Liebe Studierende, heute zeige ich Ihnen einige Beispielaufgaben zur Kombinatorik. Es gibt vier Aufgaben. Beginnen wir mit der ersten. Wie viele Möglichkeiten der Medaillenverteilung Gold, Silber, Bronze gibt es bei einem olympischen Endlauf mit acht Teilnehmerinnen?

Wir schauen uns zunächst an, welche Situation wir gegeben haben. Es gibt also acht Teilnehmerinnen, aus denen genau eine Gold, genau eine Silber und genau eine Bronze belegt. Aus acht Teilnehmerinnen können wir die Gewinnerinnen auswählen. Die Frage ist nun, wie viele mögliche Ergebnisse es bei dem Endlauf theoretisch geben kann.

Jede denkbare Auswahl von Medaillengewinnerinnen ist eine Kombination. Dafür wählen wir je drei Teilnehmerinnen aus, die wir dann auf die Plätze Gold, Silber, Bronze verteilen. Jede Teilnehmerin kann nur eine Platzierung bei dem olympischen Endlauf besetzen, kann also nicht mehrmals ausgewählt werden. Deshalb handelt es sich hierbei um Kombinationen ohne Wiederholung.

Es ist nicht möglich, dass eine Teilnehmerin Gold und Silber gleichzeitig gewinnt, also auf zwei Platzierungen gleichzeitig ist. Die Reihenfolge, in der die Teilnehmerinnen in das Ziel einlaufen, ist in jedem Fall relevant für die Medaillenverteilung. Wir suchen daher nach Kombinationen ohne Wiederholung und mit Reihenfolge.

Es handelt sich um eine typische Situation. Wir haben gerade festgestellt, dass es sich um Kombinationen ohne Wiederholung und mit Reihenfolge handelt. Die Formel, die wir benötigen, finden Sie hier. Die Formel lautet N-Fakultät durch N-K-Fakultät.

Das heißt eingesetzt, wir haben 8-Fakultät geteilt durch 8-3-Fakultät. Wenn wir das ausrechnen, erhalten wir 336 mögliche Kombinationen. Bei 8 Teilnehmerinnen gibt es also 336 verschiedene Medaillenverteilungen.

So, in diesem Fall haben wir also nach Kombinationen ohne Wiederholung und mit Reihenfolge gesucht. Die nächste Aufgabe lautet, ein Student muss in einer Klausur 8 von 12 Aufgaben lösen.

Wie viele Auswahlmöglichkeiten hat er? Der Student muss also K gleich 8 Aufgaben aus N gleich 12 möglichen Aufgaben auswählen. Es handelt sich um Kombinationen ohne Wiederholung, denn sonst könnte der Student die erste Aufgabe einfach 8 mal lösen. Er muss natürlich verschiedene Aufgaben auswählen.

Die Reihenfolge, in der er die Aufgaben löst, ist jedoch nicht relevant. Es handelt sich also um Kombinationen ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge. Das heißt, Sie nehmen die folgende Formel N über K. Jetzt setzen Sie die Werte in die Formel ein und erhalten 12 über 8.

Das ergibt 495 mögliche Kombinationen. Der Student hat also 495 Auswahlmöglichkeiten. Dies war eine Situation ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge.

Die dritte Aufgabe lautet, bei einem Sonderangebot kann eine Kiste, also 12 Flaschen, aus 4 verschiedenen Getränkesorten beliebig zusammengestellt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Es kann also aus N gleich 4 verschiedenen Getränkesorten gewählt werden. In eine Kiste passen 12 Flaschen, also werden K gleich 12 Flaschen aus N gleich 4 ausgewählt.

Es handelt sich um Kombinationen mit Wiederholung, da jede Getränkesorte beliebig oft, also auch mehrmals ausgewählt werden kann. Die Reihenfolge, in der die Getränkesorten ausgewählt werden, ist nicht relevant. Es handelt sich also um Kombinationen mit Wiederholung und ohne Reihenfolge.

Also nehmen Sie die folgende Formel N plus K minus 1 über K. Jetzt setzen Sie die Werte in die Formel ein und erhalten 4 plus 12 minus 1 über 12. Damit erhalten Sie 455 mögliche Kombinationen.

Bei dem Sonderangebot gibt es also 455 mögliche Zusammenstellungen. Damit habe ich Ihnen auch eine Aufgabe mit Wiederholung und ohne Reihenfolge gezeigt.

Kommen wir zur letzten Aufgabe. Wie viele Möglichkeiten gibt es aus den Ziffern 0 bis 9 einen 5-stelligen PIN-Code zu bilden? Hier möchte ich Ihnen noch einen zusätzlichen Trick zeigen, wenn Sie einmal nicht weiter wissen. Dann können Sie zunächst einige mögliche Kombinationen aufschreiben.

Aus den Ziffern 0 bis 9 könnte ich zum Beispiel einen Code bilden, der 1, 2, 3, 4, 5 lautet. Ich könnte aber auch 2, 1, 3, 4, 5 wählen. Möglich wäre auch 5 mal die 1, also 1, 1, 1, 1, 1. Wenn wir uns nun zunächst die Situation anschauen, können Sie aus n gleich 10 verschiedenen Ziffern wählen.

Also 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Und zwar wählen Sie 5 Ziffern davon aus. Um zu entscheiden, ob es sich um Kombinationen mit Wiederholung handelt, können wir uns nun unsere Beispiele anschauen.

Da 5 mal die 1 möglich wäre als Code, bedeutet das, jede Ziffer kann auch mehrmals gewählt werden. Es handelt sich also um Kombinationen mit Wiederholung. Die Reihenfolge, in der die Ziffern gewählt werden, ist relevant, wie wir an den ersten beiden Beispielen sehen können.

Es handelt sich also um Kombinationen mit Wiederholung und mit Beachtung der Reihenfolge. Also nehmen Sie die folgende Formel. N hoch K. Damit setzen Sie die Werte in die Formel ein und erhalten 10 hoch 5.

Das ergibt 100.000 mögliche Kombinationen. Es gibt also 100.000 Möglichkeiten, einen 5-stelligen Pin Code zu erstellen.

Zuletzt haben Sie noch eine Aufgabe mit Reihenfolge und mit Wiederholung gesehen. Damit habe ich Ihnen jetzt einige typische Aufgaben für die Kombinatorik vorgestellt. Dann fasse ich zusammen. Also, um die Anzahl der möglichen Kombinationen zu berechnen, müssen Sie die Aufgabe zunächst aufmerksam lesen und dann entscheiden,

ob die Kombinationen mit oder ohne Reihenfolge und Wiederholung sind. Um zu beurteilen, ob es mit oder ohne Reihenfolge ist, fragen Sie sich, ob die Reihenfolge relevant ist oder lediglich welche Elemente ausgewählt werden. Für die Beurteilung, ob mit oder ohne Wiederholung, können Sie sich die Frage stellen, kann ein Element mehrmals gewählt werden oder nur einmal.

Im nächsten Schritt wählen Sie die richtige Formel aus. Dann müssen Sie nur noch N und K in die Formel einsetzen. Im letzten Schritt interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Falls Sie mit einer Aufgabenstellung Probleme haben, kann es helfen,

einige der möglichen Kombinationen aufzuschreiben oder eine Skizze anzufertigen. Damit habe ich Ihnen einige Beispielaufgaben für die Kombinatorik gezeigt.