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Vorlesung 22: Polarkoordinaten

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so dann mal ein herzliches Willkommen letzte Vorlesung Bereich leider ziemlich mittendrin im Beispiel hängen geblieben da will ich noch mal kurz skizzieren worum es gehen wenn uns beschäftigt mit die Bits integralen integral über eine Teilmenge des von der Funktion wenn das Ganze auf 2 dimensionale Gebiete begrenzt damit vorstellbar bleibt und haben uns geschaut erst in die Karibik Intervall also über Rechtecke die sich einfach zerlegen man erst die eine Richtung integriert und dann in die andere und und sogenannte X projeziere Baronets nahm projiziert werden Menge angestaut bei den dieses erst in die eine Richtung integrieren dann in die andere auch noch irgendwie geht weil man die Grenzen so aufteilen kann dass man da einen variablen fixe Grenzen tritt 0 bis 5 und in der anderen Variable Grenzen die von der 1. variabler abgehen mehr kann man eben in der Reihenfolge nach in integrieren und da habe ich muss ich noch ein Beispiel vervollständigen das
ich letztes Mal angefangen hatte das war das ein Beispiel 21 6 das zweite Beispiel und da war das Gebiet die man über die wir integrieren wollen Dreieck 3 in der Ebene mit den Eckpunkten im Ursprung im Punkt 1 1 wollen period 2 0 also dieses Dreieck hier das ist die und die Funktion die sich integrieren wollte ist die Funktion f von x y ist durch 1 plus X die Menge ist keiner der Wahl aber sie ist projeziere waren sie sogar besonders schön Sie es nicht sowohl x als auch y projiziert war sie werden sich die Brücke Ideen der projeziere war kalt war sie kann diese Menge gesehen als aufeinander
liegende Fasern die alle nicht
wissen sind sondern die Menge schöne Stapelung von auf meine liegenden Fasern in dem Fall könnte man also entlang dieser Phasen integrieren das heißt man würde zunächst für festgehalten dass y in ICs integrieren von dieser linken Grenze bis zu der schrägen rechten wenn sie nach Wertes Ypsilons hat man dann andere Grenzen und dann die daraus resultierten Werte in Y auf integrieren das ist n x projeziere war kalt die man es auch y projeziere war man kann sie
auch so in Fasern zerlegen dann
würde man zunächst integrieren für festgehaltene x-Werte jeweils entlang einer blauen Linie von wo bis wo man die gehen muss hängt jetzt vom X ab kann es gleich 1 würde man von 0 bis 1 integrieren für X gleich 0 gar nicht und es gleich Inhalt würde man den von 0 wissen halten sich und wenn man dann diese ganzen integraler hat dann kann man hinterher über X auch integriert also diese Menge gehen ist sowohl x das heißt auch y projiziert war man kann sich ja also aus suchen wie Roman rechnet und in dem Fall ist die leichtere Rechnung mehr er und die nicht nur das heißt die grüne Variante also die X
projiziere Vagheit zu nutzen nein was wir aus seinen wollen das Integrale begehe über diesen GG von der Funktion f die umgestellt ab der Kunde jetzt ist grüne Variante wählen also integrieren wir jeweils der festgehaltenes y über die Grünen Fasern da müssen wir uns überlegen wie sehen die beiden Sender aus und wenn es gut sich zu überlegen dass diese dieser Rand hier die Gleichung die gerade mit der gleichen es gleich y ist das ist genau die Winkelhalbierende und dieser Gandhi ist auch nicht gerade ungleich bisschen kurz überlegen ist die gerade X gleich 2 minus 70 Felix gleich 2 so konnte 10 gleich nur aus geht er sich dem Punkt 2 0 und ist mit gerade mit Steigung minus 1 das ist genau die die wir da so das heißt wenn ich mir sollen festgehaltenes y nehme den integriere ich für diesen y wird von der Linken Grenze also von X er von y an der linken Grenze ist SX gleich y einer rechten denn es ist es gleich 2 Männer sitzen er sich in die Quere von y bis 2 minus 17 war meine Funktion die 6 und dass alle diese Zahlen die ich dann über die ganzen grünen Fasern auf y von 0 gesagt haben so so weit kann man glaube ich letztes Mal es kann man muss rechnen jetzt eigentlich nur noch integrieren musste erst das integral ihnen ausrechnen das erste Schreiben an das äußere integral Art integral von 0 bis 1 in den Städten integral über 1 durch 1 plus X 1 durch integral von 1 durch X oder Stamm von sowohl als wichtigstes darüber muss integral Stammfunktion von 1 durch 1 plus X ist also hoffentlich irgendwas im Bereich Logo Rhythmus von Betrag 1 plus X Problem das aus was passiert wenn sie es ableiten zunächst mal diskutiere man den Betrag wecken das Y die zwischen 0 und 1 das heißt das X legt zwischen 0 und 1 wenn y diese Zahl y und 2 minus y müssen beide positiv sein wenn Land sich nun einzig und werden auch nicht größer als 1 Moment doch wenn ich größer als 2 also zwischen und 2 jeden Fall 1 plus X zwischen 1 und 3 und damit positiv also die Beträge können und sparen mehr so was das wir dass die jetzt bleiben kriegen wir einst durch 1 plus X X der Ableitung bis 1 also 1 durch 1 plus X passt so und die Funktion in den Grenzen wächst gleich y ist x gleich 2 minus Y und dann dehnt allseits über die Grenzen ein integral von 0 bis 1 allen voran 1 plus 2 minus y also von 3 minus ihnen aus allen von einst im Plus 1 plus y die National ab weiß dass wir das noch integrieren das ist ein bisschen rum die ihrer rein das mitteilen müssen 2 Integrale auf integral von 0 bis 1 allen von 3 minus y man das integral von 0 bis
1 allen von 1 plus y 3 so dann ist an wahrscheinlich geradeaus
ist man wenn man jeweils diese Argumente hier substituiert also in 1. integral
succeed Ferien wir gleich 3 minus y im 2. substituieren war V gleich 1 plus y dann kriegen wir hier
die ist man y und jeder Frau ist y und alles zusammen so
mal gucken beim 1. integral y zwischen 0 und 1 ist dann liegt es zwischen
3 und 2 also das integral von 3 bis 2
über allen von und das TYR setzt sich durch minus die Uhr das ist das 1. integral mag jetzt vielleicht komisch aus das
davon 3 bis 2 stehen ist natürlich gerade
die minus bevor leicht gleich um drehbar ich hier empfehle trotzdem es einfach so zu
rechnen wenn man sich da nicht wird einfach stur die Grenzen umrechnen dann schreiben was es ist und dann soll es war in der umdreht also viele minus
Kochversuchen zu Hofer arbeiten führt üblicherweise zu blöden Fehler so
2. integral minus wenn y 0 ist ist V 1 plus 0 also 1 wird y
1 ist ist V 1 plus 1 also 2 allen von Frau und y der setzt sich einfach durch die jetzt muss man gut kann hier
noch nutzen das minus
Syndikat um die Rede ist also integral von 2 bis 3 bei allen minus nimmt die gerade von 1 bis 2 über allen Frau es
war sie nur ein was die Stammfunktion wird muss war entweder wir oder nachschlagen Stern sind sollen
Logarithmus es mal denn von minus OnePlus also das an meine Grenzen von 2
bis 3 minus Frau mal allen von Frau Plus Frau in den Grenzen von
1 bis 2 dort jetzt ist noch einsetzen
also sitzen hier in das ist 3 Mal den 3 plus 3 minus 2 Ellen 2 plus 2 Minuszahlen minus obere Grenze einsetzen 2 1 2 minus 2 minus minus also plus 1 allen 1 plus 1 ist so da kann man noch ganz mächtig aufräumen zunächst mal kann natürlich den allen 1 Aufräumer des nur ja also das den 3 1 3 1 dann gibt es minus 2 1 2 und noch mal minus 2 Ellen 2 sind minus 4 Ellen 2 oder man noch eine ganze Menge Zahlen stehen plus 3 und minus 2 minus 2 plus 1 ist 4 minus 4 ist 0 fällt alles weg bleiben 3 1 3 minus 4 Ellen 2 stehen vielleicht schön
übersichtlich aus kann man dabei immer noch weiter aufrollen dreimal allen 3 ist nämlich das Gleiche wie allen von 3 hoch 3
kann mal 1 von ist in der Form wie hoch er 3 auch 3 27 also ist die allen von 27 minus allen von 2 hoch 4 also man das Elend von 8 wer nicht so viel sich 8 so auf wie manchmal 16 so und jetzt letzter Streich Differenz von morgen wird man ist so gut muss von der von der vom Quotienten also der Rhythmus von 27 Sicht Gott noch mal kurz ein bisschen John der Logarithmus rechnen will der aber der
entscheidende Punkt durch ganz Anfang passiert das Gebiet integral konnte geschrieben werden heißen iteriert das integral von 2 eindimensional integralen über die ausrechnen ist und das ging weil diese Menge eben projiziert war es und damit konnten wir das Ganze in das Innere Integrals erledigen wo die Grenzen zwar von den äußeren variabler abhängen das entscheidende ist über eben das in dem äußeren integral konstante ganzen das stimmt nur wenn die ganze Mäuse die gerade wiederum von X abhängen würden hätten ein Problem dann kann man sie nicht schreiben weil das X dafür außerhalb von seinen gehfähig vorkommen ja und das ist das was projeziere Menge ausmacht mehr ist die Frage ja vielleicht sind ja fast alle Mengen projiziert war das ist leider ein
Trugschluss ich keinen sehr leichten freut man ihn zeichnen oder angeben die nicht projiziert S und trotzdem oft genug vorkommt also hier ein Beispiel von einer nicht projiziert waren menge aber ich kann Ihnen an der Menge auch zeigen dass man sich da relativ leicht helfen kann und ich würde ihn dann später auch noch weitere Methoden zeigen man sich da noch besser helfen kann und die typische Probleme Menge also eine typische relativ einfache Probleme Menge bei
projiziert war kalt essen Kreisrätin also Donath wer gut 2 Dinge seine Donald der nicht besonders nahe also die Menge aller wird er Vektoren in der Ebene zum
Beispiel mit 1 kleiner gleich x drahtlos y Quadrat kleiner gleich 4 also alle Vektoren den Abstand vom Ursprung mindestens 1 und höchstens 2 ist die außerhalb des Kreises mit Radius 1 innerhalb des Kreises
mit Radius 2 das ist ein typischer Kreis also
das Ding sieht so aus wie es einst als 2 weil es muss gleich 2 Kreise mal also Kreis mit Radius 1 fast ein Kreis mit Radius 2 es war und das ist also anschauen ist diese Menge gehen da die Frage war Pfarrer musste so mal Luminoso sein das kann sein ja ja ja ja ja ja das hat mir jemand also das hier vorbereitet hat falsch hingeschrieben wir das wohl war ja dann ändert sich da drüben was da vor allem ist wird es also wohl so was durch den was durch die Nacht ich hatte ja auch nie das im
Kopfe auch erst minus gesagt also kann man ihn aus und dann wieder aus das T
so was passiert denn hier dann kommt hier 3 1 3 minus 3 raus minus 2 1 2 plus 2 will es war dann ist das hiermit plus nehmen und das dann minus dann ist das da alles gut ja so wahnsinnig viel tun sie da gar nicht mehr ich warte stimmt wieder bitte 3 4 plus 4 minus 4 plus 4 ist immer noch 0 diese diese Konstanten der dieses haben sich zum Glück zu 0 ergänzt reiner Zufall gar nicht an den da eingesetzt sind und ob sie sich mit zu plus wurde zumindest nur Leitsätze ergänzendes zum Gläubiger aber da gesehen Gott so also zurück zur Sonne Kreis vielleicht haben hat die eine oder andere schon mal versucht der Phase rein zumal man sich schon gesehen schief gehen kann das können Sie mir der X nur projizieren weil egal wie Rose projizieren irgendwann zerreißt in die Faser also typische Vertreter von nicht projiziert war Menges alles was noch habe etwas salopp gesprochen so bei der Menge Loch hat haben Sie gelitten was projiziert Vagheit angeht und Kreisligist sozusagen die einfachsten Dinge mit Loch also die ist wieder da X nach Y projeziere war anschaulich eben weil man egal zum Beispiel hier der
zerrissene Phase hat bzw. die
andere Richtung hier eine formal
was meine Definition von projiziert war kalte Definition war die Menge muss so sein das sie sehen kann als zwischen 2 Funktionsgraphen liegend und das geht hier egal welche Richtung schief nein in jeder Richtung hat die menge 4 3 bis 4 Begrenzungslinien das können Sie mir es sei Funktionsgraphen auf es also was kann man hier tun da gibt es verschiedene Möglichkeiten die meine Uni zeige ich Ihnen jetzt also zeigen jetzt 3 Möglichkeiten damit umgehen kann also wir wollen über diese Menge G R Funktionen dick klären ich hoffe dass sie das nicht für abwegig finden im Kreis dem Gesetz keine absurde Geometrie was kommt vor also wir wollen eine Funktionen wenn sie gehen und wie können wir das machen mit dem bisher Methoden geht es nicht weil das Ding ist nicht projiziert und die 1. Möglichkeit damit umzugehen das ist einfach zu sagen ich kann das Ding aber in 2 projiziere Teile zerlegen sie zwischen zerschneiden Donath einfach in 2 Hälften und eine Möglichkeit den zu zerlegen ist so nehme alles oberhalb alles unterhalb der x-Achse also jene große Schere und schneiden hierdurch und schneiden hier durch unser Leben Zellinneren Engine den Teil von G der oberhalb der X-Achse legt also die Menge aller XY R 2 so das Y größer gleich 0 ist das
nenne ich die 1 vereinigt mit dem Punkten
in die 4 unterhalb der x-Achse liegen also wohl ein kleiner gleich 0 ist erst
wenn ich die 2 und dann wissen wir wegen der alten
TV zählt das integral das integral über eine Funktion über die
man die ist es sehr wenn ich zuerst wird die Menge die einen sind sie also bei den oberen
halb Donald und dann mit den unteren halb donnerte zunehme und darüber in
Tikrit warum ist es ein Vorteil ich behaupte wenn sie sind obere Hälfte wollen Donald sende projizieren Menge nein zwar nur y projiziere waren die X projizieren das ist so aber das unser wurscht das Problem in der Richtung bleibt
natürlich erhalten auch hier wird die Faser zerschnitten
aber wenn sie nur den oberen im können Sie sehen wunderbar in der Richtung projiziert
gut die Menge die zwischen 2 Grad in der 1. Graf der obere Gravis einfach die Funktion die diese halten ob die den äußeren
Radius die äußere Kreis Dinge beschreibt und die untere Grenze Funktion bis zu 6 0 dann der kleinere Kreis
Halbkreis um dann wieder nun die Weise liegt das Ding zwischen 2 Kraft ist also projiziert war kann man
ausrechnen das gleiche gilt für und nur obere Grenze bei der unteren denke ist wieder die Funktion nun unter Wahlkreis 0
und die Unterricht untere Grenze ist der Antrag dass also auf die Weise kann man die Menge zerlegen in
2 projiziert Warenmengen die ab ein bisschen das bei Ihnen die Alarmglocke angehen einer der Stellen ist ne gewisse
mogelt Aktion drin bei der Zerlegung muss man natürlich so arbeiten dass man keine
Teile der Menge doppelt Zelt ja die
ich kann Ihnen natürlich auch zu legen die obere Hälfte die untere Hälfte nochmal unter 1. wenn ich dann zusammenzählen und die untere Hälfte ich nur das Gewicht der so
oft war das ist total einer naiven klar ich sie lege muss ist zärtlich zerschneiden und nichts was kopieren dabei das
habe ich im Prinzip gemacht habe sowohl untere Hälfte zerlegt da werden über kompakte man bisher
integrieren musste ich die Schnittlinie wir
geschnitten habe diese beiden Linien die habe
ich sowohl in die 1 also in die 2 gepackt also der einzige 2 enthalten gemeinsame period nämlich diese beiden mit liegen das ist
okay weil diese beiden Schnittlinien wenn man 7 er 2 integriert 0 geben weil die
kein Volumen bei dem keine Fläche deswegen ist es
integral über diese Linie sei verloren und deswegen darf diese Linien beiden Dingen auftaucht Not das funktioniert also Sie
können solche mehrdimensionalen Bereich über die die DDR werden soll schön zerschneiden und
über die Einzelteile integrieren das zusammen und auf die Weise kann man zum Beispiel diese blöde Kreisrätin zerlegen 2 projeziere habe Mengen und dann kann man
recht man kann aber nicht nur so
schön zerlegen in Dinge die
dann zusammengebaut die Menge geben sondern mindestens genauso wichtig ist der 2. Technik nämlich
dass man das Ganze subtraktiv löst das ist ja dass das Loch mehr wollen
wir den Menge integrieren wie sie projizieren Weise das Bohrloch hat was man da machen kann ist Folgendes Maletic meinen erstmal das doofe Loch und
integriert über den ganzen Kreis mit Radius 2 dann integriert man über das was ihnen Rennes in Kreisen
ein sind sie das ab da zweite Variante sie sehen diesen Kreis denn
alles den Kreis mit Radius 2
aus den Kreis mit Radius 1 da also informellen wenn in unserem
Kreis in G legen ihn in den Kreis
mit Radius 2 1 ohne den Kreis mit Radius 1 der Kreisen Grades
eines ganz in dem großen Ding drin liegt es jetzt ist dann das in die gerade beginne ich schwer die ganze begehe sind die gerade bei den großen
Kreis minus integral den rein kleinen Kreis und auch den können Sie sind die gerade Greissing ausreicht auch das löst das
Problem weil die Kreise sind natürlich wieder projeziere war Loch diesen sogar X und Y projiziere war da können Sie rechnen diese war also wie im Fall Manzel liege so und berechnete das integral übergehen als das integral über den großen Kreis also Kreis mit Radius 2 um 0 oder fehlte die übergehe über ihre gegebene Funktion f also sind die gerade mit dem großen Kreis über die Funktion minus das integral über den kleinen Kreis auch das eine ganz typische Methode um solche Probleme zu lösen wenn sie das nicht projiziert das haben können Sie kucken kann man das irgendwie in 4 projiziert Teile zerlegen und so sie können Gruppen kann man die Menge auffassen als was projiziert war es ohne was projiziere erst oder auch also Menge mit 3 Löchern haben ganz natürlich die ganze Menge nehmen in der er die 3 Löcher abzielt wäre es auch kein Problem also mit diesem Vorgehen für
viele man die eigentlich nicht projiziere war sind und wie gesagt davon gibt es
reichlich sobald jede Menge wirklich Loch hat ist es aus und in gleichen gibt es jetzt nicht so furchtbar wenige also möglich dass Ihnen man die
Zerlegung projiziert Warenmengen auf die Weise können Sie Ihre Probleme geben auch projiziert
Warenmengen zurückspielen gut die Berechnungsmethoden sich die gleichen wie
vorher nur ich bin sehr froh jetzt über Menge zurück müssen halt Integrale projiziert war man aus
er will so so viel zunächst mal
zum Thema er zur Zerlegung Smidt
wurde nicht wie den jetzt 2. in völlig anderen Trick zeigen wie man auch an diesen Kreis Ringlein gehen kann nicht nur diesen Kreis wenn er das ist jetzt nur einfach mit billige Überleitung aber passt gerade so
gut es wurde unser Problem ist das Loch und was wir jetzt machen werden ist es in den Raum
oder dem für neue kurdische uns andere Koordinaten an wir werden andere Koordinaten im Raum die so sind dass dieser Kreis denn eigentlich auch nur richtig ist dann sagen Bilder völlig mitreißendes ist noch kein Recht Ecke aber die richtigen wollen Daten in diesen Kreisen Recht was wir Ton ist wir machen mit Nation des Raumes der verbiegen unserer um und das führt auf die oder um das zu tun muss man in der in integral die Variablen transformieren und das führt sein da die Pegel so Substitutions- trägt der für ewige Dimension wir wollen die Bayern ganze Nation machen wenn sie XY jetzt ersetzen man durch andere Variablen dann haben sie in haben Sie in dieser so und die Substitutions- Regen
der Variablen das ist ein äußerst starkes jedes Medium in die gerade zu bestimmen dann gebe ich Ihnen jetzt kommentieren und dann an einigen Beispielen und dann einen ganz wichtigen speziellen Substitution die man
oft braucht mit Ihnen diskutieren die deswegen gehen wir jetzt ich hatte diesen ganzen Bereich über projiziert werde man auf 2 Dimensionen eingeschränkt die Einschränkung will ich jetzt wieder aufheben also ab jetzt
10. wieder näher an mit der wenigen trotzdem natürlich immer der Aufruf wenn sie sich vorstellen bleiben Sie mehr 2 mit Ende die bitte klar so also es geht um die Substitutions- Regeln mehrdimensional das heißt um Variablen Transformation das darf und wenn Sie jetzt zurück erinnern an das was wir in einer denen Summe der Subsumtion zeige gemacht haben dann war das dort auch eine variabel Transformation was man sowie daran merke dass ich das Integrations- Intervall verändert wenn substituieren dieses verhindern dass Integration sind es war für uns eigentlich immer ihr aber so so ein Nebeneffekt das halt passiert stört nicht weiter das ist eine so Stations eindimensionalen war man kann es die GAL vereinfachen man kann jeder wenn es gut läuft über einfache Funktion integriert dafür war sie da meiner komplizierteste Gral subst die richtige da der eine einfache Funktion im mehrdimensionalen verschiebt sich an der Stelle bisschen der Focus gewiss doch wieder zu macht das gleiche eindimensionalen aussendet die Funktion und die Grenzen des heißt er das Indikationsgebieten weil man sich anschaut wofür man so stürze sonstige im mehrdimensionalen meistens verwendet dann verwendet man sie genau am andern Sinne das heißt man verwendet sie um das Integrations- Gebiet schön zu machen und nimmt als Nebeneffekt sozusagen als Kollateralschaden sei es zwar den Kauf des die Funktion hässlicher wird nun das ich Spiel wieder das was ich am Ball mal gesagt habe die Komplexität dann werde man seine die Tiere mit dem Ziel große Möglichkeiten der Geometrie da in einem ins sagen wenn der Winterware integrieren eindimensionales hat nicht die Geometrie im mehrdimensionalen haben Sie wahnsinnig viele Möglichkeiten Droge Indikationsgebieten zumal und die Bahre ihrer Gegner mehrdimensionales sich die Funktion integrieren sondern ist das Indikationsgebieten und das wird uns rege dient meist ist es so dass Indikationsgebieten verschönern und ja dann passiert hat was mehr Funktionen muss man sich in der überlegen ob man damit zurechtkommt oder sowie umgekehrt eindimensional weil es doch so zu unsere dafür da die Funktion zu verschönern und dann ändert sich ja dann wie das Indikationsgebiete war da muss man halt gucken damit zurecht kommt das so als Vorbemerkung im was sagte Substitutions- träge wie gesagt es geht darum sie haben die Transformation der Variablen wolle den sind die GAL einsetzen wollen wissen wie sich die Integration in und diese Variation der Variablen mit ist Funktion H Vektorfeld H das Punkten im Integrations- Gebiet gehen bijektiv auf einen anderen Punkt ein Integrations- Gebiet die Hut ab bildet also werden 2 Indikationsgebiete G und die Wut beides Teilmengen N Indikationsgebiete also sprich Gebiete über die man sich wehren kann stellenweise glatt daran und ja ab das sind wenn sie es wieder einen immensen also das unserige
vergleichen das Intervall ziehen die beiden der Wale wo die in das integral nach und vor der Substitution drüber integriert die beiden uns Gebiet also das in der Wahl über das integrieren das Intervall über das sie nach der Substitution nötig wer eine Funktion integrieren wollen dementsprechend sollte sie auf dem Integrations- Gebiet G gegeben sein und damit sich wehren
können muss ich stückweise stetig sein reine Vorsichtsmaßnahme so eiserne Funktionen aber wenn die die und jetzt kommt die Variablen
Transformationen treffen die Bayern Transformation in Form eines Vektorfeldes
Haare das geht danach bijektiv nach G abbildet
bijektiv und stetig differenzierbar wir schauen uns nur stetig differenzierbare Mariannens transnationalen die wir nach anschauen sind
sogar alle beliebig oft differenzierbar also diese Abbildung aber das ist ihre Transformation ja sehr setzen die
Variablen XY durch H von X wird
so und an Geld das Substitutions- Wege die wenn man sie länger ans der tatsächlich ungefähr so aussieht wie eindimensional also was sie
eigentlich berechnen wollen ist das integral über G er von XTX und das kann man jetzt eben der
Substitutions- regere spielen also was man wird substituiert es
XS H von 10 ab das ist die Substitution kann schauen Sie kurz das alles von den
Mengen her passt das groß hagelt von geht Dach nach GE also da y gesehen
geht Dach H von y diesen G Hafen Y hat also gut ich sein das passt und wenn Sie alle y in die Dach ins H
einsetzen dann kommt jedes XING genau einmal aus weil wir das Haar bijektiv vorausgesetzt habe also wenn sie mit
dem Y über ganz Didache laufen laufen sie mit dem X über ganz G die also
was würde man denn schreiben jetzt meiner Edits substituiert sie ersetzen X durch von Y steht hier drüben also es von
H von y was müssen wir den Grenzen 2 dem Integrations- Gebiet wenn
X über ganz G läuft läuft y über ganz geht Dach also steht hier gedacht wenn die Gewinne begeht Dach die Funktion f von von y und das das sie es bei der
eindimensional Subventionsregeln auch sie müssen noch das Differential anpassen
aus dem DX wird sowas wie eh strich von y y Mann nur X ist
irgendwie aber vor dem Hadith und an der Stelle muss man bisschen genau hingucken
also die Ableitung von dem H kann da überhaupt nicht stehen
weil die anderen wurde man wäre ja hier die das heißen Vektorfeld wäre also der in Kreuz Matrix nicht wiederkommen Matrix ließen
rechts stehen aber zahlen wir die Funktion f geht der Erde integriert würde begehe aber da kommt Zahlen raus also muss Zahl steht die so und die
Zahl der in muss die hat mit der Ableitung von hat zu tun Museen bezahlen
sein wie kriegt man aus der Matrix der Zahl und wir die Termin nannte
also was hier noch dran muss ist die der Termin nannte von der Jacobi Matrix von dem Vektorfeld Haar an der Stelle Y
und jetzt noch ein Betrag davon minus müssen weg und dann die an
Zacken das so zu Jones Reck ab wenn ich ihn jetzt so ganz langsam den geschrieben weil dem man die einfach so
Reiterdenkmal um Himmels willen was das Substitution zu tun und ich hoffe ich konnte ihn zeigen Wesen ist die Formel die sie kennen wir setzen X
durch von y sie Meditations Grenzen anpassen wenn das X über selbst begehe
gut läuft wird das X genau der G und Sie müssen das Differenzial anpassen durch die Abmeldung von dem und die wichtige Kenngröße der Betrag
von der Determinante von der Gruppe macht wenn Sie das es wieder einen immensen darunter denken das na ja
dann ist ja gut noch ist die Ableitung die Determinante von der Ableitung ist die Determinante von 1 trotz 1 x 6 ist nur noch die Ableitung und das einzige was
Sie verwundern darf ist der Betrag der Stettiner eindimensional Substitutions- Reagan nicht drin
Thiel das klingt das ist mehr im Unterschied der aber sinnvoll das eindimensionale integral hatten Orientierung hatten Richtung wenn sie die Grenzen umdrehen den 7 minus das mehrdimensionale Integrale hat keine Orientierung Richtung mehr aber es gibt keine vorn und hinten der 3 klar das einen immensen eine
integral dass man immer sei die 3 kann überhaupt nicht das Vorzeichenwechsel meine Grenzen umdrehen weil sie können die Grenze nicht umdrehen
wer also wenn sie die Menge G klar mache keinen Sinn wir deswegen ist dieses integral nicht achtet nicht auf vorzeigen und Sie kriegen jede
betrage Determinante ab er wird warum ausgerechnet die die Determinante ab auch
das kann man sich überlegen was unsere geometrische anschauen der Determinante
war eine sehr gut verstehen wofür ist denn dieser Korrekturfaktor sage ich jetzt
mal da das Bein substituieren reinkommt stellen Sie sich mal die Substitution vor Sonne ganz billige
eindimensionale Substitution sie ersetzen Y gleich 2 x ja das müssen Sie dann machen dann müssen Sie das
Text ersetzen also das Y ersetzen durch 2 Text werden Sie mir bislang
Umwelt 2 x ob sie verlieren dann heißt das dass sie ihre ganze Seele AGs um den Faktor
2 auch dadurch ändern sie länger um den Faktor 2 und diese Änderung der Längen Faktor 2
bis ein integrieren wieder korrigieren ich komme diese Tag 2 wieder ein also dieses dieser Faktor
der beim substituieren entsteht ist mir Korrektur für die Verzerrung
ihrer reellen Achse diese durch die Substitution begehen durch diese Abbildung Haare durch diese
Direktive Abbildung aha verbiegen siehe Raum auch und jetzt müssen sie die Volumenänderung
die diese Abbildung H mit dem Raum macht beim substituieren korrigiert man sich ihrer habe ich ganz
war das natürlich ewig er war letzten Semester gesagt eine wesentliche Anschauung der Determinante ist die Determinante von
einer Matrix oder eine Linie Bildung sagt Ihnen um welchen Faktor endet diese im Jahre Abbildung das Volumen des
Raums da die Determinante ist mehr Maß für die Volumenänderung die Sie machen wenn sie diese in ihren
Abbildung den Raum verzerren und gibt aus diesen Effekt der die Determinante hier auch die gibt die
Volumenänderung an die Sie durch Ihre Substitution machen und deswegen
wird diese durch die Determinante wieder rein korrigiert das ist die ganze der ganze Hintergrund dieser Termin hat so
also die wichtige mehr sind ist wieso Solutions funktioniert genauso oder fühlt sich genauso an
dem eindimensionalen wenn man die richtigen Dinge einsetzt da sie sehr sie setzen für die Variable ihre Subskription ein C
L ändern die er und Grenzen in denen das geht es um die gut wäre und sie korrigieren
Mittendifferenzial mit dem Betrag der Determinante der Kunde macht dieser wird unsere gleich lassen wir
vielleicht es kurz 10 Minuten Sachen den preußischen und dann zeige ich Ihnen eine ganze
Menge Anwendung von der Regel immer mit dem wie gesagt mit dem Ziel die Geometrie zu
vereinfachen leichter rechnen zu können und dann werde ich Ihnen damit auch zeigen wie man den Kreis den zu Unrecht Ecke verbiegt gut also erst noch als
so ich würde dann gern die zweite Hälfte Staaten und mit ihnen auf den Kreis legen und
auf Kreise losgehen also was ist eine geeignete gute Koordinaten Transformation was sind gute
Koordinaten um Sonne Geometrie von Sonne kreist in anzuschauen bei normaler sei jetzt mal Basis
wächst im Sinn der Lilian eingeworben den statt der XY wird wie andere gedrehte 2 Achsen bringt da nix so ein Kreis ist mal Drehsen
Netzrichter können solange drehen wie sie wollen das wird nicht einfacher aber vielleicht erinnern Sie sich an
eine war von Koordinaten die besonders gut zu Kreis Geometrien passt ich darf nur mal das Stichwort komplexe
Zahlen die Runde da hatten wir das Thema schon mal weil wenn wir es gestellt Multiplizieren
mit E ist drehen um 90 Grad die Multiplikation komplexer T mit drehen zu tun und da sind wir damals auf die
Polarkoordinaten gestoßen als Koordinaten die gut passen wann immer man irgendetwas zu bearbeiten hat was die Kreis Geometrie zweidimensionalen hat
nein Wenn was keiner wenn was nie Kreis Schülerkreis Greis den also versuchen uns mal zu erinnern
wie das mit diesem Polarkoordinaten aus sein also Polarkoordinaten nochmal
in Kürze was war das wir erinnern uns Polarkoordinaten war eine
Möglichkeit denn er 2 anders zu beschreiben in der See kurz
gesprochen und nicht von jedem period seine ist y-Koordinate angeben sondern sein Abstand vom Ursprung und den Winkel des
Netzer positiven reellen Achse bildet 1. Bild die Formel sie haben in der
2. und Punkte können Sie den überdies y-Koordinate beschreiben und die Alternative Polarkoordinaten ist sie beschreiben ihn durch diesen Abstand er hier man diesen Winkel fliegt nach und die Umrechnung war einfache Trigonometrie period XY wenn sehr und wir wissen nur wenn sie eh er und viele haben dann ist dies x siehe unten über den Cosinus gegeben weil der Cosinus und wie es ein Katheder welche nur also X durch R und wenn man das umstellen kriegt man X ist er mal Cosinus und wir 10 y ist hier drin y durch Erlass der Sinus von Vieh also das y R x 7 das war die Umrechnung Polarkoordinaten diese Umrechnung Polarkoordinaten die Welt jetzt unsere Substitutions- Funktion würde ob diese Funk diese Umrechnung in Polarkoordinaten von XY ist ne wunderbare Direktiven die gelieferte stetig differenzierbare Funktion 8 und Sie können bitte also diese Funktion jetzt definieren wer
und wie das er aus dem positiven Zahlen von 0 bis unendlich und das Vieh aus einem Einheit Intervall von Winkeln
üblicherweise zum Beispiel 0 bis 2 p oder minus TV-Spielen und das als Ware die ebenso gegeben es ist da oben steht also H von er und fliehen ist er Alkohol die mal sehen was sie das ist die Substitution Funktion Ballwechseln
Polarkoordinaten hat ja also wenn wir und sie
den Raum nicht mehr in kartesischen Koordinaten beschreiben sollen sondern wollen sollen Polarkoordinaten von deren dann ist diese Funktion die Funktion die uns diesen Wechsel wer die ist umkehrbar nicht ganz banal haben wir gesehen wenn XY aber davon er uns die ausrechnen wollen muss man bisschen Aufwand Rheinmitte Markus Tangens und gucken welchen Quadranten Mann ist aber wir sehen ist es dunkel war Funktion hier period in der Ebene hat eben ist auf dem Nullpunkt hat eben eine eindeutige Darstellungen Polarkoordinaten denn damit ist das mir guter Kandidat für unsere Zug Zugstück Schutzfunktion H L und was passiert es immer mal die Sauce Stations rege für dieses H hinschreiben wenn wir also über eine wie auch immer geartete Menge G eine Funktion f integrieren sollen wenn nennen sie als gehe diesen Kreis liegen oder einfach nur im Kreis dann ist es sinnvoll diesen Kreis bei diesen Kreis in Polarkoordinaten zu beschreiben und dann können Sie das entsprechende integral über diesen Kreis Ring oder Kreis ausrechnen in dem sich das richtige die gut ausrechnen dass Georg bis jetzt ne Menge von er aus und 4 stillos besteht jetzt aus er und wir uns aus den er auf Sie die genau zu den Punkten in Ihrem G gehören dann können Sie das Haar ein substituieren statt XY steht ein H von er und viele und dann kriegt man natürlich wie steht denn noch die Determinante der Jacobi Matrix rein oder von der Betrag also Betrag von der Determinante von der Jacobi Matrix von diesem und dann die er auf Sie das jetzt erst mal nur formal so Stützungsregelungen geschrieben was wir so
verbessern unklar ist ist nur was ist
denn dieser Termin nannte da hinten wir können einfach ausrechnen das heißt ja konkret die gehen ja guten aber es vor mal ausrechnen ist kein Hexenwerk Determinante davon geht auch was Glück 2 kurz 2 Matrix ist diese übersichtlich also machen wir das mal wir rechnen also mal diese
Determinante aus was ist die Determinante der Jacobi Matrix von der Rechnungs Funktion von Polarkoordinaten kartesische Koordinaten nein es ist die Determinante
jetzt nehmen weil sie diese funktioniere und leiten sie ab nach R und auch viele halten sie zunächst nach er ab das ist der einfachen Fall dann bleibt einfach nur Cosinus der 1. Komponente stehen der 2. Komponente sehen was passiert wenn
Sie die Funktion Daffy ableiten dann gibt es in der 1. Komponente minus er sehen aus
wie und in der zweiten Komponente Ärmel Cosinus sie über die Ableitung von Sinus der Cosinus ist so lange man von den Dingen die
Determinante ausrechnen Haupt- diagonal in den sie multiplizieren wenn der alle man
multiplizieren also er mal Cosinus Thema Cosinus aber großes Quadrat sie man dass das Produkt daneben
Diagonale man des minus Miners also bloß er mal sehen was sie sehen aus wie plus er Sinus Quadrat sehe
und das ist einer der Momente wo man den Sache wer hat die Welt doch schön gemacht so eine wichtige Koordinaten Transformation wie die und so eine schöne
einfache funktional Determinante also eine schöne einfache Determinante für die für die Substitution hier kommt einfach nur hast nur bei
Kursus bei ratlos denn es war ein also diese Wesen lange Determinanten Ausdruck schrumpft
zu einem er zusammen und das heißt und so kann man siehst wenn sich
gut merken wenn Sie Integrale unter diesen wurden Daten haben sie über zu
Polarkoordinaten dann kann sie das freundlichen leichtmachen nach sie nehmen
integral wissen Sie wie immer so Simpson an 3 Stellen arbeiten Sie den
Integrationsbericht anpassen sie müssen dieser Funktion einsetzen und sie müssen hätten das Text richtig einsetzen sie müssen also ihre ihre Menge
G umrechnen die entsprechende Menge geholt das kommt drauf an was die ist dann müssen in das 11. X
und Y durch H von Air-Fly ersetzen das heißt über X steht schreiben Sie einmal Cosinus sehen über wurde das Land stets Fernseher sehen
sehen und die in diese Riesen Determinante wird einfach ein er das heißt aus dem DX Y das am Anfang steht wird ein
R D R die sie zu und das
bitte bitte auf jeden Fall mehr das ist die Quintessenz des das transformieren 7 Polarkoordinaten wenn sie wolle aber in Daten
transformiert ersetzen Sie Text y durch RDR Delphi und dieses er bitte
nicht vergessen dieses er wird verdammt oft vergessen
es ist er ist wichtig so das war jetzt natürlich
alles furchtbar theoretisch lassen Sie uns weiter auf den Kreis Windows und das mal einem
praktischen Beispiel sehen und ich hoffe dann sehen Sie auch der Sonne Position Polarkoordinaten zuweilen als praktisch sein der den Kreis denn auch hier
nochmal kurz zurück fangen mit noch mit damit ganz einfachen Kreis Geometrie 1 nehmen
im Kreis um 0 mit Radius r K R O von 0 weil der Kreis um den Ursprung mit
Radius R wir wissen alle wie sind Sie besser lesen schreiben können das ist die Menge aller XY im R 2 so dass der
Abstand vom Ursprung zum Quadrat kleiner ist als ein Quartal also alle Punkte mit
Xtra drahtlose schlank war kleine gleich erklangen das ist eine Teilmenge des A 2 die Sikhs
projiziere war des zum Projekt war im Prinzip können wir die über die schon integrieren
allerdings werden die gerade ziemlich hässlich aber wir müssen das Ganze sehen als zwischen den beiden Grafen liegen die zu den Halbkugeln gehören Halbkreisen
gehörende des so Wurzeln aus Quadrat minus 6 Teile die machen keinen Spaß zu integrieren Alternative schauen Sie sich mal
an wie sie zum Kreis in Polarkoordinaten aus was ist der Kreis den
Polarkoordinaten der muss es einfacher werden bei Polarkoordinaten sind Kreise gemachten also wie sieht G in
Polarkoordinaten aus welche Punkte liegen diesen Kreis dazu korrespondiert die
Menge geholt das sind die Punkte mit Polarkoordinaten der Liebe oder Kundendaten sind erstmals in unendlich Kreuz 0 2 P und was macht jetzt den Kreis aus
ja der Abstand vom Ursprung des er ist mir gleich groß er oder anders gesagt die
Punkte den Puck die im Kreis liegen lassen Sie den Polarkoordinaten beschreiben das sind alle die den Abstand vom Ursprung weniger als er ist und der Winkel ist wurscht das ist der Kreis in Polarkoordinaten beschrieben alle die Punkte die weniger
als er auf dem Ursprung wechseln und irgendwie die haben den wir sie gar alle Wege sind dabei und was ist
das das Rechte Kreuz nur 2 P so wunderschönes Rechteck in
Polarkoordinaten sieht unser Kreis so aus da sind der wohl aber da besteht da
darüber kann man aber wunderbar integrieren wartet wie
ich Intervall und das ist das wofür für die
Substitution träge extrem hilfreich ist dass man eben auf die Weise der mit vereinfachen kann
und dann unser Vista leicht integrieren kann
man also in dem Fall kann so ich habe jetzt hier
dieser Solutions Regel geradewegs ich weiß dass wegen kommt sie auf den Umwelt mal zumindest so fast ja alles was hier steht ist nur das was gerade auf der ist gerade eben auf der Tafel stand oder auf Biber standen jetzt nicht mehr stehen Fa und es kann man gleich das nächste aus der unterwegs in Polarkoordinaten der steht zwar noch da drüben aber da verschwendet sicher auch bei so T also was wir rauskriegen S wenn Sie die Aufgabe haben das Funktion über dem Kreis mit Radius r zu integrieren dann können Sie sich entweder hinsetzen der Kreis als x pro jetzt die Warenmenge oder sitzen im Prinzip Menge auffassen und über Phase integrieren alternativ S häufig einfacher sie wächst in Polarkoordinaten rüber und schreiben mit der Substanz und Regelungen heißt entweder nicht über über den Kreis G wie wärs entsprechende die halt die Beschreibung der Mengen Polarkoordinaten das ist in dem Fall dieses Recht nicht da ja das ist der Gewinn bei der Sache der Gewinn ist sie dürfen jetzt integrieren über ein Rechteck über eine schönere Menge der Preis den sie dafür zahlen ist zu setzen wie es jetzt nicht mehr X und Y Wahlen sondern über wo X steht müssen Sie armer Großindustrien schreiben über wo Y steht müssen Sie einmal sehen es für ihn schreiben die und das ist nutzt ein nicht so schlimm schlimmer Preis hinten steht nicht mehr Text y sondern er der Wi-Fi also er der erfüllen aber der Hauptgewinn bei der Sache ist sie können jetzt haben jetzt eben Intervall wird das G gut ist ein prächtiges Intervall das heißt die Grenzen werden einfach integrieren von 0 bis 2 p über den Winkel sind die Quellen von 0 bis groß er über Radius er eben die
Funktion f von er Cosinus er sehen für die der der dort und das ist der Gewinn wenn der Substitutions- Träger der liegt in dem Fall wie gesagt nicht darin dass die Funktionäre der wird sondern liegt darin dass das Integrations- Gebiet freundliche
da man ist die Kreis Geometrie des Kreises ausgenutzt und hat zum Rechteck verwandt welche Variante Geschichte ist also ob man sagt der Kreises projiziert war ich hau das durch und Krieg hässliche Intervall Grenzen es westlich integral Grenzen rächen die irgendwie durch oder ich gehen Polarkoordinaten Krieg schönen dabei Grenzen der verläßlichere Funktion was davon Geschichte es hängt
davon ab wie die Funktion f aus er wenn die Funktion f so ist das bei dieser Variablen
Transformationen was völlig unhaltbar es rauskommt dann ist es wahrscheinlich geschickter hinter diesen Pollenarten zu bleiben wenn die Funktion f diesen Wechsel
einigermaßen freundlich aufnimmt 1 2. aber vielleicht wegfallen dann ist es schönen Polar Kolm Daten zu gehen also die
vom insbesondere wenn die Funktion f selbst auch der Kreis Geometrie hat was weiß ich zum Beispiel habe rotationssymmetrischen saß er
Gates rotationssymmetrische was dann wieder auf jeden Fall Polarkoordinaten weil dann haben sehe er tat alles schön wir können jetzt hier mal was eine besonders
einfache Funktion f nehmen bei der auch was
rauskommt was man dann wieder erkennt nehmen Sie mal wer fast das einfachstmögliche nehmen Sie mal die Zahl 1 also die Funktion konstant 1 das
hat den Vorteil dass ob Sie da jetzt XY oder auch große muss hier der Senussi einsetzen das macht alles nichts 1 Komma 1 raus und das hat den Vorteil dass das was wir da ausrechnen etwas ist was wir geometrisch kennen was interpretieren können was ist denn das integral über den Kreis
über die Funktion konstant 1 das ist anschaulich das Volumen das Sie kriegen wenn sie über diesen Kreis auch für Einzelwerke drauflegen und jetzt das gibt dann Volumen dieses Zylinders mit wir 1 na ja das ist
gleich den Flächeninhalt vom kreisten beides ist der vom Kreis X 1 also kann wissen wir schon was
rauskommen hier muss jetzt sehr viel vom Kreis rauskommen also bitte schön P R Quadrat schon wird fest
also wenn Sie das machen dann rechnen Sie damit aus den Flächeninhalt des Kreises mit Radius r das kriegen wir also wollen
integrieren über den Kreis mit Radius R um den Ursprung die Funktion 1 unsere Rechnung von oben sagt uns das können wir ausrechnen dem wir in Polarkoordinaten über alle Winkel integrieren und den Radius von 0 bis er kann das gibt genau den Kreis mit Radius r über die Funktion 1 und die XY müssen sie ersetzen durch RDR definieren also was haben wir wir in der das integral wobei der in die Grand überhaupt nicht von 4 abhängt also das kann man auseinanderziehen integral von 0 bis er über R D R meinen die gerade von 0 bis 2 p über die vielen das vordere integral die Inhalt R Quadrat in den Grenzen von 0 bis er und das hintere integral gibt einfach 2 P setzen sehr Gross R 1 die Inhalt groß R Quadrat mal 2 P ja ist doch super die Klima lag vor alles gut so auf die Weise sie einen aus der aus dem blöden
Integrations- Kreis wird das schön Indikationsgebiete recht etwa die Funktion besonders schön ist 10. sogar einen schönen Spezialfall wo das Recht wo die Funktionen in 2 1 lehnte gerade zerfällt und man kann sehr schnell den Flächen Halle des Kreises aus gut comma zu unserem Kreis
dringend von vorhin zurück jetzt endgültig also wir führen fort das
Beispiel 21 6 Zehen das war der Kreis sehen also alle
Punkte der Abstand vom Ursprung mehr als 1 und 1 ist 2 ist auch Überlegungen wie sie
den Polarkoordinaten aus in Polarkoordinaten 10. die
Punkte oder Radius zwischen 1 und 2 ist oder wenn der sie gerade wenn dies nur 2 Titel also wir nehmen uns wieder das G
der Kreis Rellingen das waren alle die
XY in R 2 mit der Eigenschaft eines ist kleiner gleich x Quadrat plus y Quadrat kleiner gleich
viel die wenn Sie den Polarkoordinaten übersetzen was ist dann das entsprechende
geholt wie gerade gesagt das sind alle die Punkte er auf wie für die der Abstand vom
Ursprung also welche bitte Punkte drin muss gelten dass der Abstand vom Ursprung dass er kleiner ist 1 2 und größer als
1 und der Winkel ist egal also alle Winkel zwischen 9 und 12 die okay also das ist genau das
Intervall 1 2 Kreuze 0 2 Pi 1 2 er die
2 P das hier es offensichtlichen
kreiste das sieht jeder so sehen Kreis in aus dem Kreis der recht dann Kreis in
Polarkoordinaten also ein Rechteck in Polarkoordinaten richtig dass bei der auf der er Axt am Ursprung Kreis im 16. muss vorweg diesen Kreis Ring tja das heißt auch hier lohnt sich wenn sie integrieren wollen statt über das doofe mit oben mit dem Loch zu gesehen Löcher sind des Teufels dürfen sie über diese schöne Geometrie nämlich über dieses Intervall integrieren wenn sie dafür den Preis zahlen dass in ihre Funktion über Weibo XY steht er er Kosovos wir sie lustigen schreiben und hielten
sich noch er Differential einkaufen also das man mit einer konkreten Funktion ich will jetzt
auch nicht ganz kneifen diesmal nämlich nicht 1 also minimal als 11 er von XY ist 1 plus was ist dann was müssen wir in die müssen dann 11 von er Cosinus E R 7 es integrieren also wir bei X steht kommt er Cosinus und über wo y steht kommt er sie sehen also unsere Funktion f von er und 4 1 plus er Sinus will so jetzt müssen wir nur noch alles richtig einsetzen was wir ausrechnen wollten oder wollen ist das integral über den Kreis wegen über unsere Funktion f also das integral über den Kreis den G über 1 plus y die XY natürlich und dann sagt uns Substitutions- träge bzw. der Übergang
Polarkoordinaten rechne das Ding um in Polarkoordinaten aber schon
gesehen Polarkoordinaten es ist wunderschön das Recht 11 wenn müssen die Winkel integrieren von 0 bis 2 p und den Radius von 1 bis 2 dann aber genau den Kreis geschrieben werden von ausgerechnet dass das F ist wichtig 1 plus er mal Sinus von vielen und jetzt immer die gleiche Sache wenn Sie die Text y ersetzen beim Übergang in Polarkoordinaten vergessen Sie mir dass er nicht an der Ersetzung ist die nächste y wird ersetzt durch aber die viel also hier steht noch ein er mehr er
der es mag Ihnen jetzt banal erscheinen ich schreibe Ihnen hier noch nicht vergessen dazu das passiert
nämlich dauern und ständig ich rufe sie auch wenn sie später meine Polarkoordinaten also wenn sie die gerade Lösung dafür Polo Polak wollen verwenden Anschluss kommt in das freilich unglaubwürdiges raus gucken Sie mal zu dass er vergessen habe so ja jetzt muss man immer rechnen das ist integral von 0 bis 2 p integral von 1 bis 2 Netz jetzt kann man das Ganze erst mal ne schöne Summe auf Teile des 1. 1. Teil ist einfach nur RDR Defi bloß integral von 0 bis 2 p integral von 0 bis 2 er Quadrat Sinus Industrie denn er hat sehr viel er zieht man er beides ist beides sind freundlich Integrale im 1. integral hängt denn die Funktion die Sie die gehen überhaupt nicht was hier ab also sehen sie greifen nur bis 2 P Defi einfachen 2 P das ist 2 Klima sind die gerade von 1 bis 2 RDR und jeden kann man das Ganze wieder in 2 integraler auseinanderziehen wobei das einen würde aber das andere also integral von 0 bis 2 p Sinus von Fidel Fili mal integral von 0 bis 2 R Quadrat jetzt kann man
anfang viel zu rechnen man kann aber auch noch mal genau drauf gucken und verstehen dass man rechnen kann man auch sparen weil das spannende Ausdruck ist der hier was steht da das denen die gerade wenn sie ihn aus über den vollen Periode 1 0 bis 2 p sie dürfen gern liegt Stimmung aus wenn die Grenzen einsetzen kann sie muss sparen und nur aus der Wahnsinn Sie unsere ganze Periode geklärt sie muss seit Mitte der Woche er gab nur das also ist das hier nur dann ist er ganz in seine Teile 0 und das einzige was übrigbleibt ist 2 pi mal ein halbes R Quadrat in den Grenzen von 1 bis 2 im Moment ja genau also
2 Inhalt kürzlich aus ist Pi mal 4 also 2 Quadrat minus 1 Quadrat zentral P und der Gewinn des
dann meine dritte Methode kennen lernen und so und wie wir über unser Kreis den integrieren können wir können entweder zerlegen vollziehbar Gebiete oder wir
können die transformieren ein zerlegbar in ein Projekt sie war es Gebiet wobei das Gebiet jedoch nicht mal das ist perfekt projiziert war dass es sogar in der
und das ist die Kinder sehr vielen Variablen Transformationen mehrdimensional
Stade mit dem komplizierten Geometrie über die man integrieren will und ändere die
Variablen so das das Integrations- Gebiet einfach wird dadurch der kauft man sich in Weine kompliziertere Funktion eines ja auch passiert zumindest denke ich mal dass Ihnen 1 plus y auch näher ist als er
bloß R Quadrat Industrie aber in dem Fall ist in der gewinnen indications Gebiet deutlich positiver deutlich mehr wert als
diese etwas kompliziere Funktion die man dann trotzdem noch leicht integrieren ein so ich habe ihn noch ein
Beispiel 21 9 comma decimal 5 mitgebracht wir dieses Jahr eine wunderbare
Situation das ist zum Ende von Semester ausnahmsweise nicht super eilig ist dann
kann ich auch noch ein bisschen eines der Beispiele mehr bringen aber meine Kreis Geometrie
ausschlossen ja auch die Zeit genau weiß was wir
schon wissen aber noch mal auf ein ganz anderen Weg
ich war mal ob Sie sich daran noch erinnern das integral von mir das wenn ich
bis endlich über minus 6 Quadrat alles nur zu zweit geht das habe vor 3 Wochen war das 20
ließ die Viecher ja das war so ein Beispiel für Parameter die gerade wo ich ihn gleich gesagt habe jetzt
das ist nicht mehr machen sondern nur genießen wenn ja damals auch gesagt es gibt viele viele Wege dieses nachzuweisen dass die wir wissen was wir
den Nachweis ist dass die Dichte der Normalverteilung Gedichte ist und integraler 1 hat es gibt viele
Wege das zu tun aber eigentlich für sie alle irgendwann mal bei mehrdimensionales integral witzigerweise Buhmann eindimensionales ausrechnet um
den Polarkoordinaten Dice zweite Methode dieses nachzuweisen und so macht man es folgendermaßen und ich glaube die wird jetzt etwas
leichter nachvollziehbar ist die letzte was wir machen ist jetzt eigentlich dass das da Wurzel
2 PS sollen wir denn den ganzen Ausdruck zum Quadrat und zeigen dass da zwar Kiosk
okay darum ist dann nicht sie gewonnen es konnten Dober beeinträchtigt dieses Quadrat können Sie
natürlich schreiben als Indikator müssen endlich bis unendlich über das was da steht man noch mal das gleiche also nochmal in die gerade
wo minus X Quadrat halbe Text der Name
des Integrations- Variable ist wusste da ist die gerade wir jungen das Xtra bereite DX X oder eher auf minus TK-Ware halbe die
TE oder der Junge Sinne fand halbe des fand ist egal ich nenne das mal 10 statt dann kann
ich die Dinge sehen das kann ich das sehen also
zweidimensionales integral wenn Sie da das endlich beson- endlich in die Gaza minus nämlich bis dann endlich er X Quadrat halbe
wie auch Mindest y Quadrat halbe Text jetzt oder nach exponential
Rechenwege integral von minus unendlich bis dann endlich integral von minus nämlich bis dann endlich er hoch
minus X Quadrat plus y Quadrat halbe der nächste ist ab
oder noch ein bisschen kondensierter geschrieben ein
integral bin dann sanken R 2 über ihr hoch minus X Quadrat plus y Konrad halbe DZ ab das sieht das Gebiet integraler also mir gemacht mehr muss das eigene Seite 3 genommen quadriert zwar meiner geschrieben in einem von den beiden integralen das XY umgetauft und danach zusammengefasst also Ziel ist diesen Weg geradeaus zu rächen was kommt raus und wo man das ist gerade so sagen comma Halle meine ganzen R 2 dich was heißt wenn ganz mehr 2 integrieren das Dinge sind sich einig und einige sind egal was ich mit ihm machen will es was wir berechnen werden ist das integral über den Kreis mit Radius r über diese Funktion also über diese Funktion Ex-Fahrer besitzen und sind Kreise und mit Radius r und dann hoffen wir dass er ich groß machen könnten wenn wir über ganze 2 integrieren sollen ist unser Weg geht die Grillen über Kugeln über sehr große Kugeln also Kreise in immer größere Kreise größere Kreise größere Kreise und 3 es ging nämlich um den ganz nett sein bitte waren und jetzt sieht man vielleicht was hat diese ganze Rechnung mit dem zu tun was wir tun was ist sind integral über die beim Gebet über Indikationsgebieten beim Kreis mit Radius r über der Funktion und alles ist wunderbar Kreis symmetrisch wenn die Grille beim Kreis und der integral in der Funktion enthält auch diesen schönen aus Duisburger plus Ärzte Apparat es geht also schon sozusagen in allen drin wenn er Quadrate bald und insofern können wir uns sehr versprechen davon eine gezielte Polarkoordinaten übergehen das sieht sehr sehr vielversprechend aus ich nenne diesen Ausdruck hier mal die er groß Idee integral Integrale Draht für den für er und was sonst noch interessiert ist deren liegen dass er mal endlich von so was ist ihr ja er erst die sind aber wir wollen das jetzt in Polarkoordinaten rechnen wie
machen wir das so dass schon die ganze Zeit machen welche Punkte also wir wir dort
drüben steht noch Substitutions- läge statt über den Kreis zu integrieren integrieren Sie über das Gebiet das in Polarkoordinaten entspricht schon gesehen der Kreisen Polarkoordinaten Rechteck 0 er Kreuz 0 2 P also sind integrieren über alle Winkel von 0 bis 2 p uns integrieren über die Radien von 0 bis er in der Funktion ersetzen der Liberale X steht er Cosinus
die und über wo Y steht er Sinus wie also kriegen wir er auch man aus R Quadrat Cosinus Quadrat Fly Flores R
Quadrat Sinus Quadrat W und das Ganze mit dem Alter vor und dann haben sie noch
dass die XY und das ersetzen wir wie immer beim Polarkoordinaten durch RDR wichtig
wird das er kommt von der funktional diese Determinante von der cool Matrix so und jetzt ist
natürlich jetzt nutzen danach die Kreis Geometrie von der Funktion aus wenn Sie gerade 0 bis 2 p integral 0 bis er er hoch
Minus großes Quadrat wo Sie das Quadrat ist 1 also eher hoch minus R Quadrat halt
und jetzt können Sie sagen mehr steht da nicht mehr hin Kursus Gerardus super dass ein junges hat jetzt können Sie sagen und was hat das jetzt gebracht haben wir 2 Seiten gerechnet und
rausgekriegt wir können unser biestige sind die gerade junge das 6 3 halbe ausrechnen wenn wir das sind die gerade bei des R Quadrat halbe kann ja super
ach und dann will zu der er als man auch die einfacher stark unser Freund unser Retter in höchster Not steht hier ja der fliegen hat warum ist das toll gewesen ist er wird weil das ganz einfach substituiert schätzen Sie Y gleich Quadrat oder T gleich Aqua war dann ist die T 2 RDR dieses 1. innere Ableitung des immer fehlt aber wenn man im eigenen Sinne eines müssten die GAL ausrechnen besteht würde innerer werden nicht dar die Polarkoordinaten stecken und sie dann aber wie durch ein Wunder so also sind wir immer ab zur natürlichen Seen sind mir egal es minus aber ran oder USA könne dann ist die o gleich 2 der ja an sie gleich Aquarell halbes diverser so also ist die o r d r so das einsetzen dann kriegen wir wie er ist in der gerade von 0 bis 2 p integral von 0 bis Achtung wenn das er 0 ist dann ist das neue und wenn das er groß er ist dann stehe ich hier groß R Quadrat Heilmann ich auf minus erde als die DU Defi alle Probleme weg bei jungen so integrieren Krimi also es gibt ne die gerade von 0 bis 2 pi die 4 dass es einfacher und dann die 10. die Stammfunktion vor auf minus O ist minus 1 auf minus O EU gleich 0 bis gleich
R Quadrat halten ja das ist meine Sache in den gerade nur bis 2 pi Defi ist
2 P und hier haben wir minus eben auch noch minus R Quadrat
will plus er auch 0 also plus 1
also 2 p minus 2 P immer eher auf minus R Quadrat halte das ist das Ergebniss für dieses wie er
für das integral über die Funktion über die Kugel mit dem Kreis mit Radius erst wenn sie Kreisrat des dann komme
bei diesen in die 3 aus 2 P minus 2 pi mal diese Misswirtschaft das kommt der Grenzwert ergeben unendlich also ist das
integral von minus unendlich beson- endlich
er auch minus X Quadrat halbe DX hinter den wir hier sind Quadrat gleich Teilnehmers ja gegen unendlich
von uns MIR oder sowas entstanden das integral des uns auswählen wollen zum
Quadrat wir die gerade im ganzen der 2 über diese Funktion und wir haben jetzt gesagt wir die
gehen dass man sich über den ganzen R 2 sondern nur die Kugel Radius er also der Grenzwerte er werden die von diesen werden die genau das integral um nein es
waren siehe oben das ist der Wiemers aber gegen unendlich von 2 P
minus 2 Pi mal er auch minus R Quadrat halbe was passiert mit dem minus Quadrat heilen dass er groß wird das gilt
wer Exponent von der Funktion geht gegen minus unendlich dann geht die vom so gegen 0 also
fällt der ganze hintere Kladderadatsch weg und was übrig bleibt es 2 P wunderbar Wurzelziehen
fertig die sehen auch hier braucht dieses blöde eindimensional Tigran Umweg übers mehrdimensional und das werden man sie mal funktioniert weil wie durch ein Wunder dieses blöde er aus den Polarkoordinaten funktionale nannte springen und dafür sorgt dass aus dem häßlichen integral Ironie des R Quadrat Halle das geradezu zuckersüße
integral ihr offenes R Quadrat allgemein R also noch mal die Ehre vergessen Sie niemals dass
er von der Polarkoordinaten das den von der Polarkoordinaten consommation wäre das ist Ihr Freund und Helfer und keine Gegner zumindest
an der Stelle so müssen den
Polarkoordinaten Polarkoordinaten
passen zu allem was mit Kreis Geometrie in der 2. damit kann man schon viel
anfangen aber die wahren Probleme wissen wir alle finden immer 3 statt zumindest nämlich
anders ihr weiteres Ingenieure Dasein sich vor allem der 3 abspielt und immer 3 kann man
diese Idee diese Grundidee auch sehr gewinnbringend an wenden aber da hat man natürlich als Grundgebühr die keine Kreise
sondern darf man jetzt dreidimensionale Gebilde und auch da es natürlich wenn das
dreidimensionale Gebilde schön eckig und kantig ist mit 4 rechten Winkeln dann sind sie nun kartesischen ist der Mann dann können so schön wir den da rein rechnet
er oder mit Quader aber sobald Co gesehen also Kreis 7 Symmetrien oder Kugel Symmetrien fliegen ist auch dort die
entscheidende Idee Polarkoordinaten oder Verwandte von Polarkoordinaten zu verwenden und das
wenn ich ihn dann in der nächsten Vorlesung sein denn zum einen Zylinder Koordinaten
die für alles da sind was irgendwie zylinderförmig ist oder in Richtung eines Zylinders geht 10. Kundendaten sind wir
siegen Polarkoordinaten plus eine senkrechte Achse Namen Polarkoordinaten Kreis plus senkrechte Achse Zylinder und dann gibt es
Kugelkoordinaten die will ich Ihnen noch zeigen also golden Daten die für die Beschreibung von Kugeln adäquat sind das sind in gewisser Weise die
dreidimensionalen Polarkoordinaten der Vater dem wolle Google Koordinaten ist die muss ich ihn eigentlich nicht neu erklären weil die kennen Sie alle
nein Google Koordinaten geben den Punkt A im Raum an durch 3
Größen den Abstand vom Ursprung des immer bei so Google Koordinaten und durch 2 Enkel bei 3 brauchen Sie jetzt 2 Winkel
und die sie nicht ganz unbekannt im Alltagsgebrauch nennt man die geografische Länge und geografische Breite klar auch da habe ich Ihnen zeigen wie man sogar die golden Daten in dieses sagen wir mal die O oder die
geografische Länge und Breite System umrechnet und dann auch damit Integrationsprobleme vereinfacht freut aber
erstmal soweit und vielen Dank für die Aufmerksamkeit des Pop
Teilmenge
Menge
Polarkoordinaten
Mathematik
Gebiet <Mathematik>
Richtung
Ebene
Faser <Mathematik>
Punkt
Menge
Gebiet <Mathematik>
Dreieck
Faser <Mathematik>
Menge
Linie
Faser <Mathematik>
Stammfunktion
Punkt
Verschlingung
Momentenproblem
Betrag <Mathematik>
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Zahl
Integral
Parametersystem
Integral
Logarithmus
Stammfunktion
Menge
Supremum <Mathematik>
Zahl
Punkt
Logarithmus
Menge
Quotient
Gebiet <Mathematik>
Integral
Ebene
Kreis
Radius
Quadrat
Kreisfläche
Vektorrechnung
Menge
Kreis
Radius
Menge
Konstante
Kreis
Menge
Schnittmenge
Kreis
Menge
Uniforme Struktur
Graphische Darstellung
Geometrie
Funktion <Mathematik>
Richtung
Punkt
Menge
Richtung
Radius
Kreis
Menge
Kraft
Gruppenoperation
Supremum <Mathematik>
Zerlegung <Mathematik>
Gradient
Richtung
Menge
Fehlerkorrekturmodell
Fläche
Volumen
Linie
Radius
Kreis
Kreisfläche
Menge
Radius
Kreis
Kreisfläche
Menge
Gradient
Kreis
Menge
Zerlegung <Mathematik>
Integral
Kreis
Variable
Kreisfläche
Raum <Mathematik>
Ecke
Koordinaten
Mathematische Größe
Teilmenge
Vektorfeld
Summe
Variable
Punkt
Substitution
Gebiet <Mathematik>
Geometrie
Funktion <Mathematik>
Vektorfeld
Variable
Abbildung <Physik>
Haar-Integral
Substitution
Gebiet <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Substitution
Vektorfeld
Differential
Matrizenmultiplikation
Gleitendes Mittel
Gebiet <Mathematik>
Zahl
Ableitung <Topologie>
Vektorfeld
Differential
Matrizenmultiplikation
Determinante
Betrag <Mathematik>
Kennzahl
Substitution
Ableitung <Topologie>
Zahl
Mehrdimensionales Integral
Determinante
Menge
Betrag <Mathematik>
Vorzeichenwechsel
Richtung
Verzerrung
Länge
Faktorisierung
Abbildung <Physik>
Haar-Integral
Substitution
Stab
Variable
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Determinante
Physikalischer Effekt
Abbildung <Physik>
Ruhmasse
Substitution
Volumen
Raum <Mathematik>
Linie
Kreis
Große Vereinheitlichung
Menge
Betrag <Mathematik>
Determinante
Koordinaten
Ecke
Geometrie
Aggregatzustand
Kreis
Multiplikation
Stoß
Polarkoordinaten
Achse <Mathematik>
Rundung
Komplex <Algebra>
Zahl
Koordinaten
Geometrie
Gradient
Sinusfunktion
Trigonometrie
Kosinusfunktion
Polarkoordinaten
Differenzierbare Funktion
Umrechnung
Ebene
Kreis
Darstellung <Mathematik>
Positive Zahl
Punkt
Betrag <Mathematik>
Determinante
Menge
Polarkoordinaten
Eindeutigkeit
Kartesische Koordinaten
Substitution
Sinusfunktion
Einfach zusammenhängender Raum
Kosinusfunktion
Matrizenmultiplikation
Polarkoordinaten
Determinante
Kartesische Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Quadrat
Polarkoordinaten
Determinante
Extrempunkt
Substitution
Diagonale <Geometrie>
Koordinaten
Integral
Kosinusfunktion
Schwingung
Polarkoordinaten
Determinante
Menge
Teilmenge
Radius
Kreis
Quadrat
Menge
Polarkoordinaten
Position
Geometrie
Kreis
Quadrat
Menge
Polarkoordinaten
Quelle <Physik>
Radius
Kreis
Menge
Polarkoordinaten
Rechteck
Schlussregel
Substitution
Sinusfunktion
Kreis
Kosinusfunktion
Variable
Kreisfläche
Polarkoordinaten
Rechteck
Träger
Geometrie
Kreis
Flächeninhalt
Polarkoordinaten
Zylinder
Volumen
Zahl
Geometrie
Mathematische Größe
Radius
Kreis
Quadrat
Kreisfläche
Polarkoordinaten
Flächeninhalt
Radius
Kreis
Quadrat
Kreisfläche
Polarkoordinaten
Flächentheorie
Funktion <Mathematik>
Kreis
Polarkoordinaten
Rechteck
Einfügungsdämpfung
Exakte Sequenz
Geometrie
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Kreis
Differential
Sinusfunktion
Sinusfunktion
Summe
Kreis
Radius
Quadrat
Polarkoordinaten
Integral
Quadrat
Momentenproblem
Drehimpuls
Kreis
Quadrat
Variable
Gebiet <Mathematik>
Geometrie
Parametersystem
Kreis
Quadrat
Geometrie
Variable
Quadrat
Normalverteilung
Polarkoordinaten
Dichte <Physik>
Mathematische Größe
Radius
Kreis
Quadrat
Polarkoordinaten
Gebiet <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Kreis
Quadrat
Kreisfläche
Polarkoordinaten
Rechteck
Gebiet <Mathematik>
Mathematische Größe
Kreis
Quadrat
Stammfunktion
Matrizenmultiplikation
Polarkoordinaten
Determinante
Ableitung <Topologie>
Geometrie
Radius
Kreis
Quadrat
Kugel
Radius
Quadrat
Kugel
Polarkoordinaten
Exponent
Grenzwertberechnung
Kreis
Quadrat
Polarkoordinaten
Massestrom
Offene Abbildung
Geometrie
Kugelkoordinaten
Kreis
Punkt
Kugel
Polarkoordinaten
Quader
Zylinder
Symmetrie
Koordinaten
Richtung
Entscheidungstheorie
Mathematische Größe
Länge
Koordinaten

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 22: Polarkoordinaten
Serientitel Mathematik II für Bauwesen
Teil 22
Anzahl der Teile 24
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/36080
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2015
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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