In welchem Betrag hat die?

Doppelten Abstand zwischen Geraden A und B und senkrecht zu A und B. Wenn dieser Ausdruck hier eine Verschiebung ist, dann ist ja das hier die gleiche Verschiebung,

weil dann gleich dazwischen steht. Das heißt, wenn das eine Verschiebung ist, senkrecht zur Richtung von A und B, dann ist das auch eine Verschiebung, senkrecht zu A und B. Und wenn D und C verkettert eine Verschiebung sind,

senkrecht zu A und B, dann müssen die beiden parallel zu A und B liegen. Das sind die gleichen Verschiebungen. Also müssen die Achsen hier links und die Achsen hier rechts alle parallel zueinander sein. Sonst wäre das ja eine andere Verschiebung in eine andere Richtung.

Das heißt, daraus folgt, A parallel B, parallel C, parallel D. Na, das ist jetzt nicht so schön, glaube ich, hingeschrieben. Ihr wisst, was ich meine. Alle sind parallel zueinander.

Vielleicht schreiben wir das ein bisschen ausführlicher hin. Also A ist parallel zu B. Das heißt, A verkettert mit B ist gleich eine Verschiebung

in eine bestimmte Richtung. Die Richtung ist senkrecht auf die Geraden A und B. Und das ist ja die gleiche Verschiebung, wenn ich D und C verkette, weil die beiden Seiten hier gleich sind, sind beide gleich der Verschiebung V. Daraus folgt, dass D und C parallel sind,

weil sie eine Verschiebung sind. Und daraus folgt auch, dass D und C zu A und B parallel sind. Ich schreibe es jetzt trotzdem nochmal so hin. A parallel B, parallel C, parallel D. Alle Geraden sind parallel.

Eigentlich brauchte ich nur zu zeigen, dass C parallel zu A und B ist. Wir wollten zeigen, die ersten drei Geraden sind parallel. Aber Fakt ist natürlich auch, dass die vierte Gerade noch parallel ist, die resultierende Achse.

Fall 2. A und B sind kopunktal. Das heißt, die schneiden sich. Was ist das dann für eine Abbildung,

wenn A und B sich schneiden? Eine Gesamtabbildung. Wir spiegeln an A und dann B und die beiden schneiden sich. Was ist das für eine Abbildung? Eine Drehung um den Schnittpunkt mit doppeltem Winkel. Das heißt aber,

wenn A verkettert mit B, gleich D verkettert mit C ist, dann ist D verkettert mit C die gleiche Drehung um denselben Schnittpunkt. Das heißt, D und C müssen sich im selben Punkt schneiden.

A und B schneiden sich im selben Punkt wie C und D,

weil es sich um dieselbe Drehung handelt. Ich mach das hier mal als Text.

sind B, C und D kopunktal. Wir wollten eigentlich nur zeigen, dass A, B und C kopunktal sind, aber jetzt haben wir noch gezeigt, dass die auch noch kopunktal sind. Klar,

die Achse geht durch denselben Punkt. Und da es keine anderen Fälle gibt mit zwei Geraden, die sind entweder parallel oder kopunktal, haben wir bei allen Fällen gezeigt, dass diese drei Achsen hier im Büschel liegen müssen, also sind wir fertig.

Gibt es Fragen dazu?

Welchen Teil dazwischen? Das hier. Ich hab drei irgendwelche Achsen

und die verkettert ergeben eine Achse D. Und jetzt wollen wir zeigen, die drei sind entweder parallel oder kopunktal. Jetzt mach ich einen Trick. Diese beiden Abbildungen sind identisch, also kann ich auch nochmal eine andere

Abbildung hinten dran hängen. Ich verkette hier mit C, sodass C verkettert mit C hier wegfällt. Dann hab ich hier A verkettert mit B, ist dasselbe wie D verkettert mit C. A verkettert mit B, das ist die gleiche Abbildung wie D verkettert mit C. Wenn A verkettert mit B, wenn A und B parallel sind,

dann ist es eine Verschiebung, dann ist das die gleiche Verschiebung, also müssen D und C auch parallel sein, und zwar parallel zu A und B, weil es ja die gleiche Verschiebung ist. Oder, nicht hier lang laufen, oder, wenn A und B kopunktal sind, dann ist es eine Drehung, dann ist D und C die gleiche Drehung.

Und wenn D und C die gleiche Drehung ist, dann müssen sich D und C im selben Schnittpunkt schneiden wie A und B. Also sind auch hier wieder alle gerade, gehen durch den selben Punkt. Also im ersten Fall sind alle vier gerade parallel, im zweiten Fall gehen alle vier durch den selben Punkt.