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Reelle Zahlen

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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass es verlängert werden an der TU-Darmstadt K so dann
mal herzlich willkommen ja waren dabei mittendrin und mit komplexen Zahlen zu befassen und ich hatte ein letztes Mal gezeigt dass die beste Methode sich die vorzustellen es die komplexen Zahlen zu identifizieren mit der reellen Ebene hat 2 also die komplexen Zahlen bilden ein zweidimensionales Gebilde wer und jede komplexe Zahl z ist entbrannt in dieser sogenannten gaußschen Zahlenebene also zum Beispiel der hier der Chor Absprachen gemäß wird immer der Realteil auf der waagerechten Achse abgetragen der Imaginärteil auf der senkrechten Achse und der Unterschied zwischen R 2 und C zu zeigen die gewittrig keine dabei ist eben das in Multiplikation haben wir also Sie können 2 komplexe Zahl mit 1 multiplizieren Verbände Komplex Zahl raus so kann man die komplexen Zahlen auch sehen oder ein für den man sagte wollen er 2 multiplizieren können mir die Frage wo man es macht aber also hier die die ganze die Zeit in der alles nicht schön Veranschaulichung der komplexen Zahlen und wir hatten 2 Methoden kennen gelernt immer eine komplexe Zahl darstellen kann die eine ist die üben Teilnehmer die Mehrzahl also Sie können selbst schreiben als A plus B x Idee mit A und B in R und im Bild wäre dann die der Realteil Koordinate von und Imaginärteil Komponente von zählt das des und die zweite Methode ist in Polarkoordinaten sie können die Zahl auch immer darstellen als er hoch er mal Ego Wi-Fi und dass er ist dann dieser Abstand der Zeit sehr zum Ursprung der Betrag von zählt und dass sie bei den Polarkoordinaten der Winter zwischen diesen Strahl vom Ursprung zum Z und der positiven reellen Achse das heißt in dem Fall wäre jetzt er ist immer eine Zahl positive reelle Zahl und das Vieh ist der Winkel der muss man sich irgendwo einigen wo man den Weg der so wie ich das Bild jetzt gemalt hat zum Beispiel zwischen uns weiblich nahm das waren die beiden Sichtweisen auf komplexe Zahlen beide sind wichtig weil man manche Aufgaben der Einsicht weil so manchen der anderen leichter lösen kann und das ist immer geschickt sich die richtige zu wählen so da Daumenregel wann immer sie was tun müssen was mit addieren oder subtrahieren zu tun hat wenn Sie die Karte ist Darstellung Abschluss B X E wann immer sie was tun müssen was mit Multiplizieren oder Dividieren zu tun hatten sie die Polar Darstellung RIO Hifi und ich hatte letztes Mal angefangen Beispiele zu zeigen wie man aus der über mit der Polar Darstellung er ausrechnen kann den multiplizieren zu tun hatten das war letztes Mal dieses 1 plus I hoch 13 und an der Stelle will ich ein bisschen weitermachen also auch noch mal ein Beispiel für die Anwendung der Polar Darstellung das ist 5 21 B und da geht es jetzt darum Gleichungen zu lösen und zwar gesucht sind alle Lösungen ZMC der Gleichung zählt noch n gleich 1 und ist eine natürliche Zahl die gleichen können Sie natürlich auch in erlösen was hat denn er für Lösungen klassische Examens Antwort das kommt drauf an wer wen n gerade ist dann hat sie 2 Lösungen nämlich minus 1 zu 1 und wenn n ungerade ist dann hat sie nur eine Lösung nämlich 1 er wir werden feststellen dazu noch ein paar mehr und diese komische diese komische Unterscheidungen gerade und ungerade die fällt auch weg die entsteht nur dadurch dass eben bei mir also und sehe das Polit diese Gleichung ist 1 1 0 stellen Problem für ein Polynom enden Grazer also können Sie schreiben SZ doch N minus 1 gleich 0 mehr das ist die Frage nach der Anzahl der Nullstellen eines Polynom n-ten Grades und in dem Fall kommt eben raus 1 oder in der Regel in 2 oder 1 und dem Komplex ist die Welt schön den Komplex wird dieses Ding immer n 0 und es ist eben so dass die 1 immer 1 und die 1 sind und wo sehen wir gleich und je nachdem gerade oder ungerade ist fällt hat eine von den auf die relaxt oder nicht dadurch kommt dieses Gewoge zustande das ist mal 2 x 1 sind im Komplex ist es einfach immer in so diese Zahlen diese Zahl Z doch n gleich 1 ist für dich gaben dem Namen das sind wenn man so will sind das die Zahlen die Ente Wurzel aus einsehen und deswegen heißen sie die Enten Einheitswurzeln also die Enten Wurzeln der 1 der Einheit das sind die Enten Einheitswurzeln und die tauchen immer dann auf wenn sie in komplexen Wurzeln ziehen wollen so rechnen wir die aus also besuchen alle
komplexen Zahl z mit sehr doch n gleich 1 und das ist definitive Frage muss wurde die ziehen geht also werden wir Polar Darstellung beschreiben unser Zelt als er mal Ivory Fly so was muss gelten 1 muss sein Zelt hoch was ist hoch n Zeit so n s r rief wie hoch N und das ist er auch weil er auch IN Sicht das ist schön dann Polarkoordinaten da kann man schnell multiplizieren so waren 1 sind diese beiden Gleichungen gleich gewann sie diese beiden zeigen gleich also 1 1 gleich er auch ne noch irgendwie die beiden komplexen Zahlen da stimmen überein wenn ihre Polar Darstellung gleiches also wenn Radios und Wege gleich sind der Radius von der 1 ist 1 also was wir brauchen ist als Trainer gleich und jetzt ja auch muss 1 sein und dieser winkte Flieder der da hinten steht der muss wahr sein der muss so sein dass er hoch IN X-Fi 1 ist man ist das der Fall wenn dieses X-Fi Vielfaches von 2 ist also wenn man weiß sie gleich 0 ist zum Beispiel aber auch wenn er mal vielleicht 2 PS und der wenn er mal vielleicht Viertligist oder minus 2 Peter also n vielen muss seinen von der Form 2 capi führenden K auszieht zur also lösen wir weiter auf welche er ist geht es also welche zulässige radeln gibt mit er auch n gleich 1 da gibt es nur noch ein er bei der Radius muss immer größer gleich 0 sein also dass er muss 1 sein alle Einheitswurzeln am Radius 1 und was ist mit dem Finale dividieren noch das Ende durch die ist von der Form 2 K durch mal Pi für ein Chaos Z schwierig dieses Chaos Z die ganze Zeit mit weil wir jetzt tatsächlich
mehrere winkte kriegen für die Wende Lösung kriegen was 1. Lösung 1. ich schon gesagt sie kriegen dann eine Lösung wenn mal wenn sie 0 ist und also für K gleich 0 für K gleich 0 kriegen Sinne Lösung welche ist das er ist 1 K S 0 also ist viel 0 einmal er hoch 0 also einmal 1 das ist einfach die ein zweites ist und nicht unerwartet 1 zu 1 1 1 1 ist ne wunderbare Lösung unserer gleich dann kriegen wir die Lösung für K gleich 1 die lautet einmal er auch 2 Pi durch N X hierfür Werke wie auch 2 in Mali dann kriegen wir die Lösung für Karl gleich 2 die ist er auch viele Tiere durch einmal E einfach eingesetzt sind das hier oben das ist zwar keine durch die je nachdem jetzt gehen sie mit dem K immer weiter aus und wenn sie das machen da kommt irgendwann der Moment und dann kommt das KS N minus 1 dann kriegen Sie er hoch 2 N minus 2 durch den PIN und was passiert jetzt wenn Sie K gleich Entsetzen dann kriegen Sie gerade dass es immer noch eines der Winkel ist dann 2 n durch NPI also 2 Pi das heißt Sie kriegen ihn auch 2 Pi aber ich auch Zweitligist wieder 1 jedoch 2 Zweitligist ist die komplexe Zahl mit 3 des 1 Winkel 2 P das heißt sie laufen einfach 1 auf im Kreis ganz rum und laden wir bei 1 es können sich weitermachen jedes K aus Z gibt ihn theoretische Lösung also für n plus 1 und für ein plus 1 kriegen Sie wieder die Lösung für K gleich 1 sie können aber alle negativen K angucken und sie stellen fest die kriegen immer im Kreis Rom die gleichen Endlösung also was wir jetzt dastehen haben sind alle also Sie kriegen Enten Lösungen ich schreibe mir hier und so weiter also Sie kriegen wenn Sie jetzt das K größer als ne oder das K kleiner als 0 dann kriegen Sie immer wieder zyklisch diese Lösung so also das heißt Sie kriegen hier n Lösungen wie schon
gesagt es gibt immer n Ämter Einheitswurzeln keine Lösung die werden sehr oft mit ZAK bezeichnet man wenig warum gerade also Z ist das griechische kleine Z der und vorne steht der UN also eher hoch 2 K durch n Pepi und K läuft von 0 1 ist minus 1 das sind die in einer 2 Wurzeln und die werden tauchen ist auch gleich immer wieder auf das sind die der die Zahlen und sie der Ente Potenz 1 ergibt und sie sehen daran auch ich würde gar nicht erst versuchen ihnen in so was wie der Wurzel zu definieren wie macht man das er wie definiert meinen er die Wurzel darin einig auch schon das Problem dass die Wurzel nichts eindeutiges ist es gibt eben 2 Zahl deren Quadrat 4 ist nämlich 2 minus 2 und da hat man diesen Knorr nordischen Knoten noch durch indem man sagt na gut denn immer die positive Lösung ja die Wortliste positive Lösung der Bosse von als die positive Lösung der Gleichung x Quadrat gleich Jahr in C gibt es jetzt keine positiv und negativ mehr er das heißt die Auswahl welche von meinen beiden Lösung ich nehme also jede quadratische gleich mit dem Ziel 2 Lösungen und welche von den beiden jetzt die große die wurde die schönere oder die der grüne ist ist unklar und dementsprechend kann man sich nicht mehr entscheiden und deswegen ist die Wurzeln in 10 kompliziertes Konstrukt das wird immer schlimmer je höher sie die Wurzeln Ordnung nehmen ja die dritte Wutzler Teil 3 werte die 4. wozu 4. 5. 5 wir sehen die Ente wozu von 1 hat eben n Lösung dementsprechend ist der die Wurzel zu definieren und deswegen macht man das auch meistens nicht aber diese Einheit Wurzeln sind das was wenn man sozusagen alle die Zahlen suchte die die Gleichung erfüllen dann kommen diese eine 2. daraus lassen Sie mich das einmal konkretisieren und sich dann schauen mal zumal die 5. Einheitswurzel an
also das ist das Beispiel 5 22 Name das konkrete in gleich 5 gerechnet haben wir ja schon wir müssen so einsetzen er um ihn aus den im Wesentlichen dient dieses Beispiel auch dazu die nochmalige metrische anschauen für diese eines würzen zu geben also was in die 5. 1 Wurzeln Z 1 0 in dem Fall setzen Sie K gleich 0 kriegen Sie ihn auf 0 bis 1 zu 1 ist in eine Wurzel von Daten Ente Worte von 1 was ist denn da einsetzen sie Cage ich 1 ist und in gleich 5 ist er hoch two fifths P E 10. 2 ist hoch 4 5. okay 10. 3 ist er auch 6 5. P E und Center 4
gestern die hoch 8 5. P und Sie sehen ich anders ist eigentlich wunderschön regelmäßig wie das ja auf der 2 5 4 5 6 5 8 5. 6. 10 5. im 5. in 2 wie auch 2 fließt wieder als du so entsprechend wie schön regelmäßig das ist so eine schöne regelmäßige geometrische Figur gibt das
Ar also da andernfalls
getippt mal man uns die alle Mal einige
auszuzahlen Ebene die 5 Lösungen wo kommen die zu liegen das ist festgestellt haben alle Einheitswurzeln liegen auf jeden Fall auf dem Einheitskreis also normal auf jeden Fall auf dieser Linie na denen das einsame ich wohl ja also minus 1 ist hier für also ist doch viele definitiven Kreis zur und wo liegen jetzt diese 5 Werte gute 1. offensichtlich bei 1 und was passiert jetzt weiter er auch 2 I ist einmal ganz im Kreis rum und was jetzt hier passiert ist dieses Intervall zwischen 0 und 2 pi wird aufgespalten in Stückchen 5. 4 5 6 5. 8 5. und so weiter das heißt in 5 gleiche Teile und Sie kriegen immer eine Zahl mit Radius 1 und dem Winkel die jeweils der jeweils 2 5. weiter springen versucht das hier mal nein zu kriegen was dabei herauskommt es genau unregelmäßiges Fünfeck also die 5. 1 2 zum Beschreiben regelmäßiges Fünfeck eingeschrieben in dem Einheitskreis und es ist allgemein so also wenn sie die 17. Einheitswurzeln nehmen dann liegen die genau auf den Ecken vom regelmäßigen 17 und wenn sie die 3. einer zur zunehmenden gibt es ein gleichseitiges Dreieck da drin nein dann ist auch klar dann sieht man in dem Fall sieht man wenn sie seriellen Lösung von der gleichen ankucken gibt es nur eine bei 1 wenn Sie da zum Beispiel zum Zelttuch fielen sie 4. Einheitswurzeln machen dann gibt es ein regelmäßiges Vierecken Quadrat der liegt den minus 1 natürlich auch wieder gelöst also diese nur bei den geraden Zahlen springt eine Lösung auf Trainer Axel im Minus 1 nahm 2 und auf die Weise Finden eines plötzlichen bilden Zusammenhang zwischen elementar geometrischen Formen also regelmäßigem entdeckt und Funktionentheorie und der wird auch eifrig genutzt also man kann schöne Aussagen über über regelmäßige ne ist mit
komplexen Zahlen weisen aus diesen Zusammenhang hier da also allgemein der geometrische Ort der enden Einheitswurzeln es genau sind genau die Ecken des regelmäßigen NX die liegen immer auf den Ecken das regelmäßigen NX im Einheitskreis und eine der Ecken liegt natürlich immer auf der 1 der zur das sind die Lösung von Fortsetzung n gleich 1 und auf die genau gleiche Methode können Sie jetzt nicht nur Z u n gleich 1 lösen sonst auch Zetto wenngleich minus 1 und doch n gleich 35 Konzerte wenngleich Pi das wir ihn jetzt nicht noch mal vor aber die Methode
ist die gleiche man schreibe die Zahlen
Polar Darstellung und lösete sind den denn die entstehende Gleichung auf ich gebe Ihnen das Ergebnis an also Bemerkung 5 22 Herr ganz analoge Rechnungen liefert Lösungen von Z hoch N gleich am jetzt irgendeine also für ein beliebiges und um die Formen zu schreiben lassen Sie mich das in oder der Stellung nehmen also ist Betrag AIO wie dieses ewige von dem an vorher war also gleich 1 wenn Sie das jetzt gleich in der Formel Betrag gleich ein vielleicht 0 setzen müssen wir die eines Wurzeln rauskomme so und die Endlösung auch diese gleichen hat immer Lösung und die lauten Ente Wurzel von Betrag an was Betrag in der Woche die Friedrich N und dann multipliziert mit der Karten Einheitswurzeln Zwängen eben das sich wollen sagte die eine 2. tauchen überrall wieder auf wenn Sie die Enden Worte von einem haben wollen dann tauchen in der Formel in die Einheitswurzeln wieder auf damit können Sie jetzt haben Sie jetzt die Lösung ist dieser kleine dieser gleich um 10 Tore in gleich an beliebiges N und beliebiges komplex ist hier passiert
was wovon man eigentlich in den reellen Zahlen immer geträumt hatte aber will ich nehme sie alle werden schon sich mit Nullstellen von Polynomen befasst haben zumindest von Polo 2. Grades Stichwort P Q Formel mitternachts Formen der also jeder von ihnen wird irgendwie nur Stellen fanden der Verlag weiterreisen gleichen bestimmen können da und dabei kommt immer das Problem manchmal gibt es 2 Lösungen und da gibt es keine und man sieht dass gleichen in dem Vorhaben soll es man gerechnet hat und das ist allgemeiner der auf ihn er das Polynome Sonne unvorhersehbare Anzahl von Nullstellen haben und das ist das was ach das ist sauber der mathematische Hauptgrund warum die komplexen Zahlen Tanzen das passiert nämlich das was hier passiert jedes Polynom über vom Grad n hat im Prinzip allen durch es galt immer noch passieren dass eine Nullstelle mehrfach auftaucht aber wir das Polynom anders formuliert jedes Polung wird sie zerfällt in den ja Faktoren also können wir das Polynom solange in den ja Faktoren zerlegen bis sie nur noch einzelne denn er das denn haben es bleiben keine das Polynom mehr übrig das ist die mathematisch Bedeutung der komplexen Zahlen und das werden wir noch sehr zu schätzen lernen wenn wir später mit in der sie ein Algebra mit Eigenwert Theorie zu tun aber da kommt wieder auf 0 stellen Probleme von Polynomen zurück und das ist immer sehr viel angenehmer über C als über er als die ganze Theorie der Nullstellen von Polynomen ist über Erfolg wird sie einfach und das liegt daran dass sie eben immer genügend viele Lösungen kriegen und in dem Sinne ist auch mit wenn wir jetzt den Zaren wieder erweitert vom Conan er und Sommernacht sie den man fragen wie wie kommt denn da noch kommt vielleicht noch jemanden und rund definiert uns jetzt Ultra komplexe Zahlen oder was noch Absurderes in diesem Sinne ist hier an der Stelle jetzt Ende war also was man erreicht hat durch die komplexen Zahlen ist ich hatte ihr am Anfang gezeigt so diese Zahl Raumerweiterung entstehen immer dadurch dass man mir gleich und hat die man dem Zaren bevor nicht lösen kann und was man jetzt erreicht hat durch die komplexen Zahlen ist zumindest jede polynomialen Gleichung solange sie nicht von der Form 3 gleich 5 ist da aber jede polynomialen Gleichung lässt sich lösen Prinzing nein er gab es noch polynomialen Gleichung die sich nicht lösen lassen Xtra fraglich minus 1 im See ist jede polynomialen Gleichung die nicht von der Form konstante gleich andere Konstante ist Lust noch und in dem Sinne dass an der Stelle Ende also dieses Zieles erreicht sie können jetzt jede solche Gleichungen lösen und alle weiteren Karte Erweiterung also zur noch weitere Zar Erweiterung haben dann eigentlich wenig rede er wenig praxisrelevant die sind dann wirklich in der Mathematik Interesse hat mit dem wird sie niemand belästigen und die komplexen Zahlen unsinnig und die werden auch in den Studien immer wieder begegnen aber an der Stelle ist Schluss und das liegt im Wesentlichen daran dass man jetzt dieses die Decke erreicht hat im Sinne des polynomialen Gleichung ist das Paar gut noch ein Beispiel zur DM 5
23 und vielleicht auch noch einen er noch ein Kommentar zu den Begriff lösbar da jede polynomial gleichen wird lösbar ja aber bitte hoffen sie nicht auf das Wunder dass jede polynomialen Gleichung explizit lösbar ist spricht man keine Formel hinschreiben das gibt es nicht unser fieserweise beweisbar nicht sie alle kennen die die Kuh Formel also dass es auch noch mal seine Seiten Bemerkung für die mathematische Allgemeinbildung der Legende Q Formen für Gleichung 2. Grades das kann schon die Babylonier er und dann hat sehr lange gedauert bis man es geschafft hat die Gleichung 3. Grades zu lösen wann genau ob jemand zum 1. eine Formel für Gleichungen dritten Grades hatte also X auf 3 plus Xtra plus X gleich 5 für er ist nicht so klar das war irgendwann so im geschätzt 13. 14. Jahrhundert aber die Leute die das damals rausgekriegt haben haben das als Geheimwissen von Vater zu Sohn weitervererbt weil damit konnte man richtig Kohle machen ja also diesen damals als Fahne Mathematiker von Hof zu Hof gezogen und haben den Leuten hier das da haben wir mit den Militärs es im Normalfall der wichtig schwierigen Rechnungen hatten Ballistik oder so was kubischen Gleichungen gelöst und dann für richtig als sieht annimmt richtig die richtig Asche gemacht deswegen ist er war das lange Jahrzehnte ohne die Geheimwissen und keiner weiß wo sie herkommen die Dinge heißen Kapern-Mousse Formel weil das war die 1. dass es veröffentlicht hat sozusagen der die das Schweigen gebrochen hat aber der hat sie sie wahrscheinlich nicht erfunden dann kam relativ schnell die Formel für 4. Grades Gleichungen das so sah man den Trick für die 3. Grades kann dann finde man findet man auch relativ schnell die Trick für die 4. Grades Gleichung die wird werden sie normalerweise werden sehen Sie können gern mal Kader musste Formen googeln allein schon die Gleichung für die 3. Grades ist braucht so eine DIN-A4-Seite die Formel für die Gleichung vierten Grades will man gar nicht mehr schreiben und dann haben dann ging die Geschichte auch uninteressant weiter gesagt es immer so im 14. Jahrhundert 3. Grades geht 4. Grades geht von der natürlich alle auf die Gleichungen fünften Grades gestürzt und die Gleichungen fünften Grades haben einige schweren Opfer gefordert und das letzte schwere Opfer weil nur egal war Evarist überdies Gallois das tragische Figur er der die auch in ich versucht hatte ich es ist falsch zu bis 21 geworden weil sich dann im Duell hat umbringen lassen aber den in der Nacht vor dem Duell bei Ihnen schon klar war dass so das verliert der da hat sich mit ihrem Sohn ganz großen angelegt er hatte noch schnell alle seine mathematischen Ideen aufgeschrieben und war seiner Zeit um viele Jahre voraus und hat die gesamte dessen Ziel war immer diese 5. Grades klein zu lösen das habe ich ihn gekriegt aber hat alles aufgeschrieben was er versucht hat und aus diesen aufschrieben hat dann sperren dann später andere ein Beweis dafür dass die lesen das ist die Gemeinheit eine Formel für Gleichungen fünften Grades gibt es nicht und zwar nicht weil wir zu doof sind zu finden sondern weil es Techn also weil es beweist nur unmöglich ist eine aufzustellen ja also und das gilt für fast alle würden was ich glaube 17 es nochmal so Zahl muss theoretisch möglich ist Formen zu schreiben aber es gibt nur sehr sehr wenige gerade für die es geht für die meisten geht es nicht beweisbar nicht er also wenn ich sage jedem polynomialen Gleichung lösbar dann heißt es nicht nur es geht eine Arbeit nicht so kriegt man sie dann also mehr vorne ist im Allgemeinen nicht drin also die sagt für die man immer sich Allgemeinbildung er es gibt eben ab gleich 5 für Gleichungen fünften Grades beweisbar keine Lösungsformel das heißt was man dann Imperial leben Todes muss mehr man muss numerische Näherungsverfahren anwenden um solche Gleichungen zu lösen gut also ich mir jetzt einmal noch beispielhaft diese Formel von da oben anwenden das ist dem andern denn das K comma 10 20 und wir mit ihnen die 3. Wurzeln von 8 I bestimmen also wir wollen die Gleichungen lösen damit sie mal sehen das funktioniert tatsächlich alles Z hoch 3 gleich 8 Lee das ist also 8 wie jetzt ist die Frage was sind da die wir brauchen die Polar Darstellung von dem gut der Betrag von 8 es offensichtlich 8 und ist die komplexe Zahl auf der senkrechten Achse nach oben das heißt die hat man Winkel zu ProSieben Achse von Pi will also ist das 8 mal eben hoch die 4 halt zur und was sie jetzt machen müssen ist nur noch um einsetzen die 1. Lösungen Peres also Endes 3 dritte Wurzel aus Betrag von 8 I Betrag von 8 es 8 dritte Wurzel 8 mal wie hoch die jetzt kommt der Winkel von unserer Zahl Vieh also pi halbe geteilt durch in ist 3 also die 6. mal die Nolte Einheitswurzel dritte Wurzel 8. 2 er auch P 6. I und den wollte Einheitswurzel ist 1 also bleibt das übrig das können Sie noch wieder die Hopi 6. ihr umwandeln in keine wie sich die Koordinaten nachdem man es braucht also dass es Kosinus von Peer 6. plus Sinus vom P 6. Mali denn jetzt muss man noch mal wieder der welchen
kucken was war Kosinus von 4
6. und sehen fand die 6. das ist zweimal also der Koloss von die 6. Wurzel 3 halbe der Sinus von 4 6. einhalten also was übrig bleibt ist Wurzel 3 plus Idee ist die 1. die 1. 3. Wurzel von 8 wie die zweite Z
1 gleiche vor dritte Wurzel aus 8 mal eher hoch die IP 6. Mal die 2. Einheitswurzel muss man sich nur mal kurz vorne gucken was die zweite Einheitswurst war die 2 wie auch die 6 I bleiben stehen die 2. 3. Einheitsführers ließ er hoch Drittel P E das kann man jetzt einfach zusammenzählen dass das Produkt von 2 Komplexen Zahlen Polar Darstellung Produkte sind einfach addieren Sie die Winkel also 2 Drittel P bloßen 6. viel 2 Drittel sind 4 6. um 6. drauf sind 5 6. also zweimal ja auch five sixths und das ist damals wieder in dann kartesische Koordinaten bringt minus Wurzel 3 plus und die zweite als 3. Wurzel dritte Wurzel aus 8 jede Woche IP 6. mein 2. 2 und wenn Sie da genau so ausrechnen kriegen sie minus 2 I raus das ist nur belegt ist die letzte einig die oder oder die und überraschendste was minus 2 wie hoch 3 T minus 2 hoch 3 gibt minus 8 das er hoch 3 gibt man es sie gibt zusammen 8 ich können gut auch die bilden ein
Dreieck also ist diese diese
Struktur haben sie immer wenn sie mit Wurzeln komplexen zu tun haben da wo liegen die die 1. war Wurzel 3 plus sie also wozu 3 Summe für hier die zweite war minus Wurzel 3 plus die hier und die letzte war minus 2 die hier und Sie sehen auch die geben wieder schönes breites liegt es natürlich Einheitskreis es mir keine Einheit nutzen aber die 3 Zeilen wir haben gemeinsam dass ihr 3. Potenz 8 I ist war kann man jetzt noch stundenlang mehr zu erzählen lasse ich
bleiben war besondere wies damit bei den komplexen Zahlen gelassen wichtig ist dass der er ja wir genetischen Vorstellung für die Zahlen haben dass sie die beiden Darstellungen kartesischen Polarkoordinaten kennen und mit beiden rechnen können wir in die einen für die Multiplikation der für die Addition brauchen und das ist ein bisschen Gleichungen komplexen lösen können der wir uns dann auch nächsten Übungsblatt intensiv mit beschäftigen ich will jetzt nicht wieder den unter Sprung machen und im sammeln langsam mich in die Richtung bewegen was das Hauptthema von der Matte 1 sein würde da das ist im diesem dieser bei der Umgang mit dem unendlich großen unendlich kleinen und die Anwendungen die das hat für die Behandlung von Funktionen einer Variablen und das vorbereiten das Kapitel schauen wir uns eben mal Funktionen in einer leeren Variablen an und im Wesentlichen ist das in Kapitel also das ganze Kapitel geht eben um reelle Funktionen Kapitel 3 der hat und der 1. Abschnitt in dem ich mich über solche Funktionen grundsätzlich er kümmern werde denn im wesentlichen zu Begriffs Einführung ab und zu ein bisschen grob sortieren nach Eigenschaft da ein paar fundamentale Eigenschaften sowie Funktion haben können oder eben auch nicht und die wollen ein bisschen diskutiert der Begriff der Funktion hatten
hatten wir ganz am Anfang schon mal er und da hatte ich ihn allgemein definierte Funktion ist mir Vorschrift die ihn aus die Elementen aus eine Menge an den Element aus der Menge B zuordnet also Prinzip eine Blackbox Rose oben etwas reinwerfen und dann kommt unten was raus er und wir wollen jetzt das Ganze der konkrete machen in dem dass was wir reinwerfen das was rauskommt nicht mir irgendwas Elemente von der Menge ist sondern reelle Zahlen also wir hatten ganz abstrakt formuliert definierten Funktionen ist mir zu Ordnungsvorschriften im Definitionsbereich und im Wertebereich des die immer den man aus nimmt und dem ein eindeutiges Element F von zuordnet und dann haben wir diesen ganzen den Namen gegeben war das ist in der Definitionsbereich die Menge der Elemente diese der Funktion das dann dürfen also die die Funktion verarbeiten kann das B ist der Wertebereich das ist die Menge aller möglichen Ausgabe Werte der Funktion wenn also den sind bei brauchen denn sie den Sinus Fernsehbosse klassische Funktionen bedürfen sie was reingeben dann komme der Fluss der Sinus von Alfa raus period und eben die Menge aller Dinge die sie reinwerfen können das wenn man sie muss alle reelle Zahl man später noch ausführlicher definiert eine komplexen Zahlen die Menge B ist die Menge ist eine Menge von möglichen Ergebnissen der Funktion er und häufiges Missverständnis vorzubeugen das heißt nicht dass diese Menge B genau die Menge der Ergebnisse sein muss wenn meine Funktion nicht genau kennt ist es im Normalfall sehr schwer bis unmöglich überhaupt zu sagen welche Werte kommen denn genau raus das muss nur alle möglichen Werte enthalten also wenn Sie den Sinus zum Beispiel nehmen dann ist es völlig okay als Pegida erstmal erwähnen zu schreiben auch wenn man im Nachhinein sieht es gibt keine wir zu dass der Sinus davon 17 ist aber dieses B muss eben nicht genau der Werte bereit genau das Bild von 11 sein genau die die Werte die auch rauskommen sondern das muss die nur alle enthalten muss eine Menge von möglichen Ergebnisse seien aber die darauf zu groß sein die Freiheit muss man haben wenn man in vielen Fällen auch gar nicht so genau weiß was genau alles auskommen so dass den wird er von das Element er von ALDI nennt man das Bild von dem Element aber umgekehrt nennt man das kleine aber das Urbild von dem period 11 von einer also das was auf von abgebildet wird ein vom kann mehrere Urbilder haben das er
hat das ist kein Problem hier period kann nur ein Bild haben wir jedes aus muss genau ein
Bild haben aber wenn Sie einen Punkt aus B nehmen dann kann der Kainz viel Urbilder haben sogar der dich thematisiert das B muss mich es muss nicht jeder period in B muss ein Wärter Funktion sein trotziges natürlich diese Menge der Werte die wirklich vorkommen interessanter die kriegt auch im Namen und Symbol des ist nennt man üblicherweise F von das ist eine formale Schreibweise weil das F können Sie natürlich die Menge an nicht einsetzen sie den F die Menge ab sofort futtern geben dann kriegt das Fußende spuckt sie wieder aus weil das es kann ja nur Elemente von verarbeiten eine Person so meinen Sinus die ganzen reellen Zahlen zugefüttert als Menge wird kann nicht ist sie ist sie musste Sinus vom Intervall 2 5 mache keinen Sinn also diese formale Schreibweise die bedeutet das ist die Menge aller Werte 11 von wobei er Arzt die Menge aller Werte die vorkommen und das nennt man das Bild von 11 der das ist immer eine Teilmenge von B aber wie vorhin gesagt es muss nicht ganz B sein aber es ist in eine Teilmenge von B so dann noch eine formale Schreibweise wenn Sie die Teilmenge C von B haben dann schreibt man oft das folgende in 11 auch minus 1
von C und was meint man damit das ist die sogenannte Urbild Menge von C das sind alle die die Elemente in so dass er von ANC liegt also wir sie haben an eine Auswahl von möglichen Ergebnissen sehen und jetzt interessiert Sie welche Eingabe Parametern muss ich in das 11 reinstecken damit ich in dem C lange war und das ist das erworbenes eines von C also das sind alle die einen die wenn sie F reinstecken ins heraus das ist das sogenannte Urbild von C mehr Trennung also unterscheidet da oben das Bild von klein an Element Urbild von von als Element die roten sind Bilder von Mängeln Urbilder von man diesen sehr wichtige Dinge 1 1 1 Kommentar noch zu dieser Notation hier die führt oft zu nachfrage Missverständnissen das hat nichts mit dem was wir noch betrachten werden mit der Umkehrfunktion zu tun was der Begriff ist sicherlich irgendwann mal das Wohlgefallen wenn auch nicht nur gut dann wechseln sie nämlich nicht hier ist in keiner Weise was von Umkehrung der Funktion inverse Funktion Unterfunktion gesagt er Formen des eines von C ist eine symbolische Schreibweisen für bemängelt die funktioniert können Sie für jede Funktion definieren Verwendung der Funktion nicht zu tun das ist die Menge aller 1 so dass er von Einzellern das Symbol der X minus 1 5 wird noch mal auftauchen einen Zusammenhang leider ist es bei zweimal dasselbe Symbol das ist verwirrend kann ich aber auch nicht ändern und das muss man deswegen Wissen aus meiner hat also hier ist gemeint wenn sie erworbenes 1 von der Menge haben dann ist es immer das Urbild also die Menge aller Elemente aus so also auch alle allgemeiner gesprochen die man alle Elemente des Definitionsbereichs deren Bilder in Siegen schon habe ich gesagt wir wollen das spezialisieren darauf das
unsere Funktion nicht irgendwie von
beliebigen Mengen A und B nach der
abbildet sondern dass wir reelle Zahlen verarbeiten also haben jetzt 10 die sieht man A und B der Definitionsbereich und der Wertebereich Teilmengen von R und dann schreibt man das oft mit bisschen andere Notation das fängt schon damit an dass es der Union weiter ja eher unüblich ist mir reelle Zahl mit zu bezeichnen geht schon aber auch nicht so oft auf meistens schreibt man dann statt dem groß A D F mit Defi Definitionsbereich mit Werten denn er war und für die Variable schreibt meinen er üblicherweise nicht sondern X und das Bild ist dann F von X oder wenn man ein bisschen vorsichtiger sein will und nicht als Wertebereich ganz er hat haben will dann kann man da natürlich weiterhin B stehen lassen und B ist eben eine Teilmenge von ja und alle weiteren Begriffe Bild Urbild und so weiter sind genauso wie oben das wiederhole ich jetzt nicht mal so und mit solchen Funktionen um uns beschäftigen oder davon kennen Sie auch schon Stall
voll auch wenn das jetzt hier alles vor Furcht abstrakt anhörte also klassisches L x wird sogar mit X Quadrat Excel zugeordnet XX wird sogar der Betrag X X für zugeordnet Sinus von X Kosinus Tangens hat wir schon ganze Stapel und um Funktionen zu wolle jetzt bisschen kümmern und wenn man so großen Zoo von Dingen
hat dann ist es immer gut nach Eigenschaften zu suchen die praktisch nützlich sind und die man gerne in nennen möchte um dann sagen zu können die Funktion ist in dem Zusammenhang gut und dies per oder dies Geld und ist grün oder die ist schön und die hässlich und damit ich es anfangen als der Rest von diesem Kapitel dreht sich um elementare Eigenschaften die Funktion haben können oder eben auch nicht also das 1. ist das Monotonie verhalten das ist die Abteilung Eigenschaften 1 2 Uhr beziehungsweise 8 2 Inder eine Nummerierung also wir haben Funktionen gegeben auf den Definitionsbereich http er und mit dem Bildbereich B die beiden seien Teilmenge er war und der Funktion eben die jetzt von der nach Bill geht also lernende Funktion ab und diese Funktion heißt jetzt monoton wachsend das ist der 1. Begriff nein eben der das monoton wachsend es ist also nach rechts über weiter ansteigt soll heißen und was heißt das in nachprüfbarer Definitions der wenn ich was grösseres in die Funktion
einsetze dann muss auch der Wert größer werden das heißt falls für alle werte XY im Definitionsbereich so dass das X kleiner gleich das Y ist gilt das auch das F von X kleiner gleich dass er von y ist das heißt einfach nur wenn ich mein Argument vergrößere vergrößert sich auch der Funktionswert schöne Eigenschaften die Funktion haben kann oder nicht üblicherweise erfüllt bei alle möglichen Funktionen die er preise oder Tarife beschreiben wir wenn sie mehr kaufen wollen es auch mehr zahlen 10 üblicherweise monoton wachsende Funktion aus in seltenen Ausnahmefällen ja also solche um solche Dinge geht es hier wenn Sie monoton wachsende haben es monoton Fall nicht weit aber was heißt monoton fallende
monoton fallende heißt wenn Sie was grösseres einsetzen wird der wird kleiner ist als was meine Definition ändern müssen es ein einziges Zeichen für alle XY aus der mit Xtra gleich y muss Geld gelten dass F von X größer gleich von und ist der statt ab so wenn man das
definiert hat dann kommen mir die 1. Spielverderber und sagen er und und und und bringen ein aufs Glatteis und sagen ich weise Funktion dies sowohl monoton steigend als auch nur von freien dann sagt man so'n Quatsch was auch gleich geben also Leute recht nehmen Sie die Funktion konstant 0 langweilige Funktion aber die Funktion konstant 0 erfüllt sowohl das Grüne als auch das schwarze wenn ich weiter nach rechts geht wird der weltgrößte gleich nicht weiter nach rechts der wird auch kleiner gleich einer Welt mit gleich manchmal ist es auch gewünscht wir aber manchmal hätte man gern monoton wachsend wirklich monoton wachsend das heißt das denn so noch nicht größer werden und nicht wie so ein Quatsch machen und dafür gibt es einen Begriff dass es strenge Monotonie also eine Funktion heißt streng monoton wachsend wenn ein grösseres Argument auch zum echt größerer Ergebnis führt also für alle XY Definitionsbereich mit X krieg kleiner y gilt F von X Strickkleider L von y das ist jetzt die strenge Monotonie das ist mehr als oben man sie jede streng monoton wachsende Funktion ist auch monoton wachsen aber eben nicht umgekehrt im Sinne Funktion die konstanteste die am Stück konstant ist ja also ebenso und sollen wir wieder bei Preise Tarifen sind und dass ich und springenden Telefontarife pro Minute 9 Cent Herr der Frist für Sie ist für sie nicht so ohne der ist monoton wachsend aber nicht streng monoton wachsend weil ob sie eine Minute 7 oder eine Minute 12 telefonieren es egal koste gleichviel des also nicht streng wachsend aber eben wachsen gut und wir mit dem entsprechend Begriffe fallen auch wieder streng monoton
fallende denn für Alex Würzner mit X trägt kleine y Geld das F von X strikt Größe F und ist gut und dann aber als
letztes in den Dingen bevor wir uns dann Beispiele angucken wollen habe ich als letztes
den Begriff der Beschränktheit eine Funktion des beschränken das hat jetzt nichts mit ihrem geistigen Kapazitäten zu tun sondern mit ihren mit den Werten in diesem im Wertebereich oder ihn im Bild vom sodass beschränkt werden sie nicht über eine gewisse Grenze drüber geht und ohne gewisse Grenze unten drunter oder wenn eben wer genau formuliert wenn es eine Schranke ziehen ergibt Ende seines vor große Zahl so dass der Betrag von allen Werten von 11 diese Schranken überschreitet also der Betrag von F von X ist immer kleiner gleich C egal was sie einsetzen also typische beschränkte Funktionen wäre die Sinusfunktion mit kommt die pendelt immer zwischen minus 1 und 1 aber betragsmäßig kommt über 1 nicht raus das heißt für den Sinus könnten sich C zum Beispiel 7 Chinesen oder 42 ja weil sie von X ist nie größer als 42 so ja das sind Begriffe und weil die jetzt gleich oben raus scrollen und man dann sich Mühe Mühe hat es immer wieder darauf zu verweisen dort habe ich in die Definition da nochmal auf Folie gepennt müsste es bald erscheinen da so dann kann man da immer wieder noch mal nachgucken immer noch mal die Definition braucht aber schauen uns das mal und dabei spielen ein
dann monoton wachsende schon weg geben das machte
was macht der nix das oder kein Strom daran dann ist kann das nicht tun ja tauchen Methode den auszuschalten okay also jetzt aus ein bisschen ankommt war das muss man mal schnell noch scharf stellen und alles richtig Rumänien waren ab period gut also noch Beispiel er nun und meine Männer nicht so komplizierten Funktionen F von X ist Expos Betrag X das macht die Funktion überlegen was uns kurz das was ich in Köln was passiert wenn das X negativ ist was haben Sie 2 Fälle bei der Betrag natürlich je nachdem ob X positiv und negativ ist verschied Ergebnisse ausspuckt wenn X negativ ist dann ist Betrag X gleich minus X dann steht der X plus minus X X plus minus 6 lässt sich auch kurze ausdrücken als 0 und wenn das X größer gleich 0 ist eines der Betrag X X dann steht der X plus X also 2 x also der Graph
der Funktion so aus und jetzt Ekstase
von links da ist 1 zu 1 1 so und für negative Argumente ist das Ding einfach konstant 0 und danach danach Deals mit Urin geht mit steigen 2 auf also Tag Siegbert Zach so an
dem Beispiel mal die Begriffe
durchdekliniert ja Cups der das
wenn X gleich 0 ist dann kommt da nur raus ja ja ja ich habe es
X gleich 0 jetzt im unteren wegen zugeordnet da kommt auf 0 raus war wenn man sieht das können sie aber halten wieder auf dem Dach ja also meine schreiben kleine gleich Nulllohnrunden größer nun er ist in dem Fall egal wenn wenn das natürliche seiner Sterne vom Stelle hätte dann ist es Unterschied habe in dem Fall ist völlig wurscht aber was reine Willkür im Moment gut und da sich an dem Beispiel 1. zeigen will dass es jetzt 1. im Beispiel von der Funktion die auch streng die auch monoton wächst aber nicht streng monoton wächst aber Vorsicht das Ganze hängt immer auch davon ab im Prinzip können Sie mir die Frage ob dies streng monoton wächst oder nicht noch gar nicht beantworten weil und das ist der wichtige Punkt hier das kommt jetzt auf den Definitionsbereich an also wenn wir diese Funktion nehmen und das Definitionsbereich ganz ernähren dann ist es eine monoton wachsende Funktion die aber nicht streng monoton wächst wenn weil sie eben im negativen Bereich konstant ist Münster 2 Punkten dem X Trickkleider y beide negativ ist eben F von X gleich er von Apps nicht strikt kleiner also es nicht streng monoton wachsend das natürlich auch nicht Modersohns fallend oder streng monoton fallen und zur Frage ist es den beschränkt oder nicht nach unten ist es schon beschränkt werde wird nicht kleiner als 0 das ohne Frage es war normal 8 sie ist in den negativen Definition zu in den negativen Teil auch monoton Fall das stimmt aber solange ich wenn ich frage ist die Funktion auf ihrem Definitionsbereich monoton fallende bitte fühlt und weiß er die Antwort nein genau das ist das der Punkt wo habe ich gerade raus will wenn Sie die Frage stellen ist das Ding und Feinde nicht müssen immer dazu sagen auf welchen Bereich oder auf welchen Definitionsbereich aber das hängt davon leben natürlich ab hier Nein wenn Sie jetzt sagen Sie kucken sich das Ding nur auf dem Intervall von minus 10 bis minus 1 an denn ist ist in unserem Fall monoton wachsende genau er aber jetzt beliebig Nutzungsbereich ganz beschränkt nach unten Jahr sie wird nie kleiner als 0 aber allgemein beschränkt nicht weiter positive Zahl der der Haut ab und für jede jede Schranke die Sie sich so vorstellen können wie jeder Schwein die CD den ein er Kasten soll finden Sie dann nix wert an den Sie drüber sind dass es unbeschränkte Funktion aber das kann sich eben alles fundamental ändern wenn sie jetzt Investitionsbereich anders machen
also nehmen sie ich hatte jetzt nicht das Beispiel was Sie gerade alle Sprachen könnten wir auch nehmen wenn man das und was Negatives er ich bin die positive Achse gegangen sie das zum Beispiel auf Intervall 0 3 angucken dann ist die Funktion streng monoton wachsend dabei ist der konstante Anteil weg ist und auf dem Intervall 0 3 ist ja auch beschränkt nur weil natürlich der größte Wert der dem Intervall angenommen wird ist der an der Stelle 3 das ist 6 also ist die dich 6 beschränkt oder auch dich 17 mehr ok also die wichtige Punkt an der Stelle ist bitte Definitionsbereich ist immer wenn sie die Frage stellen ist irgendwas wachsen fallen ist beschränkt sonst wegen Sie mir dazu sagen auf welchen Bereich sonst ist die Frage unvollständig formuliert er und wenn kein Bereich der beiden steht was häufig genug vorkommt dann ist implizit gemeint dass der der angegebene Definitionsbereich das Ganze zu betrachten ist klar also wenn ich nur das sagen der Funktion von er nach er ist die monotonen dann ist die Frage gemeint ist die monotone auf ganze so also das ist
ich denke diese Begriffe und wachsen fallend beschränkt sind alle relativ intuitiv wenn man sich den Grafen mal gemalt sieht man bei Funktion die nicht völlig absurd ist da oben drauf gucke ob das Ding wächst fällt oder beschränkt ist wir haben also wenn wir demnächst das nächste Eigenschaften Paar das ist 1 4 beziehungsweise 8 2 und das ist jetzt gerade und ungerade in der Funktion f wieder auf die 11 definiert meinetwegen nach B oder nach der wenn man gerade macht falls für jede Wahl X aus dem DLF gilt das wenn Sie dem F nicht dass ich so dann das Minus X zu knuspern geben dass er sich als Minus der Liebhaber herausstellen dass mir das einfach auf ist soll heißen er von minus X ist immer gleich F von X das ist die Symmetrie Eigenschaft dann nimmt man die Funktion gerade typisch gerade Funktion kommt auf den Begriff ist zum Beispiel x Quadrat also mir gerade mir gerade Potenz ist mir gerade Funktion da kommt das Wort gerade hier nur wenn sie minus X Quadraten denn ist ist das gleich also minus 6 in Klammern Fahrrades ist das gleiche Xtra war der typische gerade Funktion da kommt auch der Name hier und dementsprechend gibt jetzt und gerade und das ist das entgegengesetzte Verhalten das eben ungerade Polynome ungerade Potenzen zeigen was machen die wenn man ihnen minus zu essen geben die mögen dich und Spuckens aus also es ungerade wenn für alle x außen Definitionsbereich gilt das er von minus X gleich minus F von X ist ja dass das was passiert wenn sie hoch 7 wir minus 3 hoch 7 minus 3 5 7 ist das sehr viel minus darauf sehen er und ja das nennt man ungerade gerade und ungerade ist mir Symmetrie
Eigenschaft habe ich gesagt dass sieht man am besten am
Grafen schauen uns mal als Beispiel die namensgebenden Fälle an wie gesagt die Namen kommen daher dass das Verhalten bei allen Potenzen so ist also wir schauen uns an f von x gleich x hoch n und das ist wie gesagt eine gerade Funktionen wenn das gerade ist und nun gerade Funktion wenn das n ungerade ist nein was kommen da für Grafen bei raus was ist man also
ich suche in in gerade denken 1 x Quadrat haben Sie alle schon mal gesehen mit einer Parabel und das ist gerade ist drückt sich darin aus dass das Ding symmetrisch zur senkrechten Achse an der Graf symmetrisch zur senkrechten Achse dass es gerade andere es Dauer Beispiel für gerade ist der Kosinus wir Cosinus sieht so aus so ungefähr jedenfalls und Sie sehen das ist wunderbar symmetrisch zur senkrechten Achse das ist gerade der ja mit bisschen Fantasie könnte er ungerade wir jetzt ungerade Potenz X X X X auch 3 Uhr ungefähr
hin also wie sie Dix auch 3 aus auch das
werden Sie schon mal gesehen haben schon was ist hier die Symmetrie er von minus X ist minus F von X also das jetzt Achsen Symmetrie es wird also gerade entspricht mehr Achsen Symmetrie und ungerade entspricht nach period Symmetrie zum Ursprung denn der Nähe ungerade Funktion dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung das Beispiel immer der es immer schon im Kosinus haben ist der Sinus Fälle gerade Funktion nur gleiches Problem ich habe eben und da es eben punktsymmetrisch hier zum Ursprung haben er so das sind typische Beispiele für gerade ungerade Funktion
auch die Definition stehe noch mal hier dröhnen dann Theater vervollständigen wir
die Beispiel gerade noch also B des es
gerade schon gesagt der Cosinus ist gerade der Sinus ist ungerade und man sollte sich ein bisschen Mythen der derselben Begriffspaaren die gerade und ungerade kommt immer Sonne Reflex im Menschen zu tragen der an der Stelle nicht förderlich ist dann nämlich wenn was nicht schwarz ist dann ist es weiß kommen Sie mit der also nicht auf die Idee zu sagen die Funktion ist nicht gerade als ist sie ungerade das stimmt für ganze Zahlen ja aber das stimmt leider nicht für Funktion also der Großteil der Funktion ich würde mal behaupten wesentlichen alle bis auf seltene ausnahmen ist weder noch an insofern seien Sie vorsichtig mit so Argumenten war weil der nicht gerade ist es um gerade das funktioniert bei Funktion nicht also schreiben 1 einfaches Beispiel mischen Sie einfach Polynome gerade und ungerade Ordnung dann kriegen Sie was raus was weder gerade noch und ist auf solche Situationen kann man ein paar Mal zurück also es gibt viele Funktionen die wieder noch so gerade ungerade ist schon was sehr spezielles er das geht es nicht so oft
zur da und jetzt kommt da
das was sie immer kriegen wenn sie jetzt mit Funktion zu tun haben oder mich Eigenschaften definieren wir also wir haben jetzt den Begriff gerade ungerade definiert und dann ist sofort die Frage die sich anschließt wenn ich jetzt 2 Funktion ab und die die und diesen beide gerade ist ein Visum auch und gerade ich die multipliziert 2 gerade Funktion kommt dann was gerade das raus wenn ich 2 ungerade multipliziere kommt dann kommen solche Fragen und das will ich jetzt im nächsten Satz zusammenfassen was geht und was geht nicht das ist deswegen solche Sätze von der Form wenn 2 Funktionen Schnupp sich sind dann ist auch die Summe schnürt sich diesen immer toll weil warum weil sie an die Möglichkeit geben ja es meistens macht man solche setzt natürlich für Eigenschaften die die toll sind also was ich ich ja also wenn Sie und wenn sie von 2 Funktion wissen dass Sie das sind dann können Sie sich aus einfachen Funktion von dem sich schon wissen komplizierte zusammenbauen umgekehrt mindestens genauso wichtig wie man schreibt in so morgens bei hin und fragt ist das schlug sich oder nicht und da können Sie sagen wo man das ist 1 Riesenmonster aber das Monster besteht aus 7 Summanden und der diese Mann bestehen jeweils aus 3 Produkten aber ich weiß das Summen Produkte von schmutzigen Funktion schnob sich sind dann muss ich mir nur die Bausteine angucken wo muss nur gucken ob die Einzelteile sind und dann habe ich das Ganze ja deswegen sind solche Sätze immer toll und solche Maße zu zerlegen und das ist das erste Beispiel werden noch viele Sätze von der Sorte sehen wenn eine Funktion ist für den 12. und Schnaps sind dann auch ihre Summen und Produkt kommt immer und immer wieder und ist jedes Mal wertvoll also 1. Beispiel dafür auf dem einfachen Level wenn Sie 2 gerade Funktion haben dann ist auch so und Produkt gerade also 1 11 plus gehe gerade und dann ist es mal die gerade wenn jetzt Achtung bei
ungeradem muss man aufpassen wenn Sie 2 ungerade Funktion haben dann ist es bloß auch und gerade das geht gut nein jetzt kommt was was man einig auch schon von Zahlen kennt was passiert wenn Sie 2 ungerade Zahlen multiplizieren dann kommt was gerade es raus haben also das Produkt für uns warum gerade Funktionen Sie gerade an der Stelle muss man bisschen vorsichtig sein sie können auch jetzt noch
außerdem formulieren von der Form wenn ich mir gerade und ungerade Funktion multipliziere Kompass und Grades raus gilt auch alles wenn ich jetzt an der Stelle nicht jede Einzelheit durch deklinieren worum es mir geht es Ihnen einfach mal ein Beispiel für so einen Bausatz Satz zu zeigen so ein Satz von der Form wenn 2 Funktion schön sind dann ist auch wieder so mischen halten werde Berater ja ja sie sind gerade also versuchen sie es auch mit Zahlen im bestimmt wenn sie die 1. Zeilen mit Zahlen machen es sich falsch mit Funktion ist richtig er und sie sehen schon das Wort Beweis steht da ich zeig's Ihnen jetzt ist eine Zeile stimmt so Funktionen sind eben keine Zahl mehr insofern war mein der weiß gerade nicht gut Funktion sind keine Zahlen an der Stelle die die Analogie vor die Hunde ich zeig's Ihnen einfach und dann glauben Sie es mir glaube ich hoffe ich also machen wir genau das zeigen wenn sie 2 gerade Funktion haben ist die Summe gerade das wurde ja schließlich gerade angezweifelt bestimmt schon 3 plus 7 Moment mal das stimmt dafür zahlen 3 1 7 7 um gerade zu meiner habe gerade richtig ja stimmt aber trotzdem dann soll ich vielleicht lieber das vor führen also dann vielleicht in das Bild in der bevor dann völlig in die B vor Improvisation für mich und das kriege ich hoffentlich in also 11 und gehen und gerade und dann zeige ich Ihnen das dann er mag ist bloß die auch und gerade ist und 11 mal die gerade also was müssen wir tun um nachzuweisen dass er Fluss gehen und gerade ist was ja gerade die angezweifelt der Aussage war wir müssen uns anschauen was es 11 G an der Stelle minus X und müssen zeigen F Fluss von minus X ist er Fluss G ist minus 11 losgeht von X Sa ich so was SF plus gehe von minus X das ist erstmal mal 11 von minus X plus gehen von minus X werden so mehr sie 2 Funktionen so man die period sonst zusammen so jetzt wissen wir dass F und G und gerade sind was heißt das F und G spucken die minus aus ja und gerade heißt immer was minus werden ausgespuckt also das ist minus F von X plus minus gehe von Ex das ist ja schon ich das ist ein
Minus F von X plus gehen von X das ist man aus 11 plus G Putticks und was jetzt dasteht ist der Fluss gehe es um die Frage ja tut man muss nur mit
mal was ist F von X er von minus x mal gehe von minus X er von diesen ungerade spucken bei dir minus aus bis minus F von X X minus gehen von X jetzt sehen sowas passiert warum sie sie umdreht die bei minus fressen sich weg und übrig bleibt das ist F von X X von X und jetzt haben wir es mal G frisst das minus auch also erst mal die gerade ab period so jetzt können Sie alle anderen Kombination durchprobieren das Nachrechnen dieses was passiert es immer nur die eine Zeile gut das dann bevor ich zu meinem letzten Begriffs
Pech oder Begriffs Drillingen kommen das auch immer zu meinem nächsten Begriffs Drilling kommt muss ich noch ein weiteren Operation einführen Bild Funktionen tun kann da wir waren jetzt eine schaut man kann sie addiere man kann sie multiplizieren und man kann noch was machen was sie auch schon mehrfach gemacht haben und vielleicht noch nicht so genannt habe man kann sie sogenannt verkehrten das heißt ineinander einsetzen also den wir nix und setzt seine Funktion f 1 das Wasser rauskommt dass F von X setzt man wieder eine Funktion G 1 also einfachstmögliche Kosinus von X Quadrat ist die Verkettung von 2 Funktion nämlich erst die Funktion Quadrat bilden dann aus nochmal Kosinus so diese Verkettung die für mir jetzt mal eingetreten eigenes rächen Symbol also Verkettung von Funktionen was damit gemeint ist ist nichts anderes als 2 Funktionen hinteren dann ausführen das entspricht 8 7 also wir haben 2 Funktionen 11 auf dem Definitionsbereich von 11 nachher und gehe auf den Definitionsbereich von gehen nach einer das sein beides Funktionen damit wir die ineinander einsetzen können also damit wir die Ergebnisse die das liefert das F einsetzen können muss es natürlich noch was wichtiges gelten nämlich die Ergebnisse von G das müsse so sein dass sie ins F passen also Definitionsbereich von 11 liegen also das Bild von G die Menge aller Ergebnisse des geliefert wenn sie in den ganzen Definitionsbereich zu knuspern geben das musste Teilmenge seien von Definitionsbereich von F das ist eine wichtige Voraussetzung also nochmal anders formuliert was heißt das das heißt für alle x im Definitionsbereich von die liegt der wird dir von X im Definitionsbereich von F period nur dann können Sie die Funktion sinnvoll verknüpfen nur wenn sie in der nach der Anwendung von G außen Definitionsbereich von 11 rausfliegen können sie halt nicht mehr von dir von XP also sind technisch notwendige Voraussetzung dafür dass sie die beiden
Funktionen zum Lande ausführen können so und wenn
mehr die Voraussetzung haben dann können wir jetzt den an der Ausführung der beiden Funktionen definieren diese Funktion die darin besteht 1. G zu machen und dann 11 so ist jetzt zu verstehen Zimmermann X stopfen sind rein der Voraussetzung garantiert Ihnen das Ergebnis liegt im DFB also können sie das die von XSS reinstecken und die wird üblicherweise bezeichnet als F Kringel G das ist jetzt der Funktion die offen Definitionsbereich von G definiert ist nach erklärt und die eben jedem X zur wird den Wert F von G von X erst die die machen dann das ist die Verkettung von 11 und gehen und wie gesagt das Ganze ist nur Notation für was was man ständig macht große muss von X Quadrat es ist der Cosinus geht das verdrehe mehr er und diesem komischen Kringel den liest man helfen nach die in sinnvoller Weise ist nach wenn Leben erst nach die an mündet ist die 1 und danach ist es macht die also niemand sagt es Kriege geht sondern das heißt in F nach die wenn man das liest zumal Beispiele Beispiel 1 Bart
gut also brauchen 2 Funktionen F von X nämlich mal 1 durch 1 minus X und jetzt habe ich ihn noch nicht 7 Definitionsbereich gesagt aber den normalen größtmöglichen das wäre in dem Fall er ohne 1 4 1 1 können wenn dieses F nun wahrlich nicht einsetzen und als die nämlich meinen großen Haus und jetzt kommt sehr darauf an welchen Definitionsbereich von diesen ob dieses Gen nachäffte Field F nachgeht definiert ist oder nicht wenn Sie die EG gleich nehmen was es für den Kosinus naheliegende Wahl ist würde der große auf ganz er definiert warum sollte man nicht denn sonst recht ganz ernennen dann haben Sie ein Problem dann würden Sie das machen was ist denn dann das Bild von G vom Definitionsbereich Was ist das Bild vom Cosinus na ja alle Zahlen zwischen minus 1 und 1 und minus 1 1 eingeschlossen komm raus wenn sie den großen muss ausrechnen und das ist eben leider keine Teilmenge vom Definitionsbereich von 11 wegen der blöden einzahlen hat also in dem Fall wäre die Verknüpfung f nach g nicht definiert das ist eben keine Funktion die auf ganz er tut
aber das Problem ist ja eigentlich ein sehr kleines das Problem ist nur dann wenn der Cosinus gerade dummerweise 1 ist wer also
Krisen wir doch mal aus dass der große muss 1 werden kann und das machen wir indem wir zum Beispiel als Definitionsbereichs von unseren Cosinus das offene Intervall von 0 bis 2 Pinien ein guter Cosinus 1 4 0 2 4 0 2 4 4 4 6 4 8 4 und so weiter und minus minus 4 pi und ich die dabei nehmen dann habe ich keine 1 Telefon Cosinus da mehr drin das heißt jetzt gilt dass das Bild von die das Intervall von minus 1 eingeschlossen bis 1 ausgeschlossen ist und damit die Teilmenge von der und jetzt können wir die Verkettung definieren 1. f nach g von X 11 von die von X also was ist FS 1 durch ein Minus das Argument also 1 durch 1 minus P von X und das es einst durch 1 Minusch Cosinus zunächst und die Verkettung von dem und jetzt sieht man also es kann ich definieren zum Beispiel für X jetzt aus nur 2 Peter das kann ich eben nicht für alle x was er definieren weil viele die X für die Kurse muss von X 1 ist die denken der Männer um die Uhr er geht der Länder gegen 0 und das wegen der braucht mehr fliegt die Uhr so wie gesagt mit Verkettungen sicher alles
schon zu tun gehabt wahrscheinlich nicht nur die sogenannt aber das ist Essen ganz ist häufiges Konstrukt so jetzt haben wir da habe ich ihn nie Sätze von Bauart gezeigt werden 11 und den März sind dann sind also den Fall gerade um gerade wenn es auch 11 plus gehen f x G und so weiter nett jetzt kann man das gleiche natürlich im verkehrten machen also was ist wenn er des gerade sind ist dann f nach des gerade und so weiter und das ist der nächste Satz also wieder so ein Bausatz Satz der ihnen ermöglicht wenn Sie der denn sie Funktion haben die eine bestimmte Eigenschaft haben
und sie vor verknuddeln die miteinander ja also bloß mal verketten dann geht die Eigenschaft auf die Produkte verkehrt und dem Fall auf die Verkettung über also gucken wir mal wie das mit unseren bisherigen Eigenschaften Verkettung aussieht also wenn 2 Funktion f und g und die Verkettung f nach g und ich setze jetzt mal etwas salopp voraus das er von G so sind dass diese Verkettung sinnvoll definiert ist eine ganze Satz 10. ich nur wenn die Verkettung Sinn macht aber eine Verkettung Sinn macht dann geht alles was man haben will nämlich dann können Sie alle unsere bisherigen Begriffe übertragen auf die Verkettung also wenn er von gehen monoton wachsen ich hatte bisher wollen keinen Satz über die Summe von monoton wachsenden Funktion das ist auch vernünftig so bei den gibt es nicht also die Summe von so monoton wachsen Funktion muss lange nicht monoton wachsend sein aber die Verkettung ist es eben also wenn F und G monoton wachsend ist dann ist auch 11 nach monoton wachsend den gleichen Satz würden sie mit Feind hinschreiben der Achtung meiner passiert das Gleiche wie vorhin wenn sie 2 monoton fallende Funktion miteinander verknüpfen kommt auch was wachsendes war aus aber eben es bleibt das monotones aber die Polarität dreht sich um also 10 2 fallende Funktion verkittet geben das wachsendes das war B so jetzt das Ganze nicht
gerade und ungerade wenn Sie 2 gerade Funktionen haben was ist dann mit der Verkettung das kann man sich schon mit der mit meiner etwas flapsigen Methode sich gerade und ungerade zu merken überlegen gerade ließ was gerade liest die Funktion des ist der minus verschluckt sehr einfach und gerade heißt die Funktion spuckt minus aus also wenn er von dir gerade sind und sie machen es von G von minus 6 dann schlug das geht es minus und es bleibt er von die von X stehen und alles ist gerade also dann ist es nach die immer noch gerade was passiert wenn beide und gerade sind ich habe sich 11 von der von minus X an das gehen das gerade spuckt also das minus aus nahm sie 11 von minus die von X das 11 Mal das und minus aber und ich haben Spucke 2. aus und dann steht minus 11 von dir von nächster also dann ist auch die Verkettung und Ungerer der ab das gut dann kann man jetzt nachrechnen von habe ich ihn gerade und ungerade schon
vor die Text und das habe ich ihnen gerade schon
mündlich begründet also welchen ich in mal den zum Beispiel vor kann sehen wir auch warum sich da so komisch die Sache umdreht warum muss 2 fallen Funktion was wachsendes wird also was müssen wir uns anschauen binnen 2 monoton fallende Funktion hier verkehrten die und schauen wie das mit Mode von hier aus sieht was müssen wir gucken um Monotonie zu überprüfen wir brauchen 2 Elemente aus den Definitionsbereich der Funktion mit X kleiner als und wollen zeigen wenn es gehe von XP größer werden kleiner gleich die von Apps sorgen die X kleiner gleich externe SYS oder kleiner gleich noch auch okay dann ist die von x größer gleich die von y da gehen monoton fallen das ist die Voraussetzung dass die monoton fällt so jetzt wissen sie gehe von X ist größer gleich der von Y und die beiden Elemente sind im Domänen in der Definitionsbereich von 11 enthalten also können Sie auf diese Ungleichungen 11 anwenden und wir wissen
auch was mit 11 passiert wenn die von
y kleiner gleich die von X ist wenn es nicht die von y größer F und G von y größer gleich F von gehe von y nein also wir haben jetzt hier die von X und die von Y sind 2 Elemente in D F und wir wissen G von y ist kleiner gleich die von X es ist monoton fallend das heißt wenn Sie jetzt da es drauf anwenden kriegen sie F von gehe von y ist größer gleich F und G von X der also also ist
nach G von X kleiner gleich 11 nach die von jetzt an und das bedeutet gerade das diese Funktion f nach g monoton wachsend ist und jetzt sehen sehe wie aus den beiden fallen wachsen würde jedes fallen 3. da kleine equals einmal um und somit rechts halt gar nicht gut denn c und Detail hatte ich ihnen gerade schon mündlich begründet so das geht mir jetzt Gelegenheit die letzten paar Minuten zu
nutzen für das das letzte Drittel von Eigenschaften die hier noch definieren will er und das tut den dreien gut wenn ich sie jetzt ein für den nächsten Dienstag noch mal was drüber erzählt weil ich denke das was wir bisher hatten Monotonie Beschränktheit gerade ungerade sind Sachen die im 2. Fall irgendwie schon mal in der Schule da waren und die man auch irgendwie an den Grafen sich gut bildhaft machen kann und die 3 die jetzt kommen sind üblicherweise Neuland und erst mal ein bisschen sperrig es ging es gut wenn die sich schon ein bisschen sagten kann also jetzt nochmal 3 Eigenschaften die Funktion haben können einst sehen und diesen im andern Skript die verteilt zwischen 8 2 0 8 so wir haben wieder mehr Funktionen mit Definitionsbereich und Wertebereich D F und Besen Teilmengen von R und der ist in der Funktion von DF nach Biel so und die heißt jetzt 1. es kommen 3 lateinische Wörter in jektiv wenn dann Folgendes gilt schreibt dass man dann drehen wir drüber wenn für alle x 1 und x 2 aus dem Definitionsbereich also wann immer sich 2 Elemente vom Definitionsbereich hernehmen die bitte verschieben sind also wenn sich 2 der mit dem dem sonst bereichern X 1 ist ungleich x 2 und dann muss immer gelten dass dann auch F von X 1 und gleich F von X 2 ist was heißt das übersetzt das heißt wenn sie 2 verschiedene Zahlen die Funktion eingeben kommen auch immer 2 verschiedene Zahlen rauchst er damit fällt hoffe ich sofort ein Beispiel der Funktion ein die nicht in tief ist also ganz brutales Beispiel sind die Funktion konstant 5 dies nicht ihn jektiv weil egal was der Einspruch muss kommt immer 5 raus und in ihr tief sagt Jarno wenn Sie 2 verschiedene eingeben müssen immer verschiedene Zahlen aus comma dass das ganze Limited und die andere typische ich in die aktive Funktion des X Quadrat nur weil 2 Quadrate sehr wie minus 2 Quadrat ist das heißt wenn Sie der Funktion 2 und minus 2 zu essen geben kommt man das selbe raus und das darf nicht sein man gibt diese Funktion wäre X oder x hoch 3 das ist der Begriff in der Tiefe
und wie gesagt ja wenn Sie den Begriff einmal mit und spielen Sie müssen mir darum suchen sich noch 2 5 Funktion die in der sind und das gleiche und von Funktion die es nicht sind und suchen sich von Funktionen die das was jetzt kommt subjektiv sind so jektiv ist auf den 1. Blick was völlig anderes ich hatte ihnen gesagt ohne Funktion brauchen Sie Definitionsbereich würden werde Bereich des F und Bild und bei den Wertebereich setzt man aus guten Gründen nicht voraus dass der komplett getroffen wird also dass jeder Punkte werde Bereich auch ein Wert in ein Liter Funktion ist aber Funktion für die das gilt natürlich besonders schön und das sind genau die solche Themen also solche Themen sind die wo das Bild gleich dem Wertebereich ist wer also wieder period im Wertebereich B wird auch getroffen das sind die sogenannten so reaktiven
Funktionen und das dritte ich hatte gesagt dass eintritt wertvollen Eigenschaften das man sich bijektiv und bijektiv S nichts Neues sondern die Kombination der beiden also wenn der Funktion beide schönen Eigenschaften hat das heißt es in jektiv und so jektiv dann nennt man sie in die Ecke so und solche Direktiven Funktion haben war wunderschöne Eigenschaften über die unterhalten uns nächste Woche aber nehmen Sie einfach schon mal die 3 Begriffe mit und versuchen sehen dem Wissen rund zu spielen bis dahin dann bis nächste Woche für das Wochenende und der auf
Ebene
Einfach zusammenhängender Raum
Algebraisch abgeschlossener Körper
Polare Darstellung
Natürliche Zahl
Gleichungssystem
Gleichung
Komplex <Algebra>
Division
Zahl
Gradient
Lösung <Mathematik>
Komplexe Ebene
Polynom
Multiplikation
Elementare Zahlentheorie
Verbandstheorie
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Reelle Zahl
Strahl
Nullstelle
Komplexe Zahl
Koordinaten
Kreis
Lösung <Mathematik>
Komplexe Ebene
Radius
Elementare Zahlentheorie
Polare Darstellung
Momentenproblem
Polarkoordinaten
Komplexe Zahl
Gleichungssystem
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Exponent
Einheitswurzel
Positive Lösung
Gleichung
Zahl
Geometrische Figur
Ebene
Radius
Kreis
Fünfeck
Zusammenhang <Mathematik>
Aussage <Mathematik>
Zahl
Linie
Viereck
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Homogenes Polynom
Gerade Zahl
Gleichseitiges Dreieck
Einheitskreis
Eins
Funktionentheorie
Ecke
Zusammenhang <Mathematik>
Polare Darstellung
Fortsetzung <Mathematik>
Gleichung
Zahl
Lösung <Mathematik>
Komplexe Ebene
Betrag <Mathematik>
Ende <Graphentheorie>
Homogenes Polynom
Einheitskreis
Geometrische Figur
Ecke
Sinusfunktion
Faktorisierung
Erweiterung
Polare Darstellung
Grad 5
Algebra
Einheitswurzel
Gleichungssystem
Gleichung
Zahl
Gradient
Konstante
Lösung <Mathematik>
Komplexe Ebene
Kubische Gleichung
Polynom
Betrag <Mathematik>
Ende <Graphentheorie>
Homogenes Polynom
Eigenwert
Reelle Zahl
Fahne <Mathematik>
Komplexe Zahl
Nullstelle
Näherungsverfahren
Mathematiker
Koordinaten
Sinusfunktion
Komplexe Ebene
Polare Darstellung
GERT
Einheitswurzel
Kartesische Koordinaten
Biprodukt
Addition
Darstellung <Mathematik>
Exponent
Gleichungssystem
Kartesisches Produkt
Zahl
Dreieck
Richtung
Summe
Komplexe Ebene
Variable
Multiplikation
Polarkoordinaten
Einheitskreis
Reelle Funktion
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Komplexe Ebene
Menge
Reelle Zahl
Blackbox
Eindeutigkeit
Element <Mathematik>
Wertevorrat
Urbild <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Teilmenge
Sinusfunktion
Parametersystem
Umkehrfunktion
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Homogenes Polynom
Menge
Reelle Zahl
Welle
Umkehrung <Mathematik>
Urbild <Mathematik>
Teilmenge
Variable
GERT
Reelle Zahl
Urbild <Mathematik>
Wertevorrat
Funktion <Mathematik>
Teilmenge
Sinusfunktion
Quadrat
Zusammenhang <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Nummerierung
Funktion <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Kapazität <Mathematik>
Sinusfunktion
Betrag <Mathematik>
Gleichmäßige Beschränktheit
Wertevorrat
Zahl
Schranke <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Graph
Betrag <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Positive Zahl
Punkt
Momentenproblem
Negative Zahl
Punkt
Polynom
Quadrat
Exponent
Symmetrie
Kosinusfunktion
Quadrat
Exponent
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Graph
Symmetrie
Achse <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Parametersystem
Polynom
Ganze Zahl
Funktion <Mathematik>
Monster-Gruppe
Summe
Multiplikation
Gewichtete Summe
Summand
Ruhmasse
Biprodukt
Funktion <Mathematik>
Summe
Multiplikation
Momentenproblem
Strukturgleichungsmodell
Zahl
Gradient
Funktion <Mathematik>
Teilmenge
Linienmethode
Quadrat
Menge
Funktion <Mathematik>
Kosinusfunktion
Quadrat
Funktion <Mathematik>
Teilmenge
Kosinusfunktion
Zahl
Funktion <Mathematik>
Teilmenge
Kosinusfunktion
Summe
Biprodukt
Funktion <Mathematik>
Ungleichung
Zeitbereich
Teilmenge
Quadrat
Tiefe
Gleichmäßige Beschränktheit
Wertevorrat
Zahl
Funktion <Mathematik>
Wertevorrat
Ecke
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Reelle Zahlen
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 10
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35645
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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