Lineare Programmierung
This is a modal window.
The media could not be loaded, either because the server or network failed or because the format is not supported.
Formal Metadata
| Title |
| |
| Title of Series | ||
| Number of Parts | 71 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - ShareAlike 4.0 International: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/64058 (DOI) | |
| Publisher | ||
| Release Date | ||
| Language |
Content Metadata
| Subject Area | ||
| Genre | ||
| Abstract |
| |
| Keywords |
2
3
4
6
7
8
9
10
11
13
15
17
19
20
21
24
25
26
27
28
30
32
34
37
38
39
45
46
47
48
49
50
51
52
55
56
58
59
60
61
65
66
67
68
70
71
00:00
Meeting/Interview
01:09
Lecture/ConferenceComputer animationMeeting/Interview
07:39
Computer animation
Transcript: German(auto-generated)
00:00
Wir hatten uns in den letzten Lerneinheiten mit der Produktionsprogrammplanung bei einem Engpass beschäftigt. Das ist natürlich eine starke Einschränkung. In der betrieblichen Praxis gibt es regelmäßig aber mehr als nur einen Engpass, der zu berücksichtigen ist. Wenn also zu entscheiden ist, welche Produkte angesichts von mehreren Engpässen in welcher Reihenfolge produziert werden sollen, bekommen wir es gleich mit mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten zu tun.
00:22
Das ist mathematisch nicht so ganz unkompliziert. Aber keine Panik, wir stellen euch in dieser Lerneinheit erst einmal nur vor, wie die lineare Programmierung mit zwei Engpässen funktioniert. Das lässt sich noch grafisch lösen. Fallen euch spontan ähnliche Fragestellungen in eurem privaten Umfeld ein? Vielleicht bei der nächsten Partyvorbereitung mit mehreren Engpässen in Zeit- und Snackbestandteilen?
00:42
Ich glaube, das geht dann doch ein bisschen zu weit. Privat kommen wir mit Augenmaß eigentlich immer ganz gut zurecht. Da wären aufwendige Planungsprozesse wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen. Die bisherigen Lerneinheiten dieser Lektionen haben aber deutlich gemacht, dass Betriebe das Fertigungsoptimum nicht einfach ihrem Bauchgefühl und Augenmaß überlassen dürfen. Also, lasst uns mal anfangen.
01:10
Heute beschäftigen wir uns mit der linearen Programmierung, mit der sich das optimale Produktionsprogramm bei mehreren Engpässen bestimmen lässt. Sofern die Rangfolge nach der relativen Deckungsspanne bei allen Engpässen dieselbe ist,
01:22
kann wie bei einem Engpass vorgegangen werden. Dann entsteht ja gar kein Konflikt und es kann entsprechend dieser Rangfolge vorgegangen werden. Unser Thema ist jedoch, wie wir vorgehen, wenn mehrere Engpässe existieren und zu unterschiedlichen Rangfolgen führen. Die Methode der Wahl für dieses Optimierungsproblem ist die lineare Programmierung. Wie gehabt entwickeln wir das Konzept an einem Beispiel.
01:43
Also, eine Bäckerei verkauft Croissants und Brezeln. An der Produktion sind Mitarbeitende und Maschinen beteiligt. Diese stehen allerdings nicht rund um die Uhr zur Verfügung, ihre Arbeitszeit ist jeweils begrenzt. Es bestehen also mehrere Engpässe. Sowohl die Arbeitszeit der Mitarbeitenden als auch die Betriebszeit der Maschinen ist zeitlich begrenzt.
02:01
Für die Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms wird die lineare Programmierung durchgeführt. Hierfür muss zunächst der Deckungsbeitrag je Backware bestimmt werden. Verkaufspreis und variablen Stückkosten sind bekannt und können in dieser Tabelle abgelesen werden. Erinnert ihr euch noch, wie wir zum Stückdeckungsbeitrag kommen? Na, das war Verkaufspreis minus variables Stückkosten.
02:21
Pro Croissant wird ein Deckungsbeitrag von 1,50 Euro erwirtschaftet, pro Brezel von 80 Cent. Nur zur Sicherheit nochmal, das Ziel der Produktionsprogrammplanung ist nun, die beste Kombination zu finden, also wie viel von jeder Sorte produziert werden soll angesichts der knappen Kapazitäten. Eine Gewinnmaximierung unterstellt, wäre also der folgende Termin zu maximieren.
02:41
Dabei steht X1 für die Anzahl der zu produzierenden Croissants und X2 für die Anzahl der zu produzierenden Brezeln. Die Mengen multipliziert mit dem entsprechenden Stückdeckungsbeiträgen ergibt den zu maximierenden Deckungsbeitrag. Als nächstes müssen die verfügbaren Kapazitäten des Bäckereibetriebs berücksichtigt werden, um die Engpässe zu ermitteln.
03:00
Aufgrund gesetzlicher Auflagen stehen die Maschinen nur für 26 Zeiteinheiten oder abgekürzt ZE zur Verfügung. Die Mitarbeitenden aufgrund eines Zweischichtbetriebs allerdings nur 15 ZE. Für die Herstellung eines Croissants werden 5 ZE benötigt, für die einer Brezel nur 3 ZE. Das Croissant verbringt 3 ZE in einer Maschine und wird vorher für 2 ZE von einem oder einer Mitarbeitenden bearbeitet.
03:23
Die Brezel hingegen verbringt 2 ZE in der Maschine und eine ZE bei einem oder einer Mitarbeitenden. Zudem hat das Verkaufspersonal festgestellt, dass am Tag 20 Brezeln und 10 Croissants verkauft werden. Daher soll die Produktionsmenge auf 20 Brezeln und 10 Croissants beschränkt werden.
03:41
Aus den gegebenen Informationen lassen sich folgende Kapazitätsrestriktionen ableiten. Zusätzlich sind noch nicht Negativitätsbedingungen einzuführen, da die Anzahl von Croissants und Brezeln logischerweise nicht negativ werden kann. Also X1 größer gleich Null und X2 größer gleich Null. Jetzt ist alles vorbereitet, es kann also losgehen. Nachdem alle Informationen in mathematische Gleichungen übersetzt wurden, müssen die Gleichungen 1 und 2 nach X2 aufgelöst werden.
04:06
Daraus ergibt sich für Gleichung 1 X2 gleich 13 minus 1,5 X1 und für Gleichung 2 X2 gleich 15 minus 2 X1. Anschließend tragen wir die beiden linearen Gleichungen in ein Koordinatensystem ein.
04:20
Auf der X-Achse tragen wir X1 ab, auf der Y-Achse X2. Auf diesen beiden Geraden befindet sich die optimale Ressourcenausnutzung für jeweils einen Rohstoff. Alles unter der Geraden nutzt den Rohstoff nicht vollständig aus. Alles über der Geraden übersteigt den verfügbaren Rohstoff. Nun haben wir noch die Bedingungen formuliert, dass X1 und X2 größer gleich Null sein sollen.
04:42
Diese sind nun ebenfalls einzutragen. Insgesamt ergibt sich damit dieser Ergebnisraum. Die Fläche kennzeichnet nun also alle denkbaren Ergebnisse. Mathematisch gesehen kommen allerdings dabei lediglich die Ecken dieser Figuren betracht, da diese die Einschränkungen maximal ausnutzen und somit effizient sein können. Sie wird durch die vier Schnittpunkte A, B, C und D begrenzt.
05:03
Im Fall der Produktionsprogrammplanung können wir zusätzlich auch noch die Ecke im Nullpunkt, den Schnittpunkt A, sicher ausschließen, denn da würde halt einfach überhaupt nichts produziert werden. Es verbleiben also die Punkte B mit den Koordinaten 0,13, C mit den Koordinaten 4,7 und D mit den Koordinaten 7,5 und 0. Von Ecke zu Ecke lässt sich nun anhand der Zielfunktion prüfen, welche Kombination den höchsten Wert liefert.
05:26
Dazu setzen wir die Mengen von X1 und X2, die in den Eckpunkten vorliegen, in die Zielfunktion ein und ermitteln damit den erzielten Deckungsbeitrag. Lasst uns mit Schnittpunkt B starten. 1,50 Euro mal 0 plus 80 Cent mal 13. Das ergibt 10,40 Euro.
05:43
Hier erhalten wir einen Deckungsbeitrag von 10,40 Euro. Und der Schnittpunkt C, 1,50 Euro mal 4 plus 80 Cent mal 7. Das ergibt 11,60 Euro. In der Konstellation erhalten wir einen Deckungsbeitrag von 11,60 Euro. Und im letzten Schnittpunkt beläuft sich der Deckungsbeitrag auf 11,25 Euro.
06:01
1,50 Euro mal 7,5 plus 80 Cent mal 0. Das ergibt eben diese 11,25 Euro. Damit liefert der Schnittpunkt C den höchsten Wert bzw. den höchsten Deckungsbeitrag. Die Koordinaten des Schnittpunkts ergeben, wie viele Croissants und wie viele Brezeln produziert werden sollten, um einen maximalen Deckungsbeitrag zu erzielen. Schnittpunkt C hat die Koordinaten 4,7. Das heißt, X1 gleich 4 und X2 gleich 7.
06:26
Mit 4 Croissants und 7 Brezeln haben wir also das deckungsbeitragsoptimale Produktionsprogramm bestimmt. Bei mehr als zwei Engpässen erfolgt dies nach demselben Muster. Es kommen hier nur mehrere Graden hinzu und damit natürlich auch mehr Schnittpunkte. Eine Betrachtung für mehr als zwei Produkte lässt sich so jedoch nicht mehr grafisch lösen.
06:42
Da wird es dann mit der Visualisierung schwierig. Spätestens hier ist der Sprung in die lineare Programmierung mithilfe des Simplex-Verfahrens erforderlich. Da wir uns hier aber nur mit der Einführung in die BWL beschäftigen, klinken wir uns an dieser Stelle mal aus und vertrösten euch auf eines der nächsten Semester. Okay, dann lasst uns noch einmal zusammenfassen, was wir heute alles gehört haben.
07:01
Wir haben uns heute mit der linearen Programmierung beschäftigt, die dann angewendet wird, wenn es mehr als einen Engpass in der Produktionsprogrammplanung gibt. Mit dieser Lerneinheit zu den Grundlagen der linearen Programmierung sind wir dann jetzt auch am Ende der Lektion Fertigung angekommen. Die Industriebetriebslehre, vertreten durch den Begründer der modernen Betriebswirtschaftslehre Erich Gutenberg, stellte lange Zeit einen zentralen Ankerpunkt der BWL dar.
07:23
Wie schon in der Lektion zur IT angedeutet, hat die zunehmende Vernetzung und Digitalisierung eben auch vor der Fertigung nicht Halt gemacht. Im Industrie 4.0 Zeitalter übernehmen Algorithmen in Echtzeit die Lösungen vieler Optimierungsprobleme. Und ihr wisst jetzt auf jeden Fall, wie die das machen.