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Vorlesung 16: Satz von Taylor und Extrema

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so dann mal herzlich Willkommen zur heutigen Vorlesung die mit dem ganz Neuen Thema loslegt nachdem in den letzten 2 Vorlesungen es darum gehen wie was bedeutet mehr Funktionen deren Variablen zu differenzieren was ist die Ableitung überhaupt und wie kann man die aber interpretieren er soll es jetzt den nächsten Schritt darum gehen der Begriff der Ableitung auszuschlachten zu nutzen anzuwenden und zu schauen was man damit anfangen kann und noch da ist da natürlich im Blick erstmal was haben wir eigentlich bei Funktionen einer Variablen gemacht mit der Ableitung der viele Dinge getan zum Beispiel über den Satz von Orbitale Grenzwerte bestimmt man kann klassische Anwendung der Ableitung Extremwerte bestimmen bestimmen das berühmte verfahren Ableitung 0 setzen unter dem Vorzeichen der zweiten Ableitung untersuchen kann das alles fußt aber im Wesentlichen auf eine ganz entscheidenden an denen der Differenziation und das war der Satz von Teller wenn sich sich noch mal zurückschauen das Siegerbild über Funktion einer Variablen werden Sie feststellen der Satz von liefert sowohl den Satz ob vital als auch die frage man extrem stellen finde das heißt die nächste entscheidende Frage ist können wir diesen Satz von Zeller das heißt die Approximation von Funktionen durch geeignete Polynome auch für Funktion in mehreren Variablen kriegen und darum geht es im nächsten Abschnitt dass der Paragraph 17 Zeller sein und damit auch Polynome in mehreren war ja also dann jetzt mehr Funktionen in n Variablen und wollen von der die Teller seiner haben oder entweder Polynom und um sich klarzumachen machen was man da eigentlich wenn es vielleicht gut nochmals erinnern wie sah das in einer Dimension aus also eine Erinnerung an den Paragraphen 13 da wir das Ganze angestaut für jene Funktionen also Funktionen von Erna Erna eine Variable ein Ergebnis eine Teller hat man immer in der Nähe eines Entwicklungs- period betrachtet also sei x 0 diese Entwicklungsstelle und dann die ich noch ein K vor das ist der gerade des der Polynoms dass wir uns anschauen wollen also der gerade bis zu dem man entwickelt und dann der Satz von Zeller gesagt dann kann man er ist in der Nähe von Links 0 durch das Karte Zelle Polynom approximieren denn man hat also er von nix Neues zunächst mal ungefähr als die Approximation durch das der Polynom er F von X Fan F von X ist ungefähr f von x 0 bloß 1. Ableitung an der Stelle x 0 X X minus 6 0 plus 2. Cern der Täter Entwicklung 2. Ableitung an der Stelle x 0 durch 2 für gut hält X X minus 6 0 Quartals plus und so weiter bis je nachdem was K ist Karte Ableitung von f an der Stelle x 0 durch K Fakultät mein x 1 x nur noch das war das Catete eine Verlängerung die Näherung beste polynomialen Währung Karten Grades und dann hat er und ich damals immer drauf hingewiesen dass tolle Ansatz von Zeller oder der Teller an dem Ergebnis von diesem Kapitel ist nicht das ist dieses Polynom geht sondern das tolle an diesen Satz von Teller ist dass man der Fehler den man machen man approximiert an werden kann und deswegen fällt ist noch ganz entscheidend dass es die das ist die Approximation aber man kriegt wenn man das erst mit der zunehmenden den Fehler ja ein nach das es die zieht Folgen als dass sie von den Massen aus Schlamm es dass der Pole nominierten Sonnenstrahl Schreibweise sonne von 0 bis keine Ableitung an der Stelle x nur durch J Fakultät mein x 1 x 0
hoch jagt das ist das der Polynom um Kater Ordnung von 11 an der Stelle x 0 das hat
so bezeichnet TKF von x 0 bloß das restliche und das restliche als Merkhilfe sieht im wesentlichen so aus als würden sie dass der Polin noch nur noch 1 Grad weiterspinnen also brauchen die K Abfluss 1. Ableitung von f geteilt durch K plus 1 für gut hält X X minus X nun auch K plus 1 und der einzige Unterschied zum Rest liegt kommt es die zum Kabel 1. Fälle Summanden ist dass sich die Karte sie erste Ableitung von f nicht alles Delligsen und auswerten sollen an dieser berühmten ominösen ständig sie und dass sie kennt man nicht exakt kann und jetzt kennen wir sonst würde man das es exakt kennen dann müsste man es nicht mehr das einzige was man von dem sie weiß es es liegt irgendwo zwischen X und XI Hmm der sagt wenn man das F durch die Täler Polynom dann macht man dabei einen Fehler und dieser Fehler ist immer ausdrückbar mit einem sie zwischen die zunächst nur durch diesen aus und damit wenn ich sie Übung auch gesehen dieser aus wo kann man dann nicht echt sagt ausrechnen aber man kann auf den Absätzen oder übers Käs Analyse machen und dann feststellen wir wissen sehr vieles allen zu so und so groß das S das selbige für eine Funktion deren Argumente nicht mehr zahlen sind sondern das X ist jetzt ein Vektor immer älter also eine Funktion im Variablen und so ein Wunder wie den Intellekt und die gute Nachricht ist es geht im Prinzip genau so die schlechte Nachricht ist wie immer wenn sie nicht mehr man sein Ableitung zu tun haben es gibt verdammt viele Ableitung des geht nicht mehr nur strich 2 comma 3 comma sondern sie können jetzt eben nach jeder Variablen partiell ableiten und das finde ich auch das heißt die Sache wird unübersichtlicher sie wird nicht konzeptionell schwieriger auch wenn das immer so aussieht bei die Vorformen so furchtbar aus im Prinzip dass er genau das gleiche ist ist nur einfach unübersichtlicher weil es viel mehr verschiedene ableiten die nicht Versuch dessen bis hin zur Satire und ich werde auch sage ich Ihnen gleich nicht mehr entscheiden als bunten der Gewöhnung und 2. Grades dann es geht natürlich auch der Volume 3. 4. 5. Grades der wird es dann richtig und übersicht dann braucht sie nicht besonders oft und sie werden wenn sie es der Wohnung 2. Grades sehen kann man ahnen lässt der Wohnung 3. Grades aus die sich jedoch nur kurz was dazu sagen aber ich westlichen schreiben sonst haben oder mit 20 Minuten allein für sich war bei mir am Anfang uns anschauen ab was ist zu tun und müssen dieses Telefon Änderung verallgemeinern auf mehrere Variablen müssen es ist nicht verallgemeinern und da gibt es ein 1. relativ offensichtlich das Problem das es zu lösen gilt nun das da der dass dieses Problem liegt in dem unscheinbaren Wort zwischen wer in er ist ziemlich klar was zwischen XX 0 bedeutet Freaks aber 2 Punkte beim ist dazwischen total logisch wenn sie jetzt hier im Raum 2 Punkte man es die Frage was ist dazwischen ist das und die beiden Punkte es dazwischen nur die Linie ist dazwischen der ganz ganz recht Ecke dazwischen bitte auf die Tür noch zwischen den beiden Punkten der Geometrie sowas reichhaltiger und dafür braucht man den so genannten Begriff der Verbindungsstrecke tatsächlich können wir dieses zwischendurch ein relativ unspektakulären Begriff ersetzen nämlich einfach wenn Sie 2 Punkte haben die Verbindungsstrecke es offensichtlich endlich ein relativ intuitive Begriff das ist einfach das gerade Stück zwischen diesen beiden Punkten frage sie schreibt man das hin er ja da die Verbindungsstrecke Verbindungsstrecke von X nach x 0 man wird erst das Bild das sollte relativ ruhig intuitiv sein sie hier Examen manche x-mal dann ist die Verbindungsstrecke die Strecke aller
Punkte jeder zwischen war also das gerade Stück die Strecke von also damit ist gemeint auch der Venus der gelegen alle die Vektoren wird dieser Geraden da ein wie sieht das in
Formen aus das ist die Menge aller x 0 plus anderen X minus x 0 wobei 0 kleiner gleich Landtag seiner gleich 1 1 es nur etwas langsamer nächsten 6 neueste Angleichung 1. gerade mit aufgrund x 0 und Richtungsvektor x 1 x 0 ist die gerade durch x 0 geht und wir sehen Sie nicht die ganze gerade Sonne sie nehmen nur die Landesliste 0 1 dann kriegen Sie genau das Verbindungsstück zwischen XXO oder wenn es anders aus multipliziert so sieht man es auch oft ist die Menge der Lander X plus 1 minus lahmender x 0 mit 0 kleiner gleich Landtag dann merke ich das das ist die Verbindungsstrecke von X nach X nicht tiefsinnig ist einfach jetzt nur das richtige Substitut für dieses Wort zwischen der o so und damit können wir uns jetzt man das in langsamen Schritten anschauen das der Polynom 1. Grades mit ist zur im Frenzy bildet sie das 1. der Wohnung 1. Grades genau wieder vorne F 1 Entwicklungsstelle plus Ableitung von F 1 Entwicklungsstelle X X minus x 0 dass die Ableitung von F 1 Entwicklungsstelle jetzt natürlich nicht mehr die Zahl sondern nach wenn das F Funktionen von nach er dessen Krater kann während also ein Vektor der Länge was insofern passt es dass es minus 6 0 auch ein Lektor der Länge ist besteht also ein wirkte der Länge man weckte der Länge dass es nicht als Skalarprodukt interpretieren und so kommt auch aus also mehr wie
gehen und der Funktion vor mit Variablen also von der nach an und damit der die Täter Polen um 1. Ordnung mit erst die machen können brauchen wir 2 Ableitung von f also wird ich setze voraus dass das Ding zweimal stetig partiell differenzierbar ist und ich hoffe dass sie sich alle aus der letzten Vorlesung dran erinnern das stetig partiell differenzierbar gut ist bei dann wissen wir dass das Ding noch total differenzierbar ist und die Ableitung ein geometrischen Sinn ergeben also zu einer stetig weiter sehr differenziert und dann brauchen wir wieder eine Stelle x in der wir dass ich es gerne hätten und ist 1 x 0 die Entwicklungsstelle immer an der wir über das etwas wissen dann sagt der Satz von Tellers geben C zwischen X und X wollte dass die Darstellung das müssen wir jetzt entsetzt ersetzen durch dann gibt es 1 sie auf der Verbindungsstrecke als dann gibt es ein XI auf der Verbindungsstrecke von X nach x 0 das ersetzt werden das zwischen so dass wieder im Prinzip die gleiche Formel wie vorher gilt sie können F von X mehr durch das der Polen und 1. Ordnung also 11 an der Stelle x 0 bloß zu alles nur die richtigen Begriffe einsetzen F Strich wird ersetzt durch den gravierenden von 11 gravierend F von X nur X X minus X nur und das was jetzt hier steht ist das älteste der Polynom 1. Grades und wenn man so was hinschreiben lohnt sich's einmal Plausibilitätscheck zu machen ob das was dasteht überhaupt Dimensions mehr sie sind nach unsere Funktion f gilt von nach er die linke Seite unsere gleich hier ist also die Zeit in der jede Zahl X ist in der im aber er von ist mir reelle Zahl hätten wir bitte schön auch gern das Rechtsmittel Zahl man auf uns glichen was steht er von x nur passt es auch eine reelle Zahl ist viel nach er ab was steht da rechts der letzte Term gerade wir es ist ein Vektor der partiellen Ableitung bisschen hat Länge X minus 6 nur Investoren mehr ist als ein Vektor der hier was die Jahreszahlen wird der Länge man Spalten wird der Länge es ist mir erlaubte Matrixmultiplikation die Matrix herauskommt ist eine 1 Kreuz 1 Matrix also eine Zahl das der stets als auch mit Sales mache von daher macht es also man sieht was diese da steht es aber natürlich noch frei ist was versteht ist Funktion es gleich der Polynom 1. Grades das klappt nur wenn die Funktion selbst schon Polynom 1. Grades ist überfällig ist auch das festlegt also wie Sie das es geht hier aus im Prinzip auch genauso wie das aus der dem eindimensionalen Fall kennen das restliche KS S also brauchen wir es westlich die 2. Ableitung von C durch 2 Fakultät X X minus 6 0 Quadrat was ist das richtige Substitut zu tun für die 2. Ableitung nahmen sie alle 2. Ableitungen dieser vor Funktion ja ausrechnen gibt es eine Kreuz Matrix die sogenannte Hessen Matrix also steckt in den Teller Polynom im restlichen wahrscheinlich irgendwo die Hessen Matrix trimmen und zwar an der Stelle die C H 2. Anwendung von 11 an dass der Denic sie durch 2 Fakultät also gut 1 Inhalt ist auch sein dass ist als ich 2 war gut hält und jetzt müssen wir noch X minus x 0 Quadrat verteilt wenn man es genau so macht ist daheim ein Mensen ansteht gegen die mitschreiben den Unfug den ich jetzt den schreibt noch nicht abschreiben könnt ich sowas hier probieren es sieht es genauso aus dem eindimensional als durch 2 und der Karte Ableitung 2. Ableitung anziehst der 7 Matrix Maliks minus x 0 Quadraten auch hier der SZ also H HS dieses festlegen muss immer noch eine Zahl werden nur bei bestimmten festnehmen mit Zahl von nix ist Alfons ließ mir Matrix X minus 6 0 Quadrat was soll das sein es mal weg doch mal Vektor macht ein ich nun Sinne von Skalarprodukt sind also gut sein comma The Skalarprodukt dann ist das Zahl zu einer Matrix die Matrix dann das ist doof das nichts Milch es wird so sind schreiben ist nicht gut was dir passiert ist dass man dem eindimensionalen sowie Reihenfolge nicht kümmern muss beim Multiplizieren der Wahl Mode beziehen ist er es kommutativ Matrixmultiplikation über alles immer von leidensfrei festgestellt habe ist nicht kommutativ eigentlich müsste man denn es werde wohl nur 2. Grades an schreiben nämlich folgendermaßen innerhalb X minus x 0 transformiert meine 1. Matrix X X minus X könnte man auch eindimensional machen was natürlich keine sauber transponiert von Phonzahl es langweilig und sollen kann man zusammenfassen der kann man hier leider nicht mehr zusammenpassen also mehrdimensionalen sieht so aus und jetzt wieder Plausibilitätscheck passt ist mir 6 0 transponierte sind sein Lektor der Länge eben dann kommt mir im Kreuz Matrix und X minus 6 lohne sich spalten wählte der Länge und wenn sie sich alle Dimensionen schreiben stellen Sie fest was rauskommt ist 1 kurz 1 Matrix als eine Zahl nahm das ist 1 Kreuz am Kreuz mal im Kreuz es gibt ein trotz 1 essen die quadratischen Form wie wir sie auch bei den Verträgen laufend hatten nur wetter transponiert mal quadratischen Matrix Mayweather gezeigt zur das ist die richtige Form des westlichen zweidimensional und ich hoffe ich habe eben auch wenn es völlig anders aussieht klar gemacht dass es im Prinzip genau das gleiche ist wie hier man muss nur aufpassen weil das zeitlich Wirkung mutierte man's richtig ich das aber es ist die Ziele genauso aus 2. werden wissen Stelle X X minus 6 0 Quadraten und das hat eine von beiden ins andere beim rechts steht und innerhalb von der 2 Fakultät so das ist das der Erkundung 1. Grades mit Respekt statt und das ist auch das mit dem man den man wirklich wir sehen ja ich habe mich hier Leitung der komplizierte größte annähert üblicherweise Arbeit das ist in den Jahren mehr alle damit Sie sehen wie es weitergeht wenn ich in den sauren Apfel beißen und ihnen noch das den abholen und 2. Grades hinschreiben 17 2 der Polen und 2. Grades das kann man jetzt erstmal wenn nur hinschreiben ohne man sie es als Dozent einfach machen will leise fliegen dann sollen sie gesagt das Rest liegt sie im Prinzip nur so aus wie der nächsten fern von der Teller Summe nur das Taxi statt x 0 darstellt wenn Sie sich das was da drinsteht oder da drüben steht nehmen ständig XIX 0 Nullentscheid sie das der und 2. Grades also es der Bund und 2. Grades ist erstmal mal das wollten Grades F von X 0 plus gerade lernt er von x 0 x x 1 x 0 bloß und jetzt eben nicht als 1. Näherung
zum meinem zweiten Grades das dann nicht mehr hin also Inhalt beziehungsweise 1 sich 2
Fakultät x 1 x 0 transponiert Hessen Matrix von 11 an der Stelle x 0 X X minus 6 das das Telefon und 2. Grades kann man so den ist gut der Nachteil an dieser Darstellung ist jetzt wenn ich Ihnen jetzt sage finden
Sie mal sozusagen per Analogie Schluss raten Sie mal wie sieht denn das Telefon und 3. Grades aus
ob wenn Sie mal kurz drüber nachdenken was ist aber so vorstellen und dann wie es ja meine was jetzt passiert kann man schon sagen was die Sache wohl nicht klar als Ableitungen 3. Grades
ziehen Sie jetzt alle 3. partiellen Ableitungen die 1. Patient abwenden und weckt die zweite minimal die 3. partiellen Ableitungen bilden dementsprechend sozusagen zum dreidimensionales Gebilde also der Matrix die eine n Kreuz eine Kreuz in Matrix ein sogenannte Tensor 2. Stufe
versehen das munter die dann wohl ohne die Finger gekommen ist und eingehen wird sozusagen von 3 verschiedenen Seiten sonnigsten dass ist wohl darum multipliziert das mag noch so sehen die anschaulich sein Spiel ist der 4. aber gewiss ganz daher und deswegen 9. an der Stelle der FOCUS zu ändern und das Ding also auch ein bisschen sauren Apfel zu beißen das deswegen meine wurden Daten zu schreiben was also wir setzen jetzt sozusagen x 1 6 2. XM 1 4 x 0 x x 1 bis x wollen und dann schreibt man alle partiellen Ableitung
aus mit man diesen langen her bei der Term verdammt lang ist wenn ich an der Stelle sehen die kneifen eine könnte es ganz bleiben sage ich sagen wenig außer man das Übungsaufgaben meine meine ich aber ich kneife sie nie und macht das nur für 2 variabel also jetzt in gleich 2 ich Herrn also vielleicht schreiben noch den Satz dazu natürlich gibt es das der Polynom jetzt festgelegt beziehungsweise dann den 3.
und das ist eben dieser komische dreidimensionale Kassen ich gerade angesprochen habe der sozusagen dann kubisch Weg sucht 3 in diesem Ausdruck X minus x 0 hoch 3 sogar verlässt ein Sohn bisschen das den Streit deswegen die meine Koordinaten ein Schreiben das denn aus aber wie gesagt halt gekniffen nur der in gleich 2 aber ich hoffe oder gehe davon aus dass man hier in
diesem Fall in gleich 2 ist und sieht was passiert und wie es allgemein aussehen muss dann also an diesem fall in gleich 2 kann man dann
ablesen oder an die da kann man leichter per Analogie Schluss sehen wie es weitergeht wie einen Mann dazu kriegt mehr Variable hat oder höhere Ort so was heißt in gleich 2 das heißt mein Vektor
x er setze ich denke also bin ich als Koordinaten x und y der Vektor x 0 2. den Nicole den Garten x 0 y 0 so und dann schreiben und Jänner Polynom nur noch mal hin mehr also das ganze geht los mit f von x 0 dass es der leichte Zeit das Telefonnummer und unter Ort so jetzt ganz die 1. und da kommt der gerade während also 1. partielle Ableitung von f d f nach d x an der Stelle x 0 und die 11 nach D Y an der Stelle x nur und das ist der Guardian von 11 1 nur 2 Variablen also es ist sein wird der Länge 2 und dabei wurde die Zieraten wir hier also den haben wir denn damals kommt
x 1 x 0 der jetzt modifiziert mit den Vektor X minus x 0 Y minus X nur Eröffnung des y nur
natürlich ja das der XY minus 6 0 zu 1 so das ist der einstmals von mir jetzt kommt der zum 1 2. Ordnung plus weckte x 1 x 0 also x 1 x 0 zusammen das y nur das ist hier dieser regte Extender 6 nur transponiert dann kommt die erste Matrix da stehen alle 2. partiellen Ableitungen drin des Quadrat f nach d x Quadrat an der Stelle x 0 die Quadrat Elf nach Y an der Stelle x 0 dann die Quadrat Elf nach y d x an der Stelle x nur und des Quadrat F nach D Y Quadrat an der Stelle x also alle partiellen Ableitungen die gemischten neben diagonal da die Funktion 2 mal stetig differenzierbar ist es geht sind am Start von schwarzes ist eine symmetrische Matrix so und dann das war der hier und jetzt kommt noch dieser Ausdruck hier X minus x 0 x y Miene schützt man ist da dass sie zwar schon unübersichtlich aus ist aber noch nicht das was ich wo ich hin will wir können noch weiter jetzt müssen wir nämlich diese
ganzen nach wie vor Delegation aus modifiziert also was kommt raus wenn sie das alles austricksen wenn mit dem Einwand Herrn f von x 0 an dann kommt das 1. Skalarprodukt der f nach d x an der Stelle x 0 X X minus x 0 plus TF nach der Y an der Stelle x 0 x x 1 x x y das Y U 1. Komponente 1. Komponente plus 2 gekommen damals war da das sind die Therme 1. Ordnung dann kommt die damit 2. Ordnung also was kriegen wir da schreiben mal diesen vorderen liegenden deckte erst mal ab und machen das hintere Matrix Produkt also plus in Halle mah der liegende Vektor X minus x 0 Y minus y oder so und jetzt kommt nur das mal besser gleichen nächste zahlen also hier mal so was passiert wenn wir jetzt das Martes Produkte hätten austricksen das kriegen wir die zweite aber nur von 11 nach seiner nach X abgeleitet X X minus x 0 lustige nicht in Eixen während der normalen zusammen das nur also des Quadrat f nach d x Quadrat x x 1 x 0 Plustek Quadrat f nach d x DIY an der Stelle x 0 x y minus y nur und in der zweiten Komponente der Matrix wie sie die untere Zeile der Matrix multipliziert mit dem Vektor also erst jetzt mich die 2. Ableitung X X minus x 0 plus die zweimal nach y abgeleitete Ableitung von f x y ist y nur also den Quadrat Elf nach Y DX von x 0 x x 1 x 0 Plustek Quadrat F nach DIY Quadrat an der Stelle x 0 mal y widersetzt bisher nicht als Martens aus Rechnerei im nächsten Schritt noch mal helfen soll noch diesen liegen weg vorne der Matrix multiplizieren ein also erst mal die 1. Zeile ab sollen er von nix neue plus die 1. Ableitung nach X an der Stelle x 0 X X minus x 0 plus die 1. partielle Ableitung von f nach der Variable Y an der Stelle x 0 x y das ist das ist die unverändert abgeschrieben 1. sein so und jetzt kommt bloß ein halt mal okay also die Zeilen war die 1. Spalte sie liegen bezahlen ja mal meine dieses Zeilen als 2. von Vektoren also die erste Komponente mal die 1. Komponente gibt die 2. Ableitung von f nach x Quadrat an der Stelle 2. Ableitung von F 2 nach X abgeleitet an der Stelle x nur X X minus X nur dass das was in der dem stehen weckte drinsteht und X X minus 6 0 von Leben des Tages wieder mit dem Quadrat schreiben war jetzt eine Zahl der die zweite wird werde aber wohl erst nach X ist mit Sal das den Gang Matrizen mehr jetzt habe ich wieder Quadrat sah das ist der 1. der 1. so der 1. seinen nächsten 6 normale gezielt muss den zweiten immer der 1. Zeile mit X minus 6 0 multiplizieren also Plus 11 im Moment des Quadrat f nach d x D Y an der Stelle x 0 X X minus x 0 x y minus wird auch mehr das ist der Ausdruck hier neue Bezirk Mitte so jetzt kommt 2. 2. Eintrag im 1. Sektor multipliziert mit der zweiten Zeile von 2. Viktor und der 1. Eintrag die Bares der geht dich Quadrat gerade Elf nach der Y W X X X minus 6 0 mal Apps Namen des Satzes 0 das ist genau das Gleiche das ist also bin ich Dinge
mit dem multipliziere kommt nochmal der heraus wann immer kurz drauf dass es noch glauben
der Quadrate mich werde man X minus 6 normale zusammensitzen 0 gibt genau nochmal also kann ich mir das Zeit sparen die mich einfach 2 Einschreiben so was immer noch den letzten unten rechts wurde 7 Pflaumen minus y 0 also 2. partielle Ableitung von F 2 X nach Y an der Stelle x nur meine y
mindestens 9 0 Quark tja das ist das unscheinbare der Wohnung 2. 1
und ich erlaube mir das jetzt noch in kleinen ticken komplizierte schreiben weil ich glaubte wenn sie denn das da steht sieht man das allgemeine
Bildungsgesetz den ersten Summanden der ist
einfach nur S 1 x 0 den schreibe ich Halle als er von X nur durch 0 Fakultäten 0 Fakultät nein X minus 6 nur noch 0 x y minus y nur noch gibt so ist kompliziert aber ich hoffe sie geben zu dass es nicht falsch ist da nur sehr gute des 1
X minus X nur noch 0 es auch eines als sicher da viele nutzlose 1 Spiele so war dass wir erst jetzt habe ich den zweiten der zweite über die 11 an der Stelle x nur
dann also die f nach d x an der Stelle x 0 X X minus 6 0 an das ist der
zweite die China jetzt auch komplizierter der
Krieg noch immer Januar nämlich 1 Verbot wird nun verwundet S 1 das X minus 6
0 kann mal dann muss gehört das 3. Potenz 1 und dann schreibe ich noch y Josef Sommerhoch 0 denkt er ende auch nichts ja auch nur wieder ein und bezieht oder durch ein teil der dritte zu hören war die Ableitung von f nach
x 0 nach dir y multipliziert mit Y in das y nur einer gleiches Spielchen der schreiben wir auch X minus x 0 und y das y wollen von den gibt es eines von den gibt es keins
und dividieren durch nur Fakultät 1 wurde vielleicht sehen Sie jetzt schon haben die raus will
warum die ganzen wolle nun einen Sinn Wasser steht ist jeweils eine partielle Ableitung von f und und und die 1. Fakultät ist wie oft leidigsten dieser aber danach X ab ein 2. Mal
leicht einmal nix aber nur meine Wohnzimmern und 3. so man leide ich nur meiner Xtra von einer und 1 und wenn sie die Potenzen angucken das die ist es genauso wenn Sie nach ist nach einer schon ableiten nur nach extern steht über den nächsten 6 nur noch mit 0 und über die wirksame wird schon nun Arzt dass das allgemeine Bildungsgesetz und so geht es weiter das heißt für die 2. Patient Anmeldung kommt jetzt
raus zum Beispiel 2. partielle Ableitungen zweimal nach x dann kriegen Sie hier in einer 2 meiner X abgeleitet nur mal und 2 wir gute nur vergoldet X X minus x 0 2 1 x abgeleitet X
Y des y Nullnummern ob so gehört vergleichen Sie den Ausdruck mit und sie dann noch nicht feststellen dass es was die 2. würde würde aber geben den ein sogar 0 fällt weg weiß suchen neu genommen wird x 1 x 0 Quark dann aber den nächsten Tagen also die 2. Ableitung
an der Stelle x 0 wobei 1 1 x 1 noch y differenziert wird besser Bildungsgesetz geht muss jetzt hier stehen 1 Fakultät 1 2 Bund zählt X minus X nur noch 1 x y beschützt nur noch 1 wenn sie den der mit dem Ausdruck auf der linken Seite der das schon blau underscore vergleichen stellen sie fest passt auch ein zur eines würdiges einst die 2 sich mit den als vorne weg ist auch 1 die Proteste Stimme auch und der letzte der lässt sich schreiben aber es an diesem mehr Platz die die 2. Ableitung von f an der Stelle x nur zweimal nach y abgeleitet nahm sie unten 0 sei wollte 2. gut hält stehen X minus x 0
auf neue y ist y und Quadrat und das ist der Ausdruck 4 so und das wird so komplizierten geschrieben weil sie daran sehen können wie es weitergeht erfahren wenn Sie jetzt irgendwie
es gibt es mehrere Möglichkeiten wie Sie das Aufbohren können kompliziert wenn man die erst dieses Jahr nicht 2 variabel sondern 7 oder zur Arbeit dann oder 1. Ausdruck sieht genauso aus nur das hinten im Geiste noch als der nur noch 0 stehen und sie kriegen natürlich eine partielle Ableitung 1. Ordnung mehr und Sie kriegen und starben mehr 2. Ordnung zweite Möglichkeit ist die so und jetzt der 2. Fall der Verallgemeinerung ist es so das Telefon und 3. Grades aber wenn geht das Prinzip genauso weit ist der Wohnung 3. Grades hat haben dann schreiben Sie alle partiellen Ableitungen dritter Ordnung gehen wobei sie die Gegensatz von schwarzen wir gleich sind von denen sich jeweils nur ein oder mir ja auch nur eine gemischte Ableitung genommen und die Spalten ok also wenn Sie jede von jeder Kombination der Ableitung einen Repräsentanten sich leben dann kriegen Sie für jede dieser partiellen Ableitungen so und der sieht immer so aus partielle Ableitungen durch gerade der Ableitungen also wenn ich siebenmal nach X und dreimal ableitet zusammenarbeite den Spielorten 7 oder 3 Fakultäten und den nächsten S 6 nur noch 7 Mal Islamist soll nur noch 3 dass das allgemeine Bildungsgesetz dass man hier und deswegen habe ich so hingeschrieben geschrieben ich gehe wie gesagt davon aus das sehe wirklich von Hand selbst ausrechnen in ihrem Leben keine Wohnung siebten Grades in der Variablen zu werden am Computer der kommt wieder dass es dauern für sie tun aber das merken Sie gar nicht aber er deswegen gehe ich jetzt hier nicht bis in die Details und für alle absurden Rotation ein die man braucht um beliebiges der Wohnung Karten gerade in zu schreiben sondern zeigen wie es im Prinzip weitergeht Frau also kommt noch ein 1 1 1 kurze Satz drunter mit dem ich mich endgültig da vor
drückt weiterzumachen also gleiches das Bauprinzip 14 der Polynome höheren Grades und für mehrere Jahre also Grand und oder mehrere Jahre wenn Sie mal anschauen das hier tatsächlich nicht mehr als 7 eindimensionales Polynom Polynom wollen den Koeffizienten die Ableitungen stehen jetzt die partiellen Ableitungen und den nicht in irgendwelche Home X minus X nur noch irgendwas mal zusammen so zwar nur noch was anderes aber es wird eben einfach damit dass es mehr variabel und deswegen der partielle Ableitungen die wahnsinnig unübersichtlich aber es ist vom Prinzip her genau das Gleiche T gucken uns ein Beispiel noch an nein denn sie auch sehen er muss nichts anderes tun als im eindimensional also eine Funktion in 2 Variablen er von XY ist 1 los 3 y Quadratmer I hoch X Frauen Entwicklungs period man was einfach dass schauen wir uns die Entwicklung an der Stelle 0 0 an und gesucht er ist das Telefon und 2. Grades sowas gerade geschrieben haben dazu müssen dar ja im Prinzip nur die Formel einsetzen was wir brauchen sind alle partiellen Ableitungen bis sorgen 2 das ist zumindest die 1. Möglichkeit das auszurechnen also bestimme alle Ableitungen bis zur Ordnung Zweifel und ihre funkt und ihre Werte an der Stelle 0 0 nein man braucht die Ableitung an deren Entwicklungsstelle also brauchen die Werte an Stelle 0 0 von den Ableitungen bis Ordnung 2 war mit dem nullten Ableitung an er von XY ist 1 plus 3 y Quadrat I X wenn Sie dann 0 0 einsetzen wer vorne 1 plus 0 bis 1 x E offen und es auch 1 Blatt 1 übrig also jetzt das den ableiten Almanach Aids wenn Sie das denn X ableiten ist y konstante vorne bleibt also einfach 1 plus 3 y Quadrat stehen die Funktion Blatt ausstehen haben sie 1 bis 3 zusammen ein Quadrat auch x genau das Gleiche wie F entsprechend müsse es auch nicht lange rechnen dass der Wert an der Stelle 0 0 ist es immer noch 1 dann hätte man auch y als er noch y ableiten heißt so zu tun als wie Excel konstante und also y ableiten
wenn Sie 1 plus Lustration Quadrat dann ableiten fällt die 1 als Konstante weg und es bleiben übrig 6 y er auch X ist
multiplikative Konstante was passiert wenn Sie jetzt 0 0 einsetzen wie
hoch 0 bis 1 aber mit 0 x 1 ist trotzdem 0 soll damit haben wir die nur kann und die 1. partiellen Ableitungen für noch die 2. müssen nur 3 Stück ausrechnen bald wendet die gemischte nach X und Y haben dann wissen wir dass die nach y x dieselbe Islam Satz von Schwarz also was passiert wenn ich die Ableitung wenn sie es 2 meiner
nächsten Insolvenz ihre also ich nehme mir die Ableitung nach XT und differenzieren nochmal nach X na ja das war das Gleiche wie er von wenn sie f x x
differenzieren kommt wie das gleich aus also ganz normaler X differenzieren tut sich da auch nicht viel es also immer noch 1 plus 3 y Quadra jedoch X und dementsprechend ist der Wert der zweiten Ableitung zweimal nach X differenziert immer noch 1 dann gibt es die gemischte Ableitung der Quadrat Elf nach TXT y da kann man jetzt entweder die
1. über 10 Abende externer Monomer Ferenc ihren oder die nach ob sondern normaler Äxte ich ob Tiere fürs 2. dabei das übersichtliche ist also wird Mode differenzieren 6 y er auch X nach X gibt es immer noch 6 YEO X und wenn sie dann 0 0
einsetzen dann kommt für die gemischte Ableitungen an der Stelle 0 0 Obst an Stelle 0 0 wieder nur aus das wir uns
noch eine nämlich die wobei 2 X nach Y differenzieren also müssen uns die partielle Ableitung einmal noch und dann nehmen und normaler und dann
differenzieren wenn Sie das man für das y da komplett weg und es bleibt nur übrig 6 EU wächst und damit ist die zweite partielle Ableitungen 2 nach Y differenziert an der Stelle 0 0 6 auch 0 also 6 x
1 ist Ex so und damit gemäß direkt einsetzen in Polynom hat darf der
rechtens Tafel stets machen also brauchen zunächst mal oder wenn es Ihnen besser gefällt ist es hier unten ein das ist nur der halbe Seite was brauchen wir schon was
nochmal allgemeinen wir brauchen F 1 der Entwicklungsstelle also er von 0 0 ist es der Polen 0 ist bloß die Ableitung 1. Ordnung des 11 nach der X 1 Stelle 0 0 X X minus 6 0 dann x 0 ist aber 0 also steht hier einfach mal nix bloß DER flach DIY an der Stelle 0 0 x y minus y 0
zu 1 und bis 0 als ich dich einfach mal 10 Zimmer plus die Quadrat Elf nach DX Quadrate leiten jetzt zweimal nach X ab und nur mal noch y das heißt wir haben 2 Fakultät 0 verbietet das machten Halle X minus 6 0 Quadratmeile zusammen sind schon hoch x 0 ist 0 also ich Squadra wann sie sehen auch hier wieder das passiert beim der wollen um Rechnung die Potenzen über den Echsen entsprechen genau der Anzahl wie oft man abgeleitet hat und das auch zusätzlich vor als vor Faktor auf mit der Fakultät wobei man für gut hält wenig sie bei 2 für gut so kommt der gemischte Termin der Kunden 1 durch ein Verbot 1 hält wenn man auf jeder Variablen einmal ableitet also Blatt 1 1 dann kommt die gemischte Ableitung nach die nach y an der Stelle 0 0 X X minus 0 x y minus 0 also mal XY auch hier wieder die Parallelität wenn sie einmal nach 1 und dann bleiben Sie einmalig sind und dann fehlt noch der letzte Zeit der wie dann halt von 2 Verwandte in USA gut hält zweimal 11 nach y ableiten an der Stelle 0 0 x y Quadra und so und jetzt ist es wirklich nur noch einsetzen er von 0 0 bis 1
partielle Ableitung von f nach x ist auch 1 also 1 plus 1 x x bloß partielle Anwendung von 11 noch y ist 0 2 partielle alle von 11 2 nach x haben wollen oder um man geschehen wenn Sie zweimal allerdings differenzieren kommt ein zwar aus also 1 x x Quadrat
die gemischte Ableitungen an der Stelle 0 0 1 0 also plus 0 x x y im Moment ich habe jetzt hier was vom wusste weil 1 nur die halt nicht übersehen die Ableitung bis 1 habe ich ja noch
den Alfons stehen unsere letzten Summanden kriegen wenn halt mal die partielle Ableitung zweimal noch y S 6 also ist 3 nur 6 halbe 3 y Quadrat das kann man doch alles zusammen sammeln und wenn Sie da alles
zusammen sammeln dann kriegen Sie erst mal die 1 plus X bloß nur mal irgendwas muss Inhalte 6 Karat plus 0 mal irgendwas plus 13 Mark gibt wir uns alles ausgerechnet sich durch die wo was er werden wir keine verschiedenen Schluss von völlig Problemes banales Polo das schon viel viel Aufwand für Anschluss 1 sein deswegen an der Stelle der Gleise weiß wie schon bei den in Polynom 1. Grades wenn Sie die Aufgabe kriegen rechnen sind denn buhlen um aus bitte nicht sofort den Bleistift in die Hand nehmen und wie ein Besessener partielle Ableitung ausrechnen sondern erst überlegen es vielleicht einfacher und der übliche tritt es einfacher geht ist von einem Funktion kennt man die einen ja schon also auch in dem Fall haben Sie die Möglichkeit nicht nur einfach stupide die partiellen Ableitungen auszurechnen sondern Sie können auch schon bekannte der rein verwendet wenn sie mir sagen ich kenne überhaupt keine Teller Rhein für mehrere Funktion bisher stand meistens braucht man aber gar nicht wie der Rhein für mehrere Funktions- und des reichen der vor Entwicklung für 1 für eine Variable wenn sich die Funktion doch nochmal anschauen dann steht jedoch extrem war O X haben Sie hoffentlich alle sofort ohne noch mal nachzuschauen die Reihe aus Papier geschrieben ja das ist nur eindimensionale Zählerei und zwar eine von den 3 in so sein und wenn wir die hier die können wir hier mit Gewinnen verwenden also Verbände eindimensionale bekannte Teller rein also in diesem Fall hier bekannte Zählerei der ihre Funktion also 11 von XY hat mir oben ist 1 plus 3 y Quadrat mal X das ist 1 plus 3 y Quadrat gesprochen gar nicht die ganze Täler Reihe von der Funktion so brauchen wir denn anfangen wollen wir nur die Täter ist eine Wohnung 2. Grades haben das heißt alle Terme di dritter Ordnung und größer sind wir interessieren uns gar nicht ich gebe immer trotzdem bis sie mehr Platz also ihrer fängt an mit 1 plus X plus X Quadrat halbe plus alle möglichen Sport der mindestens Potenz 3 habe ich hoffe Sie erinnern sich an die Nando Simone so und jetzt ganz einfach aus multiplizieren was passiert also erst mal 1 mal den Kram da hinten ist 1 plus X plus X Konrad plus und von x hoch 3 wie Louis jetzt 3 y Quadratmeilen ganzen Schlobohm um 3 y Quadrat und jetzt können sich schon gucken wenn jetzt wenn Sie s weiter modifizieren als nächstes kriegen sind 3 y Quadrat nix der hat gerade 3 interessiert uns nicht mehr wirksam war X ist nun rum in immer Marianen von gerade 3 dann kommt es lang Quadratmer Dixgard Art des Gracie und danach komme gerade sind alles andere können Sie vergessen ob es also bloß Thomas von mindestens gerade 3 ja Sie sehen ich drücke mich darum Kalkül andere Symbole für mehrere Variablen zu definieren schreibst das Leben hier einmal aus der also Plus Dame vom ist es gerade 3 er gerade 2 genau da muss muss auch richtig ausschreiben gerade Trolle die Feste Wohnung 2. Grades nicht interessieren und wenn Sie jetzt vergleichen und mit oben der kann ich erleichtert auch machen aber ich habe mich verrechnet steht so was da jeder mehr welche der beiden Verfahren das oder das lieber ist für jeden selbst überlassen mein Plädoyer wäre vom Glos Reformweg differenzieren erst mal nach zur gut das ist das was ich Ihnen zum Telefon noch immer war Jahren sagen will sie sehen man kann da sicher noch weitermachen wer sich noch weiter interessiert findet auch garantiert in der entsprechenden Literatur weiteres und Hinweise ich behaupte ich habe sie damit auf das Wesentliche vorbereitet und vor allem ich habe ihm gezeigt wie es weitergeht und an der Stelle dürfen sie voraus sein es geht so weiter wie man denkt da kommt keine fallen mehr gute zwar als nächstes dass der Polen nutzen um uns wieder über Extremwerte Gedanken zu machen aber da vor denen wir uns erst mal 10 Cowes so dann würde ich gern die zweite Hälfte einhalten und mit ihnen wie schon angekündigt das Prinzip der Ableitung und Sella Entwicklung wieder nutzen oder extremer zu reden das geht wieder darum klassische Schulaufgabe sie eine Funktion und besucht sind die maximal lokale Maxima und Minima dieser Funktion einziger Schönheitsfehler die Funktion hängt jetzt von der war ja und aus in den Tapete das ist meine messen stehe übrigens als 1. so rüber konzeptionell ändert sich nichts wenn sich am Schluss noch mal anschauen was ich mache dann stellen Sie fest es gibt ganz viele Notation und wie die Rechner und für viele partieller Ableitungen weil weil so viele Variablen haben aber das Verfahren das den Kopf haben werden bestimmt man extrem Stellmann bestimmt die Ableitung und setzt die neue und dann den Sprung kann wo die Ableitung Unis untersucht man die zweite Ableitung und wenn die positiv ist haben Sie mit ihm und wenn die negative sie Maximum mehr das hoffe ich es vor allem noch voll präsent das Verfahren funktioniert 1 zu 1 genauso sie müssen nur richtig interpretiert wir müssen nur an die Stelle was heißt es die Ableitung des neuen müssen Sie das Richtige den richtigen der das richtige dienen der mehrdimensionalen aber 3 einsetzt ja aber was sie mit mitnehmen sollten ist das Verfahren ist exakt das gleiche mit der gleichen Begründung und mit dem gleichen Jahr das gleiche Verfahren nur eben deutlich rechenintensiver weil wir haben jetzt halt mehr Möglichkeiten durch die mehr Dimension also Paragraph 18 mal ganz kurz und knackig extremer überschrieben im Prinzip nein es oder jetzt wird wieder der wenn Sie so wollen und 7. oder wie auch immer der Mathematiker zu Berufskrankheiten wie Sie es nennen wollen die uns mit den Juristen verbindet bevor man über was reden muss man sie erst mal definieren und er ließ in seiner bisher viele Funktionen variable noch nie ist es überhaupt lokales Maximum oder Minimum wobei ich denke jeder von ihnen jede von ihnen hat natürlich eine Vorstellung davon wer noch keine hat ich lege meine Vorstellung hier drauf was heißt extrem wird ja mal seine Funktion mehreren Variablen haben dass das dann zunächst mal Definitionsbereich in allen nur Funktion F die auf dieser Menge er definiertes und nach er gehen an dieser Stelle ist gerade Funktion mit Reggae Ergebnissen das muss auch so sein ich wird sie nicht mit einem Kapitel ihn nicht mehr in der Regel kommen Extremwerte für Vektorfelder und ich hoffe dass Sie wenn Sie drüber nachdenken soll von auch selber darauf kommen warum nicht wann wird das ist die das Ergebnissen Vektor und dann ist die Frage welche von den 5 Vektoren hier der größte ist dann müssen Sie schon merken das komische Vektoren kann man nicht so richtig vergleichen also die Fragestellung meinen Funktion meiner Funktion der Ergebnisse Vektoren sehen nach extrem Stelle macht einfach keinen Sinn weil es gibt keine größere oder kleinere Vektor denken Sie unser Standardbeispiel für was für ein Vektorfeld die der Windgeschwindigkeit im Hörsaal die hat keine
Maximum oder Minimum können Sie sagen natürlich doch mich Stelle wo die Windgeschwindigkeit am höchsten ist vorsichtig wovon sie jetzt gerade reden ist den Norm oder die die Stärke der Windgeschwindigkeit das wird sagt die Windgeschwindigkeit als solche
sondern Vektor wir werden Richtung mehr jetzt keine größten oder kleinsten es gibt nur die die Stelle an der der Rektor die größte Menge hat dann betrachten Sie andere Funktion was dann betrachte es nicht die Funktion Windgeschwindigkeit im Hörsaal sondern Normen der Windgeschwindigkeit werden er für andere Funktion so ansieht hat sie mittlerweile die Anschauung für maximal minimal niemand geschafft werden wie gesagt Funktionen deren Variablen stelle man sich immer am besten das Gebirge vor und hier sieht man jetzt schön was es heißt eine Funktion Maximum hatten ziehen wenn sie oben auf dem Berg steht an den Dingen ich kleiner andere Warnung los werden es in das ist man noch drauf also eine Funktion in allen Varianten mit Werten R und eine Stelle
x 0 im Definitionsbereich die nennt man jetzt globales mag Maximum Band Globe landet dort globales Maximum wenn es eben von allen Funktions- werden ein größte ist so würden woanders was
Größe großes grösseres ist also wenn Sie tatsächlich sich von Landschaften Landschaften vorstellen globales Maximum wäre der
Mord erweist werden f von X kleiner gleich f von x 0 ist für alle x sind denn ich globales Maximum alle andern Funktionswerte sind leider klappt genauso natürlich globales Minimum also globales Minimum alle anderen Funktionswert größer
gleich das immer auf Marianengraben schöne jetzt
geht es nicht nur den Mann der es im Marianengraben sondern auch
noch den deren in dem wir die Wasserkuppe an die Wasserkuppe ist kein
globales Maximum ein lokales Maximum also meinen ein period ein lokales Maximum wenn er zumindest in der kleinen Nachbarschaft der höchste Punkt ist wie kann man das ausdrücken er man muss sagen es gibt nicht kleinen der Nachbarschaft es gibt einen Kreis um diesen Punkt Ruhe mit dem ist der höchste ist also die Radius vor es muss einen positiven Radius Geld ergeben so dass er von X kleiner gleich f von x 0
ist für alle x die in den mehr von x 0 liegen also für alle x in dem Kreis um x 0 Meter Radius der älter ich erinnere nochmal an diese Schreibweise oder davon nix nur über die offene der offene kreist die offene Kunicks Nummer 3 des Welter oder mich das 6. F einsetzen kann noch die Vorsichtsmaßnahme schnitt geschnitten mit N ja also das heißt eben für alle X aus allen den Abstand zu x 0 kleiner ist als der so dass nennt man lokales Maximum genauso wie der lokales Minimum auch hier muss
es in Welter größer 0 geben so dass er von X größer gleich er von X 0 Neues
für alle x in der Nähe von X so dann noch der oft verwendete und auch in der Überschrift von wenn schon verwendete Begriff des Extremismus x 0 ist ein globales Extremum von 11 wenn X 0 globales Maximum oder globales Minimum ist Xtreme ist also einfach der Oberbegriff denn ich sagt ob Max nur ein Minimum ist aber eines der beiden und genauso wieder für
lokales also man nennt das ein lokales Extremum wenn X 0 ein lokales Maximum und Minimum ist so dazu schon
noch 2 Bemerkungen ja die
1. hat ich freue schon mündlich gesagt extremer machen für Vektorfelder keinen Sinn werden also nicht vorkommen wenn Sie irgendwo Aufgabe sehen verfolgen das Vektorfeld bestimmen Sie seinen Maximalwert und seine Minimalwert dann hat jemand beim Aufgaben stellen nicht aufgepasst es könnte allerdings sein dass er natürlich auch wieder diesen da Missverständnis entgegen hat er nun unterlaufen ist dass er von der Norm regelt aber da muss man auch so Sonnenschein mehr und die zweite Bemerkung ist Herr einfach das ist für dieses Feldes lokales extremen und Minimum Maximum geht's es noch Synonym den Begriff des relativen Maximum oder Minimums das ist einfach so lernen also ist man auch oft relatives Maximum Minimum Extremum das einfach das gleiche wir der Vollständigkeit aller falls es mehr rausrutscht oder falls es ist ein Buch lesen das ist einfach das sehr ich sah damit sind die Begriffe geklärt und jetzt können wir uns dran war immer sieht das Gleiche zu machen wenn eine Dimension und wenn Sinn einer Dimension als der Masuren ist das 1. finden sich die Ableitung setzen Sie 0 dass die so genannte notwendige Bedingung und mit der fangen wir jetzt ja auch eine notwendige Bedingung für extrem war das ist Abschnitt 18 2 man nennt sich die Funktion der leitet sie ab und sucht die Nullstellen der Ableitung das sind die sogenannten kritischen Punkte das sind die Stellen wo wo extrem stellen sein könnten genau das gleiche hier muss ich jetzt nur klar machen durch was man die Ableitung sinnvollerweise ersetzt also werden wir Befund der Teilmenge von NM auf die unsere Funktion definiert ist jetzt kommt eine ganz wichtige Voraussetzung wie auch im eindimensionalen gilt und gern vergessen wird wenn dieser Satz verwendet wird damit dieses Kriterium extremer stellen durch Ableitung den extremer finde Gallenwege überhaupt funktioniert muss das X 0 im Innern von ein Rand Extremum finden Sie nie über die Arbeit war also wir brauchen einen inneren period von der was es heißt ein rein ins sowie sie nie über die aber dann klicken Sie mal zufällig Glück haben aber den Rand extrem nach sind durch dieses Verfahren nicht zu finden und ihren extremer kümmern wir uns später das wird jetzt tatsächlich wesentlich höher kurz ist groß überlegen warum immer was passiert was haben Sie wenn Sie die Funktion von er nach erhaben und suchen ihre maximal stellen dann machen sie es üblich Abmeldeverfahren wenn die Magd minimal maximal raus es könnte das Wachstum noch woran das Emissionspreis aus Bereichs liegen der dem eindimensional sind 2 Punkte nur die 2 Punkte kann man schnell einsetzt und nachschauen ob soll größer oder kleiner ist das geht fix immer dann hässlicher da bei daran den werden wenn das können ganz viele wurde sein wir müssen uns noch mal gesondert und kann man das ist aber die mehr für nachts gewannen unser period zur innere period von nein unsere Funktion die wir Maximieren Minimieren wollen soll natürlich auf definiert sein nach gehen und damit meine das aber das Kriterium an werden kann muss sie natürlich differenzierbar sein und zwar total differenzierbar damit die Ableitung auch mit Bedeutung hat also zahlen sie war nix Neues alternativ stetig partiell differenzierbaren hat man totale Differenzierbarkeit sondern sie jetzt von vornherein wissen das ein lokales Extremum in x 0 vorlegt
dann sagten die notwendige Bedingung dann ist die Arbeit an dieser Stelle nur und die Ableitung
des in dem Fall der gravierend dann ist gerade hier und 11 an der Stelle x 0 der neue Vectra
genauen eindimensionalen über einen extremen in liegt muss die Abmeldung verschwinden musste gravierend fest wenn Sie sich erinnern an die
ein sehr bedeutendes geraten während mehr als Richtung des steilsten Anstiegs macht das auch irgendwie sind
wir wenn sie auf dem Gipfel stehen ist die Richtung des Preisanstiegs verschwunden es gibt keine Anschläge mehr her egal welche Richtung sie laufen laufen runter nein 10
stehen ist der gerade noch mehr nach das ist das notwendige Kriterium das sagt Bentsen extrem und gibt Muster der Grameen 0 sein das ist deswegen toll wenn man jetzt weiß dann einstellen wurde
gerade hier nicht 0 ist braucht man die suchen da geht's noch irgendwo rauf und runter aber genau hin eindimensionalen die gleiche Warnung
er nicht Rede nicht jeder so sogenannte kritische Punkt es auch extrem Stelle also
solche Nullstellen des Agenten nennt man dem eindimensional Klubs der Mann dem eindimensionalen dreht sich kritische Punkte von 11 und solche kritischen Punkte sind die einzigen an den es extremer geben kann aber bitte nicht genau wem
eindimensionalen nicht in Euphorie verfallen sind kritische Punkte haben nicht jeder kritische Punkt ist auch extrem Stelle kann genau im eindimensionalen witzigerweise haben es im eindimensionalen die meisten Kopf und komme ich auf diesen schrägen Trichter man ihn deren Aufgabe mehrdimensionalen stellt wird alle Vorsicht fahren gelassen und dann wird behauptet Olga wie kritische Stelle also ist ein extrem bei also nicht jeder kritische Punkt ist ein extrem stellt und deswegen habe ich jetzt auch noch mal diese nicht jede Krise period eine extrem stellte singe ich jetzt auch noch
mal meine liegen lassen einen Funktionsgraphen bei der sieht man so eine Stelle an dann sieht man auch so was kommt dem ganz alltäglichen Landschaften vor kritische Punkte die keine Extremisten sind einfache Reisepass passte ja also wenn Sie unten und das Gebirge laufen wird natürlich wenn also die meisten Juden gibt also über die passen will man sagte Passhöhe stehen ist das der neue stellt das gerade werden nein aber war in dem nur stehe es gerade werden denn wenn Sie sich mal so im Geiste partielle Ableitung bilden dann heißt das ja sie schneiden einmal für die X Ableitung von so senkrecht durch eine würdige bis dann aber so senkrecht durch man sich die Schnitte jetzt anschauen ist es einmal Sonne Parabel und einmal Sonne parallel wir haben bei der Ableitung 0 an der Stelle kann also der gravierendes 0 nur schwer kritische Stelle aber leider keine extrem und es kann wachsen können Minimum werden den sie überdies wenig auch eine das Gebirge kommen ist es den maximal Stelle wenn sie den Weg in den Westen minimal ist also in period und keine extremen obwohl der gerade Frau bleibt also das gleiche Problem
eindimensionalen wenn ich jetzt meine Funktion auf kritische Stellen untersucht habe oder wird 25 kritische Stellen gefunden klassische Klausur Aufgabe kennt ein bisschen weniger als 25 stellen damit man es in kürzerer Zeit lösen kann aber also damals ein paar kritische Stellen gefunden das müssen wir uns entscheiden welche davon sind fällig welche davon sind extrem an welche davon sind also maximal welche von Sony im eindimensionalen denn sein die 2. Ableitung nicht mehr das gleiche machen wir ja auch aber ich will auch erklären warum und wie wir dahin kommen deswegen eine kleine vor Überlegung dazu Vollbelegung für die
hinreichende Bedingung die dann dazu führt dass wer die Bedienung an die
2. Ableitung finden Sie und sagt wie wir extremer erkennen kann also wir sehen in der Situation wo um wir dass wir jetzt unsere Funktion zusätzlich fahren das sie zweimal hat Sie bei stetig partiell differenzierbar ist ich schreibe auch noch in das soll offen sein dass es im Wesentlichen die Vorsichtsmaßnahme dass wir uns nicht mit dem Rand umschlagen müssen wir wenn es nur innere Punkte also mit offenen Definitionsbereich damit wir keinen dem Rand haben eine Funktion f die auf dem definiert ist und zweimal stetig partiell differenzierbar ist damit auch zu einer total differenzierbar und dann haben wir eben
unsere kritische Stelle also da nix nur den an dem der Guardian verschwindet gravierend erfahren dass Stilmix 0 ist der neue Tag dann müssen wir da könnte jetzt Extremisten seien wir suchen wir offen ist für mich der ist in einen Sinn einen und das Gründungs- verhalten sei es wenn die 2. Ableitung dazu das heißt das du man man approximiert nicht mehr hier ja approximieren die das notwendige Kriterium sondern sie approximieren jetzt quer sie approximieren jetzt quadratisch der Proxy mit ein sagt ob sie links oder rechts gekrümmt sind sehen dass der Polen und 2 ist das man wird sie auch also wir immer mit dem Täter Polen und 2. Grades oder genauso wie wir mit dem der Wohnung 1. Grades und schauen uns den Fehler dabei an besonders das der Wohnung 1. Grades mit vielleicht haben mit Rest des zweiten Grades also den Teller sagt uns für die das X in der Nähe von X nun um die geht es ja wir wollen lokale extremer untersuchen wir müssen uns also anschauen was machen Sie was macht 11 auf den nächsten Haibike Nulli wie wir das X 1 von x 0 gibt es die berühmte zwischen ständig Stil auf der Verbindungsstrecke von x 1 x 0 sollte das ja das entsprechende Täter die entsprechende Darstellung und den der Polen und 1. Grades mit restlichen haben das heißt nach
jetzt ist irgendwas ach jetzt also mit restliche haben das heißt sie können das F von X darstellen durch das Telefon um 1. Grades mit Entwicklungsstelle x 0 also nun gerade das er von x 0 plus während 11 an der Stelle x 0 X X minus 6 0 muss es wären ohne die 1. Hälfte dieser Vorlesung des das Telefon um 1. Grades bloß den Fehler den Rest haben grüß ein Inhalt jetzt kommt X minus x 0 transponiert Hessen Matrix 2. Ableitung an der ständig Sie mal ins Minus 6 ich hoffe Sie erinnern sich das war dieses auf den 1. Blick etwas ungewöhnlich erscheinen der Rest des zweiten Grades oder das X minus x 0 Quadrat auf beide Seiten verteilt mussten damit alles ist doch dass das Telefon um 1. Grades mit Resty das vereinfacht sich jetzt wunderbar weil das ist ja 0 also nutzen aus dass das nur wissen was ich noch mache ist ich liebe dieses F 1 x nur auf die andere Seite und schaue mir an F von X minus F von X warum mache ich das dabei dass die Größe ist die mich interessiert ich will ja wissen Ismaiks 0 den maximalen denen man mal schnell oder nicht das heißt ich will wissen wie sind die Werte von 11 in der Nähe von x 0 und dann ist es sinnvoll sich mal anzuschauen was ist die Differenz zwischen F von X oder von so kann man für alle x zum Beispiel diese Differenz sehr negativ ist dann bedeutet das das das f von x 0 immer größer gleich F von X ist und damit haben sie das F und er ihr er von der Stelle x 0 maximal deswegen ist es sinnvoll diese Referenz anzuschauen weil die das Vorzeigen diese Differenz sagt was aus mir Maximum Bremen ok was kommt da raus der 1. dass er von 0 wird die linke Seite gewandert der der mit dem gerade ist 0 es bleibt einfach nur stehende Halle X minus x 0 transponiert fallen vorhin ein paar Pfeile durchgerutscht X minus x 0 transponiert Hessen Matrix von 11 an der Stelle XI X X minus X so und jetzt sieht man dieses Vorzeichen auf der linken Seite das uns interessiert vermeintlich längst ein klares Wort sagen haben obwohl die wurde immer negativ dann habe ich nix Snacks Maximum Medien um das hängt ab von dem Vorzeigen von intern auf der rechten also schauen uns mal an was man über den Damm auf der rechten Seite sagt zunächst mal kann man feststellen diese dann auf der rechten Seite enthält diese Matrix diese Hesse Matrix und das ist nicht schön im Art das ist nicht irgendein Matrix sondern dass es zum Beispiel im eine symmetrische macht das warum für von Schwarz die partiellen Ableitungen darf ich weitaus möglich 1. Rixner nutzt man die wenn sie gerade erst auf sondern ist egal wenn sich die 1. Martinz anschauen die Elemente die man Symmetrie anschauen muss immer genau die wo sie die partielle Ableitung taucht dass ist in eine symmetrische Matrix zumindest wenn das den zweimal steht differenzierbar ist ja einfach ausgesetzt ist sollte ich differenzierbar deswegen ist es nicht stetige Funktion die der The Matrix das heißt wenn mir Moment um Probleme wir wollen wissen was das Vorzeigen auf der rechten Seite ist und das Vorzeichen der auszurechnen müssen wir dieses Teil von Ziele bestimmen wir kennen das sie nicht war das die Sonne wieder 6. anders aber uns interessiert nur der nur das interessiert nur was passiert wenn X ganz nah bei Touristen wollen ja nur lokal extremer also dass sie ganz nah bei nur weil das Ziel der zwischen die zunächst nur auf der Venus und wenn das H 11 tätig ist dann heißt das wenn das Ziel ganz nah bei x 0 ist das auch das Haar und die ganzen Arbeit 1 H 11 und sie ganz nah bei dem HSV mixen zumindest halten das Ziel aber nix 0 also dieses geschrieben das H 11 an der ständig Cidresauce interessiert ist groß und wurde das gleiche wie das HF an der Stelle x 0 wenn das nein nutzt ja das heißt wenn dieser Ausdruck der rechts in 0 6 die gleichen 10 0 positiv ist dann können wir wenn wir nahe genug bei x 0 bleiben Sie mir sicher wenn es auf Reziprozität das heißt es reicht aus HF an der Stelle x 0 zu untersuchen will und das Vorzeichen der rechten Seite mit H f von x 0 statt Funk sehen und
schauen sich die rechte Seite an wo wenn Sie das iPhone X wohl Einsatz der Sie da ist bestimmt das Vorzeichen der linken Seite zumindest nach zu 0 und dieses Vorzeichen wiederum das
entscheidet ob sie bei um ein Maximum Minimum oder sagt period Geld wird was würde so müssen 11 das Vorzeigen
dieses Ausdrucks auf der rechten Seite und das kann man jetzt schon den Begriff verdichten der in dem Fall
wichtig ist dass wir zu einem zur sogenannten definiert halt von Beitritts
der sogenannte definiten Matrizen was was wir versuchen müssen ist für das
vorzeigen können Sie mal das 1. das halt in die Tonne werfen da das ist die Zeitung leidenden ziehe dich immer wichtiger Vorteil was da
stehen ist Vector transponiert mal Mark Vektor Auswahl der gleich also Vektor x
mal Matrix mal der gleiche Vektor X und es geht um die Frage ob dieser aus so positiv oder negativ ist und das diesen Weges ein seine Definition wenn denen Matrix für die dieser
Ausdruck positiv ist sogenannt positiv definiert und den 1 A 6 für die dieser Ausdruck negatives negativ und wenn die
Matrizen einfach in gute schlechte und keine Ahnung sortiert Rechnung also wenn wenn wir eine Matrix haben im engen kreuzt er im
Kreuz und die symmetrisch wir wissen ja wie es machen es ist immer symmetrisch und nur für solche macht auch der folgende Begriff sehen dann nennt man am positiv definiert wenn eben dieser Ausdruck der da oben steht immer positiv ist also wenn x transponiert X
A X X größer 0 ist für alle Links die nicht nur das betrifft also fix gleich 0 wenn nur Rektor ist natürlich nur Vektor transponiert man aber nur wirkte immer 0 aber was wir fordern ist für alle andern X muss dieser Ausdruck strikt positiv sein dann nennt man das Ding positiv der genau so negativ definiert wenn dieser Ausdruck immer negativ ist also X transponiert A X kleiner 0 für alle x die
nicht gerade 0 sind wenn der Nacht im Großraum wir Matrizen für die wie die weder noch sind und die besonders schlimm weder noch sind die
nennt man ihn definiert in der heißt es gibt einzelne X für dieses Verhalten von positiv definiert Damen-Einzel y für dieses Verhalten von negativ definiert haben und also den Martens die sie so richtig gar nicht entscheiden kann sowas nennt man dann in definiert also das wenn es 2 x und y 2 Vektoren
geht XY wo beim einen positiv definiertes Verhalten auftaucht also mit X transformiert A X strikt größer 0 und y transformiert A Y Strickkleider sollen nach ist wenn man ihn sie nie an der Stelle eine Achtung diese Aufteilung in positiv definiert negativ definiert und in der vermied um fast immer noch nicht alle 7 frische Madrids so zum Beispiel die 0 Matrix nichts von Aldi die Nummer 1 ist weder positiv definiert noch negativ definiert noch in definiert die ist einfach gar nix davon also bitte nicht denken wenn es bald 2 davon ich ist muss es 3. sein das ist keine komplette Einteilung so aber das sind die Adressen mit denen wir viel anfangen können die uns weiterhelfen und wie gesagt werden der Begriff Weltdienst nicht vom Himmel so der gibt sich ganz kanonisch aus der Überlegung vorher wir wollen und wir brauchen das Geld wir brauchen das Vorzeigen von diesen Ausdruck x 1 x 0 transponiert Hessen Matrix x x 1 x 0 und das ist genauso
Ausdruck der Form Vektor x Matrix mal Vektor- und wenn der zum Beispiel als wenn 2 dieser Zimmerfenster des Gerichts nur positiv definiert ist dann wissen Sie die rechte Seite da oben ist immer größer gleich 0 dann wissen Sie F von X 0 so zur deswegen ist dieser Begriff wichtig und mit dem kann man jetzt dies wird formulieren das
hinreichende Kriterium für extrem war das dann sehr ähnlich aussieht eindimensionalen also es hinreichende die hinreichende Bedingung für Ex-Trainer wenn man mit der man jetzt eben die kritischen Punkte sortieren kann in solche die maximal sind minimal sind Sattelpunkte sind und die die man weiterhin keine Ahnung hat auch das passiert hier genau im eindimensional also der gleichen Situation wie oben dann wieder Unsinn Definitionsbereich Ende nämlich wieder offen damit wir keinen Ärger am Rand haben da der Funktion f die auf dem definiert ist und damit man sie zweimal differenzieren kann bitte schön zweimal stetig partiell differenzierbar so dann haben wir einen kritischen Punkt also da meine Stelle x 0 in M es ist jetzt immer period bei wir ja ja offen gewählt haben so dass dort der gravierend 0 ist also einen kritischen kommen und dann sieht man Folgendes Kriterium für Maxima oder Minima was Sie jetzt machen ist in dem ganzen eindimensional den kritischen Punkt und selbst wenn die 2. Ableitung ein wobei die 2. Ableitung jetzt eben die Matrix einer zweiten partiellen Ableitung ist nämlich die Hessen Matrix ja der Martens ist das Substitut für die 2. für die für die 2. Ableitung ist die Matrix einer zweiten Ableitung und da diese zweite Ableitung Positivisten haben sie Minimum von diesen Satz können sie genauso weiter benutzen sie müssen noch das Wort definiert einfliegen wenn die zweite aber damit die der Martens an der kritischen Stelle positiv definiert ist dann ist x 0 ein lokales Minimum während die 1.
Matrix negativ definiert ist die 2. Ableitung negativ bedeutet lokales Maximum nach und wenn die zweite
Ableitungen Ihnen der findet ist dann können Sie sicher gehen dass x 0 kann sagen period dann sind Sie im Fall vom
Formen vom Gebirgs dann ist es auf keinen Fall extrem Sohn auf jeden Fall satt also man sieht genau diesen Vorzeichen dessen was regst an dieser definiert werden wo die negativ definiert sieht
man genau aber jetzt Maximum und dem Minimum hat L mehr Mama noch von jetzt auch ja das sieht auf den 1. Moment sogar noch besser aus als im eigenen Zimmer nicht eindimensional haben Sie wenn es weitere positives magst Momente sie negatives Maximum und wenn sie nur das wenn Sie nix hier gibt es tatsächlich sogar in die also im Sattel vom Kriterium wenn die Hessen Matrix gehen definiert ist haben Sie tatsächlichen sich sagte period das hört sich besser an ist aber nur sehr viel besser weil die vorhin gesagt die klar sehr witzig weil wir vorhin gesagt die diese Einteilung in diese 3 Gruppen positiv wie negativ definiert in nicht alle Matrizen umfasst es gibt immer noch Matrizen jeder nicht rein passen zum Beispiel ganz krass 0 Matrix nur wenn Sie Fragen haben dann sind sie immer noch ratlos genau wem einen also anders da ist es nicht wirklich besser sehen ein bisschen besser aus rahmen noch gehen also wie für n gleich 1 gibt es unentscheidbare Fälle zum Beispiel also ganz krass 0 Matrix aber es gibt noch mehr zum Beispiel wenn sie folgende Situation haben Sie haben x transponiert Hessen Matrix an der Stelle x 0 x x ist immer größer gleich 0 ja aber es 1 1 x dass nicht nur das geht mir y und gleich 0 so das y transformiert Hessen Matrix an der Stelle x 0 Y gerade gleich 0 ist also Sie haben über 3 größer gleich 0 das heißt es nicht in definiert weiter wir bräuchten sie ein y muss negativ ist sie sah man nicht positiv der weil es gibt Doris y würde das 0 rauskommt so was nennt man eine Pose Disini definierte Matrix keine besonders wichtige Begriff weil es
nutzt eh nix da sowas nennt man eine positiv sehen wie der finite Matrix dies fast positiv definiert Arbeit nicht ganz und wenn Sie so einen Fall haben dann ist ja auch nix also Beispiel wäre zum Beispiel sollen Dinges sie aber sie metrische macht er hat 0 0 0 1 das ist mit typisch positiv definiten machst
probieren Sie es aus wenn sie extra einen sein Werk dran Multiplizieren von beiden Seiten kommt immer was größer gleich nur raus aber wenn Sie den Vektor 1 0 3 multiplizieren von beiden Seiten kommt nur raus also es nicht positiv das ist er sozusagen das entspricht dem Verhalten eindimensionalen 2. werden wohl ist muss man sie was Neues einfallen das aber es wichtige ist wie am
Anfang gesagt es ist alles so wie Sie es kennen und man muss nur richtig interpretieren also zusammengefasst wenn sie die extrem werde vor allem 1 im Inneren period mehr Funktionen den immensen an bestimmen wollen dann bestimmen Sie die 1. aber das mit den gravierenden suchen die kritischen Punkte das heißt die neue Stelle des gerade suchen alle vom dann den der gerade uns das die kritischen Punkte oder
mitzuentscheiden ob das ein Versehen period ist der sie auf die Nase der also der sie aufs Kreuz legen will und ob es wirklich Maximum Minimum ist bestimmen die 2. Ableitung die 2. werden sie die Hessen Mavriks also eine im Kreuz Matrix setzen sie die kritischen Punkte kriegen konkret dem Konzern Matrix und jetzt schauen Sie nach den Augen eindimensionalen ob die
positiv negativ oder negativ ist wobei diese begriffliche bedeuten positiv definiert oder negativ den finden und dann wenn es positiv definiert ist haben die Marke Mini
Moment negativ der für die gesamte magst wenn Sie dabei ähnlich wie die da rauskriegen auch gut dann Wesen sein period wir im Beispiel fällig das schon deutlich ich mehr aber bevor das Beispiel auch aufkommen müssen uns erst mal überlegen das ist zwar theoretisch alles schön und gut die Frage ist nicht wenn sie aus dem Beispiel die konkrete Matrix rauskriegen wie krieg ich den jetzt aus auch die positiv definiert oder negativ definiert ist das erzähle Ihnen morgen für heute sind wir damit durch dann für die Aufmerksamkeit und wünsche aus dem Tag
Folge <Mathematik>
Polynom
Variable
Differentiation <Mathematik>
Extrempunkt
Vorzeichen <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Grenzwertberechnung
Gradient
Funktion <Mathematik>
Hidden-Markov-Modell
Parametersystem
Punkt
Summand
Vektor
Linie
Gradient
Strecke
Polynom
Variable
Ableitung <Topologie>
Geometrie
Ecke
Strecke
Skalarprodukt
Länge
Homogenes Polynom
Menge
Vektorrechnung
Vektor
Zahl
Ableitung <Topologie>
Gerade
Funktion <Mathematik>
Gradient
Länge
Matrizenmultiplikation
Partielle Differentiation
Term
Vektor
Zahl
Gradient
Summe
Polynom
Skalarprodukt
Variable
Quadrat
Quadratischer Raum
Multiplikation
Reelle Zahl
Korrelationskoeffizient
Verträglichkeit <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Dimension
Matrizenmultiplikation
Witt-Algebra
Partielle Differentiation
Gradient
Polynom
Witt-Algebra
Term
Koordinaten
Polynom
Länge
Variable
Korrelationskoeffizient
Partielle Ableitung
Vektor
Koordinaten
Einfach zusammenhängender Raum
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Momentenproblem
Partielle Differentiation
Biprodukt
Vektor
Symmetrische Matrix
Zahl
Variable
Quadrat
Skalarprodukt
Partielle Ableitung
Ableitung <Topologie>
Quadrat
Summand
Fakultät <Mathematik>
Partielle Ableitung
Exponent
Ableitung <Topologie>
Exponent
Partielle Ableitung
Partielle Differentiation
Ableitung <Topologie>
Variable
Quadrat
Screening
Rotation
Verallgemeinerung
Fakultät <Mathematik>
Partielle Differentiation
Ableitung <Topologie>
Gradient
Konstante
Polynom
Variable
Quadrat
Koeffizient
Grad n
Dimension 1
Partielle Differentiation
Ableitung <Topologie>
Gradient
Konstante
Quadrat
Partielle Differentiation
Ableitung <Topologie>
Polynom
Partielle Ableitung
Minimalgrad
Partielle Differentiation
Ableitung <Topologie>
Faktorisierung
Variable
Quadrat
Exponent
Partielle Ableitung
Ableitung <Topologie>
Kalkül
Summand
Momentenproblem
Extrempunkt
Maximum
Term
Gradient
Vektorfeld
Quadrat
Variable
Dimension 1
Minimum
Inhalt <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Exponent
Vektorrechnung
Reihe
Partielle Differentiation
Vektor
Verbandstheorie
Menge
Rechenbuch
Partielle Ableitung
Mathematiker
Term
Variable
Menge
Minimum
Schnelle Multipolmethode
Minimalgrad
Formation <Mathematik>
Maximum
Norm <Mathematik>
Vektor
Term
Funktion <Mathematik>
Richtung
Mathematische Größe
Radius
Kreis
Punkt
Vorzeichen <Mathematik>
Minimum
Maximum
Oval
Term
Kreis
Radius
Last
Extremwert
Drei
Minimum
Meter
Lokales Minimum
Offene Abbildung
Maximum
Term
Extremwert
Machsches Prinzip
Stellenring
Differenzierbarkeit
Maximum
Gleitendes Mittel
Relationalsystem
Unendlichkeit
Teilmenge
Vektorfeld
Vollständigkeit
Kritischer Punkt
Minimum
Nullstelle
Term
Ableitung <Topologie>
Kritischer Punkt
Machsches Prinzip
Ableitung <Topologie>
Richtung
Kritischer Punkt
Minimum
Nullstelle
Partielle Ableitung
Graphische Darstellung
Ableitung <Topologie>
Machsches Prinzip
Innerer Punkt
Ableitung <Topologie>
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Vorzeichen <Mathematik>
Symmetrie
Partielle Ableitung
Maximum
Stetige Funktion
Partielle Differentiation
Symmetrische Matrix
Ableitung <Topologie>
Gradient
Matrix <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Minimum
Maximum
Ausdruck <Logik>
Matrix <Mathematik>
Weg <Topologie>
Matrizenmultiplikation
Vektor
Matrix <Mathematik>
Uniforme Struktur
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Kritischer Punkt
Matrizenmultiplikation
Extrempunkt
Minimum
Gleichgewichtspunkt <Spieltheorie>
Lokales Minimum
Partielle Differentiation
Vektor
Ableitung <Topologie>
Matrix <Mathematik>
Zahl
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Massestrom
Minimum
Maximum
Ableitung <Topologie>
Kritischer Punkt
Multiplikation
Matrizenmultiplikation
Massestrom
Vektor
Funktion <Mathematik>
Kritischer Punkt
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Massestrom
Minimum
Fehlerkorrekturmodell
Maximum
Ableitung <Topologie>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 16: Satz von Taylor und Extrema
Serientitel Mathematik II für Bauwesen
Teil 16
Anzahl der Teile 24
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/36073
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2015
Sprache Deutsch

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Fachgebiet Mathematik

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