Bestand wählen
Merken

Polynome, Folgen und Konvergenz

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
so genau sind die Meinungen der immer so sein dass er verlängert werden an der TU Darmstadt 2. Mal herzlich
willkommen zur Fortsetzung der Vorlesung über Polynome ich habe zum wieder reinkommen noch nochmal die Folie vom letzten Mal aufgelegte besonders Schema da hat der gesehen wenn sie Polynom haben und sie wollte seine Stelle auswerten wenn das sehr angenehm mit diesen Schema das wissen ein gängiger Algorithmus und was plus rausfällt ist diese Zahl 10 0 den den Wert angeht er von der Stelle des und nicht nur das sondern das besonders Thema liefert Ihnen auch New Faktorisierung des Polynoms was passiert wenn Sie diesen ja Faktor X minus P ausklammern was dann übrig bleibt das es steht in diesem Koeffizienten sehe ich auch ich will die heutige Vorlesung beginnen mit dem kurzen Ausflug er Polynome jetzt nicht mehr reden mit reellen Zahlen sondern Polynome über den dabei bei der komplexen Zahlen und in im wesentlichen sagen das auch wenn die komplexen Zahlen vielleicht für den ein oder anderen noch etwas schräg behaftet sind das eine gute Idee ist Polen oder C anzugucken weil das Leben in C wird nur einfach auch nicht schwieriger das ist soll die Messe setzt diese erst 10 Minuten sein weil das 1. ist erstmal mal alles was wir bisher gemacht haben geht genauso also es wird alles auf keinen Fall komplizierter was ist jetzt erst mal ein Polynom über C genau das Gleiche wie bei er mit dem Unterschied dass sie jetzt eben komplexe Zahlen einsetzen und man deswegen üblicherweise Z ich X schreibt aber das eine Schreibweise aber ansonsten Segen Polynom genau so aus also es ist mir so mehr mit N plus 1 zum anderen zahlen J multipliziert mit dem Potenzen Zelthoff J nur das zählt jetzt eben jetzt komplexe Zahl ist und die Zahlen an 0 bis A die Koeffizienten komplexe Zahlen sind und damit das Ding wieder gerade in hat am nicht 0 aber ansonsten ist es genau das Gleiche nur dass alle Beteiligten Größen jetzt komplett sind komplex sind aber da man in C eben genauso schön rechnen kann wenn er geht alles genauso und zum Beispiel auch das Frauen stehen mehr funktioniert genauso in C wenn er war und ist die wird auch genau die gleichen Informationen also machen wir noch auch zum sorgt sich wieder
dran gewöhnen nur mal ein Beispiel für andere Schema nehmen wir uns ein komplexes polynomieller was ist zum Beispiel ein komplexes Polynom das Polynom Z Quadrat plus Email Z plus 3 komplizierten dürfen jetzt komplex sein in dem Fall habe ich jetzt nur 2 Räder und einen komplexen Courbet gewählt also einmal Z beraubt plus immer Z 3 10 paar komplexes Polynom und dann wollen wir suchen wir mal auszuwerten was rauskommt wenn sie I einsetzen und wenn man das macht kann man das
genauso mit dem Horner schlimmer machen wie die ganze Zeit was müssen sie besonders schlimmer machen sich schreiben sich die Koeffizienten neben einander die Stelle an der sie einsetzen wollen E und die 0 und dann rechnen Sie nach dem bewährten Schema im mehr senkrecht addieren 1 plus 0 bis 1 und dann in die nächste Spalte Schreck hoch mit dem multiplizieren einmal wie Sie wieder agieren E-Plus es 2 E das multiplizieren Sie wieder mit E 2 I E 2 minus 1 ist minus 2 addieren gibt 1 also wissen wir zum einen er von der Stelle I S 1 für die die es immer noch nicht glauben rechnen es zu Fuß nach setzen Sie I eigentlich Quadrat ist minus 1 plus Email weil es nochmal minus 1 also minus 1 bis minus 1 minus 2 plus 3 ist 1 passt und was wir auch noch kriegen ist wieder die Faktorisierung
also 11 von zählt es ist zählt minus die eingesetzte Stelle Zeit minus ihn mal das Polynom das durch die beiden Zahlen 1 und 2 I gegeben ist also das Polynom Z plus 2 E plus den Wert an der Stelle die also plus 8 zwar das ist die letzte Zeile von der Folie für diesen Spezialfall und diese Faktorisierung des diese dachte Ballons gilt für alle Z ausziehen also so weit ist immer sind alles was wir bisher alle alles was den er mit Polynom machen können können Sie auch 10 Polynom machen es wird also alles es wird also nichts komplexe oder schwieriger und dann kommt jetzt der zweite
Teil im Gegenteil es wird alles schöner weine das was Sie in dem er das Problem es ist die ganze Fragerei nach Nullstellen von Polynomen und jedes Mal schon gesagt das Problem ist man weiß im Allgemeinen nicht wie viele Wunden Nullstellen Song Polynom hat und das kann eben passieren sie am ein Polynom schön hohen Grades es trotzdem keine Nullstelle hat und das macht die ganze Nullstellen Sucherei nervig und die ganze Theorie der Nullstelle denn er ist ein einziges Grauen und jetzt kommt der zentrale Satz der sagt warum sie alles Schönes das ist der Satz jenen ihre rund 2 12 und der hört auf den Namen Fundamentalsatz der Algebra und wenn der so heißt kann man sich schon vorstellen der gehört nicht zu den unwichtigsten und den kann man ganz
kurzen schreiben wann immer sie ihren vorgenommen das können mindestens gerade einzahlt es gibt natürlich auch in komplexen Polynome vom Grad 0 die keine Nullstelle H 1 zumal für das Podium konstant 5 bei dem Polen von kannst konstant 5. stark gerade 0 können sie sehr lange nur Stellensuchenden suchen sie denn keine finden dafür sehr sehr viele 5 Stellen aber jedes Polynom vom Grad größer gleich 1 sagt der Satz hat immer eine Nullstelle in sehen und das ist schon mal schön weil das was ist was wenn er mich hat der geht problemlos Polynome vom Grad größer gleich 1 die keine Stelle haben x Quadrat plus 1 ist der Klassiker das das hätten sie nicht und das schöne ist was bedeutet dass sobald sie gerade 1 haben
haben Sie den Nullstelle das heißt die können Sie dann immer ab dividieren und wenn Sie jetzt noch ein Polynom übrig haben dann haben sie Polen von gerade 1 weniger wenn das der gerade immer noch größer gleich 1 es haben sie wieder eine neue Stelle können Sie wieder ab dividieren können sie wieder ab dividieren solange bis nur noch im vollen Umfang gerade 0 übrig haben oder anders gesagt er jedes Polynom über C lässt sich in den ja Faktoren zerlegen das was meinen er nicht recht was immer einer auf es funktioniert in C sie können wir das Polynom über C in den ja Faktoren zerlegen das ist direkte Folgerung aus diesem Fundamentalsatz der Algebra aber wann immer sie das übrig haben was noch kein Jahr Faktor ist sondern gerade größer 1 hat sie sind eine neue Stelle raus und dann ziehen sie nach einer aus solange es nicht mehr geht noch eine andere Formulierung der gleichen Erkenntnis jedes
Polynom vom Grad n größer gleich 1 Holi also wieder vom Grad größer gleich 1 hat dementsprechend wie viele Nullstellen zumindest dann wenn sie mit Vielfachheit zählt also mit Vielfachheit gezählt jedes Mal wenn sie nur das nur Stelle finden können Sie sie ab dividieren und wenn Sie sie ab dividieren
geht der gerade um 1 runter das heißt mit Vielfachheit gezählt hat jedes Polynom vom gerade größer gleich 1 in CEE genau n 0 stellt wir in wohl vom gerade 37 haben dann können Sie sicher sein es gibt 37 komplexe nur müssen sich alle verschieden sein ist natürlich der fünffache Nullstelle haben zählt die auf Mark dann gibt es noch 32 an das ist eine schöne Struktur Aussage über Polynome und das ist genau die die einen er fehlt und das ist einer der Haupt jetzt da ich mal in der mathematischen Gründe warum die komplexen Zahlen so wichtig sind weil sie eben diese schöne Eigenschaft haben das sehe für jedes Polynom das nicht gerade eine konstante 5 Funktion ist Nullstellen garantieren und in diesem Sinne ist auch die Motivation sich in gegeben habe warum man nach C gehen es gibt den er immer noch gleich um die wir nicht lösen können damit erfüllt ja jede polynomialen Gleichung gesehen schreiben können es damit dem Ziel los war wir jede polynomialen Gleichung dann Sie als Nullstelle Probleme Polynome schreiben und damit haben sie immer wieder dass das schöne ansehen und wie gesagt man verliert nicht das es wird nicht viele junge C geht es wird nur besser zumindest solange mit Polen um zu tun hat das ist die Messe sind von diesen Teil der Vorlesung ich würde gerne noch 2
kommentarlos werden zum Thema finden von
Nullstellen weil das auch gestern nach der Vorlesung noch mal Thema war ich hatte er sich den rauen eingeschrieben haben gesagt hat wir können jetzt über die 0 stehen ab dividieren die Nullstelle vorher gegeben aus gutem Grund das Problem also was wir da gesehen haben wenn sie nur Stelle haben ist klar wenn man ab dividieren kann dreimal den Horner draufgehauen gut ist dies große Problem ist wo sie nur Stelle hier kriegen wenn ich ihn schon mal gesagt im Allgemeinen gibt es dafür gar kein Verfahren ab alle ab in größer gleich 5 ist sogar beweisbar dass es keine Formen gibt also eine allgemeine Formel für schreiben ist nicht was geht da Methoden sickern beraten beliebte Methode wenn die Polynome nicht zu kompliziert aussehen oder was dann übrigbleibt einzige Chance wenn das Polynom nicht aus Übungsaufgabe kommt und so konstruiert ist dass man raten kann sondern das Polynom aus nur formal Realwelt Anwendung kommt sprich aus mir Messreihe und den Währungs- Polynom durchgezogen und das hat irgendwie die die Währungs- Koeffizienten hängenden Messwerten sind dementsprechend solche Zahlen mit 4 Nachkommastellen dann wenn sie nur Stimmen nicht raten wir sondern dann ist die einzige Chance numerisches Näherungsverfahren anzuwenden das auf dem Computer läuft und Ernährungsweisen durch den bestimmt waren wie man das macht darauf kommen wir noch ich kann Ihnen noch eine theoretische Hilfe geben geht aber für das Währungs- Polynom dass sie aus der konkreten Anwendung kriegen auch nichts hilft nur noch 14 Abschluss dieses dessen was ich mir Polynome sagen wir noch eine kleine Hilfe zum wenn sie es mit reellen Polynom zu tun haben also wenn Sie in Polen das heißt also ich nehme komplexes Problem Nummer mitdrehen Koeffizienten also Sie haben Polynom A J Zelthoff J ein Polynom und die entscheidende Voraussetzung hier ist die Koeffizienten a 0 bis 1 diesen Trainer dann gibt es eine die Dimethoat eine Methode wenn sie der Nullstelle haben dann finden Sie damit noch eine zweite also gehen wir davon aus sich irgend ein Orakel oder glückliches raten haben sich schon eine Nullstelle Z 0 gefunden irgendwo her dann kann ich ihn verraten Sie noch eine finden nämlich einfach durch Komplex konjugieren also wenn sie in Nullstelle haben dann ist auch Z 0 klären und stellt das geht aber nur wenn das Polynom Rielle kompetenten hat er aber dann geht immer das nutzt sie natürlich wenig wenn das Z 0 wählbar 1 Z nur er war dann ist selten und quer keine besonders neue kein besonders neue Nullstellen der aber wenn es ne komplexe waren haben sie damit gleich eine 2. ja da meine Frage danke Z hier auf das Ende ziemlich er hat doch die soll ist der Grad der WZO und ja gut er warum das so ist kann ich kann man in 2 Zeilen schreiben warum ist das so also wir wissen Z 0 es Nullstelle das heißt wir wissen die Summe ja gleich 0 bis N A J Z 0 hoch hier hat dies 0 1 dass es genau die Aussage Z 0 ist 0 Nullstelle
so und dann schauen wir uns doch mal an was ist wenn sie Z 0 quer einsetzen J nur gleich ja gleich 0 bis Ende A J Z 0 quer auch J und dann müssen wir die ganzen Rechenregeln bemühen die ich in dem Gebiet über komplexe Zahlen erzählt habe und da ist es zum Beispiel wenn Sie 2 komplexe Zahlen nur die also wenn dieser Wechsel Zahlen queren und multipliziere dann können Sie auch erst beziehen und dank wären also das ist das gleiche wie J Z 0 hoch J quer und weil das faserige Z 4 mal weg wir SZ mal weg wir und die haben sie jetzt den Z 0 quer Mahlzeit Notwehr mal nur close bracket erneut kann sie den Querstrich auch ganz oben drüber ziehen so dann müssen uns überlegen AJ war aus ja ja 10 reelle Zahlen und wenn sie eine reelle Zahl queren und dass sie dabei nicht viel das heißt J und AJ quer sind identisch ja da kommt nicht das von was ich gerade schon gemacht haben weiter 10. nun Woche J Quelle so jetzt werden da wieder die Regel anders wenn sie 2 geldwerte Zahlen multiplizieren können Sie auch er erst multiplizieren und dank wären also meine Querstriche ganz drüber und schlussendlich aber bei komplexen Zahlen noch die Regel
Z quer bloß weg wir ist sehr plus W quer vor ja Summe von geklärten komplexen Zahlen da dürfen sie auch erst zu mir und dank wären also haben so gleich 0 bis in A J Z nur noch J quer für meine ganz großen Querstrich das alles die Rechenregeln für Square aber was die geht hier unten diese ganze große Summe sie zu groß aus ist wenn Wahrheit relativ kleines nämlich Nool 13 0 7 0 Stelle und 0 quer bis 0 also ist auch Z nur quer durch den und der ganze die ganze Rechnung hängt natürlich ganz extrem an diesem Gleichheitszeichen hier und das funktioniert nur wenn ja gleich Albert Quest dazu brauchen serielle Kurve gut der das ist das was ich zum Thema Polynome sagen wollte jetzt Thomas wollen wir nur noch ein bisschen weiterarbeiten man kann das Polynom jetzt wieder neue Funktionen bauen bis hin zu zeigen nix kompliziertere Klasse das geschieht nicht dadurch dass man 2 Polynome agiert wenn sie zur Pole Nummer dir komme dem Polo Brause wenn Sie 2 verloren multiplizieren dann wieder wollen noch aus aber wenn sie 2 Volumen die Ideen dann kann es Ihnen passieren dass keine wollen um rauskommt sondern das dann rauskommt sind sogenannte rationale Funktionen und das ist der
nächste abschnitt also 12 15 eine rationale Funktion eine rationale Funktion ist eine Funktion die sie kriegen als Quotient von 2 Polynom also in dem sich 2 Polynome P und Korea üblicherweise sehr häufig Polynome T das ist naheliegend und das nächste Eiszeit Q so und dann kriegen Sinne Funktion in dem sie die Beine durch eine dividieren also F von X ist P von X durch Q von X mit X aus und da muss man jetzt aufpassen Polynome wann auf ganz er definiert der Bruch hier kann natürlich in die Brüche gehen sobald das Q 4 0 hat da unten also da müssen wir jetzt da gleich nach dem richtigen Definitionsbereich suchen das Ding denn meine rationale Funktion wir sowie rationale Zahl Bruch von 2 ganzen Zahlen ist zur sehr rationale Funktionen Bruch von 2 Polynom ja was sind Beispiele werde Funktion des nicht
überraschend sind das kriegen Sie alles kurz von brechen der als Quotient von Polynom zum Beispiel eines durch Quadrat plus 1 natürlich kann noch oben Spannenderes Polynom stehen x so 4 minus 1 durch x Quadrat plus 2 aber zum Beispiel auch x 7 minus x auch 3 plus X minus 1 wenn Sie seine so das ist doch keine Rats Ladefunktion das Polynom richtig aber nach der Definition der oben so noch Polynome rationale Funktion wenn Sie einfach Q gleich 1 kV trug konstant 1 wunderbares Polynom ja also in dem Sinne sind die rationale Funktion einfach mehr als die Polynome die enthalten auch die um scho wir nähern wir uns
mal diesem Problem das wir uns jetzt ein gehandelt
haben dass wir nicht mehr auf ganz er definiert sind im Allgemeinen nur das Kokain Nullstelle haben des Color Stelle hat steht und dem man eine Nullstelle und dann haben sie im Allgemeinen Probleme mit der Definition von 11 er jetzt ist das Proben jetzt geht an der Stelle Gott wirklich sagen gut des F sind einfach alle die Zahlen er die keine Nullstellen von Q aber das ist zu kurz gesprungen weil es könnte sein dass P die gleiche Nullstelle hatten dass die sich daraus kürzen und der deswegen wenn ich sozusagen in Normalform eine rationale Funktion einführen also merken 2 17 man keine rationale Form immer so darstellen dass man so Dinge wie Definitionsbereich ablesen kann und das meine ich mit Normalform und dies von der Form der Brand seine Funktion hat unser bisweilen ein polynomialen Anteil und Sie da oben das 3. Beispiel und dann kommt der Rat der Zeitanteil der nicht polynomial ist das ist dann der Quotient von 2 Polynom P Schlange und Co Schlange wobei also 1. H P Schlangen Q Schlange immer noch Polynome sind aber nun nicht irgendwelche sollen man kann durch
das H und und ich er durch entsprechendes kürzen dafür sorgen dass 1. der gerade von dem P Schlange strikt kleiner ist als der gerade von dem Q schlagen und das 2. P schlagen und Co Schlange keine gemeinsamen Nullstellen mehr haben wenn die beiden noch eine gemeinsame Nullstelle haben dann können Sie oben und unten in den ja Faktor X minus diese Nullstelle ausklammern und dem kürzen nur auf die Weise können Sie garantieren dass die Schlangen Q Schlange keine gemeinsam Nullstellen haben weil die können Sie immer daraus gut machen wir das an einem Beispiel
ja Zeller also Beispiele
2 16 L 2 18 der also ich gebe in der rationale Funktionen ich suche 3 plus 2 x Quadrat 4 X minus 5 geteilt durch x Quadrat minus X minus 2 und jetzt ist die Frage wo raus bis wir das x nehmen im Moment haben wir keine andere Wahl als mal zumindest die Nullstellen von den daraus zu nehmen was sind die vom Männer wenn sie sich denn einer der anschauen sieht man relativ schnell das zwar eine Nullstelle ist für zu 7 2 1 4 minus 2 minus 2. 0 man sie die 2 ab dividieren stellen Sie fest der Männer der ist X plus 1 X X minus 2 also die zweite Nullstelle ist minus 1 das heißt jetzt für den 1. Moment können wir nur sagen Herr X daraus er sein aber vorsichtshalber erst mal nicht minus 1 und nicht 2 der so und was man dann machten auf die Normalform zu kommen wissen
Polynomdivision und das ist jetzt die Stelle wo wir sonst nicht mehr durch den habe ersetzen können hier müssen das jetzt wirklich durchführen also was passiert wenn wir das machen Kringe X auf 3 plus 2 x Quadrat minus 4 X minus 5 geteilt durch das Männer Polynom Exporte minus X minus 2 also Polynomdivision X auch 3 durch x Quadrat gibt nix die darüber dividiert darüber multipliziert X auch 3 minus 6 Quadrat minus 2 x das Ding der oben abgezogen X noch 3 minus 6 auf 3 fällt Lexus IS gemacht 2 x Quadrat plus X Quadrats sind 3 x parat minus 4 X plus 2 x 7 minus 2 x und dann wieder die nächste Ziffer runtergeholt minus 5
so x Karte 3 x Quadrat x Quadrant ist 3 also hier bloß 3 und dann schauen was übrig bleibt 3 x Quadrat minus 3 x minus 6 und wenn wir das abziehen Dreiecks geratenes Tricks verraten viel 0 minus 2 X plus 3 x ist x minus 5 plus 6. 1 dann sehen gebunden Division geht nicht auf das hat auch niemand erwartet oder das wenn große Glücksfall wenn die aufgeht wer mir ein sowohl Polo mit besondere Polynom geteilt aber was wir jetzt haben ist was jetzt dasteht es
wird uns in guten Hinweis in Richtung Normalform weil das diese Polynomdivision jetzt sagt ist unser Problem unsere rationale Funktion f von x also das x hoch 3 bis 6 verraten dass es minus 5 geteilt ich verraten das X minus 2 das ist erstmal X plus 3 das ist der polynomial Anteil dass das was hinstellt plus der Rest geteilt durch den Männer also plus X plus 1 geteilt durch x Quadrat minus X minus 2 und das ist jetzt die Normalform noch nicht ganz war also dass es auf die Weise geschafft haben ist wenden polynomialen Anteil abgespalten das X plus 3 der Zeller der gerade vom Teller Polynom es auch schon gehört kleiner als der gerade von den abholen um das muss so sein dass am Anfang nicht so für das die Normalform hätten wir gern dass der Zähler Gral klein das ist sei der gerade das ok aber wir haben noch gemeinsame Nullstellen wenn Sie sich erinnern seit ich ihn oben geschrieben dieses Zeller Polit Nenner Polynom können Sie faktorisieren als X plus 1 X X minus 2 Witzigmann das X plus 1 können Sie einmal kurz sind und was dann als normal vom übrigbleibt ist
Express 3 plus 1 durch X minus 2 3 das ist die normal fahren jetzt ist alles erfüllt sie haben das ganze SHA Polynom H plus Polen Schlange durch Polen und Co Schlange gerade von die Schlange ist kleiner als gerade von Q schlagen wir gerade von der 1 ist kleiner als der gerade von X minus 2 und die beiden Pole nur mit einem Bruch haben keine gemeinsamen und stellt das obere hat gar keine Nullstelle insofern es auch schwierig wir gemeinsam ins kriegen und was man jetzt hier auch sieht wir waren am Anfang zu
vorsichtig das was das lange heißen soll das ist einfach nur ein und anderes Polen nochmals P was aber irgendwie zu P gehört ja ich jetzt auch der K und allen können einen Buchstaben aber ich wollte näher zu dem P dokumentieren also das Schlange ist keine Rechenoperation oder so was bislang ist einfachen Andres Polo lange im Sinne von ein abgewandeltes P da mehr die anfangs er vor sich das wäre aus den Definitionsbereich die 2 rausnehmen war gerechtfertigt die 2 dürfen sie auch hier nicht einsetzen nur minus 1 ist kein Problem mehr wenn die Nullstellen minus 1 herzlich die Männer war die hat sich das Kürzen erledigt also dass man ihren jetzt auch sieht eine normale Frauen ist es ist sogar auf der Menge er ohne jetzt 2 definierbar und die minus 1 können sehr dazu muss man das es natürlich Normalform umschreiben wenn sie die dem Buch von oben stehen lassen es einfach mal minus 1 nicht einsetzbar bei den Männern und in der Rostock gut wer noch ein Bildchen braucht
es noch der gerade von der Funktion ich
versuche mich mal also x-Achse F von X 1 2 sehr spannende Stelle 3 4 5 6 solle Mitte rauskriegen was hier passiert schauen wir mal was passiert zum Beispiel wenn sie 0 einsetzen wenn Sie 0 einsetzen steht der 3 bloß minus Inhalt also zweieinhalb die Funktion geht also hier durch diesen Punkt 0 2 in Halle er dann hat sie ohne neue Stellen diesen Arbeit 2 und es gibt 2 für die Funktion wichtige geraten das eine ist die hier wir an der Stelle x gleich 2 passiert irgendwas mit dem was sich da passiert immer noch aus meiner setzen und dann gibt es diese gerade X plus 3 Absagen X plus 3 die schon drin steckt hier 3 sind gleich X plus 3 sieht so aus bitte ja und das jetzt erst kann das folgende Funktionen die schmiegt sich hier an diese gerade an es geht hier durch 0 zweieinhalb und dann kommt der große Absturz zur dann geht zu durchs unendliche und kommt von oben wieder und schmiegt sich schließlich wieder hier an die gerade an von der anderen Seite für Sie das denn auch gut
und Sie sehen diesen vor ist gut zum einen gut um zu wissen was darf ich für die Funktion einsetzen aber man kann er ja auch sehr viel der Features vom Grafen direkt ablesen hat die Probe diese Stelle an der die Funktion hier des unendliche läuft die sogenannte Paul Stelle die sieht man direkt in den Armen und diese sogenannte Asymptote also die gerade an die sich unendlichen anschmiegt die steht auch direkt da das ist dieses X plus 3 der polynomial Anteil er ich will noch keine kurz diesen Begriff vorstelle beleuchten
wir also diese Stelle 2 dies ja offensichtlich von dieser Funktion die spannende Stelle passiert ganz viel das nennt man eine Pole stellen das ist ein Phänomen das sich beim Polynom nicht auftauchte Polo müssen auf ganz er definiert solche komischen Stellen wo die plötzlich nach endlich absaugen es gibt 2 Dinge nicht und das nennt man in meinem
vorstelle wäre denn wenn ich kurz den Begriff vielleicht gerade noch kurz einführen also wenn Sie 2 Polynome haben und F von X ist eben die ganz ratsam die rationale Funktion die Sie kriegen wenn sie P durch Kuhstall dann nennt man Dipol Stelle dann ist jede Nullstelle des man das die keine Nullstelle des Zählers ist nur sinnvoll gesehen denn kann durchaus wird gerade bei dem Beispiel minus 1 war Nullstelle vom Männer bei minus 1 bis ich überhaupt nichts Spannendes war fix gleich minus 1 Yen dem Bild würden sie niemals sehen dass das eine interessante Stelle war aber wenn Sie mir neue dass man das haben die keine neue Stelle des Tellers ist dann kriegen Sie solche unendlich Effekte bei der mithin solche vorstellen also wenn sie nicht alle B haben und die eine elffache Nullstelle von Q also vom Männer und keine Nullstelle vom Zähler also P von B ist ungleich 0 wenn Sie mir kratzen alle Funktion haben und die Stelle oben und unten der Nullstelle ist dann müssen sie wieder oben unten Delia Foto aus Klammern und die Nullstelle raus kürzen solange bis sie entweder unten verschwinden wenn und verschwindet dann weiß keiner vorstellen weil dann ist sie weg dann kann man jetzt durch diese Zahl einsetzen oder bis sie oben verschwendet dann ist sie noch nicht vorstellen aber sie kucken wie auf dem nur das Ding noch als Nullstelle unten übriggeblieben ist und dann nennt man das eben in dem Fall jetzt hier einen elffache Paul stellt mehr also dann
nennt man diese Stelle B elffache Paul Stelle auch ganz oft L x abholen also dieses Wort Wort Stelle lässt man gern weg von F und wenn man sich jetzt im 1. das Beispiel von oben zurück gehen wir dass die
die Funktion noch X plus 3 plus 1 durch X minus 2 der ist das X minus 2 der einfache Nullstelle des Zählers und keine dass man dass er sich an seinen einfachen Poe und einfach Alkohol sieht in Grafen immer so aus wie wenn wir hier gemalt ist so das
ist ein kurzer Ausflug in die rationalen Funktionen wir kommen auf dieses asymptotische Verhalten später noch mal zurück aber um auf dieses also tut mir also was wir gesehen haben wie es die Segler gerade X plus 3 für diese Funktion von großer Bedeutung und so die Formulierung Signal für ganz große ix für iX gegen unendlich für x nahe unendlich da hält sich die Funktion des Xpress 3 und was sonst noch viel diesen Service Instrumentarium um solche Aussagen sauber mathematisch zu formulieren das ist so ähnlich wie für ganz große X ist ein bisschen ich wasche nur und das werden wir das ist diese Frage wie kann man das sauber präzise machen und wie kann man wie kann man diese diese Aussagen der Form Verhältnisse sowie in der Nähe also für ganz groß und ganz kleine X wie kann man da noch einmal der malischen Kalkül machen die Kammer das in Formen pressen das ist eigentlich das Hauptthema dieser Vorlesung Mathematik 1 komme zum nächsten Wochen drauf das würde uns hauptsächlich beschäftigt und was wir den sie sehen schon das Problem einem Wischiwaschi ist man muss quantifizieren was es bedeutet für ganz große X immer muss quantifizieren was es bedeutet ist ganz nah dran und was man zu machen muss man muss den Begriff für Sohn endlich im großen und fürs unendlichen kleinen haben also brauchten Begriff für ist das für ganz große X muss unendlich im großen beherrschen über muss auch das ganz nah dran beherrschen im Sinne von unendlich kleinen unendlich nah bei 0 und das ist das Hauptthema diese Vorlesung und alles was ich jetzt mache steuert da langsam daraufhin gut und hier sehen sie aus und zum Thema wir brauchen an dieser Stelle ein sprach Werkzeug das genaue ist alles so ungefähr wie wenn die X ganz groß in 2 3 Wochen sind wir so weit an während es gibt es vorbei damit mit den Vorbereitungen wirklich anfangen noch ein kurzes Kapitel er in diesem Einführungszeit Überfunktion und zwar mächtig nochmal auf die trigonometrischen Funktionen zu bekommen das Kapitel
3 trigonometrische Funktionen das waren Sinus Kosinus Tangens Ko Tangens wir hatten wir schon mal bei unserer Behandlung der Geometrie in der Ebene an geschaut und was ich jetzt im Wesentlichen machen will 11 unser einen Katalog von Eigenschaften die Funktion haben können mal auf diese trigonometrischen Funktionen werfen und schauen ob die gerade ungerade und so weiter sind ob die monotonen sind bei monotones gut weil dann wenn sie zu diesem Stückchen monoton sind dann können sind sie dort vielleicht den jektiv und dann können wir sie vielleicht umkehren können die Umkehrfunktion definieren und das ist jetzt das Hauptziel dieses Abschnitts also mal kurz Erinnerung an die Definition was waren Sinus und Cosinus dass bei mir das gleiche Bild stellen sie müssen Cosinus definiert man oder stellt man sich am besten vor über den Einheitskreis
also 7 Kreis vom Radius einsehen das ist immer leicht gesagt in der Vorlesung schwer getan also dann versuchen wir das Glück nicht zu also ein Kreis vom Radius 1 der also das hier Klänge 1 fernsehen period auf dem der Kreislinie wo man sie hier Lot auf die X-Achse Fällen dann wird das in hier wenn Sie den Winkel alpha dieser Abstand hier gibt ihnen Cosinus Allvar und dieser Abstand hier auf der y-Achse ist von Ver und das Ganze kann man jetzt März kann man das einfach immer größer machen und man kann im Prinzip mit dem Alfa beliebig oft sich darum dreht und man kann sich anders rum drehen mit dem Alfa dann kriegt man negative Winkel auf die Weise kann man die Definition für alle als sein R ausbreiten und dass man sofort sieht das wiederholt sich ständig ja einen wie mit dem Eifer darum laufen kommt eine zweite die das gleiche raus und das ist das was man die Periode zität dieser Funktion
nennt also diese beiden Funktionen Sinus und Cosinus 10 2 P Periode ist und das bedeutet genau das gerade gesagt das bedeutet das wenn Sie sehen das von X haben und jetzt laufen sie noch unfähig ganzzahliges Vielfaches von 2 pi weiter dann kriegen Sie wieder das gleiche raus wie vorher wir also muss jetzt natürlich ne ganze Zahl sein aber für alle ganzen Zahlen Z es sind das von X das gleiche wie sie das von X plus 2 Kapitän das ist beredet zität und seit 2 pi Periode Sparmann man eben hier ganzzahlige Vielfache von 2 Pi er gehen muss gleiches gilt für den Kosinus sieht man an dem Bild da oben ein ich sofort dementsprechend kriegt man
den charakteristischen Grafen von Sinus und Cosinus in dem man auch diese Periode zieht erzählt man müsse noch einmal hin eine so also ein wir haben 6 haben den sehen aus von X der Sinn von 0 ist 0 das 1. H P 2 P die halbe 3 die halbe nicht überraschend spielt die Zahl Pi bei den ganzen Betrachtungen zum Sinus und Cosinus eine Rolle minus 4 halbe minus P minus 3 halbe Bier und so weiter 1 und minus 1 und jetzt muss ich mir meine Zeit dass das Glück versuchen also der Sinus von 0 bis 0 an der Stelle P halbes A 1 dann fällt er ab in dieser wieder 0 an der Stelle 3 4 halbe sehr minus 1 dann kommt in 2 P und ab jetzt sind sie 2 P weiter das heißt da wie jetzt geht es eben wieder so so groß wie von vorne je nach unten auf den Mindestgehalt der minus 1 im Industriedesigner 0 die minus 3 halbe bis 1 und so weit man das T-Sinus unter oszilliert der fröhlich für alle Zeiten so vor sich hin dann meinen wir
denn noch den Bruder Lust dazu der Cosinus ist einfacher Imprints wegen verschobener sinnlos der seine Stelle 0 1 in die Halle werden 0 in Pisa minus 1 in 3 4 halbe sowie der um 2 P diese wieder davor bei 0 war klar der werden 2 muss der gleiche sein wie bei 0 wegen der hält und dann geht alles von vorne los und genauso negativen auch wegen der Periodizität sie der genau gleich aus es geht auch in alle Ewigkeiten weiter und Sie sehen sofort eine wesentliche Formel die war von da stehen hatten wenn Sie den Sinus Obi halben allerdings gegen deren Ansehen Kosinus das sieht man an der gleich so das hatten wir noch für er was hatten wir noch für
Themen wie diese Funktion also für Eigenschaften
von Funktionen wir haben uns über gerade ungerade und über Beschränktheit unterhalten und das kann man natürlich alles klären sich auch sauber überlegen aber wenn man sich die Grafen anguckt sieht man direkt der Cosinus Grünen Linie ist denn es trifft y-Achse und das bedeutete das ist mir gerade Funktion der sehen ist punktsymmetrisch zum Ursprung das bedeutet dass sie Essen ungerade Funktion und dann wie sieht's mit Beschränktheit aus das ist bei beiden offensichtlich der Fall ja beide kommen nicht über die einst über die minus 1 raus also betragsmäßig ist der große müssen wir Sinus gedeckelt durch 1 durch 17 oder wo auch immer das auf jeden Fall zu beschränken damit comma das eine Warnung an der Stelle zum Thema beschränkt wenn wir vielleicht auch noch sehen aber vielleicht auch nicht Kursus und Sinus können Sie auch für komplexe Argumente definieren also große von Z und das von Z wie werde ich auch noch das kann ich ihn auch noch zeigen und da geht es schief der komplexe Sinus mehr komplexe Cosinus sie nicht beschränkt ganz schlimm sogar wenn sie die falsche Richtung laufen das wenn sie entlang der imaginären Achse laufen dann wachsen die exponentiell schnellen ja also die sind nicht nur nicht beschränkt sondern die und ob die Rakete also bitte aufpassen für den reellen Sinus und Cosinus gilt dass du diese Gründe die die beliebte Abschätzung Betrag von 7 immer kleiner gleich 1 aber nicht wenn ein komplexes Argument drinsteht das wird dann gern im Eifer des Gefechts ignoriert gut aber da wir nur mit da wir
keine komplexe Kosinus habe in dieser Vorlesung gerade die Gefahr gering ich sage das nur so für den für die Allgemeinbildung und für die lange das
langfristige aufpassen da so dann hatten wir damals bei den bei den trigonometrischen Funktionen noch den Tangens und den Code Tangens definiert der Tangens war dass der Quotient aus Sinus und Cosinus davor das Sinn macht also da wo der Kurse muss nicht nur das unter Codein ganz war das umgekehrte also der Quotient aus Cosinus und sehen was davor das Sinn macht also wurde sie muss nicht nur das auch da noch mal schnell die
Grafen zur die sehen völlig
anders aus die beiden Funktionen bei der mit wieder Pole stellen so haben zeigen uns an der Tanja ist ist denn nur durch Kosinus das heißt der hat seine Probleme stellen da wurde Cosinus 0 ist der Cosinus ist 0 bei Peer Heibel und bei 3 die halbe und bei minus P halbe und so weiter also die Problemstellen vom Tangens liegen hier bei X gleich 4 halbe bei es gleich 3 halbe Kli bei Aids gleichen Industrial wir das sind die Problemstellen vom teilen wir uns und ansonsten sieht der dann so aber es ist mehr nein meine beiden Astier in der kommt hier aus unendlichen angelaufen eine Stelle 0 ist der Tangens 0 nur bei drangen von 0 bis Sinus sowohl durch Kosinus von 0 also nur durch 1 ist 0 und dann läuft welche wieder hoch ziemlich stark wachsende Funktion und wenn er dann sich den ganzen bergauf durchgearbeitet habe es im unendlichen angekommen ist dann muss er wieder los klettern also eine echte Sisyphus Funktion und wenn er dann wieder oben ist na ja dann fängt dann von vorne an und so geht das doch vor auch schon die ganze Zeit und in alle Ewigkeit immer wieder den Berg rauf sein Kollege der Code Satz bisschen einfach aber da kann immer und der runterklettern oder runterfallen ja
also noch den Code eigens dazu der hat seine vorstellt an den glatten Pi Einträgen also wohl Pipi halbe der 0 P 2 P und so weiter und kommt vom unendlichen her geht nach unten verschwindet hier kommt wieder von oben runter und so weiter an Boden und muss sich in der da kommt der Herr da geht darunter und zur Zeit dass der Code also schauen uns auch die Grafen an das
Geld verdienen für diese Funktion ich das
1. ist diesen auf jeden Fall mal unbeschränkt das sieht man denke ich so vor nach die laufen auf genug zu beliebig großen Werten beide sind sie ungerade beide sind sie punktsymmetrisch zum Ursprung und sie sind beide auch Periode ich aber sind nicht 2 P periodischen sind sogar P Periode ich der Graf wiederholt sich immer schon nach der Länge Pi gut das sind und jetzt ist wie gesagt die Frage um die ich mich hauptsächlich hier können will wie sieht mit Umkehrfunktion der trigonometrischen Funktionen aus und da können Sie natürlich sofort schreien um Himmels willen brauche gar nicht erst versuchen weil wenn's Funktionen gibt den ich ihn jektiv sind dann ja wohl die nur wie oft man zum Beispiel der Tangens den Wert 0 an naja in 0 in P 2 P 3 P 4 P 5 Bier in 6 Bier wenn ich Versuch alle nur stellen aufzuzählen dauert die Vorlesung war ziemlich lang aber wenn ich die oder die 4 Rechtsabkommen noch die wenn ich viele Links also im jektiv können wir komplett in die Tonne treten weil es ist nicht nur so wurde die bei der Quadrat Funktion das einzelne Werte doppelt auftreten als Werte sondern jeder wird wird unendlich oft angenommen wir wären und was hilft dagegen das hat geholfen beider Quadrat Funktionen die mit Gewalt in jektiv zu prügeln wenn mit Definitionsbereich eingeschränkt haben gesagt wir gucken uns die Funktion X Quadrat nur für positive x an denn sie wir das Problem mit dem mehrere Werten los also mit dem wären Urbildern eines Wertes los und genau das gleiche müssen sich auch man muss halt nur noch radikaler werden er was sie machen müssen ist zum Beispiel für den Tangens sie müssen Sie Definitionsbereich jetzt nicht seien nur die positiven X das nutzt nix weil auch da die positiven x gab der Tages oder nicht viele Nullstellen stellt sondern sind im der sogar offen dieses Intervall hier nur sie nehmen sie sozusagen nur diesen einen Ast vom Tangens wenn Sie sich nur diesen Bereich anschauen dann stellt man fest oder können gut klappt das Ding es ziemlich streng monoton wachsend und in dem Sinne können wir das Invertieren eingehend auf diesem Stück die 10 Umkehrfunktion und die will ich jetzt einführen gucken was es gleich noch beim Sinus und beim großen an den Mann zu dem Bild der hoch da haben sie das gleiche
Problem natürlich sind die auch weit weg von den Yeti nach da müssen Sie sich einfach ein Stück raus suchen auf den Sinus und Cosinus Sinus so beziehungsweise Kosinus streng wachsend oder streng fallen sind und die übliche Methode ist dazu sagen für den Sinus das Intervall Indizes ist abgeschlossen von minus die halbe wenn von minus die halbe bis halbe auf dem Stück ist der Seniors monoton wachsend und für den Kosinus nennt man
üblicherweise das Intervall von 0 bis P weil auf dem Stück ist der Kursus streng monoton zeigt so und damit definieren wir uns jetzt die Unterfunktion der und das
ist diese Umkehrfunktion nennt man arglos Funktionen vom lateinischen Wort für den Bogen für den Kreis Bogen und das entspricht der Nummer 8 11 also haben sie muss an das ich ihn gerade gezeigt wenn sie den einschränken auf das Intervall minus 4 halbe Bisky halbe dann geht das mir streng wachsende Funktion und das Bild davon ist das Ganze Intervall von minus 1 bis 1 und das ist streng wachsend damit haben sehe zumindest im jektiv und da ich es Bild nur minus 1 1 genommen habe auch so jektiv das heißt es bijektiv und die Umkehrfunktion existiert und diese Umkehrfunktion kann man nicht ausdrücken oder hinschreiben mit dem bekannten sonstigen Funktion da sie so Umkehrfunktion ist keine Polynom und es ist auch kein Ge rationale Funktion seines ist was anderes was Neues und deswegen bleibt er nichts anderes übrig als den den einen neuen Namen zu geben und diese Unterfunktion nennt man den Akkus aus kurz vorm Ajax siegen und das ist jetzt natürlich nur Funktion vom Bild vom Sinus auf den Definitionsbereich von Sinus sowie gewählt also der Funktionen von minus 1 1 nach minus die halbe Pi halbe und das ist den heißt eben Linux ja dass die Umkehrfunktion parierte
diese Unterfunktion können Sie angeben wir also sie wissen sehen von 0 ist 0 also Umkehrfunktion musste Akkus Sinus von 0 8 0 sein wenn der Sinus 0 ausspuckt muss der wertvollen 0 gewesen sein oder wissen zum Beispiel gucken so meine Tabelle die ich nahm Anfang gegeben habe Sinus von P 6 ließen halten damit kriegen Sie zum Beispiel dass der Kosinus von Inhalten B 6 zu das sind aber man kann jetzt jeden sobald man einen Wert vom
Sinus weiß liefert ein dass man sprechen wird vom Augustinus genauso kann großen behandelnden oben am Bild gesehen wenn Sie den großen das auf dem Intervall 0 nehmen den bildet der das auf das Intervall minus 1 1 ab und ist das streng ist auch mit dabei 0 P streng fallend das heißt auch den können sie umkehren und diese Umkehrfunktion ist derart Co-Star Cusco sinnlos der Funktion die jetzt auf minus 1 1 definiert ist auf das Intervall nun Pi geht und in den Kursen aus umkehrt heißt Kosinus auch da kann man
jetzt so weit sind wir von Cosinus haben können aus dem Wert vom Akkus Kursus in schreibe ich mal mal die
Grafen von den beiden Dienern hin also diese mit
beide definiert auf dem Intervall minus 1 1 er hat gesehen dass unter Akkus aus da mal Pi halbe hin Martin dann brauchen wir noch minus 4 halbe am so was muss man machen dann muss ich den Kosinus Unsinn Sinus Graf nehmen und dann der Winkelhalbierende spiegeln und was dabei herauskommt ist erst mal für den Xenos das folgende an der Stelle nun ist er wohl am oben gesehen an der Stelle halbes Seppi 6. bisschen würde ein zumal wurde also ungefähr und was ist an der Stelle minus 1 für welches für welchen allenfalls Sinus minus 1 das ist bei minus die halbe das heißt bei Mindestgehalt dieser minus 1 hier die dadurch bei A 1 ist der die halbe muss er noch da und das Ganze ist die gespiegelte Version vom Sinus Grafen so können werden bisschen die bedarf die sich in Stein am Anfang ein bisschen mehr Kohle so war zur und jetzt denke der ist an der Stelle 1 ist dann
0 weil Kosovos von und S 1 an der Stelle nur deshalb hier eine weil Kosovos vom Gehalt bis 0 und dann darf der hier so rüber und mehr kann man es auch nicht in Nein Ja wenn sie es versuchen würden diese trafen weiter zumal wenn man sitzt einfach die großen des Grafen nehmen und dieses Spiel eine Winkelhalbierende weiterziehen wird der Kursus Graf würde denn hier eben so weitergehen und hier so da sehen Sie schon wenn sie das machen kriegen sie keine Funktion mehr wir gerade von der Funktion das zurücklaufen wann haben Sie keine eindeutige Zuordnung mehr dass die Stelle wo sie Negativität brauchen also an der Stelle ist wirklich Schluss und Sie können eben den den Akkus Cosinus und
Augustinussen auf diese mit minus 1 1 mit Werten auf diesem Stückchen da definiert und diese Funktion sind auch die beiden Funktion denn der Taschenrechner ausspuckt wenn Sie da auf er minus 1 und 7 drücken so dass der Gavin Tangens machen das hat ich ihn vor einem Bildschirm gezeigt beim Tangens sieht die Sache ist schöner aus in
dem Sinne wir müssen uns zwar vom
Definitionsbereich auch auf das Intervall also Zeiten die insolventen Tangens auf das Intervall minus 4 halbe P 1 einschränken aber was ist das Bild der Angelegenheit was ist das Bild vom Tage ist auf diese mittlerweile das Spiel haben die halbe welche Werte werden angenommen ziemlich viele nämlich alle er an das heißt die Umkehrfunktion vom Tangens ist definiert auf ganz er und Werte ebenso in diesem Intervall wie das Spiel hatte Peer Heine ein deren man uns
das auch noch hin also definieren wir das erst mal also C der Tangens uns er mir gesagt wenn wir denn auf das Intervall minus die halbe die halbe einschränken dann ist das sehr streng wachsende Funktionen des Bildes er das heißt auf diesem Intervall Mindestgehalt die halbe können wir das den umkehren und jetzt genau wie oben diese Umkehrfunktion heißt Gußteilen ganz arg zahlen ist definiert auf dem Bild vom Tangens also auf er und ihre Werte liegen zwischen minus P halben 1 und das Ding heißt Augusttagen Sitz können es kann Spielchen noch Codein ganz machen der Vollständigkeit halber wobei ich muss ehrlich zugeben die Funktion des mehr im Leben und ich so oft über gelaufen aber gut machen was auch noch wenn sie den Code ganz aufs Intervall 0 bis P einschränken dann geht das nicht streng fallende Funktion mit Werten ganz er die können Sie auch umdrehen das den heißt dann ganz kanonisch Cusco Tangens zur Funktion auf R und dem Werte 0 an aber die wichtige Funktion an der Stelle ist der August Tangens den werden wir noch häufiger wiedersehen so auch die kömmlichen noch schnell hin mal zumindest meinen Akkus zeigen man in
den davor Muppi halbe und minus 4 halbe manche 2 wichtige Stellen und Argus Codein wir es ist jetzt die auf die Seite gelegte Tangens Schlange also das ist der Krieg ziehen langsam von unten her herein in nur diese neue und dann ist erklärt der Elan auch schon wieder vorbei und dann kriegt auch zur seine streng monoton wachsende Funktion wächst langsam aber vor sich hin und dann sieht das ist Intergraph von Akkus tanzen zur gut es war noch mal so ein kurzer rücke Ausflug in dem Bereich Bayern der trigonometrischen Funktionen und wie sie damals eben noch mal ein paar neue Funktionen eingeführt Augustinus Akkus Kursus Augusttagen meinetwegen noch den Akkus Scootern ganz und damit will ich sozusagen dieses Einführungskapitel in Funktionen abschließen und ich jetzt dem vorhin erwähnten zwar Mike Kern der Sache zu wenden das Ziel ist also wir wollen erwähnt eine mathematisch exakte Behandlung das unendlich großen und das unendlich kleinen zu erreichen und dazu ich ein bisschen aus und wie gesagt das ist das was jetzt so darf das was dann in der nächsten Woche kommt
ist der die Basis für ganz viel was danach kommt und der der entscheidende Begriff an der Stelle ist der Begriff der Konvergenz und wir wollen uns jetzt kümmern Konvergenz ist das mathematische Konstrukt das es erlaubt über Unendlichkeit mathematisch exakt zu sprechen und mathematisch exakte Aussagen über Unendlichkeit zu machen die besser sind als für uns große X ist das so ungefähr gleich wie der sondern ganz exakt und da sie diese ganze gefiel noch unterbringen ist der Begriff der Stetigkeit der dann da drauf aufbaut das sind 2 fundamentale Begriffe in diesem Bereich Umgang mit dem Unendlichen und vielleicht einmal für den Hintergrund dieser exakte Umgang mit dem Unendlichen es im Prinzip die Grundlage dafür dass die Mathematik in ab in den modernen Naturwissenschaften und dem modernen Ingenieurwissenschaften so hohen Stellenwert hat weil ganz viele er Modernisierungs- Methoden und ganz viele Techniken die man verwendet ganz im im rächen immer im rechnerischen Alltag fußen auf Überlegungen die mit dem Umgang mit dem unendlichen zu tun haben wäre dazu gehört wurde noch hinkommen werden eben der Begriff der Ableitung nicht Dengs werden aus der Schule kennen ist nicht denkbar ohne einen sauberen Umgang mit dem Unendlichen weil was man hier macht es man kann immer nur die Durchschnitts- wert messen kann man immer nur Durchschnittsgeschwindigkeiten könne man nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit messen über ein gewisses Zeitintervall das ist ein wirklich kleiner machen dann haben 7 Durchschnittsgeschwindigkeit über ein kleineres Zeitintervall und für den Alltag reicht das ja auch weil kein Fahrzeug beschleunigt so wahnsinnig schnell als dass man nicht mit dem kleinen Zeitintervall der vernünftige Approximation der momentanen Geschwindigkeit kriegen würde aber das ist natürlich nie die Ware größte her wenn man rechnen will würde man gern mit der wirklich momentan Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t rechnen die ist aber sozusagen praktisch unerreichbar wenn man immer nur in diesem dabei messen kann er muss er muss messen wie viel weg habe ich in der Zeit in einer Zeit die Differenz der der T zurückgelegt und das ist eben mein ganzer weg mehr er und dieses Problem hat auch die Mathematiker lange beschäftigt und ist lange nicht gut gelöst worden erst mit diesem diese Lösung dieses Problem der die wie fast sich mathematisch eine momentan Geschwindigkeit das ist die der große Durchbruch der dann auf der einen Seite den eigentlich 2 große Menschen Juden und Leibnitz gleichzeitig in gekriegt haben Minuten hat darauf sein ganzes Gedankengebäude gebaut das mit der mit klassischen Mechanik zu tun hat laden Sie Differentialrechnung das war einer der Durchbrüche in der Mathematik ich kann so was anderen festmachen weil das dann
dass man sozusagen durch ganz alltägliche Beobachtungen plötzlichen unendlichen landet altes Griechen Problemen wie groß ist die ja und das schon Archimedes eine schlaue Idee gehabt mit der aber nicht wirklich weiter kam also wenn sie Kreis und ungefähren Kreis haben Dennis P bekanntermaßen das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser man soll die Frage ist nur wie groß ist die und die Idee vom Archimedes ist einfach circa approximieren im Kreis durch regelmäßige Ecke er also man dann regelmäßiges Fünfeck rein ja für das Fünfeck lässt sich der Umfang relativ leicht bestimmen den Grad des umkreisten sie 1 dann müsste der Umfang von der Kreis ist die Längengrades 1 nehmen mehr im Durchmesser Durchmesser 1 nehmen dann ist der Umfang P E also wollen Sie in diesen Kreisen gerade mit Durchmesser 1 viel und nicht genau dann können Sie den Umfang von dem Fünfeck aus das ist das kriegt man den der und das ist dann natürlich eine zu kleine aber Approximation von P und es ist genau haben wollen dem sehr keine 5 6 1 12 weg und dann 57 Ecke oder 1 182 Ecke dann steigert sich der Rechenaufwand aber Sie kriegen immer genau Approximation von Peter was jetzt die immer ist jetzt irgendwie das was passiert wenn Sie das immer weiter ins oder nicht doch die Weise laden 7 unendlichen und die Frage ist was passiert also mit diesen umfängt von diesen ganzen entdecken wenn Sie mit N beliebig groß werden kann und am Ende kommt und vielleicht hieraus aus so und diese dieser Frage wie kann man dieses am
Ende kommt dann irgendwie Tiere aus aber das ist wieder so Zone Wischiwaschi der Formulierung und was ich jetzt machen will ist ein Programm um diese wischiwaschi los zu werden sondern sagte Formulierung da kommt nicht in Wiki raus sondern in welchen Simmel konvergiert diese Folge der der Umfänge wenn sie regelmäßige endeckten anschauen gegen klicken danach wird sonne nicht gerade schon die magischen Wörter benutzt Folge und konvergiert und dann dem Beispiel hier denke ich kann man auch gut klar machen was eine Folge ist die
Folgen sind für uns in dieser Vorlesung hier das Vehikel um uns behutsame im unendlichen zu nähern ja man kann auch viele Wege zum Unendlichen gehen und wenn wir jetzt versuchen und sofort dem Problem der momentan Geschwindigkeit so zu werden dann überfordern bei uns weil das ja das ist konzeptionell schwierig damals mit Funktion zu tun hat und es ist ein besser man macht sich nennt sich erst mal ein einfaches Modell in dem die Unendlichkeit sozusagen relativ übersichtlich verpackt ist und dieses Modell sind folgen dafür ist dieses wir mit dem hätten hier oben gutes stellen Sie sich mal vor Archimedes macht das also approximiert seinen Kreis umfahren dann könnte er für das Fünfeck ausrechnen wie lang der Umfang ist in diesem Forum fahren würde man den sinnigerweise A 5 nennen vielleicht sollte man ihn 5 wie Umfang den habe ich den jetzt mal A 5 das ist der Umfang des Fünfecks und dann sagt man dass es ein nicht genau genug ist mit meinen 10 nett warum gerade 10 weil das kann ich hier ganz gut einmal er und jetzigen sie und genau meine Zeichnung war und den Umfang von den 10 er denen man dann sinnigerweise A 10 ist können Sie im Geiste des weitermachen ja sie können es wegnehmen 12 weg und solange das Gedankenexperiment machen ist okay wir dass wir die Rechnung und auf die Weise kriegen Sie für jedes N für jede Ecken Zahl und Umfang der Zahl und so und konzeptionell unendlich lange Listen von Zahlen das ist das was meine Folge nennt also 1 1 was in Folge das ist entsprechend 6 1 ich schreibe sitze ich schreibe es gleich in mathematisch sauber sprechen aber erstmal ein sogenanntes am besten vorstellt eine Folge ist eine unendliche Zahlen liest bedenken Sie dabei ein Beispiel wäre so nehmen Archimedes der sich eben für jede Anzahl von Ecken seine Approximation für Klien schreibt A 7 und A N ist dann eben der Umfang des NX das an seinen Kreis reinlegen kann war wie machen wir's so
unendlich also nicht zahlen ist in A 1 A 2 A 3 A 4 und so weiter so ist die mathematische Definition
Sie die sehen wissen Sie warum es ihnen erst so motiviert haben Martin Mathematik ist mir Funk folgen nichts anderes als der Funktion bei dem lieben was alles in Funktionen Mengen zu schreiben eine Funktion ich denn mal an von N nach einer das Ding heißt Folge also funktionieren natürlichen Zahl ein wird aber von innen zu so wenn es die Erfolg überhaupt nichts Neues Erfolges ist eine Funktion von N nach er was hat jetzt
dieses Bild mit dem Bett oder ähnliche Zahlen ist das zu tun man schreibt meistens die Folgen nicht so hängen sondern man schreibt meistens eben am statt von innen und stellt sich so eine Folge vor na endet das schöne an den natürlichen Zahlen ist meine ganze durchnummerieren mehr die sind ja sozusagen schon durchnummeriert diesen ihre eigene Durchnummerierung der diesen 1 2 3 4 5 6 7 8 und so weiter wenn jetzt Funktion von N nach er habe heißt das ich habe eine reelle Zahl die zu 1 gehört das von einst die A 1 die Redezeit zu 2 gehört dass A 2 1 zu 3 gehört das A 3 wir und auf diese Weise erhält diese Abbildung Ar meine vom Fall A 57 ist eben das von 57 und diese Reste von Zahlen schreibt man eben dann so wie oben mit dem Index A N ist das Ente Folge geht ist das von N und für die ganze Folge schreibt man schreibt man meistens so was wie die Liste der A n mit n aus allen oder auch manchmal A n n größer gleich 1 oder so wie oben A 1 A 2 A 3 A 4 Pünktchen Pünktchen sind gut und wir sehen sie sich die Listen der ist von Zahlen aber formal mathematisch ist eben eine Funktion die jeder natürlichen Zahlen reelle Zahl zuordnet
und zwar genau die die an der Stelle also der natürlichen Zahl n wird die reelle Zahl zugestellt ordnet die eine Enten Stelle der Liste steht wir haben noch 2 Wörter die ich oder ein Wort das ich gerade schon verwendet habe und eines das sich garantiert noch unter mal verwenden das einzelne am nennt man ein voll die geliebt nein die Folge selbst besteht aus unendlich vielen Folge gliedern A 1 A 2 A 3 und so weiter und dieses wird ganz auf des Index bezeichnet also dem Index geht gut das ist Definition Folge und man
sieht es jetzt nach dem Co fürchterlich komplizierten Konzept anhört glauben Sie nicht dran das ist wirklich ein formelles davon zahlen Listen von 2 nun endlich lag und es ist auch dass der Sender von Wir wollen unendlich lange Listen von zahlen wir wollen es mit dem Unendlichen beschäftigen und wir wollen wir wollen das unendlich in Griff kriegen und Quantität Qualität quantitative das unendliche sprechen können und zwar exakt darüber sprechen können und diese Folgen bieten uns sozusagen die Spielwiese wo das Unendliche relativ übersichtlich verpackt ist sehr einfachen unendlich lange Listen von Zeit und tatsächlich doch man sich diesen dieses dieses diesen er diese Aktion der definieren das ist das das Unendliche was ist das was bisher dem unendlichen dass sie seinen Grenzübergang wie definiert dass ein einziges Mal verfolgen und alle anderen alle anderen Momente wo wir ins Unendliche gehen müssen gehen wir definitorisch auf die Folgen zurück alles andere Boote fußt auf diese eine Definition für verfolgen wenn die so wichtige deswegen westlich jetzt auch hier so viel Zeit sich indes rüberbringt an der Stelle noch unter grundsätzliche Bemerkungen werden also was heißt grundsätzlich in Dinge die er noch allgemeine sind als es hier vor führe und so weiter das 1. ist alles was ich Ihnen hier erzähle geht auch mit 10 statt er ja ich habe jetzt hier gesagt nehmen Sie nehmen Sie Folgen sind Funktionen von N nach er sind unendlich lange Listen von reellen Zahlen Sie können natürlich auch unendlich lange Listen von komplexen Zahlen nehmen und alles was ich hier mache geht genauso das nennt man dann komplexe folgen also fast alles was ich hier mache geht genauso ich würde damit wir jetzt nicht noch Abschreckungseffekt haben das ganze gebeten und er machen und ich denke auch 95 Prozent von ihnen werden mit Regeln folgen auskommen diejenigen die später Studium mit komplexen Folgen zu tun haben müssen sich im Buch schnappen und kurz nachgucken das wirklich alles genauso ist wie sie mit aber das ist dann auch nicht mehr schwierig also ich will so gesagt haben sie können hier fast überall
kann er durch IC ersetzt sodann 2. zweite Bemerkung an der Stelle wo ich ja den gesagt Erfolges und unendlich lange Liste der 1 1 2 3 4 5 1 6 wenn Sie es wieder mal sein Archimedes denken dann hat der Schwierigkeiten nach 1 zu definieren weil zeigen mir mal das eine das in den Kreis reintun hören damit den ein Ecken ist es nicht so weit her denn das heißt der würde sinnigerweise bei A 3 anfangen wenn überhaupt ja wahrscheinlich würde erst bei A 25 anfangen weil die der Nehrung bevor sie ihr alle zu schlecht soll heißen diese Festlegung Gefolge muss unbedingt bei n gleich 1 Anfang ist einfach zu stark und im Allgemeinen ist es auch völlig wurscht ob die Folge bei 1 fängt bei was uns interessiert ist ja etwas das sie den unendlichen und ich da vorne das heißt in der Folge muss nicht immer war ein Star ich wäre trotzdem fast immer das so hinschreiben als würde sie bei 1 starten aber alles was ich hier erzähle geht auch verfolgen über 17 Staaten nein also natürlich machts sie können können Sie mir Folge anschauen die zum Beispiel noch in 0 das Element hat und 0 sie können aber natürlich Sie Archimedes sagen größer gleich 5 sie können auch bei minus 7 anfallen total egal ich ist sie mussten Anfang haben ja also aus Z ist nicht sie mussten Anfang haben kleine den
Anfang und ab da danach unendlich viele Einträge ja also können sich wollte so Folge ich den sich einfach SS-Mann und von zahlen und wie sie listiges durchnummerieren ob Sie Ihre Excel-Tabelle bei 0 und in der Spalten oder Zeilen oder Spalten Zeile 33 anfangs einfach schnurz Polysius brauchen unendlich lange Excel-Tabelle dass es für die meisten Computer schwierig da also allgemein können Sie am Ende größer gleich in 0 und er 0 es halt irgendwie ganze Zeit das ist okay und es kommt auch vor der Reise gut Fitz vielleicht nicht gerade minus 7 bis an die nicht gesehen aber der
folgend die Pläne Novellierung bei 0 anfängt da dabei 2 bei 3 ist nichts Ungewöhnliches und alles was ich Ihnen jetzt im folgenden erzähle gelten auch für diesen Fall von für diesen allgemeineren Fall dann hängt nicht und wenn sie sich darauf beruht wenn Sie unbedingt wollen dass jede Folge bei 1 anfängt ist alt und nummerieren also die jedoch im Allgemeinen tja mehr es habe ich
Netz ja das Gefolge ist wie schreibt man denn jetzt ohne konkrete Folgen da gibt es verschiedene Möglichkeiten je nachdem will man die kath die einfachste Art Sie schreiben die Liste der einfach direkt hin also zum Beispiel eine Folge mit der Wohnform Parma beschäftigen
werden 1 x und 3. im Viertel im 5. und so weiter ich denke jeder kann sich denken wie es weitergeht nur diese Methode das Vorgehen zu schreiben lebt davon dass jeder kann sich denken wie es weiter geht also wenn mir etwas komplexere Folge haben es ist keine gute Methode weil man nämlich immer das Bildungsgesetz sofort sieht aber für einfache folgen ist das eine adäquate und gute Methode also zweites Beispiel wäre zum Beispiel diese Folge hier ist auch eine Folge ich denke auch hier weiß jeder wie es weiter geht hier 1 minus 1 1 1 1 1 minus 1 ist sie so genannte alternierende Folge der 8 der Begriff es kommt noch ist aber er wahrscheinlich relativ selbst erklärt das ist
die einfachste Methode befolge hinzuschreiben eignet sich wie gesagt nur für sehr einfach comma 1 8 1 einfach aussehende folgen weil man mich sonst das Bildungsgesetz anders wirklich erkennt und dann wieder Ochs vorm Berg steht zweite Möglichkeit ist schreiben explizite Formen zum Beispiel können Sie die Form die Folge die Proben beim Thema X das 1. steht auch so schreiben 1 1 durch wenn aus allen klar das wäre genau die gleiche vor ob Folge die oben drüber steht für n gleich 1 ist 1 dann kommt halt kommen Drittel bekommt würden dann kommt 5. und sog Vorteil dieser Schreibweise ist sie entbinden den Leser von der Aufgabe erwartet das Bildungsgesetz das ist wenn die Folgen komplizierter werden nötig ist die Folge die hinten die können Sie auch so schreiben minus 1 hoch n den Trick wollt ich immer gezeigt haben kommt nicht häufig vor minus 1 hoch n ist die Folge des immer abwechselnd 1 minus 1 1 minus 1 1 minus 1 erzeugt erstattet habe ist ruft bei den ich je mit n gleich 1 anfangs mein 1. Folgen eintrat minus 1 über bei der Folge oben drüber ist 1 aber das kriegen wir gelöst also minus 1 zu 1 plus 1 jetzt ist die Folge um drübersteht 1 minus 1 1 1 1 1 1 1 2 zu 1 er ein weiteres Beispiel in expliziter darstellen damit sie sehen wo das Ende der Listen der Listen Darstellung ist zum Beispiel die Folge eines durch Wurzel aus Fakultät in aus allen so wunderbare Folge taucht und auch später noch mal auf wenn Sie die wenn sie von der jetzt einfach die 1. 15. anders schreiben oder Pünktchen Pünktchen Pünktchen nur die fürchten dass zumindest wenn sie in konkreten Zahlen schreibe womöglich noch in Dezimalbrüchen mit mit mit dem 1. stellen wenn sie keiner mehr wo das herkommt da ist es dann besser das so hinzuschreiben so das sind die 1. 2 Möglichkeiten XP Vista und explizit und es gibt Sonne 3. auf die kommt man nicht so direkt dies aber auch relevant und
ich sage Ihnen gleich warum und das ist die so genannte rekursive Definition eine
Folge und das ist das was sie immer kriegen wenn sie Näherungsverfahren oder wenn Sie irgendwelche iterativen Prozess Näherungsverfahren machen nur näherungsweise Probleme zu lösen und der rekursive Folge eine bei der sie nicht der Formel haben mit der sie das 357. Folgen geht ausrechnen können sondern eine wo Sie wissen was das 1. Folge geht es unternahm Sinne Formel den sagt man sie das 356 schon kennen dann können sie damit dass der 57 ausrichten also zum Beispiel ein Beispiel eine rekursive Definition der Folge 1 wie oben wäre folgendermaßen das 1. Folge geht es 1 und wenn sie das Ende haben kriegen Sie das plus 1. als Meyer N durch N plus 1 für größer gleich 1 das wäre mir rekursive Definition eine Folge damit die Folge 1 dreimal dastehen Anwaltsliste einmal explizit andere rekursiv wir sehen es die rekursive Definition hätten aufwendigste und übersichtlichste als ist diese Folge würde niemand so definiert von Alzheimer kann Zimmerman aber es gibt zum Beispiel es gibt viele Fälle wo sie nichts anderes kriegen Essen rekursive Definition zum Beispiel eben bei jedem Näherungsverfahren in seinem Rechner anwerfen der sollen denn was mehr in diesem Intervall Halbierung Verfahren oder was auch immer dann können Sie in den nächsten Iterationsschritt immer erst machen wenn sie denn da vor ausgeführt haben wir sie können nicht einfach schon die 317 der Näherung direkt aus rechnen Sie brauchen 1. 316 zu und dementsprechend kriegen Sie dann rekursive Folgen gebe ihnen noch ein berühmtes Beispiel für eine rekursive Folge an die stammt von Leonardo Fibonacci italienischer Mathematiker aus dem 16. Jahrhundert der hat diese Folge entwickelt als er versucht hat ein mathematisches Modell für die Vermehrung von Kaninchen aufzustellen und hat gesagt gut am Anfang hat man irgendwie nur wenig Kaninchen 1 und 1 und wenn die dann länger da sind dann vermehren die sich und je nachdem wie die sich vermehren das hängt immer davon ab wie wie kann ich nicht ja das vorhatte und auch da kriegen Sie was rekursives wenn sie sozusagen von Zeitschritt zu zweit rechnen dann hängt natürlich die Frage wie die sich vermehren immer davon ab wie die Kaninchen sind je nachdem wie lange die brauchen geschlechtsreif zu werden so und so viele Jahre reichen Monate vor geboren aber sie können eben nicht direkt von heute auf in 3 Jahren rechnen sondern sie müssen sich langsam vorhanden und seine Folge lasse sah damals so aus also die Norm und die 1 1 und man erhält die Anzahl zum Zeitpunkt N indem man die Anzahl vom Zeitpunkt im minus 2 nimmt und die Zeitpunkt period in minus 1 dazu zählt weisen nicht wieder darauf gekommen ist aber das war seine Idee und diese Zahlen nennt man das bis heute
Fibonacci-Zahlen und den Anfang von dieser Folge kann man mal kurz hinschreiben also 1 1 so was ist was jetzt die 2 die 2 kriegen Sie sehen in dem sie die 0 plus die 1 rechnen also 1 plus 1 ist 2 die 3 kriegen Sie indem Sie die 1 plus die 2 rechnen also 3 also die die die Vorschrift sagt gegen Sie kriegen immer die nächste Zahl in dem sie die beiden doch vor agieren also 1 1 2 3 5 8 13 21 und so weiter und auch der hier sehen sehe 1. das ist mir rekursive Definition versuchen Sie mal jetzt hinzuschreiben Person Sie mal das 382. Fibonacci-Zahlen auszurechen ohne 301 80. zu haben der 1. also ob so die explizite Darstellung zu kommen und zweitens für den der 7 das ließ schreibt das es auch nicht besonders freundlich weil er kenne das Bildungsgesetz ist auch nicht sofort klar da das ist frei ohne rekursive Definition fast schon das übersicht ist ist c't also dessen die 3 mit Methoden Funkchip erfolgen zu schreien und der mehr was jetzt
dass man jetzt mit Folgen machen kann es
erst mal wieder elementare Eigenschaften zusammen sammeln die die haben können das ist der nächste Schritt das ähnlich wie wäre als der Funktion hatten von A nach aber dann auch uns überlegt Monotonie und habe gerade ungerade beschränkt und so weiter manche Dinge davon können Sie verfolgen machen das ist das nächste was jetzt hier kommt also der Sammlung von Eigenschaften die Folgen haben können oder auch nicht und alle das aber immer
im alles immer mit dem Ziel oder in Funktion dessen dass wir diese Folgen benutzen wollen ja da wir mit dem unendlichen klarzukommen aber dafür ist es erst mal gut die Folgen so ein bisschen Zucker kategorisieren und zu katalogisieren bevor wir dann am Dienstag in der nächsten Vorlesung wie gesagt das ist mir ganz entscheidende Vorlesung da sie vor so nächsten Dienstag ist sozusagen das Herz dieser Mathematik 1 und eigentlich auch noch das Herz großer Teile der Mathematik 2 uns dann an diese Definition der Konvergenz machen werden die uns mit dem Unendlichen in Berührung bringt so also für so viel der Vorrede jetzt hier einfach wieder Eigenschaften von Funk von folgen das 1. sind ganz besonders schöne brave folgen sogenannte konstanten folgen also Gefolges konstant ja wenn es ein C aus ergibt so dass eben gleich C ist für alle n aus N ich gebe zu dass es in dann langweilige folgen ja das ist die Folge 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Innerlichkeit das ist nicht besonders spannend aber sind an andererseits angenehm weil sie
ihnen nicht besonders kompliziert so reines positiv ist auch ein glaube ich selbsterklärenden Begriff bzw. negativ wird meine Folge dann wenn alle Folgenglieder positiv oder negativ sind also wenn für alle n aus gilt das größer 0 ist bzw. für negativ ein kleiner 0 so dann hat ich vor diese Folge 1 minus 1
1 minus 1 1 minus 1 und den der Mann alternierend alter Nieren dessen Folge wenn ihre Vorzeichen immer genau abwechselnd liegen also noch wechselte Vorzeichen das man als positiv es nix negativ denn der positiv negativ positiv die er und wie drückt man das aus der schön trägt könnte man hinschreiben werden wieder Vorzeichen wenn das A Positivismus das Einfluss eines negativen wenn das negativ muss das Land seine positiv sein das kann man ganz schnell abkürzen mit wenn für alle n aus gilt das A N X A plus 1 kleiner 0 ist was heißt dass ein Produkt negativ wenn die beiden Verschiedenes Vorzeichen haben wir weil wir die beiden Tage vor es Produk- positiv aber das Produkt negatives heißt es die beiden am Verschiedenes vorzeichnen jeweils wenn sie ein einnehmen und sein Nachfolger des 1 plus 1 muss das Produkt negativ sein das bedeutet abwechselnde Vorzeichen gut dann habe ich ihn schon mal die 1. 3 Begriffe erzählt die Zimmer zeitlich am Ende er insofern gehen wir da nächsten Dienstag weidlich ich rufe alle auf bis Dienstag ist zwar die Leiden die noch spätere Vorlesung aber bringen Sie sich Georges Portion Konzentration für die nächste Vorlesung mit weil ich weiß noch weiß besonders schwierig wird sondern weil es der zentrale Begriff diese Vorlesung wird und das sind da werden ist der halbe Stunde drin in der sich's lohnt einfach mitzukriegen was passiert also besonders lohnt für heute vielen Dank für die Aufmerksamkeit und bis nächste Woche
Kreis
Länge
Momentenproblem
Algebra
Richtung
Gradient
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Sinusfunktion
Numerische Mathematik
Tabelle
Konstante
Rekursive Folge
Polynom
Menge
Rechenbuch
Trigonometrische Funktion
Transfinite Zahl
Mathematische Größe
Geschwindigkeit
Algebraisch abgeschlossener Körper
Fünfeck
Folge <Mathematik>
Klasse <Mathematik>
Gleichmäßige Beschränktheit
Asymptote
Quadrat
Reelle Zahl
Fibonacci-Folge
Nullstelle
Komplexe Zahl
Näherungsverfahren
Abschätzung
Inhalt <Mathematik>
Ziffer
Radius
Zeitintervall
Finite-Elemente-Methode
Grad n
Aussage <Mathematik>
Gleichung
Umfang
Unendlichkeit
Komplexe Ebene
Elementare Zahlentheorie
Volumen
Ecke
Sierpinski-Dichtung
Faktorisierung
Kalkül
Punkt
Natürliche Zahl
Fortsetzung <Mathematik>
Komplex <Algebra>
Index
Arithmetischer Ausdruck
Gleichheitszeichen
Einheitskreis
Urbild <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Exponent
Physikalischer Effekt
Dimension 6
Asymptotik
Abbildung <Physik>
Zahl
Summe
Umkehrfunktion
Betrag <Mathematik>
GERT
Ganze Zahl
Koeffizient
Mathematiker
Gebiet <Mathematik>
Geometrie
Aggregatzustand
Ebene
Differentialrechnung
Gruppenoperation
Division
Linie
Vollständigkeit
Normalform
Stetigkeit
Kerndarstellung
Eins
Kosinusfunktion
Kreisfläche
Kurve
Durchmesser
Berührung <Mathematik>
Quotient
Rationale Funktion
Rationale Zahl
Quadratische Funktion
Einfügungsdämpfung
Numerisches Modell

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Polynome, Folgen und Konvergenz
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 12
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35644
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Ähnliche Filme

Loading...
Feedback