präsentiert von Open Learnware, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann mal herzlich willkommen zu unserer Mittwochsvorlesung diese Woche. Zunächst mal die Frage. Letzte Woche gab es ja die Anfrage, ich soll möglichst zügig durchmachen,

weil es eine Gruppe gibt, die auf die Lichtwiese muss. War das eine einmalige Sache oder ist das eine wöchentliche Sache? Wöchentlich. Gut, also machen wir auch wieder. Gut, dann können wir direkt loslegen, damit wir auch rechtzeitig fertig sind. Und ich

hatte letztes Mal schon gesagt, das Ziel dieser Vorlesung ist jetzt von der Ebene wegzukommen und uns allgemein mit höherdimensionalen Räumen zu beschäftigen. Wesentliches dass Sie natürlich denken sollten, ist jetzt der dreidimensionale Raum, der uns umgibt. Aber

wir machen das gleich. Mathematiker typisch, wenn man zwei und drei kann, kann man auch gleich fünf und sieben machen. Waren das für endimensionale Räume und das führt uns dann auf die sogenannte Vektorrechnung. Also das ist das Kapitel 3 in dem Abschnitt

über Geometrie. Und das ist, finden Sie, wenn Sie jetzt diese Mathematik für Maschinenbauer Skript nehmen, dann Kapitel 1. Also das war das, was ich letztes Mal gesagt habe. Ich werde jetzt immer in Klammern bei jedem Nummerchen, wo es passt, Ihnen noch ein

Nummerchen geben, wo Sie die entsprechenden Dinge in dem Maschinenbauer Skript finden. So, was war der Startpunkt im zweidimensionalen? Der Startpunkt im zweidimensionalen war, wir haben uns ein kathesisches Koordinatensystem gewählt, einen Ursprung ausgezeichnet und zwei senkrechte Achsen reingelegt und von da aus jeden

Punkt mit zwei Koordinaten, mit der X- und Y-Koordinate beschrieben. Das gleiche können Sie im dreidimensionalen Raum machen. Sie zeichnen den Ursprung aus, machen drei senkrechte Achsen rein und kriegen drei Koordinaten. Und das gleiche können Sie auch im zehendimensionalen Raum machen. Sie zeichnen den Ursprung aus, nehmen sich zehn zueinander senkrecht stehende Geraden. Das ist jetzt ein bisschen schwierig vorzustellen, weil bei uns hört es normalerweise so bei vier auf, also nach drei auf. Aber

das Prinzip ist genau das gleiche. Und dann kann man jeden Punkt im zehendimensionalen Raum beschreiben durch seine zehn Koordinaten bezüglich dieser zehn Achsen. Und auf die Weise kommen wir also zum Punkt, zum Begriff Punkt. Also das ist Begriff 3,

1 im Maschinenbauskript 1, 1. Und was wir da machen ist eben analog zum R2 sagen wir, also wir haben jetzt ein N aus N gegeben. Das ist unsere Raumdimension. Denken Sie gerne N

gleich 3. Dann kann man sich es vorstellen. Dabei ist also, um Ihnen ein bisschen die Angst zu nehmen oder weiß ich nicht, natürlich kann ich mir, gebe ich zu, auch keinen siebendimensionalen Raum vorstellen. Ein Mensch ist ein dreidimensionales Wesen. Aber im Wesentlichen ist es einfach so,

man hat eben nicht nur drei zueinander senkrecht stehende Achsen, sondern eben mehr. Und dafür gehen uns die Wörter aus. Und wenn man keine hat, erfindet man sich welche. Also im vierdimensionalen Raum können Sie halt vorwärts, rückwärts, rechts, links, oben, unten und hyroblarub machen. Und hyroblarub ist halt das neue Wort. Oder denken Sie sich etwas anderes aus. Es passiert nicht wesentliches Neues. Sie haben halt einfach mehr Richtungen,

die sich bewegen können. Und das Konzept bleibt genau das Gleiche. Also ein Punkt, also ein Punkt P im Rn, im N-dimensionalen Raum, ist jetzt eben gegeben. Nicht mehr durch zwei

der drei Koordinaten, sondern durch N-Koordinaten. Also x1, x2 bis xn. Und x1 sagt Ihnen immer noch, wieviel müssen Sie auf der ersten Achse laufen, x2 auf der zweiten und so weiter.

Und diese Zahlen x1, x2 bis xn heißen weiter die Koordinaten von P. Und jetzt noch eine Vereinbarung, eine Schreibweise, die ich gerne einführen würde. Diese senkrechten Klammern

sind die richtige Methode, so einen Punkt hinzuschreiben. Aber immer wenn man so Zeug schreibt, insbesondere wenn man es in einem gedruckten Text schreibt, sind die ätzend, weil sie furchtbar viel Platz wegnehmen. Und deswegen gibt es eine eingeführte Schreibweise, dass man die Dinger als Zeile schreibt und da so ein kleines T dran macht. Dieses T hier steht

für transponiert. Und transponieren bedeutet, es wird uns noch häufiger unter die Räder kommen. Transponiert bedeutet einfach, aus jeder Zeile wird eine Spalte und aus jeder Spalte

wird eine Zeile. Also diese Zeile transponiert ist eine Spalte und eine Spalte transponiert gibt eine Zeile. Das ist aber einfach nur eine Schreibweisenkonvention, im Wesentlichen um Platz in Druckwerken zu sparen. Da steckt nichts dahinter, hinter dem T. Im Moment kommt noch was, was dahinter steckt, im Moment steckt da nichts dahinter, sondern

es ist einfach nur eine Konvention, dass man statt Zeilen spalten und statt Spalten Zeilen schreiben kann. So, also jetzt haben wir Punkte mehr n und Koordinaten, genauso wie wir das aus dem R2 gewohnt sind. Wenn sie n gleich 2 setzen, haben sie den 2, haben sie die Ebene. Mit diesen Punkten können wir jetzt rechnen. Sie können

zwei Punkte addieren und sie können so ein Ding mit einem Schalar, mit einem Zahl Alpha aus R mal nehmen. Das entspricht der Nummer 1, 2. Also nehmen wir uns zwei Punkte her. P ist also ein Punkt mehr n mit den Koordinaten x1 bis xn und Q ist ein Punkt

mehr n mit den Koordinaten y1 bis yn. Da ist also schon diese T-Schreibweise. Wie gesagt, das heißt nur, das sind eigentlich Spalten, die ich platzsparungstechnisch als Zeilen

schreibe. Und dann definieren wir, was P plus Q ist. Also, was ist P plus Q? Was sie tun ist, sie addieren einfach in jeder Koordinaten. Also der Punkt

B plus Q hat jetzt die Koordinaten x1 plus y1, x2 plus y2 bis xn plus yn. Das ist

die Addition von zwei Punkten. Und das nächste ist die sogenannte Skalarmultiplikation.

Wenn sie sich zusätzlich noch eine reelle Zahl Alpha hernehmen, dann können sie den Punkt P oder Alpha mal P definieren. Und das ist genau die gleiche Methode. Sie nehmen den Punkt P, also x1 bis xn und multiplizieren jeden Eintrag mit der Zahl Alpha. Und dann haben sie den Punkt Alpha P. Was sie daraus insbesondere kriegen,

also diese Rechnung hier nennt man die Skalarmultiplikation. Und was sie damit insbesondere auch haben, ist sowas wie P minus Q. Was ist P minus Q? Das ist jetzt

das Plus definiert, hat man meistens auch die für das Minus. P minus Q können sie sehen als P plus minus Q.

Und das können sie sehen als P plus minus 1 mal Q. Und jetzt ist alles, was da steht, definiert. Das ist jetzt der Punkt x1 bis xn plus der Punkt

minus y1 bis minus yn. Und das gibt ganz intuitiv den Punkt mit den Koordinaten x1 minus y1, x2 minus y2 bis xn minus yn. Was man wahrscheinlich auch so spontan naiv

hingeschrieben hätte, wenn einem jemand die Aufgabe gegeben hätte, wie definiert man den P minus Q. Gut. Was hat man weiterhin? Also weiter zu insbesondere. Das ist Nummer 1. Nummer 2. Was ist 1 mal P?

Alpha mal P ist der Vektor mit Alpha mal den Einträgen. Das ist einfach wieder P. Minus 1 mal P schreibt man oft, siehe da oben, als Minus P. Und wichtig ist noch der Fall 0 mal P.

Was passiert, wenn sie jeden Eintrag mit 0 multiplizieren? Dann kriegen sie das Doppel, das nur die Nullen enthält. Das wird noch eine besondere Rolle spielen. So, jetzt haben wir ein paar Rechenoperationen. Mit denen können wir jetzt schon überlegen,

was gelten dann für Rechenregeln. Also nehmen wir uns mal 2 Skalare, also 2 reelle Zahlen,

Alpha und Beta her. Und 2 Punkte P und Q. Und dann gelten die folgenden Regeln, die Sie alle wahrscheinlich nicht überraschen werden. Aber es ist gut, dass Sie mal da stehen.

Und zwar, was ist sozusagen ein Reflex, wenn man sowas sieht? Na ja, sowas kann man ausmultiplizieren. Darf man das hier? Das ist eine neu definierte Rechenvorschrift. Da ist die Frage erstmal wieder offen. Darf ich hier ausmultiplizieren, wie ich es gewohnt bin? Aber wenn Sie sich mal hinschreiben, was da steht, stellen Sie fest, das dürfen Sie. Also das ist tatsächlich

Alpha P plus Beta P. Gleiche Frage umgekehrt. Sie nehmen nur ein Skalar, aber addieren 2 Punkte und multiplizieren das mit dem Skalar. Auch das dürfen Sie ausmultiplizieren. Also das ist Alpha P plus Alpha Q. So wie man es gewohnt ist. Und dann gibt es,

das sind zwei Regeln, die von der Sorte Distributivgesetze sind. Und dann habe ich noch ein Assoziativgesetz dabei, also ein Klammernvertauschungsgesetz. Wenn Sie einen Punkt haben und multiplizieren den mit einer realen Zahl Alpha mal Beta, dann können

Sie stattdessen auch den Punkt zunächst mit Beta multiplizieren und das Ergebnis dann mit Alpha. Das ist dasselbe. Gut, dass die ganzen Rechenregeln gelten, ist wie gesagt erstmal nicht selbstverständlich. Das muss man nachrechnen, ist aber alles nicht besonders schwer. Nennen Sie ihr P x 1 bis x n. Schreiben Sie sich hin,

was Alpha plus Beta mal P bedeutet. Schreiben Sie sich die linke und die rechte Seite hin und Sie werden feststellen, dasselbe. Also wir können ja das erste mal machen als Beispiel. Also Begründung, dass das gilt für erste Gleichheit. Also

ihr P habe die Koordinaten x 1, x 2 bis x n. Dann schauen wir uns mal an, was

ist Alpha plus Beta mal P? Das ist Alpha plus Beta mal dieser Vektor, also x 1 bis x n. Wie war das definiert? Sie müssen jede, wie multiplizieren Sie so einen Punkt

mit einer realen Zahl, indem Sie jeden Eintrag mit dieser realen Zahl multiplizieren? Also das ist der Punkt Alpha plus Beta x 1 bis Alpha plus Beta x n. So in jedem

einzelnen Eintrag stehen jetzt nur noch regelle Zahlen. Da steht jetzt eine ganz normale Multiplikation und Addition in R. Die dürfen Sie also ausmultiplizieren. Dann steht da Alpha x 1 plus Beta x 1, Alpha x 2 plus Beta x 2 und so weiter bis

Alpha x n plus Beta x n. Nach der Definition von Plus ist das Alpha x 1 bis Alpha x n plus Beta x 1 bis Beta x n und das ist Alpha P plus Beta P. Dann haben wir die

So, aber dieser ganze Kram mit den Punkten ist eigentlich nur das Vorgeplänkel. Wo wir

eigentlich hinwollen ist Vektorrechnung. Und dazu müssen wir erstmal definieren, was ein Vektor ist. Anschauend ist ein Vektor Was. Ein Vektor wird immer auch schön als gerichtete Größe bezeichnet. Ein Vektor ist eine Größe, die nicht

nur einen Betrag hat, wie zum Beispiel die Temperatur. Die Temperatur ist eine klassische skalare Größe. Das ist einfach eine Zahl. Das können Sie jetzt in Kelvin, Fahrenheit, Reo, Myr oder Celsius wie auch immer messen, aber das ist einfach eine Zahl. Und das Gegenteil dazu ist eine Kraft zum Beispiel als eine vektorielle

Größe. Eine Kraft hat nicht nur eine Stärke, sondern die hat auch immer eine Richtung. Ein Vektor ist ein Ding, was eine Maßzahl, also einen Betrag und eine Richtung hat. Typische Fälle sind Kraft, sind Geschwindigkeit, sind ein Impuls.

Das sind so typische Fälle von vektoriellen Größen. Eben alles, was einen Betrag und eine Richtung hat. Und das wollen wir jetzt definieren. Und dazu verdienen uns jetzt die Punkte. Also jetzt kommt sozusagen der entscheidende

Begriff des Vektors, Begriff 3,4 bzw. 1,3 in dem Skript. Wenn Sie sich zwei Punkte im Raum vorgeben, p, q aus Rn, dann kann man den Vektor in einer

ersten Näherung definieren als die gerichtete Verbindungslinie von p nach q. Wenn Sie jetzt die Verbindungslinie von p nach q nehmen und der noch eine Richtung geben, dann ist das der Vektor x. Also können Sie jetzt x nennen.

Und die Verbindungslinie von p nach q oder von p nach q ist sinnigerweise als p minus q definiert. Das ist der Vektor vom Anfangspunkt q zum Endpunkt

p. Diese Vertauschung muss so sein, da kann man sich leicht verheddern. Wenn man das nicht macht, hat man dauernd Minuszeichen in seinen Formeln. Also der Vektor vom Anfangspunkt q zum Endpunkt p, den kriegen Sie in der

gerade eingeführten Kalkül als p minus q. Und damit Sie mit so einem Vektor vom Anfangspunkt q zum Endpunkt p das haben, was man sich bei so einer Kraft und einer Geschwindigkeit als gerichtete Größe vorstellt, versuche ich

mal übers Bild darzustellen. Also Sie haben einen Punkt p und Sie haben einen Punkt q. Und was wir jetzt haben, ist ein Vektor vom Anfangspunkt q zum Endpunkt p. Das ist die Strecke, die von q zu p führt, die jetzt zusätzlich noch eine Richtung kriegt. Und dann ist das das, was man sich anschaulich

unter dem Vektor vorstellt, eine Größe, die einen gewissen Betrag hat, das wird durch die Länge symbolisiert und eine Richtung. Und jetzt kommt noch eine Besonderheit dazu, wenn Sie sich die Definition von dem Vektor da anschauen. Wenn Sie jetzt nicht p und q nehmen, sondern zwei andere Punkte,

die aber so liegen, dass die Verbindungsstrecke genau die hier hinten aus, dann sind das verschiedene Strecken im Raum, aber immer

der gleiche Vektor. Das liegt daran, dass Sie, um zum Beispiel von dem Pq zu diesem P-q- zu kommen, addieren Sie auf p einen gewissen Punkt und auf q denselben. Sie addieren auf p und auf q dasselbe, also

wenn Sie jetzt q' von p' abziehen, kriegen Sie das gleiche heraus wie wenn Sie q von p abziehen. Dementsprechend ist das alles derselbe Vektor, also das ist alles der Vektor x hier. Und das ist wichtig,

sich zu merken, eine Parallelverschiebung, ich schreibe es deswegen auch noch mal explizit hin, eine Parallelverschiebung ändert den Vektor nicht. Man hat dann natürlich andere Start- und Endpunkte, aber der Vektor

als mathematische Größe hängt nicht davon ab, wo Sie den jetzt im Raum hin tun. Das ist auch irgendwie sinnig, weil wenn Sie von einer Kraft in irgendeine bestimmte Richtung, von einer bestimmten Menge reden, dann wollen Sie dann damit nicht gleichzeitig auch immer gesagt haben, wo denn die Kraft

angreift. Die Kraft kann an allen möglichen Orten angreifen und es ist trotzdem dieselbe Kraft. Deswegen ist das sehr sinnig und will man so haben, dass für einen Vektor unerheblich ist, was der Startpunkt ist, was den Vektor charakterisiert ist, seine Länge, sein Betrag und seine Richtung.

Aber die Richtung ist unabhängig davon, wo ich ihn hinklebe. Also alles diese Dinge sind derselbe Vektor. Und wenn es unerheblich ist, wo man ihn hinklebt für den Vektor, dann dürfen Sie ihn eben irgendwo hinkleben und das sollen Sie auch tun, ist erlaubt. Und das nutzt man auch

ständig, dass man die Dinger hin und her schieben kann. Also nochmal andersrum formuliert. Ein Vektor wird festgelegt durch Länge und Richtung. Und damit liegt er fest. Das sind sozusagen seine einzigen

zwei Eigenschaften, die ihn vollständig beschreiben. Und das heißt, eben im Umkehrschluss auf die spezielle Wahl des Anfangspunktes kommt es nicht an. Sie können den Vektor also, egal wohin kleben,

es bleibt immer derselbe Vektor. Und das macht man sich zu Nutze, weil auf die Weise gibt es eine Realisierung dieses Vektors, eine Version dieses Vektors, die irgendwie eine besondere ist. Und das ist die,

wenn man ihn an die Null anklebt, hier ist auch nochmal x. Mit dem werden wir uns gleich, also das ist sozusagen eine herausgehobene Realisierung von dem Vektor. Aber alle anderen sind genauso, sind immer der gleiche Vektor. Gut. Mal ein konkretes Beispiel dafür, dass es

eben tatsächlich dasselbe ist, dass man denselben Vektor für verschiedene Punkte kriegen kann. Also dieses Bild hier oben, P und Q und P' und Q', die verschieden sind, aber denselben Vektor geben. Das ist Beispiel

3,5 bzw. 1,4. Da können Sie mal nehmen P jetzt in der Ebene als 3,5, Q als 1,4. Was ist der Verbindungsvektor mit Anfangspunkt Q

und Endpunkt P? Also was ist 3,5 minus 1,4? Das gibt den Vektor 2,1. 3 minus 1 ist 2, 5 minus 4 ist 1. Aber den gleichen Vektor können Sie natürlich zum Beispiel auch realisieren mit Endpunkt 5,3 und Anfangspunkt.

Jetzt müssen wir mal gucken, was müssen wir da einsetzen, dass 5 minus das irgendwas 2 ist, 3 und 3 minus 2 ist 1. Also wenn Sie das hier als P' nehmen und das da als Q', dann haben Sie auf diesen Vektor 2,1 auf zwei

verschiedene Arten als Differenz von zwei Punkten geschrieben und das ist so. Sie sehen, ich schmeiß hier in der Notation eigentlich mathematisch untypisch

und irgendwie erstmal verwirrend Punkte und Vektoren durcheinander. Ich hatte das Ganze gerade so dargestellt, das hier ist ein Vektor und das hier sind Punkte. Warum himmels willen benutzt der da vorne das gleiche Symbol, das ist doch fürchterlich unübersichtlich. Ja und nein, weil diese

Unterscheidung zwischen Punkten und Vektoren in Maßen künstlich ist und das in vielen Situationen sehr, sehr sinnig ist, das zu identifizieren und zu sagen, Punkte und Vektoren ist eh das gleiche und das ist der Inhalt vom Abschnitt 3,6 entsprechend 1,3. Sie erhalten ein Vektor, indem Sie sich

zwei Punkte hernehmen und sich die gerichtete Verbindungsgrade anschauen und das heißt, was Sie tun, um den Vektor zu kriegen, ist Sie ziehen die Koordinaten der Punkte voneinander ab und ich hatte schon gesagt, es gibt

eine Version des Vektors, die eine herausragende Rolle spielt und das ist die mit Anfangspunkt Null oder Anfangspunkt Ursprung. Also Sie nehmen als Anfangspunkt den Ursprung und wenn man das macht, dann kriegen Sie

eine eindeutige Entsprechung von Punkten zu Vektoren. Dann gehört zu jedem Punkt P genau ein Vektor, nämlich der Vektor, der den Punkt Null mit P verbindet. Also wenn Sie immer zwei Punkte haben, werden die durch einen Vektor verbunden und wenn Sie jetzt einen von den

beiden Punkten auf den Ursprung festknallen, dann kriegen Sie eine 1 zu 1 Beziehung, dass zu jedem Punkt genau ein Vektor gehört und zwar der Vektor, der jeweils den Ursprung mit dem P verbindet. Also wenn man speziell das, erhält man eine eindeutige Entsprechung oder

Zuordnung zwischen den Punkten im Rn und den Vektoren. Und in dem Sinne

macht es gar nicht so viel Sinn, jetzt in der Notation genau zu unterscheiden, ob man Vektoren oder Punkte meint, weil in dem Sinne Vektoren und Punkte eigentlich dasselbe bedeuten und es ist gar nicht, meistens gar nicht tragisch, wenn Sie auf Dauer einfach den Unterschied

ignorieren und dann irgendwann vergessen und eigentlich immer nur an Vektoren denken. Also wie ist diese Zuordnung zu verstehen? Der Vektor X kriegen Sie wie? Den Vektor X kriegen Sie als Verbindungsstrecke zwischen Null und P, zwischen dem Ursprung und P und wenn Sie jetzt, der Ursprung hat die Koordinaten 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

je nach so vielen Nullen, je nachdem wie viele Dimensionen Sie haben. Wenn Sie von dem Punkt P in jeder Koordinate 0 abziehen, dann ändert sich da nicht fürchterlich viel und dann bleibt P übrig. Und sehen Sie, in diesem Sinne ist der Vektor X gleich dem Punkt P. Und dieses X heißt dann, um diesen Zusammenhang auch in einen

Namen zu gießen, das nennt man den Ortsvektor von P und wenn man da gerade wichtig ist, dann schreibt man manchmal auch sowas, X mit Index P

und meint damit eben, X soll der Ortsvektor von P sein. Trotzdem, wenn Sie diese Notation verwenden, schadet es nichts, die ist nicht absolut Standard, wenn Sie das einmal dazuschreiben, dass bei Ihnen XP den Ortsvektor bedeuten soll. Also wenn P hier ist, P ist der Punkt, dann ist das hier der Ortsvektor XP. Der Ortsvektor zu einem Punkt ist immer

der Vektor, der den Ursprung mit diesem Punkt verbindet. So, wichtiger Spezialfall davon, was ist der Ortsvektor des Ursprungs?

Der Ursprung ist ein besonderer Punkt, also ist es mal interessant, was hat der für einen, hat der auch einen besonderen Ortsvektor? Was ist also der Ortsvektor zum Ursprung? Naja, das ist der Vektor, der den Ursprung mit dem Ursprung verbindet,

also O minus O und Null minus Null ist eigentlich immer Null, also das ist der Vektor, der lauter Koordinaten Null hat, den haben wir vorhin schon gesehen und der wird meistens als Null mit einem Pfeil drüber geschrieben und das ist der Nullvektor.

So, das ist ein wichtiger Vektor, an dem hängt sozusagen alles, das ist unser Aufhängepunkt für das ganze System. Ja, also Vektoren können Sie sich vorstellen als gerichtete Pfeile im Raum

mit einer gewissen Länge, als gerichtete Verbindungsstrecke von zwei Punkten und Vektoren beschreiben als Ortsvektoren genau die Punkte im Raum. Jeder Punkt hat genau seinen eigenen Ortsvektor und das ist eine eindeutige Zuordnung.

Gut, damit wir mit Punkten rechnen können und Punkte und Vektoren eigentlich dasselbe sind, können wir damit auch mit Vektoren rechnen. Wir hatten vorhin die verschiedenen Rechenoperationen für Punkte eingeführt

und die Rechenregeln dazu und die sind exakt das Gleiche bei Vektoren, weil Punkte sind ja Vektoren, also das ist wie für Punkte wegen dieser Beobachtung in 3,6.

Können Sie alles eins zu eins übernehmen, das heißt, Sie addieren zwei Vektoren, indem Sie... Ist das eine Frage? Manche Nullen haben da ein Vektorzeichen und manche nicht, ja. Also das erste, die Nullen ohne Vektor, die Nullen in der eckigen Klammern sind reelle Zahlen Null.

Das sind die Koordinaten des Nullvektors, das sind lauter echte Nullen. Die drei anderen Nullen sind Os, das sind der Ursprung. Also meinetwegen mache ich da noch ein Schwänzchen dran. Also das sind Os, das ist der Ursprung.

Was? Okay, die Null ist damit gerichtet. Ja, die Null hat keine Richtung, logisch. Die Null ist ein Vektor und der Nullvektor ist insofern eine Ausnahme,

als es der einzige Vektor ist, der keine definierte Richtung hat. Der hat Länge Null und jetzt kann man sich streiten philosophisch. Hat er gar keine Richtung oder hat er jede Richtung gleichzeitig? Beides macht gleich viel Sinn. Er hat halt einfach keine Länge und da er keine Länge hat,

hat er keine Möglichkeit, eine Richtung zu zeigen. Aber Sie können keine Vektorechnung machen, wenn Sie den Nullvektor weglassen. Den brauchen wir ständig. Also den muss man dazu nehmen, sonst gibt es keine Theorie, sonst gibt es eine Riesenkatastrophe.

Aber Sie haben recht, er hat keine Richtung in dem Sinne oder jede. Die gleiche Tragödie, da haben Sie es, gut vielleicht haben es manche gemerkt, aber mich gedacht, das weisen Sie nicht darauf hin, aber die gleiche Tragödie hatten wir eigentlich schon einst früher bei den Polarkoordinaten.

Wenn Sie sich erinnern, ich habe in Polarkoordinaten gesagt, ich habe Ihnen gesagt, jeden Punkt im Raum können Sie beschreiben durch den Abstand vom Ursprung und den Winkel. Der Nullpunkt, ich spiele da auch schon über den Spielverderber, der hat nämlich keinen Winkel. Gleiches Problem, hat er auch keine Richtung, keinen Winkel und dementsprechend ist das mit den Polarkoordinaten in der Ausstelle auch getrickst.

Das passiert hier genauso. Gut. Kann ich es damit ungefähr? Gut. Noch mehr Fragen?

Die Frage ist, ich nehme an, die haben es nicht verstanden, nach Multiplikation von zwei Vektoren ist im Moment noch nicht definiert. Im Moment können Sie, wir haben bei den Punkten definiert Punkt plus Punkt

und reelle Zahl mal Punkt. Reelle Zahl mal Vektor können Sie genauso machen. Reelle Zahl mal Vektor, wenn Sie Ihren Vektor x haben, also wenn Ihr Vektor x die Koordinaten x1 bis xn hat,

dann ist alpha mal x der Vektor mit Koordinaten alpha x1 bis alpha xn, genau wie bei Punkten. Das können Sie schon, aber ein Vektor mal ein Vektor können Sie noch nicht. Aber geben Sie mir noch eine halbe Stunde, dann können Sie auch das.

Manche werden das auch schon so können, aber dann können Sie es offiziell nach der Vorlesung. Noch ein Kommentar dazu, zu diesen ganzen Nullen. Sie werden gerade gedacht haben, oh Mann, was macht der für einen Chaos mit drei verschiedenen Nullen und das ist auch noch ein O.

Das Chaos ist da, aber es ist gar nicht, um das kommen Sie nicht rum. Schauen Sie mal in verschiedene Bücher rein. Den Unterschied, dass ich hier über den Nullen ein Pfeil mache für den Nullvektor, ist schon freundlich. In ganz vielen Büchern wird der Nullvektor einfach mit dem normalen Nullsymbol bezeichnet.

Und dann sehen Sie gar keinen Unterschied zwischen dem reellen Zahl Null und dem Vektor Null. Und wenn man weitermacht, kommen dann noch fünf andere Nullbegriffe dazu. Und die Aufgabe des geneigten Lesers ist üblicherweise, sich zu überlegen, welche Null ist hier jetzt eigentlich gerade gemeint. Ergibt sich meistens daraus, dass man mal guckt, was auf der anderen Seite vom Gleichheitszeichen steht.

Und da eine Zahl nicht gleich einem Vektor sein kann, wenn irgendwo rechts ein Vektor steht und dann steht gleich Null, dann muss das links wohl auch der Nullvektor sein, weil sonst wäre das Gleichheitszeichen Mumpitz. Aber das werden Sie in vielen Büchern so finden. Die Mathematiker haben irgendwann aufgegeben, diese 25 verschiedenen Nullen alle mit anderen Symbolen zu bezeichnen, weil sonst würden wir heute schon

das aramäische Alphabet auch noch brauchen und dann wird es unübersichtlich. Sie kriegen schon genug griechische Buchstaben um die Ohren in der Vorlesung. Gut, damit haben wir also Vektoren.

Und was jetzt kommt, sind Dinge, die man mit diesen Vektoren machen kann, mit denen man die beschreiben kann und wie man mit denen Geometrie machen kann und wie man mit ihnen rechnen kann. Und das erste ist, ich habe Ihnen die ganze Zeit gesagt, so ein Vektor, der hat eine Länge und eine Richtung, oder er ist der Nullvektor.

Und ich habe immer von der Länge geredet, aber die Frage ist ja, was ist überhaupt diese Länge, wie rechnen Sie die aus? Und das ist jetzt der erste Punkt. Die Länge von Vektoren, das ist die nächste Definition. Und da sehen wir zumindest, bei der Länge macht der Nullvektor keinen Ärger.

Aber Sie können sich schon denken, was der für eine Länge hat. Also, wo kriegen wir die Länge her für so ein Vektor? Das ist die Nummer 1,5 im anderen Skript. Also wir geben uns so ein Vektor vor. Der hat wieder Koordinaten x1 bis xn, Vektor mehr n.

Stellen Sie sich n gleich zwei oder n gleich drei vor, dann verknotet sich das Hirn nicht so arg. So, was ist jetzt im R2? Die Länge von so einem Vektor. Hier ist x1, da ist x2, das haben wir schon fünfmal gerechnet,

das ist wieder Pythagoras. Die Länge von dem Vektor ist die Wurzel aus x1² plus x2². Und diese Formel können Sie jetzt ruchlos hochziehen. Die Länge von einem Vektor mit n Komponenten ist die Wurzel aus x1² plus x2² plus und so weiter bis plus xn².

Und jetzt hatte ich Ihnen gesagt, Sie sollen sich die Pünktchen abgewöhnen. Also machen wir die Pünktchen weg. Das ist die Summe, j gleich 1 bis n xj² und daraus die Wurzel. Das ist die Länge von dem Vektor.

Und die kriegt jetzt ein Symbol, wenn man die oft braucht. Und, naja, diese Länge nennt man auch manchmal den Betrag vom Vektor. Und an der Stelle will ich jetzt auch wieder notationell unterscheiden, damit man nicht mit dem reellen Betrag verwechseln kann.

Also Betrag wäre so sinnigerweise. Und bei Vektoren schreibt man üblicherweise einen Doppelbalken drumrum. Das ist das Symbol für die Länge. Und genannt wird das Ding die Norm von x. Aber wie gesagt, Bezeichnung und Betrag ist durchaus auch üblich, wobei das eigentlich ungeschickt ist, weil der Betrag ist eine reelle Größe.

Also ist eine Größe auf den reellen Zahlen. Wenn Sie hier auf mehr n sind, spricht man besser von einer Norm. Und weil es eigentlich viele Normen gibt, aber wir gucken uns nur die eine an. Zur Unterscheidung ist das die sogenannte euklidische Norm. Aber das euklidische können Sie wieder vergessen. Im Zuge dieser Vorlesung wird es nur die Norm geben, und das ist die.

Das ist auch die, die wir aus dem Alltag kennen. Das ist der alltägliche Längenbegriff. Also was das Ding anschaulich ist, ist wie gesagt die Länge des Vektors.

Also die Norm gibt die Länge des Vektors an. Und wenn Sie jetzt zum Beispiel wieder den Nullvektor nehmen, dann haben Sie alle xj sind 0. Also addieren Sie n mal 0² auf. Das ist immer noch 0. Also der Nullvektor hat damit Länge 0. So, also wir haben ein neues Spielzeug, diese Norm.

Dann schauen wir doch mal, was die für Eigenschaften hat. Also Abschnitt 3, 9. Eigenschaften und Rechenregeln für die Norm. Das korrespondiert mit Abschnitt 1, 5.

So, und bei solchen Aufzählungen von Eigenschaften von solchen neuen Größen ist es immer gut, wenn man im Hinterkopf behält, was bedeuten diese Größen anschaulich. Und dann sind die meisten Eigenschaften Banalitäten.

Also zum Beispiel das erste, die erste wichtige Eigenschaft der Norm ist, die Norm ist gegeben durch eine Wurzel von einem positiven oder einem Ausdruck, der größer gleich Null ist. Also die Norm ist immer eine Zahl, die größer gleich Null ist. Das finden wir jetzt nicht komisch, dass eine Länge immer was größer gleich Null ist.

Eine negative Länge fänden wir auch irgendwie seltsam. Aber das kann man, es lohnt sich das mal festzuhalten. Das ist eine wesentliche Eigenschaft der Norm. Sie ist immer pro Größe gleich Null. Dann hatten wir gerade schon gesehen, wenn Sie den Nullvektor nehmen und von dem die Norm ausrechnen, dann kriegen Sie Null.

Und jetzt gibt es noch eine zweite tolle Eigenschaft der Norm, die mit der Null zu tun hat. Das ist nämlich, der Nullvektor hat Länge Null. Und der Nullvektor ist außerdem der einzige Vektor, der Länge Null hat. Jeder andere hat eine echt positive Länge.

Und das ist insofern toll, weil es eine Möglichkeit gibt, einen Vektor als Nullvektor zu entlarven. Wenn Sie einen Vektor haben, von dem Sie nicht viel wissen, aber Sie können irgendwie zeigen, seine Länge ist Null, dann wissen Sie sofort, dann ist der Vektor schon Null.

Und die beiden Eigenschaften zusammen nennt man positive Definitheit der Norm. Das ist mehr so zur Info. Wichtig ist, dass Sie behalten, die Norm ist immer positiv. Und wenn sie Null ist, dann ist der Vektor schon Null.

Ja, weil es durchaus Vektoren gibt, oder einen Vektor gibt, für den die Länge Null ist. Nämlich der Nullvektor. Also, Norm x ist größer, Null ist falsch. Ich finde ein Gegenbeispiel, nämlich der Nullvektor.

Ja, es gibt einen Vektor, der die Länge Null hat, aber eben nur einen. Gut, das ist die erste Eigenschaft. So, jetzt kommt die zweite Eigenschaft. Was passiert, wir haben jetzt noch zwei Dinge, die ein Vektor enttun können. Wir können sie mit einer Zahl Alpha multiplizieren und wir können sie addieren.

Und die Frage ist jeweils, wie verhält sich jetzt die Norm unter diesen beiden Operationen? Also, wenn wir einen Vektor hernehmen und ihn mit einer Zahl Alpha multiplizieren, was ist dann mit der Länge von Alpha mal x? Wie hängt die zusammen mit der Länge von x? Und wenn man aus der Alltagsanschauung kommt, ist klar, was passiert.

Wenn Sie einen Vektor mit 5 multiplizieren, dann wird sich wohl auch seine Länge um 5 ändern. Und wenn Sie ihn mit minus 3 multiplizieren, dann wird er auch dreimal so lang. Und das stimmt tatsächlich, kann man nachrechnen. Also, die Länge von Alpha mal x ist Betrag Alpha mal die Länge von x.

Diese Eigenschaft heißt Homogenität. Und auch das ist erstmal eine kühne Überhauptung, das muss man eigentlich nachrechnen. Aber was macht man, man nimmt sich einen Vektor x her, x1 bis xn, schreibt die Norm als Wurzel aus, dann kann man das Alpha überall ausklammern

und kriegt das raus, was rauskommt. Also vielleicht an dem einen Beispiel mal, warum gilt das? Wenn ihr x die Komponenten x1 bis xn hat, was ist dann die Norm von Alpha mal x?

Nach Definition ist das die Norm, ist das die Wurzel aus? Dann schreiben wir erstmal hin, was Alpha mal x ist. Das ist Alpha x1 bis Alpha xn. Die Definition der Norm war, quadrieren Sie jeden Eintrag,

summieren Sie alle Quadrate der Einträge auf und schmeißen Sie eine Wurzel drüber. Also, nochmal, nehmen Sie sich jeden Eintrag her, quadrieren Sie den, summieren Sie die alle auf und schmeißen Sie eine Wurzel drüber.

Das ist die Norm. Jetzt können Sie da innen drin, das ist eine große Wurzel, Summe j gleich 1 bis n, Alpha Quadrat xj Quadrat. Jetzt kann man das Alpha Quadrat ausklammern, Summe j gleich 1 bis n, xj Quadrat.

Bis jetzt ist nur das Alpha Quadrat ausgeklammert, das steht in jedem Summanden drin. Ich hoffe, Sie erinnern sich an die Ausklammerregel für Summenzeichen. Dann gilt die Wurzelrechelregel, Wurzel von einem Produkt,

das Produkt der Wurzeln, Wurzel Alpha Quadrat, mal Wurzel aus Summe j gleich 1 bis n, xj. Das hintere kennen wir schon, das hintere ist einfach die Norm von x. Und was steht da vorne? Und Achtung, jetzt ist bitte einem Reflex nicht nachzugeben,

naja, quadrieren und dann Wurzel ziehen, das macht sich rückgängig, also steht da Alpha. Nee, quadrieren und Wurzel ziehen macht sich nicht rückgängig, nämlich da nicht, wenn Alpha negativ ist. Wenn Alpha minus 1 ist, ist Alpha Quadrat 1 und dann ist die Wurzel 1. Wurzel aus dem Quadrat ist nicht die Zahl, sondern ist der Betrag von der Zahl.

Achtung, klassischer Klausur, patzer. Wurzel vom Quadrat ist nicht nichts, sondern ist ein Betrag. So, und das ist genau das, was wir zeigen wollten, Norm von Alpha x ist Betrag Alpha mal Norm x. Gut, das war die Homogenität.

Und jetzt kommt die Frage, was passiert mit der Norm, wenn wir zwei Vektoren addieren? Also nehmen Sie sich zwei Vektoren, x und y, her und schauen Sie sich an, was ist die Norm von der Summe?

Also was ist Norm von x plus y? Und die Antwort ist nicht, das ist gleich Norm von x plus Norm von y. Das ist falsch.

Aber Sie kriegen immerhin eine Ungleichung. Und die Ungleichung haben wir auch schon mal gesehen. Denken Sie mal die Pfeile weg und statt zwei Strichen nur ein Strich hin. Ja, eine Frage. Da fehlt ein Quadrat. Danke. Das meinten Sie. Ja, das fehlt.

Wir hatten schon für A und B aus R Betrag von A plus B. Dann hatte ich Ihnen auch schon gesagt, das können Sie nicht einfach als Betrag von A plus Betrag von B auseinander ziehen. Aber es gilt die Dreiecksungleichung. Das ist kleiner Gleichbetrag von A plus Betrag von B. Und genau das Gleiche haben Sie hier auch.

Das ist immer kleiner Gleich Norm von x plus Norm von y. Und das ist die sogenannte Dreiecksungleichung. Und ich hatte Ihnen damals beim Betrag gesagt, das Ding nennt man Dreiecksungleichung. Und Sie dürfen mich jetzt zu Recht schimpfen, weil, wo ist hier bitte ein Dreieck?

Und dann habe ich gesagt, jetzt warten Sie mal zwei Wochen, dann kann ich Ihnen das Dreieck zeigen. Und hier kommt das Dreieck. So, also wo ist hier das Dreieck in dieser Ungleichung? Malen wir uns die Situation mal hin.

Sie haben den Vektor x. Sie haben den Vektor y. Was ist jetzt der Vektor x plus y? Ich hoffe, da kann ich, kann man natürlich auch mit den Rechenregeln sich zusammensuchen. Aber ich hoffe, ich kann auf Ihre Schulintuition von Vektorrechnung bauen, dass Sie mir glauben, den kriegen Sie so, dass Sie hier dieses Parallelogramm bilden.

Und dann ist x plus y der, der da in der Mitte entsteht. Kräfteparallelogramm. Also das ist x plus y. So, und was sagt jetzt die Dreiecksungleichung? Die Dreiecksungleichung sagt, die Länge von x plus y, also die Länge von der Diagonalen in diesem Parallelogramm,

ist kleiner als die Länge von x, also die Länge von dem Vektor unten, plus die Länge von dem y, und den können Sie sich ja auch hier hingeklebt vorstellen. Das ist wieder y. Das ist die Sache, dass Sie jeden Vektor schieben, parallel schieben dürfen.

Und jetzt sehen Sie das Dreieck, hoffentlich. Und was die Dreiecksungleichung eigentlich nur sagt, ist, der Umweg ist immer länger als der direkte Weg. Also wenn Sie auf der direkten Weg von Ursprung zu x plus y zu dem Punkt da oben laufen,

dann ist das schneller als wenn Sie erst x und dann y gehen, egal wie x und y liegen. Die Diagonale im Parallelogramm ist immer kürzer als die beiden Seiten zusammengezählt. Das ist das, was die Dreiecksungleichung sagt. Der Umweg ist immer kürzer als direkt, ist immer länger als direkt. Das ist die Dreiecksunggleichung. Und weil die eben hier offensichtlich, hier sieht man, warum sie Dreiecksunggleichung heißt,

deswegen heißt sie für den Betrag auch Dreiecksunggleichung. So, aus der Dreiecksunggleichung kriegt man eine weniger, sagen wir mal weniger durch den Alltags,

also so Sachen wie der Umweg, ein Umweg ist immer länger als direkt. Das wird uns jeder aus dem Alltag unterschreiben. Und was jetzt noch kommt, ist die sogenannte umgekehrte Dreiecksunggleichung. Da habe ich weniger anschauliche Bedeutung für, aber die folgt aus der Dreiecksunggleichung. Und da geht es darum, was ist mit der Länge von der Differenz.

Und die umgekehrte Dreiecksunggleichung sagt, egal was Sie für x und y im Rn nehmen, Sie kriegen immer folgende Ungleichung.

Da geht es jetzt um die Frage, was ist mit der Differenz von x und y und deren Länge und wie hängt die Länge der Differenz zusammen mit der Differenz der Längen. Und da kriegen Sie jetzt auch wieder keine Gleichheit, sondern Sie kriegen wieder eine Ungleichung und die geht in die andere Richtung. Also die Länge der Differenz, die ist immer mindestens so groß wie,

und jetzt wird es wild, die Differenz der Längen und davon wiederum der Betrag. Also die Längen von x und y sind ja reelle Zahlen, also in diesem Betrag stehen jetzt reelle Zahlen, davon können Sie Betrag bilden. Das ist die umgekehrte Dreiecksunggleichung, die sagt also was über die Länge der Differenz aus,

also über die Länge von diesem Vektor hier. x minus y ist dieser Vektor, der die andere Diagonale im Parallelogramm bildet.

Und die Aussage ist, die Länge von dieser Diagonale ist immer mindestens so groß wie die Differenz der Einzellängen. So, gut, das sind so ein paar Rechenregeln für Betrag.

Und jetzt gibt es noch eine Rechenregel oder Beobachtung dazu. Wenn Sie einen Vektor haben, der nicht gerade der Nullvektor ist, also der nicht Länge Null hat, dann können Sie den immer so genannt normieren.

Also im Teil e geht es um die Normierung, das ist im Reifskript 1,6. Also, ist x ein Vektor, der nicht gerade der Nullvektor ist, wenn er Null, hätte er Länge Null, dann geht das, was jetzt gerade kommt, nicht.

Also wenn x nicht der Nullvektor ist, dann können Sie sich immer den Vektor angucken, der da ist, x geteilt durch die Länge von x. Was ist damit gemeint? Damit ist gemeint, Sie nehmen den Vektor x und multiplizieren den mit der reellen Zahl 1 durch Länge x.

Das ist damit gemeint. Und das ist dann immer ein Vektor mit gleicher Richtung wie x. In dem Fall ist es okay, wenn ich von Richtung spreche, weil x ist nicht der Nullvektor.

Also dieser Vektor hat noch die gleiche Richtung wie x und der hat dann immer Norm 1. Das ist sozusagen ein normalisierter Vektor, der nur noch die Richtungsinformation enthält und nicht mehr die Längeninformation.

Aber es gibt viele Situationen, wo es einem nur auf die Richtung ankommt und dann ist es manchmal interessant, das sozusagen auf eine Einheitsgröße zu normieren. Das ist die sogenannte Normierung. Warum hat der Norm 1? Wenn das nicht sofort ins Auge springt, kann man das nochmal kurz hinschreiben.

Warum hat der Norm 1? Rechnen Sie die Norm von dem Ding aus. Was ist die Norm von 1 durch die Norm von x mal x? Man muss sich klar machen, was da steht. Da steht eine reelle Zahl mal ein Vektor und davon die Norm. Und wir hatten im B-Teil gesehen, wie man damit umgeht.

Im B-Teil haben wir gesehen, wenn Sie eine reelle Zahl mit dem Vektor multiplizieren und dann die Norm bilden, dann ist das das Gleiche, wie wenn Sie erstmal von der reellen Zahl den Betrag bilden und das mit der Norm von dem Vektor durchmultiplizieren. 1 durch Norm x ist aber auf jeden Fall größer 0, weil Norm x größer 0 ist und 1 durch eine positive Zahl ist positiv.

Also ist das, können Sie den Betrag auch weglassen, ist das 1 durch die Norm von x mal die Norm von x? Naja, und das ist ziemlich 1. Gut. Und solche Vektoren, die Länge 1 haben, kriegen einen eigenen Namen, der ist nicht besonders kreativ.

Also das ist Begriff 310. So ein Vektor der Länge 1, der hat eine Einheitslänge, eine definierte Referenzlänge

und dementsprechend ist das ein sogenannter Einheitsvektor. Und die sind zum Beispiel interessant, wenn man sich Koordinatensysteme bauen will aus Vektoren, dann ist es immer sinnig, man nimmt Einheitsvektoren,

dann ist alles einfach zu rechnen. Also ein Beispiel für Einheitsvektoren sind eben die sogenannten Standarteinheitsvektoren,

ne eben, x hat nicht Norm 1. Die x hat, ist irgendein Vektor, der hat irgendeine Länge. Aber wenn Sie den Vektor x geteilt durch Norm x anschauen,

also wenn Sie den Vektor x mit der kreativen Zahl 1 durch Norm x multiplizieren, dann kriegen Sie einen neuen Vektor raus, der hat die gleiche Richtung wie x, aber Länge 1. Das ist das, was das Ding sagt, mehr sagt der abschnittlich.

Gut, also die Standarteinheitsvektoren, was sind die einfachsten Vektoren der Länge 1, die Ihnen einfallen? Das sind die, das sind die, die nur an einer Stelle eine 1 haben und sonst lauter Nullen.

Was ist die Länge von denen? Naja, 1² plus 0² plus 0² plus 0² und so weiter und daraus eine Wurzel, das ist 1. Und jetzt können Sie die 1 da durchschieben, also 0, 1, 0, 0, 0, 0 und so weiter bis schlussendlich 0, 0, 0, 0 und ganz am Ende eine 1.

Das sind die sogenannten Standarteinheitsvektoren. Mit denen werden wir auch noch viel zu tun kriegen, aber das sind erstmal jetzt Beispiele für Einheitsvektoren. Und die haben alle Länge 1 und sehr verschiedene Richtungen. So, jetzt poppt schon die Frage auf,

Multiplizieren von Vektoren kommt jetzt, aber je nachdem, wie die Frage gemeint war, nicht so, wie man es denkt. Man ist immer gewohnt, wenn man zwei Dinge multipliziert oder addiert, dann kommt was Gleiches raus. Wenn Sie zwei reelle Zahlen addieren, kommt eine reelle Zahl raus.

Wenn Sie zwei reelle Zahlen multiplizieren, kommt eine reelle Zahl raus. Wenn Sie zwei ganze Zahlen addieren, kommt eine ganze Zahl raus. Und wenn Sie zwei Vektoren addieren, kommt ein Vektor raus. Und wenn Sie zwei Vektoren multiplizieren wollen, dann können Sie jetzt ganz viel definieren. Und meinetwegen können Sie alles möglich definieren, aber dann gibt es eine Standarddefinition dafür

und da kommt aber nicht wieder ein Vektor raus, sondern da kommt eine Zahl raus. Und deswegen ist das ein bisschen eine ungewohnte Rechenoperation, bei der man immer so ein bisschen aufpassen muss, was man gerade tut. Und das ist das sogenannte Skalarprodukt. Das ist bei mir 3,12 bzw. 1,7.

Also wir wollen zwei Vektoren hernehmen, x,y aus dem Rn und wollen die miteinander multiplizieren. Und weil dieses Multiplizieren, das sogenannte Skalarprodukt,

kein Produkt im gewöhnlichen Sinne ist, geben wir dem ein anderes Symbol. Und ich schreibe das mal so. x,y mit eckigen Klammern drumherum und ein Komma dazwischen. Sie werden Bücher finden, wo das durchaus auch, das wird auch manchmal notiert, durchaus aus x mal y.

Es gibt auch Autoren, die schreiben dann, damit man es nicht verwechselt, x unten Punkt y, was eine schauerliche Notation zumindest für Handschrift ist, weil natürlich in der Handschrift das gerne mal verrutscht.

Ja, gibt 100.000 Möglichkeiten. Sie können da alles mögliche. Das stimmt, das ist auch noch eine Notation, die ich schon gesehen habe. Sie können auch so was machen. Also da gibt es viele Methoden. Was diese Methoden eint, ist, nein, es gibt sozusagen zwei Sichtweisen. Entweder man denkt sich irgendein neues Symbol aus, um sicherzugehen, dass man klarstellt, das ist kein normales Mal.

Oder man sagt, der Mensch, der damit umgeht, muss wissen, was er tut. Ich schreibe wieder Punkt und man sieht ja, dass da links und rechts ein Vektor steht und deswegen kann es ja nichts anderes sein. Gibt es beide Philosophien. Ich werde jetzt hier in der Einführungsvorlesung vielleicht mal die

sichere Philosophie nehmen und Sie werden sicher später in verschiedensten Büchern auch die Variante finden, kommen Sie selber damit klar, dass alles ein Punkt ist. Ja, also das ist durchaus eine übliche Notation da, x mal y, aber dann muss man eben wissen, was man tut. Also meine Notation ist die, die ist auch, sagen wir mal, relativ gängig und was

ist das jetzt? Ja, das ist das Galarm, ich schreibe nochmal hin, also x und y seien die Vektoren, die gegeben sind durch die Koordinaten x1 bis xn und y1 bis yn, bis jetzt ist noch gar nichts passiert, ich habe jetzt nur mal x und y ausgeschrieben und was man tut ist,

man multipliziert komponentenweise, also x1 mal y1 und x2 mal y2, x3 mal y3 und das summiert man alles auf. Also, was rauskommt ist Summe j gleich 1 bis n, xj mal yj, für die Leute, die es

gerne noch mal in Pünktchen hätten, das ist x1y1 plus x2y2 plus und so weiter plus xnyn, das ist die Definition vom Skalarprodukt, das Wort fehlt noch, das ist das Skalarprodukt

von x und y und worauf ich eben dringend hinweisen will ist, dass bei dieser Skalarproduktbildung man zwei Vektoren reinsteckt und was rauskommt ist eine Zahl, da hinten steht eine Summe von Produkten und die Produkte sind alle so von reellen Zahlen, also das ist einfach

eine reelle Zahl, Skalarprodukt von zwei Vektoren ist also kein Vektor, sondern ist eine Zahl, dann lassen Sie mich hier so ähnlich wie vorhin bei der euklidischen Norm noch dazuschreiben, das ist das sogenannte Standard Skalarprodukt, da gibt es auch noch 32 mehr, nein viel mehr, aber das ist das mit dem man im normalen Leben zu tun hat.

So, warum ist dieses Skalarprodukt so toll, kommen wir gleich zu, lassen Sie mich erst mal einfach ein reines Zahlenbeispiel, damit man nochmal sieht wie das funktioniert, und dann die Rechenregeln sammeln und dann erkläre ich Ihnen, was die geometrische

Bedeutung vom Skalarprodukt ist und was das anschaulich tut, also einfach mal ein Beispiel durchgerechnet, nehmen wir zwei irgendwelchen Vektoren, den Vektor 3,5,1 und den Vektor 2, minus 1,0, was ist jetzt das Skalarprodukt, was müssen Sie

tun, Sie müssen die ersten beiden Komponenten multiplizieren, also 3 mal 2 plus die zweiten multiplizieren, 5 mal minus 1 plus 1 mal 0, gut 1 mal 0 ist nicht besonders spannend, das ist 6 minus 5 und das ist 1, gut, also das Produkt von diesen beiden Vektoren ist 1, was auch immer das bedeutet, aber so rechnet man es aus, also das ist

einfach zum Ausrechnen und jetzt sammeln wir mal Eigenschaften und Rechenregeln davon, Eigenschaften 3,14, das entspricht 1,8 und das sind alles wieder

Eigenschaften, die wenn man die entsprechenden Vektoren einfach mal in die Formel einsetzt, alle einem direkt vor die Füße fallen, also egal welche Vektoren x,y,z nehmen und für alle reellen Zahlen alpha, gelten die folgenden

Regeln, das erste ist die Symmetrie, wenn Sie x mit y multiplizieren, ist das das gleiche wie wenn Sie y mit x multiplizieren, also die Reihenfolge spielt keine Rolle, wenn Sie sich überlegen, wie was Skalarprodukt definiert, nehmen Sie das Beispiel da oben, wenn Sie statt 3,5,1 mal 2

minus 1,0, 2 minus 1,0 mal 3,5,1 rechnen, dann kriegen Sie in den drei Produkten da halt nicht 3 mal 2 plus 5 mal minus 1, sondern Sie kriegen 2 mal 3 plus minus 1 mal 5 plus 0 mal 1, aber das ist gerade egal, weil das multiplizieren in R ist halt vertauscht, also kriegen Sie das

gleiche, egal wie rum Sie die hinschreiben, das ist die sogenannte Symmetrie, dann haben wir einen ganzen Stapel von Regeln, die jetzt erstmal komisch aussehen, aber super praktisch sind, das ist die

und das mit einem Skalar alpha multiplizieren, mit einer reellen Zahl alpha, dann können Sie auch das x mit dem alpha multiplizieren und das mit dem y mal nehmen oder das y mit dem alpha multiplizieren und das mit dem x mal

nehmen und das ändert alles gar nichts, das ist immer das gleiche, also Sie dürfen so ein alpha, das in einem dieser Faktoren drin steht, nach vorne ziehen oder auf den anderen Faktor werfen, dann kommt als

nächstes, sagen wir mal, das was die Distributivgesetze sind, also wie verhält sich dieses multiplizieren mit einer Summe, also Sie haben die Summe von zwei Vektoren und multiplizieren die Summe mit y, wenn das dann eine vernünftige Multiplikation ist und das ist es, dann würden Sie hoffen, dass das dasselbe ist wie x multipliziert mit

y plus z multipliziert mit y und das ist auch so, also x multipliziert mit y plus z multipliziert mit y, das heißt mit diesem Skalarprodukt können Sie ausklammern und ausmultiplizieren wie gewohnt, Summe multipliziert mit y ist Summe der Einzelmultiplikation, das ist

einfach ausklammern und ausmultiplizieren, das gleiche auch hinten, also wenn Sie x multiplizieren mit y plus z, dann ist das das gleiche wie x multipliziert mit y plus x multipliziert mit z, hier steht Unfug, also da steht Komma, so die drei Dinger zusammen nennt man

Linearität und was man bis jetzt mitnehmen sollte ist, dieses

multiplizieren verhält sich so wie man es kennt, sprich die Reihenfolge ist egal und wenn Sie es mit Summen zu tun haben, dann können Sie ausklammern und ausmultiplizieren, so das dritte ist ein schöner Zusammenhang zwischen

Skalarprodukt und Norm, Skalarprodukt und Norm hängen nämlich eng zusammen, wenn Sie einen Vektor nehmen und den mit sich selber Skalarprodukt bilden, dann ist das was rauskommt, im Wesentlichen die Norm, es ist nicht ganz die Norm von x, sondern es ist das Quadrat der Norm von x, warum, warum

gilt das? Schreiben Sie sich hin was das ist, was ist das Skalarprodukt von x mit x, das ist nach Definition Summe j gleich 1 bis n über xj mal xj, also über xj Quadrat, wenn Sie sich überlegen was die Norm von x war, die Norm von x ist

die Wurzel aus Summe j gleich 1 bis n xj Quadrat, das ist die Norm, naja was ist

jetzt die Norm Quadrat, die Norm Quadrat ist dann natürlich Wurzel wieder weg und dementsprechend kriegen Sie hier gleich, gut das ist der

erste Teil von dem Teil C, also die Skalarprodukt von x mit sich selbst ist immer das Quadrat der Norm und damit kriegen Sie insbesondere sofort, dass das immer größer gleich Null ist, also Skalarprodukt von dem Vektor mit

sich selbst ist immer größer gleich Null, auch das eine wunderschöne Analogie zu den reellen Zahlen, wenn Sie die Zahl mit sich selber multiplizieren, kommt immer was Positives raus oder Null, das haben Sie hier auch, wenn Sie den Vektor mit sich selbst multiplizieren kriegen Sie nie was negatives und wenn Sie sich bei der Norm erinnern, was passiert,

was können Sie sagen, wenn Sie wissen, dass Norm von x, also dann das Skalarprodukt von x mit sich selber Null ist, wenn Sie zeigen können, wenn Sie irgendwie rauskriegen und Sie haben den Vektor, der mit sich selbst multipliziert Null gibt, dann wissen Sie die Norm von dem Vektor zum Quadrat ist Null, naja dann ist auch die Norm von dem Vektor Null und dann hatten wir vorhin gesehen, wenn die Norm von dem Vektor Null ist,

dann ist er schon Null, also kriegen Sie hier die gleiche Eigenschaft wie vorhin, wenn das Skalarprodukt von dem Vektor mit sich selbst Null ist, dann muss der Vektor schon Null gewesen sein und diese Eigenschaft heißt deswegen auch genauso wie bei der Norm positive Definität.

So, das sind die Rechenregeln, die Sie für Skalarprodukte haben und im Wesentlichen kann man die, obwohl es viele Zeilen sind, zusammenfassen, alles wie gewohnt. Sie können mit dem Skalarprodukt rechnen, wie man von jedem Malpunkt gewohnt ist, das ist der Grund, warum Leute auch gerne Malpunkt schreiben. Die Reihenfolge vertauscht, die Distributivgesetze

gelten, x plus y, x plus z multipliziert mit y ist x multipliziert mit y plus z multipliziert mit y, das Quadrat, also irgendwas mit sich selbst multipliziert ist immer positiv, also alles wie gewohnt. So, jetzt hatte ich Ihnen versprochen, ich erkläre Ihnen noch, was denn

Skalarprodukt Null bedeutet, das kommt jetzt und das packe ich mal in die Form von einem Satz, das ist 3,15 bzw. 1,8. Wenn Sie sich zwei Vektoren

x und y hernehmen im Rn und jetzt haben Sie noch, dann liegen die

irgendwo im Raum, jetzt packen Sie die mal mit einem gemeinsamen Anfangspunkt irgendwo hin, also packen Sie die mal beide in Ursprung. Dann haben Sie zwei Vektoren, die am Ursprung kleben und jetzt gehen wir davon aus, die sind nicht beide Null, oder nee, die sind beide nicht Null, so rum, beide nicht Null, dann haben die beide eine Richtung und

dazwischen finden Sie einen Winkel und diesen Winkel, den nennen wir mal Phi, ja, dazwischen finden Sie genauer gesagt sogar zwei Winkel, also malen wir es mal hin, Sie haben Ihre zwei Vektoren x und y und zwischen denen können Sie im Prinzip zwei Winkel definieren, einmal den kleinen, einmal den großen, welchen ich haben will, ist der

kleinere, also der hier, also Phi, der kleinere Winkel zwischen x und y, das kommt jetzt eben darauf an, ob das der Winkel, ja,

wie x und y liegen, welcher das ist, aber ich hoffe, Sie wissen, was ich meine und dann gibt es einen schönen Zusammenhang, dann können Sie das Skalarprodukt um x und y interpretieren oder sehen, also können Sie ausrechnen, wenn Sie die beteiligten Größen kennen,

wenn Sie wissen, welche Längen x und y haben und wie groß der Winkel, der zwischen Ihnen ist und das ist das, was dieser Satz sagt, also das Skalarprodukt von x und y ist dann gegeben durch Norm von x, also die Länge von x, mal die Länge von y, mal

den Kosinus von diesem Winkel Phi, das ist die Aussage und daran kann man jetzt verschiedenes sehen, also im Prinzip kann man die Aussage

so natürlich erst mal nur hinschreiben für, wenn beide Vektoren x und y nicht null sind, um auf den Einwand von vorhin zu kommen, weil wenn einer von den null ist, dann gibt es wieder keinen Winkel, weil dann gibt es keine Richtung und wenn es keine Aber wenn einer von den null ist, was ist dann das Skalarprodukt auf

der linken Seite? Das ist der Null, weil wenn ich Skalarprodukt mache und einer von den Vektoren ist Null, dann multipliziere ich den lauter Nullen und addiere lauter Nullen und dann wird das Null und die Länge von dem Vektor ist auch Null, das heißt rechts steht auch egal wie Null, da müssen Sie den Winkel noch gar nicht definieren, da steht schon vorher Null, weil die Länge Null ist. In dem Sinne gilt die Gleichung für jeden Vektor. Auch wenn natürlich der Winkel

eigentlich gar keinen Sinn macht. Ja klar, so wie ich es auf der Zeichnung habe, da muss ich es ja zwischen x und y beziehungsweise y und x. Also Sie müssen entweder den Winkel zwischen

y und x oder den zwischen x und y, nehmen nämlich den kleineren. Also ich hoffe, das ist anschaulich klar. Ich kann Ihnen das auch in vollem Mathematikerspräch liefern. Dann ist es sauber, aber ich glaube, so verstehen Sie es besser. Also Sie müssen einen kleineren Winkel nehmen zwischen den beiden Vektoren. Das ist entweder der

zwischen x und y oder der zwischen y und x. Genau. Und dann kriegen Sie das Skalarprodukt als Produkt der Beträge mal kurslos von dem Winkel und das ist zum einen interessant, weil es einem noch mal eine weitere Formel für Skalarprodukt liefert. So ein bisschen eine geometrische

Anschauung. Also Sie sehen, dieses Skalarprodukt ist damit auch ein Maß dafür, wie stark die beiden Vektoren in die gleiche Richtung zeigen. Wenn die beiden Vektoren genau in die gleiche Richtung zeigen, dann ist der Winkel 0, dann ist der Cosinus 1, ist er maximal groß. Also für Vektoren,

die die gleiche Richtung zeigen, kriegen Sie große Skalarprodukte. Wenn die beiden einen rechten Winkel bilden, dann ist der Cosinus 0, dann kriegen Sie ein sehr kleines Skalarprodukt. Also dann kriegen Sie 0 als Skalarprodukt, wenn die beiden einen stumpfen Winkel bilden. Also wenn die nicht so stehen, sondern wenn das

y, dann lassen wir so. Und wenn das x jetzt, wenn das x zum Beispiel hier hin zeigen würde, also das nennen wir das x-Strich, dann ist das V-Strich hier, dann ist

der Winkel zwischen Pi halbe und Pi, das ist der Bereich, in dem der Cosinus negativ ist, dann kriegen Sie ein negatives Skalarprodukt. Dann ist der Cosinus negativ, die Norm von x und die Norm von y garantiert immer positiv. Also dann ist die rechte Seite negativ. Das heißt, das Vorzeichen des Skalarprodukt gibt Ihnen an, ob zwischen x und y eine Spitze oder ein

stumpfer Winkel liegt. Solche Sachen kann man daran alles ablesen. Und jetzt dritte Bedeutung dieses Ersatzes. Sehen Sie ihn mal andersherum. Man sehen ihn mal nicht so, dass wir sagen, wir wollen das Skalarprodukt wissen, sondern gehen Sie mal davon aus, wenn Sie die zwei Vektoren haben, das Skalarprodukt

können Sie ja leicht ausrechnen. Haben wir gerade gemacht, das muss man einfach nur rechnen. Nicht schwer. Die Längen kriegen Sie auch. Auf die Weise können Sie Winkel ausrechnen. Gegeben zwei Vektoren können Sie Skalarprodukt die Längen ausrechnen und kriegen den Winkel. So können Sie das auch interpretieren. Also in jedem Fall ein wertvoller Satz, den sich es lohnt,

genauer anzuschauen. Also überlegen wir uns mal kurz, warum das gilt. Und ich gebe zu, mein Beweis hier hat eine, ist nicht ganz vollständig, weil ich will ein elementar geometrisches

Ergebnis aus der Schule verwenden, ohne Ihnen das jetzt nochmal zu beweisen und zwar den Cosinussatz. Also was wollen wir eigentlich machen? Wir haben den Vektor x, wir haben den Vektor y und den Winkel phi hier und wir

wollen diese Gleichheit da zeigen, also das Skalarprodukt von x und y gegeben ist als Norm x mal Norm y mal Cosinus phi. Da müssen wir jetzt ein bisschen Trigonometrie machen und dazu bauen wir uns hier ein Dreieck. Und dieser Vektor, der dieses Dreieck zumacht, das ist der Vektor x minus y und wenn sich

jetzt, das ist natürlich kein rechtwinkliges Dreieck im Allgemeinen, das ist jetzt irgendein Dreieck, aber in irgendwelchen Dreiecken gilt immer der Cosinussatz und hier auf dieses Dreieck angewandt lautet der W. Der Cosinussatz ist der verallgemeinerte Pythagoras, der Ihnen

sagt, Länge der Kathetekvadrat plus Länge der anderen Kathetekvadrat ist im Wesentlichen x minus y Norm Quadrat. Bis dahin wäre es Pythagoras, wenn es rechtwinklig ist und der Cosinussatz sagt jetzt, nein, wenn es nicht rechtwinklig ist, dann gilt es natürlich so nicht, aber dann kriegen Sie einen Korrekturterm und der ist

zweimal Länge der einen Kathete mal Länge der anderen Kathete mal der Cosinus von dem Winkel dazwischen. Das ist der Cosinussatz, also das ist der allgemeine, das ist die Verallgemeinerung von Pythagoras für das nicht rechtwinklige Dreieck. So,

und den stecke ich jetzt rein und damit zeige ich Ihnen, dass das da oben gilt. So, wenn wir den mal reinstecken, ich löse das mal hier hinten, in dem Term da, haben wir schon genau das, was wir haben wollen. Norm x mal Norm y mal

Cosinus Phi. Das ist genau der Term. Hier, der soll bitteschön das Skalarprodukt geben. Also, schauen wir uns den mal an, gut, da haben wir noch eine 2, die ignorieren wir mal erstmal, die ziehen wir mal mit und gucken, dass wir mit der am Schluss zurechtkommen. Also, zweimal Norm x mal Norm y mal

Cosinus von Phi. Das ist nach dem Cosinussatz Norm von x² plus Norm von y² minus Norm von x minus y². Ja, das ist der Cosinussatz noch mal hingeschrieben und das

einen, den einen Term auf die andere Seite gebracht. So, und damit behaupte ich, jetzt kommen wir zum Ziel. Was soll rauskommen? Was soll rauskommen? Das ist, das ist das Skalarprodukt von x mit y. Hat noch nicht so wirklich viel Ähnlichkeit mit Skalarprodukt x, y. Was? Fehlen da Pfeile? Ja,

da fehlen wieder Pfeile. Das wird mir noch häufiger passieren. Es sind bisher nur zwei. Also, im zweifelsten Fall erkläre ich mich gerne bereit, Ihnen am Schluss der Volllesung noch 20 Pfeile nachzuliefern. Aber ich hoffe, jetzt habe ich alle im Moment. Gut, sieht noch nicht wirklich nach dem Skalarprodukt

aus, aber ich sage Ihnen, das steht schon da. Wie kommen wir denn vom Norm zum Skalarprodukt? Wir hatten gerade den Zusammenhang, dass die Normquadrat entspricht dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Also, die Norm von x zum Quadrat ist genau das Skalarprodukt von x mit x. Genauso ist das Norm von

y Quadrat das Skalarprodukt von y mit sich selbst. Und das gilt auch für den dahinten, da sieht es jetzt halt ein bisschen komplizierter aus. Das ist eine Normquadrat. Das heißt, das ist das Skalarprodukt des Vektors x minus y mit dem Vektor x minus y. So, wie

soll denn daraus einfach nur ein Skalarprodukt xy werden? Das steht ja viel mehr. Ja, der Rest fällt alles weg. Warum? Wir hatten vorhin noch eine andere Rechenregel für Skalarprodukt. Also, die ersten beiden Terme schreiben wir mal ab. Und die war,

Sie dürfen ein Skalarprodukt ausmultiplizieren. Was da jetzt steht, ist ja x minus y mal x minus y. x minus y mal x minus y. Wenn das jetzt so mit einem Mahlpunkt da stünde, würden Sie sofort anfangen. Naja, das ist x mal x plus x mal y plus y mal x plus y mal y. Das machen wir jetzt also. Also, das ist Skalarprodukt von x

mit x plus Skalarprodukt von x mit y plus Skalarprodukt von y mit x plus Skalarprodukt von y mit y. Das ist nichts als die Klammer auflösen. Das ist die

Linearität vom Skalarprodukt. Stellen Sie sich's als Zahlen vor. x minus y mal x minus y. Sozusagen das zweite Binom. Wobei, jetzt habe ich hier irgendwo Mist gebaut. Genau. Ich habe erst ein Binom gemacht und nicht zweit. Hier haben Sie natürlich Minuszeichen. Sehr

schön. Und da haben Sie Minuszeichen. Beim y, y haben Sie zwei Minuszeichen und zwei Minuszeichen sind wieder Pluszeichen. Gut. So, dann lösen wir mal noch die Klammer da auf. Also haben

Sie Skalarprodukt von x mit sich selbst plus Skalarprodukt von y mit sich selbst minus Skalarprodukt von x mit sich selbst plus zwei Mal Skalarprodukt von x mit y Minus Skalarprodukt von y mit sich selbst. So, jetzt fällt

hier ganz schön viel weg. Skalarprodukt von x mit sich selbst, Skalarprodukt von y mit sich selbst. Was übrig bleibt ist zwei Mal Skalarprodukt von x mit y. Und jetzt können wir am Schluss die zwei rauskürzen. Und was übrig bleibt ist Skalarprodukt von x mit y

ist Norm x mal Norm y mal Cosinus Phi. Also was dahinter steckt ist nichts als Rechenregel für Skalarprodukt. Und wir sind an der Stelle fertig. So, halt, mit dem Beweis, mit dem Beweis. Lassen Sie mich, das

hatte ich vorhin schon gesagt. Ich habe Ihnen diese Formel verkauft, verkauft als geometrische Interpretation vom Skalarprodukt. Lassen Sie mich das noch ein bisschen weiter ausbauen. Also ich schreibe die Formel nochmal hin, die wir jetzt haben. Wir haben jetzt

Skalarprodukt von x mit y ist Länge von x mal Länge von y mal Cosinus von Phi. Und Phi ist eben der Winkel, der richtige zwischen x und y. So, da habe ich Ihnen gesagt, das sagt Ihnen

was darüber, was dieses Skalarprodukt anschaulich betut. Und das will ich noch ein bisschen näher beleuchten. Nehmen Sie mal den Fall, dass Ihre x und y Einheitsvektoren sind. Also nehmen Sie, jetzt im

Moment interessiert erst mal einfach nur die Richtung. Also x habe Länge 1 und y habe Länge 1. Naja, dann vereinfacht sich diese Formel da oben offensichtlich, nämlich zu Skalarprodukt von x und y ist genau einfach nur Cosinus von Phi. So, und was ist das?

In dem Fall, wenn beide Norm 1 haben, dann hat dieses Skalarprodukt eine ganz anschauliche geometrische Bedeutung. Und das will ich mit Ihnen jetzt rausarbeiten. Also hier ist mein Vektor x der Länge 1. Da ist mein Vektor y der Länge 1. Die sind fast gleich lang, aber

das ist noch ein bisschen länger. Jetzt können wir mal hier um den Punkt, wo die zusammen sind, einen Kreis der Länge 1 schlagen. Der Kreis des Radius 1 natürlich, Länge 2 Pi. Dann liegen natürlich beide Fallspitzen auf der Kreislinie, weil der hat der Radius 1. So, das hier ist der Winkel Phi. Das ist genau

der Winkel zwischen x und y. Und der Cosinus Phi, das ist das hier. Das ist das Bild, was wir letzte Vorlesung 10 Mal da hatten. Wenn Sie den Einheitskreis haben und den Winkel Phi, dann ist der Cosinus von Phi genau diese

Projektion nach unten. So, das heißt, was ist das Skalarprodukt in dem Fall? Das ist genau die Länge der Projektion von y auf x. Also, wenn Sie zwei Vektoren der Länge 1 haben, dann gibt Ihnen

deren Skalarprodukt an, wenn Sie sozusagen Ihren einen Vektor als Boden nehmen und jetzt machen Sie eine Äquatorsonne oben drüber. Wie lang ist der Schatten vom zweiten? Also, in dem Fall eben, Sie haben den x hier unten auf dem Erdboden. Der y hat irgendeinen Winkel,

und das Skalarprodukt gibt Ihnen an, wie lang ist der Schatten vom y auf dem Boden, die Länge der Projektion. Das ist eine geometrische Veranschaulichung des Skalarprodukts, wenn Sie Einheitsvektoren haben, und wenn die Vektoren nicht die Länge 1 haben, dann wird das Ganze

eben noch mit den Längen der Vektoren multipliziert. Aber die Grundidee bleibt dieselbe. Das ist wieder das, was ich vorhin schon sagte. Sie kriegen dann ein großes Skalarprodukt, wenn die Vektoren in die gleiche Richtung gucken, und es geht immer mehr zu null, je mehr sich das in einem rechten Winkel nähert. Gut, so viel

dazu für heute. Wir sehen uns beim nächsten Dienstag wieder, von mir deswegen jetzt schon ein schönes Wochenende, und vielen Dank für die Aufmerksamkeit.