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Mathematik I für Bauwesen - Vektorrechnung

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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass er verlängert werden an der TU Darmstadt floh so oder mal
herzlich willkommen so und mit mittwochs Vorlesung diese Woche zunächst mal die Frage letzte Woche gab es hier die Anfrage ich soll möglichst zügig durch machen weil es eine Gruppe gibt die auf die sich diese muss war das eine einmalige oder System wöchentliche Sache eigentlich gut also machen wir auch wieder er gut dann könne man direkt loslegen damit war verließen und ich hatte letztes Mal schon gesagt das Ziel dieser Vorlesung ist hier ist bei der Ebene wegzukommen und uns allgemein mit überdimensionalen Räumen zu beschäftigen wesentlich ist Dinge das natürlich denken soll bis jetzt der dreidimensionale Raum der uns umgibt aber wir machen das gleich mal den Artikel typisch wenn man 2 und 3 kann kann man auch gleich 5 und 7 machen war dass er n-dimensionale Räume und das würde uns dann auf die sogenannte Vektorrechnung also das ist das Kapitel 3 in sehen Abschnitt über Geometrie und das ist finden Sie wenn Sie jetzt dieses Mathematik für Maschinenbau Skript nehmen dann Kapitel 1 also das was ich jetzt mal gesagt habe ich werde jetzt immer in Klammern bei jedem den welchen wo es passt eben noch in den ich Ihnen geben er wo sie die entsprechenden Dinge in dem Maschinenbauer Skript finden so was war der Startpunkt im zweidimensionalen 2 Startbahnen zweidimensionalen war der Musik hat dieses Koordinatensystem gewählt einen Ursprung ausgezeichnet und 2 senkrechte Achse reingelegt und von da aus jeden period mit 2 Kollegen hat mit der Egge sind y-Koordinate beschrieben bis dahin kann 7 dreidimensionaler Raum machen sie zeigen Ursprung ausmachen 3 senkrechte Achse reinen kriegen 3 Koordinaten und das gleiche können Sie auch im zehndimensionale Raum machen sieht seinen Ursprung aus wenn sich 10 eine senkrecht stehende geraten das ist jetzt bisschen schwierig vorzustellen weil bei uns wird's malerweise so 4 auf der also nach 3 auf Arbeitsprinzip es genau das Gleiche und dann kann man jeden Punkt im zehndimensionale Raum beschreiben durch seine 10 Koordinaten bezüglich dieser 10 Axt und auf die Weise comma also zum period zum Begriff period also das ist Begriff 3 1 im Maschinenbau Skript 1 1 und was wir da machen es eben analog zum R 2 sagen wir also wären am letzten n aus gegeben das ist unsere Raumdimension denken Sie gerne in gleich 3 dann kann man sich vorstellen da dabei ist also ob in bisschen die Angst zu nehmen oder weil sie nicht meint natürlich kann ich mir die nicht zu auch keine 7 die Mensa Raum Raumvorstellung man welches ein dreidimensionales Wesen und aber im Wesentlichen es ist einfach so man hat eben nicht nur 13 eine senkrecht stehende Achsen sondern immer nur und dafür uns die Warte aus wenn man keine hat er findet man sich welche also 3 im vierdimensionalen Raum können sie halt vorwärts rückwärts rechts links oben unten und Büro glauben machen müssen und Giroblau hat das neue Wort oder denken Sie etwas anders aus es passiert nichts Wesentliches neu ist das ja mal einfach mehr Richtung in die sich bewegen kann der und das Konzept bleibt genau das Gleiche also ein period also period P im n-dimensionalen Raum bis jetzt eben gegeben nicht mehr durch 2 oder 3
Koordinaten sondern durch in Koordinaten also x 1 x 2 bis X N und X 1 zeigt den immer noch mit dem müssen Sie auf der 1. Achse laufen Xtra 1. 2. und so weiter er diese zahlen x 1 x 2 bis 6 Ellen heißen weiter die Koordinaten von P und jetzt noch eine Vereinbarung eine Schreibweise die ich gern einführen würde diese senkrechten klammern sich die richtige Methode Sohn period hinzuschreiben aber immer wenn man so Zeug schreit insbesondere meinst in gedruckten Text schreibt sind die ältesten Weise furchtbar viel Platz wegnehmen und deswegen gibt es eine eingeführte Schreibweise dass man die Dinge als Zeile schreibt und da sehr so'n kleines T 3 macht dieses T R steht für transponiert und transponieren bedeutet es wird uns noch häufiger unter die Räder kommen transponiert bedeutet einfach aus jeder Zeile würden Spalte dass es bald über Zeile nur also diese Zeile transponiert es Spalte und Spalte transponiert gibt Zeit das es aber einfach nur nett Schreibweisen Konvention im Wesentlichen um Platz in Druckwerken zusprachen da steckt nichts dahinter über den Moment kommt noch was was dahintersteckt wo man steht der nächste hinter Sonne ist einfach nur die Konvention dass man statt Zeilen Spalten statt Spalten Zeilen schreiben kann
also es aber period immer n und
Koordinaten genauso wir das aus mehr als 2 gewohnt sind wenn sie in gleich 2 setzen Sie den 2. die Ebene mit diesen Worten damit zu rechnen sie können 2 Punkte addieren und Sie können von den mit im skalaren in dem mit der Zahl als was er mal nehmen das entspricht der Nummer 1 2 EL also niemand 2 Punkte ja okay das ist also ein Punkt den man mit den Koordinaten x 1 bis x 1 und Co ist ein Punkt den man mit den Koordinaten y 1 bis Y N das also von diese T Schreibweise wie gesagt das heißt nur dass denn eigentlich spalten
ich Platz war und sich nicht als Zeilen schreibe und dann definieren wir was P plus Q ist also was ist Pep Luschkow was Sie tun ist sie addieren einfach in jeder Koordinaten also der Punkt B plus Courtiers die Koordinaten x 1 plus y 1 x 2 plus y 2 bis X N plus plus Y N aber es ist die Addition von 2 Punkten und das
nächste ist die sogenannte skalare Multiplikation wenn Sie sich zusätzlich noch eine reelle Zahl Alfa hernehmen dann können Sie den Punkt Alle Farben P oder einfach mal P definieren und das ist genau die gleiche Methode sind in dem Punkt P A 6 1 bis 6 m und multiplizieren jeden Eintrag mit der Zahl war und dann haben sie dem period als habe ich er was sie daraus insbesondere kriegen also diese Rechnung indem man die skalare Multiplikation aber und was sie damit insbesondere auch haben es sei was wir P minus Q weil was ist
Terminus Co aber das ist jetzt
eine Bemerkung die immer wieder Geld mal Dinge fürs plus definiert haben meistens auch die Minus minus Co können Sie sehen also P Plus aus Handy das können Sie sehen P Plus minus 1 Marco und jetzt ist alles was da steht definiert das ist jetzt der Punkt x 1 bis x N plus der period minus y 1 ist wie das Y N und das geht ganz intuitiv den kommt mit den Kollegen hatten x 1 minus y 1 x 2 minus y 2 es X minus y das war wahrscheinlich auch so spontan Naivling
geschrieben hätte wenn einem jemand die Aufgabe gegeben hätte wie definiert man den X R E R T minus Q könne gut was hat man es bist was hat man weiterhin also noch weiter zu insgeheim
weiter zu insbesondere das ist Nummer
1 nur 2 was es einmal P einfach mal P ist der weg damit als mal Einträgen das ist einfach wieder P minus einmal P schreibt man oft Sie da oben als minus P unwichtig ist noch der Fall 0 x P was passiert wenn Sie den Eintrag in 0 multiplizieren kriegen Sie das Truppe dass nur die Nullen enthält das wir noch eine besondere Rolle spielt so Dezember paar Rechenoperationen mit dem können wir jetzt
schon überlegen was gelten dann für Rechenregel also nehmen wir uns mal 2 skalare also 2 reelle Zahlen als von bitte hier und 2 Punkte P und Q das und dann gelten die folgenden Regeln dieser alle wahrscheinlich nicht überraschen werden aber es ist gut dass Sie mal darstellen und war was ist sozusagen eine Art Reflex wenn man so was sieht mir so was kann man aus multiplizieren darf man das hier neu definierte Vorschrift dass die Frage erst mal wieder offen darf ich aus Mode beziehen dies gewohnt bin haben sich meine schreiben was da steht stellen sie fest dürfen sehe also das ist tatsächlich Alfa P Flussbett der P gleiche Frage umgekehrt sind nur ein Skalar bei dir in 2 Punkte und multiplizieren das mit dem Skalar auch das dürfen Sie aus multiplizieren also das ist ein Fall P Plus FAQ so wie man es gewohnt ist und dann gibt es das sind 2 sollten 2 Regeln die von der Sorte Distributivgesetzes sind und habe ich nun assoziativ gesetzt dabei Eisenklammern Vertauschung gesetzt wenn Sie den period haben und multiplizieren gehen mit der reellen Zahlen als normal Wetter dann können stattdessen auf den period zunächst mit der multiplizieren und das Ergebnis damit Allvar das ist das gut dass die ganzen Rechenregeln gelten ist wie gesagt erstmal nicht selbstverständlich muss man nachrechnen das aber alles nicht besonders schwer nennen Sie Ihr P x 1 bis 6 N schreiben sich eben was Eifer plus später mal P bedeutet treiben sich die Linken die rechte Seite hin und Sie werden feststellen dass es in denn Sie können ja das 1. Mal gerade machen
als Beispiel also ja Begründung
dass das Geld für das für 1. Gleichheit der also wir okay habe die Koordinaten x 1 x 2 bis XML dann schauen wir uns mal an was ist fraglos später mal P das ist eine Frau bloß später mal dieser Vektor also
x 1 bis x N bitte wie war das definiert sie müssen jede wie tief beziehen sollen period mitnehmen mit der reellen Zahlen denn sie jeden Eintrag mit der mit dieser allen Zahlen multiplizieren also das ist der Punkt Alfa plus später X 1 bis 1 plus Peter X N so auch in jedem einzelnen Eintrag stehen jetzt nur noch reelle Zahlen period der steht jetzt die ganz normale Multiplikation und Addition in er die dürfen sie also aus multiplizieren dann steht der Alfa x 1 plus Peter x 1 x 4 x 2 Beschluss bitter x 2 und so weiter bis alle vor XN plus später X nach der Definition von Plus ist das iPhone X 1 bis Eifer XN Louis der Tag X 1 bis später Ex und das ist Alfa P plus später PIN dann haben wir erst die Gleichheit von o und so können Sie die andern alle auch nachrichten schon aber dieser ganze Kram mit den Punkten ist er nicht nur das Vorgeplänkel und weil ich über Vektorrechnung er und dazu müssen definieren was ein Vektor ist anschauen diesen Vektor was ein Vektor ist man wird immer auch für das gerichtete größte bezeichnet Vektor ist der Größe die nicht nur der mit der in Betrag hat wie zum Beispiel die Temperatur Temperatur ist die klassische skalare Größe ist aber die Zahl können Sie jetzt in Kevin Fahrenheit Drehung würde Telse servieren am besten aus auf eine Zahl und das Gegenteil dazu ist mit Kraft zum Beispiel als der vektorielle Größen die Kraft hat nicht nur der Stärke sondern wir darum Richtung weg da es in den meisten Maßzahl also Betrag und die Richtung hat typische Fälle sind Kraft Geschwindigkeit sind denn im Pool das ist ja das ist so typische Fälle von vektoriellen Größen eben alles was einen Betrag und Richtung hat und das wollen wir jetzt definieren und der dazu den und jetzt die Punkte
also uns kommt sozusagen die der entscheidende Begriff des Vektors begriff 3 4 beziehungsweise 1 3 in dem Skript wenn sich 2 Punkte im Raum vorgeben Pecora sehen dann kann man den Vektor in einer ersten Näherung definieren als die Gerichte der Verbindungslinie von P nach Kuba haben Sie jetzt die Verbindungslinie von P nach Kolonien oder auch in Richtung geben dann ist das der Vektor x also können sie Text nennen und die Verbindungslinie von P nach Q von Connacht B R von B nach Kohl sinnigerweise S T minus Q definiert das ist der Weg zur vom Anfangspunkt eines ist die vom vom genau vom Anfangspunkt Kuh zum Endpunkt P diese Vertauschung ist muss so sein dies etwas da kann man sich leicht führt verheddern ja wenn man das nicht macht hat man dann minus in seinen Formen also erweckte vom Ausgang anfangs zum Endpunkt P den kriegen Sie in der gerade eingeführten in den gerade eingeführten Kalkül als Bremen Luschkow und das damit sie mit so einem weglaufen
Anfangspunkt Code zum Endpunkt P das haben was man sich eben bei seiner Kraft und der Geschwindigkeit als gerichtete Größe vorstellt also ich meine übers Bild darzustellen also Sie haben in Pompeji und period Q was wir jetzt haben ist ein Vektor vom Anfangspunkt gut zum period P ja das ist die Strecke die von Pluto P führt wir zusätzlich noch eine Richtung kriegt und dann ist das was man sich anschaulich unter dem Vektor vorstellte Größe die gewisse Betrag hat das Gericht länger symbolisierende Richtung und jetzt kommt noch eine Besonderheit dazu wenn Sie sich die Definition von Welt oder anschauen wenn Sie jetzt nicht P und Q nehmen sondern 2 andere Punkte die aber so liegen dass die Verbindungsstrecke genau die Parallelverschiebung von dem ist also so was hier oder auch hier hinten als mehr dann sind das verschiedene Strecken im Raum aber immer der gleiche weckte an das liegt daran war das sehe man um zum Beispiel von dem Teil von dem Fall P Q zu diesem Fall P Strich Q Strich zu kommen addieren Sie auf P 1 gewissen period auf Kohl denselben er dir doch P und auf Q das selbe also vom PC durch die zu comma sehr viel vom Koto-ku kommen und wenn Sie jetzt Co semicolon B Strich abziehen kriegen Sie das gleich wenn sie Kuchen P abziehen mehr dementsprechend ist das alles derselbe Vektor also das ist alles der Vektor x er und das ist wichtig sich zu merken eine Parallelverschiebung schwarzes ist wegen auch nochmal explizit finde Parallelverschiebung ändert den Vektoren nicht man hat dann natürlich andere Start und Endpunkte aber der Viktor als mathematische Größe hängt nicht davon ab wo sie denn jetzt im Raum hin tun das ist auch in die sie nicht mehr wenn sie von einer Kraft in eine bestimmte Richtung von bestimmten Menge reden dann wollen Sie denn damit nicht gleichzeitig auch immer gesagt haben wurden die Kraft angreift Kraft kann alle möglichen Orten angreifen es trotzdem dieselbe Kraft vor deswegen ist es sehr sinnlich und wenn man so haben das für den Vektor unerheblich ist was der Staat period ist was den Vektor charakterisiert ist seine Lehre in länger sein Betrag und seine Richtung aber die Richtung ist unabhängig davon wo ich ihn Pflege das alles die Sie denn diesen derselbe Vektor und wenn es unerheblich ist wo man Klemt für den Sektor dann dürfen sie eben irgendwohin kleben das
sollen sollen sie auch Tunis erlaubt er und das muss man auch ständig dass man die Dinge hin und herschieben kann also noch mal andersrum formuliert ein Vektor ist fällt wird festgelegt durch die Länge und Richtung und damit liegt der fest das sind sozusagen seine einzigen 2 Eigenschaften den vollständig beschreiben und das heißt im
Umkehrschluss auf die spezielle Wahl des Anfangspunkt kommt es nicht an period sie können den Vektor also egal wohin kleben es bleibt immer der selbe Vektor und das macht man sich zunutze weil auf die Weise gibt es eine Realisierung dieses Vektors eine Version dieses Vektors die irgendwie eine besondere S und das ist die wenn man ihnen die 0 anklebt denn wenn sonst der jetzt auch noch mal XP x nur mit dem werden wir uns gleich alle das ist sozusagen eine herausgehobene Legalisierung von dem weckt aber alle anderen sind genauso sind immer der gleiche weckt an gut mal ein konkretes Beispiel dafür dass es eben tatsächlich dasselbe ist dass man
denselben weg dass verschiedene Punkte kriegen kann also dieses Bild hier oben P und Q und P Strich und Co spricht die verschieden sind aber denselben Sektor geben das ist Beispiel 3 Filme
bzw. 1 4 da können Sie meinen P es in der Ebene als 3 5 Q 1 1 4 das ist der Verwendungszweck zur mit anfangs oder den Punkt P also das ist 3 5 minus 1 4 das gibt den Vektor 2 1 1 3 minus 1 ist 2 5 minus 4 S 1 aber den gleichen Sektor können Sie natürlich zum Beispiel doch realisieren mit Endpunkt 5 3 und Anfangspunkt es müsse mal gucken was müssen wir da einsetzen das 5 minus dass irgendwas 2 3 und 3 minus 2 S 1 also ist das hier SP strich nehmen und dass das Q strich dann haben Sie auf diesem Sektor 2 1 auf 2 verschiedene Arten als Differenz von 2 Punkten geschrieben und das ist genau das was ob mit Parallelverschiebung gemeint war schon das sie sehen ich schmeiße
hier in der Notation eigentlich mathematisch untypisch und irgendwie erst mal verwirrend period und Vektoren durcheinander Herr ganze gerade so dargestellt dass Hessen Vektor- und das hier sind Punkte braunes wir benutzte da vorne das gleiche Symbol das ist doch fürchterlich unübersichtlich ja und nein weil diese Unterscheidung ist period und Vektoren in Maßen künstlich ist und das in vielen Situationen sehr sehr sinnig ist das zu identifizieren und zu sagen period und Viktor dass sie das Gleiche und das ist der Inhalt von der vom Abschnitt 3 6 entsprechend 1 3 ich sie halten Vektor in dem Sinne sich 2 Punkte in und sich die gerichtete Verbindungs- gerade anschauen und das heißt was sie tun Funde weckte zu kriegen 17 die Kohl in der Punkte von ab und ich hatte schon gesagt es gibt eine Version des Vektors die heraus gerade tragende Rolle spielt und das ist die mit Anfangspunkt 0 oder Anfangspunkt Ursprung so Anfangspunkt Ursprung also niemals Anfangspunkt den Ursprung und wenn man das macht dann kriegen sie eine eindeutige Entsprechung von Punkten zu Vektoren dann gehört zu sie period P genau ein Vektor nämlich der Welt Wetterdaten period er nur mit P verbindet ja also wann immer sie 2 Punkte haben wenn die durch ein Vektor verbunden wenn sie es einen von den beiden Puppen auf den Ursprung fest knallen dann kriegen da Eins-zu-Eins-Beziehung dass zu jedem Punkt genau ein Vektor gehört der und zwar der Rektor der jeweils den Ursprung mit dem P verbindet also wenn man speziell das erhält man eine eindeutige Entsprechung oder Zuordnung zwischen den Punkten immer allen mit den Vektoren und in dem Sinne macht das gar nicht so viel Sinn jetzt der Notation laut unterscheiden mein Lektor der Punkte meint weil in dem Sinne Vektoren Punkte eigentlich das L
bedeuten und das ist nicht meistens gar
nicht tragisch wenn sie auf Dauer einfach den Unterschied ignorieren wird und dann irgendwann vergessen und ich eigentlich immer nur Vektoren denken wer also ist diese Zuordnung zu verstehen der Vektor x kriegen Sie wieder wirkte X kriegen Sie als Verbindungs- Strecke zwischen 0 und P zwischen Ursprung und P und wenn Sie jetzt der die Koordinaten 0 0 0 0 0 0 0 0 0 je nach zu 4 0 je nachdem wie viel Dimension sie haben wenn sie von dem Punkt P jeder Colgate 0 abziehen dann ändert sich da nicht fürchterlich viel mehr wird P übrig dann sehen Sie in diesem Sinne ist der Vektor x gleich den Punkt P und dieses X heißt dann um diese diesen Zusammenhang auch einen Namen zu gießen das nennt man den Ortsvektor von P und wenn man da drauf Erfinder Notation reiten will und das gerade wichtig ist dann schreibt man manchmal auch so was wächst mit Index P und meint damit eben X soll der Ortsvektor von Pisa trotzdem wenn sie diese Notation verwenden schadet's nix dies nicht wird Standard wenn Sie das
einmal dazu schreiben dass bei Ihnen XP den Ausweg der bedeuten soll also wenn P hier ist P ist der Punkt dann ist das Ziel der Ortsvektor XP kann der Ortsvektor zum Punkt es immer der Rektor der den Ursprung mit diesen Punkt verwendet schon wichtiger Spezialfall davon was ist der Ortsvektor des Ursprungs
ja der Ursprung dessen besonderer period also ist es mal interessant was hat der führen könnte auch in besonderen Ortsvektor was ist also der Ortsvektor zum Ursprung ja das ist der Vektor der dem Ursprung mit dem Ursprung verwendet also minus oder und nur minus 0 ist ein 0 was ist der Rektor der lauter Koordinaten nun hat einer von schon gesehen und der wird meistens als nur mit dem 3 drüber geschrieben und das ist der neue deckt an No ich sah das ist ein wichtiger Vektor an dem hängt sozusagen
alles das ist unser eine period für das ganze System gut ja also Vektoren können Sie sich vorstellen als gerichtete frei im Raum eine gewissen Länge als das Gericht Verbindungsstrecke von 2 Punkten und Vektoren beschreiben als Ortsvektor genau die period immer wieder auf period hat genau seinen eigenen Ortsvektor das ist eine eindeutige zur gut damit period rechnen können und period und Vektoren einig selbe sehen können wir damit auch der mit Vektoren rechnen wir hatten vorhin die verschiedenen Rechenoperationen für period eingeführt und die Rechenregeln dazu und die sind exakt das gleiche bei Vektoren weil Punkte sind ja Vektoren kann also das ist viel für Punkte wegen dieser Beobachtungen 3 6. können Sie alles 1 zu 1 übernehmen das heißt der die 2 Vektoren indem sie zu zur Frage Hmm manche 0 aber Vektorzeichner manche nicht ja also da ist das erst der die neuen ohne weckte die neuen in der eckigen Klammern sind reale Zahl 0 ja dass Sie die Koordinaten des 0 Sektors das sind lauter echte 0 die 3 andern 0 sind Os das sind der Ursprung also meinetwegen weiter und Schwänzchen dran also das sinnlos das ist der Ursprung was ein ok die 0 es damit gerichtet ja die nur noch keine Richtung logisch die 0 ist ein Vektor und der 0 Sektor ist insofern eine Ausnahme als es der einzige weckte ist der keine definierte Richtung hat da drängen 0 und ist jetzt können sie sich und können sie sich kann man sich streiten philosophischer da gar keine Richtung oder die jede Richtung gleichzeitig beides macht gleich hat einfach keine Länge und da keine länger hat er hat er keine Möglichkeiten in Richtung zu zeigen aber sie können keine Vektorrechnung machen wenn sie nur recht Lektor Korrektor weggelassen brauchen wir ständig ja also den den muss man dazu nehmen sonst es es keine Theorie sonst gibt das eine Riesenkatastrophe er aber sehr ich der hat keine Richtung in dem Sinne oder jede die gleiche die gleichen Tragödie da haben Sie es gut klettern es manche gemerkt und nicht gedacht dass er mal weise ich darauf hin habe die gleiche Tragedy hatten wir eigentlich schon ein früher bei den Polarkoordinaten sichere ja den Polarkoordinaten gesagt wie gesagt Punkt im Raum können so beschreiben durch den Abstand vom Ursprung und den Winkel der Nullpunkt gespielt auch Spielverderber da ich keine wieder gleiches Problem da hat auch keiner ich doch kein kein Dinkel und dementsprechend ist es mit dem Boden da kommen dann der Aussteller auch getrickst passiert die genauso gut kann ist damit ungefähr noch mehr Fragen die die Frage ist ob ich nehme an die es nicht verstanden nach Multiplikation von 2 Vektoren ist im Moment noch nicht definiert die Moment können Sie ich habe ja ich habe wir haben bei den Punkten definiert period los period und reelle Zahl x period reellen Zahl x Vektor können Sie genauso machen ja reelle Zahl mal Viktor wenn Sie ein Vektor x haben also wenn der Vektor x die Koordinaten x 1 bis x in haben hat dann ist eine formal x x der Vektor mit Koordinaten Alfa x 1 bis 1 Felix genau über period ja das können sie schon aber Vektor x Vektor können sie noch nicht aber gehen Sie in eine halbe Stunde lang können sagt das der er meinen manche wenn das auch so können aber dann kann sie es offiziell nach der Vorlesung noch einen Kommentar dazu zu diesen ganzen holen sie werden gerade gedacht haben ob man das macht der Film Cars mit 3 verschiedenen Rollen und besonderen O das K aus ist da aber es ist gar nicht und das kommen Sie nicht rum schauen Sie mal in verschiedene Bücher rein den Unterschied dass sich über den neuen der freigemacht für den neuen Vektor ist unfreundlich in ganz vielen Büchern mit weckte einfangen Normalnull Symbol bezeichnet und dann sehen Sie gar keine unterschiedlichen reellen Zahlen Lohn- und den Vektor 0 und wenn man weiter macht kommen dann noch 5 andere 0 Begriffe dazu und die Aufgabe des geneigten Lesers ist üblicherweise sich zu belegen welche 0 ist jetzt ein ich gerade gemeint das ergibt sich meistens daraus dass der mal guckt was auf der einen Seite vom Gleichheitszeichen steht und dann die Zahl nicht gleich den Vektor sein kann wenn irgendwo rechts ein Vektor stellen möchte gleich 0 da muss das links wohl auch sowohl Vektor- sein weil sonst es daher Gleichheitszeichen Mumpitz aber das werden Sie in vielen Büchern so die Mathematiker haben irgendwann aufgegeben diese 25 verschiedenen Nullen alle mit einem Symbolen zu bezeichnen weil sonst würden wir heute schon das aramäische Alphabet auch noch brauchen und dann wird übersichtlich sie kriegen schon genug griechische Buchstaben die und in der Folge Vorlesung gut damit dann also Vektoren und was jetzt kommt das sind Dinge die man mit diesen Vektoren man gerne mit dem man die beschreiben kann und dass man mit den die man mit den Geometrie machen kann und wir mit ihnen rechnen kann und das 1. ist ich habe ihn die ganze Zeit gesagt und Rektor der hat eine Länge und Richtung oder ist nur der ja ja nur von der Länge geredet aber die Frage ist ja was es war diese Länge wie rechnen Sie die aus und das ist jetzt der 1. period die Länge von Vektoren dass die nächste Definition und sie mir zumindest bei der
Länge machte nur Vektor keinen Ärger aber Sie können sich schon denken was der verlängert also wo kriegen wir die Länge hier für Sonne Vektor das ist die Nummer 1 5 an also wenn denn das geben uns ein Vektor vor das wieder Koordinaten x 1 bis x n wird stellen Sie sich gleich 2 in gleich 3 Vortag verknotet sich das wird nicht so arg so was ist jetzt im R 2 die Länge von so Vektor ja 6 1 da ist x 2 das immer schon fünfmal die rächendes wieder Pythagoras die Länge von dem Vektor ist die Wurzel aus X 1 Quadrat plus X 2 Quadrate und diese Fahne können Sie jetzt ruchlos 15 die Länge von einem Vektor in Komponenten ist die Wurzel aus X 1 Quadrat plus 6 2 Quadrat plus und so weiter bis plus X N Quadrat und jetzt hat ich ihnen gesagt sie sollen sich die Pfännchen abgewöhnen also neue Filmchen weg das ist die Summe J gleich 1 bis n XJ Quadrat und daraus die Wurz das ist die Länge von dem Viktor die Kriege zum Symbol der man die oft braucht dann und ja ja diese Länge nennt man noch mal mit den Betrag vom Viktor und an der Stelle wenn ich jetzt auch wieder nur dazu den unterscheiden damit man er nicht mit den reellen Betrag verwechseln kann also Betrag wäre so sinnigerweise oder Vektoren schreibt man üblicherweise mit Doppel beiden drumrum das ist das Symbol für die Länge und genannt wird das die Norm von X aber wie gesagt Bezeichnung Betrages durchaus auch üblich wobei das eigentlich ungeschickt ist weil der Betrag ist mir wähle Größe also ist mir Größe auf den reellen Zahlen wenn Sie auf man sind spricht man besser von der Norm ab und weiß eigentlich viele Normen gibt aber wir gucken uns nur die eine an zu unterscheiden ist dass die so genannte euklidische Norm aber das euklidische können Sie wieder vergessen im Zuge dieser Vorlesung wird nur die Norm geben und das ist die das ist auch die die aus dem Alltag kennen ja das ist der alltägliche Leben das und also was das Ding anschaulich ist ist wie gesagt
die Länge des Wetters also die Norm gibt die Länge des Wetters an und wenn Sie jetzt zum Beispiel 7 0 Vektoren nehmen dann haben sie alle XJ 10 0 also addieren Sie m x 0 Quadrat auf dass es immer noch 0 also sehr wohl wird dort damit Länge 0 also ein neues
Spielzeug diese Normen dann schauen wir mal was die für Eigenschaften hat also Abschnitt 3 9 Eigenschaften und Rechenregeln für die Norm das korrespondiert mit Abschnitt 1 5 so und bei solchen Aufzählungen von Eigenschaften von solchen
neuen Größen es ist immer gut wenn man im
Hinterkopf behält was bedeuten diese Größen anschaulich und dann sind die meisten Eigenschaften Banalitäten also zum Beispiel das 1. die 1. wichtige Eigenschaft der Norm ist die Norm gegeben durch eine Wurzel von dem positiven oder dem Ausdruck der größer gleich 0 ist also die Norm ist immer eine Zahl die größer gleich 0 ist das fällt mir jetzt nicht komisch dass man länger was größer gleich 0 es negative Länge Lengefeld noch in diese ist da aber das kann man es lohnt sich das mal festzuhalten das ist eine wesentliche Eigenschaft der Norm sie 7 pro größer gleich 0 da hatten wir gerade schon gesehen wenn sie den 0 Vektoren dem und von dem die Norm ausrechnen dann kriegen Sie 0 und jetzt geht es noch eine zweite tolle Eigenschaft der Norm die mit der 0 zu tun hat das ist nämlich die nur weckt Radlängen denen und der dort Länge 0 aber unter 0 deckt das außerdem der einzige weg da der Länge 0 hat nur jeder andere hat mir echt positive Länge und das ist insofern toll weil es eine Möglichkeit gibt man Vektor als 0 weg zu entlarven wenn Sie der Welt haben von dem Sie nicht viel wissen aber sie können irgendwie zeigen seine Länge ist 0 dann wissen Sie sofort dann ist der Vektor von 0 die beiden Eigenschaften zusammen nennt man positive Defini teilt der Norm das ist mehr so zur Info wichtig ist dass sie erhalten die Norm es immer positiv und wenn sie nun ist eines der Rektor schon 0 mehr Berater ja weil es durchaus Vektoren die für die die oder ein weckte gibt für den die Länge 0 ist der nicht einmal der klar Norm X ist größer als 0 ist falsch ich werde Gegenbeispiele nämlich den man wird das geht Wetter deren Länge 0 hat aber eben nur ein gut das ist die 1. Eigenschaft so jetzt kommt die zweite Eigenschaft was passiert mit werden jetzt noch 2 Dinge Vektoren tun können wir können sie mit dem Zahl Alfa multiplizieren können Sie agieren und die Frage ist die weiß wie verhält sich jetzt die Norm auch unter diesen beiden Operationen also wenn wenn weckte den Dämonen Minderzahl Alfa multiplizieren was ist dann mit der Länge von alter X wie hängt zusammen mit der Länge von X und wenn man aus der Alltags Anschauung kommt ist klar was passiert wenn Sie einen Vektor um die Länge mit 5 multiplizieren dann wird sich wohl auch seine Länge um 5 ändern wenn sie mit minus 3 multiplizieren dann wird auch dreimal so lang und das stimmt tatsächlich kann man nachrechnen also die Länge von Alfa x x es Betrag Alfa mal die Länge von X diese Eigenschaft heißt Homogenität ja und auch das ist erst mal kühne Behauptung smus vereinigt Nachrichten aber es macht nur meinen die inzwischen Vektor x 4 x 1 bis 6 N schreibt die Norm als Wurzel aus dann kann man das Alfa über ausklammern und kriegt das raus was rauskommt also vielleicht an dem ein Beispiel mal warum gilt das wenn wir
X die Komponenten x 1 bis x N hat mehr was ist dann die Norm von 1 x x x nach Definition ist das die Norm ist dass die Wurzel aus im schreiben dass man das einfach mal X ist das ist ein Fall X 1 ist Eifer die Definition der Norm war Quadrieren sie jeden Eintrag zum sie alle Quadrate der Einträge auf und ich weise Worte drüber also nochmal nehme sich jeden Eintrag hier verdrehen Sie denn zu mir Sie die alle auf und schmeißen seine Worte drüber das ist die Norm das können Sie da innen drin das ist der große Worte Summe J gleich 1 bis n war Quadrant XJ Quadrat das kann man das Alter Quadrat ausklammern Summe J gleich 1 bis n XJ Quadrat ja
bis jetzt ist nur das Alfa Quadrat ausgeklammert steht Summanden drin sicher die ausklammere versunken Zeichen dann geht die Wurzel Rechenregel nur von Produktes Produkte Wurzeln Wurzel Alfa Quadrat mal Wurzel aus Somalia gleich 1 bis in die Xia Herr das hinter der Generation das hintere ist einfach die worden waren von X und was steht da vorne und 8 und jetzt ist wieder ein Reflex nicht nachzugeben mehr Quatremer dann Wurzelziehen das macht sich rückgängig also steht da einfach nicht Quadrieren Wurzelziehen macht sich nicht rückgängig in ich da nicht ein Alfa negativ ist in Alfa minus 1 ist Eifer Quadrat ein zumindest die Wurzel 1 Wurzel aus ein Quadrat ist nicht die Zeit um ist die betritt der Betrag von der ZEIT deren Achtung klassischer Closure Patzer wozu vom Quadrat ist nicht nichts ohne diesen Betrag so und das ist genau das was wir zeigen wollten Norm von Alfa X es Betrag Alphamann und nix gut das war die Homogenität und jetzt kommt die Frage was passiert mit allen Normen wir 2 Vektoren addieren also nehme sich 2 Vektoren X und Y hier und schauen sich an was ist die Norm von der Summe also was ist
Normen von X plus Y und den die Antwort ist nicht dass es gleich Norm von X plus Norm von y das ist falsch aber Sie kriegen wir eine Ungleichung dann die ungleich aber auch schon mal gesehen denken Sie mal die Pfeile weg und statt 2 Striche nur einstrichen ja eine Frage das Ticket danke das meinen Sie das geht mehr wir hatten schon führt A und B aus er Betrag von Abfluss des nördlichen auch schon gesagt das können Sie nicht einfach als Betrag von A plus Betrag von wäre seine Ziele aber es geht die 3 zum gleichen das ist kleiner gleich Betrag von A plus Betrag von Bett und genau das gleiche haben sie auch dass es immer kleiner gleich Norm von X plus Norm von y und das ist die so genannte 3 Gs ungleich und ich hatte ihn damals beim Betrag gesagt dass denen man Dreiecksungleichung und Sie dürfen mich jetzt zurecht schimpfen weil wo sie bitte 3 weil ich gesagt es warten Sie mal 2 Wochen dann kann das 3 zeigen und hier kommt das 3 Wetter das war
also wo das Dreieck in dieser Ungleichung man uns die Situation mal hin Sie einen Vektor x Sie einen Vektor y was ist jetzt der X plus Y ich hoffe da kann ich kann man natürlich auch mit dem Rechen sehen sich zusammensuchen habe ich hoffe ich kann auf ihre Schule Intuition von Vektorrechnung bauen dass Sie mir glauben den kriegen Sie so dass Sie hier dieses Parallelogramm nebenan und 1 X plus Y der Wähler der Mitte entsteht Kräfteparallelogramm also das ist X plus Y so was sie Dreiecksungleichung die 3 des ungleichen sagt die Länge von X plus Y also die Länge von der Diagonalen diesen Parallelogramm ist kleiner als die Länge von X also diese die Länge von dem Sektor unten plus die Länge von Y und den können sich ja auch hier hingeklebt vorstellen das ist wieder Y das ist die Sache dass sie jeden deckte schieben parallel schieben dürfen und jetzt sehen Sie das 3 hoffentlich können und was die 3 ungleichen eigentlich nur sagt ist der Umweg ist immer länger als der direkte Weg also wenn Sie auf den direkten Weg von Ursprung zu X plus Y zu dem Punkt da oben laufen dann ist es schneller als wenn Sie erst X unser Y denn egal wie XY liegen die da die oder alle Parallelogramm es immer kürzer als die beiden Seiten zusammengezählt der dass das was sie Dreiecksungleichung sacht der Umweg ist immer kürzer als direkt es immer länger als direkt das ist Dreiecks und ich und weil die eben hier offensichtlich hier sieht man warum sie 3 zum gleichen heißt es in heißt sie für den Betrag auch 13 so
außer Dreiecksungleichung kriegt man eine weniger sagen immer weniger durch den Alltag ja also zusammen wieder Umweg in Umweges immer länger als direkt das ist irgendwie das wird uns jeder aus dem Alltag unterschreiben und was jetzt noch kommt ist die so genannte umgekehrte Dreiecksungleichung da habe ich weniger anschauliche Bedeutung für aber die Folge aus der Dreiecksungleichung und da geht es darum was ist mit der Länge von der Differenz und die umgekehrte Dreiecksungleichung sagt egal was sie für X und Y immer hinnehmen
sie kriegen immer folgende Ungleichung da geht es jetzt um die Frage was ist mit der Differenz von X und Y und deren Länge und während die Länge der Differenz zusammen mit dem die Differenz der Längen oder kriegen Sie jetzt auch wieder keine Gleichheit und Siegringen um gleich und die geht in die andere Richtung also die Länge der Differenz dies immer mindestens so groß W und jetzt wird's wild die Differenz der Längen und davon wiederum der Betrag kann also die Längen von X ist also mir reelle Zahlen also in diesen Betrag steht reelle Zahl davon können so betrachtet so das ist die umgekehrte Dreiecksungleichung die sagt also was über die Länge der Differenz aus als über die Länge von diesen weg da hier komm X minus y ist dieser Vektor denn das die andere Diagonale im Parallelogramm Bild und die Aussage ist die Länge von dieser Diagonale ist immer mindestens so groß wie die Differenz der einzulegen nach dem 4 gut dass es die sind die sind so ein paar Rechenregel für Betrages gibt noch eine ja Rechenregel oder Beobachtung dazu wenn Sie einen Vektor haben den nicht gerade der 0 weg da ist also der nicht Länge 0
hat das können Sie denn immer so genannte
normieren also in Teil E geht es um die Normierung das ist nur als Skript 1 6 also x ein Vektor der nicht gerade der 0 Vektor ist wenn 0 Herr der Länge 0 dann geht das was jetzt gerade kommt nicht also nix nicht der neue Vectra ist dann können Sie sich immer den Vektor ankucken der da ist x geteilt durch die Länge von X was ist damit gemeint damit ist gemeint sind in den Vektor x und multiplizieren den mit der reellen Zahl 1 durch Länge x ja das ist damit gemeint mehr und das ist dann immer ein Vektor mit gleicher Richtung X in dem Fall ist okay wenn ich von Richtung spreche weil X ist nicht da wohl Sektor also dieser Viktor hat noch die gleiche Richtung wie X und der hat dann immer noch 1 das ist sozusagen normale ein ein normalisierte Vektor der nur noch die Richtungs- Information enthält und ich werde Längen Information was gibt viele Situationen wo ein Bus ein auf die Richtung ankommt und dann ist man interessantes sozusagen auf mehr Einheitsgröße zu normieren das ist die so genannte Normierung warum hat der Norm 1 wenn das
nicht sofort ins Auge springen kann kurz hinschreiben wann wird der Norm 1 mehr rechnen Sie Norm von dem Ding aus was ist die Norm von 1 durch die Norm von X X X wenn sich klarmachen was da steht das steht mehr reelle Zahlen Vektor davon die Norm und wir hatten den Detail gesehen wie man damit umgeht im Detail aber gesehen wenn sie eine reelle Zahlen legte multiplizieren und dann die Norm bilden das ist das gleiche wie wenn sie erst mal von der reellen Zahl der Betrag bilden und das mit der Norm von dem Vektor durch multiplizieren 1 durch Mixes überfielen vergrößert 0 weil noch nix größer 0 ist und als durch positive Zahl das positiv also ist das können Sie betrage auch weglassen ist das einst durch die Norm von X mal Norm von X ja ja und das ist ziemlich alt gut und solche Vektoren die Länge eines haben kriegen
eigenen Namen des nicht besonders kreativ also das ist Begriff 13 sonne Vektor der Länge eines des eben ja der hat mehr Einheits- Länge eine eine definierte der Präferenz Länge und dementsprechend ist das ein so genannter Einheitsvektor in diesen zum Beispiel interessanter Mann sich Koordinatensysteme bauen will aus Vektoren das ist sie nicht wahrnimmt Einheitsvektoren dann ist alles einfacher zu Recht der was ein Beispiel für Einheitsvektoren sind eben die sogenannten Standard Einheitsvektoren ja ja mehr X hat mich Norm 1 die X hat Welt oder den Gelenke aber wenn Sie den Vektor x geteilt durch noch nix anschauen also wenn Sie den Vektor x mit dem der der Zahl 1 durch noch nix multiplizieren wenn kriegen sie neuen Vektor aus der hat die gleiche Richtung X aber länger als das ist das was das denn sagt man sagte Abschnitt nicht Herr mehr gut also die Standard Einheitsvektor Masse die einfachsten Vektoren der Länge eines den einfallen das sind die
das sind die die man 1 stellen einzahlen und sonst lauter Nullen was die Länge von den na ein Squadra plus 0 plus 0 comma decimal plus 0 comma decimal 1 und so weiter und daraus verwurzelt ist 1 jetzt können Sie die einst dadurch schieben also 1 0 1 0 0 0 0 0 und so weiter bis schlussendlichen 0 0 0 0 0 und ganz am Ende der 1 das sind die so sogenannten Standard Einheitsvektor denn er war noch viel zu tun kriegen aber es mir es Beispiele für Einheitsvektor von dem alle länger 1 unser verschiedene Richtungen so ist praktisch schon die Frage auf da modifizieren Vektoren er kommt jetzt aber je nachdem wie die Frage gemeint war nicht so wie man es denkt bei 7 gewohnt wenn man 2 Dinge multipliziere addiert dann kommt das gleich raus wenn sie 2 reelle Zahl der dir kommen reelle Zahl raus wenn Sie 2 der Zahl multiplizieren der Weltstar raus wenn Sie 2 ganze Zahlen Radiergummi Ganzzahl raus und wenn Sie 2 Vektoren addieren kommt weg raus und wenn sie zur Welt schon multiplizieren wollen dann können Sie jetzt ganz wie definieren meinetwegen dann sind das will definiert aber gibt es eine Standard Definition dafür und da kommt aber nicht wieder weg daraus Sonntag bezahlt aus und deswegen ist es ein bisschen eine ungewohnte welchen Operationen bei der man immer so bisschen aufpassen muss was man gerade tut und das ist das sogenannte Skalarprodukt das ist bei mir 3 12 beziehungsweise 1 7 also wir wollen 2 Vektoren hernehmen XY aus mehr N und weil die miteinander multipliziert und weil dieses
multiplizieren das sogenannte Skalarprodukt kein Produkt im gewöhnlichen Sinne es mit dem man anderes Symbol und ich halt das mal so XY mit eckigen Klammern comma dazwischen sie werden Bücher finden wo das durchaus auch ja also das wird auch manchmal notiert durchaus als X X Y es geht auch Arturo Autoren die schreiben dann sich verwechselt X Runden period y was die schauerliche Notation zumindest für Handschrift ist war natürlich in der Handschrift ja das gern mal verrutscht ja über gibt Tausend Möglichkeiten sie können alles mögliche das stimmt das ist auch noch eine andere der Notation die schon gesehen hat sie können auch so was machen also da gibt es viele Methoden was diese Methoden ein ist nein es gibt sein 2 Sichtweisen entweder man den sicheren neues sowohl aus um sicher zu gehen dass man klarstellt dass es kein normales mal oder man sagt wären der Mensch der damit umgeht muss wissen also er tot ich schreibe wieder period und man sieht ja dass da links und rechts Vektor steht dass wir ganz ja nix anderes gibt es beide die zweite Philosophie ich wette ziehende Einführungsvorlesung vielleicht mal die sicherere von so vielen und Sie werden sich später in verschiedensten Büchern auch die Variante finden er war sehr damit klar dass alles so period ist ja also das ist durchaus übliche Notation der X X Y aber dann muss man eben wissen was man tut also meine Notation ist die dies auch damals relativ gängig und was ist das jetzt ja das ist es gelang ich schreibe mir meine also X und Y sein die Vektoren die gegeben sind durch die Koordinaten x 1 bis x n und y 1 bis Y N Gesetzes noch gar nix passiert ist noch mal XY ausgeschrieben und was man tut es man multipliziert komponentenweise also x 1 x y 1 x 1 1 2 Xtra weil es nur 3 und dass subsumiert man alles auf also was rauskommt ist so mehr J gleich 1 bis n XJ X Y klappt für die Leute die es gern noch Pünktchen hätten das ist x 1 y 1 plus x 2 y 2 plus und so weiter plus X N Y da sie Definition Skalarprodukt das Wort fehlt noch
das ist das Skalarprodukt von X und Y und was ich dringend hinweisen ist das bei dieser Skalarprodukt Bildung man 2 Vektoren reinsteckt und was rauskommt ist die Zahl der gestellten Summe von Produkten und die Produkte sind alle zu von reellen Zahlen also das ist einfach eine reelle Zahl das Skalarprodukt von 2 Vektoren es also keine Viktor sondern ist mit Zahl lassen Sie mich hier so ähnlich wie Vollenweider bei der kritischen auch noch dazu schreiben dass das so genannte Standard Skalarprodukt da gibt es auch noch 2 30 mehr da gibt es viel mehr aber das ist das mit dem einen dann mein Leben zu tun hat es ja warum es dieses Skalarprodukt so toll kommen wir gleich zu der Sie die erst mal einfach ein
reines Zahlenbeispiel der Mann
noch mal sieht wie das funktioniert rechnen und dann die Rechenregeln sammeln und dann erkläre ich ihnen was die die westliche Bedeutung Skalarprodukt ist und was das anschaulich tut also einfach mal ein Beispiel durch direkt mit dem wir 2 irgendwelchen Vektoren den Vektor 3 5 1 und den Vektor 2 minus 1 0 was ist jetzt das Skalarprodukt was müssen Sie tun sie müsse die 1. beiden Komponenten addieren multiplizieren also 3 2 plus die 2. multiplizieren fünfmal minus 1 plus 1 x 0 gut einmal 0 ist nicht besonders spannend dass es 6 minus 5 und das ist 1 gut also das Produkt von diesen beiden des Todes eines was immer das bedeutet aber so rechnet man
aus bis zur also das
ist einfach zum ausrechnen und jetzt haben wir mal Eigenschaften und Rechenregeln davon Eigenschaften 3 14 der Ort das ist entspricht 1
8 und das alles wieder Eigenschaften die man wenn man die entsprechenden Vektor einfach mal in die Formel einsetzen alle ein direkt vor die Füße fallen also für egal welche Vektoren XYZ singen und für alle reellen Zahlen vor denn die folgenden Ränge das 1. die Symmetrie wenn Sie X mit Y multiplizieren ist das das Gleiche wie wenn sie y mit X multiplizieren als die Reihenfolge spielt keine Rolle wenn sich überlegen über Skalarprodukt definiert in das Beispiel der oben wenn sich da 3 5 1 x 2 minus 1 0 2 minus 1 0 x 3 5 1 rechnen dann kriegen Sie in den 3 Produkten da halt ich 3 2 plus 5 X minus 1 Sie kriegen zweimal 3 plus minus 1 2 5 plus 0 x 1 aber das ist gerade egal weil das Multiplizieren im er denn er ist halt vertauscht mehr also kriegen Sie das Gleiche egal wie rum Sie den schreiben das sogenannte somit dann nahm man ganzen Stapel von Regeln die jetzt erst mal komm ich aus der aber super praktisch sind dass die sogenannten in ihrer Rede hält also wenn Sie XY Skalar multiplizieren und das mit einem Skalar Alfa multiplizieren mit der reellen Zahl Eifer dann können Sie auch das X mit dem Alfa multiplizieren das mit dem Y x nehmen oder das Y mit dem Alfa multiplizieren das mit dem X X nehmen und das ändert alles gar nichts ist immer das Gleiche also Sie dürfen Sohn Alfa das in einem dieser zum Produkt wenn wir in dieser Faktoren drinsteht nachvollziehen oder auf den andern fragte werfen dann kommt als nächstes so weit das was die
Distributivgesetzes sehen also wie verhält sich dieses multipliziert mit der Summe weil sie an die Summe von 2 Vektoren und multiplizieren die Summe mit Y meine ist eine vernünftige Multiplikation ist und das ist es dann würden sie offen dass das das selbe ist X multipliziert mit y plus wurde die 10 mit Y und das ist auch so also X multipliziert mit Y plus Z multipliziert mit Y das heißt mit diesem das Skalarprodukt können Sie ausklammern und aus multipliziere wie gewohnt somit multipliziert mit y ist somit der einzige Multiplikation ist es einfach ausklammern aus multiplizieren das Gleiche auch hinten also wenn Sie X multipliziert mit Y plus Z dann ist das das Gleiche wie X multipliziert mit Y plus X multipliziert mit Z ähnlich den Unfug also da steht kommen zur die 3 Dinge zusammen denn wir leben ja Rede hält und was
man bis jetzt mit werden sollte ist dieses multiplizieren fällt es somit kennt sprich ist die Reihenfolge ist egal und wenn sie es mit Summen zu tun haben dann können Sie deren ausklammern aus wurde bis 10 so und das dritte ist ein schöner Zusammenhang zwischen Skalarprodukt das Skalarprodukt Norm hängt nämlich in eng zusammen wenn Sie Vektor dem und den mit sich selber Skalarprodukt bilden dann ist das was rauskommt im Wesentlichen die Norm ist ist nicht ganz den Namen von X ist das Quadrat der Norm von X ein nach nachahmen warum geht es ja schreiben sich hin was das ist was ist das Skalarprodukt von x mit x das ist nach Definition Summe J gleich 1 bis n über XJ X X J also der XJ Quadral nahmen sich überlegen mehr das die Namen von Xtra die Norm von X ist die Wurzel aus Somalia gleich 1 bis n XJ Quadrat nein das ist na ja was ist jetzt die Norm Quadrat die Norm Quadrat ist dann natürlich Wurzel wieder weg und dementsprechend wenn Sie hier gleich wer gut das ist der 1. Teil von dem Teil sehen
also die Skalarprodukt von X mit sie selbst ist immer das Quadrat der Norm und damit kriegen sie insbesondere sofort dass das übergroße gleich 0 ist also Skalarprodukt von weg damit sie selbst es immer größer gleich 0 auch dass die wunderschöne Analogie zu den reellen Zahlen sein mit dieser vage multiplizieren kommt immer was Positives raus oder 0 das haben Sie ja auch eine Wette mit sich selbst multiplizieren kriegen sie nie was Negatives und wenn sie sich bei der neuen erinnern was passiert was können Sie sagen wenn Sie wissen das Normen von X also dann wenn das das Skalarprodukt von X mit sich selber 0 ist wenn Sie zeigen können wenn sie in die rauskriegen Sie einen Vektor der mit sich selbst multipliziert 0 geht da wissen Sie die Norm von dem Vektor zum Quadrat ist 0 1 auch die Norm von den Vektoren 0 und dann hat mir vorhin gesehen wenn die Namen von dem weg 0 ist dann ist es schon 0 also kriegen Sie hier die gleiche Eigenschaft wie vorhin wenn das Skalarprodukt von Vektor mit sich selbst 0 ist dann muss der Viktor schon 0 gewesen sein und diese Eigenschaft heißt es wegen auch genauso wie bei der Norm positive definiert hat zur das sind die Rechenregeln diese für das Skalarprodukt haben und im Wesentlichen Kammer die wo es viele Zeilen sind zusammenfassen alles wie gewohnt nein sie könne den Skalarprodukt rechnen wie man das von jedem ein period gewohnt ist das der Grund warum Leute auch gern mal period schreiben die Reihenfolge vertauscht die Distributed Gesetze gelten X plus Y Holdings plus Z Mode 10 y ist x Mittel C mit Y Platzeck hatte das Land das Quadrat also der Erde was mit sich es Models jedes mal positiv also alles wie gewohnt soll seit ich ihm versprochen ich erkläre Ihnen noch was denn dieses Skalarprodukt nur bedeutet da das kommt jetzt
und das packe ich mal die vom von Umsatz dass es 3 15 beziehungsweise 1 an wenn Sie sich 2 Vektoren X und Y hier dem im engen und jetzt haben Sie noch dann liegen die Wohnraum jetzt packen sie die man im gemeinsamen Anfangspunkt irgendwo in also packen Sie mir bei den Ursprung wenn Sie 2 Vektoren dem Ursprung kleben es gehe aber davon aus die sie nicht bei der 0 oder wie ein diesen beiden nicht nur so rum weil nicht nur dann an die beiden und dazwischen finden Sie den Winkel und diesen Winkel den man mal viel ja das Wissen finden Sie genauergesagt sogar 2 linke also mal was meine Zimmer 2 Vektoren X und Y und zwischen den ganzen hat sie 2 linke definieren aber den kleinen einmal den großen mehr ich ich welchen ich habe ist der kleinere also der hier also wie der kleinere Winkel Herbert zwischen X und Y das kommt es eben darauf an ob das der Winkel ja die auf Frau zur liegen welche das ist aber ich hoffe Sie wissen was ich meine und dann gibt es nicht schönen zusammenhalten dann können Sie das Skalarprodukt und X und Y interpretieren oder sehen also können Sie ausrechnen wenn sie die Beteiligten Größen kennen wenn sie wissen welche Länge x und y haben und wie groß der Winkel der liegt der zwischen ihnen ist ab und das ist das was er diesen Satz sagt also das Skalarprodukt von X und Y ist dann gegeben durch Normen von X also die Länge von x mal die Länge von y bei den Kursen aus von diesem Winkel ab das ist die Aussage und
dann kann man jetzt verschiedene sehen der also im Prinzip kann man die Aussage so natürlich erstmal nur schreiben für wenn beide Vektoren XY nicht nur sind um auf den Einwand von Freund zu kommen weil wenn einer von den Solisten die Ziele wie die und es keine Richtung gibt es keine Linken aber wenn einer von den 9 ist was ist dann das Skalarprodukt auf der linken Seite das ist dann wohl weil wenn nicht gar Produkt machen einer elektronischen oder Mode mit sich da lauter Nullen und die lauter Nullen und damit das 0 und die Länge von dem Werk das auch nur das als rechts steht auch egal die 0 Winkel noch gar nicht definieren das steht schon vorher 0 weil die Länge 0 das war in dem Sinne geht die Gleichung für jeden Vektor auch wenn natürlich der Winkel eigentlich gar keinen Sinn macht ja Münch ja klar sowie Zeichnung habe ist dass er dann muss ich sehr zwischen XY bzw. YX also müssen entweder den Winkel zwischen Y X oder den zwischen XY nämlich den kleinere ja also auf das anschaulich gleich kann das jetzt ich kann Ihnen das auch in vollem Annemarie Gespräch liefern ja das ist sauber aber ich glaube so verstehen es besser also 7 sind 3 zwischen überlegt vor dass es entweder der sich XY oder der zwischen von X er genau und dann kriegen Sie das Skalarprodukt als Produkte Beträge Malkursus von dem Winkel und das ist zum einen Versand es eine normale weitere vom für Skalarprodukt liefert wir haben vom bisschen der geometrische anschauen also sehen dieses Skalarprodukt ist damit auch ein Maß dafür wie stark die beiden Vektoren in die gleiche Richtung zeigen wenn die beiden Vektoren die gleich genau in die gleiche Richtung zeigen dass der Winkel 0 bis der Kosinus ein süßer maximal große also für Vektoren in die gleiche Richtung zeigen finde so großes Gala Produkte wenn die beiden rechten Winkel werden der kostenlos 0 und wenn sie das kleine Skalarprodukt also der Krisen was also diesen Monat Skalarprodukt wenn die beiden stumpfen Winkel bilden also wenn die nicht so stehen sondern wenn das das ist y lassen also na und wenn das X jetzt wenn
das X zum Beispiel hier in zeigen würde aber also das ist mir das X strich ist das vielleicht recht hier dann ist das der Winkel zwischen die halbe und Pi aber ist der Bereich der Cosinus negativ ist der geringste negative Skalarprodukt der müsste Kursus negativ die Norm von diesen noch floss wieder positiv als seines direkte Seite negativ das leise Skalarprodukt das Vorzeichen das Skalarprodukt gibt ihn an und zwischen X und Y Spitze oder stumm liegt man solche Sachen kann man daran alles ablesen und jetzt 3. Bedeutung dieses Satzes sehen Sie mal andersrum man sehe man ihn nicht so dass wir sagen wir wollen wollen das was gab wissen so gehen Sie mal davon aus meinen sie zur Welt nahm das Gelabere können sehr leicht ausrechnen wer gerade gemacht mal 100 rechnen nicht wir die Länge kriegen Sie auch auf die Weise können sie winkte ausrechnen dagegen seine Tore das ist aber doch die Länge ausrechnen finde Winkel das ist so können Sie das auch interpretieren also in jedem Fall ein wertvoller Satz denn so und er
genau anzuschauen also überlegen wir uns
mal kurz warum das gilt und ich gehe zur mein Beweise hier hat eine ist nicht ganz vollständig weil ich will ein elementargeometrisch das Ergebnis aus der Schule verwenden ohne ihn das jetzt noch zu beweisen und
zwar den Kosinussatz also was wollen wir
einig machen wer einen Vektor x ja Vektor y oder wenn Flieger und wir wollen diese Gleichheit der zeigen als das Skalarprodukt von XY gegeben ist als Norm X X und Y X Cosinus viel und das mir so bisschen Trigonometrie machen wir das über montieren Dreieck und dieser weckte der dieses Dreieck zu macht das ist der Vektor X minus 17 und gut und wenn Sie jetzt das ist und sich keine rechtwinkliges Dreieck im Allgemeinen ist und 3 aber in irgendwelchen 3 kann geht immer der Kosinussatz und hier auf dieses Dreieck angewandt lautete wie die Kosinussatz der verallgemeinerte Pythagoras der ihnen sagt der Kathete Quadrat plus Länge der einen Kathete Quadrat diesen wesentlichen X minus y Norm Quadrat bis dahin dass Pythagoras wenn's rechtwinklig ist oder großen USA zeigt jetzt eine sich rechtwinklig ist dann geht es natürlich so nicht aber ein Grinsen Korrektur Thermen und der ist zweimal Länge der einen Kathete mal Länge der einen Kathete mal der Kosinus von dem Winkel der Zwielicht denn das ist der Kosinussatz also das ist der allgemeine dass es die Verallgemeinerung von Pythagoras was wir das nicht recht viel lieber gibt zur und den bestätigte es rein und damit zeitlich in dass das da oben gilt so wird immer reinstecken ich will das mal gehen in den Winter was dann genau das was wir haben wollen wir x 9 x nur noch y x Cosinus sie das ist genau der Thermen hier der soll bitte schön das Skalarprodukt des mehr also man dem einen oder und 2 die ignorieren erst mal die stammen Zimmermann mit und gucken dass damit der Anschluss zurechtkommen also 2 meiner x mein Name y x Kosinus von Vieh das ist Kosinussatz Namen von X Quadrat plus nahm von y Quadrat minus Normen von X minus y Quadrat das ist der große muss das noch mal geschrieben und das eine bitte eintragen auf die andere Seite gebracht so und damit behaupte ich
jetzt komme zum Ziel was soll raus kamen also
rauskommen das ist das ist das Skalarprodukt von XY hat nicht so wirklich viel Ähnlichkeit mit Skalarprodukt XY was weder Pfeile er oder vielmehr Pfaden und ist das immer noch häufige passiert sind bisher nur 2 also ein sattes weil der Kerl nicht gern bereit am Schluss der Vorlesung noch 20 fallen nachzuliefern aber ich hoffe jetzt habe ich alle Moment da gut sie gar nicht mehr gehen am Skalarprodukt aus aber ich sagen es steht schon da die comma den vom Norm zum Skalarprodukt werden gerade den Zusammenhang des Norm DIN Norm Quadrat entspricht dem Skalarprodukt das Werk das mit sich selbst vor also die Norm von X zum Quadrat ist genau das Skalarprodukt von x mit x ja genauso ist es Norm von y Quadrate Skalarprodukt von Y mit sich selbst und das gilt auch für den da hinten da sieht es halt ein bisschen komplizierter aus das Gebiss Norm Quadrat das heißt das ist das Skalarprodukt des Vektors das X minus Y mit dem Vektor X minus Frau erzählt wie soll denn daraus einfach nun Skalarprodukt XY werden da sie sich steht der viel mehr ja der Rest fällt alles weg warum wir hatten vorher noch eine andere Rechenwege für Skalarprodukt also die 1. beiden thermisch vermag und die war sie dürfen ein Skalarprodukt aus multiplizieren was da jetzt steht ist ja X minus Y X X minus y es bildet Slamanig wenn das jetzt so mit minimal period dastünde würde sofort Anfang mehr das ist X X X plus X X Y plus Y X X plus Y X Y das normal ist also also das ist das Skalarprodukt von x mit x ich nur Skalarprodukt von X mit Y plus Skalarprodukt von Y mit X plus Skalarprodukt von Apps landet das ist nix als die open bracket ist das ist die Lehre Telefon Skalarprodukt denn sie sich als Zahlen vor X plus Y X X plus Y sozusagen das zweite Genom da wobei es habe ich immer nur Mist gebaut genau 2. Ich habe ich ihr 1. Nennung macht und ich 2. Herr Jansen sich minus da war ich sehr schön und da haben Sie minus tja ja dann y dazu haben sie kein minus alten 2 minus 2 minus 7 im Plus Gold so dann lesen man noch die open bracket also haben Sie Skalarprodukt von X mit sich selbst plus Skalarprodukt von Y mit sich selbst minus Skalarprodukt von X mit sich selbst plus 2 zweimal Skalarprodukt von XY minus Skalarprodukt von Y mit sich selbst 2. ganz sind sie weg Skalarprodukt von X wird sich selbst Skalarprodukt von Apps nur mit sich selbst was übrig bleibt ist zweimal Skalarprodukt von XY und jetzt können am Schluss die 2 was kürzen was übrig bleibt ist das Skalarprodukt von nix mit Y ist noch nix Mama Mitspieler Markus muss sich also was dahinter steckt ist nichts als Rechenregel für Skalarprodukt und dessen an der Stelle fertig so halt du Bubo bubo mit dem Beweismittel Beweise er lassen Sie mich das habe ich vorhin schon gesagt ich habe in diese
Formel Ferkah ruft hat
verkauft als geometrische Interpretation und Skalarprodukt lassen Sie mich das noch ein bisschen weiter ausbauen also werde vor eingesetzt haben ja wir Skalarprodukt von XY ist die Länge von X Marlene von y von Vieh und fließt eben der Winkel der richtige zwischen X 1 zur nein ich Ihnen gesagt dass sagt Ihnen was darüber was dieses Skalarprodukt anschaulich bedroht und das will ich noch ein bisschen näher beleuchten nehmen Sie mal den Fall dass ihre X und Y Einheitsvektoren sind also nehmen sie will jetzt Moment interessiert erst mal einfach nur die Richtung also X halbe Länge 1 und y habe länger 1 mehr dann vereinfacht sich diese Formel da oben offensichtlich man so das Skalarprodukt von X und Y ist genau einfach nur Kosinus von Vieh da so und was ist das ja in dem Fall wenn bei der Norm 1
haben dann hat dieses Skalarprodukt mir ganz anschaulich geometrische Bedeutung und das will ich Ihnen jetzt raus arbeiten also ist mein Vektor x der Länge 1 da ist mein weckte y der Länge eines diesen der fast gleich lang also so müssen länger jetzt kann man Marion den Punkt wo die zusammen sehen im Kreis der Länge eines schlagen der Kreis des Radius eines natürlich Länge 2 p da dann liegen natürlich beide Pfeilspitzen auf der Kreislinie hat der Rat das einst so das ist der Winkel viel das ist genau der Winkel zwischen X und Y und der Großindustrie das ist das hier nur das ist das Bild das letzte Vorlesung zehnmal da hatten wenn Sie Einheitskreis haben und den Winkel fiel ist der Kosinus von 4 genau diese Projekt des die Projektion nach unten so dass heißt was ist das Skalarprodukt in dem Fall das ist genau die Länge der Projektion vor der sie dann auf X also wenn Sie 2 Rektor der Länge 1 haben dann gibt in deren Skalarprodukt an wenn Sie sozusagen in einen Vektor also Boden jetzt machen sie McQuaid vor Äquatorsonne oben drüber wie lang ist der Schaden vom 2. da also in dem Fall eben sie an den Dixie und noch mehr wohnen der y hat im Winkel und die das Skalarprodukt in ihn an wie lang ist der Schatten von y auf dem Boden wie lang die Länge der Projektion das ist nicht die mythische Veranschaulichung das Skalarprodukt wenn Sie Einheitsvektoren haben und wenn die
Vektoren nicht die Länge 1 haben dann ist eben wird das Ganze eben noch mit den Längen der Vektoren multipliziert aber die Grundidee bleibt dieselbe das ist wieder das was ich vorhin schon sagte sie kriegen dann in große Skalarprodukt wenn die Vektoren die gleiche Richtung gucken und das wird immer die immer mehr zu 0 je mehr sich das Einrichten wegen mehr gut so viel dazu für heute ist der Verlust der nächsten Dienstag wieder von mir dass wir jetzt schon schönes Wochenende O und ja vielen Dank für die Aufmerksamkeit
Ebene
Punkt
Vektorrechnung
Achse <Mathematik>
Dreidimensionaler Raum
Mathematiker
Vierdimensionaler Raum
Koordinaten
Geometrie
Richtung
Momentenproblem
Koordinaten
Ebene
Addition
Punkt
Fünf
Zahl
Koordinaten
Multiplikation
Punkt
Reelle Zahl
Zahl
Verschlingung
Reelle Zahl
Distributivgesetz
Skalarfeld
Null
Geschwindigkeit
Addition
Punkt
Vektorrechnung
Kraft
Gerichtete Größe
Drehung
Vektor
Zahl
Richtung
Statistische Maßzahl
Multiplikation
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Koordinaten
Kalkül
Homogenes Polynom
Vektorrechnung
Vektor
Richtung
Geschwindigkeit
Mathematische Größe
Strecke
Länge
Deutsche Mathematik Olympiade
Menge
Vektorrechnung
Betrag <Mathematik>
Kraft
Gerichtete Größe
Vektor
Richtung
Vektorrechnung
Vektor
Einfügungsdämpfung
Ebene
Punkt
Vektor
Punkt
Vektorrechnung
Ruhmasse
Vektor
Index
Strecke
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Vektorrechnung
Vektor
Koordinaten
Punkt
Vektor
Koordinaten
Einfach zusammenhängender Raum
Hidden-Markov-Modell
Zugbeanspruchung
Länge
Punkt
Vektorrechnung
Momentenproblem
Rollbewegung
Norm <Mathematik>
LES
Vektor
Zahl
Richtung
Null
Summe
Quadrat
Multiplikation
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Reelle Zahl
Gleichheitszeichen
Mathematiker
Geometrie
Koordinaten
Gegenbeispiel
Mathematische Größe
Negative Zahl
Quadrat
Länge
Betrag <Mathematik>
Vektorrechnung
Gruppoid
Norm <Mathematik>
Vektor
Zahl
Einfach zusammenhängender Raum
Mathematische Größe
Summe
Quadrat
Summe
Quadrat
Ungleichung
Summand
Betrag <Mathematik>
Vektorrechnung
Dreiecksungleichung
Biprodukt
Norm <Mathematik>
Sierpinski-Dichtung
Länge
Punkt
Ungleichung
Vektorrechnung
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Parallelogramm
Diagonale <Geometrie>
Vektor
Dreieck
Länge
Ungleichung
GERT
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Dreiecksungleichung
Parallelogramm
Diagonale <Geometrie>
Vektor
Richtung
Positive Zahl
Länge
Betrag <Mathematik>
Vektorrechnung
Reelle Zahl
Vektor
Richtung
Skalarprodukt
Länge
Vektorrechnung
Strukturgleichungsmodell
Ganze Zahl
Reelle Zahl
Gruppoid
Vektor
Zahl
Null
Richtung
Summe
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Reelle Zahl
Rundung
Biprodukt
Vektor
Gesetz <Physik>
Zahl
Koordinaten
Einfach zusammenhängender Raum
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Vektor
Summe
Multiplikation
Skalarprodukt
Faktorisierung
Vektorrechnung
Distributivgesetz
Symmetrie
Reelle Zahl
Rang <Mathematik>
Biprodukt
Vektor
Skalarfeld
Zusammenhang <Mathematik>
Gewichtete Summe
Vektorrechnung
Norm <Mathematik>
Vektor
Gesetz <Physik>
Summe
Mittelungsverfahren
Negative Zahl
Skalarprodukt
Quadrat
Multiplikation
Reelle Zahl
Vorzeichen <Mathematik>
Numerisches Modell
Mathematische Größe
Länge
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Norm <Mathematik>
Mathematische Größe
Länge
Skalarprodukt
Verschlingung
Vektorrechnung
Betrag <Mathematik>
Rechter Winkel
Ruhmasse
Biprodukt
Gleichung
Vektor
Richtung
Null
Kosinusfunktion
Skalarprodukt
Länge
Vorzeichen <Mathematik>
Kosinusfunktion
Trigonometrie
Skalarprodukt
Quadrat
Länge
Verallgemeinerung
Norm <Mathematik>
Vektor
Dreieck
Skalarprodukt
Quadrat
Zusammenhang <Mathematik>
Momentenproblem
Vektorrechnung
Pfad <Mathematik>
Vektor
Zahl
Länge
Skalarprodukt
Momentenproblem
Richtung
Radius
Kreis
Skalarprodukt
Länge
Punkt
Vektorrechnung
Einheitskreis
Vektor
Richtung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Mathematik I für Bauwesen - Vektorrechnung
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 06
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35652
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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