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Reihen und Kovergenzkriterien

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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass er verlängert werden an der TU Darmstadt Kai so
dann mal herzlich Willkommen von hier vorne er zur Vorlesung zu meinen wir die Vorlesung wir haben unsere letzten Woche herangepirscht an das Thema der Reihen das war so ganz am Schluss fertig das angerissen er und damit kommen wir in gewissen Sinne wieder zurück an den Abschied zurück an den Anfang dessen was ich mir Konvergenz erzählt habe bei der ich angefangen mit diesem vorigen Vortrag zum Thema dass im Unendlichen komische Dinge passieren können und da haben Sie schon mal einen gesehen Reihen sind einfach was heißt einfach sind unendlich lange Summen also im Normalfall so was wie n gleich 1 bis unendlich A n a n s jetzt mir folgende Folge sind ist eine ist der wohl ich viele zahlen und diese Liste der voll die Vielzahl wollen sie alle aufaddieren sozusagen eine riesengroße Restaurant-Rechnung machen mit unendlich vielen konsumierten Dingen und dann hoffen wir mal dass es trotzdem endlich die Rechnung geht und werden in dem Beispiel damals gesehen das geht wenn die Sache nur hinreichend schnell billig wären also was hier steht ist mal Pünktchen geschrieben unendlich lange so mehr die immer weiter geht 1 plus 1 2 besser 3 plus R 4 und so weiter und die Ideen über diesen unendlich langen den einen Sinn geben können war letztes Mal wir schauen dass über Kerber Gentz von Erfolge an und zwar in dem sie die sogenannten Partial Summen sprechen was tun Sie denn so ähnlich viel zahlen aufaddieren wollen sie zählen erst mal endlich wieder zusammen also Sie gehören weil irgendeine Zahl aufzuzählen dann haben Sie die Summe a 1 bloßer 2 und so weiter bis plus am das ist ne klare endliche normale so wie man sich schon zu Schulzeiten hatte und diese Summe nennt man es für jedes enden kann man jetzt diese Partial Summe bilden und damit kriegt man die Folge S M ja und wenn diese Folge S M wenn das eine Konvergenz der Folge ist dann nennt man auch die Reihe Konvergenz und der wird der Reihe ja also die Summe die sie dann rauskriegen
wenn die Reihe konvergiert also der Wert dieser unendlichen Summation von 1 bis unendlich über einen den definiert man eben alles lieben es gegen unendlich es also als lieben es die Sage hat Sie also man und das können sie auch wenn Sie die Definition von SM wieder einsetzen gibt es mir eigentlich relativ logisches Formel die Summe bis unendlich kriegen Sie indem sie alle endlichen sowie jeweils bis bestimmen und dann das n gegen unendlich jagt gut und wenn das alles eben nicht klappt wenn diese Folge S divergent ist alles auf die Reihe divergierend und man kann es macht eben keinen Sinn diese gerade diese Wahl von unendlich vielen Zahlen zu addieren das war das was ich im letzten Mittwoch am Schluss
noch erzählt hatte auf die Weise hat man jetzt die Konvergenz von solchen rein physische ledig langen zurückgespielt auf die Frage comma denn seine Folge und da haben wir ja die Frage Definition wie schon mal gesagt im Prinzip kommt definiert man Konvergenz noch einmal für die Folgen und dann sieht man es auf alle anderen Probleme alleine Probleme sieht man auf die Folgen zurück dort das war deutlich ich will an der Stelle noch was 2. sagen weiß auf durcheinandergeht wird auch jetzt noch häufige Vorkommen wenn Sie Sonderreihe zu tun kriegen gibt es 2 Fragen die sich aufdrängen und die sind von höchst unterschiedlicher Komplexität die 1. Frage sind die Reihe kriegen ist das den konvergent oder nicht da werde ich ihn jetzt im Laufe dieser Vorlesung heute den ganzen Stapel von Kriterien an die Hand geben mit dem man das überprüfen kann wenn Sie denn dann konvergiert kommt die zweite natürlich die Frage was ist denn Ihr wert es kommt wirklich ausführlich die Zahlen addiere und so banal sich das andere diese zweite Frage ist im ganz großen Zacken schwieriger als die 1. wir also bei einer Reihe können sie froh sein wenn Sie rauskriegen ob das den konvergiert oder divergiert aber im Allgemeinen würde ich den wir zu bestimmen ist äußerst kompliziert wenn man nicht gerade zufällig paar Spezialfälle hat ich will das vorausschicken weil natürlich beeilen weil ich natürlich in der Vorlesung in weil sie wichtig sind genau die Spezialfälle präsentiert wo man den wert sind und dann könnte wieso die das Missverständnis entstehen das ist der Normalfall war der Normalfall ist man kann wird wollte Glücksfall ist man kann was über Konvergenz sagen und der Normalfall ist wenn sie konvergiert dass man dann zum Thema Rainer passen muss oder ganz ganz harte Geschütze aufzufahren los für werden noch aber vielleicht also 1 auf jeden Fall ein zweites vielleicht sehen harte Geschütze auffahren muss mit denen man rein werde dann explizit ausrechnen kann aber das ist ein mühsames Geschäft okay das vorweg die man die Beispiele also Beispiel 4 3 entsprechend 7 2 und das führt ein Beispiel von vor langer langer Zeit aus dem 1. Kapitel ich gebe Ihnen das Ergebnis von damals noch mal an ich nehme nicht an dass alle das erste Kapitel noch Buchstaben Weise präsent haben also dann eine Zahl Q die ich 1 ist und schauen uns die Folge A N 1 die da es Couch enden für n Aussendungen also wenn gleich 0 ist hier zugelassen also jetzt können Sie für Q alles mögliche neben dem Sitze Kuh zum Beispiel ein halb dann steht da die Folge eines Inhalten füllen achteln Sechzehnteln 32. und so weiter so das ist die Folge der Zahlen die wir summieren wollen das heißt die zugehörige Reihe
ist die Reihe Summe n gleich 0 bis unendlich kum auch allen nur und ein Spezialfall dieser Reihe ist in meinem Einführungsvortrag zur Konvergenz aufgetaucht wenn Sie Marco gleichen Halbsätzen dann gibt es die Reihe n gleich 0 bis unendlich über 1 durch 2 hoch N und damit sie sich wieder erinnern
dass es die Reihe 1 plus X das Innviertel Glossen 8. Glossen 16. das war dieses Bildchen mir 1 Christenheit das ist ja flossen 8. Klassen 16. und dann Ende konvertiert relativ offensichtlich gegen 2 wenn wir jetzt gleich explizit Nachricht also nicht nur per Bild sondern auch der Formel sah aber nehmen
Sie Kobe dann kann man die ganze rechnen die jetzt kommt auch machen der große Vorteil dieser freie und deswegen auch berühmten Krieg nach einem Namen ist für diese Reihe können Sie die Martial Summen also die endlichen so man sie irgendwo auf wird explizit hinschreiben da können Sie die sozusagen wirklich ausrechnen also die partial Summe dieses S M das ist die Summe n gleich 0 bis über Couch auch Wochendende und das ist jetzt das was im Abschnitt 1 war also im Kapitel 1 Abschnitt 3 Nummer 9 aber dieses Ding von gemacht das hat ich ihn als Beispiel für Induktion damals für den ductions Beweise gezeigt wie man diese endliche Summe hier ausrechnen kann und dabei kommt raus das ist 1 minus Couch im Plus 1 durch 1 minus Co für jede natürliche Zahl n das haben wir damals gezeigt und das ist nicht wunderschöne Spezialfall weil sie jetzt die Partial Summen explizit haben was ist die können Sie wie ist Definition der Reihe definiert die Reihe konvergiert genau dann wenn diese Folge ist konvergiert und der wird der Reihe der Zahl wirklich Zahlenwert ist der Limes gegen endlich von SMS haben Sie es da stehen also kann man sich das anschauen Grenzwert bestimmen und hat sowohl Konvergenz als auch den Wert der Reihe er damit vor den Füßen
liegen das ist ein wunderbarer Spezialfall das passiert nicht auf also müssen wir uns überlegen was passiert mit diesem Ausdruck eines Minus Couch im Plus einzig als minus Q für große und da muss man jetzt aufpassen ob muss man den Fall unterscheiden je nachdem wie Kuh ist eine Kuh gleich 1 es sowieso Vorboten sie hätten sie jeder Männer da unten und jetzt kommts drauf an ob Q groß oder nahe bei 0 ist wenn Q zum Beispiel 15 ist dann wird dieses Couch natürlich furchtbar groß also minus Couch im furchtbar kleinen haut das Ding hier sofort nach minus nach plus unendlich aber das 1 Muschkoten auch negativ ist aber das Kunar bei 0 ist dann ist das Ding hier konvergent und die Grenze es beim Betrag Q gleich 1 und das hatten wir auch früher mal an geschaut denen man sind erst noch eine zweite Erinnerung das war ist es nicht ganz so lange her das ist ne Erinnerung aus dem folgen aus dem folgenden Kapitel also 1 Punkt 16 wir unterhalten uns genauso ich inmitten für Couch angestaut den Limes n gegen unendlich Couch im hat mir damals gesehen der ist 0 solange der Betrag von Q kleine 1 ist für Q gleich 1 ist offensichtlich 1 und für Q gleich mit der für Q gleich minus 1 ist es nicht ist nicht konvergent und für Co kleines Minus
1 der größer als 1 sind die Dinge der er auch nicht comma gibt aber für Betrag kleiner 1 ist das konvergent gegen 0 und damit komm hier durch also kriegen Sie für Betrag Q kleiner 1 und das Gute ist Mirko gleichen Inhalt zum Beispiel fällt da rein kriegen wir die Summe n gleich 0 bis unendlich über Co auch ist nach Definition bei Convair Gärtnereien der Limes im gegen unendlich über die partial Summen die partial Summe kann man in dem Fall explizit hinschreiben 1 minus Couch im Plus 1 durch 1 minus Sprung wenn Co betragsmäßig kleiner
1 ist dann geht dieses Couch im Plus 1 gegen 0 also ist dieses hier ja also das können Sie jetzt nun das ganz ausführlich machen wollen schreiben als 1 minus Q X das gegen unendlich Couch M durch 1 minus Q das sind Grenzwerte Rechenregeln Ines Core M geht gegen 0 für n gegen unendlich also steht hier 1 durch ein ist so was wir hier rauskriegen ist 1. wenn der Betrag Q kleiner als 1 ist konvergiert diese Reihen und zweitens kriegen sogar in Rheinberg wie gesagt das ist was besonders schön ist es gibt sich auf das ist Weihnachten der Rhein wird an der Stelle S 1 durch 1 minus Q und dieses Ding ist eben weil es mein Mann
zu schön ausrechnen kann was was man oft braucht und hatten einen Namen das ist die sogenannte geometrische Reihe der und also die geometrische Rail sagt Ihnen diese Bildung die Summe von n gleich 0 bis unendlich über Q auch n es konvergent und der Wert ist 1 durch 1 minus wann immer der Betrag von Q kleiner als 1 ist für alle anderen Q macht das keinen Sinn mehr für Q gleich 1 summieren sich oder dich auf die 1 auf das ist nicht Konvergenz gleichen das als sie die Sache noch schlimmer und für noch viel größere Q ist das erst recht nicht konvergent also aber für die zwischen minus 1 und 1 klappt's und das ist eine ganz wichtige Reihe also wenn sie im Laufe dieser Vorlesung also noch 2 3 2 andere sehen von dem ich sage die sind wichtig also wenn sie sozusagen nur 3 rein auf eine einsame Insel mitnehmen dürfen dann ist das eine von den 3 doch der Vorlesung kommt hier dieses Triebwerk noch aber das ist erst die braucht man immer und immer wieder als Vergleich für andere und ist deswegen so wichtig weil man für ihr eben genau den Wert weiß und wenn wir jetzt also 1. noch die Bemerkung von gerade eben noch mal wenn der Betrag von Q größer gleich 1 ist dann ist die Reihe Divergenz das habe ich bisher nur gesagt es gut wenn es nochmal darstellt und jetzt schauen und so noch mal den Spezialfall an Kobler ich Inhalt das ist die Reihe aus der 1. volle Summe Konvergenz die mit dem Bildchen so schön gegen 2 konvergiert selbst nur Marco gleichen halb 1 reihe in gleich 0 bis unendlich 1 durch 2 hoch N ist demnach 1 durch 1 minus in Halle 1 zu 1 minus halbes Inhalt und 1 durch Inhalt es tatsächlich 2 also unsere das Bierchen hat nicht getrogen es kommt wirklich genau 2 Gras deutsche also ein erstes Beispiel einer Konvergenz
Bereiche wie gesagt ein schönes was man kennt auch den wird und die Fragen Fragen die mich jetzt wie gesagt hauptsächlich kümmern werde es nicht gerecht nicht den Wert aus weil das ist ein hoffnungsloses Unterfangen im Normalfall sondern erst mal die zeitlich überhaupt das Sonderreihe konvergent weil wenn Sie es nicht in Geld ausrechnen ich muss immer erst mal feststellen das den es erstmal Konvergenz und das ist auch das was man im Normalfall suche den exakten Wert auszurechnen ist meistens schwierig gut und ja natürlich im Laufe der Vorlesung Tampa Kriterien in geben und das 1. Finnerty Untersatz 4 4 und bei dem es sich wieder kann wichtig klar zu machen dass es nun eine notwendige Bedingung spricht dieses Getier müssen Ausschlusskriterium mit dem Sie sagen wir mal die ganz Frauenärzte rausziehen können also wenn Ihnen jemand sonne Korb Reihenfolge früh stellt und sagt Sortiment in das Corps konvergent und konnten noch und wieder gehen dann können Sie damit mal so die ganz Dirigenten rausziehen aber mehr auch nicht und der sagt das eine Reihe kann überhaupt nur Konvergenz sein also wie gesagt das ist so ein Ausschlusskriterium wenn diese Folge A n dieser aufsummieren nur 0 Volk ist also wenn diese Folge am die listet der Zahl sie summieren wenn man die der so man kann wenn 0 Folge ist also das ist notwendige Voraussetzung für die Konvergenz ja das heißt wenn sie ihren solle Reihe aus ihren Korb rausziehen und feststellen dass dieses diese zum einen einen 10 ich meine 0 Folge dann können Sie gleich mal auf den auf mit dem die wir reinwerfen fühlten sie sich bitte vor dem Umkehrschluss an dieser Stelle ganz massiv mehr wenn das Ding nur Folge ist dann wissen Sie noch lange nicht dass die Reihe konvergiert dann hat sie nur den 1. die 1. 1. Lackmustest bestanden aber dann muss man sich genau angucken und das klassische Beispiel dafür will ich Ihnen auch gleich noch mal
zeigen also nochmal explizit die Warnung an der Stelle weiß ein absolut klassische Fehler ist und den will ich Ihnen und mir und ein Korrekturen der Klausur S sparen also wenn A N D 0 Folge ist dann reicht das nicht für Konvergenz der Reihe ja sondern nur wenn es keine neue Folge ist sind Sie sicher dass Sie divergiert aber würden sich eine Stelle vor dem Umkehrschluss ich will sie keine würden Klausur ließ mich ist das jedes Jahr die Folge sowohl Folge also dass das den komme ist die Reihe komme der Nein ja nur wenn sie nicht mehr nur
Folge ist dann ist sie nicht konvergent das ja alles andere mehr und jetzt das er ist
das immer in diesem Zusammenhang zitierte Beispiel und wenn man sich mit diesem Beispiel beschäftigt sieht man auch sofort es stimmt eben nicht also nur Folge allein reicht nicht 0 vergessen eine notwendige Voraussetzung so
dieses Beispiel ist die harmonische Reihe auch die war in meinem Einführungsvortrag schon auf getagt machen wir das hier nochmal sauber die harmonische Reihe eigentlich nie sehr einfache Reihe zum hinschreiben und übrigens die zweite zum Mitnehmen auf die einsame Insel nämlich nur als grauenhaftes Gegenbeispiel dafür dass man sich vor dem Umkehrschluss hüten Sa die harmonische Reihe nein also noch für viele andere Dinge so wird uns noch mehrfach begegnet er ist diese die Reihe über Einstig N 1 plus inhaltlosen 3. Posen 4. Posen 5. Füssen 6. Füssen 7. Posen 8. und so weiter offensichtlich ist die Folge der Zahlen die man aufsummiert 1 0 Folge da das war unsere alle 1. oder unsere 2. 0 Folge die Folge konstant ließen sich auch 0 Volk aber die 1. außerhalb der konstanten 0 Folge die wir an geschaut haben von der wir bewiesen haben dass sie nur vergisst war dir und einzig 0 Folge aber was ich Ihnen jetzt zeigen will diese Reihe so wie sie da steht ist die wir gehen also als nehmen wir die Folge eines durch n aber
die ist die Welt der Hmm weil dieses Folge wenn sie immer mehrt aufsummieren diese Reihe dann irgendwann gegen unendlich geht also wenn Sie dieses diese Summe wächst über alle Grenzen immer sie addieren und das
Argument hat ich in meinem Einführungsvortrag schon mal gezielt aber da der außerhalb von Stoff ist hier alles noch mal in Ruhe also wie sieht man dass das Ding Dirigent ist schreiben Sie sich mal die 1. zumal hin 1 plus X plus 3 Verlosung Quatsch 1 plus Inhalte bloßen 3. plus und werde bloßen fünfstellig Kürze mal bisschen Arten 5. bis 8. plus 9. bloßen 16. brauche ich gerade bei diesen Stellen unterbreche sehen Sie gleich bloßen 17. bloßen 32. bloßen 33. sollen es habe ich die 1. 0 Prozent der Reihen geschehen mehr die 1. 100 Prozent müsse sich denken ja da kommen jetzt noch unendlich viele Summanden mehr die dann natürlich immer kleiner was er die Hoffnung gibt dass das ganze vielleicht doch noch zu einem guten endlichen Ende für das tut aber nicht und die Überlegung ist die folgende ich lasse weil die ein halt vorne unangetastet stehen und schau mir mal diese beiden Summanden Jahren Drittel plus Viertel so wo also ein Drittel ist auf jeden Fall mehr als ein Viertel das heißt der Beitrag von 3. Drusen-Viertel ist auf jeden Fall größer als 2 mal ein Viertel mehr ja ich mache zurzeit nicht an dir sogar noch weniger macht das ein Drittel kleiner nämlich solchen hinter Gesetz dann ist der Beitrag von diesen beiden Herren hier größer gleich zweimal für nur zweimal für müssen halt mehr so hier habe ich die Zahlen 5. 6. 7. 8. die sind das in 4 Stücke und diesen alle 4 kleine gleichen achteten wir waren 8. von den gibt der größer gleichen 8. nach des von den die kleinste diesen alle 4 größer gleichen achten das heißt dieses zu 4 so meinten hier geben Beitrag der ne größer gleich ist 4 meine 8. sogar mehr als viermal dachte 4 8. Inhalte jetzt gucke nimmt man sich die nächsten 8 also ich nehme mit immer mehr er aber ich habe ja auch unendlich viele zur Verfügung wenn wir die nächsten 8 und 9. bis 16. das sind 8 zu machen von denen jeder einzelne größer gleichen 16. 16. von dem Bergland also ist das hier mehr als 8 achtmal 16. und das Inhalte nein es kann sich schon selber vorstellen wie es weitergehe das hier sind 16 so man kann jeder von den es größer Eisen 32. also das hier ist mehr als 16 9 32. und das Essen halt und das kann ich jetzt noch unendlich langweilig wird das Spiel wird dann irgendwann eine halbe Stunde lang das finde ich es auf aber was passiert ist sie haben 1 plus X plus X plus X plus X plus X plus X plus Inhalt und Inhalte sonderlich oft und damit ist es den Divergenz ja bald diese Summe die da oben steht es jetzt ja sogar
größer als eines bloßen erhalten Rosendahl Rosenthal Rosendahl und so weiter und das geht ganz offensichtlich gegen unendlich und sie oder ich oft behalte aufaddieren wird nichts ähnliches bei rauskommt
das heißt die harmonische Reihe ist ein Beispiel für eine freie die zwar würde nur Folge summiert aber diese würden Summanden werden zwar klein gehen gegen 0 aber gehen eben nicht schnell genug gehen 0 werde nicht schnell genug Leid und dass das nicht Bande frage ist wie schnell dürfen die den gegen 0 gehen und beim klappt noch und dann klappt es nicht sieht wenn man das ganze Ding nur ein ganz klein bisschen ab Ende und sie so mir nicht mehr alle werden sondern so mir nur noch die Tiere der Quadratzahl also eines bloßen Viertel plus 9 bloßen 16. plus dem 25. schlossen 32 ist 25 36. wenn sie lassen also Dtsch zumin- Stapel von Zahlen hier weg wenn Sie das machen das war es dann dann kommt geht die Sache und das ist dieses berühmte seltsame Beispiel in dem Fall kann man mit nicht allzu schwer mit nicht allzu große Schwierigkeit zeigen dass das Kontingent ist mächtig an der Stelle überspringen aber also das ist mehr Reihe für die für die ich Ihnen in also aber 20 Minuten zeigen könnte dass sie konvergiert und dafür dass sie den Wert und gewährt auszurechnen müssen Sie auf Mathe 3 war weil erst dann die mit der Folie Transformation die Methode kommt die Sie nutzen können für den einfachsten beweist den ich kenne um zu zeigen dass das dass der Wert von der Reihe ist und der Wert der Reihe ist die Quadrat 6. das sieht man nicht so schnell ja also dies Konvergenz und jetzt sehen Sie das stecken interessante Frage dahinter wann 1 geht es nicht so wie sie es sondern würden Reihe an waren die Summanden schnell genug gegen 0 gehen und wann das Zeug konvergent ist
und wann es ist direkt an dabei siehe oben wenn es keine neuen Folge ist sie auch so wie ist die den aber es gibt eben auch 0 folgen was die Geld ist und die spannende Frage ist wo ist die genaue Grenze ich will gerade noch als Informationen das allgemeine Verhalten ja angeben also wenn Sie diese Familie von vor dem Rhein anschauen die von der Form sind durch n offene Potenz also einzig in hoch als war als Vanille zahlen danach 2 Spezialfälle gesehen wenn sie ein Vergleich einsetzen ist das den divergent wenn Sie als Vergleich 2 Sätzen ist das den kommen und das wir jetzt eine Frage wo ist hier die Grenze der würde ich ihn einfach als Informationen geben die Grenze ist genau bei der 1 also das Ding konvergent genau dann wenn das alle comma größer als 1 ist also die harmonische Reihe deswegen ist ja auch so wichtig ist hier genau der Fall der auf dem ganz vorn sitzt genau der da auf Messers Schneide sitzt ja also Freitag gleich 1 ist das Ding noch divergent und wenn Sie hier 1 durch m hoch 99 100. nehmen dann kriegen Sie konvergent 3 ja die 101 100 101 110 einzig 101 Hundertstel also was bisschen größer als 1 dann kriegen 7 comma decimal 1 3 1 geht gerade noch schief des Weges die harmonische Reihe so wichtig weil sie hier genau die Grenze ist endlich im Quadrat ist dementsprechend wunderbar konvergierenden einstigen hoch 3 noch mehr aber der die Grenze ist genau die 1 das nur als Information auch hier den Wert dieser Reihe zu berechnen können 7 allgemein vergessen in als Vertrag geht gerade als durch den hoch 3 befangen sage ich Ihnen schon keine Ahnung ja das brauchen Sie sich nicht merken des für das 3. bei dieser Reihe genau gegenwärtig 6 rauskommt das ist jetzt wirklich nur für den nee das müssen Sie es wie sagte können somit allen nachvollziehen dass zu viel in das mathematische Rüstzeug 7 3 Es ist die 2 nicht denn das ist ja wirklich nur den weg ja also niemand muss so wissen dass diese blöde Reiki vor 6. zeugt was Gutes wenn sie wissen dass es den kompetent ist ja also das da drunter das für dich das dürfen Sie aber auch auf auf aufs auf den spezielle Schreiber völlig okay an die 6. sind ja also wenn man sowas brauche dann schlägt man flach mehr ja nein 1 ist nicht kommentieren einzige ist der Mond 3 wie gesagt der Mond 3 ist das Ziel ohne Beispiel das genau auf der Kanzel und die Tante gehört ebenfalls die geht das könnt ihr sein aber die Karte würden den Fall die werden wenngleich 1 geht es genau noch schief gut denn eines ist
schon genau so wie es da steht das und genau dann wenn also für alle andern allenfalls das denn die Berge danke genau Gott ich gut bevor ich mit dem
Kriterien weitermachen wenn ich erst nochmal Chronik aus unsern Grenzwert setzen sie konvergent Reihen sind nichts anderes als konvertierte folgen also Konvergenz verreise kompetente Folge definierte Wissen verfolgen Geld die Grenzwert setzt also die Summe von Konvergenz Freunden konvergent eine Grenze diese Summe und so weiter das können sie dementsprechend alles auf rein hochziehen und das will ich hier kurz mal noch als Rechenregeln zusammenfassen weil auch hier ist natürlich schön wenn sie sich komplizierte rein aus einfacheren zusammensetzen kann also wenn sie konvergente Reihen haben dann können Sie die miteinander verwursten und kriegen wieder konvergent herein nehmen wir 2 hier n gleich 1 bis unendlich am und ins gleich 1 bis unendlich B in seinen beides konvergent und dann nehme ich mir noch eine Konstante C R 1 1 reelle Zahl und dann gelten die folgenden aus sagen dann ist auch die Reihe n gleich 1 endlich am Fluss B Ende kommen der Reise und was da rauskommt kommt ist das was man erwarten würde das ist die Reihe über plus die Reihe über B L nun also dann ist das auch eine wegen der Reihe ja wenn Sie in der Reihe
haben und sie multiplizieren da drin ja das jeden Summanden Micelli dann würde man irgendwie naiv davon ausgehen dass dann dann auch zehnmal die Reihe über einen auskommt das stimmt auch ja also das funktioniert was wie gesagt im Allgemeinen
nicht dürfen sie eine eigene Führungs- Vortrag was sie nicht machen dürfen einfach nur da comma Gärtnerei ist Vertauschung der Summation und habe gesehen wie sie die Summation vertauschen kann es ihm passieren dass ich da rein ändert da dazu kommen wir später noch mal so Urteil Ziel wenn nicht nur die Reihe über konvergiert sondern was eine stärkere Voraussetzung ist die Reihe über den Betrag von allen dran nein das A N könnte ja verschiedene Vorzeichen haben die dafür wir jetzt weg also wir schauen uns die Reihe Betrag in an und setzen voraus dass die konvergiert dann gilt folgende tolle Eigenschaft nämlich dass der Wert der Reihe über die am sich abschätzen lässt als der wird der Reihe über die Betrag am und dieses Ding nennt man die sogenannte verallgemeinerte Dreiecksungleichung was war die Dreiecksungleichung die Dreiecksungleichung sagte dass der Betrag von der Summe kleiner gleich ist die Summe der Beträge für endlich viele so Summanden und das was hier steht ist das Gleiche für unendlich viele Summanden auch für unendlich viele Summanden gilt der Betrag von der Summe ist da der gleich der Summe der Beträge solange alles was da steht Sinn macht also weit diese 3 auf der rechten Seite Konvergenz und was sie dann auch sehen ist eben dass diese Voraussetzung dass der bitte die Reibe den Betrag konvergiert stärker ist als die Voraussetzung dass die Reihe bei n konvergieren wir einen Betrag am konnte geht es dass auf der rechten Seite endlich 582 da muss natürlich auch das auf der linken Seite endlich seine was es kann Ihnen nicht passieren dass die Reihe über Betrag am konvergiert und die Reihe über allen irgendwie den unendlich erbaut dass durch die verallgemeinerte Dreiecksungleichung ausgeschlossen und diese verallgemeinerte 13 gleichen freut aus der normalen Dreiecksungleichung in sie linke Seite sie können die Reihe über N schreiben als Grenzwerte der Partial Summen die partial Summse endliche Summe können Sie 3 des ungleichen anwenden dann werfen sie den Grenzwert wieder drauf und dann steht wieder die unendlich erreicht so aber wie gesagt das Haupt Thema der heutigen Vorlesung ist wie sehe ich Sonderreihe wenn ich sie kriege an ob das den Konvergenz ist oder nicht und hier kommt das 1. Standard Kriterium
dafür und das ist für eine besondere Sorte von reinen sehr angenehmen anzuwendendes und ein das Kriterium das sogenannte Leibnitz Kriterium er nach dem Mathematiker Leibniz nicht nach den Keks und das sagt Folgendes wenn Sie mir was man immer anschauen muss wenn sie der Reihe haben dann steht in der Reihe immer die Folge ändern das ist die listet der zu summieren bezahlen müssen und natürlich müssen wir jetzt Eigenschaften dieser Folge A N angeben die Konvergenz der Reihe nach sich ziehen oder auch nicht und das Leiden Kriterium wen kümmert sich um reine in der Form die Art der speziellen Form dass die 1 wechselnde Vorzeichen haben also sogenannte alternierende Reihen Heinz Menasse haltlosen Drittel mindestens für bloßen 5. mindestens 6. 7. mindestens siegte und sobald er 8. also immer für die er immer auch Positives Vorzeichen folgten negatives und umgekehrt so was hatten wir mal alternierend genannt ganz am Anfang gab es diesen Begriff meine Volkes alternierend genau dann wenn die wenn die Vorzeichen immer abwechselnd hier ist es für die Konvergenz von Erfolge oder auf einer Reihe völlig egal was die 1. 57 Summanden machen wir wenn Sie bei der Konvergenz der Reihe die 1. 57 Summanden abändern weglassen noch 2 dazu zählen oder sonst was dann ändern sie damit natürlich dem reinen wert klar machen was anderes agieren was anderes raus aber die Frage der Konvergenz ist davon völlig unbeeindruckt obsiegt vorne noch 3 dazu zählen ich kommt halt dann der Rhein wird von vorher plus 3 raus deswegen ist es Konvergenzkriterien noch völlig unerheblich ob die Folge gleich am Anfang alterniert oder erst ab dem 362. Eintrag der Folge insofern brauchen Sie nur eines fast überall alternierende Folge und fast überall eingeführt als das Volk ist fast überall 40 werden es eine Stelle gibt ab der sehen schnappe sich ist also fast überall alternierend das ist die erste Bedingung die diese brauchen dann brauchen Sie siehe oben dass ihre folgende 0 Folge ist die von schon gesagt wenn sie in der Reihe haben wollen die konvergiert dann muss das eine 0 Folge sein also das ist mal die Mindestdauer setzen wolle 0 Folge die fast überall alternierend und jetzt auch noch was 3. und dann haben sie es schaffen nämlich die Folge der Beträge also die Folter im Kopf alterniert entwerfen sind alle Vorzeichen alle negativen Vorzeichen weg und gucken sich die Summe der Beträge an die muss monoton fallen seien dann ist alles gut und auch hier die 1. 37 infolge Wiedersehen uninteressant also fast über eine monotone fallen in so eine fast überall den jede neue Folge sodass die Beträge fast über monoton fallen dann ist die Reihe kommen weg so und das wird sich jetzt lang kompliziert an aber der Vater von Leibnitz Kriterium ist dass die Dinge die man nachprüfen muss meistens extrem einfach zu checken ja was will Sie gucken Sie müssen gucken dass das Ding in 0 Folge ist das sollte sowieso machen es ist meine 1. Plausibilitätscheck in sie rein die Hand kriegen mal so drauf gucken ist das Ding was da steht nur Folge weil wir nicht aber es gleich auf die Divergenz Müllhaufen werfen sie müssen alternierend stecken das es meistens total einfacher das ist einfach schauen ob die Vorzeichenwechsel am besten multipliziert man 2 aufeinanderfolgende Folge wieder und zeigt das Vorzeichen die und sie müssen Monotonie anschauen das ist auch der er einfach zu bewerkstelligen das ach ja also das ist das schöne an dem Kriterium und lassen Sie mich da gleich ein Beispiel zu machen und
dieses Beispiel ist eine leichte Abwandlung der harmonischen weil die sogenannte alternierende harmonische Reihe also Summe n gleich 1 bis unendlich minus 1 Woche 1 plus 1 x 1 durch n wenn man sich mal anschaut was die Macht setzen sie malt rechnen Sie mal die 1. paar zum einen aus wenngleich ein 1 Quadrat da das ist 1 x 1 durch 1 ist 1 für n gleich 2 ist das minus 1 noch 3 gibt negatives Vorzeichen und Daten halb übrig dann kriegen positives plus 3. minus Innviertel bloßen 5. minus 6. und so weiter das ist von den Zahlen also von den Beträgen der Zahl der genau die harmonische Rail nur das jetzt die Vorzeichen führt dann plus minus plus minus plus minus ansonsten die harmonische Reihe und deswegen nennt man das denn auch ganz passend alternierend harmonische Reihe es ist eben harmonische Reihe mit allen ihren Vorzeichen und das witzige ist eben oder das mehr ist die harmonische Reihe kommen die gekommen divergiert die alternierende harmonische Reihe kommen agiert und zwar nach dem glatten ja also werden dass man hier
drauf an ich habe das hier nochmal weiß jetzt um raus scrollt als vorher mit aber habe das ist nichts anderes als das was ich gerade hingeschrieben habe nur weil es jetzt gerade um Ausgleich raus Kräutchen nochmal für möglich kommt gleich was müssen wir tun noch steht hier wir müssen zeigen das die Folge AN die hier in der Reihe drinsteckt was ist jetzt hier das am das am hier ist minus 1 Woche im plus 1 mal 1 durch n ja für diese ein müssen sie 3 Bedingungen aus dem Kriterium nachprüfen das heißt wir müssen zeigen dass das eine 0 Folge ist das ist ein fast über alternierend ist und dass das Betrag fast monoton fallen ist und das lässt sich alles relativ sofort sehen in dem Fall können Sie fast über alles vergessen weil das
jeweils ab 1 gilt also was müssen wir tun comma schauen uns erstmal mal fast überall alternierend an er genau also fast überall alternierend was muss man da zu tun man nimmt sich 2 aufeinanderfolgende Folgenglieder A 1 und A 1 plus 1 bei den Nieren heißt die verschiedene Vorzeichen das greifen am besten darüber ab dass man das Produkt anschaut und zeigt dass es negativ also was das Produkt von 2 aufeinanderfolgenden Folge die dann am ist minus 1 auch im Plus 1 x 1 durch X minus 1 Woche im Plus 2 mal 1 durch im Plus 1 so das ist minus 1 hoch das ist ja das spannende Teil des Meeres ein tiefer für die Vorzeichen hoch 2 plus 3 mal 1 durch in meinem plus 1 das Verhältnis mir gerade ganz egal es geht ums Vorzeichen wie das einst auch 2 n
ist 1 2 2 1 7 gerade also bei minus 1 noch 3 übrig minus 1 und 3 ist einfach minus 1 also was rauskommt ist minus 1 durch immer im Plus 1 das ist negativ und das bedeutet genau das die Folge AN alternierend ist wann immer sie sich 2 aufeinanderfolgende folge wieder her nehmen haben die Verschiedenes fort zur Nummer
1 nein sieht man auch um mehr bei mir ist nur das alte mir gehen die Vorzeichen wechseln aber so kann man es ganz sauber nachrechnen soll zweitens müssen uns überlegen das Dinges Monod der Betrages monoton und das Ding ist 0 Folge kann ich Ihnen mit einer Rechnung zeigen und zwar in dem sie sich einfach den Betrag von dem einmal anschauen was ist der Betrag von das ist der Betrag von minus einzurennen plus 1 x 1 durch der Betrag von diesen minus 1 Potenzen sind sich 1 und übrig bleibt einfach 1 durch n also Betrag von 1 sich in der Betrag von als sich einzig in und damit sieht man 2 Dinge 1. ist der Betrag
von N damit monoton fallend wenn der Betrag von 1 die Folge eines durch das ist monoton fallende Folge und zweitens müssen wir noch zeigen dass am 3. was fehlt uns noch uns fehlt das 1 0 Folge ist zahl ich im Kapitel befolgen mehrfach gesagt wenn Sie zeigen wollen dass irgendwas 0 Folge ist dann schauen sich Beträge an weil Betrag von den Vertrag von dem 1 0 Folge ist auch eine neue Folge also kriegen wir hier sofort auch das das Ende 0 Folge ist weil betrage 1 1 durch in das ist man nur Folge es ist nach eigenen also was wir verwenden ist dass das einst durch eine 0 folgt gut wenn Sie das alles zusammennehmen dann haben sich uns Leibnitz Kriterium angewendet und das Leibnitz Kriterium liefert Ihnen Konvergenz der Rail also dass die Reihe 1 gleich 1 bis unendlich minus 1 zu 1 plus 1 1 durch in mir konvergent der Reihe ist und wie alle Kriterien die ich Ihnen jetzt angeben werde hat auch das 2. Kriterium gibt die L die Eigenschaft dass sie keine Information über den Wert der Reigen der sagte nur dies Konvergenz und wenn sie das Wagnis Kriterium fragen ja was denn jetzt rauskommt dann schockte zuckt die Schultern und zieht von dannen ich kann Ihnen den wird in dem Fall geben und das ist werden werden noch im Verlauf dieser Vorlesung noch ausrechnen können müssen wir jetzt noch wie viele bis kurz nach Weihnachten schätze ich warten also in dem Fall kennt man ihn und der ist auch nicht gerade intuitiv das ist nämlich der natürliche Rhythmus von 2 das werden aber noch tatsächlich wie ihn das ist gut aber das können Sie jetzt auch wieder hier nur als Information verbuchen und brauchen Sie
sich wenn es wie jetzt auch nicht zu merken sondern das Eis Informationen in dem Fall kennt man
vielleicht erinnern Sie sich auch deswegen an die alten ihren der harmonische Reihe weil ich mit der Ihnen dieses etwas seltsame Resultat vor gezaubert hat das durch um Orden der Summation den Reigen wird beliebig ändern kann also da kommt eine 2 raus wenn sie in dieser Reihenfolge summieren aber wenn Sie Umsortieren können Sie jeden einem beliebigen rein erreichen und das ist ja irgendwie ziemlich hässliches verhalten ja das wir nicht haben und das ist er wie und intuitiv und vor allem nachts beim rechnen wenn man ständig aufpassen muss bitte schön nicht die Reihenfolge zu tauschen period und dementsprechend wüsste man gern wann meinen Sonderreihe jetzt und ob es Möglichkeiten gibt es man Sonderreihe die Reihenfolge vertauschen kann ohne dass was passiert und die Antwort die Jahr sogar die ganz große Klasse von reinen von Konvergenz rein muss nix ausmacht und das will ich den entsprechend Begriffe dich jetzt einführen es gibt im Wesentlichen 2 Mechanismen dafür sorgen können dass eine Reihe konvergent ist und der einen Mechanismus hat dieses Problem mit dem Umsortieren der andere nicht wenn Sie sich das Beispiel vor einer inneren Railways durch in die wir gehen 3 erweist sich in Quadrat konvergent dann lag das daran dass bei der Reihe über 1 durch in diese so meinten zwar gegen 0 gehen aber nicht schnell genug und bei der Reihe weißlichen in Quadrate man schnell genug leiden werden und das werden Sie das Bild mit den Quadraten nicht über die gewisse Grenze wächst der 2. Effekt hat man hier bei der harmonischen bei der alten ihren harmonischen die Beträge Design dieser so hier die sind eigentlich darauf angelegt dass das Ding nicht konvergiert also träge darüber nehmen kriegen Sie die harmonische Reihe das ist die wir was hier die Konvergenz erzeugten die wechselnden Vorzeichen die dafür sorgen dass eben ganz viel wegfällt wenn sie was positives nehmen was Negatives abziehen was positives als negatives abziehen dann ergibt sich eben ganz viel auf die ihr wird die Reihe hat keine Chance irgendwie noch unendlich oder sonst wie zu zwitschern weil jedes Mal wenn sie wissen darum oben gekommen ist muss er mir und meinen sie denn kommt sie nicht weg dass der 2. Effekt der dafür sorgen kann dass der Reihe konvergiert diese zweite Effekt der sorgt für das Problem mit der Umordnung der erst wenn der 1. zuschlägt also wenn der Reihe deswegen konvergiert weil so mal schnell genug gegen 0 gehen dann dass Sie das nicht dann dürfen Sie umsortieren wie sie wollen und diese beiden Effekte die müssen wir jetzt rennen und dazu denn dieser Begriff hier und man nennt eine Reihe eben ja schön konvergent angenehm konvergent aber genau gesagt heißt sie absolut konvergent das ist der Fachbegriff wenn Sie diesen Effekt nicht zeigt das heißt wenn ihre Konvergenz nicht darauf zurückzuführen ist das wechselnde Vorzeichen viel weggeben sondern wenn schon allein der Betrag der Werte am für die Konvergenz ausreicht und das wir folgendermaßen sagen also die ist absolut Konvergenz wenn schon die Reihe über die Beträge konvergent also wenn diese Reihe wenngleich ein persönlich Betrag am konvergent ist dann nennt man die Reihe absolut Konvergenz und was damit eben ausgeschlossen ist ist dass die Reihe konvergiert weil die wechselnd Vorzeichen 4 weggeben sondern das sorgt dafür dass die Reihe deswegen konvergiert weil ja in schnell genug gegen 0 geht und sie vorhin die umgekehrte Dreiecksungleichung Edwards die verallgemeinerte Dreiecksungleichung aus der Konvergenz aus der absoluten Konvergenz also aus der Konvergenz der Reihe wie Beträge von AN kriegen Sie immer auch die Konvergenz der weil also absolute Konvergenz ist starker Begriff jeder absolut konvergent Reise konvergent aber nicht umgekehrt die alternierende harmonische Reihe es gekommen Agentenreihe vor mir gesehen und noch sehen dass allen 2 rauskommen aber wenn Sie die Beträge nehmen dann kriegen Sie die harmonische und ist die Welt und dieser Begriff der absoluten Konvergenz der sortiert ihn jetzt die Reihen so die Konvergenz rein sozusagen 2 Güteklassen in die Guten die absolut Convair Gärtnereien werden dürfen so viel Umsatz wie wie Sie wollen wollen und in die Konvergenzen aber nicht absolut komme Gärtnereien das sind so bisschen die gefährlichen da gehört die alten der
harmonische Reihe mit die muss man aufpassen ja also 2 Beispiele noch mal einfach von oben übernommen viel davon habe ich gerade schon gesagt die alternierende harmonische Reihe hatten wir gerade gesehen Konvergenz wenn man die Beträge seien wirft dann wird sie divergent das heißt das ist ein Beispiel von einer konvergenten aber nicht absolut konvergent weil damit sieht man die beiden Begriffe fallen wirklich auseinander also es gibt welche diesen konvergent und nicht absolut konvergent es muss ich Sie noch davon überzeugen
dass es auch absolut konvergent der rein gibt
wäre der 1. Fall von absolut Komödien-Reihe ist einfach zudem eine Reihe von der Sie wissen dass die Konvergenz es sind die nur positive so man hat also einzig im Quadrat zum Beispiel im Quadrat wissen wir die 3 Quadrat konvergiert in dem Fall ist die Reihe würden Beträge natürlich gleich die Reihe über die Folgen selbst weil als den Quadrates nur positiv in dem Sinne gibt es absolut konvergent rein aber Sie können das auch noch mit dem minus versehen also nehmen Sie zum Beispiel die Reihe in gleich 1 bis unendlich minus 1 Suche im Plus 1 1 durch im Quadrat also gleiche tritt die bei der alternierenden harmonischen Reihe nehmen Sie die freie Wahl sich im Quadrat und machen sie wechselnde Vorzeichen der vor also das ist jetzt 1 minus 4 und plus 9 minus 16 plus 25 minus 35 bis 36 und so weiter und die ist absolut konvergent obwohl sie wechselnde Vorzeichen hat aber was passiert wenn sie in die Beträge rein machen wenn Sie drin die Beträge die minus 1 weg und sie kriegen als ich verraten dass es sehr comma ein gut das zur Abgrenzung dieser beiden Begriffen jetzt das was ich gerade zum
Umsortieren gesagt habe Bemerkung 4 12 also 1. absolute Konvergenz ist wirklich stärker jede absolut konvergent jeweils Konvergenz also wenn sie einer Reihe nachgewiesen haben dass sie sogar absolut konvergent ist brauchen Sie keine Gedanken auf Konvergenz zu verschwenden haben Sie auch Konvergenz absolute Konvergenz ist sozusagen ein grösseres Qualitätsmerkmal als Konvergenz er und die zweite Bemerkung ist die Sache mit dem
umsortieren noch mal als Warnung formuliert also Vorsicht bei Konvergenz rein die nicht absolut Konvergenz sind weil bei denen kann es eben passieren da können die abstrusesten Dinge passieren und das auf augenscheinlichste ist wenn sehe er das eben der wäre aber auch die Frage der Konvergenz selbst von der Sonne Nations Reihenfolge abhängen als die Frage ob diese Reihe konvergiert und wenn ja gegen
was hängen von der Reihenfolge der Summation ab ich hatte indessen Einführungsvortrag an einem Beispiel vorgeführt an dieser Stelle noch mal die Warnung also bei diesem rein die nicht absolut komme muss man aufpassen dass wenn ich diese absolut Konvergenz Begriff so schöner weil eben einen von diesen Problemen enthebt ja also das deshalb ist das Ziel meist wenn man versucht Konvergenz von Reihen zu untersuchen gleich zu zeigen das Zeug ist absolut konvergent dann muss man sich um solche und solche Feinheiten keine Sorgen machen und das ist auch nicht so arg schlimm weil es dem ganzen Stapel Kriterien gibt die an absolute Konvergenz lief und da bin ich es das nächstes sein und jetzt kommt ein ganz längere Abschnitte über Konvergenzkriterien im
Wesentlichen präsentiere ich jeweils 4 Stück und die 4 Stücke zerfallen in 2 Gruppen die 1. 2 sind sei immer Kriterien die es ihnen erlauben aus dem Wissen Sie wissen Sie haben irgendeine Vergleichs Reihe von der sicher wissen ob's konvergent oder die bei den ist und durch Vergleich mit dieser Reihe können Sie da noch andere rein zu Konvergenz oder Divergenz erklären er oder rauskriegen ob die Divergenz oder Konvergenz sind aber der Punkt an diesen Kriterien ist sie müssen immer der Vergleich freie haben das heißt von einer Reihe müssen sich schon was wissen deswegen sind solche ein die die geometrische Reihe wie die harmonische wie die alternierende harmonische bei dem ich also wie die geometrische wie die und die harmonische Reihe so wichtig weil sie als Vergleichspunkte dienen können von dem man schon weiß was passiert und die 2. Gruppe von 2 Kriterien ist sind welche die keinen Vergleich brauchen die einfach möglich erlauben anhand der Reihe nach zu rechnen was passiert die sind dafür relativ grob werde ich ihn noch zeigen das heißt du die ganz feinen ab Schattierungen sie die Nähe des der Rasierklinge kommen in die Nähe des divergent oder kommen gehen dann werden die stumpf und die keine Aussage mehr die können nicht sehr fein der abgreifen so also so viele
Vorräte komme ich auf einige Bemerkungen wir noch mal
zurück also das Ziel ist jetzt 4 13 ein Stapel von Kriterien für Konvergenz von Reihen und die Kammern sozusagen als Werkzeugkasten sehen man ihn jetzt jemanden in Reihe vor die Füße knallt und sich fragt ist das zwar konvergent oder nicht dann können Sie dann prüfen Sie erst mal nach ob das was drin steht im 0 Folge ist weil wir nicht können Sie es gleich zurückwerfen und sagen Divergenz und wenn der Test funktionierten System 0 Folge dann können Sie aus diesen 4 oder kann es auch seitens Kriterien den aber sonst aus diesen 4 hier mit den 4 mal probieren werden welches greift so also ich habe gesagt es gibt der 1. Gruppe von Kriterien die sind im andern Skript unter 7 8 zu finden und da braucht man eben jetzt 2 Reihen eine die man untersuchen werde und eine von der man schon weiß ist mit der Konvergenz aussieht also ich nenne die mal einen PIN habe ich 2 Folgen eines interessiere mich für die ich interessiere mich für die Konvergenz der Reihe wird B und ich weiß etwas über die Konvergenz der Reihe aller am mir geht das 1. Kriterium dass das sogenannte Majoran Kriterium untersagt anschaulich wenn ich weiß ich habe eine konsequente Folge comma der meinetwegen comma General mit lauter positiven so man also schließen wir sehen es in Richtung absolute Konvergenz ich will jetzt keine konvergieren rein die nur wegen der externe vorzeigen Konvergenzen also positiv der Reihe positiver so mahnten die konvergiert wenn Sie jetzt jeden Summanden bisschen kleiner machen oder man nicht insoweit ein bisschen kleiner dann würde man erwarten dass das was rauskommt immer noch konvergiert weil sie ja schon mit der Konvergenz 3 gestartet sind die Dinge werden schnell genug kleinen Sizilien so man bisschen kleiner machen sollte sei nicht gutgehen und das ist so und das sage dass Meyer raten Kriterium also wenn Sendereihe wenn Sie von der Reihe wenngleich besorgen sich N wissen dass es nie komplett der Reihe und Sie wissen dass die Beträge der Zahl B in der Reihe die Sie interessiert fast überall kleine gleich an sind das B 1 das darf auch größer sein dass das ein für das Ende dann der Konvergenz nix aber auch irgendwann fast überall ab dem 372. so machen muss der Betrag von B in immer weniger sei dass das am dann summieren Sie in dem Bereich wo es relevant wird also ganz weit draußen zu mehren sie kleinere zahlen als vorher sie waren aber vorher schon konvergierenden dann ist es naheliegend und auch richtig dass dann auch die Reihe über PIN absolut konvergiert absolut in dem Fall deswegen weil sie eben was über die Beträge von BR wissen und sie auf die Weise sogar kriegen dass die Reibe Betrag der Konvergenz das Ding heißt
Kriterium weil man die Folgen des eng mit der Folge 1 majorisiert sie von oben kontrolliert und diese wenn man so Unfall hat dann nennt man diese Folge n gleich 1 bis unendlich diese Reihe in gleich als besinnlich am mit der man verglichen hat und deren Konvergenz man ausgenutzt hat eine konvergente Majoran da konnte man mir also wenn man zeigen will dass das Volk 3 B konvergent ist absolut konvergiert dann finden muss man eine Reihe finden die Art irgendwann größere Summanden hat und trotzdem noch konvergent ist und das ist eine konvergente Majoran so das gleich wieder nach unten in die entgegengesetzte
Richtung dass es dann das so genannte Mietnomaden Kriterium gleiches Spielchen aber jetzt mit Divergenz wenn Sie der Reihe haben von der Sie wissen dass Sie die Legende ist das heißt wieder wie vorhin anschaulich gesprochen dieser gehe nicht schnell genug gegen 0 als das ihre Reihe denn es endlich das Streben kann wenn Sie jetzt noch mehr summieren also wenn sie manche 1 größer machen dann wird das die Sache nicht besser machen wir wenn es vorher schon zu viel ist eine Sievers recht so viel und so ist es auch also wenn sie jetzt eine andere Folge haben die Art irgendwann wieder fast überall größer gleich dem liegt und dass ein bitte positiv ja also wenn diese ungleiche
gilt es nur kleiner gleich ein kleiner gleich PIN ist fast überall also meinetwegen erst ab dem 327. Eintrag aber auch irgendwann muss die gelten dann ist die dabei über die PIN ja eher schlechter als die über die am nur weil sie gern noch mehr summieren also dies dann auch die mehr Geld das ist das Minor nur raten Kriterium und in dem Fall nennt man diese Reihe
am mit der sie vergleichen von der Sie von vornherein wissen dass sie die Divergenz ist eine Divergenz im ignorante man hat das b n von unten kontrolliert man das Minori residiert und dieses 1 1 die wir den Termin noch Art das heißt was sie machen müssen wenn sie diese Kriterien an wenn die man am Beispiel sie müssen ihre freie nehmen jeden Summanden im 1. Fall behutsam Größe zweiten Fall behutsam kleiner und im 1. Fall was Konvergenzen ändern soll Fall beweist die gut das sind die 1. 2
Kriterien Vorteil von denen Sie sind wenn man sie wenn man schon paar einen kennt vor allem über ein paar Reihen kennt die nah an der Grenze zwischen konvergieren Divergenz sitzen das Paradebeispiel die harmonische Reihe wird es jetzt wirklich ganz auf der Grenze zwischen komme bei denen die werden dann ist es sehr feines Kriterium mit dem man feine Nuancen zwischen komme denen Divergenz austarieren kann Nachteil sie brauchen in einem Vergleich Folge 7 kein absolutes Kriterium das sehen sagt da die Reihe einfach aus ihrem so sein heraus ist Konvergenz sondern sie brauchen immer was was womit sie vergleichen können aber das wissen sehr feines Kriterium oder beide sind sehr der freien je
nachdem wie viele Vergleichs greifen Sie haben und jetzt haben die anderen beiden Kriterien also die beiden hier gehen jetzt daraus liest auf auf der Folie wir noch mal wieder rannte manchmal auch Antonino rannte und jetzt die beiden anderen Kriterien wie ich hat das hier mal mit absolute Kriterien überschrieben damit meine ich jetzt nicht absolute Konvergenz obwohl sie das auch liefern sondern damit meine ich es Kriterien die ihnen ohne Vergleich einfach direkt aus Betrachtung der Reihe heraus sagen ob das Zeug konvergierende divergiert oder was sie leider oft tun keine Ahnung zurückmelden also Sie haben Folge von Zahlen die Sie aufsummieren wollen am die Folge der so meinten so und dann
gibt es das sogenannte Quotienten und das Wort Sekretärin also auch hier 2 Kriterien die beiden in ähnlichen Aufbau haben was müssen wir denn machen um zu schauen ob unsere Folge da absolut konsequente Folge soll oder nicht wenn gesehen das Ding muss auf jeden Fall 0 Folge sein das ist sozusagen der 1. checke meine Nummer 1 ist 1 dann reicht das nicht sondern es muss auch noch gelten dass diese dass die so man kann immer nur Folge schnell genug klein werden was wir also brauchen ist ein Geschwindigkeitsmesser der und sagt wenn ich das N langsam groß werden lassen wie schnell gehen meine eingeben und und diesen Geschwindigkeitsmesser denn die für das kurz Kriterium da und zwar mit Hilfe einer Größe die üblicherweise Kureis wir dürfen Sie natürlich auch irgendwie anders nennen die heißt Al-Kuri Prozent Bildung und warum das den Quotienten Kriterium das sehen Sie jetzt auch gleich was sie berechnen müssen ist sie nehmen sich 2 aufeinanderfolgende Folgenglieder wieder und schauen den Quotient an also zu dem sich plus 1 zu 1 für Teile des A 7 durch das A 6 und das auch 101 durch das A 100 und schauen sich diese Quotienten an von den Quotienten die Beträge und dann den Limes unendlich ja wenn der existiert nur mal davon aus da existiert dann ist das Zahl Q kann nun dort endlich oder 15 oder halb oder irgendwas sein und dieses Co Mist gehen wie schnell die 1 gegen 0 gehen warum ja es ist ja so was wie die relative Größe von 1 zu 1 plus 1 man kann sich vorstellen dass 1 plus 1 viel viel kleiner ist als das eigene das Zeug nicht schnell gegen 0 Saud dann wird es hier ein sehr kleiner Bruch und wenn das nur so ganz langsam gegen 0 kriegt dann ist das ein Plus 1 immer ganz nah und enden wird das kein besonders kleiner Bruch und das ist genau das was man abgreift und es stellt sich raus die kritische Grenze ist 1 also wenn man dieses Kunath und dieses QS strikt kleine 1 dann kriegt man konnte Konvergenz sogar absolute Konvergenz der Reihe also werden dann ist die Reihe n gleich als beson endlich ein absolut konvergent für Kogut kleiner
1 und Wirkung größer 1 kann man auch etwas sagen dann haben Sie die weg ist also 1 ist sozusagen die kritische Geschwindigkeit also dieses Q misst wie schnell geht das eigentlich 0 und wenn dieser Quotient dieser liebes von Quotient kleiner als 1 ist dann sie absurde Konvergenzfehler größer als 1 ist haben sie Divergenz und jetzt können Sie auf den Fall in gleich 1 machen solange Sie wollen für n gleich 1 ist das kurz Kriterium leider ratlos der für Q Büro gleich als wenn wir Q gleich 1 rauskommt dann heißt das keine Ahnung ja also und das lässt sich auch nicht beheben also es gibt konvergente Reihen Hofko gleich 1 rauskommt gibt die der Rainbow Q gleich 1 auskommen das heißt für Q gleich 1 sind Sie so schlau wie zuvor das ist der
große Nachteil von Quotienten Kriterium der Vorteil ist ist es relativ einfach anzuwenden ja hin ein Liebesaus rechnen Sie wissen was Sache ist Wendelin ist eben 1 ist dann ist schlau wie zuvor dann war die Arbeit unnötig genau das Gleiche passiert beim zweiten von diesen Kriterien im sogenannten Wurzel Kriterium das liefert Ihnen auch weg mit der gleichen Ideen auch hier wird die Geschwindigkeit gemessen wie schnell so die Folge A gegen 0 geht und auch hier ist die kritische Grenze 1 und auch hier wird sich
rausstellen wenn sie genau bei 1 rauskommen haben sie
gelitten also die beiden eine sehr ähnliche Struktur hier ist der Geschwindigkeitsmesser jetzt andere das Ding als Wurzel Kriterium wird irgendwo zu drin vorkommen ich man den dementsprechend mal die das an was wir rechnen müssen ist der Limes entgegen endlich von der Enten Wurzel von Betrag am da sieht man wieder dass es sollen wie und Hautzellen Sonne Tauziehen Limas ja schon gesehen wenn sie der Ente Wurzel auch was drauf werfen und dieses N immer höher drehen beim Versuch der Entwurf das ganze nach einzuziehen das A am damit irgendwie sinnvoll konvergieren kann die Reihe sollte 0 Folge seines heißt es da drin versucht die Sache nach 0 zu 10 und die Frage ist wer gewinnt und das hängt jetzt in davon ab wie schnell das er gegen 0 geht das Ding ist das wurde Geschwindigkeitsmesser wenn sein schnell genug gegen 0 geht könnte man hoffen dass der Grenzwert denn was kleine 1 ist und wenn es nicht schnell genug gegen 0 geht dann kriegt man was zu groß ist raus und genau so ist es auch auch hier ist die Grenze die entscheidende Grenze 1 also wenn Sie diesen Grenzwert ausrechnen können und es kleine 1 dann haben sie wieder absolute Konvergenz das ist genau parallel zum Quotienten Kriterium nur das sozusagen die Geschwindigkeitsmesser Funktion der andere ist und auch wie beim Quotienten
Kriterium wenn das W größter 1 ist dann haben Sie Divergenz also in die geht dieser Reihe da und auch leider wie beim Konzerten Kriterium die unschöne Rolle
der 1 also wenn Q 1 ist oder wenn W 1 ist das ist keine Entscheidung anhand dieser Kriterien wirklich mehr ja das heißt natürlich nicht dass keine Entscheidung möglich ist sondern diese beiden Kriterien sind dann stumpf die liefern ihnen dann keine Aussage was passiert das wird auch oft genug passieren diese 1 ist haftet aber sie lässt sich nicht abstellen dafür sind in der Liebe Folge gesagt der Vater diese beiden Kriterien ist des einfach zu handhaben dachte sie sehen na ja nicht gerade Skalpell sondern mehr so das hat gibt so dass große bei und wenn man nah an der Grenze zwischen Korbe gehen die wir gern ist dann wird das bei Versagen aber sie sind sehr oft nützliche versuche mal anzufangen so also haben wir im Prinzip 5 Kriterien Leitmeritz Meyer rannte Mino rannte Quotient und Wurzel und jetzt versuche ich mich im Beispiel zu bleiben für die habe ich ihn schon gebracht ich für so werden jetzt zu den anderen 4 jeweils ein Beispiel bringen ich habe jetzt natürlich eine solche Tische vorbereitet und kann die nacheinander abklappern er Mai Radkriterium Anfang und dann wieder rannte und dann die Bananen im Normalfall ist das Problem natürlich dass man vor der Reihe sind und die Frage ist welches Kriterien was denn das Richtige und die Antwort an der Stelle ist dann kommt oft so die Frage was denn wie immer das den sieht und woran man das sieht und was denn das Richtige Kriterium ist und die Antwort ist es gibt kein richtig und falsch tun es gibt nur wenige funktionierende Dinge die nicht funktionieren und gefährlich funktionieren waren in dem Sinne falsch und Teddy funktionieren war aber niemand kann Ihnen von vornherein sagen welches vom wird und welches nicht es gibt so Erfahrungsschatz ja wenn man das oft genug gemacht hat sieht man der Reihe an der probiere es mal damit aber es gibt nicht den Algorithmus und die Maschine wo sie die Reihe um reinwerfen und kommt die einfach aus sondern es ist ein probieren 1 2 und er um den Sinnig rum kommen und den niemand darum kommt Erfahrungswissen hilft aber löst das Grundproblem an der Stelle nicht es gibt auch noch viele viele andere Konvergenzkriterien das sind so die häufigsten und und gebräuchlichsten und wenn man ganz ehrlich ist muss man einfach sagen was heißt das das heißt dass diese genaue Grenze zwischen kommen werden und die einfach nicht wirklich verstanden ist dann die aber bis Freitag die Menschheit bis heute nicht wirklich kapiert sondern es gibt nur so wir über uns und Tricks wie man nah an sie ran kommt eine genaue Schlaufe schneiden die einem sagt was muss die Folge 1 sein damit es konvergiert und oder divergiert gibt es aber nicht gut also neue mich an die Beispiel ich habe die Kriterien
alle auf ohne Folie so dass die präsent bleiben zur Beispiele 4 14 1 1 Meyer hatten Kriterium an und die Reise die ich mit Ihnen diskutieren wenn es ein Beispiel für viele 1 durch im Quadrat plus 5 wir also das kommt am Anfang raus das ist ein Sechstel Flows one ninth plus X plus 5 plus 1 14. plus und so weiter bis ich schöne reichen Frage ist konvergent dieser geltend absolut comma gehen gut wenn sie Konvergenz ist ja absolut komme bei jeder Summand positiv ist dass es einfach wenn die Beträge machen oder nicht das ändert nix also müssen uns nun Konvergenz kümmern und ich habe ihn schon gesagt zum Beispiel für meine raten Kriterium also machen wir das was müssen wir tun wir müssen zeigen dass zumindest ab und an in dem Fall geht es für jedes n müssen wir eine freie finden den Summanden größer sind von der der bewiesen dass sie konvergiert und das ist in dem Fall damals 5 Mal gemacht hat mit dem Holzhammer klar aber am Anfang ist ein dass ihm nicht klar vor welche rein wissen wir denn was konvergiert unter als sich ein Quadrat genau die schreit ein hier schon an also wir wollen dass die gerne mehr als sich im Quadrat vergleichen und wenn sie das machen dann sehen Sie dann würde ich es ja einfach weil wie macht man ein Bruch größer in man 7 Zähler Größe meinen Werner kleine man in der der kleine lassen Sie die plus 5 einfach weg wenn Sie die plus 5 weglassen würde Bruch größer also ist für alle in einzelnen Vertrag plus 5 Kleider gleich Einstig in Quadrate und damit haben sich schon die Konvergenz immer gewarnt über die Railways sich in Vertrag konvergiert dann kommt der geht erst recht über reihenweise Fahrer plus 5 weil deren Summanden alle kleiner sind das ist genau das mal raten Kriterium also das ist eine absolut konvergent der Reihe nach x Jahren Kriterium weil die Reihe der N Quadrat konvergiert über so war das ist ein Beispiel für das Meyer einen Kriterien hat ab so und jetzt Namen wie so oft bei rein
finden sich mehr Reihe der von der Sie was wissen machen die minimale Veränderung und schon fängt alles wieder von vorne an nehmen wir nicht 1 durch ein Quadrat plus 5 soll als durch ist immer wieder vor der Frage comma der Divergenz aber wir haben ja schon Trick gesehen wenn man also mal an also nach noch einmal genau das Gleiche wie oben wir alle in aus allen gilt lassen sie wieder die Form für Männer weg 1 durch plus 5 machen war größer in dem wurden die 5 weglassen wenn man den der kleiner gemachte durchführte Bruch großer was aber jetzt erreicht was was einem leider oft passiert wir haben gezeigt unsere Folge liegt immer unterhalb der Folge 1 durch allen die Folge eine über 1 sich 1 aber jetzt wieder erkennt also was wir gefunden haben es eine die Legende Mario Rand wenn wir zeigt unsere Folge liegt unterhalb unsere so liegen unterhalb 1 dieser Agentenreihe und das wird wohl nix weil und einer die Gärtnerei liegen natürlich ja die konnte Gerbereien sowieso aber die die man sich auch die gehen die divergierende Majoran ist vollkommen nutzlos passiert aber leider oft also das war nix aber wie gesagt ich will ich will sozusagen einmal rein gelaufen sein damit Sie sehen sowas ist naheliegend so was passiert Ihnen hoffentlich alle meine sowas bissigen sicher auch ohne sie nicht passiert dann der es ist zu wenig man damit gearbeitet also die Legende Majoran komme häufiger mal vor und sind komplett nutzlos gleiches gilt für konvergente Minderheiten dass sie dann auch immer wieder das heißt wir haben zu grob abgeschätzt oder die falsche Richtung abgeschätzt da sie zeigen ihre frei ist immer größer als irgendwas Konvergenz so super auf nichts also müssen wir hier anders angehen
2. Versuch für diese Reise was ist das Problem das Problem war wenn wir die Methode von umkopieren versuchen wir Konvergenz der Reihe zu zeigen und das ist deswegen zum Scheitern verurteilt weil diese 3 hier delegiert wir haben was wir also tun sollten ist diese Reihe mit dem man Kriterium nach unten abschätzen also unsere Reise hier dieses N einzig im Plus 5 ist bei dem Wiener warten Kriterium ist das B N was wir versuchen ist die Summanden behutsam kleiner zu machen und trotzdem noch was die wegen zu erhalten dann wissen wir wir sind Oberalppass divergent also das auf jeden Fall jenseits der Scheide Grenze zwischen konvergent und die wir gehen dann damit immer wieder auch die wir gehen das ist das mir ein Kriterien also wir müssen hier wir brauchen nicht mehr abschätzen nach oben Sonne brauchen Abschätzung nach unten noch wir wollen die des die folge nach unten kontrolliert gut also was man da machen wir wollen 1 durch plus 5 größter gleichmachen und werden größer gleich soll
irgendwas denn von dem wir wissen dass es divergiert es ist naheliegend es könnte man auch gleich so sehen könnte plus 5 verhält sich wesentlich sich in das war also die harmonische Reihe winkt schon zur Tür herein deswegen ist sondern weil die Idee dass das Ding wieder Geld ist die Frage ist nur wie macht man 2 jetzt einfach zu sagen ja ich als sich im Fluss 5 ist halt nicht größer gleich 1 Einstig als sie den Toast 5 ist kleiner gleich als ich in das Wort sonst nix wie kriegen wir jetzt trotzdem was im Sinne von 1 durch ne hin und was man kann man darf ihn nicht einfach die 5 weglassen wir dürfen den Männer jetzt nicht kleiner machen dann müssen wir nur größer machen wissen der größer machen und dabei auf und der Gegenwart von einzig in stoßen und das kann man machen indem man jetzt nutzt das man nur fast überall braucht und wir schauen uns jetzt mal nur ins an die größer gleich 5 sind weil ins die größer gleich 5 sind können wir jetzt in Männer größer machen dem man nicht die 5 weglassen sollen die 5 durch n ersetzen und dann steht hier einst durch Plus in da ich aber den der jetzt größer gemacht da dieser Bruch kleine und was da jetzt steht ist ein halbes so aber das glaubt ist wunderbare die Deminor weil die Reise Summe n gleich 1 bis unendlich 1 durch 2 n die ist rein Rechenregeln innerhalb wenngleich 1 bis unendlich 1 durch und das ist mir die wegen der Reihen Weise haben harmonische weil es ja also wir haben wir können nicht zeigen diese Reihe einzig sich im plus 5 die man liegen nicht kleiner gleich 1 durch L wenn ich größer gleich als ich ein aber besiegen größer gleich Inhalt einzig und das reicht auch ja ich auf den Inhalt kommen ein Zwischenschritt noch dazwischen ich hoffe das klar das ist 1 durch 2 n und das ist halt mal einzig Gott gut also haben wir in dem Fall jetzt mit die wir den Termin noch ahnte und damit ist unsere aus ganz Reihe auch die wir gell also divergiert auch
1 durch im Plus für als Kommentar dazu noch wenn sich die beiden Beispiele A und B anschauen hatten wir einmal Konvergenzen einmal Divergenz probieren Sie mal aus und werfen Sie die beiden ins Quotienten oder 2. Kriterium Sie kriegen wir beiden 1 raus das sage ich Ihnen mit Ansage diesen zu knapp an der Konvergenz Divergenz Trennlinie die kriegen groß sind und kurz den Tod der beiden getrennt dann sieht man schon 1 kann wirklich alles bedeuten er als sie gerade das hat es so befohlen
vorzuführen okay also Ziel machen wir doch A und B noch mal mit dem Quotienten Kriterium und dann sehen Sie ist mit jeweils 1 rauskommen und damit sieht man sie kriegen konvergente Reihen 1 Prozent der Mainz und die Welt der gekürt werden kurz hinter Mainz als Sohn eines rauskommt ist wirklich unklar was passiert sind nochmal Patienten und Worte Kriterium auf der Folie also das am aus dem der Anteil war 1 durch ein Quadrat plus 5 und das B aus dem Bild Halle war einst durch plus 5 und wir hatten den Anteil gesehen die Summe über A
1 kommen bei denen die Summe wird BR diese
Divergenz so und jetzt rechnen Sie mal für das kurz den Kriterium dieses Kuh raus was müssen wir machen am plus 1 durch in Teilen und dem Betrag der nehmen es gibt jetzt einen häßlichen Doppel Bruch das kann sie beim Konzern Kriterium meistens da muss man dann aufräumen das ist eines durch endlos 1 Quadrat plus 5 geteilt durch 1 durch ein Quadrat plus 5 so was sieht hässlich aus der darf man sich nicht von abschrecken lassen Quotient von 2 Brüchen ist ist Produkte Kernwerte also das ist der Betrag von im Quadrat plus 5 durch plus 1 Quadrat plus 5 ja das kann man noch ausrechnen dass es Quadrat plus 2 und plus 1 plus 5 also im Quadrat plus 2 und plus 6 das Ganze noch den Betrag weglassen weil alle so alle Einträge sowieso positiv sehen und dann hatten wir letztens war im Kapitel über Folgen grenzwertige sehen man Grenzwert von so den ausrechnet vielleicht noch mal kurz zur Erinnerung das ist 1 plus 5 durch in Quadrate Trikes kürzen Sie durch die höchste Potenz durch 1 plus 2 durch in plus 6 durch ein Quadrat und jetzt sieht man wenn sie in den oder die schicken dann geht das gegen 1 durch 1 also hier kommt 1 raus also sagt Ihnen
das Quotienten Kriterium hier keine Aussage möglich sie sehen dass Patienten Kriterium ist hier stumpfer als das Meyer rannten Kriterium nur weil wir wissen ja schon von vorne oben dieser Reihe ist absolut Konvergenz sollten Sie das beenden
gleiche Reaktion B 1 plus 1 durch PIN teilen den Betrag anschauen nachher in die nun endlich jagen das ist eines durch plus 1 plus 5 also 1 durch plus 6 durch 1 durch plus 5 also plus 5 durch plus 6 und auch hier wenn Sie jetzt wegen endlich jagen kommt 1 raus also auch hier sagt Ihnen das Quotienten Kriterium keine Aussage möglich und da tut auch gut dran weil in diesem Fall ist die Kreide Divergenz und Sie sehen es kann bei 1 tatsächlich alles passieren kann also wenn 1 kommt dann sind wir es gibt sozusagen um diese Trennlinie zwischen komme bei denen die Berge und einen großen Bereich in dem das kurze Kriterium 1 liefert und in der da liegt diese Trennlinie leider mit mittendrin und dementsprechend kann man nichts weiter sagen noch ein guten Tipp zum
Abschluss dazu wenn Ihnen das passieren dass Quotienten Kriterium liefert eigens denn für Design ganz nachvollziehbaren Reflex zu sagen ja gut dann probiere ich halt das wozu Kriterium und ein gut gemeinter Rat lassen sich seien war wenn das Quotienten Kriterium 1 liefert die wird in das Wort Sekretär mit Ansage auch 1 dieser Bereich in dem die beiden sich nicht entscheiden können es nicht genau gleich aber der ist zu 5 99 comma decimal 9 Prozent deckungsgleich also dass sie zufällig in eine komische Reihe erwischen in dem die beiden verschieben sind das ist absolut unwahrscheinlich da muss man lange lange suchen das heißt im Normalfall lassen Sie es bleiben wenn Quotienten Kriterium nicht tut dann muss man sich was anderes einfallen lassen dann ist entweder ein Leibnitz gefragt oder man muss eben auf die Suche nach der Meierei unter denen ignorante rannte gehen in diesen Belangen sind die beiden gleich schlecht beziehungsweise gleich gut je nachdem wie man es sieht gut also vom aber sehen und habe ich
ihn nur die ganze Zeit das Wort und Prozente dem schlecht geredet so sind auch nicht es gibt viele viele tolle Erkenntnisse die man über das Wurzeln Quotienten Kriterium machen kann er kriegen kann und hier ist ein Beispiel mit dem Worte Kriterium nehmen Sie die Reihe in gleich 1 bis unendlich minus 1 hoch n in hoch 3 durch 2 hoch N also was ist hier das das ist das was in der Reihe steht minus 1 Woche in hoch 3 durch 2 hoch N Sa Wurzel
Kriterium Worte Kriterium hieß sie haben sollen Geschwindigkeitsmesser denn sie aus rechnen müssen und von dem muss man schauen aber kleiner oder größer 1 ist eine der genau ein Zusammengehen und diese Geschwindigkeitsmesser ist die Ente Wurzel aus Betrag am und da vor der Limes in wenn sich das noch mal leicht also was ist Ende wurde vom Betrag ein das muss man sich erst mal überlegen das ist die Ente Wurzel von Betrag von minus 1 hoch n er noch 3 durch 2 hoch N schon war beim Wort beim kurzen verkehr kriegt man immer riesige Brüche beim Wort Sekretär und riesige wurzelt das 1. was man macht ist man wirft alle Vorzeichen weg weil der Betrag tötet natürlich die minus 1 Sir also bleibt hier übrig ne Ente Wurzel aus allen hoch 3 durch 2 hoch N es muss man sich so ein bisschen an die Wurzel Rechenregeln erinnern und dann stellt man fest dass es in der Wurzel in hoch 3 durch Ente Wurzel 2 hoch N und das ist das schöne am Quotienten Kriterien bis kurz hätten Kriterium das immer dann Trolle werden gehen am in viele Ente Potenz auftauchen wenn man da ganz viele Sachen von der Suppe Sorte 2 hoch N 5 vor allen 3 auf 7 N welches hoch entsteht es immer cool weil der Mann der die entwurzelt sie dann geht es hoch in über den Jordan und es wird einfach sah also Ende Worte Betrag am des Entwurfs N hoch 3 halbe was wir brauchen ist nicht diese Ausrufen der
Limes in den endlich davon und es lohnt sich sich an den Konvergenz an Konvergenz Kapitel zu erinnern und an einem Stabe wichtige Grenzwerte den ich Ihnen da geliefert hat was ist der Grenzwert in der Wurzel allen für n gegen unendlich der S 1 das war die Nummer 1 16 im gleichen Kapitel und damit können wir jetzt kommen jetzt da wo wir hinwollen
also was ist der Grenzwert also was ist das wie er das W ist der Grenzwert entgegen allen nicht von Ente Wurzel Betrag also das ist das Weh aus Worte Kriterium das ist der Grenzwert nach der obigen Rechnung n gegen unendlich von Ente Wurzel hoch 3 halbe und das ist ein Zug 3 halbe also halb das ist kleiner 1 also ist die Reihe absolut Kondek er und das wäre jetzt eine wo ich sagen würde damit dem rannten Kriterium er doch den auch macht keinen Spaß da er da heißt es wird Sekretär unschlagbar also Faustregel wenn sie in ihrer in ihrer Reihe ganz viele Ente Potenzen rumstehen haben dann ist das Wurzel Kriterium ein guter ja
ein ein guter Tipp ein guter Versuch muss nicht funktionieren aber es ist auf jeden Fall guter Fall einen Versuch wert es sei denn und das ist jetzt noch zur Zusagen der die Messe zum Abschluss was beim Worte Kriterium im Allgemeinen furchtbar zu behandeln ist sind wo Ente Wurzeln von Fakultäten und wenn irgendwo Fakultäten auftauchen also wie bei diesem Beispiel 3 in hoch N durch N Fakultät dann ist mein ja wenn Sie Fakultäten haben versuchen Sie auch wenn so schön dass er noch in der steht ja dass er noch ein schreitender wozu Kriterium bei Ente Wurzlen noch das ist das ist schön aber wenn Sie Fakultäten drin haben dann ziehen sie immer erst mal das nur kurze Kriterium das ist nur die Arbeit und das ist auch keine kein muss sondern nur eine Erfahrung die ich alte gebe wenn sie trotz allen Fakultäten drin haben dann ist es kurz jeden Kriterium meist deutlich leichter zu handhaben und das ist in den Beispielen auch so also hier kann man das Quotienten Kriterium anwenden auf diese Folge n s hoch N durch N Fakultät und dabei wird dann rauskam das gilt diese 3 divergiert was man ja auch nicht sofort an sieht man klar dieser Länder der wächst man dieser Zelle der wächst wahnsinnig schnell NON wird für große ändert verdammt groß aber die Fakultät wächst hat auch schnell weder Stärke ist nicht so klar es kommt raus dass das Ding divergiert die exakte Rechnung präsentiere ich Ihnen der nächste Morgen weil das in der Zeit am Ende aber sie Lust hat ist herzlich eingeladen schon mal zu versuchen und dann können Sie am Morgen schauen was so rauskommt und bis dahin wirklich lieber für Aufmerksamkeit so
Summe
Gewichtete Summe
GERT
Reihe
Zahl
Unendlichkeit
Summe
Folge <Mathematik>
Zahl
Reihe
Inhalt <Mathematik>
Zahl
Ausdruck <Logik>
Summe
Gewichtete Summe
Natürliche Zahl
Reihe
Zahlenwert
Zahl
Summe
Gewichtete Summe
Große Vereinheitlichung
Punkt
Betrag <Mathematik>
Summe
Geometrische Reihe
GERT
Betrag <Mathematik>
Reihe
Grenzwertberechnung
Reihe
Zahl
Gegenbeispiel
Zusammenhang <Mathematik>
Verschlingung
Reihe
Zahl
Hidden-Markov-Modell
Summe
Summand
Reihe
Inhalt <Mathematik>
Gesetz <Physik>
Quadrat
Quadratzahl
Summand
Reihe
Zahl
Quadrat
Weg <Topologie>
Große Vereinheitlichung
Exponent
Reihe
Konstante
Summe
Reelle Zahl
Reihe
Konvergente Reihe
Summe
Zahl
Gewichtete Summe
Endlichkeit
Summand
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Reihe
Grenzwertberechnung
Summe
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Summand
Vorzeichen <Mathematik>
Reihe
Mathematiker
Zahl
Vorzeichenwechsel
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Reihe
Exponent
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Reihe
Summe
Quadrat
Negative Zahl
Absolute Konvergenz
Betrag <Mathematik>
Physikalischer Effekt
Vorzeichen <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Machsches Prinzip
Klasse <Mathematik>
Reihe
Mechanismus-Design-Theorie
Quadrat
Folge <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Reihe
Absolute Konvergenz
Reihe
Ungleichung
Geometrische Reihe
Punkt
Absolute Konvergenz
Reihe
Folge <Mathematik>
Summand
Betrag <Mathematik>
Absolute Konvergenz
Reihe
Zahl
Richtung
Folge <Mathematik>
Summand
Reihe
Richtung
Summand
Reihe
Minor <Graphentheorie>
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Absolute Konvergenz
Quotient
Reihe
Zahl
Geschwindigkeit
Kritische Geschwindigkeit
Quotient
Konvergente Reihe
Elementare Zahlentheorie
GERT
Betrag <Mathematik>
Absolute Konvergenz
Quotient
Reihe
Quotient
Reihe
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Summand
Verschlingung
Reihe
Zahl
Richtung
Summe
Summand
Wiener-Hopf-Gleichung
Reihe
Abschätzung
Summe
Quadrat
Quotient
Konvergente Reihe
Summe
Quadrat
Folge <Mathematik>
Exponent
Betrag <Mathematik>
Quotient
Bruch <Mathematik>
Biprodukt
Betrag <Mathematik>
Quotient
Reihe
Algebraisch abgeschlossener Körper
Quotient
Reihe
Betrag <Mathematik>
Exponent
Vorzeichen <Mathematik>
Stab
Grenzwertberechnung
Algebraisch abgeschlossener Körper
Große Vereinheitlichung
Exponent
Betrag <Mathematik>
Quotient
Fakultät <Mathematik>
Reihe

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Reihen und Kovergenzkriterien
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 17
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/35646
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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