Ihr habt jetzt zwei Aufgaben gerechnet zum Thema Ähnlichkeit, und ich bin rumgelaufen und habe zahlreiche Ansätze gesehen, und die würde ich jetzt gerne aufgreifen, um mit euch gemeinsam die Aufgaben zu rechnen und mal zu schauen, was rauskommt, okay? Wie immer, ich ruf euch auf.

Wenn ihr was sagt, hört man das nicht im Stream, sondern ich wiederhole, was ihr sagt, okay? Die erste Aufgabe war die folgende. Ich weiß gar nicht, wie hießen die? Max ist 1,60 Meter groß und wiegt 50 Kilogramm.

Noah ist 2 Meter groß und hat eine ähnliche Statur. Und die Frage ist jetzt, wie viel wiegt Noah ungefähr?

Wir können es natürlich nicht genau sagen, weil die Welt ist halt komplex und der Noah sieht ja nicht exakt so aus wie der Max, nur mit zwei Meter, sondern nur so ungefähr von der Statur her. Okay, also Ähnlichkeitsüberlegungen sind natürlich immer irgendwo bei solchen

Aufgaben, so Annäherungsaufgaben. So, wie geht man da ran? Was macht man da als erstes? Mit Dreisatz, das ist eine Idee, hier den Dreisatz zu nehmen.

Also wie komme ich von 1,60 Meter auf 2 Meter und denselben Faktor hier drüben zu nehmen? Diesen Weg haben viele gegangen. Diesen Weg sind viele gegangen. Auch immer schön auf Deutsch achten hier im Stream.

Das führt in diesem Fall aber nicht zum richtigen Ergebnis. Warum nicht? Ja?

Sehr gut. Wenn wir hier den Dreisatz verwenden, kriegen wir zwar den Faktor raus, mit dem wir auf 1,60 Meter auf 2 Meter kommen. Wir dürfen aber das Volumen nicht mit demselben Faktor multiplizieren, sondern wir müssen den Längenfaktor nehmen hoch drei.

Vielleicht machen wir mal den Dreisatz fälschlicherweise, um später den Unterschied zu sehen.

Wollen wir das mal machen? Also wir tun mal so, als wäre Dreisatz die richtige Lösung. Wir haben 1,60 Meter und 50 Kilogramm und wir müssen hier auf 2 Meter kommen.

Dreisatz. Ich kann hier noch drüberschreiben. Länge und Gewicht. So, ok. Wie kommen wir jetzt von 1,60 Meter auf 2 Meter im Dreisatz?

Einige von euch haben ja Dreisatz gemacht. Was habt ihr gerechnet? Ja? Genau. Man kann durch 160 und mal 200 rechnen.

Durch 160 komme ich auf 0,01 Meter oder auf 1 Zentimeter und dann mal 200. Was habe ich also insgesamt gerechnet?

Ja? Mal 5 Viertel. Mal 200 Hundertsechzigstel.

Ok. Na ja, da kann man ein bisschen kürzen. Die Null hier wegkürzen. Mal 20 Sechzehntel und das ist dasselbe wie mal 5 Viertel. Nämlich einfach den Bruch mit 4 kürze. Also mal 5 Viertel.

Wir sind immer noch in der falschen Lösung. Vom Dreisatz her müsste ich jetzt hier drüben was machen? Natürlich auch durch 160 mal 200, aber wir können es abkürzen. Jetzt an der Stelle, was müssten wir rechnen, wenn wir die falsche Lösung weiter verfolgen wollten?

Hier auf der Seite, wenn hier links mal 5 Viertel gerechnet wird im Dreisatz? Ja? Was gemeldet? Ja. Ok. Auch mal 5 Viertel.

Mal 1,25, genau mal 5 Viertel. Was kommt da raus? 62,5. So. Das wäre die Lösung, wenn Dreisatz der korrekte Weg wäre.

Was haben wir gemacht? Wir haben sowohl die Länge als auch das Gewicht mit demselben Faktor multipliziert. In der Vorbereitung haben wir beim Thema Ähnlichkeit aber Folgendes gesehen.

Wenn wir so einen kleinen Pinguin nehmen und aufpumpen, dass er in alle Richtungen gleichermaßen wächst, wenn die Länge, also zum Beispiel die Höhe des Pinguins um den Faktor k wächst, was passiert mit seinem Volumen?

Das Volumen wächst um den Faktor k hoch 3. Warum? Wenn alle Längen um den Faktor k wachsen, dann wächst er sowohl die Höhe als auch die Breite als auch die Tiefe des Pinguins jeweils um den Faktor k.

Also alle Längen um den Faktor k in allen drei Dimensionen, also muss ja das Volumen um den Faktor k hoch 3 wachsen, weil alle Längen um den Faktor k wachsen. Das habt ihr auch in Aufgaben zu Hause euch überlegt mit verschiedenen Körpern. Quader, Würfel, Kugel, Pyramide und so weiter.

Das Volumen entspricht oder das Gewicht entspricht ja dem Volumen. Die Masse einer Person entspricht dem Volumen. Die Masse ist proportional zum Volumen.

Je voluminöser jemand ist, umso mehr Gewicht hat er auch. Und zwar proportional. Okay, also Gewicht steht für Volumen an der Stelle. Das heißt, jetzt haben wir das Volumen mit dem Faktor k multipliziert,

mit dem Längen Faktor k. K ist gleich 5 viertel. Und das sollte euch hier an der Stelle auch ein bisschen komisch vorkommen.

Denn stellt euch mal eine Person vor, die 1,60 groß ist. Eine relativ kleine Person. Ich will jetzt niemandem zu nahe treten. Entschuldigung, vielleicht auch der eine oder andere 1,60. Also 1,60 im Verhältnis. Relativ klein. Und wiegt 50 Kilo. Wenn ich jetzt eine 2 Meter Person habe, die die gleiche Statur hat,

dann wiegt 62 Kilo im Verhältnis schon irgendwie zu wenig. Okay. Also Dreisatz kann man verwenden, wenn beide Größen, die man betrachtet,

proportional zueinander sich verändern. Also wenn ich hier auf beiden Seiten mit demselben Faktor multiplizieren kann, wie bei der Pyramidenaufgabe. Da hatte ich die Zeit und das Volumen der Pyramide. Und wenn ich weiß, in jedem Zeitabschnitt wächst die Pyramide um den gleichen Anteil Volumen,

dann kann ich Dreisatz verwenden. Wenn ich aber weiß, wenn ich eine Größe verändere, wächst die andere im Verhältnis dazu K2 oder K3 oder so, also nicht proportional dazu, dann kann ich Dreisatz nicht verwenden. Aber es ist auch gar nicht so schwer, sozusagen einen anderen Ansatz zu nehmen.

Die Lösung ist sogar noch einfacher, als sich hier mit Dreisatz zu bemühen. Wie geht man vor? Ihr habt den Längenfaktor bestimmt.

Was muss ich an die eine Länge ran multiplizieren, um auf die andere Länge zu kommen? 1 Meter 60 mal 5 Viertel ist 2 Meter. Also der Längenfaktor ist 5 Viertel. Was brauche ich jetzt?

Wenn ich wissen will, wie viel wiegt der? Der eine wiegt 50 Kilo, Noah weiß ich noch nicht. Was brauche ich jetzt? Ich rechne aus, wenn die Länge um den Faktor K steigt und größer wird,

dann wird das Volumen um den Faktor K hoch 3 größer. Oberfläche K2. Also Länge Faktor K bedeutet Oberfläche wächst um K2, Volumen um K hoch 3.

Fläche brauchen wir nicht, ich habe es in der Vollständigkeit hingeschrieben, weil die Tabelle hilft bei vielen Aufgaben. Wenn die Länge um den Faktor 5 Viertel steigt, um wie viel wächst das Volumen?

Ja, also was hast du gerechnet? 5 Viertel hoch 3 und was ist das, hast du gesagt? 125 Viertel. Ok, und da wir uns sowieso in der Welt bewegen, wo es nur so um ungefähr geht.

2, ungefähr 2.

Also wie viel wiegt Noah? Ungefähr 5 Kilogramm mal 2. Also 100 Kilogramm. Der wiegt das Doppelte.

Das ist ja das Verblüffende. Der wiegt nicht nur so ein paar Kilogramm mehr. Wenn ich von 1,60 Meter auf 2 Meter gehe, ist der Längenfaktor 5 Viertel. Das Volumen wächst aber um diesen Faktor hoch 3.

Weil in alle 3 Dimensionen, in alle 3 Richtungen wächst der um 5 Viertel. 5 Viertel in der Breite, 5 Viertel in der Höhe und 5 Viertel in der Tiefe. Und das hat natürlich einen enormen Einfluss auf das Volumen. Und das bedeutet, das Volumen verdoppelt sich an der Stelle. Der wiegt einfach das Doppelte ungefähr.

Ja. Bitte? Das A steht für die Oberfläche. Die Oberfläche von Noah interessiert uns aber an der Stelle. Nicht wie die Hautfläche oder sowas. Genau. Ich habe es unter Vollständigkeit hin geschrieben, weil wir diese Tabelle jetzt bei jeder Aufgabe brauchen werden. Ok. Ja.

Ja. Wir wissen, der Längenfaktor, wenn ich die eine Länge mit 5 Viertel multipliziere, komme ich bei der anderen Länge raus. 1 Meter 60 mal 5 Viertel ist gleich 2 Meter.

Also was muss ich machen mit dem Volumen? Das Volumen muss ich mal 5 Viertel hoch 3 nehmen, um beim anderen Volumen rauszukommen. Das Volumen von Max oder das Gewicht von Max ist 50 Kilo. Das muss ich mit 5 Viertel hoch 3 multiplizieren mit K hoch 3.

Und das ist halt ungefähr 2. Um auf das Gewicht von Noah zu kommen. 5 Viertel hoch 3 ist 2, 50 Kilogramm mal 2 ist 100 Kilogramm. Einige... Ja.

Ja. Also, ihr dürft in der Klausur bei diesen Aufgaben, wo es um Ähnlichkeit geht und ungefähr und so, dürft ihr auch ungefähr agieren. Ich wäre hier völlig einverstanden, wenn ihr zwei schreibt. Es ist aber auch vollkommen ok, wenn ihr 1,9 irgendwas schreibt und dann auf zwei Stellen hinter dem Komma die Lösung hinschreibt.

Das Problem ist nur, ihr habt kein Taschenrechner. Ja. Ihr dürftet von mir aus auch eine genauere Lösung angeben, obwohl die vielleicht auch nicht unbedingt in der Realität genauer ist. Aber ihr habt halt kein Taschenrechner zur Verfügung. Deswegen habe ich halt hier auch gesagt, naja, so ungefähr zwei.

Ja, genau. Oh Gott, Klausur, kein Taschenrechner. Chaos im Raum. Noch ein Kommentar zu dieser Aufgabe.

Einige von euch haben Folgendes gemacht. Sie haben geschaut, wie viel muss ich zu 1,60 Meter dazu addieren, um auf zwei Meter zu kommen. Ah, 40 Zentimeter. K gleich 40 Zentimeter. Vorsicht. K ist der Längen Faktor.

Faktor bedeutet Multiplikation. Nicht Addition, nicht Subtraktion. Multiplikation. Die Frage ist nicht, was muss ich zu der einen Länge dazu addieren, um auf die andere zu kommen, sondern womit muss ich die eine Länge multiplizieren? Mit welchem Faktor muss ich die multiplizieren, um auf die zweite Länge zu kommen?

Womit muss ich 1,60 Multiplizieren, um auf zwei zu kommen? Fünnviertel. Ah, mein Längen Faktor ist fünnviertel. Also ist mein Volumen Faktor fünnviertel hoch drei. Und dann kann man ausrechnen, wie verhält sich das mit dem Gewicht.

Ja. Ohne Dreisatz. Ja, genau. Also wie komme ich auf fünnviertel ohne den Dreisatz? Alternative Lösung? Die schneller geht? Ja. Ich teile die eine Länge durch die andere. Also die Länge eins mal fünnviertel ist die Länge zwei.

Ah, ich weiß jetzt aber fünnviertel noch gar nicht, wie komme ich auf das K? Naja, wie nehme ich die eine Länge durch die andere Teile? K ist gleich Länge zwei durch Länge eins, also die Ziellänge durch die Originallänge.

Zwei Meter durch eins sechzig. Fünnviertel. Womit muss ich eins sechzig multiplizieren, um auf zwei Meter zu kommen? Mit zwei Meter durch eins sechzig. Umkehroperation.

Okeydokey. Gibt es noch Fragen zu dieser Aufgabe?