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Uneigentliche Integrale und Numerische Integration

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so genau in die und in der immer so sein kann man hat er an der TU Darmstadt so dann wünsche ich einmal
herzlich willkommen bevor ich halt ins inhaltliche Einsteig habe ich ihn wie vor 2 Wochen 3 Wochen bei der Evaluation versprochen die Ergebnisse mitgebracht der und bedanke mich erst mal für das doch im Großen und Ganzen sehr positive Feedback ich gern gelesen habe auch die vielen er im positiven und auch kritischen Kommentare gern gelesen so 1 2 Kleidung H Anmerkungen und ansonsten eben vor allem vielen Dank also das ist was Sie hier sehen ist leider wenn außen Augenpulver aber das ist die Auswertung der fragen an Kreuzfragen also immer von trifft zu bis trifft nicht zu und da bin ich in allen Belangen jenseits der linke Hälfte das freut mich schon mal sehr insbesondere kann es sehr gut halte ich es geschafft zu haben ihnen vorzuspielen ich sehr gut vorbereitet ich verrate Ihnen denn ich kann in der verraten die vor so für nächste Woche so nicht fertig aber das habe ich noch während die und sonst auch mit es ist sehr gut dabei gut das Internet ja aber dass ich auf Ihre Frage eingehen das ist mir auch sehr wichtig gehen wir zu den Ausrutscher nach rechts das ist zum einen das Tempo also ich nehme an die Frage lesen ist schwer aber das ist der das Tempo im Tempo war angemessen ist der glaube ich am weitesten rechts liegende also der es gibt eine oben der rechts von der 2 liegt Voraussetzungen Grundlagen waren klar und gibt ausgewiesen dann gibt es den nächsten das ist oder zusammengefasste 3. ist der dritte der rechts davon liegt ist das Tempo war angemessen der ist immer mal wieder da unten und der ist in diesen und ich bin auch sicher das niemand weit ich war zu langsam das hat man in diesen Vorlesung sehr oft und es in Maßen natürlich dem geschuldet dass aber wahnsinnig viel Stoff ist er aber sicherlich kann man das trotzdem ruhig rüberbringen und das comma nachher noch zu roh es gab auch viele die sich über die wahnsinnig schnell die Sprache beschwert haben das sind natürlich Sachen an dem sehr schwer ist zu arbeiten aber ich werde versuchen das zu tun gut dann haben wir wiederholt und zusammengefasst wurde anscheinend nicht oft genug wobei ich da denke also diese der hat mich nicht überrascht weil den habe ich meistens relativ weit hinten ich weiß ich wiederhole sehr wenig im Gegensatz zu anderen Kolleginnen und Kollegen aber ich sage mir immer so ein bisschen das ist auch ein Nullsummenspiel ja dafür habe ich relativ gute Bewertung bei einem der es gibt ausreichend Beispiele und welche ist noch greift Fragen und Beiträge angemessen auf der man hat halt nur die gewisse Zeit wenn ich an den Anfang der Vorlesung der Viertelstunde wiederholen die die Zeit woanders weg und ich habe so ein bisschen über die Hoffnung das dieses wiederholen das ist was man noch am ehesten neben der Vorlesung hier machen kann das Fragen beantworten kann man da naturgemäß schwieriger das mache ich gerne hier und sozusagen aber wenn sie mich ein bisschen besser kennen hoffe ich dass sie Anfang einfach 10 Minuten vor der Sommer kurz zu blättern was haben wir denn gemacht 2 wäre dann ist das Problem vielleicht bisschen gemildert aber wie gesagt nicht versteht was gemeint ist und ich würde auch ich war man auch ganz sicher mit ich darf auf keinen Fall weniger zusammenfasst das weiß ich allen gut mehr dann habe ich gibt es die nächsten Fragen das sind dann die Freien Fragen die sind natürlich werden immer die besonders Banken und da gab es zuerst diese Frage was hat sie beim Lernen besonders unterstützt und da habe ich gut auch nicht ganz unerwartet für die Vorlesungs die volle Aufzeichnung sehr oft gefunden alle die dort die Vorlesungs Aufzeichnung gelohnt haben an der Stelle noch mal die bitte es läuft parallel die Evaluation beim E-Learning Center für die Aufzeichnung der da noch nicht teilgenommen hat möge das bitte tun dies noch bis übermorgen auf da bis 8. 2. auch das Irene Center will unbedingt Rückmeldung haben je mehr Leute da unterschreiben oder sozusagen mehr Leute da rückmelden umso besser für das Angebot so ja also wenn man dieses diese Teile durch was sie unterstützt hat ist eben sehr oft
das die Studiengänge dieses noch diese es gehen
die auch immer ein das Ganze Bauingenieurwesen bei
überraschenderweise also Aufnahme und ich habe mich vor
aber auch Freude dass das habe ich hier das
sogar meine Notlösung mit dem Skript hier positive Erwähnung fand dort echten Notlösung war der so ich bringe jetzt mal das insgesamt 9 90 Seiten die scrolle ich ihn nicht alle vor ich bringe mal auf Seite
46 er also das ist mittendrin was hat Ihnen gefallen der Vorlesung und was wollt ich jetzt hier sagen Hmm ja hier genau der also das war auch wieder Sohn da hat sich jemand gefreut über mein Exkurs unendlichen es und intuitiv das freut mich natürlich dass sich da jemand freut und dass jemand was die man sich auch über meine Exkurse freut aber auch das will ich Ihnen sagen die wieder im Widerstreit zum Thema wiederholende also man kann in die Zeit nur einmal verbannen haben und dann Herr hatte ich schon gesagt wie klassische Kritik die ich Versuch
anzunehmen ist die Sache mit der Geschwindigkeit am 12. kurze Denkpause ab und zu langsamer sprechen das kam sehr oft das ist hoffe ich ja dass sich das im Krieg aber das will ich mir mühsam vor eine 1 weitere Kritikpunkte ein zweimal K nicht vollkommen teil ist jeder zweite die Veranstaltung viele nachmittags statt und dienstags leider spät das ging ja auch so da ich bei uns am Fachbereich neben einer Dozententätigkeit viele Stundenplan zuständig bin bin ich da der wichtige Ansprechpersonen das haben wir ein Interesses Konvergenz das wird im Wintersemester 2013 14 definitiv nicht mehr so sein also wenn ich das irgendwie drehen kann ja und auch im nächsten Sommersemester die Matte 2 W I hatte auf furchtbare Zeiten die haben wir schon nach oben gepackt wir werden ins Wasser Medienzentrum auf die sich diese ziehen den großen neuen Hörsaal und dort ist da bin ich falle sage ich glaube montags und dienstags von 11 40 bis 13 20 Vorlesung kommen im nächsten Semester also dieses Problem es gehört zur Gott das steht noch die Schrift das ist auch bekannt und auf dem Laptop hier nicht noch schlimmer als auf Papier Tempo etwas reduzieren und dann kommt dieses Jahr das ist schön anschaulich mehr Beispiele also Sie haben sich viele gesagt werde für viele Beispiele aber es gibt auch junge Leute die sagen es war nicht genug es ist schwieriges Thema und vor allem weil die Leute mehr zahlen sehen das wird schwierig zur Folge dass die Zahl der den Vatikan nicht zu tun das ist dann das kann man dann da einsetzen aber dann ist die Sache ja als langweilig ich weiß aber das wird in keiner Mathematikvorlesungen hier anders sein nur kann schlimmer je mehr sie sozusagen Richtung Mathematik kommen also in Mathematik für ihn für Informatik was ich auch halt oder dann den hatte mit dem Mathematiker Vorlesung Dame müssen Sie die Zahlen wirklich mit dem kein Glas suchen dann zur mehr Beispiele der Zahlen kommt auch mal das war man so die Sachen die wirklich aufkam und zum Abschluss muss ich mit ihnen noch meine absolute Filme zeigen der war im Abschnitt was mir gut gefallen hat Seite
45 Häuser ja 2 davon und wunderbar da habe ich das hat mir sehr gefallen und ich habe mich nebenbei auch über das Wochenende gefreut aber den der war der war nicht gut dann würde ich das hier kurzum ich dann wieder ganz trocken denn eigentlich integralen zuwenden es war
und lachen Berater gut genau zu zu den das alles wieder auf start und ich habe den 7 Gelegenheit wie den alle alten Fehler zurückzufallen und den zu schnell was zu präsentieren was keine zahlt enthält aber ich würde es also versuchen der und in viel einsteigen mitten im Beispiel in dem wir stecken geblieben war und es geht dabei immer noch um oder uneigentliche Integrale also Sie haben integral zu berechnen das eigentlich nicht zu berichten das erstmal formal nicht zu berechnen ist weisen und Big schränkte Funktion zu integrieren haben oder weil sie bis unendlich oder müssen ehrlich zu integrieren haben und deren letztes Mal gesehen da könnten seltsame Dinge passieren oder Salamander können Dinge passieren wo man nicht so recht weiß was man von halten soll wenn ich mal das Bild noch mal hin weil das letztes Mal 2 der 3 mal da war integrieren von 0 bis 1 zu 1 habe für einige Funktionen dann das war die Frage als die klassische Frage 1 oder nicht nötig das ist diese Fläche da endlich oder nicht wirkliche Flächeninhalt hat die und der die Frage wie sie die Kurve aus und was wir gesehen hatten dass hängt extrem davon ab wie die Kurve aussieht also wenn Sie zum Beispiel als Partner als sie per wird sahniges teilnehmen die Funktion 1 durch Wurzel x dann hatten wir gesehen dann ist das ein wir das und einiges integraler kommt 2 heraus und wenn sie sozusagen fast gleiches Schaubild aber andere Funktion die Funktion eines durch x nehmen dann existiert es integral nicht weil der Grenzwert für also die rechnen Sie das integral sie rächen das integral aus von Alfa bis 1 für alle vergrößern 0 und dann machen sie Dinis Alter gegen 0 und wenn Sie diesen jenes machen wollen stellen Sie fest dass funktioniert nicht da kommt der geht gegen unendlich oder der diese ist existiert nicht sondern das ganze divergiert bestimmt nach unendlich so das ist irgendwie ob wusste Unterschied zwischen diesen beiden Funktionen er so groß ist er nicht aber es eben groß genug dass die Fläche einmal endlich ist und einmal nicht es lassen Sie uns einmal das durchexerzieren also man kommt die auch so ein Phänomen das wäre ähnlich schon mal hatten wenn Sie sich erinnern beim Thema Konvergenz von Reihen das Thema Konvergenz von Reihen war auch so man so ähnliche welche Zahlen und die müssen schnell genug leiden werden damit das konvergieren die Frage ist was heißt schnell genug kleinen da hatten wir die harmonische Reihe über 1 durch konvergiert nicht aber Reihe über 1 im Quadrat konvergiert dann soll er den Effekt haben sich auch es deswegen um rauszukriegen wo liegen jetzt ja nicht die Grenzen es ist ganz gut weil so eine ganze schade seine ganze Skala von Funktionen durchzuackern und das will ich jetzt also sagen dem Beispiel machen was wir hier haben ist ein Weg suchen halben 1 durch x schauen wir uns einst durch x auch S 1 für alle ist und schauen dann geht's gut und dann geht es nicht gut also also allgemein für kann es sehen er und damit die Rechnung gleich funktioniert brauche ich es ungleich 1
und wir schauen dann ist uns an das integral von 0 bis 1 1 durch x hoch SDS period und die beiden darum sind Spezialfälle einmal fest Leichenhalle wissen wir schon dass den konvergiert und kommt 2 raus und wir es gleich 1 wissen wir schon dass den konvergiert nicht nur wenn es auch nicht schlimm dass ich es gleich 1 ausgenommen habe den Fall es gleich 1 Canvas gut er also an wir rechnen man und einige sind integral von der Form aus das Problem liegt die 0 also rechnet man das integral aus von Alfa bis 1 mit dem Alfa größer 0 über 1 durch x auch SDS und macht dann den Grenzwert wenn Alfa gegen 0 geht so ja die sind gerade jetzt nicht das schrecklich schwer zu bestimmen das ist die gerade von der Form X hoch Minus S Stammfunktion davon also den Limes und da kommen die Stammfunktion davon ist 1 durch S plus 1 x hoch Minus S plus 1 und das Ganze in den Grenzen von 0 bis 1 da ja da steht natürlich Text danke der steht zweimal die nix DSL luschtig PS hören ein ja ich danke gerade bin ich Wiesen was ich den natürlichen Alfa genau noch was jetzt müsst aber einigermaßen stimmt gut da ja ein so was wir jetzt noch zum nur noch tun müssen ist den ganzen Eifer gegen 0 Stimmen oder was heißt setzen erst mal ein für 1. x gleich 1 kriegen wir einfach 1 durch S plus 1 oder doch der Grenzwert nix mehr dran und wie es gleich eine Frage kriegen wir lieben es ein gegen 0 von Alfa Wochenminus S plus 1 oder anders ausgedrückt 1 durch S plus 1 minus man muss alle vergeben 0 etwas übersichtliche geschrieben Alfa hoch eines minus S und jetzt ist die Frage für Sie diesen Grenzwert und das hängt jetzt natürlich kommen die total alle nur davon ab ob dieser Exponent da oben positiv oder negativ ist mit 1 minus es positiv ist dann haben sie was was gegen 0 geht wurden positive Potenz dann geht es gegen 0 und wenn das als bin dass es negativ ist denen sowas was gegen 0 geht und die negativen Potenz haben Sie also 1 durch das was gegen 0 geht und damit fliegen das Ort also müssen wir hier schauen wie sieht es mit dem Vorzeichen der oben aus also vom guten
das ist nur die Frage 1 1 1 es größer oder kleiner 0 also für es größer 1 mehr ist dieses 1 minus es kleine 0 und dann ist der Limes Beifall von oben gegen 0 als brauchen 1 minus S der ist dann unendlich weil wenn Sie was wenn Sie es also hoch und was man das kleine 0 ist dann ist das einst durch alle auch das den Betrag davon und wenn sie es Eifer gegen 0 gehen lassen dann Autos ab das heißt in dem Fall für es größer 1 existiert das integral nicht und wir haben vorhin schon gesehen für es gleich 1 existiert auch nicht also für alle es größer gleich 1 existiert nicht und für alle ist kleiner als 1 tut also für alle ist kleiner als 1 ist 1 minus es größer als 0 und wenn sie dann den Limes ausrechnen ist das alles freundlich Thiam Alfa geht gegen 0 und das mitgenommen hoch 1 minus S als minus es ist positiv kommt also Nemmouch 1 minus es raus und nun nur noch 1 minus es ist nur wenn man bedenke immer es war nicht allzu Sa also haben wir zum einen wissen wer wann das den konvergiert und wir haben auch den
wert also was wir gezeigt haben ist das integral von 0 bis 1 1 durch suche STX es sind sie noch um 1 durch S plus 1 bis minus den Grenzwert es gibt jetzt 2 Fälle entweder das es ist größer als 1 dann macht der Grenzwert alles kaputt und das Ding hat und das in der unendlichen die gerade existiert nicht oder wenn es kleiner als es die kleiner als 1 ist eines der Grenzwert 0 und dann kriegen Sie einst durch S plus 1 also 1 durch S plus 1 für kleine 1 und so und es ist die wieder Geld also fest gleich 1 gesehen
ist divergierend und wer es größer 1 auch also für dieses Gala 1 x auch es wissen es genau Bands konvergieren wenn's divergiert da ist 1 der Grenzfall und darum ist eben Konvergenz oder Divergenz wenn Sie jetzt wieder an den wie an die Hyperbel denken also an die entsprechende Funktion die
wir hier an geschaut haben dann können Sie jetzt das
gleiche Spielchen gemacht haben ist ja an der 1 aufgetrennt und in der wir greifen 0 bis 1 geschaut aber genauso interessantes endlich die Frage wie Sie das hier hinten raus will also integral von 1 bis unendlich über die gleiche Funktion und das wenn ich ihn jetzt nicht mehr vor da sage ich Ihnen was rauskommt und Lazy ein in Stift und ein Papier und das schnelle selber nachzurechnen dass sie die integraler reißt schwer die Grenzwerte sind nicht schwer man muss es nur tun also integral jetzt von 1 bis unendlich über 1 durch x doch es und da kriegt man genau sozusagen das umgekehrte Bild ist kommt das gleiche raus nämlich 1 durch S plus 1 aber das geht nur genau dann wenn es größer als 1 ist und sonst ist die Sache die wir gehen das wär es gleich 1 ist die Legende Festkleider eines divergierenden nur für es größer als 1 ist die wir gehen dieses konvergent und dann kommt erst 1 welches plus 1 8 eine in beiden Fällen ist 1 sozusagen die Trench Grenze aber einmal die Ziele für alle größeren aber gibt es für alle klar und sie sehen der Fall 1 ist sozusagen der tragen das traurigste oder sonst wie soll man es auch sonst immer sagen wir es gleich 1 geht gar nichts das sind sowohl 0 gleich 1 1 durch XTX er ist auch 0 bis 1 R 1 bis unendlich als auch das integral 1 beson- endlich einst wichtigste x 10 beide Dirigent insbesondere gibt es keine S so dass sie sozusagen von 0 bis unendlich durch integrieren können das ist eine Funktion als ich doch es habe es immer entweder in 0 divergent oder nun endlich oder es werde genau es gleich 1 erwischen wird an beiden Enden so er ich hatte ihn gestern allen Beispiel nur
Integrale präsentiert die an einem Ende Problem hatten wir also wir ziehen die gerade von 0 bis 1 wie diese Funktion aber es war so dass an einem Ende des Integrations- Gebiets alles wieder mal war das andere er war und eigentlich hat es am Anfang so definiert dass auch beide sein kann und dass es völlig erlaubt dazu würde ich Ihnen jetzt auch ein Beispiel zeigen
also ernst das nennt man dann ein so sogenannte doppelt uneigentliches integral weil es eben meine beiden Integrations- Grenzen nur im uneigentlichen Sinne definiert ist also als Grenzwert mehr und ich will Ihnen ein Beispiel zeigen da Sie können aus dem Beispiel oben ich gerade schon gesagt doppelt uneidliche die GAL konstruieren in den Segen von 0 bis unendlich integrieren als durch x auch S den gibt 0 Probleme durch die Poststelle und den endlich ist die Sache eh und eigentlich der aber wenn Sie einzig Dressers funktionieren dagegen von 0 bis unendlich dann ist das immer der geht beide damit es sowohl konvergiert brauchen Sie es kleine 1 damit sie unendlich konvergiert brauchen Sie es größer 1 und die Zahl die sowohl kleiner als auch größer 1 ist immer erst mal finden dementsprechend klappt das nicht und jetzt sage ich Ihnen ein 2 es funktioniert und zwar schauen 19
doppelt oder diese die Gral der harten formalen integrieren von minus unendlich bis unendlich und zwar die Funktion eines durch 1 plus X Quadrat nein also 1 durch 1 plus X Quadrat sieht so aus Sir S 1 und dann ist das so sehr betulicher kleineren möglich das zur und ich Frage es hat dieser Hügel wenn man ihn in seiner vollen Ausdehnung von und minus in endlich bis dann endlich anschaut John der eigentliche vielleicht oder nicht gut
was ist dieses was ist dieses colon dieses doppelt und eilig integral definiert wenn Sie sich erinnern die Idee war integrieren Sie nicht von minus endlich bis in diesen die werden von Alfa bis zum und machen Sie es als vergeben minus unendlich Unwetter dagegen plus unendlich er also wird das heißt was sie machen müssen ist sie müssen Limes später gegen unendlich nehmen von der Stammfunktion von den Dingen da oben also allgemein gesprochen von 11 von von 11 von Welt groß er von Wetter minus den Grenzwert alle vergeben minus unendlich von Gross 11 von Alfa wobei groß er 14 die Stammfunktion zu dem kleinen R 4 Ton das war die Definition des und Integrals was daher stammt das sie eben nur von Alfa bis später integrieren für alles war sehr klein irgendwo im in der Nähe von minus unendlich Unwetter sehr groß und dann lassen Sie alle müssen endlich gegenüber dagegen plus und so was ist die Stammfunktion von dem Dings super mal gesehen Stammfunktion von einzig durch 1 bis 6 Quadrat ist die Funktion deren Ableitung als sich 1 plus X Quadrat ist das ist der Akkus Tragens also was hier steht es nehmen wir das das Wetter gegen
unendlich Augusttagen vom Wetter minus wem es eilfertigen minus unendlich Augusttagen Jens von Alfa sowie seine Akkus zeigen aus Markus Tangens ist die Stammfunktion von den den da oben Mini-Minus Peer Haile ist und darum und plus die halbe dann war das eine Schlange der langsam von unten kommt unter den die halbe gilt das ist der August Finance das das hier ist August nicht und das hier ist alles durch als plus X Quadrat Herr also was es mit dem Hinweis später dagegen ich Markus Tangens das ist die halbe unternehmen dass er Artus Tangens von Alfa für eilfertigen minus unendlich ist minus 4 halbe die müssen wir beide voneinander abziehen Peal bewusst die
halbes P also dieser Lüge darum war tatsächlich eine endliche Fläche und zwar Piëch was wir so seine Stelle wobei mein die Hintergründe nicht kennt man sich sehr wundern die Funktion das ist mir wunderbare gebrochen rationale Funktion als durch 1 plus X Quadrat sind die man über die am Schluss komplett plötzlich raus was irgendwie was mit Kreisen und Regeln welche Funktion zu tun hat und das kommt eben daher dass diese Funktion tatsächlich was mit trigonometrischen Funktion zu tun hat eben da ich dass sie die Stammfunktion von Akkus Tag ist schau das ist wissen und doppelt und einige sind die Grahl und so wie wir es definiert haben überhaupt keine Probleme wir können auf beiden Seiten diejenigen zu lassen trotzdem an der Stelle eine Warnung los werden weil doppelt und eigentlich Integrale was sind was wenn man damit als zu tun hat und wenn man anfängt die E R vor sich etwas fahren zu lassen und mal so einfach mit der lachen sind bisschen mehr gerechnet hat und ein bisschen Selbstsicherheit gewonnen hat und meint um ich müsse aufpassen zu müssen da kann man böse auf die Nase fallen und das will ich Ihnen an einem Beispiel zeigen was
nicht ganz wichtig ist ist das sie diese Grenzwert Aktion hier im Minus und endlich oder unendlich unabhängig voneinander durchführt Tag enden das heißt sie müssen eben ein Bett daneben das noch unendlich Einvernehmen dass ein minus unendlich geht und dieses iPhone das später die dürfen nicht vorhanden ist und warum das wichtig ist würde ich Ihnen an dem Beispiel zeigen also zeigen die wichtigste denn was sie nicht tun sollten ist die beiden gleich zu wählen oder zu koppeln gleich sowieso nicht aber negativ zueinander nehmen oder anderweitig zu koppeln also bitte kommen Sie nicht auf folgende Arbeits- Sparidee sie wollen so doppelt und einige sind die gerade ausrechnen also zum Beispiel die oben integral von Minus von endlich bis unendlich und das ist doch alles so wunderbar symmetrischen womöglich noch die F wunderbar symmetrischen Symmetrie ist er immer gut dann könnte man sich doch auch einen von den Grenzwerten sparen und einfach sagen ich rechne jetzt nicht einig müssen sie von alpha bis bitter rächen also eigentlich richtig wäre das und dann allfällige minus unendlich und die Mistwetter gegen unendlich seien Sie keine Lust 2 Grenzwerte auszurechnen und deswegen wollen sie sich einsparen und sagen wir sind eben halt ein Alfa rechnen von minus Alfa bis Alfa und dann lassen sie alle verdienen in wichtig nur totalen liegen die die über das mehr komm formal wunderbaren integral von minus endlich bis unendlich F von X X raus will also wenn ich Ihnen jetzt diese Warnung nicht gegeben hätte würde ich hätt jedes Verständnis dafür wenn sie den ja auf die Idee kommen sie macht die Warnung dass Sie bitte in den Jahren vielleicht auf die Idee kommen sich dann aber erinnern stoppt aber was ja also das ist nämlich gefährlich und falsch und die über das enden kann zeigen Sie oder will ich ihn bisschen
versuchen klarzumachen an folgenden Beispiel wenn man die Funktion wenn eine ganz einfache Funktionen nämlich f von x gleich x da die Stammfunktion dann kennen wir noch dann Funktion von x wissen halt nix Quadrat so
das heißt wie sieht's aus mit dem doppelt unreinlichen GAL von minus unendlich viel endlich XTX Text nach unserer Definition ist dass der Limes wetter gegen unendlich von der Stammfunktion Wetter minus Lemmers Eifer gegen minus unendlich von der Stammfunktion in einfach 1 und diese beiden Kliniken existieren offensichtlicher Weise nicht wird ihr müsst besser gegen unendlich von Wetter Quadrat ist der Gulden und Eigensinn existieren sie es unendlich Berlin das alte ging es dann endlich von Alfa Quadrats auch unendlich also beide existieren nur uneigentlichen Sinne und selbst im ohne eigentlichen Sinne kommt hier nichts vernünftiges raus weil selbst wenn sie nun eigene sinnlichen Sinne rächen wollen steht hier unendlich und dann so was von der Form unendlich also endlich und nun endlich müssen endlich kann alles sein denn sie Folge in plus 5 und die Wolke im den baldigen endlich ziehen Fondant abkommt 5 raus wenn Sie Folge im plus 3 alte Folge eben den Ball gegen den License Fondant abkommt 3 raus die Folge enden und die Folge engen den baldigen endlich 10. seiner aber 0 raus er also und ich muss ehrlich ist sinnlos er kann alles sein das ist in keiner Weise definierbar also nicht nicht definierte so nicht definierbar also ist sinnlos dementsprechend dieses in die wunderliche die gerade darauf nicht existiert ja es existiert nicht und auch wenn sie sich das Bild dazu angucken macht es wenig Sinn dieses und eigentlich Integrale auszurechnen weil was tut man wenn man berechnet diese Fläche so und jetzt machen wir das Ganze aber mit dem genialen Trick von oben rechnen Sie den Limes C gegen unendlich von minus 10 bis C über XTX was passiert wenn sie das machen also nehme C gegen unendlich von one half x Quadrat ist die Stammfunktion zwischen minus 10 und sehen das ist der Lemmer Szene gegen
unendlich von Einheit C-Quadrat minus Einheit minus C-Quadrat 0 bis minus C-Quadrat aber Zikkurat das heißt das was hier stehe ich dem Leid ist ein sehr einfacher Grenzwert nämlich den SC gegen unendlich von nun ja das 0 wunderbar das unheimlich integral existiert und die Fläche ist 0 ne also ist unklar was passiert ist nur weil wenn sie natürlich genau symmetrisch zu 0 integrieren das ist bei der Fläche da kommt man nur raus was sich der positiv Teile der negativ teilte kleben der die positive Fläche rechts wird die negativen Fläche links genau auf und wenn sie das ist natürlich nicht links und rechts genau im Gleichschritt nach unendlich marschieren lassen dann ist jedes integralen nun unsere derzeit 0 in Arbeit das ist in keiner Weise der vernünftige Definition der Gesamt Flächen weil warum müssen Sie den gleich mitbestellt marschieren lassen warum sollen nicht die Grenze rechts 2 Meter Vorsprung haben auch gegenüber der links oder warum soll nicht die rechts doppelt so schnell laufen wie links das reine Willkür die beiden gleich schnell laufen zu lassen und die Willkür einer badischen Definition des Mist weil irgendwie wenn Sie es so machen und ihr Nachbar lässt sie lässt den ein doppelt so schnell Lauf also wenn Sie zum Beispiel den Limes sie gegen sie könnten ja auch als mit doppelt so schnell laufen meine ich sie nehmen statt dem Limes den Limes oder die von minus 10 bis 2 Ziele 8 genauso sehen wir es auch in dem Sinne Miene und in die greifen ähnlich bis endlich her also der verbietet ihnen das Ganze zu machen in den Sie hier noch was er sich
zum Beispiel so auch es war auch eine vernünftige Definition füllen und die Grafen dass wenn nicht oder nicht kommt aber der wenn Sie es so machen kommt hier endlich raus oder und dann kommt hier zwar steht jetzt Walt dann steht hier viele C-Quadrat wo comma viel 4 10 wird dann haben wir dann haben wir 2 C-Quadrat minus plus ein halbes C-Quadrat doch genau ja dann von dann endlich raus in dem Sinne das ist so eine Methode diese beiden laufenden den Anwender zu koppeln reine Willkür und führt zu je nachdem wie sie es machen welchen Ergebnissen zu keine vernünftige Definition deswegen ganz wichtig wenn sie doppelt oder gesinnte gerade haben die eine seit den Grenzwert für die andere und die beiden Damen nichts ändern da zu tun ich und wenn Sie dann irgendwann weitweiten Studium fortgeschritten sind und der wirklich Mathematik lastigen Masterarbeit haben und da taucht das Wort Chuschi Haupt auf dann dürfen sie kommen schlagen aber bis dahin dürfen Sie das nicht weil es gibt so paar völlig durchgeknallte Konzepte darf man genau das tun aber da muss man sehr genau wissen was man tut und deswegen also im Moment bei vergessen das geht nicht immer 2 verschiedene Grenzwerte unendlich und die müssen endlich also das Schreiben mal als
Merksatz unten drunter merke bei doppelt
uneigentlichen integralen beide Grenzwerte einzeln betrachten also das ist keine Stelle an der man sich Arbeit sparen versuchen sollte und die beiden irgendwie man hat mindern sein Frühstück zur er nur es bleibt bei der Frage wie kriege ich raus ob Sohn oder eigenes integral konvergiert oder nicht dass die Möglichkeit sich wenn es einfach aus und macht den Grenzwert dann sehe ich aber existiert nicht und dann sehe ich bin ich fertig er sah mal gesehen Integrale sind dies die 4 und das mit dem einfach ausrechnen ist leicht gesagt unter schwer getan und wenn sie Pech haben sogar unmöglich dementsprechend ist es schön Kriterien zu haben die einem die Existenz des Grenzwerts sichern ohne dass man wirklich ganz ausrechnen muss auch das klassische Parallele zur Theorie über rein also diese dann sind wenn sie es genau anschaut gucken feststellen diese ganze Thematik oder ähnliche Grenzwerte hat extreme Parallelen zum Thema Konvergenz von Reihen weiß im Prinzip genau die gleiche Fragestellung ist sie haben mir Summation diese bis ins unendliche fortsetzen und man fragt sich er kommt der ähnliches aus ich und dementsprechend dann er
sehen auch die Existenz Kriterien jetzt kommen vor Integrale denn diese schon für einen Termin sehr ähnlich also Abschnitt 3 4 Existenz Kriterien für eigentlich Integrale und worum es jetzt geht also wie gesagt wenn sie den schönen Fall haben dass sie hier oder es sind egal dass sie einfach von denen die Karten Stammfunktion kennen dann rechnen Sie integral aus setzen die Grenzen Alphabete einen jagen sie alle Fragen die eine Grenze bei dagegen die andere schauen Sie die Grenzwerte aber existieren ist alles gut worum es jetzt geht sind biestige Fälle in denen sie das integral nicht elementar ausrechnen können und es deswegen dem mit dicker also des ist die Stammfunktion nicht kennen sie deswegen so nicht entscheiden können droht das Ding konvergiert oder nicht so also lassen so Zombies Integralhelm nähmen integral a bis b vermeinte K A bis B G von XTX und das sei ein und in diesem die Dekaden ich möchte jetzt hier bitte dass das man einfach und eigentlich ist es das ist im Wesentlichen dafür dass die Darstellung jetzt viel übersichtlicher wird also das sei einfach uneigentliches integral das heißt ja eben nur in einer der beiden entstellen nur in Grenznähe zu betrachten trotzdem ist das was jetzt kommt anwendbar dafür doppelt und eigentliche was machen Sie wenn Sie doppelt oder lesen gerade haben Integrale bestimmte die gerade sind immer additiv ja also wenn sie die gerade das nenne ich bis endlich haben Sie meine beide Stellen Problem also doppelt uneinig ist dann schauen sich das integral von von minus endlich von der schauen sich das integral an von minus nämlich bis 0 und dass sie die Grafenwürde sind ähnlich und dann sind das beides einfach und eigentlich Integrale und am Schluss können Sie die wieder zusammen gut also ich würde nicht so schlecht formuliert Sacilor nur für einfach und eigentlich Integrale also stellen Sie sich
zum Beispiel vor dass bei diesem integral hier B unendlich ist nur sind egal von 1 bis unendlich über eine Funktion und er zur und dann geht es folgende 1. man sehen konnte
die beiden viertägigen sind sozusagen Vergleichskriterium es geht also darum mit einer Funktion von der man schon weiß ob das unendliche Degraa konvergieren nicht zu vergleichen also man seine Funktion haben 11 von der Sie wissen das integral A bis B F von XTX essen konnte denn das und ein integral und diese Funktion f das überrall größer gleich als Betrag von G also für alle x aus dem Intervall aber viel an den Endpunkten meinetwegen nicht in allen Punkten kann es ja sein
dass zum Beispiel bei der Funktion ich nicht definiert sind aber im Innern das in der Weise muss eben dass es immer größer als der Betrag von Design so also welche Situation haben
wir das mal hin malen also
stimmungsvolle sind in diesem Fall dass wir von 1 bis unendlich und seine Funktion das unsere Funktion gehen von der wir wissen wollen ob das integral drüber existiert Sansone
Funktion f die oben drüber liegt und von der Sie wissen das integral hier in diese das integral oder integral existiert das heißt diese vielleicht ist endlich ja muss ist im Wiener einliegenden ist auch so dann ist auch das integral begehe Konvergenz sehr kleiner ist
so also dann dann konvergiert auch das integral von A bis D der von XTX und dieses Kriterium das sollte Ihnen zumindest entfernt nochmal bekannt vorkommen aus der Abteilung rein das hatte dort den gleichen haben das ist das Mario rannten Kriterium man hat eine Vergleichs Reihe oder ein Vergleichs integral das Weib das Gruppe größer ist es von dem Weise wohl frühestens konvergiert trotzdem noch dann konvergiert auch das kleinere das ist das sogenannte Meyer Kriterium und dieses integral von A bis B F von X X mit dem man vergleicht das ist eine so genannte konvergente Mario rannte auch die sprach Schöpfung hatten wir damals und man jetzt da
weiter erinnern gab es dann sofort denke den Bruder dieses ist nämlich dass Männer raten Kriterium das ist die Sache umgekehrt also Sie haben Vergleichs integral von dem sie wissen dass es divergiert sie wissen sind egal von A bis B F von X ist die wir gern das und einiges integral und das G ist sogar noch größer also es gilt 0 kleiner gleich diese Vergleichsfunktion F von X kleiner gleich ihre Funktion gehe von X wieder im ganzen Ihnen das
Intervall es AP dann divergiert aufs integral übergehen das ist ja sozusagen noch schlechter integral von A bis W gehe von XTX und das ganze Ding ist das Miene rannten Kriterium dass die Vitamine residiert durch das 11 und das 11 hat schon die Welt das und einiges integralen hat das geht erst recht 1 und dieses integral durch das Miene visiert wird also A bis B R von XTX das heißt die wir den Termin noch ahnt und die Idee warum man so ein Resultat braucht ist wie vorhin schon gesagt das gleich über den Rhein auch bei den uneigentlichen integralen ist es oft eigentlich gar nicht so genau von Interesse was genau als wert rauskommt man ist schon froh man weiß das ist zumindest was Ähnliches also zum Beispiel wo kommen und einige integral natürlich vor wenn Sie ausrechnen wollen bisher Bilder die sie brauchen um irgendwie ein er in da eine Masse komplett aus dem Schwerefeld der Erde rauszukriegen das sogenannte aber welche Geschwindigkeit Sie dazu brauchen so genannte Fluchtgeschwindigkeit Geschwindigkeit sowie Energie also ich Energie brauchen Sie das denn rauszuhauen dann müssen Sie ausrechnen wie viel Kraft sie brauchen das Schwerefeld der Erde zu überwinden dieses Schwerefeld hängt aber vom Abstand ab das heißt die weiter Sie weg sind desto leichter wird das weiter weg zu fliegen und was dabei herauskommt ist wenn sie wirklich ganz ins Unendliche wollen wir das nämlich heißt in dem Fall komplett aus dem Einzugsgebiet der daraus dann müssen sie eben dieses diese Anziehungskraft der Erde bis ins Unendliche auf integrieren dann kriegen sie die Energie raus die sie brauchen um wirklich komplett das Schwerefeld der Erde zu verlassen das ist ein klassischer Fall wo tatsächlich bei der Rebellen Berechnungen die zumindest in der Astronomie vorkommt denn jetzt auch nicht gerade bauen gewesen und es fällt mir spontan ein also zur oder diese Gral vorkommt also wann immer sie gegen eine Kraft Billy ich weit weg wollen diese Kraft komplett übersehen unterlagen sie in der Rechnung bei oder ich nehme die GAL und Ende der dann ist es häufig erst beim Versand zu wissen nicht genau was ist der wert also genau und was Sie dann sowieso nicht weil Fluss kommen Erinnerungen ganze Stapel Prozent Sicherheitsmarge obendrauf war sondern er will es wissen geht überhaupt der also reicht endlich Energie um das anzustellen was ich tun will und dafür sind solche Kriterien gut auch wenn die Formel kompliziert ist kann man damit eben zeigen okay immer die die ich brauche es endlich und alleine für so und so groß also das Kriterium liefert ihn auch immer mit eine der maximale Katastrophen Abschätzung ja also wie schlimm es allerhöchstens ist bei natürlich wenn sich's Bild
anschauen ja also die Fläche unter dem G ist das was sie haben wollen es aber zunächst nichts wollen sie nicht integrieren zeigen Sie das gilt immer unter dem F und das integral der 11. ausreichende sieht die Fläche würde dem Delikt leider ist hinter dem F liegt das heißt wenn sie somit mit Majoran Kriterien die Konvergenz kriegen haben Sie auch immer der Schranken nach oben für den Wert und damit kann man dann manchmal ganz gut abschätzen wie wie 4 reicht auf jeden Fall das ist die Idee von Meyer Kriterium der solche sicherzugehen 1. Es reicht endlich viel und man kriegt sogar noch eine obere Schranke dies nicht perfekt aber die geht einem und den wehrte sich erreicht gut Mama das an 2 Beispielen oder der gut ich habe hin und
Bemerkung 3 5 stehen die habe ich aber schon 5 Mal gemerkt unterwegs ist aber damit auch schriftlich da steht also das Ergebnis und die ganze Begriffsbildung es komplett analog zu rein gut das hatte ich schon mehrfach gesagt so
jetzt Beispiel abzuwenden und da sieht man auch gleich ja auch schon am 1. Beispiel das was ich gerade gesagt habe wenn eine Funktion die man nicht unbedingt formalen
integrieren will aber man kriegt trotzdem relativ schnelle gute Abschätzung also mein des ich will haben sind egal von 1 bis unendlich sie muss von X durch x Quadrat der was macht das wie sieht es aus das ist ja der Sinus was den macht wissen wir der kann sie nicht entscheiden wackelt zwischen minus 1 und 1 hier und jetzt waren sie einst die Sonne endlich also das X unten wird immer größer wenn sie durch das immer größere stylen dämpft das den Sinus immer mehr ab was Sie ja wissen Sie müsste zunehmend abgedämpft ist zwischen dem Rasen sehr wenn wir hier die Grafen von 1 durch extra 3 3 und hier von der verschwinde hier von minus 1 durch x Quadrat dann ist dieser sehen aus von X durch x Quadrat und siehe das der eben zwischen diesen beiden Kursen gedämpft wird eingedampft eingedämmt das und an dem Bild sieht man auch schon was die Meyer warnte ist das müssen wir
finden der 1. Frage Ideallösung natürlich Sie sagen was die vielleicht oder dem Grafen ist dazu müsse sind die gerade ausrechnen kann sein dass das geht ich müsste also mussten rumprobieren ist aber auch gar nicht nötig weil die Fragestellung ist nicht was kommt davon wer draußen ist der Wert endlich und meinetwegen den 7 obere Schranke an und dazu reicht es bei weitem Kriterium völlig was wir tun müssen ist so müssen für alle x größer 1 müssen wir eine
Funktion finden die größer ist überall größer ist als der Betrag von integralen also müssen Betrags F von X Betrag Sinus von Xtra Text XTX Quadrat durch etwas majorisieren von dem wir dann immer noch wissen dass konvergiert also es integral konvergiert das in dem Fall in der Aufgabe so angelegt dass es gut passt wird der Betrag davon des Betrags Sinnes durch x Quadrat macht man das was einem als erstes einfällt der sinnlos ist nämlich immer kleiner gleich 1 betragsmäßig also das hier ist kleiner gleich 1 durch x Quadrat und da haben Sie schon die Funktion für die Meyer rannte der das ist die gestrichelte Linie oben die liegt immer oberhalb der Funktion die sie integrieren wollen und es können unser Beispiel
von vorhin ziehen das integral von 1 bis
unendlich über 1 durch x doch es konvergiert immer dann wenn das es größer als 1 ist 2 ist freundlicherweise größer als 1 also existiert das integral von 1 bis unendlich 1 durch x Quadrat was haben wir das es eigentlich erst plus 1 war das Geld also bis zum 3. da das existiert das war das Beispiel vorhin das Beispiel 3 1 b dabei das existierten am Beispiel seines 1 können wir das als konvergent immer Jolante benutzen und nach Majoran Kriterium konvergiert dann auch das von uns untersuchte integral 1 bis unendlich sie muss von X durch x Quadrat und wir wissen sogar kriegen Abschätzung die kommt jetzt aus der Monotonie des Integrals wir wissen wenn 2 Funktionen wenn es keine gleich G ist über alle denn es auch integral kleiner gleich integral des wir haben gezeigt dass die Funktion die wir integrieren wollen überrall betragsmäßig kleiner gleich einzig x Quadrat ist insbesondere kriegen wir 1 bis unendlich was von XTX Quadrat 10. Grades kleiner als sind die gerade eine größere funktioniert mache ich die Funktion erst mal größer in dem ich alle Vorzeichen Mülleimer werfe sprich indem ich den Betrag in reinschreiben wenn die Funktion also Betrag von irgendwas ist immer größer gleich dass irgendwas also bitte die Funktion der in größer gemacht und ich die Funktion in größter mache doch das integral größer und steht jetzt wird sich meiner Abschätzung von oben das ist kleiner gleich integral 1 bis unendlich über 1 durch x Quadrat das ist wieder Monotonie des Integrals wir hier oben haben dass dieser Betrag den gleich 1 x Quadrat ist und das kann man sogar ausrechnen das müsste das hatten wir vorhin 1 durch S plus 1 es ist hier 2 also ein Drittel Tode damit habe man das integral davon das auf jeden Fall und eigentlich in was ist Konvergenz der wert ist auf keinen Fall größer als ein Drittel was natürlich den genauen werden nicht aber immerhin so weit das ist das was man üblicherweise für komplizierte Funktion erwarten kann die period so kompliziert ist dann kann man weiß es nicht erwarten dass man 6 sagt ausrechnen kann oh sondern dann muss man er der man weiß ist froh wenn man zeigen kann sie es endlich und alle höchstens und so groß super ist das was Beispiel Vilsmaier raten
Kriterium wenn Sie nur bei spielt das Miene raten Kriterien machen wie integral von 1 bis unendlich 3 x durch 5 x Quadrat plus X plus 3 es können Sie natürlich sagen warum soll ich dann noch Kriterium verwenden dass es nie gebrochen rationale Funktion die kann ich die kennen Sie natürlich formal die weil Partialbruchzerlegung ansetzen rechnen den Weltmeister dreimal verrechnen viermal fluchen Oma richtig rechnen und da steht immer da können Sie machen das ist auch völlig legitim aber ich würde es also ich empfehle Ihnen nicht mit dem Beispiel zu machen weil das Beispiel bitte nicht der daraufhin die seit der fragen Sie mich was denn durch den da unten sind es ist sehr wahrscheinlich weil ich die Zahlen irgendwie gewählt hatten die Nullstellen wahrscheinlich 3 plus 2 zu 25 und 3 Minuten nicht nicht 25 eben nicht wozu es 3 plus wozu 26 und 3 minus muss es wächst gibt es da also will keiner sehen er sondern was ich Ihnen zeigen will ist nicht minder raten Kriterium schnell zeigen kann das ganze vergebens ist weil wenn sie das Ganze der gerade an aus die Examen mit der Partialbruchzerlegung und der Teufel gerechnet haben kommt raus es nicht existiert zu Bach das immer immer mehr nur ein Kriterium schneller das müssen wir da zu tun wir müssen zeigen dass viele Funktionen finden die für alle x in dem Intervall
unterhalb von der hier liegt also zwischen 0 und der und trotzdem ist das integral drüber noch die nicht existent das heißt dass wir machen müssen ist denn es eine Funktion finden die kleiner gleich der unserer gegeben ist also müssen 3 x durch 5 x Quadrat plus X plus 3 nach unten abschätzen also Seele ist wenn Funktion die man auch positiv ist aber kleiner genau aber das so dass dieser Ausdruck größer gleich ist und so dass die vom das integral über diese Funktion die zu finden ist die divergiert der gut gemachten Umbruch kleiner wie üblich 2 Möglichkeiten in der Nacht den Celler kleinerer macht in der Größe da jetzt kommt wieder dieses Elend das kann was ich jetzt mache gleich aussieht wie schwarze Magie weil abschätzen sieht immer aus wie schwarze Magie waren abschätzen gibt es nicht den Eindruck muss sondern alles ist erlaubt was zum Ziel führt und L zielführend ist in dem Fall waren sie ist die Sache möglichst einfach oder getreu dem alten Motto bekämpft was euch kaputt macht also macht alles weg was die Sache kompliziert macht also warum ist der Ausbruch so nervig der so nervig weil man diese doofe lange Summe steht deswegen kann man nämlich nicht kürzen also muss man diese Droge lange gesungen da unten loswerden und das mache ich auf brutale Art und Weise in muss das kleiner machen das heißt sie muss den den größer machen mein X ist größer gleich 1 und deswegen kann ich den denn größer machen in dem ich X durch x Quadrat ersetzen und dem ich 3 durch 3 x Quadrat ersetzt ja für x größer gleich 1 x Quadrat größer als x und liegt klarer noch größer gleich 1 dementsprechend wird das hier kleiner wenn ich und nehme den das größer macht in dem ich da 5 x Quadrat plus X Quadrat plus 3 x Quadrat raus mache könne und wenn Sie mich jetzt fragen wieso gerade so dann sage ich mal so funktioniert es gibt 120 andere Möglichkeiten das zu tun und dann kann man fragen wie kommt da drauf das habe ich gerade versucht zu motivieren man kommt drauf indem man sich überlegt was nervt mich das was mich nervt muss weg aber was mich nervt ist das plus 3 weil dadurch kann ich nicht kürzen also mache ich erst in 3 x 3 x Quadrat warum ist das tolle was sich jetzt stehen hat ist 3 x durch 5 8 9 x Quadrat jetzt kann man kürzen kann sogar viel kürzen dass es einst durch x 3 x 3. x 1 durch ja so dass es zum einen immer noch eine positive Funktion so und das integral von 1 bis unendlich über 1 durch 3 x das ist uns deutlicher zu machen ein Drittel mal das integral von 1 bis unendlich über 1 durch XTX von dem wissen wir wie es mit der Konvergenz aussieht das ist der arme Fall ist gleich 1 also die Funktion eines durch x dies wäre wohl noch ein unendlich uneigentlichen die Gräber die gar nicht und eigentlich integrierbar das da divergiert und jetzt kann mir das Miene raten Kriterium ziehen also ist auch unser Ausgangs
integral 1 bis unendlich 3 x durch 5 x Quadrat plus X plus 3 DX divergent nach dem inneren kriegt gut so das war zum Abschluss über die uneinig Integrale ich nochmal zurück haben darauf dass ich gesagt habe und Integrale unter einem hat ganz viele Parallelen das hat viele Parallelen und das hat auch ein paar Fakten Beziehungen zueinander und eine davon will ich Ihnen zeigen man kann sich nämlich 1. über und eigentlich Integrale zunutze machen um daraus wieder auf Konvergenz von Reihen zu schließen das ist zum Abschluss jetzt macht viel mehr kommen 3 7 mehr und warum es gut
warum das schön ist wenn ich Ihnen gleich hoffentlich im Beispiel bisschen plausibel machen können grundsätzlich ist es so ich hatte bei den reinen gesagt Konvergenz ist schon kompliziert das ziemlich hoffnungsloses Wert ausrechnen Benedikt hier habe ich gesagt das ist auch ein schwieriges Thema trotzdem ist die Gral konkret auszurechnen dafür gibt es viele Werkzeuge als für einen Werte also rein wert ist noch viel komplizierter als integrale wenn man so will ich konkret haben will das heißt Konvergenz von Reihen ist die schwierige Lust immer als Konvergenz von Integralen im Sinne von dazu sagen wir nicht den gleichen Ausdruck den ich in X hinschreiben mit N hinschreibe und die wie die Reihe angucke dann ist es mache häufig viel leichter diesen Ausdruck rauszukriegen aufs geht denn ich es integral als als 3 und das macht man sich zunutze indem man Wissen über Konvergenz von integral ummünzt in Wissen über Konvergenz von Reihen und die die ist das folgende also wir haben eine Reihe von der Konvergenz nachweisen wollen in gleich 1 bis unendlich über der zu mir eine Folge AN und die wir mal im Moment davon aus das alle am größer gleich 0 sind und weitere wichtige Voraussetzung für das was ich jetzt machen will diese müssen monoton freien Zeit also das was man meistens parat eine Reihe von immer kleiner werden positiven Zahlen die man aufaddiert meistens wenn der E absolute Konvergenz haben grobe Chrome überlege rechne er erinnern was war das nochmal absolute Konvergenz waren die Reihen Betrag am konvergiert also meistens den ne die Beträge von ein anschauenden sind sowieso schon mal alle positiv und dann brauche ich hier zusätzlich dass die so dass die Folge die wir summieren oder vom Feld in der man uns mal
dazu ein Bildchen Herrn da sich hier
sehr 1 2 3 4 5 und so weiter Berater dann kann ist hier irgendwo A 1 und A 2 1 1 monoton fallende Folge und sollte auch nur Folge sei jetzt wenn es keine 0 vorgestern brauchen uns den Konvergenz von der Reihe keine Gedanken zu machen also hier liegen die 1 in wie rum und ich mache jetzt mal folgendes ein hier A 1 da aber 2 ja 3 der 4 und so weiter also auf 5 kommt dann hier und so weiter so können Sie diese Freude dieser aufsummieren als die Treppe dahin mal und die Idee ist jetzt wenn Sie der Funktion drüber finden die mir genau an dem Punkt in den Eckpunkten übereinstimmen dann ist Ende vom Bild anschaulich was ist denn jetzt sind im Bild die Reihe wird die Reihe S A 1 plus 1 2 plus A 3 plus auf 4 Poser auf 5 A 1 ist aber genau der Flächeninhalt dieses Recht X von 0 bis 1 m x 1 4 x 2 ist der Flächeninhalt des Rechtecks A 2 über 1 zu 2 weil unten die prächtig breit immer genau 1 so das heißt die Rat erreichen wert der Rhein wird ist die Summe dieser Fläche mehr kommen das ist der Rhein wird also natürlich gesund endlich nur also so ist unendlich das habe ich seine Funktion drüber gemalt von der können sie natürlich also von dieser Funktion hier um
nur von der können Sie jetzt das eigentlich integral anschauen sondern ich integral von der Funktion ist der ganze Flächeninhalt hier nur oder wie vom Bild der ist schon dann anzunehmen dass die irgendwie Beziehung Schlange stehen diese Flächen erhalten also zu offensichtlich ist mal das schwarze Kleider gleich der Grünen das heißt wenn der grüne endlich diese Sorte schwarze endlich also wenn die Funktion und eigentlich integrierbar ist von alten von 0 bis unendlich dann ist auch die Reihe war hoffentlich Konvergenzplan aber es stellt sich raus es geht sogar in beiden Richtungen also die Cray ist genau dann kann der Gent wenn die Funktion und eigentlich in die Gräber ist und das ist das sogenannte er rein integral Kriterium für einen Konvergenz ja man muss vielleicht darum nicht mehr also das ist das Bild was man
dazu im Kopf haben sollte also dass man dafür für die
Vorstellung haben sollte was habe ich gemacht ich habe meine Funktion genommen aber seine
Funktionen auf dem Intervall 0 bis unendlich na ja monoton fallend so dass immer genau 11 an der Stelle das am war das heißt eben die Funktion du würde immer genau an den Ecken von diesem Recht er wenn es von ist am der von 1 ist 1 er von 2 ist A 2
von 3 des A 3 und so weiter dann gilt das gerade gesagt die reiche n gleich 1 Person endlich am es konvergent genau dann wenn das integral von 0 bis unendlich F von X T X in konvergent das und einige sind die gerade der mehr das ist das
Vergleichs oder dass es integral Kriterium integral Konvergenzkriterium für einen ja das ist ja auch und meistens als es ist gegen beide Richtung also aus der Konvergenz der Reihe kamen die Konvergenz Integrals schließen aber wofür man es meistens brauche es aus der Konvergenz Integrals die Konvergenz der salzig ist und es ist auch wieder wie üblich ein Konvergenzkriterium dass ihn nur sagt es
konvergiert es gibt die nicht in Wert der sie kriegen wie Sie sehen eine obere Schranke für den Wert für die Bilder der Reihe ist auf jeden Fall kleiner gleich denn sie hat von dem integral aber sie wissen eben nicht was er genau ist aber man sie Konvergenz das ist das was man bei rein realistischerweise erwarten kann ein einfaches Beispiel für die Anwendung Beispiel 3 8 wir schauen uns die Folgen der Reihe an
Summe n gleich 1 bis unendlich er hoch Minus N also das ist hier wie hoch Minus allen das ist eine schöne positive Folge dies auch monoton fallen also die tut das was man braucht um das integral Kriterium anzuwenden
was wir gezogen ist die passende Funktion f und das schöne ist diese Funktion f die müssen Sie nicht wirklich suchen die steht immer schon da was ist eine Funktion für die gilt dass er von allen gleich am ist also 11 von NSI auch minus 1 der Junge 6 sie nehmen was sie machen ist in dem den Ausdruck der da drin steckt in engen und selbst über in Städten X-Trail sie F das ist immer der einfache teil ja ja man muss nur tun was man auch sagen muss noch tun was man sagt nur also war davor entsteht muss man X hinschreiben wir haben sie schon ihre Funktion f das ist einfach ein Teil was man was wichtig ist es jetzt nachzuweisen dass das zugehörige uneinig integral existiert also für die Funktion des gilt offensichtlich er von NSA einen also auch minus für alle in aus allen was man da noch checken sollte ist die
Monotonie der Funktion ist eine wesentliche Voraussetzung um aber das ist zum Glück nicht schwer wie machen wir das die zeigen wir dass die Funktion monoton fällt einfachste Methode differenzierbare Funktion differenzieren sagen die Ableitung ist negativ in die Meldung negativ ist fällt die Funktion also was ist die Ableitung von ihr auch minus X das Minus in noch minus X das ist kleiner als 0 also ist es monoton vereint und diese ganzen Überlegungen das ist das was hat das integral Kriterium für einen so wertvoll ist weil es ein immer möglich die ganze Maschinerie der Differentialrechnung der Integralrechnung die ausgefeilt diese die die Titi verstanden ist zu verwenden und Bäckereien nachzudenken und das sind lauter Dinge die man nur nur mit rein arbeiten einfach nicht hart das wird einfach riesigen zusätzlichen Werkzeugkasten zur Verfügung also das F ist monoton fallend das heißt wenn wir jetzt noch zeigen können dass
das Uneigentliche integral von 0 bis unendlich von XTX konvergiert dann ist die Reihe auch Konvergenz also in dem Fall lässt sich das einfach austricksen das integral von 0 bis unendlich wie hoch minus X DX Stammfunktion von ihr 1 6 ist minus 1 und minus X also das ist nehmen wir das Tag gegen unendlich minus hoch minus später minus I auch minus 0
Terminus minus E minus 0 mehr minus hoch minus 0 furchtbar viel minus so was passiert wenn sie jetzt hier wetter gegen unendlich schicken Minuswert dafür wird dagegen endlich geht gegen 0 weil die für Ex-Genossen endlich die 0 Geld also haben Sie von nun stehen und was man die ganze minus 1 ihr minus 0 ist er um 0 bis 1 minus minus 1 bis plus 1 also das ist 1 es existiert alles also ist zunächst mal das integralen konvergent das und jetzt können Sie das integral Kriterien für die Konvergenz von
Reihen ziehen und damit ist auch die Reihe weg das sagt Ihnen nicht allzu viel würden wir Donnerstag denn was würden wird die Reise konvergent unter der der das kleine gleich als war aber genau kennt man nicht und darum ging es auch nicht sondern es ging darum Konvergenz zu bestehen und dafür sind diese integral mit hohen zum Teil sehr sehr stark gut erst zum Abschluss der eigentlich in die rein und als als nächstes ist wir bleiben integralen bleiben bis zu 7 Std in integral er aber was ich Ihnen jetzt noch kurz zeigen will ist so ein kurzer Einblick in die numerische Integration also jetzt ist die Situation folgende für eine wirklich komplizierte Funktion zu integrieren und alle schönen Ideen gesucht Society überwiesen rum sind nicht sondern das ist klar wie Rechner und der das denn dann will ich ihn einfach so bis demnächst nahe bringen was tut der Rechner eigentlich kann das über diese Rechner Programme für das Blackbox begreifen aber zumindest mal wissen was so die Grundideen sind immer mit einem wenn man näherungsweise Integrale bestimmt will ich Ihnen zeigen das ist das Thema numerische Integration also der Abschnitt 4 von dem
Kapitel bei Integration wie was sind so die ein mit hohen um komplizierte Funktionen näherungsweise zu integrieren also interessiert ist jetzt nicht mehr für den genauen Wert des Integrals weil ihr interessante zu kompliziert sondern für eine gute Näherung und da will ich Ihnen 2 Methoden zeigen aber erst noch
mal kurz was sind die Gründe warum man
numerisch integrieren will also es Ziel von dem Abschnitt ist die Bestimmung eines bestimmten integrales integral bis B er von XTX näherungsweise es geht also nicht nur den exakten wer zu nur noch einen Näherungswert mehr und ich so es die 2 klassische Fälle
in dem man nähern wird der 1. ließ sehr mir komplizierte Funktion deren das muss nur nicht das muss schon gar nicht gleich hässlich aus sehen ja also klassischer Fall was ist was man näherungsweise macht integral von 0 bis 1 wie auch minus 6 Quadrate X der übliche Bulldozer Bohrer die funktionierende 6 Quadrat hat wie schon mehrfach erwähnt mit Stammfunktion aber die kann man nicht beschreiben dementsprechend was will ich was herauskommt einzige Chance Rechner anschmeißen das den mehr hören das ist aber nur ein Bereich wurden mir durch Integration wichtig es sich denken 2. der eben auch viel unterkommen wird ist in welchen 7 kennt man den seine Funktion im Alltag also sage ich meine ich mit es Alltag Herr gut entweder man macht das theoretische Statikberechnungen hat man die Funktion darum stehen muss mit den Arbeiten gut aber wo kommen sonst Funktionäre Funktionen wenn sie aus dem realen Leben kommen sind eigentlich Messwerte das heißt Sie kennen die Funktion gar nicht als Ganzes sondern sie haben halt 150 Messwerte von der Funktion her Zar sollen Sie sehen Sie dass das können Sie auch mal Pi natürlich schon mal gleich komplett vergessen weil sie an ihre Funktion gar nicht sie haben oder 50 Punkte auf dem Papier nein zwar ist die integrieren Sie das und auch das funktioniert eben numerisch gut wenn Sie gleich sehen warum also 2. Anwendungsbereich Funktion f die nur über Messwerte also die nur einen einzelnen Messpunkten überhaupt bekannt sind messen schreibt man mit 2 ist also die nur an einzelnen Messpunkten bekannt sind Samse Sie immer dann wenn Sie im Zusammenhang der Sie interessiert in gemessen haben sie 150 Messwerte und jetzt wollen Sie wissen ist das integral also meine Mama und so was in seinem A bis D sie kennen ihre Funktion halt Semester ja das geübte Auge sagte die Funktion ungefähr aussieht hören so würden sie es sich hinsetzen einer comma durch Wahlen da haben Sie denn sie sind rar aber der Graf solange keine Vorform die sie die gehen können also da wir die Frage wie geht wird man sowas also wie kommen Sie eine vernünftige Abschätzung dieser Fläche unter dieser offensichtlich da offensichtlichen Chrome die sie aber nur an den 10 Punkten klettern und das haben sie Problem und sie immer wenn sie Messwerte haben und niemand hat jetzt Lust noch sich 30 Tage hinzusetzen und so viele Messwerte zu machen dass das Ganze mit für kommen so und da muss man meist mit wenigen Messpunkten auskommen weil meistens immer teuer okay was ist die
Idee ich erkläre Ihnen jetzt heute noch die
Grundidee von den ganzen mehr von denen eigentlich allen unseren irischen integral Näherungsverfahren und an die harte Arbeit das konkret umzusetzen lachen uns dann nächste Woche nächsten Dienstag er Grundidee also wenn man uns mal zu Funktion hinüber
integrieren wollen der mir irgendwo an dazwischen haben wir unsere Funktion oder eben diese Funktion Messwerte gegeben ich mal so mal trotzdem gerade durchgängig hin Grundidee jetzt immer man nehme sein Intervall da unten AB und hat es in kleine Stücke also hier ist irgendwo nix einst als nix 2 X 3 x 4 X 5 das an dem man auch noch haben das an den man üblicherweise x 0 das B wäre jetzt ihren X 6 das so also in dem Fall hätten wir jetzt das Intervall in 1 2 3 4 5 6 Stücke gehackt und die IBM ist jetzt
er die Funktion ist so kompliziert die kann man nicht sauber integrieren sondern wir nehmen uns nur die Werte der Funktion an diesen Stellen XJ also nix 1 1 x 2 und x 3 x 4 x 5 und x 6 die das sind 2. weil die stellen denn sie gemessen haben und jetzt nähern wir zum Beispiel 1. Ideen mehr Sie die Funktion immer zwischen den einzelnen Stützstellen also diese diese XJ dieses x 0 x 0 x 1 und so weiter wenn man stürzt stellen und zwischen den
Stützstellen kann man die funktioniert ersetzen durch was einfacheres bei so bis so
kompliziert eine Möglichkeit ist zu sagen gut jeder zwischen der setzt sich einfach durch Stücke 7. sog so habe was ich dann habe die Fläche mehr lässt sich einigermaßen schnell rechnen das ist nämlich jetzt einfach eine Summe von Trapezen alles was Sie brauchen das ist jetzt schule Geometrie Sohn den Song Song Vieregg bei dem fast alles rechtwinkliges aber eines fehlt das sind verpetzt und was sie da brauchen ist jetzt nichts als Schule Geometrie wissen Sie brauchen nur den Flächeninhalt vom Trapez also alle noch mal die Stelle Hefte aus da was 8. Klasse rauskramen oder was das war ich weiß es Oliver jetzt nachgeguckt das ist länger von Frau Piltz wenn haben können Sie sich das zusammensetzen deswegen deswegen heißt diese diese Methode Trapez werde ja
also die Idee ist ja setzte durch Geraden Stücke also vornehm ausgedrückt durch einen Polygonzug also das durch durchtragen Stücke zwischen den Stützstellen also die Stützstellen das und die diese Werte x 0 x 1 das X wenn Sie das machen bringen Sie die sogenannte Trapez Regel Text sich im nächsten Dienstag vor wenn Sie sich nur mal angucken wenn sie es den zweiten Fall haben ihre Funktion ist nur Messpunkten bekannt dann können Sie genau das Gleiche machen dann nehmen Sie als diese Stützstellen eben genau ihre Messpunkte natürlicher bei nur dich denken Sie die Funktion dann können Sie die Messpunkte mit solchen Polygon Dingen verbinden und haben die mehr und das integral und wenn man jetzt verstehe die Nehrung hier ist ein nicht genau genug was macht man dann aber macht mehr Stützstellen und dann kann man große Theorie auffahren zeigen wenn sie den Stützstellen beliebig vielen also mit dem Stützstellen an seine Stütze der gehen endlich gehen dann konvergiert dieses Trapez Regel unter vernünftige Andaman F immer Dings integral will ich Sie gar nicht belästigen will ihnen zeigen wie das wie die sozusagen errechnet das macht wenn Sie die Aufgabe geben geht mir mal näherungsweise die den Flächeninhalt da dieses integral von der Funktion und das werden sie bin ich sicher weitere Verlauf ihres Studiums häufigst tut aber sie werden häufig numerisch integrieren sehr deutlichen integral von der Funktion brauchen und das den Rechner steht reinstopfen und sagen die Gemahlin Nehrung das ist das eine der Möglichkeiten der macht man kann und das ist die zweite Idee war die ich nur noch kurz
ich bin wie gesagt nur vorstellen gerechnet wird hat nix
mehr 2. mögliche Idee man keine genaue approximieren diese gerade Stücke waren ja schon relativ gut sie können die gerade Stücke ersetzen durch Polygons durch Parabel Stücke ja sie nämlich Polygon Grundzüge sondern sie nehmen Parabel würden dann müssen Sie jeweils 2 da müssen Sie jeweils 2 von diesen Stütze stellten der Wahlen von einer zusammen nehmen solltest einmal noch ein zu
malen also in Blau man sieht x 0
x 1 x 2 zusammen die 3 Punkte dann finden Sie genau eine Parabel die durch die 3 Punkte gilt hier drüben nehmen Sie den Punkt x 2 f von x 2 x 3 F von X 3 und X X 4 f von x 4 und ersetzen 11 durch nen Parabel Zug der die 3 verwendeten gesehen die letzten 3 Punkte und da setzen auch hier 11 durch den Parabel Zug der die verbindet das gibt mir genaueren Währungen er klar man hat ja auch mehr investiert der Mann hat nicht nur geraten genommen
sondern Parabel er wenn man das macht
es gibt die sogenannte sind Regel die hat einen ja den offensichtlichen Vorteil den
offensichtlichen Nachteil gegenüber der Regel Vorteil ist dies genau das heißt nicht sie kommen mit weniger Stützstellen zu besseren Ergebnissen Nachteil ist die Formen werden natürlich komplizierter war eine Parabel ist eben das Komplizierteres als mir gerade und das ist der Grund warum beide Regeln für genutzt sind und ja ihre Berechtigung Wichtigkeit haben es je nach dem wie das geht was gerade entscheidender ist eben von Interesse sein kann lieber weniger Rechenschritte zu haben mit komplizierteren Formeln oder dass dies komplizierte Form ist gerade zu schließen lasse uns einfache Formen dem dafür Bammer halt viele viele Stützstellen Stellenwert das ist die nach dem was man zum Beispiel wenn es sehr teuer ist vielen Messungen zu wahren hat nur wenige Messpunkte die Messpunkte so der stellen dann wird mir die Simpson Riege Verbänden und sagen gut ist nicht schlimm wenn der Rechner der Nacht an der blöden Langform rechnet haben einfach nicht mehr Messpunkte und wenn der wenn die Funktion E bekannt ist und billig auszuwerten und mal schnell was haben will dann ist die Trapez Regel besser dass es einfach nicht Optimierungs- Frage was gerade gebraucht gut wie gesagt ich hänge ihn Dienstag Dieter Bildträger Regel genau vor zu viel Volt für die Motivation und dann wünsche ich Ihnen noch eine Presse die schöne Woche und Dank für die Aufmerksamkeit
Mathematische Größe
Nullsummenspiel
Ruhmasse
Hidden-Markov-Modell
Uniforme Struktur
Baumechanik
Geschwindigkeit
Algebraisch abgeschlossener Körper
Mathematiker
Zahl
Richtung
Quadrat
Stammfunktion
Exponent
Kurve
Flächeninhalt
Vorzeichen <Mathematik>
Physikalischer Effekt
Fläche
Reihe
Zahl
Funktion <Mathematik>
Integral
Betrag <Mathematik>
Hyperbel
Ende <Graphentheorie>
Formation <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Gebiet <Mathematik>
Zahl
Integral
Mathematische Größe
Quadrat
Stammfunktion
Träger
Ableitung <Topologie>
Integral
Quadrat
Kreisfläche
Stammfunktion
Rationale Funktion
Fläche
Trigonometrische Funktion
Integral
Symmetrie
Gruppenoperation
Grenzwertberechnung
Quadrat
Stammfunktion
Fläche
Integral
Funktion <Mathematik>
Flächentheorie
Meter
Fläche
Momentenproblem
Mathematiker
Grenzwertberechnung
Stammfunktion
Parallelen
Integral
Grenzwertberechnung
Punkt
Betrag <Mathematik>
Ungleichung
Reihe
Geschwindigkeit
Ungleichung
Energie
Kraft
Berechnung
Abschätzung
Ähnlichkeitsgeometrie
Unendlichkeit
Obere Schranke
Fläche
Schranke <Mathematik>
Sinusfunktion
Quadrat
Abschätzung
Sinusfunktion
Quadrat
Obere Schranke
Betrag <Mathematik>
Linie
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Fünf
Abschätzung
Gradient
Funktion <Mathematik>
Integral
Summe
Quadrat
Positive Funktion
Partialbruchzerlegung
Rationale Funktion
Nullstelle
Zahl
Funktion <Mathematik>
Algebraisch abgeschlossener Körper
Positive Zahl
Quadrat
Momentenproblem
Absolute Konvergenz
Betrag <Mathematik>
Parallelen
Reihe
Integral
Summe
Punkt
GERT
Flächeninhalt
Fläche
Reihe
Rechteck
Flächeninhalt
Flächentheorie
Reihe
Richtung
Ecke
Funktion <Mathematik>
Summe
Folge <Mathematik>
Obere Schranke
Ungleichung
Reihe
Integral
Richtung
Differentialrechnung
Differenzierbare Funktion
Integralrechnung
Ableitung <Topologie>
Stammfunktion
Reihe
Algebraisch abgeschlossener Körper
Rechenbuch
Blackbox
Reihe
Numerische Integration
Funktion <Mathematik>
Integral
Quadrat
Stammfunktion
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Rechenbuch
Näherungswert
Fläche
Abschätzung
Funktion <Mathematik>
Näherungsverfahren
Summe
Trapezoid
Flächeninhalt
Klasse <Mathematik>
Fläche
Stützstelle <Mathematik>
Eins
Geometrie
Rechenbuch
Flächeninhalt
Polygonzug
Stützstelle <Mathematik>
Polygon
Punkt
Strukturgleichungsmodell
Polygon
Verbandstheorie
Rechenbuch
Homogenes Polynom
Stützstelle <Mathematik>
Messprozess

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Uneigentliche Integrale und Numerische Integration
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 27
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35651
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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