präsentiert von Open Learnware, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann wünsche ich Ihnen einen herzlich willkommen heute zur Vorlesung und wir sind

mal wieder dabei mitten einzusteigen. Ich hatte Ihnen letztes Mal noch am Schluss die Rechenregeln für bestimmte Integrale hingeschrieben. Ich hatte letztes Mal begründet, warum das Integral eine interessante Größe ist. Also, es ist interessant, das Ding zu berechnen und

um Integrale von komplizierten Funktionen zu berechnen, ist es natürlich praktisch, Rechenregeln zu haben, die das vereinfachen. Jetzt ist es da nicht so schön wie beim differenzieren, dass man einfach für alles eine fertige Regel hat, sondern beim integrieren

hat man ein paar Regeln, aber die sind meistens eben von der Form, dass sie nur ein Integral in ein anderes Integral wandeln und deswegen ist Fingerspitzengefühl angesagt. Ich will jetzt gerade noch ein bisschen was zu den Regeln sagen und dann vor allem ein paar Beispiele rechnen, wo so ein paar Standardmethoden vorkommen.

Ich hatte letztes Mal schon die ersten zwei hier Linearität und partielle Integration vorgestellt. Linearität ist der wirklich schöne Fall. Also, wenn Sie eine Summe von zwei Funktionen haben oder noch eine Linearkombination,

das heißt eine Summe mit noch Konstanten davor, dann ist alles einfach. Dann kriegen Sie das Integral über die Summe, im Prinzip als Summe über die Integrale. Das heißt, wenn Sie die Stammfunktionen von f und g kennen, dann haben Sie sofort die für die

Summe. Wenn Sie natürlich schon von f die Stammfunktion nicht haben, dann nutzt einem die auch nur das, dass man wenigstens das ganze Problem in zwei Teilprobleme zerlegt hat, aber dann muss man eben immer noch die Stammfunktion von f bestimmen. Partielle Integration, zweite Regel, schon vom äußeren Augenschein offensichtlich,

dass die nicht das Integral komplett berechnet, sondern sie verwandelt ihn nur ein Integral links auf ein Integral rechts. Wenn man sich die beiden links und rechts anschaut, dann sieht man, was hier im Wesentlichen passiert ist, dass f und g die Rollen tauschen, während sie links die Stammfunktion von g und f selbst haben und rechts die Stammfunktion von f und g selbst. Das heißt, die Regel ist immer dann

gut, wenn durch diesen Tausch das Integral einfacher wird. So und jetzt kommt als drittes die Substitutionsregel und die hatten wir. All diese Regeln stammen ja ab von den entsprechenden Regeln für unbestimmte Integrale, den entsprechenden Regeln für

Stammfunktionen und damals hatten wir, damals hatten wir schon eine Substitutionsregel, Substitutionsregel hingeschrieben. Nee, so stimmt es auch nicht. Substitutions,

meine Güte. Zweiter Versuch, Substitutions. So, jetzt hingeschrieben. Die sah folgendermaßen

aus, also die Stammfunktion von f verkettet mit g, mit groß g, multipliziert mit klein g, die ist f verkettet mit g, also groß f verkettet mit groß g und c eine Konstante. Das war

die Substitutionsregel. Also wenn Sie ein Integral haben, das genau diese Form hat, Funktion verkettet mit einer zweiten und das Ganze multipliziert mit der Ableitung dieser inneren Funktion groß g, dann können Sie die Stammfunktion angeben. Das sieht erst mal nach einer schönen Regel aus, weil sie sagt, links steht ein Integral

rechts steht was Fertiges zum Ausrechnen, aber die Krux dabei ist, dass Sie, gut erstens die Stammfunktion von groß f, noch von klein f noch brauchen, aber die Hauptkrux ist, dass Sie das Integral erst mal in eine Form bringen müssen, die genauso aussieht wie links und das ist nicht immer ganz banal. So, jetzt leiten wir daraus erst mal, daraus

kann man sich erst mal sofort die Substitutionsregel für bestimmte Integrale hinschreiben, indem man links und rechts Grenzen dazuschreibt, also das Integral von a bis b von klein f von groß g von x multipliziert mit klein g von x, das ist groß f von groß g von x

in den Grenzen von a bis b. Das ist erst mal die Substitutionsregel, so wie man sie hinschreibt. So ist sie aber, ja so wird sie in seltensten Fällen verwendet. Deswegen will ich zu der Regel noch eine längere Bemerkung anschließen, nämlich

wie man die jetzt tatsächlich anwenden kann. Man kann diese Regel, man kann die jetzt

in zwei verschiedenen Weisen angucken. Also diese Regel kann man auf zwei Weisen lesen, also zwei Weisen, die man auch oft verwendet. Und die erste ist, also das Problem

noch mal, das grundsätzliche Problem ist, man hat überhaupt nicht so, normalerweise nicht so ein Integral dastehen über f verketten mit irgendwas multipliziert mit der Ableitung, sondern man hat halt ein Integral f von x dx dastehen. Und damit will man arbeiten

oder das will man rauskriegen. So, was nutzt uns also dann so ein Ausdruck von der Form f von groß g von x mal klein g von x dx und Substitution heißt ja schon, dass man ersetzt etwas, wenn da so viel Formel wusst ist und der einen

stört, dann setzen wir doch mal dieses groß g von x, das nennen wir einfach mal u. Was steht denn dann da? Zunächst mal nach der Substitutionsregel ist das groß

f von groß g von x in den Grenzen von a bis b. So, jetzt groß g haben wir gesagt ist u, das ist groß f von u in den Grenzen. Jetzt muss man natürlich aufpassen, das

u ist groß g von a bis groß g von b. In groß f können wir natürlich nicht a und b einsetzen. Das geht schon deswegen schief, weil im Servicefall a und b gar nicht im Definitionsbereich von f liegen, wenn es dumm läuft, sondern das f muss ja Bilder von g schlucken. Also das ist groß f von u in den Grenzen von g von a bis g von

b. So, aber das können wir jetzt wieder das Integral schreiben, das ist das Integral von g von a bis g von b, klein f von u du. So, und was man eine Methode sozusagen

solche Integrale zu lösen ist jetzt die folgende, also betrachte ich jetzt das erste und das letzte. Was man jetzt gemacht hat ist, wenn man Integral hat von der Form,

dann hat man in diesem Integral substituiert groß g gegen u und rausgekriegt was passiert wenn man groß g gegen u substituiert, dann wird die Welt schön, dann muss man

nur noch in Anführungszeichen die Stammfunktion von klein f rauskriegen und dieses Integral da hinten lösen. Also was man hier tut ist formal, also wenn man mal das erste Integral und das letzte vergleicht, was passiert hier formal? Man ersetzt g von

x durch u und man ersetzt diesen Ausdruck klein g von x dx, den ersetzt man durch du. Klein g von x dx ist groß g Strich von x dx, das wird auch häufiger mal kurz

so geschrieben oder einfach andersherum, man ersetzt das dx durch du geteilt durch g Strich von x. So, das ist die eine Sichtweise, die ist die die man verwenden kann, wenn

man ein Integral hat, das einigermaßen eine Bauart hat, die diesem Teil hier ähnelt, also f von irgendwas multipliziert mit irgendwas was so aus wie die Ableitung von dem Innen drin, dann kann man auf die Weise rangehen und ich möchte jetzt diese

Formel noch ein bisschen weiter kneten, das führt dann auf die zweite Sichtweise, also zweite Sichtweise, wenn ich jetzt zufällig noch weiß, dass meine Funktion groß g, nicht nur irgendeine Funktion ist, sondern eine umkehrbare Funktion, also wenn groß

g umkehrbar ist, also, biektiv es gibt eine Umkehrfunktion, dann können wir in dem, was wir gerade gemacht haben, setzen sie mal für den Moment beta als groß g von

b und alpha als groß g von a. So, was haben wir dann da oben stehen? Jetzt wird das mit dem abpinseln doof. Also, groß g von a bis groß g von b f von u du, das ist mit

dem alpha und beta das Integral von alpha bis beta f von u du und das ist, sehe oben, das

Integral oder sehe nicht mehr oben, das Integral von a bis b f von groß g von x g von x dx und jetzt

kann ich ja a und b wieder mit alpha und beta ausdrücken. Beta ist g von b und alpha ist g von a, das g ist umkehrbar, also ist das g hoch minus eins von alpha bis g hoch minus eins von beta f von groß g von x mal klein g von x dx. So, und jetzt lassen sie mich die ungewohnten

alpha und betas wieder ersetzen. Also, jetzt kommt eine Umbenahmsung. Das, was vorher x war,

wird u und das, was vorher u war, wird x und das, was vorher alpha war, wird a und das, was vorher beta war, wird b. Einfach nur Ersetzung der Buchstaben, sonst passiert nichts. a bis b f von x dx ist gleich und da hinten steht g hoch minus eins von a bis g hoch

minus eins von b f von groß g von u mal klein g von u du. Also, ich habe wirklich nur überall, wo ein x stand, ein u hingeschrieben. Ich habe mir ein x für ein u vorgemacht und ein u für ein x. Also, hier ist nicht viel passiert, sondern ich habe überall, wo x war, ein u hingemacht und da, wo ein u war, ein x hingemacht. So, jetzt hat man es aber so, wie es

normalerweise dasteht. Ja, Umbenahmsung. Ein absolut nicht existentes Wort, Umbenennung, wenn sie es haben wollen. Ja, also was passiert ist, ich habe aus dem x ein u gemacht, aus dem

u ein x, aus dem alpha ein beta, Quatsch, aus dem alpha ein a und aus dem beta ein b. Eine Umbenahmsung. So, und das ist jetzt die zweite Methode, wie man eine Substitution oft

anwendet, jetzt von links nach rechts gelesen. Sie haben tatsächlich irgendein Integral a bis b f von x dx und das ist störrisch und kriegen es nicht gelöst. Und dann können Sie, wenn

Sie eine Funktion groß g haben, eine geschickt gewählte x gleich groß g von u setzen. Das g muss biaktiv sein, damit sie invertieren können und dann können Sie das Integral über klein f so schreiben wie rechts. Dann wird jeder sagen, warum sollte ich das rechts, das ist doch viel komplizierter. Dann sage ich, das kommt sehr drauf an. Das kann sehr gut

sein, dass das rechts, auch wenn es viel mehr Buchstaben enthält, viel leichter auszurechnen ist, als das links. Und die Frage, jetzt kommt natürlich die Frage, welche Funktion groß g soll ich denn dann nehmen und dann sage ich auch, die mit der es tut. Die, die funktioniert

und das ist das Problem an der Substitutionsregel, die ist keine Regel, wie sage ich jetzt mal die Produktregel beim Ableiten, wo klar ist, Funktion gegeben, so muss ich ableiten, dann kommt was raus, sondern die ist ein, sagen wir mal, ein etwas unscharfes Werkzeug. Das kann man ansetzen und probieren, ob es tut und manchmal tut es nicht. Und dann kann man mit einer

anderen Substitutionsfunktion probieren und manchmal kommt plötzlich was raus und manchmal wird alles nur komplizierter. Und mit der umzugehen, mit der meisterhaft umzugehen ist eine echte Kunst und die lässt sich nur einfach durch trainieren, üben und einen Blickschul lernen und nicht, da gibt es nicht den fertigen Algorithmus, wo

man sagen kann, so muss man es machen und dann klappt es. Gut. Wenn wir ähnlich wie oben jetzt noch hier die Ersetzung uns anschauen, was ist passiert? Man hat x durch g von u ersetzt. Also hier, was hier substituiert ist, ist x wird ersetzt durch

g von u und das dx wird ersetzt durch g Strich von u du. Das klein g ist ja das g Strich. So, jetzt habe ich dazu ganz viel geredet. Jetzt machen wir das als Beispiel.

Also hier auf der Folie sind auch nochmal die beiden Formeln drauf. Substitution sozusagen erster Art links, Substitution von der zweiten Art rechts. Und wie gesagt, wann man welche verwendet, liegt dran, wie das Problem geartet ist, wie das Integral

aussieht und welche zum Ziel führt. Die erste ist eher sowas für Integrale in Produktstruktur mit irgendwie was und die zweite startet mit einem Integral f, bei dem ist das Problem, sich zu überlegen, was ist das richtige g. Und bei der

ersten steht das g manchmal schon drin. Da kann man versuchen, die, die, es gibt so ein paar Kandidaten, die sich anbieten, können wir gleich diskutieren. So, gut,

also machen wir Beispiele. Beispiele 2, 10 und weil ich jetzt gerade so viel über die Substitution geredet habe, will ich damit auch anfangen. Also zunächst mal ein Beispiel für so eine Substitution erster Art, also die Formel, die hier

links steht. Typisches Beispiel dafür ist ein Integral, das eben freundlicherweise schon in der Form da steht, wie man es braucht. Also Integral x mal Cosinus x² dx. Das wäre ein klassisches Fall für eine Substitution. Warum? Weil das

Integral im Wesentlichen die Form hat, wie hier im linken Fall. Natürlich ein bisschen doof hingeschrieben. Schreiben Sie mal das x als zweiten Faktor hin, also Cosinus x² mal x. Dann können Sie klein f den Cosinus nehmen, groß g das x². Und wenn Sie groß g x² nehmen, ist klein g 2 mal x.

Die 2 ist nicht da, aber zumindest das x. Also wir sind schon nah dran. So, was man hier also substituiert, ist nach Formel erster Art, wir setzen u gleich groß g von x gleich x². Dann kriegen wir nach der Substitutionsregel

Integral 0 bis 2 x mal Cosinus x² dx. Das ist jetzt noch nicht genau so, wie es da steht. Wir brauchen eben, dass die Funktion klein g, genau die

Ableitung von dem Innen drin ist. Also produzieren wir uns das, dass dasselbe wie ein Halb mal das Integral von 0 bis 2 Cosinus von x² mal 2x dx. Also ich habe jetzt nur einen Halb und einen 2 dazugemacht, die multiplizieren sich zu 1 weg und die einen Halb kann man wegen Linearität

vor das Integral ziehen. So, und jetzt haben Sie genau die Form, das ist jetzt Integral klein f von groß g mal klein g. Klein f ist der Cosinus, groß g ist x², klein g ist 2x. Und dann sagt Ihnen die Substitutionsregel, so wie

sie da steht, dass das dasselbe ist wie ein Halb. Integral von g von 0 bis g von 2 über den Cosinus von u du. Das ist die rechte Seite hier. Integral g von a bis g von b, klein f von u du. So, jetzt brauchen Sie nur noch die

Stammfunktion von Cosinus. Dadurch ist das Integral an der Stelle jetzt einfacher geworden. Das ist eine schöne Substitution. Das ist ein einfacheres Integral. Also ein Halb. Integral g von 0, groß g ist quadriert. Also 0 quadriert ist immer noch 0, 2 quadriert ist 4. Cosinus

von u du. Stammfunktion von Cosinus ist der Sinus. Also das ist ein Halb mal Sinus von u in den Grenzen von 0 bis 4. Und das ist ein Halb mal Sinus von 4 minus ein Halb mal Sinus von 0. Aber Sinus von 0 ist

0. Also ein Halb mal Sinus von 4. Sinus von 4 ist irgendeine Zahl. Da kümmere ich mich nicht weiter drum. So, das ist Anwendung der

Substitutionsregel in Reinkultur. Wenn Sie jetzt genauer gucken, wenn die Substitutionsregel verwendet wird, schreibt Ihnen das geile Sau so hin. Und was normalerweise gemacht wird, ist die folgende. Also ich mache mir nochmal genau das gleiche. Jetzt kommt aber schon wieder ein erfundenes Wort, Entschuldigung. Die gleiche Rechnung in der

üblichen, normalerweise verwendeten, kürzeren Schlamperrechnung. Ich versuche es besonders deutlich zu schreiben. Also wie würde man das wirklich aufschreiben? Und dass das geht, das zeigt eben was für ein

schönes Kalkül die Substitution ist. Normalerweise würde man das so hinschreiben. Also Integral von 0 bis 2. x mal Cosinus von x² dx. Jetzt substituieren wir, wenn man irgendwie sieht, da draußen steht so es ähnlich ist wie die Ableitung von dem Inneren.

Dieses Integral schreit, wenn man ein bisschen Übung mit dem Zeug hat, dann schreit dieses Integral geradezu nach der Substitution u gleich x². Also was man da, man könnte hier natürlich auch versuchen zu substituieren u gleich Cosinus von x² oder ist alles möglich.

In diesem Fall landet man halt dann auf einem noch komplizierteren Integral. Aber dieses schreit geradezu danach. Gut, wenn u gleich x² ist, so und jetzt kommt der Schlamperrechnungsanteil. Was ist denn dann, wenn ich das u nach dem x differenziere? Wenn ich das u nach

dem x differenziere, also die Ableitung von dem u, die ist dann 2 mal x mal die Ableitung von dem x. Und da steht schon alles, was ich brauche. Ich muss das dx ersetzen durch, also das du ist

2 mal x dx. Ich habe hier schon ein x dx. Also ist das hier gleich Integral von, jetzt muss ich aufpassen, u ist x². Wenn ich ein Integral über du haben will, dann habe ich hier ein

Integral von 0 bis 4, wie oben. Und das x, das 2x dx ersetzt sich durch du, also wird aus x dx ein halbes du, ist ein halbes Cosinus von u du. Und dann bin ich genau im gleichen Fahrwasser wie vorhin. Das ist ein halb mal der Sinus von u in den

Grenzen von 0 bis 4. Und das gibt natürlich genau das gleiche, nämlich ein halbes Sinus 4. Das ist das, was man üblicherweise lesen wird. Und der Teil hier drüben, der ist natürlich so ein bisschen, das ist der Teil, wie es halbschlammberechnung

heißt, aber der funktioniert einwandfrei. Gut, dann haben wir noch eine Substitution zweiter Art. Und dazu habe ich Ihnen

folgendes Beispiel mitgebracht. So, Substitution zweiter Art ist eine, wo man von so einem Integral startet, wo man nicht so recht weiß, was man substituieren soll. Integral 0

bis 1, 1 minus x² dx. Wenn man das Integral sieht, dann fragt man sich, was soll ich jetzt machen? Linear ist da nichts, also an der Summe auseinander ziehen ist nicht. Partielle Integration, ist kein Produkt da, Substitution, okay. Und

dann fängt man an, man könnte mal substituieren, u ist x². Dann kann man substituieren, u ist 1 minus x². Führt alles zu nichts. Vielleicht kann ich ja damit, aus Dingen, die nicht klappen, erkennt man ja auch was. Ich kann Ihnen mal vorrechnen. Also ein Versuch, wir versuchen mal so

wie oben, substituiere u ist x². Was passiert dann? Also wie oben, dann ist du gleich 2x dx. Und wir bekämen was? Wir bekämen ein Integral von, wenn x0 ist, dann ist u0.

Wenn x1 ist, ist es u1. Also die Grenzen wären hier auch 0 bis 1. Das ist aber Zufall oder liegt genau an der Substitution. Also die Grenzen muss man im Zweifelsfall ändern. Und hier innen würde stehen Wurzeln aus 1 minus u, soweit so einfach. So und jetzt kommt das

Problem. Jetzt müssen wir nämlich das dx ersetzen durch du durch 2x. Und das ist schon mal schwierig, weil 2x, das Integral muss ja hinterher 1 in u sein. Also das wird dann auch oft hingeschrieben, aber das

ist eigentlich sowieso kein Fisch und nicht Fleisch, weil jetzt stehen da us und x. Also das x muss da noch weg. Jetzt könnte man noch sagen, okay, wenn ich u habe, habe ich ja, also u, ich kann ja auch x durch u ausdrücken. Also u gleich x², dann weiß ich, dann ist x Wurzel u. Also könnten Sie hier

über das x da unten noch Wurzel u schreiben. So jetzt ist das hier wenigstens wieder ein mathematisch sinnvoller Ausdruck. Aber die Frage ist, ist das jetzt wirklich einfacheres Integral? Integral von 0 bis 1 ein halb Wurzel 1 minus u durch u.

Fällt mir jetzt auch nicht sofort was ein. Also man hat den Vorteil, man ist das quadratlos, aber dafür hat man sich den doofen Nenner mit dem u eingehandelt. Abgesehen davon, dass man sich auch noch ein uneiniges Integral eingehandelt. Ach so,

das war es. Nee, also furchtbar. Ja, also im Prinzip, das, was jetzt da steht, macht schon gar keinen Sinn, weil für u gegen 0 oder für u gleich 0 explodiert Ihnen das auch noch. Also unschön. Aber nicht falsch. Also das, was da steht, ist alles schon richtig, aber Sie kommen

damit auch nicht weiter. So eben, das, was wir gerade versucht haben, war eine Substitution erster Art und die Substitution zweiter Art sind seltener, trägreicher, aber manchmal die absolute Rettung. Und die sind meistens so wie hier eher überraschend auf den

ersten Blick und auf den zweiten Blick, wenn man ein bisschen Erfahrung hat, sagt man klar, muss so sein. Ich sage Ihnen, was wir substituieren und dann dürfen Sie erst überrascht sein, dann erkläre ich Ihnen, warum. Wir substituieren umgekehrt, x ist gleich Sinus von u. Warum Sinus? Hier ist überhaupt kein Sinus. Ja, warum Sinus? Weil, wenn Sie mal so im Geiste

x gleich Sinus setzen, was steht denn da? Dann steht dann da 1 minus Sinus Quadrat. Kosinus Quadrat sogar. Ja, genau. 1 minus Sinus Quadrat ist Kosinus Quadrat. Und dann steht da auch noch eine Wurzel drüber. Wurzel aus Kosinus Quadrat. Ja, umso schöner kommt wieder

nur Kosinus raus. Also Betrag oder so, aber egal. Integral über Kosinus können wir. Also die Idee dahinter steckt, die dahinter steckt ist, wenn ich das x im Geiste durch Sinus ersetze, dann vereinfacht sich der Ausdruck so, dass er auseinanderfällt. Aber das

muss man natürlich sehen, gebe ich zu. Aber das ist die Idee dahinter. Deswegen sage ich, diese Substitutionen zweiter Art sind meistens irgendwie Scheinen aus dem Licht zu kommen, haben aber meistens so eine Begründung, dass, wenn man dann sie einsetzt, man sieht, ah, jetzt plötzlich legt es sich der Nebel. So

und jetzt rechnen wir das auch noch so hin und sehen, dass das passt. So, was müssen wir tun? Schlamperrechnung. Was passiert, wenn Sie jetzt dieses x nach dem u differenzieren? dx ist ein Kosinus von u du. Ableitung um

Sinus ist Kosinus. Was passiert mit den Grenzen? Und das ist die Stelle, wo man bei der Substitution zweiter Art höllisch aufpassen muss, weil jetzt, um die Grenzen zu substituieren, müssen Sie die Funktion umkehren. Das merkt man jetzt, wenn man

wenn man sich überlegt, was die Grenzen sind, was entspricht, welchem u entspricht das, wenn x 0 ist? Wenn x 0 ist, dann brauchen Sie ein u, für das der Sinus 0 ist. Das ist 0. Und wenn x 1 ist, dann brauchen Sie ein u, für das der Sinus 1 ist.

Das wäre zum Beispiel pi halbe. Und an der Stelle ist es eben wichtig, dass die Funktion Sinus auf dem Intervall 0 pi halbe eine umkehrbare Funktion ist. Weil sonst geht die ganze Rechnung schief und sonst haben Sie auch diese Beziehung

hier zwischen x und u nicht. Also bei dieser Aktion x gleich 0, dann muss u gleich 0 sein, habe ich im Kopf den Sinus invertiert. Also wenn das u ist sozusagen der Arcosinus von x und Arcosinus von 0 ist 0 und Arcosinus von 1 ist pi halbe. Und wenn Sie das an der

Stelle machen mit einer Funktion, die nicht invertierbar ist, dann ist das was rauskommt Käse. So, aber beim Sinus zwischen 0 und pi halbe klappt das. Der hat eine schöne Umkehrfunktion, den Arcosinus. Also an der Stelle sei bemerkt, das was wir hier machen

ist akzeptabel, weil der Sinus auf dem Intervall 0 pi umkehrbar ist. Das muss bei Substitutionsweiter Art immer mit berücksichtigt werden, sonst ist das im

Service Fall falsch. Das geht im Eifer des Gefechts manchmal unter. Spätestens dann, wenn Sie irgendeinen Integral substituieren und hinterher haben Sie plötzlich in den Grenzen von 0 bis 0, dann sollten Sie langsam herhörig werden und sich fragen, was ist hier gerade schief gelaufen. Also zumindest wenn es nicht vorher ein

Integral von 2 bis 2 war. Nur wenn es ein Integral von 2 bis 2 war, dann haben Sie hoffentlich nicht substituiert, sondern gleich gleich 0 hingeschrieben. Aber das passiert man mal so im Eifer des Gefechts, dass man stundenlang substituiert und plötzlich gehen die Grenzen von 0 bis 0 und dann ist normalerweise das passiert, dass man so substituiert hat und die Funktion war nicht invertierbar. Gut, jetzt haben wir alles, was

wir brauchen. Können wir hinschreiben, was passiert. Also was wir ausrechnen wollten, war das Integral von 0 bis 1, Wurzel 1 minus x Quadrat dx. Setzen wir die Substitution ein, wenn man uns überlegt, wie die Grenzen substituieren, x gleich 0 wird

zu u gleich 0 und x gleich 1 wird zu u gleich pi halbe. Also Integral von 0 bis pi halbe über Wurzel 1 minus, das x ist Sinus von u, also 1 minus Sinus Quadrat u, Wurzel drüber. Jetzt müssen wir das dx ersetzen. Geht getreue obiger

Gleichung, dx ist Kosinus von u du und jetzt können Sie wieder sagen, was hat der Mensch jetzt so schlau daher geredet. Das Integral wird doch komplizierter. Stimmt, aber ich werde Ihnen zeigen, nicht unlösbar. So, also was haben wir denn jetzt da stehen? Integral 0 bis pi halbe, Wurzel

aus dem Kosinus Quadrat von u. Das war die Überlegung von Fein. So sind Sinus Quadrat plus Kosinus Quadrat ist 1. Trigonometrische Pythagoras, also ist 1 minus Sinus Quadrat der Kosinus Quadrat. So und hinten bleibt noch der Kosinus von u stehen. So, jetzt kann man an

der Stelle ein, zwei Fuß angeln. Müssen wir noch umschiffen. Integral von 0 bis pi halbe. Eine Sache, die ich glaube ich auch schon ein zweimal gesagt habe, was man aufpassen muss. Wurzel vom Quadrat ist nicht nicht, sondern ist ein Betrag. Also Wurzel vom Quadrat ist Betrag Kosinus von u du. Kosinus von

u und mal Kosinus von u du. Also vorsichtig beim Auflösen, beim Wegfallen lassen von Quadrat gegen Wurzel. Das Quadrat von der Wurzel, das ist Quadrat von der Wurzel x ist x, aber die Wurzel vom Quadrat von x, die ist Betrag x. Aber das ist hier nur

ein Scheinproblem, weil was ist zwischen 0 und pi halbe. Zwischen 0 und pi halbe ist der Kosinus positiv. Das heißt dieser Betrag ist da, aber ist andererseits auch nicht da. Also das ist Integral 0 bis pi halbe. Kosinus Quadrat von u da Kosinus von u größer

0 auf dem Intervall 0 größer gleich 0 auf dem Intervall 0 pi halbe. So also haben wir unser Integral mühsam runter gekämpft auf das Integral von 0 bis pi halbe Kosinus Quadrat

von u und stehen erstmal wieder etwas ratlos da. Erste Möglichkeit man schnappt sich eine Integraltabelle und guckt nach was die Stammfunktion vom Kosinus Quadrat ist. Völlig legitime Methode. Mir leider in

der Vorlesung gerade nicht möglich, weil ich meine Integraltabelle nicht da habe. Also basteln wir daraus das nächste Beispiel. Nein, das übernächste Beispiel. Und dann rechne ich Ihnen vor, wie man das Ding auch noch ausrechnen kann. Das wird dann gleich ein

Beispiel für partielle Integration sein. Allerdings ein recht, sagen wir mal, ungewöhnliches und deswegen würde ich gern vorher ein gewöhnliches Beispiel für partielle Integration vorschieben. Also erstmal ein Standardbeispiel partielle Integration und danach machen

wir uns an den Kosinus Quadrat. So, partielle Integration. Wenn Sie die Formel angucken, immer irgendwelche Produkte.

Also was ich jetzt klein hauen will, ist das Integral von 0 bis 1 x mal e hoch 2x dx. Wenn da stehen würde x mal e hoch x Quadrat. Das hatte ich Ihnen glaube ich letztes Mal vorgerechnet

bei den unbestimmten Integralen. Da habe ich Substitutionen verwendet. Ja, klar, wenn da e hoch x Quadrat steht, dann ist das wieder von der Form, Funktion, e Funktion von irgendwas und das, was vorne steht, ist im Wesentlichen die Abgleitung von dem, was oben steht. Das schreit nach Substitution. Erster Arg. Die

Form haben Sie hier nicht. Das 2x statt dem x Quadrat macht schon wieder alles anders. Und in dem Fall ist es jetzt geschickt, der partielle Integration zu verwenden. Warum? Weil wenn Sie partielle Integration verwenden, hatte ich vorhin gesagt, dass was im Wesentlichen passiert ist,

dass die beiden Funktionen die Rolle tauschen. Also die eine wird abgeleitet und die andere wird integriert. Also die eine wird abgeleitet und die andere, von anderen nehmen Sie die Stammfunktion. Und wenn Sie sich hier anschauen, die Funktion x, die die leitet man gerne ab, weil dann ist sie weg. Und

die Funktion e hoch 2x lässt sich problemlos, davon lässt sich problemlos die Stammfunktion angeben. Also ein schöner Fall für eine partielle Integration. Und zwar eine partielle Integration in der Weise, dass wir das x ableiten. Das heißt, das x nehmen wir als groß g und das e hoch 2x integrieren,

aufleiten, wie es auch manchmal heißt. Und das nehmen wir als f. Dann sind wir im Fahrwasser hier von der Regel f mal groß g. Und dann können wir jetzt einfach die Regel abpinnen. Was sagt die uns? Wir müssen f mal groß g nehmen. Also die Stammfunktion von dem f, Stammfunktion von e hoch 2x, ist

ein halb e hoch 2x. Warum? Leiten Sie es ab. Ein halb e hoch 2x abgeleitet, gibt einen halb mal 2 mal e hoch 2x, ist e hoch 2x. So, das multipliziert mit groß g. Da tut sich nicht viel. Groß g kennen wir.

Das ist x in den Grenzen von 0 bis 1. Minus das Integral in den gleichen Grenzen von 0 bis 1 jetzt getauscht. Also jetzt groß f mal klein g. Also müssen das klein f wieder integrieren. Davon die Stammfunktion bilden. Das haben wir gerade schon gemacht.

Diesen halb e hoch 2x. Und wir müssen das groß g ableiten. Und das x abgeleitet, gibt eben freundlicherweise mal 1 dx. So, jetzt kann man mal diesen vorderen Teil schon mal einsetzen. Ein halb e hoch 2x mal x zwischen 0 und 1. Setzen Sie 1 ein.

Kriegen Sie ein halb e Quadrat mal 1. Minus das Ding an der Stelle 0. Aber wenn Sie da x gleich 0 setzen, dann haben Sie diesen Faktor mal 0. Das heißt, da fällt der fest weg. Also minus 0. Minus. Und jetzt haben Sie hier hinten ein Integral über ein halb e

hoch 2x. Das ist ein halbmals Integral über e hoch 2x. Die Stammfunktion ist also ein viertel e hoch 2x. Ein viertel e hoch 2x in den Grenzen von 0 bis 1. Das hier ist ein halb e Quadrat. Minus. Jetzt müssen wir erst 1 einsetzen. Ein viertel e

Quadrat plus 0 einsetzen. Ein viertel e hoch 0. Also ein viertel mal 1. So und was dann übrig bleibt, ist ein halbes e Quadrat minus ein viertel e Quadrat ist

ein viertel e Quadrat plus ein viertel oder noch ein bisschen schöner aufgeräumt ein viertel mal e Quadrat plus 1. Und da haben wir schon den Wert des Integrals. So, also das ist eine ganz typische Anwendung von spezielle Integration. Wenn

man sowas hat, Funktionen, die man gut integrieren kann, mal Polynomen, mal kleines Polynomen, dann lohnt es sich speziell zu integrieren, dann verschwindet das zum Beispiel hier das x gleich und das e hoch 2x lässt sich leicht integrieren und dann ist gut. Das ist eine ganz typische Anwendung. So,

jetzt hatte ich Ihnen versprochen, mit der spezielle Integration können wir auch unser Cosinus-Quadrat-Problem lösen. Also machen wir das. Noch ein zweites Beispiel zur speziellen Integration. Und gleichzeitig eine Warnung. Man darf es mit der speziellen Integration

nicht zu weit treiben. Oder also manchmal zumindest. Also unser Integral war von 0 bis pi halbe Cosinus-Quadrat von u du. Das war das, was vorhin im Beispiel b übrig geblieben war. Dieser Effekt ist übrigens auch typisch

für die Integriererei. Wie gesagt, diese ganzen Regeln führen einen immer nur Integrale auf andere Integrale zurück. Es kommt also sehr oft vor, dass man sozusagen Kettenanwendungen hat, dass man substituiert und nochmal substituiert, dann partiell integriert und dann am Schluss irgendwas rauskriegt. Das ist nicht ungewöhnlich.

So, wir wollen jetzt hier partiell integrieren. Dazu brauchen wir erstmal ein Produkt. Im Prinzip steht da eins, aber machen wir es mal klarer, wo es steht, das ist Cosinus von u mal Cosinus von u. So, in dem Fall ist es zumindest nicht schwer sich zu entscheiden, was man

als Groß g und was man als kleinen f nimmt. Gut, dann setzen wir mal ein. Was passiert, wenn wir jetzt die Formel nehmen? Wir brauchen zunächst Groß f mal Groß g. Groß g haben wir schon. F ist Cosinus

u. Was ist die Stammfunktion von Cosinus? Stammfunktion von Cosinus ist der Sinus. Also hier bleibt übrig Cosinus von u mal Sinus von u in den Grenzen von 0 bis pi halbe. Minus ist integral von 0 bis pi halbe. Und jetzt umgekehrt, klein g mal

Groß f. Klein g mal Groß f. Das heißt, wir müssen zunächst den Cosinus ableiten. Der Cosinus abgeleitet gibt Minus Sinus von u mal den Cosinus ist klein f, dessen Stammfunktion ist der

Sinus. Also mal Sinus von u. Das ist Groß f. So, das war Anwendung der Formel parzelle Integration. Dann schauen wir noch mal, was wir gewonnen haben oder ob wir was gewonnen haben. Das ist immer der spannende Moment. Der erste Teil zumindest ist

schon mal bringt einen nicht wahnsinnig weit. Cosinus von pi halbe ist 0. Mal Sinus von pi halbe ist 1. Minus Cosinus von 0 ist 1. Mal Sinus von 0 ist 0. Also der vordere Teil ist mal 0. Gut, aber haben wir noch den hinteren. Was steht da? Da steht es integral von 0 bis pi

halbe. Sinus Quadrat von u du. Das ist nicht negativ. Ja, ja, das sind zwei Minus Zeichen. Die machen zusammen ein Plus Zeichen. So, was haben wir gewonnen? Also wir haben, dass das integral über ein

Cosinus Quadrat gleich das integral über ein Sinus Quadrat ist. Also von 0 bis pi halbe gerechnet natürlich. Ich will jetzt nicht behaupten, dass die beiden dieselbe Stammfunktion haben. Ja, damit haben wir das die Schwierigkeit des Problems genau 0 Prozent reduziert. Und

man könnte jetzt jetzt gibt es drei Möglichkeiten. Die erste ist zu sagen, so tut es halt gar nicht und aufzugeben. Die zweite ist so richtig vorher gefangen zu haben und dann zu sagen, wir machen einfach weiter. Ja, ich meine, es ist jetzt das gleiche wie vorher. Also können wir die gleiche Idee

anwenden und das wieder sehen als Sinus mal Sinus und nochmal partiell integrieren. Also gleichen Trick nochmal.

Das kann man machen. Ich mag es jetzt nicht alles nochmal vorrechnen, aber ich kann Ihnen verraten, was passiert. Sie rechnen und rechnen, machen nochmal das gleiche und was Sie dann rauskriegen ist, dass das das gleiche ist wie das integral von 0 bis pi halbe Cosinus Quadrat

von u du. Das ist einerseits schön, weil es bedeutet, Sie haben sich auf dem ganzen Weg nicht verrechnet. Aber es ist andererseits nicht besonders befriedigend, weil das ist keine besonders überraschende Gleichung. Es nutzt nichts. Also das läuft

im Kreis immerhin. Man hat sich nicht verrechnet. Gutes Zeichen, aber bringt einen nicht weiter. Und jetzt brauchen wir also die dritte Möglichkeit und dies an der Stelle nochmal ein weiteres Wissen über die beteiligten Funktionen einzubringen. Da oben

jetzt gerade noch was wir haben wollten, ist dieses integral über ein Cosinus Quadrat. Wir haben das gebracht auf den Sinus Quadrat und was man jetzt versucht, ist auf der rechten Seite das integral von der linken Seite sich

nochmals nochmal zu bauen. Und das macht man, indem man jetzt verwendet, dass dieser Sinus Quadrat eins minus Cosinus Quadrat ist. Also setzen Sie ein. Sinus Quadrat von u, was wir vorhin auch schon hatten, ist eins minus Cosinus Quadrat von u. Verwenden wir das nochmal, dann

kriegen wir, dann kriegen wir raus. Also wir hatten unser Ausgangsintegral 0 bis Pi halbe Cosinus Quadrat von u, da du. Wir hatten oben mit partielle Integration nachgerechnet. Das ist gleich dem selben Integral über den

Sinus Quadrat von u du. Jetzt ersetzen Sie Sinus Quadrat durch eins minus Cosinus Quadrat. Und dann passiert gleich was wunderschönes. Jetzt können wir erstmal die Linearität vom

Integral ausnutzen. Das ist das Integral von 0 bis Pi halbe über eins du. Das zumindest ist mal ein Anteil, den kriegen wir gleich hin. Minus Integral von 0 bis Pi halbe über Cosinus Quadrat von u du.

Und jetzt könnte man wieder sagen, ja, schon vom fünften Mal im Kreis gedreht, jetzt hat er wieder ausgesagt, wir können das Integral von Cosinus Quadrat ausrechnen, wenn wir das Integral über Cosinus Quadrat können. Super! Können wir aber nicht, und wie soll man es dann lösen? Und jetzt ist es wichtig, die Gleichung als Ganze anzuschauen. Was steht denn da? Schnirps, den ich

wissen will, ist irgendwas minus Schnirps, den ich wissen will. Wie lösen Sie die Gleichung x ist irgendwas minus x? Naja, Sie bringen das x mal auf die andere Seite, oder? Also wenn ich jetzt nicht diesen Riesenausdruck da hätte, sondern nur ein x, dann hätte jeder von Ihnen das in einer halben Sekunde gelöst. Aber da steht der Riesenausdruck, aber der ist ja auch nur irgendwas Unbekanntes.

Also bringen wir das mal auf die andere Seite rüber. Also addieren Sie auf der Gleichung überall das Integral über Cosinus Quadrat drauf, dann kriegen Sie zweimal das Integral von 0 bis Pi halbe Cosinus Quadrat von u, ist gleich das Integral von 0 bis Pi halbe über 1 du. Naja, und das

kriegen wir hin, ja. Konstante Funktion 1 von 0 bis Pi halbe integriert ist Pi halbe. Ja, und jetzt, das können wir jetzt auch noch auflösen. Das Integral von 0 bis Pi halbe über Cosinus Quadrat von u, ist Pi halbe durch 2, also Pi viertel.

Das ist so ein bisschen von hinten durch die Brust ins Auge, aber es tut gut und es ist ein absolut Standard-Trick, wenn Sie Quadrate von so trigonometrischen Zeug haben. Also das Gleiche können Sie mit dem Sinus Quadrat machen. Oder auch mit höheren

Potenzen, dann wird es hässlicher, aber die Idee ist immer die gleiche. Gut, so ein bisschen, ja, jetzt soll das als Abschlussbeispiel für diese Integriererei, also

für die Integralrechen Regeln stehen bleiben, hier war ziemlich viel drin. Also in der Bestimmung dieses Integrals steckt am Anfang eine Substitution, dann haben wir partiell integriert, dann haben wir einmal zu viel partiell integriert, dann sind wir wieder rückwärts gerudet und dann haben wir nochmal Sinus Quadrat als 1-Cosmos Quadrat eingesetzt und dann hat

sich es irgendwann in Wohlgefallen aufgelöst. Gut, ich kann Ihnen an dieser Stelle nur ganz punktuell ein paar Beispiele zeigen. Das Problem an der Integriererei ist, wie gesagt, dass es nicht wirklich die

Lösungsmethode gibt, die immer zieht, sondern dass man ein bisschen probieren, ein bisschen kreativ sein muss und das lernt man nur durch viel tun. Das muss man einfach machen. Sie kriegen auf dem Übungsblatt wieder einen ganzen Stapel von Integrieraufgaben. Zur

Zeit gibt es ja keine Hausübung mehr, es sind nur noch Gruppenübungen. Sie werden feststellen, das Blatt ist trotzdem voll mit allen möglichen Aufgaben und keiner erwartet von Ihnen, dass Sie die alle Aufgaben in den 90 Minuten der Gruppenübung durchhauen, sondern das ist eben dafür gedacht, dass Sie genug Material haben, also zum einen für die Gruppenübung, aber auch sonst, um, wenn Sie das Gefühl haben, Sie sind da noch nicht

firm und schnell genug. Ja, es hat mit nichts mit schnell, sondern kreativ genug sich dann noch weitere Substitutionen und partielle Integration anschauen zu können. Gut ist, das kann ich auch sagen, es ist alles nicht mehr so wild, wie es war.

Ja, also noch Ihre Großeltern Generation würde ich mal sagen hat, wenn die irgendwie was studiert haben in die Richtung Ingenieurphysik oder sonst was, dann haben die richtig integrieren gepaugt. Ja, das war noch klar, weil in den 60ern war nichts mit recht, war nicht so viel mit Rechner.

Und Moment, 60, um das hin? Ja, so ungefähr. Sowas. Da war nicht so viel mit Rechnern. Da hat man noch viel von Hand gemacht, mit Tabellen, mit Tafeln. Und da musste man Unmengen Zeug integrieren, wo man heute sagt, um Himmels Willen, fasse ich erst gar nicht an, komm, wo ist der Rechner

da rein, sag mir, was ungefähr rauskommt, mehr will ich nicht wissen. Völlig klar. Deswegen hat es heute nicht mehr den Stellenwert, wie damals. Und es geht mir auch so, wenn, wenn, wenn ich meinem, einen Onkel, der hat Physik studiert, wenn ich mit dem Wert integriere, dann, aber gut Nacht,

dann hat er das Integral dreimal durchsubstituiert, bevor ich es hingeschrieben hab. Also, das ist eine ganz andere, eine ganz andere Herangehensweise an diese, an diese Thematik. Trotzdem muss man natürlich, sagen wir mal, die Grundfertigkeiten im Finger haben,

um zu wissen, was tut jetzt so ein Computer-Algebra-System oder was tut so ein Rechner mit diesen Integralen? Oder was auch oft der Fall ist, oft muss man solche Integrale, um sie dem Rechner vernünftig verfüttern zu können, auf gewisse Normalformen bringen. Und dazu muss man sie, sagen wir mal, in Maßen manipulieren können.

Und deswegen, also, sollte man das schon noch kennen, aber es ist nicht mehr so krass, wie es war. Gut. Dann will ich jetzt zum dritten Abschnitt im Bereich über die Integrationsrechnung kommen.

Und in dem, ja, kommt jetzt wieder ein Grenzwert dazu. Was wir bisher können, ist integrieren von Funktionen, von stetigen Funktionen auf einem Intervall a, b. Das ist auch schon ganz schön. Aber es gibt Fälle,

die da nicht mit drin sind. Und das sind, das sind Fälle, die man als sogenannte uneigentliche Integrale bezeichnet. Und da geht es jetzt eigentlich um zwei Phänomene. Erstens, um integrant, also, wenn die, um Funktionen, unter denen integriert werden soll,

die nicht beschränkt sind. Oder es soll über ein nicht beschränktes Intervall integriert werden. Also, sie wollen integrieren von eins bis unendlich. Oder von minus unendlich bis fünf. Oder gleich von minus unendlich bis unendlich, werden wir auch noch sehen. Also, sie wollen über ganz r integrieren.

Oder eben, sie haben eine Funktion, die nicht beschränkt ist. Das ist im Prinzip im bisherigen im bisherigen Konzept nicht drin. Und darum will ich mich jetzt beschäftigen. Also, uneigentliche Integrale

zerfallen eigentlich in zwei Klassen. Aber das merkt man im Alltag. Also, die Unterscheidung ist eigentlich nicht entscheidend. Erstens, entweder unbeschränkte Integranten. Also, die Funktion F ist unbeschränkt. Was könnte das sein?

Ich male Ihnen ein Bild hin. Nehmen Sie so eine, hier ist die Funktion, hier ist A, hier ist B. Ich will ganz, wie wir es kennen, von A bis B integrieren. Aber meine Funktion hat an der Stelle A einen Pol. Sieht so aus. Und was mich jetzt interessiert,

ist diese Fläche. Und die Fläche geht jetzt eben unendlich nach oben. Das können Sie sagen, so ein Quatsch, die Fläche ist noch immer unendlich groß. Ne. Ist sie nicht. Werden wir gleich sehen. Kommt jetzt drauf an,

wie schnell die klein wird. Das ist die eine Variante, die vorkommt, und die wir bisher im Prinzip nicht können, oder in Maßen können, aber die sozusagen eine genaue mathematische Behandlung braucht. Und die zweite ist, wie gerade schon gesagt, Sie haben ein unbeschränktes Integrationsintervall.

Also, ein Integral von 1 bis unendlich zum Beispiel. Ne, das Bild dazu wäre, hier ist A, ein B gibt es nicht. Ihre Funktion liegt so,

und Sie interessieren sich für die Fläche hier unten. Auch die kann durchaus endlich sein, auch wenn sie unendlich weit nach rechts geht. Wenn klar, was Sie nicht machen sollten, ist die Funktion konstant 1 von A bis unendlich integrieren. Dann, dann brauchen Sie viel Farbe, um das Ding anzumalen. Aber wenn die da schnell genug klein wird,

werden wir sehen, kann das durchaus eine endliche Fläche sein, obwohl sie unendlich weit rausgeht. So, und wie rechnen wir das jetzt aus? Und die Idee, hoffe ich, ist naheliegend, wie würden Sie das machen? Was unendlich ist, kann man sowieso nicht,

also diese unendlich lange Integrale kann man in Wirklichkeit ja sowieso nicht ausrechnen. Wenn ich irgendwo da hinten an die Tür das B setze, und mal von A bis zur Tür rechne, dann ist das so eine ganz gute Näherung. Und wenn Sie noch weiter nähern wollen, dann machen Sie das B hinten in die Mensa, und dann haben Sie eine wirklich gute Näherung.

Und wenn Sie es jetzt mathematisch exakt machen wollen, dann jagen Sie das B immer weiter, und durch, was ist das, das ist Osten, also durch Rostorf durch, und irgendwann kommen Sie dann in Sibirien raus, und dann jagen Sie es nach unendlich, und der Grenzwert ist das, was rauskommen soll. Genau. Also Sie rechnen das folgendermaßen aus,

Sie nehmen endliche Grenzen, und rechnen für endliche Grenzen, so wie wir es kennen, und am Schluss jagen Sie die Grenzen, da wo sie hingehören, nach unendlich. Oder gegen die Problemstelle. Also, dieses Integral von A bis B f von x dx, und es ist jetzt wurscht, ob Sie in diesem zweiten Fall

von unbeschränktem Intervall und in diesem ersten Fall von nach oben abhaunender Funktion sind. Das definieren wir uns durch einen Grenzübergang. Sie nehmen die Stammfunktion von f, ja, also das Integral hier wäre ja normalerweise die Stammfunktion von f,

von B, also Groß f von B minus Groß f von A. Aber jetzt kann es sein, dass B unendlich ist, oder in A das Ding einen Pol hat. Dann nehmen Sie sich Alpha und Beta, Alpha ein bisschen größer als A, und Beta ein bisschen kleiner als B, und machen erstmal Groß f von Beta, und Groß f von Alpha,

und dann jagen Sie Beta gegen B, und Alpha gegen A. Also hier haben Sie einen Limes, Beta von unten gegen B, von Groß f von Beta, also Groß f wieder die Stammfunktion von kleinen f, minus den Limes, Alpha von oben gegen A, Groß f von Alpha.

Wobei Alpha, wobei eben Groß f eine Stammfunktion von kleinen f ist. Also die Idee ist, rechnen Sie erst das ganz normale Integral von Alpha bis Beta aus, mit Alpha

ein bisschen oberhalb von A, und Beta unterhalb von B, und dann drücken Sie das Beta gegen B, und das Alpha gegen A. Und bei der ganzen Betrachtung hier will ich eben auch diesen zweiten Fall mit behandelt haben. Also hier lasse ich A gleich minus unendlich

und oder B gleich unendlich zu. Dann ist der Grenzwert, der da steht, Limes Beta gegen B, ist dann halt ein Grenzwert Beta gegen unendlich. Und das ist das, was ich vorhin...

Meinte, ja, also wenn Sie jetzt dieses Bild, was man gerade oben noch sieht, und eigentlich integrieren wollen, dann haben Sie auf der linken Seite, an dem a, überhaupt kein Problem. Also man sieht es jetzt nicht mehr gut, aber an dem a war kein Problem, ja, hier, an dem a können Sie einfach Groß f von a auswerten und nach rechts nehmen Sie

in sich ein Beta hinter der Mensa und dann in Rostorf und dann in Sibirien und dann sagen Sie es ist beta noch unendlich und was rauskommt ist die Fläche. So, das heißt im Prinzip ist nicht wahnsinnig viel zu tun, man muss halt integrieren und

man muss, man kriegt eine zusätzliche Schwierigkeit rein, nämlich noch einen Grenzübergang. Also zusätzliche Schwierigkeit neben der Integration sind noch ein oder zwei Grenzübergänge

auszuführen. Ja, und das heißt, erstens man muss sie ausführen und zweitens man lädt sich ein Problem auf, die müssen ja nun nicht immer existieren. Also Beispiel von vorhin, Sie nehmen die Funktion konstant eins und integrieren die von eins bis unendlich, dann zeigen Sie mir einen Vogel, weil das natürlich Quatsch

ist, weil das gibt ziemlich unendlich, aber das können Sie jetzt nicht immer ausschließen, dass sowas passiert, das heißt, das ist die Hauptschwierigkeit, neben der Integration ist die Existenz der Grenzwerte sicherzustellen, also wir müssen jetzt erstmal so ein

uneinliches Integral, so ein uneinliches Integral macht einfach nicht immer Sinn, sondern es macht nur dann Sinn, wenn die beiden Grenzwerte, die dabei auftauchen, also die, die Sie oben noch sehen, wenn die auch existieren, so, aber wenn die existieren, also wenn die

beiden Grenzwerte, die da oben stehen, existieren, dann nennt man das uneinliche Integralkonvergent, ja, weil, ich denke der Begriff erklärt sich, die Grenzwerte

existieren, sind konvergent, und dann nennt man das Integralkonvergent, und wenn sie nicht existieren, dann eben divergent, oder man sagt das uneinliche Integral existiert nicht, und jetzt muss man aufpassen, Sie müssen eben alle beide existieren, also

existiert nur einer der beiden nicht, dann macht das uneinliche Integral keinen Sinn, und dann sagt man es divergiert, also existiert nur einer der beiden nicht, oder sogar beide, das ist egal, wenn einer nicht tut, dann können Sie aufhören, also die können

sich nicht irgendwie gegenseitig heilen oder helfen oder so, wenn einer weg ist, wenn einer nicht tut, dann ist aus, so nennt man das Integral divergent, oder eine Formulierung,

die man auch oft liest, das uneinliche Integral existiert nicht, in dem Sinne, dass, ja, also sie diesem Grenzwertprozess keinen wirklichen Wert zuordnen können

damit auch dem Integral nicht, also so, die ganzen, damit ist im Prinzip das gesamte

Begriff, Fragen dieses Abschnitts klar, wir wollen uns solche uneigentlichen Integrale anschauen, die sind definiert über zwei Grenzwerte, und außerhalb dieser Grenzwerte müssen wir halt ähnliche Integrale ausrechnen, und die Schwierigkeit ist eben sicherzustellen,

also neben dem Problem, den Wert auszurechnen, ist sicherzustellen, dass diese Grenzwerte existieren, und wie man das macht und so weiter, dazu komme ich dann jetzt, und das machen wir am besten erstmal an einem Stapel Beispiele, an denen man so sieht, was da

alles passieren kann, und an dem ich Ihnen auch zeige, dass das kein, ja, dass es tatsächlich passieren kann, dass Sie so eine unendlich lange Schlange haben, die eine ähnliche Fläche nur enthält. Dazu auch gleich das erste, also Beispiel 3.1, und dann nehmen

wir jetzt so ein Ding, also ich mache jetzt erstmal eins von der ersten Sorte, die ich vorhin hingeschrieben habe, nämlich das Integral von 0 bis 1, 1 durch Wurzel

x dx, 1 durch Wurzel x ist so ein Hyperbeteil, an der Stelle 1 ist es 1, also durch den Punkt hier, und ansonsten sieht es, wenn man keine weiteren Einheiten hin malt,

sieht es dann auch so aus wie 1 durch x, und was ich haben will, ist diese Fläche, wobei eben jetzt genau das passiert, was ich vorhin gesagt habe, die Funktion hat an der Stelle 0 eine Polstelle, saust danach unendlich ab, und es gibt jetzt so einen

extrem dünnen Schornstein danach oben, und die Frage ist, wie ist die Fläche von dem Ding, und ich werde Ihnen zeigen, dass das zum Beispiel so ein Beispiel ist, wo das Ding tatsächlich eine endliche Fläche hat. So, also was ist das? Nach Definition,

Integral von 0 bis 1, 1 durch Wurzel x dx können wir eigentlich nicht berechnen, weil da das 1 durch Wurzel x eine Polstelle hat, was wir berechnen können, ist das Integral von Alpha bis 1, 1 durch Wurzel x dx für Alpha ein bisschen größer 0,

und hinterher machen wir den Grenzübergang, Limes Alpha gegen 0. Eigentlich müssten wir noch den Grenzübergang Limes Beta gegen 1 machen, aber an der Stelle 1 haben wir überhaupt kein Problem. Wenn man es ganz formal nach der Definition macht, müsste man noch Limes Beta von unten gegen 1 machen und das Integral von Alpha

bis Beta anschauen, aber an der Stelle 1 passiert hier nichts, das können Sie auch gleich so stehen lassen, und hier kann man jetzt im Prinzip einfach rechnen, wir brauchen die Stammfunktion von 1 durch Wurzel x, damit man die raten kann, lassen Sie mich ein bisschen helfen, das ist hier zweimal das Integral von Alpha bis 1 über 1 durch

2 Wurzel x, ich hoffe diese Umformung findet allgemeine Zustimmung, ich habe nur durch 2 geteilt und mit 2 multipliziert, aber jetzt könnte man die Stammfunktion raten, bei 1 durch 2 Wurzel x ist die Ableitung einer berühmten Funktion, ist die Ableitung

der Wurzelfunktion, also hier steht Limes Alpha von oben gegen 0, 2 mal Wurzel x in den Grenzen von Alpha bis 1, und das ist Limes Alpha von oben gegen 0, 2 mal Wurzel 1,

also 2 mal 1 minus 2 mal Wurzel Alpha, so und das Schöne ist, den Limes können wir wirklich Brute Force direkt ausrechnen, das passiert mit Wurzel Alpha, wenn Alpha gegen 0 geht, die Wurzelfunktion ist eine stetige Funktion, also ist der Limes Alpha gegen 0

von Wurzel Alpha, die Wurzel von Limes Alpha gegen 0 von Alpha, also Wurzel 0, das ist 0, also hier steht 2 minus 0 und das ist 2, man kriegt tatsächlich raus, diese Fläche hier ist 2, wenn sie ganz bis unendlich, also ganz an 0 ran integrieren, wenn sie

sie ganz bis unendlich hochnehmen, dann ist diese Fläche genau 2, was man in diesem Fall hier machen könnte und das ist, das will ich Ihnen durchaus zeigen, weil es völlig okay ist, man weiß, was man tut, man kann die drei Zeilen hier im Prinzip

auf eine zusammen schnoren lassen, aber ich sag gleich dazu, man muss eben wissen, was man tut, also man muss sich eben im Klaren sein, man hat es hier mit einem

uneingeglichen Integral zu tun, das lohnt sich immer, wenn Sie irgendwo ein Integral sehen, erst mal zu gucken, also gut, wenn das Ding eine Grenze unendlich hat, dann sieht man, dass es uneigentlich ist, aber hier haben Sie ein Integral von 0 bis 1, sieht erst mal brav aus, schauen Sie mal, dass an den Rändern mit der Funktion innen drin nichts passiert und wenn es ein uneigentliches ist, dann weiß man, man muss ein bisschen

erhöht aufpassen, aber in dem Fall kann man einfach Brute Force rechnen, wie man es gewohnt ist, ohne überhaupt zu merken, dass es uneigentlich ist, eins durch Wurzel x hatten wir vorhin gesehen, als Stammfunktion 2 Wurzel x, in den Grenzen von 0 bis 1 und

wenn Sie jetzt einfach einsetzen, merken Sie gar nicht, dass hier was schief geht, das ist 2 Wurzel 1 minus 2 Wurzel 0 und das ist 2 und alles ist gut, das ist völlig ok, ich sage jetzt nicht, das ist völlig ok, aber wundern Sie sich nicht, wenn Sie

es fünfmal machen und beim sechsten Mal plötzlich auf die Nase fallen, weil das geht nicht immer, also wenn Sie ein uneigentliches Integral haben, können Sie durchaus versuchen erst mal zu rechnen und zu gucken, ob was rauskommt, aber Sie sollten im Hinterkopf haben, Achtung, das Ding war uneigentlich, wenn zwischendrin dann mal was passiert,

wo ich plötzlich durch 0 teilen muss oder irgendwas nicht definiert ist, dann lohnt sich es mal ein Stück zurück zu rudern und den Limes anzusetzen, ich zeige Ihnen gleich ein Beispiel, wo es nicht geht, wo Sie aber trotzdem so ansetzen dürfen

und können, Sie merken dann, Sie müssten dann merken, dass es nicht geht, also das ist Beispiel B, Integral von 0 bis ½, dx geteilt durch x mal ln² von x, in dem

Fall ist die Kurve folgendermaßen gelagert, wir integrieren von 0 bis ½ und diesmal haut das Ding nach minus und endlich ab, also das geht diesmal um so eine Fläche

hier unten, aber wieder haben Sie eine Polstelle an der 0 und eine Fläche, die unendlich weit nach unten geht und die Frage ist, wie groß ist die? So, wie vorhin gesagt

und einige Integrale haben zwei Schwierigkeiten, erstens die Grenzwerte, aber vor allem auch, wir müssen es integrieren, wie integrieren wir das? Machen wir erst mal den Grenzwert ein, von 0 bis ½ ist blöd wegen der Polstelle, also integrieren wir von α bis ½ und schicken

dann das α gegen 0 und haben dann immer noch die Funktion, haben dann immer noch über die Funktion 1 durch x mal ln² von x zu integrieren und an der Stelle möchte

ich Ihnen eine Substitution vorschlagen und zwar es lohnt sich hier u gleich ln x zu substituieren, alles klar, warum? Weil es funktioniert, man könnte auch mal ln²x

probieren, hier müsste ich auch probieren, sage ich Ihnen gleich, also ln²x würde ich probieren, lnx würde ich probieren und dann würde ich es finden, lnx tut, Substitution

lnx, was bedeutet das? Dann ist du gleich 1 durch x dx und wir können hier ersetzen,

erstens müssen wir die Grenzen substituieren, was passiert mit unserem α, was passiert mit unserem ½, also das ist limes α gegen 0, von, wenn x α ist, dann ist u ln von α, wenn x ½ ist, ist u ln von ½, also krent egal von ln von α bis ln von ½,

über dx müssen wir ersetzen durch, also nein, 1 durch x dx müssen wir ersetzen durch du, da sehen Sie, das passt schön, weil da drüben steht ein dx durch x, das gibt es du, der ln²

gibt ein u², also haben Sie hier nur noch stehen 1 durch u² du und auf die Weise ist integral deutlich freundlicher geworden, also wenn man es dann im Nachhinein anguckt, sagt man

wieder ja, die Substitution ist eigentlich klar, man will dieses dx durch x ausnutzen, wenn man das x als lnx nimmt, dann ist dx durch x eben genau gu, dann passt es schön, aber das ist immer hinterher schlau geredet, wenn man es finden muss, ist das nerviger, so was ist die Stammfunktion von 1 durch u², das ist Stammfunktion von einem Termin der Form u hoch n,

die ist –1 durch u, einfach wenn Sie das ableiten, kriegen Sie 1 durch u² raus, in den Grenzen von ln von α bis ln von ½ müssen wir einsetzen,

limes α von oben gegen 0 –1 durch ln von ½ plus 1 durch ln von α und das ist jetzt eine

Stelle, wo Sie sehen, wenn Sie jetzt vorhin brute force durchgerechnet hätten, also nicht limes eingeführt, sondern die ganze Zeit statt α weiter einfach 0 geschrieben, dann hätten Sie jetzt hier 1 durch ln von 0, das ist nicht so angenehm, also an der Stelle ist es schon gut,

den limes zu haben, weil ln von 0 gibt es einfach nicht und dann gucken wir mal, was jetzt hier passiert, also der erste Teil ist einfach, das ist –1 durch ln von ½ und dann bleibt übrig der limes für α von oben gegen 0, 1 durch ln von α, so was passiert, wenn Sie

α gegen 0 schicken, dann wird der Logorythmus beliebig klein, dann geht es gegen – und endlich, 1 durch – und endlich gibt 0, also dieser Grenzwert da hinten ist 0, hier bleibt

also übrig –1 durch ln von ½, so und jetzt kann man hier noch, kann man noch ein bisschen aufräumen, das ist –1 durch ln von ½ ist ln von 1 – ln von 2, ln

von 1 ist 0, also haben Sie –1 durch –ln2, das ist 1 durch ln2, das ist ein bisschen übersichtlicher, wie viele wissen, warum ich jetzt grübe, weil irgendwas nicht stimmen kann und

ja, das sind so diese Plausibilitätschecks, aber entweder stimmt das Bild, das ich Ihnen am Anfang hingemalt habe, nicht oder das Ergebnis, weil ln2 ist positiv, 1 durch ln2 ist immer noch positiv, also das kann ich jetzt nur als offenes Rätsel stehen lassen,

ich denke alle finden bis zum nächsten Mal den Grund, entweder plotet man sich das nochmal und sieht das, oder überlegt sich nochmal, wie die Funktion aussieht oder

ich habe hier irgendwo einen Vorzeichenfehler vermuddelt, das kann auch sein, ich hoffe ich kann mich da morgen zu äußern oder jemand von Ihnen findet bis dahin, was passiert ist, aber auf jeden Fall kommt was um den Drehraum raus, plus minus irgendwas

ist hier stimmlich, gut, jetzt habe ich Ihnen zwei Beispiele gezeigt von uneigentlichen Integralen, die existieren, lassen Sie mich gerade noch schnell eines zeigen, wo es schief geht, damit Sie nicht nach Hause gehen und denken, die Dinger gibt es hier eh immer,

ne, ja gut, ich meine ich habe vorhin schon gesagt, man kann brutal werden und sagen Integral über 1 von 1 bis unendlich, Gott, dann existiert es nicht, aber es geht auch filigraner und das fiese ist, es geht filigraner und sieht eigentlich genauso aus, wie das, was wir schon hatten, nehmen Sie mal das Integral von 0 bis 1 über 1 durch x dx

und dann kommt das Bild, das habe ich vorhin schon fast genauso hingemalt, nämlich für 1 durch Wurzel x, also es geht wieder um diese Fläche, nur die Funktion ist jetzt nicht 1 durch Wurzel x, sondern 1 durch x, aber da sollte man ja jetzt

sagen, so einen großen Unterschied kann er nun auch wieder nicht machen, aber leider macht es den. Was passiert also, ganz einfach stur nach Regel, wie rechnet man so ein Ding aus, in 0 gibt es ein Problem, also integrieren wir gar nicht von 0 bis 1, sondern nur von alpha bis 1 und

danach jagen wir das alpha gegen 0, gut, das Ding lässt sich zum Glück kurz und schmerzlos integrieren, weil wir die Stammfunktion von 1 durch x kennen, das ist der Grenzwert von alpha von oben gegen 0, vom ln von x in den Grenzen von alpha bis 1, in dem Fall darf ich ln von x

schreiben und muss nicht ln von Betrag x schreiben, weil sowohl alpha wie 1 positiv sind, ja ich bin nur auf der positiven reellen Achse, kein Problem mit Beträgen an der Stelle, so und das ist was, das ist limes alpha von oben gegen 0, von ln von 1, minus ln von alpha und jetzt

gibt es ein Problem, weil was passiert, wenn Sie jetzt ln von alpha ausrechnen und alpha gegen 0 gegen lassen, geht das gegen minus unendlich, also minus ln alpha gegen plus unendlich,

also in dem Fall kriegen Sie plus unendlich raus und für die Funktion 1 durch x heißt das, dieses Integral von 0 bis 1 über 1 durch x existiert nicht, für 1 durch Wurzel x existiert, da war der Wert 2, also Sie sehen, das ist Figelinsch, da sind Nuancen entscheidend,

ob diese Fläche da endlich wird oder unendlich groß und man sieht es dem Zeug nicht sofort an und deswegen muss man sich hier sehr genau rechnen, also dieses Integral existiert nicht, so, gut an der Stelle, will ich sicher überraschend, weil ich ja immer so

ganz bis zum Ende durchhalte, aber an der Stelle will ich heute entlassen, am Wochenende, am Samstag ist Konzert vom Uniorchester und wir haben Generalprobe und ich muss

den 17.51 nach Großumstadt kriegen, dementsprechend renne ich weg und danke Ihnen für die Aufmerksamkeit und mache an der Stelle morgen weiter.