## Vorlesung 14: Partielle Ableitung

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 Title Vorlesung 14: Partielle Ableitung Title of Series Mathematik II für Bauwesen Part Number 14 Number of Parts 24 Author Contributors License CC Attribution - ShareAlike 3.0 Germany:You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this license. Identifiers 10.5446/36071 (DOI) Publisher Release Date 2015 Language German

 Subject Area Mathematics
Norm <Mathematik> Differential calculus Direction (geometry) Real number Propositional formula Open set Variable (mathematics) Number Subset Degree (graph theory) Plane (geometry) Zusammenhang <Mathematik> Moving average Vector graphics Number theory Length Absolute value Euclidean vector Höhe Partial derivative Coordinate system Square Time series Set (mathematics) Unit circle Variable (mathematics) Sequence Film editing Graph of a function Kreisscheibe Linie
Zahl Differential calculus Euclidean vector Direction (geometry) Moment (mathematics) Gradient Partial derivative Schale Halbkugel Square Function (mathematics) Connected space Degree (graph theory) Vector field Vector graphics Length Form factor (electronics) Absolute value Exterior derivative
Differential calculus Partial derivative Function (mathematics) Set (mathematics) Variable (mathematics) Continuous function Connected space Subset Matrix (mathematics) Jacobi method Vector field Index Number theory
Zahl Differential calculus Partial derivative Number theory Game theory Connected space
Differential calculus Vector field Euclidean vector Index Direction (geometry) Partial derivative Vector graphics Number theory Function (mathematics) Connected space
Polar coordinate system Sine Differential calculus Moment (mathematics) Umrechnung Partial derivative Structural equation modeling Function (mathematics) American Mathematical Society Variable (mathematics) Cartesian coordinate system Sine Connected space Subset Calculation Matrix (mathematics) Factorization Chain rule
Zahl Dimension 1 Multiplication Sine Differential calculus Moment (mathematics) Partial derivative Coordinate system Function (mathematics) Matrix (mathematics) Sine Connected space Matrix (mathematics) Jacobi method Exponential function Vector field Network topology Insertion loss Scalar field Moving average Vector graphics Exterior derivative
Matrix (mathematics) Angle Special unitary group Sine Factorization
Degree (graph theory) Jacobi method Matrix (mathematics)
Polynomial Multiplication Sine Differential calculus Sine Direction (geometry) Partial derivative Function (mathematics) Matrix (mathematics) Variable (mathematics) Special unitary group Sine Connected space Ordnung n Matrix (mathematics) Berechnung Exterior derivative
Differential calculus Sine Direction (geometry) Partial derivative Square Set (mathematics) Variable (mathematics) Ordnung n Subset Connected space Vector field Scalar field Number theory
Differential calculus Diagonal Gradient Partial derivative Coordinate system Square Function (mathematics) Set (mathematics) Variable (mathematics) Connected space Matrix (mathematics) Index Scalar field Number theory
Addition Matrix (mathematics) Differential calculus Partial derivative Vector graphics Set theory Square Number
Hexagon Differential calculus
Differential calculus Particle-Image-Velocimetry Function (mathematics) Variable (mathematics)
Differentiable function Differential calculus Euclidean vector Partial derivative Berechnung Function (mathematics) Set (mathematics) Matrix (mathematics) Variable (mathematics)
also ich begrüße ich ganz herzlich zur Vorlesung weiter im wundere ich vielleicht dass ich habe dir stehen nicht einladend den Thalmann Herr leidende Mann diese Woche nicht da und ich werden vertreten heute und morgen für diejenigen die mich noch nicht kennen mein Name ist Nora da ich bin zusammen mit dem Fabian Völz Assistentin in der Veranstaltung und nochmal für die Übungsblätter und so weiter zustande kam bevor wir anfangen noch eine organisatorische Sache ja dass diese Woche sieht eine kurze Woche am Donnerstag ist ja Feiertag Fronleichnam da werden die beiden Übungsgruppen am Donnerstag auf ausfallen dass die Gruppe 4 und die Gruppe 5 sehr dafür keine Einsatzübungen angeboten die Teilnehmer aus diesen Übungsgruppen verteilen sich bitte auf die übrigen Übungsgruppen die Hausübungen geht die dann dementsprechend entweder nach andern Übungsgruppe ab oder er gibt sie war am Tod einer Sprechstunde ab und deshalb haben wir diesmal auch die Abgabefrist der Hausübungen auf Montag verlängert also anstatt freitags 14 Uhr muss jetzt bis spätestens Montagabend abgegeben werden das es vielleicht so ist ganz praktisch weil der der Michael und dann das was die haben am Montag noch meine Sprechstunde dann können die Teilnehmer aus deren Übung die vielleicht in der Sprechstunde abgeben er wahrscheinlich über einfach dass sich ausgeschaltet hat gut
dann fangen wir mit wir wollen erst nach wiederholen was hier in den in der letzten Vorlesung gemacht hat und zwar hat die in der letzten Vorlesung angefangen euch mit der Differentialrechnung in mehreren Variablen zu beschäftigen und Haller den man hat ich da am Anfang so eine Art Fahrplan gegeben wir durch dieses Thema gehen würde und zwar der hauptsächlich 2 Konzepte vor es gibt 2 Hauptkonzepte in der mehrdimensionalen Differentialrechnung das ist einmal die totale Ableitung und einmal die partielle Ableitung beide dieser Konzepte haben Vorteile aber auch Nachteile und diese vor und Nachteile sind relativ gravierend das auch der Grund weshalb man diese beiden Konzepte braucht weil man dann letztendlich eben versucht die Vorteile aus beiden Konzepten zu Co kombinieren und daher auch der dritte Punkt als letztes werden wir versuchen Zusammenhang zwischen der totalen Ableitung der partiellen Ableitungen herzustellen Vorgehen wenn man etwas andern eine Folge von mit period 2 an partielle Ableitung das ist das womit Harald schon in der letzten Vorlesung angefangen hat werden dann solltet totalen Ableitung kommen und dann den Zusammenhang zwischen beiden Ableitung begriffen herstellen gut die kurze Wiederholung zur partiellen Ableitung dass es eine spezielle Form der Richtungs- Ableitung und die in der es erstmal folgende man ist jetzt im mehrdimensionalen das heißt man hat zum Beispiel nur Funktion vom R 2 in den 1 er 2 nach er kann man sich zum Beispiel sagen würde vorstellen und steht dann irgendwo hier beispielsweise auf dem Hang an unten period und möchte jetzt die Steigung diesen Punkt angeben wird man erst mal das Problem man guckt sich so um in seinem Ge Bürger und weiß gar nicht wie ich damit welche steigen meinen angeben soll dann natürlich je nachdem in welche Richtung er guckt sehen andere Steigerung zu einseitige von Staatsanleihen geht huch was ist jetzt die Ableitung in diesem Punkt eine Lösung ist sich erst mal auf eine Richtung zu beschränken das heißt man sagt ich gucke jetzt meinen in dieser Einrichtung und gebe dafür an die Steine meine Fragen ist hier ist das Beispiel man guckt hier mal nur in Richtung der x-Achse mit dann seine entsprechende Ebene durch die durch die x-Achse und der selbst schon hier an der an Schnitt entsteht seine Schmidt Courbe und das ist der Funktion von A nach haben wir sie kennen da können wir dann auf einmal angeben wie steil der Funktionsgraph ist aber eben nur in Bezug auf diese Richtung das heißt wir haben jetzt im mehrdimensionalen nicht mehr nur eine Steigerung der festlegen sondern eben mehrere nämlich eine Steigung im Grunde genommen für für jede Richtung und das hat uns dann zum Begriff der Richtungs- Ableitung geführt Definition habe ich euch dann nochmal noch mal hingeschrieben und zwar ist man in dem Punkt x 0 im irgendwo auf diesem Gebirge wenn jetzt der Funktion von er 2 nach Art danach er angucken und gucken eben nur in diese Richtung V für die Richtung V müssen allerdings fordern dass ist nicht der neue Rektor ist weil dann das ist natürlich keine Richtung mehr und dann haben wir unser mehrdimensionales Problem Grunde ein eindimensionales Problem reduziert und wir können uns ein ganz normale Differenzen kurz angucken hat es natürlich Vektoren drin und ich einfach nur Zahlen aber im Grunde ist es genau das Gleiche wir gucken hier wie stellen sie am Brunnen Steigungsdreieck vor vom Punkt x 0 von dem wir um H in Richtung des Vektors v gehen gucken und die Differenz zum Funktionswert vom von x 0 an und das Verkleinern dieses Steigungsdreieck also verringern H lassen H gegen 0 laufen und haben so die sogenannte Richtungs- Ableitung also genau die Steigung in diese Richtung V eine partielle Ableitung besitzen spezielle Richtungs- Ableitung in dem wir für unser Frau Vorgaben machen nämlich Frau soll jetzt einer der Standard Sektoren sein also wir sagen jetzt wir gucken uns insbesondere die Richtung an wenn wir in Richtung der x-Achse oder der y-Achse gehen und das sind eben die partiellen Ableitung Altstadt spezielle Richtungs- Ableitung man es erhält dann natürlich wenn man jetzt die partiellen Ableitungen angeguckt ende verschiedene Ableitung nämlich für jeden Standard Sekt dessen Richtung man guckt erhält man eine Ableitung und die schreibt man uns ein bisschen systematische auch was man macht im Grunde sondern Sammlung schreibt denn ein Vektor und das ist genau der gerade lernt und dieser gerade lernt das ist ganz wichtig dass es immer ein Vektor ja da stehen dann die einzelnen Richtungs- Ableitung in Richtung der einzelnen Koordinatenachsen so nebeneinander aufgelistet und nach wenn wir sehen dass es ganz praktisch ist wenn das eben Zeilen Vektor ist kein Spalten Vektor gut die eigentliche Idee dass gerade die Enten war jetzt erst mal das so systematisch auszuschreiben wenn man den gerade ändern aber wissen genau anguckt dann merkt man dass der auch eine anschauliche Bedeutung hat was ihnen ja sehr wichtig macht und damit wollen wir jetzt anfangen man uns mal die anschauliche Bedeutung von gravierenden ansehen die gut also wir stellen uns immer noch unsere Landschaft vor das ist ein Bild das fertig wird solange es irgendwie geht öfter mal bemühen weil das am besten vorstellbar ist das heißt im Grunde genommen hatten Funktion vom R 2 also man hatten X Y Ebene das die Koordinaten wo man steht da nach der und das ist im Grunde die früher das Höhenprofil der der Landschaft bestehen also jetzt irgendwo in unserer Landschaft rum und könne gerade alten ausreichen das heißt wenn man die Funktion bilden einmal die partielle Ableitung nach X und einmal die partielle Ableitung nach y haben dann den Patienten und das ist in dem Fall dann sein Werk damit mit 2 Einträgen
und er kann uns jetzt eben noch ein paar mehr geometrisch Informationen geben und zwar keine das einmal mit der Richtung der angibt weg da hat natürlich meine Richtung und dann aber auch mit dem Betrag mit seinem Betrag und zwar wenn wir am ja dann unseren period im Gebirge stehen mir gerade Enten angucken sandte von seiner Richtung ja dann zeigt der als Vektor immer in Richtung des steilsten Anstieg das war mir genauso mal aufschreiben also steht man in einem Punkt x 0 so gehört und das ist jetzt die 1. Eigenschaft die man dann beobachten kann der gerade lernt an diesem Punkt x 0 die Richtung an in der der Graf von 11 am steilsten ansteigt im nächsten nur am steilsten Anstalt die gut also die Richtung des Patienten das ist die Richtung steilsten Anstiegs ist merkt man schon mal dann haben wir gesagt der Betrag dass gerade die Enten also die Länge dieses Vektors hat auch eine Bedeutung und zwar ist das genau die Steigerung dieses steilsten Anstiegs also der Betrag gibt uns an wie steil es in diese Richtung geht in die der Karte anzeigt mehr schreiben wir auch aus also ist die Normen das gerade die Enten an der Stadt gibt die Steigung dieses steilsten Anstieg an so also der Karte anzeigt einmal die Richtung steilsten ab Anstiegs und dann gibt seine Länge eben noch an wie stark dieser Anstieg ist jetzt ist die Frage was bedeutet dieser was bedeutet der gerade den beziehungsweise die Richtung die der Karte zeigt in Bezug auf die frühen Linie wenn man sich das so vorstellt man hat so man hat ja so sein gibt hören und darum so die einzelnen Höhenlinien Vomberg und man steht was weiß ich hier hier unser period x 0 mit dann steht auch ein Punkt der eben sein entsprechende Höhenlinie hat im Bergbau rumläuft dann zeigt der gerade lernt in die Richtung des steilsten Anstiegs also hier und das ist im Grunde genommen der direkte Weg zur nächsten Höhenlinie und damit steht der Abend Patient auf jeden Fall senkrecht zur Höhenlinie also der gerade während f im Punkt x 0 steht senkrecht auf der Höhenlinie durch x neue und das sind im Grunde 3 sehr anschauliche Aussagen die der gerade während liefert er zeigt einmal an in welche Richtung es am steilsten ist er sagt uns wie steil es in diese Richtung ist und er sagt im Grunde genommen wenn wir uns senkrecht zum gerade werden stellen dann gucken wir genau entlang der Grünen Linie als entlang der Linie wo wir uns auf einer Höhe bewegen würden diese 3 Eigenschaften wollen wir jetzt nicht nachweisen sondern ich will euch einfach sie einem sehr einfachen Beispiel mal so bisschen veranschaulichen ich denn dann werden sie ganz gut nachvollziehbar und zweitens ist Beispiel 16 16 wir haben eine Funktion die auch der Menge M definiert ist ist eine Teilmenge des R 2 und die sieht folgendermaßen aus das sind alle Vektoren XY aus dem er 2 für die Folgen des gilt X Quadrat plus y Quadrat ist kleiner gleich 1 das ist eben genau eine Teilmenge von ab 2 was diese Menge beschreibt ist die offene Einheitskreis Schreiber schreib ich noch dazu auf dem Einheitskreis Scheibe das ist eben das sind die zulässigen Werte für unser Ex unser Y darauf er ist unser unsere Funktion f definiert und dieses F sieht folgendermaßen aus das geht eben von dieser Menge M in die reellen Zahlen und die Funktion Vorschrift ist folgende f von x y ist die Wurzel aus 1 minus X Quadrat minus y Quadrat und da macht dann auch der Definitionsbereich auf einmal sehen dadurch dass wir fordern das Xtra drahtlos y Quadrat immer kleiner gleich 1 das verhindern wir dass unter der Wurzel und was negatives steht das möchte ich den auch hier auf der CallYa ja wir sind hier in der XY Ebene die die Einheitskreis Schreiber und dann oben drüber im Grunde genommen seine Kugel Halbschale ist das der Graf sieht aus wie der Wiener Halbschale von der Kugel ab so jetzt interessiert uns natürlich die Richtung des steilsten Anstiege denn wir wollen den Agenten jetzt nur geometrisch deuten wir stellen uns vor wir stehen ja auf irgendeinem Punkt auf dieser Oberfläche von der Kugel Halbschale irgendein period dann ist natürlich klar dass der steilste Anstieg immer der in Richtung unseres gibt als das also im Grunde unseres Mittelpunkt ja in X ist er in XY kalten hatten ist das eben genau der Mittelpunkt hier von dieser von dieser Kreisscheibe also wir erwarten jetzt dass unser gerade die hier Richtung 0 0 zeigt denn das entspricht genau diesem steilsten Anstieg der zum Mittelpunkt geht das ist der den Patienten jetzt mal auf
bitte ein so der Patient von 11 an irgend einer Stelle x y und das ist jetzt eben genau die Ableitungen von unserer Funktion Vorschrift einmal nach X und einmal nach Y das heißt wir kriegen und sein wird damit mit 2 Einträgen also einmal leiten wir F nach X an der Stelle x y und einmal halten wir es nach y ab nach ist unser gerade Ernte wenn ich die in den Funktions- Guthaben jetzt mal anguckt dann brauchen wir eine Ketten Regel in der Wurzel und bekommt bekommen dann als äußere Ableitung wenn nach X ableiten 1 1 durch die Wurzel eben die wozu rutscht in einer das heißt wir haben ja Männer 1 minus x Quadraten das y Quadrat stehen und was geht das nie ach Moment binnen 2 kriegen wir noch bei den Euro sein minus ein halbes was kriegen wir als innere Ableitung geleiten nach X ab das hier ganz wichtig das heißt die innere Ableitung ist hier minus 2 x endlich läuft das wenn wenn auch y ableiten wie kriegen wir als äußere Ableitung auch erst nach 1 durch 2 Mal die Wurzel und dann als innere Ableitung der jetzt eben nach y ableiten bekommen bei minus 2 y so die 2 einkürzen sich jeweils weg und die Wurzeln haben wir im Grunde als die haben den beiden Komponenten vorkommt das heißt den können wir nach vorne ziehen dann haben wir Minus 1 durch diese Wurzel eben 1 minus X Quadratmeters y Quadrat und dann Was bleibt jeweils übrig in den Komponenten des Vektors dass es einmal X und einmal y das bekommen dass gerade die 1 was diesen Wetter jetzt mal genau angucken die Richtung des Vektors es jetzt natürlich genau die Verbindung von diesen Punkt XY zum Ursprung also wenn Wendungen period XY sind auch unsere auf unserer Halbkugel Schale dann verbindet uns dieser XY eben genau mit dem Ursprung und hier dieser Formfaktor gibt uns die länger an das heißt das passt genau zu der zu unserer Vermutung wenn man hier auf irgendeinem Punkt steht auf unserer Kugel Halbschale dann ist der steilste Anstieg natürlich immer hier hoch Richtung Gipfel und das ist in XY Korrelaten gesprochen immer der Weg zur 0 zum Ursprung und deshalb macht dieser gerade völlig Sinn jetzt versuchen wir noch mal den Betrag dieses Agenten zu deuten also wie lange ist dieser Vektor und wenn man sich jetzt mal vorstellt man geht mit XY in Richtung des Ursprungs dann passiert Folgendes X und Y werden kleiner das heißt die seit Jahren unter der Wurzel wird größer der Essener an 1 und insgesamt wird die Länge des Sektors kleiner das heißt je weiter wir in Richtung des Mittelpunkts kommen desto geringer ist unsere an Steigerung das macht hier vielleicht auch wenn die weiter wie wir hochkommen desto geringer aber die Ansteuerung also je weiter wir uns dem den Mittelpunkt mehr umgekehrt wenn wir XY vergrößern wird der Wert unter der Wurzel kleiner thailändischen kleinere Zahl kriegen größte Steigung und das könnte sogar so weit treiben dass in die Richtung eines gehen wird eine Steigung von von endlich bekommen hier 1 am Rand der Kugel Halbschale also von daher auch der Betrag des Vektors ist im Grunde genau das was passiert wenn macht und zur Zeichnung passt hier die Beträge beziehungsweise die wir gerade den selbst seht ihr hier eingezeichnet und da erkennt man dass auch also dass der Gradient und von jedem Punkt aus immer nach innen zeigt also zum Mittelpunkt der Kugel Halbschale und das hier weiter außen man ist desto steiler Anstieg da ist wenn man nach innen kommt werden die diese 3 mit dieser gerade lernt er wird kürzer abnehmen gut was wir bleibt die Folie kann jetzt weg brauchen wir nicht mehr jetzt haben wir uns die ganze Zeit immer nur Funktionen vom RAM nach er betrachtet jetzt haben wir aber natürlich auch Funktionen die nichts Gala wehrt sich WDR sind sondern in Vektorfeld führen also vom von er nach n zum Beispiel das heißt sie wollen das was wir bis gemacht das Konzept der partiellen Ableitung wollen wird irgendwie so verallgemeinern dass es auf der Vektorfelder gilt das ist der nächste Punkt das wird es natürlich
alles nicht mehr so schön vorstellbaren da vorher konnte man über seine Funktion von R 2 nach er auch vorstellen und Saunalandschaft wenn wir jetzt was ist ich vom R 3 1 2 gehen dass es auf einmal es ist mir nicht mehr allzu gut vorstellbar dass schöne ist aber dass wir die Ideen einfach so beitragen können deren Dimension mitnehmen können also wir sind es bei 16 7 das sind die partiellen Ableitungen von Vektorfelder an da der nutzen wir wenn ich habe das bei der Stetigkeit auch schon gemacht dass wenn jetzt mehrere Dimensionen noch einmal ins Spiel kommen dass sich dann immer noch ganz viel einfach Kurdin Kombinaten Weise betrachten lässt also genauso wie bei der Stetigkeit auch differenzieren wir jetzt auch indem wir einfach jede einzelne Komponente unseres weg da Fels betrachten und dadurch führen wir dann eine Funktion die eigentlich in den R n geht letztendlich wieder auf eine Funktion zurück die nach erklärt wenn jetzt genau so ausschreiben also wir haben ein Vektorfeld dass es Aufnahmemenge definiert dieses ist eine Teilmenge von er eben man nennt wir haben einen Punkt auf diesen auf dieser menge M und ein er nennt und ein Vektorfeld F Bitterfelder kriegen wir die großen Buchstaben das eben aus mehreren Komponenten Funktion besteht das heißt in jeder Komponente steht noch meine eigene Funktion nach er und davon haben wir n Stück so dass unsere Funktion eben letztendlich vom nach R n geht und dieses Wetterfeld heißt dann partiell der Franz 4 war in x 0 eben genau diese einzelnen Komponenten F 1 bis F n alle jeweils partielle Franz ja was und also F 1 bis F M diese Komponenten gucken wir uns einfach alle einzeln an und wenn die das Konzil war so und dann sagen wir unsere ganze Funktion f dieses Vektorfeld es auch partiell befand sich aber es gibt es natürlich könnte ich vorstellen was diese ganzen partiellen Ableitung ankucken von jeder dieser einzelnen Komponenten Funktion dann gibt es natürlich eine ganze Sammlung von Ableitungen also wir haben n Komponenten Funktionen und jede dieser Komponenten Funktionen können wir wieder nach Variablen ableiten das heißt wir haben im Grunde N mal partielle Ableitungen das kann ich verstehen ist nicht mehr ganz so praktisch beziehen werde das ist dann auch gerade hilfreich wenn man dies ein bisschen systematisch aufschreibt und das wollen wir jetzt mal machen in der Matrix kriegen einmal bitte partielle Ableitungen und dem entsprechend sieht die Matrix dann folgendermaßen aus in den Zeilen steht im Grunde genommen immer der Patient von einer dieser Komponenten Funktionen ach das ist mir los also der 1. Zeile mehr und die hat sich hier gerade was bestellt genau in der 1. Zeile steht der gerade 1. Komponenten Funktionen in der zweiten Zeile der gerade der zweiten Komponenten Funktion und so weiter bis hin zur 10 Komponenten Funktion so dass diese das so dass wir Zeilen insgesamt bekommen jetzt wollen es immer wieder gerade den aussieht der gerade lernt enthält jeweils immer alle Ableitung dieser einen Funktion nach den Variablen das heißt wir haben hier dann in der 1. Zeile der Patient 1. Komponenten Funktion ist dann genau erst mal die 1. Komponenten Funktion nach der 1. Variablen abgeleitet im Punkt x 0 dann die 1. Komponenten Funktion nach der zweiten Variablen abgeleitet und so weiter bisher alle Variablen durch sind genau und hier haben wir dann er ist letztendlich dann auch nach der nach der Variablen abgeleitet Anschuldigungen die muss dann entstehen wir haben ja Komponenten Funktion und genau das machen wir dann hier für die zweite Komponenten Funktion die leiten der erst nach der 1. Variablen ab nach der zweiten Variablen ab und so weiter bis wir auch hier bei der Enten Variablen und ich komme gerade setzen durcheinander Sa gleich nach der ja ab und das Ganze machen wir dann bis zur den Komponenten Funktion Sa x 0 und dann hier entsprechen unser letzter Eintrag ist die Ente Komponenten Funktion nach Beenden Variablen abgeleitet sagt es Hamas gut und das sind dann im Grunde alle relevanten Ableitung für dieses Vektorfeld erst einmal gesammelt in einer Matrix mehr im Kreuz n Matrix die man üblicherweise das Ding heißt Jacobi Matrix von F im Punkt x 0 und üblicherweise bezeichnet man das als Fjord mit dem Index F an der Stelle x 0 so also das so als
Hilfsmittel um alle Ableitungen die für einen Mann weg da fällt relevant sind so auf einmal zusammen was man auch auf viele Schreibweisen wie geht ist folgende und zwar guckt man sich dann im Grunde alle Idioten partiellen Ableitung von diesen weg das Feld an der das heißt man guckt sich die 1. Komponenten Funktion nach J abgeleitet an die zweite Komponenten Funktion nach wird abgeleitet und so weiter bis zur Enten Komponenten Funktion nach J abgeleitet und J ist dabei eben irgendeine Zahl zwischen 1 und das kann man dann im Grunde für für jede partielle Ableitungen machen was man denn da stehen wird ist im Grunde genommen eine Spalte aus der Jakobiner Tricks die kann man so einzeln herausgreifen und das nennt man dann die das sind dann die partiellen Ableitungen von man kann sich also eine variable raus noch der Mann ableitet und leitet dann jede Komponenten Funktion eines und daraus ab und das ist dann jeweils eine partielle Ableitung Entschuldigung das
war das falsche aber gleich wieder gut
was meinen Sie mit mitmacht natürlich ist man guckt sich immer die Richtungs- Ableitung entlang einer entlang eines Einheitsvektor was anderes entlang einer Kombinaten Achse wenn man das jetzt nicht entlang eines bestimmten Einheit nicht Kombinaten weg das machen möchte sondern entlang eines beliebigen Vektors dann kann man das folgendermaßen schreiben also wir machen das im Grunde wieder den Sprung zu den Richtungs- Ableitung von partiellen Ableitung zu Richtungs- Ableitung und dass sie dann für Vektorfelder so aus also wir haben ja beliebige Richtung V dieses v ist eben und Anwärter aus dem denn wir entlang gehen wollen nur der 0 Vektor das eben nicht sein und ist es keine Richtung und dann sieht diese Richtungs- Ableitung so aus sind wieder am Punkt X 0 das wir hier anstatt dass des Index der eben uns ab angibt in welchen in welchen Einheitswerte wie entlang gehen haben wir hier den Weg Haus stehen das heißt wir leiten entlang dieses Vektors Trauer dieses das V ab und zwar erst mal die 1. Komponenten Funktion 2. Komponenten Funktionen und so weiter bis zur Enten Komponenten von ab und das sind dann eben genau das ist dann eben genau die Richtungs- Ableitung in Richtung dieses Werk das auch gut damit können wir jetzt also auch Vektorfelder
differenzieren partiell zieren wobei
wir das eben nach und nach machen können müssen bzw. er
was eben je nachdem wie groß M und N sind sehr viel Rechenaufwand bedeutet eine ich vorstellen da deshalb machen wir hier gucken
uns ein Beispiel an man dafür waren sehr einfaches Beispiel damit sich der Rechenaufwand einigermaßen in Grenzen hält und zwar nehmen wir eine Funktion die Euch vermutlich noch öfter begegnen würde das ist die Umrechnung Funktionen die einen von den Polarkoordinaten in die kartesischen Koordinaten führt und zwar ist die Funktion definiert auf dem Produkt 0 unendlich Kreuz minus Pipi geht nach R 2 und es von 4 Funktion hängt von F und Vieh von er und wie ab ist er Cosinus viel er will das Vieh also dass im Grunde als 1. Komponenten Funktion die von R und 4 abhängt und dass sie als zweite Komponenten Funktionen von R und Vieh abhängt genau das ist eine ganz wichtige Funktion weil die eben von den Polarkoordinaten in die kartesischen Koordinaten transformiert habe dann diese Funktion kann jetzt eben differenziert werden in dem wir jede Komponenten Funktionen einzeln nach jeder Variablen differenzieren das heiße spricht schreiben uns dann entsprechend Jacobo Matrix auch um diese Ableitung zusammen also Kubrick Matrix von F und schreiben dann erst mal in die 1. Zeile die Ableitung des 1. Komponenten Funktion nach er und die Ableitung der 1. Komponenten Funktionen nach Vieh daher und was dann natürlich noch fehlt ist die Ableitung der 2. Komponenten Funktion auch erst mal nach Erna und dann nach 4 abgeleitet das sind im Grunde alle Kombinationen die wir hier bei den Ableitung bekommen können mit am 2. März anfangen wenn ihm die 1. Komponenten Funktion er Cosinus Vieh und leiten die jetzt hier nach er ab was stehen bleibt es genau Cosinus wie wenn wir jetzt nicht nach sondern noch Vieh ableiten dann bleibt das er als vor fragte einfach stehen und aus dem Kosinus 4 wird ein Minus das Lied das heißt wir haben ist ein Minus er das Vieh so 2. Komponenten Funktion er Sinus die leiten erst nach er ab bleib genau das Sinus Nutzvieh stehen und nach Vieh abgeleitet dass er als vor Faktor widerstehen und aus den Sinus würden Cosinus das heißt wir haben er Cosinus Vieh so damit haben wir unsere Jacobi Matrix aufgestellt in dem wir einfach alle partiellen Ableitungen jetzt denkbar sind zu einer schönen angeordnet haben damit können wir jetzt für jeder Funktion partielle Ableitung bestimmen und zwar für jede Funktion die von irgend einer menge M die Teilmenge des AMS in irgendein eingeht und das schöne daran ist eben dass wir keine neuen Ableitungsregeln brauchen denn alles was wir was wir hier machen spielt sich endlich wieder ein eindimensionalen ab dadurch dass wir bei den partiellen Ableitungen immer nur eine Variable betrachten und alle anderen für den Moment einfach als als konstant betrachten schön wir unser mehrdimensionales ab Leitungsproblem hier eindimensionales zurück und das hat funktionieren alle unseren unserer alten Ableitungsregeln auch und das ist total praktisch das heißt Quotientenregel Produktregel Kettenregel können wir im Grunde alles so weiterverwenden eine dieser Ableitungsregeln wollen wir uns allerdings jetzt doch mal fest mehrdimensionale noch mal genau anschauen nicht weil es unbedingt notwendig ist sondern weil es da einfach das Rechnen noch weiter vereinfacht werden kann und sei es dass die die Ketten Regel da ist ist ein bisschen umständlich wenn man sie immer für jede einzelne Kurt er Komponenten Funktion durchexerziert da ist es einfacher wenn man ja sich mal anguckt wie sie das in mehreren Dimensionen außen das spart einem Arbeit wenn man eben der verkettete Funktionären Dimensionen nicht mit vielen eindimensionalen kehrten regeln ableitet sondern eben miteinander Demenzen einkehrten Ketten Rede und deshalb
jetzt eben als einzige Regel die wir noch mal fürs mehrdimensionale explizit machen wollen die Ketten rege also für die Ketten Ringe brauchen wir natürlich 2 Funktionen die verkehrte sonst das ist einer das Vektorfeld L was von RAM nach R n geht er ist jetzt egal ob er enden Skalarfeld oder ein Vektorfeld ist und wir haben die zweite Funktion in diese Funktionen des wollen wir das F einsetzen das heißt es macht sehen dass wenn unser 11 nach n geht das dann Umwelt G in R n startet damit es quasi die Ergebnisse vom 11 auf weiterverwenden kann so und diese Funktionen die müssen stetig partiell der Franz hier war sein und dann gilt für die Verkettung diese Verkettung nennen wir H und das ist die die Verkettung von gehen nach 11 und die führt dann natürlich vom in den P dann ist auch diese Verkettung partiell differenzierbar mehr und wir können die die partiellen Ableitungen dieser verketteten Funktion direkt berechnen nämlich die Jacobi mehr ja Kubrick Jacobi Matrix von H in Ex x 0 ach Quatsch bis dann nämlich genau die Jacobi Matrix von der Funktion g also von der äußeren Funktion f von x 0 mal die Jacobi Matrix von der Funktion f NX neue das erinnert Euch vermutlich sehr an die Ketten reden eindimensionalen und das ist im Grunde auch gar nichts andres ist jetzt nur eben in Matrix habe er Schreibweise geschrieben deshalb schreibe ich mal die Ketten Regel eindimensionalen dazu da meine Funktion die Undo-Funktion F diesen verkettet die ist die äußere Funktion und dann sagt die eindimensionale Ketten Regel Pleite erst die äußere Funktion G ab an der Stelle F von X und multipliziere dann nochmal mit der Ableitung der inneren wenn wir das mal vergleicht das ist genau das Gleiche nur dass wir ob jetzt eben die Matrix Schreibweise haben der einzige Unterschied ist eben dass man ihren eindimensional Zahl multipliziert und ja Matratzen Nummer die Dimension ankucken hier in unserer Matrix Schreibweise dann ist diese dass in dieses F 1 Funktionen von RM nach R n das heißt Zimmer in die Farbe das hier ist genau der in Kreuz Matrix und die Jacobi Matrix von gehen ist genau mit T X N Matrix und kommt dann eine P Kreuz Matrix und hier seht ihr dass es bei dieser guten Regel anders als im eindimensionalen jetzt auf einmal ganz wichtig ist dass man diese Reihenfolge einhält also ganz wichtig äußere Ableitung mal in der Ableitung von passen die Dimension von Matratzen nicht mehr zusammen deshalb auch die eindimensionale Ketten Ringe am besten immer auch wenn es da letztendlich egal es immer in dieser ein Reihenfolge merken äußere Ableitung mal einer Ableitung dann kann auch mehrdimensionale nicht schief gehen gut gut zum Beispiel dazu an wir uns die Ketten Ringe jetzt beim ableiten
helfen kann das ist das Beispiel 16 10 wir brauchen natürlich 2 Funktionen eine Funktion gehen die geht von R 2 nach R 2 das unsere äußere Funktionen und zwar ist das die von P Q erst ihr auch okay Cosinus Co und er auch P Sinus Q und die wollen jetzt in der Funktion f hätten wobei es die innere Funktion ist das heißt es muss auf jeden Fall mal nach R 2 gehen damit es überhaupt in die einsetzen können und wenn neben der Funktion f die vom R 3 in den er 2 geht nämlich F von X Y Z mir ganz einfache Funktion ist X plus Y und x Z mit also hier weil jeder Zielbereich von 11 den Definitionsbereich von G entspricht können wir jetzt eben die Nachäffung anschauen und zwar sieht dann gehe nach er folgendermaßen aus gehen nach 11 es jetzt mehr Funktionen die von XYZ abhängt weil es eben die innere Funktion das das heißt im Grunde genommen auf ein Vektor XYZ wenn es an und dann gehe an wenn wir jetzt es auf diesem Sektor anwenden dann kriegen wir genau 1. Koordinate X plus Y in der zweiten Kurden hatte x x Z her das ist genau hier die es gibt uns die Funktion Vorschrift von F vor das so und dann werden wir eben G darauf an und bekommen Ehebruch X plus Y weil dieses X plus Y jetzt hier um und P entspricht mal Kosinus von XZ und in der zweiten Komponente E hoch X plus Y mal Sinus von XZ es könne man diese Verkettung natürlich von Hand der Franz hier wollen wir hier gerade nicht machen sondern wollen es immer die Ketten Regel benutzen gucken wie das funktioniert was wir suchen ist also die Jakobiner Tricks von die nach F also von dieser verketteten Funktion das heißt dem müssen entsprechend hier unsere Ketten Ringe verwenden nach kehrten gilt dann das WDR Jacobi Matrix von G nach F bekommen wenn wir die Jacobi Matrix von G aufstellen an der Stelle f von x y z und die Multiplizieren mit der Jacobi Matrix von 11 gut das heißt es im Grunde genommen 2 Matrizen die wird erst mal aufstellen müssen um die dann multiplizieren zu können bei als erst mal die aber Jacobi Matrix von geht die wir hier brauchen Jacobi Matrix von gehen jetzt gucken wir noch an period P Q wir werden danach die Funktion sehr davon F dafür einsetzen ist und jetzt müssen wir im Grunde genommen die haben beide period Komponenten Funktionen jeweils nach P und jeweils noch 2 ableiten dass entsprechend schreiben also erstmal die 1. Komponente nach viele abgeleitet EOP abgeleitet GOP das Kosinus Kuhberg einfach unverändert davorstehen das heißt Mirko komm wieder ihr hoch P mehr Cosinus Q jetzt leiten das Ganze nach Q ab dann bleibt das hoch P einfach davorstehen und aus dem Kosinus Q wird ein Minus Sinus Q also das ist die Ableitung unserer 1. Komponenten Funktion hier oben nach Q und jetzt müssen das Ganze noch der 2. Komponenten Funktion machen die leiten wir erst nach P ab dann bleibt das hoch P 1 verstehen muss man sagen 10 Exponentialfunktion wir weit werden erst nach erst nach Q in dem Moment genau bleiben erst nach P ab es bleibt die Exponentialfunktion und es bleibt hier einfach der 7 stehen gut des leitenden nach Q ab dann bleibt das EOP als vor stehen und aus dem vinos Q wird genau ein Cosinus Q jetzt können wir F entsprechend einsetzen das heißt wir gucken uns jetzt die Jacobi Matrix von gehe an der Stelle F XYZ an und das ist eben genau die Jacobi Matrix von G einen Punkt X plus Y und x Z also das was uns F liefert setzen wir jetzt genau wieder ein und wenn wir das einsetzen bekommen
wir er hoch X plus Y mal Kosinus x fährt dann minus X plus Y 7 Uhr 6 Z und er auch X plus Y minus 6 fährt und er hoch X plus Y Cosinus 4 gut damit haben wir jetzt also hier diesen 1. Teil der Ketten Regelbrecher das wir jetzt übrigens haben Momente vereinfachen dass man noch ein bisschen wir können dieses Egoexpress Z 1 noch der vorziehen dadurch dass es in jedem Eintrag vorkommt und man sieht hier unsere Matrix ein bisschen schöner aus so ja sieht man jetzt auch das ist erinnert er vermutlich eine Dreh Matrix ist auch mit drinne Matrix um genau den Winkel X Zeit so wird mir da weniger zu verlieren gut dann aber den zweiten Faktor noch wenn ich dir Kuppel Matrix von 11 es ruf sieht man sei es leider nicht mehr wo man es noch mal her schreibt es sie noch mal eben
hin das das zu 11 und zwar ist das X plus Y und x x Z gut jetzt nehmen wir wieder den 1. Eintrag das geht mir ganz einfache Jacobi Matrix nehmen wir die 1. Kommunen Funktion dieses X plus Y und leiten das einmal nach X ab bleibt genau die einstehen von diesem wir den 1. Eintrag leiten nach y ab bleibt auch einstellen mich y abgeleitet gibt genau 1 Leid mit den 1. Eintrag nach Z ab kommt keine Zeit drin vor dass er dass dieser Eintrag 0 nehmen wir hier denen die zweite Kommunen Funktion x-mal Z bleiben die nach X ab was stehen bleibt ist genau das Z leiten sie nach y ab kommt nur raus weil eben gar keine Emsland und vorkommt und der müssen Z ableiten bleibt den X stehen also jene ganz einfache Jacobi Matrix gut damit haben jetzt genau unsere beiden das ja manchmal wieder weg das war nur dass
wir das sehen können ob Schlecker wir haben jetzt genau die beiden Matrizen die wir multiplizieren müssen also damit haben wir können wir jetzt Jacobi Matrix von der Verknüpfung die nach F an der Stelle x y z berechnen und zwar ist das er auch X plus Y haben wir hier Kosinus x Z minus 4 aus x Z Sinus 6 Zeit Cosinus x Z und das jeweils einmal und jetzt wird's ein bisschen engen 1 1 0 der neue X so dieses Produkt uns jetzt genau die Problem Matrix von der Verkettung ab und das kann man ja relativ leicht ich durch Multiplizieren und hier wird jetzt genau dass es wichtig ist die Matratze in genau dieser Reihenfolge zu multiplizieren also genau äußere Ableitung innere Ableitung stellt ich die mal Matrizen einmal vertauscht vor würde denn es funktioniert nicht mehr wir stimmen Spalten Zeilenanzahl von der Matratze nicht mehr so überein dass man sie multiplizieren kann so funktioniert das jetzt wir kriegen EU X plus Y und jetzt rechnen wir hier die 1. Zeilen mal der 1. Spalte was uns genau Kosinus cv fällt minus Zeit mal Sinus X Gerd Mindestzeit mal wie das XZ dann das die zweite Spalte der Welt genau Kosinus von x x Z stehen und dann die 1. Zeilen bei der dritten Spalte damit minus x X Sinus von XZ jetzt können wir uns die zweite Zeile formal der 1. Spalte da kriegen wir sie das XZ plus Z mal Kosinus x dann zweite Zeile mal 2. Spalte bleibt genau Sinus XZ stehen und dann zweitens schon new line mal 3. Spalte bleibt genau x-mal Cosinus x x Z super damit haben wir die der Cogema 6 von je nach F aufgestellt ja in dem wir eben hier alle partiellen Ableitung im Grunde genommen in ja dadurch was gefunden haben so ich würde vorschlagen an der Stelle machen eine kurze Pause und machen in 5 Minuten und dann noch mal weiter so gut dann machen wir weiter also wir haben gerade die Ketten Regel mehrdimensionalen gesehen wir haben das ein Beispiel durchgerechnet wo man dann eben die äußere Funktion an die Ableitung der äußeren funktional die Ableitung der inneren Funktionen rechnet genau auf die Reihenfolge achten muss und dann haben wir eben hier diese Matrix als Jacobi Matrix für die Verkettung rausbekommen überprüfen könnte man das Ganze jetzt in dem man die Funktionen die nach 11 indirekt differenziert womit wir uns jetzt beschäftigen wollen ist der Begriff der höheren Ableitungen denn genau wie im eindimensionalen auch wenn man jetzt eben häufig auch nicht nur einmal ableiten sondern mehrmals ableiten also beispielsweise nochmal nach X oder noch mal nach y ableiten und das geht hier im mehrdimensionalen eben auch mehrmals abzuleiten wenn man sezierender letztes Beispiel angucken wo unsere 1. Ableitung im Grunde schon aus 6 Komponenten besteht wir uns das mal angucken und dann noch ableiten würden wenn wir könnten jede dieser 6 Komponenten wieder nach jeder der 3 Variablen ableiten das heißt als 2. Ableitungen würden wir insgesamt schon 18 Ableitung bekommen 18. am Ende wird man es jetzt noch einmal machen würde wie in dieser 18 Teile wieder jeweils 3 Ableitung bekommen nämlich Na Exner y und Nachtzeit er könne sich vorstellen dass explodiert unheimlich schnell deshalb ist man da die ja treibt man das im mehrdimensionalen gar nicht so weit mit dem mehrfachen ableiten klar die 1. Ableitungen brauche man die dazu die 2. Ableitung auch gerade heller Polynom im nächsten Kapitel werden sehr wenn dass man die 1. 2. Ableitung durchaus braucht ab der dritten wird's dann eher werden die Ableitung der eher selten dass die Vorkommen die Berechnung werden dann auch so unschön dass ein das im Grunde genommen gar nichts mehr hilft F 1 im Grunde genommen sind partielle Ableitungen höherer Ordnung aber eigentlich gar nichts Neues mein leitet nur einfach stur immer weiter ab und grob dass man immer nur eine Richtung in Blick nimmt also genau diese Idee die man beim 1. ableiten auch Aldi die setzt man dann beim bei den höheren Ableitungen auch fort und genauso kann man auch weiterhin die eindimensionalen Ableitungsregeln bestimmt also auch noch super praktisch wir müssen endlich auch hier keine neuen Regeln lernen das entscheiden ist er wie man das aufschreibt wenn man ebenso viele
Kombinationsmöglichkeiten bekommt wenn man eben
mehrmals ableitet also das hat das nächste
Kapitel 16 11 wir sind dann partielle Ableitungen höherer Ordnung ach mehr also wir haben wieder eine Funktion f die auf definiert SMS eine Teilmenge von er und es geht dann von diesem dieser Teilmenge M nach er wir gucken uns jetzt nur Skalar wertige Funktion an alle gucken uns jetzt gar keine Vektorfelder an denn dann könnte ich vorstellen endlich den ich noch nicht nur für jede Variable nochmal jeweils die Anzahl an Ableitung sondern würde die viele Komponenten Funktion noch mal die Anzahl von Ableitungen bekommen also das ist dann überhaupt nicht mehr handelbar Wasser beschränken wir uns ausgelagerte Funktion die eben nach ergeben wir fordern dass diese Funktion stetig partielle Ziel war das also dass die partiellen Ableitungen dass die auch stetig sammelt diese Forderung ist deshalb notwendig damit wir überhaupt drüber nachdenken kann nochmal abzuleiten wenn wir Ableitungen der 1. ableiten Ableitungen rausgekommen ja nicht stetig sind dann können wir gar nicht an höhere Ableitung denken also dass er als Forderung müssen stetig partiell von sein er trug wir gucken uns einen Punkt x 0 aus der Menge an den wir in dem wir immer von der Front ziehen wollen wird und schreiben das dann folgendermaßen auf also wir nehmen unsere Funktion f leiten die nach der nach den Jurten Einheitsvektor ab in der Stelle x nur bekommt dann die entsprechende partielle Ableitung und diese partielle Ableitungen die leiden wir jetzt noch mal nach Schiiten Standardware Sektor ab also genau so wie man sich eine zweite Ableitung vorstellen würde ist es ja tatsächlich auch man muss halt nur jeweils sagen in welche Richtung man ableitet was muss ich immer die gleichen Richtung seiner wir können auch sagen wir leiten jetzt erstmal x-Richtung ab und dann würden wir nochmal die die Ableitung in in y-Richtung zum Beispiel und deshalb eben hier muss das immer entsprechend angegeben werden also das hier hier wird erst nach XJ abgeleitet und dann nochmal nach X die das kann man verkürzt schreiben und zwar für das zweifach ableiten von 11 kann man dann einfach 4 1 im Quadrat anderes Delta machen und schreibt dann in den Nenner des X I des XJ und das heißt in genau erst noch XJ am ableiten danach XI ableiten und im Grunde genommen ist das nichts anderes als die partielle Ableitung der partiellen Ableitung natürlich jetzt auch hier wieder mehrere verschiedene Schreibweisen dich ich hier kurz auch schreiben möchte das ist das womit man eine der Rechnungen immer wenn sein immer zu kämpfen hat dass es ganz viele verschiedene Schreibweisen gibt ihr letztendlich alle das Gleiche sagen also man kann das auch folgendermaßen schreiben ab oder auch ganz kurz dass man die Variable nachdem man ableitet einfach hier so als Indiz ist schreibt so hier muss da vielleicht drauf achten also wenn man sie diese diese der ja Schreibweise hat verwendet das immer das was ihnen nicht erst abgeleitet also hier wird erst noch XJ abgeleitet wenn man das als Indiz schreibt dann arbeitet man das von links nach rechts ab also das ja bedeutete das gleich in allen Fällen wird hier erst noch XJ und danach ziehe abgeleitet nein und natürlich kann ich sobald man lieber und Ableitung geht gibt es ja unglaublich viele Kombinationsmöglichkeiten und entsprechend sieht das dann für höhere Ableitung aus da würde ich es aber nur ein paar Beispiele hinschreiben also zum Beispiel bedeutet das hier beleibten erst nach dem 1. Standard das Wetter dann nach dem dritten und dann noch mal den 1. oder das das hier ich schreibe sitze in unterschiedlichen Schreibweisen mit der ich dran gewöhnt das heißt im Grunde leiden insgesamt dreimal ab 2 nach 2. Standard Basis weckte und dann noch einmal nach dem 1. oder f von x y z es abgeleitet nach X nach Y nach Z also erst die partielle Ableitung nach extra nochmal Patient als man ableiten dann nochmal Z ableiten jeden von links nach rechts rechts abarbeiten und genauso hier und so geht das eben weiter ok wird und wie gesagt im mehrdimensionalen die 1. 2. Ableitung bräuchten ob man häufig zum Beispiel den Satz von Täler aber die dritte vielleicht noch gelegentlich aber dann wird das Ganze echt und schön dass man das gar nicht mehr so verwendet gut für die 1. Ableitung hatten wir jetzt denn gerade die Enten beziehungsweise die Jakobiner Tricks um die partiellen Ableitungen so bisschen schöner aufzuschreiben und das zum bisschen zu systematisieren das Gleiche machen wir jetzt die 2. Ableitung auch also die wollen wir auch bisher systematisieren und jetzt denke ich dran die Bilder einzufrieren bevor ich weitermache ich hoffe das klappt so wo ich mich von drauf hingewiesen klappt das
ja genau als sie den ich immer noch was vorher da
stand also wenn uns jetzt nur die 2. Ableitung angucken und nur ist Galan wertige Funktionen dann hat man gerade noch so viel partielle Ableitung dass man dienen Matrix schreiben kann das funktioniert nicht nur bei der darstellen und es funktioniert nicht mehr wenn man höhere Ableitung als die zweite anguckt aber diese Chance dass es für die 2. Ableitung bei Skalar werden Funktion noch geht die wollen jetzt mal nutzen und lernen noch eine entsprechende Matrix kennen gehen genau diese 2. Ableitung zusammenfasst und das ist die sogenannte Hessen Matrix also wir wieder eine Menge aus dem RAM na das Essen und schön geworden und eine Funktion f die von nach erklärt wie gesagt geht jetzt nur noch für Gallagher diese Funktion also für Funktion nach nach ja und die Funktionen muss natürlich zweimal partielle von Zierer sollen uns Crime die 2. Ableitung gar nicht hin in dem Punkt x 0 denn wir betrachten und dann es fangen wir natürlich erstmal wir natürlich erst mal anfangen den gravierenden zu bestimmen also alle 1. partiellen Ableitungen das heißt den Funktionsterm nach Exner y nach Z nach allen Koordinaten abzuleiten das heißt wir kriegen dann ein Zahlenwerk damit Einträgen und jede dieser partiellen Ableitungen leiten wir dann noch immer nach allen Variablen ab falls das Ergebniss ist könnte Euch vorstellen wird 7 Quadrat zweite Ableitung und dementsprechend als im Quadrat ableiten 2. Ordnung und dementsprechende mir das Ganze jetzt in der Matrix aufschreiben wollen in gibt ergibt das eine Kreuz Matrix und zwar mehr stellt ich das so vor mehr leiten die also wir haben unseren weg da die ganzen Einträge wo wir einmal nach x 1 1 x 2 und so weiter bis XM abgeleitet haben und diesen gerade während leiten wir jetzt erst mal noch mal nach X 1 ab das heißt wir nehmen den 1. Eintrag dänische nach X 1 abgeleitet haben weil die nochmal nach X 1 ab an der Stelle x 0 ja das geht schon da ab dann nehmen wir den zweiten Eintrag den wir hier von dem gravierenden den wir nach x 2 abgeleitet haben und leiten den jetzt auch nach X 1 ab und so weiter bis wir beim Enten Eintrag des Gradienten angekommen sind und auf den noch mal nach x 1 ableiten also hier erst noch Ex abgeleitet danach X 1 so und das Ganze machen wir dann natürlich auch machen wir mal bisher jeden Einträge des gravierenden nach einem abgeleitet haben also ich erst dann der Eintrag die 2. Ableitung und zwar einmal nach der X 1 diesen gravierenden stand und dann noch mal nach d x 2 und so weiter bis wir auch hier Hopf ab bei dem Eintrag sind denn jetzt erst noch des X abgeleitet haben und danach des X 2 er und so weiter bis wir in der letzten Zeile den 1. Eintrag dass Agenten den wir erst noch X 1 abgeleitet haben jetzt nochmal nach DXM ableiten da abgeht die Systematik hier auch alle gesehen und dann hier im letzten Eintrag haben wir dann einmal nach DXM und hier nochmal nach DXM abgeleitet eine froh und das hier diese Matrix nennt man eben dass eine Matrix der im Kreuz Matrix und die nennt man Hessen Matrix von F im Punkt x neue und das schreibt man nochmal analog zu Jacobi Matrix infame zum Index erst das steht für Hessen Matrix der Funktion f im Punkt x 0 wenn man sich jetzt mal genau anguckt die 1. Matrix da stehen eben alle mal in Kombination drinnen dies gibt 2. ableiten zu bilden und hier auf der Diagonalen da sammeln sich genau die 2. Ableitung wo zweimal nach der gleichen Variablen abgeleitet wird vielleicht wir das offensichtliche nicht dass wir noch in schreibe ich die die 2. Ableitung x 2 x 2 was sich auf der Diagonalen alle 2. Ableitung wird seiner dergleichen hatte ab leiten und darum herum sind alle andern Kombination verteilt und dem alle erdenklichen kommen dazu und findet man darum herum das hat Kreuz oder mal Einträge dieser Matrix und das ist in der schöne Möglichkeit alle 2. Ableitung zu sammeln geht aber eben nur Festgala wertige Funktionen nicht wenn man mehrere eine Funktion mit mehreren Komponenten hat also verdeckter Felder geht das nicht mehr gucken und zum Beispiel an das ist 16 3 Stellen meine suchen wie eine einfache Funktion aus denn sonst sind wir noch bis morgen dran mit dem mit dem rechnen also wird gucken uns eine Funktion von R 2 nach erahnen und dies hat er auch eine relativ einfache Funktion Vorschrift nämlich f von x y ist x hoch 3 y plus X mal wie hoch y so wie es wirklich geschieht das und erst mal den Patienten aufstellen ich gehe gleich noch
die nächste Seite also machen es mir die 1. partiellen Ableitungen der gerade ihren von es ist und dafür leiten wir jetzt ein nach X ab und einer noch y ab schreiben das als einen Vektor auf und das ist hier für diese Funktion wenn wir die einmal nach X ableiten bleibt hier stehen noch das zu Übung alle Mal auch selbst Berater im Kopf das geht eigentlich ganz gut also die 1. 7 zur nach X abgeleiteter bleibt am aus dem 1. Summanden 3 x Quadrat y stehen und aus dem Zweiten so meinten genau er y stehen wir das Ganze nach y ableiten bekommen wir x hoch 3 plus X X E hoch y das ist also der Agent unsere beiden partiellen Ableitungen und die leiten wir jetzt weiter ab und stellen so die Hessen Matrix auf mehr so könnt ich vorstellen beide diese Ableitungen können wir jetzt jeweils wieder nach X und Y ableiten das heißt wir kriegen jetzt hier Ableitung 2. Ordnung und dementsprechend ist die Hessen nach 14 Uhr 2 dpa 2 Matrix Oh und zwar nur schreien was es noch mal allgemein auf ein längst umstellt die Funktion zweimal nach X abgeleitet dann erst noch y danach X Quatsch das ist 4 hängt immer noch von X und Y ab links unten erst nach X danach y abgeleitet und rechts unten steht die Ableitung 2. Ordnung die man bekommt wenn man erst noch y dennoch meiner y ableitet gut machen wir das mal hier leiten wir zweimal nach X ab das heißt wenn man diese Ableitung nach X und leiten nochmal nach X ab da bleibt genau 6 x y stehen jetzt nehmen wir die Ableitung je nach y und leiten die nach X ab da bleibt dann 3 x Quadrat plus E Y stehen so hier für nehmen wir jetzt die Ableitung nach X und leiten nochmal nach y ab das heißt wir gleiten die sind ja noch meine y ab was der stehen bleibt ist 3 x Quadrat plus E Y und dann wie die Ableitung nach y nochmal noch y ab was da stehen bleibt ist X mal hoch y so so sieht also die 1. Matrix einer einfachen Funktion aus mit Nein wenn man sich dieser Matrix jetzt mal ansieht erkennt man dass der
zweimal die gleichen Zahlen steht nämlich hier und hier steht der geleistet haben die Frage ist das jetzt Zufall also ein bisschen Phase verwunderlich ist es schon denn wir haben die beiden Zahnnerv völlig unterschiedliche Art und Weise bekommen einen 1. X und danach ist außen abgeleitet einer y da man danach X wir gucken uns dafür gehen wir noch eine Ordnung höher und und mehr noch die Ableitung dritter Ordnung an also die
Ableitung dritter Ordnung das ist im Grunde
genommen alles F X X 6
dreimal nach X abgeleitet dafür leiten wir diesen Termin noch mal nach X ab das sind 6 y dann X X Y werden diesen Termin nach y nochmal ab S 6 Sechsecks sei immer gucken dass alle Kombinationen kriegen X Y X X Y X ist dieser Tag noch mal nach X abgeleitet das sind genau 6 x und dann X Y Y also müssen eine aus 6 Nation comma Einkommens überprüfen leiden wir diesen Zahn nochmal nach y ab da bleibt dann er auch y stehen was haben wir noch 11 y wächst das ist dieser hat haben wir noch mal nach X abgeleitet was stehen bleibt und 6 x das haben noch F Y X ich hoffe Schmerz keine doppelt y also das ist dieser Art haben nochmal nach y abgeleitet was der stehen bleibt ist auch er hoch y und dann 6 Stück haben wir 2 viele noch was ist das F Y Y Pkw das heißt dieser nochmal nach X abgeleitet da bleibt genau wie hoch y stehen und dann noch mal 3 X nach Y abgeleitet also diesen Tag noch mal y ableiten da bleibt X E Y stehende X E hoch y wir unser 8 Ableitungen sind alle gut wenn wir uns die jetzt ankucken dann fällt uns auf dass sie tatsächlich auch wieder gleiche fand ich vermute mal eben hier zu markieren und zwar
gleich sind einmal die hier nach X nach X nach Y die hier nach Exner und zwar nach X und die hier nach y nach X nach und wir haben noch mal 3 die gleich sind
und zwar die hier nach X nach Y nach y y x wächst und y y x es scheint also doch kein Zufall zu sein man diese Ableitung jetzt mal ankucken die da gleich sind dann sind das ja diese 3 ableiten sich der jeweils entsprechenden genau die wo immer gleich oft nach der bestimmten Varianten abgeleitet wird also insgesamt den gleichen Variablen abgeleitet wird nur die Anzahl unterscheidet sich und da scheinen die Ableitungen gleich zu sein und das ist eine ganz wichtige Aussage deshalb gibt es da auch im berühmten Satz 2 der genau das aus sagt das ist der Satz von Schwarz und der sagt aus solange die Funktion nicht als so hässlich ist und das sind die meisten Funktionen ist dann ist die Reihenfolge der Ableitung egal dort und dieser Satz ist oft wäre hilfreich bei 1 im freistellten welche Reihenfolge man ableitet und das kann wirklich hilfreich sein weil es oft einfacher ist erst nach der Variablen abzuleiten und danach der Variablen und den wollen wir jetzt mal kuk habe ich das jetzt wieder hinbekommen den wollen wir jetzt mal noch aufschreiben diesen
letzten Satz diesen Satz von Schwartz das ist recht sein jetzt bin ich bei Grün das ist vielleicht sein 14 über das Vertauschen von partiellen Ableitungen hat der so genannte Satz von Schwarz und das auf dieser Satz hat wie die meisten setzte Voraussetzungen damit der überhaupt gilt die sind hier aber nicht allzu wild also die meisten Funktionen erfüllen diesen Satz also wir haben ne Menge M aus dem am dies offen und der Funktion f Gala wertet dies führt von nach er und die ist K mal kalt stetig partielle Fränzi war das ist eine Voraussetzung man erreichbar wir prüfen kann und will die partiellen Ableitung Cook gab sich stetig sind er also das heißt alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung K mehr sind stetig und dann gesagt dieser Satz das alle partiellen Ableitungen bis zu dieser Ordnung K eben vertauschter sind das ist genau das was einem Beispiel gesehen haben das kommt nicht darauf an welche Reihenfolge der von zieren nur wie oft wir nach der jeweiligen Variablen das differenzieren also zum Beispiel heißt das es ist egal ob ich die hier erst nach der im 2. Standard Basis weg da der Franz hier und da nach den 1. oder ob ich umgekehrt ach Quatsch mehr ein ganz einfaches Beispiel wo man sofort erkennt wie praktisch das ist wenn man der Funktion von 11 XYZ hat die hatten total komplizierten Ausdruck es kommt aber nur in X und Y drin vor und man hat jetzt die Aufgabe machen sollen 15 nach x ableiten und einmal noch Z ableiten dann ist es natürlich klug wenn man erst nach Z ableiteten Z kommt gar nicht zum vor dann ist die Ableitung 0 und dann kann man auch ruhig noch 15 Mann nach X ableiten weil 0 abgeleitet dann also sollen dass sie den bisschen konstruiertes Beispiel habe ich glaube daran wird deutlich dass es oft sinnvoll ist sich Gedanken zu machen was ist sinnvoll danach welche Variablen sollte man es erst ableiten und der Satz von Schwarz erlaubt es eben entsprechend zu tauschen stimmt und das Licht folgende Frage der gucken auf die Uhr die ja okay an mit dem Thema partielle Ableitungen sind wir damit mehr oder weniger durch wir haben viele Möglichkeiten gesehen sie zu berechnen wir haben Möglichkeiten gesehen wie man sie schön systematische Matrizen oder Vektoren aufstellen kann es könne man endlich denken geht das Thema Differenzierbarkeit in mehreren Dimension schließen wir damit ab damit ist alles gut und da konnte es aber genau der Fragen denen erhalten den man sicherlich auch am Anfang schon mal erwähnt hat mit den partiellen Ableitungen ist alles gut und schön was die Berechnung an sind sehr schön zu berechnen insbesondere eben weil man die eindimensionalen alle verwenden kann was war das Problem ist es gibt einen Haken machen er kommt oft an Grenzen wenn man sich dann überlegt was bedeutet das überhaupt was berechnet habe also man kriegt dann oft Schwierigkeiten die partiellen Ableitungen zu interpretieren und das dafür werde ich Euch morgen 2 Beispiele zeigen wo man das ganz deutlich sieht dass das Konzept der partiellen Abreise Ableitungen zwar wunderschön zu berechnen ist aber theoretisch einfach nicht ausreicht und werde dann ist das Konzert der totalen Ableitung vorstellt das was wir heute und das Morgen