So, dann mal herzlich willkommen zu einer zweiten Vorlesung zum Thema Taylor-Polynome und Taylor-Reihen. Wie letztes Mal schon so angedeutet, ein wirklich Thema, mit dem Sie immer wieder in Kontakt kommen werden,

wenn es eine Methode gibt, die man, ohne sie z.B. so zu nennen, aber dauernd und 15-fach verwendet, dann diese. Die Grundidee ist, wenn ich eine komplizierte Funktion habe, dann will ich die nicht in ihrer vollen Allgemeinheit behandeln,

weil ich sie im z.B. gar nicht bestimmen kann, sondern ich will eine polynomialen Näherung haben und das Taylor-Polynomen bietet die Möglichkeit, im Rahmen des gewünschten Grades des Polynomes die bestmögliche Approximation zu kriegen.

Wir waren eingestiegen mit der Exponentialreihe und haben festgestellt, es gibt Funktionen, die sich als Potenzreihen schreiben lassen,

also in solchen unendlichen Reihen-Darstellungen. Und das Schöne an solchen unendlichen Reihen-Darstellungen ist, die Beinhalten bringen ihre eigene Näherung mit, sie müssen nur einfach irgendwo aufhören mit der Reihe. Und wenn sie das tun und die Reihe irgendwo abbrechen lassen, dann kommt das Taylor-Polynomen heraus, vom Grad M in diesem Fall.

Und was wir gesehen hatten ist, wenn Sie so eine Reihe haben wollen, dann muss der Koeffizient, der vor dem Entenmonom, dem Enten x-x0 hoch n steht, der muss dann diese Form haben, Enteableitung von f an der Entwicklungsstelle geteilt durch n Fakultät. Und das gibt dann eben auch das Taylor-Polynomen, Enteableitung von f an der Stelle x0 durch n Fakultät mal x-x0 hoch n und darüber die Summe.

Und das, was das Taylor-Polynomen wertvoll macht, ist das, was dann am Schluss der letzten Stunde kam, das sogenannte Restglied.

Das Taylor-Polynomen ist erstmal die gegebenen Funktionen, kann ich das Taylor-Polynomen ausrechnen, muss ich nur ein paar Ableitungen ausrechnen. Aber wenn ich einfach nur das Taylor-Polynomen habe, dann sagt mir nix, wie gut ist jetzt diese Näherung.

Und die Information, wie gut ist die Näherung, die kriegt man aus dem Restglied. Es stellt sich raus, man kann die Differenz, den Fehler, den man macht, wenn man mit dem Taylor-Polynomen an der Funktion vorbei rechnet, analytisch ausdrucken durch diesen Ausdruck, der im Prinzip aussieht wie der m plus erste Summan vom Taylor-Polynomen,

abgesehen davon, dass sie die Ableitung nicht an der Stelle x0 auswerten, sondern an einer Stelle xi, die man im Allgemeinen nicht kennt. Wenn man die kennen würde, dann könnte man das Restglied exakt ausrechnen und damit könnte man die Funktion exakt ausrechnen, dann müssen sie aber auch nicht Taylor.

Das soll sein, die ganze Komplexität der Funktion f steckt in dem xi. Trotzdem, und das will ich Ihnen jetzt am Anfang der Vorlesungen in zwei Beispielen zeigen, ist diese Information, dass man diesen Fehler so ausdrücken kann, wenn man ihn nicht ausrechnen kann, aber dass man diesen analytischen Ausdruck für den Fehler hat, extrem gold wert. Das will ich Ihnen jetzt noch an zwei Beispielen zeigen.

Das erste ist das Beispiel 13.10 und da kommen wir zu meinem motivierenden Anfangsbeispiel von diesem Taylor-Kapitel zurück.

Wir sind wieder dabei, unseren Taschenrechner zu programmieren und der soll den Sinus ausrechnen. Wir suchen also den Sinus von x, wobei x eine positive Zahl ist, aber nicht allzu positiv, also eine kleine positive Zahl.

Wir müssen ja beim Taylor-Polynomen immer in der Nähe des Entwicklungspunktes bleiben, sonst wird die Näherung im Allgemeinen schlecht. Deswegen eine kleine positive Zahl und was wir suchen, ist eine Näherung für den Wert Sinus von x.

Also ist die naheliegende Idee, wir suchen uns die Taylor-Reihe oder die Taylor-Polynome vom Sinus an der Entwicklungstelle x0 gleich 0. Also wir brauchen die Taylor-Reihe vom Sinus mit der Entwicklungstelle x0 gleich 0. Hier steht das Kochrezept, was Sie tun müssen, um diese Taylor-Reihe zu bestimmen.

Sie brauchen im Wesentlichen alle Ableitungen der Sinus-Funktion an der Stelle 0. Das freundliche am Sinus ist, dass die Ableitungen sich ziemlich schnell wiederholen. Also Sinus, Kosinus, Minus, Sinus, Minus, Kosinus, Sinus, Kosinus und so weiter. Wenn Sie da 0 einsetzen, dann kriegen Sie raus 0, 1, 0, minus 1, 0, 1, 0, minus 1, 0, 1, 0, minus 1 und so weiter.

Das heißt, wir können die Taylor-Reihe im Prinzip sofort hinschreiben. In der Taylor-Reihe tauchen nur die ungeraden Potenzen auf, weil die graden Ableitungen vom Sinus, das tauchen nur die ungeraden Potenzen auf,

weil die graden Ableitungen vom Sinus, also die 0te, 2te, 4te, 6te und so weiter Sinus-Funktion sind, die sind an der Stelle 0, 0. Und die ungeraden Ableitungen vom Sinus und Kosinus-Funktion, die sind an der Stelle 0, entweder 1 oder minus 1. Das tauchen also nur summantenauf mit ungeradem N.

Und für die steht hier oben jeweils 1 oder minus 1. Und wenn man es ausrechnet und schön zusammenfasst, dann kriegt man als Darstellung der Reihe für den Sinussumme N gleich 0 bis und endlich minus 1 hoch N, das sind die wechselnden 1 minus 1,

mal x minus 0 hoch 2M plus 1, das sind die ungeraden Potenzen und das Ganze ist geteilt durch 2M plus 1 Fakultät. Also wenn Sie sich den Anfang mal hinschreiben zum Kennenlernen, die Sinus-Reihe, die werden Sie noch häufiger brauchen, fängt an für N gleich 0 mit x hoch 1, für N gleich 2 kriegen Sie minus x hoch 3 durch 3 Fakultät,

plus x hoch 5 durch 5 Fakultät, minus x hoch 7 durch 7 Fakultät und so weiter. Das ist die Sinus-Reihe. Immer ungerade Potenzen durch die entsprechende Fakultät und abwechselnde Vorzeichen.

So, damit haben wir einen Kandidaten für die Approximation des Sinus, aber die spannende Frage ist jetzt, wie gut ist denn diese Approximation? Und die Antwort darauf, wie gut diese Approximation ist, liefert das Restglied. Also wie sieht das Restglied, wenn ich jetzt bis zum Mten-Grade

mit dem Telepollenum Mten-Grades abproximiere, dann gehört dazu das Restglied RM plus 1. Und das haben wir da drüben auf der Folie noch stehen. Das kann man darstellen als die M plus erste Ableitung von F von irgendeiner Stelle Xi durch M plus 1 Fakultät

mal x hoch M plus 1. Wobei man natürlich, wie gesagt, das Xi nicht genau kennt, aber man hat so eine Eingrenzung, wo das Xi leben kann. Das Xi liegt immer zwischen x und der Entwicklungsstelle.

Also man kann es nicht genau bestimmen, aber man ist sich immer sicher, dass es irgendwo liegt zwischen x und der Entwicklungsstelle. Für jedes x hat man natürlich ein anderes Xi. Und damit hat man wenigstens so eine ungefähre Ahnung, wo das Xi zu liegen kommt. Jetzt war da eine Frage. Wie kommt man auf das 2M plus 1 Fakultät?

Ja, indem man es in Ruhe rechnet und hier einsetzt, die Ableitungen von unserem Sinus sind immer, also die Graden sind E0 und die Ungraden sind 1 oder Minus 1. Und in dem Telepollenum steht immer die End der Ableitung durch die entsprechende Fakultät. Und die ungeraden Ableitungen sind gerade die mit 2N plus 1,

also 1, 3, 5 und so weiter. Und zu dem, oder so noch besser, zu dem x hoch N gehört immer das N Fakultät. Zu dem x hoch 2M plus 1 gehört das 2M plus 1 Fakultät. Das, was da steht, ist eine kondensierte Schreibweise dafür, dass es nur ungerade Exponenten gibt.

Deswegen habe ich x hoch 2M plus 1 gemacht. Wenn Sie jetzt mit dem N in Einserschritten hochlaufen, läuft dieser Exponent 1, 3, 5, 7, 9, 11. Das ist ein Trick, um ungerade Exponenten zu erzeugen und die Graden wegfallen zu lassen. Und deswegen steht da unten nicht N Fakultät, sondern 2M plus 1 Fakultät mit den entsprechend genau gleichen Exponenten.

Ja, also gucken Sie sich das noch mal in Ruhe an. Versuchen Sie die Summe selber so hinzuschreiben, wie Sie es schöner finden. Dann werden Sie irgendwann auch auf der Darstellung landen, weil das die Einzige ist, wo das dann in einer Formel dasteht.

Also man weiß von dem Xi nicht genau, wo es ist, aber man weiß, dass das Xi liegt irgendwo zwischen der Entwicklungsstelle 0 und dem x. So, aber das Gute ist ja jetzt, was passiert jetzt mit diesem Rest? Wir können ihn nicht genau ausrechnen, aber wir können mal eine Worst-Case-Abschätzung machen.

Und das Schöne ist, diese M plus erste Ableitung von dem F, die ist entweder ein Sinus, ein Cosinus, ein Minus-Sinus oder ein Minus-Cosinus. Kommt drauf an, was M ist. Aber irgendeins davon ist es. Und egal, ob es jetzt ein Plus oder Minus, Sinus oder Cosinus ist,

das Ding liegt immer zwischen Minus 1 und 1. Die M plus erste Ableitung an der Stelle Xi ist, wurscht, was Xi ist und wurscht, was M ist, immer zwischen Minus 1 und 1. Und dieses Wissen können wir jetzt nutzen. Es gilt immer, dass die M plus erste Ableitung von F an der Stelle Xi kleiner als 1 ist.

Also können wir sozusagen eine Worst-Case-Abschätzung machen, der Betrag von unserem Fehler, den wir machen, wenn wir mit dem Taylor-Polynomen Mton grades approximieren. Und das ist ja das, was uns auch üblicherweise interessiert, der Betrag vom Fehler. Sie wollen nicht genau wissen, wie groß der Fehler ist,

sondern Sie wollen wissen, wie groß der Fehler betragsmässig ist. Ob Sie links oder rechts vorbeigeschossen haben, ist Ihnen wurscht. Sie wollen wissen, wie weit Sie vorbeigeschossen haben. Also der Betrag vom Fehler ist damit kleiner gleich. Die M plus erste Ableitung ist nie größer als 1 durch M plus 1 Fakultät mal Betrag X hoch M plus 1.

Und was man jetzt sieht, ist, man sieht daran mehrere Dinge. Man sieht daran zum einen, die Näherung wird besser, wenn M größer wird. Warum? Was passiert, wenn M größer wird?

Dann wird M plus 1 Fakultät noch mal verdammt viel mehr größer. 1 durch M plus 1 Fakultät wird sehr klein. Und wenn das X selbe bleibt, wird der Fehler immer kleiner. Oder zumindest die größtmögliche Schreinke des Fehlers wird immer kleiner.

Genauso wird die Näherung besser, wenn Sie X näher bei 0 nehmen. Also Näherung umso besser, je näher X bei 0. Wenn Sie mal im Kopf das M fix lassen und jetzt mit dem X gegen 0 rutschen, dann wird dieses Ausdruck da auch immer kleiner.

Und zwar umso schneller kleiner, je größer Ihr M ist. Und was man insbesondere auch sieht, ist, in diesem Fall der Limes, wenn Sie jetzt mal den Grad ganz nach oben drücken, den Grad immer höher machen,

der Limes von dem Fehler, der ist 0. Und zwar unabhängig von X. Egal was Sie für X nehmen, die Fakultät da unten macht alles weg. Das heißt, man kann, selbst wenn man das X sehr weit weg von 0

macht, wenn man das M sehr, sehr groß macht, immer eine beliebig genaue Näherung erreichen.

Und damit ist das für unser Ausgangsproblem mit dem Taschenrechner ein gutes Werkzeug. Wenn Sie weit genug rechnen, kommen Sie immer so weit, dass Sie mindestens mal die Displaygenauigkeit einhalten und damit ist das für den Taschenrechner super. Und man kann es eben sogar quantifizieren. Das heißt, der Taschenrechner weiß, wenn mein X, was weiß ich, 0,3 ist, dann muss ich alle höchstens so lange rechnen,

bis dieser Ausdruck 1 durch M plus 1 Fakultät mal 0,3 hoch M plus 1 kleiner wird als meine Displaygenauigkeit. Dann bin ich 100 Prozent sicher, dass ich ein ausreichend genaues Ergebnis kriege. Das ist der schlimmste Fall, der auftreten kann. Weiter kann meine Näherung nicht abweichen.

Also wenn Sie die geraden Ableitungen anschauen vom Sinus, dann kommt an der Stelle 0,0 raus. Und bei den ungeraden kommt abwechslend 1 und minus 1 raus, weil Sie mal Kosmos, mal Minuskosmos haben.

Na ja, was müssen Sie denn für die Taylor-Reihe oder für das Taylor-Polynomen machen? Sie müssen die Ableitung an der Stelle 0 nehmen und mit X multiplizieren. Das ist der erste Termin der Summe, der für N gleich 0. Minus 1 hoch 0 ist 1 durch 1 Fakultät mal X hoch 1. Der nächste Summand ist die erste Ableitung an der Stelle X0.

Die erste Ableitung an der Stelle X0 ist 0. Der ganze Summand ist also 0. Den brauchen Sie nicht addieren. Sie dürfen gern 0 dazu addieren, aber das ändert nichts. Die geraden Summanden liefern alle 0. Und wenn die Summanden 0, lässt man halt weg.

Allein, damit man es schöner hinschreiben kann. Das kommt rechnerisch raus, dass die Approximation beliebig gut wird. Ich will es Ihnen auch noch mal grafisch zeigen.

Fast jedenfalls, doch, man kriegt es auf einen Schirm. Was wir hier sehen, ist zum einen die Sinusfunktion in Blau.

Hoffentlich alte Bekannte. Und dann das 0, der erste, zweite und dritte Taylor-Polynomen von der Sinusfunktion. An dieser Stelle X0 hier. Diese Stelle X0 ist da in Grün eingezeichnet zwischen 5 und 6.

Ist jetzt nicht in 0 genähert, sondern an dieser Stelle X0 genähert. Und was man hier sehen kann, das erste ist das 0-Taylor-Polynomen. Das ist die Konstante, die die Funktion an dem Punkt am besten nähert. Das ist die Konstante. Dann kommt die Gerade, die am besten nähert. Die Tangente. Dann kommt die Parabel, die am besten nähert.

Die Funktion dritten Grades, die am besten nähert. Und wenn man jetzt weiter, weiter, weiter rechnet, dann sieht man, die Näherung wird sehr gut in der Nähe von X0. Sie wird schlecht weit draußen. Wenn Sie Taylor-Polynomen dritten Grades nehmen und hier an der Stelle minus 5 damit nähern,

dann ist der Wert von, ich weiß nicht, plus 120, der da rauskommt, nur eine semi-gute Näherung für den Sinus. Das ist logisch und gar nicht zu ändern, denn ein Polynom kann den Sinus nie perfekt nähern,

schon deswegen, weil jedes Polynom dazu, also jedes Polynom ist nicht konstant, dazu verdammt ist, entweder gegen plus oder minus unendlich zu gehen. Polynome hauen im Unendlichen immer ab, können die gar nicht anders. Damit sind Sie beim Sinus an der falschen Adresse, weil der Sinus macht dich mit. Wenn Sie jetzt den Grad immer höher drehen, dann hat Ihr Polynom immer mehr Möglichkeiten,

zwischendrin Wendestellen und Hoch- und Tiefpunkte einzubauen, dann wird sich irgendwann so den ersten fünf Sinuswellen anschmiegen und danach abzischen. Getreu dem, was ich vorhin sagte, die Näherung mit einem Taylor-Polynomen ist dann gut,

wenn entweder das X nah bei X0 ist oder das M sehr groß, aber die Erfahrung, das ist jetzt sozusagen kein mathematischer Lehrsatz, aber eine Erfahrung lehrt, versuchen Sie nicht X, das weit von X0 wegliegt, zu kompensieren durch einen hohen Grad.

Der Rechenaufwand, den Sie durch einen hohen Grad, also wenn X weit von X0 wegliegt, dann ist die Näherung sehr schnell eher schlecht und Sie müssen extrem hohe Grade nehmen und rechnet sich ein Wolf und auch der Computer rechnet sich ein Wolf. Wenn Sie weit weg von Ihrer Entwicklungsstelle wollen, dann überlegen Sie sich nicht, ob es besser ist, eine andere Entwicklungsstelle zu nehmen.

Insbesondere bei solchen Fällen, wenn Sie eine Funktion haben wie den Sinus, der eigentlich dadurch, dass er periodisch ist, schon von der Grundeigenschaften her, eigentlich nicht dazu passt, durch Polynomik näher zu werden, das Problem kommen wir in der nächsten Vorlesung nochmal zurück,

dann ist X weit weg von X0 keine gute Idee. So, also haben wir das erste Beispiel, an dem man sieht, dass man zumindest theoretisch

den Sinus mit seinem Telepolynom an der Stelle X0 beliebig gut überall nähern kann. Ja, wie gesagt, in der Praxis sollte man, wenn Sie den Sinus an der Stelle 0 entwickeln und ihn in X gleich 100 nähern wollen, dann möchte ich nicht wissen,

zu welchem Grad Sie gehen müssen, da dürfte man ein paar Wochen lang rechnen. Ich will jetzt ein zweites Beispiel einschieben, dass man wieder eine etwas grüne Nummer kriegt, weil es im Skript nicht so vorgesehen ist. Also das Beispiel 10,5, das nochmal so ein bisschen den Nutzen des Restglieds

Ihnen zeigen soll. Und zwar jetzt ohne, dass wir über Reihen und unendliche Summation reden, sondern rein nur mit endlichen Taylor Polynomen. Was ich suche, ist der Ausdruck 1,05 hoch 1,02.

Ich brauche den Zahlenwert von diesem Potenz. Und Sie haben leider Ihren Zahlenrechner nicht da. Sie sind auf einer einsamen Insel, haben Bleistift und Papier und brauchen aus irgendeinem Grund für Ihre Statik genau diesen Wert. Und die Frage ist, wo kriegen Sie den her?

Genau ist es natürlich schwierig. Insofern sind wir mal großzügig und sagen 10 hoch minus 4 reicht. Also wenn wir ihn auf ein Zehntausendstel genau angeben können, sind wir zufrieden. Gut, wie kriegen wir das hin? Und das kriegt man tatsächlich mit nicht allzu viel Aufwand mit Zettel und Papier hin

und auch ohne Taschenrechner. Womit ich jetzt nicht den Taschenrechner verteufeln will, aber zum einen ist es interessant zu sehen, was macht das Ding eigentlich? Und zum anderen ist es immer gut zu wissen, was im Hintergrund läuft und was die Grundlage davon ist.

Also machen wir es einmal von Hand. Und was ich dazu mache, ist, ich werde versuchen, das auf meinen Taylor zurückzuspielen. Das heißt, ich suche mir eine schöne Funktion, die nah an dem Problem ist. Und zwar nehme ich die Funktion f von x ist x hoch 1,02 und entwickle die um x0 gleich 1.

Warum ist das eine gute Idee? Weil das ist deswegen eine gute Idee, weil was brauche ich für die Taylor-Näherung, für das Taylor-Pollinom? Ich brauche alle Ableitungen von der Funktion f an der Entwicklungsstelle. Das ist das, was man für Taylor immer braucht. An der Entwicklungsstelle die Ableitung.

Das Problem ist, wenn ich jetzt, ich könnte natürlich auch um 1,05 entwickeln, das wäre super, dann kriege ich den exakten Wert. Nur dann müssen sie f von 1,05 ausrechnen, das wollen wir gerade tun. Das bringt nichts. Das ist eine Stelle, an der wir die Funktion leicht auswerten können. Eine Stelle, die nah dran liegt, wo wir aber f von x0, f' von x0, f2, alles leicht ausrechnen können.

Dann 1 ist perfekt. 1 hoch 1,02 kriegen wir auch ohne Enttäuschrechner hin. So. Also, wir approximieren diese Funktion mit ihrem Taylor-Pollinom

an der Stelle 1, an der Entwicklungsstelle 1. Was brauchen wir dafür? Wir brauchen die Ableitungen von der Funktion. Genauer gesagt brauchen wir nur die Ableitungen an der Stelle 1. Aber damit wir die haben können, müssen wir natürlich erstmal die Ableitungen ausrechnen. Ist zum Glück nicht schwer, weil das eine Funktion von der Form x hoch alpha ist. Die erste Ableitung ist 1,02 mal x hoch 0,02.

Die zweite Ableitung ist entsprechend 1,02 mal 0,02 mal x hoch minus 0,98. Und wir kriegen f von 1 ist 1.

f' von 1 ist 1,02. Mal 1 hoch 0,02, also 1,02. So, und damit können wir jetzt schon das Taylor-Pollinom erst der Ordnung von unserem f aufstellen. Wie? Erst f an der Stelle x0, Null der Ordnung, Mehrung der Funktionswerte,

plus f' an der Stelle x0, also f' an der Stelle 1 mal x minus 1. Das ist das Taylor-Pollinom erster Ordnung, auch genannt die Tangente.

Also wenn wir einsetzen 1 plus 1,02 mal x minus 1. So, das hätten wir schon vor drei Wochen machen können. Das ist einfach die Tangentengleichung. Jetzt nähern wir wieder unsere Funktion x hoch 1,02 durch die Tangente in 1.

Was jetzt neu dazugekommen ist, ist, dass der Satz von Taylor uns nicht nur sagt, hier ist dein Taylor-Pollinom, sondern er sagt uns auch, du kannst den Fehler, den du machst, darstellen. Du kannst den Fehler hinschreiben. Der Fehler sieht genau so aus.

Und das können wir jetzt machen. Also nach dem Satz von Taylor existiert wieder dieses ominöse Xi. Also wir wenden den jetzt an mit der Entwicklungsstelle x0 gleich 1 und mit x gleich 1,05.

Wir wollen ja eigentlich f von 1,05 bestimmen. Wir wollen 1,05 hoch 1,02 bestimmen. Wir wollen f von 1,05 bestimmen. Also wenden wir den Taylor an mit x0 gleich 1, der Entwicklungsstelle, und x gleich 1,05. Gibt es jetzt also so ein ominöses Xi, das zwischen der Entwicklungsstelle und dem betrachteten Punkt liegt.

Also zwischen 1 und 1,05. Da das x schön nah bei 1 ist, haben wir jetzt auch das Xi gut im Griff. Das Xi liegt nur, kann nur in diesem kleinen Intervall liegen. Sodass der Fehler, den wir machen, also der Abstand vom wahren Wert, den wir wissen wollen, aber nicht rauskriegen,

minus der Näherung, die Sie machen, wenn Sie das Taylor-Pollinom verwenden, das Taylor-Pollinom erster Ordnung, den können Sie darstellen als das Restglied R2 f an der Stelle 1,05. Und dieses Restglied, Siehe da unten, also in dem Fall, Siehe hier,

dieses Restglied mit m gleich 1, ist also ein Halbmal, das ist die Fakultät, 1 durch 2 Fakultät, mal zweite Ableitung von f an der Stelle Xi, mal x-x0, also x0-x, 1-1,05².

Jetzt können wir das F2-Strich einsetzen, das ist ein Halb, mal 1,02, mal 0,02, mal Xi hoch minus 0,98, und 1-1,05 ist 0,05, 0,05².

So, jetzt kann man das alles da zusammenrechnen. Und wenn man das tut, also ein Halb, mal 1,02, mal 0,02, mal 0,05², dann kommt da raus 2,55, mal 10 hoch minus 5, mal Xi hoch minus 0,98.

So, der Fehler, hat also diese Größe, wobei das Xi irgendwas zwischen 1 und 1,05 ist. Jetzt müssen wir uns noch überlegen, wie groß wird dieser Fehler, schlimmstenfalls, und das ist in dem Fall nicht schwierig,

weil freundlicherweise diese Funktion, die T abbildet auf T hoch minus 0,98, die, in der das Xi drin steht, die ist auf dem Intervall von 1 bis 1,05 monoton fallen.

Entweder macht man es sich klar, indem man sich kurz überlegt, wie das Ding aussieht, das ist im Prinzip so eine Hyperbole, so ein Hyperbole-Ast, oder man leitet halt schnell mal das Ding nochmal ab und stellt fest, dass was da rauskommt, ist negative. Das ist eine monoton fallende Funktion. So, was ist also der größte Wert von der Funktion auf dem Intervall? Naja, der Wert am linken Randpunkt.

Bei einer monoton fallenden Funktion wird der größte Wert am linken Randpunkt eingenommen, also bei 1. Also, ist dieser Ausdruck, Xi hoch minus 0,98, weniger als 1 hoch minus 0,98,

also kleiner als 1. Und damit kriegen wir unser Fehler, den wir gemacht haben, indem wir statt 1,05 hoch, oder den wir machen, wenn wir statt 1,05 hoch 1,02 unser Zählerpolynom ersten Grades an der Stelle 1,05 nehmen,

der ist kleiner gleich 2,55 mal 10 hoch minus 5, also insbesondere kleiner gleich 10 hoch minus 4. Jetzt könnt ihr natürlich nur nach unten ein Problem machen, tut er aber nicht, wenn Sie sich den Ausdruck hier angucken, dann ist der sogar positiv. Also wir kriegen sogar

eine Aussage, wenn wir nicht F direkt ausrechnen, sondern durch das Zählerpolynom nähern, dann ist der Fehler, den wir machen, positiv. Also wir überschätzen das F, und wir überschätzen das F um alle höchstens 2,55 mal 10 hoch minus 4.

So, das heißt, diese Näherung von 1,05 hoch 1,02, also F von 1,05 durch das Zählerpolynom ersten Grades an der Stelle 1,05 macht einen Fehler, diesen Fehler

haben wir mit R2F von 1,05 bezeichnet, von dem wissen wir jetzt, der ist positiv und kleiner als 10 hoch minus 4, und damit ist T1F an der Stelle 1,05, eine gesuchte, eine uns befriedigende Näherung, jetzt müssen wir es nur noch ausrechnen,

T1F steht hier oben irgendwo noch, da, also 1 plus 1,02 mal 1,05 minus 1, das kriegt man jetzt auch ohne Taschenrechner raus, das ist 1 plus 1,02 mal 0,05,

und wenn man das ausrechnen, kommt 1,051 raus, das ist also eine Näherung, eine Näherung von dem gesuchten Wert, und das, was das Wichtige dran ist, oder was das Tolle am Satz von Taylor ist,

ist nicht nur einfach irgendeine Näherung, mit der man rechnen kann und denken wird es schon klappen, sondern es ist eine Näherung, von der man sicher sagen kann, sie hat eine gewisse Genauigkeit, die liefert, der Taylor liefert eine, eine Genauigkeitsgarantie mit, sozusagen mit Gütesiedlung, ist eine Näherung, von der wir wissen, der Fehler

ist allerhöchsten, also ist kleiner als die geforderten 10 hoch minus 4, wir wissen sogar, er ist besser als 2,55 mal 10 hoch minus 5, das ist der Nutzen des Restglieds, das ist das Tolle am Restglied, das Restglied gibt einem die Garantie, dass die, der Fehler nicht schlimmer ist als sowieso,

gut, ich hoffe damit ist, so ein bisschen gezeigt, dass das Restglied was Tolles ist, und jetzt will ich noch eine kurze Bemerkung,

zu einer Frage machen, die mehrfach schon angeklungen ist, nämlich die Frage, klappt das denn immer so gut, was wir jetzt bisher hatten, also kann man jede Funktion, die beliebig aufdifferenzierbar ist, durch eine Taylor-Reihe beliebig gut annähern, und ich hatte schon mal gesagt, die Antwort ist im Prinzip im Allgemeinen nein,

aber zum Glück ist sie sehr oft ja, und bei allen Standard-Elementarfunktionen, mit denen wir so zu tun haben, ist sie ja, und ich will Ihnen trotzdem ein pathologisches Gegenbeispiel zeigen, einen gemeinen Hund, an dem man sieht, dass die Antwort nicht immer ja ist,

also, die Warnung sozusagen, es gibt, das sind dann, ich schreibe mal in Klammern, nicht elementare Funktionen,

die beliebig aufdifferenzierbar sind, wunderbar schöne Funktionen, das heißt, sie können die Taylor-Reihe hinschreiben, es gibt eine Taylor-Reihe, aber man stellt fest, wenn man die Taylor-Reihe ausrechnet, und mit f vergleicht, dann gilt die Gleichheit nur und genau nur für x gleich x0,

und in allen anderen Werten, hat die Taylor-Reihe mit der Funktion nichts zu tun, und hier ist das Standardbeispiel, man kann noch andere konstruieren, aber das ist so das, zugänglichste oder einfachste, das man üblicherweise hinschreibt,

nehmen Sie e hoch minus 1 durch x², das geht natürlich nur, wenn x nicht 0 ist, e hoch minus 1 durch x², wenn man sich aber anguckt, wie die Funktion aussieht, so mal kurz eine qualitative Diskussion,

was passiert für x gegen plus oder minus und endlich, wenn x beliebig groß oder beliebig klein wird, dann wird das x² da unten beliebig groß, 1 durch wird 0, also im Grenzwert x gegen plus oder minus und endlich kommt da e hoch 0, das heißt 1 raus, hier hinten geht die Funktion gegen 1,

was passiert, wenn Sie x gegen 0 gehen lassen, wenn Sie x gegen 0 gehen lassen, egal ob von links oder rechts, wegen dem Quadrat, geht der Exponent gegen minus und endlich, e hoch minus und endlich ist 0, also der Grenzwert für x gegen 0 ist 0, und dazwischen sieht die Funktion auch 100% brav aus,

die ist so eine ganz, ganz schmale Suppenschüssel, so ein ganz, ganz flacher Suppenschüssel, so, und das fiese an der Funktion, also und jetzt sieht man auch, wenn man daraus eine vernünftige Funktion machen will, kann man die stetig fortsetzen in 0, nämlich mit 0, und die Funktion ist spannend,

die ist nicht nur stetig fortgesetzt in 0, die ist beliebig glatt fortgesetzt, jetzt können Sie den Differenzenquotient anwerfen und kriegen raus, diese Funktion ist in 0 beliebig oft differenzierbar, die geht so wunderbar glatt da rein, dass die beliebig oft differenzierbar ist,

und damit fangen die Probleme an, dann ist f an der Stelle 0 beliebig oft differenzierbar, und wenn man diese Ableitungen ausrechnet, dann stellt man fest, die sind ziemlich langweilig,

nämlich die N der Ableitung an der Stelle 0, die ist 0, egal was sie für ein N nehmen, die Funktion hat also an der Stelle 0, jede Ableitung und jede Ableitung ist 0, so jetzt, wenn Sie das wissen, können wir die Taylor-Reihe hinschreiben, was ist die Taylor-Reihe von dieser Funktion f,

naja, da steht sie ja noch, was müssen Sie tun, Sie nehmen die N der Ableitung, teilen durch N-Fakultät, und nehmen mit x minus x nur noch N mal, wenn aber jede N der Ableitung 0 ist, dann haben wir, noch schlimmer als vorhin, wo jeder zweite Summat verschwindet, alle Summaten verschwinden, die Taylor-Reihe ist also sehr übersichtlich, und die Taylor-Reihe ist einfach 0,

also das bestmögliche Polynom 75 Grad ist, das diese Funktion in der Nähe von 0 approximiert, ist das Nullpolynom, das heißt, das Taylor-Polynom sieht folgendermaßen aus,

ja, jedes Taylor-Polynom sieht so aus, und die Taylor-Reihe auch, das ist die Taylor-Reihe von der Funktion, wenn Sie jetzt mit der Taylor-Reihe die Funktion approximieren wollen, haben Sie ein kleines Problem, da approximiert sich gar nichts, und wenn Sie sagen, naja, höchstens 1 Abstand ist ja nicht so schlecht,

dann nehme ich 22 mal die Funktion, dann haben Sie den Abstand von 22, also das ist saumäßig, das ist gnadenlos, das heißt, irgendwas geht hier schief, und was da schief geht, kann man wirklich nur sehen oder verstehen,

wenn man sich die Funktion in komplexen Variablen anguckt, im Reellen ist das eine wunderschöne Funktion, und wenn Sie komplexe Zahlen zulassen, was Sie hier natürlich locker dürfen, E hoch, E hoch i ist wunderbar definiert, Sie können da jede komplexe Zahl z außer 0 einsetzen,

in diese Funktion, dann stellt man fest, in den komplexen Zahlen ist diese Funktion an der Stelle 0 nicht mal stetig, in den komplexen Zahlen ist die Funktion an der Stelle 0 sowas von gruselig singulär, das kann man schon gar nicht beschreiben, die hat also, die hat nicht mal mehr einen Pol, die ist noch viel schlimmer als ein Pol,

das ist aber auch ganz egal, das heißt, im komplexen geht hier alles schief, und nur wenn wir die Welt ganz reell angucken, sieht die Funktion, wir laufen sozusagen auf der reellen Achse, auf dem schmalen Grad durchs Gebirge, und alles sieht schön aus, und wir merken nicht, dass links und rechts auf der imaginären Achse, das Chaos tobt, das ist hier der Punkt, auf der reellen Achse sieht alles brav aus,

und dadurch entsteht hier, aber das ist sozusagen so ein Schatten des Komplexen, der hier so eine Absurdität produziert, dass die Taylor-Reihe mit der Funktion nichts zu tun hat, und dahinter hängt, dass die Taylor-Reihe genauso komplex funktioniert wie reell, und diese Taylor-Reihe kann im komplexen nichts nähern,

weil das Ding ist ja nicht mal stetig, ist ja nicht mal differenzierbar, im komplexen brauchen sie da überhaupt nichts nähern, und dann kann es auch im reellen nicht funktionieren. Gut, also, das als ein Beispiel, wo es nicht klappt, das F ist nur an der Stelle Null, Null und sonst nie,

und die Taylor-Reihe ist überall Null. So, also das als kleine Warnung, Taylor funktioniert nicht immer, aber wie schon gesagt, solange ihre Funktion aus klassischen Elementarfunktionen zusammengebaut ist, und nicht so was komisch stetig ergänztes,

dann ist alles gut. Wir hatten beim, als wir differenziert haben, ja auch schon immer diese beiden Punkte X Null und X, die hier auch beim Taylor-Polygon,

und wir haben dann häufig die Sichtweise gewechselt und nicht mehr den Grenzwert X gegen X Null angeschaut, sondern diese Differenz X minus X Null als Abweichung H interpretiert und dann den Grenzwert H gegen Null angeschaut. Das kann man beim Taylor-Polygon auch machen und ist da auch oft eine sinnvolle Sichtweise,

und ich schreibe Ihnen gerade mal noch in dieser Sichtweise die Taylor-Polynome hin, also andere Schreibweise für Taylor-Reihe und Taylor-Polynomen, wenn wir wieder diese Differenz X minus X Null als H definieren,

dann ist die Taylor-Reihe TF an der Stelle X Null plus ein bisschen, sieht dann aus, Summe N gleich Null bis unendlich, und jetzt nehme ich wirklich die Formeln von hier, ich nehme die Formeln vom Taylor-Polynomen und ersetze nur überall X minus X Null durch H,

dann kriegen Sie hier N der Ableitung an der Stelle X Null durch N Fakultät, da ändert sich gar nichts, und X minus X Null wird eben H hoch N, genauso das empty Taylor-Polynomen F an der Stelle X Null plus H, ist Summe N gleich Null bis unendlich, nicht bis unendlich eben, sondern bis M,

N der Ableitung von F an der Stelle X Null durch N Fakultät mal H hoch N, und man sieht, also ja, so,

gut, soweit zum Nutzen der Taylor-Reihe, jetzt ein Vorleseblock zum Thema, wie komme ich auf die Taylor-Reihe, klar, wenn man Taylor-Reihe nutzen will,

meistens wenn man noch nur Taylor-Polynomen nutzen, dann muss man die Dinger ausrechnen, und was wir bisher machen können ist, naja, wir können sie ausrechnen, indem wir halt ableiten, das ist beim Taylor-Polynomen, wenn der Grad nicht allzu hoch ist, im selben Fall mühsam, aber natürlich immer machbar, bei der Taylor-Reihe kann es ätzend werden, weil unendlich viele Ableitungen ausrechnen macht keinen Spaß,

auch je nachdem wie kompliziert die Funktion ist, schon die ersten sechs Ableitungen ausrechnen macht keinen Spaß, und da will ich jetzt so ein bisschen in die Trickkiste greifen, ich möchte Ihnen ein paar Tricks zeigen, wie man aus der Kenntnis von einigen Standardpotenzreihen sich kompliziertere überlegen kann,

und das erste mache ich an einem Beispiel, und da starten wir von einer Potenzreihe, die wir schon gut kennen, nämlich der Funktion f von x ist 1 durch 1 minus x,

das ist die geometrische Reihe, das ist dasselbe wie Summe n gleich 0 bis unendlich über x hoch n, zumindest solange x zwischen minus 1 und 1 liegt, das ist die geometrische Reihe, das ist eine Potenzreihen-Darstellung, eine Taylor-Reihen-Darstellung von dieser Funktion 1 durch 1 minus x mit Entwicklungsstelle x0 gleich 0,

und dann hatten wir schon gesehen, dass man daraus einige Informationen ziehen kann, was ich Ihnen schon gezeigt habe ist, so eine Taylor-Reihen-Darstellung ist toll,

weil man daraus sofort beliebige Ableitungen an der Stelle 0 ablesen kann, die enden Ableitungen an der Stelle 0 sind bis auf die N-Fakultät der Vorkoeffizient von dem x hoch n in der Potenzreihe, also die N-Ableitung an der Stelle 0 ist immer a n mal N-Fakultät, also in dem Fall 1 mal N-Fakultät, also N-Fakultät,

und zwar egal welches n Sie nehmen, das hatten wir am konkreten Beispiel 2015 schon mal dastehen, worum es jetzt geht ist, Sie können aus dieser Potenzreihen-Darstellung

weitere Potenzreihen gewinnen, also weitere Potenzreihen-Darstellungen für andere Funktionen gewinnen, zum Beispiel wie, also das erste ist sehr einfach, die Funktion x durch 1 minus x,

die können Sie natürlich sehen, als x mal 1 durch 1 minus x, also x mal Summe n gleich 0 bis und endlich x hoch n, ist die Summe n gleich 0 bis und endlich x hoch n plus 1, auch das natürlich nur, solange das x betragsmäßig zwischen minus 1 und 1 geht,

und dass ich das einfach so rechnen kann, liegt daran, dass innerhalb des Konvergenzbereichs der Reihe alles absolut konvergiert und deswegen alle Steinwertrechnoperationen erlaubt sind. So, ein bisschen, also das ist der einfachste Fall weiterzukommen.

Nächste Möglichkeit, 1 durch 1 minus x², da gibt es jetzt im Prinzip zwei Möglichkeiten, beide sind richtig, eine ist rechenmäßig einfacher und eine ist rechenmäßig komplizierter.

Erste Idee ist, man kann 1 durch 1 minus x² natürlich sehen, als 1 durch 1 minus x, mal 1 durch 1 minus x. Und dann, es ist eine geometrische Reihe, mal eine geometrische Reihe. Produkt von zwei Reihen da, muss man ein bisschen, muss man ein bisschen ackern, bis man das alles ausmultipliziert hat

und endlich lange Summen ausmultiplizieren kann, ein paar Minuten dauern, und dann kommt man auf die Darstellung. Gibt eine zweite Möglichkeit, die ein bisschen schneller ist, und zwar indem man sich klarmacht, dass die Funktion, die hier steht, nicht erst die Ableitung ist von der Funktion 1 durch 1 minus x.

Kurz mal nachprüfen, das ist 1 minus x, Klammern hoch minus 1, minus 1 nach vorne, mal 1 minus x hoch minus 2, innere Ableitung macht die minus 1 wieder weg, gibt genau 1 durch 1 minus x². So, und jetzt hatten wir den schönen,

am Anfang des Kapitels über Potenzreihen hatte ich Ihnen erzählt, Potenzreihen sind wunderbare Funktionen, also 1 durch 1 minus x ist ja die geometrische Reihe, und ich habe Ihnen auch gesagt, wenn man Potenzreihen ableitet. Potenzreihen leitet man nämlich ab, indem man einfach jeden Summanden ableitet, so wie man es tun würde, wenn man nicht nachdenkt.

Nicht xn, sondern x hoch n natürlich. Also gar nicht so viel drüber nachdenken, dass dann eine unendliche Summe steht, und dann bleibt übrig Summe n gleich 1 bis unendlich. Der erste Summand fällt beim Ableiten immer weg, weil der konstant ist, n gleich 1 bis unendlich, n mal x hoch n minus 1. Und was da steht, ist eine Potenzreihen-Darstellung,

ist die Tälerreihe von 1 durch 1 minus x². Den gleichen Trick können Sie mit der Stammfunktion machen, das ist die Stammfunktion von 1 durch 1 minus x, Stammfunktion von 1 durch ist der Logorithmus,

also irgendwie was in der Richtung, ln von 1 minus x, stimmt nicht ganz, wenn Sie das ableiten, kriegen Sie ein Minuszeichen zu viel. Das ist die Stammfunktion, 1 minus ln von 1 minus x, das ist die Stammfunktion von der Funktion 1 durch 1 minus x, oder eine Stammfunktion, die immer bis auf konstant ist.

Jetzt habe ich Ihnen am Anfang, jetzt kann man wieder für 1 durch 1 minus x wieder die Reihe einsetzen, das ist die geometrische Reihe. Und in dem Zusammenhang, wo ich Ihnen am Anfang des Kapitels erklärt habe, dass man Potenzreihen, wenn sie denn wunderbar konvergieren, gliedweise differenzieren kann, stand auch da,

dass man diese integrieren kann, also gleiches Spielchen hier auch. Sie dürfen das Integral in die Summe ziehen, das ist die Summe n gleich 0 bis unendlich, von der Stammfunktion von x hoch n, die ist nicht so schwer zu bestimmen, Summe n gleich 0 bis unendlich,

1 durch n plus 1, x hoch n plus 1, und dann kriegen wir natürlich noch eine Konstante dazu. Also wir wissen jetzt, bis auf eine Konstante, die noch unklar ist, ist die Stammfunktion, ist die Potenzreihen-Darstellung von diesem Logorythmus 1 minus x,

gegeben durch diese Reihe hier, 1 durch n plus 1, x hoch n plus 1. Wie kriegen wir jetzt das C raus? Setzen Sie irgendein x ein.

Jetzt haben Sie freie Auswahl, na, es muss schon zwischen minus 1 und 1 liegen, weil die ganze Rechnung stimmt natürlich wieder nur zwischen minus 1 und 1, aber es gibt ein x, das man sehr gerne einsetzen würde, weil es zwischen minus 1 und 1 eigentlich nur ein x gibt, für das man links weiß, was rauskommt, nämlich x gleich 0. Wenn Sie x gleich 0 setzen, steht der Logorythmus von 1,

den kriegen wir raus, der ist 0, also für x gleich 0, kriegt man auf der linken Seite minus 0, also 0, für x gleich 0 ist diese Summe hier konstant 0,

also C gleich 0. Und die Summe da ist konstant 0, weil kein Summand auftaucht, indem der Exponent 0 ist. Wenn Sie 0 und 0 hätten, wäre das wieder 1, aber es gibt keine Stelle, wo der Exponent 0 ist, weil es fängt bei n gleich 0 an mit der Zählung, und für n gleich 0 haben Sie den Exponent schon 1. Also ist C gleich 0,

damit kriegen Sie also die Potenzreihen-Darstellung von ln 1 minus x, als Minussumme n gleich 1 bis und ähnlich 1 durch n x sobre n. Die da gilt, solange x zwischen minus 1 und 1 ist. Für mehr als 1 kann sie ja nicht tun,

wenn x größer als, wenn x 1 wird ist, wenn x 1 wird, dann steht der ln von 0 ab, dann macht es keinen Sinn mehr. Haben Sie also eine Potenzreihen-Darstellung von dem Logorythmus auf die Weise gewonnen,

und wenn man das mal hat, kann ich noch an der Stelle ein altes Versprechen einlösen, eine alte Bringschuld einlösen.

Nehmen Sie mal die Formel da und setzen x gleich minus 1 ein. Dann kriegen Sie hier auf der linken Seite die Summe n gleich 1 bis und ähnlich 1 durch n minus 1 hoch n. Das ist die Summe n gleich 1 bis und ähnlich

nehmen Sie ein Minuszeichen nach vorne, minus n gleich 1 bis und endlich 1 durch n minus 1 hoch n plus 1. Das Ding kennen wir doch. Das ist die alternierende harmonische Reihe, die haben wir schon ein paar Mal gesehen.

Die zum Beispiel im allerersten Anfangsvortrag über das Unendliche ist unintuitiv. Da habe ich mit der Reihe rumgezaubert und gezeigt, dass da was rauskommt, aber dass man auch jedes andere rauskommen kann, indem man nur diese Summanden umsummiert.

Ich hatte auch gesagt, wenn man nicht umsortiert, sondern in der Standardreihenfolge aufaddiert, dann kommt da ein Logorythmus von 2 raus. Genau das, was hier jetzt steht, weil wir wissen von oben dieser Ausdruck hier, der ist minus ln von 2.

Streichen Sie die beiden Minuszeichen weg und dann kriegen Sie die alternierende harmonische Reihe liefert den Wert ln2. Gut, habe ich damals gesagt, werden wir noch sehen

und Sie sehen, wir haben eine ganze Menge Mathematik aufbauen müssen, bis wir das zeigen konnten. Was normales unterstreicht, was ich damals gesagt habe, Reihenwerte wirklich auszurechnen, ist im selben Fall ein mühsames Geschäft. So, dann machen wir jetzt erstmal ein Päuschen und dann geht es weiter um...

So, ich würde dann gerne in den zweiten Teil einsteigen und den will ich beginnen mit so einer Sammlung von Tälerreihen, von denen wir einige schon gesehen haben,

einige neu sein werden. Im Prinzip, das dient zum einen dazu, alles, was jetzt so in den letzten Nummern ein bisschen verstreut an Informationen steht, nochmal zusammenzufassen und zum anderen eben noch so ein, zwei Tälerreihen loszuwerden,

die bisher nicht vorgekommen sind. Ich gebe Ihnen hier jeweils Tälerreihen von 0 an, das ist der, den man häufigst natürlich nimmt. Also fangen wir an mit den Sachen, die wir schon gesehen haben. Wir hatten die Exponentialfunktion, das ist sozusagen unsere erste Potenzreihe gewesen.

E hoch x ist n gleich 0 bis unendlich. x hoch n durch n Fakultät, die kennen Sie alle eh schon, weil das eine der drei Inselreihen ist. Und die, haben wir gesehen, hat Konvergenzradius unendlich, konvergiert also für alle x in R oder am besten gleich für alle in C. Dann hatten wir zwei sehr verwandte und doch sehr andere Funktionen.

Also eine von denen hatten wir gesehen, nämlich den Sinus, hatte ich Ihnen gezeigt. Der Sinus hat als Potenzreihe Summe n gleich 0 bis unendlich minus 1 hoch n und dann nur die ungeraden Potenzen x hoch 2m plus 1 durch 2m plus 1 Fakultät.

Auch der hat, wenn man es durchrechnet, Konvergenzradius unendlich. Also hier alle x in R oder auch alle x in C einsetzbar. Wenn irgendwo der Sinus ist, ist der Kosinus nicht weit. Den haben wir jetzt bisher nicht gemacht. Ich lade Sie alle ein.

Machen Sie sich klar, warum die Kosinusreihe so aussieht. Im Prinzip braucht man nur wieder alle Ableitungen vom Kosinus. Auch das sind immer Sinus- und Kosinusfunktionen. Und man stellt fest, in dem Fall bleiben genau die geraden Summanden übrig. Und die Potenzreihe vom Kosinus ist die Summe über minus 1 hoch n x hoch 2m durch 2m Fakultät.

Also sieht im Prinzip genauso aus wie die vom Sinus, nur dass der Sinus alle ungeraden Potenzen hat und der Kosinus alle geraden Potenzen. Und wenn man mal hinschaut, in geeigneter Weise bis auf die komischen Minuszeichen, addieren sich Sinus und Kosinus mehr oder weniger CE-Funktion zusammen.

Plus oder Minus? Die sehen ja alle drei sehr ähnlich aus, die Reihen. Das ist immer x hoch n durch eine Fakultät und dann davor 1 oder minus 1. Und da steckt tatsächlich was hinter. Ich lade Sie ein. Probieren Sie es mal aus.

Ich hoffe, Sie erinnern sich an die Euler-Formel e hoch i x ist Kosinus x plus i mal Sinus x. Graues Erinnerungsfossil aus dem Kapitel über komplexe Zahlen. Probieren Sie es mal aus. Setzen Sie mal i x in die E-Reihe ein.

Rechnen Sie ein bisschen rum. Sortieren Sie mal nach geraden und ungeraden Potenzen und Sie werden feststellen, genau das kommt raus. Also E-Funktion und Sinus, Kosinus sind hocheng verwandt, auch wenn das im Allgemeinen nicht so aussieht. So, dann hatten wir im Prinzip den Logorythmus.

Ich schreibe ihn nochmal ein bisschen anders hin, weil das ist das, wie man ihn üblicherweise in Büchern findet. Die potenzreie Darstellung von Logorythmus von 1 plus x um 0 ist Summe n gleich 1 bis unendlich minus 1 hoch n plus 1 x hoch n durch n.

Das ist das, wie man es normalerweise findet. Und der konvergiert jetzt nicht für alle x in R oder in C. Wenn x kleiner wird als minus 1, kann das nicht mehr gut gehen. Und wenn man es sich anschaut, stellt man fest, er konvergiert im Intervall minus 1 bis 1,

minus 1 ausgeschlossen, 1 eingeschlossen. Und für x gleich 1 ist das wieder die alternierende harmonische Reihe. So, dann kommt eine Funktion, die für sich eigentlich nichts Besonderes ist, die aber den Vorteil hat, dass man mit ihr weiterkommt. 1 durch 1 plus x².

Da behaupte ich, von der können Sie jetzt mit ein bisschen kreative Idee und genügend Frechheit im Rechnen die Potenzreihe ausrechnen. Warum? Na ja, man kann sich das mal ein bisschen anders hinschreiben.

Vielleicht sieht man dann mehr. 1 durch 1 minus x². Das sieht hoffentlich jeder Einer, dass das das selbe ist. Und jetzt sieht es im Prinzip aus wie eine geometrische Reihe. 1 durch 1 minus irgendwas. 1 durch 1 minus irgendwas ist, wenn das irgendwas zwischen minus 1 und 1 liegt,

die geometrische Reihe. Also ist das hier eine Summe n gleich 0 bis unendlich von dem irgendwas hoch n. So ein Geiste mal minus x² als Q bezeichnet, dann sieht man es.

So, jetzt muss man das nur noch wieder ein bisschen auflösen. Und dann hat man da die Rehindarstellung von 1 durch 1 plus x² stehen, nämlich Summe n gleich 0 bis unendlich minus 1 hoch n, x hoch 2. Und das geht, weil wir über die geometrische Reihe gekommen sind,

natürlich nur für x zwischen minus 1 und 1. Also für minus x² zwischen minus 1 und 1 und minus x² ist zwischen minus 1 und 1, wenn x zwischen minus 1 und 1. So. Warum ist das interessant? Weil Sie die Stammfunktion von der Funktion kennen.

Auf die Weise können wir uns jetzt nämlich eine Potenzreihen-Darstellung vom Argus Tangens zusammenbauen, weil der Argus Tangens die Stammfunktion von 1 durch 1 plus x² ist. Also was muss man nur tun? Man muss diese Summe da oben gliedweise integrieren, und kriegt Summe n gleich 0 bis unendlich minus 1 hoch n,

x hoch 2n plus 1 durch 2n plus 1. Das ist die Potenzreihe vom Argus Tangens. Auch hier wieder x zwischen minus 1 und 1. Diesmal spannenderweise beide Enden eingeschlossen.

So. Jetzt haben wir e-Funktion, Sinus, Cosinus, Logorytmus, Argus Tangens. Jetzt kann ich Ihnen noch die hyperbolischen Funktionen, Sinus-Hyperbolicus, Cosus-Hyperbolicus, geben, der Vollständigkeit halber. Also Sinus-Hyperbolicus von x. Den hatten wir ja.

definiert als e hoch x minus e hoch minus x halber. Jetzt kann man einfach direkt rechnen, das ist ein halb. Mal die Reihe von der E-Funktion, also n gleich 0 bis und endlich x hoch n durch n Fakultät minus die Reihe von der E-Funktion hoch minus x.

Also sie nehmen die Reihe der E-Funktion und schreiben überall da, wo x steht, minus x hin. Minus x hoch n durch n Fakultät und wenn man das aus x stellt man fest, da kommt raus n gleich 0 bis und endlich x hoch 2n plus 1 durch 2n plus 1 Fakultät.

Das ist die Reihe vom Sinus Superbolicus und dann kann man wieder den Konvergenzradius ausrechnen und stellt fest auch hier können sie alle reellen bzw. alle komplexen Zahlen einsetzen. Und was auch witzig ist, wir hätten ja gesehen der Sinus Superbolicus sieht vollkommen anders aus wie der Sinus,

aber irgendwie in so einem geometrischen Zusammenhang bedeuten die das gleich und hier gibt es noch so eine Querverbindung. Sinus Superbolicus und Sinus sind sehr sehr ähnliche Potenzreihen. Vergleichen Sie mal den Sinus Superbolicus mit dem Sinus. Das einzige und der einzige Unterschied ist, der eine hat alternierende Summen mit dem minus 1 hoch n und das fällt weg für den Sinus Superbolicus.

Das gleiche passiert beim Cosinus Superbolicus. Die Reihe vom Cosinus Superbolicus sieht im Prinzip aus wie die vom Cosinus, nur dass die alternierenden Vorzeichen wegfliegen. Also der Sinus Cosinus Superbolicus war ja e hoch x plus e hoch minus x halbe und dessen Potenzreihe ist Summe n gleich 0 bis und ähnlich x hoch 2n durch 2n Fakultät

und auch die konvergiert für alle komplexen Zahlen. So, jetzt noch zum Abschluss von der Nummer eine Potenzreihe, die eine reinalberne Frank-Frage ist,

aber ist so ein klassisches Ding von der Sorte, dass es leicht ist. Also das ist eine eigentlich sehr einfache Frage, die man Leuten stellen kann,

wenn man sie so richtig reinhauen will, üblicherweise, sei denn sie schweben weit drüber. Vor allem, jetzt habe ich Ihnen 10 Potenzreihen, 10 Taylor-Reihen gezeigt und jetzt schreibe ich Ihnen noch eine hin, dann fängt man an zu grübeln. Wie kann man davon wohl die Taylor-Reihe ausrechnen?

Und die Antwort ist viel zu banal. Taylor-Reihe ist ein unendlich langes Polynom. Taylor-Reihe ist der Grenzwert der Taylor-Polynome. Was ist ein Taylor-Polynomen? Ein Taylor-Polynomen ist dasjenige Polynom, das die Funktion in der Nähe von 0 am besten nähert.

Das hier ist ein Polynom Viertengrades. Wenn ich Ihnen die Aufgabe gebe, nähere Sie dieses Polynom Viertengrades möglichst gut durch ein Polynom Viertengrades. Welches würden Sie denn nähen? Na ja, das Polynom da. Jedes Polynom ist eine eigene Taylor-Reihe.

Das sieht man auch schon daran. Was müssen Sie machen, wenn Sie die Taylor-Reihe aufstellen? Sie differenzieren immer weiter. Sie bilden die Ableitung von Ihrer Funktion und summieren immer weiter auf. Was passiert, wenn Sie einen Polynom ziemlich oft differenzieren? Irgendwann wird alles 0. Die Taylor-Reihe von einem Polynom ist eine endliche Taylor-Reihe.

Ist ja auch logisch, weil ein Polynom ist sein eigenes Taylor-Polynom irgendwann. Und dementsprechend ist die Taylor-Reihe von dem Ding endlich. Jetzt können Sie es noch anders aufschreiben, weil wir wollen es hier als Taylor-Reihe um Null haben. Schreiben Sie noch den Binom aus. Polynome sind Ihre eigene Taylor-Reihe.

Ja, wie gesagt, zu einfach, als dass es leicht ist. So, Sie haben hier gesehen,

ich habe das jetzt hier auch schon ein paar Mal gemacht unterwegs, dass man mit diesen ganzen Rechentricks aus Potenz-Reihen wieder andere kriegen kann. Also zum Beispiel aus der für 1 durch 1 plus x² haben wir durch Integration in Tangents gekriegt. Beim Sinus über Vodikus haben wir die Reihen von der E-Funktion genommen und die miteinander verrechnet.

Das ist, solange man nur addieren muss, ganz schön, wie gesagt, wenn man Reihen multiplizieren muss oder dividieren muss, noch schlimmer. Reihe durch Reihe, das macht keinen Spaß mehr. Können Sie sich vorstellen? Unendlich langes Polynom durch unendlich langes Polynom. Und das Ganze gibt natürlich wieder irgendwie eine Potenz-Reihe.

Aber wie sieht die aus? Das ist in der allgemeinen Fragestellung auch nicht zu lösen. Es ist ja aber nur so, dass man üblicherweise gar keine Taylor-Reihen haben will. Üblicherweise, wenn man nur Taylor-Polynome hat. Und was ich Ihnen jetzt zeigen will, ist ein Rechenkalkül,

mit dem man solche Verwurstungen von Taylor-Reihen, also Produkte, Quotienten, ineinander eingesetzte Taylor-Reihen, Taylor-Polynome relativ effizient darstellen kann, um zumindest Taylor-Polynome von solchen Verkettungen und Quotienten und Produkten von Funktionen noch darstellen zu können.

Und dazu will ich eine neue Notation einführen, die Sie sicher treffen werden oder schon getroffen haben, weil das eine sehr, auch gerade in der Physikmechanik von den Ingenieurwissenschaften sehr beliebte Kurznotation ist für das berühmte Thermo-Höherer-Ordnung,

die uns nicht interessieren. Das sind die sogenannten Landau-Symbole, nach einem Physiker namens Landau benannt. Und dieses Landau-Symbol wird üblicherweise O von M.

Ja, oder meistens schreibt man nicht O von M, sondern O von X hoch M.

Das drückt aus, dass ab jetzt nur noch Summanden vom Grad M oder höher kommen.

Ich schreibe das bewusst so schwammig und unmathematisch hin, weil ich glaube, so kann man es sich besser merken, als wenn ich mich an einer fürchterlichen, technischen Definition versuche. Was ist damit gemeint? Vielleicht wird es damit klarer.

Wir bleiben mal im Fall Entwicklungsstelle Null. Dann ist die Taylor-Reihe von F ja eine unendliche Summe. Was man ja üblicherweise macht, ist, wenn man diese unendliche Summe hat, dann will man gar nicht die unendliche Summe haben, sondern nur die ersten sieben Summanden, oder meistens sogar nur die ersten zwei.

Das heißt, man bricht irgendwo ab. Sagen wir mal, wir wollen nur die ersten M-1-Summanden haben. Dann summieren wir von N gleich Null bis M-1 die entsprechenden Taylor-Summanden auf. Ende der Ableitung von F an der Stelle Null durch N-Fakultät mal X hoch N.

Und so wie es jetzt da steht, ist es natürlich falsch, weil das Taylor-Reihe ist nicht gleich dem Taylor-Pollinom. Und das Landau-Symbol dient jetzt dazu, dem Leser mitzuteilen, ich weiß, dass das nicht stimmt. Aber alles, was jetzt kommt, sind Terme von Ordnung mindestens M. Und die Terme von Ordnung mindestens M interessieren mich nicht.

Die will ich weglassen. Das haben Sie sicher schon 15 Mal gehört. Plus Terme höherer Ordnung. Und die werden dann in den Teppich gekehrt. Und dieses Plus Terme höherer Ordnung drückt das Landau-Symbol aus, indem man hier schreibt, plus O von X hoch M. Das ist die Mathematik gewordene Bezeichnung für

plus Terme, die mindestens X hoch M enthalten und fürs weitere vernachlässigt werden. Meistens mit M gleich zwei. Entsprechend kann man das natürlich jetzt auch, hier war es jetzt für X Null gleich Null.

Entsprechend für allgemeines X Null sieht das dann so aus. Also Tf von X ist die Summe von Null bis M minus eins

über die Taylor-Dinger. X Null durch N-Fagultät. X minus X Null hoch N. Und dann schreibt man eben plus Terme in X minus X Null hoch N. Was bedeutet, danach kommen noch ganz viele Summanden.

Aber die haben alle mindestens, sind alle nur mindestens vom Grad M in dieser Differenz X minus X Null und werden deswegen im folgenden vernachlässigen. Oder in der H-Schreibweise, Tf von X Null plus H ist Summe N gleich Null bis M minus eins

N der Ableitung an der Stelle X Null durch N-Fagultät mal H hoch N plus Terme, die mindestens von Ordnung M in H sind und deswegen vernachlässigt werden. So, was ist jetzt der Vorteil davon?

Naja, der Vorteil davon ist erstens, dass man jetzt mathematisch exakt hinschreiben kann, was sich immer so ein bisschen nach Taschenspielertrick anhört, plus Rest, der uns nicht interessiert. Und dass man das nutzen kann, um kompliziertere Taylor-Reihen zu bestimmen. Und das will ich Ihnen jetzt noch beispielhaft zeigen.

Also damit lassen sich zum Beispiel, nicht Reihen, sondern Polynome, Taylor-Polynome verketteter Funktionen bestimmen.

Was meine ich mit verkettete Funktionen? Funktionen, die in andere eingesetzt sind. Also hier kommen ein paar Beispiele. Nehmen Sie zum Beispiel, das ist ein sehr einfacher Fall, F von X E hoch Minus X Quadrat.

An der Stelle X Null gleich Null. Und wir suchen das fünfte Taylor-Polynom. Taylor-Polynom fünften Grad ist von der Funktion. Und was man da jetzt machen kann ist,

wir kennen ja die Potenzreihe der E-Funktion. Und in diese Potenzreihe der E-Funktion soll jetzt diese Funktion Minus X Quadrat eingesetzt werden. Genau, ich habe hier nochmal so diese Standardpotenzreihen dabei,

dass Sie da nochmal draufgucken können. Wir sollen also in die Potenzreihe der E-Funktion dieses Minus X Quadrat einsetzen. Und das sieht man vielleicht am besten, indem man dieses Minus X Quadrat mal kurzfristig U nennt. Dann kriegen wir F von X ist die Potenz,

also F von X ist E hoch Minus U. Und wenn Sie Minus U in die Exponentialreihe einsetzen, dann fängt die ja an mit eins plus Minus X hoch eins,

also eins minus X, eins minus U. Nein, eins plus, jetzt ist es einfach die Exponentialfunktion. So, E hoch U fängt an mit eins plus U plus U Quadrat halbe plus,

und jetzt schreibe ich hier einfach Terme, in denen U mindestens hoch 3 auftaucht. Wir werden gleich sehen, warum das reicht. Na jetzt setzen Sie hier F von X ist ja E hoch Minus X Quadrat.

Das heißt, Sie müssen da, wo U steht, Minus X Quadrat einsetzen, kriegen Sie eins minus X Quadrat plus,

wenn Sie an der Stelle U Quadrat Minus X Quadrat einsetzen, kriegen Sie X hoch 4 Viertel, genau, plus O von U hoch 3 fürs UX Quadrat einsetzen, gibt O von X hoch 6.

Also was jetzt da steht, ist die Potenzreihe von unserer Funktion F fängt an mit eins minus X Quadrat plus X hoch 4 Viertel, und alles, was danach kommt, sind Terme mindestens der Ordnung 6.

Die interessieren uns aber nicht, weil wir wollen nur das Taylor-Pollinom fünften Grades haben. Das heißt, was hier steht, ist schon das Taylor-Pollinom fünften Grades. Also das Taylor-Pollinom fünften Grades von unserem F ist genau das, was da oben steht, eins minus X Quadrat plus X hoch 4 Viertel.

Und alles ab Ordnung 6 lassen wir weg. Übrigens ein Beispiel von dem, wie ich Ihnen gesagt habe, wie es gibt, wo das Taylor-Pollinom fünften Grades vom Grad 4 ist. Und nicht vom Grad 5. Weil es gibt keinen summanten fünfter Ordnung.

So, ähnliches oder anderes Beispiel, wo die gleiche Technik zum Zuge kommt. Wir suchen einen Taylor-Pollinom für den Tangens. Auch hier wieder Taylor-Pollinom fünften Grades gesucht

für den Tangens mit Entwicklungsstelle 0. Erste Möglichkeit. Sie nehmen sich den Tangens her, leiten ihn 5 mal ab. Wenn Sie ihn 5 mal abgeleitet haben, haben Sie die 5 ersten Ableitungen. Und dann setzen Sie alles ein und kriegen den Taylor-Pollinom. Erste Möglichkeit.

Kann ein bisschen ätzend werden, weil die Ableitung vom Tangens ist 1 plus Tangens Quadrat. Und wenn man das wieder ableitet, kriegt man noch ein blöderer Produktregel. Und das wird im Lauf der Zeit länglich. Zweite Methode. Sie erinnern sich dran, dass Tangens ja Sinus durch Kosinus ist. Schreiben wir uns mal die Anfänge der Sinus- und der Kosinus-Reihe hin.

Sinus war die Reihe mit lauter ungeraden Potenzen. Geht los mit x. Minus x hoch 3 durch 3 Fakultät. Also x hoch 3 Sechstel. Plus x hoch 5 durch 5 Fakultät. x hoch 5 Hundertzwanzigstel. Plus. Und der Rest ist x hoch 7.

Ist mindestens x hoch 7. Plus ein O von x hoch 7. Kosinus geht los mit 1. Minus x Quadrat Halbe. Plus x hoch 4 durch 4 Fakultät. Also x hoch 4 Vierundzwanzigstel. Und der Rest ist mindestens x hoch 6.

Das ist wieder die O-Natation. Und jetzt können wir Sinus durch Kosinus teilen. Also ist der Tangens. Der da ist ein Sinus von x durch Kosinus von x.

Obere Potenzreihe. x minus x hoch 3 Sechstel. Plus x hoch 5 Hundertzwanzigstel. Plus irgendwas, in dem die x mindestens hoch 7 auftauchen. Geteilt durch 1 minus x Quadrat Halbe. Plus x hoch 4 Vierundzwanzigstel.

Plus Rest. Unendlich viele Summanden, in dem die x mindestens zur Potenz 6 auftauchen. Das sieht jetzt nicht wahnsinnig viel freundlicher aus. Da ist mir nicht so recht, wie man aus diesem Gnudel ein vernünftiges Polynom rauskriegen soll.

Soll ja am Schluss ein Täterpolynom werden. Und der Kniff, mit dem man jetzt weiter kommt ist, nennen Sie diesen ganzen Schlorum hier mal u. Also den Teil im Nenner. Was steht dann da?

Dann steht da x minus der Zähler bleibt stehen x hoch 3 Sechstel. Plus x hoch 5 Hundertzwanzigstel. Plus irgendwelche Terme o von x hoch 7 Geteilt durch 1 minus u. Wobei u eben

x Quadrat Halbe minus x hoch 4 Vierundzwanzigstel. Plus irgendwelche Terme von mindestens Ordnung x hoch 6. Warum ist das gut? Weil wir jetzt was von der Form haben. Oben steht irgendwas durch 1 minus u.

Und darauf können wir jetzt die geometrische Reihe werfen. Also jetzt die geometrische Reihe in u. Also Sie schreiben das hier. Vielleicht kann man es noch ein bisschen deutlicher machen. Machen wir noch einen Zwischenschritt, dann sieht man es genauer.

x minus x hoch 3 Sechstel. Plus x hoch 5 Hundertzwanzigstel. Plus irgendwelche Reste von x hoch 7. Mal 1 durch 1 minus u. Das ist nur den Zähler als Produkt, als Faktor vor dem Bruch geschrieben.

Da ist nichts passiert. Jetzt sieht man aber hinten die geometrische Reihe. Das heißt wir kriegen hier x minus x hoch 3 Sechstel. Plus x hoch 5 Hundertzwanzigstel. Plus Terme, die mindestens x hoch 7 enthalten. Mal

den Anfang der geometrischen Reihe. 1 plus u plus u Quadrat. Plus Terme, die mindestens u in der Potenz 3 enthalten. So jetzt können wir wieder das u einsetzen.

Das ist x minus x hoch 3 Sechstel. Plus x hoch 5 Hundertzwanzigstel. Plus Terme, die x mindestens in der Potenz 7 enthalten. Mal 1 plus So und jetzt setzen wir für das u das Ding da oben ein.

x Quadrat halbe minus x hoch 4 Vierundzwanzigstel. Plus u von x hoch 6. Wobei alles was mehr wird als x hoch 6 uns nicht interessiert. Mehr als x hoch 6 ist uninteressant. Also wir kriegen erstmal setzen wir das u ein. Also für das u kriegen wir x Quadrat halbe

minus x hoch 4 Vierundzwanzigstel. Plus Restterme. Dann kommt das das u Quadrat. Also das u Quadrat hier. Wenn ich x Quadrat halbe quadriere, kriege ich x hoch 4 Viertel. Jetzt käme im Prinzip minus x hoch 8

durch 24 Quadrat. Aber alle Terme mit x hoch 8 sind mir ja sowas von egal. Die gehen auf im O, im Landau Symbol, O von x hoch 6. So und wenn ich dann den Rest von dem U, das O von x hoch 6

einsetze da unten, dann passiert erst recht nichts mehr. So und jetzt muss man die beiden noch ausmultiplizieren. Wobei man hier beim ausmultiplizieren auch nur Terme betrachten muss, die in der Ordnung nicht mehr als 5 werden. Die kann man noch zusammenfassen.

Ein Viertel minus ein Vierundzwanzigstel, 6 Vierundzwanzigstel minus ein Vierundzwanzigstel ist 5 Vierundzwanzigstel x hoch 4.

So also die beiden Dinger da miteinander ausmultiplizieren. Wir multiplizieren zunächst die hintere Klammer mit dem x. Aus der vorderen Klammer gibt x plus x hoch 3 halbe plus 5 Vierundzwanzigstel x hoch 5.

Plus x mal O von x hoch 6 ist ein O von x hoch 6. Dann kommt das x hoch 3 Sechstel. Also es ist minus x hoch 3 Sechstel mit jedem von diesen Termen. Also minus ein Sechstel x hoch 3.

Minus ein Halb mal ein Sechstel gibt ein Zwölftel. x hoch 3 mal x Quadrat gibt x hoch 5. Und wenn sie die x hoch 3 Sechstel mit den x hoch 5 Vierundzwanzigstel x hoch 4 multiplizieren, haben wir x hoch 9. Interessiert uns nicht. Und dann gibt es den Letzten, den x hoch 5 Vierundzwanzigstel. Den müssen wir nur noch mit dem ersten

mit der 1 multiplizieren. Also plus ein einhundertzwanzigstel x hoch 5. Nur weil sobald sie das x hoch 5 mit den anderen Termen hinten multiplizieren, kommen sie wieder hin über das O von x hoch 7 raus. Und das interessiert uns nicht. So, jetzt muss man nur noch zusammenfassen.

Und dann bleibt übrig das x hier. Mit x hoch 3 gibt es hier ein halbes x hoch 3 minus ein Sechstel x hoch 3. Gibt ein Drittel x hoch 3. Und mit x hoch 5 gibt es drei Terme. Und wenn man die alle hoffentlich richtig zusammen gezählt hat, bleiben zwei

5 Zehntel x hoch 5 übrig. Plus irgendwelche Reste. Das ist also was hier am Ende rauskommt. Das fünfte Taylor-Polynomen vom Tangentz. Mit Entwicklungsstelle 0.

Ich habe das jetzt so ausführlich gerechnet, damit Sie sozusagen alle wichtigen Tricks mal sehen. Ich gebe zu. Oh, ich weiß es nicht. Sie können gerne mal ausprobieren. Es ist wahrscheinlich in dem Fall tatsächlich ein Tick weniger Aufwand, die fünf Ableitungen vom Tangentz auszurechnen.

Aber auf die Weise sieht man so alle möglichen Tricks, wie man auf Quotienten eingeht, wie man Produkte bearbeitet und wie man an der Stelle da geschickte geometrische Reihen ins Spiel bringen kann. Die Taylor-Polynome

sind Approximation von Funktionen. Und mit dem Vorteil, dass sie leichter zugänglich sind,

leichter zu berechnen sind, haben aber noch an verschiedenen anderen Stellen Anwendungen, weil sie im Prinzip, das ist das Schöne am Taylor-Polynomen oder an dieser Zugang, es erlaubt einem sozusagen von der Funktion Beiträge ab einem gewissen

Grad des Polynoms zu ignorieren und uns zu sagen, so genau brauchen wir es nicht. Alle Terme höherer Ordnung interessieren uns nicht. Und das kann dazu dienen, den entscheidenden Teil von einer Funktion, von dem lästigen weißen Rauschen, das eine nicht interessiert, zu trennen. Und das macht sich besonders bemerkbar bei einer weiteren Anwendung

von diesem Taylor-Polynomen-Kalkül, von diesem Landau-Kalkül, und zwar wenn es um Bestimmung von Grenzwerten, von komplizierten Grenzwerten geht. Und wir haben schon gesehen, Grenzwerte gibt es ganz schön hässlich. Jedes Werkzeug, das hilft,

die zu bestimmen, ist viel wert. Also die Taylor-Entwicklung hilft bei Grenzwerten, bei komplizierten Grenzwerten,

der Form 0 durch 0, also Limes x gegen x0, f von x g von x, wenn beide Funktionen an der Stelle einen Grenzwert 0 haben. Da haben wir natürlich schon ein Werkzeug für, nämlich die Regel von Opital.

Sie erinnern sich hoffentlich an die kleine Diva. Was ich Ihnen jetzt zeige, ist eine Alternative dazu, die je nachdem, mal erzeugt das eine, mal erzeugt das andere, mehr Rechenaufwand, die beiden sind auch ganz eng zusammen miteinander verwandt. Was meine ich damit?

Ich will es an einem Beispiel zeigen, oder an mehreren Beispielen, aber heute wahrscheinlich nicht mehr an so vielen. Also nehmen Sie zum Beispiel Folgendes, x gegen 0, sin x²

durch 1 minus cos x. Ob es eine Grenzwerte gibt? Erster Versuch ist natürlich, ein qualitatives Bild davon zu kriegen, was passiert hier. Setzen Sie oben und unten 0 ein, dann sieht man, Sinus von 0 ist 0,

Cosinus von 0 ist 1, also steht da ein Grenzwert 0 durch 0. Keiner weiß, was rauskommt. Erste Möglichkeit ist, Sie machen jetzt Opital, leiten oben ab, leiten unten ab. Es kann sein, dass es funktioniert, kann aber auch sein, dass weil oben und unten Sinus und Cosinus steht, sich das immer wieder wiederholt

und man nichts Einfacheres kriegt. Alternative ist, Sie gehen über die Taylor-Polynome. Und auch hier ist der O-Kalkül, diese Landau-Notation wieder extrem hilfreich.

Der Sinus von x², wie sieht bei dem der Anfang von der Reihenentwicklung aus? Wo hier x steht, müssen Sie x² schreiben. Der Anfang von der Reihenentwicklung vom Sinus ist x minus x hoch 3 sechstel. Wenn Sie statt x, x² schreiben, kriegen Sie also x²

minus x hoch 6 sechstel. Also hier bleibt x² plus ein O von x hoch 6. Und was haben wir unten? 1 minus, und dann schreiben wir mal den Anfang von der Cosinus-Reihe hin,

1 minus x² halbe plus irgendwelche Terme, die allerhöchstens wie x hoch 4 gehen. Warum ist das hilfreich?

Jetzt sieht man, was hier passiert. Unten kommt Null raus an der Stelle Null, weil diese beiden Einser sich wegheben. Und wir haben x² plus irgendwelche Terme in x hoch 6 plus und unten x² halbe plus, eigentlich sogar minus, wurscht, Terme in x hoch 4.

Und jetzt sieht man, dass das ein Tauzi-Grenzwert ist. Oben geht gegen Null und unten geht gegen Null. Aber der Vorteil ist jetzt, warum ist das ein Tauzi-Grenzwert? Warum ist das doof? Weil oben und unten lauter x-Potenzen stehen.

Und wir würden ja gern x kürzen. Und das können wir jetzt tun. In dem Ausdruck können Sie problemlos ein x² kürzen. Jeder Somant enthält irgendwelche x². Die da hinten enthalten noch viel mehr x. Also ist das dasselbe wie der Grenzwert x gegen Null.

Ich kürze ein x², 1 plus irgendwelche Terme, die mindestens wie x hoch 4 laufen, durch ein halb plus irgendwelche Terme, die mindestens wie x² laufen. Und jetzt können Sie schlichtweg einfach den Grenzwert ausrechnen. Das Tauzin ist aufgehoben, da wir das x² gekürzt haben.

Das war ein quadratisches Tauzin. Und wenn Sie jetzt x gegen Null laufen lassen, gehen alle Terme, die noch ein x hoch 4 enthalten, mindestens ein x hoch 4 enthalten, gegen Null. Alle Terme, die noch mindestens ein x² enthalten, gehen gegen Null. Und übrig bleibt eins durch ein halb, also zwei.

Das ist die Grundidee davon, wie einem der Taylor oder dieses Landau-Kalkül mit den O-Symbolen helfen kann, solche hässlichen Grenzwerte aufzulösen, weil man die entscheidenden x-Potenzen findet, die rauskürzen kann und dann bleibt übrig,

was übrig bleiben muss. Gut, davon dann, wie gesagt, in der nächsten Vorlesung noch ein, zwei Beispiele mehr. Für heute bin ich damit mit allem, was zu Taylor zu sagen wäre, durch.

Ich wünsche Ihnen einen schönen restlichen Montag und danke für die Aufmerksamkeit.