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Vorlesung 18: Parameterintegral

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das ist mal ein herzliches Willkommen zur heutigen Vorlesung ich habe gerade schon mit Begeisterung festgestellt dass das Wahllokal nicht wie sie für die Hochschulwahl für diese vorgesehene geradezu perfekt liegt direkt hier vor dem vorliegt in der sofort das problemlos geworden ich dieses Jahr zum Wählen kommen und wollt dann die Chance nutzen Sie alle oder aufzurufen nutzen Sie ist in der Browser nach der Vorlesung und danach er tut der notorisch schlechten Wahlbeteiligung des Studierendenschaft sehr gut gut zum Inhalt da kommen wir jetzt aber heute zum letzten großen inhaltlichen Block der Vorlesung wir haben nach den am Anfang ein paar Reste vom 1. Semester aufgeräumt haben uns im Wesentlichen mit er an differenzieren integrieren Beschäftigten es zunächst nur eine Dimension gemacht wenn man Funktion von einer er differenziert wenn Funktionen von einer integriert dann haben wir in den letzten Wochen Funktionen auf dem mehr in mehreren Variablen differenziert und was jetzt noch
fehlt ist die Funktion in mehreren Varianten zu integrieren das Essen äußerst
weites Feld oder mal kurz drüber nachdenkt ist eigentlich logisch und sieht man auch schnell das ist ein weites Feld sein muss auch da ist wird der Hauptpunkt die Geometrie in der Ende Stilfibel reichhaltiger dem sich nur der zwar der 3 in der Vorstellung viel viel reichhaltiger als die Geometrien R in der können Seiten 1 Stück vor der WM Akzente gegenüber der Wahl wenn sind schon nur den er 2 gehen dann haben wir die Bilder der mehr ein einen Definitionsbereich in als Quadrat und oben drüber liegt die Landschaft das Gebirge und dann ist aber genauso wie immer eindimensionale spannende Frage Was ist jetzt in dem Fall das Volumen unter diesen Gewürge ja das ist wieder Integrationsfrage also nehme ich den sie vor werden in Raum mit der wie geschwungenen Decke und sie sollen dessen Volumen bestimmen wir die Geschworne der ist der Funktions- war und sie an das Volumen unter diesen Funktions- klar wird sofort auf Integrationsfragen war jetzt kann man das und das es was die Sache kompliziert macht man dann setzte die wie beliebig verkomplizierenden warum musste rauben rechtwinkligen Grundriss haben der Raum kann natürlich auch im im Grundriss gebogen seien Prozent könne worden sein ja sie können also wilde Geometrien da wurde über die man die integrieren ach wir werden da gar nicht jetzt bis in alle Einzelheiten eintauchen ich bin gegen die entscheidenden mit roten und die entscheidenden Begriffe zeigen von den wir davon ausgehen dass sie mit den konfrontiert werden und mit ihnen auch so'n bisschen über Anwendung dieser ganzen Sache reden gut und wir fangen denn das langsam an es gibt jetzt mehrere weil es eben mehrere Problemstellungen gibt in denen die Kralle auftauchenden deren Dimension der sehr verschiedene Problemstellung gibt es jetzt mehrere Abschnitte mit sie in mehreren verschiedenen integral begriffen und die endgültige Ausgabe am Ende ist immer wenn wir Problem in mehreren Variablen zu integrieren haben wie kochen wir das Problem so weit runter dass wir am Schluss in kommt das konkrete rechnen eindimensionalen die GAL machen dass das was wir können ja wir können in die gerade von 7 bis 15 Gewölbe Funktion das können wir gut würde Funktion einer Variablen das Problem wird immer sei koche das Problem sondern runter distanzlosen eindimensionales egal da steht dass man wissen und alle fragen wir nicht mit dem so genannten Parameter integral was ist der Abschnitt 19 Parameter Integrale und das sind da bleiben wir im Prinzip unserm eindimensionalen integral treu integrieren würde in die Wahl aber wie integrieren Funktionen mehr naja das heißt wenn wir gehen ja meine Funktion in zum Beispiel 2 Variablen und den die gehen über eine von den beiden Varianten des danach diese Variable weg und es bleibt der Funktionen einer Variablen übrig also das Setting ist das folgende so ein paar nette integral diesen Integrale im Normalfall Gewinne Funktionen 2 Variablen also der Funktion gegeben in 2 Variablen definiert auf dem er 2 oder auf der Teilmenge von R 2 nach er dann wird das Intervall Grenzen A und B zwischen den wir integrieren und damit wir und was wir jetzt machen wollen ist wir wollen uns anschauen das integral von A bis B er von XY die Ypsi's auch also wollen eine von diesen beiden Variablen weg integriert das was Sie jetzt bei rauskommt wird natürlich noch von X ab und will jedes x kommt da im Allgemeinen anderer werden aus das heißt das was hier entsteht ist wieder eine neue Funktion also wenn Sie X gleich 1 einsetzen können Sie das integral ausrechnen muss komplett Zahl raus wenn sich's gleich 3 einsetzen können sind die Gruppe zwar raus auf die Weise entsteht der neue Funktion die jedem X wer das Integrals so ist die wir nicht meinen vollen G so was nennt man einen Parameter integral und damit das gebe müsse man noch ein bisschen Voraussetzungen schreiben wird das was diese Funktion die ich dann noch bisschen integrierte muss natürlich irgendwie integrierbar sein und eine Möglichkeit das zu gewährleisten ist zu sagen dieser Abbildung die das Y auf F von X Y das ist die die ich in die Gewehre dieser Stücke weil sich tätig sein und zwar für jedes x das ist nur die Voraussetzung die da stehen muss damit das was da steht immer so meine Parameter integral warum na ja weil das integrales mit diesem Parameter x war für jedes x ist anders integral X ist der Parameter und auch y werden dick das ist insofern nun liegt noch nicht viel Neues weil das integral dass sie aus rechnen müssen das ist wie ein eindimensionales es können schon ausreichen das heißt ich ein Parameter integralen hinschreibe das jetzt nicht irgendwie besonders hieß dann können Sie mir ausrechnen was da rauskommt und trotzdem gibt es ein längeres Kapitel über die Tiger er und warum das will ich jetzt ein bisschen motivieren Wasser die Fragestellung sind um die wir uns kümmern wollen ich schreibe mal ein Beispiel so Parameter Integralhelm integral von 1 bis 2 y auch XY BY wer zum Beispiel sollen den X beliebige reelle Zahl kann und wie
gesagt behandelte integral funktioniert definiert jede neue Funktion g also in dem Fall der jetzt die Funktion f die Funktion f von x y s y Mario Erzähler und wenn Sie jetzt sollte gerade stehen dann können Sie versuchen das zu lösen kriegen wir jedes Exxon heraus und dass die Funktion g das sind damit den die was sind das typische Fragestellungen für die wir uns interessieren wer die gleichen Fragestellungen wie man immer hat wenn man seine Funktion das Funktionen einer Variablen der können eine ganze Menge tun zum Beispiel könnten wir jetzt noch nach X integrieren nur also was das integral von Zivis die über des von XTX oder wir können versuchen die jetzt X abzuleiten das wären interessante Fragestellungen es können Sie sagen ist ob man da nicht länger das integral aus dann habe ich die 10 zu zuzugehen ist Arbeit klar können Sie machen es ist aber so und so oft und wie gesagt gar nicht so schwer ein worden die gerade zu schreiben dass man nicht ausrechnen kann bei also von den zwar klar heißt es existierte die Stammfunktion geht's aber man kann es halt nicht explizit den schreibe ich habe ihn schon mehrfach das Beispiel um 6 Quadraten geschrieben und trotzdem die Frage Sie die Ableitung aus und erstaunlicherweise kann man die Ableitung manchmal ausreichen um das integral ausweichen zu können dann solche Sachen die ich nicht gemacht das das 1. Beispiel und das zweite Beispiel sollen zeigen solche waren mit denen Sie gerade sind nicht irgendwelche rein sollen die kommen im alltäglichen Leben ständig vor ein typisch ist Parameter Integrale mit dem Sie bin ich sicher in ihrem Studium irgendwann alle zu tun kriegen ist das folgende er hat period ja wem und 2 Funktionen und nur es einfach seine Funktion von Erlach er eine stetige Funktion stellen sich Ihre schönsten Lebensfunktionen vor man gebe ich eine zweite funktionieren von 2 Variablen ab die heißt üblicherweise T und X und diese Funktion ist 1 durch Wurzel aus 4 Picea in Woche Minusbetrag X Quadrat durch 4 es könnte sein dass die eine oder andere die Funktion schon mal gesehen hat das relativ berühmte Funktion benannt nach einem nicht wenden wenn in der berühmten deutschen Mathematiker wird sie gern Klaus Glocke genannt vor 20 Jahren war die noch bekannter weil jedes in der Tasche hatte die Klaus glaube war nämlich zusammen mit Karl-Friedrich Klaus auf dem Zehnmarkschein drauf der 2002 verschwunden ist die letzten Jahre habe ich da noch immer ohne Folie wollen Zehnmarkschein aufgelegte dann war ich da man nachdenken festgestellt sie waren damals wahrscheinlich so 5 oder 6 ist der verschwunden das zu langsam ist der funktionierte geht nicht mehr aber die die Auslage ist eine wesentliche Funktion nicht mal sehen und gesehen nachdem natürlich was T also 5 6 ist die ja X wie es gehe von Text dann Sie die so symmetrisch zum Berthold und nach dem wir das ist also ein Themen sind kleinere Stil nehmen dann wird der Bergführer und steigender also dass es ein kleineres die gut so sie die Glasglocke aus was hat die Bedeutungen muss sie Ihnen vielleicht schon untergekommen ist auch der Wahrscheinlichkeitstheorie auf das ist die die Dichte der Normalverteilung eine wesentliche Bedeutung der werden Sie mir mal so 3 wieder treffen worauf ich hinaus will sie taucht auf in der Beschreibung von jeglicher Art von die Fusion beziehungsweise Werbeleitung Wärmeleitung soll es aber dass die Fusion von Wärme bei immer irgendein Stoff auf allen mehr Energie was diffundiert dann laden Sie am Schluss bei die Sage aus Glocke und zwar folgendermaßen also betrachten das folgende sogar eigentliche Parameter integral sie sehen man kann eine Sauerei miteinander mischen also ein entdeckt integral von minus unendlich bis dann endlich ein doppelt und einiges Parameter integral G von T X minus Y O 0 von Y wird statt das ist ein immer und immer wieder auftauchen dass wir mit der integral das denn jetzt 3 Variablen drinnen T X und Y das sind nur mit Welt integriert es bleiben T und X übrig also das ganze 1. Funktion von T und X und die man nicht mal von Theo Dix schreiben das nochmal explizit das ist 1 durch Wurzel aus 4 integral von minus endlich bis dann endlich er Wochenminus betrage X minus y Quadrat durch 4 c 0 von Y gilt für Sie als Mann und war damit der integral warum ist das so wichtig was ist die anschauliche Bedeutung dieses Parameter Integrals
ja so in dann wird auch wie gesagt es geht um die Fusion den wir Wärmeleitung als Beispiel sie haben stellen sich vor mir das ist eindimensional Diffusion sie haben einen dünnen Draht wir also das eindimensionales und der hat gewisse Temperaturverteilung zurzeit des gleich 0 und an einigen Stellen so war man aber dieser kalt diese Temperaturverteilung zurzeit hier gleich 0 das ist diese Funktion und 0 von X also 0 von X ist die Temperatur zurzeit C gleich 0 am Ort Xtra mit dem dünnen Draht den identifizieren Sie mit beim teil der reellen Achse meinetwegen oder mit der ganzen reellen Achse unser Zeit der gleichen Rolle messen Sie am Anfang die Temperatur führt die ist 0 und dann ist diese Funktion von Text diese bekommen in denen sie dieses integral ausrechnen das ist sozusagen wenn der Blick in die Zukunft die Lösung der zugehörigen Wärmeleitungsgleichung das ist dann die Temperatur zurzeit des am Ort x also sie können mit dieser Form ausrechnen wenn Sie genau wissen zurzeit 0 ist die Dame Leid Verteilung so dann liefert in diesem der Gral der Wärmeverteilung zu zeitig also dahinter steckt natürlich Modellplan Modell der Wärmeleitung über das kann man dann diskutieren wir denn der steht die sogenannte Wärmeleitungsgleichung mit partielle Differentialgleichung aber normal mal glaube also mal ab er aber bereit ist zu sagen man akzeptiert die Wärmeleitungsgleichung als gut genug in Näherung für dieses natürliche Phänomene der Wärmeleitung dann ist das die entsprechenden ist wobei hier natürlich viele Annahmen drinstecken also zum Beispiel was dessen homogener trat sein also der Wärme Leitkultur ziehen muss natürlich ortsunabhängig und Zeit unabhängig sein 3 x unabhängigem und zeitunabhängigen wärmen Leitkurse selten die Zeilen Abhängigkeit schreibe ich jetzt mal nicht hin wenn Material zu finden das dessen der Müller Konzerte von der Zeit abhängt ist auch nicht so einfach vom Ort kriegt man leicht sehen und von der Temperatur geht noch leichter aber vom von der Zeit das Messer tja und das meine ich damit dass das habe ich schon gesagt das Ganze ist eben die Lösung der sogenannten Wärmeleitungsgleichung diese Funktion von T X löst die folgende Gleichung die eben ein sehr erfolgreiches Modell für Wärme für jede Form von die Fusion ist es gilt die Zeit Ableitung von von 2 Jahren ab können Sie Patient 18 die hier differenzieren partielle nach Excel sie Wärmeleitungsgleichung sagt die Funktion die Wärme Verteilung nach der Zeit t beschreibt er für die Gleichung dass die Zeit Ableitung das selbe ist wie die doppelte Orts Ableitung also die Quadratur noch Xtra Dauer und dann brauche zur Begleichung der Anfangsbedingungen von 0 und Text wieso nur von X an das heißt nur dass zum Zeitpunkt 0 die Wärmeverteilung 0 vorliegt wenn sie jetzt die Zeit laufen lassen dann sagte Wärmeleitungsgleichung wird die Lösung wird die Wärme Verteilung zu jedem Zeitpunkt t diese gleich dafür ernst also nachzuweisen dass das was ich hier behauptet habe auf der Mittel Folie stehen müsste man jetzt was tun man müsste sich diese Funktion von Text dieses doppelt uneinig Integralhelm einmal nach Tegel fahren ihren zweimal nach X differenzieren und wenn sie das tun wenn sie feststellen dass kommt es sehr oft da Sie sehen auch da kann man wieder auf das Problem denn es ist ein Parameter Integrale integralen bestätigen ihren extrem müssen wir nach diesen Parametern differenziert das ist die sogenannte Wärmeleitungsgleichung und die Wärmeleitungsgleichung behaupte ich um die wird in im Studium von Ihnen niemand herumkommen ist eine der ganz fundamental Differentialgleichungen die an vielen vielen Stellen auftauchen wie gesagt es ich auch Wärme beschränkt man immer irgendwas die fundiert doch die gleichen auch üblicherweise mehrdimensionalen Setting natürlich das der einfachste Fall hier mit dem eindimensional wächst die und diese Funktion die glaubte die DSL wer dies deswegen toll wenn sie die kennen wenn Sie die daraus glaube 11. die Funktion die haben dann können Sie für jede beliebige anfangs Temperaturverteilung ausrechnen wie sie die Temperaturverteilung 2 Wochen aus das ist das das wenn ich diese Funktion fundamental für diese Gleichungen des findet man sie auch die fundamentale Lösung von dieser Gleichung hat der Begriff taucht sicher auf einer Matte 3 nochmal auf dann auf dem
ich dem will ich hier nur einmal erwähnen die fundamental gesunde Wärmeleitungsgleichung immer wenn man die immer das Gerhard kann vorausgesetzt man kann das egal aus welchen jede Temperaturverteilung Nachricht seines da muss man seit nunmehr machen also einen Computer so was man denn den ja auch Sie ist typische Fragestellungen selber mit den Sie gerade sind wie differenziert ist diese so eine X oder andere Frage wie integrier- ist war das war im 1. Beispiel und um die beiden Fragen wie ich mich jetzt gebracht wir waren mit den übersichtlicheren an das ist das integrieren also Integration von Parametern integralen das Parlament integrales sollen die gerade das will ich jetzt wieder Paar wieder integrieren dass sie wie jetzt diese Funktion G von X nochmal integrieren dazu brauche ich jetzt 2 Integration sind dabei alle A B C aus er aber das ist wie in dem Beispiel nur dann die Funktion die es illegal von 1 bis 2 also aber 1 wieder 2 YEO XY mit dem wirklich von 10 ist die auch die zweite Variante gut dann war die Voraussetzung dass man auch alles schön integrieren kann also sind zum einen muss für jedes x aus die die Abbildung gegen y dass er von XY zuordnet und zum zweiten für jedes y a b die Funktion die dem X das er von XY zur wird die müssen alle stückweise stetig sein das ist nur die Voraussetzungen damit die integrale sehen machen also im Normalfall wird ihre Funktion f einfach gut durchgängig tätig sein und dann ist alles gut da in der es tätig ist können Sie diese Voraussetzung hier ignorieren eines insbesondere stückweise stetige zur dann gilt war was wollen wir machen wollen ausreichendes integral von 10 bis des über unsere Funktion G von X vorbei das G gegeben ist und die gerade sehr ist die dass dies die gehen weisen die GAL von A bis D R von XY der Erzähler mehr und das ganze Text und das ist es also das integral von war mit den Tiger so wie es jetzt dasteht ist es für sie kein Problem die wird zunächst das F noch Y und dann das was rauskommt X wie gesagt Mensdorff darstellt ist das durch wäre das wegen dieses es ist sehr praktisch das unter diesen Minimalvoraussetzung das alles stückweise stetig ist also alle 1 integrale existieren es vollkommen wurscht ist welcher Reihenfolge sie integrieren was man machen darf ist man darf dieses integral dieses doppelte integral in den dass es zunächst nur zu einer X integriert wird so vertauschen dass man erst weg sondern auch y integriert als sie können daraus machen ein integral von A bis G übers integral von Dziwisz D f von x y und jetzt DX selbst ab also das heißt Integration zu Reihenfolge da vertauscht ob und jetzt können Sie sagen ja gut 1. nur für und 2. so berauschend ist es doch gar nicht nein sage ich bei beiden O seien Sie nicht so schnell dabei wofür zeige ich Ihnen gleich und so toll ist das gar nicht es nicht wirklich stichhaltig ist nämlich nicht so klar dass es geht was hier passiert ist Manfred Tauss 2 Krenz-Prozess ist nun soll integrales Hermann Grenzwert wer das integral wir sind egal bisschen Grenze also ist mehr ist Prinzip sie immer feinere unendliche Summe wenn Sie beide vertauschen 2 Grenzwerte und zweitens werde davon im Allgemeinen nicht vertauscht kommt Unfug hat aber im oder sind echt Minimalvoraussetzung dem eigentlich immer gegeben sind wir jeweils die beiden Funktionen sind das X festhalten die Funktion y oder wenn Sie das jetzt besser Übung zunächst stückweise stetig dann haben sie sofort weitaus Bakay tätig war so zeigen sie noch mal und das tolle ist meist am mehr Freiheit gibt mitunter der
Unterschied ist zwischen einem integral dass man an dem man graue Haare Krieg und dass man sich aus kriegt und einen das in 3 Zeilen auflösbar ist also Beispiel 19 4 er nehmen wir unser Beispiel oder zumindest fast unser Beispiel von vorhin integral von 0 bis 2 y auch XY den es wird und zur jetzt können Sie natürlich bitte ja also oder sage ich erst mal was wir haben wollen und was sich ausrechnen will es ist integral von 0 bis 1 über die von XTX also das integral von 0 bis 1 übers das integral von 0 bis 2 YEO XY der y Text wer sich haben bestellen Sie natürlich einmal anfangen zu rechnen und dieses innere integral ausnützen y Ibsen XY integrieren es ist nicht so einer und integrieren es nicht so nett weil davon und schon steht muss meist Patienten vigation machen wird wahrscheinlich gehen das ist jetzt kein besonders hässliches Beispiel aber mein Vorschlag ist sie können sich schon mal ganze Menge Arbeit sparen wenn sie ausnutzen dass man umdrehen da mehr 19 3 sagt man die funktioniert nicht nur die fördert nicht nur stetig dieser beliebig oft differenzierbar wir dürfen Sie sowie vertauschen wie sie wollen die sind egal es das selbe wenn sie umdrehen da sind die von 0 bis 2 und von 0 bis 1 y R x y x B x T Y kann wie indications Reihenfolge das hat den großen Vorteil dass sie jetzt hier in der in diesen in die gerade nach X integriert das heißt dieses y hier ist mir konstanter Parameter der kann dabei integral von 0 bis 2 y integral von 0 bis 1 ihrer auch XY DX der und das in die gerade so deutlich freundlicher das ist jetzt ein von der Sorte bestimmter Stammfunktion bei Scharfsinn sehen und kreatives raten ja die Stammfunktion ist wieder irgendwas mit der vom EU-Recht 17 Uhr wie bitte also integral von 0 bis 2 y bleibt stehen und jetzt kriegen wir hier irgendwas von der Form ihrer XY wir das ableiten nach x entspringt und y nach vorne also müssen wir es wieder korrigieren ist 1 durch YEO XY in den Grenzen von X gleich 0 bis 6 gleich 1 spätestens hierbei war mit der gerade wird es sehr sinnvoll vielleicht ein die in den Grenzen von Strichen nicht nur 3 bis 5 dran zu schreiben sondern daran zu schreiben welche Variable von 3 bis 5 1 also X gleich 0 bis X gleich eigensinnig nicht nur 0 bis 1 2 wenn sie nur wenn Sie hier 0 0 bis 1 schreiben tja und dann rufen die kommt es an und sagen komm lasse uns also wohl erstmal wohingegen macht sagt eine Mathe-Hausaufgaben später und sie kommen 3 Stunden später zurück ach muss man mal überlegen was sagen meine Fahne war das jetzt 14 an 0 einsetzen oder X oder na also es lohnt sich sehr so das es über die Grenzen ein integral von 0 bis 2 die beiden die beiden Ypsilons stürzte sie auch noch freundlich aus setzen Sie X gleich alles kriegen Sie Ihre Wurzeln an setzen Sie es gleich 0 kriegen Sie über auch 0 bis 1 was was übrig bleibt bis in die gratis freundlicher nicht sein könnte Stammfunktion davon dass er und damit das y meinetwegen jetzt nur bis 2 Plätze Sklar Overmans einsetzen muss sind Sie obere Grenze ein gibt Quadrat minus 2 minus 1 plus 0 also Quadrat minus 3 mich hat sie ein rechnen Sie es mal umgekehrt ja also was haben Sie denn die gerade nicht seinem drängeln sie so aus wie es da steht geht auch so kommt doch hoffentlich das selber aus das sollte dann aber Sie werden sehen welchen Aufwand es ungleich höher da das ist der Vorteile davon dass man vertauschen da nein nicht das Gleiche noch mit dem zweiten Beispiel und Sorge aus Glocke machen also wir schauen uns wieder die Funktion an von Text bis 1 durch Wurzel Philippi T integral von minus unendlich bis dann endlich hoch aus betragen Csendes y Quadrate ich 4 E wo nur von y der an mehr und was wir jetzt haben wir ist das integral von minus unendlich bis dann endlich von diesem was passiert dann setzen waren das integral von minus nämlich beson- endlich übers integral von minus nämlich besonderen nicht 1 durch Wurzel 4 Kizil er Wochenminus Betrag X 1 y quadratisch 4 c nur von Y der y Text vor mehr wenn wir jetzt weiter rechnen wollen sehen Sie das Problem ist und stören warum wir so nur nicht kenne wenn ihm jetzt konkret so 0 gehen können Sie so weiter zu rechnen aber das geht allen und 0 was sagen Sie das und nur dich haben können Sie mit dem hinteren innere die gar nicht viel einfacher auch hier ist der Bote trägt Tausend Sie die Integrale dann steht indes 6 integral und dass diese Zahl und 0 von y ist das Innere integral einfach nur eine Zahl konstant können Sie das im Inneren integral aussieht ja wir tauschen die Integrale das sieht man vor noch nicht in die greifen müssen endlich bis in die greifen das unendlich 1 durch Wurzel 4 Kizele auf minus X minus y Quadrate ich 4 Termine und nur von y aber jetzt X wird und dass es wieder die regellose 19 3 solange alles schön integrierbar bleibt lang alles stetig ist dürfen Sie denn die Grand vertauscht jetzt haben wir den gleichen Vorteil wie freuen diese so komische und nur von y von dem wir nichts wissen ist für das X integral Konstante können wir also vor sind dicker als mehr also kriegen wir
hier nein die einst Nforce 4 PC geht bei nach ganz vorne integral von indessen endlich bis dann endlich und 0 von y integral von minus endlich bis dann endlich auch Minusbetrag des y quadratisch 4 T an der Absender DX ab das ja das es können uns da sind egal mir einfach ich meinen die gerade ohne Substitution dann sieht man dass so was passiert nämlich diesen ganzen komischen integren da also X minus y durch Wurzel 2 Ziele denn wenn ich mal es dann ist die erst nach dem y 1 durch Wurzel 2 also die es vielleicht 1 durch Wurzel zweitätige wer DY der musste X Text sah also unseres einsetzen kriegen wir 1 durch Wurzel 4 Titel integral von nämlich bis dann endlich und nur von y man das X von minus wenn nicht müssen endlich variiert jetzt variiert auch dieses S Formen das unendlich bis dann endlich da passiert nix 8 die die ja Funktion wird freundlich ja er hoch Minus es halten bleibt dann übrig ab und wir kriegen noch das DX würden Wurzel 2 Ziele das das können Sie dann noch Wurzel und Wurzel zwar einkürzen und was übrig bleibt die ist integral von endlich besann ähnliche fehlt immer noch das der Zunahme ist ja wenn das jetzt passiert ist für diese Substitution das ist eine wunderbare Magie da oben halten den Parameter integralen aus noch eine integrale der bisschen voneinander getrennt die kriegen den wir zumindest das Tor nur um 0 von Deutschland schon mal aus dem Inneren integral geschoben haben und wenn Sie sich das integral was jetzt dasteht anschauen stellen Sie fest den Brennstäben integralen S in diesem ganzen die gerade auch dort den y mehr auf aus Sicht der integralen y man in den im drin nicht also dieses ganze integralen ist das können Sie jetzt als Konstante vor das Integrals hin und her das ganze aufgelösten Produkt von zweien die gerade also diesen ganzen Schlomi mir denn ich von Y R der geht hier nach vorne so von den Dingen bleibt noch 1 durch Wurzel 2 P stehen 1 durch Wurzel 2 P integral er hoch Minus es Quartal WDR ist integral von den das man nicht diesen endlich und 0 von Y ab so und das ganze sich nur in 2 integralen zerfallen sondern dieses integral kennt man auch noch ab genau nicht mehr sehen da ja noch zeigen weil man es kennt zweite Möglichkeit ist habe ich vorhin schon gesagt die Sieger aus Funktion er hoch es Quadrat halbe durch Worte 2 P das ist die Dichte der Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte wenn sie wahrscheinlich festigte Form des nämlich bisher nicht durch dann kommt die Gesamtwahrscheinlichkeit aus und die Gesamtwahrscheinlichkeit ist weil die Wahrscheinlichkeitstheorie die üblicherweise 1 aber wie gesagt in Fehler weiteren Verlauf der Vorlesung oder spätestens morgen wenn ich ihn noch zeigen dass der einstmals kommt das heißt was herauskam ist ein was die gerade von minus nämlich bis endlich 0 von Y wird tagt na gut Zeit ich ganz furchtbar Pflege rechnen aber es dieses Ding zeigt 2 Dinge 1. dass durch das die ganze Rechnung wurde erst möglich dadurch dass die Tiger über 1000 an und zweitens lohnt es jetzt noch mal drauf zu gucken was da steht da das was da steht hat eine ganz anschauliche physikalische Interpretation was da steht ist total sind vor was habe ich denn hier ausgerechnet ich habe
ausgerechnet das integral von müssen endlich müssen endlich über die Wärme die Temperatur zum Zeitpunkt t an der Stelle x wenn ich die Temperatur über diesen ganzen beraten auf integrieren dann ist das was ich damit ausrechne in gewisser Weise ein Maß für die gesamte Wärmeenergie die diesen Draht drinsteckt haben Sie eine so dann die gesamte Wärme in Wärme aus diesen Draht drinsteht in Dietl Temperaturen über den ganzen Karton Draht durch Sommers steht sie am Ende ja man integriert über den ganzen Draht und 0 die Temperaturverteilung zurzeit 0 was wir nachgerechnet haben sie mit Haltung denn dort gesamt Wärme der die zum Zeitpunkt 0 gleich gesamt werden Energie zum Zeitpunkt t nur in dem Sinne ist diese Wärmeleitungsgleichung gutes Modell Weise zumindest mit der die zusammenpassen die gesamte Energie dann die den dem diesen Wärme die Fusionsprozess ist bleibt konstant also was wir ausgerechnet haben ist ab Energieerhaltung der Wärmeenergie in diesen einfachen Modell ja also die Fusion von wärmenden Draht der durch keinerlei äußere Einwirkungen beeinflusst ist und so weiter an die gut so viel zum Thema im Moment zum Thema Integration von Parameter integralen 2. Thema Differenziation von Paar mit der ab also 19 5 danke Situation die gerade eben haben Sie den Parameter integral haben dadurch die diese Funktion gehen und jetzt interessieren uns für die Ableitung von die also ja Funktion f in 2 Variablen und integrieren eine variable von A bis D weg also comma 2 Zahlen a und b es müssen das wieder so machen dass das bei mir der integral Sinn macht also für jedes x in ABM die Funktion die dem y dass er von XY zu stückweise stetig das ist wieder wie gesagt nur die sich als Voraussetzung dass alle integral diesen schreibe auch Sinn machen sondern sie mit stetigen Funktion hantieren als wir nichts ist ist alles okay so dann existiert es war integral also wir setzen die Funktion g von X wie die ganze Zeit als integral A des P F von X Y wird die Frage ist was ist die Abmeldung von gehen 1. Möglichkeit natürlich wie freuen wenn sie dieses damit integral explizit ausrechnen können wir welches es ausgeben Funktion X ausweiten ab und sind fertig Ja da einfach vor wenn es so ist wie vorher das integrales Folge von netter man kann sich ausrechnen dann könnte man ja noch auf die Idee kommen na ja vielleicht ist es ja okay wenn ich wieder die Reihenfolge vertauscht werde so ok wenn sie 1. 11 differenzieren und dann in die Quere sollte vorsichtig sein weil auch hier werden wie der Grenz- Prozesse vertauschte bis Integralisten Grenzwertes bleiben müssen Grenzwert wenn ich die Reihenfolge vertauschen können Dinge schief gehen aber auch hier ist die die gute Nachricht man darauf eigentlich fast immer vertauschen auch hier ist die Faustregel sie dürfen immer dann vertauschen wenn das was nahm wir tauschen steht auch Sinn machen also Maß braucht man dafür dass das Sinn macht nein es muss zumindest mal möglich sein dass es zu differenzieren also 11 sollte bitte schön nach dem X differenzierbar sein das heißt wenn jetzt F hat mehrere Variablen also stetig partiell differenzieren und 11 nachdem es stetig weiter differenzierbar ist dann ist auch das G differenzierbar da muss ich jetzt nicht dazu sagen ob die total oder partielle oder sonst was mal gehst ist eine Funktion in einer Variablen also geht differenzierbar und Sie können tatsächlich die Ableitung von den G ausrechnen dem sie die Reihenfolge vertauschen also Sie nehmen zur 1. Elf und Leidens nach x 8. partielle Ableitung nach x und dann sind integrieren Sie die Ableitung von f ja also auch hier ein Herz solange das was rauskommt Sinn macht dürfen sie die Integration und
Differenziation vertauschen also dass man hier tut es Differenziation und Integration dürfen in diesem Fall vertauscht 2 und das ist zum Beispiel wenn es um diesen das Kärntner geht auch ganz praktisch als Sieger aus Glocke wenn man nämlich dieses von Text da differenzieren wir heißt das man kann die Klaus Glocke und dem integral differenzieren und danach integrieren und auf die Weise nachrechnen dass das dass diese müssen der Wärmeleitungsgleichung wirklich müssen der Wärmeleitungsgleichung ist was also die Zeit Ableitung gleich zweimal als er ist auch hier zum Beispiel oder genau gesagt wir schauen uns Mitterrands folgende Parameter integral an die Funktion die es gegeben des integral von 1 bis 2 er XY in er auch y durch y die war an und was interessiert es Gespräch an der Stelle wenn ich auch wieder gern den Aufruf los wir meinen meinte es seien Sie vorsichtig aber was sie setzte sich hin setzte sich nicht hin das meinetwegen machen könnte es zu versuchen will das integral auszurechnen und dann X zu differenzieren oder auch der Stelle setzte sich nicht hin und probieren das weil sie frustrieren Nachmittag das Ding lässt sich so nicht in die Quere das denke ich zumindest mal da steckt man die geraten integral Exponentialfunktion drin die Funktion ihr und sie dann durch y ist auch eine von diesen Sauereien die Stammfunktion haben die man aber nicht schreiben kann period und dies damit verwursten es kann sein dass es mit dem andern noch geht aber es ist auf jeden Fall kein schönes in die Kraft trotzdem natürlich die Ableitung von der würden Funktion haben und da hilft das gerade angeschriebene Kriterium was werden wir prüfen müssen damit der vertauschen dürfen ist diese Funktion die da drinsteht partieller x differenzierbar für jedes y wir führen es zwischen 1 und 2 das heißt dieses durch y da und macht keine nach Pecs geboten wird nur so da wird nach X differenzieren ganzes können sie nur einmal X differenzierendes können sogar 387 meiner X differenziert das steht nur darum mit der er Funktionen was gibt es Schöneres als New Voigt also diese Funktion über die integriert wird unsere Funktion f von x y gleich ihr XY in dass er auch y durch y die ist ich glatt aber insbesondere stetig partielle differenzierbare Mareks also dürfen wir vertraulichen er als gründen die gleich klar werden mache ich die folgende Rechnung nur für x ungleich 0 Felix gleichen und somit sonst nicht eine Fallunterscheidung war aber wir können jetzt wurde vegan nicht ausrechnen können die Ableitung von G aus nun mal nach dem gerade vorgestellten vertauscht Resultat ist ist die Ableitung von dem G gegeben durch das in die gerade die partielle Ableitung von dem 11 also müssen diesen Ausdruck ihrer XY wie das er und dann durch y partielle nach X ableiten wenn man das macht passiert folgendes sind Sie mal das einstige y vor man sieht sehr nach X ableiten dann kriegen Sie diesen zweiten Terni Europe sie dauern denn wenn sie nicht ableiten 0 also bleibt nur der vordere übrig und der geht y Marion XY nein jetzt sehen Sie schon das Beispiel es so gemacht dass sich alles in Wohlgefallen auflöst das was am Anfang schlimmer aber dieses oder gibt es nur das durch y kürzlich jetzt genau aus und was übrig bleibt wissen integral von 1 bis 2 über ihr auch XY berichtet na gut das kann man wieder sehr einfach integrieren zumindest solange X nicht 0 ist Stammfunktion ist irgendwas von der Form ihrer XY stimmt nur nicht weil wenn es ableiten springt noch 1 x raus also brauche man einzig X der vor 1 sich X Irix y in den Grenzen Y gleich 1 bis 17 an der Zahl und sehen Sie auch warum ich x ungleich 0 haben will er weil wenn X 0 das kann ich natürlich nicht 1 x schreiben wenn X 0 ist integrieren Sie an dieser Stelle über die Funktion konstant 1 könnte man als zweiten Fall behandeln wie aber darum geht im Moment nicht aber so auch die Grenzen einsetzen setzen Sie Y gleich 2 also können wir einst durch x ja auch 2 X minus Y gleich 1 minus er auch X ja und auf die Weise Krombacher dass die strich obwohl wir das integral gar nicht bestimmen kann sondern das ewige alles oder weil die auch so gebastelt das typischer Fall von wer bauen ein Problem das zum das zur der Bau und das Beispiel sodass es perfekten Satz passt er aber das das Beispiel von nach Meldung wunderbar meldete greift die leicht zu bestimmen ist sowohl das integral selber schwierig zu bestimmen gut 2. Beispiel wird dann gleich sein die vollen verwendet der Identität des dieses integral hier 1 ist davon machen aber ein kurzes verschnauft vollziehen und dann 10 Minuten weit so ich würde
den gern mit der 2. Hälfte loslegen in der es im Wesentlichen darum geht die hier noch übrigen Lücke zu füllen ich hatte vorher behauptet dieses integral mit dem
vor Faktor 1 durch Wurzel 2 pi sei 1 und ich wir Ihnen jetzt dass das auch wirklich so ist dass ich da nicht gemogelt habe also was ich jetzt machen will ist sicher freuen verwendet integral von minus unendlich unendlich wo um minus es Quadrat halbe die gibt man ein Stichwort Zweitligist 1 bzw. was ich ihm zeigen wir das hier ist nur zu 2 P wenn Sie jetzt die 1 Wurzel 2 Pi durch Dividieren haben Sie die 1 von der so darum geht's und bevor ich das anfang der ist ein kleiner Disclaimer nötig für dieses Beispiel weil sonst nicht gleich jeder Paniklevel im Hörsaal geradezu sichtbar steigt was ich Ihnen jetzt vor für es Zauberin Parameter in die Krallen das Beispiel ist insofern ein bisschen außerhalb der Reihe weil nicht ganz die lag gleich sagen will das ist nichts was ich von ihm erwarte dass Sie das dass sie sozusagen diese Trickkiste draus drunter Spulen her sondern das ist jetzt bisschen was zum Genießen weil sonst wenn ich das nicht da vor sage dann kriegen Sie hier gleich alle Panik weil sie werden feststellen dass der sehr und intuitive Schritte der Wahl die sich nur dadurch begründen dass dann am Ende das richtige rauskommt mehr also bitte hinterher nicht die Frage wie kommt man denn da drauf aber die sie den Anschlägen sage ich Ihnen weiß ich auch nicht richtig Jacobs darauf gekommen ist ab es ist nur klar man muss sich irgendwas geniales einfallen lassen vielleicht das zur Einordnung gleich am Anfang weil die brutale Methoden tut mich ja dieses integral hier das natürlich gute 2 Wochen ohne eigentliches doppelte hässlicher aber selbst wenn Sie jetzt sagen sie den wollen das nur von 0 bis 1 ausrechnen setzen Sie wird hinter weil das ist das berühmte hoch x Quadrat Reisende ein Xtra alles muss aber nix Irix Fahrrad ist diese berühmte Funktion zwar wunderbar Stammfunktion hat man kann sie nicht in Frage period dieses integral ist schlicht weg nicht berechenbar meine ganzen man keine Potenzreihen schreiben die Stammfunktion aber man kann die Stammfunktion nicht im Vorbeigehen schreibt wenn sich irgendein Tafelwerk hier oder fragen Sie Wolfram Alfer oder was auch immer ein 1 eine Tabelle wo Integrale drin stehen damit diese sind die gerade mal auftauchen und dann steht dahinter integral Exponentialfunktion darstellbar durch folgende Potenzreihe nicht elementar die wir also mit ausrechnen ist nicht man muss sich was einfallen lassen und ich zeige Ihnen hier eine Methode wie man es zeigen kann die Zauberwelt Parameter integralen ist und wie gesagt das ist auch nicht irgendwie Banalität eine Spielerei sondern eigentlich was fundamentales was ich ihm damit zeige ist die Normalverteilung ist mir Wahrscheinlichkeitsdichte ja also da kommt wirklich 1 raus wenn sie darüber Ethik so also wie machen wir das wir brauchen 2 Hilfsfunktionen die 1. im Prinzip ein Teil von unserm integral zu integrieren von 0 bis EX die Funktion des um minus C-Quadrat halte und das ganze Ding Nemsic warten das ist die erste Zeit war wie gesagt fahren sie minimal drauf draufkommt und fragen Sie mich nicht warum weiß funktioniert die zweite Funktion der von X ist zweimal das integral von 0 bis 1 hoch minus X Quadral halbe mal 1 plus Eskorte geteilt durch 1 plus S Quadrat der S noch das und der GAL für beliebiges Exemplar zu Opfern hat 2 Funktionen wenn wir mal von beiden die Ableitung aus mehr 10. Moment als Übungsaufgabe bei die gerade also die Differenz immer Parametern egal wir differenziert unser F 11 durch von Ex was müssen wir tun mehr anwenden könnte in klugen zum Quadrat Blumen zum Quadrat leitet sich aber ist aber der Klub mal die Ableitung von glockenhell also steht ja da einmal geklungen integral von 0 bis XII auch minus C-Quadrat halbe die T und jetzt noch die innere aber mehr einer Ableitung von Klum also müssen wir dieses Wasser innerhalb der Klammer steht bei dem f nach x ableiten da kann man auf den 1. Blick drauf gucken und dann noch erinnern Sie sich offensichtlich hoffentlich einen Hauptsatz denn die gerade Differentialrechnung bei was man dir tut ist man werde die Stammfunktion wurde auf dich bereit und leide die Stammfunktion dann ab das können Sie auch gleich ganz auch bei ihr auf minus vorbehalten erhalten bleiben also dass die Ableitung mir also was jetzt noch kommt ist die Ableitung von 0 bis XI auch minus C-Quadrat halbe tätig und diese Ableitung ist einfach der in die Grand an der Stelle x also was
herauskommt ist zweimal integral von 0 bis XI auch minus C-Quadrat halbe mal diese innere Ableitung also wie hoch man war die T mal hoch minus 6 Grad hat zwar dass die Erde vom F ja wir haben ist die Abmeldung von die was müssen wir tun um dieses G zu differenzieren das das ist jetzt wieder klassisches Parameter integral auch hier probieren Sie wenn es wenig das legal auszurechnen sondern differenzieren sondern Integralzeichen also ich tritt twittern was passiert hier also ja genau so differenzieren sondern Integralzeichen wenn sie den G und damit die degree differenzieren gibt erstmal das einst durch 1 plus S Quadraten Konstante das vorziehen also die 2 vom gehen zweimal integral von 0 bis 1 1 durch 1 plus S Quadrates eine Konstante für die X Differenziation und dann müssen Sie mir X differenzieren den Ausdruck er hoch minus X Quadrat Halle 1 plus S Quadraten das habe ich irgendwo minus verschlungen wird wir schon vorher okay dann nur wenn man so damit das genau funktioniert muss man genau arbeiten
also das Diatschin minus kann ja und
wenn es geht dann minus hat dann hat sie auch zur jetzt müssen wir differenzieren ja also die 200 stehen integral von 0 bis 1 1 durch 1 plus es qua wenn Sie da drin Ismaiks differenzieren dann kriegen wir wieder zuerst dass die Funktion sich erhält also kriegen wir zunächst mal wie hoch minus X Quadrate halbe man 1 plus S Quartal und dann innere Ableitung von oben das ist die Abwägung vom Windows-Explorer allgemein 1 plus S Quadrat 1 besetzt war kommt mal gleich als Faktor runter und Ableitung von minus X gerade ist minus 6 an also das minus macht das Minus hier vorne weg Kopp bleibt nix übrig und Pleiten 1 plus es gerade ab somit sieht man da kann man einiges aufräumen das ist zwar als integral von 0 bis 1 die 1 plus erst mal war dazu sich gegenseitig weg und wir kriegen ich teile diese ihre funktioniere aufgeben er hoch minus X Quadrat halbe mal sehr hoch minus X Quadrat S Quadrat halbe X X Text warum ist es gut weil man jetzt schon mal einiges Zeug aus dem integral ausräumen kann das integral die gilt es X ist für das integral eine konstante das heißt dieser Ausdruck ihren der Kammer direkt vors integral die zweimal er hoch minus X Konrad halbe integral von 0 bis 1 wie hoch minus X Quadrat des Quadrat halt XTS warum er sich des Xtra so komisch drin stehen und Sie es nicht auch aus weil ich jetzt substituieren es substituieren T gleich 6 Mainz dann sieht jeder Small S substituieren dann ist die IT gleich x-mal die erst das passt hier gut und man den Exponenten von der er Funktion wird aus dem x Konrad es Quadrat einfach Antiquar also steht hier die zweimal die Woche minus X Quartal will Vorsicht an den Grenzen müssen wir aufpassen wenn das es läuft von 0 bis 1 dann läuft das Telefon 0 bis X integral von 0 bis X er hoch Minus C-Quadrat halte und es gibt Indizien und dann noch stundenlang gerechnet und die Frage ist Wort vor und wir laden Sie ein schauen Sie mal so'n bisschen zurück und was finden wir dann vergleichen Sie mal die 1. Zeile auf dieser Folie mit den letzten die 1. F spricht letztes Gespräch und wenn sie doch noch so vage vergleichen Sie werden hoffentlich kein Unterschied fiel der das heißt diese beiden Funktionen die wird am Anfang die geschrieben haben haben Sie selber ableiten also ist Gestrigkeit erst und so verschieden diese Funktion die 11 also auswählen für den sich gar nicht so arg unterscheiden sie können dünne konstant unterscheiden also dieselbe aber schlug also also gibt zur Konstante c so dass die Funktion g das Service für die Funktion f mussten sie nur wissen was ist Sex aber wenn man mal so weit ist es meistens alles gut weil wie können Sie das 10 Sitze sie wird ein Jahr gibt es ein Werk an dem man das er vor dass die einfach bestimmen kann wer das F zum Beispiel ist zum sehr einfach zu bestimmen an der Stelle 0 wenn sie nämlich er von neue dann sind integral von 0 bis 0 das kann man zum Glück ausrechnen egal wie doof dass da drin aussieht ja ein integral von 0 bis 0 es immer 0 also wir bestimmt dadurch das wären F und G x 0 einsetzen da war er von 0 es offensichtlich neue und was ist mit G von 0 da muss man eine Zeile rechnen die von 0 bis minus 2 Mal als sind von 0 bis 1 1 durch 1 plus S mal was passiert mit dem Rest wer er auch nur bis 1 das was zur das integral kann man freundlicherweise ausrechnen warum bei mir die Stammfunktion von einst durch 1 plus erst kennt das ist nicht der Akkus Tannen also was hier steht ist minus 2 Mal der Augusttagen ist von es von 0 bis es gleich 1 das ist minus 2 Mal der Agusta Jens von 1 minus sagen von 0 oder August von 0 bis 0 das muss man nur wissen was da Agusta ganz von einst ist was ist da es dann ganz von einst das ist die Zahl die man den Tangens einsetzen muss das einst rauskommen keine Sinus durch große Lust war ist also sinnlos durch Kurse muss 1 das ist die Stelle wurde sie muss gleich dem Kosovo ist wenn Sie das so großes gleich sind eines der 1 das ist mir das so wobei der 1 bewusst 2 Seiten so noch überlegen welche Stelle sind dann beide als ich musste Mal und das ist wirklich Viertel der Fall also Augusttagen von einst ist tief Vierteln was herauskommt ist minus die halbe das ja also haben wir das C CS minus Peal das heißt unsere Funktion gehen ist unsere Funktion 11 Mindestgehalt wenn das Ziel der nun ausgerechnet aber so konstant ist ist wahr dass er zwar es man natürlich aber nur irgendwas über diese Funktion gehen es rausgefunden und noch nicht über unser eigentliches ende gar das interessiert was hat das jetzt alles damit zu tun dazu müssen wir ein bisschen was sammeln nur in diesen F und G tauchen über also Integrale wo man des X halt auf Vorbehalte werden es wird nicht bis oder endlich in die gewährt und das alles noch nicht so richtig also was uns eigentlich interessiert es aber mit die werden was wir haben wollen was uns interessiert in die greifendes nämlich bis dann endlich er auch man dass es Quadrat Heide Tetzner das von waren und das soll gefälligst nur zu zweit hieß wir denn diese Funktion bei der dieser Ausdruck mit dem F zusammen ab 1. Überlegung ist die Funktion des Jungen das ist Wahrheit ist gerade am wenn Sie statt es minus es Einsätze ändert sich nix weiter Fitness also können Sie die sind die gerade auch ausrechnen den sie nur von 0 bis unendlich integrieren und das dafür 2 1 1 zweimal die greifen nur bis endlich jedoch mindes- S Quadrat halbe das liegt daran dass die Funktion gerade ist nächste Überlegungen er die Stätten und einige sind legal wie ist das zu verstehen dass es zu bestehen als zweimal der Grenzwert X gegen unendlich von Ihnen die gerade von 0 bis X wo man das erst vor halbe ist ja genau so und jetzt sieht man vielleicht schon eher was das mit dem 11 zu tun haben integral von 0 bis XI ohne dass es gerade halbe S alles ist so fast unser 11 bis auf das Quadrat weil das ist die Wurzel von 11 also was da steht ist es ist zweimal wird jetzt also es zweimal der Linie 6 gehen oder nicht von der Wurzel von X wozu von F von X ist dieses integral oder den Limes endlich und 2 Mal also wird das
ist gleich zweimal den das X gegen unendlich von Wurzel 11 also das sind egal das besuchen denn wer den besuchen können wir bestimmen als Grenzwert X gegen endlich von der Worte von und dann noch mal 2 es gut das doch schon mal gut zu wissen dass man nur wissen was er von x 2 F von X ist mittlerweile verschwunden Obst ist und das integral höher wesentlichen jedes Quadrat das Quadrat von diesen integralen auch das integral kann man sich ausrechnen weil das die wie der Erotik Art Zimmer also eigentlich keinen Schritt weiter nächste beobachtet ja wie gesagt ich sage nicht dass da selber drauf kommen müsse nehmen Sie sich irren positives bitte dann ist immer der Funktion oberhalb der den geheilt werden könne was ist es was ich hier verwende das ist die Funktion und das ist die Funktion Quatsch die Funktion die durch 1 hat er schon Steigung 1 sieht so aus vor also er auch C immer größer gleichziehen für große T stimmts noch da mehr so das heißt man ist um Dreh er Wochenminus T ist immer kleiner gleich als durch die so damit kriegen Sie folgendes der Betrag von dem geht es immer wieder bei den G gehen aber nur stehen ja man sieht also um die das Gespräch nur wenn sich das denn nach DX weg dann haben so das die so war es also meinen ist es es geht es zweimal das integral von 0 bis 1 m hoch minus X Konrad halbe mal 1 plus S Quadrat geteilt durch 1 plus Rechnung tja wenn Sie sich anschauen das mit dem Betrag aber ich ernst zu nehmen denn die gern von dem integrales durchgängig positiv wenn Yvonne soll nur positiv als dass es gerade bei nur positive Zahlen integriert so dass die gerade positiv Mittag kann sie einfach weglassen ist also zweimal sind die gerade von 0 bis 1 wo minus X Quadrat Haldeman 1 plus S Quadrat geteilt durch 1 plus ist Beck so das mache ich größer in dem nicht diese er ins hier verwende ja ich habe hier wenn Sie als die Xtra Heidemann 1 plus ist vorüber ja also dem sie als Xtra Teilnehmern 1 plus ist Quadrat und wir werden Sie das da oben dann kriegen wir das Ganze wird größer als zweimal sind gerade von 0 bis 1 der Funktion wird durch 1 durch dieses Systeme dominiert also kriegen wir hier einst durch das T Quadrat 1 plus S Quadrat im Jänner stand schon 1 plus S Quadrat also sich in 1 plus S Quadratgrad so man gewissen aufräumen 2 durch mal ist 4 für die einzig X Quadrat Calmfors integral integral von 0 bis 1 über 1 durch 1 plus S Quadrat Quadrat ja auch kein schönes integral hinten mehr ist ja zum Glück völlig wurscht das ist kein schönes indicates wichtig ist dass ist mir die gerade so dass wir Zahl auskommen was mir völlig egal wie die Zahl der welche Zahl da rauskommen und deswegen bestätigt das Ganze dann Buchstaben ob ob besonders was nennen wenn das Gamma oder irgendwie ist mir völlig wurscht ist mit Zahl die war nicht weil das steht ist 4 Gamer durchwegs Quadrat so was haben wir jetzt wir wissen die Funktion des oder der Betrag von G mehr des immer positiv und andererseits immer kleiner gleich diese Zahl 4 Gamer durch Xtra was passiert also wenn Sie jetzt nächsten unehrlich schicken wenn Sie das nächste Mal an die Schäden die das er gegen 0 ja was heißt das können Sie uns endlich sie das heißt der Grenzwert nächste Woche endlich von ihrem G der ist 0 ja sehr nichts das geht immer zwischen 0 und was was gegen 0 gehen also muss auch die warum ist es toll wenn aber ganz viel gerechnet und jetzt kommt der Moment wo plötzlich alles zusammenpasst was wir eigentlich ausrechnen wollen ist diese sind gerade in mehr gesehen die sind die gerade unsere Funktion f zusammen wir kriegen das integral als den wesentlichen 1. Liebe Sex gegen von Watson Forderung zurück denn das kann man schlecht ausrechnen aber werden gesehen unsere Funktion f das ist eigentlich im Prinzip das gleiche wie die Funktion geht es auch würde Konstante den Grenzwert von G damals aber ausgerechnet also kann auch den ganzen F ausreicht wird so damit kriegen wir alles zusammen die wir gesehen ist 11 minus P halbe na da daraus sofort den Grenzwert von 11 also X gegen unendlich F von X der SP halbe so und das wir eigentlich haben wollten war integral von minus nämlich Sonne endlich ihr auch minus es Quadrat Heime der da haben wir gesehen dass es zweimal und der Grenzwert X gegen unendlich Wurzel von X stand der ab wir wissen dass der Grenzwert von f ist dann wissen wir auch was der Grenzwert von Wurzel 11 ist nämlich Watson Osby halbe kürzen Sie noch eine Wurzel 2 und alles ist erledigt kann von hinten dran durch die Brust ins Auge und durch O wieder rein ja sie gesagt dass sie davon ist nicht dass ich ihnen jetzt morgen Übungsaufgabe geht machen sie Sonne Herleitung selber sondern dass sie das zu zeigen diese ganzen so liegen diese Partie die die durch die entstehende diese Barmittel Integrale sind mächtig war außerdem denke ich ist es schön dass mal gesehen zu haben was ich bin sehr sehr sicher also meine ich denke für einige von ihnen da viele von ihnen haben in der Schule den Normalverteilung sticht die gesehen und man hat denn auch erzählt er kommt 1 aus wenn sie integrieren aber das können wir hier nicht so genau begründen und ich denke es auch schön dass mal gesehen zwar aber sie sehen auch so ganz banal ist es nicht was Mode Grund warum die Lehrer der Schule sagen dass 1 bei es gibt nicht viel einfacher als genommen wissen einfach Herleitung aber auch nicht viel einfacher und ohne mehrdimensionaler ist kenne ich keinen ist ganz witzig ja das ist eine rein eindimensionale Frage es gehen wenn die gerade aus allen aber jede erleiden diese Formel die ich kenne benutzt irgendwo mal eine Funktionen 2 war ja wenn wie scheint mir diese Umweg zu brauchen statt gut das war sozusagen Parameter integralen Teil 1 oder was heißt jetzt kommt halt einfach wenn man was richtig gut kann kann man immer noch mal ein aufdrehen wir können jetzt damit gerade noch mit andern Sauereien kombiniert und das Ganze habe ich nein immer unter die Überschrift variable Integrations- Grenze geparkt wesentlichen wenn ich Ihnen hier jetzt auch nur noch ein Beispiel vorrechnen an den aber eine allgemeine Methode klar werden solle wie man an solche Probleme 1 comma decimal 3 angeht wie sie jetzt schreibe und auch das im Problemfall denn ich relativ sicher bin in der ein oder anderen Form werden die wenn weglaufen wenn so
was meine ich mit variabel Integrations- Grenze ich schreibe Ihnen mal ausgewachsenes Parameter in siegreichen dann so 1 von der richtig essen dann Sorte also eine Funktion gehen und dies gegeben welchen integral von X plus 1 bis X Quadrat jedoch XY minus R O Y durch y wird X positiv so was ist das Neue aber auch jedes Einzelteil ist nicht neu aber die Kombis neu er im Prinzip normales Parameter integral also wenn die Creme Funktion XY das y wegbleiben Funktion X und jetzt ist er ein Schuft der gegangen aber auch noch die Integrations- Grenzen von X abhängig gemacht also es schließlich die Wahlen unterliegen sonst ganze oberen Unterfunktion und was natürlich von ihn haben will es bitte schön die Ableitung von den die die Funktion Ericsson zusammen das wird landet habe vorne schauen will war dieses schuf Teil von dem ich an ich bin ich ich aber von dem ich annehme dass es nicht elementar integrieren können also probieren wenn ich das Tiger auszurichten das dort nicht und was ich Ihnen zeigen wenn es ein Standardwerk für solche Fälle und hier passiert das Gleiche in dem Beispiel gerade eben mit der Glocke es lohnt sich manchmal auf der rein eindimensional Probleme ein Umweg durchs werden wenn mal zu und was man macht ist man hat im Prinzip lauter bekannte Probleme aber alle gleichzeitig also wenn dies Grenzen nicht von nix abhängen würden so dass wir gerade von 0 bis 1 Dinge Hanna Freund sogar dass genau dieses Beispiel handelt wissen damit der illegal kann aus weniger von 1 bis 2 Meter wenn das Ding in drinnen nicht von X abhängen würde sondern nur die Grenzen es auch nicht schlimm das ist einfach der Hauptsatz der Differential Integralrechnung nur ableiten nach der Grenze gibt Grenze einsetzt das Problem ist die kommen ja das alles gleichzeitig also was tun wir entkoppeln die Probleme erst mal wieder wir tun immer so als hätten wir diese X verschieben er als wenn das verschiedenfarbige X sozusagen wir definieren uns Funktion ich nenne sie mal habe von X U und V als integraler von O bis V über XY minus er ob y durch y der ist okay das hat jetzt gehen mit unserem Hazelton wenn es gehe von X ausrechnen wollen da müssen wir folgendes machen dem sie ihr H setzen Sie X 1 an die Stelle von schreiben Sie X plus 1 und an die Stelle von Frau schreiben sieht also H von X X plus 1 Xtra Rates die vorliegt und damit kann man die Abmeldung vom G ausrechnen wenn man die Arbeiter vom hatte das ist die ist ja sozusagen die Verkettung von H mit dieser Funktion X geht nach X ist das einzig Squadra das können Sie mir denn man seine Ketten ziehen die Ableitung von gehen ist dann der werden vom habe der Guardian vom Haare an der Stelle X X plus 1 x Quartal mal die innere Ableitung also die Ableitung von X die Abwendung von X plus 1 und die Ableitung von X Quadrat schreibe es mal so ein bisschen formalen also der Guardian von in X X plus 1 x Quadra mal der Vektor 1 1 2 x habe sein wird das einfache Probleme einfache Probleme die einer Variante differenzieren umgeformt in ein dreidimensionales Problem und müssen jetzt H den gerade werden von herausrechnen und dabei X X plus einziges Quadrat einsetzen mit diesen weckt oder multipliziert und darum ist es ist einfacher den gravierenden von H auszurechnen bei wenn sie denn gerade von H ausrechnen dann müssen Sie erst mal nur noch x differenzieren das ist normales war mit der Liga dann nur noch das ist mir bleiben nach Grenze dann nur noch Frau das ist ableiten nach Kräften die greifend das können wir alles also durch diesen durch diesen Künstler Trick hier die Funktion g über diese Funktion ab H diese diesen diese eine Variable x in 3 Fahrtrichtung aufzuspalten hat man eben dieses Problem das alles mit einer vermengt ist aufgespaltet und kann sie der Ableitung 1 in Art und dann ist aber das ist war noch rechnen und wie üblich bei mehrdimensionalen wird sagt jetzt gruselig also aber anders ist die Schwierigkeit weg jetzt muss man nur noch sich gut konzentrieren was müssen wir tun für den gerade hätten von H wir müssen das H nach X nach noch vor bleiben also brauchen die partielle Ableitung von dem H nach wächst von XO und vor das ist das integral von mir dass es wieder Parameter Integration wir bedürfen in integral ableiten wird damit der Differenziation bedürfen integral ableiten weil alles schön stetig differenzierbar ist ja und selbst dann wenn das und Land Y der Erzähler das ist integralen von O bis Frau ja das ist habe vorhin schon mal ausgerechnet 1 durch y YEO XY der 10 war im letzten Beispiel schon mal oder im vorvorletzten Beispiel schon mal drin in die gerade ob es V XY die ist 8 jetzt ist dessen einfach auszurechnen das integral und sie Xtra freundlicherweise positiver ausgesetzt es gibt Einstig XE auch XY in den Grenzen Y gleich bis Y gleich vor also 1 durch X Y gleich vor einsetzen hoch Frau X minus hob X Sa das ist der 1. Eintrag von unsern gravierend H und das ist die Ableitung von dem nach dem wächst in Abhängigkeit von On vor für aber die anderen beiden diesen aber
einfacher was ist die Ableitung von Haar nach was passiert wenn sie das hat auch differenzieren wo steht das H hier dann ist es eine Ableitung von die gerade nach den gerade nach den dabei Grenze wenn das oben stehen würde denn wir haben Hauptsatz einfach hoch XO minus R wodurch da steht es unten das Winkelmann noch minus dazu ja sie müssen seine minus 1. nach oben drehen und dann können Sie es einfach Einsätzen ist er hoch über Reil wo das y stehe konnten in ja auch XO minus erhoben durch das ist Namen Hauptsatz der Differential und Integralrechnung differenziert nach Ende nach integral Grenze geht einfach setzen Sie die Variable diente integral wenn sich steht da in den in die Integration 2 Jahre ein genauso die Ableitung von HANA Frau der steht das Frau sogar gleich oben können Sie einfach so alle y durch V einsetzen auch XV man er Opfer auch Tisch war kx ja so nur noch alles zusammensetzen die Ableitung von den gehen hatten wir gesagt ist die der Guardian von dem Haar an der Stelle X X plus 1 x Quadrates steht noch jungen trügen genau auch mal den Vektor 1 1 2 x Beifall gut 1. Komponente von Unsinn gravierend Haare steht da unten 1 durch X durch x x ein er hoch still staunten wir hoch VX RV ist jetzt aber x Quadraten ja also das hier ist die Variable das ist die Variable V also vor X Quadrat X X minus R O X also auch X plus 1 so das ist die 1. Komponente des gerade hier von an der Stelle X X plus 1 x quer zweite Komponente von gerade steht da Orden die Haare nach müssen sie nun bereit wo steht X plus 1 einsetzen also minus wir auch X X X plus 1 minus in auch X plus 1 durch X plus 1 dass die zweite Komponente vom gerade ihren 3. Kommune davon gerade während des EU XV minus EUV durch Frauen über einen Frau kommt nix Quadrat also noch XX Quadrat minus IOV also minus ihre Blix Quadrat durch Frau als durch x Quadrant so soll das ist der gerade lernt und den müssen wir noch multiplizieren mit 1 1 2 x es müssen wir alles richtig zusammenfassen was die sie Stätten Skalarprodukt liegen der Vektor x stehen der Vektor also 1. Eintrag von dem gerade mal 1 plus 2. 100 x 1 plus letzter Eintrag x 2 x also 1. Eintrag mal 1 gibt 1 durch x mal eher hoch x hoch 3 das er auch x Quadrat plus 6 dann 2. Eintrag von den gravierenden man aus er auch x Quadrat wie hoch X minus auch X plus 1 durch X plus 1 plus 2 x mal den letzten Eintrag also plus 2 x mal wie hoch x hoch 3 minus O X Quadrat durch x Quartal ja es kann man hier noch einiges aufräumen zusammenfassendes erspare ich uns gerade mal und dann kommt am Ende raus ein so hoffe ich dass die Fremden hat Angst durch x 3 EU x hoch 3 minus ihre X Quadrat mal E O X plus 2 minus er auch X durch X plus 1 mir auch x Quadraten dass ich dachte wir sind eine Formel aber man kann es auf die Weise ausrichten kann also wichtiger als das Gewürge am Ende das ist die Grundidee die dahinter steckt wenn es so maximal vollgepacktes Parameter in die gerade Parameter in integral Parameter in einer der beiden die Intervall Grenzen dann lohnt sich aus diesen verschiedenen X was diesen lauter aus diesem ganzen nächsten verschiedene variabel zu machen wie Sie sie nennen es wohl Sticher Pecs und fahren nach kann natürlich auch ABC wenn die den und dann können Sie aus dem eindimensionalen Differenziation das Problem die keine Regel das Problem entkoppeln nach Exner wo noch vor einzeln differenzieren Fluss setzen sie alles wieder ein und dann kommt die Abmeldung raus das und Trick für Parameter mit Integrations- grenzt gut dann haben wir genau die damit den Sie gerade heute hinter uns gebracht das nächste Mal werden wir dann wirklich wird also wenn der da da drin einsteigen dass der Integrationsweg das Gebilde auf den wir integrieren nicht mehr Teilmenge der reellen Achse ist sie aber auch über ihren Intervall entdeckt wird von A bis B sollen wir werden uns dann anschauen was passiert wenn der Integrationsweg über den integrieren tatsächlich in Berlin das führt auf das sogenannte Kuchen integral ganz andere integral Begriff ganz andere Fragestellung dahinter das ist ein Thema für morgen Freitag ich erst mal für die Aufmerksamkeit und wenn schon schönen Tag
Variable
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Auswahlaxiom
Funktion <Mathematik>
Teilmenge
Parametersystem
Variable
Quadrat
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Abbildung <Physik>
Volumen
Zahl
Geometrie
Integral
Funktion <Mathematik>
Wärmeleitungsgleichung
Gleichungssystem
Mittelungsverfahren
Quadrat
Variable
Energie
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Menge
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Ableitung <Topologie>
Grenzwertberechnung
Wärmeleitungsgleichung
Parametersystem
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Kraft
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Ableitung <Topologie>
Zahl
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Reihe
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Division
Gradient
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Potenzreihe
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Quadrat
Stammfunktion
Exponent
Ableitung <Topologie>
Zahl
Linie
Funktion <Mathematik>
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Parametersystem
Positive Zahl
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Differentiation <Mathematik>
Kraft
Vektor
Zahl
Integral
Konstante
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Variable
Quadrat
Normalverteilung
Betrag <Mathematik>
Herleitung
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Meter
Partielle Ableitung
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Haar-Integral
Normalvektor
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Teilmenge
Einfach zusammenhängender Raum
Parametersystem
Skalarprodukt
Differential
Variable
Quadrat
Differentiation <Mathematik>
Integralrechnung
Haar-Integral
Vektor
Ableitung <Topologie>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 18: Parameterintegral
Serientitel Mathematik II für Bauwesen
Teil 18
Anzahl der Teile 24
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/36075
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2015
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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