Gut, wir haben uns in den letzten Wochen beschäftigt mit Konkurrenzabbildungen. Welche Konkurrenzerbildung gibt es nochmal? Sagt man ein paar?

Drehung, Achsenspiegelung, Punktspiegelung, die eine spezielle Drehung ist. Schubspiegelung, Verschiebung noch, genau. Also wenn wir sie dortiert mal nennen, Achsenspiegelung als einfachste Form.

Dann Drehung und Verschiebung, die jeweils durch zwei Achsenspiegelungen darstellbar sind. Punktspiegelung ist eine spezielle Drehung und die Schubspiegelung. Das sind die möglichen Konkurrenzabbildungen, die es gibt. Diese können wir jetzt verwenden, um Konkurrenzsätze am Dreieck zu beweisen.

Also wir schauen uns jetzt Konkurrenz von Figuren an. Zwei Dreiecke sind dann Konkurrent, wenn es eine Konkurrenzabbildung gibt,

die das eine Dreieck auf das andere abbildet, derart, dass sie komplett zur Deckung kommen, ohne dass irgendwas überlappt. Also wir brauchen irgendeine Konkurrenzabbildung, die das eine Dreieck auf das andere abbildet, derart, dass die beiden Dreiecke aufeinander liegen und sich nicht überlappen.

Wenn das der Fall ist, wenn es so eine Konkurrenzabbildung gibt, sind die beiden Dreiecke Konkurrent. Wenn es so eine Konkurrenzabbildung nicht gibt, sind sie nicht Konkurrent. In der Schule werden bei Dreiecken bestimmte Konkurrenzsätze gelernt,

die das Ganze bezüglich Dreiecken noch vereinfachen. Da sucht man dann keine Konkurrenzabbildung, sondern dann sagt man, wenn an den Dreiecken Folgendes gilt, dann sind die beiden Konkurrent. Erinnert sich noch jemand an einen Konkurrenzsatz? Seite, Seite, Seite. Das schreibt man dann meistens so hin.

S, S, S. Was bedeutet dieser Konkurrenzsatz? Wie lautet der? Also jetzt ausformuliert, das erste Dreieck. Also das Dreieck hier, dass das Dreieck hier die Seitenlängen dieses Dreiecks und dieses Dreiecks gleich groß sind.

Wenn die Dreiecke in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen, sind die beiden Dreiecke Konkurrent. Welche Konkurrenzsätze gibt es noch? S, W, S. Was bedeutet der?

Seite, Winkel, Seite. Was kann man über diesen Satz ausformulieren? Dann sind beide Dreiecke Konkurrent. Also wenn eine Seite identisch ist, also wenn zwei Seiten gleich sind, gleich lang sind,

wenn eine zweite Seite gleich lang ist und der Winkel, der von diesen beiden Seiten eingeschlossen wird. Also nicht irgendein Winkel, sondern wir haben zwei Seiten, die gleich groß sind, und der Winkel, der von diesen beiden Seiten eingeschlossen wird.

Wenn das der Fall ist, sind die beiden Seiten, sind die beiden drei Konkurrent. Welche gibt es noch? W, S, W. Genau. Das heißt, wenn ein Winkel gleich groß ist, ein zweiter Winkel gleich groß ist und die Seite, die an beiden Winkeln anliegt.

Also die Seite, die von beiden Winkeln eingeschlossen wird, könnte man sagen. Okay. Und es gibt noch einen vierten Konkurrentsatz, der ein bisschen komplizierter ist. Erinnert sich jemand?

Groß S, klein S, W. Genau. Zwei Seiten sind gleich lang und der Winkel, der gegenüber der größeren von beiden Seiten liegt.

Ich habe also eine lange Seite, eine kurze Seite und ein Winkel, der gegenüber der langen Seite liegt. Wenn das der Fall ist, dann sind die beiden Dreiecke Konkurrent. SSS kann man vielleicht noch so intuitiv verstehen.

SSW zum Beispiel, da muss man sich schon überlegen, warum das gilt. Warum eigentlich nicht WWW? Man könnte die Dreiecke strecken, stauchen, die Winkel bleiben gleich, aber die Seitenlängen ändern sich.

Kann man sich sehr easy überlegen, an einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß, 60 Grad. Aber ich kann beliebig viele verschiedene, gleichseitige Dreiecke zeichnen. Okay. Gut, also WWW gilt nicht.

Okay, also das sind die vier Konkurrenzsätze am Dreieck. Und damit kann man relativ schnell beurteilen, ob so Dreiecke Konkurrent sind. Die müssen wir aber erst mal beweisen oder begründen, warum die gelten. Yes. Okay. Und das machen wir mal mit WSW gemeinsam.

Ich zeichne nochmal zwei Dreiecke hin.

Eins bezeichne ich mal mit ABC und die Seitenlängen mit ABC. Die sind natürlich jeweils gegenüber der entsprechend gleich benannten Punkte. Und alpha, beta, gamma heißen die Winkel.

Also viele Winkel brauche ich gar nicht bezeichnen. Ich mache mal nur mit diesen einen Winkel. So. Denn ich gehe dann davon aus, dass C, alpha und B gleich groß sind. Entschuldigung, WSW. Ich brauche zwei Winkel. Nehmen wir die hier, alpha und beta. Okay?

Und jetzt habe ich ein zweites Dreieck. Das liegt hier drüben. Jetzt muss ich mal gerade überlegen, wie ich mir das hinzeichne, damit ich das vielleicht mal so.

Okay. Und die Punkte nenne ich jetzt mal.

Wie soll man die nennen, damit wir gleich wissen, worauf es hinausläuft? Die Punkte nenne ich trotzdem mal P, Q und R. Ich zeichne das jetzt mal so.

Und die Seiten nenne ich mal R, P und Q. Und die Winkel, weil ich mich im griechischen Alphabet nicht so gut auskenne, nenne ich einfach gamma und delta. Kurz nachdenken.

Gamma und so. Okay. Wir wollen zeigen, dass die beiden Dreiecke konkurrent sind. Und wir gehen davon aus, dass bestimmte Winkel und Seiten gleich groß sind.

Nämlich die Seite C und die Seite R sind gleich groß. Ich kürze es jetzt hier mal so ab mit C gleich R. Also die Seitenlängen. Na ja, machen wir es vielleicht mal so.

Die Seitenlängen C und R sind gleich groß. Und außerdem sind die Beträge der Winkel alpha und gamma gleich groß.

Und beta und delta. Das haben wir gemessen. Dann wissen wir, die sind gleich groß. Das sind die Voraussetzungen.

Okay. Nach WSW könnten wir jetzt sagen, okay, die sind beide konkurrent, aber wir wollen den Satz ja beweisen. Das heißt, was ist jetzt das Ziel? Was müssen wir machen, um diesen Satz zu beweisen? Ausgehen von dieser Voraussetzung hier.

Wann sind zwei Figuren konkurrent? Das sind Konkurrenzabbildungen. Wir hatten es vorhin am Anfang gesagt, zwei Figuren sind konkurrent, wenn es was gibt.

Wenn sie aufeinander liegen, dann nicht überlappend sind, sondern exakt der Kunstgleich. Aber wie bringe ich die eine zu der anderen?

Durch Konkurrenzabbildung. Also diese, ich muss jetzt zeigen, dass unter der Voraussetzung die beiden Dreiecke konkurrent sind. Das heißt, dass es eine Konkurrenzabbildung gibt, die das eine Dreieck auf das andere abbildet. Und wir wissen auch, dass die Verkettung von Konkurrenzabbildungen wieder Konkurrenzabbildungen sind.

Das heißt, wir können uns auch eine Kette von Konkurrenzabbildungen überlegen, also schrittweise vorgehen. Was könnten wir denn als erstes machen?

Habt ihr mal eine Idee? Man könnte eine Schubspiegelung machen, da fährst du schon harte Geschütze auf mit Schubspiegelung. Könnte man machen. Könnte aber auch jetzt zu, also könnte jetzt zu kompliziert werden.

Man könnte eine Schubspiegelung machen, vollkommen richtig. Ich würde nochmal einfacher vorgehen, mit ganz einfachen Konkurrenzabbildungen.

Beides so zu drehen, dass C und R parallel sind. Das kann man machen, genau. Also wir werden irgendwann drehen müssen, sodass C und R parallel sind. Gute Idee, könnt euch vorstellen, wir drehen erst mal das Dreieck, sodass C und R parallel sind. Und dann könnte man verschieben.

Wir können es aber auch andersrum machen, erst verschieben. Wie könnte man das Dreieck verschieben? A und Q.

Ja, also wir könnten es probieren, dann kriegen wir es allerdings leider nicht hin bei diesen beiden Dreiecken. Aber fast. Wir könnten B und Q. Also in dieser Situation B und Q aufeinanderschieben, sodass B und Q aufeinander liegen. Durch eine Verschiebung.

Das machen wir mal. Wir verschieben das Dreieck. Und ich das natürlich ungefähr genauso groß zeichne. Das gezielt ist jetzt aus der Hüfte. Das ist A, kleinen A Strich, C Strich, B Strich, A Strich, C Strich und Q ist gleich B Strich.

Das Dreieck verschoben. Jetzt markiere ich vielleicht nochmal. Das ist B Strich, das ist C Strich und das ist A Strich.

Dass man sieht, welche beiden Größen, welche drei Größen gleich groß waren. Also wir haben das Dreieck jetzt genommen und einfach nur verschoben. Konkurrenzerbildung, sodass Q und B Strich gleich sind. Was können wir jetzt machen?

Ja? Ja? Genau. Wir können es jetzt drehen, dass A Strich auf P liegt. Wieso wissen wir, dass wenn wir das drehen, A Strich auf P landet.

Die Voraussetzung ist, dass C Strichen eher gleich sind. Das heißt, wenn ich um den Punkt Q gleich B Strich drehe, dann habe ich hier ja einen Kreis, auf dem sich A Strich bewegt. Und deswegen wird A Strich direkt auf P landen, weil C Strich und R gleich groß sind.

Die bilden nämlich den Radius des Kreises. Und natürlich, weil wir wissen, dass die Drehung längenteuer ist. Also wenn ich das Dreieck hier drehe, wird sich C Strich nicht verändern. Das heißt, C Strich bleibt konstant gleich lang.

Und weil C Strich gleich R ist und beide den Radius bilden, wird A Strich auf P landen. Okay, dann zeichnen wir doch mal das neue Dreieck hin. Das hier ist jetzt C Zwei Strich. Jetzt wissen wir, R ist gleich Klein C Zwei Strich.

Und P ist gleich A Zwei Strich. Beta Zwei Strich und Alpha Zwei Strich. Okay. Was nun?

Am besten, du kannst eine Achsenspiegelung einfach bezeichnen, die gerade durch zwei Punkte, durch die die gerade durchgeht. Nee, nicht die Winkel. Nenn die zwei Punkte nennen.

Wodurch geht die Achse? Genau. Die Gerade, die durch B Strich und A Strich geht. An der Gerade spiegeln wir jetzt.

Ja, wir können sie einfach A Zwei Strich B Strich benennen. Oder P Q. Also wir spiegeln an dieser Gerade hier. P Q. Gut. Wir spiegeln dieses Dreieck an der Gerade.

Was passiert dann? Und jetzt versucht mal mit den Eigenschaften der Achsenspiegelung zu argumentieren. Jetzt kommt Längentreu und Winkeltreu und spielt von der Achsenspiegelung. Nämlich die Winkel und Längen bleiben identisch. Das heißt, wenn ich jetzt Beta Zwei Strich an dieser Achse spiegel auf die andere Seite, was passiert dann?

Bleibt gleich. Der Winkel bleibt gleich. Und was passiert dann? Wenn Beta Zwei Strich auf der anderen Seite ist, er landet direkt auf Delta.

Delta ist ja gleich groß wie Beta. Beta hat sich durch die ganzen Abbildungen, die wir verwendet haben, nie verändert. Weil wir Konkurrenzerbildung hatten. Die sind alle Winkeltreu. Also Beta ist immer gleich groß geblieben. Beta Beta Strich Beta Zwei Strich. Jetzt spiegel ich es nochmal auf Beta Drei Strich und Beta Streich Strich ist dann gleich Delta.

Und was passiert dann mit der Seite A Zwei Strich?

Das wissen wir jetzt noch nicht. Also wir wissen, A Zwei Strich ändert seine Länge nicht. Das heißt aber, es wird sozusagen auf diese Strecke hier abgebildet. Also auf die A Zwei Strich landet irgendwo auf dieser Geraden hier.

Das zeichne ich vielleicht mal gelb rein. Also durch die Spiegelung an PQ landet A Zwei Strich irgendwo hier. A Drei Strich, Entschuldigung. Aber wir wissen ja noch gar nicht, dass die gleich lang ist wie P.

Wir können jetzt nur sagen, durch das Spiegeln auf die andere Seite liegen A Zwei Strich und P auf derselben Geraden. Ich weiß, die beiden Winkel sind gleich groß. Das heißt die Geraden hier landet auf dieser Geraden hier. Und A Zwei Strich landet auf derselben Geraden, auf der P liegt.

Mehr weiß ich noch nicht. Was passiert aber noch? Ich spiegele jetzt hier das komplette Dreieck hier an der Seite. Eine Geraden. Was passiert noch?

Wir haben bislang nur die eine Hälfte des Dreiecks betrachtet. Genau, das hier war B Zwei Strich.

Also da die beiden Winkel, Alpha Zwei Strich und Gamma, gleich groß sind und ich eine Achsenspiegelung anwende, wird die Strecke B Zwei Strich auf der Geraden landen, auf der auch Q liegt. Irgendwo so hier. B Drei Strich.

Hat jetzt jemand ein Argument, warum C Zwei Strich gleich R sein muss? Dann wissen wir, dass die Dreiecke konkurrent sind.

Also wird es über diese Winkel gehen hier.

Dass alle drei Seiten gleich sind, wissen wir nicht. Wir wissen nur, dass eine Seite gleich lang ist. Wir wissen jetzt ja nur, dass diese beiden Seiten hier landen, auf den beiden Geraden.

Warum müssen die sich in R schneiden? Warum schneiden die beiden sich nicht hier oder da oder dort und so weiter? Die landen auf P und Q.

Diese Strecke landet auf P, diese landet auf Q. Wir wissen noch nicht, dass sie gleich landen sind. Wir wissen nur, dass die beiden sich schneiden. Wo schneiden sich A Drei Strich und B Drei Strich? Da, wo sich die beiden Geraden, auf denen sie liegen, schneiden.

Geht ja gar nicht anders. Die beiden liegen auf den Geraden hier. Die müssen sich hier schneiden, in diesem Punkt. Und deswegen ist R gleich C Drei Strich.

Und wenn die drei Punkte identisch sind, müssen auch die drei Dreiecke konkurrent sein. Gibt es Fragen dazu? Ruhig laut stellen. Dann können wir sie noch diskutieren.

Also das Anfangsdreieck habe ich so fies wie möglich gelegt. Warum? Weil ich gleich die Orientierung der beiden Ausgangsdreiecke unterschiedlich gemacht habe. Deswegen habe ich am Anfang auch ein bisschen überlegen müssen. Bei dem ist die Orientierung so herum.

Und bei dem ist die Orientierung, habe ich extra andersrum gemacht, so herum. Damit wir noch eine Achsenspiegelung brauchen. Wenn das Dreieck dieselbe Orientierung gehabt hätte, hätte ich nur verschieben und drehen müssen. Das wäre alles gewesen.

So musste ich noch eine Achsenspiegelung einfügen, um die Orientierung wieder zu ändern. Gibt es weitere Fragen dazu? Also was haben wir gemacht? Wir haben zwei Dreiecke in der Ausgangssituation gehabt, die in drei Größen übereingestimmt haben.

Nämlich zwei Winkeln und der Seite zwischen den beiden Winkeln. Und dann haben wir Konkurrenzabbildungen hergenommen, die ja ihrerseits alle Längen und Winkel treu sind. Das heißt, wenn ich ein Dreieck mit Konkurrenzabbildungen abbilde, werden sich weder die Winkel noch die Längen ändern.

Und dann haben wir durch die Konkurrenzabbildung erreicht, dass die zueinander konkurrenten Seiten und Winkel aufeinander gelandet sind. Und dann begründet das dann auch alle anderen Elemente des Dreiecks aufeinander landen müssen. Also dass die beiden Dreiecke konkurrent sind. Okay, ja, genau.

Ja, ich wiederhole nochmal laut. Also die Frage ist, wieso haben wir begründet, dass R auf C3-Strich landet oder C3-Strich auf R?

Genau, ich wiederhole nochmal laut. Genau, also wenn wir jetzt hier das Dreieck am letzten Schritt spiegeln, wissen wir, die beiden Winkel, diese beiden Winkel landen auf den beiden Winkeln.

Dadurch landen diese Seiten hier auf den Geraden, auf denen auch P und Q liegen. Genau, sie müssen sich, wenn diese beiden Strecken auf denselben Geraden liegen wie die anderen beiden Strecken.

Und wir wissen, sowohl P und Q schneiden sich, als auch A3-Strich und B3-Strich schneiden sich. Und die liegen alle auf denselben Geraden, dann müssen sie sich im Schnittpunkt der Geraden schneiden. Geht gar nicht anders. Und das ist unser Punkt R gleich C3-Strich.