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Stetigkeit und Reihen

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so genau sind hier der immer so sein Nachbar Ländern er an der TU Darmstadt das ist nun einmal herzlich
Willkommen daheim zum ja zur Fortsetzung oder zum Ende der Vorlesung über die Funktion Grenzwerte das hatte ich Ihnen ja das war das Hauptthema der letzten Vorlesung wie können wir jetzt Konvergenz von Folgen übertragen auf Funktionen also wesentliche ging es darum diesen Ausdruck hier unten werde diesen Ausdruck hier Limes X gegen ein Punkt X der von F von X zu definieren und ich hatte Ihnen gezeigt dass definieren wir darüber dass wir uns folgen anschauen die des externen approximieren und dann schauen uns an was macht es mit der Folge und wenn diese die Freuden F von X N alle konvergieren und zwar gegen ein alle denselben Grenzwert dann nennt man diesen Grenzwert neben den Grenzwert für X gegen externe von 11 dazu gab es auf diesen technischen Begriff des Häufung Sprung period es dem man einfach wirklich nur brauche um diesen Begriff des Grenzwerts zu definieren also der wichtigere Teil letzte Vorlesung war der hier unten und des Chirurgen warnen notwendiges Übel um das wir nicht herum kam dann wird der Begriff unten sinnvoll ist also die Erinnerung noch mal der Limes X gegen extern von der Funktion das zäh wenn Sie eben für jede Folge und die Betonung liegt hier auf dem Wort jede das Ding ist ja normal kursiv gedruckt da sehen Sie für jede Folge die des externe geeignet approximiert das heißt 1. jedes 6 Jahre muss in der XL muss im Definitionsbereich liegen sonst können sind F nicht einsetzen das X selbst sollen die das extern seien das sorgt dafür dass der Funktionswert an der Stelle extern für die Betrachtung ihre ist und das X N soll Ebene vernünftige Approximation von externen sein spricht das X Stern konvergieren man sieht jede solche Folge nehmen und die Funktion einsetzen dann kriegen Sie mir folge F von X N auf der an Axel und wenn diese Folgen alles schön konvergieren alle den gleichen C liefern dann nennt man diesen wird sie den Grenzwert der Funktion f wenn XTX das hatten wir dann noch verallgemeinert zurecht für rechtzeitige und linksseitigen inmitten ja die Grundidee ist dieses so was sie leben jetzt zum Abschluss noch präsentieren will sind Rechenregeln für diesen Grenzwert mal wie der eine oder die andere die der die nach der letzten Vorlesung bei mir waren schon festgestellt haben also in ihren Fragen das Problem hier ist natürlich wie wendet man es konkret an ein 2 leichten also 202 Beispiele an leichten Funktionen so muss ich sagen keine leichten Beispiele sogar bei Spielern leichten Funktion er habe ich ihn dann der letzten Vorlesung vorgeführt aber die Funktion komplizierte werden sieht man sofort das ganze wird schwer einfach wieder wegen diese Betonung auf dem Wort jede sie müssen jede Folge behandeln und insofern sind wieder setze wichtig die einem die Möglichkeit geben aus einfachen Bausteinen komplizierte Funktion zusammenzusetzen sammelt oft genug gesehen und so was passiert hier auch damit wir dich heut starten und eben diese Grenzwert Sätze für den Funktionen Grenzwert hinschreiben die laufen hier unter der Überschrift Rechenregeln 2 7 und worum es wieder geht es wenn Sie 2 Funktionen haben unten period extern aus dem aus dem gemeinsamen Definitionsbereich und der Grenzwert für X gegen externe von 11 existieren der von gehe dann will man eben auch was über 11 plus G f x G durch Betrag F und so weiter wissen und darum geht es hier also haben 2 Funktionen F und G beide auf der gleichen Menge die definiert oder zumindest mit dem gemeinsamen Punkten Definitionsbereich und diese period X Sternensaal seine Häufung period von die also brauchen gemeinsam wir brauchen gemeinsame Stück vom Definitionsbereich dass Sie den können demnächst Anhäufung period ist so und dann gilt falls die Grenzwerte die jetzt auftauchen vernünftig definiert sind also falls die Grenzwerte auf der jetzt gleich folgenden rechten Seite existieren dann gilt Folgendes wenn Sie den Lemmers von Betrag F von X haben für X gegen Aids sterben dann können Sie den ausrechnen dem sie erst den Limes von F von X für x gegen Stern ausrechnen und davon den Betrag bilden ja er und wenn sie auf
der Suche sind nach der Summe von 2 Grenzwerten also haben dass er von X plus gehe von X dann können Sie das machen indem sie die nur die Einzelteile anschauen also in dem sie erst in Limes X gegen Aids Stern F von X ausrechnen und X gegen externe gehe von X und am Schluss diese beiden Werte addieren und das ist wieder
so ein Bausatz Prinzip Sie können sich komplizierte Funktionen zusammensetzen aus einfacheren Teilen von den sie die Grenzwerte kennen das gilt nicht nur für plus das geht auch wenn man aus ja also zu Plus oder Minus an der Stelle das geht auch für x also die 1 x gegen X Sternen von der Funktion f von x mal gehe von X ist das gleiche wie in das X geben X Sterne von F von X mal lebendes X gegen Aids Stern von Kiel von X da das heißt wenn Sie Produkt oder Summen von einfachen Funktion haben das können Sie jetzt für die nicht eklig zusammen kombinieren dann kann man die alle wieder auseinander ziehen es reicht die Einzelteile an zu und dieser Satz ist so wie es oben steht so zu lesen wann immer das auf der rechten Seite existiert ja also wenn der Limes X gegen Stern F von X Unternehmer 6 gegen kleinen G von Ex existiert dann existiert auch der auf der rechten Seite X gegen extern F von X plus geht von X und die beiden sind gleich so dann gibt es noch den Quotienten den nicht mehr am Summation
Subtraktion Multiplikation was mit dem Quotienten da geht natürlich die übliche Zusatz Vorsicht zu dürfen nicht durch 0 teilen also wenn Sie so ein Prozent haben F von X durch die von X dann ist das solange das was auf der rechten Seite steht Nacht X gegen externe F von X durch X gegen externe X wobei man
eben aufpassen muss damit das geht ist dringend nötig dass der das
was auf der rechten streitig den Sinn macht das heißt dieser Grenzwert X gegen externe die von X der muss natürlich ungleich 0 sein wenn der nicht um gleich mit der 0 ist dann teilen Sie dadurch 0 das ist nicht so richtig erlaubt so das ist der erste Teil der Rechenregeln und das sind die gleichen Rechenregeln besoffen verfolgen hatten wenn sie 2 komme Legende Folgen haben Sie Summe Konvergenz und der Grenzwerte Summen Folge ist die Summe der Grenzwerte der Einzel folgen und genau das überträgt sich hier auf die Grenzwerte also auf die Funktionen Grenzwerte sind ja auch über Grenzwerte von
Funktion definiert davon folgen definiert wird dann kann man die Rechenregeln alle beitragen und wenn sich sich erinnern hatten dabei folgen auch noch
Rechenregeln für so Monotonie Aussagen die eine Folge kleiner und leichter an dann ist das auch der Grenzwelt kleiner gleich auch das kann man hier betragen also wenn Sie 2 Funktionen haben von denen die eine immer kleiner gleicht der anderen ist der von X kleiner gleich die von X für alle x in D F dann ist auch der Limes X gegen Aids sterben f von X
kleiner gleich den Limes X gegen externe gilt von X und gilt die gleiche Warnung über folgen entsprechende Folgerung für das strikt kleine gilt nicht im grenzt Wert können Sie eben immer noch in den gleich verrutscht aber so wie es dasteht stimmt's und der Grund für
diese ganzen Rechenregeln es gleiches gilt für Folgen dort hieß das Zeug Grenzwert setze und wenn Sie jetzt sich solle Regel anschauen zum Beispiel die die man mit oben noch sieht wenn Quotienten was ist der Limes X gegen extern F von X ist der Grenzwert für alle Folgen von F von X N wobei X solle Folge ist wie vollen auf der Folie die Gegend dann konvergiert und unten steht Folge gehe von X und dann können Sie das über die gern Tsetsetse verfolgen alles zusammenpasst gut also kann man auch mit diesen Grenzwerten für Funktionen so rechnen über das mit Funktions- Grenzwerten gewohnt sind muss ich da nix Neues merken was dazu kommt bei Funktion gegenüber folgen was aber folgen nicht
hatten ist diese unter ist diese
zusätzliche Konstrukt das links und rechtsseitigen Grenzwerts in der Folge kann einfach nur die hat nur eine Richtung muss noch unendlich geht der ansatzweise weil 3 4 5 und da gibt es nur n gegen unendlich verfolgen gibt es natürlich für funktioniert natürlich viel mehr Möglichkeiten und da kommt jetzt auch diese Effekte zu dass sie eben von links oder von rechts gegen externe laufen kann und dementsprechend er kommt noch diese 2 Begriffe dazu und dann ich zum Abschluss hier noch einen Zusammenhang zwischen dem links und dem rechtzeitigen und dem ganz Grenzwert X gegen externe angeben der oft praktisch ist wenn Sie der Funktion also gesinnten üblichen Setting für den Abschnitt seine Funktion auf der Definitionsmenge in er nach er ich Sterne dessen Häufung period von dem DLF damit wir überhaupt Grenzwerte X gegen extern anschauen können und wenn Sie jetzt in der schönen Situation sind das sowohl der links als auch der rechtzeitige Grenzwert existieren also der Grenzwert von links X gegen externe F von X und der Grenzwert von rechts X gegen extern F von X die existieren und sind sogar noch beide gleich dann würde man anschaulich sagen na gut dann habe ich die Funktion von links und rechts das Gleiche rauskommt dann muss auch schon der Gesamt Grenzwert existieren und auch gleich sein und das ist zum Glück so also das in dem Fall ist die
Intuition war richtig dann existiert auch der Limes X gegen X Sternen als ganzer und ist ebenfalls gleich also dann sind die alle 3 gleich dann ist der Limes nix gegen externe gleicht dem Limes von links und den 7 6 von rechts gegen externe das ist manchmal sehr praktisches Kriterium um denn das rauszukriegen wenn man weiß von links und rechts ganz gleich aus dann ist man schon fertig er normale Stelle die Warnung die ich letztes Mal schon hatte
selbst wenn Sie diese Situation sind also Welt ging das von längst der Limes von rechts sind gleich und der Grenze existiert dann wissen Sie damit noch nichts über den Funktionswert an der Stelle x der ein Grenzwert von links oder von rechts oder von egal wo man ihn nie eine Aussage geben einfach also ohne weiteres Wissen kann außer gebe den Funktionswert denken Sie an das Beispiel vom letzten Mal diesen komischen der Derivate vom Service Zeit 1 über alle aus nun an der Stelle 2 mehr da ist der Grenzwert wunderbar existente ganz werden und ist eines der von links ist eines der von rechts ist 1 aber die Funktionswerte sein und genau mit diesen mit solchen Situationen dieser irgendwie doof sind nicht so wie man es gern hätte mit dem wir uns jetzt beschäftigen und ich würde den Begriff der mathematischen Begriff einführen der den Funktion solche Scheußlichkeiten verbietet oder zumindest der Erhalt sagten Funktion die Sonne Scheußlichkeit hier macht die gehört nicht ist keine sogenannte stetige Funktion es kommt ist der Begriff der Stetigkeit und der damit wollen wir eben solche Phänomene untersuchen oder genauer gesagt dann solche Phänomene ausschließt also
der Begriff ist der der Stetigkeit und worum geht es da es gebe unter anderem darum solchen Gemälde auszuschließen Sprünge auszuschließen der Fehler auszuschließen wo die Funktion ja solche er er auf kleinstem Raum also aus unendlich kleinen Raum der echten Weg zurücklegt also eine Nächten Sprung macht und ich schreibe vielleicht einfach erstmal Definitionen und diskutiert dass dann ein
bisschen also wir wollen jetzt solche Funktionen als schön oder dem Fall immer stetig beschreiben die so'n Quatsch nicht machen so und wie können wir das machen was ist denn das was hier schief geht was hier schief geht ist sie haben zwar der Stellen schön Grenzwert aber dieser Grenzwert hat mit dem Funktionswert nichts zu tun an der Funktionswert weigert sich mit dem Grenzwert übereinzustimmen und das ist das was hässlich ist ja wenn der Funktionsweise der Stelle auch 1 wäre das wir wunderschöne Funktion nämlich Funktion konstant 1 die dann keine so komische Hüpfer da drin und genau das wollen wir jetzt der Funktion vorschreiben also noch zur Vollständigkeit das ist in dem andern Skript 8 18 wenn man der Funktion definiert auf einen Definitionsbereich mit Werten in war stetig an einer
Stelle also stetig in einem Punkt x Sterne aus den Definitionsbereich wer eben das da oben nicht passiert also wenn der Limes X gegen Aids sterben f von X gleich ist mit dem Funktionswert an der Stelle x der haben also wenn die Funktion nicht so ohne Situation der wenn Sie kein Sprung hat wenn sich erinnern wenn Sie gesprochen haben in der Funktion dann existiert diese Limes links überhaupt nicht 7 rechts und links werden Grenzwerte verschieden sind und dann ist die Funktion eben auch nicht stetig stetig bedeutet eben 1. an jedem Punkt existiert der Grenze also einen Punkt ist stetig Übung deren heißt an dem Punkt existiert der Grenzwert und der steht mit dem Funktionswert überein und das bedeutet wenn sie sich eben auf dem Graph der Funktion an diesem Punkt ist dann anschleichen dann bleiben sie beim Funktionswert das ist das was man in der Schule häufig naiv sagt
als man kann den Grafen der Funktionen einen Strich durch zeichnen wenn man sie Open Graph anschleicht 1 period dann kommt man dem Funktionswert raus dieser diese Vorstellung man kann den Grafen eine Linie durch zeichnen bei stetig die so mal wir gute Lüge für die Kinder funktioniert im Normalfall aber ist ein bisschen kurz gesprungen war denken Sie an dieses Beispiel was ich letztes Mal hatte dieses x-mal Sinus eines durch x dieses Ruhe Geflatter also da sie das einzig x 1 Beispiel das war das ganz extrem rum Geflatter der war nicht da existierte die müssen 0 nicht der ist nicht stetig aber die saß die andere Funktionen x-mal so das einzig X dieser gedämpft in den 0 flatterte dienstäglichen 0 weil warum es sich stetig war der Grenzwert für X gegen 0 existiert und 0 ist und nur dass der Funktionswert und wenn es sich stetig aber das hat mir durch zeichnen auch ist ich weiß sie einfach unendlich viel Stift brauchen das den malen Berlin ist unendlich lang deswegen ist es ein bisschen zu kurz gegriffen der Begriff aber das Bild dahinter ist ein gutes Stetigkeit bedeutet wenn sie sich auf dem Graf in den period reinschleichen landen 7 Funktion zu tun das ist das was hier oben nicht passiert noch mal zu dem Bild hier gehen wenn sie sich
auf dem Graf in den period reinschleichen die 0 wenn Sie es auf dem Graf laufen 10 nach X gleich 0 dann landen sie am vom zu an der Stelle eigens 11. y-Achse Funktionswert 2 so das ist durch Tätigkeits- Begriff
genau gesagt ist das des Tätigkeits- Begriff an einer Stelle x der und jetzt spricht man nachhaltig davon dass eine Funktion einfach so stetig ist und was man damit meint ist das sie in allen Punkten ihres Definitionsbereichs stetig ist also ich Tätigkeit ist definiert für jeden period einzeln und wenn man keine period spezifizierte nur sagte Funktion bestätigt dann meint man damit sie es in allen Punkten des Definitionsbereichs stetig nur an das Bild dazu ist stetige Funktionen das ist eben eine also ich so ist die so aussieht wenn die extern ist und sie laufen jetzt nach extern von links oder von rechts oder alterniert oder wie auch immer und sie gehen hoch auf den Graf dann muss eben der Grenzwert an der Stelle vielleicht F von externen sage das verbietet Sprünge das verbietet solche komischen Einzelpunkte wieder oben und noch ein paar Dinge mehr der so was hat der Begriff jetzt für Relevanz der Begriff hat für alles was wir der folgenden Zukunft machen ungefähr so Relevanz wie weiß ich nicht die Ozon fort und Ozonschicht für uns oder so dann oder Ozonschicht jetzt das Leben auf der Erde nicht aber im Alltag wird man nichts von dem mit uns ist ein herzlich egal unsere Stetigkeit auch ich Tätigkeit funktioniert alles was wir zum Freunden machen nicht ohne Stetigkeit funktioniert alles was sie in Zukunft Mathematik werden nicht aber sie seinem Alltag dann meistens relativ irrelevant weil zumindest in den Ingenieurwissenschaften alles was vorkommt üblicherweise stetig ist ja und man sich dann irgendwann keine Gedanken darüber macht und macht sich erst Gedanken drüber wenn plötzlich das nicht stetiges passiert und dann plötzlich Katastrophe zusammenbricht er war sage ich es Katastrophe weil Unstetigkeiten stellen wo was nicht die die es üblicherweise mit katastrophalen Verhalten im werde wenige mal Ausmaß zu tun haben weil was Stetigkeit anschaulich bedeutet gut bitte mathematisch bedeutet das aber anschaulich bedeutet Stetigkeit kleine Ursache hat kleine Wirkung zu leisten ist Tätigkeit heißt wenn sie mit nun period x ganz nahe bei externen sind nein mit dem Bug X ganz nah bei externen dann heißt Tätigkeit das das F von X auch relativ nah bei F von X deren sein muss weil wenn sie sich den externen werden geht ja F von X gegen F von X der am das bedeutet Billigkeit heißt wenn sie es eigentlich F von X Jahren bestimmen wollen stellen sich 11 als irgendein Apparat vor mit dem sie irgendwas provozieren wollen und sie wollen F von X dann produzieren wir müssen sie also oben genau deren eintippen das klappt im realen Leben nicht so genau ja sie geben also nix in der Nähe ein dann kommt der wo ungefähr das richtige raus und das ist was was man im Alltag ständig macht ja also zum Beispiel wenn sie Mittagessen salzen dann muss dass eine gewisse Menge Salz rein damit das Ideal schmeckt und man sehen kann schon zu viel zu wenig Gewicht macht auch nichts weil wenn Sie das der mehr haben kommt doch was man der Fuchs das ist Stetigkeit Schwierigkeit heißt wenn man das das Argument nur ungefähr erwischt kommt man ungefähr aber trotzdem am richtigen Ergebnis raus und das ist mir Grundannahme des menschlichen Lebens wir gehen immer davon aus wer nur kleine Ursache kleine Wirkung oder wie auch immer wenn man wenn man wenn man das was man erreichen wenn man die die anfangs Schrauben so ungefähr einstellt dann komm doch ungefähr das raus was bewegt und wenn das mal nicht so ist dann sind wir üblicherweise überrascht übliche Unstetigkeit er die es aber doch war gut ganz krasser Fall von Unstetigkeit diesen Erdbeben da fragt sich die Platte ewig es passiert nichts und passiert nicht zum passiert nichts mehr zu verkennen auf einmal ins typische Unstetigkeiten Sprung das über was ganz katastrophalen aber auch schon im Alltag gibt es Dinge die sich und stetig verhalten die welche Beispiele sind Pakettarife pro Brief Tarife bei der Post wird ein Gramm zu viel im Brief und schon über 30 Cent mehr bezahlen dass die Katastrophe geringer aber es ist auch ohne stetiges verhalten jeder ÖPNV Wendezeit kennt noch ganz typisches Beispiel für Unstetigkeit die richtig nervig ist Busfahren oder Straßen feines und stetig in dem Sinne wenn Sie da sie müssen gewisse Zeit von außen aus damit sie den Bus kriegen und selbst wenn sie ein ganz kleines Mini wird der bis hin zu spät aus dem Haus gehen sind 10 Minuten oder eine Taktzeit später der Uni Walter hyphen klar ist da keine ganz kleine Abweichungen eine große Wirkung haben und das ist umständlich und das man mir ziemlich nervt gut dass es nur darf ich ja nicht so katastrophal den Erdbeben was ich sagen will Stetigkeit ist mir Grundannahme unseres Lebens und wenn sie nicht da ist er meistens und in dem Sinne werden Sie wie gesagt mit diesem Begriff nicht viel zu tun haben weil in allem was Sie jetzt in Zukunft machen die sich Tätigkeit als Grund aber mit drinsteckt also wenn sie der Baustatik durchrechnen müssen Sie davon ausgehen dass das alles stetig ist weil natürlich wenn die Bauarbeiter am Schluss nicht auf die dreht 385. Nachkommastelle genau das bauen was sie ausrechnen für völlig absurd weil man dem durch Stahlträger der Grundfehler drin und schon sitzt nicht genau das was sie uns haben ist egal was es stetig oder was wenn wir das die aus ganz parat mit ungefähr die richtige Stelle haben kommen ungefähr das Gleiche raus Tätigkeiten das die Grundannahme von allen wenn sie die nicht hätten da brauchen Sie gar nicht erst los zurecht ja wenn sich die Stabilität von dem Bauwerk nicht stetig von den Parametern abhängen würde man sie gar nicht zu rechnen weil dann kriegen sie zwar Endergebnis aus aber es könnte sein dass wir nur 2 Sandkörnern widerstehen es drauf liegen schon wieder alles instabil dann könnte man sich den ganzen Aufwand sparen komplett nutzlos aber Stetigkeit ist die Grundannahme deswegen haben sie damit im allgemeinen nichts zu tun trotzdem ist es wichtig sich klar zu machen dass es die gibt wie der vielen so Hintergrund Grundannahmen des Lebens ist es besser wenn man weiß was man so hat er was man so annimmt und was nicht und ich mir denn jetzt zeigen das wir tatsächlich bei fast allen Funktionen die bei Ihnen auflaufen werden dieses Tätigkeitsfeld um den Art gut dementsprechend zu dem Beispiel damit dem Beispiel 3
2 an es lag nicht gleich das was ich gerade gesagt habe so ziemlich alles was sie an Funktionen kennen es stetig ja also was nicht der dich ist das komische Ding vom gerade eben nur 1 für alle Zahlen aus 0 und 2 4 0 das ist und stetig aber was in zum Beispiel stetige Funktion die wir schon kennen alle Polynome sind stetige Funktionen Sinus Kosinus Tangens und die ganzen Derivate also Tanja Inzko Tagen da hatten wir den Umkehrfunktion Augoustinos Markus Kosinus den Augusttagen Indiens aber gut der Vollständigkeit halber den Codein Jens hatten wir auch was haben wir noch die Betrags Funktion bestätigt Faxfunktion bestätigt wir hatten ihn sogar letzten Plätze Vorlesung gestern vorgerechnet dass Betrag so bestätigt was ich ihm gezeigt habe und ich habe zumindest gezeigt diese 0 stetig ich habe ihnen gezeigt wenn sie den Limes X gegen 0 von Betrag X anschauen dann kommt nur raus und nun ist auch der Funktionswert an der Stelle 0 also das war genau der Nachweis dass der Betrag eine Stelle 0 stetig zu ja das war ich habe die Nummer hier Beispiel 2 4 B also dass der Betrag stetig ist tätig in 0 ist steht genau im Beispiel 2 4 b die Potenz Funktion des stetig warte Funktion sind stetig wir also
so sein der ganze Stadtteil von Funktionen den sie schon kennen 10 der wesentlichen stellte ja die letzte Stunde des seit Funktion Beispiel nicht stetigen Funktion also wie schon gesagt immer dann wenn der Funktion sprengt ist es Essig mit stetig das ist der hat den Fall vor aber sonst wenn sie sonst mit Funktion zu tun haben aus diesem Stapel von hier und da in vielen Dingen die wir noch weiter kennen lernen werden das ist mit stetigen Funktion zu tun wie gesagt solange sie sich in den Dunstkreis bewegen müssen sich
Unstetigkeiten nicht sondern aber es ist immer doch gut zu wissen ja gute Frage warum ist der Tagesstätte ich der springt doch ganz mächtig der springt von unendlich nach minus endlich nur das wieder schön weiter Sprung Klavierduo müssten damit ist nur gemeint was heißt stetig von der Funktion heißt stetig um Definitionsbereich Definitionsbereich vom Tagen jetzt ist er ohne die Sprung stellen er und an jeder Stelle an jedem Punkt dieses dieser Menge dieser Städte an jedem Punkt dieser Menge hat dann endlich ändert unterdessen und der Wiemers Holding The rechts stimmt überein mit dem Funktionswert vulgo also wie gesagt in einfach sagen sie können den Graf durch zeichnen kann an den Sprung stellen passiert natürlich also dass sie keine Sprung steht eine bräuchten das sieht natürlich was die gehört aber nicht zum Definitionsbereich klar und ob das die Feinheiten auf die man aufpassen muss war aber in dem Sinne ist der stetig auf Definitionsbereich trotzdem ist der Tangens natürlichen hässlichere Funktion als der August ergänzt oder Akkus Termin zum ganzen Definitionsbereich wunderbar wie und das wird sich auch ausdrücken später Sie werden sehen im weiteren Verlauf dieses Kapitels kommt ne ganze Menge von schönen Eigenschaften stetige Funktion Eigenschaft nicht jede Funktion haben die andere nicht haben und bei einigen von den wird als Zusatz Voraussetzung stehen sei das Definitionsbereich hat in der Webseite Definitionsbereich ein Intervall dann gilt wenn F tätig ist und das schließt genaue Tangens zum Beispiel aus oder sorge dafür dass wir beim Tangens uns auf ein stetig also auf ein den Intervall beschränken müssen auf dem es tätig ist das ist in verschiedenen Stellen wichtig also solche Funktionen die tätig sind aber in der Bereich der Leiche hat die können ein paar komische Effekte produzieren da muss man aufpassen gut also werden dessen Stabe von Funktionen die und die stetig sind kann man bei einer die stetig ist die hatten wir auch schon wieder die seit Funktionen also noch mal zur Erinnerung H von X ist 1 wenn X größer gleich 0 ist und 0 wenn X kleiner 0 ist dies und stehe ich weiß ja dass der 0 springt aber eigentlich diese sogar noch ziemlich brav weil dies stetig an allen anderen Stellen also stetig in allen Punkten x Sternen die nicht gerade 0 sind und unstetig 0 danke so ist zu gut bestätigt ist nämlich nur über an außer in einem Punkt ist im Bereich tätig dennoch noch wie der sichere Funktion sogar Funktionen mal keinen period stetig sind überlegen ob sie auf eine kommt er der als
es gibt an die man nicht aber es gerade gesagt Sie können Funktion ehemaliger das können Sie nicht mal mit schwierig werden sie können Funktion angeben die keine period steht den Grafen mal ist ein bisschen mühsam der ja aber insofern es er deshalb noch ganz schön dies eben nicht überall stetig an der Stelle 0 geht schief aber sonst überall und um 0 ist nicht stetig aus dem Grund den wir letztes Mal schon hatten der Grenzwert wenn sie von rechts kommenden 0 ist 1 und der Grenzwert wenn Sie von links kommenden 0 ist nur das heißt der Grenzwert an der Stelle 0 existiert nicht und damit kann der Grenzwert an der Stelle 0 auch nicht gleich den Funktionswert sein weißen gar nicht gibt und man ist nicht ich aber so dann haben wir letztes Mal ich wiederhole jetzt ein
bisschen die Beispiele aus der letzten Vorlesung
diesen großen flatterhaften Flatter sinnlos also F von X Sinus 1 durch x ja das war der für x nicht 0 das war der große Flatter sie Lust immer von 1 bis minus 1 geht am Fluss war der Graf würden so ein ganzes Band den können Sie natürlich eine Stelle 0 können Sie die vom an der Stelle nur können die Funktion irgendwie definieren Infineon sowieso wollen für 0 das ist mir unstetige Funktionen immer noch und stetig nur das war das Beispiel 2 6 Sextäter dadurch ich ihnen gezeigt dass der Grenzwerte nur nicht existiert und dementsprechend ist das denn und stetig auch hier diese Funktion ist so viel sie auslegt ziemlich viel stetig über 1 außerdem 0 sich stetig warum weil er wurde comma noch weil wieder Bausatz Prinzip Sinus ist stetig einzig X ist ausl 0 stetig Verkettung von stetigen Funktion des stetig comma gleichen also dies überrannt bestätigt aus 0 aber nun ist und steht den hatten wir letztes Mal noch diesen
modifizierten Flatter sehen aus also F von
X gleich x-mal Sinus 1 durch x nein das war dieser gut ist nicht schlecht das war dieses dieser Platte sehen aus der Sicht auf 0 1 quetscht und da haben wir gesehen wenn Sie jetzt den Limes X gegen 0 davon machen und dann existiert der uns kommt nun raus das heißt wenn Sie die Funktion f definieren als x-mal das durch ix für iX nicht 0 und 0 für x gleich 0 und dann hatten wir gesehen das war das Beispiel 2 6 e der Klimes X gegen 0 von F von X der existiert 1 0 dementsprechend ist das der stetige Funktion und die sollte man so'n bisschen im Auge haben wenn man sagt stetig heißt sich an den Grafen mit dem Stift durch malen den Graf können sie nicht im Stich durch weil der Graf es unendlich lang also bronzene sind sie nicht ausführliche Miene die sehr sehr lange hält trotzdem ist es eine stetige Funktion gut der Sohn bisschen als Beispielsatz und jetzt komm wieder das altbekannte Konstrukt unser Herz das sehen erlaubt aus einfachen stetigen Funktionen kompliziertere zusammenzubauen also das Baukastenprinzip für dich Tätigkeit das
ist Satz 3 3 also ich nenne das mal Baukastenprinzip völlig Tätigkeit das ist kein eingeführter hoch wissenschaftlicher Name aber ich finde beschreibt ganz gut was damit gemeint ist wenn Sie Funktion haben von dem sie wissen dass ich tätig sind und wir hatten oben auf der mittlerweile irgendwo im dritten Stock ja gesehen haben keine ganze Menge Funktion die stetig sind Polynome Sinus Kosinus Tangens deren Umkehrfunktion Potenzen Wurzeln dann können Sie aus denen durch Summe Produkten alles mögliche wieder komplizierte Funktionen produzieren und der Satz hier garantiert Ihnen dass das alles wieder stetige Funktion wird also fangen wir an bin ab wenn Sie 2 stetige Funktion haben dann sind die folgenden Funktionen sofern sie vernünftig definiert sind als der taucht zum Beispiel die Verkettung von F und G auf damit Sie die Verkettung von F und G definieren können muss natürlich das Bild von 11 im Definitionsbereich von des enthalten sein aber davor die Funktion vernünftig definiert sind er an sind die folgenden Funktionen ebenfalls stetig also was will
man haben die Summe von 2 stetige Funktion bestätigt die Differenz von 2 stetigen Funktion bestätigt das Produkt von zweistelligen Funktion des stetig der Quotient von 2 stetigen Funktion des stetig vorbei Achtung das geht natürlich wieder nur da wurde es
gehe nicht 0 ist an den Stellen wo das gehen 0 Es geht das schief habe eine Stelle wo das gehen wird ist nicht vernünftig definiert dass wegen der Vorsatz oben da wo diese Funktion vernünftig definiert sind ist das sind das stetige Funktionen also wenn er stetig es gehe tätig und innig 0 dann ist an der Stelle erst durch die auch stetig und schließlich auch die Verkettung von F und G ist täglich wenn er von giftig ist so und damit können Sie zum Beispiel sehen dass wenn sie außerhalb von 0 sind ist sie nur von einzig x stetig warum die Funktion X geht nach X ist stetig so Pollnow nach der die Funktion X geht nach 1 die konstante 1 Funktion bestätigt auch ein Polynom das nehmen sie 1 durch X als F durchgehe überrall wurde 6 nicht 0 ist also aus 0 es 1 durch extra mit stetig der aus das stetig also es Sinus 1 durch x stetig weißen Verkettung von stetigen kommt so können Sie aus diesen einfachen Bausteinen sich alle Funktionen zusammenbauen von
den sich Tätigkeit nachweisen wollen so wir hier
somit Differenz Produkt Quotient Verkettung was können mit Funktion noch anstellen ganz viele Dinge aber eine Sache habe ich eine Sache haben uns schon darüber unterhalten und die taucht hier noch nicht auf und das ist die Umkehrfunktion und da ist auch alles gut also der Teil B sagt wann die Umkehrfunktion von der stetigen Funktion stetig ist und da kommt jetzt genau da ein Mann von Freunde müssen wir aufpassen das geht eben nur gut wenn der Dom Definitionsbereich der Funktion nicht irgendwas ist sondern die dabei also jetzt kommt diese vollen angemerkt es würde Voraussetzungen wenn das Definitionsbereich ein Intervall ist und 11. drauf nur Funktionen warum wollen nach B R I jektiv einer wird überhaupt die Umkehrfunktion bilden kann und stetig alle Sinne stetige umkehrbare Funktion auf einem Intervall haben dann ist die Umkehrfunktion das ist jetzt der Funktionen von B nach D F auch immer stetig wir sind zur Stelle wo man diese Zusatz Voraussetzung Brauch dass der Definitionsbereich im Intervall und dann ist alles gut vor so also das können wir so Differenz Produktcodes ihren Verkettung Umkehrfunktion wann immer die eingangs Ingrid stetig weiß auch das Ergebniss stetig ja und dieser Satz so
banale sich anhört so wahnsinnig mächtig ist da und ich einmal das folgende Beispiel hin und das ist für sich selber wirken und das ist jetzt rein erfundenes aber schauen sich mal die folgende Funktion an 11 ist der Augusttagen Jens von der 7. Wurzel von Cosinus hoch 4 x Karte von X Quadrat minus 5 und das Plus X Quadrat plus 1 7. Wurzel über das alles und das Multiplizieren mit dem Sinus von X noch 7 minus 1 durch x Quadrat plus 1 9. August der geht hier ebenso und wenn man sich das genau angucken stellen Sie fest dass was den geschriebener können Sie für alle x was er definieren weil ich aufgepasst habe nur in welchen Sinn denn da zum Beispiel der hinten unter dem Bruch in loswerden steht extra plus 1 ist nur positiv dass wir die 0 in der Wurzel steht was was immer größer gleich 0 es weil Kosovos hoch 4 ist immer größer gleich 0 und Export ab das 1 ist größer gleich nun also das was da steht macht für Alex ausersehen und meine Frage ist es stetig oder nicht haben Sie 2 Möglichkeiten entweder Sie nämlich Definition und überprüfen für jedes x Stern aus er ob der Limes F von X X gegen externe gleich F von X stärkt wir machen um sich Tätigkeit nachgewiesen aber schon sein dass er von extern ausrechnen die oder sie nehmen die Rechenregeln außen Satz 3 3 und schreiben den lapidaren Satz in die Funktion des stetig weil sie mir Verkettung Produkt und Summe von stetigen Funktionen Polonaisen stellt Findorff Augusttagen so die 7. Worte sind stetig und alles was hier steht ist mir Verarbeitung dieser Baustein haben das ist mehr Verkettung Markus Tangens von der Funktion wenn der Akkus sein ganzes stetig die Funktion des stetig als es das ganze stetig warum es die Funktion in stetig weil die sind die Worte stetiges weil der Kosovo stetig ist weil das hoch 4 nehmen stetig ist weil das Polynom x verraten dass 5 stetig ist weil das Polynom x plus ein stetig ist die Summe von stetigen Funktion stetig ist und unser können Sie es alles zusammenbauen und das ist der Vorteil von diesem Satz haben also das ist so kompliziert sie aussieht
sofort auf einen Blick nicht die Ethik der Funktion auf ganz an angeboten period und dass er ja das ist das traumhafte an diesen Satz nur Stetigkeit überprüfen muss man im Normalfall keine einziehen ausrechnen es sei denn die Funktion ist so doof dass irgendwie nicht so offensichtlich als tätig zu erklären gut das habe ich Ihnen gesagt im weiteren
Verlauf der Vorlesung heute gibt es den ganzen Stall voll aussagen schöne Eigenschaften von stetigen Funktionen die zweite Hälfte der Vorlesung beginnt jetzt also jetzt geht's hinteren an der ich habe mich auf 2 beschränkt 2 wichtige Aussagen die man machen kann über jede über stetige Funktion bin beide haben Namen setzte mit wenn der Satz mit Namen hat der anders ist als Satz 3 period Fund dann ist das ein Anzeichen dafür dass die wichtig sind und das ist bei den beiden
definitif der Verein das 1. ist der so genannte Satz von Weierstraß Weierstraß waren Mathematiker um die Jahrhundert Wende zum 19. Jahrhundert hat es Gymnasiallehrer angefahren und ist dann später in Berlin tätig gewesen und hat ja für reichlich Zeit gemacht und sich insbesondere eben auch mit so diesen Stetigkeit Begriff beschäftigt und bezahlen mit seinen Zeitgenossen immer darum gekämpft dass die bitte nicht so viel anschaulich intuitiv begründen sollen sondern bitte ein bisschen genau beweisen das war damals noch nicht so ausgeprägt und von wem stammt die folgende starb wirklich starke Beobachtungen wenn Sie eine Funktion haben stetige Funktion wissen wir bitte bestätige Funktionen die andere wichtige Voraussetzung ist die ist definiert auf den abgeschlossen der Wahl also auch wieder bitte nicht den Tangens sollen Definitionsbereich muss mit dabei sein und wichtige Zusatz Voraussetzung die beiden Enden müssen dazu gehört also kein offenes dann abgeschlossen sind dabei sie brauchen die stetige Funktion auf dem abgeschlossen der weil und die überraschende ist Schlussfolgerung ist wenn Sie die stetige Funktion auf Maximum offen aufm abgeschlossen der Wahl haben dann hat die immer einen maximalen dann Minimalwert die nimmt immer ihr Maximum und dem Minimum an anders formuliert das
gibt dann stellen x ich nenne die Matrix unten Strich und X oben strich aus diesem Intervall AB so das F von X und strich den Minimalwert ist also F von X und strich ist kleiner gleich F von X und das ist kleiner gleich F von X Bogenstrich für alle x aus dem im Definitionsbereich nun also der Satz sagt wenn Sie das stetige Funktion auf abgeschlossene der Wahl haben daneben die immer ein maximale dann Minimalwert an das ist man Optimierungsprobleme anschaut her also F ist irgendeine Größe diese irgendeinerweise optimieren wollen also für die Wii für die es ist Kostenfunktion und Sie suchen dessen den Input X mit den geringsten Kosten dann ist einfach nur aus dem Wissen ihre Kosten kommen aus dem abgeschlossen Intervall und ihre Kosten Funktion des stetig wissen Sie schauen die Optimierungsproblem hat eine Lösung sie wissen noch nicht ob sie eindeutig ist kann viele Lösungen haben aber es gibt auf jeden Fall eine schon wirklich er daraus folgt noch sofort das
2. Interessantes wer Sonderfunktionen definierten minimal und definierten Maximalwert hat dann ist sie automatisch beschränkt insbesondere ist jeder solche Funktionen eine beschränkte Funktion Weise hatten maximal und Minimalwert und da drüber oder drunter rausgeht sich also 2 den Merksatz jede stetige Funktion auf dem abgeschlossen der Wales beschränkt den Satz macht man sich oder den Satz
macht man sich am besten dadurch klar ich ihn schon mal gesagt wenn man also was rein gehen kann in dem er mal versucht mehr funktionieren zumal die den Satz widerspricht und wenn man das tut merkt man man kriegt in die ich mehr also was haben wir werden Intervall von A bis D er sich für den die wenig Beweise nicht werden denn nur plausibel machen damit dabei von dass wir daran Sie die Funktion definiert wir wollen die jetzt irgendwie so hin malen dass die kleinen maximal keine Minimalwert hat wenn sie nicht auf dem abgeschlossenen dabei sind ist das einfach ja er das meine ich im gleichen Moment aber wenn sie auf dem abgeschlossen dabei sind leider muss die funktionieren aber haben und sie muss in B ehrenwert haben und dazwischen dürfen Sie jetzt ganz viel tun Sie müssen nur leider stetig bleiben und stetig kriegt man das alles hier ja das ist und stetig machen dann können Sie zum Beispiel so machen ebenso noch unendlich abbauen an der Stelle definieren Sie die Funktion irgendwie und hier kommen sie von minus unendlich zurück ja das hat die kann maximal und keine Minimalwert aber es ist halt leider nicht stetig und diesen Ausweg ist ihnen versperrt am Rand können sie zwar auch ohne nach unendlich abbauen die Idee 2 die Idee für Sie versuchen am Rand nach unendlich abzuhauen geht genauso ist es warum also hier ist das der Wert als Person sie hier sich vom Acker zu machen wer sie müssen funktionieren aber irgendwie definieren der wird uns Bereich soll das abgeschlossen dabei seiner guten definieren sind halt wie und ob sie sich bestätigt dabei stetig heißt der neben period stetig das heißt auch für X gegen Ar muss er von X den er von AG dort nicht das war also das funktioniert auch nicht ja und Sie kommen im Endeffekt nicht umhin ein Bild von der Folgen anzumalen das Intervall A bis B 7 in Aalen werden die B oder zwischen können Sie zwar meinetwegen machen Sie jetzt da Sohn aus sie musste zwischen oder sonst irgendwas aber sie kommen nicht umhin etwas beschränktes sind zumal das irgendwo im größten und kleinsten der hatte also in dem Fall wer das B das X oben Stern und das X und nicht an der gibt es jetzt viele also die hat viele minimal gleiche Werte aber es gibt dazu so ja also
in dem Sinne ist der Satz in die plausibel man kriegt es nicht hin dass es keine Beweise aber ich hoffe dass man dann sieht was hier passiert ich will noch eine Warnung aussprechen sie haben für diesen Satz eine ganze Menge Voraussetzungen die vom so muss stetig sein und sie muss auch im abgeschlossenen Intervall definiert sein stetig abgeschlossen Intervall alle 3 sind notwendig wenn eine von diesen 3 Voraussetzungen nicht erfüllt ist dann können sie bauen was ist nicht halt er das Beispiel für wenn sie keine Stetigkeit haben haben Sie da oben schon 2 sie stetig nicht voraussetzen dass es keine Probleme Funktion auf dem abgeschlossen der zumal die keine Maximum kann warte nicht beschränkt ist wenn Sie kein Intervall haben dann können Sie Sonne Tangens Kram nehmen und wenn Sie er nicht abgeschlossen sind dann geht's auch schief und das Beispiel will ich ihn noch hin mal also die Bemerkung hier ist sozusagen die Warnungen die wesentliche Voraussetzung hier für ist das das T 11 abgeschlossenes Intervall ist und zwar beides sowohl abgeschlossen auch als auch in der Wahl in wenn der Satz wird uns einfach
falsch er schauen sich als Beispiel
folgendes an also jetzt als Beispiel wenn die Abgeschlossenheit verschütt geht nehmen Sie F von X ist 1 durch x Herr X größer 0 und dann ja das ist dort nicht stetige Funktion wenn sich's größer 0 bleiben das ist nicht die nötige Funktion weil der von der Erde die von x gleich x ist stetig 1 durch X ist ein auch stetig solange das X nicht 0 ist aber das XL ist eben nicht nur also es das der stetige Funktion aber wenn Sie jetzt das
Intervall 0 1 nämlich 0 offen als abgeschlossen das ist also eine stetige Funktion auf diese mit der Wahl aber dies nicht beschränkt wir meinen man sich sehen wie sieht die
aus klassische Standardtyp habe wenn sie schon gesehen haben ja so das Intervall 0 1 zitieren auf dem in der Wahl die 5 Sohn stetig das Intervall aber sie ist nicht beschränkt sie hat es gibt keine Stelle wo sie Maximalwert annimmt und dementsprechend gilt der Satz von oben nicht und das liegt daran dass das eben hier nicht abgeschlossen ist mehr also brauchen alle 3 Voraussetzungen dir wirklich zwingend gut die Bedeutung von den Satz hat sich
von schon so müssen angedeutet die Bedeutung ist das ist meistens recht leicht zu sehen ist dass das in der Wahl der zulässigen Parameter für eine Funktion abgeschlossen und abgeschlossen ist und zu sehen dass die Funktion stetig ist siehe oben es auch nicht schwer und das liefert Ihnen dann sofort und ohne weiteres Nachdenken oder rechnen die Beschränktheit und die Existenz von Maxima und Minima nur und das ist vor allem zum Beispiel eben bei Kostenfunktion und so weiter er sehr von Nutzen aber man weiß es gibt schon mal jemand auf jeden Fall sicher ist es gibt Maximum dann ist es einfacher das zu finden als den man nicht mehr weiß ob es eines gibt ja wenn man wenn man einen wenn man
einem Phantom hinterher jagt das ist mir besonders angenehm ist nur schwach weil gut zu wissen dass es gibt auf jeden Fall Lösung und dann geht's auch ne Methoden an die zukommt gut das ist jetzt wird der Satz von Weierstraß 1. wichtige Eigenschaft von stetigen Funktionen und der zweite Satz den ich in präsentieren will ist der zwischen Satz und auch das ist eine typische Eigenschaft von stetigen Funktionen auch hier wieder 11 auf dem Intervall definiert wie ein abgeschlossenes Intervall nach er es stetig also wieder eine Funktion stetig auf mit der Wahl wobei hier das dem abgeschlossen sehen Sie gleichermaßen wichtig ist man hat für so und dann sagt der Salz für jeden Wert y das hat also was Sie machen können dass
es auf diesen Abschluss Intervall AB definiert dann können Sie es von A und F von B ausrechnen sind 2 2 Zahlen wird von Essen an er von wird von FNB sind 2 Zahlen und wir nehmen sie ihren y dass zwischen diesen beiden Zahlen also gehen sie davon aus er von A S 3 und S von B ist 7 ja also dann haben Sie jetzt eine Zahl zwischen 3 und 7 könnte zum Beispiel Pinien also für jedes y wie jede Zahl zwischen diesen Zahlen er von A und E von B gibt es dann ein X das auch zwischen A und B liegt zur des F von X genau y anders formuliert heißt das wenn Sie 2 wenn sie ihre
Werte er von A und E von B haben er dann sagt dieser Satz jeder wäre zwischen 11 von A und er von B ist auch ein Funktion wird angenommen diesen Bild Unternehmen irgendwo herkommen Urbild das heißt alle Werte die zwischen 11 und und F und B liegen sind im Bild enthalten und das bedeutet das Bild ja Funktion die Bild Menge er von A B also das manchmal auch BS bezeichnet ist immer und in jedem Fall ein Intervall also kann man diesen Satz kurz kurz und bündig formulieren stetige Bilder von der Wahlen sind der Wale wenn Sie Intervall stetig ab bilden konnte man den dabei raus noch anders formuliert was macht so eine stetige Funktionen nimmt das Intervall auf der x-Achse steckt und Strauch das und machte den Graf draus der oder steckt drauf das Indiz auf die y-Achse aber was die stetige Funktion nicht kann ist das Intervall zerreißt Rechnung das ist stetigen Funktion nicht möglich es bleibt also immer ein Intervall dass das was der zwischen der Zeit sagt und auch hier wieder das Bild also auch hier keine
Beweise sondern im Bild warum der Satz plausibel ist also das ist die Situation sie haben wird senden wird B seine Funktion stetig auf dem Intervall Bild so dann wie es von da unter oben Air von Bild und jetzt sagt der Satz für jedes y dass sich jeder zwischen finden die 10 x der das Band das auf das Sitzland abgebildet wird das muss nicht immer ein eindeutiges X seiner das liegt jetzt an dem Bild das ich hier gemalt habe also wenn sie ein bisschen anders 11 nehmen Jan A dann B 1 7 11. ein bisschen mehr wackelt dann haben Sie hier von dann sehr von B Ä nehmen Sie sich um y dazwischen dann selbst in gut Auswahl was ja nix neben mehr Preisen gibt hier irgendwo nix das auf y abgebildet wird und hier und da und da und dann noch 1 also gibt es reichlich Auswahl das ist auch nicht das Thema des zwischen wird Satzes der sagt denn nur so geht könne noch 37 sein kann unendlich viele sein aber es gibt man mindestens 1 also was nicht passiert sieht es nun ja denn auch hier wieder wenn man versucht sich klarzumachen warum der Satz gilt versucht man am
besten mal zur Funktion zu zeichnen ist nicht tot war also waren sich
an den man sich bilden dann gibt es irgendwo und er von also die wir jemals aus die Funktion geht hier durch und es gibt mehr von B so was wir jetzt versuchen ist der Funktion zu malen stetig auf dem ganz Intervall aber definiert die bitte ich hören diesen werde y dazwischen nicht trifft man kann sich schon überlegen wie stellt man das an der müssen irgendwie von dem Kreuz dort zu dem Kreuzer kommen und besser bislang und das kriegt man natürlich problemlos hin mit irdener Funktion als ich meine eine naheliegende Lösung ist sowas aber dies nicht wirklich aber das stetig machen müssen man wenn Sie schon das geht hilft weil sie kommen eben stetig in nicht einem y vorweisen müssen da man durch und dann haben es passiert die zweite Idee die man haben kann ist mehr man muss ja nicht direkt von der von A nach F und B und kann den Dreck vom Tangens an anwenden man kann sicher durch so unendlich arbeiten wir also der K und beginne nicht direkt zusammengehauen dennoch unendlich ab und kommen so zurück dann comma dem y auf vorbei aber dann sind wir und ich stetig tun aber die Funktion muss ja auf dem ganzen intervallartig tätig sein also insbesondere an diese Impuls stellt er tut es aber nicht in dem Sinne gesetzlichen jetzt als auch plausibel sie müssen eben nur versuchen verbinden Sie die beiden Punkte von A und B 11 und B mit dem durchgehenden Linie so dass sie diese gerade y nicht leid geht um warum ist jetzt der Satz wichtig das will ich Ihnen beantworten mit dem
kleinen Exkurs in der Numerik was meine ich mit Numerik Numerik ist der Bereich der Mathematik der sich damit beschäftigt ja aber drehen sich mit der Frage beschäftigt die häufiger mal auftaucht die ganze Theorie ist ja schön und gut aber wie Recht nicht das denn jetzt konkret aus ja also mit der Frage kann sehr sein zu Recht immer auf mich zu mit der Frage wie ja beordert Verfahren und alles toll aber wenn ich die Nullstelle von dem blöden Polynom ich weiß wo Krisenländern die recht nicht Sie denn jetzt aus und meine Antwort war immer gar nicht weil die kein Verfahren also für exakte Berechnung von Nullstellen sondern was man tun kann ist numerische Verfahren anwenden Näherungsverfahren also die Frage wie kann man die Numerik Geschäfte sie mit der Frage wie kann man komplizierte Gleichungen die man nicht explizit auflösen kann näherungsweise müssen und ein ganz einfaches mal ganz 1. plumpes Verfahren zur Lösung von Gleichungen numerisch basiert auf dem Zweck auf den zwischen der Satz und das ist das sogenannte die Sektion Verfahren oder auch in der 1 Halbierung Verfahren und mit dem komm ich jetzt hier also ein 1. ein kleiner numerische Exkurs das wie Sektionschef an auch in der Wahrheit die uns Verfahren die genannt und da wenn ich Ihnen zeigen warum der zwischen der Zusatz an der Stelle wichtig ist weil nur der Ihnen garantiert dass dieses Verfahren funktioniert also numerisches Näherungsverfahren da kann man sich viel einfallen lassen aber die stehen und fallen damit dass man irgendwann nachweisen muss dieses Verfahren führt auch zu einer Lösung da weil wenn man das nicht weiß dann kann man ganz tollen Computern Nehrung ausrechnen und Bilder malen aber wenn man nicht weiß was diese Bilder mit der Lösung zu tun haben muss das nicht viel also man muss irgendwann sicherstellen das Verfahren für zur Lösung und das geht
hier inzwischen wert ist also was sollen wir tun wir wollen die Gleichungen lösen und das ist mir gleich um die kommt es irgendwo her was sollen eine Berechnung die sie in Zusammenhang mit der was weiß ich Statikberechnungen gemacht haben und die so kompliziert dass völlig klar ist die lösen wenn ich so mal eben auf dem Papier von Hand habe zum Beispiel Polynom fünften Grades musste von Wohnung fünften Grades der ist definitif um Papier in so also wir wollen eine Gleichung näherungsweise lösen ab und das 1. was der nunmehriger oder dem nunmehrigen macht ist so ungleich Jungs Lösungs Problemen kann man immer reduzieren auf 0 stellen Probleme das ist der Grund Akt grundsätzlich 1. Aktionen eine numerischen Behandlung weil da muss man sich nur noch mit Nullstellen Problem rumplagen warum kann man jedes Gleichung Problem auf 0 stellen Problem reduzieren und sie so belegt es ist banal aber muss drauf kommen wenn sie dich wilde Gleichung haben dann können Sie einfach alles was auf der rechten Seite steht auf die linke rüber Schaufeln und da steht rechts Rechnung also die Gleichung kann noch so wild aus denn alles auf eine Seite packen und sie haben die gleich von der Farm nach was wir es gleich 0 war und das ist durch den Problemen als also können sie geht es gleich ums Lösungs Problem umschreiben in dem Problem von der Sorte F von X gleich 0 und es ist eben dieses Riesen bildet den was dann auf der linken Seite stehen bleibt wenn sie alles was Recht war nach dies geschafft hat Sa und die Grundannahme die sie wieder einstecken müssen wie gesagt stillschweigende Annahme an vielen Stellen dieses F muss tätig sein also Sie waren diese Recht unsere linke Seite ihrer Gleichung dieses F muss gut sie müssen natürlich Definitionsbereich haben wo das X herkommt muss tätig sein und dieses Definitionsbereich mussten in der Weise ein mehr können Sie mir sofort fragen was ich mache ich werde Definitionsbereich kein Intervall es Antwort nicht schlimm meistens bestelle dann aus mehreren Intervall schauen sich diesen war einzeln an da sie dürfen Definitionsbereich von ihrer Funktion jederzeit einschränken die Frage ist nur wer wollte nur Stelle finden und wenn die Funktion irgendwie auf dem komischen den definiert ist indem sie halt mal ein Intervall raus aus dem Definitionsbereich und gucken sich das als das ist keine besonders einschränkende Voraussetzung wenn sie eine einschränkende Voraussetzung ist dann ist es das ist stetig aber wie gesagt alle Funktionen mit denen sie ihren weiteren Berufslaufbahn zu tun haben in dem weit im Studium sind erwartungsgemäß also fast alle werden steht ja was man jetzt um dieses Verfahren
brauche zu starten können haben muss was bekannt sein muss sind 2 Startwerte A und B aus den Definitionsbereich gut und er von A und es von B wird natürlich im Allgemeinen nicht nur sein also wenn Sie natürlich wenn an dem einsetzen kriegen zufällig nur draußen sie glücklich weil dann haben sie ihre neue Stelle gefunden aber dass es unwahrscheinlich also welche Zahlen rauskommen und sie brauchen nicht irgendwelche zu brauchen fast irgendwelche aber nicht irgendwelche Zahlen sie brauchen das er von A und L von des verschiedene Vorzeichen haben ja also machen was man so rum von kleiner 0 und er von den muss Christian und seine so und so weit sie 2 Werte haben wir denn die Funktion unterschiedliche Vorzeichen hat dann läuft die Maschine an bei was sagt Ihnen jetzt kommt jetzt
kommt das Theorie geschützt was sagt denn der zwischen Satz sie wissen jetzt er von ist kleiner 0 F von des ist größer 0 auf dem Intervall ist die Funktion auf abgeschlossen der Wahl ABS die Funktion definiert 0 liegt zwischen 11 von A und E von B was 1 kleines eines Go soll also mit 0 dazwischen dazwischen wird Satz liefert also es geht mir 0 Sterne zwischen A und B 0 -Sieg zwischen 11 von A und von denen sagte zwischen der Satz dann gibt es in meinen X zwischen A und B so dass er von X gleich 0 ist das heißt wenn sie nur gewährt haben diesen zum kleinen und das in einer so großen und ist meiner musste zwischen anschauen der nur stellen und die wollen haben so unter Algorithmus geht jetzt folgendermaßen
wie kommen Sie jetzt an diese neue Stelle an ja Sie wissen sie nicht zwischen A und B es kann natürlich sein dass alles nun und das bis 100 das heißt das wissen die Nullstelle der wurden Nulllohnrunde gesehen sind wahrscheinlich zu schlecht ja also müssen sie müssen Sie er wissen genau machen und dass man sie folgendermaßen Preise Sie wissen ja nur Stille zwischen 0 und 100 dann probieren wir doch mal wie sieht's denn in der Mitte aus also wir bestimmen den Funktionswert andere am Mittelwert von A und B also in dem Beispiel 0 und 101 an der Stelle 50 und das einzige was uns interessiert ist nicht der Zahlenwert wäre gut wenn der Zahl der zufällig nun ist dann rufen vor Heureka und geben das raus und seinem unsere sowohl stelle aber dass es unwahrscheinlich sondern da kommt Zahlen aus gut wie gesagt wenn Sie nun ist dann sind sie fertig aber mal Gemeinde ziemlich 0 sein und einzige was sie dann interessiert es gar nicht der genaue während sonderes Vorzeichen 1. Fall an der Stelle 50 da Mittelpunkt kommt was Negatives raus dann ist es an der Stelle an negativ an der Mittel am Mittelpunkt negativ und an der Stelle B positiv also wie ist die Situation mal was ist noch mal wenn Sie einen wird an senden wird B X F von X sie wissen an der Stelle ist die Funktion negativ eines der besten positiv gut es ist sich der dich das heißt sie muss sich irgendwie so verhalten und unser heiliger Gral unser großes Ziel ist das da so was er jetzt im 1. Schritt gemacht wir haben A plus B halbe ausgerechnet also den Mittelwert von den beiden wenn die angeguckt was dort mit der Funktion passiert in dem Beispiel der ich hier gemalt ist er von A plus B positiv was machen Sie jetzt in dem Fall in dem Fall ist klar es von ist negativ von plus behalte es positiv also muss die 0 muss eine Nullstelle der dazwischen liegen und damit Sie Ihre Genauigkeit ihrer Einschließung der Nullstelle schon verdoppelt und können damit von neuem starten wir also
das bin ich endlich die umgekehrten Fall von der zeichnen ausge- ausgleichen wenn er dass er von der an dem Mittelwert negativ ist dann ist die Aufgabe starteten den Algorithmus neue A plus B halben statt Ar und demselben Wege und dann wird und ich mir jetzt den Mittelwert von A plus B halbe B Rundschau wieder nach was hat er von der Stelle von Vorzeichen und so weiter und so weiter und so weiter und wenn wir so im Fall sind wie im
Bild also wenn 11 am Mittelwert positiv ist dann startet den Algorithmus neue sieht man jetzt ein Bild was sind die beiden neuen Randpunkte vom Intervall mit demselben an mehr und mit A plus B B wenn also man suche dann mit dem gleichen Verfahren die 0 stelle ich mir ganz Intervall ABS sondern dem Intervall A bis plus behalten und was macht man denn bitte den Mittelwert von mit Abschluss halbe das heißt in dem Bilden im nächsten Schritt würde man sich das Vorzeichen der Funktion hier anschauen das wäre negativ also würde man dann auf den das nächstkleinere Intervall zwischen diesen beiden Punkten A B halbe gehen das wieder halbieren und sich so immer näher an die dieser Stelle herantasten und dem Beispiel mal weitermachen das nächste wäre dann hier dann würde wäre man auf diesen hätte man schon diese Einschließung so kam immer weitermachen und das macht man es eben so lange es also
diesen Algorithmus wendet man so lange an bis 1 dieser wert also das Intervall dass man noch übrig hat klein genug ist was klein genug ist muss man natürlich vorher irgendwie selber festgelegt haben theoretisch kann man auf die Weise sich beliebig nahe an die Nullstelle daran arbeiten kann halt dauernd und irgendwann ist die Frage ob die durch das wert ist dass der Compiler 5 Jahre rechnete oder auch die 583. Nachkommastellen dann eigentlich auch egal ist und dementsprechend muss man halt kommt wieder sagen denn der Stelle soll auf der dieser geht's gleich wenn sie denn kommt wieder sowas ausrechnen lassen wird man das üblicherweise nicht mit diesem wie Sektionshelfer machen das ist unser ja einfaches Verfahren das einen großen Vorteil hat das funktioniert immer und für jede stetige
Funktionen also funktioniert immer solange die Funktion stetig ist das ist der unschlagbare Vorteil dieses Verfahrens ansonsten ist es nur relativ langsam das Verfahren da werden da noch ein deutlich schnelleres kennen mehr und vor und funktioniert immer weil in jedem Schritt eben den Mittelwert Satz garantiert dass in dem Intervall werde zwischen der Zusatz garantiert dass in dem Intervall noch mehr Nullstelle liegt zum einen gehen Schritt garantiert der zwischen Satz der Existenzen eine Nullstelle in dem verbliebenen Intervall und man Kasten die auf die Weise immer weiter ein das der Vorteil von dem Verfahren der Nachteil von dem Verfahren ist als der Vater dieses funktioniert für sehr sehr allgemeine Funktion und auch bestätigt der Nachteil des ist sehr sehr langsam also MdE Einschließung einen technisch relevanten Bereich zu period kriegen von dass er sich das Intervall ist noch ein Tausendstel lang oder zehntausendste einen muss man viele viele viele Rechenschritte machen wir werden wir noch deutlich im Allgemeinen deutlich effizientere Algorithmen ein deutliches 10 Algorithmus sehen so aber an der Stelle sozusagen das dient zum einen um ihn Mason 1. numerisches das Verfahren zu zeigen und zum andern Dienste zu zu erklären was den Mittelwert Satz wichtige Rolle spielt meistens ist das was man als Mittelwert setzt sieht genauso war es die Existenz von einer Nullstelle also man man kann ohne dass man die Funktion explizit berechnen kann nur aus dem Wissen an 2 Stellen kennt man die Werte schon sehen dazwischen muss es irgendwo und Wert geben der annimmt der also für jeden wer zwischen 11 und davon B kann man sehen es gibt den wert der darauf abgebildet wird das heißt zum Beispiel man kann damit nur stellt Probleme nicht lösen aber man kann sicher gehen Sie haben eine Lösung ein weiteres Beispiel für eine Anwendung von dem Satz die nicht besonders also die ein nicht sofort offensichtliches Ergebnis liefert bietet Ihnen das nächste Übungsblatt dass eine kleine Zusatzaufgabe drauf können Sie sich gern mal anschauen gut ich will an der
Stelle dieses Gebilde Stetigkeit verlassen der Begriff wird wieder und wieder auftauchen der Begriff ist wie gesagt unserem Fundament für das was jetzt kommt ohne Stetigkeit geht alles gar nicht und wie gesagt er brauche es ständig im Hintergrund wir werden unseren eigentlich meistens nicht um ihn kümmern weil der einfach zum Grund Arsenal der Voraussetzungen gut ich komme jetzt
sozusagen in Schluss dieses ganzen Kapitels über Konvergenz noch zum Begriff der Reihe und damit ein bisschen auch wieder zurück an den Anfang dieses Kapitels ich hatte ihn vor einigen Vorlesungen diesen vorhin diese vorhin präsentierte smarten wird ist er ein endliches und intuitiv und da hatten wir oder die Summen an geschaut und ich habe dann danach über folgende verliert und man hat nicht nur bedingt gesehen wohl diese Summen sind und genau darum wollen wir uns jetzt noch mal explizit kümmern also freien 10 unendlich lang gesungen und dem Zusammenhang wird noch weiter hinten der Begriff der Potenzreihe aufkocht tauchen ist der zweite Teile dieses Abschnitts rein und Potenzreihen also was wir uns jetzt anschauen wollen ist die Behandlung unendlicher Summen von reellen Zahl und ich hatte in diesem Einführungs- Vortrag gezeigt dass dann die komische Dinge passieren können und die wollen wir uns jetzt ein bisschen anschaffen ja also was wir machen wollen in unendliche Summen von reellen Zahlen bilden ich Mama in der Regel noch in Klammern an komplexen rein alles was ich Ihnen hier über Rhein erzähle funktioniert im Wesentlichen auch für komplexe Zahlen ich will an der Stelle allerdings keine allzu ich nicht ohne dich kompliziert machen ich für ihn alles für ihre Zahlen vor aber eigentlich überall wo es erstehen können Sie im Wesentlichen auch 10 schreiben das würde wahrscheinlich für nicht so arg viele von ihnen von Relevanz sein wegen unterschlage ich sie aber ich sag's für alle die die später mal aus und Grund mit komplexen reinzutun kriegen also mit rein von komplexen Zahl die Theorie ist im Wesentlichen die gleiche das heißt wenn Sie sich jetzt hier die Theorie über den sie dir gut verstehen und irgendwann tauchen komplexe rein auf dann schnappen sie sich Mathebuch über wo drin vorkommen und wenn sie die Theorie der reellen gut verstanden haben Bronze 15 Minuten können auch komplex da in dem Sinne reicht es wenn wir uns jetzt hier reelle anschauen der Umstieg darauf komplexe rein ist nicht schwierig so viel zu dem Thema ich wird ab jetzt eben wie gesagt noch wenn er arbeiten und alle die die später mal
mit komplexen reinzutun kriegen
ruf ich auf da keine Berührungsängste zu haben es ist nicht wirklich komplizierter es ist nur Moment natürlich ungewohnter weil wir die komplexen Zahlen nicht so gut kennt so also was wir anschauen wollen so unendliche Folgen der unendliche Summen ich erinnere nochmal das damals Standardbeispiel war dieser 1 bloßen haltlosen Viertel bloßen 8. also die Reihe J gleich neue bis dann endlich 1 durch 2 hoch J ja das ist eine formale Schreibweise die Prinzip gleiches einführen werden sie summieren unendlich viele Summanden auf nämlich eines bloßen haltlosen Viertel bloßen 8. flossen 16 geflossen 32. und so weiter und undeutlich in schon gezeigt naheliegenderweise kommt da 2 raus nur weil das ist 1 stoßen halb großen für gechlossen 8. bloßen 16 Tausend 32. und so weit her wir definieren wie jetzt das sauber
haben Sie damit Unendlichkeit zu tun also sie wird sein dass über Konvergenz von Folgen zu beschreiben weil das ist unser unser Hauptthema mit dem der Unendlichkeit in den Griff kriegen also an Sohnes muss müssen Sie kurz ein bisschen aufpassen weil versetzt kommt ein Moment wo sich lohnt 15 Minuten 1 5 Minuten sie zu konzentrieren bei jetzt kommt nämlich 2 verschiedene folgen die nix mehr zu tun haben die muss man strikt auseinanderhalten wenn Sendereihe definieren dann heißt das ja so unendliche Summe dann haben Sie zunächst mal diese ganzen so Summanden diese so Summanden dann sie als Folge sehen also in dem Fall hier die Folge Einzelheiten würden 8. 16. 32 Folge von unendlich vielen Zahlen diese unendlichen Zahl so nehmen sie auf diese vorgesehen gegeben aber das ist die gegeben der Folge die man nicht mal am das ist die Folge der so man tja was heißt jetzt machen diese unendliche Reihe das heißt sie so mir unendlich zahlen das können man allgemein nicht sie können nur endlich viele Zahlen so mehr also tun wir mal das wir so man endlich wieder Zeit beim immer bescheiden an und sowie in eine da haben Sie A 1 dpa das nenne ich mal S 1 warum ich dass es ein solches weitergeht was machen Sie als nächstes für summieren A 1 plus 1 2 das gibt es 2 sehen sich wahrscheinlich 2 der nächste Schritt addieren so das 3 dazu das gibt es 3 mehr es steht hier für Summe nur die fünfte
Teilsumme ist eben 1 plus 1 2 Poser 3 Brüssel 4 bis auf 5 oder allgemeine die Folge ist sie werden die die die Ente Teilsumme S M ist die Summe n gleich 1 bis über A 1 bis A 2 3 bis plus am so und auf diese
Weise es unsere unendliche Summe dargestellt durch diese Folge S 1 S 2 S 3 S 4 und so weiter bis es das jetzt mehr andere Folge als die Folge der am wenn die ein Sie die Summanden und diese S M sind die Teile Summen war und so heißen sie auch also dieses S also die Folge die Folge ja S 1 S 2 S 3 S M heißt Folge der Partial Summen auf ich von der folge der summierten zahlen am also Sie haben es mit solchen rein mit unendlichen Summen zu tun haben 2 Folgen einmal die Folge der Summanden und dann die Folge dieser Partial Summen und was heißt jetzt die Reihe Was heißt die unendliche Summe konvergiert gegen einen das ist jetzt relativ klar was kommt raus wenn sie unendlich viele Zahlen addieren wer diese es wenn alles gut geht werden eine 1 Proxim Nation bilden dieses Werts von unendlich vielen Zahlen wenn sie ohne die Vielzahl der dir wollen den Sie ich viel oder die immer noch mehr dazu und der Grenzwert dieser Folge erst ja also im guten Fall wird diese Folge S n konvergieren also konvergiert diese Folge S dann sagt man die Reihe konvergiert weil dann kann man im unendlichen summieren einen
Sinn geben dann sagt man die Reihe die Summe n gleich 1 bis unendlich am konvertiert ja und schreibt eben dieses Symbol n gleich 1 bis unendlich A 1 für den ist für den Wert der unendlichen Summe also für den Limes von entgegen unendlich S dass der Grenzwert dieser Folge von immer größer aufsummierten sondern der ist der wert der Reihe der Werte unendlichen Summation und ganz ja plastisch wird das wenn sie jetzt hier dass es noch mal einsetzen das ist der Limes gegen unendlich von der Summe n gleich 1 bis M A das übernehmen Konvergenz von der Reihe definiert zu definieren die Konvergenz der Reihe indem sie sagen sie summieren erstmal nur endlich viele und so werden immer mehr und bei diesen immer mehr summiere etwas konvergent wegen des rauskommt dass der Grenzwert davon der Welt der unendlichen Reihe Jordan das ist der Begriff der Konvergenz der
Reihe und den wir Konvergenz haben dann ist die Divergenz nicht weit Weber erfolgen wenn der Reihe nicht konvergiert einen dass sie die Welt die wir also eine Reihe die nicht konvergent ist und Cray ist konvergent heißt diese Folge der Partial Somes konvergent wenn dieser Abfolge der Partial suchen Divergenz ist dann heißt die Reihe die weg gelungen Gutschein damit
haben wir definiert was es bedeutet eine
unendliche Summe von Zahlen konvergiert gegen einen sinnvollen wert ich habe jetzt hier bei diesen ganzen Rechnung immer mit mir Summation mit diesem Nation bei n gleich 1 angefahren wir also der erste Summand war der erste Summand das ist auch irgendwie plausibel und naheliegend aus Darstellungs- Gründen ist das aber nicht immer praktisch ja also wenn Sie schon einmal die hoch springen und sich das dann da habe ich auch gleich
0 bis unendlich geschrieben einfach weil ich diesen Summanden 1 noch habe vorne haben will nein denn man 1 kriege ich wieder gleich 0 weil 2 Wochen soll es als also ich würde auch gern im Wesen wenn man jetzt nicht ganz Korinthenkacker ist stellt dann ist dieses Symbol der oben ja jetzt gar nicht definiert weil ich habe nur definiert was es bedeutet eine Folge glaube gleich 1 bis unehrliches Konvergenz und das ist jetzt der Inhalte
der nächste Bemerkung also Bemerkung 4 2 man kann analoge Definitionen schreiben für in der Summe der Frauen N gleich unten K 0 er soll endlich am und dieses kann 0 ist eben die ganze Zeit also diese Summation kann eben auch bei 0 anfangen oder bei minus 15 oder bei plus 27 wichtig ist das ist unendlich lange so mehr ja also falls sie in der Folge haben diese summieren wollen und die startet bei K 0 und nicht bei 1 zu das macht an einer ganzen Definition nichts ändert eine Definition nichts okay also immer Begriff der Konvergenz einer Reihe ein 2 Beispiele haben wir in diesem Einführungsvortrag am Anfang schon gesehen ich werd' Sie nächstes Mal dabei diese Einführungsvortrag war nicht dazu gedacht Stoff unterzujubeln sondern um sie aufs Thema einzustimmen nicht mehr die also nächsten Vorlesung nochmal wiederholen die Beispiele und dann vertiefen und insofern lohnt sich's wenn sie sich vor der nächsten Vorlesung diese Definition der rein Konvergenz nochmal in Minute angucken und ansonsten wünsche ich Ihnen erstmal man erfolgreiche Woche und wir sehen uns nächsten Dienstag und ich dann die Daten für die auf
Ebene
Algebraisch abgeschlossener Körper
Folge <Mathematik>
Punkt
Menge
Betrag <Mathematik>
Fortsetzung <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Summe
Gewichtete Summe
Quotient
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Summe
Folge <Mathematik>
Multiplikation
Subtraktion
Gewichtete Summe
Quotient
Minimalgrad
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Folge <Mathematik>
Quotient
Aussage <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Funktion <Mathematik>
Algebraisch abgeschlossener Körper
Zusammenhang <Mathematik>
GERT
Physikalischer Effekt
Richtung
Grenzwertberechnung
Stetigkeit
Mathematischer Begriff
Stetige Funktion
Vollständigkeit
Stetigkeit
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Punkt
Graph
Stetigkeit
Linie
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Parametersystem
Punkt
Menge
Stetigkeit
Unstetigkeit <Mathematik>
Uniforme Struktur
Mathematiker
Stetige Funktion
Baustatik
Platte
Funktion <Mathematik>
Vollständigkeit
Polynom
Umkehrfunktion
GERT
Betrag <Mathematik>
Exponent
Stetige Funktion
Zahl
Funktion <Mathematik>
Punkt
Große Vereinheitlichung
Menge
Physikalischer Effekt
Stab
Unstetigkeit <Mathematik>
Unteres partielles Moment
Stetige Funktion
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Flattern <Technik>
Formation <Mathematik>
Stetige Funktion
Grenzwertberechnung
Unstetige Funktion
Sinusfunktion
Flattern <Technik>
Stetige Funktion
Platte
Summe
Polynom
Umkehrfunktion
Exponent
Menge
Quotient
Stetige Funktion
Biprodukt
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Polynom
Stetige Funktion
Gleitendes Mittel
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Summe
Polynom
Multiplikation
Quadrat
Umkehrfunktion
Quotient
Stetige Funktion
Gleitendes Mittel
Stetige Abbildung
Funktion <Mathematik>
Stetigkeit
Aussage <Mathematik>
Stetige Funktion
Gleitendes Mittel
Lösung <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Ende <Graphentheorie>
Stetigkeit
Kostenfunktion
Minimum
Optimierungsproblem
Mathematiker
Maximum
Stetige Funktion
Funktion <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Momentenproblem
Stetige Funktion
Funktion <Mathematik>
Menge
Stetigkeit
Maximum
Stetige Funktion
Parametersystem
Kostenfunktion
Maximum
Gleichmäßige Beschränktheit
Stetige Funktion
Algebraisch abgeschlossener Körper
Menge
Stetige Funktion
Urbild <Mathematik>
Zahl
Formation <Mathematik>
Impuls
Polynom
Numerisches Verfahren
Numerische Mathematik
Nullstelle
Berechnung
Näherungsverfahren
Mathematiker
Gleichungssystem
Linie
Lösung <Mathematik>
Polynom
Zusammenhang <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Berechnung
Gleichungssystem
Gleichung
Zahl
Gradient
Funktion <Mathematik>
Mittelungsverfahren
Negative Zahl
Betrag <Mathematik>
Mittelwert
Nullstelle
Zahlenwert
Zahl
Algebraisch abgeschlossener Körper
Punkt
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Mittelwert
Mittelwert
Existenzsatz
Nullstelle
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Komplexe Ebene
Zusammenhang <Mathematik>
Gewichtete Summe
Reelle Zahl
Stetigkeit
Reihe
Potenzreihe
Zahl
Unendlichkeit
Komplexe Ebene
Folge <Mathematik>
Gewichtete Summe
Summand
Momentenproblem
Reihe
Summe
Folge <Mathematik>
Momentenproblem
Summand
Partialsumme
Reihe
Transfinite Zahl
Zahl
Unendlichkeit
Summe
Folge <Mathematik>
Gewichtete Summe
Summand
Reihe
Zahl
Unendlichkeit
Summe
Summand
Reihe
Inhalt <Mathematik>
Zahl
Summe
Reihe

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Stetigkeit und Reihen
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 16
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/35649
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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