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Vorlesung 9: Taylorreihe und Landausymbole

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es einmal herzlich willkommen zur alle 2. Vorlesung zum Thema Telefonnummer unter wie letztes Mal unser angedeutet ein wirklich das Thema mit dem Sie immer wieder in Kurs in der Kontakt kommen werden da wenn eine Methode gibt die man ohne sie zu es war so zu nennen aber dauernd und 15 x verwendet dann diese die Grundideen ist einige komplizierte Funktion aber dann will ich die ich nicht in ihrer vollen Allgemeinheit Daniel weil die sind aber es war gar nicht der bestimmen kann so nicht will eine polynomialen Währung haben und es denn ein Polynom bietet die Möglichkeit im Rahmen des zugelassen gewünschten gerade das des Polynoms die bestmögliche Approximation zu kriegen wir hatten uns so wir waren eigentlich diejenigen mit exponential weil er festgestellt dass die Funktionen die sich als Potenz reinschreiben lassen also in solchen unendlichen Reihen Darstellung und das schön sollten einen rein Darstellung ist die beinhalten ja die bringen
ihre eigenen Währung erzählt Polynom zu müssen einfach irgendwo aufhören mit der Reihe und wenn sie das tun und die Reihe irgendwo abbrechen lassen kommt ist der Polo heraus vom gerade in diesem Fall und was wir gesehen hatten ist wenn Sie so eine Reihe haben wollen dann muss der Koeffizient der vor dem enden Mononen den Ende nix auch x 1 x nur noch entsteht der muss dann diese Form haben Ente Ableitung von F 1 der Entwicklungsstelle geteilt durch n faculty und es gibt dann immer der Polynom ende Ableitung von F 1 der Lex nur durch in Fakultät x x 1 x nur noch n und darüber die Summe und das das was dass der Polen und wertvoll macht ist das was dann am Schluss der letzte Stunden kam das sogenannte festgelegt das der Polen und es erstmal gegebene Funktion dank dass der ausrechnen muss ich nun K Ableitungen aus welchen wenn ich aber das den Polen um habe dann sagt mir nix wie gut es ist diese mehr und die Formation die gut ist ne und Mann aus dem Westen geht es stellt sich heraus man kann denn die Differenz den Fehler den man machen mit dem Teller Polynom an der Funktion vorbei rechnen analytisch ausdrucken durch diesen Ausdruck dem Prinzip aus sie wieder im Plus 1. so man vom Teller Polynom abgesehen davon dass sie die Ableitung nicht an der Stelle x 0 auswerten sondern einer Stelle Ziele die man im allgemeinen nicht kenne wenn man die kennen kennen würde dann könnte man das Gestik exakt aus rechnen damit dass man die Funktion exakt ausrechnen dann müssen selber nicht der ja so sein die ganze Komplexität der Funktion f stecken den trotzdem dass liegen jetzt am Anfang der Vorlesungen 2 Beispielen zeigen dass diese Information dass man diesen Fehler so ausdrücken kann man nicht ausrechnen kann aber dass man diesen analytischen Ausdruck für den Fehler hat extrem Gold wird das will ich ihn jetzt noch an 2 Beispielen zeigen wir haben das 1. das
Beispiel 13 Cent und da kommen wir zum einen motivierenden anfangs Beispiele und der der von diesem den zurück wir sind wieder dabei und sein was Rechner ist zu programmieren und da soll sie muss ausrechnen und Version also den Sinus von X bei Excel positive Zahl ist aber nicht allzu positiv also mit kleine positive Zahl wir müssen ja um in in der Nähe des Entwicklungs period bleiben sonst wird die Nehrungen allgemein schlecht das wir kleine positive Zahl und was wir suchen ist eine Näherung verhindert Sinus von X also ist die naheliegende Idee übernehmen und so muss die Teller Reihe oder die der Polynome vom sehen muss an der Bindungsstellen x 0 gleich 0 also brauchen das den abholen die Teller vom 7 aus mit der Ermittlungsstelle x 0 gleich 0 hier steht dass Koch erzählt was sie tun müssen diese Teller Reihe zu bestimmen sie brauchen im Wesentlichen alle Ableitung der Sinusfunktion an der Stelle 0 das freundlich ansehen ist dass die Ableitungen sich ziemlich schnell wiederholen also Sinus Kosinus minus Kinos minus großen den Aufbau so und so weiter wenn sie dann wohl einsetzen den kriegen Sie raus 0 1 0 minus 1 0 1 0 minus 1 0 1 0 minus 1 und so weiter das heißt wir können wieder frei kann sich sofort hinschreiben in der Thrillerreihe tauchen nur die ungerade Potenzen auf bei Literaten Ableitung von Sinus brauchen nur die genau die ungerade Potenzen auch weil die geraden Abmeldung Wohnsilos also nur den 2. 4. 6. und so weiter Sinusfunktion sehen diesen erstellen 0 0 und die ungeraden Anmeldungen Sinus und Cosinus Funktion diesen an der Stelle 0 entweder einzeln das Arzt haben also nur zum einen auf mit ungeradem n und für die ich stehe ich hier oben jeweils 1 oder minus 1 und wenn man das ausrechnet und schön zusammenfasst dann kriegt man als Darstellung der Reihe für den Sinus Summe in Weltverbessern bis endlich minus 1 auch das sind die wechselnden 1 minus 1 sind X X minus 0 hoch 2 1 plus 1 das sind die ungeraden Potenzen und das ganze ist geteilt durch 2 im plus 1 war gut also wenn sich den Anfang mein Schreiben zum Kennenlernen dieser es weil sie wenn sie noch häufige brauchen das fängt an für ihn gleich 0 mit x suche 1 für ihn gleich 2 kriegen sie minus X auch 3 durch 3 Fakultät plus X auch 5 durch 5 Fakultäten minus X aus 7 durch 7 Fakultät und zur kann dass die Siemens immer ungerade Potenzen durch den sprenge Fakultät und abwechselnde fort so damit haben den Kandidaten für die Approximation des uns aber die spannende Frage ist jetzt wie gut ist denn diese Approximation und die Antwort darauf wie gut diese Approximation es über das festlegt also wenn sie das erst nicht wenn ich es bis zum kann gerade ab approximieren mit in der Wohnung enden Grades den gehört dazu das des er im plus 1 und das da drin auf der vorhin stehen das kann kann man darstellen als die endlos 1. Ableitung von F 1 möchte ständig sie durch plus 1 2 Hotels X X so endlos 1 wobei man natürlich wie gesagt dass sie nicht genau kennt aber man hat Sonne Sonne Sonne Eingrenzung wo das Ziel kann das Ziel liegt immer zwischen X und Entwicklungsstelle also beim Tanz nicht genau bestimmen war man sich immer sicher dass es irgendwo liegt zwischen X und Entwicklung stellen für jedes x denn anders und damit hat man ist eine ungefähre Ahnung wo das sie zu liegen kommt es war eine Frage ein wie kommt man auf das 2. plus 1 Fakultät ja in dem man sowohl rechnet und hier einsetzt die Ableitungen von unsern sie müssen immer also nur die ganz enorm und und die ganzen 1 oder minus 1 und in den Tälern Polynome steht immer die Ente Ableitung durch die entsprechende Verbot hält ja und die ungeraden Ableitung sind gerade die mit 2 Entschluss 1 Star das 1 3 5 und so weiter und zudem solle so noch besser zu den X so n wird immer das Fakultäten zu den X 2 Einfluss einzge das 2 etwas eines Verrückten das was da steht es mir kondensierte Schreibweise dafür dass es nur ungerade Exponenten liebt ja deswegen richtig sucht 2 1 plus 1 gemacht wenn sie jetzt mit dem N in Einzelschritten hochlaufen was diese Exponent 1 3 5 7 9 11 wird das Trick sind Regung und gerade Exponenten zu erzeugen und den Weg in die geraden wegfallen zu lassen und es nicht die da unten ich im Verbund der Zusatzinfos 1 Fakultät mit den entsprechend genau gleichen Xtra nicht ja also gucken Sie es noch mal nur an schreibe versuchen sie die Sonne selber so winzig rein dieses schöner finden in den Sellmann auch auf der das dem Land das die einzige ist wo dann einer Form das den gut also man weiß von links sie nicht genau wo es ist aber man weiß dass das
Ziel liegt irgendwo zwischen der Entwicklungsstelle nun unterwegs so aber das Gute ist ja jetzt was passiert ist mit diesen Ralph wir können nicht genau ausrechnen aber wir können man übers kess Abschätzung machen und das schöne ist diese Plus erste Ableitung von den 11 dies entweder in Windows 7 großen muss minus 7 oder minus große muss kommt drauf an was ist aber und eines davon ist es und egal ob sie jetzt ein Plus oder Minus Sinus oder große los ist das denke ich immer zwischen minus 1 zu 1 wir muss erst comma sie es möchten was sie wurscht was er ist immer zwischen minus 1 und und dieses Mal wissen kann er jetzt nutzen es geht immer dass die Lust der Ableitung oder die im Plus 1. Ableitung von F 1 ständig sie kleiner gleich 1 ist ein also können wir sozusagen über Sckells Abschätzung machen der Betrag von unseren Fehlern denn wir machen wenn wir mit dem Telefon Rom enden Grades approximieren und das ist ja das was uns auch üblicherweise interessiert der Betrag vom Fehler Sie wollen ich genau wissen wie groß der Fehler ist und Sie wollen wissen wie groß der Fehler betragsmäßig es auf sie ließ recht so weit es Ausnahmen sehen was sie wollen wissen wie weit sie vorbeigeschossen hat er also Betrag von Fehlern ist damit nicht dem Fluss erste Ableitung ist nie größer als 1 durch plus 1 2 gut hält mal Betrag x auch im Plus 1 und was man jetzt sie ist man sie daran mehrere Dinge man sieht daran zum einen die besser wenn n größer wird warum was passiert wenn in größere der dann wird plus 1 Fakultät doch mal verdammt immer größer 1 durch imposant sabotiert wird sehr klein und wenn das wenn mit dem X jetzt nicht mehr das X selber gleich mit der Feder immer klar Ja oder zumindest die größtmögliche Schranke des wie mit immer klar genau so die mehr und besser wenn sie geht es mir beim nahe bei 0 nehmen also Näherung umso besser je näher Xtra 3 0 er ja wenn sie mal im Kopf des fix lassen und jetzt mit dem X gegen 0 dann wird dieser Ausdruck der auch immer kleiner und zwar umso schneller kleiner die Größe ob und was man insbesondere auch sie ist in diesem Fall der Limes wenn sie jetzt mal denn gerade ganz nach oben drücken denn gerade wir machen denn wie das von dem Fehler der 0 und zwar unabhängig von Xtra egal was sie für x nehmen dieser Wohltäter unten macht alles weg ein mehr ja das heißt er an das heißt man kann sie dass ich sehr weit weg von 0 macht in wenn man das eben sehr sehr groß macht in einer wie ich genaue Klärung erreicht und damit ist das für so aus dass wir mit dem Taschenrechner gutes Werkzeug wenn sie bald genug rechnen kommen Sie immer über hat immer so weit dass sie mir das es mal die dies der Genauigkeit einreichen und damit einhalten damit das das für den Taschenrechner schon und und man kann es sogar quantifizieren das heißt der Taschenrechner weiß wenn man X sich 0 comma decimal 3 1 dann muss ich alleine solange rechnen bis dieser Ausdruck eines durch immer seien zwar gut hält man nur comma 3 im plus 1 kleiner wird als meine Liste der Genauigkeit dann bin ich 100 Prozent sicher dass ich ein ausreichen genau ist und das ist die der schlimmste Fall der auftreten kann weiter kann meine mehr und ich aber statt zu erhöhen ja dann also wenn sie die geraten Ableitung anschauen vom Sinus dann kommt 1. 0 0 raus oben ungeraden kommt abwechseln Einzelgängers 1 Ausweise Malkursus muss man muss gut er das müssen Sie denn für die Teller er das ist denn der Polynom machen sie müssen sie Ableitung einer Stelle 0 nehmen um möglichst wurde das ist der 1. Termin der Summe der Verein gleich 0 minus 1 0 bis 1 durch ein Verbot der Malik so reizt der nächste ist erst bis 2. abmelden erst Abmeldung eines Belegs 0 die 1. aber ich nichts nur 0 der ganze so man ist also 0 dem brauchen Sie nicht addiert also doch wieder nur der zur der was in der Mixed sie lassen einfach einen so meinten die meinten die geraten so meinten liefern alle 0 und wenn diese diese Marke 0 erst mal weg also allein damit nur schreiben kann so das kommt rechnerisch raus dass die Approximation beliebig gut da wir sehen auch noch mal Gras ist zeigen na
ja fast jedenfalls doch man kriegt auch einschl
was wir hier sehen da ist zum einen die Sinusfunktion in Blau hoffentlich alte Bekannte und dann das 9. 1. 2. und des 9. 1. ja gut doch das ist ja das nur die 1. 2. und 3. Teller Polynom von der Sinusfunktion an dieser Stelle x nur hier man diese da nix Neues den Grünen an wo eine Zeit zwischen 5 und 6 des nicht in wohlgenährt Sonnensystem wächst und was hier sehen dann des 1. ist das Nolte Teller Polen und das ist die Konstante die die Funktion im Punkt am besten wäre ist die Konstante dann kommt die gerade die am besten nährt die Tangente dann kommt die Parabel die am besten mehr die Funktion 3. Grades die am besten mehr und wenn wir jetzt weiter weiter weiter rechnet sie waren die Nehrung mit sehr gut in der Nähe von x 0 sie wird schlecht weit draußen wir also wenn Sie den abholen 3. Grades nehmen und hier Bestände minus 5 damit nähern ist der wird von euch weiß nicht minus 120 der der gerät plus 120 wieder rauskommt nun sie ohne Näherung für den Sinus das ist logisch und gar nicht zu ändern denn ein Polynom kann den Sinus nie perfekt wären beide schon deswegen weil jedes Polynom dazu also jedes Polo sich konstant ist dazu verdammt ist im unendlichen ewigen Klose müssen ich zu den er Polynome hauen unendlichen immer können die gar nicht anders damit sind sie wenn sie aus einer falschen Adresse weil nur macht nicht mit das wenn sie es denn gerade einmal drehen dann wird dem Polynom hat empfohlen um immer mehr Möglichkeiten zwischen drin wenn die stellen und Hoch- und Tiefpunkte einzubauen dann wird es irgendwann so den 1. 5 Sinuswellen Anschlägen und danach hat getreu dem was ich vorhin sagte die in der wollen um es dann halt wenn entweder das X bei x 0 ist oder dass sehr groß aber die Erfahrung des ist jetzt sozusagen keine der mathematischen Lehrsatz aber eine Erfahrung lehrt versuchen Sie nicht X das weit von x 0 weglegt zu kompensieren durch non gerade der Rechenaufwand den sie durch den hohen Grad also wenn X weiß von x 0 Welt liegt dann ist die Nehrung sehr schnell sehr schlecht und sie müssen extrem hohe gerade in dem rechten sich Wolf und auch der Bund wieder rechnet sich ein Wolf wenn sie weit weg man ihre Entwicklungsstelle wollen dann überlegen sich nicht ob es besser ist anderen Bildungsstätte zu mehr da insbesondere bei solchen Fällen wenn sie Funktion haben denn sie ihn aus der eigentlich damit dass der periodische ist schon von der Grundeigenschaften hier eigentlich nicht der eigentlich nicht dazu passt durch Polynome mehr zu werden das Problem comma der nächsten Vorlesung mal zurück dann ist dann ist x weit weg von x 0 keine gute Idee so da die also
haben wir hat das 1. Beispiel an dem man sieht dass man zumindest theoretisch den Sinus mit seinen Teller buhlen um an der Stelle x 0 beliebig gut über lernt hat ja wie gesagt in der Praxis sollte man wenn Sie den es sehen das anders werden und entwickeln und demnächst gleich 100 mehr wollen dann möcht ich nicht wissen zu welchen gerade 7 gehen müssen der dürfte man ein paar Wochen lang rechnen ich will jetzt so ein zweites Beispiel einschieben es mal wieder etwas Kohle trägt weiß ist das nicht so vorgesehen ist alles Beispiel 10 comma decimal 5 das noch mal so ein bisschen den benutzen das es die es Ihnen zeigen soll und zwar jetzt ohne dass der über rein und man diese Summation reden sondern keine nur mit endlichen Teller Polynom was ich suche ist der Ausdruck 1 comma decimal 0 5 hoch 1 comma decimal 0 2 den Zahlen von diesem Potenzen sehr beleidigend das nicht da da sie doch einsame Insel am Bleistift und Papier und brauchen aus irgendeinem Grund für ihre Statik genau diese mehr und die Frage ist wo kriegen Sie genau es ist natürlich schwierig Insolvenzen einer großzügig und sagen 10 und minus 4 1 also wenn man auch in zehntausendsten genau angeben können Sie zufrieden an Gott wie kriegen wir das hin und das kann man tatsächlich mit nicht allzu viel Aufwand mit sehr und Papier und auch ohne Taschenrechner womit ich jetzt nicht den Taschenrechner Rathäusern will aber zum einen ist es interessante sehen was macht das denn eigentlich und so ist immer gut zu wissen ja was im Hintergrund läuft und was die Grundlage davon ist also damals einer von Hand bin was ich dazu mache es ja gut ich würde so oder so Weinkeller Keller zurückzuspielen das dass es noch mehr schöne Funktion die nahe dem Problem ist und zwar nämlich die Funktion f von x ist X so 1 comma decimal 0 2 und hätte die x 0 gleich 1 warum ist das eine gute Idee sehen dass das eine gute Idee weil das brauche ich für den Teller Näherung für ist Polynom ich traue alle Ableitung von der Funktion f 1 Entwicklung stellt das ist das was man für immer braucht in der Bildungsstätte die ableiten das Problem ist nur wenn ich jetzt ich kann natürlich auch 1 comma decimal 0 5 entwickeln das wär super cremig den exakten werde nur dann müssen Sie er von 1 2 0 5 aus von mir geradezu des Picknicks deswegen suchen uns die Stelle an der wir die Funktion leicht auswerten kann schnell die nah dran Lipobay bei F vor f von x 0 F x nur etwas in Form eines leicht ausrechnen können dann 1 ist perfekt der 1 zu 1 comma decimal 0 2 kriegen wir unterstellen für also
man approximieren diese Funktion mit ihrem Teller Polynom an der Stelle eines an Entwicklungsstelle als was brauchen dafür brauchen die Ableitung von der funktio- genau komme nur die Abmeldung eines der einst aber damit wir die haben wir die 1. die Ableitung aus es ist unmöglich schwer weil das eine Funktion von der von X auch Alfa ist die erste Ableitung des 1 comma decimal 0 2 x x 0 comma decimal 0 2 die 2. Ableitung ist entsprechend 1 comma decimal 0 2 x 0 comma decimal 0 2 Maliks so minus 0 comma decimal 9 8 und wir kriegen es von 1 ist 1 f Strich von 1 ist 1 comma decimal 0 2 1 1 1 5 0 comma decimal 0 2 1 1 comma decimal 0 2 so und damit können wir jetzt schon das der Vollendung 1. Ordnung von unsern 11 aufstellt nur Bier erst 11 an der Stelle x 0 wollte Ordnung Minderung der Funktionswert plus 11 Strich an der Stelle x 0 also er Strich an der Stelle eines X X minus 1 zu 1 das Telefon um 1. Ordnung auch genannt Tangente also immer einsetzen 1 plus 1 comma decimal 0 2 X X minus 1 so dass es immer schon vor 3 Wochen machen werden das ist einfach die Tangente leicht zu wenn deren wieder unsere Funktion ich suche 1 comma decimal 0 2 durch die Tangente in 1 was jetzt neu dazugekommen ist ist das der Satz von Teller uns nicht nur sagte ist der der Polen umso mehr sagt uns auch du ganz den Fehler den du das der ganz den viele entscheiden wenn der Fehler sieht genauso aus und das kann man jetzt machen also nach dem Satz von existiert wieder dieses ominöse ziehen also wenn man jetzt an mit der Entwicklungsstelle x 0 gleich 1 und mit X gleich 1 comma decimal 0 5 und wir wollen ja eigentlich eher von 1 comma decimal 0 5 bestimmen 1 1 comma decimal 0 5 1 2 0 2 Stimmen wurde er von 1 0 5 bestimme also wenn dann wir den der mit x 0 gleich 1 Entwicklung Stellung x gleich 1 comma decimal 0 5 gibt es jetzt also ein ominöses ziehe das zwischen Entwicklungsstelle und dem betrachteten period liegt also zwischen 1 und 1 comma decimal 0 5 da das X schön aber 1 ist damit auch dass sie gut im Griff an das Ziel die nur der kann bei diesen kleinen dabei liegen so dass der Fehler den wir machen also der Abstand vom Warenwert denn der wissen wollen aber nicht rauskriegen müsste Annäherung diese machen wenn Sie das der und verwenden das Telefon um 1. Ordnung den können Sie darstellen als das ist die 2 EL von der Stelle 1 comma decimal 0 5 und dieses restliche siehe da unten also wir Fall sie hier diese das die mit gleich 1 es also kann halt mal dass die Fakultäten an sich 2 meine zweite Ableitung von F 1 der ständig sie X X minus x 0 also 1 mit Äxten wie das X 1 minus 1 comma decimal 0 5 Quadrat gemäß zu F 2 Strich einsetzen dass in Halle mal 1 comma decimal 0 2 nein 0 comma decimal 0 2 malt sie auch minus 0 comma decimal 9 8 und ein für das 1 comma decimal 0 5 bis 0 comma decimal 0 5 0 comma decimal 0 5 2. was kann man das alles das zusammenrechnen wenn man das tut also Neid x 1 comma decimal 0 2 1 0 comma decimal 0 2 x 0 comma decimal 0 5 2 Grad dann kommt das aus 2 comma decimal 5 5 mal 10 hoch minus 5 Mike hoch minus 0 comma decimal 9 8 so der Fehler hat sie hat also diese Größe wobei das irgendwas zwischen 1 1 2 0 5 das immer so überlegen wie groß wird dieser Fehler schlimmstenfalls und das ist in dem Fall nicht schwierig weil freundlicherweise diese Funktion die T abbildet auf minus 0 comma decimal 9 8 Mann die der das Ziel drin stehen dies auf dem Intervall von 1 bis 1 comma decimal 0 5 monoton sein ja entweder macht man sich kleine man sich kurz überlegt wie das Ding aussieht ist entsetzt und haben zum der Parabel als oder man leitet halt schnell mal das Ding noch mal ab und stellt fest dass was da rauskommt ist negativ das monoton der Funktion so was ist also der größte Wert von der Funktion auf dem Intervall meldet wird am linken Rand period an einer monoton fallen Funktion wird der größte wird am linken Rand period eingenommen also bei 1 also ist dieser Ausdruck sie auch minus 0 comma decimal 9 8 weniger als 1 auf minus 0 comma decimal 9 8 also kleiner als 1 und dann den Ziegen mehr unser Fehler den wir gemacht haben in dem wir statt 1 comma decimal 0 5 auch oder die wir machen wenn wir statt 1 comma decimal 0 5 Uhr 1 comma decimal 0 2 unser Zähler Polynom 1. Grades an der Stelle 1 2 0 5 nehmen der ist gleich 2 comma decimal 5 5 nein 10 noch minus 5 also insbesondere keine gleich 10 noch minus 4 er setzte der natürlich nur nach unten und Probleme machen tut er aber nicht in Sicht ist den Ausdruck hier angucken dann ist er sogar positiv dass wir kriegen sogar nach Aussage wenn wir nicht F direkt aus seinem Sohn durch das Ja der Polen Nummern dann ist der Fehler den wir machen positiv also wir überschätzen das und wir überschätzen dass er vom aller höchstens 2 comma decimal 5 5 mal so ungeschickt so auch das heißt diese Näherung von 1 comma decimal 0 5 5 1 comma decimal 0 2 also F von 1 comma decimal 0 5 durch das denn ein Polynom 1. Grades an der Stelle 1 comma decimal 0 5 machten Fehler diesen Fehler und damit er 2 11 von 1 comma decimal 0 5 bezeichnen von dem wissen wir jetzt es positiv von kleiner ist sie noch minus 4 und damit ist T 1 F an der Stelle 1 comma decimal 0 5 1 gesuchte eine uns befriedigenden der es müssen dass nur noch ausrechnen T 1 er stehe ich hier oben irgendwo noch da also 1 plus 1 comma decimal 0 2 1 1 comma decimal 1 0 5 minus 1 das kriegt man jetzt auch ohne Taschenrechner raus das ist bloß 1 comma decimal 0 2 x 0 comma decimal 0 5 nein das ausrechnen kommt 1 comma decimal 0 5 1 8 das ist also eine Näherung herum von dem Gesuchten wert und das was das wichtige daran ist oder was das tolle Ansatz Phontelles ist ist nicht nur einfach in den Währung mit der man rechnen kann und denken wird schon klappen sonst es Ernährung von der Mann sicher sagen kamen sie haben gewisse Genauigkeit die Hilfe der Zelle liefert eine eine Genauigkeit Garantie nicht sozusagen mit Gütesiegel ist Ernährung von der wir wissen der Fehler bis höchsten also ist kleiner als die gefordert sie noch minus 4 wissen sogar es besser als 2 comma decimal 5 5 Maximum das das ist der Nutzen des geht dass das tolle am westlichen das heißt gibt eine Garantie das die der Fehler nicht schlimmer ist als sowieso gut Volumen er ich hoffe damit ist so'n bisschen gezahlt das das Beste was tolles ist wir die noch eine kurze
Bemerkung zu der Frage machen die mehrfach schon angeklungen ist nämlich die Frage klappt es denn immer so gut dass wir es bisher hatten also kann man jede Funktion die beliebig oft differenzierbar ist durch die billig gut an mehr ja schon mal gesagt die Antwort ist Prinz sie im Allgemeinen Nein aber zum Glück ist dieser auf die ja und bei allen Standard elementare Funktion mit den Besuch zu tun haben sie ja nicht den trotzdem pathologisches Gegenbeispiel zeigen einen gemeinen und an den sieht dass die Antwort nicht immer da ist er also die Warnung sozusagen es geht das sind dann schreibe mal Klammern nicht elementare Funktionen die beliebig oft differenzierbar sind wunderbar schöne Funktion das heißt Sie können die Teller Reihe schreiben es gibt unter General aber man stellt fest mit der Lehre aus und mit 11 vergleicht dann ist die die Gleichheit nur und genau nur für x gleich x 0 und einen anderen werden hat die Teller in der Funktion nichts zu tun und ist das Standardbeispiel man kann auch andere konstruieren aber das ist so dass zugänglichste oder einfach so dass man üblicherweise hinschreibt nehmen Sie ihr hoch minus 1 durch x Quadrat das geht natürlich nur wenn X nicht nutzt er auch minus 1 wenn man sie an und sie die Funktion aus sehen zumal kurz eine qualitative Diskussion was passiert für X gegen plus oder minus unendlich dann x-beliebig große beliebig kleine damit des X Quadrate kann beliebig groß 1 durch wird 0 also in die Gruppen Grenzwert X gegen plus oder minus unendlich kommt da er auch nur das heißt 1 raus wir werden jede Funktion wegen also hier ist 1 was passiert wenn Sie X der X gegen 0 gehen lassen sie ist die neue gehen lassen egal ob von links oder rechts neben dem Quadrat geht der Exponent gegen minus endlich er um 0 also der Grenzwert für x geben und es nur und der zwischen Sie die Funktion auch 100 Prozent brav AUS die Sonne ganz ganz schmale so zum ganz ganz flach also gestoßen Sa und dass an der period also wird sieht man auch immer daraus eine vernünftige Funktion machen will kann man die stetig fortsetzen 0 nämlich mit 0 und die Funktion ist 1 dies nicht nur stetig fortgesetzten 0 dies gehe ich glatt fortgesetzt das ganze Renten Konzern anwerfen und kriegen raus diese Funktion ist nur die ich auch differenziert dies gilt so wunderbar glatt da rein dass die beliebig oft differenzierbar ist denn die Probleme Verdammnis haben Probleme an dann ist es an der Stelle 0 beliebig oft differenzierbar und wenn man diese Ableitungen aus welchen dann stellt man fest wir sind ziemlich langweilig nämlich die Ente aber der Stelle 0 dies 0 egal was Sie für ne die Funktion also an der Stelle 0 wir Abmeldung und jeder andere so sollte wenn Sie das wissen damit den wahr was ist die Teller weil von dieser Funktion f wer steht ja noch was müssen Sie tun sie nehmen die in der Ableitung teilen in Verbund und der mit diesen sich's nur noch einmal wenn aber jeder in der Abteilung 0 ist dann haben wir noch schlimmer als vorher nur jeder zweite so manches verschwendet also Marken verschwinden die Teller Reis also sehr übersichtlich wie der Reisewarnungen klar also das bestmögliche Polynom 75. gerade ist dass diese Funktionen der von mehr von 0 Bock approximiert ist das nur und das heißt dass der Bullen und sieht folgendermaßen aus er die Teller jedes Telefon und sieht so aus'm die Teller war ja auch dass die Täter eine Forderung zur wenn Sie jetzt mit der Teller reine Funktion approximieren wollen damit das Problem da profiliert sich gor nix wenn Sie sagen ja höchstens 1 Abstand ist ja nicht so schlecht dann nämlich 22-mal die Funktion haben sie im Abstand von 22 vor also das ist saumäßig ist gnadenlos war das alles würden was wirklich hilft und was da schief gehen kann man wirklich nur sehen oder verstehen wenn man sich die Funktionen komplexe Marianne im Revier ist das eine wunderschöne Funktion und wenn sie komplexe Zahlen 10 zu lassen was sie natürlich locker dürfen ja er hoffe wo es
wunderbar definiert für können der jede komplexe Zahl z außer 0 einsetzen diese Funktion dann stellt man fest in den komplexen Zahlen ist diese Funktion an Stelle nur nicht mal stetig in den Gewächsen seines dann bestellen oder sowas von gruselig singulär das kann man schon gar nicht beschreiben die hat also die habe ich meine wenn Kohl dies noch viel schlimmer als in Polen so auch ganz egal das heißt in komplexen geht ja alles schief und nur damit die Welt ganz real ankucken sie die Funktion belaufen so auf der reellen Achse auf dem schmalen Grat durchs Gebirge und das alles sieht schön aus und wir merken nicht dass links und rechts auf den mehr gewähren Achse die das Chaos tobt das ist jeder period Daniel Axel sieht alles brav aus und dadurch entsteht hier aber das ist sozusagen so sonst Schatten des komplexen der hier Sonne soll das Absurdität produziert das die Täler Reihe mit der Funktion nix zu tun hat und hinterher dass die Teller eine genauso komplex funktioniert wie real und sie der Reihe kann komplexe nix mehr weil das Gemüse nicht möchte diesen bei differenzierbaren komplexen brauchen Sie da war nix mehr und dann kann es auch ehrlich zu gut also also das als ein Beispiel es nicht klappt das F ist nur an der Stelle 0 0 und sonst nie wieder der Reise über so also das als kleine Warnung Teller funktioniert nicht immer aber wie schon gesagt solange ihre Funktion aus der Sicht der Welt H Funktion zusammengebaut ist und nicht so was komisch ständig gehe ich ergänzte dann ist alles gut er ja hatten 1. differenziert haben ja auch schon über diese beiden Punkte x wächst wie auch beim Polynom und wir haben dann häufig diese die Sichtweise gewechselt und ich mir den Grenzwert XTX 0 angestaut oder diese Differenz X minus x 0 als Abweichung H interpretiert und einen Grenzwert Hagel nun an geschaut das kann man entweder Polynom auch machen ist auch oft eine sinnvolle Sichtweise schreibt in gerade mal noch in dieser Sichtweise hinter vorgenommen also andere Schreibweise führte in der Reihe und den und enorm wenn wir wieder diese Differenz x 1 x 0 als H definieren dann sagt Stella ist die Teller Reihe TF 1 der Stände X 9 Tausend bis das sieht dann aus so mehr in gleich 0 bis unendlich und jetzt nämlich wirklich die Formen vor von hier die Formen von der Telefonnummer setzen bereit x 1 x nur durch H dann kriegen Sie hier in der Ableitung an der Stelle x 0 durch n Fakultät ändert sich gar nichts und X minus x 0 wird auch n genauso das entzieht Zählern Vollendung 11 an der Stelle x 0 plus Haar ist so n gleich 0 bis unendlich er hat mich bis dann endlich eben sagt an in der Ableitung von f an der Stelle x 0 durch einen Fakultät mal H auch was er kann und man sieht also der Zug gut so weit zum Nutzen der Teller Rail jetzt ein vorlese Block zum Thema Wie komme ich auf die Teller Rei warum klar der 3 nutzen wird meistens immer noch mit der Polynome nutzen dann muss man die Dinge ausrechnen und was wir bisher machen können ist meine können Sie ausrechnen den da ableiten das ist beim Cello Polynome der gerade nicht allzu hoch ist sein es war mühsam aber natürlich immer machbar bei der Teller Reihe ganz ätzend werden wir ohne dich Wiederanmeldung aus macht keinen Spaß mehr war auch je nachdem wie kompliziert die Funktion es schon die 1. 6 Ableitung aus ausrechnen macht keinen Spaß mehr und da will ich jetzt ein bisschen bald in die Trickkiste greifen wie ein paar Tricks zeigen wie man aus der Kenntnis von einigen Standard Potenzreihen sich kompliziertere überleben kann und das 1. das 1. Mal an einem Beispiel beispielhaft und das dachten wir von einer Potenzreihe die wir schon gut kennen nämlich der Funktion f von x ist 1 durch 1 minus X was die geometrische Reiher ist das ein Visum in ich nur wissen ärmliche X so zumindest solange X zwischen minus 1 zu 1 für die geometrische Rahmen Schmidt Potenzreihen Darstellung Mittelrhein Darstellung von dieser Funktion als durch 1 minus X mit Entwicklungsstelle x nur gleich noch in da hatten wir schon gesehen dass das was man daraus einige
Informations- 10 gehören was ich Ihnen schon gezeigt hat ist so nicht herein Darstellung ist heute da man daraus sofort beliebige Ableitung an der Stelle 0 ablesen kann die hätten Ableitung an Stelle 0 sind bis auf die Fakultät n Fakultät der vor Koeffizient von den X auch in der Potenzreihe also die Endabnahme Stelle 0 es immer einmal Fakultät also in dem Fall 1 mal n Fakultät also in Fakultät und zwar egal welches in nehmen ein das hat eine am konkreten Beispiel 2015 schon das stehen mehr worum es jetzt geht ist sie können aus dieser Potenzreihen Darstellungen weitere Potenzreihen also weitere Worte in seinen Darstellungen für andere Funktionen gewinnen zum Beispiel wie also das 1. ist sehr einfach die Funktion X durch 1 minus X die können Sie natürlich sehen als x x 1 durch 1 minus X also x Summe n gleich 0 bis unendlich X auch n ist die Summe n gleich 0 bis unendlich X auch im auch das natürlich nur so lange das X betragsmäßig minus 1 zu 1 das ich das einmal so rechnen kann liegt daran dass innerhalb des Konvergenz Bereichs der Reihe alles absolut konvergiert und deswegen alle steigert Rechenoperationen scho ab ein bisschen also das ist der einfachste Fall weiterzukommen nächste Möglichkeit eines durch 1 minus X Quadrat da gibt es im Prinzip 2 Möglichkeiten beide sind richtig eine ist rechtmäßig einfahren eines rechtmäßig kompliziert 1. Ebene ist man kann durch 1 minus X Quadrat natürlich sehen dass er sich als nur 6 x 1 wieder ins und dann sie ist die geometrische Reihe meine geometrische reiten und Produkt von 2 Reihen der muss man bisschen muss ein bisschen arg an dass wir das alles aus modifiziert hat mir unendlich lange aus wo die beziehen kann haben Minuten da und dann kommt man auf die Darstellung es gibt eine zweite Möglichkeit dem bisschen schneller ist und zwar in dem man sich klar macht dass die Funktion die erstellt nicht dass die Ableitung ist von der Funktion eines durch 1 minus X kurz mal nachprüfen das ist 1 minus 6 open bracket minus 1 minus 1 nach vorne 1 1 Musik um minus 2 in aber dann machte minus 1 wieder weg gibt genau als durch einzelne Sixpack tja und jetzt haben wir den am Anfang des gebeten so Potenzreihen hat sich in der Zelle Potenzreihen sind wunderbare Funktionen also als die ganzen des X ist ja die die geometrische reichen und ja die noch gesagt und in sein ableitet Potenzreihen leidet man ich aber in dem man einen solchen Summanden ableitet so wie man es tun würde wenn man nicht nach dem sich XM 1 x hoch ergibt sich also gar nicht so viel drüber nachdenken dass da nun nur jährliche Summe steht und dann bleibt übrig Summe in gleich 1 bis dann endlich der erste Summand fällt beim ableiten mal weg weil der konstant ist denn gleich ein für so dämlich N x x auch im Minus ist und was da steht ist mir Potenzreihen Darstellung ist die Täler Reihe von als sich als mehr Sixcup gleichen schicken Sie mir das Stammfunktion machen das ist die Stammfunktion von einst durch 1 minus 6 Stammfunktion von einst durch ist dann über Ostern also irgendwas in der Richtung ändern von 1 minus X stimmt nicht ganz wenn sie das Arbeiten 7 7 minus zu zufrieden das ist die Stammfunktion allen von 1 minus 6 ist die Stammfunktion von der Funktion eines durch 1 minus X für eine Stammfunktion Firma bis auf konstant da ich ihn am Anfang des kann man wieder für 1 durch 1 minus X wieder die Reihe einsetzen das ist die geometrische Reihe und in Zusammenhang wo ich am Anfang des Gebetes erklärt hat dass meine heute ist sein wenn sie den wunderbar konvergieren die Weise differenzieren kann stand auf das von Sohn Weise integrieren kann also gleich ist wie ich ihn ja auch sie dürfen das in die gerade in die Sonne ziehen dass die Summe in gleich 0 bis unendlich von der Stammfunktion von X auch allen die es nicht so schwer zu bestimmen zum n gleich 0 bis unendlich 1 durch im plus 1 x hoch im Plus 1 und dann kriegen wir noch mit konstanter dazu also wissen jetzt bis auf eine Konstante die noch unklar ist ist die Stammform ist die Potenzreihen Darstellung von diesen Rhythmus 1 minus X der geben durch diese Reihe ihr 1 durch im Plus 1 x auch im plus 1 wie kriegen es ist aus wir setzen sie X 1 von sie freie Auswahl das muss schon zwischen minus 1 zu 1 weil das ganze Rechnung stimmt natürlich wieder nur zwischen minus 1 und 1 aber es gibt ein X dass man sehr gern einsetzen würde weiß ich minus 1 zu 1 ich nur 1 x gibt für das man längst weiß was rauskommt nix gleich 0 wenn Sie ist gleich 0 wird sich die dann aber muss von 1 den kriegen wir aus der es nur also für jetzt gleich 0 kriegt man auf der linken Seite minus 0 also 0 ich vielleicht gleich 0 ist diese Summe hier konstant also 10 Leichen ja die Summe das konstante 0 weil kein Summand auftaucht in dem der Exponenten und es nur wenn sie nur Lohn wurde mehr das wieder 1 aber es gibt keine Stelle oder Exponenten und es war es fängt bei allen gleich 0 damit mit Erzählung und wenn gleich nur haben sie Exponent schon als also ist sie gleich 0 damit kriegen Sie also die Potenzreihen Darstellung von allen 1 minus X als minus Summe wenngleich 1 bis unendlich 1 durch n X auf die da Geld zu leihen X zwischen minus 1 zu 1 also mehr als für mehr als 1 kann sie ja nicht oder wenn X größer als wenn X 1 wird ist jetzt wenn X 1 wird dann steht dann von 0 ab dann macht keinen Sinn haben Sie also die Spreu denn eine Potenzreihen Darstellung will Rhythmus auf die Weise gewonnen und wenn man das mal hat kann ich noch an der Stelle einer als sie eine alte er eine alte war er haben nein altes Versprechen einlösen eine alte Bringschuld eine Lösung nehmen Sie mal die Formel dar und setzen es gleich minus 1 1 dann kriegen hier auf der linken Seite die Summe n gleich 1 bis unendlich 1 durch einen minus 1 hoch n das ist die Summe n gleich 1 bis endlich 1 7 minus nach vorne minus 1 gleich 1 bis unendlich 1 durch minus 1 hoch endlos 1 das den kennen wir doch das ist die alternierende harmonische Reihe der war mal gesehen war die zum Beispiel im aller 1. anfangs Vortrag über das dieses und intim und intuitiv da habe ich mit der Reise in Rom gezaubert gezeigt dass da was rauskommt aber dass man auch jedes andere rauskommen kann immer man nur die zum einen umso so mehr und ich habe auch gesagt wenn man nicht umsonst hierzulande wäre es dann Reihenfolge auf addiert dann kommt da nur muss von 2 fort und genau das ist das was hier jetzt stellt weil wir wissen von oben diese Austrup hier ist man von 2 man streichen Sie bei minus weg nein kriegen sie die Erde davor es den wird er den zwar dort habe ich damals gesagt werden wir noch sehen und Sie sehen eine ganze Menge Mathematik aufbauen müssen dass wir das zeigen konnten was normales bestreicht was damals gesagt habe
rein Werte wirklich auszurechnen ist und das ist ein mühsames Geschäft scho damit es mein vollziehen und dann geht weiter und gibt es so ich würde dann der den zweiten Teil einsteigen und der wir nicht gegeben mit Sondersammlungen Teller Innereien von denen wir einige schon gesehen haben einige neue sein werden im Prinzip die bis zu fest denn zum einen dazu alles was wir so was jetzt so in den letzten Roman so bisschen verstreut ein Information steht mal zusammenzufassen und zum anderen eben noch so ein 2 rein los zu werden die bisher nicht vorgekommen sind ich gebe wenige weist der einen Entwicklungs- Punkt 0 an das ist der Sinn man häufigsten natürlich nennen also vereinbaren mit den Sachen die wir schon gesehen haben wir die Exponentialfunktion das ist sozusagen unser 1. Potenzreihe gewesen X ist n gleich 0 bis unendlich X auch N durch N Fakultät die kennen sie alle ist aber dass eine der 3 Inseln 1 und die habe gesehen der Konvergenz Radius unendlich konvergiert also für alle x in er oder am besten gleich für allen hier dann haben wir 2 sehr Verwandte und doch sehr andere Funktionen also eine von den hatten wir gesehen ich den aus hat sich ihn gezahlt der sie aus hat als Potenzreihe so man gleich 0 bis unendlich man nur so ein so rennen und dann nur die ungeraden Potenzen X auch 2 plus 1 durch 2 1 plus 1 gut hält auch der hatte man es durchrechnet Konvergenz Radius unendlich also hier Alexander oder auch Alex C einsetzbar wir wenden oder sinnlos aus ist ist der Kosinus nicht weit denn ist ja nicht gemacht China hat sie alle ein machen Sie sich klar warum die Cosinus bei so aussieht im Prinzip aber nur wieder alle Ableitung von Cosinus auch das sind immer Sinus und Cosinus Funktion und man stellt fest in dem Fall bleiben genau die Tiraden Summanden übrig und die Worte ins von Cosinus ist die Sonne bei minus 1 auch n ich suche 2 n durch 2 n Fakultät ein Segen dann sieht genau so aus wie vom sie wusste dass wir sehen uns eine ungerade Potenzen hat und der Kurse muss alle Anlegern Potenzen und wenn wir hinschauen in geeigneter Weise bis auf die komische minus addieren sich Sinus und Cosinus mehr weniger C-Funktion zusammen plus minus und das also nur die ja alle 3 sehr ähnlich aus die rein dass es immer X-Oriente durch eine Fakultät und dann bevor vor ein minus 1 und das der tatsächlich was hinter ich lade sie ein probieren Sie es mal aus ich hoffe Sie erinnern sich an die eines der mir wir auch EX es Kosinus Express in Meisinger 6. Kraus Erinnerungs- Fossil aus dem Gebiet über komplexe Zahlen probieren mal aus setzen Sie mal IX in ihrer ja ein Rechnung so bisschen rum sortieren Sie mal nach Ghana ungerade Potenzen und Sie werden feststellen genau das kann auch also wir Funktionen Sinus Kosinus sind hoch eng verwandt auch wenn das im Allgemeinen nicht aus dann hat man sie denn nur bewirken was ich schreibe noch mal ein bisschen anders sehen weil das ist das in meinen üblicherweise Büchern findet die Potenzreihen Darstellung von Rhythmus von 1 plus X und nur bis zum n gleich 1 bis unendlich minus 1 auch im plus 1 x auch N durch N das ist das Siemens normalerweise findet der Kunde geht jetzt nicht für alle x 10 er oder in C kann er ja auch gar nicht mehr wenn X kleinere das minus 1 kann das nicht mehr gutgehen und wenn man es sieht anschaut stellt man fest der konvergiert im Intervall minus 1 bis 1 minus 1 ausgeschlossen 1 ein und der X gleich 1 ist es wieder die alternierender harmonische bei so dann kommt eine Funktion die für sich eigentlich nichts Besonderes ist gebe den Vater hat das man mit ihr Weiterkommen 1 durch 1 plus 6 Quadrate dabei auch die von der können Sie jetzt wird ein bisschen kreative Idee und genügend Frechheiten rechnen die Potenzreihe ausrechnen die warum ja man kann sie es mal ein bisschen anders hinschreiben das sieht wir dann mehr 1 durch 1 minus minus X Quadraten sieht auch nicht jeder ein das derselbe ist ab und jetzt sieht im Prinzip aus wie eine geometrische Reihe 1 durch einzelnes irgendwas ein Sprecher 1 minus irgendwas ist ein dass irgendwas zwischen minus 1 und 1 steht liegt die geometrische also ist das hier der Summe n gleich 0 bis unendlich von den irgendwas okay zum Geiste meinen das X Quadrat als Q bezeichnet wenn sie so ist muss man das nun auch wieder bisschen auflösen und dann hat man da die reinen Darstellung von 1 durch 1 plus X gerade stehen nämlich sonne n gleich 0 bis unendlich minus 1 hoch n X hoch 2 und das geht weil weil die Kriecherei gekommen sind natürlich nur für x zwischen minus 1 und 1 ist also der minus X Quadrats zumindest 1 1 x verwahrte sich 1 1 1 1 1 x sich das alles ist Sa warum ist das interessant weil sie die Stammfunktion von der Funktion kennen auf die Weise können wir uns jetzt nämlich eine bei den seine Darstellung von August Tangens zusammen bei der Agusta Tangens die Stammfunktion von einst durch 1 plus X Quadrats also was muss man nur tun dann muss diese Summe darum geht Weise integrieren sondern weil sie die Tränen und weg Zunge n gleich 0 bis unendlich minus 1 hoch n X auch 2 1 plus 1 durch 2 1 plus 1 und das ist die Potenzreihe vom August teilen wir uns auch hier wieder x zwischen minus 1 und 1 diesmal spannende Weise beide Enden eingeschlossen so war es dann bei allen Funktionen Sinus Kosinus Rhythmus Argus Tangens das kann ich ihn auch die hyperbolischen Funktion Sinus wurde Cusco wohl Kuss geben der Vollständigkeit halber also sie nur selber wurde Koss von X den haben wir ja definiert als sehr hoch X minus ihr auch minus X Halter das Ganze ja kann man einfach direkt rechnen das ist eine Halle mal die Reihe von der Ehe Funktion also n gleich 0 bis unendlich X doch endlich in Fakultät minus die Reihe von der ihre Funktion auch minus wächst also sind in die Reihe der Funktionen schreiben Berater wo X steht minus nicht sehen minus X auch in welchen Fakultäten wenn man das aus Text stellt man fest da kommt raus n gleich 0 bis unendlich X auch 2 1 plus 1 durch 2 1 plus 1 2 gute das ist die Reifen sinistere wurde kosten kann die Konvergenz Rades ausrechnen und stellt fest auch hier können Sie alle reell beziehungsweise eine komplexe Zahl einsetzt und was auch witzig ist wenn wir gesehen dass in das bewohne kursiv vollkommen anders aus aber wenn man so geometrischen Zusammenhang bedeutet das gleich eine gibts noch Sonne Querverbindung Sinus wurde kurz und sinnlos sind sehr sehr ähnliche Potenzreihen vergleichen Sie mal also sowohl die Kosten denn sie los das einzige und der einzige Unterschied ist dass der eine Art Alter nierengesunden minus 1 auch n und das fällt weg für den sie durch Werbung schleiche dass sie beim großen muss über groß hier einen Kursus wurde groß sieht im Prinzip aus wie die vom Cosinus nur dass die beiden werden Vorzeichen wegfliegen also der Sinus Kurse kurz weil er auch X plus er auch minus X 1 und dessen Potenzreihe Summe n gleich 0 bis unendlich X auch 2 n durch 2 n Fakultät und auch die konvergiert für alle komplexen zur gut so jetzt noch zum Abschluss von der Nummer beim weil er eine Potenzreihe
die 1 1 1 Fragen Frage ist aber es ist ein klassisches Ding von der Sorte dafür als dass es leicht ist also also es wird für eigentlich sehr einfache Fragen die man bestellen kann wenn man sich so richtig reinhauen werden üblicherweise seinen sich gegen weit drüber bei mir ist habe ich ihn Potenzreihen 10. eingezahlt ob betreibe ich ihn noch einen entdeckt man an zu grübeln wie kann man davon wohl die Teller Reihe ausrichten und die Antwort ist viel zu banal eine ist unendlich lange das Polynom Teller Reis der Grenzwerte Teller Polynome was in Teller Polynomen Teller Polynom Enten Grades ist dasjenige Polynom Enten Grades dass die Funktion in der Nähe von nun am besten mehr das hier ist ein Polynom 4. Grades Berlin die Aufgabe geben wäre sie dieses Polynom 4. Grades möglichst gut durch ein Polynom 4. geradesweges würden Sie dann wählen na ja das Polynom dachte das jedes Polynom ist eine eigene Teller Reihe mehr sieht man auch schon daran was müssen Sie machen wenn Sie der er Reihe aufstellen sie differenzieren immer weiter da sie bilden die Ableitung von ihrer Funktion und sowie immer weiter auf mehrmals dass sie wenn sie Polo mit ziemlich auch differenzieren mit 1 0 der reine von Kolumnisten endliche Teller Reis ja unlogisch aber ein Polynom ist ein eigenes Täter Polynom irgendwann und dementsprechend ist die Teller Reihe von den Dingen im Dienst können Sie so an das aufschreiben weil wollen Sie als Zählerei um 0 haben schreiben Sie noch den Binom aus Polynome sind ihre eigene Teller teil nein der wie gesagt so zuzuleiten so einfach ist dass es leicht ist aber ich sie haben ja gesehen ich habe das jetzt hier auch so ein paar Mal gemacht unterwegs dass er mit diesen ganzen Rechentricks aus Potenzreihen wieder andere kriegen kann man also zum Beispiel aus der Flug für einzig als plus X Quadrat habe durch Indikationen Tangens ganz gekriegt das indische über wurde kurz aber die Reihen von der Funktion genommen und den Männern der verrechnet dass es so lange nur addieren muss ganz schön wie gesagt jemand der einen multiplizieren muss wurde die sie muss noch schlimmer war freie das macht keinen Spaß mehr könne sich vorstellen oder die langes Polen Polo und das Ganze geht natürlich wieder irgendwie der Potenzreihe aber wie sieht die aus das ist in der allgemeinen Fragestellung auch nicht zu lösen es ist aber nur so dass man üblicherweise gar keine Teller rein haben wir üblicherweise man wird der Polynome habe mehr und wo man sich was ich Ihnen jetzt zeigen wir wissen welchen Kalkül mit dem Mann solche Verwurstung von Teller rein also Produkte Quotienten ineinander eingesetzten Teller ein Teller Polynome relativ effizient darstellen kann und zumindest heller Polynome von solchen Verkettungen und Quotienten und Produkten von Funktion noch darstellen zu können und dazu bin ich eine neue Notation einführen die Sie sicher treffen werden oder schon getroffen haben weil das dieser auch gerade in der Physik Mechanik und den Ingenieurwissenschaften sehr beliebte kurz Moderation ist für das berühmte da eine höhere Ordnung die man uns nicht interessieren sie so Landbau Symbole nach einem Physiker namens lang glauben benannt dann und dieses Land aus Symbole wird üblicherweise wovon er ja meistens meist ist schreibt man nicht und von allen sondern O von X auch ja das drückt aber es ein die das ab jetzt nur noch zum einen von gereist das Summanden von gerade in Mode höre kommen ich schreibe das bewusst so schwammig und unmathematisch stehen nein ich glaube so kann man sich's besser merken als wenn ich mich an einer fürchterlichen technischen Definitionsversuche was ist damit gemeint vielleicht ist damit klar der bleiben mal ins Val Entwicklung 0 dann ist die Teller weil von 11 ja eine unendliche Summe ich es aber nur die und was man ja üblicherweise machte man dieser ähnliche mehr dann will man gar nicht eheliche so nur die 1. 7 so weiter oder meistens über die S 2 das heißt man
bricht irgendwo an sagen wir mal wir wollen nur die 1. N minus 1 zu machen haben dann summieren nur von allen gleich 0 bis N minus 1 die entsprechenden Teller so man kann auch in der Anwendung von F 1 der nur durch Fakultät Maliks auch n und so wie es jetzt dasteht ist natürlich falsch beides der Reise ist nicht leicht in der Bonino und das andere Symbol dient jetzt dazu denn diese mitzuteilen ich weiß dass das nicht stimmt aber alles was jetzt kommt interne von Ordnung mindestens N und die Dame von waren mindestens interessieren mich nicht ewig weglassen wir vergleichen das haben Sie ja schon 15 Mal gehört bloß habe Hörer ab er und die deren Rente richtig und dieses Plus den höherer Ordnung wird das Land aus wohl aus in den man hier Schreibfluss Ovonics auch er das ist die Mathematik gewordene Bezeichnung für plus damit die mindestens XOR Minderheiten und das weitere vernachlässigt meistens mit in gleich 2 die entsprechend kann man das sind jetzt auch die was jetzt für x 0 gleich 0 entsprechend für allgemeine es nur zieht das dann also T F von X ist die Summe von 0 bis N minus 1 über die Teller des mehr kx 0 durch n hält X minus X nur einen und dann schreibt man eben bloß Termine in X minus x 0 hoch L was bedeutet danach kommen noch ganz viele Summanden aber die haben alle mindestens um den alle nur mindestens vom gerade wenn man diese Differenz X minus 6 Wochen werden deswegen folgen ferner ist oder in der H Schreibweise t f von x 0 plus Haar ist zum in gleich 0 bis N minus 1 Ente Ableitung an der Stelle x 0 durch in Fakultät mal H hoch ein Flowers Sterne die mindestens von Ordnung NIH sind und deswegen vernachlässigt so kann was es jetzt der Vater sollen na der Vater davon ist 1. ist dass man das meinem nicht exakt hinschreiben kann was ich immer so ein bisschen nach Taschenspielertrick andere plus Gäste aus interessiert und dass man das nutzen kann kompliziertere Teller zu bestimmen und das will ich Ihnen jetzt noch beispielhaft sein also damit lassen sich zum Beispiel er Viechereien sondern Polynom der Polynome verkehrte der Funktion bestimmen das meinen mit verkehrte der Funktion Funktion denn andere eingesetzt sind also hier kommen ein paar Beispiele nehmen Sie zum Beispiel das ist mir sehr einfacher Fall F von X er auf minus X Quadrat an der Stelle x 0 gleich nur und wir suchen das fünfte Teller vor in der Gründung fünften Grades von der Funktion dann was man da jetzt man kann es wir kennen ja die Potenzreihe der Funktion und in diesem Modellen sei der in Funktion soll jetzt diese Funktion minus X Quadrat eingesetzt werden genau ich habe hier noch mal so diesen Standard Potenzreihen dabei dass sie da noch mal drauf gucken können wie soll also Funktionen die bei den Fall der Funktion dieses sieht man das X Quadrat einsetzen und das sieht man vielleicht am besten indem man dieses minus X Fahrrad mal kurzfristig nennt dann kriegen wir F von X es die Butter ist also F von X ist er auch minus O und wenn Sie minus O in die exponential Reihe einsetzen dann fängt die an mit 1 los minus x hoch 1 also 1 minus X er 1 minus nein flogen die Exzesse jetzt ist es einfach die Exponentialfunktion so auch wo fängt an mit 1 Plus bloß Quadrat halbe plus und jetzt schreibe ich ja einfach Dame in den mindestens noch 3 auf Dauer die man gleich sehen warum das reicht ja da jetzt setzen Sie hier statt er von X ist
ja eher auch minus X Quadrat das heißt sie müssen da stehen minus X Quadrat einsetzen kriegen Sie 1 minus X Quadrat Fluss wenn sie eine Stelle Quadrat minus X Quadrat einsetzen kriegen Sie x so führte mehr x hoch 4 Viertel genau plus vorhanden Quadra hoch 3 fürs UX Quadrat einsetzen gibt Ovonics auf 6 also was jetzt dasteht ist Potenzreihe von unsere Funktion f das fängt an mit 1 7 6 war plus X so 4 Viertel und alles was danach kommt sind ja mindestens der um 6 wir interessieren uns aber nicht alle wollen nur das Telefon und fünften Grades vor das heißt was hier steht ist schon dass Teller Polen um 5 Grad also dass der Polynomen fünften Grades von unsern 11 das ist genau das was da oben steht 1 minus X Quadrat plus x so viel Fett und alles aber Ordnung 6 lassen wir weg übrigens ein Beispiel von denen die ich Ihnen gesagt habe es gibt und dass der Wohnung fünften Grades vom Rat Vernichtung hat es gibt keine so Hälfte ab so ähnlich bei ein oder andere es Beispiele wo die gleiche Technik zum Zuge kommt wir suchen mit denen Polynom würden sagen jetzt auch hier wieder Teil der Wohnung fünften Grades gesucht für den Tangens wir Weg aus der 0 1. Möglichkeit sie nehmen sich den Tangens leitenden 5 ab wenn Sie fünfmal abgeleitet man sie 5 1. Ableitungen und Ansätze seines einen Dinge Telefon 1. Möglichkeit kein bisschen essen werden nur weil die anderen vom Tangens ist 1 plus 1 Quadrat und wenn man das wieder kriegt man Wochen blödere Produktregel und das wird im Laufe der Zeit lese zweite Methode Sie erinnern sich daran das tangential Sinus durch Cosinus ist schreiben uns mal die Anfänge der Sinus und der Kosinus rein Sinus Wagenreihe Reihe mit lauter ungerade Potenzen geht los mit X minus x hoch 3 durch 3 Fakultät also ich so 3 6. plus X auch 5 5 Fakultät X auf 520. bloß und der Rest ist X auf Sie bis mindestens X Aufsehen Glossen Ovonics auf sie wo aus Delors mit 1 minus Xtra dran halbe plus X auf jährlich 4 Fakultät also x so viel 24. und der Rest ist mindestens 6 auf 6 das ist wieder die Attraktion und jetzt können das Industrie Cosinus teil also ist der teilen wir uns der ist ein Sinus von X Wechselkursen aus von Next ja ich oberen Potenzreihe X minus X auf 3 6. plus X so 520. plus irgendwas in dem die DX mindestens noch 7 auftauchen geteilt durch 1 minus X Quadrat halbe plus X so 4 24. plus fest vielleicht viele unendlich viele Summanden denn die nächste mindestens so Patent 6 auftaucht es sind jetzt nicht wahnsinnig viel freundlicher aus nur bei jetzt was mir nicht so recht wie man aus diesem gehen ohne ein vernünftiges Polynome rauskriegen soll solche am Schluss mit der vollen werden und der Cliff mit dem eine 2. kommt ist nehmen Sie diesen ganzen Schloh um hier mal also den teilnehmen ab was die dann da dann steht da X man aus der Zelle bereitstehen X X X 3 6. plus X so 520. plus irgendwelche Termine Ovonics auch sehen geteilt durch 1 minus wobei OEM Xtra daran halte minus ich so 4 24. plus irgendwelche Kerne von mindestens Ordnung X auch 6 mal gut zu machen warum ist es gut will jetzt das von der Form haben um steht irgendwas durch 1 minus und darauf können wir jetzt die geometrische Reihe also jetzt die geometrische Reihen ja also Sie schreiben dass hier nicht immer so bisschen deutlicher machen aber noch ein Zwischenschritt dann sieht man es genau war X minus X auch 3 6. plus X so 520. plus irgendwelche Reste von X auch sehen mal 1 durch 1 minus das ist nur den Zähler als Produkt als Faktor vor dem vor dem Buch geschrieben dass nix passiert sieht man aber hinten die geometrische rein das heißt wir kriegen hier X minus das X auf 3 6. lustig so 520. Schluss zerne die mindestens X auch ihnen enthalten am den Anfang der geometrischen Reihe 1 Plus Plus Quadrat bloß ferner die mindestens in der Potenz 3 Teile so jetzt immer wieder das einsetzen das ist X minus 6 auf 3 6. plus X 520. plus die X mindestens in der Potenz 7 enthalten am Ernst Flores so und jetzt setzen wir für das Sport das Ding da oben mal nix gerade mindestens so viel 24. plus Ovonics hoch 6 wobei alles was mehr als ich so 6 unsinnig interessiert mehr Stickstoff 6. ohne Sahne als wir kriegen es setzen des ein also das kriegen wir X Quadrat halbe minus x so 4 24. plus Rest ferner dann kommt es er trug er das Quadrat das ukw also super garantieren wenn ich extra Data halbe Quadrieren für dich x soviele führten jetzt werden sie minus X auch 8 4 und durch 24 verwahrt aber alle der mit Ixus 18 wir sowas von egal in auf im Umland aus dem wohl Ovonics auch 6 so und wenn ich dann den Rest von dem des Ovonics noch 6 Einsätze da unten dann dann passiert erst recht nix mehr so und jetzt muss mir die beiden auch aus multiplizieren wobei man hier aus multiplizieren er auch der betrachten muss die in der Ordnung nicht mehr als 5 werden wie kann man noch zusammenfassen ich werde mir das 24. 6 24. mindestens 24. ist 5 24 x wieder so also die beiden Dinge
damit man daraus nur Indizien wir multiplizieren selbst die hintere Klappe mit dem X aus der vorderen Klammer Text plus X sucht 3 halbe plus 5 24. wächst auch 5 werden tja plus X X Ovonics auch 6 ist ist ein Ovonics auch 6 dann kommt das x hoch 3 6. also minus x hoch 3 6. mit jedem von diesem Termin also minus one sixth x hoch 3 minus halt man 6. 7. 12. x auch 3 x x gibt X 5 und wenn sie die X auch 3 6. mit dem X auch 4 von 24. Ich so 4 wurde mit zieren habe wächst auch 9 Toshiro schlecht und dann gibt es den letzten den XO 520. den müssen wir nur noch mit dem 1. und mit der 1 multiplizieren also plus 1 120. X 5 nur weil so weit sie das nicht so 5 mit den andern Terminen multiplizieren kommen sie wieder hin übers Ohr von X doch vielen raus und das interessiert mich das ja jetzt muss man nur zusammenfassen und dann bleibt übrig das X hier mit X sucht 3 beziehen halbes X doch 3 minus 6 x hoch 3 7. 3. x hoch 3 um mit 5 gibt es 3 Termine und damit die alle hoffentlich die zusammengezählt hat bleiben 2 15 Ticks auch 5 übrig plus irgendwelche Text das ist also was sie am Ende rauskommt das fünfte Teller Polynom vom tangiert mit Ermittlungsstelle noch ich habe das jetzt so ausführlich die rechnet damit sind zurzeit alle wichtigen Tricks mal sehen ich gebe so ich weiß es nicht Sie können ja mal ausprobieren es ist wahrscheinlich in dem Fall tatsächlich ein Tag weniger Aufwand die 5 aber Dagens auszurechnen ja aber auf die Weise sieht man so alle möglichen Tricks wie man auf Quotienten eingeht wie man Produkte bearbeitet und wie man an der Stelle der die sich die es ist ein Spiel bringen kann Bach er I die Teller Polynome sind Approximation von Funktionen und mit dem Vorbehalt dass sie leichter Zugang ist leichter zu berechnen sind es kann aber noch einen wichtigen und anderen Stellen Anwendungen bei 7 Prinzip das ist das schöne an denen Polynom oder dieser Zugang es erlaubt einen sozusagen von der Funktion Beiträge ab einer gewissen ab einem gewissen Grad des Polynoms zu ignorieren und zu sagen sogar aber sich alle Terme höherer Ordnung uns nicht und das kann dazu dienen das enthalten entscheiden Teil von nur Funktion von dem die lästigen weißen Rauschen das einen interessiert zu trennen und das macht sich besonders bemerkbar bei einer weiteren Anwendung und diesen der Polynom Kalkül von diesem Land okay für und zwar wenn es um Bestimmung von Grenzwerten von komplizierten Grenzwerten gilt und wer schon gesehen Grenzwerte gibt es ganz schön hässlich jedes Werkzeug das hilft die zu bestimmen das ist viel wert also die Zelle Entwicklung er ist ergänzt werden bei komplizierten Grenzwerten der fahren nur durch 0 also den es nichts gegen x 0 er von X durch von X wenn beide Funktionen an der Stelle den Grenzwert 0 haben da haben wir natürlich schon ein Werkzeug für nämlich die Rede von ob ich zahle sie erinnern sich hoffentlich an die kleine Diva was ich jetzt sage ist Alternative dazu die je nach dem Mahl als sollte es einem Maler zeigt dass andere mehr Rechenaufwand die beiden noch ganz eng zusammen mit miteinander war was meine ich damit es an einem Beispiel zeigen oder mehreren Beispielen aber heute wahrscheinlich nicht an so viel es wären also im sehe zum Beispiel folgendes X gegen 0 Sinus von vorlegst Quadrat durch 1 minus Kosinus von Text wuchsen Grenzwert 1. Versuch ist natürlich mal so und qualitatives Bild davon zu kriegen was passiert hier setzen Sie Maron und 0 1 7 1 doof gelaufen und sie muss von uns nun Kurse muss von 0 bis 1 also steht der Grenzwert nur durch 0 keiner weiß was rauskommen 1. Möglichkeit ist die man Orbitale leiten um ableiten und nach na ja kann sein dass es funktioniert es kann aber auch sein dass man oben und unten Sinus und Cosinus stellt sich das immer wieder wiederholt und man nichts Einfacheres kriegt Alternative ist die gegenüber den über die Zellen vorgenommen und auch hier ist der o Kalkül diesen Landung Notation wieder extrem hilfreich der Sinus zunächst Quadrat wie sieht bei den der Anfang von der eine Entwicklung aus also hier wohl X stehende Six Quadrat schreiben der Anfang von der rein Entwicklung vom Sinus ist X minus x hoch 3 6. wenn sich der X Quadrat schreiben kriegen Sie also X Quadrat minus x auch 6 setzte also hier bleibt X Quadrat bloßen Ovonics auch 6 und was aber unten 1 minus Russenansturm den Anfang von der großen Ausreise hin 1 minus X Quartal werde bloß irgendwelche terne die als ist wächst so 4 gehen kann ok schon warum ist das hilfreich wir haben jetzt sieht man was hier passiert unten kommt nur eine Stelle nur bei diesen beiden Einsatz nicht weglegen und wer nix Quadrat bloß irgendwelche Termine X auch 6 Klust und Unten X Quadrat heile plus 1 ist minus wurscht in X auf sie ein von jetzt sieht man das das dauert sie grenzt wenn es nur um gegeben und und unten geht gegen 0 aber der Vorteil ist jetzt aber wissen was sie Grenze warum ist das Dorf weit oben und unten laut der Export stehen wir würden ja gern X kürzen und das können wir jetzt zu ja dem Ausdruck können Sie problemlos nix Quadrat kürzen jeder so Summand enthält in welche X Quadrate war die den Inhalt noch viel mehr Ex blemlos aus kürzen mehr also ist das das selbe wie der Grenzwert X gegen 0 ich kürzer nix Quadrat eines Flusses werden wir hinter mir die Liebe wird mindestens weg so 4 laufen durch Inhalt plus irgendwelche Therme die mindestens Wegs Quadrat laufen so und jetzt können sie schlichtweg einfach den Grenze aus wer des Tauziehen aufgehoben da X Quadrat gekürzter Quadrat ist halt sehen man sieht es gegen nur laufen lassen wenn die alle Terme die noch nicht so viel enthalten mindestens nicht so viele gegen 0 alte aber dennoch mindestens nix Quadrat enthalten den gegen 0 und übrig bleibt 1 durch Inhalt also 2 ja ist die Grundidee davon wie einen der der oder dieses Land auch Kalkül mit dem o Symbolen helfen kann solche Hessen Grenzwerte aufzulösen bei mir die entscheiden exportieren finden die raus kürzen kann und dann bleibt übrig was übrig bleiben muss gut davon dann wie gesagt in der nächsten Vorlesung noch ein 2 Beispiele mehr so weit bin ich damit mit allem was Teller sagen werde durch er ist an München schön dass Montag und Dank für die Aufmerksamkeit
Polynom
Exponent
Reihe
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Positive Zahl
Exponent
Fakultät <Mathematik>
Reihe
Gradient
Summe
Polynom
Rechenbuch
Koeffizient
Gerade
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Summe
Polynom
Große Vereinheitlichung
Betrag <Mathematik>
Abschätzung
Oval
Rungescher Approximationssatz
Ableitung <Topologie>
Gradient
Konstante
Sinusfunktion
Polynom
Punkt
Grad n
Tangente <Mathematik>
Gradient
Sinusfunktion
Polynom
Endlichkeit
Exponent
Statik
Rungescher Approximationssatz
Zahl
Ableitung <Topologie>
Gegenbeispiel
Komplexe Ebene
Quadrat
Polynom
Elementare Funktion
Exponent
Fakultät <Mathematik>
Reihe
Maximum
Volumen
Tangente <Mathematik>
Zahl
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Gradient
Ebene
Darstellung <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Exponent
Summand
Reihe
p-Block
Zahl
Richtung
Konstante
Summe
Komplexe Ebene
Quadrat
Polynom
Geometrische Reihe
Stammfunktion
Menge
Homogenes Polynom
Koeffizient
Komplexe Zahl
Stella, Tilemann
Mathematiker
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Algebraisch abgeschlossener Körper
Punkt
Zusammenhang <Mathematik>
Summand
Fakultät <Mathematik>
Exponentialfunktion
Arithmetischer Ausdruck
Quadrat
Vollständigkeit
Ende <Graphentheorie>
Vorzeichen <Mathematik>
Komplexe Zahl
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Radius
Exponent
Reihe
Summe
Komplexe Ebene
Geometrische Reihe
Stammfunktion
Betafunktion
Potenzreihe
Gebiet <Mathematik>
Länge
Kalkül
Physiker
Endlichkeit
Summand
Quotient
Physik
Landau-Theorie
Reihe
Exponentialfunktion
Biprodukt
Gradient
Summe
Quadrat
Elementare Zahlentheorie
Polynom
Eigenwert
Ordnung n
Mathematiker
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Formation <Mathematik>
Faktorisierung
Zugbeanspruchung
Kalkül
Summand
Fluss <Mathematik>
Term
Gradient
Quadrat
Weg <Topologie>
Weißes Rauschen
Ordnung n
Kerndarstellung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Exponent
Quotient
Reihe
Biprodukt
Zahl
Sinusfunktion
Schwingung
Polynom
Geometrische Reihe
Potenzreihe
Grenzwertberechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 9: Taylorreihe und Landausymbole
Serientitel Mathematik II für Bauwesen
Teil 9
Anzahl der Teile 24
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/36089
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2015
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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