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Vorlesung 20: Potentialfelder

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wurde mal herzlich willkommen wir waren in der letzten Woche hängen geblieben beim im Begriff der Behandlung des Kurden integrales also integral in mehreren Variablen bei dem die Besonderheit ist dass wir immer noch über ein eindimensionales gewählt integrieren er also integriert immer noch über so was wie Intervall wir dass es in der Wahl jetzt verbogen ist was dabei legte man als sogenannte Core Kobe nicht richtige und stückweise differenzierbare Abbildungen von dem in der Wahl nach allen und diese Abbildung Gamma sagte in die diese 10. verbogen würde oder andere Anschauung das sagt Ihnen was der sich Anzeichen vor dass durch die man fliegt und das dann zum Zeitpunkt anfangs vom bis zum Zeitpunkt B am Endpunkt und Gamma von T sagt Ihnen an welcher Stelle ist das Zeichen zum Zeitpunkt t zwischen A und B wenn hat nun zunächst mit der Frage beschäftigt wie lange es ohne Kobe und dann auf diese Formel hier gekommen die wenn man drüber nachdenkt einig relativ da liegen ist man kriegt die Länge der Core indem man die Geschwindigkeit des Teilchens man den Betrag der Geschwindigkeit des zeigen dass die Kurbel lang fliegt und man den Geschwindigkeit auf integriert kriegt man die Strecke also alles alle Beiträge der Geschwindigkeit zusammenzählte das halt im Laufe der Zeit hatte dann kommt man auf die Länge der Kur das wegen also kann comma ist die Geschwindigkeit für den gleichen das dem Träger Maitland fliegt wenn ich den Betrag nehmen auch wenn die hier komme ich auch gelingen und dann haben wir uns dem eigentlichen Thema zugewandt in sogenannten Arbeits- integral wollen Vektorfeld stellen sich ein Kraftfeld vor durch das das Zeichen fliegt dieses Vektorfeld wollen entlang der Core integrieren um zum Beispiel die gesamte Arbeit auszurechnen und dazu haben wir uns dieses arbeiten die gerade auch kommen die Gray genannt definiert 10. gerade bei den Weg f von x Text nur formale Schreibweise für diese Arbeit integral und ausrechnen tut man das in dem man sehen wie der man dem denn dies wird fällt es einsetzt damit könnten weg ist dieser Welt der Metzgerladen Skalarprodukt multipliziert mit dem Geschwindigkeitsvektor des Weges und dieses das kommt das geht eine Zahl und diese funktioniert dieses Skalarprodukt von 11 verknüpft mit der weigern comma das wird dann ganz normal eindimensional integriert und mit der Wahl A bis D auf dem die Core definiert ist über die Variable t dass das Arbeit integral und von den Dingen bin ich sicher werden sie reichlich in ihrem Studium sehe ich will jetzt die Vorlesung anfangen in dem wir mal ganz konkret 2 solche Arbeits- Integrale
ausrechnen als Beispiel und dieses Beispiel dient gleichzeitig dazu auf den nächsten Aspekt auf den ich dann zu sprechen kommen will hinzu für also Beispiele für Kurden integral
das ist ein Spiel darf mit 20 10 also wir gehen ein Kraftfeld Vektorfeld fällt es vor und Mirko Vikander und integrieren dieses Vektorfeld über die Korber in dem Fall jetzt mal zweidimensional das Wetter fällt F von X Y ist die geben als 2 x x y und der zweiten Komponente X Quadrat plus 17 Bank war und die Kurbel muss jetzt einer 2 sein dann nehmen wir mal 10 Kosinus von C Thema Sinus von Tell und das Cäsar so laufen von 0 ist die Heide Chor ist das stetige stückweise differenzierbare Abbildungen von dem Intervall Multihalle in er 2 und von der über diese Core wollen wir jetzt dieses der integrieren vielleicht kurz wie sie diese Kurse ungefähr aus also hier ist die hier ist die x-Achse das die y-Achse zum Zeitpunkt des gleich 0 startet die Kurse im Ursprung zum Zeitpunkt t gleich die halbe ist der große muss nun unter Sinus 1 steht also sowohl die halbe das ist der Endpunkt ist irgendwo hier oben in multi halbe was macht diese Gruppe wenn Sie mal für Moment das T X vorne vergessen große Mustek Sinus CT aus Multihalle das kennen wir das ist die Parametrisierung des Einheitspreises also dieses ich bin ich die beiden T ist vorne vergesse dann laufe ich einmal ein Kreis im Bogen und es heißt und macht ein Viertel Kreisbogen wobei der Radius dieses Kreises mit C wächst das Eis am Anfang diesen Radius 0 am Schluss ist bereit die halbe es gibt dann so eine Spirale der läuft die aus dem Ursprung war aus man schwerer als sich der hoch zur so sieht es Erwägungen und heraus also das ist die Spur Gamma ab und jetzt kann er das Kursen integral ausrechnen nach vorne also integral über Gamer über dieses Kraftfeld setzen wir 1 da drüben stellte müssen integrieren eindimensional über das Intervall auf dem der wichtig ist auch dass auf dem bewegt definiert ist also in dem Fall von 0 bis 4 halbe dann müssen wir das F nehmen und da das Gamma von T einsetzen das ganzen Skalarprodukt mit comma von 10 multiplizieren und nach tätig also setzen wir ein dass das in diesem speziellen Fall ist integral von 0 bis die halbe Skalarprodukt von der 1. Vektor ist F von Gamma von T also müssen das Gamma oder ob mir das F einsetzen über einen den F also X steht kommen T Cosinus 10 Wohnsitzland steht kommt Hiesingers Themen also 2 x x x y ist zweimal die 1. Komponente von der Mama die zweite Komponente von Gamma ein bis zweimal Thema Cosinus 10 x 10 x Sinus C also 2 C-Quadrat Konsumlust T-Sinus still ab und die zweite Komponente wo diese Vektor S die zweite kommende von dem er von der Stelle Gamma von T also 1. Komponente von Gamma Quadrat plus 2. kann man denn davon Gamma Quadrat ist C-Quadrat Cosinus Quadrat C plus C-Quadrat Sinus Quarter T war also das hier ist dass er von Gamma von Till jetzt brauchen wir die Ableitung von dem also differenzieren da mal nachzählen sie gibt den beiden Komponenten der Produktregel der 1. Kommunen wenn sie nach den die nicht differenzieren erst das die Welt bleiben oder große lustige übrig und dann los T die Ablehnung von Cosinus den Kursen es ist der Minus Sinus also minus 10 sie muss von Tell und der zweiten Komponente genauso Produktregel zu 1. Zebec differenzieren dienten Sinus von 10 plus das T stehen lassen weil die Ableitung von Sinus ist der Kuss hat tja das ist das was das Kuhn integral ist schwer Produkt in gerade das Skalarprodukt von 11 von Gamma von Thema kann comma dort also auch die ganze Chose nutzen Sie das gerne sortieren die Aufgaben die das Beispiel ist insofern schön gemacht als dass sie sich mal zu einem C-Quadrat zusammenschnurrt weil Cosinus Quadratfuß Indus Quadrat 1 ist von denen eine Skalarprodukt aus X kriegt man integral von 0 bis die halbe das muss man erst die Kommunen dem 1. Komponente plus 2. Komponente mal 2. Kommune der rechnen war nein sagen wie viel zusammengefasst okay also das 1. ist ok also bei der wenn ich die 1. Kommunen mein 1. Komponente rechne ja die doch ok dem erst über den Siege 2 T Quadrat Cosinus Quadrat TF sehen aus das ist der Mann der dann minus 2 C hoch 3 Kosinus von T-Sinus Quadrat sehen dann kommt 2. Komponente plus 2. Mal 2. Komponente der von ist nur C-Quadrat also C-Quadrat sie muss von T plus C auch 3 Kosinus vor das es ist kein schönes integral vor in welchen Potenzen von Sinus und Cosinus mit jeweils noch C ist da vor Sprache kann man aber ausrechnen gibt längere partielle Integration und längere Schlachten mit integralen die will ich jetzt gerade hier nicht genau ausführen der dann aber wenn man es tot kommt irgendwann Tier auf 3 24. aus wichtig und wir haben den ganzen Tag diese mir die Frage wie führe ich das korrekte Ghanas eindimensional die gerade zurück und das ist dann wie ein ganz eigenes Problem das als erstes Beispiel die und die Schwierigkeit bei dem Beispiel ist wirklich nur Flusses in integral zu berechnen aber was ist der das wesentlich Neue ist und 11 die um Umsetzung des kommen Integrals in eindimensionales integral das an einem Beispiel schön sehen ich will jetzt noch mal das gleiche Wetter fällt nehmen aber an anderen Weg und dieser Welt das
soll so sein dass sie den gleichen anfangs und Endpunkt hat wie unser Weg aber wir jetzt einen Weg mit leisem anfangs werden period so suche dann gibt es eine relativ einfach ja man von nur von dem Punkt 0 0 nach nur die halbe laufen will uns keinen andern Grund gibt dann entscheidet man sich für gewöhnlich dafür für den direkten Weg zu gehen also einfach gerade heraus machen wir daraus mal weg
also im zweiten Beispiele ich das gleiche Vektorfeld betrachten f von x y ist 2 x y und es wäre bloß y Quadrat und als weg jetzt sehen mit dieser
oder einen Weg mit dieser Schwur hier also gerade Verbindungsstrecke von 0 nach 0 0 nach Multihalle wie kriegt man die es ja in der 1. Komponente hat
man die ganze Zeit 0 und wie comma in der zweiten Komponente von nur noch die halbe der meinen Teil C und lässt sie laufen von 0 bis Gerhard ist die einfachste Möglichkeit das Dingen zu schreiben das ist die gerade Verbindungsstrecke von 0 0 nach 0 PAL der Weg hat den
großen Vorteil die das einfache ist macht das kommende gar leichter aber natürlich ist zu beachten im Allgemeinen kommt dieser was anders aus als andere weg ich laufe also anderes durch das Kraftfeld durch keinen teilnehmen gibt es keine Begründung warum die beiden die gerade das mit Werner zu tun haben sollten also das zufällig anfangs und Endpunkt Dentist Rechnung also was passiert Ziel ja immer wieder das aber es integral aus in dem wir über das den Titel Intervall integrieren wurde wegdefiniert ist der Weg ist ja auch wieder auf dem Intervall von 0 bis die halbe definiert ferner Produkt an der Stelle Gamer von Ziel mager Maastricht von Teddy Thiel also integral von 0 bis die halbe was passiert wenn sie das Gamma 1 F einsetzen kann Ruth von T ist 0 T bereit und XT kommt nun einen und der breiter zusammenstehen comma T N war also zweimal 0 x C ist 0 und unten haben wir nur Quadrat Plustek ist die kleine Welt wir auch auch die Ableitung von dem Weg man dies besonders einfach dies einfach 0 1 0 0 T nach die ableiten die 0 1 sie sehen das ist diesmal ein erträgliches integral integral von 0 bis 4 halbe C-Quadrat tätig geht Stammfunktion 3. T auf 3 in den Grenzen von 0 bis 4 1 oh jeden 3. mal Piroch hoch three eighths also am 24. Georg würden Sie jetzt A und B wieder anschaut dann stellt man fest Zufall oder nicht tatsächlich kommt beides selber raus und wie gesagt das ist in keiner Weise zu erwarten ja letztes Mal gesagt dass wegen der gerade ein tatsächlich nicht ganz total vom Weg ab es hängt im Prinzip nur von das wurde durch Laufrichtung ab wenn sie den Weg den gleichen Weg durchlaufen die gleiche Spur durchlaufen Klage durch Laufrichtung mit ner anderen Parametrisierung an einer Stelle müssen man anstelle sie kürzer dann ändert sich das wegen des gereinigt aber wenn sie dann völlig anderen Weg nehmen müsste sich im Allgemeinen schon dass wegen der gerade eine das kann natürlich auch sein dass wir einen Zufall haben ich will jetzt diesen scheinbaren Zufall auf den Grund gehen über den Zahlen ist kein Zufall und in diesem Fall hätte man das etwas Theorie im Hintergrund auch vorher schon wissen können dass die beiden die gerade gleich sehen und hätte sich den ganzen Ärger in dem Ahrtal mit meiner Mogelei einige Zeit später sparen können und statt dem an den sie gerade das P integralen des ausrichten können man und ich hoffe Sie sehen ein dass das eine Zeitersparnis und dass es lohnenswert ist zu wissen wann man das da auch und wenn man das nicht auf es gibt nämlich eine wichtige Klasse von Vektorfelder von Kraftfeldern die Sauce dass das Ge integral tatsächlich noch weniger vom Weg ab hängt nämlich dass es nur vom anfangs und Endpunkt ablegt es ist völlig egal ist wie sie von A nach B kommen soll es ist nur die Frage wo geht's los und weist auf nun das ist in diesem Fall das ist so einer und den wollen wir jetzt Nachspiel und diese Vektorfelder Technik die diese schöne Eigenschaft haben dass das Kurden integral nur vom Start und Endpunkt abhängt und nicht von dem Weg dazwischen das sogenannten Potenzial Felder und dazu muss ich ihn erst mal erklären was ein Potenzials eindimensional kennen Sie Potenzial ist schon eindimensional sein Potenzial nichts anderes als der Stammfunktion also dieser Begriff des Potentials ist die mehrdimensionale Verallgemeinerung für Vektorfelder des Begriffs der Stammfunktion es wäre jetzt also wir geben uns ein Vektorfeld vor das ist definiert auch in der Teilmenge des N ein Vektorfeld von diesem in sie mehr und dann heißt eine Funktion Fliege von allen nach er also jetzt auch den Variablennamen nur mit einem Ergebniss die nennt man Potenzial von 11 falls 2 Dinge gelten zunächst mal das Vieh muss differenzierbar sein weil nämlich sonst das was jetzt kommt nicht keinen Sinn macht und das Filet muss im gewissen Sinne Stammfunktion von Gross 11 seiner Samtpfoten Potenzial fällt in fällt mit Potenzial das Wetter für dessen Stammfunktion hat und diese Stammfunktion 4 heißt das Potenzial von Elfen was heißt es nicht Funktion das heißt die Ableitung von 4 ist groß 11 in dem Zusammenhang also der gerade den von Fly ist das selbe wie groß 11 für alle XML so wie es da stimmt nur zu nur 95 Prozent weil der gerade in dieser unserer Konventionen liegen weckte und das Vektorfeld ist unser Konvention stehende Welt also hier noch und und transponiert dran so aber das ist ähnlich wie viel Feinheit das entscheidende Essen Potenziale sowas nicht Funktion also wenn sie die gegen das Vektorfeld haben da müssen Potenziale Funktion deren Ableitung dieses gegebene weg dafür ist und so ein Vektorfeld nennt man dann auch ein Potenzial fällt als eben ein Potenzial hat also dieses Feld F das heißt dann Potenzial fällt oder insbesondere die Physiker Mechaniker sagen dazu auch gern ein konservatives fällt ja so was ihn jetzt zeigen will ist diese Potenzial Felder diesen was ganz kostbares weil Potenzial Fälle das sind genau das sind die bei denen man wenn alle sonstigen Voraussetzungen passen den großen Vorteil hat dass das integral das Kohn integral durch ein Potenzial fällt entlang einen Weg tatsächlich gar nicht komplett vom Weg abhängt sondern nur vom Staat und entpuppt und wie Startpunkt zum Endpunkt kommen es egal das heißt wenn Ihnen jemand ein Potenzial fällt geht die Aufgabe rechnen Sie das Kohn integral aus also die Aufgabe ist werden die geben das Potenzial fällt werden das Vektorfeld und diese Courier rechnen Sie mir mal das geordnete geradeaus aus und sich den fest komme die greisen Potenzial fällt dann ist es total egal wie sie von A nach B kommen dann können Sie diesen Weg hier ersetzen durch irgendein Ihrer Wahl zum Beispiel des nein das ist zu deinen sehr praktisch es gibt warum ist das so schauen wir uns das an also wir schauen uns an Kurden in die gerade vom Potenzial Feldern Potenzial für und im Prinzip passiert dir das Gleiche ja das sehen wir gleich wenn einnehmen Nein also wir haben Sitten der Situation von gerade eben also wieder das Vektorfeld auf Menge groß gegeben die Teilmenge vom Ende ist nach N und das sein Potenzial fällt das heißt es gebe somit der setzen voraus es gibt so Funktion schon Potenzial wie sodass der gerade von dass es genau der gerade während von dem fließt also fließt auch diese Funktion auf definiert aber nach kann zum von invariable nach er hat als Ableitung als gerade Vektorfeld von der das soll eben mit groß F übereinstimmt soll es geben uns irgendwie Co hier jemand der Kurden und schauen uns das Kuhn integral bitte Intel-Angaben war dann von unseren weg das fällt es ach so was passiert dann er
was wir aus rechnen müssen ist wir wollen das kommen integral für unser Wetter fällt es entlang der Kurve mal ausrechnen das ist die Formel hat mir jetzt schon mehr fast integral von A bis B Skalarprodukt von es verknüpft mit der Mauer mal die Ableitung von damals jetzt wissen wir dass dieses 11 Gross 11 wissen wir ja essen Potenzial fällt also wir können das groß F es gleich den gerade Enten von unserem Vieh also steht hier Skalarprodukt vom gerade von 4 der ständiger wohl gezielt mit dem comma wenn man sich diesen aus und jetzt paar Sekunden paar Minuten anschaut und länger vom meditiert dann stellt man fest so was aber schon mal gesehen was steht da durch die die Ableitung von 4 aber mal die Ableitung von dieser inneren Funktion Gamma das ist genau die Ketten Ringen dass die rechte Seite der kecken Rede äußere Ableitung von inneren Funktion bei innerer versteht es die rechte Seite der Kette sogar also schreibe meine linke Seite der keine Regeln das ist das gleiche wie sind Sie gerade von A bis B fliegen von damals 1 T und das abgelegt drückt ist diese funktionieren tätige die Zahl 4 von damals und wie viel von Gamer wie nach der diese Funktion von er nach er das kann man schluckt reelle Zahlen und schwupp schon immer n aus das sie in diese tolle Männer machten der Zahlen aus 4 von damals und diese Zahl also ich die ganz normale Funktion von er nach er die kann ich ableiten nicht die arbeiten dann muss die Ketten regelt ziehen und die Ketten Regel beim ableiten die gerade ihren viel von Gamma von Thema kann comma von T genau das was du möchte so und was steht jetzt dar ist die der Traum in jeder eindimensionalen alles ist da was Kirche das integral über die Ableitung der Funktion Vieh nachgemacht was die Stammfunktion von der Ableitung er die Funktion auf der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung das ist das selbe also oder anders ausgedrückt sie brauchen wir jetzt und sie sind die gerade auszurechnen nicht und Funktion der Ableitung von Vieh nach Ghana standen so da werden sie nach damals die nachgemachten also hier kommt raus viele von Gamma von Thiel in den Grenzen von A bis B und das heißt hier kommt raus die von Gamma von B man dass die von Gamma von 8 drückt wird dass das Wunder passiert was aber jetzt ausgerechnet wenn es ausgewählten Vektorfelder haben das Potenzial so Potenzial hat dann können Sie dann eine Kurve nehmen es total egal welchen und wenn Sie das gründete gerade für diese Kohle ausrechnen kriegen Sie raus Differenz von Potenzial am Endpunkt minus Potential am einfachsten was die grobe dazwischen macht ist völlig schnurz in die Formel geht nur ein Potenzial sieht Potenzial an der Stelle Anfang Endpunkt minus Potential müssten anfasst da und das bedeutet für das kommt das gerundete gerade hängt nur vom Endpunkt und vom Anfangspunkt hat und wie sie vom anfangs und Endpunkt kommen es total egal Hmm also das heißt wenn Elfen Potenzial fällt es so wie ich dann hängt das Kurden integral des guten integral nur vom anfangs fährt also vom anfangs und Endpunkt des Weges ab und nicht von nichts anderem also vom Potenzial natürlich noch nicht aber der Weg spielt nur für vom Weg spielen nur der Anfang zu den von Rolle und nicht von der sonstigen Spur ab wenn Sie also Potenzial Welt haben dann brauchen Sie uns komme die auszurechnen nur das Potenzial den Anfang vom den Endpunkt der Rest von Korsika sehr angenehm insbesondere die Kurve schrecklich ist insbesondere und das ist ein wichtiger Spezialfall der oft wenn Sie geschlossenen weg haben anfangs und Endpunkt sind identisch also einen Potenzial fällt und eine geschlossene Gruppe das heißt Anfangspunkt gleich in period na ja dann ist sie am Anfangspunkt gleichziehen Endpunkte wenn sie die beiden voneinander abziehen dann ist das gesamte integralen ganz wie mir Spezialfall übrigens auch weiß was man wenn man im Geiste wenn man wenn man der bereit ist das Thema Reibung auszuklammern aus dem Alltag kennt ein ganz wichtiges Kraftfeld ein ganz wichtiges Potential fällt ein konservatives Kraft für das sie alle kennen ist das Gravitationsfeld der unseres kann das Gravitationsfeld das Kraftfeld der Erde ist ein konservatives Kraftfeld hat den Potenzial und der das bedeutet sozusagen wenn sie vom Reibung und allem absehen wenn Sie mit dem Fahrer eine Rundtour machen haben sie insgesamt keine Energie rein gesteckt und keine gekriegt wird bei so viel wie sie auffahren von runter unter insgesamt ist die Gesamtarbeit 0 stellen und es ist ihm egal auf welchen Umwegen sie von A nach B fahren insgesamt müssen sie halt einmal die Höhendifferenz überwinden die zählt alles anders wurscht und der Differenz ist noch Potenzial ist die Differenz der Potentiale wenn die ab seltsam aussieht auch nochmal der Hinweis kennen sie aus dem eindimensionalen alles da im eindimensionalen kommt in der sie nicht genau das Gleiche was ist denn das integral im eindimensionales ist die Stammfunktion ab Eckpunkte sind als minus Stammfunktion
am Anfangspunkt das Intervall ist genau das gleiche steht hier das Vieh das Potenzial spielte weil das Stammfunktion und Sie können das doch nicht egal welchen dem sich dann die Stammfunktion Endpunkt sind auswerten minus Dichtern period sondern Anfangspunkte sind aber als würde sie sehen dabei Gezeiten verbogene Chor ist Ergebnis ist es genau das Gleiche was der Hauptunterschied ist und darauf komme ich jetzt im eindimensional ist die Welt rollen weil zumindest an eine wichtige Funktion hatte so also Prinzip hat jede Funktion für mich meine Kollegen steiniger werden sie bald jede Funktion Stammfunktion und deswegen da man eindimensional also relativ gute die gerade ausreichen wenn man den nicht dann vom Sohn hatte und das ist was was ein Übergang zu mit das so wäre würde ich gern zweigeteilt Teil einsteigen und ein bisschen die die Gabe die der SPD und mit ihnen diskutieren und der das 1. was ich in Zeiten will ist das waren schon angesprochen mehr die die Gabe der Bedienung ist mir sehr restriktive Bewegung die eigentlich im Großen und Ganzen fast alle wurden alle Vektorfelder ausschließt das sieht man schon wenn man sich bisschen überlegt was sie gefordert wird ist stabil Gleichheiten wirklich Gleichheiten von Funktionen das muss schon sehr gut laufen bis diese Funktion gleich sein und das macht man am besten sich klar in dem einmal einfach versucht mal einfach würden weckt dass er den Streit um mal probiert das ausbaden was passiert also nicht wundern dass es sie mit B anfängt kommt gleich auch noch die sozusagen wir sind von diesem Abschnitt ist mir von diesem Beispiel B ist Potenzial sind etwas seltenes und kostbares bitte nicht davon ausgehen dass man die an jeder Ecke findet und das sehr klar sagen ganz entscheidende Unterschied zwischen eindimensional und mehrdimensionaler weil es ist ja immer einen immensen hat jede stetige Funktion mit Stammfunktion ja sogar noch das war nicht immer aber zumindest die die stetige hat schon der Stammfunktion sie brauchen Minimalvoraussetzung ist die Stammfunktion haben im mehrdimensionalen kann man so bezieht sagen passt keine Funktion funktionale Stammfunktion und die mit Stammfunktion sind die absolute Ausnahme und das ist wenn man dann weiter durch die Anlage ist geht das jetzt so so als Hintergrund also wenn man dann zu versehen hatte 3 oder später in alle möglichen Zusammenhängen schaut ist dieser Unterschied fundamental für viele Probleme die es bei höheren Fragestellung geht da sie werden in der Matte 3 gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen sehen zum Beispiel partielle liefert gewöhnliche Differentialgleichung sind schon schwer genug aber relativ gut verstanden leider sind die meisten Dinge in der Natur vorkommen werden beschrieben durch partielle Differentialgleichungen diese viel komplizierter und eigentlich manierliches nicht wirklich verstanden und der Hintergrund wenn man ganz tief bohrt ist am Ende für gewöhnliche Differentialgleichungen kann man alles zurückspielen am Ende auf den also zumindest in der Theorie auf den gehabt setzte Differential Integralrechnung auf die jetzt den seiner Stammfunktion unter Wasser Differenzialgleichung geht das nur wenn man das dann Funktion von dem weg fällt hat und dabei ist da kennen die Probleme an weil das hat man im Allgemeinen nicht mehr als ein Beispiel aber das ist ein fundamentaler Unterschied zwischen eindimensionalen mehrdimensionale man die man nicht vorbeikommt wie gesagt schreiben Sie sich einfach irgendwas ich habe jetzt mal von XY ist X X plus Y super Bravas Vektorfeld beliebig oft differenzierbar 1 prüfen Sie nach auf dem Weg aber die als Bedingung erfüllt ist was müssen Sie tun Finessen der Komponenten von 1. und nach den verschiedenen Variablen ableiten also den Fall die 1. Komponente von erst nach der zweiten variable ableiten und die zweite Komponente von 11 nach der 1. variable und das muss gefälligst das gleiche sein also den Fall dem sie ihren und J 1 und 2 was passiert also nehmen die 1. Komponente von 11 von Leitz nach der zweiten variable hat der ist hier y ja die 1. kommen und dann abgeleitet ist 0 sind in die zweite Komponente Leids nach der 1. variable ab zurück nur Explosion ich bleiben es 1 und sie sehen schon Sohn einen vor Vektorfeld X X plus Y hat kein Potenzial fällt schon bei den Sieger besetzt Bedingungen durch brauchen wir gar nicht weiter versuchen Michler hat sie gerne ein probieren Sie es aus sich 3 Vektorfelder hin und probieren Sie mal aus die Wahrscheinlichkeit dass dieses in die Gabe des Kriterium Ding zufällig erfüllt ist dies im wesentlichen nur ist ja man sich überlegt dass die Bedingungen bedeutet total starke da müssen 2 Funktionen für alle Werte Excel bislang übereinstimmen und wenn Sie mir die man noch mehrdimensionaler werden man sie dreidimensional werden da müssen schon 3 dreimal 2 Funktion übereinstimmenden 1. Komponenten der nach y abgeleitet muss gleich 2 bekommen werden X abgeleitet sein 1. kommen nach abgeleitet muss gleich 3. Komponente nach X abgeleitet sein 2. Gomel nach Z angeleitet muss gleich 3. kommen und dann abgeleitet sein werde und den Bedingungen und die sind nur in seltensten Fällen erfüllt zur also nach den schlechten Leihgeber die zu den guten schauen uns doch unser altes Beispiel wieder an vom ganz von Anfang um Beispiel 20 Cent 2 x y Xtra drahtlos y Quadrat haben wir schon gesehen dass das Potential fehlt ist rechne war kurz den Sieger jetzt nach damit wir sehen die tut ja auch also das ist denn die jetzt Bedingungen hier 1. Komponente wie gerade eben nach der zweiten Variablen muss leicht zweite Komponente nach der 1. Mai haben zu entweder viel Selbstbedienung bei Funktionen 2 Variablen ist nur eine einzige Gleichung bei wenn sie für ihren J nur 1 und 2. Fügung haben zwar eine Möglichkeit die beiden verschieben zu wählen da eines einzelner muss 2 das wegen fällt die Tiger bietet Bedingungen als Anwalt Funktionen 2 Variablen auf eine Gleichung zusammen das kann ich immer schnell nachprüfen an also wenn
in die 1. wird zur zur hat mehr wir nehmen die 1. Komponente von dem 11 das ist weil XY und leiten auch y also DF 1 nach y aber 1 und 2 zu 2 0 zu 1 2 x der F 2 nach Text leiten sie die zweite Gruppe von Ismaiks ab kriegen Sie auch 2 x also in dem Fall passt denn die David jetzt bitte wie gesagt wir noch sehen dass die Gabe des Bedingungen greift ist nicht unbedingt das nah dran wenn wir sehen aber nicht unbedingt ein Garant dafür dass es ein Potenzial die trotzdem als Faustregel wenn tut dann ist man wie gesagt sehr nah dran dann lohnt sich's mal zu versuchen das Potential zu bestimmen natürlich die nächste Frage ist wie wichtig war denn jetzt ist würde Potenzial mancher des sinfonischen geschrieben aber die Variante befinden ein Orakel das uns zufällig verrät wie das Potenzial ist nicht alltagstauglich wenn die muss man ja das Potenzial kommen ich bin jetzt an dem Beispiel zeigen wie man das Potenzial drankommen also anhand dieses Beispiels mal wie bestimmt man den jetzt dieses Potenzial denn das macht man so ein bisschen mehr basteln sich Schritt für Schritt was muss denn für das Potenzial gelten was suchen wir besuchende Funktionen Vieh in 2 Variablen nach so dass die Ableitung nach x 2 x y ist und wir haben dann noch YX Verwaltungswirtschaft 1 also mit der 1. Bedingung an es muss gelten die Abwendung von den 4 nach X muss die 1. Komponente von unserm Vektorfeld sein also 2 ja das ist jetzt bestelle eindimensional integral Aufgabe besuchende Funktion in XY so dass die Anwender x 2 x y ist also ist viel von XY irgendwas von der Form integral über diese Funktion 2 XY nach Excel Stammfunktion von Zweig selbst über haben dann ist die Ableitung 2 Land bloß unter Umständen noch ohne Funktion gegen nur von der Zeit abhängt her nach nun werden wenn ich jetzt mal x differenziere fällt die weg das habe ich mit der Methode nicht im Griff aber ich weiß jetzt meine viel von XY ist nicht an Funktion nach x gesehen von 2 x y bloß unter Umständen noch irgendwas was nur von Apps nicht wo die sind die gerade erfahrene kann man aus Excel der Stammfunktion von 2 x y als Funktionen X betrachtet ist halbe 6 Quadral mäßig Squadra y bloß möglicherweise mit konstanter plus diese Funktion des von Apps ja damit mir die 1. Information ausgeschlachtet Sammer wurde 2. wenn ich meine Funktion fing nach y differenzierenden muss 6 Quadrate selbst Land war gerade rauskam also differenzieren wir doch mal dieses Vieh nach y also dass wir jetzt auf die Weise schon mal eingestellt haben ist die Abmeldung von Fina X bis 2 x y haben das haben wir schon mal und wie sieht's jetzt mit unserer bleiben nach y aus jetzt weiterer y nach Ibsen Abgleiche X vertrat die konstanten Arbeitslohn abgeleitet ist uns egal und gehen gibt noch es gibt es noch die Erwähnung von dieser Funktion G J da so damit hat man aber jetzt weiß man was mit dem G ist wir wissen dass das hier soll ja sein die Squadra plus y Quadrat also muss die richtig von Y gleich y Quadratzahlen also nehmen sie sich eine schöne Stammfunktion davon zum Beispiel G von y ist ein Drittel zwar noch 3 haben plus eine Konstante C wenn Sie Lust haben und damit kriegen sie zusammen zum Beispiel als das Potenzial die vorhin schon angeschriebene Funktion Vieh X gerade Y plus ein Drittel y hoch 3 ich habe jetzt die ganzen konstanten 10 0 gesetzt das können Sie machen ist egal bei auf konstantem kommt beim Potenziale nicht einmal wenn sie Potenzial haben wenn sie aus 7 dazu addieren Sie warum Potenzial weil das Potenzial sie nur die Ableitung ist es konstanten fallen ableiten weg klar so aber das ist zum Beispiel ein
Potenzial von unserer Funktion und die Methode so wurden sie also kommen sie prinzipiell immer die sie arbeiten sich variabel Weise vorwärts das hängt mit der 1. Begegnung an der werde nach der 1. Mai muss die 1. Komponente von 11 seien integriert die raus und dann hat man den 1. sogenannten sozusagen bloß irgendwas was nur von den anderen Variablen abhängt und so kann man sich variabel für variable hoch und aber wie gesagt fangen 7 müssen man erst einen Potenzial zu suchen wenn sie wird die Gabe der Bedingung gezeigt haben sie eine Chance weil es sei denn es ja bestimmen Sie es Potenzial das von Mitterfels aber wenn sie sich vorher wissen die die Gabe die der Würdigung schnell zu chatten kostet 25 Sekunden da dies schnell den Besitzer mal ableiten fertig oder je nachdem wie viel variabel Funktion Abteilung Parma mehr aber die sehen Sie Ihre Reisen seines weil viel arbeiten und das macht man nicht wenn man nicht wenigstens vorher getestet hat ob es vielleicht versprechen ist der mit gebracht so und jetzt komme ich zu unserem 3. Beispiel zurück 10 immer wieder das Wetter fällt aus das war 20 13 B dieses Wirbel fällt f von x y ist man ist y durch x Quadratur selbst in ein Quadrat und X durch x Quadrat plus wird stark an war dieses Karfeld von dem Tornado tja da der vorhin gesehen immer bleiben geschlossen gegen die wir um den rum dann kam 2 Tiere aus das war dieses Phänomen wurde ganz zerdrücken haben das heißt das weg integrales in dem Fall nicht weg unabhängig ist hängt eben davon ab wie ich sanft Start und Endpunkt verbinde das sollte hier also kein Potenzial geben er kann hier kein Potenzial gehen trotzdem lade Sie eine wir mit Ihnen mal den Gabe des Bedingung nachrechnen das geht hier schnell nur 2 Variablen haben das heißt sie müssen einmal die 1. Komponente von 11 nehmen und nach der zweiten Variablen differenzieren dann die zweite Komponente von 11 nehmen nach der 1. Mai haben differenzieren also was das sehen wir die 1. Komponente noch y differenzieren wenn er den wir uns erst mal das ist der schwierigere Fall ist nur nach X ja einfach war nach Ortsname meine volle Quotientenregel austricksen aber nutzt nix also was kriegen wir raus erst Abmeldung vom Zähler ist mit minus 1 x 1 also minus 6 sozusagen Quadral Min war es der Zelle da mal die Abbildung von den also plus y mal den Männern auch y ableiten die nochmals 2 y also plus 12 y Quadral geteilt durch den Männern zum Quadrat die Squadra plus y Quadra Quadrat das ist die Konzerne jetzt können so um noch so'n bisschen vereinfachen 2 Quadrat minus 17 und Quadrat gibt mit Quadrat gibt y Quadrat minus X Quadrat durch es Quadrat plus y Quadratgrad mit gut ist die der 1. Kommune genau y zu sein die anderen der 2. Kommune nach X ausrechnen also eine 2. Komponente nach x wie Quotientenregel Ableitung vom Zähler S 1 mal den den 30 Skwara plus y Quadra den Zähler also X mal die Abwendung vom Männern nach XX war sowieso aber 3 x erhalten die noch mal 2 x also minus 6 Quadrat durch das Quadrat des Tellers wenden des so kann um wieder aufrollen gibt y Quadrat minus X Quadrat durch Exporte bloß y Quadrat Quadral von sehen dieses Beispiel da auch diese vor der Sonne ganz bewusst weil das ist das Vorsicht Vorsicht Vorsicht Beispiele wenn man den ausschauen dann sind die beiden gleich ja diese vom Vektorfeld erfüllt also den die Gabe des Bedienung aber am gesehen irgendwas kann es nicht stimmen weil das kann kein Potenzial haben damit sein Potenzial hätte also Potenzial hätte dann werden sie sehen wie gerade 0 gewesen die 2. was ist los also comma na das passiere Sohnes Pollentia auszurichten
also wischte bestimmen das Potenzial was müssen wir tun also es muss gelten weil das Potenzial das wieder fliehen es muss gelten wenn sie dass sie nach X differenzieren dann kommt raus die 1. Komponente also minus y durch extra wird also muss für die irgendwas von der Form sein Integrale Stammfunktion von es y durch x Quadrat das y Quadrat Text plus es denn jetzt ab so Stammfunktion von diesen Dingen da die Nummer geht aber es nicht so schlimm wie es aussehen man muss auf die Idee kam dass man so eine ähnliche Stammfunktion kennt wenn Sie sich erinnern die Stammfunktion wenn sie mal das y Einsätzen im Geiste und das minus vergessen dann steht da 1 durch 1 plus 6 Grad dann vom davon Stammfunktion das da Costa Netzen und das Ziel ist jetzt das ganze darauf zu prügeln dass da was von der Form eines durch 1 plus und was Quadrat stehe das macht man also das man 7 bis minus y vor und dann klammern wir unten noch y Quadrat aus empfinde X durch Y Quadrat plus 1 Quadrat 1 plus 1 reicht und jetzt müssen wir da sitzen und Quadrat vorziehen vor plus gehe von AT das richtig gemacht nur habe ich mich entschieden doch ja es ja also minus 1 durch y integral Stammfunktion von einst durch 1 plus X durch Y Quadral Deluxe jetzt sieht es schon so aus wie stammende Markus für 1 durch 1 bloß irgendwas Quadrates irgendwas kriegt jetzt noch einen entsprechenden Name substituieren wir jetzt das mal zählt also Zeltes X durch Y dann ist die Z 1 durch y DX das ist möglich weil dieses einzige zueinander vorne also kriegen wir Minos integral 1 durch 1 plus Z Quadrat die zählt Glos G von Apps wird stets da Stammfunktion davon das Minus der Markus Tangens von Zelt plus eine Konstante setzen Sie das Zelt wieder einen Hof sichern Sie dass der zurück sie minus Tangens von X durch Y und so Minister gestern in Eppelheim bloß haben gehe von Y immer genau es die Schlange war solche Szezinski reingestopft Saar also wenn das Ding Potenzial hat dann in der Form minus Agnes Tangens von X durch Y einfach plus was das noch von bislang abhängen dann prüfen wir mal also damit er mir jetzt Defi nach DX ist wenn sie das differenzieren nach X kriegen sie einst durch 1 plus X durch Y Quadrat minus immer noch mal 8 in Ableitung ist eines der an es mich an um minus so Hof gelten ach wenn darum und der selbst ein Quadrat wieder rausziehen kommen doch doch kommt alles sie arbeiten sie den Bruch mal mit y Quadra und wenn man das ja dann Quadrat durch y Quadra ab plus X Quadratmer Einstig y ist minus y durch x da los ist so also das passt schon mal wie sieht's aus mit der 2. Komponente mehr wollen ja noch das Defi nach y gleich die zweite Komponente von unserm F ist also die Trends mir das Ding einer oh wie hässlich wer also differenzieren erst mal den Akkus Tangens 1 durch 1 plus X durch Y Quadraten so und jetzt mal die innere Anleitung und die innere Ableitung nach y wenn Sie X durch Y aber bislang ableiten ist das X X minus 1 durch y Quadra Klug X X X durch Y noch Azlan differenzierendes Expert stehen aber davon einzig y ist mir das einzige zur so die bei minus 1 sich mal vom Acker um Daten X stehen und unten ein y Quadrat x 1 plus X durch Y Quadrat Quadrat na das ist zu schön um wahr zu sein das ist x x durch Xtra plus 17 Quadrat und das ist F 2 von XY Herr das und wird der Soldaten und den Saal dann wird für mich kann man das kann nicht stimmen die die SPD muss erfüllt das Dinner Potenzial ich diese Funktion des Augusttages von XY also die können Sie neu gehen also es Potenzial ist viele von XY ist minus Akkus Tangens Phoenix Trichet an und wenn wir sehen dass es ein Potenzial warum kann den Fall nicht nur aus Wendungen geschlossen der integrierte man period der Potenzial wenn sowohl was kommt wo ist der Fehler und der Fehler ist an einer Stelle wo ich immer wieder drauf hinweisen die hatte hier mal ganz ruchlos gemacht in dieser ganzen Leitung habe ich ziemlich viele durch X und durch y geschrieben ohne mir Gedanken zu machen was ich bisher die neueste und insbesondere schauen Sie sich mal ist mal die Frage auf welche Menge ist denn dieses Potenzial überhaupt definiert man sieht das Potenzial anschauen sehen Sie Problem gibt es doch wahrscheinlich wählen y 0 wird ob es gibt period wenn es dann und es gibt ein Problem nun also und das ist genau der Schlüssel zu mehr zu der Frage was hier schief geht das denn Potenzial für unser wird dafür das es richtig will auf der Menge R 2 ohne die schreibe jetzt mal das Volk Sie verstehen was ich meine er 2 ohne die x-Achse er also alle Punkte für die letzte Rechnung ist nein es geht mir gegen mehr mathematische L es war also die schreibe die x-Achse richtig ist die Menge aller Punkte x 0 X aus er er sei am was die x-Achse so dieses Potenzial existierte ist dar aber nur auf R 2 ohne die x-Achse falls man manchen bilden erklären was hier passiert die und dann sieht man das alles wunderbar zusammen passt auch wenn dieses wunderbar
zusammenpassen Wände der bedeutet man muss freilich aufpassen und es hält sich nicht immer alles so wie man es haben will also werden Potenzial und jetzt noch mal was anderes wollen ausgerechnet während sollen ausgerechnet in die gerade der Gamer dieses Vektorfeld groß 11 wir betrachten wenn Sie diese Befehl groß 11 über Gamer ausrechnen wobei Gamer wenn dann aber freuen die Kurse die einmal im Einheitskreis rumläuft das war das Gamal und über dieses Ding integrierten festgestellt da kommt 2 pi raus und 2 4 Serfaus gewiss nicht 0 aber wenn es andererseits ausgerechnet unser Wetter für das Potenzial also müsste dann nur raus comma das Problem ist folgendes nur das 11 das Vektorfeld war definiert auf er 2 ohne den Ursprung an die später fällt F komm ich Worten Einstellungs- mehr also es weg 11 minus nutzen die 2 drahtlos y Quadrat und XTX war y Quadrat das war definiert auf R 2 Uhr den Ursprung des hat also eine Problemstelle und diese Problemstelle war hier die war für uns kein Problem weil die integrierende Erweiterung mehr wie die Grillen auf Kreislers und sie nur total wurscht und was passiert jetzt wenn wir das Potenzial ausrechnen der westlich der das den Garten Potenzial bitte und das ist das perfide beim Potenzial bestimmen kann Definitionsbereich kleine das Potenzial existiert nicht auf den ganzen Definitionsbereich von Groß F soll es existiert auf A 2 oder der x-Achse an das heißt es existiert auf R 2 ohne diese Achse und das tangiert und vom integral sehr wohl da unsere pures Vektorfeld hat geht nicht auf dem ganzen Weg ein Potenzial sollen hier an diesem Problem stellen als Grenze und das deswegen können Sie hier die schöne vollen gefunden die Regel wenn sie über den es ja haben dann hängt nur vom anfangs und Endpunkt ab insbesondere wenn das integral geschlossen ist die Grube geschlossen es kommt nur raus ich anwenden weil die gehen nicht über ein Potenzial fällt sondern Sie Handy gegenüber die Definitionslehre des Potenzials dann das ist das Problem und das ist fies weil man auf die Weise ja über den Winter Winter als Bedingung die Dekret da müssen ja geben und dann aber feststellen dass das Potential ist nicht so gut wie die Funktion die Fictions Lücke von der Funktion die kann ausstrahlen so wie es hier passiert war das Boot die das Vektorfeldes definiert auch 2 ohne den Ursprung und das viele ist definiert auf R 2 ohne die x-Achse man können sozusagen sagen die Singularität von 11 die strahlt aus kann das ist das was hier passiert sie integrieren um die Singularität von dem erst einmal Ruhe das 11 nur Ursprung Problem sind die gern einmal um die Problemstelle rum und das merkt man dem Potenzial die strahlt aus und das passiert sehr sehr oft wir also das muss man aufpassen wenn man solche Funktionen hat mit einer Definitionslehre Consentec nun viel zurück gerungen das ist da muss man sehr genau hinschauen wie das mit Potenzial ist die also was man daraus sehen kann es denn die Kabinette als Bedingung allein reicht nicht es ist eine sogar noch schlimmer wir gesehen denn die Gabe mit der Bedingung reicht nicht es reicht noch nicht mal der man ein Potenzial ausrechnet sogar wurden sah ausrechnen können man muss sehr genau auf die Definitionsbereich schauen und das ist natürlich wenn die Funktion komplizierter werden schwieriger aber sogar oft so dass man die die Gabe der SPD nur noch nachrechnen kann kein Kunststück da muss man aber paarmal differenzieren das aber völlig hoffnungslos ist das Potenzial zu bestehen trotzdem wärs ja total super zu wissen dass den Garten Potenzial ich muss es er das gut ist in musste Polens ja gar nicht ausreichen es reicht mir zu wissen dass die nach Potential und wenn ich jetzt so beschlossen dass Google kommt nur aus ich muss das Potenzial dazu nicht wissen wenn ich weiß dass er wurde Cyan und beschlossen sie gar kommt nur raus egal des Bodens aus und deswegen gibt es an dieser Stelle wird möglicherweise gibt es an dieser Stelle eine Abhilfe und ist der Zug und ist mir
geometrische Bedingung einen Definitionsbereich die solche Situationen ja aus ist und da geht's jetzt ne ganze Latte von Resultaten von Kriterien mit denen man solche Situationen ausschließen kann ich Zeitlinie die eine davon da kann man jetzt 4 Vorlesung drüber machen über das Thema ich zeigen ein Kriterium das den Vorteil hat das ist in der Alltagsanwendungen sehr leicht feststellbar ist das ist nicht das Ei gemeint möglich aber das werden sie auch nicht brauchen es ist eines das im Alltag gute Dienste tot und bei dem man nicht viel nachprüfen muss sondern dass man eigentlich draufgucken entscheiden und das sind so genannte sternförmige Mengen ich erklären was das ist so also Potenzial auf sternförmigen nennen den Begriff wenn sie genau dieser eine Stelle zu tun kriegen aber hier sei extrem wichtig also wir haben die dann wird das Feld auf einer Teilmenge des N definiert und dass er für den Tiger wieder bedienen da also wir könnten guter Hoffnung sein das ist vielleicht ein Probe Potenzial wenn nicht dann ist er verloren Ja ich meine dann müssen sie gekommen die gerade zu Fuß ausrechnen wenn Sie dann wurde wenn die damit jetzt mit der und ich erfüllt ist dann gibt es garantiert keine Provinz so also sehr viel billiger sein die David Herz Bedingungen und wenn man und jetzt aber wollen gesehen dass weniger mit der SPD oder für das reicht nicht für diesen Augusttagen in ging er für diese Akkus Tangens Biest ist denn die Gabe der Junge fühle trotzdem gibt es nicht in den Sinnen Potenzial das es Integrale jede geschlossene Kurve ist und was dahinter steckt es eben im Wesentlichen man kann im Definitionsbereich man kann eben Definitionsbereich um der Definition Brücke Rohblöcke rumlaufen das müssen wir noch verbieten und eine Möglichkeit also das die Bedienung die jetzt noch fehlt ist eine der Geometrie des Definitionsbereichs um das Problem hier ist die Geometrie des Definitionsbereichs R 2 ohne 0 der so doof ist dass man innerhalb des Definitionsbereichs um die Definition früher gelogen rumlaufen kann daran sieht man auch dieses Problem kann eindimensional nicht auftreten da 7 eindimensionale Definitions Lücke haben dann wenn sie es nicht schaffen innerhalb der ihren Axum diese Definition zurück rumzulaufen so viel Platz bietet Ihnen die relaxe nicht mehr wirklich aus wenn es wirklich in 2 geht ab so und wenn man jetzt sowas ausschließen dass Kammer am schönsten folgendermaßen ausschließen man braucht dass es offen ist und so sternförmig ab dann gibt es nicht und des Resultats das sagt man eben offenen sternförmig ist und es erfüllte in die Gabe Selbstbedienung dann hat es auf ganz ein Potenzial also da ist denn die Gabe der SPD und nicht nur die notwendige Bedingung sondern sogar hinreichende Bedingung wenn Sie eine sternförmige Definitionsbereich haben und ihr 11 erfüllt den die doppelte des Bedingung dann haben Sie automatische Potenzial sie können vielleicht nicht aus das aber vielleicht auch egal weil man will nur Platz wenn sie Glück haben Sie nun geschlossen sind die GAL dann brauchen Sie es Polens ja eh denn dieses kommt Kost und und das ist sehr praktisch das muss ich immer noch sagen was heißt sternförmig sonst ist das Kriterium bisschen nutzlos aus also was heißt sternförmig ich könnte ihn jetzt eine werden Definitionen schreiben aber ich sag's Ihnen also ich schreiben beides in wilde Definition und dann sagen Sie noch was das bedeutet sternförmig aber ist es geht einen Punkt den sogenannten Standpunkt in den es gibt irgendwo ein period P so dass die Verbindungsstrecke zu X die Verbindungsstrecke von P zu X ein für alle x 10 m vollständig in den Wind also müssen irgendwo in ihrer Menge M 1 period finden schön in der Mitte der so liegt das sie von dort aus das die Verbindungsstrecke zu jedem anderen period nicht verlässt vermeiden halbjährlichen dazu und ich denke das sieht man auch warum dieser Begriff sternförmig heißt statt das ist eine
sternförmige Mängel die ich behaupte zum Beispiel dieses P funktioniert wenn Sie sich irren period externe Mitte Verbindungsstrecke immer ganz drin das ist ein typisches sternförmige Menge das können Sie so ein bisschen extremer machen sternförmig es geht um period irgendwo so dass sie jeden Punkt in der Menge geradlinig mit dem period verbinden kann nicht sternförmig sage Ihnen schon kleines Kind das ist nicht ein förmliches weisen Mond ist im Mond ist nicht sternförmig versuchen Sie es egal wo sie jetzt irgendwie versuchen der P hinzulegen da Sie können Peter Sony hinzulegen dann kommen Sie aber ich hier nicht mehr gerade wenn ich in mehr sogar mit dem P rutschen wie sie wollen und es gibt immer Punkte den Schatten liegen diese nicht gradlinig erreicht sternförmig als es muss ein period irgendwo geben von dem aus wie jeder andere gradlinig erreichbar ist wird immer noch unser Beispiel von vorhin zurück wie sieht's aus mit folgendem denn das vollen betrachtet haben wie sieht's aus mit 2 ohne den Ursprung und ich behaupte er 2 oder den Ursprung ist auch nicht Stern für mich das wenn wir da drüber schief warum ist es nicht gern für mich ja der ganze als 2 ist offensichtlich der einfach nicht mehr da kann sie jedes 1 müssen und von SPD und kommen sie war gerade nicht was kann man hier als P nehmen man egal was nicht für jedermann period er nicht tot nehmen Sie P irgendwo dann verglichen period so dass die geradlinige Verbindung zu P nicht drin ist nämlich den gegenüber wer in da wo sie die ich finde immer einen Spielverderber period man kann auch wirkliche Drymen wegen des mir ganz egal danke ich Ihnen ich kann mich immer über diesen Ursprung verstecken und deswegen ist das Ding nicht sternförmig und Sie sehen geht auch schief da also diese Bedingungen des ist essenziell das das ist keine Art der Fraktionen sternförmig oder was ähnliches das verband das braucht man um solche Situation auszuschließen der der mehr mal das war ja nur ja und gut gute gute Motorsport Sport oder gutes Beispiel wie sieht es mit der Menge aus ich nehme er zwar einen und die positive Relax die ist der für mich richtig beobachtet warum ist die sternförmig legen Sie P irgendwo hier auf die negative Achse wenn Sie Verbindungsstrecke zu egal welchen Punkte sind drin das Problem ist wir können natürlich jetzt ihre Funktion ihr Vektorfeld auf dieser Menge definieren dann klappt alles nur dann liegt der Weg nicht in der Menge ja der Weg den wir da drüben integrieren würde der Weg den wir da drüben integrieren die raus ja das ist der Punkt und das Leben also man kann wenn man wenn man einen Weg hat denn diese geschnitzten rechten Ebene ist also diese geschnitzten Ebene drin liegt also wenn Sie dieses Feld von da drüben nehmen und integrieren es über diesen weg dann nur raus weil dessen geschlossene Weges ist der sternförmigen Menge und die Funktion der wurde das Vektorfelder worden aber wenn Sie über drüber integrieren es aus und genau gut vielen Dank für die Geduld des beilegen und bis morgen wieder wie auch messen können
Geschwindigkeit
Strecke
Vektorfeld
Variable
Länge
Skalarprodukt
Weg <Topologie>
Betrag <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Träger
Differenzierbare Abbildung
Zahl
Integral
Mathematische Größe
Einfach zusammenhängender Raum
Sinusfunktion
Kreis
Radius
Kosinusfunktion
Kreisfläche
Momentenproblem
Exponent
Kommensurabilität
Fluss <Mathematik>
Parametrisierung
Vektor
Kreisbogen
Integral
Vektorfeld
Multiplikation
Quadrat
Skalarprodukt
Partielle Integration
Spieltheorie
Spirale
Differenzierbare Abbildung
Ableitung <Topologie>
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorfeld
Quadrat
Punkt
Extrempunkt
Mathematische Größe
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorpotenzial
Zusammenhang <Mathematik>
Physiker
Klasse <Mathematik>
Parametrisierung
Zahl
Entscheidungstheorie
Teilmenge
Vektorfeld
Feld <Physik>
Quadrat
Stammfunktion
Menge
Spieltheorie
Verallgemeinerung
Potenzialfunktion
Ableitung <Topologie>
Hidden-Markov-Modell
Mathematische Größe
Vektorpotenzial
Hyperbolischer Differentialoperator
Zusammenhang <Mathematik>
Differentialgleichung
Konservatives System
Cartan-Ableitung
Vektorfeld
Quadrat
Weg <Topologie>
Differential
Variable
Energie
Kettenregel
Spieltheorie
Reelle Zahl
Integralrechnung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Lineares Funktional
Kurve
Stetige Funktion
Gleichung
Zahl
Gewöhnliche Differentialgleichung
Dichte <Physik>
Elementare Zahlentheorie
Skalarprodukt
Stammfunktion
Gravitationsfeld
Fünf
Ecke
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorpotenzial
Extrempunkt
Abbildung <Physik>
Zahl
Konstante
Vektorfeld
Quadrat
Variable
Wirbelströmung
Stammfunktion
Quadratzahl
Potenzialfunktion
Integration <Mathematik>
Level-Set-Methode
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Konstante
Numerisches Gitter
Quadrat
Stammfunktion
Menge
Ableitung <Topologie>
Gradient
Integral
Axum <Programm>
Vektorpotenzial
Erweiterung
Punkt
Geschlossene Kurve
Integral
Teilmenge
Vektorfeld
Singularität <Mathematik>
Polstelle
Quadrat
Menge
Spieltheorie
Dimension 1
Potenzialfunktion
Einheitskreis
Geometrie
Normalspannung
Funktion <Mathematik>
Ebene
Bruchrechnung
Vektorfeld
Weg <Topologie>
Punkt
Große Vereinheitlichung
Menge

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 20: Potentialfelder
Serientitel Mathematik II für Bauwesen
Teil 20
Anzahl der Teile 24
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/36078
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2015
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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