Bestand wählen
Merken

Stetige Differenzierbarkeit

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
Roman also hier immer so sein Nachbar gesehen hat er ihn an der TU Darmstadt er solange möchte ich
Sie alle im neuen Jahr wieder hier in der Vorlesung begrüßen herzlich willkommen und ein einen guten Start und auch ein weiteres schönes neues Jahr wünschen bevor ich wieder vorsichtig in die Mathematik einsteige noch ein organisatorisches kleines in K wie ich letzte Woche erfahren habe hat das Präsidium der TU nächste Woche eine Veranstaltung dienstags nachmittags im Audimax also müssen wir weichen ich habe jetzt den größten zu der Zeit noch verfügbaren Hörsaal akquiriert das ist der ist er der große E-Technik für seine das wird wahrscheinlich kuschelig aber größer war nicht zu kriegen also die Ansage ist die Vorlesung am am nächsten Dienstag also am 22. 1. findet nicht hier sondern eben in der Technik statt S 3 0 6 0 51 wie steht das auch noch mal als Zugangssystem Nachricht rum dann haben Sie es auch nochmal schriftlich sich alles mit Pinseln nur schon mal für die Vorwarnung nächste Woche ist hier etwas anderes ist aber keine Mathematik ja allen also das versuchen wir jetzt gerade noch zu klären aber so viel sowieso Moment aussieht kann man da ganz normal aufnehmen wie auch das heißt die Vorlesung wird hoffentlich dann auch aufgezeichnet dann ich gehe davon aus dass das klappt genau was vielleicht dann in 3 Tagen gut dass zum organisatorischen und dann wieder zurück die Mayzek da waren wir stehen geblieben bei dem Thema Ableitungsregeln ich hatte vorige nochmal mitgebracht das Erinnerungen also die ich hatte in die Ableitung einer Funktion erklärt und dann war natürlich die Frage wie können wir die Ableitungsfunktion von kompliziertere vom Funktion bestimmen und wie üblich versuchen wir Sonne Baukastenprinzip das heißt wir versuchen komplizierte Funktionen zusammenzusetzen aus über Summen Produkte Quotienten von einfachen Funktionen weil einfache Funktion also einfach Funktion heißt in dem Fall Polynome Sinus Kosinus Exponentialfunktion Algorithmus was so werden die Standard Funktionen sind und aus denen kann man eben über Summen Produkte Quotienten Verkettungen komplizierte Funktionen zusammenbauen und wir haben festgestellt dass man ich hatte in dann ganzen Satz Regeln gezeigt mit dem man eben die Ableitung von solchen Zusammenbau und von einfacheren Funktion bestimmen kann und das schöne an diesen Satz Regeln ist das im Prinzip vollständig ist also Sie wissen was mit zum Tor mit Produkten Mitpatienten mit Verkettungen mit Umkehrfunktion und mit Potenzreihen viel mehr kann man mit Funktion nicht tun und das heißen dass wenn man an Stellen später noch furchtbar missen beide differenzieren ist die Welt schön und sie haben einen vollständigen Satz an Regeln mit dem man im Prinzip jede Funktion die Sie irgendwie darstellen können aus elementare Funktionen differenzieren kann das kann mitunter mühsam und Zeit auf der wenn ich sein aber es geht wir später zum Integrieren werden wir kommen wenn wir sehen dass da die Welt weniger schön ist so was fehlt uns da oben differenzieren geht und ich war gerade dabei ihn erwischt hat verschiedene Beispiele diese ganzen Wege zu illustrieren und war gekommen bist der Quotientenregel und wir jetzt wieder einsteigen mit der kecken Rede das ist ein Beispiel Nummer irgendwas zwar 3 da hatten wir uns schon A bis 11 an geschaut aber es es war Genialität Produkt und kurzen Rede und ich will jetzt wieder einsteigen bei Nummer G und da geht es darum die folgende Funktion H von X zu differenzieren 1 durch 1 minus X und dies natürlich nur definiert wenn X nicht gerade als so es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Möglichkeit ist eben dass mit der Kettensäge zu machen in dem Sinne ist dass der Verkettung von 2 Funktionen das ist zum einen die Funktion X geht nach 1 minus X und zum einen die Funktion 1 durch so kann man das als Verkettung von 2 Funktionen sehen also wir sehen das als er von gehe wobei 11 die äußere Funktion ist also den Fall dass ein so durch durchnehmen er von y ist 1 durch y und ist die Funktion die unten in den steht also 1 minus X ja also wenn Sie es so nehmen
als er von Y das einzig y und gehe von X als 1 minus X dann ist die Funktion Haar dies 1 durch 1 minus X das ist er von 1 minus X 11 ist einfach 1 durch also es er von 1 minus X 1 durch 1 minus X und das ist dann F von G von X oder in der Verkettung Schreibweise F nach die von X also können wird sie mit der Kettensäge abarbeiten das ist also H comma von
X nach der Regel steht da drüben sie müssen erst die äußere Funktion differenzieren F strich und da die innere Funktion einsetzen und dann multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion also es Strich von der von X Gestrich von das kann man jetzt hier alles auswerten was ist die Ableitung von f er von y ist einzig y also ist die Ableitung der Frauen die Ableitung von einst durch y ist minus 1 durch y Quadrat also kriegen wir hier minus 1 durch das Argument von F Strich zum Quadrat das ist also die von X Quadrate mal die Ableitung von G mehr die Abbildung von G ist einfach ne minus 1 also was herauskommt 1 durch die von X Quadrat die von x 2 1 minus X also 1 durch 1 minus 6 Grad hat mehr eine beispielhafte ganz ausführlich Anwendung der Ketten regeln wir das 10
gemacht hat macht das natürlich kürzer das können Sie bei dem Beispiel sagen warum machte denn diesen ganzen Aufwand das ist doch einfach ein Quotient war machten das dich mit Quotientenregel am sind ich ich kann man auch machen ja das oft ist es so dass man freie Wahl in der Regel hat in dem Fall wäre die Quotientenregel sicherlich angebracht aber noch kürzer aber das bietet uns die
Gelegenheit das komplizierte weiter oben nochmals diversifizieren also das kriegen wir Quotientenregel anwenden H von H Strich von X darum steht das H gerade noch H S 1 durch 1 minus X
also als Quotient gesehen ist das 11. trügen die 1 und das geht es als minus X was müssen wir machen für die Quotientenregel müssen den Zähler ableiten wenn sie die ein sehr bleiben kommt nur raus mal den Männer minus den Zähler mal die Ableitung von denen er aber nur von den das minus 1 die Zeit durch den den er zum Quadrat wenn Sie das Chaos du oben mal auf Rechnung kommt da nicht mehr viel bei bleibe nicht mehr viel übrig das ist einfach mehr 1 durch 1 minus X Quadrat also kommt raus sehr berühmt und man sieht jede Quotientenregel schneller aber kommen Sie bloß nicht auf die Idee dass man sich immer vor der Kettensäge 3. kann das geht wirklich nur weil es hier so ein
schönes Beispiel ist also Beispiel der
Funktion wo sie wirklich um die keine Regel nicht mehr Rungg haben Yoricks Quadrat funktionieren habe auftauchen werden er die leitet man das ab und endgültig muss man sich um die Kettensäge kümmern Jahresende Verkettung der Funke der Exponentialfunktion des exponentielles mit der Funktion X Quadrat also was sehen wir hier als F und G die äußere Funktion das F ist die Exponentialfunktion der von YSL auch y die von X ist x Quadrat was kriegen wir dann als Ableitung für das Haar diese in die
Formel für die Kettensäge sie müssen Sie erst die äußere Funktion ableiten also die Exponentialfunktion ableiten dass Gebiete die Exponentialfunktion in die müssen Sie einsetzen die innere Funktion also Yoricks Quadrat dann es ganze multiplizieren mit der Ableitung der inneren Funktionen sind aber nur von G die Abmeldung von X Quadrat ist 2 x x dann steht da zur das ist frei und die Kettensäge nicht herumkommt baldigen sogar die am häufigsten angewandten Ableitungsregeln würde ich es mal so sagen war gut damit und durch die 1. FireGL durchgearbeitet bleiben noch 2 ein Beispiel für
die Anwendung der Ableitungsregeln für die Umkehrfunktion haben da möcht ich mit dem Tangens anschauen die aber noch vom Tangens die kennen das schon aber ich will sie den Tangens umkehren können comma zum Augusttagen ist und dann können wir über diese Form erhielt die Ablehnung vom Argus Tangens bestimmen und das ist mir relativ wichtige Ableitung die taucht immer wieder auf also 11 ist die Funktion teilen wir uns von X und ich schaue mir das damit ich das Ding invertieren kann der Tangens waren diese vielen Äste das natürlich nix mit global in wird hier auf das er aber wenn Sie den Tangens einschränken auf das Intervall minus B halbe P halbe den sogenannten Hauptast dann aber gesehen kann man das Ding invertieren also kann man das denn umgehen als Umkehrfunktion und diese Unterfunktion ist Akkus Tangens also er mir
das 1 von y diese Umkehrfunktion hatten wir damals Akkus Tangens genannt und erst dann auf ganz er definiert und jetzt ist die Frage was ist die aber davor diese Markus Tangens und die Antwort steht im Prinzip hier auf der Folie wenn sie die Ableitung von der Funktion kennen die um die er umkehrbar ist und sie wissen diese aber gewiss nicht 0 dann kriegen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion immer als 1 durch die Ableitung der Funktion der also überprüfen wir
das hier was wir uns anschauen müssen ist die Ableitung der Funktion f selbst also f Strich von X ist was wir uns erinnern Was war die Ableitung des Tagen sei gab es 2 Darstellungen einmal 1 durch Cosinus Quadrat hier ist die andere geschickter 1 plus Tangens Quadral das ist die Ableitung von Teilen Jemens und da man diese Formel anwenden kann sehen Sie brauchen dringend die Voraussetzung dass R Strich nicht 0 ist sehen Sie auch von der Formel wenn der F Strich steht mich einst durch 0 und das rechnet man nicht so gern also was ist hier F Striches Einfluss 1 Quadrat das ist wunderschön weil das ist ne 0 das ist ungleich 0 für egal welches X und insbesondere für alle x zwischen minus Gehalt und die Halme eines Quadrats immer positiv und wenn sie den zu Einzel zur dir dann sind sie sogar mal größer 1 größer gleich 1 da wird nix mit 0 das bedeutete der Argus Tangens ist differenzierbar auf ganz war und sie kriegen den wert wie wir die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion jetzt einfach durch einsetzen da drüben
also der Agusta Tangens Strich an der Stelle Y es Formel von der dritten übernahmen 1 durch F Strich verknüpft mit 11 Wochen das 1 also an der Stelle erfolgen das 1 von y ja setzen wir ein das ist durch etwa der Tangens also eines durch die Ableitung vom Tangens an der Stelle Argus Tangens von y das ist jetzt nur 11 eingesetzt und er Form des 1 eingesetzt da wir gerade gesehen die Abwendung vom Tangens kennen wir
schon das ist 1 durch 1 plus der Tangens Quadrat von Tangens von y und das ist jetzt schön bei was da jetzt geht es Tangens von August ergänzt also dieses Tages Quadrat ist ja immer zu lesen als es ist eine eigentlich blöde Kurzschreibweise das Licht es 1 durch Tangens von Augusttagen Jens von y und das den so sollte man das eigene Schreiben das hat aber keine Lust close bracket schreiben deswegen schreib und immer sofort kurz dieses Quadrat auf den Tangens so was ist denn Tangens von
Akkus von Y der dass sie kompliziert aus so weit aber das y Akkus es ist ja genau die Umkehrfunktion also was hier steht ein ist relativ kurz nämlich einfach 1 durch 1 plus 17 ein Quadrat für alle y ja und das ist insofern schönes oder überraschendes Ergebnis als sie jetzt wenn Sie der Argus Tage ist ja nun wirklich kompliziert definierte also da Akkus Tage ist die Umkehrfunktion von der trigonometrischen Funktionen Tangens und dies wiederum Sinus und Cosinus definiert also eigentlich ziemlich komplizierte Funktion für die Umkehrfunktion von der trigonometrischen wenn Sie die jetzt ableiten würde man erwarten dass da was komme bezieht das rauskommt dann sie dass er Cosinus raus oder so weiter und plötzlich macht Flug und sie leiten Augusttagen aber es kommt nur gebrochen rationale Funktion aus dem Sudan und relativ einfache schöne das ist relativ unerwarteter Effekt und das macht den Augusttagen ein bisschen zu was besonderem deswegen tauchte auch an vielen Stellen auf wo man denn ich erwartet weil der Sonne die relativ gängige Ableitung hat gut da habe ich jetzt bis auf
die letzte Regel alle durch die letzte Regel doch die ich ganz am Anfang glaube ich gemacht mit der glaube ich ihnen gezeigt dass man das der anderen Sinus Terminus großen ist und so weiter dann Sie das der Großen ist sich auf die kann ich aber leider mal zurück was sich jetzt erst mal machen will ist so ein bisschen ja
zusammenfassen und in der Tabelle an die Hand geben mit unserer mal den absolut Standards Ableitung also das sind jetzt die wichtigsten Ableitung von den Standardfunktionen einmal in Zusammenfassung wir haben gib mir relativ
lange Tabelle das sind sagen wir mal die wo man wird kürzere Zeit eigentlich ich erwarten würde dass sie die im Prinzip wissen oder zumindest wissen das war so ähnlich wie wird aber bei den meisten automatisch passieren weil sie mit den so oft zu tun haben dass in meinem Kopf sind brauchen sich also keine Sorgen machen braucht sich auch niemand ist am Nachmittag hinsetzen und die Dinge befüllen her also oder haben wie gesagt in der Klausur dürfen Sie die Tabelle hier gern Abmahnung wegen des mitbringen ich nehme einfach mal an das erledigt sich von selber und zwar in dem im Semester haben Sie die alle drauf die meisten der manche werden sich schon so wissen ja wie leitet man nix auch n ab das wissen Sie hoffentlich noch aus der Schule Emmerlichs auch N minus 1 das geht für alle die Zahlen R und für alle natürlichen Zahlen n Prinzip geht es noch viel allgemeiner
dann muss man nur aufpassen also machen wir das Gleiche was ist wenn sie das Gleiche machen aber mit negativen Exponenten dann geht im Prinzip genau so also dass es auch einmal N minus 1 aber das muss man hier aufpassen nur noch wenn ich's nicht 0 ist darf es gleich 0 ist die Funktion nicht definiert und Sie können das sogar noch allgemeine machen Sie können auch x hoch alles war nach der Regel differenzieren also zum Beispiel Knochen halten oder suche 43 57. da kommt auch Alfa Malik suche Eifer minus 1 raus egal was Alfa in er ist aber damit man zum Beispiel suchen Halt definieren kann muss man hier auf x größer 0 ein deswegen sind die ist diese Funktion jährlich über die gleiche ist und hier in 3 Fällen dargestellt an der Stelle eine eine Warnung aus gegebenem Anlass es auch schon verschiedene Klausuren gesehen habe bitte leiten Sie nach dieser Rede nicht die Funktion X auch X ab der also die funktioniert war X urigste seine Funktion vor das ist ja viel davon ist nicht X X X X X minus 1 mehr das ist zwar wie der nette Idee aber das funktioniert nicht weil das Duo bis eben jetzt auch ein X und keine konstante mehr die interessante Frage überlegen sich mal was die anderen davon ist aber es ist nicht X X X O X minus sagt gut sowas aber noch das waren die Sammer damit habe alle Potenzen Polynome und so weiter und im Prinzip haben sie mit der Regel auch alle gebrauchen rationalen Funktion weil aus den können Sie sich natürlich mit Quotienten und Produkten alle gebrochen rational zusammenbauen also das alle Polynomen über rationale Funktionen in den 3 2 so dann kommen die Exponentialfunktion der Logarithmus die haben recht einfache Ableitungen die Exponentialfunktion hat sich selbst als Ableitung der Logarithmus die Funktion eines durch X X Christian 0
sollen hat mir die trigonometrischen Funktionen 10 von X Kosinus von X Tangens von X Abmeldung vom sehen aus ist der Cosinus sieht man am schnellsten Mitte Potenzreihe mehr Potenzreihe dürfen Sieg von Sinus hinschreiben die Weise differenzieren kommt über den treffen Cosinus raus das gleich wieder mit denselben Kursus großen ausgemacht stellt man fest das Minus die Potenz weil vom sehen was rauskommt alle beide jeweils für X aus er Tangens hatten wir gerade schaffen wir gerade macht mit der Quotientenregel über Sinus und Cosinus ist 1 durch Tangens Quadrat oder alternative Darstellung eines durch Cosinus Quadrat das geht einfach 2 Darstellungen beide sind wichtig und das ist jetzt nicht für alle x den arbeitet ein gänzlich auf ganz er definiert ist sondern nur für die X die nicht sind um die halbe verschobene Vielfache von Pi also eben nicht die halbe und 3 halbe P und 5 Halle P und so weiter dass die Bohrstelle von Tangens da gibt es keine ableite so dass man die trigonometrischen dann kann ich Ihnen auch die
Ableitung verraten jetzt wird's immer exotischer kann hier noch die Ableitung verraten
von den Umkehrfunktion der trigonometrischen Funktionen also Augustinus Akkus Cosinus Augusttagen ernst Church Kosinus und Augusttagen Augusttagen
gerade ausgerechnet wären August 1 2 1 durch 1 plus X Quadrat habe gerade ausgerechnet das gilt für alle x in er August Cosinus geht natürlich nix nicht für alle x er sondern nur davor definiert ist zwischen minus 1 und 1 und genau so 8. Augustinus so und was man da wenn man jetzt auch wieder eine Methode genau die gleiche Formel für die Umkehrfunktion Augustinus ist Junker Funktion vom sehen aus im Gesicht die Ableitung von Sinus gestopften Sister in die vorne rein und schauen Sie was rauskommt und dann kriegt man erstaunlicherweise wieder was werden er einen zu unseren Quotienten raus nämlich 1 durch Wurzel aus 1 minus 6 Grad also auch hier kriegt man keine trigonometrische Funktionen oder so was sondern auch keine Woche nationale aber in diesem Sinne Wurzel drin und beim Argus Cosinus genau das negative davon minus 1 durch Wurzel 1 minus 6 Grad ab so das waren die invers trigonometrischen das und
bei den jetzt zum Abschluss hatten wir noch letztes die hyperbolischen Funktion da gebe ich Ihnen auch noch an die Ableitung sind da ist es wieder ganz übersichtlich diesen also Sinus superbolicus von Kundus wird wurde kurz beide auf ganz er definiert und die Tausend dann ableiten einfach die Rolle 10. 7 wurde Kuss von X wird dann ableiten Cosinus über wurde kurz von X und Kursus der wurde kurz wird abgeleitet sinistere wurde Gross von X an das was also diesen relativ übersichtlich warum er die waren so definiert über die Funktion Sinus über wurde Kuss war Yoricks minus ihre minus X Halle wenn sie das differenzieren bleiben die Funktion Funktion der springe ich Vorzeichen und hier und dann kommt genau das raus ist auch eine
gute Übung in er ist nicht schicken Regen und so weiter also wenn sie die hier diese die fahren jede in der Tabelle die wir und ich gemacht haben Nachrichten dann haben Sie da auch noch mal die gute Übung gut ansonsten kann die so als Präferenz dienen für elementare Ableitung aber man sieht und kennt er die Ableitung von dem ganzen aus Steinen und jetzt kann man hier mit den Regeln immer gigantischere Funktion machen und alles Differenzieren das ein vor die Füße kommen solange eben die Bauteile differenzierbare Funktionen so was
ist so übrig haben ist dieser in der Regel für die Potenzreihe wie gesagt die kann man nutzen um zum Beispiel die Ableitung von Sinus und vom Kosinus zu bestimmen oder auch zu zeigen dass sie aber in der Ehe Funktion die Funktion ist man kann sie immer noch zu was anderem benutzen und darauf will ich noch kurz hinweisen bei dessen Schüler Trickkiste man einfach mal gesehen haben muss sonst kommt man nicht drauf man kann nämlich mit dieser in die dieser die Rede 3 Reihen Werte oder insbesondere Werte von Potenzreihen bestimmen und wie gesagt rein werde bestehendes immer etwas schwieriges Unterfangen und jeder trägt der da hilft ist viel wert also dieser Satz 2 2 wie das geht weil sie differenzieren von Potenzreihen also Satz 2 2 war genau diese Formel die da drüben steht dass man eben das Funktionen dem durch Potenzreihen gegeben sind also in innerhalb des Konvergenz bereiste Potenzreihe das die mit differenzierbar sind und dass sie die Ableitung ebenso kriegen in dem Sie und der innerhalb der somit differenzieren das ist der Satz 2 2 der kann dazu dienen ein Werte auszurechnen und das sieht man jetzt nicht sofort wieso das zusammenhängt aber das will ich Ihnen zeigen ich hatte ihnen gesagt die meisten einer Reihe zu wissen dass sie konvergiert ist schon viel
wert und wenn man dann Wert kommt es noch viel besser wenn man eigentlich 2 gar nicht so viel rein den wert ausrechnen kann wesentlichen ja ab die exponential Reihe Geometrische Reihe greifen Sie das Reisen Cosinus aber dann war das auch bei aber man kann mit diesem mit dieser Formel andere rein auf diese speziellen Felder die man kennt zurück und das ist der Punkt also Sommer und folgendes Beispiel 1 werden und zwar also alles was man so Zentralismus muss man immer sagen innerhalb des Konvergenz Bereich sind sonst weiß man natürlich nix wissen Sie die Folgen der Reihe Summe n gleich 0 bis unendlich n x x hoch in das der Potenzreihe von der kann man essen comma des Rades bestimmen Sie das machen kriegen Sie 1 raus verrate ich Ihnen einfach mal sehen Sie wenn es Parma gemacht haben auch mit bloßem Auge war das müssen Sie machen würde Konvergenz Radius wir erinnern an letztes Jahr ich weiß ist lange her aber sie müssen die vor Faktoren für den ich suche in also den Fall dass in die entwurzelt überwerfen und schauen was macht der Grenzwert Ente wozu von allen ende Worte von allen wichtigen 1 also kommt das Wort Konvergenz Rades 1 raus darum geht es aber gar nicht so sehr es heißt nur jetzt alles was ich jetzt mache gilt für alle x zwischen minus 1 und 1 aber wenn man jetzt für die konvergiert die Reihe aber wenn man sie jetzt wenn man mich würde sie jetzt frage was ist der wert dann schauen wir erst mal in die Röhre wenn das er nicht da wäre alles als das da vorne nicht da wäre alles gut dann wissen die geometrische Reihe ist 1 durch als minus X und dann wissen wir was da rauskommt aber wenn das darstellten ist die Frage wie der groß und lassen Sie mich noch eine kleine der Mann kosmetische Änderungen in den machen dann sieht man vielleicht im Zusammenhang zu dem was da drüben still ziehen Sie mal 1 X vor dir vor die Reihe dann steht hier gleich 0 bis unendlich in dem Fall nur zur Sicherheit als einzige hängende müssen endlich N x x auch N minus 1 Herr Hertlein X vorgezogen und jetzt sieht man dieses N Malicks Rennen das einst das sieht wunderbar ausmachen Ableitung von X X N wir machen schreiben mir das doch mal so das ist x x zum n gleich 0 bis unendlich ich suche N und davon die Ableitung als ich hoffe Sie verstehen was ich meine in die Funktion XUL leiten die ab kommt sollen das 1 aus so jetzt sagte sagte das geht weil sie differenzieren sie dürfen Potenzreihen dann wenn Sie die das ganze differenzieren wollen ist das das Gleiche wenn sie inneren differenzieren wir normalerweise verwendet man die Gleichung die steht von links nach rechts wenn wie die Potenzreihe differenzieren Rechte was rauskommt aber wenn sie die Gleichheit haben die die glücklicherweise man beide Richtungen es lassen Sie uns doch mal die von rechts nach links gut gehen Sie von rechts nach links sie ziehen Sie mal den Strich ganz nach draußen was dann da übrig bleibt es ist gut dass es vorne bleibt
stehen das ist die Ableitung der Funktion die gegeben ist durch die Potenzreihe in gleich 0 bis endlich XUL also das ist genau diese gleiche benutzt und ich von links nach rechts und von rechts und links ja wir die Funktion die durch die Parteien freigegeben ist die kennen wir das ist jetzt wirklich die geometrische weil das ist x mal die Ableitung der Funktion als durch 1 minus X so und die jammervollen abgeleitet das ist x x 1 durch 1 minus X Quadrat das war das Beispiel ganz zu Anfang dieser Vorlesung was wird gemacht haben ist an dieser einen wird hier ausgerechnet in dieser einen wird hier bei Jehle
in Tristan mit mehr ich mache das mal aus Mindest ja 1 abgestürzt nein ja Probleme wie war das denn vielleicht
viel okay das kann ich Ihnen nochmal ergänzen also X Summe n gleich 0 bis unendlich X auch einen Strich dann aber die Reihe eingesetzt das ist die Ableitung der Funktion eines durch 1 minus X und das ist X durch 1 minus X Kölner zurück ist einmal mehr und was wir damit also gezeigt haben ist der Wert der Reihe n gleich 0 bis unendlich in x auch n es vergeht das X gegeben durch x durch 1 minus X in Klammern Quadrat also und das gilt für alle X den Konvergenz Bereich der Reihe also für Betrag X kleiner 1 also zum Beispiel die Reihe enmal halbhoch N kann man ist dadurch berechnen ist inhaltlichen ein Quadrat also halb 1 2 gut also und das
trägt immer an verschiedenen Stellen anwenden kann also wenn Sie nur einen Wert zu von Sonne Potenzreihe ausrechnen soll nun das sieht dann die fast so aus wie was was man kennt da lohnt sich's oft zu gucken ob das was da drinsteht nicht die Ableitung von was ist wo man danach die Reihe bestimmen kann weil dann können Sie die Ableitung aus der Summe ziehen und mit dem Trecker arbeiten gut so damit habe ich im Prinzip zu der rein technischen Fragen wie die 40 Mann Funktion alles gesagt weil ja bin jetzt alles Handwerkszeug in die Hand gegeben dass sie jede Funktion die Differenz jeweils auch also die aus elementar differenzierbaren Funktion zusammengesetztes auch differenzieren kann was ich jetzt machen will es sozusagen das Begriffsfeld erweitern und den Begriff der Differenzierbarkeit weiter untersuchen und was man da feststellt ist sozusagen es gibt besonders schön differenziert nicht ganz so schön differenzierbare Funktionen und die wollen jetzt ein bisschen weit auseinander dröseln dazu dient jetzt zunächst mal der Begriff der so genannten stetigen Differenzierbarkeit da geht es um die Frage sie haben die Funktion ist schön differenzierbar jetzt differenzieren Sie dann haben die Ableitungsfunktion wie schön ist die Ableitungsfunktion jetzt und die Antwort ganz im Allgemeinen ist ja wenn Sie gesehen Sinus vorstellen dass die aber dem Kosinus dies auch wieder schöne dies wieder differenzierbar beim wenn sie wieder differenzierenden differenziert geht es immer um die Frage so nach einem allgemeinen kann die Ableitungsfunktion ziemlich hässlich aussehen wenn ich ihn auch gleich zeigen und deswegen will ich jetzt sozusagen differenzierbare Funktionen danach in Güteklassen einteilen wie gut denn ihrer Bildungsfunktion noch ist und die Medien das da die schon mal gesagt das minimale was wir von der Funktion als schön erhoffen ist dass sie zumindest stetig ist da steht ich war so diese Grundannahme unseres Lebens dass wenn Sie Eingabe Parametern ein bisschen wackeln dann wackelt auch unten bisschen der also keine Erdbeben oder so was und das ist sozusagen die Grundannahme und ohne die fast nichts funktioniert das heißt es wäre meine Minimalvoraussetzung die wir haben können und wir werden leider sehen selbst die ist nicht dem allgemeinen erfüllt aber wenn man eben eine Funktion auf Intervall die differenzierbar ist stetig differenzierbar in ihrer Ableitung zumindest mich stetige Funktion ist also die Funktion nennt sich stetig differenzierbar wenn die Ableitungsfunktion zumindest stetige Funktion ist und das ist dann ist der Begriff stetig differenzierbar auch in Heiligen der Begriff also falls diese Funktion f Strich wenigstens eine stetige Funktion auffliegt sondern so neuen Begriff hat der natürlichen Beispiel sehen ich werde in
2 Dinge zeigen werde dem Beispiel von der stetig differenzierbaren Funktion zeigen danach aber natürlich hoffen kann vielleicht braucht bei dem Begriff gar nicht ob man brauchte nicht zeigen auch ein Beispiel oder Funktion die differenzierbare aber nicht stetig differenzierbar ist
so also beispielsweise 7 entsprechend 9 13 1. Teil eine stetig differenzierbare Funktionen ein Prinzip können Sie jetzt natürlich jede schöne funktionellen ja die Funktion konstant 5 der da bis 0 war die vom über Funktions- stetig okay ist wichtig wird Funktion dachte ich bringe Ihnen bisschen Aufregenderes Beispiel mit denn wo man es nicht sofort sieht und zwar die Funktion auf ganz er definiert F von X ist die
Wurzel aus Betrag X hoch 3 er könnte man jetzt schon ins Grübeln comma dass die Frage ist es denn überhaupt differenzierbar ja weil das Betrag der Betrag ist immer so bisschen kritisch wird differenzieren geht es ist den differenzierbar auf also zumindest in 0 könnte man Bedenken haben also schauen uns das mal
an gut für x größeren und 6 kleineren 0 ist das einigermaßen erträglich zu differenzieren da ist er von Felix größer 0 fällt der Betrag einfach weg und was da steht ist x ist die dritte Wurzel aus x noch 3 oder anders geschrieben x hoch 3 halbe nahmen sie das differenzieren können siehe Tabelle von vollen nachkucken x auch Alfa differenziert sich einfach Malicks auch also minus 1 also 3 halbe X X sucht die 3 halbe minus 1 x x suchen Halle also 3 halbe Wurzel da gut was ist X kleiner 0
Felix kleine 0 wird aus den Betrag X minus X also haben Sie F von X ist Wurzel aus minus x hoch 3 wenn man beachte das was jetzt dasteht macht sehen weil minus X sieht positiven so trainieren sie positive Zahl wurzelt sehen also wir kriegen sie jetzt minus X auch 3 halbe aber das kann man wieder genauso differenzieren das ist muss man halt kurz auf die Kettensäge Regel aufpassen also minus x hochtreibe differenzieren Kettenregel äußere Funktion gibt 3 halbe von minus 6 Wochen Halle und dann kriegen Sie noch von der inneren Ableitungen minus also die minus 3 halbe X suchen Halle also minus 3 halbe Wurzel X sehen sich schon in der das ist schlecht na das Glück gewöhnen ja klar minus 6 und halb habe man sollte eben seine Ketten Regel nicht so schnell man gilt denn für sie gilt für mich genau wie für alle andern also er spricht von nix in der Regel äußere Ableitung 3 halbem vom inneren Wochen Buchenhain nach also 3 Jahre vom Inneren von minus X brauchen halt und das Ganze noch in der keine Regen bei minus 1 gebt minus 3 halbe Wurzel aus minus X jetzt ist wieder schön an also was wenn wir daraus 1. aufpassen bei der kecken Rede und 2. es ist immer gut die neben mir noch laufen zu lassen denn plus liegt jetzt schält und wenn dann wird das den negativen Zahl steht dann muss der ja wohl Gott
aber sie sehen auf jeden Fall der Ausdruck für die Ableitung im positiven und der Ausdruck für die werden negativen unterscheidet sich um minus ja also Prinzip können Sie zählen und so 2 minus des minus innen drin kriegen sie wieder los wenn sie wozu vom Betrag X schreiben aber Ausnahmen und minus das verschiedene ist soll es bleibt neues gleich also wie sieht's mit Differenzierbarkeit X gleich 0 aus 1. Beitrag zu dem Thema leider steht Betrag das wird wohl nicht differenzierbar sein das ist zu schnell geschossen 2. Beitrag zu dem Thema den vielleicht der eine oder andere produziert an der Stelle x gleich 0 ist die Funktion holen wenn ich 0 ableite kommt woraus er im schlechte Begründung werden so können Sie zu jeder Funktion überreiche aber 0 kriegen das die Funktion X Quadrate seine Stelle 5 Uhr 25 die 25 aber kommt noch aus ja aber das Ding ist ja werden oder nicht 0 an der Stelle was die anderen es kommt immer auch drauf an was die Abwertung in der Umgebung von period macht das im Osten einzeln Funktionswert können Sie was für die Ableitung aus sein also müssen uns überlegen wann diese Ableitung kommen und das ist einer der Fälle wollen die ganzen Rechenregeln nix bringen wenn man in diesen Willen Betrag der stehen hat und der an der Stelle 0 genau seine Definition es ist es wird hatte aber von Plus auf Minus wechselt da kommt man nicht umhin den Differenzenquotienten anzusetzen und die Definition von Differenzierbarkeit zu verwenden und den die Ableitung per Definition Auszug also das müssen wir tun immer das Gleiche den Differenzenquotienten anschauen also den Grenzwert X gegen 0 F von X nein das F 1 0 durch X minus 0 wäre das war der Differenzenquotienten dessen Grenzwerte die Ableitung oder nur gucken was rauskommen einsetzen und dann stellt man fest so schwer ist das gar nicht was passiert Wegs gegen 0 F von X ist Wurzel aus Betrag X auch 3 Herr von 0 ist ein das nämlich 0 durch X minus 0 noch mal ein bisschen auf das
es Limes X gegen 0 voran Betrag X hoch 3 halbe geteilt durch X werden ja nehme die Wurzel vielleicht wird jedoch stehen lassen sollen ziehen Sie mal das X mit ohne die Worte dann ist das Leben das X gegen 0 von Betrag X sucht 3 durch x Quadrat und daraus die Wurzel ok jetzt ist Betrag X hoch 3 können Sie schreiben was Betrag X mal Betrag x mal Betrag x sein Betrag X mal Betrag x x Quadrat also das und Xtra dran Sinne positiv da können Sie den Betrag auch weglassen also das ist x Quadrat mal Betrag x durch x bereit schreibe ich das so Hinweis gleich kürzen es können Sie kürzen und dann wird das alles
übersichtlich dann müssen sie nämlich ausrechnen den Limes X gegen 0 von Wurzel Betrag X ja und was passiert mit Betrag X wenn nix gegen 0 geht in den Betrag X geben auch gegen 0 2 immer von oben und Wurzel von das was gegen 0 geht geht gegen 0 das war entweder eine Rechenregel für Grenzwerte oder sie sagen einfach die wozu Funktion bestätigt waren also wegen der so gemeinsam besten argumentieren wegen der Wurst Stetigkeit der Wurzel Funktion ist das Leben des X gegen 0 von Betrag X und daraus die Wurzel und das ist nur von 0 und das ist 0 also kriegen wir tatsächlich an der Stelle 0 der Grenze existiert das heißt die Funktion ist differenzierbar 0 und zweitens die ableite Werte bis 0 so etwas über die 3 Fälle zusammen
also was ist er Strich von X für positive X hatten wir 3 halbe nur Betrag X der Wurzel 12 positive existierte trage E hinfällig an der Stelle 0 hatten wir nur und für negative X was minus 3 halbe Worte Betrag X wenn jetzt mal schaut wie sieht's mit Stetigkeit aus was passiert wenn sie von links oder von rechts mit X gegen 0 gehen wozu vom Betrag X gibt jeweils gegen 0 also geht F von X für x gegen 0 gegen 0 und das ist also die der Strich von Wegs gegen 0 gegen 0 und das ist er strich von 0 also es dass der stetige Funktion ich habe Ihnen keine noch kurz den mal wie sie aussieht also hier X da er von 11 Strich von X 1 und 1 positiven ist es wesentlich Niveau zunächst mit 3 skaliert okay also an der Stelle eines musste 3 halbe sein und ansonsten wesentlichen aus in dem die Worte so und was macht sie für negative X da ist sie auch eine Wurzel aber mit negativem Vorzeichen und auch mit 3 halbe skaliert also das ganze Ding ist hier unten sozusagen und gerade fortgesetzt und sie zur ist Vision auf dieses 2. geklappt das x hoch 3 diese wunderbar stetige Funktionen sie sehen jetzt hier ein Effekt der uns gleich nachher noch beschäftigen wird die ist wunderbar stetig aber wenn wir die jetzt versuchen noch mal so differenziert werden auf die Nase fallen wenn wir versuchen die funktioniert wieder differenzieren dann kriegen Sie Nullen Problemen leider wird die Steigung unendlich groß da ist wohl nix mehr mit differenzieren zu holen ja das ist der mit dem uns gleich beschäftigen wollen wir sehen hier schon Scanfunktion diesen 2 differenzierbar und ihre Ableitungen noch wunderschön stetig aber noch mal differenzieren ist ich als zumindest hier nur ich bevor ich zu dem Thema kommen habe noch ein zweites Beispiel dabei damit will ich Ihnen jetzt zeigen sie können sogar eine Funktion konstruieren die ist zur differenzierbar aber die Ableitung ist nicht mehr mehr stetig und die Funktion die ich Ihnen dafür mitgebracht hat ist mir Abwandlung von dem andern Ungetüm das war schon mal hatten wieder sowas Flatter Sinus also die Funktion g von X sieht so aus dies X Quadrat mal sehen was von 1 durch x für x nicht 0 1 gleich 0 können Sie da natürlich nicht einsetzen und an der Stelle 0 7 0 und ich behaupte die Funktion ist differenzierbar und das entscheidende ist hier nicht dass sie x ungleich 0 differenzierbar ist ja das ist sie wenn sie das Denken und jagen sie es durch alle Rechenregeln die da drüben noch stehen sie was einzig X mit keine Rede extra habe Produktregel und dann kriegen Sie die Einladung raus sondern das tolle ist dies sogar 0 differenzierbar ich zeige hat gleich das Bild der beiden sehen Sie was passiert dies sogar 0 differenzierbar und man kann die Ableitung hinschreiben die Abmeldung ist das müssen Sie machen warum wenn Sie den da auch für x ungleich 0 differenzieren wenn Sie erst meine Produktregel X Quadratmer diesen los also bringen meine Produktregel 1. x Quadrat ableiten die 2 x mal die zweite Funktion plus des Quadrat stehen lassen mal die hintere Funktion ableiten dass es eine Kettensäge vieles von einzig X aber nun vom Sinus ist der Kosinus nach Kettenregel in die alte Funktion stehen lassen und dann noch multiplizieren mit der inneren Ableitung die innere Ableitung ist hier minus 1 durch extra ran also das ist x ungleich 0 und das komplizierte sieht jetzt hier wieder die Ableitung Stelle 0 auszurechnen da muss man den Differenzen forcierten drauf jagen also gehe von X minus von 0 durch X minus 0 und dann den Grenzwert anschauen wenn man das macht stellt man fest das geht gut und hier kommt nur raus aber wie gesagt diese 0 hier die ergibt sich durch die Grenzwert Betrachtung die ergibt sich nicht daraus dass man sagt man hat diesen oder oben differenzierte er Sulz kann da in der 1. Zeile noch ein bisschen aufräumen dabei nämlich nix Quadrat minus 1 X Quadrat stehen können Sie nix Quadrat kürzen ich kürze man kurz per Radiergummi also das X Quadrat geht gegen das einst x Quadrat weg und das minus sich nach vorne Sa nur 2 x mal sehen das einzig X minus großen muss 1 wächst das ist die Ableitung möchte nun das Symbol und jetzt habe ich Ihnen mal Schaubilder von den Funktion mitgebracht also das ist die Funktion die Funktion des X Quadratmer Sinus als sich X ab und an gut die wichtiges den ist die neue der und der Ziemann man was immer man es sich im Prinzip sind das einzig Ex erinnern Sie sich war die Funktion die alle Nullstellen vom Sinus zwischen 0 und 1 0 Peer rein stülpt und diese unendlich vielen nur ich denke halt aber das Ganze wird jetzt mit so einem Profil von der Parade gedämpft wer in der stillen 0 wir das Ganze mit X Quadrat multipliziert es gibt x vertrat die Parade sehen Sie Bild fast oben und mehr und dadurch dass das so stark gedämpft werden die 0 hinein wird das in der 0 differenzierbar in der nur können Sie den Dinge vernünftige Tangente zuordnen weil dieses oszilliert der zwar immer noch unendlich oft durch die x-Achse durch aber so klein das ist mehr vernünftige Tangente an der 0 ja das wenn ganze das Dinge nur differenzieren wenn sie das machen dann haben Sie natürlich dadurch dass das Ding fordern 0 und endlich auf die vor allen oszillieren muss muss das wahnsinnig oft rauf und runter und wenn man dann ableitet dann wir das folgende das ist keine Frage das ist die Anleitung also die Funktion oszilliert der zwar immer langsamer aber natürlich weil sich unendlich viele Nullstellen unterbringen muss muss sich verdammt steigen werden und das sorgt für hohe Ableitung haben sich da ist dann ist eben zur Ableitung und dann kommt das daraus das ist die Funktion in 2 x x x 7 das einzig X minus Kosovos als X und wie ist jetzt nicht mehr wirklich differenzierbar die Sonne immer mehr stetig der allseitig den 0 das würde den stetig heißen steht ich würde heißen können es verschieben argumentieren steht ich würde heißen wenn sie in der Stille 0 sitzen ein kleines bisschen wackeln dann in sich auch der Fotos wenn ein kleines bisschen aber egal wie nah sie an 0 sind in jede noch so kleine wohl haben so unendlich viele Einstellungen endlich viele minus 1 in jedem noch so kleine da die 0 Ost diese Funktion unendlich oft zwischen also minus 1 das wird nicht stetig oder 7 sagen Sie es an dass sie in der Folge die gegen 0 geht dann die Inhalte Funktionswerte noch lange nicht gegen 0 gehen irgendwas von je nachdem wo sie ihre Folge period auf der x-Achse wählen können Sie jetzt jeden Punkt zwischen minus 1 1 ansteuern also das wird nix mit stetig unser mitziehen Beispiel voller funktioniet differenzierbar ist aber die Ableitung ist keine stetige Funktion das heißt diese eben nicht stetig differenzierbar diesen ganz typisches Beispiel nicht stetig differenzierbaren Funktion wer weiß man nämlich zeigen kann nur so als Zusatzinformationen mehr Ableitung aber tatsächlich nie haben kann es nicht darum also eine Funktion die wird sie weisen Sie haben die Funktion dann ist die nie plump und bestätigt der also darum und stetig im Sinne von sich springt einfach das macht sie nicht aber sie dann ebenso Sohn ist hier produziert also wenn Sinne und stetige Ableitung haben dann hat die immer solche Donis zum Oszillation oder so was aber eben keine Sprünge gut also was finden wir hier die ist differenzierbar auf ganz er aber eben nicht stetig differenzierbar weil die Ableitung eben eine stetige Funktion werden damit habe ich ihn jetzt auch gezeigt dass der neue Begriff stetig differenzierbar sinnvoll ist weil eben tatsächlich einige Zaubereien Aussicht will einige hässliche Funktion aus ist gut ja das war der Begriff
stetig differenzierbaren jetzt kommt das was ich vorhin schon was von schon Anklang höhere Ableitung also wenn sie wieder das Beispiel von vorhin Dame gesehen das meine Funktion die über stetig differenzierbar aber wir kriegen wahrscheinlichen Problem sie nochmal abzuleiten bei den einen war sozusagen darum Funktion die Sie kennen Polynome Sinus Kosinus haben da keine Probleme wenn Sie das aber in der Bundesrats denen sind sich wunderbar nochmal ableiten und das ist der Begriff der hören aber in 1. 2. 3. 4. 5. Ableitung denn die ich jetzt einführen einführen also das ist Abschnitt 2 8 höhere Ableitung entsprechend 9 14 so also wurde eine Ente Ableitung
definieren wobei größer gleich 2 ist die Ente Ableitung Fällen gleich 1 haben wir schon in und ich nenne eine Funktion f die auf einem Intervall definiert ist in x differenzierbar wenn ich eben dieses immer wieder differenzieren N mal machen kann und das mache ich folgendermaßen das definiere ich rekursiv ich sag's es in x differenzierbar Benz N minus 1 x differenzierbar ist und die N minus 1. Ableitung noch mal differenzieren jetzt können Sie sagen das ist doch jetzt keine vernünftige Definition sondern Münchhausen der sich selber am Kragen aus dem Sumpf zieht bei mir nicht weil wenn ich sagt sie es immer differenzierbar wenn sie im Minus 1 x differenzierbar ist also ich sage sie muss n 1 1 x differenzierbar sein und die N minus 1. Ableitungsfunktion muss erneut differenzierbar sein ja und das es natürlich insofern nur Murks Definition als sich jetzt definieren was es 317 mal differenzierbaren zum 16 Mal getrennt sie wissen können mich sofort fragen ja was ist war der 16 7 ist doch klar dass es mir damit sie weiß was damit 15 eine Grenze über es und die 5 zusammen mit Zimmermann können Sie wieder fragen was heißt es wenn wir das Spiel gewinnt 2 Stunden mache ich kürze ab der Punkt ist dann kommen einen Moment wo ich sage ja wenn es einmal differenzierbar die 1. werden bis wir differenzierbar und das macht Sinn ja das ist der der rekursive Definition über rekursiven Folge sie definieren anfangen und dann sagen Sie wenn der da vor dann ist gut und auf die Weise können sie eben jetzt aus der einmal Differenzierbarkeit zweimal differenzierbar definieren wenn sie wissen wie zweimal wenn sie bei definiertes könnte so dreimal Differenz über definieren und das können sie sogar machen sie Lust haben ich nehme an Sie am irgendwann vor 317 keine Lust mehr aber man kann sich zumindest im Kopf vorstellt das geht immer so weiter also das ist die vernünftige Definition auch wenn sie erst mal komisch aussieht also
Ebene vom Sohn zweimal differenzierbaren wenn sich die Fahrt über ist und die aber vom wieder die ja so macht man eben immer weiter eine Stelle wo sie nicht immer weiter machen sollten ist bei der Notation weil ich meine noch naheliegend ist die 2. Ableitung mit 2 Strichen zu bezeichnen und auch noch ok es meinetwegen die dritte aber damit 3 wie spät es ist meine 317. Ableitung würde ich von dem Verfahren abraten ja also mein meine den man noch Strichlisten aber auch das geht wahrscheinlich immer Recht also Papiere aus deswegen macht man meistens nach 3 ein kalt und macht ab da anders weiter und die üblichen Notation ist das so oben in Klammern anzugeben also 4. Ableitung von f 5. Ableitung von f und so weiter und allgemein die Ente Ableitung von f schreibt man dann zum Ende oben man macht ohne Klammern dumm rum um das zu unterscheiden von der Potenz also F oben 5 könnte über F O 5 heißen wenn man sieht dass es eben nicht er vor 5 ist schreibt man 11 und der runde Klammern 5 dann ist klar dass die Ableitung gemeint wenn man aus einem wenn man einen Zusammenhang ist der Physik oder mich Harnik sehr nahe steht hat auch noch die andere Notation vertraut die andere Notation der Ableitung häufiger auf sich hat sie gesagt bis heute gibt leitete die Roten also diese hier ist die 1 und in der andern
Notation werden sie auch ein paar Mal wahrscheinlich lesen des N nach d x auch allen da ist schon was macht klar dass die also auch das ist eine übliche Notation für die Ente Ableitung von f da kann man lesen als diesen ab Leitungs- Operator also die Nacht des X kann man sehen als Leiter einmal ab und was hier passiert ist dass man diesen Operator demnach DX eben n mal auf 11 anwendet der den von den 8 x von dem noch Text von den 8 ok das war höhere Ableitung im
Prinzip ganz naheliegend definiert leitet hält die Ableitung nochmal ab dann jetzt kommt die Menge der allerschönsten Funktionen die sogenannt beliebig oft differenzierbaren also 11 heißt beliebig oft differenzierbar ja wenn Sie es in beliebig auf differenzierenden das heißt es muss alle Ableitung aller Ordnung geben also falls F in x differenzierbar ist für jedes n bitte vom Beispiele für
Funktionen die diese schönste Klasse gehören diese beliebig oft differenzierbar sind kennen Sie ne ganze Menge jedes Polynom die trigonometrischen also Sinus und Cosinus und so weit das alles beliebig oft differenzierbaren Funktion jetzt habe ich
ihn definiert was in x differenzierbar heißt werde noch stetig differenzierbar auch den Begriff können hochziehen also 11 heißt in mal stetig differenzierbar gleiche Definition wie vorher er falls das 11 erstmal natürlich in x differenzierbar ist jetzt brauchen wir noch die
Stetigkeit und im Prinzip sie wollen wir jetzt natürlich dass alle Ableitung von f stetige Funktionen sind aber ich behaupte das Reich zu fordern dass die letzte die endlich tätig ist warum weil wenn es also nur 1 5 Dennis L 5 x differenzierbar und die fünfte aber wichtige Funktion der Glaube die ist die erste Ableitung an die stetige Funktion war die erste Ableitung muss insbesondere für den sie über sein der die Mode fünfmal gewann über sein also sind besonders der differenzieren können und werde Zulieferer war ist dann ist automatisch tätig das hat am Anfang des Differenzierbarkeit Kapitels gesehen das differenzierbaren stärkerer Begriff als stetig das heißt die Stetigkeit der unteren Ableitung kriegen Geschenk das noch dazu fordern müssen ist das die höchste Ordnung der Ableitungen also die Ente dass die steht gut also eine gut also
Beispiele für beliebig oft differenzierbaren Funktion hat sich gerade schon gesagt kennen Sie im ganzen Haufen es ist er sogar umgekehrt wenn ich ihn jetzt die Aufgabe gebe dem Sie über eine Funktion die 7 weiß es aber nicht 8 das ist wahrscheinlich schwieriger als wenn ich in die Aufgabe geht denn so eine Funktion die beliebig oft differenzierbar ist deswegen will ich das auch gleich noch in zeigen aber ich will es noch mal kurz mit
Ihnen nahm am 1. einfachen Teilnahme 1.
beliebig oft differenzierbare Funktion und die 1. Überlegungen ist wie ist es mit Potenzreihen und Potenzreihen sind da sehr schönes sind sehr schöne Funktion und Funktion komme ich immer wieder gern drauf zurück Potenzreihen Funktion des Patents eingegeben sind sind wunderbare Funktionen und das liegt daran dass eben die Eigenschaften Potenzreihe zu sein vielleicht erhält oder Zusage erhalten bleibt es ist erhalten bleibt wenn sie differenziert nichts anderes steckt hinter der Formel für die aber nur Potenzreihen die differenzieren kommt eine Potenzreihe raus mit gleichen Konvergenz Rat also Ableitung von Potenzreihen also von konvergenten Potenzreihe sind wieder konvergente Potenzreihen und damit genauso gut wie das Ausgangsprodukt aber da tut
sich beim differenzieren schleicht sich nix ab können er geht nix verloren und das heißt die können Sie natürlich jetzt wieder genauso differenzieren also sind sie wieder die differenzierbare Funktion und wenn Sie jetzt zum zweiten Mal differenzieren na ja dann kommt wieder der Potenzreihe Mitleiden Konvergenz Radius raus und diese genauso schön wie das Ausgangsprodukt und dementsprechend kommen Sie immer weiter und das bedeutet alle Funktionen die durch
Potenzreihen gegeben sind sind immer sofort beliebig oft differenzierbar und damit am sie jetzt ein ganzes Arsenal von Funktionen denn diese schönes mögliche Klasse fallen sind natürlich auch beliebig oft stetig differenzierbar weil letzte aber das immer mal differenzierbar also insbesondere stetig also das ist solange sie in dem Fahrwasser bleiben kann denn überhaupt nichts passieren dann können solche Sauereien wie das was wir jetzt wollen gesehen haben nicht auftreten
Funktionen sind beliebig oft differenziert nur und damit kriegen Sie also zum Beispiel alle Polynome ja Polynome so insbesondere durch Potenzreihen gegeben Polo endlich Potenzreihen die nach wie in den Rhein mit weltlichen so daneben aber Sinus Kosinus Exponentialfunktionen und so weiter und so weiter dann machen Gesindel Rhythmus eine Potenzreihe also habe schon der oder nicht immer noch es gibt ganze Stall voll funktionelle
Potenz eingegeben sehen in diesen immer alle sofort beliebig oft differenzierbar period tja dann ein
weiteres Beispiel von beliebig oft okay jetzt kommt Joghurt muss Beispiel 2 Zehen auf den Rhythmus ist beliebig oft differenzierbar von dem wissen wir noch nicht dass eine Potenzreihe ist da kommen wir hin das heißt im Moment aber wenig andere Chance um dieses diese freche Behauptung nachzuweisen als unendlich auf zu differenzieren aber man kann sie schon bald denken was passiert na ja die aber nur von allen ist ja die Funktion eines durch x ja Logarithmus ist sowieso nur definiert Wegs größer 0 also mit der Definition zögern wir kein Problem X ist größer 0 und die Funktion können Sie jetzt natürlich weiter differenzieren allen 2 Strich von X ist die Ableitung von einst X also minus 1 X Quadrat das kann man wieder weiter differenzieren allen 3 Strich von X bis 2 durch x hoch 3
und wenn man das jetzt mal weiter macht irgendwann langweilig und dann sagt man sich aber keine Lust und endlich auf zu differenzieren das dauert zu lange und das Gute ist aber dass bisschen weiter macht stellt man fest das ist eigentlich dass man ziemlich schnell Vermutung kriegt wie das weitergehen nämlich die 4. Ableitung ist minus ich was man suggestiv zweimal 3 durch x so viel können noch suggestiver schreibe ich die Nummer 1 der vor einmal und auch noch einmal und dann kommt man ein relativ schnell auf die Vermutung wie das weitergeht nämlich die Ente Ableitung vom Rhythmus ist minus 1 hoch minus 1 Woche n 1 plus einstmals muss schauen wo man die zweite Ableitung ist ein negatives Vorzeichen also muss 4. Grades N minus 1 übrig bleiben also minus 1 noch im Plus 1 mal N minus 1 Fakultät durch x auch allen und das würde im Moment eine völlig freche Behauptung diese wie liegen aber die 1. 3 7 hat keine Beweise aber das schöne ist immer so eine Vermutung hat für die Ente Ableitung dann ist dies ganz flugs nachgerechnet nämlich per Induktion das ist eine ganz ganz typische Anwendung für Induktion das müssen wir machen es kam aber ganz der Vergangenheit also Induktions- Anfang das Ding muss am Anfang gelten für zum Beispiel gleich 1 gleich 0 Tutsi nicht aber gleich 1 also die 1. Abmeldung formell in die S 1 durch x und was ist wenn sie in diesen ganzen Schlobohm ob man gleich einsetzen minus 1 Uhr 1 plus 1 ist minus 1 Quadrat ist 1 2 1 1 1 1 Fakultät das 1 x so 1 ein X also es einst durch extra das klappt gut Induktionsschluss was müssen dann machen wir
müssen aus der Annahme dass die oder aus der Voraussetzung dass das Formel für n richtig ist zeigen dann stimmt sie auch für plus 1 also leiten Sie mal period diese Formel da oben also müssen die plus 1. werden vom Rhythmus ausrechnen der Voraussetzung bekennen die Ente aber die endlos 1. ist natürlich die Ableitung von der Enten die entwickeln meiner Induktion Voraussetzung einsetzen also müssen wir minus 1 Woche 1 plus 1 N minus 1 Fakultät durch x auch n noch mal ableiten gut es gibt minus 1 Woche 1 plus 1 bleibt stehen die minus 1 Fakultät wird aufstehen und was gar nicht nur ableiten müssen das 1 durch x auch n das ist wie von der Form X auch Alfa es geht um minus mal 1 durch x so endlos 1 soll Satire wir das nur richtig alles zusammen minus
1 Woche endlos einzubauen minus geht minus 1 zu 1 plus 2 das ist Fakt Hotel Tiere ein minus 1 Fakultät mal endet Fakultät und unten steht x auch Entschluss ein sondern sie jetzt gucken wo wir hinwollten dann ist das genau die Formel die oben steht wohl statt NN steht also schon nochmal kurz Erinnerungen Induktion aber das ist immer der wenn Sie wenn die Aufgabe ist gegeben ohne Funktion und sollen alle Ableitung bestimmen dann ist es immer der Weg der Dinge bestimmen Sie mal die 1. 3 4 5 und versuchen sie Muster zusehen wie das weitergeht sagte behaupten Sie dass das Muster geht dann beweisen es per Induktion das ist die der Weg in diesem Zusammenhang gut haben wir also auch gezeigt dass der Rhythmus nun endlich auf
differenzierbare Funktion des und dass die dem auch die Abmeldung bestimmt die in der Ableitung ist dieses Ding da oben er behalten Sie es mal im hintersten Hinterkopf in 2 3 Wochen brauche ich die Formen noch mal aber da schreibe ich sie auch noch mal hin aber ich liegt also wird dann dran erinnern dass wir die hier ausgerechnet haben
so die schlussendlich noch ein anderes Beispiel dabei das auf die Frage von vorhin antwortet es aber ganz viele beliebig oft differenzierbaren Funktion gesehen und die Frage war können sie würde Funktion sagen die 8 x differenzierbar ist aber nicht neunmal da fängt man dann schon mehr an so grün wie baut man die so das ist achtmal gut geht und am 9. Mai fällt man auf die Rasen ja und die ist ein Beispiel das ist die sogenannte Sturz Funktion den hat aber bevor ich die vorgesehene vorbereitet habe auch noch nie gehört er kann es ist auch egal wie sie heißt auf übersieht sie folgendermaßen aus H 1 von X ich mache das gleiche N Ansicht zeigen die Funktion die enden aber die in x differenzierbar ist Ende des 1 x differenzierbar ist aber nicht einmal dann Insel in gleich 9 setzen haben so das Ding von wollen also am von X ist gar nicht so kompliziert ist einfach X auch n für x größer gleich 0 und 0 4 x kleineren und er sieht folgendermaßen aus sie
haben die SX das F von X haben Sie Ihr Sohn XUL Parabel als und für negative X ist die Funktion einfach 0 also eine Parabel erst nach rechts der einfach 0 ausläuft er wird den linken Teil der Parabel abgeschnitten durch neue ersetzt und die Behauptung ist
das eine Funktion die kann setzt er mir das alles mal differenzieren und am Ende mag das nicht mir also was ist denn das was passiert dann wenn das denn einmal differenzieren dann muss mehr gut für positive X ist die Sache einfach Fixgröße größer neue müsse 6 auch n differenzieren kriegen Sie in Mali zu rennen minus 1 0 ist die Sache auch einfach externe oder die Funktion und dann wohl der ist sehr freudig zu differenzieren da ändert sich nicht viel da kommt nur raus was ist denn fix gleich 0 ja da kommen wir nicht umhin da muss man den Differenzenquotienten nehmen also was ist Strich an der Stelle 0 nach Definition der Limes X gegen 0 von H 1 von X minus H von 0 durch x denn wir sehen Prinzip Fallunterscheidung machen wenn das X auf der linken Seite steht das wenn X links von 0 ist dann ist das 0 minus 0 durch durch externes das sowieso mal 0 also intressant sind wir im Moment nur die positiven X die negativen kommt immer nur aus und würde positiven X steht hier X auch N minus 0 durch x das ist der Limes X gegen 0 von XUL minus 1 das kommt eben drauf an ob N gerade 1 sie bisschen größerer mal n gleich 1 ist das uninteressant wenn n größer als 1 ist dann ist das 0 also das ist bei allen größer gleich 2 ist ist 0 das heißt dann kriegen wir hier 0 das können Sie jetzt wieder zusammenfassen das ist n x x auch minus 1 Felix größer gleich 0 und 0 für X kleiner 0 der und was man hier sieht immer ein bisschen draufguckt ist die Ableitung von H N ist nichts anderes als eben mal die Funktion H N minus 1 ein minus 1 6 minus 1 für positive und 0 für negative was sich es allen 1 ab so und das können Sie so weitermachen im Prinzip muss man zum Glück an der
Stelle kann man an der Stelle muss man jetzt nicht mehr so viel wenn über sehr Grenzen Quotienten argumentieren weil jetzt wird wissen Sie das jetzt wenn Sie jetzt einen 2 Strich anschauen also was es sein zweistellig das ist n mal Hey minus 1 zum Sie die aber normal bleiben aber wer mit ausgerechnet was einem Minus 1 Strich ist das ist nämlich n x n minus 1 meiner 1 minus 2 so können Sie weiter machen wenn sie wollen wenn sie auf Induktion machen und man kriegt raus die N minus 1. Ableitung von der Funktion es in Frage hält mal H 1 von X in bei jedem bleiben die der Zelle als runter wenn Sie ein minus 1 x abgeleitet haben sind sie bei H 1 und jetzt muss man aufpassen weil die ganze Rechnung oben stand unter dem Vorbehalt dass größer gleich 2 ist also H 1 wir es mal gucken man uns das H
1 mal hin was ist denn H 1 x da sagt das H 1 von X eine von Fonic also links ist die Funktion natürlich 0 weil diese ganzen Dinge sind längst 0 und rechts ist das X O L 1 jetzt 1 also das aber X und jetzt das mit dem differenzieren es dann sind liege 0 es neue erst neu unterwegs hat also Steigung nun und dann sofort Steigung 1 bei einem knickt das ist wie beim Betrag die Differenzierbarkeit stehe Trennlinie jetzt nicht vor das ist jetzt er kann man aber Differenzen vorziehen anschauen sind aber das wichtige ist die Anschauung an der Stelle Siegringen knickt Knicke sind nicht differenzierbar also ist diese Funktion N minus 1 x differenzierbar sie sogar N minus 1 mal stetig differenzierbar nur diese Funktion H 1 dieser Frau noch stetig hier wirklich aber sie sehen nicht mehr differenzierbar war also insgesamt haben Sie jetzt der Funktion also ist dieses H 1 N minus 1 mal stetig differenzierbar aber nicht in x differenzierbar soll's können Sie ihn gleich 9 setzen sowie Funktion dieses achtmal stetig differenzierbar aber nicht nur einmal differenziert also das geht es gibt sozusagen jede Gemeinheit dann und wenn man sich diesen entziehen will dann ist es gut wenn man mit beliebig oft differenzierbaren Funktion zu tun habe Potenzreihen oder ähnlichem dann ist man diese ganzen Nerv los gut damit können wir
jetzt ganz Funktionen ableiten und wir wissen welche was die wird weiß und das es da Fußangeln geht aber das sehr sehr viele Funktionen ganz oft differenzierbar sind die Frage so bisschen wo wir das Ganze gut also warum ist die Abmeldung jetzt so furchtbar wichtig da werden Sie in Ihrem Studium 35 Tausend die Gelegenheiten haben das zu sehen wer das mache ist mir nicht bange vor sie werden ganz viel ableiten aus verschiedensten Gründen der dann aber ich will so ein paar ganz zentrale Anwendung des Bildungsbegriffes jetzt im nächsten Abschnitt nochmal beleuchten also an welchen Stellen mathematisch also in der Mathematik tauchen Ableitungen auf wie kann man den aber Begriff nutzen um die verschiedenste Probleme zu lösen was haben differenzierbare Funktionen
für schöne Eigenschaften mit dem man was anfangen kann guten der 1. das 1. was ich Ihnen hier
zeigen will dass das so genannte Minuten Verfahren nach Eisenionen benannt und dabei handelt es sich um ein numerisches Verfahren also so bestimmt soll zur numerischen also wenn der Lösung von Gleichungen also Gleichung und Lösen von Gleichungen Währungs- Weise lösen vom gleichen mit Computer zum Beispiel werden davon hatten wir schon 1 gesehen das sogenannte die Sektion Verfahren das ist ein relativ einfaches Verfahren das kam der Stetigkeit der Funktion aus wir stecken wir mehr ins Geschäft mit stecken Differenzierbarkeit mit rein und ich will ihnen zeigen dass dann man deutlich besser es Verfahren trägt dadurch werde nicht zeigen dass es besser sich wird sie nur sagen ich hoffe dass wir der Übung machen können also das Problem ist wieder denn wir wollen die Gleichungen lösen jede Gleichung können Sie als Nullstellen Problemfälle Funktion auffassen das hat sich in der meisten die Sektion Verfahren erklärt da sie eine der Funktion und die setzen wir jetzt eben differenzierbar voraus das ist das was wir jetzt mehr ins Geschäft stecken und das wir suchen ist mir Nullstelle von 11 und wie gesagt egal welche gleich und sie lösen wollen sie können ein Problem Lösung finden nur so eine Gleichung immer umschreiben in ein Nullstellen Problem seine Funktion wenn Sie einfach die Gleichung packen alles was auf der rechten Seite steht auf die linke rüber dann steht da irgendeinen Wust gleich 0 wurde wussten sie es dann ist ihr Problem ein nur Problem dar gut also sehr meine Funktion und suchen nur Stelle
ich meine jetzt das Bild sehen das ist mir und
fahren wird und dann überlegen wir uns wie wir da draus aus dem Bild aus der Idee ein Näherungsverfahren eine 1 der Kursus Vorschrift Alliteration Vorschrift bauen können also eine Funktion ist da ist nix von X ja und von der Funktion Summe die Nullstellen dazu muss man wie immer bei solchen iterativen bei Näherungsverfahren muss man halt irgendwie am Anfang mal raten wir von braucht am Anfang ein Staat werden wenn der natürlich genau die Nullstelle ist hat man Glück aber das ist dann nicht im Normalfall also mehr Geld irgendwo deiner muss 1 1 mehr war einfach so waren parierte einsetzen und feststellen oder es noch negativ das positiv also ich muss das sein unklar weil irgendwo Sonics Nullen und die geht es und erfahren Sie es jetzt das folgende nehmen Sie sich das f von x 0 und bestimmen Sie an dieser Stelle x 0 die Tangente der Funktionen und das ist die gibt es natürlich weil ja Differenzierbarkeit vorausgesetzt haben ist es wurde Differenzierbarkeit einst eingeht als sie können an dieser Stelle x 0 die Tangente legen war also das ist ja gerade wieder sieht also es die Tangente an der Stelle x nur meine Funktion 8 die die Kinder dazu bei drauf Zeller so dass die Tangente jetzt brauchen wir neues X nächstes nächsten wert und was wir nehmen ist dieser Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse der der elterlichen allgemein nicht die Nullstelle sein wie im Bild ist geschossen was ist mit meiner dran und so macht man jetzt weiter also beim bestimmt an der Stelle x 1 die Ableitung von f und die Tangente an die Funktion das geht bitte den Schnittpunkt mit der x-Achse der 6 2 und so weiter und sie an der Stelle x 2 die Tangente ist manches nicht mehr rein werden der X 3 liegt schon so nahe an der Nullstelle den kann ich da nicht mehr einen zeigen wir stellen sich vor eine Stelle x 2 Tage der hoch das ist außerhalb der Zeichen Genauigkeit hier leider nicht schon bei der Nullstelle und das ist die Grundidee des Juden Verfahrens sich
Daten irgendwo ersetzen die Funktion durch die Tangente ist ein Gentest die besten Jahre Approximation der Beste bist geraten Jahre Approximation ersetzen und zum die Tangente nämlich nur stellte Tangente wann ist den Fehler aber dass man sie iterativ mal weiter und auf die Weise hält man ein wirklich erstaunlich schnell Iterationsverfahren das geht das wenn alles gut geht nicht immer auch wenn alles gut geht sehr schnell gehen die Nullstelle konvergiert also ist die rechnerische Umsetzung der Ideen also im Jochen Schritt bestimmen Sie die Tangente durch den Punkt XJR von nix wert die hatten war auch schon lange vor den Ferien immer mal ausgerechnet die Gleichung der Tangente an Sonne Funktionsgraphen ist Y S F von X J plus 11 Strich von XJ X X minus X J das ist die Gleichung der Tangente an die Stelle XJ F von X J und was wir jetzt als Ixion plus 1 definieren was ist X plus 1 die zur plus 1 ist der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse also die Nullstelle der Tangente was man
sozusagen bei dem Verfahren wenn nun Verfahren macht ist in jedem Schritt ersetzt man die Funktion durch ihre Tangente und nimmt statt der Nullstelle der Funktion die Nullstelle der Tangente und das macht man dann von da ab geht immer weiter er bekommt so eine Näherung der Nullstelle sowas ist jetzt die
Nullstelle der Tangente also es muss gelten F von X J plus 11 Strich von XJ X X minus XJ ist gleich 0 das
können Sie jetzt noch J XJ plus 1 minus XJ A also die Nullstelle ist das X plus ein Ziehsohn das XJ plus ein so dass die sie Funktion 0 wird das können Sie jetzt extra plus 1 auflösen also das ist genau dann der Fall wenn Edition plus 1 minus X J gleich minus 11 von X durch F Strich von XJS das habe ich gemacht ich habe das er von XJ auf die andere Seite geschafft durch F spricht von X geteilt bringt sie noch das XJ auf die andere
Seite und kriegen raus XJ plus 1 ist XJ man aus F von X J durch F Strich von XJ und das geht natürlich nur sonst gibt wenn der Strich von XJ nicht nur das eine da sonst dürfen sie das nicht austeilen
und das was jetzt hier still ist die
Rekursion Formel des Minuten Verfahrens ja und damit mehr was Sie jetzt machen wenn Sie die Nullstellen von ihrer Funktion f suchen ist in dem Text wohl von dem so hoffen mehr rechnen damit jetzt rechts was stehen nur 6 0 einsetzen können x 0 minus F von X nur durch F Strich von x 0 damit kriegen sin x 1 und dann können sie mit dem X 1 wieder die Formel geben die kriegen Sie nix zeigen Xtra Intrinsics 3 auf die Weise die ganze Folge von Währungen und jetzt können Sie natürlich jedes Mal wenn sie es X in ausgerechnet haben das X NSF einsetzen prägen hoffentlich was sehr klein ist eine von nur draußen sollen nur Stelle approximieren und dann müssen Sie halt irgendwann entscheiden geht ist die Nehrung gut genug jetzt kommt und was raus was kleiner sie das Minus 8. oder was oder brechen sehen das Verfahren ab und sagen dass es meinen wurscht der
kurz noch zur da zur Güte das Verfahrens wenn sie die neue Stelle die der Staat geeignet wären dann konvergiert das Nuance Fan im Allgemeinen sehr schnell man kann so übern Daumen gepeilt sagen wenn das alles ordentlich liegt verdoppelt sich die Anzahl der richtigen Nachkommastellen jeden Schritt also wenn sie in Ernährungs- und 2 wichtige Nachkommastellen aber noch einen Schritt machen und sich an die richtige Stelle dann 8 1 16 das geht extrem schnell man muss aber warnen dass sie ohne Verfahren konvergiert nicht immer lassen Sie mich ein letztes Bild hinein
nehmen Sie folgende Funktionen sind wirklich böses Beispiel so das ist 11 und nehmen Sie Ihr Startwert leider hier weit außen wenn Sie das machen bringt sie die 1. Zeit denn die hierüber haben Sie X 1 und was jetzt passiert ist was jetzt passiert sehen sich schnell x 2 Tangente anlegen X 3 und die XJ waren sich man sich auf Nimmerwiedersehen nach oder fort und denken gar nicht daran hat die approximieren auch eine Nullstelle der Funktion nämlich die durch den unendlichen aber die wollen sie nicht haben also da muss man aufpassen das ist nur Warnung dazu das nun Verfahren verlangt eben dass das 6 0 nahe genug an der Nullstelle ist das hier dürfen sie nicht so weit weg Staaten probieren Sie mal mit ähnlichen Bild und starten Sie nah dran dann sehen Sie es konvergiert die gut so viele dazu an sonstigen dann wieder Aufmerksamkeit und bis morgen
Faktorisierung
Gewichtete Summe
Punkt
Momentenproblem
Natürliche Zahl
Differenzierbare Funktion
Iteration
Gleichungssystem
Cartan-Ableitung
Gradient
Richtung
Knicken
Negative Zahl
Operator
Homogenes Polynom
Kettenregel
Vorzeichen <Mathematik>
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Parametersystem
Positive Zahl
Exponent
Physikalischer Effekt
Tabelle
Machsches Prinzip
Abbildung <Physik>
Reihe
Differenzierbarkeit
Stetige Funktion
E-Funktion
Biprodukt
Zahl
Null
Ableitungsfunktion
Rekursive Folge
Summe
Polynom
Flattern <Technik>
Umkehrfunktion
Menge
Betrag <Mathematik>
Höhe
Mathematiker
Potenzreihe
AMG <Mathematik>
Trigonometrische Funktion
Schwebung
Gebiet <Mathematik>
Aggregatzustand
Standardabweichung
Familie <Mathematik>
Ebene
Mathematische Größe
Algebraisch abgeschlossener Körper
Darstellung <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Große Vereinheitlichung
Elementare Funktion
Zusammenhang <Mathematik>
Physik
Verweildauer
Klasse <Mathematik>
Diagramm
Exponentialfunktion
Weg <Topologie>
Multiplikation
Quadrat
Numerisches Verfahren
Logarithmus
Schnittpunkt
Stetigkeit
Rekursion
Nullstelle
Näherungsverfahren
Minimalgrad
Graphische Darstellung
Inhalt <Mathematik>
Kosinusfunktion
Radius
E-Funktion
Rationale Funktion
Quotient
Grad n
Differenzenquotient
Gleichung
Elementare Zahlentheorie
Geometrische Reihe
Strukturgleichungsmodell
Induktionsschluss
Grenzwertberechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Stetige Differenzierbarkeit
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 21
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35648
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Ähnliche Filme

Loading...
Feedback