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Vorlesung 23: Zylinder und Kugelkoordinaten

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so dann mal ein herzliches Willkommen zur weiteren Ausschlachtung der Substitutions- Regen mehr ja ich habe in die zum wieder reinkommen nochmal an die Wand geworfen doch Sitution träge gleiche Idee dem eindimensionalen nur komplizierter aus sie eine Funktion aufnehmen wenn man die die sie integrieren wollen dass sowohl das integral über diese Menge gehen bestimmen stellen sich untergehen Intervall vor dann ist alles und was man jetzt machte ist meiner selbst X durch eine andere Funktion H von y ein substituieren wenn das zu und muss man entsprechend anpassen zu muss man die Integration sie glänzende jetzt keine Grenzen mehr Sinn seines indications Gebiet anpassen und dann bekommt statt G das Gebiet geht danach dass der Definitionsbereich von dem ist es habe musste die bijektiv sein damit dass die Dachstühle 1 zu 1 nach der abgebildet wird meine setzt das X durch ja von Y und dann kommt das substituieren in Differential die Verzerrung des Raums die durch die Abbildung H entsteht muss berücksichtigt werden muss eingerechnet werden und das passiert über diese Determinanten der Jacobi Matrix von dem H im eindimensionales dieser kommen Bartels 1 Kreutz 1 mit Determinante von Problematik ist einfach die von als Kreuz als Maß ist die Zahl deswegen ist uns diese Determinante 1 eindimensional differenzieren nicht entgegengekommen in taucht jetzt eben jetzt erst auf diese Determinanten habe ich jetzt ist meine Lieder zum Hammer wenn der den man auch funktional den Termin nannte es aber nur Begriff wichtig ist dass man wenn man substituiert das kennen sie alle das DX ersetzt durch die richtige Korrektur Badezimmer ich die Kultur ist in der Betrag Determinante der kommen Matrix von wenn der letzten Vorlesung angefangen wenn zielle häufig benutzte Transformation vorzustellen im Prinzip gibt die Substitutions- Regel 1 alle Freiheiten sie können jedes Haar nehmen jedes wir die wir stetig differenzierbare Haar und damit kann man die Geometrie des Problems so umbauen dass man hinterher leichteres Integrations- Gebiet habe war das ist meistens der sehen wie gesagt der Fokus verschiebt sich etwas im eindimensionalen so sind wir und vor allem die Funktion zu vereinfachen um den Preis dass sich die Migrations- Grenzen ändern zu Wort im mehrdimensionalen ist der Fokus meistens auf den Integrationsbereich man substituiert hier meistens um den Integrationsbereich zu vereinfachen um den Preis dass sich die Funktion des seit ich als erstes Beispiel für ganz wichtigen Koordinaten Wechsel den von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten zurück ein Gefühl als Sie setzen die Beschreibung des Raums durch Kaitesi Koordinaten x y durch die Beschreibung in Polarkoordinaten er Cosinus wie er sie muss wie das ist das H mehr also H von XY ist ja Kurse muss die ersehen dass sie innerhalb von Ernst wieso H von er wies er Cosinus Sie ersehen dass sie und wenn man das macht muss man eben in den die Zahl die Menge G in Polarkoordinaten beschreiben dass sie die neue Menge geht danach man muss in 11 über wo X steht er Cosinus lieber würde dann steht er sie dass sie setzen und den kommt die funktionale Termin nannte dies bei Polarkoordinaten freundlich übersichtlich dies einfach F es gibt dieses Erbe er wie viel das berühmte das taucht immer wieder auf mir doch gleich wieder aufs Dach so und jetzt will ich als nächstes diese Idee ins dreidimensionale heben ja die real uns umgebende Welt ist dreidimensional ist also das so an über ja leben vor allem drin rum integriert und in die in diese Welt für mich jetzt diese Idee und es gibt 2 wichtige Verallgemeinerungen der Polarkoordinaten aus 3 Dimensionen und das in einer die genannten Zylinder Koordinaten und einmal die so genannten Q gegolten der Name sagt schon alles gesehen der Kundendaten sind für Dinge vorgesehen die Zylinder Symmetrie haben die Kugel grollender für Dinge vorgesehen die Kugel Symmetrie haben und am Anfang will ich mit dem bisschen einfacher Unsinn der Koordinaten das heißt dass ich will Koordinaten anschauen in den Zylinder einfach zu beschreiben sind das heißt für den Sie gerade einfach zu beschreiben das Schönste was werden sinnträchtigen beziehungsweise Quader also die diesen Koordinatensystem Keulen Daten einzuführen den den war es mit also was wissen Zylinder Essen Stapel aufeinandergestapelte Kreise eine also nie die x-Achse die Y-Achse Z-Achse und Zylinder drin kann man sich vorstellen dass viele aufeinandergestapelte Kreise das es auch schon die Grundidee der zu Sender Korrelaten in der XY Ebene gehen sehen in Polarkoordinaten über die beschreiben den Kreis gut und die z-Koordinate lassen Sie die z-Koordinate wenn man die die die Achse des Zylinders rauf die gibt es schon passen die Kornaten sind also die Mischung aus Polarkoordinaten kartesischen Koordinaten sie
lassen die z-Achse Zeitachse sein um machen den XY Richtung Polarkoordinaten auf also die zu der Koordinaten als Koordinaten die passen zu Symmetrien in der 3 das heißt jetzt nicht dass man damit nur Zylinder berechnen kann sondern Sie können damit er gut alles das gut beschreiben was in 2 Koordinaten sind kreisförmig ist in der 3. Linie also typische Fall Vierzylinder Kurden hat wir auch so ein Kühlturm Form oder so was das sind auch aufeinandergestapelte Kreise das sind die Bücher Fall der Kurden Daten und er was man also macht es man geht von den Koordinaten x y und z schlug Polarkoordinaten den 1. 2 Variablen also Air-Fly und das Zelt bleibt stehen die Umrechnung ist in dem Sinne also einfach wenn man nur die Polarkoordinaten einsetzen muss das Xtra setzt sich wie vorher der steht noch zu er Cosinus wie das y ersetzt nicht zu ersehen ist wie und das Zelt bleibt Z nun also ein period hier irgendwo im Raum durchziehender Koordinaten zu beschreiben bedeutet wir sagen es ist wie hoch der oben liegt und dann schauen sich die Projektion von den period hier unten an und geben hier unten die Polarkoordinaten von dem period das ist die Beschreibung einzelner konnte und über und so was wie gezielte ich gewonnen haben ist schon unser H von er viel Z ist die CallYa anhand Nation das Hamas-Miliz Subsumtion einsetzen will ist gegeben durch diese Funktion H von er viel Z ist Cosinus wie er dass sie Z es müsste man sich wieder belegen dass das auch wirklich nicht schön wir aktive Funktion ist aber diese Überlegung dass jeder Punkt im Raum hat Haltung des hinderten eindeutige Polar Darstellung und wenn Sie das jetzt auch mit der Zeit eben immer rauf und runter schieben der wissen Sie jeden punktgenauer geht erwischen Sie period unser Wissen jeden Punkt genau 1 ab also Sie wissen genau einmal wenn sie das I vernünftig einen Kränzen ist natürlich Vieh aus dem Intervall 0 bis 20 die zu lassen da erwischen Sie jeden vor vielleicht 5 x R wenn sie das sie fühlen sich nun 2 einschränken man das bei Polar Kontendaten macht dann haben Sie was das brauchen wir also um den Zylinder Koordinaten zu transformieren wir brauchen die funktional Determinante für diese Abbildung habe also ausrechnen das muss man erlernen muss für diese Abbildung haben Jacobi Matrix bestimmen Bonn dieser Korrelat 6 interessiert uns eigentlich nur die Determinante und von der interessiert uns nur der Betrag so also Betrag für Determinante von der Kuhn Matrix also rechnen wir los der Betrag von der Determinante voran das Ding da differenzieren einmal nach zerrt im Sinne einer differenzieren kriegen sie die 1. Spalte das ist nicht wer das ist einfach Großindustrie zweite Komponente erweisen dass sie da er differenziert die sie und wenn Sie Zeit nach der referenzieren bleibt nicht viel übrig im Januar jetzt müssen wir noch viel differenzieren wenn Sie die erste Zeile aber Cosinus China viel differenzieren kriegen sie minus er Industrie die zweite Zeile asinus wie nach viel differenziert gibt aber Cosinus muss die na ja wenn sieht sehr nach viel finanzieren kommt nur raus und jetzt noch nach Z differenzieren gibt mir sehr einfache letzte Spalte 001 oh das ist der Traum eines jeden Determinanten berechnen ist dass viele Städte und wir können Sie können jetzt entscheiden ob nach der letzten sein oder nach der letzten Spalte entwickeln auf jeden Fall bleibt übrig der Betrag von der Determinante von der 2 Kolz 2 Matrix Großindustrie minus er Sinus wie sehen aus wie nie er Cosinus sie die Dame jetzt ausrechnen und dann aber auch sparen weil ja Ärztekammer habe gestern schon ausgehen was sich jedes erwarte funktional Determinante von dem übergangen Polak da das ist das was 1. 2 Variablen dass das genau das was Sie rauskriegen dann 7 Polarkoordinaten übergehen wenn Sie es nicht glauben wenn Sie es noch mal nach aber da kommt er aus also Rechnung ist wie in 21 8 so was heißt das das heißt wenn sie von kartesischen Koordinaten des XY dezentere von dieser vom in die Quere kartesischen Pollenarten Daten übergeben Zylinder Koordinaten mehr passiert das was man jetzt schon denken würde das haben wir gemacht wie in den 1. 2 Variablen 6. selbst zu er und sie übergegangen da passiert genau das was beim Übergang in Polarkoordinaten passiert das Text y wird er werde ich sie und dass die Zelle bleiben dezent also bleibt das dezente Z zwar eine überraschend aber dass das was man sehen der Kolner passiert so auch hier 2 Beispiele um ihnen zu zeigen dass mit 7 Gulden Daten anstellen kann und das den starkes Werkzeug sind umso um Integrale zu berechnen 1. Beispiel ist wieder 1
von der Sorte erreichte ein Volumen aus ist das ein kennen um uns zu vergewissern dass die Methode gut und und zwar ich mit Ihnen das Volumen eines Kegels ausrichten klappt das kann ich jetzt also 1. Beispiel bei den jedes 10. zwar folgendes gewählt oder Folgendes bei in der Pflege die Menge aller XYZ im R 3 so X könne drahtlos y Quadrat der gleich Quadrat ist und nur kleine gleich Z kleiner gleich als war so hinschreiben ob die Frage Was ist das wer das sind einige Punkte mehr 3 auch klar ist die Zeit wo der liegt nur zwischen 0 und 1 was heißt jetzt diese 1. Bedingung Xtra ratlos y Quadrat ist die Kreis Gleichungen das sind alle die Punkte für die diese ich Frage aber sozusagen Quadrat das heißt das Quadrat des Abstandes von der Zeitachse kleiner ist als das Quadrat sagen Sie mal im Geiste Z von Augenblick fest wenn Sie mal Zeit gleich 1 dann steht der Xtra zum Quadrat kleiner gleich 1 also für gleich 1 ist es einfach der Einheitskreis also jedes das XY jetzt das einst an der Stelle 1 denn das alle die Punkte im Einheitsgrau ist wenn wir für andere Stelle zählt nehmen dann sind alle die Punkte die mehr der Z-Achse sind als Z das heißt der Kreis hatten abnehmenden Radios der Radius des Kreises auf für Z ist genau Z für Z gleich 0 steht der Xtra ratlos y Quadrat 1 gleich 0 dass es für nicht sehr viele Punkte das erfüllt nur der Ursprung und dazwischen ist dass die weißen Kreis mit Radius zählt das dabei also raus es und kriege warte auf eine gestaffelte Kreise wobei der Kreis wobei der Radius der Kreise auf jeder Höhe genau die würde ja also unsere Menge gehen und mich das Volumen bestimmen und Volumen bestimmt eine Möglichkeit Volumen zu bestimmen ist man sie Funktion konstant 1 und integrieren Sie sie über die Mac was dann ausrechnen des formalen vierdimensional das Volumen der nämlich das was unter dem Funktionsgraphen mit für 1 darauf legt avancierte nennt wir das Volumen für die Dimension einst groß ist also genau das Reiten Zahl entspricht den dreidimensional mehr also könne man Volumen ausrechnen in diese Funktion konstant 1 nehmen und über integriert das vierdimensionale Volumen zu abgedreht ist der ist das Ganze eine Dimension tiefer vor sie können es sich ja ausrechnen in dem sie die Funktion eines das kann man sich das vorstellen drüberlegen und das Volumen über der Fläche unter dem Funktionsgraphen bestimmen dann kriegen Sie nämlich als Volumen weil das Ganze ist ja unten ganz wild seine man sonst ist gerade hochgezogenes Volumes dann Grundfläche mal höher mal 1 und also die kommt es Zahlenwerte die Grundfläche aus dann ist das jetzt hier eine Dimension für also was wir ausrechnen müssen um dieses Wohnungen zu bestimmen das Volumen des Kegels es sich ausrechnen als integralen begehe über die Funktion als im Prinzip könnte man ja das ausnutzen dass dieser Kegel XYZ projeziere es was immer sie wollen können Sie machen ich wünsche dir viel Spaß ich werde an der Stelle lieber Zylinder Koordinaten benutzen beweisen keck ist auch ein ganz typischer Fall für Sie in der Koordinaten Sie haben in der iX ist dann eben was kreisförmiges in der Zeitebene was nicht gerade sie den Zylinder aber was man gradlinig begrenzt ist das schreit nach 10 der komme wie sieht den Dienst in der Koordinaten aus welche Punkte welche Punkte mit Sinn der Koordinaten die er auf er sie Z liegen denn da drin darum mit dem einfachsten Anämie Z Z bleibt natürlich unverändert Z läuft weiter zwischen 0 und 1 er Samba stellt liegen sind gehen sie auf irgendeine hört welche Punkte gehören dazu eine beliebige Z müssen sie alle period erwischen Sie im Kreis mit Radius Z liegen und der Kreis mit Radius zählt in Polarkoordinaten also was
wir so brauchen ist die Beschreibung des Kreises mit Radius zählt in Polarkoordinaten darüber haben was schon der letzten Vorlesung debattiert und aktuellen Daten sind genau auf Rat hin ausgerichtet also das alle die Punkte mit für die das er zwischen und sehr ist und der Winkel ist wie ich sie können mit dem Vieh einmal ganz rumlaufen also diese Kegel sich in Sinn der Kundendaten schreiben als alle Punkte mit er also das der muss sich nun ein sein dass er sich nur Z und das Feld zwischen uns Weibchen das ist jetzt kein perfektes kein perfekter Quader das ist mehr so ein halber durch in der Quader aber wenn wir was über das natürlich die gehen kann also können Sie jetzt umschreiben und Integrale begehen über die Funktion 1 wenn wir jetzt umschreiben was wir hier sehen ist jetzt schöne Grenzen für alle 3 Variablen Zeit zwischen 0 1 sich nun 2 Pi ob die Gänse vom Erreichen von Z aber wir können also die 3 integralen hinfällig beliebiger Reihenfolge hinschreiben müssen darauf achten dass das integral über er ausgeführt wird bevor das integral Z ausgeführt also die integral Z man am besten ganz außen hin also es gibt in die Qual von 0 bis 1 DZ wenn integral von 0 bis 2 p der Film ein integral von 0 bis Z sehen Sie andere Reihenfolge so verboten außen wenn außen sind gar 0 bis 6 steht dann hat das Z sein Käfig verlassen und das ist schlecht es kommt die Stelle wo ich wieder sage vorsichtig bitte nicht vergessen jetzt die dass die zugedacht geändert Funktionen sind 1 einsetzen bleibt das 1 und was noch fehlt ist aus dem des XYZ die Zelle wird ein Erbe erwies DZ kann dieses R und das darf man nicht vergessen dass es die funktional Determinante die noch ein so und damit ist das ganze Problem dieses gehen Volumen auszurechnen jetzt wieder reduziert auf 3 eindimensionale Integrale und jetzt heißt nur noch fröhlich los rechnen das Innerste integral China die beiden äußeren Art integral von 0 bis 1 integral von 0 bis 2 p dann bleibt ihnen drüber ich Inhalt R Quadrat von R gleich 0 bis er gleich zählt Elfriede zahlt jetzt wir mal die 4 Integration daraus ziehen den ganzen Klumpatsch doch keine 4 auf also ein integral von 0 bis 2 Defi in der gerade von 0 bis 1 des naja Quadrat setzen wir das Zelt ein Minus in Halle bis 0 Quadrat bitte das vordere integral geht einfach 2 P nur bis 2 P Defi als auch den Diwan Länge und Sie müssen mir jetzt nochmal Quadrat integrieren nein das Zelt Quadrat integriert 6. Herzog hoch 3 6. jedoch 13 gleich 0 bis Z gleich 1 die 2 p x 6. oder 3. damit an dass keine Wohnungen was übrigens auch das zu erwartende Volumen ist mehr das gegen gelungen ist ein Drittel vom Zylinder Volumen Zuge Zylinder Volumen sie den Zugang zu den nehmen dann ist das der mit Grundfläche Einheitskreis also pi mal 1 Fahrrad Pi mal höher als die genau Pi und das gegen Volumes dann Patrick eine typische Anwendung der Koordinaten in der Rechnung von solchen Volumen ich will hier noch ein zweites Beispiel zeigen wenn man jetzt hier wieder sagen kann klar dass es so sagen ja das ist das 1. weiß was man vorrechnet also gut aller 1. wäre das Zylinder Volumen zu relativ ganz geradeaus das ist noch fast geradeaus ich denn noch mit ein weil wir glücklicherweise auch die Zeit haben ein bisschen leicht bisschen weitergehendes Beispiele zeigen es hinkriegt dass jetzt eine schräge Nummer 21 11 comma decimal 5 gesuchtes folgen das Volumen vielleicht sagen jetzt 1. das Bild erklärt gebe zu des Bildes
nicht perfekt was in der Mitte seines Zylinder das ist ein Szenen lesen Sie denn immer 3 bis 2 dann unten alles und mit dem Boden und Z gleich 0 und dann ist da noch reingelegt sollen wir das Paraboloid also eine dreidimensionale Parade schauen und was wir suchen ist das Volumen innerhalb des Zylinders oberhalb der Ebenen unterhalb dieser Parabel also ganz anschaulich formulierten Architekt schlägt Ihnen dieses Ding da vor sollen wissen wie groß der Raumsonde Belüftung Std Anlage zu konzipiert haben Sa also wie groß ist das Volumen in dem Ding da auch das ist schöner Raum ist der keine Mechatronics nix ein wunderbar in alle Richtungen projiziert war das Gebiet wir könnten also auch ganz ohne Zünder Koordinaten auskommen ich will nochmal zumindest bei den Sie gerade hinschreiben das nur das Bild mal an der Tafel schon also
wie können wir das wie können wir dieses Problem lösen das wir so nur das Gebiet der Sie diesen Raum da in Formen beschreiben also gesungen wird ist das Volumen von GE um und die liegt 1. Ina des Zylinders mit Radius 2 also innerhalb der Menge XYZ in R 3 mit Xtra drahtlos y Quadrat kleiner gleich Rates 2 2 war war keiner der 4 mehr es ist der Zylinder der Außenstelle 2. bei den sondern auf Ansichten die in den Sinn aber das ich muss jetzt hier auf die nächste freundlich übernehmen zu den schreiben an
das muss liegen in Halle XYZ aus R 3 Xtra drahtlos y Konrad ermöglicht also bei diesen Zylinder hier ist jetzt ein Zelt überhaupt keine Bedingung gestellt diese Menge die da steht es ist ein unendlich langer Zylinder das vom Radius zwar aber die Begrenzung in Richtung Z kommen wir jetzt also innerhalb von den Zylinder liegen über der Ebene die einfach gegeben ist der zeitgleich gleich 0 ist die Ebene unten bestehende Z gleich 0 und unter Paraboloid jetzt dass es diese schräge ff Kurse die da oben steht nicht verraten was davon die die der Funktions- Vorschrift ist das in einer die Punkte für die X plus 2 Quadrat plus y Quadrat gleich 4 sind wir also die Punkte mit X plus 2 Grad werde das aber gleich 4 Cent das sind genau die auf dieser komischen Parabel fallen also dass wir nachher brauchen sind alle die für die 4 Z kleiner gleich X plus 2 Quadratfuß y es sind die und da ich habe ab es gibt wie gesagt 2 Methoden oder viele Methoden aber bald 2 ganz nahe liegende an dieses Thema ranzugehen 1. Methode ist die nutzen das was wenn der letzten Woche gemacht haben und betreffen die erste XYZ projiziert Menge ist es in jeder Richtung projizieren wie sie immer lustig sein das heißt sie beschreiben dieses Problem Polak in kartesischen konnten ab was muss man da zu tun auf jeder Ebene muss man im Prinzip einen Kreis beschreiben wobei die sakrale ist nur bis zu einer gewissen Höhe eine Rolle spielt das Problem ist natürlich diese Tore Paraboloid des für Abschlag also eine Möglichkeit das zu beschreiben ist zu sagen wir müssen wir immer projiziert sein wollen eine Variable zwischen festen Grenzen festtackern das ich mit der Xtra ja wir machen integriert das X zwischen minus 2 und 2 und damit habe ich komme ich einmal durch den ganzen Sie denn da ist muss mir überlegen ob wir jedes festgehalten Wegs zwischen minus 2 2 welche welche Z Komfort ich y kommen vor im Wesentlichen haben sie in der XY Ebene zumindest mal solange sie unten bleiben mit Kreis Geometrie war also hier Xtra y 2 2 minus 2 minus 2 Mal zumindest 2. zwar jetzt also die Frage wie lässt sich dieses dieser Halbkreis und dieser Halbzeit als Funktion von x schreiben das hat wir schon ein paar Mal wenn sich das aus den raus das Y muss liegen zwischen minus Wurzel aus 4 minus X Quadrat und plus Wurzel aus 4 minus 6 Grad sie genutzt ist ist die Frau Datensätze Quadrat gleich die 1. an und man vom seiner sie um dann kriegen Sie die Krätze raus so und jetzt kommt die komplizierte hat das Zelt beim Z gibt es eine einfache und einen schwierigen weil des Zeltes ist natürlich einfach größer gleich 0 nein das heißt nur das wäre an der Ebene zeitgleich gleich 0 Staaten jetzt muss man jeweils für festgehalten dass sich so für festgehalten dass y schauen wie hoch darf ich integriert bisher haben wir einfach Kreise auf integriert also die 1. beiden haben dieses Paraboloid noch überhaupt nicht gesehen und jetzt anhand des Herdes sich des Geldes y ist das 1 zu legen wie weit hoch können wir gehen wir wissen die obere Grenze wird beschrieben durch diese Gleichung also X plus 2 Quadrate sind wir bereit ist hier Z das heißt die Obergrenze für das Zelt es genau ist Heinz noch durch 4. Viertel ist plus 2 Quadrat Verletzung also Z geht von 0 ist ein Viertel X plus 2 Quadrat schlossen Viertel zieht es ist für jedes XY genau diese obere mehr da man jetzt ja und wir zwar kompliziert Ausnahmen sie es ist alles gut bis X mit zwischen minus 2 und 2 2 die Grenzen von y der nur von Xtra die Grenzen von Zeit von X und Y ab alles gut muss jetzt dazu will bei der Reihenfolge aufpassen musste zur schreiben dass das Z integral ganz in Städten da muss das Simpson integral kommen außen das Excel die damit jeweils jede Variablen im Käfig bleibt und keine ausbricht also das Volumen von unseren gehe es wohl um unseren komischen Gebärden hier ist gegeben so ist integraler muss das X integral sein das 2. Zweifel
dann kommt das y integral weiter mit der Grenze nur von X abhängt minus Wurzel 4 minus 6 war es war sehr viele 6 Quartal die y und dann das Z integral das geht von 0 ist ein 4. X plus 2 Quadrat was ein Viertel und Quark und in die gehen soll die Funktion eines hat das ist das Z in die gerade mehr die über die Funktion eines über das Volumen haben wir uns sehen berechenbar ist aber rein natürlich in den Grenzen der ich habe die das Beispiel aushalten Übungsaufgabe bei der die Aufgabe war wirklich beides durchzurechnen also das ist tatsächlich auch berechenbar ich will der der Vorlesung kneifen die ziemlich mit werde Integrationsaufgabe braucht es vorne Sammlung wird man brauchen an Wahnsinn drin fliegt meine Akkus Sinus in die Wege weil Stammfunktion von dem das ich jetzt nicht auswendig aber man mehr von der Sammlung hat ist das Zeug integrierbar ich sagen aber auch legen Sie Sie Stabes mit Papier hin das innige 2 sein und also das herauskommen des sich mal und der häßliche Integrale subsumiert wie gesagt keine unlösbaren kann man ausrechnen kann man auch mit handelsüblichen vom Sammlung aus Decken braucht man keine absurden Tricks ist aber nicht einfach ich will das Ganze mit der Colina angehen womit sie in der goldene Daten ist die vor Überlegung ich einfach die vorgelegen sogar müssen Sie aber natürlich jetzt über Jahre hinweg so machen muss dass sie die gerade der jedenfalls ein man eben die Berechnungsmethode an die Problemstellung angepasst hat klar war dass ich mit 7 goldene hatten machen sich Männer eine Berechnungsmethode diese Problemstellung Pass und dadurch wird die Rechnung einfach dafür muss man eben das Einpassen des Problem ist erst tun also was müssen wir machen wir müssen unser Gebilde Jens in der Koordinaten beschreiben müssen also den Variablen wechseln machen von XYZ nach offiziellen was wissen wir über unsere war ja die vorher das wirklich kompliziert ist dieses blöde Paraboloid alles andere ist relativ einfach also was auf jede Mark leistet sehr variabel Blattgröße gleich 0 was ist mit unserem er unseren fliehen im Prinzip müssen damit der ganze Kreise beschreiben das heißt unser er also mit unser er muss innerhalb des Zylinders bleiben die Bedingungen der des Senders zu bleiben liefert das er zwischen und 2 liegen muss die Liebe die vorher zwischen und 2 Pi was er bisher geschrieben haben ist der Zylinder von Unternehmen von der 0 Ebene bis in alle Ewigkeit auch Opern der volle vollziehende meist jetzt noch fehlt ist festgehalten dass er uns die muss man wissen wie weit nach oben dicke also was ist das Was ist die Obergrenze wir festgehalten dass er und sie das ist genau die gleich Überlegung die freuen also was uns noch fehlt ist es wurde die wird das Z und das hängt jetzt natürlich von er rund 4 ab nur wenn sie Hintergrundebene sicherten period rausnehmen denn es für jeden Punkt den wir eine andere was genau der Gag an dieser blöden Schrecken der da also was ist die Obergrenze Festzelt der wissen ja das der die Punkte in der der die gilt Plädoyer tragen für period der die gilt X plus 2 Quadrate sozusagen Quadrat ist jetzt also X plus 2 das y Quadrat ist 4 zählt das können wir jetzt über den Übergang von XY daher viel gemacht diese Zusammenhang können wir jetzt bei die nächsten Y R und I ausdrücken die ersetzen Überzahl X durch Cosinus und y durch ersehen dass sie also gibt er Cosinus R Quadrat Cosinus Quadrat für plus 2 denn die ja Cosinus je plus 2 Grad an das R Quadrat Sinus Quadrat wie wir muss viel Zeit ja ab und muss es umformen also muss das muss ich in das Bild Entführern ich hoffe Sie haben es lange genug gesehen erinnert sich noch wie das aussieht so also werden
diese bitte genau für die Punkte auf der Decke tun mir die mal aus vom aus multiplizieren dann steht da vorne binomische Formel R Quadrat Cosinus Quadrat viele plus 2 mal 2 mal großen Cosinus also plus 4 Cosinus viel muss ich 2 mal 2 also 4 dann kommt Quadrat 7 des Quadrats des und das Ganze ist 4 Z es ist das Beispiel so gemacht dass man noch in die rechnen kann man beachte diesen Term und diesen Termine etwa 3 Cosinus Gott habe dass er oder sie das Quadrat gibt einfachen etwa also ist genau dann der Fall wenn er Quadrat das 4 er Kosinus von Vieh plus 4 gleich viel Z 4 Z ist die und die 4 durch Innviertel R Quadrat plus er Cosinus wie plus 1 gleich zu also die obere Kante die Decke wird beschrieben dass es Krieg gegeben dass er und 4 ist die obere Kante genau gegeben durch das Zelt 3. er auch Konrad plus er Cosinus viel plus ist tja damit können wir jetzt alles aber die vorhin fehlende Obergrenze Festzelt zählt muss kleiner sein Viertel R Quadrat bloß einmal Cosinus Philip los ist so damit könne jetzt das Volumen von unseren komischen Gebilde ausrechnen das Volumen von G ist wie die ganze Zeit das integral ja so schlecht sehen Sie gerade beim G über die Funktion 1 nicht so in die Kreide Funktion eines gibt immer das Volumen das vor vor mir jetzt um den Zünder Koordinaten wir haben jetzt alle Grenzen für unsere Integration zusammen das er mal von 0 bis 2 ist die Vorwahl von 0 bis 2 p und das Z läuft von 0 bis ein Viertel R Quadrat plus er Cosinus lieblos er sieht die Integrations- Grenzen für er uns diesen konstant das egal welche Reihenfolge Delegationskreisen für das Zelt hängen von R und die ab sind die gerade Z muss also das Innere in die innerste integral meine Integration werden also ich habe jetzt wieder 3 Integrale er und Finessen müssen Außenstehende wenn er in die wieder von 0 bis 2 vielen TV wird von 0 bis 2 p und das Innerste die das Z integral das integriert Formen der hätten stets von neuem bis zu diesem Ausdruck im Viertel R Quadrat bloß Erfolg mal Cosinus wie plus 1 wenn die Grünen auch die Funktion eines im Fernsehen müssen wenn über wo dieser Funktion 1 x steht er Großindustrien über wurde zu steht er Sinneszentren aber der Zahl 1 tauchen diese für XY es auch das Ganze sogar noch hier die 4 die er derzeit und dann wird der mir funktionale nicht vergessen den Übergang voller oder Zylinder Kontendaten die wird Ihnen ein zusätzliches F zwar zieht immer noch nicht beliebig schön aus ist aber auch nicht arg hässlich kann man jetzt locker weg integrieren was passiert wir haben zunächst mal in die integral über die DZ über die Funktion konstant R also comma nach ganz vorne sehen also nicht ganz so sind die gerade bis zum 1. 0 bis 2 die über R die GAL 0 bis 2 p und jetzt kommt ich schreibe immerhin integral von 0 es ist ein Viertel R Quadrat plus er Cosinus plus 1 derzeit den sie der ab solche einsetzen integral über die Funktion eines über den Intervall das gibt ihnen einfach denn dabei Länge also das herauskommt das integral von 0 bis 2 über er integral 0 bis 2 p über ein Viertel R Quadrat plus er von Vieh plus 1 die Fliege die das ziehen wir jetzt Summe von 3 integralen Zement Integrale auseinander das 1. nötig von 0 bis 2 Integrale 0 bis 2 p ersetzt denn so meinten hier über eine Viertel auf 3 ist die integral von 0 bis 2 integral von 0 bis 2 p es kommt der zweite Summand R Quadrat Kosinus von Vieh die Feder war dann kommt der dritte Summand das integral von 0 bis 2 integral 0 bis 2 p wer er war die IDR das passt immer noch nicht in eine Zeile ist aber alles übersichtlich forderte Issen Doppel integral wobei was sie überhaupt nicht integriert wird dann kann man das auseinanderziehen als das integral über die greifen nur bis 2 one quarter R hoch 3 der mal integral nur bis 2 die die im zweiten sind er und sie ebenfalls multiplikativ getrennt bieten integral von 0 bis 2 R Quadrat D R und Integrale 0 bis 2 p Kosinus von Fidel definieren im dritten genau so integral von 0 bis 2 RDR hat mal integral von 0 bis 2 Pi ob der Flug ab du und das ist das Ganze zerlegt in 6 banal integral und es lohnt 1 bevor man jetzt will Glos rechnet sich eines dieser die gerade vor anzuschauen das ist das letzte der 1. Zeile er wird über den Cosinus integrierte das volle Periode von 0 bis 2 p essen Sie gern tun aber man kann auch ohne dass man die Stammfunktion ausrechnet gleich sagen dass es nun das ist ja das macht uns den ganzen zweiten so meinten weg und das wir jetzt noch tun müssen sind nur die restlichen
Integrale ausrechnen also was haben wir uns Viertel auf 3 geben 16. auch hier nur also ich nur bis er gleich zweimal integral von 0 bis 2 definieren der geht einfach denn dabei Länge 2 p der zweite Summand fällt komplett weg da unten haben war wieder so integral von 0 bis 2 P sieht es gibt die den 2 G und nur bis 2 ist ein halbes R Quadrat von er gleich 0 bis 1 gleich 2 grenzen einsetzen nun 16. Nahrung wobei comma auch der neue zweitkürzesten 8. die gleich 2 Einsätzen 2 Euro 4 16 man dass er nur noch 4 ist 0 plus die 2 kürzlich wieder Pi mal ein Quadrat 2 Quadrat ist 4 ob der PR plus 2 P S 6 b gut also dieses komische Dinge vollen mit dem schrägen Dinge hat ein Volumen von 6 P kann ich Ihnen jetzt auch mitgeben als Kontrollergebnis wenn sie versuchen das an die eine Integrale auszurechnen das sollte also bitte schön 6 4 auskommen so dass ist als Erklärung für die Zylinder Koordinaten wie gesagt eigentlich nichts anderes als Polarkoordinaten 2 Dimensionen bloß eine dritte Karte ist die kommende Nacht wird eignet sich für alles wie man hier sieht was irgendwie Solistruktur hat kreisförmig in 2 Variablen der 3. nicht und als nächstes ist wenn ich mich denn richtig kugelförmigen so werden wir also kreisförmig in allen 3 Richtungen sogenannte Kugelkoordinaten aber der Sommer vielleicht lag kurz einmal absprechen gut Kugelkoordinaten hatte jetzt am Ende der ersten Vorlesung schon gesagt großer Vorteil von Koordinaten ist ich muss Sie nichts Neues erklären kennen sie alle weil das Problem ist halt man eine Kugel Geometrie das ist mir Geographie weitverbreitet weil unsere Erde ich weiß ist keine Kugel aber zumindest für Kugelkoordinaten prädestiniert ist und sie alle kennen das Konzept von geografischer Breite und geografische Länge und genau das ist auch in die einzigen rübergewandert zur Beschreibung von Kogels sie Remis mit kleinen Veränderungen die ich Ihnen jetzt auch nicht begründen kann aber das haben wir bei der Beschreibung von Winkeln der schon als Sieger gesehen der die einrechnen gerade an der den Radiant und die 3. 9 Grad entzerren bei dieser Festlegung wie man die Koordinaten aus einer Kugel in baut kann man aber natürlich viele Freiheiten und die das ist nicht einheitlich was ich Ihnen jetzt hier zeigen's behaupte ich die übliche Methode wie in der Mathematik oder der Physik Chugach Kugelkoordinaten definiert werden und das ist leider nicht genau das was sie von der Erde kennen aber die Idee ist die gleiche wie man beschreiten period 1. durch seinen Abstand vom Erdmittelpunkt oder vom Mittel vom vom Ursprung die Variable wird in der Geographie üblicherweise weggelassen oder doch die Höhe über über normalen das Höhe über Normalnull genommen weil viel Abstand vom mehr vom des und Ärzten Großzahl das ist der Radius hier er genannt wieder Alsensund period hier auf der Kugeloberfläche beschreiben dann geben Sie an wie weit ist der Weg vom Ursprung und dann gehen Sie 2 winkte an geografische Breite und geografische Länge kein Problem ist die geografische Länge die wird in der Mathematik im Prinzip so gemessen wie in der Geographie auch als Linke zur positiven x-Achse also in der XY in macht man Polarkoordinaten mit dem einzigen Unterschied dass wir natürlich in Graz soll im Bogenmaß messen also der Begriff wie läuft von 0 bis 2 pi an Nahrung und ihnen wenn ihr um ihr period ist der Nähe period und projizieren hinwegsetzen Ebene nein sagt der 4 welchen wähnte welche Winkel hat er period gegenüber der x-Achse die man sinnvollerweise nach mit steckt dann haben sie genau die geografische Länge und jetzt kommt denn wir können bis Ärzten S die ungarische Breite wenn ich relativ zum Äquator Sinne relativ zum obwohl gemessen also die Täter der jetzt die ganze Breite an gibt es neue um an der Spitze der ist die halbe auf dem Äquator und der ist hier am Südpol Achtung das Reich der linke Täter darf nur von 0 bis die und nicht von 0 bis 2 die weil die andere Kugelfläche haben eine andere Kugel Hälfte haben Sie schon dadurch dass sie mit dem sie eine rumlaufen wir also der Radius gibt an wie weit sie weg sind dass wir zwischen und 2 die grafische Länge und das Täter gibt die geografische Breite relativ zur wohl Achse und ich relativ zum Eckwerte so das ganze in Formen also das sind Google Koordinaten man beschreibt einen Bogen durch den Abstand vom Ursprung U 2 Winkel ok also das sind an die Kugel Geometrie angepasste Koordinaten immer und ein Abstand 2 linke der 1. als Größe ist dass er größer weil ich nun und das ist wie immer in diesem kreis Geometrien der Abstand ihres schon Spuren das
2. ist der Winkel fiel die da drüben im Bild er ist einer ringsrum von 0 bis 2 p und das ist der Winter zwischen XYZ oder bis sich der Projektion von XYZ so muss man schreiben Winkel von der Projektion und XYZ auf die XY Ebene er zur positiven x-Achse 40 jetzt vor war konnte ich es deswegen nehmen sie einfach mit Sie ist die geografische Länge wenn Sie die x-Achse sich sichtlich weniger er und gemessen im Bogenmaß ob Manager 0 die Datumsgrenze hat und wenn sie es dann an seine kurz vergänglich sind sind sie kurz vor 2 P R und zwar und die dritte größere ist der Winkel Täter er taucht nur zwischen 0 und Pianos übrigens kennen Sie auch alles von der oder der diejenigen von minus 180 bis plus 180 auf der Erde nur 780 1. die die geht 360 Grad rum von 9 bis 12 wie breiten gibt es nur von minus 90 bis plus 90 mehr Freiheiten gibt so 180 Stück und ich damit Sicht bei den Sie die breiten auch einmal ganz rum gehen dann gehen sie zweimal um die Erde also Täter nicht nur zwischen P und gibt an den denke von dem period XYZ so positiven x-Achse der z-Achse und das ist ungefähr die geografische Breite es ist die geografische Breite mit dem einzigen Unterschied dass die Geografen im relativ zum Äquator plus 90 und minus 90 oder 90 nördlich 90 sich messen und messen von den vom vor los das neue Beine etwa das 90 immer sie wohl das 108 bei jetzt diese wissen wir haben wächst sogar Wechsel von XYZ zur effizienter machen will dann ist die 1. Aufgabe natürlich jetzt muss man für einen beliebigen Punkt XYZ im Raum rauskriegen was sind seine Gruppe Collider werden welchen er auf wie Täter entspricht welches XYZ das ist ein bisschen der Trigonometrie Foto Aufgabe also gegeben period XYZ rechnen Sie aus es sind die die diese Wege 4 Täter der aus oder umgekehrt gegeben ist einfach als andersrum gegeben erst die Täter reden Sie aus Ihrer Sicht die gegen von diesem Punkt B 1 er Täter rechnen Sie aus was XYZ es geht besitzt eine dreiviertel Stunde und haut sich die Sinus und Cosinus um die Ohren schwer denn das hier Ihnen und mir das hier sparen und einfach dem was auskommen kann man auch in jeder Formelsammlungen nachschlagen also die gehen R 4 und Täter wie kriegen Sie X in übst XYZ damit Sie mir glauben dass es plausibel ist ob er gut darin das einfachste zeigen nämlich die Umrechnung nicht merkwürdig Z wenn Sie Z kriegen wollen dem Sie dieses Dreieck hier also das 3 das der Punkt P 1 mit dem Ursprung und seiner Projektion auf die z-Achse bildet dann ist hier um eine Zeitachsen rechte Winkel in diesen 3 haben Sie im rechten Winkel das heißt und sie interessieren sich dass er haben Sie das Theater haben sie uns interessieren sich für das Zelt hier n ist dass er die Gebote Hypotenuse der beiden sind die KT täten und der Kosinus von Täter ist interessante Länge geteilt durch aber also ist das Z ja aber große Lust hätte also das Zelt kriegen sie als er mal Konsummuster x 110 und sind nicht so einfach wenn Sie XY bestimmen wollen von den Punkt dann haben Sie noch diese Projektion hier runter das Fliegen gehen mit dem Vieh und dem mit dem sie und den er kriegen sie sehr schnell diesen Punkt hier ja der Punkt ist einfach er Cosinus wie ersehen dass die einfach wieder Polak aber jetzt müssen noch hierauf und je nachdem wie groß das Zepter ist müssen sie mehr oder weniger rauchen darf die weil sie kommt auch das Täter mit ins Spiel das Ergebnis ist dann dass sie das X kriegen als mal Kosinus von 4 mal sehen was von Täter und das y kriegen als mal 10 Uhr von für die mal sehen was von Twitter so dass es die richtige Transformations Funktionen H von R 4 und Täter die ihnen Polak also Kugelkoordinaten in kalt umrechnet und die man jetzt Kugelkoordinaten substituieren will einsetzen muss in die Substitution Träger als funktionale kann und wenn es schon bei den Polarkoordinaten Mediziner Koordinaten gesehen es lohnt sich diese würde wenn an ein für alle Mal auszurechnen Weltwunder und Zylinder goldene hatten war kam war einfach er raus und man muss sich nur merken warum kann sich die ganze Arbeit der und funktionale Minderheiten Ausländerei sparen wenn ich übergeht zu Polarkoordinaten ersetzt ich Text y durch RDR Defi wir nehmen auch überhaupt keine Determinanten aus also und sie das auch hier zu machen an der Stelle der nicht kneifen was man ausrechnen muss ist die Determinante unter Jakobiner Tricks von diesem Haar ob Trainer wenn es noch die Jakobiner Mix aus ob ob ob ob ob
ob also diese Determinante von der Kohle Matrix und am ist die Determinante vorne sind wir natürlich dicke 3 kurz 3 Matrix sehr gehen und diese Abbildung der trügen einmal Nachahmer noch 4 wartet nach er ist wie vorher auch der schönste Teil wenn Sinne einer bleiben wird eine bleiben einfach jeweils alle trigonometrischen Funktionen stehen also Cosinus sie Meisingers da Industrie bei Sinus Täter und Kosinus Delta ob dann leiten Sie einmal nach 4 ab wenn Sie die 3 seiner 4 bleiben wenn sind der 1. der großen gibt minus Sinus also minus R Industrie das Delta in der zweiten sehen Sie das was sie von Vieh ableiten dienten Kursen dass sie also er Cosinus die in musste da und in der 3. ist alles gut weil wenn Sie danach sie ableiten bleibt nicht viel übrig da stehen wir unter Daten so das letzte sagt 3. Spalte er Cosinus T-Sinus Sinus Täter Sinnes abgeleitet die Cosinus gibt also er Cosinus C-Kurse Muster dar 2. er Senussi wie Sinus Delta Sinus die Täter gibt wieder Cosinus der den der Ableitung also er Sinus wie Cosinus Täter und die dritte aber Kosovos Täter Ableitung minus er ist es ich hoffe haben Verständnis dafür dass ich in diese der damit also nicht vorrechnen das hat die man zogen vor der kommt er kann unter es ist völlig legitim und ok in eine Form Sammlung reinzugucken haben freundliche Leute für 1 schon gemacht wir diese Termine nannte ausrechnet Problem ist dass man unterwegs also man kann das sich ist das aus welchen es nicht die Schwierigkeit ja ich kann natürlich sofort den fragen was da rauskommt nur können sie meinetwegen sogar diese Ausrede anwenden zu multiplizieren geglaubt und dann kriegen wir nur seitenlang Formen die Schwierigkeit ist die Formel jetzt unter trickreicher Wilson damit 5 1 und Zwanziger Additions Theoreme so zusammenzufassen dass sie nicht als Teil eines der ich gehe natürlich Wunder der Sinus Quadratmer große muss verraten des große muss Quadratmer sie muss Quadratmeile würden was Trainer und da muss man es immer die gerne zusammen zwischen die genau große muss Fahrrad Sinus muss Konrad und damit 1 er gehen um die Sache langsam kleinzukochen und das ist die wahre Mühle die Determinante schnell hinzuschreiben geht schnell aber das der ob das steht dann die die rechte Seite vor und dann die die zusammenfasse Railos und diese Schlacht und ich mag mich 15 mal zu verrechnen mächtig mehr sparen weil sie seine Sammlung gut stellt man fest da kommt raus wenn es R Quadrat mal sehen dass Täter und sie sehen da kann man gut zusammenfassen oder was was bleibt nicht viel übrig freundlicherweise an der Stelle des noch ein Vorsicht angebracht und zu sagen wenn man jetzt schnell schießt würde man jetzt den schreiben also Übergang zu Kugelkoordinaten ersetzt man die XY DZ durch minus R Quadrat Sinus von Täter der Defi die Täter waren wenn man da selbst etwas das Differential durch also das die XYZ ersetzt man durch die Determinante mal dass die Erde für die Täter vorsichtig das Differenzial durch Betrag für den Termin nannte malte er die die Täter mal wieder versucht noch mal die andere Folie aufzulegen eine Substitution freigestellt hier aus gutem Grund der Betrag der die Termine also müssen wir hier in diesen Betrag schreiben das ist natürlich fundamentale hässlich Weise Beträgen integral aber so schlimm ist die Welt nicht war Täter es aus viele das sich und P und musste zur verdrängen das sehen das zwischen wie R Quadrat ist auch ziemlich positiv also es mit minus Quadratmer Sinus Täter einfach sowas von negativ nein ich hier viele da der alles gut ist sah also an der Stelle 8. Substitutions- träge
steht der Betrag von der Determinante von der Jacobi Matrix der machte minus weg ab so aber was jetzt dasteht ob es wirklich die merkwürdige Google Koordinaten wir setzen wir XY gezerrt ob durch R Quadrat Sinus Täter das ist das was von der funktionalen lärmmindernde kommt der Täter der Defi die Täter also nicht ganz so einfach wie bei der beiden vorlag und lagenweise nun er kommt aber immer noch erträglicher man sich überlegt wie die Determinante am Anfang aus Art kann man von Glück sagen dass es so relativ knapp aus gut auch hierzu noch ein kurzes Beispiel aber tatsächlich nur das sozusagen naheliegendste einfach Beispiele er rechne mal aus das Volumen der Einheits- Q denn die Kugel mit Radius 1 rechnen werden Wohnungen aus das es was ist diese Kugel es sind alle die Punkte im R 3 der Abstand zum Ursprung nicht mehr als 1 ist also X drahtlos y Quadra plus der Fall kleiner gleich an ist es wird aber es ist mein wahrer plus der Quadrat ist natürlich zumal der allen Quadratform Abstand aber eines Fahrrades einzeln weiter Frau kann man das übliche Problem formales solle Kugel wunderbar projiziert war in jeder Richtung aber wirklich hinschreiben wenn man denn die Kreide ganzen dann ich und aus denen man das ganze schon gar nicht einem Kugelkoordinaten macht die Sache einfach ja weil Kugeln Grubengold innerhalb des weiter so die gegolten hatten die meisten Grubengold also das gemacht denn die Kugel gerade wird also wie sie diese coolen Kugelkoordinaten aus wenn Sie zu sämtlichen Punkte der Kugel mit 3 1 kommen wollen dann müssen sie alle Fragen zwischen 0 und 1 erfahren und auf jedem Radius müssen Sie alle geografischen Längen erfahren und einer geografischen Breite mal also viel muss sein sich nun 2 4 Täter muss sein zwischen und P und er muss von 0 bis 1 Lauf mit dieser Qual war dazwischen und eines wie sich nur 2 Peter das ist nun P ist ne Kugel man richtig umrechne System Kugelkoordinaten und unter Karte ist so und damit kriegt man jetzt sofort dass Google und sie integral über die Kugel über die Funktion konstant einzeln das gibt es Google Wohnung wann immer sie über eine Menge die Kunst Funktion konstant 1 kriegen wenn sie das Volumen der Menge nein unser ob Situation rechnen können wir jetzt statt über K zu integrieren können wir über diese Beschreibung in Polarkoordinaten integrieren wenn wenn der Funktion richtig substituieren hielten die funktional Termin nannte richtig anpassen also können wir sie integrieren können Sie die Reihenfolge beliebig wäre der Mama aus außen das derzeitige aber von 0 bis P die Täter und die Grenze von 0 bis 2 p Defi und die ganze von 0 bis 1 und erst wenn Sie die Umrechnung nicht vergessen hier kommt noch R Quadrat Sinus fand XY zählt muss ersetzt werden durch Quadrat Sinus Täter werde ich sie die versteht zwar ab gut und ab jetzt ist nur noch integrieren das ist zunächst mal integral über viele 0 bis 2 p Defi alles das was die hängt nicht von 4 ab dann einmal in die gerade von 0 bis P Industrie da die Täter und gerade von 0 bis 1 R Quadrat der alles steht multiplikativ getrennt da sie dann das sind 3 integralen dran da und dann ist es nicht mehr schwer auszurechnen das 1. integrales sofort 2 es sei denn die gerade hat es dann Funktionen minus Cosinus in den Grenzen von Täter gleich 0 bis Z gleich spielen und es sei denn sie der Stammfunktion Drittel er auf 3 in den Grenzen aber gleich 0 bis er gleich 1 dort
ist es einsetzen 2 fliegen minus Kurse muss also Täter gleicht P an der Stelle ist der große minus 1 also minus minus 1 die da 1 Projekt also ein Minus von unteren Grenze ein Minus von vorne aber sonst können mehr bei der davor 1 also 1 plus 1 nur dass der es einfacher ein Drittel auf 3 1 der der gleich ein System drinnen und dann das den er gleich 0 ist 0 so Dezember 202 jetzt das alles gut der Pflicht das noch auskommt oder wenn Sie gerade sagen hilft dem auftraten dass das Volumen der Kugel oder mit oder es eben wie gesagt immer die gleiche 10 Staaten von der der mitregierenden kugelförmig ist übersetzen sich das Kugelkoordinaten und dann können Sie jeden Tag reinschreiben und vergessen Sie nicht dass Quadrat Sinus Vetter das von der funktionale Termin nannte kommt haben Sie nicht ganz ausgerechnet aber das ist eben jetzt ein für alle Mal klar sobald man Google wollen Daten geht wie wird man ein R Quadrat Sinus Täter mehr Gewinn der das muss man muss man zahlen je nachdem man sie zur das ist ab große ist was ich Ihnen ja immer noch nicht alles aber was ich in dem Moment sozusagen zum integrieren mehr zahlen will wir können jetzt damit kommen wir wohnen Parameter die gerade angefangen komme die geradegemacht wir können jetzt über alle möglich werden der Behörde immer Änderung integrieren was man da integriert sind üblicherweise Funktionen deren Variablen oder meistens Vektorfelder und dieses Zeug kommt ständig und dauernd vor sobald man es mit irgendeine Form von Michalik zu tun hat irgendeine Form von er in der Beschreibung von dreidimensionalen denen sie nur vorstellen sie sollen es Belastungs Verhalten von einem Balken oder irgendwas ausrechnen ob sind dreidimensionale Gegenstand und wenn jetzt natürlich alles wunderbar kann zwar für mich recht wirklich ist und alles wunderbar komplett vom Wohnmobil ja das ganze Material das über 3 genau die gleichen Material Fahrer mit dort alle Kräfte greifen homogen an kommen zum die die gerade rum aber 1 ist die Welt homogen und gradlinig sie werden genug krummlinig begrenzte stark kriegen und sobald irgendwas krummlinig ist oder sobald irgendwas nicht mehr homogen ist eine variable dichter als die vom Ort abhängen verschiedene Materialien die zusammenstoßen und und und kommen Sie uns integrieren ich froh was man dann meistens in die gehen muss ende Vektorfelder die von Kräften ja wohl nur nur Kraftfelder seines von außen wirkende Kräfte durch Belastung seines Gravitationsfeld seines elektromagnetisches Feld noch andere wenn wir nichts Kraft die durch Wind Anströmung entsteht und und und das alles Vektorfelder und das letzte Kapitel der Vorlesung widmet sich jetzt noch mal ganz gezielt diesen Vektorfelder und geht normalerweise nicht lange Hand mit denen man Integrale ja vor allem integral über solche Vektorfelder Integrale Gebiete in die gerade Oberflächen Integrale Wirkungen ineinander umrechnen haben miteinander vergleichen kann damit arbeiten kann und zum Teil in die gerade zu vereinfachen oder auch Zusammenhänge festzustellen die er auf den 1. nicht offensichtlich die Überschrift dazu so bisschen kryptisch wie lautet Vektoranalysis als wurde mit warum der Begriff so ist in der Welt 1 ist ein ist genau das zusammengefasst ja gut analytische mathematischer Beschreibung von Vektorfelder er und ihre Integrale über Gebiete und über Oberfläche wird sich die ganze zum integralen und was ich gleich man werde es erst mal ganz viel differenzieren es ist auf den 1. Blick die falsche Richtung aber sie werden feststellen dem was am Ende rauskommt nein aus dem Differenziation auf und wir schon gesehen das differenzieren von Vektorfelder das ist nicht komplizierter als es differenzieren eine Variable Weise müssen weil jede Komponente bei ihrer Variablen arbeiten das ist einfach nur Notation L aufwendig ja Jahres es gibt riesige Jacko und was ich jetzt erst mal machen will ist in diesem wo ist von vielen Ableitungen bist in Ordnung bringen und ein paar zusätzliche Bezeichnung einführen die das bisschen sortiert die partiellen Ableitungen von Vektorfelder miteinander vergleichen ein bisschen sortiert und der 1. Begriff der in solchen Zusammenhängen oft auftaucht ist die so genannte Divergenz Divergenz von Feld kann mir auch gut vorstellen das die mich einiger wie schon seit 5 Semestern brauchen wo ich noch nicht eingeführt haben Sie schon mal Divergenz gesehen er aber fürchtete ich das schon diesen immer schneller als wir was ist das damals ein Vektorfeld gegeben außer Teilmenge von Ende ich nehme die wieder offen an damit keine Pathologie daran auftauchen kann Ihnen sind sie durch sein ich habe Vektorfeld auf dieser Menge M und damit ich jetzt gleich differenzieren kann muss es stetig differenzierbar sein also stetig differenzierbare Sekt auf denken Sie wie gesagt nehmen sie in gleich 3 und denken Sie einen Kraftfeld Geschwindigkeits- und was ist die so genannte Divergenz dieses Vektorfeldes ich schlief von 11 sein war neues Symbol und die
Divergenz von 11 den macht folgendes in dem sich die gucken was sich sehr viele holen wir uns von dem es jetzt von der Kommunen die aber immer wieder variabel besessen Vektorfeld von allen nachher in das heißt Jacobi Martens ist ein Kreuz in in seinen entfallen auch viele Komponenten von dem F 1 zu 1 für jede Variable eines Waldes und die Divergenz bildet jetzt aus diesen vielen partiellen Ableitungen Zahl und was sie macht ist in dem sich einfach die diagonal in dieser Matrix und die alle Werte der Diagonale auf also die Jacobi Matrix von 11 in der so ich um Louis in Ableitung der 1. variabel nach 1. Komponente nach der 1. variable dann kommt erst Komponente nach 2. Variable bis 1. Komponente nach Enter Variable es war die Zeit des 2. Komponente nach 1. variabel zweite Komponente nach 2. variabel bis 2. Komponente nach Enter variable und so weiter bis Ende Komponente nach 1. variable Ente Komponente nach 2. Variable bis Ente Komponente nach Inter variabel und die Divergenz nimmt die die Hunde an jene und addiert die N Einträge auf der Diagonale auf also das ist die Summe wird gleich 1 bis n nehmen Sie sich die Orte Komponente von 11 und differenzieren sie nach den Sorten variabel und das demnächst aus er das ist meine Definition des ist die Divergenz von 11 das den Begriff mal gehört haben die Summe der Diagonalen Gemälde oder Matrix wenn und die Spur einer Matrix also die Divergenz ist die Spur der Gruppe Matrix kann man sich vielleicht auch kurz merken wenn man die Spur Begriff kennt und ansonsten sieht's erst mal einfach eine auf den 1. Blick vielleicht sinnlose viel zu Divergenz ist die Summe dieser speziellen partiellen Ableitung die auf der Diagonale der Jacobi Matrix stehen man beachte die Welt ist eine andere Qualität als die Funktion ist die Funktion f geht von in oder volle Teilmenge von der er nach L ist man doch fällt Komponenten n Variable die Divergenz von 11 es natürlich auf der gleichen Menge definierten dass es ist eine spezielle Abmeldung von 11 aber die Ergebnisse das Ergebnis der Divergenz von 11 ist mehr eine Zahl die den er war die partiellen Ableitungen DSJ nach nutzen alles zahlen wenn Sie eine aus Indien Komplize Arzt also die Divergenz von F ist strukturell was einfacheres als er was mit Sales und keine deckt auf was ich ihn bisher nicht erzählt ist die Frage wofür wir natürlich Kammern eine mögliche 1 zusammenzählen nicht ganz was Neues erfinden was dann Schlund von 11 heißt und das ist einfach aber die Summe von den alten oder sowas kann auch definieren aber was solls und dann stellt sich aus diese Divergenz von 11 also genau diese spezielle Summe von den diagonal Ableitungen die hat mir konkrete anschauliche Bedeutung für das weckt auf er gerne physikalische Bedeutung des sie wichtig das sind 14 1 dar das will ich Ihnen jetzt kurz erläutern ich dann sehen und zwar mir ist diese Divergenz im gewissen Sinne mir ist denn aus einer Volumeneinheit schreibt ist man Welt dann diskutiere ist was eine Volumen Volumen Einheit austretenden Fluss was meine ich damit die Divergenz an einem Punkt wissen natürlich ist mir aber alle wissen Krenz-Prozess was dahinter steckt ist in dem sich ein infinitesimal kleines Stückchen ja Sie haben ja ja Beckdorf oder waren mit dem Wetter Feld an der mir sehr am Ende dass der Islam es ist an jedem Punkt haben Sie visumfrei Ransleben fällt sagt ja also neben period weckt war indes nicht denn sie so was vor Geschwindigkeits- fällt von Wasser in dem Fall ja an jeder Stelle hat dieses Wasser Geschwindigkeit und die Divergenz sich jetzt sozusagen ein kleines es Volumen mehr O und die Divergenz sagt EQOS werden wir wenn sie setzt sich das vorstellen als die Geschwindigkeit von was das fließt wie viel Wasser entsteht an diesem Punkt also bestes Beispiel wenn das Beispiel sowie er dann muss ja wurde mit dem die Quelle sein man muss aber sehr kommen weil aus diesem period fließen alle Richtung raus und nichts rein das ist natürlich in der Realwelt wohl nicht möglich da weiß ich auch aber auf solche Vektorfelder gibt es natürlich und in gewisser Weise ist die Divergenz wie viel Wasser kommt aus einem period raus oder wie viel Wasser fließt rein ja also kann natürlich aus und deckt auf welche bauen alles auf einen Punkt wer nicht besonders gut gemalt da also alles geht hier diesen Punkt Rheiderlands dann sind denn senken an selber Stelle mag mir sehr sehr negative Divergenz hat verschwindet es es ist das er also hier wäre die Divergenz von 11 positiv er wird die Divergenz von 11 negativ war also an diesem Punkt in der Mitte wo alles rein fließt und er deswegen nennt man solche Punkte an denen die Divergenz positiv ist dann auch Quellen des Feldes
unsere im Punkte wurde Divergenz negativ ist Senken des Feldes also period XMM an den Divergenz F na also mit Divergenz an der Stelle x recht positiv die heißen das Vektorfeldes an den Stellen entsteht was und X aus allen an den die Divergenz negativ ist die heißen senken das Wetter fällt es ist natürlich in gewisser Weise mein Beispiel mit dem fließenden Wasser ein saublöd gewähltes Beispiel ein maximal bescheuert gewähltes Beispiel weil Geschwindigkeits- Felder von fließendem Wasser im realen Leben etwas ganz Besonderes sind nämlich sogenannt Quellen frei ja gut wenn Sie fließendes Wasser haben vielleicht würde dann ist eben an jedem Punkt die Divergenz 0 weil alles was man wo 3 einfließt Muse und wo's aus Massenhaltung habe solche Fälle sind ganz besondere Felder also wenn fällt haben für das die Divergenz immer nur ist Divergenz F und ist gleich 0 für alle x und dann heißt F ein Quellen freies Vektorfeld Kredit ausdenken frei sagen Quellen Ski das ist der der Normalfall wenn Sie dieses ankommt und der wenn Sie mal Lust haben in ein buch aus für die höheren Semester reingucken im Service den Wasserbau Kollegen das auch einzige in diesem Buch die sogenannte Stoxx gleich mal wieder wie Docks gleichen auf das ist mir Differentialgleichung die beschreibt das Fließen von Flüssigkeit die Lösung dieser Differentialgleichung ist Geschwindigkeits- fällt das ihn wenn sozusagen die Daten eingeben anfangs Zeitpunkt und Druck 3D-Drucken somit ausrechnen aber anfangs Anfangszustand und äußere Kräfte und wo kommt das Wasser her Hof ist denn dann können Sie mit dieser Gleichung ausrechnen wie wird das Wasser strömen wie Mercedes Geschwindigkeit Selterwasser des Wassers im Laufe der Zeit Ende das ist mit dem gleichen System mit vielen fiesen Gleichungen sieht böse aus um eine Gleichung davon sieht aber ganz kurz aus und die heißt Divergenz von 11 gleich 0 aber jedes vernünftige vielleicht das Feld 1 von Wasser muss die Siegergefühl muss Quellen frei sein weil alles was aber so wo rein fließt muss auch daran sei jedoch zu dieses Divergenz von 11 gleich 0 dann oft das übersetzt die in Kompressibilität von was es nicht kompressible ist uns alles was Rang auch ausgehen und dann ist das Feld Quelle frei können Sie sagen warum brauchen wir denn dann dann ist doch die wird es wahrscheinlich immer 0 nein weit gefehlt den 7 elektrisches Feld als Vektorfeld das elektrische Feld hinten Elektron rum wie sieht elektrisches Feld und Sonne Elektron aus ja ja so sieht das aus wunderbar period wo Divergenz ist da bedroht wenn Sie mal schauen gerade weitermachen elektrisches Feld dass das Magnetfeld nicht weit weg das Magnetfeld im Magnetfeld kann so was nicht passieren da hat wir Physiklehrer von erzählt Verbot des magnetischen Monopols Magnetfeldlinien immer geschlossen Magnetfelder haben keine solchen Quellen ja wenn Sie mal schauen grundlegenden Gleichungen der des Elektromagnetismus diesen jetzt so weil sie nicht mehr wird 200 Jahre alt stammen von einem die wächst nur nutzen die Maxwellgleichungen und eine der wesentlichen Gleichungen der Maxwellgleichungen ist Divergenz von B gleich 0 Divergenz des Magnetfelds ist immer 0 und auf die Weise lässt sich sehr kurzen elegant die Verbot der vom Verbot des magnetischen Monopols in eine kurze mathematische Formel treffen und das Magnetfeld hat keine Quellen Divergenz von W gleich 0 so auch das Sagen Sie mal nach Maxwellgleichungen wenn sie viele Gleichungen sehen und eine davon ist die Welt des gleich 0 und das nur so müssen sind am und um ihn zu zeigen diese Divergenz sei war ganz wichtiger war ganz wichtige Größe von sondern Vektorfeld das ihn ganz das Vektorfeld verrät das in vielen physikalischen und mechanischen Zusammenhängen wichtige Rolle spielt er deswegen Krieg diese ist diese Summe der Diagonalen in der von der Cogema fixen Eigennamen das ist die Divergenz wir werden uns mit der jetzt auch ein bisschen beschäftigen wir noch eine zweite solche Größe einführen wenn sie sich tatsächlich jetzt die Mühe machen und die Maxwellgleichungen nachschlagen wenn sie feststellen da tauchen viele die der Grenzen auf von wird dafür dann aber ist doch noch mehr ob es tauchen auch noch Rotation von Wetter Feldern auf was das ist jetzt sehe ich in der nächsten Woche war erstmal nicht erst noch in das Wochenende und in der sie aufwächst
Kreis
Kosinusfunktion
Matrizenmultiplikation
Quader
Determinante
Zylinder
Mischung <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Ruhmasse
Kartesische Koordinaten
Fokalpunkt
Zahl
Differential
Verzerrung
Kugel
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Menge
Symmetrie
Verallgemeinerung
Raum <Mathematik>
Gebiet <Mathematik>
Geometrie
Koordinaten
Sinusfunktion
Einfach zusammenhängender Raum
Kosinusfunktion
Punkt
Matrizenmultiplikation
Polare Darstellung
Determinante
Zylinder
Eindeutigkeit
Abbildung <Physik>
Kartesische Koordinaten
Kartesisches Produkt
Linie
Integral
Variable
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Symmetrie
Fünf
Koordinaten
Polare
Umrechnung
Radius
Kreis
Zugbeanspruchung
Länge
Kreisfläche
Quader
Determinante
Zylinder
Fläche
Gleichungssystem
Zahlenwert
Zahl
Integral
Kegel
Variable
Quadrat
Polarkoordinaten
Menge
Höhe
Einheitskreis
Volumen
Graphische Darstellung
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Ebene
Zylinder
Volumen
Gebiet <Mathematik>
Koordinaten
Richtung
Radius
Quadrat
Homogenes Polynom
Menge
Zylinder
Volumen
Gleitendes Mittel
Gebiet <Mathematik>
Sinusfunktion
Ebene
Kosinusfunktion
Kreis
Radius
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Zylinder
Stab
Supremum <Mathematik>
Gleichung
Integral
Richtung
Gradient
Weg <Topologie>
Quadrat
Variable
Stammfunktion
Menge
Höhe
Volumen
Koordinaten
Geometrie
Aggregatzustand
Ebene
Länge
Summand
Zylinder
Physik
Kante
Term
Richtung
Gradient
Mittelungsverfahren
Quadrat
Variable
Kugel
Polarkoordinaten
Homogenes Polynom
Radius
Kosinusfunktion
Kugelkoordinaten
Verschlingung
Binomische Formel
Zahl
Integral
Summe
Stammfunktion
Höhe
Fünf
Mathematiker
Volumen
Koordinaten
Geometrie
Mathematische Größe
Trigonometrie
Länge
Punkt
Matrizenmultiplikation
Zylinder
Netzplantechnik
Träger
Gradient
Differential
Quadrat
Homogenes Polynom
Polarkoordinaten
Theorem
Formelsammlung
Minimalgrad
Koordinatentransformation
Substitution
Ableitung <Topologie>
Umrechnung
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Addition
Kugelkoordinaten
Kosinusfunktion
Lineares Funktional
Determinante
Datumsgrenze
Abbildung <Physik>
Dreieck
Sinusfunktion
Ebene
Betrag <Mathematik>
Rechter Winkel
Trigonometrische Funktion
Koordinaten
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Momentenproblem
Differentiation <Mathematik>
Richtung
Vektorfeld
Variable
Quadrat
Kugel
Polarkoordinaten
Ableitung <Topologie>
Umrechnung
Funktion <Mathematik>
Wirkung <Physik>
Einfach zusammenhängender Raum
Sinusfunktion
Parametersystem
Radius
Kugelkoordinaten
Kosinusfunktion
Stoß
Determinante
Kraft
Partielle Differentiation
Integral
Teilmenge
Balken
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Menge
Gravitationsfeld
Strukturgleichungsmodell
Volumen
Gebiet <Mathematik>
Koordinaten
Aggregatzustand
Geschwindigkeit
Quelle <Physik>
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Punkt
Gleichungssystem
Rang <Mathematik>
Differentialgleichung
Richtung
Vektorfeld
Variable
Feld <Physik>
Ableitung <Topologie>
Einfach zusammenhängender Raum
Wald <Graphentheorie>
Rotation
Kraft
Fehlerkorrekturmodell
Partielle Differentiation
Sorte <Logik>
Gleichung
Zahl
Teilmenge
Summe
Elementare Zahlentheorie
Menge
Elektrisches Feld
Volumen
Diagonale <Geometrie>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 23: Zylinder und Kugelkoordinaten
Serientitel Mathematik II für Bauwesen
Teil 23
Anzahl der Teile 24
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Mitwirkende Völz, Fabian
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/36081
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2015
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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