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Satz von Taylor

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Roman also die Wohnungen der immer so sein gesehen hat er ihn an der TU Darmstadt er dann mal herzlich Willkommen
zur Improvisation Vorlesung warte für Bau das muss noch niemand auf den Treppen sitzen und die man stehen also hier vorne gibt es noch einige Plätze aber ich gebe zu ich habe ja vorher gesagt wird wahrscheinlich kuschelig ist war der größte Hörsaal der noch zu kriegen war die Zeit nichtsdestoweniger scheint die Infrastruktur zu funktionieren wir können uns n bisschen wie der der Mathematik werden zu werden vorher wollte ich noch die Gelegenheit nutzen noch mal auf die beiden Evaluation hinzuweisen ich hatte letzten Mittwoch Evaluationsbögen für die Vorlesung dabei und habe auf dem ganzen Stapel Rücklauf gekriegt das freut mich jetzt ganz gut sein das heute Leute da sind Mittwoch nicht da war ich habe deswegen noch mal weil die Abgabefrist man ich verweisen Stapel Evaluationsbögen dabei ich gebe einfach mal so ein bisschen durch wenn noch mal jemand also eben letzten Mittwoch nicht ausgefüllt hat und das tun Mark und seine Rückmeldung zur Vorlesung mir und allen anderen mitteilen würde ich mich freuen und wenn Sie den Anschluss von der Vorlesung einfach den Stapel wieder die ausgefüllten je nach vorne bringen dann gebe ich dir noch zu den andern dazu er war noch mal durchgeben sie hatten schon auch noch Gott so dann läuft das 2. davon unabhängig die Evaluation des auf das Angebot der Vorlesungs Aufzeichnungen das E-Learning Center als aus das vor allem aus zentralen QS ermitteln finanzierter Teil der Uni muss natürlich sich auch rechtfertigen dafür die Gelder ausgeht und wir natürlich auch das Angebot der evaluieren und verbesserten das heißt die sind auf Ihre Rückmeldung angewiesen wie das gesehen wird es geht also den Fall um die das Angebot das die Vorlesung aufgezeichnet wird da hatte ich über die Toga Nachricht letzte Woche ein mehr eine URL auf die man gehen muss und entsprechendes Lock-in mitgeschickt da bitte ich Sie auch alle darum die 5 Minuten zu investieren und dort Rückmeldung zu geben wie und wie oft sie dieses auf Angebot der Vorlesungs Aufzeichnung nutzen und wie das wie das ankommt da sind wir auch alle gespannt auf die Ergebnisse so ist ist es erstaunlicherweise hier ungefähr viermal so laut den Audimax das mag daran liegen dass ich jetzt mehr dran sind dass es mich jetzt dachte ich wäre froh wenn wir da jetzt wenn wir mit dem Inhalt anfangen bisschen von runterkommen gibt es noch organisatorische Unklarheiten die diskutiert werden müssen gut dann kommen wir zurück zum Inhalt da war ich noch in den letzten zu werden in der Regel von Trägern von Orbital näher zu bringen lassen Sie nicht zur Wiederholung des noch mal kurz hinschreiben dass meine Nummer 3 13 Regeln von Lobetal und da ging es darum wie uns die Differentialrechnung helfen kann um Grenzwerte auszurechnen und der Satz war wenn ich 2 differenzierbare Funktionen hat und ich schaue mir an es geht um Grenzwerte des Quotienten also von F von X durch die von X und da gibt es jetzt 2 unangenehme Fälle nämlich bei die Grenzwerte im Zelt der Zähler Grenzwert und dann der Grenzwert sind 0 oder Zähler und Grenzwerte und wenn der Grenzwert sind beide plus oder minus unendlich und wenn ich in einem dieser Fälle bin also Grenzwert von X gegen irgend nix 0 F von X und Grenzwert von X gegen ich soll dir von X sind beide 0 ja also 11. ist der
Dezember dieser Funktion des ist immer noch Funktion und ich habe jetzt ein Grenzwert wo oben und unten die Sache gegen 0 geht oder ich haben Grenzwert wo oben und unten das Plus oder Minus unendliches rauskommt also der Grenzwert X gegen x 0 F von X und der Grenzwert X GMX x 0 gehe von X ist entweder plus oder minus unendlich dass die schwierigen Fälle nur wenn ich mich in einem dieser Fälle bin dann brauche ich keine Hopital dann tuts der Grenzwert Satz aber wenn ich in eine sehr schwierige Fälle
sind also entweder das oder das dann kann man denn in dem Fall schwierigen Grenzwert X gegen x 0 F von X durch von X wenn man Glück hat ausrechnen auf jeden Fall wenn der existiert ist ja der gleiche wie der Grenzwert X gegen x 0 F Strich von x 0 durch gestrig von links das ist die Rede von oder nur natürlich das ist die Rede von noch bezahlen also die erlaubt's 1 bei komplizierten Quotienten Grenzwerten also bei den schwierigen Fällen 0 durchführen endigte kann er nicht von den Funktionen in der Zelle oder der jeweils die Ableitung zu Bilder zu schauen ob es dann funktioniert und ich hatte letztens einige Beispiele gezeigt bei denen das gut funktioniert hat der
auch dazu gesagt man muss aufpassen bei dieser Satz wichtige Voraussetzung hat er muss eben ein einmal muss eben es muss alle der komplizierten Fälle vorliegen nur durch nur dann endlich durch nämlich und witzigerweise funktioniert der Satz in den leichten Fällen nicht ja also wenn tatsächlichen sie nicht in einem dieser Fälle sind sondern werden sie sollen was haben Teller geht gegen 5 und wenn der geht gegen 8 und sie machen Orbital dann kommt wenn es dumm läuft was falsch raus und darüber bin ich ihn auch noch ein Beispiel dazu noch ein Beispiel
zeigen um zu zeigen dass man da aufpassen muss also werden letztes Mal Beispiel 3 15 A B C jetzt kommt des und das ist auch erstmal ein Grenzwert der so aussieht als wäre es eine schöne Anwendung von Orbitale wir machen X gegen 1 von Quotienten allen von X durch x Quadrat plus X und wenn man vorher 15 Orbitall Aufgaben gerechnet hat dann Beckmann man nicht an nachzudenken sondern bitte schmeißt die Maschine an und rechnet los und das ist in dem Fall gefährlich also Achtung
bei was passiert hier was passiert im Celler nehmen das X gegen 1 von allen von X ja der Rhythmus ist eine stetige Funktion das ist einfach allen von 1 und den von 1 ist 0 bis jetzt also alles fein aber was ist mit dem man da man das X gegen 1 von X Quadrat plus X ja das ist ein Squadra plus 1 und das ist 2
also wir sind überhaupt nicht in dem komplizierten schwierigen Fall sollen dem einfachen Fall das Ganze geht den giftigen 0 halbe nahm Grenzwert Satz 1 also wir können setzen
Grenzwert Satz drauf werfen Grenzwert Satz liefert damit direkt dass der Limes X gegen 1 von allen von X durch x Quadrat plus X der ist 0 halbe also 0 es kann natürlich sein dass man sich das nicht so genau an geschaut hat und einfach ob mitteilte werfen habe geworfen hat und dann hat man leider
Pech gehabt das würde ich jetzt noch kurz machen wir das
also mal das mal ohne viel darüber
nachzudenken ob Mittal drauf und dann werden wir feststellen wie Vattenfall das Ergebnis der die führt nämlich nicht nur also was wäre nach
dieser falschen Rechnungen das X gegen 1 allen von X durch x Quadrat plus X nur machen Lobetal das heißt wir leiten die Zelle abzuleitenden Männer Zeller abgeleitet gibt 1 durch x den Grenzwert nicht vergessen also nehme X gegen 1 Zeller Ableitung des einst durch x durch eine Ableitung ist 2 X plus 1 mehr das wäre mal Orbitale einfach so drauf geworfen was passiert jetzt wenn X gegen 1 jagen dann geht jetzt immer alles das schöne blöden nun oben geht weckt das geht gegen 1 und unten geht das gegen 2 mal 1 plus 1 also gegen 3 und der Grenzwert des offensichtlichen tritt man und das Problem ist es mitnichten 3. solle es 0 siehe oben und das Problem ist dass dieses gleiche fand dieses gleich funktioniert eben nur daran wenn man wirklich in einem Fall für den Orbitale ist und nicht immer also Orbitall ist kein Wunderheilmittel sondern SonneTod nur denn die schweren Krankheiten helfen was ja ganz freundlich ist und doch nur so sollte man den Verbänden und es fing es ganz wichtig dass man bevor man anwendet immer checkte wollen noch ein werden darf weil sie hier man merkt im Nachhinein nicht mehr wenn anwenden und nicht selten ob es geht in den 3. raus werden sofort glauben hinschreiben und die Sache ist fraglich das ist jetzt kein pathologisches seltenes Beispiel sondern das passiert generisch wenn sie einen Grenzwert der nicht nach Okita ruft mit mit bearbeiten dann kommt im Normalfall was heißt es raus also je Czichy Gegenbeispiele zu bauen ist keine große Schwierigkeit sie nehmen einfach irgendeines und das klappt normalerweise das heißt wirklich vorsichtig an der Stelle gut das war noch im Nachklapp zur letzten Vorlesung ich komme jetzt zum letzten Abschnitt im Kapitel Differenziation und das ist im Prinzip noch mal in der Anwendung des Differenzierens könnte also in den Charts steht 3 1 3 das ist aber so wichtiges und eigenständiges Ding das ich dem meine eigenen Abschnitt 4 widmen und zwar
insbesondere in dieser Vorlesung also dieser Abschnitt der jetzt kommt über den Satz von Teller das ist wirklich im besten Sinne Ingenieurmathematik da weil das was es was sie in Ihrem Studium sicherlich schon dreimal verwendet haben und noch Dutzende Male verwenden werden oder sehen werden oder fest er nachvollziehen müssen der Satz wird Täler lauert überall vielleicht wird dann mal nicht so sogenannt sondern 7 Jahre Näherung oder gut quadratische Näherung oder Abschneiden nach dem zweiten Glied oder sonst was aber im Wesen ist es immer der Satz von Teller und worum es im
Endeffekt geht es was ein paarmal angeklungen ist Sie haben der komplizierte Funktion die so kompliziert ist dass man damit nicht arbeiten will sondern sie suchen den Währungs- Funktionen die in dem Bereich den Sie angucken wollen dabei genug dran ist so das ist kein großer Schaden ist damit Ernährungs- Funktion arbeitet weil die nicht mit der Fehler den sie durch die Jerum machen so viel kleiner ist als eine Sicherheitsmarge die man sonst draufhaut das ist wurscht ist er sah 1. Idee hat mir bei der bei der Differenziation gesehen Sie können die Ableitung dem Vorgang der Ableitung immer sehen als Näherung einer Funktion lokal durch die Tangente ist die einfachste Methode zusammen die Tangente dies in der Nähe von dem Punkt wo ich sie dran legte ganz gut in der Hand aber sie sagen rasende gerade wenn der wenn die den der Graph der Funktion und ich gekrümmte ist dann ohne gerade ziemlich bald schlechte Währung kommt auch an den genau was machen will geht es nicht auch ein quadratisches Polynom dass da möglichst nah dran Titorenko geschützt und genau das gibt der Satz von Teller mit ganze Abfolge von beliebig immer genaueren Polynom Quadrates komisch gerade 4 3 5 Grad 6 Grad 7 so genau Sie es haben wollen mit dem diese Funktion bestmöglich an einem Punkt mehr es kann man das Spielchen natürlich immer weiter treiben und die Funktion durch ein Polynom Gefahr von gerade 70 und 80 100 und 300 man der meinen real Anwendungsfall die tun weil bevor ich die Funktion die die Funktion durch Polen nach 100. Grades näher damit den Rechenaufwand wieder so hoch getrieben das ist genauso gut es sei auch die Funktion ausrechnen das heißt im Normalfall wird man der Anwendung also mehr als 3. Grades habe ich jetzt selten gesehen aber üblicherweise Merkmale Polynom erst 2. 3. Grades je nachdem wie genau sein soll trotzdem wenn ich jetzt der mathematischen Behandlung alles machen also beliebigen Grades 1. war man in die weiß wie viel man braucht und zweitens weiß dann ist eine Runde Theorie geht und wo immer dann kommt wenn man wieder zu zeigen sich beliebig tolle Polynome nähert kommt man entweder bei einem Potenzreihen raus also damit gibt auch ein Zusammenhang und damit ich einsteigen wir haben den letzten Kapiteln gesehen wenn Sie eine Funktion habe durch der Potenzreihe gegeben ist also denken Sie an die Funktion an den Sinus an den Kosinus den gesehen der Logarithmus gehört auch dazu also der funktionelle Potenzreihe gegeben ist ich mach's mal gleich allgemein also der Summe über A N X X minus x 0 hoch N dann definiert die in ihrem Konvergenz Bereich über den haben uns auch unterhalten Konvergenz Bereich von der Potenzreihe ist immer ein Intervall das symmetrisch ist zu dieser Entwicklung Stelle x nur und wir haben uns über die Differenzierbarkeit diese Potenzreihe unterhalten und festgestellt im Innern des Konvergenz Bereichs ist die immer beliebig oft differenzierbar in dem sie nämlich einfach die einzelnen Summanden differenzieren und dabei kommt wieder der Potenzreihe raus die dann auch konvergieren das ist die Ableitung so und in dem Fall wenn sie so Funktion das Potenzreihe gegeben haben ist natürlich relativ klar wie man jetzt einen approximiert Polynom kommt na ja man Teil in der Summe nicht unendlich viele Summanden soll Befunde die 1. 5 Summanden Polynom fünften Grades und da die ganze Summe ja irgendwie gegen die Funktion konvergiert kann man hoffen dass die 1. 5 comma ganz gut und in dem Sinne ist es für diese Idee
ich würde Funktion durch ein Polynom nähern naheliegend zu kucken wie kann ich es umgekehrt ich habe lange Funktion gegeben wie kann ich dazu passende Potenzreihe ausreichen oder halt zumindest in approximieren der Polo also das ist jetzt die Frage jetzt umgekehrt gegebene Funktion der beliebig oft differenzierbare Funktion wie komme ich an einen möglicherweise eine Potenzreihe erraten also ich habe mir beliebig oft differenzierbare Funktion und die Frage ist jetzt finde ich irgendwie ne Potenzreihe die diese
Funktion darstellt na also brauchen mehr Funktionen auf sollen Konvergenz in der war also der von der Konvergenz reiten Potenzreihe aufs und Konvergenz Intervall x 0 minus ruhigsten plus froh als ich habe seine Funktion und gibt es jetzt eine Potenzreihe die diese Funktion darstellt das wäre die Frage um die wir uns auch kümmern wollen und mit der Idee der Hintern wir die Potenzreihe haben dann wissen wir wieder
wie wir die Funktion deren Inhalt die 1. paar so und so viel Summanden vor der Potenzreihe je nachdem wie genau habe vor so in dem Zusammenhang gibt
es eine relativ schnelle Teilantwort und die ergibt sich das folgende Beobachtung man kann nämlich relativ schnell sagen Wind Sonne Potenzreihe gibt dann kann man ihm schreiben die aussehen muss also ich kann ihn mir so nicht beantworten ob Sonne Potenzreihe geht aber wenn es sie gibt dann muss muss sie eine ganz bestimmte Form ab und das ist folgende Beobachtung
also gehen wir davon aus oder Potenzreihen Tirpitz also unser 11 lässt sich eben schreiben alles Summe K gleich 0 bis unendlich Aka X X minus x 0 Hochkar wir es gibt ähnliche Zahlen k so dass diese Gleichheit geht und dass diese Reiter auch konvergiert also wenn das Geld dann behaupte ich dann kann nicht genau sagen was die AK sein müssen also es gibt sozusagen
nur einen möglichen Kandidaten für die Potenz denn das muss jetzt gelten dann setzen Sie mal x 0 x 1 darum setzen Sie mal für x 0 in der x x 0 1 kriegen Sie F von X 0 ist diese Summe also Summe K gleich 0 bis unendlich A K x x 0 minus 6 0 das ist übersichtlich das ist 0 also nun hoch K es ist man schnell bei der Hand Zusage dass es wohl vorsichtig das ist unendlich oft nur ja aber es gibt einen Fall wo es nicht 0 ist und dass es für K gleich 0 man kann nun ist dann steht da nur hoch nun und ich hatte am Anfang für sie einfach per Auto dem Mufti diktiert und definiert dass nur noch 0 1 ist das warf insbesondere hierauf gemünzt hier macht das Sinn in dem Spiel dementsprechend kommt hier sind die unendlich viele Summanden 0 aber der aller 1. Völker gleich 0 der ist 0 das Nummer 1 und damit wissen Sie schon mal den Sonne Potenzreihe existiert dann muss das 0 der wird er von X plus 1 also das an 0 liegt schon mal fest
so und so können sie jetzt weiter jetzt wissen wir die Funktion des differenzierbar dies beliebig oft differenzierbar wenn sie nicht beliebig oft differenzierbar ist aber keine Chance Potenzreihe zu finden bei Potenzreihen sind immer oft beliebig es sind immer beliebig oft differenzierbar also wenn Sonne Gleichheit geht das elfte Gebot den vergewissern muss F beliebig auf Zimmers also aber auf jeden Fall meine Ableitung nehmen Sie mal die Ableitung setzen da x 0 comma überlegen was ist die Abmeldung von der Potenzreihe das hatten uns mal belegt die ist so Milka gleich 1 bis unendlich K mal A K X auch kann minus 1 11 1 6 0 noch keinen Ersatz kriegt man einfach in dem man die Reihe oben nimmt und Tomaten Weise durch die Zeit sie gut wobei ich habe jetzt links x 0 eingesetzt also muss ich auch recht 6 0 einsetzen haben Sie wieder Exxon 6 0 bis 0 also nur noch gar minus 1 das ist immer 0 aus K gleich 1 was Sie also stehen bleibt ist einmal A 1 und was wir kriegen es wenn Sonne Potenzreihe existiert dann muss das A 1 dass der Strich von x 0 und so können Sie jetzt beliebig weiter Mama noch
F 2 Strich was ist F 2 comma von X F 2 Strich von X ist somit K gleich 2 bis unendlich K minus 1 x aber klar X X minus X nun K minus 2 jetzt wieder x gleich x 0 gesetzt haben Sie da wieder x 0 minus 6 0 stehen auch diese Summe hat nur ein so meinten nämlich den Völker gleich 2 und was dann übrig bleibt bis 2 x 1 x A 2 das können Sie jetzt vielleicht können Sie jetzt nicht weiter treiben ja und wenn man dann das N
macht oder wenn man dann in Zions Beweise machte man es ganz sauber machen will aber ich hoffe Sie sehen dass es weitergeht der welche zunächst mal ableitet dann springt mir von der Abmeldung K 2 nach vorne habe ich Karmarkar minus 1 x K minus 2 und wenn ich dann wieder x 0 x gleich x 0 setzt dann wird wieder alles weggesoffen 1. und was übrig bleibt es 3 x 2 x 1 x A 3 also allgemein kommt raus die Ente Ableitung von f an der Stelle x 0 ist n Fakultät mal am darum und in dieser Formel hier stecken jetzt auch die Zeilen da oben drüber drin in gleich 2 Fällen gleich 1 dann steckt sogar Prinzip in gleich 0 drin wenn sie richtig Interpret also wenn sie vernünftig interpretieren dass die nur der Ableitung von f die Funktion ist dann steht da f von x 0 ist 0 Fakultät also 1 x 1 0 so das heißt was wir rauskriegen wählen sonne Funktion und der Potenzreihe gegeben ist dann gibt es nur eine mögliche Wahl dieser Potenzreihe nämlich die wo das das gleich in der
Ableitung von f an der Entwicklungsstelle durch Fakultät ist einfach diese Gleichung genommen und durch ein Fakultät Gebiet gibt und zwar das für ihn gleich 0 für 1 für 2 und so weiter aber weil die gerade gesagt in gleich 0 müssen Sie so interpretiert die 0 der Ableitung von f ist hat es selbst mal F 0 x ableitet das X so das heißt gegeben in
ner beliebig oft differenzierbaren Funktion wissen immer noch nicht ob sie Potenzreihe dazu geht aber wir wissen wenn es eine es dann genau die und deswegen Krieg die jetzt erst mal Namen also das ist die Definition 4 1 1. Definition in diesem Abschnitt zu wichtig finde ok ich schreibe hier mal 2 dot 3 dot 4 hinter denn das sind jene die Buchstaben aus dem Reiz gibt er nur aus den Maschinen aus der und die II bedeutet Mathe 2 das habe ich ihn noch nicht hochgeladen was Sie da machen wenn wir jetzt das ein wenn ich das bis übermorgen ich hochgeladen habe dann dürfen wir nicht alle aber dann ist dann darf man immer viel schreiben und jetzt sehr wenn ich das so gesagt habe muss ich das bis übermorgen macht haben sonst muss ich viele steht er ja auch die also ich muss das machen und Sie haben vollkommen Recht also das geht auch und das Leid ich ihn hoch die Maschinenbauer war das gleiche Stoff wie gesagt völlig anderer Reihenfolge und der Kran ist erhalten das dafür comma dann in der Masse 2 auf aufdämmerte ein Skript vom Maschinenbau zurück also das wird aber deswegen muss ich jetzt hier von der Scheide ok also ich ja 10 hoch gut also die Definition ist jetzt werden gesehen wenn's Sonne Potenzreihe zu 11 geht dann muss die so aussehen also geben wir den Dingen Namen wir haben also wenn eine Funktion 11 dieser erwischte x 0 beliebig oft differenzierbar ohne beliebig oft differenzierbar Kants keine Potenzreihe geben und dann sagen wir die Potenzreihe die
gegeben ist durch diese am die da oben stehen also Summe n gleich 0 bis unendlich zum n gleich 0 bis unendlich in der Ableitung von f geteilt durch x nur von x 0 geteilt durch in Fakultät das sind ja in die da oben stehen X X minus x nur noch n die nennt man Teller Reihe von 11 damit ist an keiner Weise gemeint dass diese Täler Reihe von 11 es ist das wär natürlich still von uns hoffen würde davon gehen wir aus und wir Wissens Moment noch nicht es ist einfach die Täler Reihe von 11 in Entwicklungs- period X also dieses liege in Entwicklungssprung x 0 die 6 0 nennt man den Entwicklungs period und die ganze Reihe Teller war ihr dafür den und Symbol einführen das ist T 11 an der Stelle x diese Täler TF Teller weil von F ich gebe dem den extra neues Symbol weil es eben nicht klar ist im Allgemeinen dass das F ist und wir wissen eben nur wählen
eine Potenzreihe existierte des F darstellt dann die wenn man die aber hat dann ist jetzt die Idee die die schon mehrfach die schon
mehrfach ansprach wenn sie jetzt ihre Funktion durch ein Polynom annähern wollen dann nehmen Sie natürlich die Polynome die durch diese reingegeben sind weil die Reihe nähert ja wenn sie mit der unendlichen Reihe arbeiten und alles gut geht dann mehr die die Funktion f beliebig gut an und zwar über alle also steht zu hoffen dass die in diesen so irgendwie was mit es zu tun haben und einen liegen und dementsprechend spricht man eben irgendwann ab und nennt für eine natürliche Zahl also brechen mit bei gerade ab und dann kam Polly aus ja wenn Sie Summen durch nicht bis endlich
laufen lassen soll nur bis dann haben Sie ein Polynom Enten Grades und dieses Polynom also Summe in gleich 0 bis in der Ableitung von f an der Stelle x 0 durch in Fakultät X X minus x 0 hoch das ist das sogenannte Teller Polynom von 11 als was heißt das dass ist das Telefon Polynom Enten Grades die natürlich für jeden geraten an das Telefon Änderung man sagt
in der Wohnung kann Grades oder der Ordnung von 11 an der Entwicklung stellen nur der Widerstände x 0 natürlich so noch den wenn ich eine Bezeichnung geben dass der Polynom n-ten Grades oder in der Ordnung von 11 an der Stelle x 0 bezeichne ich mit T M 11 von X mehr TM F von X ist das Teller Polynom Enten Grades von 11 und wenn das nicht da steht dann in die ganze Reihe gemacht zur der an der Stelle noch kurze Bemerkung wenn sie jetzt in dieses was sie zu mir und ich können auch wenn sie in dieses wartet 2 Skript von dem Maschinenbau Vorlesungen reif reinschauen dann werden Sie feststellen dass der ungeschickter also für mich ungeschickterweise dieses Ding hier Teller Polynom der Ordnung plus 1 nennt ja ich habe jetzt also meinen Eindruck nach die der damit quer zu allem was ich aus der Literatur kennen also das ist für mich das Ziel Polung Ämter Ordnung und sog alles aber macht mich kann sind es wie habe ich beschlossen ich gerne stelle bleibt bei der Notation ich kenne aber wenn Sie das vergleichen müssen sich aufpassen also das im 3 Skript ist anders als man im ich Fragen der demnächst wenn ich übertreffe bekommt das völlig absurd vor gut
also wichtig ist wichtig ist diese Idee sie haben ja beliebig auf differenzierbare Funktion sie hoffen dass sie durch polynomialen Ehrung kriegen wenn sie die Rainer haben der Kandidat für die Reihe wenn es überhaupt eine gibt ist diese Teller Reihe also nehmen sie Teller Polynome die die endlichen 1. Summanden der Teller Reis so machen wir es mal ein Beispiel also
Beispiel 4 2 bzw. 2 3 5 Sonntag von paar Funktion kennen wir ja die Teller reine oder kennen ja Potenzreihen Darstellung also zum Beispiel von der Exponentialfunktion wenn Sie den Fall F von X gleich ihn auch x nehmen und X nur zum Beispiel 0 dann kennen wir die
dreien Darstellung und wenn sie die Reihen darstellen wenn sie von einer Funktion schon wissen dass es mehr Potenzreihe ist dann Sie die Überlegung von gerade ist diese Potenzreihe natürlich die Teller also dann wissen Sie dass die Täler Reihe von diesen 11 das ist die Potenzreihe durch die die Funktion gegeben
ist also in dem Fall bei der Exponentialfunktion ist die Täler Reihe die übliche exponential Reihe also so man gleich 0 bis unendlich X auch allen durch n Fakultät so und damit weiß man eben
auch was zum Beispiel Tell Polynom 2. Grades von der Funktion ist also was wir jetzt hier T 2 F von X das Zähler Polynome Ordnung 2 Telefonen und 2. Grades ist sie neben ihrer Stelle reine und zu mir eben nur bis zur 2. Ordnung in dem Fall geht das für ihn gleich 0 kriegen sie 1 für ihn gleich 1 kriegen Sie X durch 1 Fakultät also X und für ihn gleich 2 kriegen Sie x hoch Gigs Quadrat durch 2 Fakultät also halbe Sixpack ab das wäre das der um 2. Ordnung der ihre Funktion und das ist auch wenn man X in der Nähe von 0 macht eine sehr gut einigermaßen gute Näherung Exponent für große X also für x gleich 250 ist natürlich schwachsinnig schlechten Währung ja weil die Spezialfunktionen wissen wir Haut ziemlich schnell ab wenn man große X einsetzt und dagegen die x Quadrat was der zündet Herrn ist ein langsamer langsamen mit knapper Kassen gegen das heißt dass diese Näherung schlecht aber darum geht es auch nicht mehr Täter Polynome sind immer dafür DANE Funktion in der Nähe der Entwicklungsstelle gut zu approximieren so wir haben was ist noch von welche Funktion
kennen wir noch die Potenzreihe und damit die Teller Reihe zum Beispiel wenn Sie an die geometrische Reihe denken die von X ist 1 durch 1 minus X wenn Sie dabei auch x 0 gleich 0 nehmen dann kennen wir die Teller Reihe dann ist nämlich die Teller Reihe von dieser Funktion geht die Potenzreihen dass in dem Fall die geometrische Reihe also in gleich 0 bis unendlich x suche N 9. heißt zum
Beispiel hier nehmen sie in der Ordnung was weiß ich 4 ist der Polynom 4. Ordnung von dieser Funktion als durch 1 minus X ist dementsprechend 1 plus X plus X Quadrat plus X O 4 und so weiter ein wenig und so weiter das ist Teller Polynom das wird ja auch sah Link gut denn Genuss von dem Fall der 0 der period hier in dem Fall wäre 0 also hier steht sozusagen X minus 0 hoch in da ist der Tötungsfälle verstärkt hier oder das war die Frage mehr nein das ist sozusagen die beliebteste Entwicklungs period 0 das ist über das eine einfachste aber sie können um jeden andern entwickeln und das ist auch das wo sie sicherlich wenn Sie es noch nicht hatten sehen werden in Michalik Vorlesungen Physikvorlesung was man seiner Macht der klassische für klassische Physik Argumentation sie habe eine komplizierte Funktionen des waren sind mit Niedrigtemperatur Nehrung und deren für niedrige Temperaturen die Funktion durch in der Gründung 1. Ordnung Länder von Temperatur gleich 0 zu der klassische Herangehensweise ja danke Karriere da seine noch weiteren ist von mir ja geometrische Reihe wenn Sie sich einen Begriff die metrische Reihe nannte das war diese Reihe da und von der hatten wir explizit ausgerechnet was der Reise wert ist nämlich ein sprich 1 minus X für Betrag X kleiner 1 also die gab habe Konvergenz Radius einst bekomme gehe ich das 1 zu 1 und dazu den wird als sich 1 minus das war eine von den 3 rein wie sie auf die einsame Insel mitnähme müssen sollen können also einer von den dreien mit dem man immer zu tun hat vom X auch das ist das ist die zweite Reihe für die einsame Insel das ist exponential Reihe ja so ich nur wissen NIX auch endlich ein Fakultät ist Yoricks ja das ist eine von den fundamentalen rein es haben 2 was war 3. die harmonische reiten als Beispiel für eine denn ich komme die zur gut ja ja so kommen Sie sehen die Sachen komme immer wieder das tut der Sache ja auch gut erreichen wählen Sie das jedem nach das sind nicht die ganze bisherige Vorlesung in petto haben so aber wir machen uns mal dran Potenzreihen auszurechnen wie wenn ich schon so gesehen haben also Teil des von dem Beispiel der
bleiben bei einer Funktion die wir gerade schon hatten also wenn man will Exponentialfunktion aber ich hätte jetzt gern eine andere Entwicklung stelle ich mir die Exponentialfunktion nicht Telefon 0 approximiert ich mir seine von 1 approximiert so und da gehen wir jetzt vor reinigt aber die lässt sich in dem Fall leicht bestimmen bei was brauchen Sie denn war genau dafür sich doch den o Weltbild durfte da steht der Satz von Teller nochmal drauf also meine steht das telefonino und die Teller weil noch mal drauf es war weil natürlich muss man sich sonst die Formel und das ist jetzt gerade noch bisschen viel also in 2 Semestern haben sie die Formel auswendig Arbeit jetzt ist die neue was brauchen Sie denn um die Teller Reihe von der Funktion auszurechnen und das ist eine wichtige schöne Eigenschaft der Teller weil was Sie brauchen sind einfach nur die aber nur alle Ableitung ihre Funktion an einer einzigen Stelle das ohne Frage oder mit er also sie brauchen für die Teller Reihe um diese in Ableitung von 11 1 Delligsen 0 sie brauchen zwar alle Ableitung der Funktion und an einer Stelle und das müssen wir hier also machen wir müssen alle Ableitung der Funktion auch X bestimmt an der Stelle eines das schöne an der Funktion ist eben das alle Ableitung bestimmen relativ schmerzfrei möglich ist bei das ist für alle ein aus allen mit der Ableitung werden Sie die Funktion ableiten kommt ihr Votum raus und wenn Sie so 15 ableiten dann ändert sich daran auch nichts und es bleibt über die Funktion also die in der Ableitung von f es hat einfach immer noch die Funktion das heißt in dem Fall ist es relativ schmerzfrei möglich auszurechnen was die in der Ableitung von f an der Stelle 1 ist nämlich ihr auch 1 das heißt es und damit haben das der Polynom sofort in der Tasche das ist der eine Taste einfachstmögliche
Fall sage ich Ihnen gleich wenn man aber ist das bisschen mehr Aufwand da was müssen Sie machen das der Bohnen um zu bestimmen vorne steht noch da drüben seine Polynom hier ist wieder Summe gleich 0 bis unendlich dann kommt die Ende Ableitungen Stelle einstiges egal was in diesem Milli also wichtig immer E geteilt durch Enver gut X X minus die Entwicklungsstelle hoch allen 1 ende aber durch ein Fakultät X minus Entwicklungsstelle auch ein und das ist die Teller Reihe und wenn sie die Täler haben dann wenn sie wieder
alle Teller Polynome ablesen also in dem Fall zum Beispiel was ist das Teller Polynom 1. Ordnung von unserm F das sind die 1. 2 Summanden von der Reihe der erste Summand ist Ehe und der zweite Summand ist wie durch ein Verbot hält also E X X minus 1 das wäre Polen um 1. Ordnung von der Funktion des ist so viel Jahren Nero das ist das was sie kriegen die Tangente dran linear Ernährung ihre Funktion gut das war mal so ein paar 1. einfache Beispiel sich wie gesagt schon vorstellen wenn man wirklich von komplizieren Funktionen Teller Reihe haben will ist das eine ganze Reihe haben wenn es das ätzend weil man alle Ableitungen von 11 bestimmen muss zwar nur eine Stelle aber egal das schöne ist eben wie gesagt was man im Normalfall tut es man rechne mit der Polen um 1. 2. allerhöchstens 3. Grades und die kriegt man für 3 Ableitung das ist noch nicht so wahnsinnig teuer die Frage bleibt aber natürlich immer noch nicht beantwortet habe ich weiterhin fröhlich darum gedrückt was hat ist der Kunde oder was hat die Kellerei womit es zu tun hat sie damit was zu tun und wenn
wie kriegt man das raus also die ganze Frage damit diese ganze Idee ist ja also die Idee war ja wir wollen Funktionen durch Polynome nähern wir so dass man über die reine aber diese ganze Idee zieht ist natürlich die nahe liegende Frage immer gilt dass das Täter die Täler Reihe von 11 überhaupt gleich 11 ist man kann man das nicht gilt wenn die Teller Reihe was völlig anderes ist als dann ist die ganze Überlegung durch die Täler Krönung mitzunehmen auf Sand gebaut war also freie ist das immer so und die Antwort kann leider
nur etwas unbefriedigend ausfallen weil die Antwort ist leider nicht ein klares Ja sondern die andere sein klar was vielleicht ich lasst mich sogar noch dazu hinreißen zu sagen Sie ist ein klares meistens aber halt nicht immer und darauf Büro ziemlich viel mehr auf um den sie sich aber denke ich mal nicht allzu viel kümmern müssen sozusagen die meisten alles was in somit laufe der Zeit entgegenlaufen wird wird es tun aber eine allgemeine Sicherheit gibt es nicht also es gibt halt so Paar pathologische spielt Beispiele es muss einfach nicht klappt eine Funktion haben die also ich hänge sie nicht vor ist das Standardbeispiel ist die
folgende Funktionen da F von X ist er hoch minus 1 durch x Quadrat für x ungleich 0 und 0 4 x gleich 0 ich mal sehen hin und
sage was passiert wir lassen das Beispiel gut sein das basierten beim kurz die Funktion so an diskutieren was passiert wenn Sie X sehr groß machen also ich vielleicht bloß das unendlich dann haben Sie 1 durch was großes stehen also im Prinzip nur das steht ne hoch 0 das heißt im unendlichen sowohl im positiven als auch im Negativen endlichen geht die Funktion gegen 1 ja Sie haben hier eine jetzigen eines unterdrücken auch und dazwischen machte sich hier langsam auf ein geruhsamen Abstieg war geruhsamen Abstieg dann hat sie hier einen Minimum in neue denn 0 7 0 und macht sich dann wieder auf nach oben ist ziemlich träge Funktion und was die Sauerrei an der Funktion ist dies beliebig oft differenzierbar auch wenn es nicht so aus in dieser komischen Klammer Definitionen die können Sie beliebig auf die gezielt auch in 0 und alle aber doch und sind nun also die Funktionen und das 0 die Ableitungen und es offensichtlich auch nur was ein Minimum haben aber dieser Reise auch die 2. werden müssen und die dritte und die vierte die fünfte die sechste und die 357 60. und die 2002 18 jede Abmeldung bis 0 welche Gruppe ich und was heißt es die Teller Reihe der 3 Widerlegung Stelle er ist nur bei jeder so Summand das wollte also die der Reihe zu der Funktion da kann ich in den Graf auch in meine
die Teller Reihe von der Funktion hat den Grafen
hier und der steht mit der Funktion f schon übereinander Stelle 0 aber sonst nicht klar ist dass die Reihe ja das ist das ist nicht das der Polynom Noten gerade ist ja der Wohnung nun gerade sich natürlich auch so aus dass wir ok aber es ist leider auch das Telefon um 378. war dass das so aussieht Herr also dieses bisschen doof an die Sunglasses Gegenbeispiel dass es nicht immer geht aber ich sage meist geht und Sie können sich im Alltag einigermaßen darauf verlassen
dass es gut geht aber was ich Ihnen jetzt noch Zeit ist ja nicht mit den ihnen bekannten Krieg Kriterien in dem Fall ist oder einfach Weyel der Beweis dass das Minimum geht folgendermaßen der Exponentialfunktion es immer größer gleich 0 gar was sie reinstopfen wer das ist wer Altbekanntes wissen X-Weinzar Funktion alle Stellen 0 7 0 also musste Minimalwert seiner drunter kann sie nicht ja er aber bitte nicht mit ableiten weil er wie gesagt da können sie sogar bleiben sie wollen man und es ist will soll ihn nur noch mal zeigen es geht mehr Funktionen unter dem Himmel als man so denkt gut was ich Ihnen zeigen wir Listen
Kriterium wie Sie solchen faulen Äpfel aus dem aus dem Korb aus erzielen können und das ist eben der Satz von Teller und der liefert Ihnen das Werkzeug um mit dem Zeug umzugehen der Liebe die noch viel mehr in den werde ich mich jetzt aber weiter also der Satz von Täler nachdem das ganze Kapitel benannt ist der 1. dieser ganzen Idee das Nernst durch Polynome Kraft und Saft geht und sagt in welchen Fällen so Sport hier nicht passieren kann und der ihn das darüber rüber hinaus und das ist seine Hauptstärke er gibt ihnen ein Kriterium die Täler Reihe vernünftig ist aber er gibt ihnen für jedes Teller Polynom eine Abschätzung wie groß der Fehler höchstens wird denn Sie machen wenn Sie diesen Teil der Polo mehr ein quantitative Abschätzung der sagt wenn Sie die Funktion hat die Funktion haben und dieses der Polen um von den gerade und sie bleiben sie gehen nicht mehr als innerhalb von ihren Siedlungsstelle weg dann bleibt der Fehler garantiert unterziehen um minus 3 Aussagen von der Form kriegen Sie und diese natürlich Gold wert sie kriegen nicht nur das Tor der wollen und dritter Ordnung ist einigermaßen gute Währung sondern das sagt solange sie in dem Bereich bleiben besser als die noch das 3 und das ist die Hauptstärke von den Satz ich habe ihn erst mal hin sie eine Funktion f auf dem Intervall wie definiert nach er und wir wollen es jetzt gar nicht mit der Täter frei erstmal beschäftigen sondern uns reicht Täter Polynom wir wollen der Polynom Ämter Ordnung angucken und das Ämter Ordnung anzugucken brauchen Sie aus Gründen die sie gleich sehen eine plus 1 x differenzierbare Funktion ja also wenn wenn Sie mit der Polen und 2. unzufrieden sind erreichten dreimal differenzierbare Funktion sondern eine Entwicklung x 0 die mit dabei liegt ja
und dann gilt jetzt folgendes und das ist der Satz von Teller für jedes x aus Ihle gibt es wieder Sonne zwischen Stelle wie der Ziele genannt genau bei Mittelwert Satz also ein Ziel irgendwer Ziel der zwischen x und x 0 liegt so dass das F von X vielleicht mit gleich schreiben lässt als das Betheler Polynom Ämter Ordnung von 11 so kann natürlich stehen lassen weil so die gleichen ja allzu schöne Funktion wird garantiert nicht immer gleich ihrem Teller Polynom sein ist allgemein nicht jede Funktion Sanpaolo mehr aber also ist es noch die Frage was kommt dazu und das Wasser zukommt ist superinteressant weil das was du zukommt ist der Fehler den Sie machen wenn Sie 11 durch TMF mehr war beim System F auf die andere Seite das was jetzt kommt ist der Fehler den Sie machen wenn Sie statt 11. 11. wir so und diese Fehler den kann man ausdrücken als plus 1. Ableitung von f das der Grund warum das denn im Plus 1 wird sie über sein muss an der Stelle x sie durch plus 1 Fakultät X X minus x 0 noch im Plus 1 so was steht jetzt hier sie können Ihre Funktion f mehr durch das der Polynom Ämter Ordnung da machen sie Natur gewesen Fehler aber man mehr braucht man viele das ist der geht da der aber diese Fehler wenn man kontrolliert also wenn sie mehr durch 11. machen Sie den Fehler welche stecken gleich also das ist exakt der Fehler die wenn sie jetzt der den Fehler noch exakt bestimmen können dann rufen Sie Erreger sind fertig war dann haben sie es bestimmt wenn Sie das so so genau bestimmen können dann heißt das dass sie es nicht allzu kompliziert war im Normalfall wollen natürlich den Satz von Tälern werden wenn er es so richtig kompliziert ist ja also wenn sie aus dem Grund überhaupt keine Lust haben dieses 11. auszurechnen das heißt irgendwo muss sie die Komplexität der Rechnung stecken und die steckt da schon noch drin diesen Ausdruck hier diesen Fehler wird man im allgemeinen nicht exakt bestimmen den kann man auch im Allgemeinen nicht exakt bestimmbar man dieses Bloody Xi nicht geht aber der Rest ist banal endlos als zwar gut werden kann hat man alles ja um dieses Ziel kennt man nicht das will man auch im Allgemeinen gar nicht kennen weil wie gesagt es geht ja nicht darum 11 exakt auszurechnen sondern es geht darum F zu mehren und dann noch irgendwie zu kontrollieren dass diese wird man in der Fehler möglichst Client das heißt wir wollen gar nicht genau wissen was genau der Fehler ist und wir wollen nur wissen das Ding da ist nicht größer als sie noch minus 5 das wäre schon zufrieden ja also es geht überhaupt nicht um dieses Ziel zu bestimmen sollen es geht darum diesen letzten Ausdruck da zu kontrollieren und das ist die Stärke des Satzes vom Teller in dass sie das F schreiben kann als ein Teller Polynom plus würden Fehler das ist jetzt banal dass es kein Satz sondern das ist logisch weil der Fehler ist halt F minus TM TMF ja die Stärke dieses Satzes ist das eben eine einigermaßen handhabbare Formel für den Fehler gibt in dem nur noch das F das X und das X nur das vorkommen und würde ich Sie haben das muss gleich gemacht so das ist das ist die die Bedeutung dieses Satzes ist eben diese letzte Cern dar sehen wenn wir dem auch gleich noch einen Namen geben also das ist die Bemerkung 4
4 4 vergleiche 2 3 7 so dieser Termin hinten also plus 1. Ableitung von F 1 der ständig sie die Zeit durch im plus 1 Fakultät X X minus x 0 auch im Plus 1 das ist der Fehler das ist noch ein bisschen das was ich gerade
gesagt habe ist der Fehler bei
Approximation von 11 durch das NCT Täler Polynom ja und den nennt man so will jetzt darstellt Rest der Ordnung und wenn man es ganz genau macht dann ist das das Rest Ordnung in
sogenannter lag Branche Form es gibt noch ein paar mehr Frauen das sind zu schreiben da werde ich mich aber nicht dazu äußern also das dürfen Sie meinetwegen hier auch weglassen wenn es mal irgendwo lesen das ist die LaGrand Form des der Rest gibt dass die gebräuchlichste da so das ist erst mal einfach nur Namen dafür das den der Bezeichnungen eine passende ist denke ich folgendes das ist F von X R verwest für die Ordnung also der Pest ist da Branche Westedt für 11 wenn es mit dem Teller Polynom Ämter Ordnung mehr und
wie gesagt das entscheidende an dem Satz von Zeller ist dass er uns eine zwar nicht wirklich berechenbare aber zumindest kontrollierbare Formel geht wie dieser Rest aussieht so 2. Teil der Bemerkung das ist ein bisschen den Zusammenhang herstellen den Satz von dem was wir jetzt haben zur Ausgangsfrage dieses Kapitels die Ausgangsfrage war wenn ich mir beliebig oft differenzierbaren Funktion hat finde ich jemanden Teller 13 ich immer der Reihe der reinen Darstellung für die Funktion wer schon gesehen wenn es eine rein Darstellung gibt dann ist das die Teller Reihe ich habe ihnen erzählt das ist nicht immer klappt aber dieser Satz von Teller es gibt einem ein Kriterium dafür wann es klappt ja also was der
Satz von Taylor ja im Prinzip aus sagt ist das für alle m x 0 und X gilt das F von X das gleiche ist wie sein Teller Polen Unterordnung M Flusstäler chronisch lässt weiter der Ordnung ja das ist ein Mann die Formel von oben mit dem neuen Abkürzungen geschrieben so und
was wie sehen wir jetzt ob 11 durch sein durch die Teller Reihe dargestellt wird auf die Teller weil das gleiche ist wie wenn ich jetzt immer größer mache dann wird das Täler Polynom TMF für n gegen unendlich gehen jetzt gegen die Teller Reihe die wir im Keller ist einfach das Tele Polynom immer weiter rausgezogen wäre das heißt wenn ich n gegen unendlich laufen lasse das ist die Frage was passiert mit dem RMF es SRM 11 ist der Abstand zwischen 11 und der Teller Reihe wenn das RMF gegen 0 geht bedeutet das dass die Teller Polynome gegen 11 komme gehen das bedeutet die Teller Reis ist und das ist genau das Kriterium was man herausziehen kann also da wenn Sie jetzt immer größer wählen als den Grenzübergang in gegen endlich anschauen dann die TNF gegen die Teller Reihe T und wir kriegen dessen
Kriterium das 11 genau dann durch die Täler Reihe dargestellt wird wenn dieser Fehler den Sie machen immer kleiner wird je höher sie denn gerade Regen nicht logisch und das entscheidende Ansatz von Tell es eben wieder das es diesen Fehler gibt ist klar das entscheidende ist dass sie über den Satz von Täler Darstellung für den Fehler mit der Sie arbeiten können mit der sie zum Beispiel die Chance haben zu zeigen dass diese Grenzwert tatsächlich 0 es also es muss der Rest wenn sie mit Ja Ämter Ordnung nähern der muss für immer grösseres verschwinden also der muss gegen 0 1. gleich ein zurück das ist werden das Kriterium hier steht auch
noch mal das Rest geht drauf so mehr
also machen wir uns mal an ein konkretes Beispiel und das ist einst für das 1. also dass in beiden belangen oft vorkommt 1. 1 das meiner Erinnerung nach aus meinen Physik Vorlesungen eifrigst immerhin Formeln per Tiefsttemperatur Näherung oder so weiter weg die Teller wird und zweitens auch Interessantes im Sinne von Teller Reihe suchen und das ist die Funktion Logarithmus von 1 plus X also Beispiel 4 5 was ich suche sind die Täter Polynome und die Täler Reihe diese Funktion also Besuch des die Teller Reihe ich meine sie Teller Reiher Monster der Polynome natürlich auch also von 11 von X gleich allen von 1 plus X um den Entwicklungs period x 0 gleich 0 was man hier macht wenn es können Sie mich fragen warum nicht allen 1 plus X und ich allen X ich will allen 1 plus X damit der Bildungsstätte 0 ist ja ich könnte natürlich auch einen x nehmen dann kann ich leicht um 0 entwickeln weil an der Stelle nur ist die Funktion nicht definiert das entspricht Entwicklung der Funktion x um x 0 gleich 1 ist also nur verschoben damit der Wirt umstellen aber ich mach's auch deswegen so weil das eine Form ist in der man das denn oft sieht also ich garantiere Ihnen das in den nächsten 2 3 Semestern ist irgendwann meine Vorlesung gibt vorzugsweise Mechanik Dunstkreis durch mehr schätzen bei der Physik Dunstkreis wo irgendwo in einer Herleitung in allen von 1 plus X darstellt und der nervt war mit dem nicht weiter rechnen kann und dann kommt ein Satz von der Form der der Länder stört da und jetzt machen würde Nehrungen 1. Grades 2. Grades und dann verschwindet der uns kommt der Anfang der Teller Tafel also wenn Sie darauf aufpassen garantiere ich Ihnen kommt es vor der allen von 1 plus X ist glaube ich eine sehr oft die Täler der Funktion zur was müssen wir tun jetzt ganz einfach
als Beispiel für dieses Kapitel und auf die Zukunft nachzudenken was müssen wir tun mir die
Teller Reihe von der Funktion suchen Programm steht hier was sie brauchen sind alle Ableitung dieser Funktion an Stelle 0 also rechnen wir die aus beziehungsweise müssen uns gleich dran erinnern das die sogar schon ausgerechnet haben also alle aber dann eine Stelle 0 heißt insbesondere auch die Mulde Ableitung also den Funktionswert an der Stelle 0 der Funktionswert an der Stelle 0 bis von 1 und damit 0 dann brauchen wir die 1. Ableitung Abmeldung Logarithmus noch mal erinnern war was war einst durch das was drin steht also durch 1 plus X müsst nur noch auf die Ketten Regel achten Ablehnung von 1 plus X ist aber 1 also denken Sie sich das mal 1 dazu zwar was ist also 11 Strich an der Stelle 0 einig brauchen wir dass es schlicht gar nicht brauchen sein werden möchte der 0 aber wenn wir den ausrenken aber 60 aus sie müssen wir jetzt comma ausrechnen brauchen das comma auch also insofern lohnt sich das auszurechnen aber was wir nachher verwenden ist nur der wird an der Stelle 0 er setzte sie dann 0 1 gibt einen Stich 1 plus 0 ist 1 so können Sie weitermachen F
2 Strich von X war Quotientenregel oder Ketten Regen oder was auch immer kriegen sie minus 1 durch 1 Plus Xtra war haben wir alles vor einem oder 2 oder 3 Vorlesung schon mal gemacht als Beispiel für höhere Ableitung und dann gibt es F 2 comma von 0 ist wenn sie es dann 0 einsetzen minus 1 durch 1 also minus 1 ja und so weiter F 3 Strich von X bis 2 durch ein 2 6 hoch 3 gibt es 3 comma von 0 gleich 2 und irgendwann wird er das natürlich zu doof und dann geht das was ich schon damals sagte was Sie dann tun müssen ist mal so die 1. 3 4 Ableitung ausrechnen oder gucken aber nicht Bildungsgesetz sieht und nicht die Vermutung kriegt wie das weitergeht und die muss man dann Induktion beweisen wenn man wirklich auf die Teller Reihe raus
denn also ich habe 10 jedes Ziel programmierte und Hehlerei wenn Sie wie ich gesagt habe ihn sicherlich in in einer Vorlesung vorkommen wird nur dass der Polynom 1. 2. Ordnung haben wollen dann sind Sie jetzt wie können Sie schon dass der Polen und dritter Ordnung ausrechnen voll bedient ja also an der Stelle können Sie wenn Sie den Tampon Nummer sind schon aufhören das Teller Polynom 0 Grades von 11 mehr das der Polen und holten Grades das benutzt man selten das ist das einfach der Funktionswert das wäre der Abbruch mir die Funktion durch konstant in Funktionswert das ist recht grob aber die beste Näherung immer die konstante machen kann wenn jeder andere Konstante so schlechte immer schlechteren Währung das ist wenn man sagt man will nur konstanten als Währung Funktion zu lassen die bestmögliche
Wahl die 1 f von x ist das bestmögliche die bestmögliche Wohnung 1. Grades ist die bestmögliche gerade das ist in dem Fall er die Tangente nach Formel F von 0 plus Strich von 0 durch 1 Fakultät also er von 0 bis 0 F Strich von 0 bis 1 der X X H x x 1 x 0 gehören nicht nur würde 0 also X X er strich vor S 1 als sicher bleibt einfach x übrig ja so können so weitermachen die 2 11 Stelle Pullum 2. Ordnung um die 0 11 von 0 plus 11 Strich von 0 durch ein 2 gut hält X X plus F 2 Strich von 0 durch 2 Fakultät Maliks Quadrate können Sie einsetzen der von 0 es immer noch 0 der Strich von 0 war einst also steht da immer noch das kommt immer nur Herrn zu den Anfang Wahnsinn übernehmen F 2 Strich von 0 bis minus 1 das heißt die kriegen Sie minus 1 durch 2 Fakultät also minus Inhalt Maliks qua T 3 ist das gleiche wie das
C 2 plus der Herr dritter Ordnung also 11 3 comma von 0 durch 3 Fakultät x x hoch das ist das was wir vorher schon hatten X müssen halt x Quadrat bloß die dritte Ableitung ist 2 3 Fakultät ist 6 2 6. und 3. also plus ein Drittel x hoch 3 nein das sind die 1. 3 Fälle Polynom und wie gesagt mehr als die werden in der etlichen haben mechanischen oder physikalischen Näherung die auftauchen also höchst selten wenn jemand von Ihnen weitere Studium mal einen Moment hat wurden wo mal Zuordnung 5 oder 6 geträllert wird dann sagen Sie Bescheid das finde ich spannend gut dann also das wär ein Anzeichen dafür dass man sie auch für braucht habe ich noch nicht gesehen wenn man jetzt aber wirklich dorthin erreichen will dann braucht man natürlich nicht nur die 1. 3
Ableitungen braucht man sie alle und dann muss man sich was einfallen lassen und das hatten wir wie gesagt von der Vorlesung gemacht und ich hatte Ihnen per Induktion gezeigt mehr Formel für die Ente Ableitung die Ente Ableitung unserer Funktion ist minus 1 Woche 1 plus 1 mal N minus 1 verkohlt durch 1 plus X hoch n wie gesagt wenn man drauf kommt ist man schaue sich mal die 1. 5 Ableitung an wichtiger die 1. 2 3 Versuch sie open bracket einen Bildschirm zu
kriegen ja die 1. Klappe nicht vielleicht die
1. war die zweite und die dritte auch
nicht so wirklich also wenn man sich darum
anschaut stellt man fest wie dass man sie ableiten S minus das wechselt das springt beim erstmal 1 7 2. x-mal springt 3 dazu sie kriegen jedes Mal Impotenz mehr unten im 1 plus X und dementsprechend kommt die vorne raus wie gesagt wenn man es ganz exakt macht beweist man sie noch per Induktion
und jetzt kann man damit die Teller bestimmen und die Frage ist sind wir jetzt in dem schönen Fall wo die Kellerei was mit der Funktion zu tun hat oder sind wir in so einem blöden Fall und ich kann sie sowohl im guten Fall und ja nur hier einfach mal mitgebracht wieso diese 1. Teller Polynome aus sehen da sieht man schon dass sieht eigentlich recht vielversprechend aus also was bedeutet hier was die durchgezogene Linie es der Graf von allen 1 plus X dann habe ich jetzt eine dann gibt es also Name gesehen also das ist der Graf von 1 1 bis 6. durchgezogene Linie da gesehen es gibt die Täler Ort Währung nullter Ordnung die beste Konstante die das F Merkmal das ist die Funktion 0 das ist nicht so wahnsinnig zielführend dann gab es die 1. Teller Währungen nämlich die beste gerade das ist die Tangente das ist hier die Funktion X gestrichen dargestellt dann gibt es die zweite Währung 2. Ordnung des bei x müssen halt nix Quadrat das ist hier diese gepunktete Linie das ist die beste Parade die X F F in der Nähe von 0 nähert die läuft hier so das ist eine Parabel denn der geht dann natürlich nach unten zu sehen für große X ist das da ist diese zweite Fehlernährung hier narbenlos schlechter die wird wieder negativ geht auch immer nur Näherungen entweder Entwicklungsstelle aber schon die dritte mehr und es zumindest wenn sie in der Nähe von 0 bleiben wirklich gut also dass es hier X minus X halbe plus x hoch 3 3. und das ist diese period semicolon semicolon strich Strichcode dies hier unten so nah an der Funktion des fast nicht sehe hat er natürlich holen sind sie alle gleich wohl aber entwickelt aber bleibt dann zumindest hier mal bis 1 doch recht nah bei 11 man sieht immer mehr immer mehr Ableitung der zunehmen wird das tatsächlich immer besser und das ist immer besser wird kann man sich jetzt über den Satz von Teller klarmachen was ich Ihnen jetzt zeigen wir ist wenn man
jetzt die Teller Reihe aufstellt passiert das was ich vorhin gesagt habe dieses erst geht geht gegen 0 also für n gegen unendlich geht die Teller weil tatsächlich also geht sie gerne in die Teller Polynome tatsächlich gegen die Funktion also was wir jetzt hier die Teller schreiben dass Sie mal einmal gehen nach förmlichen Reiz fehlt Ihnen hier wieder die andere Folie dass die wieder die Teller Reihe also Summe n gleich 0 bis unendlich in der Ableitung von f an der Entwicklung die Zeit durch in Fakultät nein X minus Entwicklungsstelle hoch N das können Sie jetzt
hier alles einsetzen ich ziehe mal
den so meinten er von 0 vor bei der jene bis eine Sonderstellung hat der sehen neue dann von über 1 an wer diese Formen der für die Ableitung wir oben die geht eben nur ab n gleich 1 die gilt nicht für n gleich 0 sind macht wenngleich nur schon überhaupt keinen Sinn weil dann steht da minus 1 Fakultät das müssen Sie mir erst mal definieren ja das bin habe ich diesen Termin gleich 0 vorgezogen so was ist die Ente Ableitung von f an der Stelle 0 dies minus 1 hoch 1 plus 1 mal N minus 1 Fakultät durch 1 plus nur noch n war das ist die in der Ableitung an der Stelle 0 das müssen wir jetzt noch durch ein Verbot teilen und mit X minus 0 auch n multiplizieren also bleibt hier X auch n übrig so kann man dann ein bisschen rum kürzen er von 0 ist wie gesagt
0 bleibt übrig Summe in gleich
wenngleich 1 bis unendlich minus 1 zu 1 plus 1 sowas aber dann der Name N minus 1 Fakultät ein Fakultät da kann man wieder die große in Kürze Wähler machen die er mir das einst Fakultät 40 komplett raus und weiten entstehen also mir das einzurennen plus 1 durch m x x auch er so damit aber die Täler Reihe von dieser Funktion allen von 1 plus X dann kann man sich erst mal Gedanken machen für welche X
tut diese Täler Reihe überhaupt das machte den Euro sehen wir welche X ist die Konvergenz schöne schnelle kurze Übung noch mal im Konvergenz Radius bestimmt also wer noch mal das üben will kann das an der Reihe tun und fliegt raus dass der Konvergenz Radius 1 ist also die Reihe konvergiert für alle x zwischen minus 1 und 1 und da muss man sich noch die Ränder ankucken das ist der zweite Teil es kommt raus sie korrigiert er ist mir das 1 zu 1 über die 1 dabei so die minus 1 nicht wenn uns noch das Bild Logarithmus angucken sieht man auch immer mehr ist auch nicht zu erwarten da die sieht man sich auf dem Bild aber was passiert denn mit dem nur muss wenn sie X gleich mit Blick auf dem wenn sie zu minus 1 gehen mehr dann kommen sie an die Stelle im Fluge muss von 0 den Rhythmus hat an der minus 1 der senkrechte also Tote über minus 1 raus ist die Funktion f schon nicht definierte das es komisch wenn die Potenzreihe weiter definiert wer die Berichte minus 1 zusammen dementsprechend haben sie auch nach rechts nicht weiter gehen als bis 1 dabei der Potenzreihe hat jemand symmetrischen Konvergenz Bereich vertrauen der ganz Bereich von des Patents Reise immer von der Form Entwicklungsstelle minus Robes bis Entwicklung Stulle bloß froh nur wenn sie nicht weiter als minus Salins kann von 0 dann kommen sehen und nicht weiter als 1 nach rechts das liegt in der Natur der Sache also ist das schon mal maximales Maximalausbeute so und jetzt ist die einzige Frage dieser habe weiterhin auf Sand gebaut werden jetzt mit heller Reihe für unser 11 Frage hat diese Delle Reihe das mit 11 zu tun Antwort in dem Fall ja und das kriegen Sie raus in dem sie das 1. Lied untersuchen
und feststellen das restliche geht gegen 0 wenn sie mit der Ordnung gegen stellen so aber das müssen wir jetzt noch machen und dafür nehmen sie sich X aus minus 1 1 hier und was wir zeigen müssen ist der Rest von X geht gegen 0 wenn er hingegen endlich die also brauchen wir wieder unsere Darstellung vom Rest und wie gesagt das ist die Stärke von Satz von Teller dass uns diese Darstellung binde also hier die letzten Zeilen also der Satz Fontaine sagt dann gibt es und sie zwischen der Entwicklung und X also zwischen X und 0 so dass der Rest der Fehler den Sie machen wenn sie ihre Funktion f also den Rhythmus von 1 bis 6 mehr durch das der Gründung Ämter Ordnung sie schreiben lässt als die im Plus 1. Ableitung von f an der zwischen ständig sie geteilt durch plus 1 für gut hält X minus Stelle also X minus 0 ob ein Plus an wenn Sie sich das es die noch mal genau anschauen stellen Sie fest dass 2. Sporthalle von Dana Grosz Darstellung dass des geht muss man sich gar nicht so wahnsinnig merken weil das Rest genau so aussieht wie diese Marken von der Wohnung wenn man sich diesen von der wurde Nummern merken können dann haben sie doch das Restlicht gemerkt das einzige was Sie tun müssen wir müssen jetzt ja werden wir das Derricks 0 aus werden sollen die mehr das ist ganz angenehm einer groß Form des Restlicht so wir setzen einmal alles ein
was wir hier haben also die in Ableitung von Lobe Rhythmus hat mir vorhin ausgerechnet was da rauskommt ist minus 1 hoch im Plus 2 also brauchen jetzt die im Plus 1. Ableitung im Fakultät geteilt durch 1 plus sie Sie müssen es XI für x einsetzen hoch im Plus 1 das ist die plus erste Ableitung von F von ständig sie den Rest von der Form um es wir noch abbilden also die plus 1 Fakultät hier unten bleibt stehen und hier steht noch nicht so plus 1 jetzt kann man wieder eifrig kürzen man ist also wenn weißt das gleiche minus 1 auch haben eines Quadrates 1 das da spare ich mir Schreiber Schreibarbeit Fakultät durch plus 1 Fakultät kann man wieder massiv kürzen dort unten im Plus 1 stehen und die beiden hier falls sich zusammen für den Bruch X durch 1 brüsk XI und das Ganze hoch im Plus 1 soll mehr wissen wer der Fehler den wir machen wenn wird es durch TMF nähren hat diese fahren mit dem Ziel das er nur zwischen oder nix liegt klar dass genau hätten dann hätten was genau aber das
könnte man natürlich nicht was wir jetzt machen wollen ist wir wollen auch gar nicht genau wissen wie groß der Fehler ist ja wohl nur garantieren wenn das groß wird der Kleid was bedeutet je größer die sie die Ordnung nehmen so besser Ernährung ich wenn jetzt an der Stelle muss ich ein bisschen kneifen und mich auf einen Fall beschränken weil der andere müssen mühsamer ist also ich betrachte hier mein nur x positiv also X zwischen 0 und 1 ja also werden mir freundlich zwischen minus 1 zu 1 Uelzen schrecklich ich mich ein auf 0 1 dann ist das sie zwischen der Entwicklungsstelle und X also zwischen 0 und X im Intervall 0 x nein hier rund und dann kann man tatsächlich zeigen dass diese Rest die 0 Geld alter trägt beim zeigen dass irgendwas gegen 0 geht zeigen den Betrag geht gegen 0 also wir schauen uns an den Betrag von dem F von X was ist der na wenn sie mitraten im fällt schon mal diese minus einzurennen weg der S 1 durch im Plus 1 wenn Sie im gegen endlich jagen ist das schon mein Freund Herr wenn sie wir nämlich jagen dann geht eines durch im Plus 1 schon mal gegen 0 der schon mal gut den mögen wir und was was ist der Rest der Rest des X durch 1 plus XI hoch im Plus 1 so und jetzt kann natürlich passieren dass dieser letzte Term hier abhaut nur wenn der wenn das was da in dem es bunt also bitte die Basis von diesem Exponenten wenn die größer als 1 ist dann haben Sie natürlich auch immer was was wächst das wir schlecht aber die gute Nachricht ist das den ist nicht größer als 1 na ja
bei des XI alle höchstens x ist ja man über das Ziel positiv ist das ist der Punkt dass xis positiv das heißt nee comma genau das dies positiv deswegen wenn Sie folgendes machen sie machen den ganzen Ausdruck größter und dann macht man einen Bruch größer Bruch macht man größere entweder über die Zähler größer macht oder der kleine ja ich seinem über das Männerkleider machen sprich das ist sie ihnen einfach weg nun also das ist kleiner gleich X durch 1 wurde plus 1 zur 1. schrillt 2. Schritt ich weiß dass das X zwischen 0 und 1 ist jetzt noch mal den Zähler größer also das ganze Bruch Mails ist kein wirklich hoch mehr aber das X machen X noch größer denn was auch durch 1 ersetzen also keine gleich 1 durch 1 Woche 1 plus 1 also das was hier steht ist Einstig im Plus 1 so und jetzt aber das Ganze in sendet eingeklemmt der
Betrag hier ist größer aber der Betrag hier
der ist größer gleich 0 ja ist man sehr gegen unendlich die neue geht gegen 0 die einzige plus 1 geht gegen 0 also namens Jennrich Theorien das geht dann auch der RM gegen 0 also dem es gegen unendlich er ist von X ist 0 und das heißt das wir tatsächlich haben das 11 gleich den Teller Reihe von 11 ist für alle x das werden sie jetzt gezeigt für alle x zwischen 0 und 1 wie gesagt die zwischen minus 1 zu 0 muss man noch ticken anders planen so insbesondere heißt das und das ist das was für die Näherung wichtig ist heißt das dass die Täler Polynome von 11 gegen 11 konvergieren und das ist ja das was man will wenn man mit den Teller Polynom mehr so und jetzt können wir heraus noch eine unerwartete wer einen unerwarteten weiteren mehr ich kann nämlich ein Versprechen einlösen von vor vielen vielen Wochen schon glaube ich vom letzten Jahr was man an der Stelle wahrscheinlich es
gar nicht erwarten das packe ich meine Bemerkung 4 6 also was haben wir gerade gesehen wir haben gerade gesehen dass die von uns ausgerechnet Teller Reihe von der funktionellen von 1 plus X tatsächlich gleich der Funktion f ist das heißt dass wir bestimmt haben ist eine er ist schnell Potenzreihen
Darstellung von allen von 1 plus X also diese Teller weil die wir gerade ausgerechnet haben das war n gleich 1 bis unendlich minus 1 Woche 1 plus 1 durch n x x auch bei mir gesehen das ist die Teller Reihe von unserm 11 die Rest das rettet das die wir gegen 0 das heißt diese Teller ist gleich 11 also ist gleich allen von 1 plus X und dass wir damit haben ist es meine Potenzreihen Darstellung für den Rhythmus das hat mir bisher nicht ja also Sie sehen auch der Rhythmus ist eine Funktion die durch Potenzreihe gegeben ist aber jetzt können Sie mal spezialisieren setzen Sie mal x
gleich 1 wenn Sie das machen dann kann ich ein Versprechen aus meinem Eingangsvortrag zur Konvergenz dass man Folien Vortrag über die Konvergenz einlösen und zwar wenn sie dafür oben Ex gleich einsetzen kriegen Sie Summe n gleich 1 bis unendlich minus 1 zu 1 plus 1 durch n man 1 einzurennen wenn 7 1 also diese 3 ja und die sollten dass sie könnten Sie wiedererkennen das ist die alternierende harmonische Reihe Herr Dieter auf dem einem Einführungsvortrag auf also die harmonische Reihe mit wechselnden Vorzeichen 1 minus Inhalt bloßen Drittel müssen Viertel bloßen 5. minus 6 und so weiter da die ich damals so zu bestaunen erklärt dass der wird von der Reihe allen von 2 ist darin gesagt dass werden könne kann ich ihn noch im Laufe dieser Vorlesung zeigen müssen sogar noch 3 Wochen vom Schluss und hier steht also für x gleich 1 mit dem kriegen Sie das raus aber sie sehen auch hier wieder mal mussten ganz schön dass das das Geschütz auf vor diesem Problem rein wird auszurechnen also vornehmlich die Brust ins Auge wenn man rechnet Hehlerei vom allen aus sondern Einfluss setzt man es gleich als aber so tut da also das war der wird der alternieren harmonischen
Reihe den hatte ich ihn damals übriggelassen und der ist jetzt ganz komplett diese oder nachgerechnet plausibel gemacht gut ich schreibe jetzt gerade noch Beispiel 4 7 gehen und dann kriegen Sie die Krise weil sie denken noch 2 Minuten fängt neues Beispiel an und das Beispiel geht ja auch über na ja keine ganze Seite aber auf jeden Fall zu viel für 2 Minuten keine Sorge ich schreibe nur die Aufgabenstellung hin und die das mit ich denke dass wir nächsten Vorlesung ausführlich aber vielleicht hat ja jemand los darüber nachzudenken wie man das Mittäter angehen kann was ich suche ist der Wert von 1 comma decimal 0 5 2 1 comma decimal 0 2 mit der Genauigkeit von mindestens 10 noch minus 4 und Sie werden wir hoffentlich zugeben dass das ein hinreichend konkretes Beispiel ist mit vielen Zahlen und trotzdem nicht so banal also meine natürlich schon in sehr Taschenrechner neben dem denkenden da die Frage ist sich ohne Taschenrechner war und ich gebe Ihnen noch den 10 betrachten Sie die folgende Funktion f von x SX noch 1 comma decimal 0 2 wir nehmen Sie die Funktion und den und der Markus gehört der ganze dem mit Heller zu tun denn sie Entwicklungsstelle x nur gleich 1 und dann ja vielleicht haben Sie eine Idee wie man mit dem Oldie gemacht Stoff jetzt zu einer Antwort kommt weiß nicht nächsten dienten L Dietz ja heut Dienstag den Simons morgen schon ersetzt morgen die Antwort und der bis dahin erst mal vielen Dank für die Aufmerksamkeit und vielen Dank für die Disziplin in dem engen Raum
Differentialrechnung
Quotient
Differenzierbare Funktion
Uniforme Struktur
Mathematiker
Träger
Zahl
Grenzwertberechnung
Quotient
Ableitung <Topologie>
Grenzwertberechnung
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Quotient
Quadrat
Stetige Funktion
Gegenbeispiel
Quadrat
Verbandstheorie
Linie
Minimalgrad
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Punkt
Zusammenhang <Mathematik>
Graph
Summand
Differentiation <Mathematik>
Differenzierbarkeit
Gradient
Technische Mathematik
Summe
Polynom
Quadrat
Logarithmus
Rundung
Potenzreihe
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Polynom
Differenzierbare Funktion
Potenzreihe
Funktion <Mathematik>
Summe
Zusammenhang <Mathematik>
Summand
Potenzreihe
Zahl
Summe
Summand
Exponent
Reihe
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Summe
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Differenzierbare Funktion
Potenzreihe
Kante
Gleichung
Gebiet <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Summe
Momentenproblem
Reihe
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Summe
Elementare Zahlentheorie
Polynom
Gewichtete Summe
Natürliche Zahl
Reihe
Ableitung <Topologie>
Gradient
Polynom
Elementare Zahlentheorie
Polynom
Summand
Differenzierbare Funktion
Reihe
Strömungswiderstand
Gradient
Reihe
Potenzreihe
Exponentialfunktion
Polynom
Quadrat
Geometrische Reihe
Große Vereinheitlichung
Exponent
Reihe
Potenzreihe
Zahl
Gradient
Radius
Polynom
Quadrat
Geometrische Reihe
Verschlingung
Betrag <Mathematik>
Klassische Physik
Reihe
Strukturgleichungsmodell
Potenzreihe
Exponentialfunktion
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Summe
Polynom
Summand
Reihe
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Gradient
Funktion <Mathematik>
Polynom
Reihe
Funktion <Mathematik>
Negative Zahl
Quadrat
Summand
Minimum
Abstieg <Mathematik>
Reihe
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Gegenbeispiel
Polynom
Minimum
Reihe
Exponentialfunktion
Funktion <Mathematik>
Polynom
GERT
Kraft
Differenzierbare Funktion
Reihe
Abschätzung
Aussage <Mathematik>
System F
Polynom
Mittelwert
Ableitung <Topologie>
Polynom
Taylor-Reihe
Zusammenhang <Mathematik>
Differenzierbare Funktion
Reihe
Polynom
Reihe
Grad 2
Monster-Gruppe
Polynom
Logarithmus
Herleitung
Physik
Reihe
Strukturgleichungsmodell
Gradient
Logarithmus
GERT
Acht
Reihe
Ableitung <Topologie>
Konstante
Polynom
Reihe
Ableitung <Topologie>
Gradient
Polynom
Quadrat
Momentenproblem
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Gradient
Ableitung <Topologie>
Konstante
Summe
Quadrat
Polynom
Reihe
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Linie
Homogenes Polynom
Ableitung <Topologie>
Radius
Summe
Logarithmus
Total <Mathematik>
Reihe
Potenzreihe
GERT
Ableitung <Topologie>
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Exponent
Term
Ableitung <Topologie>
Punkt
Betrag <Mathematik>
Zahl
Polynom
Reihe
Physikalische Theorie
GERT
Reihe
Potenzreihe
Summe
Vorzeichen <Mathematik>
Reihe
Zahl

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Satz von Taylor
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 23
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/35647
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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