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Vorlesung 15: Geometrische Datenverarbeitung & Approximation

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so genau präsentieren und immer so seine Haftstrafe Lernmaterialien an der TU Darmstadt
Filmemachen zusammengekommen zurück zur Vorlesung Devons jagen trieb dass es jetzt heute die 15. und letzte volles in diesem Semester manche der Festwoche nicht wollte diesmal etwas angewandtes zeigen für diesmal zeigen die militärischen Konzepte diverse kennen Konstruktion von Flächen und an solchen Dingen mal praktisch anwendet und das welche lebende sind es immer gut wenn wir so die Straße gehen mit den der mit nächste Mensch fragt sie oder sie kommen zum Bäcker oder sonst was und dass die Frage die Kamera das wollen wir von zeigen wo ist das denn für den gut wird kann das dann mal gebrauchen und ich kann sagen ja ich eines abstrakt beweisen dass man den für wussten wo nicht ein werden kann einen Trend und Aktivisten dann wird das die flächenmäßig den weg aber zahlt man sagt auch zu aufgelisteten einen Technik nicht vor dass ich das versucht hatte könnten können Sie was zeigen was Wasser in den Händen greifen kann was in den Augen sehen anfassen sehen was hier geweckt was um uns herum ist was der sage mit Rest wozu davon sagen sie gut ist und sie gebrauchen kann wo deren zeigen wie sie mir gut gefahren wäre da dann sagen ja das ja ganz klar das geht dann sagen wenn dort gefahren oder gut gefahren nehme 2 Spiele Autos ist als historisch 1. Beispiel dort haben diese Karosse diesen so relativ rundlich geformt dann mit weniger windschnittig oder vielleicht doch nicht oder das optischen ästhetischen praktisch an welchen Gründen haben Sie bestimmte Formen ist auch historisch genau der der das 1. Beispiel von der Theorie und an der Theorie dich netzweit erzähle wie Gestalt man solche Formen die nicht speziell mathematischen Gleichung erfüllen wenn also genügen müssen sondern welche praktischen Gesicht und wir haben also das einen Kotflügel muss eben das den Reis umschließen irgendwie und sich am Ende gross sowie anpassen und so'n bisschen selbständig sein und dann für 1 Flugzeuge muss es den Anwender Luft bewegen aber seine Gleichung gibt erst mal nicht also was wir bisher kennen sind viele manchmal schon Dinge die wir wie etwa durch Gleichungen beschrieben haben spezielle Funktionen die angeben oder im Funktion oder Bedingungen so schauen wir solche künstlichen Objekten sehr schöne wie dies Hilde Kohl zum Beispiel so seien ausgiebig studiert er seine Kuttenträger zum vor gekümmert die außen rum geht die Helix sei eine der wichtigsten dem oft gesehen das Ganze meiner Flächen TV zu einer 2 seiner Struktur gemacht in zum Beispiel 3 sein um und damit kann das gut aus für so etwas kennen wir sowohl Gleichungen dosierte zum Beispiel auch ein sonst wären wie kann die Krümmung von solchen Dingen wenn sie gut studiert wissen Sie künstlich Objekte und den Kelch Lebens das vielleicht für viele Dinge nicht gut da sind auch diese von solch eine Flasche bauen wollen das bisher hatte nur sagen eine sollte das welch alles raus oder an eine Karosse wieder sowas das klappt nicht gut ist aber aus praktischen gar nicht gut denn das ist ja ein Ding das gegeben durch ganz wenige Bedingungen da sie da war sie dann die Kurve da werden deren Gründung war vorgeschrieben und den versuchen in 2 größten konstant und sonst war dann gab es nichts mehr also die beiden Dingen das denen beschrieben haben Sie ein praktisches Objekt haben zum Beispiel Autoren eine Form die sie gestalten wollen aber auch das um eine Flasche dann sind das Objekt haben vielleicht viele Bedenken an eine Stelle muss das Gerät dies eine machen ein anderes schönes anderes sondern viele und diese Filme müssen sie müsste eine Form finden die an mehreren Stellen andere Dinge tut und es ist nicht so praktisch eine gleich eingehen zu wollen für nur ein Ding das an vielen Stellen viele verschiedene Form haben will alle für praktische Dinge praktische Formen sind solche Kundendaten da schon gar nicht mal so praktisch so gar nicht wichtig dass die genaue Formel ist musste so ungefähr stehen man wie gut aussehen weil aber aus zum Beispiel der sowieso ein wichtiges Verkaufsargument das muss den Krieg von gefallen oder der er den dank Flugzeug musste für einen bestimmten Prozess ermöglichen das den sollen fliegen das heißt es muss und wie eine bestimmte Form approximieren zur Strafe bei 11 Flugzeugen so wenn sonst für Flüge nehmen aus dem was die eigentliche Auftriebskraft erzeugt und sie fragen an Flugzeugbau oder Ingenieurin was jetzt die richtige Formel für einen Flugzeugflügel würde sagen ja Formel gibt es in dem Sinne nicht so es gibt Osterfahrung das wissen dass bestimmte Formen gerade gut funktionieren und ist gar nicht klar wieso diese vom gut 10 also vor es ist denen wir rundlich in der spitz und dazwischen ein wenig gekonnt und Sie wissen nicht so genau wieso diese Form ist optimal ist dennoch der Geschwindigkeit ab mit der das Flugzeug fliegt nicht optimal ist wir nur so Erfahrungswerten und die verbesserten wir unser Problem dass verschiedene Dinge aus Windkanal und dann nehme das was am besten funktioniert und die Frage des die kann man zu viel verschiedenen Formen die man ausprobieren kann die mal bauen kann und genau das ist welchen heute also das eine Art Theorie der Approximation von Dingen und und und der Neugestaltung von neuen Kursen an Flächen und solchen Strukturen ich sagen hat wie das geht findest machen würde zum Beispiel am Computer obwohl sucht sieht man die auch per Hand geht wie man da vorgehen würden solche Dinge machen wir also es geht um Flächen die man nicht hier mit einer ganz einfachen Gleichungen beschreiben kann soll vielleicht Dinge die keiner so ganz ein vergleichen haben die würde sich an viele verschiedene Bedingungen anpassen können die in der einschl so sondern an denen die anders und das nennt man die mich für Datenverarbeitung Daten deswegen weil die recht viele Dinge rede ich viele Bedingungen reinkommen können die lange wie verarbeitet und es heißt Approximation weil es einen bestimmten Satz von Punkten die man so vorgeht wie approximiert also das zu sagen die grundlegende Theorie über die also diese Theorie ist relativ neue der von sagen für solches ein altes Gebiet des und sagen mir wie von Kurven und Flächen gibt es seit mehreren Jahrhunderten und wird von vielen großen hat gar schon studiert und immer die Physik würde studiert und die Ursprünge reichen sehr sehr weit zurück auch die modern zeige die Riemannsche Geometrie sind immerhin schon über 100 Jahre alt das Inhalte zeige so ein halbes Jahrhundert 60er-Jahren entstanden man kann ich auch richtig erst auf als Computer verbreitet waren okay also das Grundprinzip der Approximation das kann das in Veranstaltungen muss was gelernt haben über Polynom Interpolationen des Clients und solche Dinge ist das ein ein welche Objekte Art Punkte zum Beispiel und möchte dann aber ich anderer weckte Kunst ihn die dadurch gehen an der durchgehen oder bestimmte Eigenschaften haben ja sie an so was unsinnig würde auch er sein aus so dass wir jetzt Flächen und würde sah Strukturen erzeugen nein das war die Motivation an ist wir wollen den Strukturen erzeugen die durch bestimmte Punkte oder bestimmt werden und um alle möglichen Formen annehmen kann wahrnehmen können sich Staatsstrukturen schon mal konkret Kurven und Flächen konstruieren während sagen mal an
verschiedenen Stellen vor weniger vor dem ist in in ich sage jetzt ungefähr vor dem ist damit man das nicht sonst alles auf die Goldwaage legt ich sage hier sein period Die-Fläche Umfelder durch den oder die Kuchen sollen dadurch den muss nicht so genau dadurch gehen denn das würde die Sache dann wenn ich sie stark einschränken also wollen da irgendwie sagen im welche Punkte im Raum sondern wie gut sein das 1. Beispiel ich sage in diesen Einfall Punkte auf der Tafel eben so die liegen jetzt auch so ungefähr auf einer Linie und wir sagen ja approximieren Sie doch mal an wie einen Grafen der dadurch geltenden seiner denn es sind immer die vieles ja ganz klar der die Menge der 4 Funktions- unendlich dimensionale oder oder Funktion und sich davon sonntags kleinen gehen vor der ich immer noch uneins über seine Raum so 7 zwar schon häufig dass man einen welche period Art 1 ist das 1. Beispiel denn Sie wenn Sie erwischt hat es machen wollen das deute ja inzwischen eine gerade durch verschiedene Punkte durch legen wollen wenn wir seinen gerade nimmt das ist ein Prinzip das haben sie schon längst verstanden wird ich auch nichts mehr für würde wenn sie zum Beispiel sagen ja ich nehme vielleicht an was was die Quadrate der Abstände minimiert oder nur die Abstände selbst die nach dem nach Wunsch oder sowas in dieser Art und das dann wohl verstanden ich weiß auch keine besonders keine Statistik oder aber kurz und sehr viel für seine Funktion auf unser und dann wäre sollen wir wollen ja wie Geometrie und würde Strukturen uns ansehen das aber eines kann man schon sehen in diesem Beispiel Techno Farbpunkte vorgehe alle vorgebe dann gibt es dieses Prinzip das haben sie 1. Semester nahm man gelernt der Nakanishi Interpolation dass man sagt zu eine bestimmt Zeitpunkten gibt es ein Polynom vom keinen gerade das so durchgeht so schön diesmal habe ich 6 period bezeichnet es geht in Polen um von Graz 5 das genau dadurch geht durch alle Punkte und ich diese eindeutig bestimmt ist und wenn sie das Volumen Zeichen würden dann würde das Wort nicht aus um diese rote Linie soll das würde links und rechts diesen Funken wild oszillierende dazwischen auch also das Interpolation Vollendung würde zwar durch die Punkte genau durchgehen vor oder zwischen alle möglichen Dinge machen die wir nicht haben wollen da rauf und runter eben zum Beispiel das heißt so sagen wir wollen eine glatte Struktur mit glatte Form Oberfläche Flugzeugs ins aus so was konstruieren wird das 1. was wir mehr kann das sind wahrscheinlich keiner der Villazóns Belohnung dafür nehmen würden denn wir machen dann extra Falten die wir gar nicht haben wollen oder wenn Sie sagen in einem Film den sie produzieren wollen wollen die sagen wir künstliche Charaktere Renderer erzeugen die Grafik produzierenden und es nicht gut dann sage ich würde dir jetzt ein Gesicht aus period kann ich mir meine wenn von einem echten Modell bei dem wir hatte sie Rungg der Rasterung mit einem Laser und so etwas bekommen wo die period habe den ich nicht dass hier zwischen echt period die da sind große Falten sind dass wir zum soll einen Eindruck 2 mehr vielleicht nicht haben will das ist die Art der Integration zwischen den Bogen ist relativ wichtig denn ob der period ein Zehntelmillimeter weit außen wendest vielleicht gar nicht mal so richtig okay das für das jetzt so eine Art Approximation Inhalt erzählen will ich 10 etwas über also nicht überlagern sich Polynome obwohl Paul noch mal eine große Rolle spielen werden auch nicht über das was sie wahrscheinlich schon kennen nämlich das 1 soll ich Zellen etwas sogenannte Geseko offen hier und da also dass man zwar das Beispiel um das zu zeigen es geht also am Beispiel Nummer 2 ich sage im in Dreisen um welch ein bestimmte Fläche reproduzieren ja ich habe es aber solche vielleichten bezeichnet die Sie mir wenn der Grafen waren es muss natürlich zu sein nicht alle die ich Zeugnis mal was was eine spezielle formal fühlt oder wo ich von Flugzeugflügeln geredet habe das dann an ab jetzt muss und für das so aussehen so eine Figur und die geht dann hier weiter und weiter außen dazu vielleicht eine Rundung oder neuerdings nehmen uns keine Wohnung sondern eher so fraktale Strukturen und Flügelchen und was so dazu gehört und solche Flächen möchte man dann studieren also Flächen und ja wir würden so dass ich groß wenn vielleicht hat man sagt ich vielleicht gleichen haben und würde sagen ich habe ein Haufen Punkte und ganz Masche sagen die period es irgendwie zu aus dar dessen Daten die ich dich habe diesen werden er auch 3 einfach Punkte ohne Fläche das verstehe ich möcht eine vielleicht dazwischen legen denn wenn möglich sinnvoll auch sind jetzt nur schwer einen Flugzeugflügel er will seit abgestimmt dass sie weite Teile der Flugzeug dran kommt das wir die äußere Spitzen und diese sollen typischer Querschnitt ist immer mehr an der Vorderseite dicker als der Seite und sollte möglichst glatt sein und bestimmte Kunst Eigenschaft haben die mit der er würde nach sehr komplizierten Formen zu tun haben und man würde jetzt sagen ich will jetzt nicht was optimieren will als Ingenieur für dich hingegen sagen ich probiert aus ob das besser oder schlechter wird welchen diese Stelle dicker mache es ich will meinen Computer bestimmte Punkte diesen und diesen näher zusammenrücken beflügelt machen und sehen uns im Windkanal und auch in der Simulation den Aristos Gleichungen weniger Strömungswiderstand gibt und mehr Auftrieb das heißt man würde da sagen dieses Objekt für das mit Punkten überdeckt hier mal ein Gitter von Punkten es ist ein 1. das Mainboard würden vielleicht aus Holz oder sowas bauen das machen seit 100 Jahren so und dann wird man vielleicht mit einem Messgerät eine so zum Beispiel das aber dann und der hätte dann viele Punkte auf der Oberfläche so hat geht er kann noch sehr feinmaschig sein der Unterseite sind auch
Punkte und dann wird man in Aachener hingegen sagen jetzt nämlich diese Punkte verstehen Sie und da will ich dass die Fläche die zwischen period ein wie folgt und dass die Frage wie soll den Folgen der nicht genug Punkte die kann ich verschiedene Anträge mit der Maus auf dem Computer wie soll denn die Fläche folgen muss erst meine Vorschrift angeben viele Fläche zwischen Punkten drin sitzt die ich aus period mir vielleicht bekomme und genau das ist welchen heute wie aus einem Gitternetz von period zum schlagen quadratischen Netz eine Fläche wird ähnlich aussehen wie die Panther sehen Flächen die wir schon kennen aus das Internet warnte sie und gab dem keine Abbildung von der auch 2 in der auch 3 so werden Einzelpunkte und das dazwischen das müssen diese müssen die Approximation Formen an wie liefern im dass die die ganz einfache Idee und das welchen heute zeigen wie es geht also wird das ist Modellierung von Flächen aus getrunken und so das gesagt ein Flügel ab und in der wir die welch trotz erstmal mit Kursen Anfragen nicht essen weil das denn das andere Theorie ist eigentlich Flächen die wie die interessantere alleine mit den Kuchen fertig sind fort mit der eine simple Verallgemeinerung der Formen deswegen machen trotz mal die Kurven zu erst so ganz anno wieder Theorie dann auch die Theorie von Kunden auch 3 zu 1. trachtet ich auf einmal mit was ganz elementaren an und ich sagen eine eine Methode wie man durch bestimmte Punkte mein singen auch 2 obwohl in dem so reich egal es kann aber mehr auch in sein mit ähnlich groß denn so ich denn auch 2 die Tafel Ebene gesetzlich Punkte darauf kommt in diesen er auch ein und lege dann eine Kurse weniger dadurch ein mich für sie nicht gerade durch den aber durch diese period sie bestimmt sein auch er sie erst einmal zu seinen Teil 1 wird ein Kuchen Approximationen und Teil 2 Flächen ja das was jetzt kommt es so weit die Theorie von werden von wir sie kaufen der formalen kommen an und zwar wir das so sehen so werden die Punkte die wir nicht Comedywelle bestimmen und dass wir dann wenn wir deren Polen nun seinen immer auch einen aber nicht genau durch die Punkte der durchgehen unbefangener mit das ist nicht was sich vielleicht schon kennen in Bernstein Pullunder scheinbares belohnen und Workstations Theorien generellen und da sagen wir einfach wir also es man Partie britische vor Überlegungen also Definition ich nutze die folgenden Notation WDR K von T diese Wohnung weil ich dort benutzen ende war klar sie auch klar 1 auch Ende des Kahnes und erkennt sofort als Rennleiter Funktion und ich will jetzt als Funktion von etwa 0 1 in der realen Zahlen sowie Inka geht von 0 1 ja er kann getan dann ist die Werte Menge in den positiver oder oder und seinen Kursen 0 enthalten ich meine beziehungsweise 0 unendlichen das es sogar so weit ist alles zahlen klein leicht einsehen dass es seine oben rum beschränkte Funktion aber das wo weiß man nicht ja was Netz und gar der kann so natürliche Zahlen seien und in diesem Fall soll sein ist Element n 0 das Essen ganze Zahlen oder 0 und es auch zugelassen und klar sein Element der Menge von 0 bis 1 es gibt also endlos ein für K und wie viel wert für n natürlich und können gleich mal definieren welches Felder brauchen wenn wir andere 1001 einsetzen denn es ist wie immer 0 also dem Kleingedruckten W i n k von T haben gleich 0 für nicht Element 1 0 zwischen minus 1 oder gar nicht Element diese Menge an wo nach keine von unterschlagen zu machen aber die dies kann dort können Sie in nur ich sags gleich mal immer dazu auch ok was ist über diese Polynome hier was man einen führen dieser Mann Bernstein was Polen Meldung die gerne nutzen der Abbas Nations okay bevor Sauce geben reichen ja Boxnation gegossen paar Eigenschaften dieser diese sind wollen Nummer 1 Ziele Polynome auf sich vom Grad n also Eigenschaften sind ja mehrere also eine der Eigenschaften sind die Summe von von alle diesen Termin hier überlege Hafenfest N ist gerade 1 die Summe ist konstant 1 das heißt auf diesen ganzen Intervall dann demnächst Eigenschaft in keiner besonderen Reihenfolge sind alle werde größer gleich 0 also passt ja gleich schon
schon geschrieben 0 kleinen gleich BNK Conti 1 gleich 1 auf diesem Intervall 0 1 jedenfalls ist ein so ich betrachte werden dann haben einen Symmetrie Eigenschaft nämlich die Eigenschaft dass wenn ich die den Fahrer mit Einsätze BNK von 1 minus P kann ich genauso gut ihre 7 Trier werden und BMK wir sind WM und man Innenminister aber dann haben wir die Eigenschaft des Maximums 9. sie weil sie mit Symmetrieeigenschaften schaffen nehmen Herrschaften Maximum diese Funktionen gar als Funktion noch 0 1 hat ein Maximum und zwar genau 1 striktes und zwar bei klar durch ein wenig T der staatlichen Einsätze da BNK von T 1 wird der ist größer als alle anderen auf diese mit der Wahl okay das nur in Eigenschaften und Polen nun vielleicht noch ein paar nicht ganz so trivial der nächsten beiden etwas das andere das ist mal wenn ich diese Kolumne nehme diese PIN K und K der Ende seines Werte ich also endlos eines möchte Apple nur im fast zu festen ein zur sogenannten gerade dass das Ende mit den Grad und diese N plus 1 von Nomura ich war gerade den gerade also die Menge der nun bis gerade eben auch und das heißt der sparen formen diese Mängel auf BR wollen willst am werden 1 ein Stück sind bis gleich der sparen denn eine Apple Nummer 1 T C-Quadrat und so weiter bis die hoch N auch wenn wir ein Stück ab und lässt eine kleine Rekurse uns Formeln heißt man kann diese Polynome vom Grad n ausdrücken durch Gründung offenbart N minus 1 und wir heißen diesen Fall das B klar von T sich ausdrücken lässt als eine Linie komme Nation von Willi N minus 1 K von T und W minus 1 Herr Minister 1 von den also zu 7 andere gesund aus jetzt ein Objekt durch Einzelobjekten vielleicht am mit eigenen Faktoren der vor einige weil sie die Faktoren gerade diese hier 1 Ministerien und die unter dem da das nur sagen die das weil ich diese Eigenschaften die können schon mal gebrauchen auch sondern es vielleicht noch ja das ist also das 1. reichen fast also sei schon sehr Inventar dieser geschafft zum Beispiel vor Fall aus dass ein für die binomische Ungleichung wenn Sie mich da sie aufsummieren Hansa vor die sowie von der kennen Sie schon das an einem da recht und da kommt 1 raus also das zu sagen wenn haben dass diese Funktion zwischen 0 1 sind ist auch klar denn klar alle Termine der Größe gleich 0 so dass auf diesem Intervall von 0 bis 1 DM als müsst diesen Kuss gleich 0 den gilt auch für die Potenzen heute also fast nichts zu beweisen und dass wir diese mit Risiken und durch direktes einsetzen denn ich diese beiden haben für Haustiere und hier das n über k endete er setze dich in über den Minister konnte selber Aussichten falls beim Indexieren etwas wechseln das heißt das dass diese Eigenschaft die weniger trivial sind diese 3 Eigenschaften hier dass er vielleicht ein bisschen was zum Beweis sagen zurück ja
und wer weiß vielleicht gar nicht so schlecht im einen Zwist ein paar Beispiele einzusehen dass die Gründung der mal konkret sind also die am Beispiele sind anders mal bei Ihnen gleich 0 das ganz elementaren Interessen endlich 0 einsetzen können einfach aus das B ist konstant 1 Gansel na gut dann kommen wir mal n gleich 1 aber ich kann und auch davon machen da nein das natürlich an einem mit die zum sieht einfach so aus die konstant bis 0 und 1. 1 wenn ich 1 ist schon mal 2 davon haben die Funktion B 1 0 an den von und die Funktion des 1 1 von T wenn ein das gibt es einen von diesen Fall 1 über 1 1 2 0 es gibt die Kosten eines ungewiss nur die Chorszenen einsetzen hier mal so einst Ministerien und ja wir T darum und dann kommen wir für n gleich 1 die beiden Ausdrücke aber welche von dem wir mal diese beiden die haben diese beiden Polynom denn was wieder dass die so ein sehr ergibt im Bereich von 0 bis 1 dass sie wäre B 1 0 dass sie wäre Seitz gut das ist auch eine Quelle mit Hamacher noch in gleich 2 dazu alle dann werden wie und 2 0 und 2. 1 und B 2 2 von und abgesehen von diesen einmal gar kommt immer aus einzelnes C-Quadrat Thema eines Ministeriums C-Quadrat also ist das wird vielleicht doch noch um die keine formalen Fehler 1 einreißen lassen und ende 2 und so weiter kümmern 1 1 0 gibt es eine Möglichkeit dass ist ist der Faktor gleich 1 die würde Faktor 2 Tiere fragte wieder 1 und wenn man ein der kann diese 3 Füllung multiplication sign wollen dann sieht so aus es einmal C-Quadrat wenn dann Funktion die von 0 bis 1 hinterlegen die 1. der Mann den diese die dann so aus die zweite genau spiegelbildlich an die dritte Gärten ein Maximum bei einhalb das es dann halt halt mal 2 ist mir sogar der hier durchgehen kennt ja die jedoch steht ja hier okay das jetzt diese was von um im Prozent ganz 1 mit der Mathematik ich nehme einfach für nur vom gerade n und dafür jede Menge davon und es ist natürlich schon jede Menge damals kamen den aufspannen gut geht soll ich jeweils an 1 in diesem Beispiel sieht man schon etwas alle Polo nur bis auf 1 10. 0 beim linken Rand also die spielen 0 1 DM 0 es immer einzulegen Rand alle anderen soll aber im linken gerannt und alle bis auf 1 7 0 am rechten Rand wie zurzeit gleich 1 1A-Lagen gleich 0 und das auch in jeder Dimension immer weiter so weil es auch ganz klar bin ich hier in einem Patent von Tieren die nicht verschwendet dann kann er sich 0 bei täglich nur aus wenn ich hier Präsenz eines Ministern die nicht verschwindet comma die Neuwahl des gleich 1 heraus wenn das Angleichen den beweisen doch nur wenn ich verwenden er 7. darum Beweise die Eigenschaften ja fast alle davon also die 1. Reisen Zusagen sind einem halben weiß nicht recht beim 4. das wär vielleicht man eine etwas zu sehen also Maximus Eigenschaft also Eigenschaft verlorene fallende Scheitel machen den
werden kann gleich 0 ist zu sie gesagt ja also klar für kann gleich 0 kann man gleich denn ich kann ich nun aber wie gesagt ist ja nur genau einen Fall Martin Sat.1 und dies Gründung B R 0 als einziges hat er sich ein Maximum bei 0 ist eine feine Funktion also dieser sicherlich hat sich ein Maximum bei K durch gleich 0 und dieser Nation Balkan durch in also durch ein gleich 1 ist auch klar dass so eine Funktion Bismarck von der rechten Seite hat und wenn ja ungleich 0 und K und gleich ist da wir links und rechts jeweils den Wert 0 das heißt das und eine vom zur Diskurs vielleicht alle zwischen fest das Maximum was dazwischen liegen dann gilt also die Ableitung des nach und die von 10 mir ist ein ganz also ableiten vielleicht mal durch BNK teilen bis gleich was man nach der Produktregel wenn ich diese wenn diese Funktion nehme das NOK kann ich im Juli welches hier wieder heraus Teile und dann wird das TOK abgeleitet sicher zu sagen ein Faktor klar und weil ich das die Patentsystems vermindert sich um 1 und da habe ich auf der einen Seite wenn ich das 1 Ministero Ende des K pleite hat den Faktor ne ist klar und die brennt es eines müsste es verringert sich um 1 und ich es diese Gleichungen und schreibe also dieser gleich gleich 0 sein ob dann kann daraus K durch Inline-Skater in kann durch keine ist gleich 1 wenn s t durch die also das kann man so umstellen hieß der dann kann ich N minus 1 oder wenn das K es gleich am 1 durch T man ist 1 oder aufgelöst T gleich Grades werden ok Ellental Rechnung hätte ich aber gut Übungsaufgabe abgeben kann es gibt ja keine weil das Übungsblatt mehr wie müsste das möchten ist das
aber alles vor Wachstums Eigenschaft der demnächst es vielleicht auch nie ich ganz und gar die Spanne Eigenschaft nämlich das so sagen die der Sonde Doppelungen will aufgespannt ich diesen Sie das dann von Nummer 7 Frage in ja natürlich ja natürlich Dank für den Hinweis ist ein Tippfehler der verständigt dass einmal PUK einziehen ist hoch N K sie mir und sie man diesen Grafen so sicher eines gezeichnet ok das war der Beweis der Maximus Eigenschaft weiß der Spanne Eigenschaft da überlegen was das diese Kolumne BNK von T also wie n kann ich nur bis Ende sind wenn der unabhängig wenn Sie länger und sind müsste diesen Raum Aufwand denn es sind ja alle Polo machen gerade kleine gleich in das die kann nicht mehr auf als Raum der Wohnung bis in und Insolvenzen müssen in den aufspannen und diese sollten Sie darauf sparen wenn Sie jetzt betrachten das BNK Altwohnungen welchen Grad hat es denn wenn sagen wir mal und geben der 0 betrachten und den umgebenden 0 sehen Sie das jedoch nicht unter die gar Konstanten plus deren wir die kleine Rose und von Theo oder groß von Theo Ukraine 1 also W 1 K von T kann man schreiben als Konstante in diesem Fall die Sie hier die ist aber nicht so wichtig mal diesen zerren ich habe mal das Kleingedruckte dies als groß Gedrucktes plus O von Theo Hochkar 1 also zehnmal kleine Ordnung im W sich muss also gehen gar von T und die Stelle nun darum dass Polen und Yufka auch meinen Konzerten wenn jetzt für viele von diesen Paul nun zum neuen kombinieren wollen also wenn Sie sagen wollen Summe über welche A I B die soll seinen konstant wollte und zwar E nimmt genau 1 plus 1 wird sondern sie sollen laut Kommission produzierten die höchste kreidet also der mit dem höchsten Grad könne denn in diesem Fall muss er auf sich kosten 0 enthalten denn aus was anderen kann meinte dies jedoch keine nicht zusammen kombinieren die Therme also alle anderen Termen wir die hoch mit K kleiner gleich im und das Theo 1&1 wieder zum also das WENN zum Einzug nun das dem konstante mal TON etwas beiträgt das heißt also Unabhängigkeit und das 1 Theo M von den anderen folgt das in dieser Länder Konvention der Zahn der zum B N N gehört Peter M A n dem muss gleich 0 sein ja alles leisten diese Wiener Konvention so sei angegeben ok es habe ihre Lenag Nation von den anderen N des einst haben zum Wohl der der höchste ist schon 0 und der König ist armen induktiv fortsetzen zugesprochen einmal und das 1 mal Delta die hoch N minus 1 durch ist auch wieder alleine dar von dem Guthaben BNN kommt da nichts mehr übrig denn das hat der Vorzeichen also vielfachen 0 das heißt der die hoch in 1 10 auch wieder unabhängig Heinz Weise seit Induktion Bank zum rückwärts genau gesagt die der eigentlichen Schritten fertig wird das führt dann dazu dass alle Hayit gleich 0 ist mit einer worden in jeder der nach Nationen zu 0 dieser Therme müssen alle Kopf schon nur gewesen sein sprich die Tage sind länger unabhängig dem gut aber ich will Mittal Rechnung Übungsaufgabe begeben können und sie dass sich alle in den Hütten herausbekommen wenn wir die letzte Eigenschaft Rekursion Formel dies auch nicht durch das so schwierig der das Recht und die bekanntere gesund Formen für die aus der kommt er zurück also das Volk einfach aus der kann Formen das n über k eben als Dame Minis 1 über K und ist ein zwar Kamines 1 sind und dann und ein wenig auskommen von kann und so weiter und da kommen sehr schnell zum Ziel gut es habe schon lange was über Pullover zur Zone Zelt und wir noch keine einzige Kurse gesehen geschweige denn eine Fläche dafür sagen dass etwas nicht mag vielen welche Dinge sehen im Raum sich bewegen und schön dastehen und zu den komme jetzt mehr ok sehen wie diese werden wollen nun
unter machen dass daraus eine Kurve wir sagen also jetzt sie ziel eine kommende definierten Intervall von 0 bis 1 das sein somit kann gleich 0 bis 1 und wer gar von 10 mal die klar und 10 degree jetzt wir haben diese Vorschrift Vertrages machen die wird dann in einem man aus dem Intervall von 0 bis 1 und PKS bin und des P E N wenn endlos 1 Punkte sein zum Beispiel mehr auch in mehr mit T meint 0 1 b-moll bist die werden er auch dem ich kann einen zweiten anderen denken sie die Dimension sogar völlig beliebig sie kann also gleich auf dem Schreiben und dieser wird dass das was jetzt als manche gehen weil das ich einen ein schönes praktisches Subjekt dieser ich über meinen Namen heißt wenn wir die Kurve oder glauben Namen wie sie Kurse geben wir den Kontrollpunkten P okay dieser wer wann welche die kann dass einige mit Spiel zum erst mal sehen wann abdeckt das wirklich im Raum haben und dass wir studieren können dass eine Kurve kommen seine der dürfen zeige Mitri über wohldefiniert nicht auf eine Weise regulär leider der fallen könnte schon mal 0 sein aber das macht nichts denn diese geht es gar nicht um invertieren deswegen komme die Fehler der daran mal ist sagen verschmerzen das nicht da ist ja welche Eigenschaft hat das jetzt wenn Haufen Punkte Innenraum tun und dann sollen in Chor durch legen erst mal vom soll die schöne seines an was anderes wie Interpolation mit verloren geht auch immer auch den formenden führen möchte vom besser sagen wir stückweise Verbindung voraus ist besser als das Plains die Sie vielleicht schon keinen und solche Dinge anders als ich jetzt den diese Art der Approximation dieser Art Deco und Bildung aber schöne Eigenschaften mit schaffen und so weiter die wir gut gebrauchen können also die Eigenschaften sind folgende das das Ganze natürlich glatt dürfen Sie aber und dann fahren mit solch welches ganz umdrehen ist es das selbe wenn ich die Punkte gerade umnummeriert hätte und solche Eigenschaften ich dann also ich habe Eigenschaft der Symmetrie dies würde Herrschaften sagt das sind die Kobanes um durchlaufe C I von 1 Ministerien also mit einem Wort die Abbildung die T abbildet auf Ziffer 1 1 es ist es sehr wenn ich hier die Punkte um ja war es also gleich also mehr B klar P von minus K das die kommt ja ein also das heißt er Rückseite sich laufende Kursen das ist dasselbe kann die vor seitiges durchlaufene Kurve mit den Punkten rückwärts benannt haben wie wir nehmen lassen um normale musste zu allgemein gut weil die Nummerierung ja man ist man doch in der Regierung rückwärts in der Kontrollpunkte sprich statt gehen und ganzen sollte bis sage ich BMW 1 1 und so weiter bis hin und davon erst Eigenschaft zum Dreh Eigenschaft was haben und welche Eigenschaften die konvexe Hülle Eigenschaft
oder Connexion ich sage mal meine worden also was meine die konvexe Hülle diese Punkte P 1 bis die N enthält die gesamte Chor CD von sehen meine Form fällen enthält CIA also das heißt da für alle 4 0 1 am Geld c von in sein Element aus folgenden Menge und was die kommerzielle kann das nicht anders als alle Punkte die so sagen dazwischenliegen festigt nehme eine konvexe komme Nation zum mit Kopf sind für mich eines der Punkte beendet das nicht denn die kommerzielle also nicht solche so sehr wie hier in 3 Punkten dann ist das was hier eingespannt wird die Wechsel unterwies noch einen Punkt im Raum immer auch 3 zum Beispiel dann ist so was hier die konvex würde wenn dieser Fall ein 3 Kurden Tetraeder oder so ein Ding also es Kleingedrucktes dann also mit dass eine mit der Menge in der konvexen Hülle und den ihre nicht gesehen haben obwohl das wahrscheinlich schon schon haben hier meine Definition der Menge aller so mehr als I L die das 1 Jahr das denke ich solche Summen bilden K oder wie in diesem Fall gleich 0 bis 1 wobei gilt Allvar 0 bis Alfer N die müssen erst mal größer gleich 0 sein 2. was die kleine gleich 1 sein und drittens muss die Summe ich gleich 0 bis einen Alfa E gleich ein sehr geben diese formale Definition der konvexen Hülle an der Fässchen sehen grob gesagt als sie wenn in meine Polyeder das gerade period enthält und sonst nix und also die konvexe Hülle diese Punkte okay der Sonne freilich aufnehmen Rand sagen kann zum Beispiel das Funkzellen C von und herauskam dass wir gerade period P 0 sein am period sie von Einzelkater period P die sein und als vielleicht auch noch dann die der Rand Werte sie von 0 gleich P 0 c von einst gleich N das heißt solche ich gesagt dass die Kurve vielleicht nicht durch alle Punkte durchgeht geht es Anfang der Chor durch den 1. Punkt B 0 und das Ende der Chor C von 1 geht durch den letzten Punkt PIN als man es am Ende geht die Kurve ehrlich dadurch 4 eine in der wolle zu uns kommen es wird war mir klar sowie die Ableitungen sagen ich kann sagen dass sie spricht von 0 also der die Ableitung am Beginn die wird seinen Kader auf der Linie vom 1. Punkt P 0 zum nächsten Punkt P 1 die wird gerade sein eine konstante und dies alles Ende aber nicht so wichtig die 1 minus 4 0 und analog am Ende der Kurve Strich von 1 bis gleich eine konstante hängen aber das nicht auch nicht so wichtig weil der Richtung dorthin P ein minus die der Minister als spricht man von einer Kurve stehen auch die Tangente über ein mit dem was erwarten denn die gerade nicht auf den Westen vom zu laufen würden okay 2 Schaffner habe ich noch 1 hat zu tun mit der mit dem was passiert ich das Ganze im Raum welche Punkte im Raum verschieben oder in wir vielen transformiere und dann kommt man eigentlich auf die muss im Detail klären wie das ganz auch eine mehr geschickt aus werden würde am kommenden 1. ist die Eigenschaft der affinen Invarianz nämlich werden da sie nehmen affine abbilden was eine affine aber das eine werden wie der Abbildung plus vielleicht noch Translation gehen die
drehen Verschiebung Skalierung Bescherung und so weiter das Transition das geht es von unserm er halt die in einen anderen Raum mit dem er auch den spricht muss sich dieselbe Division haben in einem 1 viele Abbildung ist das heißt von einem Vektor gleich L x v plus des zu kümmern mal schreiben es wären ja Martens wenn Sie so wollen ich dann Geld in der Folge ist dass ich die die Kurse nehme CVT und mit verschieben also von C von T an das selbe raus nichts erstmal die period genommen hätte diese 1 bis 1 Punkte die Mitarbeitern summiert hatten und dann daraus höheren Einkommen gebildet das heißt die wenn ich die Punkte tanzen gehen würden ja sagen wir herausgab klar vorn P das kann daraus nicht die Punkte transformiere habe ich das Ganze dann eben so sein aufsummieren Summe kann leichten wollen bis 1 es werden kann von dem Fonseca also die 1. die Punkte Meere bekommt servus vielleicht erst wenn die Co würden und sie dann Tanz mehr das nennt man eben auf Wiener in Bayerns wenn Sie wissen schon in sicher wissen wie das Polynom oder dass die wie sie komme zu bestimmen 3 Punkten aussieht und sie konsumieren die wie Frau mit dieses ganz immer länger dann wissen Sie dass dazwischen muss ich in genau derselben Weise in die Länge ziehen kann als doppelt zu hoch wird für die Kurve doppelt so hoch und so weiter sie im Gegensatze 1 zu Polung Interpolation das eben gerade nicht so da haben wir noch einen aus Wertungsprinzip und dem Prinzip der Variations Minderung nämlich dann wenn der was die weil und jeder von uns gesagt von Gelahrtheit und Dico sollte kein extra aufhalten erzeugen ich Folgendes wenn dann eben haben ist eine Hyperebene und wir wissen schon die Punkte nennen die wir haben gebe nur also die Verbindung zwischen je 2 benachbarten funken 10 von 2 Schläge nur dreimal durch die Sie eben dann geht auch die Kurve zwischen diesen 10 Punkten nur dreimal oder weniger durch diese Ebene also die Macht nicht mehr sei zur und wartet nicht öfter als die Punkte selbst die kurz sehen schneidet eine Hyperebene oder jede wie schon so oft wie das Polygon zwischen Kontrollproben errichteten Punkten die 2 Punkten eine gerade Strecke verbinde darstellen Polygon das nicht Kontroll- Ferlikoner Polygon zwischen Kontrollpunkten das Tal des daneben Ebenen für die konkret nehme eine bestimmte Anzahl und die QC schneidern höchstens oft ok das heißt die Macht nicht extra Schlenker außerdem die das Polygon sowieso schon macht so dass als der welche Eigenschaft ist etwas Praktisches was zum Auswerten und ich habe gesagt dass wir mit dem Computer betrachten Sie es auch so nicht besonders schlimm denn alles haben die stehen modifizieren also TOK nehmen um meine mit Ende k sind relativ ein vor Portionen sind jetzt sagen viele auch am Computer dies den aus werden das würde ich direkt ganz gut klappen redlichen Schema vor dem so einfach auswerten kann es kann sogar Mensch auf Papier mit ähnlichen Aufwand schaffen nämlich alles lief leicht ist es gibt folgendes Rekursion das Auswertungs- Verfahren also wir ziehen sollte also bitte soll eine tierische Eigenschaften aus eine praktische und diesmal fallen die beide gerade zusammen es gibt nicht eine schöne Eigenschaft die sagt man kann dieses Polygon vor von gerade N oder diese Funktion als Polynomen N gerades schreiben also nur von zweien verloren von NSA 1. Grades wenn es eine bestimmte Art und ich kann sagen die den Grad reduzieren sich die außerdem dann extrem vereinfacht haben ich kann sagen wir schon mal die Form der sie gesehen was gemeint wird es gibt folgende werden nach vorne dieser Münze wir können sonst Vorschrift Berechnungsvorschriften immer man sie nennen möchte Herrmann also ich schon mal so ein also wenn wir zwischen je 2 Punkten
wie die und die die plus 1 oder bekannt die Cafés 1 in den period einen gemalt P I Thilde werden unklar ich also in den Jahren Nationen und der Therme P und wie die plus 1 nehmen und somit den Konzern 1 Ministern 0 und Tenor das es hat eine in der Kommission eine konvex Kommission mitbestimmen Kopf 10. reden für wenn man will das aus diesen Punkten diese Punkte aus dem vom ohne Ziel des die Punkte mit Hilde an welchen kann gilt wenn wir folgendes dass das Pronomen ziehe sie von 1 stellt die 0 denselben hat die das volle nur dass sich diese Wörter gebildet wird sie von den 0 gleich c Schlange vorm denn wollen wobei sich lange das dies den jetzt W klar von wie Grabsteine okay mit einer wurde ich kann sagen dass eine der gerade einen Ersatz sich ein Abbild vom gerade 1 1 nämlich zwischen je 2 Punkten WING bis 1 1 9 Pfund einsparen mitten dazwischen oder vielleicht nicht mehr Mitte sondern das was die der beraten wollen vorgibt dann konvexen Konvention das sozusagen aus den Einfluss 1 Punkten Endpunkte gemacht ein weniger und mit diesem neuen Objekt es auch neue Funktionen Walkover ich dieselbe Kurve aber 2 ist an diesem Punkt T 0 konnte derselbe Wert heraus das eine Art Begrüßungsformel für diese viele Kommentare könnten etwa zu uns Vorschrift es kann er sein Ziel von den 0 aus durch diese anderen Dinge ok das Wissen war schön ein schönes reicht auch fürs 1. aber bei solchen vielleicht auch liefern über das Ganze nicht in der Substanz wäre wird die diese mitreden schafft es relativ klar gestellt sagen direkt an vorderste aus der Symmetrie Eigenschaft der Bernstein Pronomen selbst und natürlich eine Kammer zunächst gleich immer das comma das heißt die erst auf das würde dies klar haben also wir weisen und Symmetrie das folgt aus an der Symmetrie Gutachter und der PIN period sozusagen von T asymmetrischen diesem Argument oder in den WM-Kader von nein Konvexität oder kann der Zelle in der Folge den daraus das im WM-Kader von T Element 0 1 und so im WM-Kader von TV über alle klar gleich 1 das heißt gerade die konvexe Hülle Eigenschaft das also sagen wir der elementaren dann die Randpunkte oder Werte und Ableitung und so weiter einsetzen C von 0 zu dicht also wie Sie wissen schon wenn sie einsetzen und diese Term betrachten PUK war es ist die auch in Miska das 1. der einzige die T gleich 0 etwas das nicht verstehen dass liefert der wo die Potenz von Theo TOK genau 0 ist also nur Berti hoch 0 1 Ministerio hoch enden ist nicht verschwindet und deswegen ist sie von wollen vielleicht diese Summe am W NKA von 0 PK das genau gleich dessen zum aus dem Einzelnen so meinen die an 0 von wollen die 0 wenn das gleich 0 das heißt ich dem ausweichen kann es gar so heraus und wenn sie die ableiten was auch dass es unfair genauso also C spricht von 0 es gleich deren so ableiten da müssen Pamir mehr werde mitnehmen mindestens 2 also nahm sie den wollten deren das Garantie hochkamen also denn auch weiter gleich 0 von nein Sie einmal diesen Termin Theo 1 Ministerien wenn man das klar oder vergleiche mal bei einem Glas kommt übersehen ich fange gleich mal an mit sie gleich 0 also 1 x 1 1 TON just als nächsten Tag haben sie T
X 1 Ministerio hoch wenn man es 1 möchte sieht mit den Punkten gegen 0 und mit dem Funken P 1 Versagen der wenn auch das NOK mit nämlich steht dann sagen die der Faktoren der vor Klaus tja im Sommer von die während Tiere Quadrat enthalten die Quadrat mal mal denn wenn es es ableiten dann verstehen wir diese Thermal samtenes ableiten konnte noch Anti hoch 1 bleibt er stehen und ist am weiter gleich nur gleich 0 dass es diesen tanken Sonne ableiten einsetzen T gleich 0 eliminieren er diesen Termin hier können Sie haben Sie einmal bei minus 1 x 10 0 vergleiche man das mal 10 0 und wenn Sie diesen Termin wenn ich mich jetzt nicht verrechnet haben diese Damen ein Datendieb Zusagen gerade gleich 1 wenn Sie ableiten kann konnten ein Faktor was eigentlich wer wie ein fairer los ende Juli gerade weich das N minus 1 bekommt das Einmaleins kommt ich diese diesen der Berliner steht ich zu sagen werden über 1 das ja gerade eben das steht hier plus 0 was wird behauptet aber einmal für 1 Minis P 0 ok das heißt die Latte bei 0 und die werden 1 folgend vor durch die 7 zu Überlegungen c von 1 C Strich von 1 mittels Symmetrie auch er das unsere fallen der Eigenschaften des Titan Stimme zumindest ungefähr mit dem überein was wir erwarten bleibt noch dieser affinen Bayerns und die Recken sonst Formel oder es sei ich ziemlich klar also das 1. werden einig relativ kleine morgen einsetzen das davon C von T eben gleich und dann wird es auch von Einsätzen L x Summe wie ein K von den P von kam Zeit nicht auf einen Beschluss des immer vergleichen und bis Ende und der gelernter keine staatlichen dass er den einziehen also man BNK 11 vor dem die von Ka und dann gehe es jetzt um die Summe der Banker von T gibt immer gleich eines Kreises T gleich schreiben als man sagen 2 Schritt auf einmal klären so WM-Kader X T denn das ist ja wie wir schon wissen gleich 1 so geht wir machen kann ich nur bis und da hält es letztlich aus ausklammern da comma das was ich gern hätte davon gegart auch wieder Aufgabe die selbst in 5 Minuten gerechnet hätten dann noch eine Übung Koranausgaben Platz gehabt hätten soll dann der Einschalter Variations man und die Zeichen nicht ist dass solche relativ kompliziert der weiß es ziemlich lang und das auch die Stelle vor seinem die Martin Dix und keine wenig endet denen Dimension eines geht Nations Minderung in Dimensionen höher für Flächen geht sie vermutlich auch aber niemand weiß über das beweist ja manchmal dazu Gedanken machen am des beweist der für n gleich einzukochen bekannt ist der Funkzelle für Flächen leider ohnehin nicht mehr Pflästerchen noch das mit der Auswahl der Eigenschaft zeigen dass nämlich noch das Land also Auswertung Rekursionen das ich so wäre dies BNK von die einsetzen und es hat man diese Formen reingehen an wen wird er da sagen damit jetzt hier Bianca von Themen dies vernommen und doch wenn wir sie kurz sagen die Summe davon mal bekannt dass sie weil gerade unser Ziel von die wer in diese Kurve also sagen diese B Graz mit einer Rekursion soll für die WM doch nicht die den diese darstellt soll für die Polen schreiben dann steht er da zumal kann gleich 0 1 bis Ende denken wir 2 DM 10 schreiben W ich komme ein bisschen Platz und WDR minus 1 Grad von C Klaus BMW ist eines Kamines Einzeltäters nähen und bisschen Platz aber kaum noch 3 mal rein mal P klar diese Kommission hat mir schon mit dem Konzern T 0 und 1 Ministern soll ich das 1 Ministerien und ich der das und nicht das ist nur für den speziellen wertet den 0 so weit sein dass die immer noch eine Index nur daran eine Form mir ändert sich nichts auch dass die Namen anders sind und ich das jetzt unter Maria ich habe hier 2 Sonnen die Summe dort und die Summe hier und die nur ich sozusagen beim einmal geht das klar von 9 bis 1 1 meine mal geht es gar von minus 1 bis bist das was eigentlich also jetzt von 0 bis in die jetzt von minus 1 bis N minus 1 bei kann gleich minus 1 hatten vereinbart sind die B ist kann 0 also soll es tun sich ich schreibe kann es ein sowohl die Sohn bei 0 los geht das also aufspalten zweiteilen Sohn Sommer K gleich 0 bis 1 1 minus 10 0 des Endes 1 K von T 0 PK an dann kommt die andere Summen die 0 wir aus der man kann wehe wenn es 1 kamen ist 1 von T 0 kann man daher wird das jetzt eine alles die banale Sachen da sich hier noch mal dieselbe Summe 2 man schreiben aber ich jetzt der 2. Sommer den Index ändere geht ja in den städtischer dann kamen bis 1 1 K mit den J jedes Einzelbild und ich würde sagen der nächste Punkt PK ändere sich dann in die plus 1 denn diese Summe haben ist das ein erhöhe alle Gras um um 1 hier dort und dort dann kann ich hier die BKS zusammenfassen und aus den PKS für die kann wächst komme Nation also den kommt dann raus mehr Kölsch nur bis 1 von dieser Konvention 1 investieren wollen wo wohl 20. und schossen auf die andere Seite Verzahnung in von den 0 klein zu aus und dann kam ich über das Polynom das gern hätte dass er mich nicht durch die PKS bestimmt wird sondern durch diese konvexen Kommission der PKS dem Vikar plus 1 konvex komme zum genau diesen Faktor dann sagen ja gut was soll diese Rechner nicht besagen dies habe ich gerechnet wie kann das einem wollen und das andere setzen dass nun ein Überleben dies immer ganz nett aber nicht so praktisch auf diese belegen ist enorm praktisch haben gerade damit zu sein die Auswertung erleichtert denn hier ist jetzt so denn wenn diese Stelle einen Wert aus werden wollen keine Staatengründung enden Grades hier und wollen um seine Stelle einen 1 Enthüllungen von gerade 1 weniger doch man vielleicht übernehmen seines einsehen auswerten mit diesen werden dort und wie machen es hinnehmen wenn ihnen die beiden einen alten Punkte in diese 6 Nation und den daraus einen neuen period damit die Zahl der rund um 1 verringert und den Grad des uns wie auch um 1 verringert und der Einzelpreis dass Sie einmal meine müssen mit 1 Finisterre 0 und mit den und das würde sie vielleicht ist gelandet sagen die Zahlen period Mainzerin hat nichts kann man das ganze iterieren und dass die Zahl von 7 noch mal 1 verringern und das in mal machen Polizei die kommt auf 1 verringert und dieser eine Punkt des Angerer der Wert den wir gerne hätten es gibt also dann mehr fürs Klima das denn so in einer kluge Mensch namens des Kastens statt das geht so fangen an mit den Punkten gehen wollen bis die hier sind period P 1 und dann machen wir vor der 2. Portion hier und droht Kreide wir werden aus den Proben P 9 per 1 erst mal einen neuen period in dem Fall war der genannt gehen soll und wenn jetzt mit allen Formen so verfahren in dem wir sagen gleich was diese feine bedeuten diese fallen bedeutet Moderation nicht mit 1 minus 10 0 und dieser Fall hier bedeutet Neukreationen mit T ich nehme alle Zahlen alle Vektoren in hier kommt eine mal mit dem 0 und mit Sie da gerne mal Familie von Vektoren den 9. BR minus 1 Tüte und ich das immer weiter machen kann mich nach endlich vielen Schritten dazu da sich immer noch ein einsehen period habe und dieser eine Punkt es kann der wert den ich gerne hätte dass sogar der C von den 0 also dieser S C H Themen oder und welche welche Polo muss den er nicht auswerten ich hätte also sein können wurden gerade ich muss nur das Polen umgehen und auswerten und das konstant 1 beste muss er von den Polen und B ist überhaupt nicht auslaufen das heißt für mich diese dies Verfahren comma S aus von diesen B ist das spart die stehende bevor da aber die werden jeden Schutz eines weniger und 1 trivialer besitzt jetzt komplett trivial sind und dann nicht fertig mit der Anwendung können mit diesen Schritt mit dem Verfahren kann noch mehr Schwung vor die muss jetzt nur ihre Maschinen zu werden auch super und jeweils aus 2 Vektoren eine konvex komme Nation zu bilden das ganz simpel ist eine Addition Indikation mit mit Zahlen nein Sie diese Sektoren und nachdem das immer gemacht haben also noch einen Punkt und dann sind sie fertig okay so sitzen immer schon waren mehr Zeichen noch schnell finden die letzten 2 Minuten die des ganzen führen Dimensionen geht im Kopf so ich fahren soll am gleichen 1 Prozent der Zeit über den eines sei falsch worden und vom Prozent habe es nur ganz wenig Zeit würde sein Fall aber des geht in der Tat ganz genau so als wenn sie ist für die man solle Flächen haben und jetzt hier höherdimensionalen wenn sich dann den so Produkt bisher Flächen und das geht so und wir wir eine Funktion erfahren U und V wie soll denn von 0 1 Quadrat in den er auch die mit genau derselben vom Leben schon da standen der winzigen Moderation wird es eine Fläche da stehen die von 2 Variablen abhängt dass Vereine wir sagen nämlich jetzt er von UNV oder die und die 1 die 2 wir comma soll sein den folgenden doppelt so mehr Sonne im WM-Kader für gerade 0 bis vor der als neuer wir dann das wollen nun dem meinetwegen L von V hier ist noch eine Summe da vor dort gleich 0 bis die kann auch helfen das ist eine Form die genauso aus wie jeder vor aus dass wir 2 Bernstein von und mit dem stehen haben und gehen von 2 Variablen ab abgesehen davon dass genau dasselbe das geht wieder dass die nur weil diese Thermen dieser ist vergessen dies gleich 1 ist und so weiter und so fort und dies ganze hier für wie der K L der Demenz der auch und der und gerade erst wieder wenn man diese Menge nur bis Ende und L mit diese Menge von 0 bis er denn was ist denn so ein Gitter von Punkten nicht alle Reisenden als Matrix oder so etwas für dieses hier in dieser heißt mehr die keine Sorge Produkt blechen er zum Kontrollnetz die K L kann gleich 0 bis N ja oft gleich 0 bis ok das jetzt aber und Fläche und alles was über die Kurden gesagt haben etwas was ich viele Flächen wieder das Gesetz wieder die vielleicht ist ein einer Objekte zum zweiten als Objekt für Daniel Vieregg period eingespannt zu den 2. vor wenn wir dann 4 Punkte die 4 Eckpunkte sind genau die Werte ja das wieder in der konvexen Hülle dieser der n x im Punkte genau wie Foren und zu einer geschaffen die wir schon hatten bis auf eine übetragen sich zusammen buchstäblich das mit außerdem diesen Kasten Your Schema das vom zählt auch also fast alle Eigenschaften betragen sich bis auf die Eigenschaft der Variations Minderung also alle Eigenschaften in der Nacht wie sie kochen über fragen sich wörtlich außer der letzten Erweiterungs- Minderung dies nämlich unbekannt und dann wenn sie das machen dann kann sie dann immer Stefan gut wenn jetzt kann sie das was im Anfang versprochen habe damit sofort machen Sie unseren Gitternetz von Punkten ihrer Position die einen Computer zur schon als in Greiz in Matrix von vom genau 3 und haben sie period die können Sie dann ganz einfach ganz locker und mit sehr wenig Rechenaufwand zu der ganzen Fläche fortsetzen dieses Recht dann schön glatt die können leicht modellieren Sie können die period offen komplementär schieben und die Fläche folgt dann gut und das zu sagen dass das Prinzip dass was auch die man wird sie meist der CAD-Software es mehr Integration fahren das ist eines der beliebtesten anzufangen besten sind QC okay das Ende diesen kleinen Exkurs in die Numerik und da muss auch die Vorlesung zu sein das war die das war schon heute ist und gibt was nicht dazu sage ich ich wollte noch ganz schnell Danke sagen für Rückmeldungen sind die in Fragebögen ausgefüllt besten Dank für die führen wir Tag auch für diese schön Rückmeldung und der für für Lokführer Komplimente das freut mich sehr aber der einige Dinge machten sie besonders das wären er zum Beispiel der das Verständnis schon aber ganz gut zu sein die Struktur den gut gefallen ich sehe nein das Tempo mit dem der weich ganz so sicher dass sie in der sehr verschiedene Leute sind reine Mathematiker die schon viel Vorwissen haben dem angewandte Leute den Wissenschaftlern die weniger Vorwissen hatten das immer so an Richtigkeit einrichten Kompromiss zu finden es sagte fast niemand das ist viel zu schnell der Fall allenfalls aber das und wenn ich langsam ansonsten waren wir dies der Fall sehr zufrieden das freut mich natürlich danke für da Rückmeldung ich sehe das wird sicher wieder ins Netz gestellt habe scheinen auch gefallen Zahlen zum des gab da einige positive Rückmeldungen also sagen dass führen will dass jeder zehnte wollte auch einmal ein Fragebogen schicken nicht geschieden ein Tattoo kann den denkt dann kann sich damit vielleicht auch noch gefassten so das Wasser für diesen 1. in allen 4 etwas zur und kommen mir großen Spaß macht inhaltlich auch also dann das was und für diesmal am besten Dank und alles Gute
Geschwindigkeit
Punkt
Kurve
Krümmung
Physik
Gleichungssystem
Riemannsche Geometrie
Gleichung
Objekt <Kategorie>
Spezielle Funktion
Polynom
Homogenes Polynom
Flächentheorie
Windkanal
Inhalt <Mathematik>
Gebiet <Mathematik>
Struktur <Mathematik>
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Folge <Mathematik>
Approximationstheorie
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Gleichungssystem
Physikalische Theorie
Gradient
Linie
Quadrat
Homogenes Polynom
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Verallgemeinerung
Glättung
Struktur <Mathematik>
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Kurve
Abbildung <Physik>
Kurve
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Strömungswiderstand
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Spitze <Mathematik>
Interpolation
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Ganze Zahl
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Windkanal
Volumen
Geometrie
Polynom
Faktorisierung
Ungleichung
Menge
Exponent
Maximum
Symmetrie
Kurve
Maximum
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Gradient
Linie
Polynom
Faktorisierung
Scheitel <Mathematik>
Mathematik
Menge
Maximum
Maximum
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Ableitung <Topologie>
Gradient
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Ziffer
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Konvexe Hülle
Nummerierung
Gradient
Konstante
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Interpolation
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Maximum
Symmetrie
Vorzeichen <Mathematik>
Rekursion
Verträglichkeit <Mathematik>
Gewichtete Summe
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Polyeder
Kurve
Invarianz
Abbildung <Physik>
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Linie
Richtung
Summe
Menge
Translation <Mathematik>
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
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Konvexer Körper
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Term
Division
Gradient
Wiener-Hopf-Gleichung
Symmetrie
Rekursion
Hyperebene
Punkt
Ableitung <Topologie>
Konvexität
Funktion <Mathematik>
Kurve
Exponent
Abbildung <Physik>
Kurve
Konvexe Hülle
Vektor
Sinusfunktion
Summe
Strecke
Polynom
Interpolation
TVD-Verfahren
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Punkt
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Gewichtete Summe
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Gradient
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Variable
Quadrat
Homogenes Polynom
Ende <Graphentheorie>
Symmetrie
Flächentheorie
Rekursion
Addition
Kreisfläche
Wald <Graphentheorie>
Mathematik
Vektorrechnung
Kurve
Numerische Mathematik
Position
Fläche
Konvexe Hülle
Zahl
Objekt <Kategorie>
Summe
Polynom
Rechenbuch
Menge

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 15: Geometrische Datenverarbeitung & Approximation
Serientitel Differentialgeometrie
Teil 15
Anzahl der Teile 15
Autor Gunesch, Roland
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/36651
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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