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Vorlesung 07: Flächentheorie I

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so genau präsentieren und immer so seine Haftstrafe Lernmaterialien an der TU Darmstadt ja
einen wunderschönen gemeinsamen zusammen Willkommen zurück zu der von seinen Trieben der Plan für heute und die nächsten Vorlesungen ist wie folgt bis jetzt damals mit Com Theorie befasst Dinge die durch eine auch eingehen und deren Eigenschaften und die verstehen jetzt gut wir verstehen Eigenschaften wie Hauptsätze das Eis zugeben anfangs auch mit eine bestimmte Kurve die verstehen Rene Daten wir verstehen wie man aus diversen Ableitung der Kurve die comma untersuchen und so weiter bestimmt und soll und das Kind alles gut und ab heute machen wir etwas für die mehr als 7 was mit Flächen Flächen Dimension 2 immer auch 3 vielleicht von und auch einen Flächen von Dimensionen N in immer auch und General solche Dinge wo sein würde man so das Objekt haben das Namen noch würde man seine Raum wenn wir eingebettet ist oder so etwas in dieser Art geben es geht los mit auf Definitionen und ich sage war Analogien zu Flächen Theorie also vielleicht Theorien kommt über diesen manchmal ähnlich und manche auch verschieben kann also die Formel wenig komplizierter und weil dies so ist welchen einfach noch so ein paar Dinge aus der Analysis 1 2 1 3 wiederholen die sie eigentlich schon kennen über das distanzieren würde sagen rollendes Guardian und so weiter und den Umgang mit einem ein klein wenig in der Algebra okay legen los und Beifall bevor es zu den formalen den geht verrechnen Fallbeispiel gar nicht zeigen Farbflächen von den 7 vermeintlich schon kennen mich vielleicht doch noch nicht und dann gucken uns mal an was das wir wir so beschreiben können also Beispiele für Flächen die Definition folgt dem Beispiel weil es immer so sondern dies das Ende die dessen zum so anpassen muss oder so machen muss dass die Dinge die man verstehen möchte die Beispiele über verstehen möchte dass die gerade gut haben werden so ein Beispiel dass sie alle kennen ist dies wäre zum Beispiel die 2 ist wäre es 2 ist eine Menge von ja auch 3 und das weiß natürlich gleich wie sie längst wissen die Menge aller 6 1 x 2 x 3 so das Geld X 1 Quadrat plus x 2 Quadrat plus x 3 Quadrat gleich 1 gute Frauen kann alles schon längst am zwar das genetische Objekt ansehen so das wäre es dann sollen den das so von außen gesehen so hier wir die äußere Silhouette hier irgendwo ein Äquator Zeichner letzte nur gibt obwohl und Moritz einen Südpol und das den ist dann sozusagen in der Darstellung der 2. so wäre 1. Frage einfachste Frage diesen wichtigen mathematisch beschreiben als Gleichung Wir können es tun das implizit das heißt wir sagen nicht welche Kundendaten da drin sind so nicht sollen wir sagen gegeben eintreten fahren Kurden Daten diese Bedingungen scheidet auf wäre ist oder eben nicht wir wollen folgende Dinge immer explizit haben dass es wollen darstellen haben wo wächst sich das sagen können hinab Funktion von der Zeit oder von irgendwas und das machen wir so wir wollen wir wollen gerne eine Fliesen kommen Daten zum Beispiel die letzte als vom sondern schreiben geht das in diesem Fall und Sie sollen sagen wie sich geht das nicht denn wenn wir hier die Echsen obsoleter betrachten da gibt immer 2 ausrichten und 2 Zeitwerte oder X 3 Werte für das mit dem Konzept der Funktion comma schon nicht hin und wenn ich etwas geringfügig ein für alle Mal das Lokal haben frisieren und sie werden sagen werden so kleine Stücke um den Nordpol darum vielleicht ein großes Stück können Waldfunktionen schreiben ich habe mir Südpol und können als Funktion schreiben und ein Stück um diesen Teil hier um wo es gerade senkrecht steht können auch als Funktion schreiben muss die Funktion der nicht 1 von X und Y oder x 1 x 2 nach X 3 soll vielleicht von diesem Kornaten der senkrechten und diese hier in diese Koordinate oder so was dieser Art und das verbesserte also Bescheid mit dem Konzept der haben Dosierung versierten Fläche und was so dazugehört aber unter weil wir schon paar mehr Flächen kennen die wollen uns dann wollte dich was dem Unfall Dinge die wir schon kennen noch mal zu betrachten also das zu sagen dies wäre eben was was ich auch keines der Toros zum Beispiel ja auf 3 und vorgetragen gesanglich fielen auch viele verschiedene die nichts gleich aussehen aber ich denke dann sollen denn das so ein Autoreifen ich jetzt mal auf die Seite und das werden sollen die Gebilde also zeichnen ein Makel Tisch Torus und der TuS es Eigenschaft ich mal meine Frage Kundendaten Linien sehen sich schon ein paar von den Dingen die gleich kommen werden ständig formal den Haufen Kreise orangefarbene Kreise die so aussehen diese Zangen diese Einrichtung umgehen der die dann auch in die weiter und blaue Kreise die so herumgehen okay sie glaube sie sehen für was gemeint ist dann sehen wir diesen muss schon etwas das gleich gebrauchen können und diese musste sehen sozusagen 2 Arten von Kundendaten Linien sowie sie nennen auch 2 die Sterne Kornaten Linien außer vielleicht dass wenn wir nicht mehr um das Gebilde wickeln das heißt wenn Sie diese dieses Gebilde aus blauen und oranischen Linien vergrößern und so kleine Stücke ansehen dann würden wir sehen Sie einen kleinen Ausschnitt diese Stücke hier das sieht irgendwie aus wie Holzenthal und sie hat gerade die oder wie bedienen die einfache wie senkrecht aufeinander stehen oder neulich mal senkrecht auf dann aber zumindest nicht tangential sind also zumindest ein kleines Stück davon das sehen wir schon mal das wird die aus den haben na ja wird aus der wir Stücke aus dem er auch 2 ausgestellten mit Holzenthal und vertikalen Linien okay das also mal ein Torus und es gibt diverse Formen der führen nehme zwar schön den Toast mit großen Radius R und kleinen war dass er da können wir sagen in den Kreisen auch 2 nehmen denen wir schon beschreiben und dann alle Punkte und die Formel Kreis vom Radius r Abstand genau gleich kleinere haben habe so und so aus also das heißt bekannt solche sagen der Torszenen das gleich die Menge der Punkte x 1 x 2 X 3 also das Geld und ich habe das mal als Worte hin sie werden Formen schreiben wir haben der Abstand vom oder der des Kreises ich mache mir Zeitparameter groß und klein er daran des Kreises in der auch X 1 es 2 Ebenen sie wissen schon ein großere bald Cosinus x 1 plus kleiner mal also Kursen ist damit war die uns er und X 1 bis 2 x 3 ist ich und für diesen Fall ist besser so dass keiner der ist als groß er aber würde sie kann dies Gebilde ansonsten so hinschreiben also insbesondere anders als wir so selbst durchdringen und dies zwar nicht um den schädlich die werden sogar später wieder wieder haben Euch schon mal zumal für dieses Almidhar Beispiel okay Beispiel von 2 Flächen jeweils von Dimension 2 jeweils in Dimension 3 dann muss ich so sollen wir werden führt auch seine Objekte betrachten erreiche auch gleich in der 1. Runde des dessen Sohn werden allgemein sein aber das ist schon mal ein paar Dinge die man so vorstellen kann das Gesamtangebot schlagen des Tores das jetzt ein spezielles geometrisches Objekt sie können auch wenn sie solche aus der Algebra kommen dass der
Talkrunde geben wenn sie sagen voraus comma noch vielleicht beschreiben würden noch genauso gut sagen wir nehmen auch 2 so die Sie eben wie sie traf lebenden kleinen sie dann nahm rechteckigen Muster in Quadrate und in jedem Quadrat sagen wir sie heften die rechte seit an die linke Seite an verdienen das gerade wenn es um wir dann das obere ist nicht mehr der Stücke sondern die um Umkreis in unserem Kreis an und es gibt auch ein also Alternativen Beschreibung man kann sagen der Torus ist gleich sozusagen Anführungszeichen dieses Objekt geschlagenes auf zu um Doppelung nicht nur sie schaffe sein ich mehr dafür weil ich das nur kurz anschreiben die sagen dann meint man dir diese linke Seite ich mal so mal rot an und diese Fall getan hat und an diese der infizieren wieder mit der rechten Seite so wir nehmen also angenehm sein und so Objekt und da führen linken rechte Seite zusammen dann haben wir so oder direkt unter mächtig hat kann mit Papier ich mir 10. Wochen etwas flexibler was im nächsten Schritt geht man den und heftet an die Seite die hier steht diese hier nicht noch mal 2 falsch versammelten sich verwechselt an die Seite gestellt an vielleicht haben solche dazu schon gesehen wenn ich das auch nicht schlimm das haben es kann von den jeweils Sektors ist das Innere des Objekts dies denn also alles was man steht in die 2. sage wäre es der Toros T und der diese nur dazu und das über uns nicht das selbe von der Metrik denn das die hätte sozusagen immer die konstante Länge von links nach rechts von jedem period hier zu sich selbst sollte jeder Folge Stunden geschlossen Kursen diese Richtung es gleich lang die von diesen geschlossen komme es gleich lang wenn wir diesen Torus wir wirklich sein großer und kleiner was Vorgehen wiedergegeben sind nämlich Kreisen Trades Klein R für die blau Kreise und für die organischen ist je nachdem ob man außen oder innen ist ein der zwischen Groß er Minister in und großer plus klein gut dieser Erwin ich nicht hält was nicht schon wussten wir diese schlechten kann sie ja bereits es war das Ganze mal vor mal aufziehen und formalen fahren Definition hinschreiben bevor es losgeht noch ein paar kleine Dinge oder eine kleine Erinnerung etwas was sie auch schon wissen und Regel immer Rollen die wir mit der Zeit brauchen also davon sage Mitte konnte von deren zieren und immer auch ein wenn man die auch davon zieren das ja ganz ganz kurz Erinnerung Zusagen Wiederholung von anderen ist er ist im hören wenn die Mission Wiederholung von haben zurückkehrten regeln wir stellen muss es sein bevor sie damit seine Funktion FTD vom er auch in den den er auch meinetwegen muss sich dieselbe Dimension seien oder sie und 2 Funktionen die verkehrten sie dann wissen Sie schon also werden zum Beispiel F gleich an AG ist dann gilt soll's Ableitungen der F im gleichen des war nach DG okay dass wir sie jetzt alle was ist auch was diesen also zum bedeute das heißt ich F 1 period hinnehmen durch den Punkt P gehen einsetzen und Hasic den Punkte G von ein ich kann das im Kleingedruckten jedoch Punkte reinschreiben und dann es ja ganz präzise er war sie auch schon alle längst wissen ist ein sehr welche Funktion na ja was das schreiben dass sie wie man partiell ableitet welche also das sein kann wenn ich Wiederholung von der partiellen Ableitungen oder oder Kundendaten Ableitungen mit dieser Seelsorge auch Notation und zu solchen folgenden welche Funktion habe er von der UN nach allem was auch oder sonst was also 2 letzte es geht vor eindringen Gebiet nach ja auch und offen werden er auch einen Anteil verschieben Dimension das habe ich ganz kurz für die Ableitung der Funktion in die in die alle möglichen Richtungen von denen es abhängt also wir schreiben bei der Notation es gibt immer Personen F nach D XII das heißt es von eben können Variablen von der es abhängt unter dem sagen was er davon ziert und der chemischen Freunden kürzer als I und ihn von F über verschiedene dazu uns Geflecht sehen ich werde die folgenden D E F und und und unseres gleich Willi f werden und das auch gleich wenn Sie so wollen DRV mal die und das wenn Sie so wollen wir noch Männer dazu und haben wollen ist auch gleich DE bilden die und diese Dinge die hier stehen sollten diese 4 China verschiedene welch aber dieselben Dinge das ist wohl der nach des ihn die Funktionen von Variablen x 1 x 2 bis bis 6 werden ab und die wir davon nach der Item variable ableitet Smoking Wasser abgeleitet also keine Hexerei die zweite Variable 2. Schreibweise ist nun der Kutscher Weise für die 1. ich würde Sie um folgendem die Matte macht der Konvention das Funktion die haben Argumente die Träne meine genau dieselben Reihenfolge auf der 6 1 6 1 tritt immer genauso auf das heißt ich sage ich leide nach der Item variabler wusste gar keine Namen geben stand auch XYZ Personen oder x 1 x 2 x 3 muss aber nicht kann einfach sagen gleich nach der jede Variable ab und das dann eine kürzere Schreibweise und dies zu tun dies hier ist die partielle Ableitung an nicht partielle sollen so Einrichtungs- Ableitung ist die partielle Ableitung Richtungs- ableiten eines weg das der steht uns Einrichtung des kann Gründer einer Sekte uns und dies hier ist aber die F preise Smarttags oder genau dann in der Abbildung kann sich das vorstellen und die wird geziert mit diesem Sektor ihm denn Sie wissen schon aus der so dass das Einrichtungs- Ableitung gleich ist mit dieser Ableitung mal der Richtung in die sie davon sehr okay dies ist alles Dinge die sollten Sie schon wissen wir nicht höchste Zeit hat denn sie gehen ihren also ist der 1 2 3 1 2 dazu wiederholen und sich noch nicht mit solchen Dingen vertraut zu machen ganz wichtig wenn wir fangen immer brauchen diesen die Ketten Regel setze ich voraus ist auch keine Hexerei das man gesehen hat ein dies alles ganz banal und dies auch nur muss man eben einmal gesehen haben und was anfangen so hier steht man Schweinefuß period dabei manchmal nicht wenn ein Fuß vor da steht es sei nicht klar welche gemein wird wenn dies eine Verkettung ist da muss der period ihren period ganz rechts derselbe sein und diese period hier muss wenn ich das Bild des Punktes weiter rechts sein okay dessen Dinge die alle wissen wie man jetzt gar nichts Neues gesagt ende der Wiederholung und es ist auch so also wenn sie das nochmal wo möchten die partielle Ableitung versus angegeben durch den Limes von der von F A period P im plus dem X Idee minus davon gehen und das Ganze deutlich T und dann sollen die mehr es gibt nur ganz normale Ableitung so und jetzt kommt die neuen Definition als erstes ich sowas wie oben bei diesen Trost diese auch in Schwaben blauen Linien dass ich die beschreiben ich für so ein kleines Stück des Tores zumindest aber was was anguckt und das nicht nicht so rum Werke des kompliziert wird ein Stück das wieso streben aussieht dass ich es beschreiben einer Art Abbildung und das tu ich ich ich stelle Aufforderung an die Abbildung so dass da keine Clique dann sind so dass nicht selbst durch selbst durch geht und es nicht allzu schnell und so dass wie die von ist und das Ganze nenne ich dann eine Immersion und vielleicht eine Einbettung dieses Stücks vielleicht schon einmal den Begriff der Immersion also 3 der Nation ich nehme von Appelle von der UN nach ROM auch wenn sie immer in gleich 2 sondern gleich 3 vorstellen können weil ich sage Immersion sein Sohn Abbildung die Befunde sehr weißen vollen Reinhard also sei offenes Gebiet manche Leute sagen einfach gebietsweise offene Menge ja hoch werden den gesehen den Sie gerne auch
2 und vor also sagen meine Fälle nicht seine mindestens einmal der war besser noch mehr aber einmal erreichte diese Definition von mehr ja auch als es bildete die Suche ab in einem n-dimensionalen Raum in Folge wird er wird immer größer gleich in sein so den Definition dann sage ich dieses F er frei ist im Erosionen auch zu gut Deutsch eintauchen immer wie ist das er sie eintauchen sollten bisschen Fremdworte da wenn gilt wenn Geld etwa zu sagen nicht also ein period ab komponiert nichts sondern in die Vollen an also dann wenn der einen mehr Formen der über alle maximal ist konstant N ist im auf was soll das heißen dass heißt es sagen die Einrichtung gehen dann bewegen sich auch wirklich vorwärts sie in der Richtung gehen wenn ich auch wirklich vor als Sie wenn ich alles der kleine Teilmenge gab es keine andere konstant Abbildung nehmen die will ich nicht ich leide Abbildungen wo sehen Sie die eine Kornnatter ändern wo sie am was ändert wo sie dann bekommen hatte einen irgendwas tut sich und so weiter und so fort und ich jetzt so noch Devonshire was sein okay das ist eine Immersion zusammen Einbettung eines Stückes in denen er auch auch gleich der fortbestehenden Sohn Einbettung Stadt Immersion wohl dann auch noch vor das Ding soll ein müssen Ohrwürmer muss auf sein dicht mich nur feucht sein werde comma kann ich möchte aber Definition hierzu diese Versionen die können wir benutzen als nein nicht vielleicht nicht ganze Flächen aber es ist ein Stück der Fläche Telefon gesagt bei dem intus kann nicht schreiben als Graf überdies wäre bekömmlich sage ich nehme sonst Stücke auch 2 und will das komplett darauf es geht nicht da muss ja wie was überlappen oder vielleicht noch die Appel ableiten und machen das will ich nicht ich sage das kann ich mal als gleichen Stück betrachten und das was hier steht diese Immersion welche Folgen ein als dosiertes Flächen Stück schreiben okay das ist alles was ich brauche ein Stück vielleicht also weitere Definition auch dieselben nein darum im Versionen das wie oben heißt parametrisiert es vielleicht ein Stück aber da wird weil das mal so sagen die PAN Dosierung mitliefert das ist es geht darum Dosierung vielleicht übersehen sollen denn es wieder um deren Toast und gleichen Stück des weil es so nicht die ganze gleich erreichen wird das wird und einen Teil der Fläche nehmen für dieser Woche mindestens 2 von diesen Dingern vielleicht auch mehr als wir wir sagen links rechts vorne hinten sollte das wenn zum Beispiel 6 Stück und kann zum etwas klüger angeht ein Stück O machen dass etwas über den liege etwa daraus geht und ein Stück und das etwas über Äquator rausgeht aber in Herzform und jetzt ein Stück ok das ist hat der sie das Stück ist so ähnlich wie die Lepanto sie die Kurve die wollen kommt Tiere gesehen haben dass der Koran im wieso beliebig Ponto dosiert oder mit den bestimmter und Dosierung und das mehr gesehen werden würde comma haben können sie leichter Bogenlänge Ponto ihren also es gibt es spezielle Braun Dosierung und es gibt eine Ecke Lenz von Kursen alle er einzunehmen wenn sie welche geplante Transformation auseinander hervorgehen werde man sich noch bei ganz 1 von der Vorlesung und genau dasselbe machen es mit Flächen das heißt dieses dosierte Flächen Stück wenn wir zu suchen um zur Paarung posieren oder zumindest sagen wann sie 2 Flächen gleich zu zahlen als das eines werde wenn das Service andere zum Beispiel ich sage hier mit 2 Stück eben immer auch ändern ich nehme zu 2 Stück Papier oder so etwas wann ist eigentlich eine Abbildung vom auch 2 oder müsste das auch 2 Herren und dort dann wenn es sagen wie das selbe weil welche sagen wir ein anderes und Schreiben aber es kommt dasselbe Bild heraus bitte beides auf dieselbe Menge ab dass sie vielleicht manchmal so fürchte ich manchmal gar nicht liebhaben Dosierung ich will das Stück vielleicht das dann rauskommt und deswegen kann es das Konzept von damit der Wechsel vom der Translation oder Umfragen Dosierung das nächste Definition also wir haben so in ein kleines deren hier ist dann wurde er auch ich meine mal zweidimensional okay und das das jetzt hier dran hier Sonne so Menge Teilmenge hiervon mein den 1 Kreisscheibe okay das ist und was macht das F das FBI dies den ab auf etwas anderes diese fallen denn er auch es sich so viele Kunden auf der Tafel frei deswegen dann meine ich das mal so hier zwischen den er auch 1 keine worden oder den er auch 3 wenn Sie so wollen hieß also so Graf einer eine Funktion und hier ich dann solche Kontendaten Linien und hat dann so ein Objekt okay das es geht also von hier von in denen er auch also das ist der ja hoch in dieser war der auch 2 3 Minister auch 3 ist kann noch so viel zu immer aus weil ich will jetzt die Stücke beschreiben das unten diese Hispania Gebiet dass wir sie mich eigentlich weniger den weißt umgezeichnet habe diese 2 Beispiele dass einer welche Flächen und habe nicht gesagt die Fläche und noch in welch Collagen gebietet unter die Waffe die vielleicht bezeichnet und dies aber wir der beschreiben und dieser kann sich meinetwegen ändert also wenn jemand anders denken sagte ich wenn ich dieses sondern anders kann ich nur sagen es ist echt denn dann machen wir so und um dieses Konzept der Änderung des es umfahren Dosierung zu definieren machen das so um wir gucken uns jetzt an was passiert ich noch eine zweite Kopie eines muss aber meint wie auch immer auf einen hier mal eine zweite Kopie das gesamte auch n vielleicht dann in die Stadt ich man Zeichen fertig werde und jetzt sage ich ich mache Gebiet was was andere ist kann ein bisschen deformiert sein sollte war ungefähr gleich aussehen mir fällt Richtung um für dieselben konvex Eigenschaften muss war ich auch nicht sein hier jetzt ein Gebiet man das mal Hilde und jetzt kann jemand sagen gut eigentlich kann ich er seit diesem R 4 also bis den kann ich nicht schreiben was es Appelle von diesem Gebiet dann soll vielleicht ich schon von Abbildung von diesem Wutrede dahin es gibt also vielleicht in dem Fall ein f zählte eine Funktion die dies tut und das völlig jetzt abwaschen Größen wie fassen und dem wie tu ich dass ich sage dies Gebiet ihren und dieses Gebiet da diesen vielleicht irgendwie zuordenbar oder mache nicht dieses Konzept der Zuordnung das kommt jetzt das an die Frage wie kann ich diese beiden Gebiete wiegt aufeinander abbilden ich kann dies ein Abbildung hier von Xtra rechts oder rechts und links schreiben und im folgenden will ich ja das ist der Anfang ein einig egal aber das eine sagen wir F ist dies seien FC Hilde nach diesem denn du muss ich also sagen viel schreiben hier muss in der schmalen Notation kannst dann bleiben werden ich sage mal 11. es gleich F noch vielen die Wahlen täuschen diese Richtung mehr gern 1 kann es vorkommen dass dies der ist zu sein die die da ich welchen will weil sie sich schwer habe was ich wenn ich Kurden waren kann ich das die Fläche um als 2 Dinge schreiben die so aussehen mehr womöglich genau dann wenn ich die eine dass einige wie und Hilde und es eine Gebiet abbilden kann so dass irgendwie invertierbar ist da nichts verloren geht ich will von dem Devonshire das ist ableiten sollen erhalten bleiben und das im Reich so diese Transaktion die muss damit dass im Fall alles klappt wenn es ist differenzierbar war sein sie soll bijektiv sein und die Umkehrung dieser auch das Wohnzimmer sein weil die beide gleich das heißt es lieber von
hier nach da oder da auch hier der wollen gar nicht unterscheiden und jetzt auch mir Mission für dieses Vieh genauso wie das der kommt der bei der Funktion vom Umfang Dosierung für da der Änderung dieses so Definitionsbereichs der Saar dieser S also echte dessen Sohnes dann wie folgt der bei einer Abbildung Thilde nach und zwar zwischen 2 solchen bieten mit derselben Eigenschaft zwischen oder sagen weil Sommer laufen angegeben wird es damit keine Missverständnisse gibt damit bin ich die obwohl ich kenne ich nur Gebiete sagen dann reicht aber ich ich denken auf immer auch heißt Parameter Transformationen wenn man denn auch Umfragen Dosierung oder Parameter wechseln man Geld 1. Wahl ich will alle kommen ich in ein habe und einen muss also tief sein die fest und bijektiv 2. Ich will folgende von Tieren und dann und betrachten das heißt muss die Tanzsaal wirkt und die ich hier bekommen auch hier bekommen ich für das Vieh es ist C 1 1 zu 1 Abbildung von dem einen zum anderen diesen Fall vom Hoteldach ohne Tilde und drittens die homines 1 das heißt Unke Abbildung dies auch C 1 C 1 das Wolf diese mit ganzen diese Begriffe so hier stehen wenn wir auch C 1 der Firma festen aus also wer sich nicht merken aber es kommen so sagen C 1 der Verjährung das und das musst du da Forrest muss das sie Homeoffice muss man wohl sagen die Struktur wir halten also also gleich der von Office was würden wie der für und die Distanz hierbei Struktur alten Office muss es immer wie Struktur und so weiter und so fort jedenfalls dann wenn sich das Wort in Datenlage Sie einfach das Ding ist objektiv und der von war in beiden Richtungen es gibt nebenbei auch gesagt dass auch Zikade Vorwissen und ich habe nur von 10 zum gesprochen des 7 reicht das fürs weiter aus okay da dies also eine aber der Tanz Ration und wir sagen jetzt 2 Abbildung 11 oder von der Veddel so wie hier die Hessen jetzt ja wenn sie von Dosierung voneinander sind ok das heißt sagen etwa Lenz Klassen betrachten exakt wie der Kuchen Theorie nicht ändere sich mit der Funktion und das ist dann sozusagen eine neue Art von Flächen Stücke nämlich die ohne sie Rock die Lösung ist eine kleine Bemerkung diese Parameter der Wechsel oder Translation oder unter und Dosierung es ist eine Äquivalenzrelation okay und dessen kann ich auch im folgenden Erkelenz Klassen davon betrachten ja mehr sein die so Fragen der nicht das und dosierte also nicht warum dosierte Flächen Stück und nicht um eine also ist das schon mal das Wort und unter seelenvolle weil zurückziehen wie Umfragen zu sehr das meine ich eigentlich nicht hin wird ein solches nicht brannte sie das schlechte Stück oder einfach der alle mit einer worden ich vielleicht ein Stück sage und nicht das Wort konnte sie dazu sage meine ich in der Regel nicht interessiert also dass wir hier definieren ist der exellent Klasse an dieser Äquivalenzrelation es wird eine Schreibweise bei den Kurden deren sich da richtig einfach geschrieben C für die Kur und hättest sind in eckigen Klammern für die 6. Klasse wenn der Umfang Dosierung und ja doch 19 spitzen Klammern für der Kulanz Klasse bei und Jungs alten umarmte sie jung kann ja jetzt einführen sonst nicht furchtbar wichtig aber ich kann mal schreiben also Notation der die Welt lehnt klassenüblich eckige Klammern ich kann also also was schreiben so der Weber kommen auch Backofen die kann man mit 2 Richtung durchlaufen vor zur rückwärts wenn sie regulär sind anhalten weil ich nicht glaube regulären Com dessen kann die Richtung nicht ändern bei vielleicht Beschwerden gibt es keine Richtung von links nach rechts oder oben unten oder so weit über Zimmer kommen Daten gibt aber sie können unterscheiden ob sie einen Dienst zum anderen ihren Zeiten abbilden also ist einfach drehen verschieben oder ob sie normal die eine Spiegelung durchführen und diesmal der Glanz das könnte und unterscheiden und die 1. und die Seiten also der damals immer positiv die können Sie als eigene und Erkelenz das nochmal herausreißen also nochmal das den Edition orientiert Stück es ist wie der nächste ins Klasse ja Relation also das von bei der Grenz- Klasse in den Relation dazu uns gegeben ich immer und er stellte wenn Meyer F gleich 1. nach 4
oder 11. vielleicht erst nach wie mit wie so ein bevor fest was sie so steht ich kann sagen in dieser Relation lasse sich noch und ihren das alte zur siedelte nannte positiv haben der Relation Orientierungs- erhalten der und Jungs haltend umarmte sie das mal so kurze kurz einmal was es und es alt und fantasiert wahrscheinlich müsse sich Ex aber für falls doch was ich meine ist haben das heißt ändert wir definieren soll positiv sein den Defi wenn es eine alte Frau fest was ist kann der Defi niemals nur sein es ist also entweder positiv oder negativ und ich fordere dass immer positiv nebenbei bemerkt uns einmal vor Sie Wissens über als positiv bis jetzt eine Notation denn das er so okay bis jetzt nix ist waren es 9 Uhr das so eingeführt aber das auch nicht schlecht ist kann man solche Dinge wie Toros so der oder andere Dinge zumal beschreiben es auch nicht gar nicht von der von der Hand zu weisen und jetzt überlegen wir uns wie die Frauen ziehen wir den auf solchen Flächen das heißt ja welche Sektoren und die Milch bescheinigte Lektoren Skalarprodukt Produkte haben vielleicht Längen von Kuren man solche Dinge die wir nicht alle bekommen und dann erst einmal mit den mit den Sektoren an und dann sehen wir wie wir da Weiterkommen und vielleicht neben der Märkte zeige merken sehe ich jedoch auch erst 2 bei dieser dessen Sohn von Flächen stark konnte sie doch nicht hier Abbildung vom R N 7 auch in in den auch und die soll sozusagen sagen der Konzern daran haben hieß das sowie wie die ist heilig ist wieder soll konstant N sein 1. Frage ist das N oder das größer oder gleich wir seine seiner gut sind in Abbildung 10 auf einen der auch im habe wird daran gehen nur in einem größeren oder gleich großen Raum ein abgebildet worden sein denn der Nimmersatt immer sagen dass das Minimum Wasserlagen waren sie nicht mehr hätte Kreuz habe das wären maximal so groß wie die kleine von beiden Größen das heißt hielt immer Drogen große gleich n wenn Sie ganz klar aber muss man auch mal gesagt haben okay und dann am folgenden Tag nicht gesagt und dir nicht gesagt dass die vielleicht nicht um die Wiederkehr soll im Allgemeines möglich bei diesen zu unzulässig dass die er zweimal gesehen period hat bekommen was sie auch so manche Kurve habe von den reellen Zahlen in der auch 2 zum Beispiel die kann man der Kreis zu sich selbst zurückkommen das erlaubt sie kann auch sagen durch sie selbst wie durchgehen wie die Figur 8. der Figuren endlich das auch erlaubt und das hat aber diese Flächen der Fall sein denn wir sehen unter den Sohn über die Ableitung und nicht darüber dass der 2. ein period nicht noch mal vorkommen kann manche brauchen aber Kurden die sich nicht selbst kreuzen und Menschen ohne Flächen die sich selbst kreuzen und dafür sein nächster dessen Sohn der ist in Immersion also wenn sie sich kreuzen darf oder nicht und Einbettung wenn es kreuzten verboten ist also noch mit Anmerkung also selbst Kreuzungen wir sind im Allgemeinen erlaubt ebenso wie es bei Kursen der erlaubt war dass ich so eine Kurve nehme sehen Sie hier diese Figur unendlich oder 8 der denn diese betrachten seine also legitime
reguläre meine einer Bogenlänge kam zusichert und wir sollen denn jetzt nehmen und das hier fortsetzen weil wir immer für dieses den Mund und man jetzt diese Fläche draus vielleicht den Männern abgestimmt vielleicht den deren dann wie weiter mit nicht wie Bilder dann macht und ob das und wird zu Ende ist aber ich meine dieses denn das immer so auf sie sie immer diese diese Struktur das ist ein als eine Fläche bestens 7 Siert überall an jedem Punkt ist also sagen der einen voll das heißt es in kleine Stücke auch 2 nehmen das bitte von angucken also auch wieder in kleine Stücke auch 2 immer auch 3 aber das den Stade sich ihren und diese Schnitt in der diese Menge der Punkte wo selbst Städte sind hier und hier uneinig über alle in diesen Punkten die können manchmal das kommt es gleich eine restriktive Definition dies doch ausschließt die andere eine weitere Definition er ist f er ist Wertung und er Immersion ist und er ein gesammelt nach Bild von der dahin wenn man fest muss ist wir da was soll gleich an comma Moves muss so ähnlich wie bei den Kursen werden diese geht und bestätigt in beiden Richtungen also das wir bedeutet wer F also Städte Quelle und die und der Bildung bestätigt so ähnlich wie die Satz 1 des Fauvismus aus Reste von Tieren nicht nötig ist okay was ist Einschränkung also immer so muss sowieso sollen insbesondere sind Abbildung bijektiv ist kann 2 Punkte auf 2 verschiedene Punkte auf derselben ein period abgewählt werden das heißt der Einbettung kann sich period wie dieser roten oder die haben die kann nicht vorkommen es das nur einmal getroffen werden obwohl beim also wir was uns meist mit solchen Invasionen weniger mit der werden aber das ist dann also es gibt über Unterscheidung somit keine Wirkung ist nicht so dass hier das Bild so während dessen kleines Stück geben wir auch eine gekriegt das Stück immer auf 2 Appel wolle ein kleines Stück Ebene wird abgebildet wenn sie oben ist auch so ein Stück okay wo richtig schön wenn keine aussieht und welche kleine Stücke Ebene längst diese roten Linie nehmen denn mehr davon dann würde so aussehen entweder würdest abgebildet wie hier auf so ein Stück bestes Devonshire und geht auf die untere Schicht dass sie manchmal gestrichelt das sieht also bestens der Fans heraus oh das ging auch so ein Stück Mission losgeht und dann hier auf die Unterschicht geht ist auch das ist davon sie aber das ist egal was ich hier mache der von was ist denn so oder so und ein kleines Stück Ebene sieht immer aus gekonnt aber glatte Flächen bei der Invasion und der Einbettung der zu ich noch keine solchen selbst Kleidung gut das Einschlafen der Mission und jetzt aber mal ein paar Dinge mit wir keine besonders viele wollen man Beispiele betrachtet das kann vielleicht auch mal so langsam machen ihr einige noch ich habe wie gesagt diese Dinge sind schön glatt was ich eigentlich damit sagen sein Abbildung des gesagt das immer alles schön in der von Ziebart für so muss endlich wieder Jahr um Gedanken machen also den ernst um der Name period in der von F dann zu sagen das Ding wieder gibt es also vielleicht mal ein einmal tun okay also bei dessen Sohn tangentiale Raum von F an es gibt okay 1 zu
1 damit war Sonntage Zarenreich eine ganz simple Sache einig ich kenne sie das alles schon sie kenne ich schon aus dem seiner immer auch ein ist ein Roman der einen als eine so Dinge also Sodingen zur schön denn auch ein selbst und jetzt machen den dann Raum an den Grafen von 11 anfangen betrachten wir dieses Ding das wäre mal CPF also dass man die Definition wir sagen hier dass die period P von F das Wort was definieren will etwas diese Dimension von Foren die Vita mit Zahlen und verliebt period das soll es im folgenden der dieses Objekt seien die Menge aller die F mal X so dass gilt X wer gemeint es war wie gesagt Abbildung von U immer auch ändern n-dimensionalen der Vektoren fester dran beziehen 1 die F und wo es das kriege wie von Thomas darum dass die der Punkt an dem das werfe der Phoncière hansischer PDF unten besagen der an der Stelle des wünsche ich niemals partielle Ableitung der und nennen das ist immer ein period ich Einsätze gehen und dass es sagen der Termin zwar um eine das Bild von F okay diesen Betrag im Folgenden ausführlich kein Wort kann was ist und einen das sei die Menge aller Vektoren geben mehr wenn man so will tangentiale sehen wie wie das Wort schon sagt und in der ich habe das von von das so hier unten waren konnten das Gebiet ich war mal ein Desaster für die Kornaten einer ziehen Teilmenge er auch n feste unten drüber war der Graph der Funktion so etwas das F ging von und nach oben und diese und die ganze so vorstellen wir können hier unten in diesem Gebiet der comma die Sektoren haben das auch 2. Gezerre zum Beispiel den 1. Rektor hier das zum Beispiel 1 und dann einen Vektor E 2 und wenn ich es ist erst durch Apps und nur nur das ein gemalt er einfach sehr was daraus passiert weil ich da zum Beispiel diese Kurden die von nächster recht gehen die wir auf solche Kuren über und diese period hier wird er wohl auf ein period hier dann habe ich hier ein Sektor das wär der 1. Rektor bisher für die sie 1 für CD erst nach der 1 und der andere der vielleicht ihr und die erst mal meintwegen B 2 und so die Menge eines solchen Vektoren die werden den Tanzsaal um an die Fläche ja kein großer so weit ganz simpel damit ein Raum ist der spannend diese ganzen betont also die Menge der Rektor ist ein Lieder und Raum und bestimmten Tages darum vor diesen Herrscher muss vor Sektoren hier durch die 0 die ich damals vor seinen Zuhörern durch diesen Punkt F von oder oder vielmehr P gleich Bild von was da unten gerne was ich stelle sagen vor den gesamten Raum des diesen beiden Vektoren aufgespannt wird und der wird anzusägen tangentiale an die vielleicht ist ein T P F okay klein nicht rechnen müssen damit doch noch kurze Bemerkungen über 2 kurze mehr kommen es denn immer so hat Einfall daran ist ein Isomorphismus auf diesen Endlagerung drauf also klein ein paar kleine Bemerkungen wir haben die Abbildung F oder der Filme von ja auch liegt immer auch ein ist offen das heißt der Thomas war man es gleich das gesamte er auch ein bisschen schalt mal das geht vom er auch in den was und das geht eben T P F für solche noch sagen dass Sie haben bestimmt period zwischen diesen Punkt P ist der Rede dies hier ist ein Vektorraum Isomorphismus und wenn ja sowieso denn die Abbildung der immer länger okay das vielleicht ein bisschen noch nicht alles und haben ein paar Kunden 1 Vektoren gezeichnet die natürlichen und ich als Kunde hat mit und sind um habe ich jetzt linear unabhängig gezeichnet muss immer so sein ja 8. den aber der nicht von der das heißt kann als 2. mehr dazu schreiben die Basis des F also diesen Basis E 1 mit der Markt und der schmale 1 da bist der F X E N ist eine Basis und ich habe das diese auf durch eine neue Schreibweise sein führe ich wenn Sie im Folgenden die 1 Teile die Vektoren die 1 f soll heißen D die erst mal die 1 am Punkte P wenn Sie so wollen in der Einzel- oder dem Enders die erst mal wir sind konnte zuschauen wollen kann der das F dran Somalia P wie die P obwohl das wie gesagt für jeden Punkt der Welt diese Lieder und welchen wenn eine Basis vor Telekom okay infolge späteren werden wir 2 verschiedene Punkte als er verschiedene nur das will in Betracht 1 5 und unten 1 5 und und habe es aber nicht so wichtig man dann schaue ich nur PIN und meinen damit den Punkt in dem es gerade betrachten okay mit einer worden jetzt kann man schon mal den Tages sollen schreiben ist hinab Kommission oder sparen von ein paar ganz konkrete Vektor die nichts sind als die stand eines Sektoren die wir schon kennen und der der zu zulässt die wir da hatten das außerstande Konzepten der Gesamtzahl Demetri weisen Funktionen den vielleicht kann auf welche Weise beschreiben im Fall wir wollen jetzt uns und dann ist da Rektoren und der Länge von Kurden sowas kümmern und die machen die man einfach daher dass und unten im Baars Raum nehmen die da oben transportieren mit der und dann habe schöne Vektoren tangential an und so vielleicht und keine wird es auch so sein Beiname vielleicht jetzt Marsch einer Paaren dosierten Fläche wir brauchen uns gar nicht über komplizierte Gebilde mehr auf einen zu wir unterhalten obwohl das ich wirklich tun werden sollen wir sagen wir dem auf diese Kurden hatten auch 2 oder auch n das und das ist die wir schon gut kennen Vektoren auch 2 oder wenn die wir schon gut kennen und deren Skalarprodukt definieren was auf eine geschickte Weise und die Fläche dass solche Dinge auch beschrieben haben dann wird mit der Einnahme des vom er auch der auch 2 der und so weiter können wir also es auf diesem groben Flächen machen auf das wäre auf dem Torus aufgerafften dass wenn alle hinbekommen indem wir sagen die Annales oben Direktor loben sie nicht viel anders als wird von unten ganz elementar also würde sei nicht der nicht gerade einem das dazu der Lämmer oder nur bemerken zu nennen also wichtig zu verstehen das im Folgenden immer wenn wir wir und oben angucken wollen können genauso gut Weckton unten betrachten und die kennen wir dass wir mehr auch in das einfach die Jahre alt war und vielleicht ein alles ist und nach den von waren
wir so ein bisschen weiter was bist müssen abstrakt wie wärs mit einem kleinen Beispiel ein Beispiel das nicht hatten hier kann kann man das Stück Fläche die wenn auch mit 2 Kunden global Paarung sehen können die aber schon ein neues zeigen weil das Risiko liegt uns betrachten meinte er denn erfahren also Beispiel das hier Elli Koits Herr Kuhli das klingt so wie hier wächst aber ist immer so ein typisches mit Hilfe Zusatz für Flächen und wir sagen jetzt fragen Sie haben die Abbildung und von er auch 2 warte auf dem ganzen indem er auch 3 und wir sagen Ex ist dann wird er Bilder auf um andere Commissioner Sinus und Cosinus in der entsprechenden der Schreiber soll man denn das ist damit ich dann das schrittweise Sinus y minus 6 kosende ist y und y meist keine große unterscheiden zwischen seinen zweiten wollen zu wir trotzdem Verwandte zieren das sind für mich die Ableitung nach Xtra absagen als Spaltenvektoren gleich das ist das hier Kuh liegt ganz kurz warum soll das so sein wenn sie dieses Ding betrachten hängt von 2 Bayern aber immer Seiten eine von den Variablen fest hiermit solch an sie halten dieses dann ja das wird schon fest das wird nur vom vor von X und dazu müsse Konstanten wie sieht er dies denn aus wenn es eine Konstante ist dass dies alle konstant dies konstant und dies auch viermal Soldat im Jahr Länder aber Kurve x-mal Konstante andere konstant x x und 3. Konstante bleibt einfach so das heißt die haben in der Ebene letzte Konate gleich dieser Konstante wird haben Sie eine gerade und Giebel wird mit die aus diesen den steigen sichert diesen Zahlen zusammensetzt also führen Y konstant es ist ja X wird abgebildet auf er von XY das Bild eine gerade hat das heißt nicht dass den equals wird oder wenn sich mein Computer Zeichen wollten dann käme aus eine für diesen gelingen Fall wenn diese Linien auch zu 300 kcal im Jahr 2 nehmen gewürzt mit von einem davon und den zweiten diesen fallen beim gerade wieder gerade Linien sein das kommt selten vor diese Wahl ist aber so und was machen wir wenn X konstant des Anwenders das als Funktion von y betrachten der steht der Konstanten weil sie bis y ganz Malchus muss Deutschland oder minus und Ärzte und das können wir schon dass ich die direkt über mir schon betrachtet haben also der Hexe hat mir keiner kann sondern da drüben kommen aber auch selber aus das ist eine Helix die immer alle 2 Pi denselben wieder zurückkommt kann Y hat und vor jeder Radius das ist dann also trat vorstellt ein wird für X konstant ist die Abbildung y wir dachten aus f von x y eine Helix und seine Helix vor nicht wirken immer die zugeschrieben dass so der Kreis ganz anderer des hat und konstant Umlaufgeschwindigkeit und die dann haben wir jetzt ist es die Ganghöhe konstant und der Rades wird korrekt variiert also sagen wie hoch kommen Sie heraus unter anderem gelaufen sind kann mir 2 Pi und Radius denn das ist unsere Kreis der und das über den Rat des Export vor okay dass ein ein ein Beispiel für eine Fläche und wenn es gleich mal uns angucken wie kann würde von zieren kann ich auf diese Fläche vielleicht ein paar weg von den Schreiben Standard Vektoren und in welche Richtung es nie zeigen mehr das Telepolis war das 1. Beispiel von der von der Sache vor die Zeichen per Computer sehr viel besser sein wird als ein Zeichen der Hand aber ich kann's versuchen so ein klein wenig elementar daran zu gehen die machen also sozusagen auf hier ist also Willi Kuyt und das mir so sagen wir diesen ist also ich nochmal mal eine Helix okay sollen für Sie das dann aus und der gerade sie nicht vielleicht mit besonders konstant aber sie sehen so ungefähr wie's geht und das ist eine Kurve die geht immer durch der Bike vielleicht geht sie dadurch dass heißt in dem man auf dem geraden dieses dann da durchgehen eine von jedem Punkt zu schließen period hier hätte eine gerade hier in und hätt ich sozusagen ein ein von tiefer liegen punkten hätt ich solche Verbindungsstücken alles was ich hier senkrechte runtergehen auf diesen diese kannte dem nicht eine Karte sind rein sein wird da habe ich in diese Stücke die sich so diese durch diese gerade durchgehen und das ganze Stück für den letzten etwas schöner gestalten dass er dann seine Einwände Kurve dass wir dann so aussehen dass es hier so schön würdest und dies dann die die vielleicht als auf der einen Seite in dieser eine in der Kurve und dieses auch so sein dass hier sozusagen das undercover langgeht konnte also jedenfalls habe verschiedene Lizzys und die vielen Ziffern so soll mich jetzt eine zweite zeichne die werden genauso sein wie die Ärzte nur eben sagen die 40 schneller drehen an der Sterne ganz Familie von Elli CS alle ineinander verschachtelt die alle hier herumgehen und das dieser dann die einen können Daten und die anderen sind durch diese andere denen gegeben ungekannte ganze zeichnis das schon relativ schwierig so aber ebenfalls die das generell so auch ja Kiwittsmoor Hören Dimensionen den Computer so nicht mehr schaffen würde wie keine keine eXcite von viele Fläche das oder so was dann da gekonnt komplett es war ja wenn es nichts und weiß nicht wie das denn aussehen soll was da gerade betrachtet könne der der gehöre vor also in der Division kommt es gelegentlich vor und dann aber zum Glück noch nicht auch damals viel mehr reçoit wird ein wie so was Produkte betrachten also für tangential Vektoren an diesen L Koalition den wir machen es
ist mit Skalarprodukt bis Dezember Rektor und es kamen beziehen kann man auch nicht so richtig an und wenn wir es können dass der Zusammenhang zwischen Skalarprodukt auf dieser Fläche hier und dem Gebiet in diesem Gebiet im er auch 2 da müssen uns doch irgendwie kann er vielleicht bis Rechnung zu welches berechnen nein die Basen Basis für oder von T PDF und wenn man Kurt hat jetzt D 1 ich muss also seine 1. Konrad ableiten nach X 1 oder dieser einfach wächst und bekommen dann aus dem Sektor sie das abstellen man das große das lange wollen und ich habe den Leiter des 2 f vielleicht jetzt gleich alles noch y ab dass nur das X eine konstante ich habe also Kursen was y sie ihn aus y und 1 die wird dann comma gleich noch brauchen Sie das denn wenn man Matrix von allen die es genau Produkten und das gibt es dann auch den vor 2 nur über die Fläche und wie senkrecht diese Kornaten gehen aufeinander stehen für ab kurze Bemerkung gleich eine Matrix von allen möchten senkrecht stehe diese Granaten der hier gleich an was darum kümmern stehen diese Linien senkrecht aufeinander oder vielleicht und dann bestimmt anderen Winkel das aber gleich zu beschreiben versuchen vorher noch eine kleine Bemerkung nehmen an ich habe 2 Zusicherungen F und er stellte derselben Fläche und hier 2 Grundarten Vektoren x und x zählte in welchen zusammen dass die Frage stehen dann der eine weckt und andere Rektor des erst nach x und der Städte nach Excel das kann so ganz gut überlegen wir später noch brauchen und ist das so haben General Bemerkung und werden und ich nicht ich habe zu folgen F als Vermittler Transfer zum von 11 zählen und X ist heute fast mannshohen von X der vielleicht mit der für eine Frage bos das Exxon das habe ich vergessen vielen Dank der okay zurück zu diesen umarmte sie ihren wenn wir schreiben dann f Telde und F zu und waren zu sehr mit mit seinem Vieh und 2 Vektoren und warnte sie mitsammen Defi da kommen wird ganz kurzen den Zusammenhang das heißt man F zählen gleich F noch 4 und brannte sie ungern und für Vektoren und ja X gleich wer es wird eines der 4 mal einen oder der anderen bei ein wenn ich das mal so dass gerade richtig hinkommt die X X zähle und dann ist in D F X X getrennte so sei die Ketten Rede benutzen die F oder die 1. wäre erst nach Defi und das wird gerade hier und dann kommt heraus wenn das ganze kürzten die F zähle mal wechselte könnte also Nachrichten sein die Ketten Regel und das heißt mit andern Worten wir können nach Belieben das Paar mit dem Gebiet ändern dass es um von der so wie hier und da müssen nur die Sektoren auch um und kompensieren mit demselben Vieh oder genau gesagt mit dessen Ableitung okay mit einer Worten sie das nun folgenden jederzeit von ein paar Mitte Gebiet und zum anderen deren übergehen das erlaubt Abbildung des wie geht von einem zum anderen und alle Vektoren diese betrachten müssen auch mit Defi viel gute und die 4 1 1 4 denn dieses Schreiben auch um sie an und dann kommt alles wieder richtig hin okay dass er generell dass wir manchmal so implizit benutzen oder so richtig zu sagen und jetzt zurück zum Thema das senkrecht stehend hier habe ich jetzt ein blau und Linien gezeichnet welchen Weg die mehr Land er dir jetzt gekonnte dienen und sie könnten wenn sie wollten das ist wirklich wollten diese Linien jeder einzelne als Kurve schreiben jede Orchideen es eine Kurve steht auch schon hier blau denn es eine Kurve da können sie dann sein wird und betrachten denn einfach ziehen und dann können Sie das genau dort zu schließen Sektoren betrachten und dann wüssten Sie zum Beispiel sprechen denke diese Kurden haben Geld im Folgenden wenn es aber so oft machen das so gar nicht jedes Mal einzeln Gruppen entscheiden wollen und die von Zielen sowie betraten die Flächen gleich als Ganzes und weil diese Art der Winkel oder das kann es gleich auf der ganzen Fläche haben müsse comma neues Konzept neues Konzept der fundamental Form oder der Metrik die für vielleicht hier und da ich aufnimmt Gebiete in Verbindung setzt und das man mir die 1. fundamental Form also wir werden folgen sagen wofür oben sind oder unten ist das selbe bis auf eine Notation diverse gleich mal einführen also ist Fall kommt von den Definition ich habe Folgen mal 2 Arten von Skalarprodukt 2 Arten von Länge und also Norm für oben und unten also auf der Fläche und dem o damit für die nicht nicht man verwechseln wir sagen es einfach und das die die 1. von mental Form entfernt worden wir sagen kommt werden und 2. dass dort paar Vorlesungen es und das im Wesentlichen das Skalarprodukt aus dass wir sagen na ja wenn wir Vektoren in haben die wenngleich gleich Skala wurde zieren in dem mit der vorbei dann werden und dann genau Produkt immer auch ein Dorf an werden das also die meine Finger period P von X und Y Großmärkte und in diesem Fall also Großbuchstaben Sie diese Fall Vektoren es gleich Skalarprodukt in der F X X die F X Y und damit wir Ansicht für tun schon mal das Bier noch dazu können sich später weglassen und dann das gemeint für XY 1 Vektoren in geben X Element Meyer dies man noch erwähnen denn da bräuchte gar keine Fußpunkte mitzunehmen also weiter dann sollte man vielleicht mit hier es vielleicht ganz gut und Ihnen zu schreiben welche mir auch 2 wenn es eigentlich entbehrlich das also 1. von Talformen Art neue Skalarprodukt oder Verbindung zwischen Scanner blockiere auf der Fläche bei dem ein neues gelacht wird auf der auf dem Gebiet unterdessen keine Zahl gebildet ja denn vielleicht auch wo sonst genau wird gibt es gibt doch meist eine Länge von Vektoren oder Änderung von Vektoren und die dass man auch mal so wir sagen jetzt die Norm von nix soll sein die des F mal dass die die wir schon kennen also diese Norm hier das Gebilde aus diesen hier und diese wird sein Weltbild sein aus dem und das heißt sagen Wurzeln aus diesen Termin also Wurzel aus die und geben der fix und sich selbst wieder tritt mehr sagen Sie nebenbei bemerkt immer wenn sie ein Skalarprodukt haben haben automatisch einen noch Länge von Vektoren umgekehrt geht es mehrere Wege auch aber Sauce ganz leicht und diese Formeln Norm Quadrates Gleis gelehrt wird mit sich selbst
oder Nahrung ohne Quadrat vielleicht Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst kennt sie alle schon aus der ein ganzes 2 wo's Unterschied zwischen diesen enormen Balken und diesen hier einfach nur doppelten diesem Themengebiet oder genau gesagt in U dieses Jahr der MTF dass sich auch die verschiedenen Nationen der um das momentan noch von formal zu unterscheiden ja generell was ist das ein Objekt hier definiert habe diese von Mittal vor ich habe gesagt das Skalarprodukt 1 gelaufen und wir würden Eigenschaften wie der mehr asymmetrisch und positiv definiert mein ist es erfüllt oder nicht und bekommen das an und stellen fest eigentlich ja können so Bemerkung diese G es dann und dann ist es schon mal GP wie linear unsymmetrisch und positiv definiert diese so dieses da Bettina da die Skala wurde das war schon viel länger der Film DFDS linear das heißt in jedem argumentieren Städte was Länder aus des Singens ist aber ist billiger somit ist auch klar die gelaufen die 1. schon symmetrisch dich ist genau dasselbe und positiv der Mäzene wieso ist das so wenn sein weckt ungleich 0 einsetzen da kommt jeder Vektor zweimal in dieses Körnerbrot hier einen und weil das als glaube du bist kommt was ProSiebens heraus also es hier schon mal klar dass dies so ist was ist mit diesem P also wir ein des Grafen noch von P ab und das ist so und für jedes PS als gelaufen wird in diesen Tagen 2 Raum TTF und insgesamt dass keine ganze Familie von Skalarprodukt also GPS S 1 1 Gebiet der Abbildung für ein bestimmtes P aber es ist auch nur eine Funktion von P und S Funktion von P ist M wenn Objekt der alles ist der von Zi Valdez Ableitungen und so weiter und so fort ja und dies auch noch im in Folge soll es immer so sein dass dies den schönen Städtchen gerade von P abhängt also wir man ist die ein und von P abhängiges das Skalarprodukt und das eilig ob keine Hexerei denn das macht aber ist nicht mehr nicht weniger als das schon vorhanden das Skalarprodukt auf im Tanzsaal um zu leben und der neue Skalarprodukt im Gebiet von daraus zu machen mehr nix besonders geschehen denn nur die sagen die denn das in sonst weicht geändert bis auf die Frage was ein wenig mathematisch gesehen dass ein Objekt das selbe wie das andere okay das also wir haben eine kleine Schreibweisen Änderung und wozu setzte ganz ist gut sagen sie sollen gut ich habe eigentlich diesen Objekte die um 1 und den normalen geschrieben das nützt es aber gleich was denn gleich können wir in Kornaten mit kräftigen Zahlen schreiben wie senkrecht diese Linien aufeinander stehen zum Beispiel ob diese Kurden Familien heutzutage vertikal wirklich senkrecht sind oder welchen sinken sie bilden wir das geht gesprochen wird auch über der Flächen Theorie gibt sich derweil kommt die unserer wo man konnte sie ein wunderbar senkrechte Kornaten hat gibt es nicht da können Sie das ja schon überlegen und deswegen ist oder von Mittal Form die die werden im Winkel gibt immer gut zu haben ja ja mehr okay fangen vielleicht mal für
diese gießt in die könne so sagen also das ansehen Zone wieder nach vorn versöhnlichen des bevor vor dass GJ oder gehe erstmal ist es sein denn das hängt von 2 Sektoren ab und es ist Länder Abbildung oder billiger Forum und die könnte scharenweise Mavriks ich wage mal machen so die passen Startbasis für Rechnungen unternehmen mal folgende macht es nur das tun oder Schreibweise also Definitionen ist Schreibweise er ist wir schreiben dieser G i und j 1 x sieht's erst und die 4 schreiben wir bei Definition in gehe die und die Yacht also die wieder davon 70 Codenamen Einheitsvektoren in U 1 also Inhalt ja auch werden es gibt also ein Stück davon jeweils gesehen habe ich eben mal n gleich ein Quadrat Einträge gehe ich Art und das sozusagen die allgemeine Leder Abbildung gleich als Matrix geschrieben Sie wissen schon immer wenn sie eine Basis haben können Bilder haben was machen Scheiben umgekehrt wenn sie keine was haben das vielleicht komplizierter Hans eine was gewählt und dem R haben werden was immer dass Sie können das einfach so schreiben also die Einheitsvektoren und habe diese gehe ich oft und die 1. von Metallform könne sich schreiben als im Kreuz zahlen oder vielleicht zahlen die von P abhängen für verschiedene Tees kommen Sie vielleicht verschieben zahlen aber für einen P bitte genau einmal n Zahlen zum Beispiel wenn der zweimal also der eine Fläche Dimension 2 auch 3 wie die Nikoley zum Beispiel an seine 2 Gold 2 Matrix okay Dohrmann beispielsweise ausrechnen zwar schon für dieses Handy Poet kann der ebenso so zur was raus wir haben mehr was aber diese weg die oben stehen dieses mehrere Beziehung und sehen was rauskommt also werden Beispiel waren Hilde Kolitsch wie kommt es denn Sektor der oben stehen diese Zahlen hier ja das ist so ich sage jetzt das X ist der gleich die 1. Rektor Gross X oder X 1 und da habe ich den Wechsel der oben steht wenn Sie das Abflauen Meniskus muss y und 0 und der Vektor x 2 es erweckte der drunter steht kleine nix Kundus y Klein X sehen was er zu sagen und 1 und es ist so ich diese seien Vektoren es kann aber Beziehung mit sich selbst und mit dem anderen dann komme ich gerade dies die DJ heraus also dann gilt die I J es gleich das Skalarprodukt von XII XII die und X J wenn Sie so wollen jetzt habe ich eckige Klammern durch spitze Klammern versehen auch 3 sind ok mit einer worden solche Öl Ableitungen geständig haben können Sie auch diese Martens Einträge bekommen das manchmal schnell diese Rechners zu mir diese fallen leicht gerne jetzt G 1 1 gleich Skalarprodukt von X 1 mit sich selbst bis gleich sehr mehr Ziele sie des Quadrates Kursus Quadrat ist gleich 1 für alle klein wächst klein y dann machen wir das G 2 2 immer noch halbwegs leicht B 2 2 gleich Skalarprodukt x 2 Ext 2 und jetzt haben hier abgesehen vom fragte ich sie sehr aus den können Kursus posiert gerade Ausgleich 1 also X gerade mal 1 Plus 1 x 1 1 also 1 plus X Kontrast klein Ex C-Quadrat vor allem das meint dass unter meinem Matrix da ein Tag der Matrix diese hier hängt von den Kundendaten und Smith für eine der beiden Granaten ab dass man gar nicht so so trivial das heißt dass eine Lehne ablehne als Funktion von denn was da drin steht aber nicht notwendigerweise in der Abbildung von diesen Grund Abbildungen von Granaten Einträgen selbst Blatt noch G 1 2 zu berechnen dass dann die Skalarprodukt X 1 x 2 von dieser stehen senkrecht aufeinander sie Außenmeniskusriss mal sehen das Plus 0 ist gleich 0 und dies dann oftmals auch gleich dann die 2 1 ich habe Gäste metrisch das ist auch die Matrix G und dann vielleicht ein 2 automatisch auch G 2 1 damit können so ganz nach Schreibweise schreiben und kann also schreiben warte Schreibweise gleich die 2 kurz 2 Matrix wohnen der 1 eines Eintrages der andere ist 1 plus X dort und hier mit Zahlen 0 okay das ist die Matrix für G und was es nicht geschrieben habe was impliziert ist dass dies gehe period abhängt diese period Erzeugung Daten X und Y und das Echsen und Schlangen das kann und tut auch hier drin stehen okay und das ist eigentlich nicht viel Neues als des dass es ohne schon hatten ich hätte er dieses Recht mit Matratzen geschrieben habe auch so entscheiden können aber mit dieser neuen Adresszone sozusagen kürzer okay so viel zum Thema Flächen Theorien und wie man vielleicht nicht schreibt das nächste Mal kümmern uns um das Thema das die Länge einer Kurve bin hier 2 verschiedene Kuchen habe wie lang sind die dpa 2 kommen leicht an verschiedenen und um die Frage wenn 2 Kurven immer gleich lang sind in einer dann Darstellung sind dennoch vielleicht diese G ist gleich oder wenn diese gehst gleich sind für 2 verschiedene sie jung sind da vielleicht auch Kufen immer gleich lang alle dass wir es mal umtreiben Zusammenhang zwischen länger und Gleichheit von GIs und das würde ich sagen das was wir heute vielleicht bis zur
Mathematische Größe
Ebene
Kreis
Radius
Kosinusfunktion
Kreisfläche
Kurve
Algebra
Stellenring
Fläche
Gleichung
Physikalische Theorie
Objekt <Kategorie>
Dimension n
Quadrat
Homogenes Polynom
Menge
Flächentheorie
Torus
Rundung
Geometrisches Objekt
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Analysis
Mathematische Größe
Kreis
Folge <Mathematik>
Länge
Punkt
Rollbewegung
Kreisscheibe
Richtung
Variable
Quadrat
Homogenes Polynom
Flächentheorie
Torus
Translation <Mathematik>
Umkehrung <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Topologische Einbettung
Kreisfläche
Kurve
Matching <Graphentheorie>
Abbildung <Physik>
Fläche
Partielle Differentiation
Teilmenge
Objekt <Kategorie>
Menge
Offene Menge
Partielle Ableitung
Geflecht <Mathematik>
Gebiet <Mathematik>
Ecke
Mathematische Größe
Kreis
Parametersystem
Länge
Topologische Einbettung
Kurve
Klasse <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Wiederkehrender Zustand
Biprodukt
Umfang
Richtung
Skalarprodukt
Reelle Zahl
Flächentheorie
Minimum
Translation <Mathematik>
Äquivalenzrelation
Gebiet <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Ebene
Länge
Punkt
Linie
Richtung
Ende <Graphentheorie>
Fächer <Mathematik>
Flächentheorie
Torus
Funktion <Mathematik>
Topologische Einbettung
Wald <Graphentheorie>
Vektorrechnung
Graph
Abbildung <Physik>
Fläche
Isomorphismus
Glatte Fläche
Vektorraum
Vektor
Zahl
Teilmenge
Skalarprodukt
Menge
Betrag <Mathematik>
Partielle Ableitung
Schnitt <Mathematik>
Gebiet <Mathematik>
Ebene
Kreis
Folge <Mathematik>
Länge
Matrizenmultiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Division
Richtung
Quadrat
Variable
Flächentheorie
Stützpunkt <Mathematik>
Koalition
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Ziffer
Kosinusfunktion
Radius
Matching <Graphentheorie>
Vektorrechnung
Kurve
Abbildung <Physik>
Fläche
Biprodukt
Zahl
Konstante
Skalarprodukt
Gebiet <Mathematik>
Mathematische Größe
Länge
Matrizenmultiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Kurve
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Ext-Funktor
Fläche
Scheibe
Familie <Mathematik>
Vektor
Physikalische Theorie
Zahl
Objekt <Kategorie>
Erzeugende
Balken
Quadrat
Skalarprodukt
Rechenbuch
Flächentheorie
Gebiet <Mathematik>
Ableitung <Topologie>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 07: Flächentheorie I
Serientitel Differentialgeometrie
Teil 07
Anzahl der Teile 15
Autor Gunesch, Roland
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/36620
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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