Okay, wir schauen uns nochmal eine andere Situation an, die wir gleich benötigen für das, was da kommen wird. Vielleicht kurz, wo befinden wir uns? Wir befinden uns am Übergang von Konkurrenz-Abbildungen zu Ähnlichkeits-Abbildungen.

Wir haben uns jetzt Konkurrenz-Abbildungen sehr im Detail angeschaut, in allen möglichen Varianten. Was wir noch nicht haben, sind Ähnlichkeits-Abbildungen. Das heißt Abbildungen, die zum Beispiel winkeltreu sind, aber nicht mehr längentreu. Weil ich eben vergrößern oder verkleinern kann proportional.

Und was schauen wir uns dazu an? Wir schauen uns mal an, was passiert, wenn eine Gerade von jeder Menge paralleler Geraden in gleich große Abschnitte geteilt wird. Also, ich ziehe hier meine Gerade rein. Ich nenne die Gerade mal H.

Und jetzt habe ich Geraden, die gehen dann nicht senkrecht durch, also nicht zwangsweise, sondern irgendwie.

Parallele Geraden, die aber eine Eigenschaft haben, darüber hinaus, dass sie parallel sind, sie teilen die Strecke G in gleich große Abschnitte.

Also, vielleicht nennen wir die Punkte mal oder die Geraden. Das ist jetzt G1, G2, G3 und so weiter, G4, G5, ein Haufen Geraden hier. Und das ist P1, P2, P3, P4, P5. Das sind nicht die Parkhäuser in Heidelberg, sondern die Punkte hier, durchnummeriert.

Okay. Und die Länge der Strecke P1, P2 ist genauso groß wie die Länge der Strecke P2, P3, genauso groß wie die Länge der Strecke P5, P6.

Was wir nicht wissen oder noch nicht wissen, ist, dass die Geraden den gleichen Abstand haben. Sondern der Abstand ist ja immer gemessen senkrecht, also wir fällen das Lot und so. Diese Gerade geht quer durch und diese Geraden sind parallel und teilen die Geraden in gleich große Abstände.

Und was wir jetzt machen, wir zeigen, dass diese parallelen Schar auch jede andere Gerade, die sie schneiden, in gleich große Abschnitte einteilt. Insbesondere auch die Gerade, die senkrecht durchgeht. Und damit zeigen wir, dass die Geraden alle den gleichen Abstand voneinander haben.

Aber die Haupterkenntnis sozusagen, jede andere Gerade, als zum Beispiel auch diese hier, nennen wir die mal K, die gerade K wird in gleich große Abschnitte geteilt.

So, wie machen wir das? Wir konstruieren erst mal zu K die Parallele durch P1.

Also K und keine Ahnung, L sind parallel. K und L sind parallel. Sieht man jetzt hier, das gibt es nicht so gut, aber es ist egal. Die beiden sind parallel, okay? Und jetzt ziehe ich noch eine Parallele zu K und L durch P5, nenne ich mal M.

Sieht jemand, ich stupe es euch mal drauf, welche Dreiecke wir jetzt anschauen. Wir schauen uns jetzt dieses Dreieck an und dieses hier. Hat jemand ein Argument, warum diese beiden kleinen Mini-Dreiecke hier konkurrent sind? Dieses Dreieck und dieses Dreieck.

Also diese beiden Seiten sind konkurrent, weil Voraussetzung, die parallelen Schar teilt die gerade H in gleich große Abschnitte.

L ist parallel zu M, genau. Dieser Winkel, Alpha, ist gleich groß wegen Stufenwinkel. Dieser hier, Gamma, nennen wir mal.

Warum ist der gleich groß? Aber was sind die Parallelen diesmal? Nicht M und L? G2 und G6, genau, weil die parallel sind, haben wir hier wieder einen Stufenwinkel.

Das heißt, die beiden Dreiecke sind konkurrent. Das heißt, auch die Strecken hier unten sind gleich groß. Die mache ich mal rot. Diese beiden Strecken hier, die beiden roten, sind gleich groß wegen der konkurrenten Dreiecke.

Wer kann es argumentieren, dass diese beiden Strecken hier gleich groß sein müssen und diese? Wenn man davon abstrahiert, dass ich hier gerade ein bisschen schiefgezeichnet habe.

Das ist ein Parallelogramm, genau, weil diese beiden gerade gleich lang sind. Parallel sind diese beiden parallel, also müssen die beiden Strecken gleich groß sein. Und hier auch ein Parallelogramm, genau.

Also wir haben gezeigt, über zwei konkurrente Dreiecke, die hier direkt an H liegen. Wir haben L als Hilfsgerade und M eingezeichnet. Parallel zu K, damit wir hier zwei Dreiecke konstruieren konnten. Und dann über die Parallelogramm-Eigenschaft dieser Konstruktion gezeigt, dass auch diese beiden Strecken gleich groß sein müssen.

Und da wir das auch hätten hier machen können oder hier oder hier oder hier, sind alle Abschnitte hier unten gleich groß. Das heißt also, wenn eine Gerade, die gerade H war die Voraussetzung, wenn die gerade H von einer parallelen Schar in gleichen Abschnitten geschnitten wird,

wenn dann gleich Abschnitte geteilt wird, wird auch jede andere Gerade, die die gerade Schar teilt oder schneidet, in gleich große Abschnitte eingeteilt. Insbesondere auch die, die senkrecht zu der parallelen Schar steht.

Was bedeutet, dass die Parallelen auch tatsächlich voneinander den gleichen Abstand haben? Äquidistanz sind. Okay, gibt es dazu Fragen?