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Vorlesung 10: Wiederholung: (Hyperfläche) param. Flächenstück

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I oder mehr okay schönen
zusammen wäre Inhalte über Krümmung ich davon
Kursen soll von Flächen dann hat man schon angefangen und über die Krümmung von Flächen da kann es schon ein paar Dinge was ist und dessen Wirkung von Flächen wie kann die normale kommen geht der gekommen von Kopten auf Flächen und hat comma wird und die Flächen selbst also weiter nun die Flächen selbst schützen um über Flächen das heißt Mühsal Flächen immer auch 1 bis 1 und 1. damit wie solche Dinge wie einen Naval comma und Schnitt kommen und so weiter funktionieren werden das er und die wie die kann noch nicht wir nehmen denn die Weingarten will die wir schon kennen und setzen aus und welches das damit die Fläche zusammen ganz kurz wiederholen von den Dingen die wir schon wissen die weltweit wieder einsetzen können also kurz Wiederholung viermal eine Abbildung 1. nach er hoch 1 plus 1 oder offen und ja auch ein also dass wir den Bürger Hüpfer Flächen das heißt die Dimension des umlegen Raum seines größer ist die Dimension der Menge auf der war definiert sind dann dieser seine reguläre dosierte Fläche sein ich mal so Flächen Stück okay was ist in den Verletzten meine gesehen haben wie kennen die normalen Vektoren und wir kennen die ihr Weingarten Abbildung es gleich und WDR man 1 x die das heißt sie Weingarten Bildung vermisse ich April Ableitung der normale eine Fläche bis auf ein Transport ins karge wie zurück am Handy Normalenvektor und so dass mir immer länger einzahlen ein sollen genügen nicht konstant bleibt okay das ein Ding das er mir das was Anfang zu Schlieren und letzten habe gesehen dass die Weingartner Bildung ein Zusammenhang herstellt zwischen 1. von mental von dass dies den 1. von mental Formen und dienen 2 wirkt daher bei den Ex- und y und man das Skalarprodukt nachdem wir F angewendet haben die X X in der X Y und ich kann dessen Sohn seine Bereich ist Speicher wir Glas außer Definition X Vektoren auch in und die mal Exxon des in Vektoren auch ein Plus 1 und das Gelaber mit spitzen Klammern S 1 auf den umgebenden Raum das ist ja schon längst dass die 1. von Mittal vor dann kam die zweite fundamental vom die bekommen mit der wir die 2. Ableitung von F einsetzen und der Normalenvektor also dazu 2. der und mehr in beliebiger Reihenfolge hier die 2. Ableitung von F 1 Tore von Reindls gelang und sie würden die an eine Reihenfolge und der Zusammenhang zwischen diesen 3 Größen war durch die Tat so dass wenn ich in das dass er erst von Talformen das G 1 S komm das wäre aus also period W X Y gleich die Form es X Y und das obgleich es Y comma Ex dann doch okay dass alles Dinge die wissen schon immer schon ausführlich gesehen heute können wir wissen darum für welche algebraischen Eigenschaften hieß es und welche Eigenschaften erinnern sie deswegen benutzen können so jetzt wissen Sie schon was den an Algebra haben Sie einen eine Abfindung S eine Linie Abbildung von einem wo man sich selbst ein Ende Morfis muss und der ist selbst atomisiert selbst hatte aktiviert es gerade diese gleichen dir steht die von S X comma Y es gleich die von XSS blond wenn Sie das haben dann dann wissen schon den kann man die haben alle sie es gibt der Eigenwerte eine Basis aber Eigenvektoren Sektoren zu diesen einen sehr werden und sie kann es denn in den Terminal vom schreiben das heißt sie haben dann eine Basis in die Sie das Denken er gut vereinfachen könnten und die was weiten und nur noch ein bisschen kümmern und wir Bogens an was dies denn noch ein wenig für Eigenschaften hat also hat kümmern wir uns um die Einlassung Eigenvektoren von diesen S also bekannt im Jahre alt geworden die ja selbst in der Sonne selbst oder werden einmal uns haben dann ist der der wir sie war da sind statt bei dieser Eigenwerte und eine vom fräste die in Dinge die uns heute ganz besonders beschäftigen werden okay dann werden sie ich vorgehen ich würde sagen dass das Ganze was hier kommt ja ich zur Linde 1 1 1 zu reden zu tun hat mit Krümmung von Flächen zur 2 sein denn in 3 haben und von hat gesagt comma von Kursen spielte Erwin ein und der 2. gesehen bei diesem Beispiel des Zylinders den ihn auf durch gestellt haben die Krümmung einer Kurve bei denen das Normalenvektor aus ist gewesen also Änderung das Tantal wird es eine Kurve 10 bis Ende des normalen etwas an die Fläche vielleicht besonnen Vorzeichen sei sein zu haben und der Normalenvektor 3. Einrichtung dann wird sich dir tangential weitere Kurse Meister bis aufs Vorzeichen genau dieselbe Richtung an das mir Wege ein und dasselbe also wenn sie da solche Dinge haben hier ist eben unser Gebiet immer auch ein und da bin das ab auf an den Dingen immer auch ein Plus 1 zum Beispiel sollen Zylinder wie hier mit dieser Abbildung f und da war eine normale fällt wieder dran zu diesem Zweck außen
zeigen dann das immer so wenn die Kurier genommen haben die Kurse ja welche große bestehen mal am besten nämlich die einen die hier langgeht und die auf Sonne comma abgebildet wird und comma wird das wenn sie die ist ein Vektor nehmen und ableiten das Abhören der Tanzsaal Vektoren Richtung von Ihnen wie besser gesehen haben genaue Minister Ableitung von Lügen in Richtung dieser Tanzsaal das war diese von Mittal Eigenschaft speziell für solche Kurven also sagen dann C sprich hinweise möchten das gehobenen es immer dasselbe wie nie Strich in Richtung Zielstrich und so seine Idee Bildung Änderung formen Zielstrich in die Richtung ist plus minus Änderungen von genügen in Strich Richtung okay das Heizen Eigenschaft von Kursen Design schafft und Kursen wendet sie mit diesen Länder ein Wort kann studieren ja und dann versuchen wir die Gründung von Flächen zu verstehen mir meine Art nochmal komme und definieren bisher Gemische die mal kommen von Kursen die das nehmen wir zu sein als Eigenschaft der Fläche und da gibt's die 1. überlegen die machen können dass wir die kommen von Kurden bestimmen dann haben die comma von vielleicht noch dadurch ein durch bestimmt in folgender Weise also ich fange an mit und meine Definition die ich nochmal Krümmung in eine Richtung es ist klar Kappa normalen in Richtung 1 x x das soll jetzt ein die normal kommen der Chor mehr c mit C Strich gleich X oder noch besser die neue Kunde komme C Strich von 0 gleich X unter bitte diesen Punkt auch Lande worden wollen so sagen die kommen verstehen als kommen von Richtungen und nicht als eine Funktion von großen erst mal kann was überlegen hängt die comma einer Fläche sind Ende des normalen etwas ab von der ganzen Chor C oder vielleicht wenn sie nur von der Richtung gab von strich kommt aus den befand sie strich er also sagen als 6. 10. 1 hinsichtlich oder C strikt von Noll helfe ich folgenden Satz Sie uns sagt dass wir das tun können und Müsli das wenn wir im einsetzen die 2. fallende Kurse C und das Gelaber mit mir werden dann ist es eben so sein denn das Ende von Zielstrich ab also das vom ich meine folgt Umsatz man sei er führen eine reguläre parametrisiert das über Flächen Stück dazu der Länge 1 und Sie können 2 davon wendet zum es 1 meinen es gibt immer noch nur mal fällt dass man für diese außer nichts aus unter der gewesen Aussage dass sie noch mal kommen 10 normales C 2 Strich davor mit dann durch die dichte Größe ich schon gegeben ist können C bewogen fantasierte wild von F also dies eine Kurve dann zieht von einem Intervall ins Bild von der von den App von der kommen wir bestimmen wollen und dann behaupte ich dass die kommen diese Kurse schon gegeben ist durch die Geschwindigkeit der Chor C statt der zweite Ableitung und durch Eigenschaften die von der vielleicht abhängen hallo mehr die normal Krümmung jährliche definierte Rektor nicht auf einmal für die Cover klar in normal vielleicht Skalarprodukt anonym und C 2 strich die normale kommend in Richtung genügt schon gegeben deutscher durch was das gegeben durchzieht zweistellig natürlich und die ich sage aufgegeben oder die Zeit arbeiten zu können Zielstrich und in B und die zweite von Mittal Forum und zwar wie etwa durch die folgende Formel nämlich war normalen in Richtung zehnstellig oder vielleicht soll sagen Richtung gar comma dann wenn man so will kann man es auch definieren beziehungsweise X gleich im Gang comma wenn seine Core-Gamer im Promille Gebiet haben also damals von Intervall nach von den Frauen in den der Wahl nach Bild von ja denn dieses Definieren werden so etwas leichter sein müssen so der Wiener mehr Vektoren auch in jede Richtung mehr Einfluss 1 jedenfalls aber die noch kommen diese Kurse oder auch aber nochmal von Umgang comma dann geben als sowie von Gamm comma gab comma wo wollen c gleich nach es kam auf unserer spielt die es dies Gamma dich aus und sie eindeutig bestimmt der meine Unterschiede zwischen 10 Kammer ignorieren dann steht er will sich in das die 2. Ableitung von C in der Richtung ist schon bestimmt durch die erste Ableitung und die Werte der Snap Leitung in der zweiten von Mittal vor also mit einer Worten
wenn die Fläche kennen wenn setzen sich die Fläche kommt und nicht kurze dessen kurzes völlig beliebig wenn sie die
kurze trotten gezwungen sich zu kommen auf eine Weise die der zweiten von mental schon vorgeschrieben ist das wenn sie zur auf des wäre sind das über alle gleich jährlichen gleichkommt da hat jede Kurve dürfte es wäre mein läuft mit Geschwindigkeit 1 die Eigenschaft die muss sich krümmen mit konstanter Geschwindigkeit bei dieser das zuvor gibt es nicht möglich danke an Auslands laufen das heißt egal wie die Kurve gewähltes sollen auf das wäre bleibt diese B diese von Mittal von Schatten wie vor Marco nicht allzu klein sein kann die muss immer eine bestimmte Größe haben das heißt wenn ich mit Geschwindigkeit 1 auf das sehr lange hier sein wird oder länger 1 dann ist er trotzdem ja was gegeben und egal wie kurz die aussieht muss sie noch mal kommen immer eine bestimmte Art haben dürfte sehr dass sie konstant auf dem zu der kommt auf an ob ich in Längsrichtung der in der Symmetrie Richtung oder und den Zielen Dagestan verschiedene Werte aber so oder so gibt mir die von mental Formen an was machen muss offen zu lernen was zum Beispiel so dem denn so mit solchen habe welche der aus anderen Richtung gehen einmal herum den zeigt die zweite Runde von mental vor mit dem keines von es das wir ausweichen können anders direkt und ich gewisserweise kommen müssen und in gewisser Weise die normale comma Mc die muss dann wenn die Kommune zu den darum geht immer nach innen oder außen zeigen und wenn sie darauf und runtergehen beim Zielländer dann ist da die Weingartner Bildung der das dann in ein werden wohl und dann müssen Sie nicht viel ändern gut dass also eine Behauptung die Behauptung sei nicht viel länger als der Beweis und weiß eigentlich dass man nur die 2. Ableitung einsetzt und dann kommt auch schon raus das ist ein relativ simpel also der Beweis ganz kurz wenn die 2. von Fonts nehmen die wollen wir wissen wie es der Name Beziehungen wollt C war erst nach Kamern und das einfach so wenn wir 10 nehmen Gesetz aber diese von einem erst nach Kammer und wenn dann die Ketten Regel an im 1. 4. haben wir dann f d da möchte über die es nach der normalen kann comma und seitdem noch mal ab und steht dem genau dies da die steht legen Seite die 2 F für mich das Obleute mal das sind 1. Beratung des F nach kann mal dann comma und welche nochmal aber darf dann nochmal das Ganze des nachkam comma also habe ich hier die 2. Ableitung mit diesen Sektoren zu sagen länger mal dem Linie mal dem und das in der Richtung und was hier steht ist ja schon die zweite von mental Formen also ungleichen des von gar comma der comma ende des Beweises man kann auch benutzen sollte vielleicht benutzen das der formalen Liebe Vektor x in den Tanzsaal man ist senkrecht offenen okay dieser Satz sagt also dass diese B irgendwas wichtig zu tun hat denn diese besser Eigenschaft von Flächen hat sagt wir 2 Richtung nehmen dann wir kann denn so etwas raus und die sagt uns wir das nicht alleine schaffe der vielleicht irgendwas abstraktes das etwas Konkretes fassen sagt die dich Kurden nahe kommen müssen gehen okay machen ein Beispiel damit dass ich als so abstrakten absurd erst recht normales Skurriles aus für die den Zielen der also Beispiel für es und messen das bei allen algebraische Struktur denn nur und das Bett zu können muss nicht nur dass es keine und das automatisch wenn wir also Folgendes sagen wenn ich es sage F von 2 Kolonnaden mein X und Y immer auch 2 ist ein 3 so was nicht spurlos Ex sie Ex und absehbar das gerade dazu den werden sie um sehen die Konate geht in die senkrechte Linien und Exponaten gehen einmal im Kreis Index ist und eben darum herum wie wir so wie es ausrechnen für dass ein Normalenvektor ein die Fläche sehen Sie schon einmal wirkt an diesen Zylinder na gut den sehen sie natürlich den in der iX ist dann eben da wir Kreis ist es der Kreis einfach der Richtungsvektor umgedreht ja und den der ist tut sich nichts weil welche Normalenvektor nehme zwischen dem inneren neben gleich Min des Großen das Ex ein Minus Sinus wächst und 0 es ist der innere die normalen Hector 4. als annehmen können so passt mir das
ganz gut denn jetzt es ausreichen würde also diese Weingartner würde oder Shepard Berater muss er den hinnehmen und mit der von mir das 1 versehen ich mach mein Vater dem ich das nämlich leichter also den Willen mal B 1 Zusagen Ableitungen der 1. Richtung der oder in x-Richtung wäre gerade an das was Sie hier sehen haben sie nix und das Kohlengas Ex unwohl 0 an den mal E 2 es gleich 0 okay können wir ihr kann wie schon die Eigenvektoren sehen oder ein Wärter zumindest manche der vom des 1 anwenden da konnte ich immer noch 0 aus das weiß ich wie ich mal dass dies es gleich minus der von 1 1 die viel sein Vorzeichen in den eigenen Wert 0 Art also werden und das hier nicht ist der gerade na ja doch nicht dies also das heißt hier hat kann uns es hat Reigen 0 und einen ein Gadgets auch drin diese einzahlen und der Rektor R 1 für den eigenen Sektor ja zu diesem der eigenen dazu ein morgen er den Rechner kurze F aus einer rauszukommen was die Performance eines mit diesem Sektor hier macht kann sagen D 1 wäre dies hier Min 7 6 große Ex und 0 die Zeit wo ich eigentlich kommen aus sollen aber es kann ich auch die 2 R das gleich 0 0 1 und da sehen wir schon die 1 f und wenn mal 1 sind wir das vor genau gleich das heißt ich hier Minus die F mal den X 1 nehme das hieße gleich WDR mal P 1 dann kann daraus die sie und die hier es genau dasselbe X minus 1 und anders ausgedrückt wenn hier dass der vom IS 1 hier drüber tun dann werden bekomme ich das es ein eigen 1 und eigen Vektor die Oma 0 wird Eigenvektoren E 2 schaffen okay und es ist sogar so dass es entspricht diese Matrix 1 0 0 0 also der wir sehen kann so so so dass der neugestaltet und die Sektoren drauf sind und das noch gar die Hauptrichtungen soll solche nicht ganz so viele der war betreiben was als Beispiel nehmen um Folgendes zu Syrien es gibt da 2 Richtungen und diese Richtung sondern die speziell also sie die Eigenvektoren von es sind und bei dann die die die kommen und gerade schöne Dinge tut Projekt haben der also sage zwar Lorz folgenden Satz werden er
Ex und y wenn sich mal vor Sie damit es verschiedene Eigenvektoren der in dieser Abbildung S und die sind zu verstehen ein werden einen worden sind und dann Geld der eigenen das senkrecht zum anderen bezüglich kann die also das heißt die von X Wechsel an es gleich 0 mit einer war das schon mal erst Aussage wird solche Krons Richtung angucken die vielleicht Kunst in einer Richtung in weisen eine andere Richtung an anderen Weise und diese Richtung die warme gleich wieder infizieren diese Eigenvektoren Ingeborg Flechtenarten erstmal stellen fest dass für vieles Eigenvektoren gilt wenn wir 2 verschiedene haben zu ein werden außerdem Nager wissen schon 2 verschiedene Eigenvektoren zwischen eigenen werden 10 Länder unabhängig hier wird sogar noch mehr diese nicht nur unabhängig diesen sogar Orthogen bis sich diesen gehen und wieso ist das so weil ich Eigenwerte Land 1 2 habe und ich weiß jetzt das S x x gleich Lander und es ein y die gleiche Mühe weil y Lander ungleich bemühen Element ja Herr Brille zahlen komplexe Zahlen der in dieser sogar L aber ich habe das mal so in damit ich keine Gedanken machen muss dann folgt sofort das eine das kann jeder ein Welt einsetzen und habe deswegen das mehr das Lamm da mal in die Vollen X und y es durch das Land hinein und keine 10 Scheiben G von SX comma zu und das gleich die Formen XSS waren denn dieses es ist ja selbst bei den hier das heißt ganz von 1 Seite auf die andere über tragen und das wiederum gleich werden Sie mal in die fahren XY also Landtag lief ungleich mehr von diesen erschlagen und das heiße kürzen bekomme ich die fahren XY gleich 0 ob der Namen da gleich 0 in der recht elementar Sachverhalt zeigt er schon was besonders das deshalb dieses es ist nicht deine und eine beliebige in der Abbildung dass eine Abbildung vor die Eigenvektoren im werden besonders Struktur haben die Sahne senkrecht und aus ist das Ding hier und alle sie aber das ist kein sozusagen auf die Diagonale hat ein schreiben und eigene alle senkrecht aufeinander das Festival als Satz formulieren weil starke vor überhaupt als das was hier steht es gibt eine Basis die besteht aus Eigenvektoren gehen keine Worte normal was ist doch Corolla Daten wir nochmal Satz es hat eine oder eine aus Eigenvektoren die wo ein Weg ist heute mal Basis ist ja Zusagen Folgerung Sie ganz klar wir wollen alle beweist 1. selbst optimiert Schmuck ansonsten die vor worden den Weißabgleich im Prinzip schon komplett gesagt es gibt eine Basis weil Setzer tendiert er Moves muss ist die Was ist der Gemeinde sie aber aus diesem Grund ist ja schon mal an was aus eigenen Sektoren unter die ein von verschieden sind dann sind die natürlich sie die einmal und unsinnig und in einem Raum wurde Eigenwald Eiche ist na gut da kann ich endlich nach Belieben Vektoren aus wenn diese passt zum Beispiel senkrecht ok das heißt ja mit sagen wie Lehrer immer Shutout gut verstanden und war dass es wieder ein genetisches Wissen zurückübersetzen und das eigentliche um die Haupt- oder der alten Fahrradschaltungen nämlich diese Richtungen diese Eigenvektoren und diese Eigenwerte der zu gehören denn ich schütze den Namen und mit dem befassen uns etwas genau bei der Definition ja wenn Bezeichnung und die Eigenwerte und es Gesundheit sich Eigenwert von erst des jetzt Haupts Krümmungen die Eigenvektoren auf Kunstrichtungen denn diese beiden Konzepte out kommen für die Eigenwerte Outcomes Richtung für die eine Welt die Kölner dich zusammen die waren ein bisschen genau verstehen dass nur sagen die Objekte die uns dann zentral interessieren das noch gar die Dinge die da vielleicht richtig beschreiben das heißt an jedem Punkt B und Punkt er von T auf der Fläche der gibt eine Basis tangentiale uns die besteht aus Vektoren die Sektor dann die Eigenvektoren alle senkrecht ein aus normal was ist und die Kommunen nochmal kommen in diese Richtung hier alle verschiedene Werte oder gleiche gehen wann solche Rollen auf und die kann man dann versuchen zu verstehen haben ja das sagen die Dinge die die wirklich als spannend sind um mal ein Beispiel Beispiel zeigen Flächen im er auch 3 dem mal 2 kommen also 2 eigene werte und mich eine bestimmte Einrichtung haben denn manche meine Ebene oder einen die ist diesen bislang weltweit einen alle Abkommen und sind euch dann am Leben weckt nehmen immer geblieben Richtung und stelle fest in jeder für diese Richtung Hersteller einen damals Krümmung es reicht aber schon die normal comma längst dieser was ist diese 2 Vektoren zu kennen mit
dem Stichwort kommen auch in Einrichtungen und anders gesagt nehmen wir an Sie ob Kommunen ab Kunstrichtungen ein jede Form der einmal bestimmt hänge von der Fläche aber nicht an welchen Kursen den kann die Zukunft liebe Kurven ankucken und Sie sagen welche ziehe Hauptgebiet nochmal comma Codelco bestimmen will die nämlich einfach nur die Kommunen in diesem bestimmten Richtung und mit diesem in bisschen alle Bewohner im Tal gewor- kann ich eine Kommode Corvo in normalen Richtung schon vorher sagen diese wie von der Fläche bestimmt kann das so sagen die wichtige Sache einigen können auch ankommt was in wie im man des Landes zum Beispiel können uns fragen bei dem 2. war das jetzt eben 2 spezielle Richtung hat comma ein Top kommen 2 wenn Sie jetzt mal fragen wie man sie am eine Fläche und die Fläche hat die Eigenschaft an einem bestimmten Punkt ist die Haupt kommen in eine Richtung einen Einrichtung hatten Eigenwert 7 in einer Richtung senkrecht dazu ohne Abkommens Richtung an den Einsatz und 5 wiesen dann die Haupt kommen in Läden an Einrichtungen die nur dazwischenliegen also hier 7 ist 5 und welche oder zwischen die was kann daraus keine jeder das seine rauskommen und musste in die im zwischen diesen beiden Zahlen liegen und wieder zwischen den Jahren interpoliert oder wie muss das gehen wenn dies weil das jetzt 2 Posi- weil sie der sich an ein den dessen Einrichtung soll kommt nicht recht stark kommen 7 der etwas weniger stark comma KfW 5 aber auch noch so ein bisschen heraus oder diese weil er dazu in und hier Zeichen sie gehen nicht in diese Richtung vor die Hand kommen 7 ist und ich denn diese wo sie gerade 5. sondern in einer Richtung dazwischen können Sie sagen darüber wie die aussehen soll das ganz natürlich denn der das so sagen die dies mit den comma dass nicht alle Länder Abbildung der Solinger werde es dann einfach interpolieren aber bekommen wir die nicht im ja wenn wir sie vorwärtsgehen und rückwärtsgehen konnte das selbe raus wenn die Funktion des nicht länger dies bestenfalls quadratisch wenn sozusagen vor rückwärtsgehen habe sie denselben wert und den Einrichtungen sehr irgendeinen sagt und wenn sie diese Funktion ansehen die mal Grund hat Ja gesagt Kaplan einmal ist B von dem comma M 1 comma während das als quadratische Form also bei den wissen Sie schon der Beginn Einrichtung maximal sind die andere minimal der quadratischen Formen des so einrichte maximal werden wenn sie der Rückrichtung Minis vor auch maximal okay wenn sie es denn eines Kreis eingeweiht alle Richtungen immer auch 2 wie viele sie was alle Funktionen oder viele warten Sie mindestens höchstens süsslich müssen schweren wenn Sie sagen ja es gibt 2 kritische Punkte wenn sie um 1 maximal haben eine von Minimum da wir die als wenn sie aber Max haben sie automatisch an wo die kleinen also Minimum also 2 kritische Punkte haben Sie wo und wenn die Funktion jetzt die Eigenschaft hat für dieses Max und ihren Gesang Maximum an der gegenüberliegenden stellen da haben Sie auch der zwischen 2 Mengen an und wir waren Sie so ein paar kritische Punkte Waxman Minimaldistanz Extrempunkte und dies scheinen die was mit dieser comma zu tun haben bitte 1 bis 1 7 ist das an 5 ist dazwischen vielleicht irgendwas interpoliert ist vielleicht doch nicht immer in der Tat kommt genau das aus in allen anderen Richtungen ist was dazwischen liegt die comma die sie brauchen und ganz kurz oder Exkursion zu quadratischen Formen vor also Bemerkung was eine Qual wollen das einfach so an den also Q von mal x gleich bleibender Quadrat Co von Ex dass eine quadratische Form und das beste Beispiel sind so was wie diese Bilder oben eine Binärform vom richten tragen dasselbe Einsätze also zum Beispiel Q von Ex gleich in W von X Ex so sind so häufig dass ein sie zweimal dasselbe Argument in einem wie jener Sache einsetzen das ist sie nicht mehr länger nur in diesem Argument sondern zu sagen quadratisch im Argument und wenn das nur so generell eine Bemerkung und im zu Ende mehr darüber ist eine dem Jahr vor auf dem wir sagen weil auch 2 und auf der A 1 hat es wäre immer auch 2 es geht um eine maximale Richtung eine andere Richtung maximale Steigung nur ungern richte müsst ich maximales abfallende so rückwärtsgehen und die eigenen sagte jemand in die steigen an also noch mal Sündenfall kann das Schiff Formen dem also werden quadratische Form auf dem er auch 2 ist hat also auf dem Einheitskreis S 1 gleich die Menge aller Vektoren X wenn er auch 2 so dass die Länge gleich 1 ist wie soll ich es lägen mit diesem oder übernommen alles egal ich wandere allgemeine Bemerkung über beliebe Rollen mit Normen vielleicht Skalarprodukt dass er im Allgemeinen 2 Maxima und 2 minimal okay und den Richtung der zwischen alles kann kann das Maximum Minimum übereinstimmen dass die Funktion Q konstant zwischen Q gleich 0 gefüllt was ansonsten geht das wenn Sie X Minis Ex einsetzen konnte sich das selbe raus also an wir wegen Q von minus 6 gleich Ko Phoenix das Donnerstag jetzt quadratische Form von den Jahren Abbildung Sonne in das solchen kann sie nicht ziehen dass man solche müssen Sie mit dem Quadrat aussehen also kein plus 1 raus müssen das geht dann weg wir haben ist für jedes das
Maximum x 0 Frau hat minus 6 0 das Maximum oder er kann mag sozusagen und analog Vernehmung okay Endes Exkurse über quadratische Form das heißt wenn wir den Einheitskreis kennzeichnen hier meinetwegen S 1 der auch 2 und wenn ich den sagte drauf Zeichen will Max war man mit mitbestimmen Vorhaben hieß meinetwegen Exxon wollen und zum Maximum das Ziel kommt solange jedes der maximal aus und wenn Sie ein Minimum haben wollen zum Beispiel in diesem Fall wird sein eine senkrechte Richtung sein haben Sie hier hier das Maximum Ko Max im Siku maximal und werden Sie Cumin und es kommt also aus dieser Richtung sind sogar senkrecht aufeinander es gibt dann Einsatz im Sack genau das das wenn sie 2 Richtungen her kennen die Abkommens Richtung sind und die eigenen Werte den bliebe liegen Welten dazwischen einfach durch auf 1 und die er ist bestimmen also da dann sind es allgemein mit Kursen aus und sie aus also immer man Beispielen ein Beispiel Kunstrichtungen auf wir haben Zylinder ein 1 zu den alle wissen es schon der und wir 2 Richtungen Eigenwerte von S die eigene von es waren gerade die tangentiale Richtung an die Symmetrieachse und also in diesem Betrieb gerade und die andere also wenn Sie das jetzt so betrachten also es die 1 gleich die einst es gebe 2 gleich 0 dass eines unserer Eigenwerte oder hießen Eigenwerte 1 zu 0 und diesen die Eigenvektoren in zurzeit habe ich immer die Weingarten okay Netz kann man so sagen abstrakte zuliebe rechne ich aus auch welchen was also rauskommt weil das Geld für werden x das gleiche ich habe meine Liebe geweckt Ex-Mann keine als je nach Nation von D 1 und D 2 schreiben und ich nehme an dass Sie eine weckte der Länge 1 Cosinus Alfa mal E 1 2 ein beliebiger eine 2. in 2 eben also innerhalb der auch 2 ist 8 und dann gilt das die noch kommen und über ausreichend Kapern nochmal von X das was das ist den Funktionen von Alfa den Zusagen wie von Altvater und es wird so sein wenn alle gleich 0 ist dann kommt 1. recht aus damit das 1 zu 1 nein Vergleich 90 Grad oder die halbe ist es dass wir damit soll sein und das wird das herauskommen wird er wird seinen gerade Kursen aus Halver zum Quadrat also umwerfend wir das bei solchen Rechnung und ja das so sagen kann man kann wird sie uns aber Aufgabe ausreichendes wenn wir so sagen diesen Sektor hier in es einsetzen vielleicht nicht sinnvoll diese 2. 3 Zeilen sind gerade noch gut genug dafür nein für wolle so sagen die wir sehen dass wir rauskommen wenn es einsetzen normalen kommen sollte er das Gelabere bilden und so weiter und so fort jedenfalls wenn wir diesen Ausdruck hier von nix indes einsetzen geht mir dann dieses hier das würde stehen bleiben zitiert mir dies hier hätte und es kommt aus der vielleicht mal vor und normale von Ex die rechnen sowas aus zum Beispiel in dem es in die der zweite von Mittal vom einsetzt was Satz von von Foren B X X der wie ich mich jetzt weit von Vormittag von außen muss immer auch wenn wir sagen zum Beispiel nämlich das ginge und dass es wie von X comma zu der die von S X comma Y berichtet sie und wollen so rein es Ex und das ist bis auf das im bis auf einen gerade das Skalarprodukt von den dicken hier stehen ja ist denn ich hatte ja so sein dass dann Unterstellung die Kunden vom zu lernen mitnehmen würde wir kommt die dann raus es war S x x es gerade Kursus alpha X E 1 und der haben ich kann das der Frauen entscheiden gleich cos alpha er ist der der zweite Term dass es den eigenen weckte zu meinen werden würde verständlicherweise S 6 das heißt ich jetzt hier F anwende kommt die gerade zu sagen das aus muss er das Grab und nehmen von diesem Ding hier und denn was hier steht und der geht das Skalarprodukt gerade Kurses Alfa Quadrat und Zungen allgemein Ansatz den ich zahle lieber in ein Werk von heitere D1-Netz Wein und endlich eine wird und den ich gerade 1 zu 0 sind König mit diesen Kursus Quadrat und von dort die Berliner Nationen bilden ok ich würde gar nicht so konkret speziell von und Zylinder was sagen dass das nur ein Beispiel sonnig weiß was allgemeiner aber diese Hauptgruppen und Hongkongs Richtungen sagen und das nämlich ein Ding das das das Ende von Mittal wichtig ist wir wollen sowie Fragen wurde gleich dieser Haupt Kunstrichtungen über die Fläche kennen der schon bestimmte vor und wir sehen eine bestimmte Form wie können wir sehen in welchen Richtung gerade die die Eigenvektoren Formen von es liegen sie kümmern wie die ist es die mich Objekt ansehen und verstehen wie da kann dies denn auch sieht das so sagen die die Aufgabe und da helfen folgender Satz
alle von Maria aber die einst geredet oben sind es noch dazu gesagt okay gibts wie Maxima und Minima und Komax und kommen dass wie gerade die Haupt- comma wären also zunächst Abkommens Richtungen und die Werte von Kursen glaubt Kommunen ich warte mal so wie es dasteht wird auch mal gemein sein irgendwelche habe blieben Dimension Dimension N über Fläche und eine und dann will ich die Haupt kommen suchen sollst Werte Abkommens Richtungen als Sektoren den kann ich genauso gut vor bis war nicht gern ein period P und R 5 auf der Fläche und guckt dann Einrichtungen ob dann in die in diese Richtung längs dieses wäre die diese Funktion noch mal kommen diese Richtung Kanada Extremum hat Maximum Minimum oder soll es einen kritischen Punkt und Schwarte jeder kritische period dieser Funktion nochmal Krümmung auf 1 Zelle sind das die eigene Sektoren Eigenwerte die zu zu S gehören mit aber nicht nur dies gemäß Objekt verstehen also Einrichtungen kenne China Malcom Munk dann kann ich auch dieses hieß es vollkommen dass die Umkehrung von dem was wir schon wissen wir wissen schon für das es gehen soll smartes oder was der auch die eigenen Werte und die könne dann er gewaschen stimme ich ward es gehe darum wird wenn sie nur diese er die Funktionen die Nummer comma als Funktion des Vektors auskennen in jeder Richtung dann kennen sie auch S und alles was so zur Fläche dazu gehört alle Satz sehen sollte man für so formulieren das Platz und wenn er wie wird das Stück ist wie immer und zwar was ich magere und so weiter alles so wie Sie die ebenso kennen keine besonderen mehr das Sonne Eigenschaften und so was nicht und wir mal weg da fällt und so weiter wird fort dann sind die Geld die die 1 6 und Waldbeeren meint Sohn ich glaube jetzt folgendes die Haupt uns der extremer dazu des kritischen Punkte entsprechen genau diesen einen von 1. Outcomes so und sind genau vor aber normal auf der das wäre werden ja und wusste Ausgabe normalisiert und in allen Richtungen einnahm period und auf das wäre die härteste sein die man so eines weniger für dieses dies wäre in der zu sein die alle Richtungen ja angibt richten wenn Allah X so das Geld der Länge von Ex gleich 1 geht es ja 2 verschiedene Dinge des ist Anlage barsches Objekt Eigenvektoren von an welchen Apparaturen und das ist ein Gemälde das Objekt und eine Funktion die es bis vor geben und die hat auch welche maximal mir niemand sonst jede kritische Punkte und schaute die einen den 1. 3 leicht an den andern denn das was die ist das eine aber ich gehe ist das andere ok dann man sich zusammen so dass wäre vor auf der Fläche und dann die Funktionen Kappa so als wäre ein Waldfunktionen einsehen dickere dann also weiter dann können sie bei ihrem Maximum so wird also zwar schon allergrößten wird globalen Maximum das schon mal einen Eigen- Vektor von S nach diesem Satz und der Saal schon mal definiert das globale Minimum nehmen wenn Sie auch einen Eigenwert und ein ein Vektor von S wann haben Sie das auch schon gefunden wie man so 2 wenn Saab schon fertig in Dimensionen wir müssen da vielleicht noch weitere kritische Punkte gehen Sie laut klar dass das ziemlich mächtig der der Satz sollen mit einer Rechnung da müssen jetzt wäre sein rechnen aber die Ortung selbst Dienste ein mich ziemlich beeindruckend okay und bis zu rechnen müssen noch ein paar Dinge erinnern dieser ich schon kenne Ausländer ein war sie müsse ihren das Kriterium von der Anschlag ausschmückt Ligaturen und vielleicht mir dies wäre normal als für den eine Funktion schreiben wir das gut gebrauchen können also sagen Beweise im weiß gehen wir so gefreut vor wir sagen einfach die Seele man sie nicht an als eine Menge von Punkten sollen wir sagen wir die Funktion eines oder war das Quadrat und dieser das auf der Funktion war das Quadrat genau die die Menge wo die wurde Sat.1 angenommen wird ja sich keiner sagen dies wäre als Funktion fortsetzen in radialer Richtung uns die aber diese Funktion seinen normalen an dies wäre und das haben den Vorteil dass dann so das Lager Studium an den Kragen also gibt es wäre hier warten stippte mal Namensfeste sich oder oder ich sagen wir dies das wäre noch ist oder die Menge H hoch minus 1 von 1 dafür ja fast nicht wir diese Norm das Material nicht aus für Avonex gleich noch nix Quadrat ich manche sage welches errechnen wird sich die oder der andere nicht nur weil dieser auf der Fläche das dann wir sagen man schöne Hinweise die das heißt ich diese Funktion habe 9 Quadrat es ist wirklich einfallen dienen zwar zur zum Sat.1 okay welche welche die kritischen Punkte des wäre dann muss hier sage ich Devonshire die ganz sagen wir Ableitungen oder raus und die Kirche Punkten gaben nach also die kritische Punkte dies hier sind gerade die der vollen nach diesem Satz von Lager und der eine gerade das gleicht dem andere gravierend mal einen vielfachen wenn wir das doch also dann gilt also gilt oder Satz mein Mann den den Satz verlagern steht über überdeckt von Multiplikatoren die kritischen Punkte also wenn wächst kritischer Punkt ist das erfüllt dann und nur dann das der gravierend diese Funktionen Haar es gleich der Gradient von diese Funktion hätt ich hier sehen will seine das Kapernaum von X vielleicht Evonik 6
Kurt Kapfer normalen mal an der Konzern sich Lacan'schen Wildcard und den will ich das mal hier ein Lander okay und diese gleich welches mir bisschen angucken wenn ich der forcieren und sehen was also herauskommt das ist ja gerade gerade von wie von er ist frische zusammen und Argumente drin period wollten finde jetzt sagen dass Einsätze der Städte B comma von X comma bis ich dann davon ziehen okay also dass die
welches das Abkommen Weise betrachten ich das den gravierenden X E 1 nehmen habe ich genau die Ableitung in der R 1 Richtung zu es wird also zum Stehen die Kapern nach des wie die Funktion ich nenne sie mal mit Kapern ich habe beim Shoppen immer eine Funktion der Täter oder so was nämlich weniger schreiben muss also die kann jetzt schon mal raus komponentenweise einsetzen er gibt Lander mal die gleich Lahm gleich des I von diese Funktion Täter und dessen sind die aber in diese Funktion einig auch gleich also sagen werden wie eh und die Täter und das milde weniger dieselbe Sache der dich werden wollten einfach so übernehmen dazu sagen dass das erste Argument mit dem Lager schon die Schollen-Piccata die welche Beziehungen zwischen Ableitungen von Kapfer in Richtung oder Fälle von an Einrichtungen hergestellt und jetzt nächste führt über ich hier befand sich dann Sonderfunktionen wie von X 6 nach x oder der XI also das Geld Täter von X die gleichen Reformen X X ist das unter kann einmal brauchen wie der von Tierpark und den nach dem Argument die davon sieht man das noch E 1 dann ist haben und die Ableitung des nach DE gekommen den der Täter der von den Herren gleich im ich kann obgleich das G einsetzen vielleicht das Skalarprodukt und wenn man sonst genau wurde er halten müssen da nochmals auf dieselbe Weise mir der forcierten 1. Faktoren und dem zweiten unter agierten die beiden Terme also der mich hier sein D I X comma X los geht SX comma und des viel ja es ist eine gute Zeit dieses davonziehen so als die des Limes und haben Denkens und so weiter zu schreiben dann kann nämlich heraus für das richtig machen das das ist ein Baum eine beim anderen kommt es auf das Erz Melville selber raus als 1. Anlagen dann mal die Haare ohne diese Stelle kommt es nur außer etwas Rechnungen werden die von FCX X Zusagen zweimal nein der Konzern also kurze Rechnung ergibt ja X gleich Lander mal Ex sagen wir wenn sie davon
zieren den sieht eine Funktion davonziehen dann kommt der so sie die von XX alles ist jeder G von XX dass der von ziehen Sie dann bekommen Sie 2 Made die von X abladen und X also dass ich es so sagen Ableitung von aber nebenbei geschrieben habe die abgeleitet 2 g formen X hyphen das also die Standardprodukt Regeln und wenn sie dies er diese Täter ableiten dann kommt raus aber der Täter comma von Ex gleich 2 g formen X ja durch wenn wir das dann so richtig einsetzen und das Land der vorsetzen kommt aus dies S ist gleich Landammann X und haben 7 Eigenwert Gleichungen die hier steht und das ist denn gerade dass die Eigenwerte davon die Lösung hiervon die kritischen Punkte sind gerade die die Sache die dieser Film und so dass dies dieser griff Raubkunst welchen ist und so die Krönung ist okay seine Weise müssen kurzgefasst diese Stelle muss mal ich hier noch 2 1 2 Zahlen distanzieren um zu sehen dass auch schön herauskommt okay das alles sein diese Hongkongs Richtung kurze Frage wieviele Hauptturmes Richtung gibt in wie viel Haupt kommen gibt es den zwar schwarz-weißen Waldflächen im Jahr 3 gibt also genau 2 zwar Kunstrichtungen zwar Kommunen mich über gleich im Allgemeinen so die kommen verschiedene das den Direktoren dann senkrecht aufeinander an welche Dimensionen der jetzt n für diesen Abkommen oder Kunstrichtungen und aus diesem N Größen definieren jetzt mal 2 besonders wichtige Größen die sonst umtreiben sei das Produkt das gerade die Geräusche kommen und die in der Mitte der die so genannte normalen kommen dass nun 2 Dinge die brauchen alles über das andere schaffen als Definition kurzen und Eigenschaften Zechner noch genauere die Definition die daraus kann von F körpereigenes 1 geworden Walker vor allen zu sagen alles Funktionen von P die weniger auskommen Xe sagen also einen B oder vielen period wobei aber 1 es gab ein die Hauptgruppen sind hatte der den Sohn Produkt verlesen werden ist die Gauß Compaq 2. Definition ihn mal comma oder die mehr mehr mittlere Krümmung bis zu haben während diesen denken wir mal einen Namen geben liegt aus comma ist meist groß K und die Mitwirkung hat meines Rechners groß Haar vielleicht 1 durch einmal so die gleich 1 bis aber i und wenn Sie so wollen von P ja fernsehen wer sich in diese Kommunen vom period ab das hängt auch an und das Jahr Großkhan von Vieh ab okay 2 7 4 2 2 kommen zum Beispiel einer Fläche Dimension 2 haben Sie Kappa 1 sind aber 2 zehnmal also das Produkt habe 1 x Kaffee 2. Sieg Ausgründung Kappe 1 plus comma 2 halbe dass die mal kommen diese Dinge sind deswegen wichtig wenn ich die Chorknaben ändern dass es ändern wir zwar schon gesehen dass es dass wir dann endlich dran zu mir das heißt ein bleiben gleich und wenn Sie die normale umdrehen wenn sich vielleicht bei jedem Kappe war das Vorzeichen aber diesen K Produkt von 2 wird es Vorzeichen wenngleich das heißt richtig beschaffen diesen größten kann es schon mal überlegen es vielleicht weiß noch formalen Weise will importierte weiß ganz einfach nicht kann jetzt schon sagen es kommt aus diese Größen Kapfer oder groß eine gewisse also große deren Eigenschaften sie die Fläche bewegen oder und fantasieren den kann dieselben Kommunen Law also dass es ändert sich diese die IS ändern sich an die Kommunen die bleiben gleich wenn das nicht ändern dann der in der sich alle Kapers zumindest Kaffer und bei der Graben Dimension für auf dem die daraus comma Mc bleiben fest die größten diesjährig stehen dieses K und dies war diese sagen besser sie an einem größten weil die er gleich bleiben wenn man der vielleicht etwas was ändern und die beiden Wahlen in Folge noch genau studieren also speziell für Flächen Dimension 2 K besonders wichtig auskommen kann die die Struktur Fläche sagen fast komplett okay und das was zu diesem Commons den 4. waren bis zum nächsten Mal hallo 1 2. daher
Mathematische Größe
Zusammenhang <Mathematik>
Zylinder
Algebra
Mathematik
Differentialgeometrie
Richtung
Linie
Homogenes Polynom
Flächentheorie
Vorzeichen <Mathematik>
Eigenwert
Inhalt <Mathematik>
Geometrie
Ableitung <Topologie>
Bogen <Mathematik>
Vektorrechnung
Kurve
Krümmung
Abbildung <Physik>
Fläche
Eigenvektor
Skalarprodukt
Menge
Schnitt <Mathematik>
Normalvektor
Gebiet <Mathematik>
Geschwindigkeit
Länge
Punkt
Vektorrechnung
Kurve
Krümmung
Kurve
Fläche
Gravitationsgesetz
Vektor
Richtung
Skalarprodukt
Flächentheorie
Gebiet <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Promille
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Geschwindigkeit
Kreis
Matrizenmultiplikation
Kurve
Extrempunkt
Zylinder
Fläche
Normale
Vektor
Eigenvektor
Richtung
Linie
Sinusfunktion
Index
Algebraische Struktur
Rechenbuch
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Symmetrie
Flächentheorie
Rundung
Normalvektor
Ableitung <Topologie>
Ebene
Punkt
Vektorrechnung
Krümmung
Rollbewegung
Abbildung <Physik>
Fläche
Scheibe
Eigenvektor
Richtung
Objekt <Kategorie>
Komplexe Ebene
Homogenes Polynom
Eigenwert
Flächentheorie
Diagonale <Geometrie>
Kreis
Länge
Krümmung
Punkt
Zylinder
Rollbewegung
Extrempunkt
Binäre Form
Maximum
Norm <Mathematik>
Term
Gradient
Richtung
Quadrat
Ende <Graphentheorie>
Homogenes Polynom
Eigenwert
Minimum
Einheitskreis
Funktion <Mathematik>
Wald <Graphentheorie>
Vektorrechnung
Kurve
Abbildung <Physik>
Fläche
Quadratische Form
Eigenvektor
Zahl
Kritischer Punkt
Quadratischer Raum
Skalarprodukt
Menge
Maximum
Parametersystem
Länge
Punkt
Vektorrechnung
Extrempunkt
Krümmung
Fläche
Maximum
Vektor
Eigenvektor
Multiplikator
Richtung
Gradient
Dimension n
Sphäre
Kritischer Punkt
Quadrat
Menge
Eigenwert
Minimum
Umkehrung <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Faktorisierung
Fläche
Gleichungssystem
Mittlere Krümmung
Term
Gesetz <Physik>
Zahl
Richtung
Skalarprodukt
Kritischer Punkt
Rechenbuch
Eigenwert
Vorzeichen <Mathematik>
Haar-Integral
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 10: Wiederholung: (Hyperfläche) param. Flächenstück
Serientitel Differentialgeometrie
Teil 10
Anzahl der Teile 15
Autor Gunesch, Roland
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/36623
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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