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Uneigentliche Integrale

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so genommen die der immer so sein als das den hat er ihn an der TU Darmstadt er so dann wünsche ich Ihnen
allen herzlich willkommen heute zur Vorlesung und wir sind mal wieder dabei mit einzusteigen der ich hatte letztes Mal noch am Schluss die Rechenregeln für bestimmte Integrale hingeschrieben wir hatten ich hatte letztes Mal begründet warum das integral interessante Größe ist also ist es und was hat das denn zu berechnen und um die gerade von komplizierten Funktion zu berechnen ist es natürlich praktische Rechenregeln zu haben die das vereinfachen es dann nicht so schön wie beim differenzieren dass man einfach für alles eine fertige Regel hat sondern weil man sie gewähren hat man da Regeln aber die sind meistens eben von der Form das sind weit integralen an das integral wandeln und des Weges Fingerspitzengefühl angesagt ich will jetzt gerade noch bisschen was zu den Regeln sagen und dann vor ein paar Beispiele rechnen muss ist wo so ein paar Standardmethoden vorkommen ich hatte letztes Mal schon die 1. 2 hier liegen geklärt und partielle Integration vorgestellt Genialität ist der wirklich schöne Fall also wenn sie die Summe von 2 Funktionen haben oder noch nie so Millenia Kombination das heißt die somit noch das Konstanten der vor dann ist alles einfach dann kriegen Sie das integral über die Summe im Prinzip das sowohl bedient gerade das heißt wenn Sie die Stammfunktion von klein er von klein G kennen dann haben sie sofort die für die Summe wenn Sie natürlich schon von 11 die Stammfunktion ich haben dann nutzt er die Formel auch nur das dass man wenigstens das ganze Problem in 2 Teilprobleme zerlegt hat aber dann muss man immer noch die Stammfunktion von F bestimmt partielle Integration 2. Regel schon vom Äußeren Augenschein offensichtlich dass die nicht das integral komplett berechnet sondern sie verwandelt ihn nur den Tigra links auf integral rechts wenn man sich die beiden links und rechts anschaut dann sieht man was in Bisingen passiert ist das F und G die Rollen tauschen wenn Sie links die Stammfunktion von E und F selbst haben 60 dann Funktion von F und G selbst das heißt die Regel ist immer dann gut wenn durch diesen Tausch das integral einfacher wird so und jetzt kommt als 3. die Substitution träge und die hatten war diese diese Regeln stammen ja ab von den entsprechende Regeln für unbestimmte Integrale der Rechtsprechung Regeln für die Stammfunktion und dann 1 hatten wir damals hatten wir schon der Substitutions- träge und Substitutions- Henke stehen wir so stimmt auch nicht Substitutions- meine Güte 2. so Substitution sah er jetzt geschrieben für denn dieser folgendermaßen uns also die Stammfunktion von 11 mit mit groß gehen multipliziert mit kleinen G jetzt 11 verkittet mit gehen also groß er verkehrte mit groß gehen und sie haben mir konstant das beide Substitutions- Regel also wenn sie die gerade haben dass genau diese Format Funktion verkehrte mit der 2. und das Ganze multipliziert mit der Ableitung diese inneren Funktion groß geht dann können Sie die Stammfunktion angeben das sieht erstmal einer schönen Regel aus weil sie sagte links liegen die gerade richtig was fertiges zum ausrechnen aber die Krux dabei ist das sie gut 1. die Stammfunktion von Gross 11 noch von klein 11 noch brauchen aber die Haupt Krux ist dass sie das integral erstmal mal in der Form bringen müssen die genau so aussieht wie links und das ist nicht immer ganz Banner ein so leiten wir daraus erstmal mal ich daraus kann man sie erst mal sofort die Substitutions- träge für bestimmte Integrale hinschreiben die man links und rechts grenzen dazu schreibt also sind egal von A bis B von klein er von Gross gehe von X multipliziert mit kleinen die von das ist groß er vom groß gehe von X in den Grenzen von abgespielt ja das ist erst mal die Substitutions- Rede soll man sie hinschreibt so ist sie aber also in seltensten Fällen verwendet das werden wir nicht nicht zu der belegen noch eine längere Bemerkung anschließen nämlich wie man die jetzt tatsächlich anwenden kann man kann diese Regel man kann es in 2 verschiedenen Weisen angucken er also diese Regel kann man auf 2 Weisen lesen im ganz 2 dort also 2 weisen die man auch auf verwendet und die 1. ist ja das also das Problem noch einmal das grundsätzliche Problem ist man hat überhaupt nicht so normalerweise nicht Sohn integral da stehen über 11 verkehrte mit irgendwas multipliziert mit der Ableitung sondern man hat halten integral F von X Text da stehen und damit wir man er
damit will man arbeiten oder dass wir rauskriegen so was nutzt uns also dann so ein Ausdruck von der Form erfahren groß die von x mal klein die von XTX und Substitution heißt es schon dass man ersetzt etwas denn da so viel vom wusste unter allen stört dann setzen wir doch mal dieses große G von X dass man einfach mal was steht denn dann da er zunächst mal dachte Substitutions- Registers ist das groß F von Gross G von X in den Grenzen von A bis W sollst groß die haben wir gesagt ist das ist er von groß er von ob in den Grenzen des muss natürlich aufpassen dass ist groß G von da bis groß G von B Prinz in 11 groß 11 kann man natürlich nicht B einsetzen das Ganze deswegen schon deswegen schief einen Service Fallah und des gar nicht Definitionsbereich von er fliegen meinst du weißt ja sein dass es muss sehr viel davon gehe schlucken also das ist groß er von 1 in entgrenzten von die von A bis G von B so aber das damit sie das integral schreiben das ist das integral von G von bis die von B kleine von die schon und was mein eine Methode
denn sozusagen solche Integrale zu lösen ist jetzt die folgende also betrachte jetzt das 1. und das letzte was man jetzt gemacht hat ist wenn man integral hat von der dann hat man in diesen integral substituiert groß G gegen und gekriegt was passiert man groß gegen substituiert dann wird die Welt schön da muss man nur noch nur noch in Anführungszeichen Stammfunktion Klein F rauskriegen und dieses integral dahin lösen ja also diese was man dir tut es formal also wenn man mal die es erst in die gerade das letzte vergleicht was passiert hier formal man selbst die von X durch und man ersetzt diesen Ausdruck kleinen der von XTX denn er setzt man durch die EU will Klein der von XTX ist groß hyphen von XP mehr mehr das wird auch häufiger mal kurz so geschrieben ja oder und einfach ein anders rum meiner selbst das DX durch die EU geteilt durch die Strich von X vor über zurück das ist die eine Sichtweise die ist die die man
verwenden kann wenn man ein integral hat das einigermaßen der Bauart hatten die Theilig ähnelt also er von irgendwas multipliziert mit irgendwas was so aus wie die Ableitung von dem innen drin dann kann man auf die Weise rangehen und ich möchte jetzt diese Frau oder müssen weiterkneten das für den auf die zweite Sichtweise also 2. Sichtweise wenn ich
jetzt zufällig noch weiß wie das meine Funktion groß groß G nicht nur der Funktion ist sondern eine umkehrbare Funktionen also wenn große G Umkehr war es also BTS gibt mir Umkehrfunktion dann können wir in dem was er geradegemacht haben setzen Sie mal für den Moment später als groß die von D und alles war als groß die von an mehr
Hotel so was aber dann da oben stehende als wir das mit dem einpinseln doof also groß
gewohnt von A bis groß G von BR von die das ist mit dem Alfa und Wetter das integral von Alfa bis später der von und dass
es sehr um das integral oder sie nicht mehr oben das integral von A bis B der von Gross G von X der von XTX und jetzt kann ich ja A und B wir mit Alfons Peter ausdrücken nur bitter es gehe von D als ist die von das G ist umkehrbar also ist das die hoch minus 1 von allen fahre ist G Wurf minus 1 von 11 von Gross G von X Marklein die von XTX die
so und jetzt lassen Sie mich die ungewohnten Alfa und das widersetzen also es kommt eine unternahm so ja der das das war extra wird und das
was vorher war mit X und das was vorher als habe aber mit an das was vorher Alberta werde B einfach nur Ersetzung der
Buchstaben sonst passiert nichts A bis D er von XTX es gleich und da hinten steht es gehe um minus 1 von es gehe um in das 1 von B er von großen G von mal klein die von die sicher wirklich nur über davor X stand ruhen geschrien ich habe X für U vorgemacht und X also ist nicht viel passiert sondern ich habe überall da wo X 1 machen darf und ich den o 1 x 7 gemacht es hat man es aber so wie es normalerweise darstellt ja Namen Sohn ein absolut nicht existent Wort Umbenennung wenn Sie es haben wollen ja also was passiert ist ich habe aus dem XO gemacht außen und X aus dem einfachen wird Quatsch aus dem einfachen aber mehr und aus den Wäldern des eine wenn so Sa was das und das ist jetzt die zweite
Methode meine Substitution oft Anwender der von links nach rechts gelesen sie haben tatsächlich irgend integral A bis B F von XTX und ist staatlichen kriegen nicht gelöst und dann können Sie wenn Sie mit Funktionen groß die haben mir geschickt gewählte X gleich groß die von setzen das gehe muss bijektiv seine mit 10 wird hier in Köln und dann können Sie diese für das integral klar über kleine F so schreiben wie rechts dann würde jeder sagen warum soll ich das Recht das doch viel komplizierter dann sage ich das kommt sehr darauf an das kann sehr gut sein dass das Recht auch wenn es viele Buchstaben enthält vielleicht auszurechnen ist ist es liegt so und die Fragen jetzt kommt natürlich die Frage welche Funktion groß G soll ich denn dann gehen und dann sage ich auch haben das die das tut die funktioniert und das ist das Problem oder Substitutions- Regel die es keine legen Sie sage ich es mal die Produktregel beim ableiten klar ist Funktion gegeben so sich ableiten ankommt was raus sondern die ist 1 da mal etwas unscharf das Werkzeug das kann man ansetzen und probieren's tot und manchmal tut's nicht und dann kann man das Kommen der andern so Studium schon zum Probieren und manchmal kommt plötzlich was raussuchen manchmal wird alles noch komplizierter und mit der Umzug die mit der meisterhaft umzugehen ist eine echte Kunst und die lässt sich nur einfach durchtrennen üben und Einblick Schule lernen und nicht da gibt es nicht den fertigen Algorithmus 1 sagen kann so muss man es machen dann klappt's gut wenn man den mehr ähnlich wie oben ist noch hier die Ersetzung uns anschauen was ist passiert man hat X durch die von ersetzt wir also hier was hier substituiert S ist X wird ersetzt durch die von und das DX wird er selbst durch die ist recht von das kleine die ist ja das Gross gestrichen so ist habe ich dazu ganz viel geredet wird aber das als Beispiel das erste vorlesen aber mal die beiden Formel draus Substitution sozusagen 1. Art längst zur von der zweiten Art rechts und wie gesagt wann man welche verwendet das liegt daran wie das Problem geartet ist wie das integral aussieht und welche zum Ziel führt die 1. ist er so was für gerade Produkt Struktur mit irgendwie was und die zweite startet mit integral 11 bei dem ist das Problem was sich zu überlegen was ist die GG werden und bei der 1. steht das manchmal so schon drin da kann man versuchen die die sie zum Paar Kandidaten die sich anbieten Gamma gleich diskutiert so mehr gut also mal Beispiele Beispiele 2 Zehen und weil ich jetzt gerade so viele die Substitution hat geredet habe ich damit auch anfangen also
zunächst mal ein Beispiel für so eine Substitution 1. Art also die Formel der links stellt gewiss Beispiel dafür ist integrales eben freundlicherweise schon in der Form darstellt wie man es braucht also integral x-mal Cosinus X Quadrat DX da das werden das ist halt eine Substitution warum man das integral im Wesentlichen die Form hat wie hier in jedem Fall natürlich Bissendorf hingeschrieben schreiben Sie mal das X als 2. Faktor hin also Kursus X Quadrat X X dann können Sie kleine 11. den Kosinus nehmen groß G das X Quadrat und wenn sie groß G Quadraten nehmen es klein G 2 x x L die 2 ist nicht aber zumindest das X also wir sind schon nahe dran so was man hier also substituiert ist nach vorne 1. Art besitzen gleich groß die von X gleich x Quadrat ob dann kriegen wir dachte der
Substitutions- Regel integral 0 bis 2 x mal Cosinus X Quadrat X das ist jetzt nur nicht genau wie sie da steht wir brauchen eben das der die Funktion klein G genau die Ableitung von dem innen drin ist also produzierende uns das das das selbe wie Inhalt als integral von 0 bis 2 Kosinus von X Quadrat x 2 x Text also ich habe es nur Inhalt und der 2. zugemacht die beziehen sich zu einem Zweck und die Inhalte hat kann man die Genialität was integral 10 so und jetzt haben sie genau die Form ja das ist jetzt integral klein
11 von Gross G Marklein gehen für kleine F ist der Koloss groß GSX Quadrat klein dies 2 x und dann sagt Ihnen Substitutions- rege sowie sie darstellt
das das dasselbe ist wie ein halb Integrale von Dir von 0 es gehe von 2 über den Cosinus von die dass die rechte Seite hier integral die von A bis G von B Klein F von soll Frauen so würde ich dann verschoben Kosinus dadurch ist es integral der Stelle jetzt einfacher geworden das ist eine Substitution das ist ein einfacheres integral also Einheit integral G von 0 groß gehst Quadrieren also 0 Quartier des immer noch 0 2 verliert ist 4 Kosinus von die Wohnung Stammfunktion von Cosimos ist der Sinus also das ist ein halt mal sie von in den Grenzen von 0 bis 4 und das ist ein halt mal Sinus von 4 minus halt bei Sinus von 0 aber Sinus von 0 und ist 0 also Einheit mal Sinus von 4 sie muss von 4 ist eine Zahl da kann man nicht weiter darum er das das ist die Einwendung der
Stützungsregelung Rheinkultur wenn Sie jetzt genau kucken wenn diese gewendet wird schreibt denn dass da eine Sau so hin und das normalerweise gemacht wird ist die folgende das ist aber genau das Gleiche es kann aber schon wieder erfundenes Wort Schuldigen die die die gleiche Rechnung in der üblichen normalerweise verwendeten kürzere bislang Berechnung ich versucht besonders deutlich zu schreiben nein also wie würde man
das wirklich aufschreiben auch und das das geht das zeigt eben was wünschen das Kalkül die Substitution ist nur dass man das so hinschreiben also integral von 0 bis 2 x-mal Kosinus von X Quadrat des Ex jetzt substituieren wir anwenden wie sieht da draußen steht so es Ähnliches wie die Ableitung von dem inneren diese integral schreit wenn man bis 7 bis hinüber mit dem Zeug hat dann schreit dieses integral geradezu nach der Substitution gleich x Quadrat also was man dabei keine zu können Sie hier vielleicht auch versuchen zu substituieren gleich Kosinus von X Quadrate ist alles möglich werden er wenn so landet man halt dann auf einem noch kompliziertere integral aber dieses schreit
geradezu danach gut wenn ungleich X Quadrat ist Sohn des kommt Schlabber Rechnungs Anteil was ist das was ist denn dann wenn ich das nach dem X differenziert wenn ich das nach dem X differenziere also die Ableitung von dem die ist dann 2 x x x der Bildung von dem X sah und plötzlich alles was ich brauche ich muss das DX ersetzen durch die also dass die es zweimal XTX ich habe hier schon XTX also ist das hier gleich integral von jetzt muss ich aufpassen USX Quadrat wenn ich integral über die haben will dann habe ich integral von 0 bis 4 wie oben der und das X das 2 XTX er setzt sich durch die also wird aus XTX nahe DU wissen innerhalb des Kosovos von die und wenn ich gern gleichen hin das ist mir halt mal der Sinus von o in den Grenzen von 0 bis 4 und das gibt natürlich genau das gleiche nämlich Inhalts in das das ist das was man üblicherweise lesen wird in der Taille drüben der ist natürlich so ein bisschen denn das ist der Teil des hat schon Berechnung heißt aber der funktioniert einwandfrei die gut ja wir
noch wir Substitution 2. Art und dazu habe ich Ihnen folgendes Beispiel mitgebracht so wird und 2. Art ist eine wo man von sollen integral startet wo man nicht so recht weiß was man substituieren soll integral 0 bis 1 1 minus X Quadrat DX wenn man das integral sieht dann fragt man sich über solche machen genialster nix also eine Summe aus einer 10 ist nicht partielle Integration kein Produkt da Substitution okay und dann fängt man an man könnte mal substituieren OSX Quadrat man kann substituieren US 1 minus X Vertrag für alles zunächst vielleicht kann ich ja damit meine aus denen die nicht klappen erkennt man ja auch was ich kann Ihnen mal vorrechnen also ein Versuch so versuchen war so wie oben substituieren ist Xtra da was passiert dann also die dann ist die EU gleich 2 x Text und wir bekämen was sie
bekennen integral von wenn X 0 ist dann ist 0 wenn X 1 ist es 1 also die Grenzen werden ja auch nur bis 1 das ist aber Zufall liegt genau eine Substitution also die Grenzen doch man kann sagen es war ändern und hier würde stehen Wurzel aus 1 minus so weit so einfach Obst ja so und jetzt comma mit kommt das Problem ist nur wir ich das DX ersetzen durch die durch 2 x und das ist schon mal schwierig weil 2 x das in die wo in der Eigensinn sein wird also das wird dann auch auf dem geschrieben aber das ist also eigentlich sowieso kein Fisch und nicht Fleisch Waigels stehen der Ruß und Excel also es X muss dann noch weg es könnte man noch sagen ok wenn ich habe ich ihr also ich kann ja auch X durch ausdrücken also gleich x Quadrat dann weiß nicht 1 x Wurzel ja also könnten sie hier für das X unten auch nur zu umschreiben so ist dass hier wenigstens wieder mathematisch sinnvolle aus aber die Frage ist ist das jetzt wirklich einfach das integral integral von 0 bis 1 nein Mortsel 1 minus durch Entwurf vor fällt mir jetzt auch nicht sofort was ein also wir hatten vor der Wahl ist das Quadrat los aber das hat man sich den Dom der mit dem o eingehandelt abgesehen davon dass man sich und unter diese die gerade eingehandelt also das was man also furchtbar ja also im Prinzip geht das was ist das die Macht so gar keinen Sinn weil für wogegen gegen 0 oder für gleich 0 explodiert in das auch noch höher also um unschön ja aber nicht falsch schwer also das was das dies alles schon richtig aber Sie kommen damit auch nicht weiter so das was wir gerade versucht haben eine Substitution 1. Tag und die Subduktion
2. als sind selten mehr trickreicher aber manchmal die absolute Rettung und die sind meistens so wie hier er überraschend auf den 1. Blick und auf den zweiten Blick war ein bisschen Erfahrung hat sagt mir klar muss so sein ich sage Ihnen was wir substituieren und dann dürfen sie erst überrascht seine Kirchen warum wir substituieren umgekehrt XS ist gleich 7 aus von immer warum sie nur sie es überhaupt keine Sinus werden warum Sinus weil wenn Sie mal so im Geiste X gleich Sinus setzen was steht denn dann darin steht dann da 1 minus Sinus Quadrat großes Quadrat super ja genau also dieses das war das große Los und dann steht aber gewurzelt über Wort schloss Cosinus Quadrate um so schöner Gewöhnung wo muss raus also Betrag oder so aber egal die Cosinus können war also die Idee dahinter steckt die dahinter steckt ist wenn ich das X im Geiste des Sinus ersetzt dann vereinfacht sich der Ausdruck so dass auseinanderfällt ja aber das muss man natürlich sehen gebe ich zu aber das ist die Idee dahinter deswegen sage ich diese Substitution 2. also meistens irgendwie scheinen aus dem nichts zu kommen haben aber meistens ohne Begründung aber das wenn man dann sie einsetzt man sieht jetzt plötzlich das lichtet sich der mehr sorgen rechnen wir das auch noch so hin und sehen dass das passt so was müssen wir tun Schlamm Berechnung was passiert wenn
Sie jetzt dieses Xtra differenzieren DX ist dem Kosinus von die der Ableitungen sehen es Kursen aus passt das sich mit den Grenzen und das ist die Stelle wo weitere Station 2. an höllisch aufpassen muss weil jetzt um die Grenzen zu substituieren müssen Sie die Funktion umkehren das merkt merkt man jetzt wenn man es wenn man sich überlegt was die Grenzen sind was entspricht welchen entspricht das wenn X 0 ist wenn X 0 ist dann brauchen Sie in das der Sinus 0 ist das ist 0 er und wenn X 1 ist dann Unsinn für das T-Sinus einsetzt das wäre zum Beispiel pi halbe aber da ist dann ist es eben wichtig dass die Funktionen Sinus auf dem Intervall 0 P halbe mehr umkehrbare Funktion wir weil sonst geht die ganze Rechnung schief und sonst haben sie auch diese Beziehung mir zwischen X und ich also bei dieser Aktion X gleich 0 da muss gleich 0 sein habe ich im Kopfe den Sinus invertiert her also wenn das ist sozusagen der Augustinus von Felix und abgesehen davon nur das Murmeln Augustinus von 1 ist PAL und wenn Sie das an der Stelle machen mit der Funktion die ich in der Kinder ist dann ist das was rauskommt Käse so aber wenn sie muss sich nun die halbe klappt das der hatte
schön in der mich denn er ist nicht schön und der Funktionen Akkus sie muss also an der Stelle sei bemerkt das was wir hier machen ist akzeptabel weil der aus auf dem Intervall 0 ti umkehrbar ist das muss bei Substitution 2. Art immer mit berücksichtigt werden sonst ist das ist ja das Fall falsch das geht im Eifer des Gefechts manchmal unter spätestens dann wenn sie würden integral substituieren und der haben sie plötzlich in Grenzen von 0 bis 0 dann sollten Sie langsam hellhörig werden sich fragen was sie gerade schiefgelaufen also zumindest wenn sich vor dem die 3 von 2 bis 2 war der Westen die gerade von 2 bis 2 war dann so hoffentlich nicht substituiert wenngleich gleich 0 geschrieben aber das passiert immer so weiter des Gefechts es verstohlen substituiert und plötzlich die die Grenzen von 0 bis 0 und dann ist normalerweise das passiert dass man so substituiert hat die Funktion man nicht wird ja gut jetzt alles was wir
brauchen können wir entscheiden was passiert also was wird aus wollten war das integral von 0 bis 1 Wurzel 1 minus X Quadrat DX das würde Substitution einen wir uns überlegt wie die Grenzen substituieren ist X gleich 0 wird zugleich 0 und X gleich 1 wird zugleich die halben also die die gerade von 0 bis die halbe über Wurzel 1 minus das X ist sie nur von o also 1 minus Sinus Quadrat wozu jetzt muss das DX ersetzen geht getreu obiger Gleichung x ist kostenlos von die März können Sie wieder sagen was hat der Mensch dazu so schlau daher dahergeredet das sind die doch komplizierter stehen aber ich werde ihnen zeigen nicht unlösbar zur also was aber den jetzt dastehen integral 0 bis Peer 1 Watson aus dem Kosinus Quadrat von das war die Überlegung von fallen so wie Sinus drahtlos große Lust war das einst für genomische Pythagoras also es 1 minus Sinus Quadrate Cosinus kümmern so dann noch der Kosovo schon stehen so es kann an der Stelle ein 12 Fußangeln müssen wir noch umschiffen integral von 0 bis 4 halbe eine Sache die ich glaube ich offen als mal gesagt habe was da man aufpassen muss wozu vom Quadrat das ist nicht nichts oder diesen Betrag also wozu von Quadrates Betrag Kosinus von Odio er wurde von und Malkurse von die ja also vorsichtig beim Auflösen der wegfallen lassen von Quadrat gegen Wurzel das Quadrat von der Wurzel das ist das Quadrat von der Wurzel XX aber die Worte vom Quadrat von X Betrag X tja aber das ist hier nur ein Scheinproblem bei was ist zwischen und P halbe zwischen Rubiales der Kosovos positiv das heißt dieser Betrag ist kein also ist da aber es andererseits auch nicht da also das integral 0 bis 4 1 Cosinus Quadrat von o da Kosinus von o größer 0 auf dem Intervall 0 größer gleich 0 auf dem Intervall 0 4 hat so also haben unsere integral mühsam runter gekämpft auch das integral von 0 bis 4 halbe das Quadrat von er und stehen erst mal wieder etwas ratlos da 1. Möglichkeit man schnappt sich nennt Gray Tabelle und gucke nach was sich dann großen das Quadrat ist völlig legitimen Methode mir leider vor so gerade nicht möglich weil ich meine integral Tabelle nicht dar also basteln wir daraus das nächste Beispiel nein das übernächste Beispiel er und dann rechne ich
Ihnen vor wie man das Ding auch noch ausrichten kann das wird dann gleich ein Beispiel für partielle Integration sein allerdings muss echt sauer man ungewöhnlich ist und deswegen würde ich gern vorher ein gewöhnliches Beispiel für partielle Integration vorschieben gut also erst
mal ein Standardbeispiel partielle Integration und danach man 19 in den Kursen das Quadrat mehr
partielle Integration wenn Sie die Formel ankucken immer irgendwelche Produkte also was ich jetzt kleiner hauen will ist das integral von 0 bis 1 x-mal wie hoch 2 x Text wenn der stehende X X I O X Quadrat das hatte ich Ihnen glaube ich letztes bei folgen vorgerechnet beider bei den bestimmte Integrale habe ich Substitution verwendet ja klar habe ich das in der EU X Quadrat steht dann ist es wieder von der fahren Funktion die Funktion von irgendwas und das was vorne steht diesem Wesen die Ableitung von dem was oben steht das schreit nach Substitution 1. Art fordern sie nicht das 2 ich demnächst macht schon wieder alles anders in dem Fall ist es geschickter partiell Integration zu verwenden warum warum weil wenn sie dann des zumal wenn dadurch vor gesagt das was im Wesentlichen passiert ist dass die beiden Funktion die Rollen tauschen also die eine wird abgeleitet und die andere integriert als die erlitt abgeleitet und die andere von einem sie Stammfunktion und wenn Sie sich hier anschauen die Funktion X die in dieser Mann die leitet man gern aber dass Sie weg und die Funktion ihrer 2 x lässt sich problemlos er sie Polen was ich dann Funktion angeben also ein schöner Fall finde partielle Integration und zwar jeweils Integration in der Weise dass wir das X ableiten das heißt es X-Men was groß G und dass ich auch 2 x an integrieren auf leiten dieser Mann heißt und dessen was kleine 11 dann sind im Fahrwasser hier von der Regel klein erst mal groß G und dann gemäß einfach die Regel ablehnen was sagt die und zu müssen groß elfmal groß gehen also die Stammfunktion von dem kleinen 11. Funktion von ihr auch 2 x es eine heile er auf 2 x warum leiden es ab Inhalt EU 2 x abgeleitet die kann halt mal zweimal noch 2 x ist jedoch auch 2 x sowohl das Multiplizieren groß gehe der tut sie nicht wie groß die kennen wir das es X in den Grenzen von 0 bis 1 man aus integralen den gleichen Grenzen von 0 bis 1 jetzt getauscht also jetzt groß elfmal kleine also müssen das klein 11 wieder integrieren davon die Stammfunktion bilden das aber gerade schon gemacht diesen halte ich auch 2 x und wir müssen das große G ableiten und das X abgeleitet gibt ihm freundlicherweise mal 1 D X so jetzt kann man bei diesen vorderen Teil schon mal einsetzen mehr Inhalt des O 2 x x x zwischen 0 und 1 einsetzen sie eigens kriegen sehen halt E Quadrat mal 1 Minors das Dinge stellen wohl aber wenn sie diesen Deix gleich 0 setzen wir dann diesen Faktor X 0 das heißt er fällt das weg also minus 0 man und jetzt haben sie den integralen beibehalten jedoch 2 x ja das ist halt meist integrale bei ihr auch 2 x sich dann Funktion ist also ein Viertel auf 2 x würde er auch 2 x in den Grenzen von 0 bis 1 das hier ist inhaltlich Quadrat minus das müssen wir erst 1 einsetzen ein Viertel im Quadrat mehr bloß 0 einsetzen ein Viertel die Woche 0 also Alsenviertel x 1 so und was dann übrigbleibt es Inhalt des Equal raten das Innviertel etwa 3 dessen Viertel E Quadrat das Innviertel oder doch ist schöner aufgeräumten 4. mal im Quadrat ist 1 und da haben wir schon denn wer das dicke als der so also das ist ein ganz typische Anwendungen partielle Integration wenn man sowas hat die Funktion die man gut integrieren kann mal Polynom mal kleines Polynom dann lohnt sich partiell zu integrieren dann verschwindet das zum Beispiel das X gleich und das ich auch 2 x lässt sich leicht integrieren und dann ist gut das ist ne ganz typische Anwendung so einseitig
in versprochen mit der Widerparts Integration können wir unser Cosinus Quadrat Problem lösen also machen wir das noch ein zweites Beispiel zu Platz Integration und gleichzeitig eine Warnung man darf mit der Band The Integration nicht so weit reicht oder also manchmal zumindest also Unsinn gerade war von 0 bis 4 halbe Cosinus Quadrat von die ja das war das was freuen im Beispiel B übriggeblieben war dieser Effekt ist übrigens auch typisch für den Tierquälerei ja wie gesagt diese ganzen Regeln für eine nur die gerade auf anderen die gerade zurück war es kommt da sehr oft vor dass man sieht seine Ketten Anwendung hat dass man substituieren aber substituiert partiell integriert und dann Anschluss an das aus das ist nicht ungewöhnlich so wir wollen jetzt hier partiell integrieren dazu brauchen wir es mein Produkt Prinzip steht da ein machen was mal klar wo es steht dass es große nur von Oma Kosinus von o so in dem Fall ist es zumindest nicht schwer sich zu entscheiden was man als groß gehen dass man das kleine öffnen auch Gold dann selbst Nummer 1 was
passiert wenn wir jetzt die Formen wir brauchen zunächst groß elfmal groß gehen Gross G Hammer schon 11 ist Cosinus was ist die Stammform zum vom großen Los stammen Kosovos ist der sehen aus also hier bleibt übrig Kosinus von mal sehen was von in den Grenzen von 0 bis 4 halbe minus integral von 0 bis 4 halbe und jetzt umgekehrt klein die war groß 11 Klein G Makros 11. 1. müssen zunächst die Kosinus ableiten der großen das abgeleitet geht minus Sinus von Mael dem Kosinus ist klein 11 dessen Stammfunktion ist der Sinus also mal sehen was vor das ist groß so das war der Formel partielle Integration dann schauen wir mal was wir gewonnen haben oder ob da was gewonnen haben das ist immer der spannende
Moment der 1. Teil zumindest ist schon mal wind eigentlich wahnsinnig weit Kosinus von per bis 0 x Sinus von Gehaltes 1 minus Kosinus von 0 bis 1 mal sehen das von 0 bis 0 also der vordere Teil des man wohl oder auf den hinteren was steht da da steht integral von 0 bis die halbe sie in das Quadrat von der o was
nicht negativ ja ja das 2 minus unseren plus Zeller und was aber gewonnen also werden dass das integral beim großen Quadrat der sie die gerade wenn sie Lust folgt also von nur das geheime gerechnet natürlich ich will jetzt nicht behaupten dass die beiden sehr Stammfunktion ab der dort wird ja damit aber dass die Schwierigkeit des Problems genau wohl Prozent reduziert und man könnte jetzt jetzt 3 Möglichkeiten die 1. Zusagen so total gar nicht auf geben die zweite ist der so richtig Feuer gefangen zu haben und dann zu sagen machen einfach weiter ja ich meine das ist es das Gleiche wie vorher also können wir die gleiche Idee anwenden er und das Wiedersehen als die muss mal sehen muss und da noch mal das viel höher also gleichen Trick ob das kann man machen ich mag jetzt nicht alles über vorrechnen aber ich kann verraten was passiert sie
rechnen und Rechnungen waren damals gleichen was dann rauskriegen ist dass das das gleiche ist wie integral von 0 bis P halbe Cosinus Quadrat von O DU das ist einerseits schön weil das bedeutet sie haben sich auf dem ganzen Weg nicht verrechnet aber sein dass er sie so befriedigend weil das ist keine besonders überraschen die Gleichung es nutzt nix wir also das nach dem Kreis immer in meiner ziemlich verrechnet gutes Zeichen aber Bank da nicht weit und jetzt aber ist die dritte Möglichkeit und dies an der Stelle noch einmal weiter das Wissen über die mithalten Funktionen einzubringen besteht gerade was wir haben wollte sie sehen Sie gerade beim Kosinus parat nein gebracht auf den Sinus Qual und was man jetzt versucht es auf der rechten Seite das integral von der linken Seite sich nochmals nochmal zu bauen und das macht man indem man jetzt verwendet dass diese Sinus Quadrat 1 minus Cosinus Quadrat also setzte sie ein Sinus Quadrat von Verfahren auch schon hatten S 1 minus Cosinus Quadrat wenn wir das nochmal dann kriegen wir dann kriegen wir raus also wir hatten unser Ausgangs integral 0 bis 4 halbe Kurse das Quadrat von Uni TU wir hatten oben mit partielle Integration nachgerechnet dass es gleich demselben integral über den Sie das Quadrat von UDO jetzt ersetzen Sie Sinus Quadrat durch 1 minus Cosinus Quadrat und dann passiert gleich was wunderschönes es kam erst mal in die
Genialität von integral ausnutzen das
integral von 0 bis 4 halbe über 1 das zumindest ist mein Anteil den kriegen wir gleich hin minus integral von 0 bis die jeder Kurse das Quadrat von die Wirtskörper wieder sagen vom vom 5. Mai im Kreis gedreht hatte wieder aus Gesagte können das illegale großes Quadrat ausrechnen würde sind die Treiber großes Quadrat kalt super kann aber nicht und wenn dieser was dann lösen und jetzt ist es wichtig die gleichen als ganze anzuschauen was steht denn da ich noch wenig wissen will ist irgendwas Minus schloss nicht wissen will wie lösen Sie die Gleichung x ist irgendwas minus X er sie bringe sechsmal auf die andere Seite oder also wenn ich es sich diese Riesen aus Robert also nur die nächste hätte jeder von ihnen das einer halben Sekunde gelöst dass die der diesen Ausdruck aber der ist ja auch nur etwas Unbekanntes also bringe das mal auf die andere Seite rüber also
da gehen Sie auf der gleichen über alles in die gerade ein großes Quadrat drauf dann kriegen Sie zweimal als integraler von 0 bis 4 halbe Kursen das Quadrat von ist gleich das integral von 0 bis 4 halbe über 1 ja das kriegen wir hin ja konstante Funktion ein 2. Gehalt in Tikrit ist geheime nein jetzt das können
jetzt auch noch auflösen das integral von 0 bis 4 halbe ihre Kurse das Quadrat von ist die halbe durch 2 also geführt drückt das ist ein bisschen mitten durch die Brust ins Auge aber es tut gut und das ist absolut stand Standard reg wenn Sie Quadrate formen zur trigonometrischen 2. also das gleiche gehen können Sinus Quadrat machen er oder auch mit höheren Potenzen dann das hässliche aber die Idee ist immer die gleiche gut zu gesehen ja
sollte es als Abschluss Beispiel für die sind die also für die Integralrechnung stehen bleiben war ziemlich viel drin also der Bestimmungen dieses Integrals steckt am Anfang der Substitution dann aber partiell integriert aber einmal zu viele Patienten Geräte so rückwärts gerudert und dann aber noch mal Sie des Getreides als eines großes Quadrat eingesetzt und dann hat sie's irgendwann in Wohlgefallen aufgelöst gut ich kann Ihnen an dieser Stelle nur ganz punktuellen paar Beispiele zeigen das Problem an den die gereist wie gesagt dass es nicht nicht wirklich ja die Lösungsmethode gibt die immer sondern dass man ja ein bisschen probieren bisschen kreativ sein muss und das lernt man nur durch viel tun wir das muss man einfach machen sie kriegen auf Übungsblatt wie den ganzen Stapel von in die die Aufgaben zurzeit gibt es ja keine aus um mir so noch Gruppenübungen wenn Feste des Blattes trotzdem voll mit allen möglichen Aufgaben und keiner erwartet von Ihnen dass Sie die alle Aufgaben weil sie mir der Gruppierung durchhauen soll denn das ist eben dafür gedacht dass sie genug Material haben also zum einen für die Gruppenübungen aber auch sonst um wenn sie das Gefühl haben sie sind da noch nicht für und schnell noch ja es hat Diensten schwer sind kreativ genug sich dann noch weitere Substitutionen partielle Integration anschauen zu können gut ist das kann ich auch sagen es ist alles nicht mehr so wild wie es war der also noch sehe ja die Großelterngeneration würde ich mal sagen hat wenn die RWE was studiert haben in die Richtung in der Physik oder sonst was dann haben Sie richtig in die Glieder gebraucht das war doch klar aber in den Sechzigern war nix mit Recht war nicht so viele Rechner unter Moment 16 und es sind ja so verwenden nur 5 so was da war nicht so viel mit rechnen da hat man auch wieder zu 10 von Hand gemacht Tabellen mit Tafel und da musste man Unmengen Zweig integrieren wo man heute sagt um Himmels Willen fast fast sich erst gar nicht ankommen muss der Rechner da rein sagt mir was ungefähr rauskommt melde dich nicht ist völlig klar deswegen hat heute nicht mehr den Stellenwert wie damals und es geht mir auch so wenn wenn wenn ich meinen ein Onkel der hat Physik studiert wenn ich mit dem Geld integriert dann aber gute Nacht dann hatte das integral dreimal durch Sozietät bevor ich ihn geschrieben habe also das ist ne ganz andere da ne ganz andere der Herangehensweise an diese an diese Thematik trotzdem muss man natürlich sauer weil die Grundfertigkeiten Flieger haben um zu wissen was du dir zum Computer Algebra System oder was tut so rechnet mit diesen integralen oder was auch oft der Fall ist oft muss man solche Integrale um sie dem Rechner vernünftig für füttern zu können auf gewisse Normalformen bringen und dazu muss man sie war in Maßen manipulieren können und der deswegen also sollte man das schon noch kennen aber es ist nicht mehr so krass wie es war gut dann wenn ich jetzt zum dritten
Abschnitt im Bereich über die Integration Rechnung kommen und in dem ja kommt jetzt wieder ein Grenzwert dazu was wir bisher können desintegrieren von Funktionen von stetigen Funktionen auf einem Intervall Arbil das ist auch schon ganz schön aber es gibt Fälle die da nicht mit drin sind und das sind das sind Fälle die man als sogenannte eigentlich Integrale bezeichnet und da geht's jetzt heimlich und 2 Phänomene 1. integralen also wenn die um Funktionen oder den integriert werden soll die nicht beschränkt sind oder es soll über einen nicht beschränkt das Intervall integriert werden als sie wollte die gehen von 1 bis unendlich oder von minus oder nicht bis 5 der oder gleich von minus oder nicht ist endlich wenn auch noch sehen also sowohl über das er integriert oder eben sehr mehr Funktionen nicht beschränkt ist dass es im Prinzip dem bisherigen im bisherigen Konzept nicht drin und darum will ich mich jetzt beschäftigen also uneigentliche Integrale zerfallen eigentlich in 2 Klassen aber das merkt man im Alltag also die Unterscheidung ist ein ich nicht nicht entscheidend 1. entweder unbeschränkte integralen also die Funktion f unbeschränkt was könnte das sein ich meinen will Film man solle ist die vom
an ich will ganz wie wir es kennen von A bis B integrieren aber meine Funktion hat an der Stelle an wohl wenn Sie zu Hause und was mich jetzt interessiert ist diese Fläche und die Flächen wird jetzt und endlich nach oben es können Sie sagen so war welches noch unendlich groß ne es ähnlich wenn wir gleich sehen und jetzt drauf an wie schnell gekleidet das ist die eine Variante die vorkommt und die wir bisher Prinzip nicht können
oder in Maßen können aber die
sozusagen eine genaue mathematische Behandlung braucht und die zweite ist wie gerade schon gesagt Sie haben unbeschränktes Integrations- Intervall in also ein integral von 1 bis unendlich zum Beispiel und dass das Bild dazu wäre ja das A und B gibt es
nicht mehr Funktion liegt so und sie interessieren sich für die Fläche hier unten auch die kann durchaus ähnlich sein auch wenn sie unendlich weit nach rechts geht man klar es nicht machen sollte ist die Funktion konstant 1 von A bis unendlichen die Kriege der dann dann brauchen sie viel Farbe und das Ding an zum einen aber wenn die dass der genug leiden wird werden wir sehen kann das durchaus eine endliche Fläche sein obwohl sie der Paul mal drauf so um die rechnen das jetzt aus und die geht auch wenn ich es naheliegend wie würden Sie das machen was unendliches kann man sowieso nicht also soll er nicht lange Integrale kann man Wirklichkeit ja sowieso nicht ausreichen wenn ich irgendwo der Mann die Tür des B setzte und war von A bis zur Tür rechne dann ist das eine ganz gute Näherung und wenn Sie noch weiter nähern wollen dann machen Sie das B in die Mensa und dann haben sie das wirklich gute wo und wenn sie sieht er meine ich exakt machen wollen dann jagen sie das B immer weiter und durch was ist das es Osten also durch Roßdorf durch und irgendwann kommen Sie wenn Sie die Regeln raus und dann jagen noch unendlich und der Grenzwert ist das was rauskommen soll dann genau also die rechnen das folgendermaßen aus Zimmermann endliche Grenzen und rechnen für endliche Grenzen sowas kennen und am Schluss jagen sie die Grenzen da wo sie hingehören doch unendlich oder gegen die Problemstelle also dieses integral von A bis B er von XTX ist jetzt wurscht ob sie in diesem zweiten Fall von unbeschränkten in der Wahl und in diesem 1. Fall von nach oben abbauender Funktion sind das definieren uns durch ein Grenzübergang sie nehmen die Stammfunktion von 11 für also das in der in der Wahl integral hier wäre ja normalerweise Stammfunktion von 11 von wegen also groß er von dem das groß ist von da aber es ist ganz sei dass die unendlich ist oder eben das den Ponath in dem sie sich alle von Peter alpha ein bisschen größer als an und wird dann sind leider als des und waren erst mal groß er von Wetter und groß er von Alfa und dann jagen sie bitter die Bibel als verdient habe also wir müssen den Limes später von unten gegen B von Gross 11 von Berta also große viele die Stammfunktion von Klein 11 man den Limes alles von oben gegen Gross F von 1 nach
wobei eine Frage wir wobei im groß 11 der Stammfunktion von kleinen also die es rechnen Sie 1. ganz mal die greifen Alfa bis später aus mit alles war diesen oberhalb von Unwettern und ist von B und dann drücken sie das Wetter dagegen wir das Ei verging 8 mehr wir und bei der ganzen Betrachtung hier bin ich eben auch diesen zweiten Fall wird behandelt haben also hier lasse sich aber gleich und minus unendlich und oder B gleich endlich zu 3. dann ist der Grenzwert der das des Times Peter gegen B ist dann halten Grenzwert der dagegen ist und das ist das was ich vorhin meinte ja also wenn Sie jetzt dieses Bild was man da oben noch sieht und eigentlich integrieren wollen dann haben Sie auf der linken Seite an dem überhaupt kein Problem ja also das ist jetzt nicht mehr gut aber in dem aber kein
Problem war hier bei dem können Sie einfach groß
er von aus auswerten nach rechts neben sehen sich nun bitter in der Mensa und dann in Rostock und dann in Sibirien Beyoncé ist der noch unendlich was rauskommt ist giftig ja das heißt im Prinzip ist nicht wahnsinnig viel
zu tun man muss halt integrieren
und man muss man kriegt eine zusätzliche Schwierigkeit dabei nämlich noch ein Grenzübergang also Zusätze die Schwierigkeiten neben der Integration sind noch ein oder 2 Grenzübergänge auszuführen ja und das heißt 1. so muss sie ausführen und zweitens man letztlich ein Problem auf die müssen wir nun nicht mehr existieren also Beispiel von vorhin Sie denn die Funktion konstant einzelne die gegen die von 1 bis unendlich dann sagen Sie mir Vogelwarte natürlich Quatsch ist weil es gibt für mich unendlich aber dann das können Sie nicht immer ausschließen dass so was passiert das heißt das ist die Hauptschwierigkeit der Integration ist die Existenz der Grenzwerte sicherzustellen also wir müssen jetzt erst mal so'n integral und Eigensinn die Gral macht einfach nicht immer sehen sondern es macht nur dann Sinn wenn die beiden Grenzwerte die dabei auftauchen ist die diese oben noch sehen wenn die auch existiert so aber wenn
nicht existieren also wenn die beiden Grenzwerte die da oben stehen existieren dann nennt man das Uneigentliche integral konvergent ja weil denke begriff erklärt sich die Grenzwerte existieren 10 Konvergenz und nennt man das integral Konvergenz und wenn sie nicht existieren dann eben divergent oder man sagt das unheimlich integral existiert nicht und jetzt muss man aufpassen es müssen ihm alle beide existierende also existiert nur einer der beiden nicht danach das und eigentlich integral keinen Sinn und dann sagt man das divergiert das ist die eine der beiden nicht oder sogar beide das ist egal wenn Sie denn eine nicht tut dann können Sie aufhören also die können sich nicht irgendwie gegenseitig heilen oder helfen oder sogar mit einer weg ist wenn einer nicht tut dann ist aus so nennt man das integral divergent oder eine Formulierung die man auch
auf die liest das integral Exzess und eigentlich integral existiert nicht in dem Sinne dass ja also Sie diesen und
eigene diesen diesen Grenzwert Prozess keine wirklichen der zuordnen können damit auch dem integral nicht also wir suchen zur die ganzen damit ist im Prinzip das gesamte Begriffs fragen dieses Abschnitts klar geworden solche oder eigentlich illegal anschauen diese definiert über 2 Grenzwerte und außerhalb dieser Grenzwerte müssen wir halt endlich Integrale ab ausrechnen er und die Schwierigkeit ist eben sicherzustellen also neben dem Problem denn der auszurechnen um sicherzustellen dass diese Grenzwerte existieren und wie man das macht umso so weiter dazu komme ich denn jetzt und das man am besten erst mal einen Stapel Beispiele an dem man so sieht was dabei alles passieren kann und in dem ich ihn auch
zeigt dass das keine er ja dass das tatsächlich passieren kann dass sie solle unendlich nicht lange Schlange haben die Milch endliche Fläche nur er enthält dazu auch gleich die 1. also Beispiel 3 1 in den den wir jetzt und da sie mache es erstmal mal eines von der 1. Sorte die ich vorhin geschrieben habe da haben nämlich integral von 0 bis 1 1 durch Wurzel XTX 1 durch Wurzel X ist so Kabel teil an der Stelle eines ist es 1 also durch den Punkt hier denn ansonsten sieht's wenn man keine weiteren Einheiten die mal auch so aus wie einst sich X und was ich haben will ist diese Fläche wobei eben jetzt genau das passiert was ich vorhin gesagt habe die Funktion einer stillen wollte vorstelle zur Auswahl der unendlich ab es gibt es so extrem dünne schon standen noch oben und die Frage ist mir ist die Fläche von den und ich Berlin zeigen dass das zum Beispiel so einfach weich dass das zum Beispiel ist wurde es den tatsächlichen endliche Fläche so also was ist das nach Definition integral von 0 bis 1 1 durch Wurzel XTX können wir eigentlich berechnen weil da das 1 durch Wurzel x mir vorstelle hat was der berechnen können ist das integral von Alfa bis 1 1 durch Wurzel XTX für Alfa ein bisschen größer 0 und den der Mama den Grenzübergang Limes als eigentlich müssten wir doch den Grenzübergang in das Bett dagegen 1 machen aber an der Stelle eines haben überhaupt kein Problem also die müssten ganz vom damals ganz normaler für Definition ab müsste man noch lieber später gegen ein von unten gegen 1 machen und in die gerade von Alfa bis später anschaut aber an der Stelle eines das nix das können sie auch gleich so stehen lassen ok und hier kann man jetzt ja im Prinzip einfach rechnen wir brauchen die Stammfunktion von 1 durch Wurzel damit man die Raten kann lassen Sie mich ein bisschen helfen das ist hier zweimal sind egal von Alfa bis 1 über 1 durch 2 Wurzel x ich hoffe diese Umformung findet allgemeine Zustimmung ich habe nur durch zweigeteilte mit 2 multipliziert aber jetzt könnte man die Stammfunktion raten weil es durch 2 Wurzel X ist die Ableitung einer berühmten Funktion dass die
bleibende wozu Funktion also hier steht liebes einfach von oben gegen 0 zweimal Wurzel X in den Grenzen von Alfa bis 1 und das es von Alfa eine Verführung von oben gegen 0 zweimal Wurzel 1 also 2 mal 1 minus 2 mal wo zu erfahren so und das schöne ist den Himmelskörper können wirklich gut voraus direkt ausrechnen was passiert mit der Wurzel Eifer gegen 0 geht die Worte Funktion ist die stetige Funktion also ist die der Limes als wohl von Wurzel Alfa die Wurzel vom Limes Eifer 0 von Alfa also Wurzeln 0 das ist 0 also hier stehen 2 minus 0 und das ist sein man Krieg tatsächlich aus diese Fläche hier ist 2 wenn sie ganz gesund in die also ganz woran integrieren wenn sie ganz bis unendlich hoch nehmen dann ist diese Fläche genau 2 der dass man
in dem Fall hier machen könnte und das ist so das will ich Ihnen durchaus zeigen weil das völlig ok ist man weiß was man tut man kann die 3 Zeilen im Prinzip auf eine zusammenschnurren lassen aber ich sage gleich dazu man muss eben wissen was man tut also man muss sich im Klaren sein man
hat 7 oder eigentlich GAL zu tun das lohnt sich nur wenn sehr wurde die Gral sehen erst mal zu gucken also wenn das ginge Grenze unendlich hat dann sieht man dass es und eigentlich ist aber hier haben sie die greifen nur bis 1 Sie das mal brav aus ja und so war das eine Ende mit der Funktion in den nix passiert und wenn es und eigentlich ist es dann weiß man muss ein bisschen erhöht auf passen aber in dem Fall kann man einfach droht vor ausrechnen wie man es gewohnt ist ohne überhaupt zu merken dass es und eigentlich ist einzig Wurzel X hat mir vorhin gesehen hat als Stampf Funktion 2 Wurzel X in den Grenzen von 0 bis 1 man sie einfach einsetzen werden sie gar nicht dass sie was schief geht dass es 2 Wurzel 1 minus 2 Wurzeln 0 und das ist 2 und alles ist gut das ist völlig okay ich sage nicht dass es so ist das ist völlig okay aber wundern Sie sich nicht wenn Sie es fünfmal machen dann 6 Mal wird sie auf die Nase fallen weil das geht nicht immer also wenn sie ohne die Sie gerade haben können durchaus versuchen erstmal zu rechnen und zu gucken was kann der aber Sie sollten Hinterkopf habe machen das Ding und eigentlich wenn zwischen drin dann mal was passiert wo ich plötzlich durch 0 teilen muss oder irgendwas nicht definiert ist dann 90-mal mal Stück zurückzuholen und den Limes anzusetzen ich zeigen gleichen Beispiel es muss nicht Geld und sie aber trotzdem so ansetzen dürfen und können sie merken dann dass ist ob also Sie müssten dann merken dass es nicht geht der das ist Beispiel integral von 0 bis NHL DX geteilt durch x x allen Quadrat von X in dem Fall ist die Kohle folgendermaßen gelagert wir prinzipiell von 0 bis nein und diesmal haut das Ding nach minus unendlich ab also das geht diesmal um seine vielleicht hier unten aber wieder haben Sinne Bohrstelle wohl und dort mehr Fläche des unendlich weit nach unten geht und die Frage ist die groß Stil
zur wir wollen gesagt uneinig integraler haben 2 Schwierigkeiten 1. die Grenzwerte aber vor allem auf müssen integrieren integrieren war das Baum erst mal den Grenzwert ein von Unwissenheit ist wird wegen der sie wegen der Interpolstelle also integrieren nur von einer Verbissenheit und schicken dann das die 0 und haben dann immer noch die Funktion wir haben dann immer noch welche Funktionen 1 durch mal im Quadrat von X zu integrieren und und an der Stelle
mächtig in wilde Substitution vorschlagen und zwar es lohnt sich hier gleich X zu substituieren alles klar warum weil funktioniert da man könnte auch mal alle Quadrat X probieren es ist ihm müsst ich auch probiert verglich ihn gleich also bei den Quadrat nichtswürdig probieren LMX würdig probieren und dann würde ich sehen er wer nix tut Substitution
allen X was bedeutet das das ist DEU gleich 1 durch XTX und hier ersetzen Berater ist dass wir die Grenzen substituieren was passiert mit unserem alles war was passiert mit unserem Inhalt also das ist das Alfa gegen 0 von MAN X 1 war es dann so allen von Alfa wir nächsten Halt ist ist allen von Halle also könnte gerade von allen von Alfa bis in den von Halle war der DX müssen wir ansetzen er also dann 1 durch XTX müssen ersetzen durch die da sehen Sie das passt schon mal Städten der X durch x das gibt es die Uhr der allen Quadrat gibt kann Quadrat also haben sie nur noch stehen 1 durch Quadrat DU und auf die Weise ist das integral deutlich freundlicher geworden also immer sein Nachhinein anguckt sage mal wieder ja die Subsumtion ist eigentlich klar man wir dieses Text durch x ausnutzen wenn man das X als allen X nimmt dann ist Text durch x eben genau die oder passt schön aber das ist immerhin der schlau geredet Mainz-Finthen muss ist ist mehr Väter sowas ist die Stammfunktion von einst durch Quadrat das ist stammt von dem dann der Frau hoch N die ist minus 1 durch ja einfach an wenn sie das ableiten kriegen sei Ukulele raus in den Grenzen von allen von Alfa bis allen von der Fall müssen wir einsetzen nehmen wir
das einfach von oben gegen 0 gut Herr mit minus 1 durch ja minus 1 durch allen von Haare plus 1 durch allen von Alfa und das ist es der Stelle wo Sie sehen wenn Sie jetzt wollen nun voraus durchgerechnet hätten also nicht den Lemmers eingeführt oder die ganze Site statt Alfa weiter einfach nur geschrieben da hätten Sie 1 durch allen von 0 das ist nicht so angenehm war also an der Stelle ist schon gute Limes zu haben weil er den von 0 jetzt einfach nicht und dann gucken wir was jetzt hier passiert also dass der erste Teil ist einfach das ist minus 1 durch den von Halle und dann bleibt übrig den Limes für von oben gegen 0 1 durch allen von Alfa so was passiert wenn Sie alle Fragen 0 schicken damit der Logarithmus
wir nicht klein bei der gegen minus unendlich comma minus unendlich die 0 also dieser Grenze hinten ist 0 hier bleibt also übrig minus 1 durch allen von Inhalt so und jetzt kann man jedoch Bayern kann man noch er er kann man noch bisschen aufräumen das ist minus 1 durch Erlernen von Einheit es allen von 1 minus 1 von 2 von 1 ist wohl also am 7 minus 1 durch minus 1 2 das ist durch in den 2 das ist ein bisschen was ich habe konnten ich bin ok wie viele wissen warum ich ins Grübeln und weil irgendwas nicht stimmen kann und ja das Interdikt diese Plausibilitätschecks mehr arbeiten entweder stimmt das Bild das ich im anfangen Gewalttaten nicht und das Ergebnis weil allen 2 es positiv wenn sich 1 2 7 noch positiv auch ein also das kann ich
jetzt nur als offenes stehen lassen ich denke alle finden bis zum nächsten Mal den Grund Ende habe traute man sich das normal und sie das ist oder belegt immer wie die Funktion aussieht oder ich habe hier Vorzeichen für formuliert das kann auch sein ich hoffe ich kann ich dann morgen zu äußern oder jemand von ihnen findet bis dahin was passiert ist ja aber auf jeden Fall kommt weiß um den Dreh rum raus plus minus nein was ist hier stimmt ich gut das habe ich in 2 Beispiele gezeigt und eigentlich integralen die existieren lassen Sie mich gerade noch schnell 1 zeigen muss hilft Geld damit sie nicht nach Hause gehen werden die Dinge geht sie immer ja guten meine ich habe wollen so sagt man kann brutal werden sagen integral über 1 von einst so billig gerade dann existiert es nicht aber es geht auch filigrane und dass diese ist filigraner und sieht eigentlich genau so aus wie das was wir schon hatten wenn Sie mal sind die gerade von 0 bis 1 über 1 durch XTX und dann kommt das Bilder seit ich wollt schon fast genauso in gemalt nämlich für 1 durch Wurzel x ja also es geht wieder um diese Fläche nur die Funktion ist jetzt nicht als ich muss nächste sich X aber da sollte man es sagen so ein großen Unterschied kann nun auch wieder nicht machen aber leider macht es den was passiert also ganz einfach stur nach irgendwie rechnet man so ein Ding aus in 0 die zu Problemen also integrieren wir gar nicht von 0 bis einzelne nur von Alfa bis 1 und danach ja genau das Alter gegen 0 ja gut das Ding das sich zum Glück kurz und schmerzlos integrieren aber die Stammfunktion von
einzig X kennen das ist der Grenzwert von Alfa Flug von oben gegen 0 vom von X in den Grenzen von Alfa bis 1 in dem Fall darf ich allen von X schreiben muss ich allen vom Betrag X schreiben weil sowohl also die positiv sind ja ich bin auf der positiven reellen Achse kein Problem mit Beträgen in der Stimme so und das ist was des Limes als er von oben gegen 0 von allen von 1 minus allen von Alfa dann jetzt gibt es Probleme weil was passiert wenn Sie jetzt allen von ausrechnen und Alfa gegen 0 gehen lassen geht das gegen minus unendlich also minus allen Alfa gegeben plus unendlich also in dem Fall kriegen Sie bloß und endlich raus und für die Funktion eines durch x heißt das dieses integral von 0 bis 1 übereifrig X existiert nicht nein Stichwort Slicks existiert aber da wir 2 also sehen dass es wie die ich ja ist jetzt das ist der da Nuancen entscheidend ob diese Fläche da endlich wird oder unendlich groß und man sieht es dem
Zeug nicht sofort an und deswegen muss man
sehr genau rechnen also dieses integral existiert nicht zur gut an der Stelle wenn ich er sich überraschend weil ich ja immer so ganz bis zum Ende durch halte aber nicht denn ich kreuze entlassen am Wochenende am Samstag ist Konzert formuliere ich erst dann wenn Generalprobe und ich musste 17 51 nach Groß-Umstadt kriegen dementsprechend renne ich weg und danke für die Aufmerksamkeit und Wachheit der Stelle worden weiter er
Kreis
Faktorisierung
Punkt
Kalkül
Momentenproblem
Rollbewegung
Berechnung
Formation <Mathematik>
Termumformung
Richtung
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Unbestimmtes Integral
Substitution
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Endlichkeit
Exponent
Tabelle
Physikalischer Effekt
Fläche
Ruhmasse
Ähnlichkeitsgeometrie
Stetige Funktion
Hausdorff-Raum
Art 2
Biprodukt
Minor <Graphentheorie>
Zahl
Maßeinheit
Sinusfunktion
Konstante
Summe
Polynom
Umkehrfunktion
Stammfunktion
GERT
Betrag <Mathematik>
Rechenbuch
Bestimmtes Integral
Haar-Integral
Mathematische Größe
Algebraisch abgeschlossener Körper
Physik
Klasse <Mathematik>
Gruppenoperation
Auflösung <Mathematik>
Quadrat
Weg <Topologie>
Multiplikation
Variable
Algebraische Struktur
Logarithmus
Flächentheorie
Normalform
Integralrechnung
Inhalt <Mathematik>
Kosinusfunktion
Wald <Graphentheorie>
Gleichung
Gruppierung
Integral
Partielle Integration
Grenzwertberechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Uneigentliche Integrale
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 26
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35650
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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