Berechnung von Erwartungswerte

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Formal Metadata

Title
Berechnung von Erwartungswerte
Title of Series
Part Number
18
Number of Parts
25
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License
CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2011
Language
German
Production Place
Amsterdam

Content Metadata

Subject Area
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Expected value Algebra Mass Set (mathematics) Length
Coalition Höhe Real number Negative number Integrationstheorie Function (mathematics) Set (mathematics) Approximation Probability theory
Expected value Mathematics INTEGRAL Lattice (order) Function (mathematics) Mass Set (mathematics) Summation Random variable
Expected value Series (mathematics) Standard error Mass
INTEGRAL
Zahl Real number Negative number Function (mathematics) Set (mathematics) Continued fraction
Equivalence relation Set (mathematics) Function (mathematics) Fiber (mathematics)
Addition Function (mathematics) Partition (number theory) Depiction
INTEGRAL PHYS Set (mathematics) Mass Number
Plane (geometry)
Function (mathematics)
INTEGRAL Function (mathematics)
INTEGRAL
Measurable function Equals sign Function (mathematics)
Maximum (disambiguation)
INTEGRAL
INTEGRAL Function (mathematics) Mass Set (mathematics)
Mathematics Function (mathematics) Mass
Series (mathematics) Link (knot theory) Integrationstheorie Summation Probability theory
Infinite set Mass Set (mathematics)
INTEGRAL Complementarity Summierbarkeit Function (mathematics) Summation
Building Set (mathematics) Mass Multiplication
Measurable function Function (mathematics)
Amsterdam
i O er begrüßte recht herzlich zur heutigen Vorlesung ich würde sie heute bitten noch etwas leiser zu sein sonst waren so mycro tut mich also das Mikro wurde Aufnahme tut zwar dass eine Aufnahme aber wir haben keine Wahl Mikrofon dabei aber so ungefähr 60 Leute sind ist war kein Problem sein sollen sie nicht denken sie müssen und reden okay ich erkläre Ihnen heute wie man Erwartungswerte berechnet wir haben diesen Erwartungswerte eingeführt mit Hilfe des sogenannten Maß in die Charts da habe ich ein integral definiert integral aber den Mühen Mühe vorgegebenes Maß nein auf eine Menge und egal wo ich eine 7 Algebra war hatte im Gegensatz zu den integral was sie aus der Schule kennen oder was sie in einer alles ist zum großen Teil schon kennen gelernt haben ist der Unterschied hier einerseits dass ich jetzt nicht was sich auf der x-Achse eine beliebige Massenverteilung habe und bezüglich dieser Massenverteilung integrieren das heißt wenn ich mir angucke was ist die Menge von einem Intervall dann nämlich nicht die elementare Länge sondern wie beim normalen Riemann integral oder was ist auch schon haben die Wände Decke integral sondern ich nehme die Masse die mir das Maß vorgibt das
heißt sie können sich vorstellen wie anderen Masseverteilung und je länger wir dann gemessen durch das Menü von dem Intervall das zweite im Gegensatz zum klassischen ringen gerade dieses aus der Schule kennen geben ein bisschen anders vor noch hängt angetreten Funktionen ein wenig in einem werden Sie gerade das heißt sie haben wir uns definiert nicht negativ einfach waren es sowie gleich 1 ist n alter immer Indikator Funktion zum Menge A I also wenn Sie freundlicherweise die Unterhaltung einstellen könnten als 1 ist also in waren nicht negative reelle Zahlen A 1 bis A 1 aus aber eine Koalition von dann mache ich einfach zu mir ich die Anzahl der einzelnen beiden auf nämlich die Höhe Eifer E X die uns Seillänge der Grund sei die nehmen das wird sich durch meine von anders ist gleich dann und kommt aber Unterschied zum wie man gerade mache ich nicht und und Obersulm sollen ich approximieren nur von unten ich ab wo sie nicht negative Funktion nur von unten und da mache ich das mit einer period weisen Konvergenz von unten das heißt ich will nicht negative einfache Funktionen die period Weise also für jeden einzeln Funktionswert konvergiert die Folge der oder für jeden einzelnen Punkt außer der Funktionsbereich konvergiert die Folge der Funktionswerte bei dieser Funktion Folge gegen den Funktionswert bei der Grenz- Funktionen period 1 und 2. diese Funktion ist jeweils monoton in dem Sinne dass die Funktionswerte
Momento nicht fallen sind und wie diese Approximation setze sich in die gerade im ist der Grenzwert von integral H in Ü und dann der letzte Schritt ist simpel ich zerlegen mit Funktionen positiv wie negativ teil und sagt das integral ist integralen positiv teilte man das integral über negativ teil wobei ich negativ Teil auch betragsmäßig definieren das heißt ist dass sie wie viel geht es betragsmäßig nach unten ein das anders als beim klassischen wie man sie gerade der große Vorteil ist dann was das was wir hier gar nicht machen in der Vorlesung was in der Integrationstheorie kennen lernen was sich auch im nächsten Semester eine Wahrscheinlichkeitstheorie nochmal vorstellen werde
also 1. was eine sieht nur eine relativ schnell dies integrales allgemeiner definiert als auch für wenn ich Mühe kann ich nach wie vor die elementaren Dinge er Längenmessung Verbänden endlich offen und die gerade analog zum integral ab ich konnte noch mehr Funktionen integrieren und der zweite große Vorteil ich hätt ich habe relativ einfache Sätze manch einen Grenzwert mit einem integral
vertauschen kann also 1 ist das integral über so wie hier um was sie oben steht der Limes n gegen unendlich H 1 Mühe das Gleiche wie das auf der linken Seite ist einfach der period Weise von der Funktion das heißt man kann ich in die einziehen und eine Definition sehen Sie schon die gilt über allgemeine nicht nur für nicht negativ ein Funktionen sollen allgemein für nicht negative Funktion wenn die Funktion vollgepumpt Weise konvergiert das Monat jeweils period Weise monoton konvergiert das Zusatz von dem monotonen unbegrenzt es gibt da noch ein 2. Es gibt 2 relativ schöne Sätze mit denen diese in und integral vertauschen können was sie wann wie sie gerade nicht so ohne weiteres ok das zum Begriff des Integrals vernetzen waren die 1. Eigenschaften den gelernt ich habe ihn typischen Beweise vorgeführt um Ihnen zu zeigen 1. in begreifen dass ist die Summe der Integrale war Satz 5 22 aber 2. integral von konstante mal Funktion es konstant immer integral der Funktion an die zusammen ist die das für den Jahre geht 3. Monotonie wenn die eine Funktion immer kleiner gleicht anderen Funktion ist also klar gleichen Funktionen definieren Sie so für jeden einzelnen großen und offen Definitionsbereichs ist der 1. Funktions- wird immer kleiner gleich dessen 2. Funktionswert dann sind auch die integrale kleiner gleich bekommen Sie da der Erwartungswert zum maßen sie gerade ist zum Beispiel Erwartungswerte im Jahr sie den Jahrhunderts und Erwartungswert ich habe ihn dann 2 weitere setzen noch angeschrieben und wieder jetzt gleich beweisen dass 1. der Nation Satz Integrale Satz im 24 deren Wahrscheinlichkeit Raum und mit gehen wir mit der Zufallsvariablen X und und nach mehr ist wird er nach der messbar im einfachsten Fall Hafen Excel Intensität also gleich legst dann gilt Integrale ohne gar von Exxon ohne gab die die dieses integral über R A von X integriert bezüglich der Verteilung von X X Verteilung von X ist desjenigen Maß ist eine Menge aber die Wahrscheinlichkeit P von X oben ist 1 von zuweist wenn das Andenken für von kleinen X Neidlein X also die Intensität dann sehen Sie auf der linken Seite steht einigte Erwartungswert Erwartungswert von X nach Definition und rechte Seite ist das integral über X die XTX das heißt ich muss jetzt um solch Erwartungswerte ausrechnen zu können konkret noch sagen die berechnen solche Integrale bezüglich der Verteilung und das macht Satz 5 25 in 2 wichtigen Spezialfällen 1. also wir haben Wahrscheinlichkeit um wieder ablehnt werde Zufallsvariablen X und ohne gar er gehe von
einer er war 1. Spezialfall X ist diskret verteilt das heißt es gibt abzählbar viele Punkte Clients eines kleinen 2 denn das Maß PX die Masse 1 zuordnet das heißt B liegt nimmt mit Wahrscheinlichkeit 1 1 dieser Werte kleines 1 1 2 und so weiter an dann ist dieses integral über die Art wie er die von XP XTX einfach die unendliche Reihe zum etwa gleich 1 müssen endlich von X Kammer Wahrscheinlichkeit von Fensterschlitz das heißt ansehen sehen dann der Erwartungswert von X einfach bis die unendliche somit gleich 1 müssen endlich X Karma Wahrscheinlichkeit von x gleich x gab das heißt sie nehmen die einzeln Funktionswerte multiplizieren Sie mit den Wahrscheinlichkeiten summieren auf bekommen Mittelwert 2. wenn eine dichte vorliegt also andere fallen andere wichtiger Spezialfall Beurteilungen ist er von Erna erdichte von X das heißt es wächst aber gleich integral war AFN XTX für alle aus den zu gilt das integrale aber hier von XP XTX ist einfach den Sie gerade leichten die gerade bei er die von X X L von XTX und sofern das als uneigentliches Riemen integral existiert stimmt das mit dem was hier eigentlich steht in Decke integral also Maß integral wo ich wäre die elementaren wenn es entwendet habe zu sagen das als wir integral existiert existierten auch als hätten sie gerade nicht um die beiden stimmen überein das heißt das rechnen Sie einfach ganz normal dass jemand aus das heißt in dem Fall gehen sie auf dem integral Erwartungswert von X als integrale von müssen endlich wissen endlich x-mal von nächste ist okay Fragen so weit ich muss mal was ist schönen machen können das nicht stehen lassen und dann brauche ich eigentlich gar nicht mehr in mein Aufstieg gucken was zu
machen das ist ein gewisser Vorteil hat fragen wird wir 2 Sätze aber Weise gefangen an beweist unter zum 24 und die Beweise 10 24 wir machen eine Weise Sensation in 24 genauso wie beweist und Satz 5 23 eine der großen Portale diese Beweise sie gehen ein nicht alle gleich also wenn sie einen gesehen haben wenn sie alle so vorsieht das heißt Sie machen bescheidenen sprechen
im Aufbau von den wir gerade das heißt ich weil ein Fall eines mein Integrationsfunktion in dem Fall ist es aber als ich mach's er bezüglich der Definition des Integrals auf der linken Seite ich sage dieses H ist nicht negativ einfach also von 1 Paar gleich zum I gleich 1 bis nur 1 AE ist nicht negativ
einfach das heißt wieder N ist natürliche
Zahl 1 x 1 des Alter n sind nicht negative reelle Zahlen A 1 bis A N ist aus meiner Sicht war und ist mit Tradition von schreiben hier wieder nicht hin ist mir in der vor soll in diese nicht negativ einfach alles drinsteht ok dann wissen wir was integralen ist wir gucken uns mal sehen sie gerade rechts an gucken uns den bekannten genau an das heißt wir gucken uns an was es Hafen dicksten und ab nein wir wissen was integral Rechtes und wir wollen wissen was integral ist es also wir gucken uns nach dem nächsten und wieder an paare nächsten und widersetzen einfach in die Formel 1 das heißt ich muss die Excel ohne Garantie 1 Indikator Funktion einsetzen und damit kommen wir zur einzigen stellen diesen Beweis irgendwas machen müssen eigentlich was Neues wir im Vergleich zu allen andern beweisen nämlich ich behaupte diese Indikator Funktionen zu Menge A I ausgewählt andere Stelle x von und ist das gleiche wie die Indikator Funktion zur Menge X um minus 1 von AI ausgewählt an der Stelle und er das heißt ich behaupte hier steht eigentlich dass es die gleich 1 bis Ende Alfa Emma Indikator Funktionen zur Menge X um minus 1 von ausgewählt eine Stelle und ich auch und das musste natürlich begründen und das ist die einzige innovative Stelle dieses Beweises oder so comma den wie machen wir das mehr also was ich behaupte ist ich behauptet die Funktion hier 1 ich von X und Amiga stimmt über eine der Funktion hier beide funktionieren nur die Werte 0 und 1 an das heißt es genügt zu zeigen wenn die 1 1 ist die andere 1 und umgekehrt also überlegen uns die 1 gleich 1
ist gleich 1 und ich möchte so weit solange logische Qualen Form bis Sarstedt die andere ist 1 okay wir gucken uns an 1 ist
Indikator Funktions- und Menge von X von Onmeda gleich 1 Jahr klar nach Definition wenn dieses X 1 und wieder ein am mit alles Definition Indikator Funktion dann ist die Frage wann es Excel Norweger ein mehr da behaupten das gleiche wie hin und wieder aus XO minus 1 weil er ihn und diese Äquivalenz
gilt nach Definition des Urbild weil dieses klein und wieder ist dem Urbild X um minus 1 von also rechte Seite genau dann wenn zum miteinand mobil waren ja die alle Menge aller klein und wo das Bild in allen drin ja nehmen Sie nochmal Definition Indikator Funktionen und so sehen das ist das gleiche wie das Indikator Funktions- und Menge exogenes 1 von und egal was ist mehr es muss ich gestehen es war nicht ganz richtig was ich
gesagt habe ist nicht die einzige innovative stellen den beweist es kommt noch eine kleine Stelle ich wenn ich noch einmal die Definition der Verteilung aber das ist eigentlich der Haupt die Hauptsache okay wenn wir so weit sind dann sehen wir wir dieses von Nixon und wieder ist nicht negativ einfache Funktionen nach der Darstellung und ich habe sogar eine Darstellung kann sie nicht negativ einfachen Funktion
ich mache mir jetzt leid gleich klar wenn die A 1 bis A N 1 Partitionen von erst sind dann sind Ixion minus 1 von A 1 bis X um minus 1 von in eine Addition von und mit damit habe ich die Darstellungen ich eigentlich auch in der Definition und ich
kann die linke Seite dieses gerade wonniger aufwändigsten und mit der Regierung Eger direkt und vor mit der Definition des Integrals das ist dann die Sony gleich 1 bis n Eifer E mal von der Menge okay jetzt nämlich die Definition von der Verteilung das x von der Menge aber mal gerade die von X zumindest 1 von das heißt hier steht der X von nach Definition PX bei mir nicht so weit ja aber jetzt nehmen Sie noch einmal die Definition des Integrals sind fertig und zwar diesmal die Definition des Integrals bezüglich dem Maß und diese andere 1. Darstellung von war H ist leicht um ihn gleich 1 bis n Einfall immer 1 am nochmal Definition integral und damit aber die Behauptungen Fall 1 okay Fragen so weit fragen zum Beweis wenn ich komme direkt zum Fall 2 bei 2 entsprechen dem obwohl es Integrals H ist nicht negativ messbar ja in dem Fall wenn wir wie beim Aufbau des Integrals von der rechten Seite einfach nicht negative einfache H in mit H in konvergiert period Weise von unten gegen Haar also Bilder HAN nicht negativ einfach wie Zahlen konvergiert Hinweise von
unten gegen war wenn wir das haben dann können wir auch verkleideten X nach sind dann auch und nach dem
1. Fall sondern auch entwickelt mit X nicht negativ einfach sehen wir an der Darstellung von Hafen Nixen und mich aus dem 1. Fall was nach Fall 1 noch nochmal 1 sind H 1 x nicht mehr geht einfach comma und das gilt der nein
ja gucken sich an wie verhält sich der H N von Text von Only gar wenn sie in laufen lassen Nummer 1 für nichts also H 1 5 klein X ist klar gleich H 2 von kleinsten gleich hat 3 von Kleinst- und so weiter für alle x weil am period weisen gegen und regiert also ist auch halb 1 von X von Unica plane Gleichheit Zweifel nix von Unica und so weiter also ein zunächst nur mit als kleiner gleich 2 von Nixon und wieder an klar gleich ein Norweger jetzt dieses H N von kleinen X konvergiert gegen haben nix für jedes feste X also konvergiert 1 von Nixon und gar gegen Hafen ist trafen die zum einiger für den endlich für jedes und jeder aus und wieder das heißt unser ein Ferkel mit X und period Weise von unten gegen arbeiteten Text ja damit habe ich einerseits nicht
negativ einfache Funktionen H N die und Weisungen gegen hat konvergieren 2. nicht neige die einfache Funktionen H 1 verkehrte mit X die period Weise von unten gegen Hafen nix konvergieren und kann sowohl die rechte Seite als auf die linke Seite als Grenzwert umschreiben
wie Definition des Integrals nach Ende des also jetzt gucken uns das integral Hafen die und wieder aber P die Iomega an das war das der einigen endlich nach Definition des Integrals wird Limes in gegen endlich von integral von H Internet ohne gab wieder und wieder dann sind meine Funktionen H in ja nicht negativ
einfach den Fall habe ich schon im Fall eines betrachtet also mit 1 1 kann ist und warum er als ihn zum integral über R A 1 von x Felix Willicks
und dann ich noch mal die Definition des Integrals ich weiß meine ins konnte sie nicht negativ einfach konvergierenden Weise von unten gegen und kommen nach Definition des Integrals wieder
aus den Sie gerade war er auf dem XP XX damit sind wir auch noch mit Fall 2
fertig Fragen dazu ok wenn das frage gerade wenn ich den Beweis Teil 2 für allgemeine nicht
negativ messbare Funktion nach warum mache ich ihn dann in Fall 1 noch separat nicht negativ einfache Funktionen die enthalten sind ja das ist der eine Gleichheitszeichen dass ich nicht beschriftet aber sorry da gehört Fall 1 einziehen ich wende genau an dieser Stelle meine Ergebnis von Fall 1 an also diese Gleichheit verwendet das ich 1 1 schon gezeigt habe das heißt ich kann den Beweis wird so nicht machen ohne dass Ergebnisse und 1 zu haben okay aber danke für den Hinweis ich hatte gesagt damit das vergessen drüber zu schreiben nach der Frage okay im Normalfall bei 3 gemacht
haben messbar kann jetzt auch negative Werte annehmen und ist klar aber jetzt wollen sie machen wir zeitlebens einfach einen positiven negativ teil dann gilt unserer ist gleichen H plus minus mal minus mit habe lösen nur minus größer gleich 0 da kann ich genau den positiv Teil negativ teil nehmen also habe es von X wer das Maximum von war von X
comma decimal 0 1 minus 1 x das das Maximum von minus davon nix kommen daraus folgt wenn ich mir meinen nach Wennigsen und wieder ankommt ist entsprechend leicht H plus von x und wieder
wobei beide Teile größer gleich 0 sind und dann
verwenden Sie setzen jetzt einfach einen in die Definition des Integrals weil dieses integral was uns interessiert das integral ohne gar Hafen nächsten und gab mir die und egal ist einigten integral über die Differenz was integrale Hafen Nixen und gar ist gleich dem integral über ablöst von Exxon und wieder in das integral über Aminas nächsten Onega PD mir gar jetzt nämlich nicht die Definition des Integrals ins auseinanderzuziehen weil das ist ja ja nicht zwingend der oder beziehungsweise ich behaupte hier nicht ich möchte ja nicht zeigen das habe es von Exxon und egal übereinstimmend mit dem positiv Teile von war Ring X plus aber wir haben nichts wir können sich vermutlich auch möcht ich aber gar nicht machen ja er stattdessen vor wenn ich jetzt diese Genialität des
Integrals die in Satz 5 22 gezeigt haben Satz 5 22 a und b ich kann sollen Jahr kommen Nation auseinanderziehen und Satz von 22 a und b ist das Differenz der beiden Integrale dann verwenden Sie Fall 2 jetzt in die in die Granden nicht negativ jeweils nach weil 2 können Sie dann umschreiben als integral bezüglich der Verteilung von X und dann nehmen Sie die Definition des Integrals und wir sind fertig fragen Sie mal zum Beweis fragen als ich finde ich
ganz hübsch muss ich sagen Beweise es Münster besteht gar nichts eine die Aussage so nichttriviale sie außer dies nicht offensichtlich aber wir wenn Sie die Definition des Integrals eben klar gemacht haben dann sehen Sie im Prinzip sie müssen sich den ganzen Beweis dann eigentlich nur noch klarmachen für war gleich einer Indikator Funktionen das wurde eines reichen Indikator Funktion zu einer Menge da können Sie mit Ihrem rechte Seite direkt umschreiben und die Definition der Verteilung sind fertig und alles andere sind allgemeine Eigenschaften des ja Integrals also in der des Integrals oder Definition des Integrals aber der eigentliche Schritt im Beweis sondern die Behauptung zu zeigen wenn Indikator Funktionen heute dieses dann in Büchern wenn solche Sätze zu dem Maß integralen angegeben sind sie werden dann noch geführt
Indikator Funktionen und falls dann der Rest geht gemäß den schrittweisen Aufbau ok tragen dann war 5 Minuten Pause zum Hafen
wischen und um 29 mache ich bei dem zweiten was okay weil ich ganz gern weiter machen wir
kommen nach Satz 5 24 logischerweise Zusatz 25 Aznar nach Beweise 24 von den Beweis Sensation 25 um man Sitz überlegen jetzt habe ich Ihnen 2 Sätze zum Maß integralen definiert vorgestellt den gemacht bewiesen haben erzählt die beweisen immer genau gleich aufgebaut ändert sich die Frage wie ist wohl der 3. Beweis des dritten Satzes aufgebaut und ich muss gestehen im als heilig war ich vom Aufbau ab wenn also eine Möglichkeit den Satz 25
Art sowie zu beweisen wer anzufangen mit gehe nicht negativ einfach oder sogar diesen Indikator Funktion ist dann doch Inventar zu sehen und dann das Ganze hochzuziehen wenn ich das machen würde westlich Orden waren würde ich dieses G durch NGN approximieren also auf linke Seite und auf der rechten Seite linke Seite können ich problemlos des Limes mit integral vertauschen rechte Seite muss sich niemals minder Reihe vertauschen ich muss gestehen auch das könnte ich problemlos aber ich ganz ähnlich problemlos erklären also wer das machen im nächsten Semester meine Wahrscheinlichkeitstheorie für die Leute die den schon Integrationstheorie gehört haben sie deuten diese rechte Seite sie deuten die Summe als
integrale dann haben sie es aber das ein bisschen schwierig zu sehen deswegen machen wir das jetzt so nicht was ich mache den der jetzt anders ich mache den jetzt so dass sich's separat Beweise für nicht negative Funktion und den allgemeinen Fall also Fall 1 gehen nicht negativ also ich kann mit dem gleichen Aufbau
machen wie bisher wäre logisch es wird aber hier ein bisschen einfacher zu erklären ich davon abweichen diese abzählbar unendliche Menge mit der Maß 1 setzt sich als er bezahlt nicht als an seine aber gleiche Menge aller kleinen ihn x 1 x 2 und so weiter das heißt wir wissen Excel und alles gleich 1 ok wenn Sie freundlicherweise Unterhaltung einstellen könnten na geht doch und fertig werden dann gilt also meine kleine Tochter sagen
geht doch nett auf und man der um mit den Sachen von seinen Kindern kann aber auch die ich doch er treibt Button ja ich würde sagen durchgesetzt zum ein über seinen durchgesetzte das Wort okay gut also in gerade er die von XP XTX ich schreibe dieses G 1 X als geht von Exner in die Karte Funktion von A bis G 1 X X in die Karte Funktionen von Komplement bei Indikator Funktion von an den die Karte Funktion zu Kompliment sind da gleich 1 ich habe dann in die greifen das Summen in sie gerade
so wird die Summe der Integrale nach Satz 5 22 a das heißt ich weiter offen 2 Integrale und hat die Summe vom
integral er gehe von X X 1 Aachen x B x T x versehen die gerade RG 1 x x 1 A Kompliment von XP XTX das
1. zu sehen das zweite integrales identisch 0 das liegt daran weil dieser in die Grand außerhalb von einer menge von Maß 1 gleich 0 ist das heißt ich könnte definieren der Integrand ist gleich 0 PX fast über alle Malz es eine Menge vom PX Maß 1 gibt zu dass der in die Grand gleich 0 ist außerhalb dieser Menge und dann hätt ich den allgemeinen Satz ist die Funktion PX gleich 0 fast überall dann ist das integral gleich 0 diesen allgemeinen Satz weil sich jetzt hier für nicht negativ nicht negativ messbare
Funktion den allgemeinen Fall zerlegen System positiv Teil negativ teil ok für nicht negativ messbare Funktion Standard Beweise wir eigentlich dass ich sagen würde ja der Integrand ist sicherlich kleiner gleich als und endlich mal diese in die Karte Funktion und dann habe ich F kleiner gleich geht es wegen dieses integral von über 11 gleich dem integral oder F 1 Name gleich F 2 integral über F 1 ist integral über F 2 integral über F 2 das integral über und endlich mal in die Indikator Funktion zu Kompliment das soll diesen als einfache Funktionen habe eben endlich mal die Wahrscheinlichkeit von Komplimente und den damit komme ich auch endlich mal 0 1 aber es 0 gesetzt mich ja fertig modulo einer Kleinigkeit ich habe diese Monotonie nicht bewiesen für erweitert reellwertige Funktionen also Funktionen dienen der plus oder minus unendlich annehmen da habe ich in den meisten kurzen verwendet diesen Satz 5 22 hätt ich für erweitert reellwertige Funktionen beweisen können habe ich ihn damals erzählt der hätt ich noch ein weiteres wärmer Gebrauch durch ne halbe Stunde um die Trennung gemacht mit und rechnen mit plus müssen endlich über 20
Minuten das habe ich nicht gemacht deswegen muss ich jetzt hier
leider noch ein bisschen Arbeit reinstecken okay wir zeigen
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