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Polynome, Folgen und Konvergenz

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Polynome, Folgen und Konvergenz
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12
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29
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CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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SequelCoefficientSummationComplex numberZahlFactorizationNumberPhysical quantityExponentiationComplex numberPolynomialReal numberComputer animation
SquarePolynomialCoefficientFactorizationComputer animation
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PolynomialGradientRootLogical constantSquarePerimeterFactorizationAlgebraComputer animation
GradientRootPolynomialGrad nEquationComplex numberMathematicianComputer animation
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Complex numberNumberReal numberGebiet <Mathematik>Computer animation
PolynomialRational functionRootEquals signSocial classSummationFunction (mathematics)Complex numberCurveVolumeComputer animation
PolynomialRational functionRational numberQuotientRootIntegerDivision (mathematics)SquareComputer animation
LAN partyRootNumberRational functionNormal-form gamePolynomialQuotientComputer animation
FactorizationRootGradientMoment (mathematics)Rational functionNormal-form gameSquareComputer animation
SquarePolynomialZifferSierpinski triangleDivision (mathematics)Normal-form gameDirection (geometry)Computer animation
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GradientPolynomialNormal-form gameRootExpressionSet (mathematics)Computer animation
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Finite element methodUnit circleGeometrySineSineFunction (mathematics)Trigonometric functionsPlane (geometry)Inverse functionComputer animation
AngleSineRadiusComputer animation
IntegerSineSineFunction (mathematics)FrequencyZahlComputer animationDiagram
SineSineBounded setAbschätzungDirection (geometry)Function (mathematics)LinieAbsolute valueParameter (computer programming)Computer animationDiagram
GERTSineSineQuotientTrigonometric functionsInfinityPole (complex analysis)Function (mathematics)Computer animationDiagram
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SineSineInverse functionRational functionFunction (mathematics)PolynomialArc (geometry)Computer animationDiagram
Table (information)SineContent (media)Inverse functionSineComputer animation
SineAngleSineCurveComputer animation
SineAngleInjektivitätTangentFunction (mathematics)SineComputer animationDiagram
TangentInverse functionComplete metric spaceFunction (mathematics)Computer animationDiagram
Trigonometric functionsFunction (mathematics)Atomic nucleusComputer animation
InfinityPhysical quantityZeitdifferenzMathematicianZeitintervallVelocityPropositional formulaDerived set (mathematics)Differential calculusApproximationContinuous functionComputer animationDiagram
PerimeterPentagonDiameterEckeApproximationGradientCircleInfinityLengthComputer animation
PerimeterSequencePolygonTransfinite ZahlEckeZahlPentagonInfinityNumberVelocityApproximationFunction (mathematics)Computer animation
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IndexZahlNatural numberReal numberNumber theorySequenceComplex numberInfinityFunction (mathematics)Group actionNumberComputer animation
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SequenceModulformNumberExplizite FormelNumber theoryComputer animation
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Fibonacci numberZahlSequenceCalculationComputer animation
SequenceFunction (mathematics)InfinityBerührung <Mathematik>MathematicianPhysical quantityLogical constantComputer animation
Sign (mathematics)Computer animation
Transcript: German(auto-generated)
Präsentiert von Open Learnware, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann mal herzlich willkommen zur Fortsetzung der Vorlösung über Polinome. Ich habe zum Wiedereinkommen nochmal die Folie vom letzten Mal aufgelegt über das
Horner Schema. Da hatten wir gesehen, wenn Sie einen Polinom haben und Sie wollen das an einer Stelle auswerten, dann geht das sehr angenehm mit diesem Schema. Das ist ein eingängiger Algorithmus und was am Schluss rausfällt, ist diese Zahl C0,
die Ihnen den Wert angibt F an der Stelle B und nicht nur das, sondern das Horner Schema liefert Ihnen auch eine Faktorisierung des Polinoms. Was passiert, wenn Sie diesen Linearfaktor x-b ausklammern, was dann übrig bleibt,
das steht in diesen Koeffizienten Cj. Ich will die heutige Vorlesung beginnen mit einem kurzen Ausflug. Polinome jetzt nicht mehr mit reellen Zahlen, sondern Polinome über den Körper der komplexen Zahlen und Ihnen im Wesentlichen sagen, dass auch wenn die komplexen Zahlen
vielleicht für den einen oder anderen noch etwas schrecktbehaftet sind, dass es eine gute Idee ist, Polinome über C anzugucken, weil das Leben in C wird nur einfacher und nicht schwieriger. Das soll die Message dieser ersten 10 Minuten sein, weil das erste ist, erst mal alles,
was wir bisher gemacht haben, geht genauso. Also es wird alles auf keinen Fall komplizierter. Was ist jetzt erst mal ein Polinom über C, genau das gleiche wie über R, mit dem Unterschied, dass Sie jetzt eben komplexe Zahlen einsetzen und man deswegen üblicherweise
z und nicht x schreibt, aber das ist nur eine Schreibweise. Aber ansonsten sieht ein Polinom genauso aus, also es ist eine Summe mit n plus n Summanden, Zahlen aj multipliziert mit den Potenzen z hoch j, nur dass z jetzt eben eine komplexe Zahl ist und die Zahlen a0 bis an, die Koeffizienten, komplexe
Zahlen sind und damit das Ding wieder gerade n hat, an nicht 0. Aber ansonsten ist es genau das Gleiche, nur dass alle beteiligten Größen jetzt komplett sind, komplex sind, aber da man in C eben genauso schön rechnen kann wie
in R, geht alles genauso und zum Beispiel auch das Horner Schema funktioniert genauso in C wie in R und es liefert auch genau die gleichen Informationen. Also machen wir noch, auch sich wieder dran gewöhnen, nochmal ein Beispiel für
Horner Schema, nehmen wir uns ein komplexes Polinom her, was ist zum Beispiel ein komplexes Polinom? Das Polinom z² plus i mal z plus 3, Koeffizienten dürfen jetzt komplex sein,
in dem Fall habe ich jetzt zwei reelle und einen komplexen Koeffizienten gewählt, also 1 mal z² plus i mal z plus 3, ist ein komplexes Polinom und dann versuchen wir mal auszuwerten, was rauskommt, wenn Sie i einsetzen und wenn man das macht, kann man das genauso mit dem Horner Schema machen wie die ganze Zeit. Was müssen Sie
für das Horner Schema machen? Sie schreiben sich die Koeffizienten nebeneinander, die Stelle an der Sie einsetzen wollen, i und die Null und dann rechnen Sie nach dem bewährten Schema immer senkrecht addieren, 1 plus 0 ist 1 und dann in
2 mal i ist i, wieder addieren, i plus i sind 2i, jetzt multiplizieren Sie wieder mit i, 2 mal i mal i, 2 mal minus 1 ist minus 2, addieren gibt 1, also wissen wir zum einen, f an der Stelle i ist 1, für die, die es immer noch nicht glauben,
rechnen Sie es zu Fuß nach, setzen Sie i ein, i² ist minus 1 plus i mal i, i mal i ist noch mal minus 1, also minus 1 plus minus 1 ist minus 2 plus 3 ist 1, passt und was wir auch noch kriegen, ist wieder die Faktorisierung, also f von z
ist z minus die eingesetzte Stelle, z minus i mal das Polynom, das durch die beiden Zahlen 1 und 2i gegeben ist, also das Polynom z plus 2i plus den Wert an
der Stelle i, also plus 1, das ist die letzte Zeile von der Folge hier für diesen Spezialfall und diese Faktorisierung, diese Darstellung des Polynoms gilt für alle z aus C, also soweit ist die Message, alles was Sie bisher in R mit Polynomen
machen können, können Sie auch in C mit Polynomen machen, es wird also alles, es wird also nichts komplexer oder schwieriger und dann kommt jetzt der zweite Teil, im Gegenteil, es wird alles schöner, weil das was in R das Problem
ist, ist die ganze Fragerei nach Nullstellen von Polynomen und ich habe Ihnen letztes Mal schon gesagt, das Problem ist, man weiß im Allgemeinen nicht, wie viele Nullstellen so ein Polynom hat und es kann eben passieren, Sie haben einen Polynomen schön hohen Grades, das trotzdem keine Nullstellen hat und das macht die ganze Nullstellensucherei nervig und die ganze
Theorie der Nullstellen in R ist eine einziges Grauen und jetzt kommt der zentrale Satz, der sagt, warum in C alles schön ist, das ist der Satz
der hört auf den Namen Fundamentalsatz der Algebra und wenn der so heißt, kann man sich schon vorstellen, der gehört nicht zu den unwichtigsten und den kann man ganz kurz hinschreiben, wann immer Sie irgendein Polynom nehmen, das
mindestens Grad eins hat, also es gibt natürlich auch einen komplexen Polynome vom Grad Null, die keine Nullstelle haben, zum Beispiel das Polynom Konstant Fünf, bei dem Polynom von Konstant Fünf, das hat Grad Null, bei dem können Sie sehr lange Nullstellen suchen und Sie werden keine finden, dafür sehr, sehr viele Fünfstellen, aber jedes Polynom vom Grad
größer gleich eins, sagt der Satz, hat immer eine Nullstelle in C und das ist schon mal schön, weil das was ist, was man in R nicht hat, in R gibt es problemlos Polynome vom Grad größer gleich eins, die keine Nullstelle haben, x² plus eins, ist so der Klassiker, das passiert in C nicht
und das Schöne ist, was bedeutet das, sobald Sie Grad eins haben, haben Sie eine Nullstelle, das heißt, die können Sie dann immer abdividieren und wenn Sie jetzt noch einen Polynom übrig haben, dann haben Sie einen Polynom vom Grad
eins weniger, wenn der Grad immer noch größer gleich eins ist, haben Sie wieder eine Nullstelle, können Sie wieder abdividieren, können Sie wieder abdividieren, solange Sie nur noch einen Polynom vom Grad Null übrig haben, oder anders gesagt, jedes Polynom über C lässt sich in Linearfaktoren
zerlegen, das was man in R nicht kriegt und was immer ein Nerv ist, funktioniert in C, Sie können jedes Polynom über C in Linearfaktoren zerlegen, das ist eine direkte Folgerung aus diesem Fundamentalsatz der Algebra, weil wenn immer Sie etwas übrig haben, was noch kein Linearfaktor
ist, sondern Grad größer eins hat, ziehen Sie noch eine Nullstelle raus und dann ziehen Sie noch eine raus, solange bis es nicht mehr geht. Noch eine andere Formulierung der gleichen Erkenntnis, jedes Polynom vom Grad N größer gleich eins, also wieder vom Grad größer gleich eins
hat dementsprechend wie viele Nullstellen, zumindest wenn man sie mit Vielfachheit zählt, also mit Vielfachheit gezählt, jedes Mal wenn Sie eine Nullstelle
finden, können Sie sie abdividieren und wenn Sie sie abdividieren, geht der Grad um eins runter, das heißt mit Vielfachheit gezählt hat jedes Polynom vom Grad N größer gleich eins in C genau N Nullstellen. Also wenn Sie einen Polynom vom Grad 37 haben, dann können Sie sicher
sein, es gibt 37 komplexe Nullstellen, die müssen jetzt nicht alle verschieden sein, wenn Sie natürlich eine 5-fache Nullstelle haben, zählt die auch 5-mal. Dann gibt es noch 32 andere. Das ist eine schöne Strukturaussage über Polynome und das ist genau die, die einem in R immer fehlt.
Und das ist einer der Haupt, jetzt sage ich mal in der mathematischen Gründe, warum die komplexen Zahlen so wichtig sind, weil sie eben diese schöne Eigenschaft haben, dass sie für jedes Polynom, das nicht gerade eine konstante 5-Funktion ist, Nullstellen garantieren. Und in diesem Sinne ist auch die Motivation, die ich Ihnen gegeben habe, warum wir nach C gehen.
Es gibt in R immer noch Gleichungen, die wir nicht lösen können. Damit erfüllt, jede Polynomiale Gleichung, die Sie hinschreiben können, ist damit in C lösbar. Jede Polynomiale Gleichung können Sie als Nullstellen ein Problem für Polynome schreiben und damit haben Sie immer
eine Lösung. Das ist das Schöne an C und wie gesagt, man verliert nicht, also es wird nichts schwieriger, wenn man nach C geht, es wird nur besser. Zumindest, solange man mit Polynomen zu tun hat. Das ist die Message von diesem Teil der Vorlesung. Ich würde gern noch zwei Kommentare loswerden zum Thema finden von
Nullstellen, weil das auch gestern nach der Vorlesung nochmal Thema war. Ich hatte ihn, als ich den Horner hingeschrieben habe und gesagt habe, wir können jetzt immer die Nullstellen abdividieren, die Nullstellen vorher gegeben. Aus gutem Grund, das Problem, also was wir da gesehen haben, wenn Sie die Nullstellen haben, ist klar, wie man abdividieren kann,
dreimal den Horner drauf gehauen und gut ist. Das große Problem ist, wo Sie die Nullstellen herkriegen. Dann hatte ich Ihnen schon mal gesagt, im Allgemeinen gibt es dafür gar kein Verfahren. Ab N größer gleich 5 ist sogar beweisbar, dass es keine Formeln gibt. Also eine allgemeine Formel für Nullstellen zum Hinschreiben ist nicht. Was gibt es für Methoden? Sie können raten.
Beliebte Methode, wenn die Polynome nicht zu kompliziert aussehen. Oder was dann übrig bleibt, einzige Chance, wenn das Polynom nicht aus einer Übungsaufgabe kommt und so konstruiert ist, dass man raten kann, sondern das Polynom aus einer, sagen wir mal, realen Weltanwendung kommt,
sprich aus einer Messreihe und da haben Sie einen Näherungspolynom durchgezogen und das hat irgendwie die Näherungskoeffizienzen hängen an den Messwert und sind dementsprechend solche Zahlen mit vielen Nachkommastellen. Dann werden Sie die Nullstellen nicht raten, sondern dann ist die einzige Chance, ein numerisches Näherungsverfahren anzuwenden, das auf dem Computer läuft
und einem näherungsweise die Nullstellen bestimmt. Wie man das macht, darauf kommen wir noch. Ich kann Ihnen noch eine theoretische Hilfe geben, die jetzt aber für das Näherungspolynom, das Sie aus der konkreten Anwendung kriegen, auch nichts hilft. Nur noch so zum Abschluss dessen, was ich über Polynome sagen will,
noch eine kleine Hilfe, wenn Sie es mit reellen Polynomen zu tun haben. Also ich nehme ein komplexes Polynom, aber mit reellen Koeffizienzen. Also Sie haben ein Polynom ajz hoch j, ein Polynom
und die entscheidende Voraussetzung hier ist, die Koeffizienzen a0 bis an, die sind reell, dann gibt es eine Methode, wenn Sie eine Nullstelle haben, dann finden Sie damit noch eine zweite. Also geben wir davon aus, durch irgendein Orakel oder glückliches Raten
haben Sie schon eine Nullstelle z0 gefunden, irgendwo her. Dann kann ich Ihnen verraten, wie Sie noch eine finden, nämlich einfach durch komplex konjugieren. Also wenn Sie eine Nullstelle haben, dann ist auch z0 quer eine Nullstelle.
Das gilt aber nur, wenn das Polynom reelle Koeffizienzen hat. Aber dann geht es immer, das nutzt Ihnen natürlich wenig, wenn das z0 reell war. Wenn das z0 reell war, dann ist z0 quer keine besonders neue Nullstelle. Aber wenn es eine Komplexe war, dann haben Sie damit vielleicht noch eine zweite. Ja, da war die Frage. Danke, z hoch j.
Das n gibt es hier nicht. Ah doch, gibt es schon, n ist der Grad. Warum das so ist, kann man in zwei Zeilen hinschreiben.
Warum ist das so? Also wir wissen, z0 ist eine Nullstelle. Das heißt, wir wissen, die Summe j gleich 0 bis n a j z0 hoch j, die ist 0. Das ist genau die Aussage, z0 ist eine Nullstelle.
So, und dann schauen wir uns doch mal an, was ist, wenn Sie z0 quer einsetzen? J gleich 0 bis n a j z0 quer hoch j. Und dann müssen wir die ganzen Rechenregeln bemühen, die ich Ihnen im Kapitel über komplexe Zahlen erzählt habe. Und da hieß es zum Beispiel, wenn Sie zwei komplexe Zahlen,
also wenn Sie zwei komplexe Zahlen queren und multiplizieren, dann können Sie auch erst multiplizieren und dann queren. Also das ist das Gleiche wie a j z0 hoch j quer. Weil, das war diese Regel, z quer mal w quer ist z mal w quer. Und hier haben Sie jetzt stehen z0 quer mal z0 quer mal z0 quer mal z0 quer.
Da können Sie den Querstrich auch ganz oben drüber ziehen. So, dann müssen wir uns überlegen, a j war aus R. a j sind reelle Zahlen. Und wenn sie in eine reelle Zahl queren, dann passiert dabei nicht viel. Das heißt, a j und a j quer sind identisch.
Nicht das verlieren, was ich gerade schon gemacht habe. z0 hoch j quer. So, jetzt wenden wir wieder die Regel an, dass wenn Sie zwei querte Zahlen multiplizieren, können Sie auch erst multiplizieren und dann queren. Also haben wir den Querstrich hier ganz drüber.
Und schlussendlich hatten wir bei komplexen Zahlen noch die Regel, z quer plus w quer ist z plus w quer. Hier haben wir eine Summe von gequerten komplexen Zahlen. Da dürfen Sie auch erst summieren und dann queren. Also haben Sie Summe j gleich 0 bis n, a j z0 hoch j quer.
Jetzt haben wir einen ganz großen Querstrich. Das sind alles die Rechenregeln fürs quer. Aber was steht jetzt hier unten? Diese ganze große Summe sieht so groß aus, ist aber in Wahrheit relativ klein, ist nämlich 0. Weil z0 ist eine Nullstelle und 0 quer ist 0. Also ist auch z0 quer eine Nullstelle.
Und die ganze Rechnung hängt natürlich ganz extrem an diesem Gleichheitszeichen hier. Und das funktioniert nur, wenn a j gleich a j quer ist. Dazu brauchen Sie reelle Koeffizien. Gut, das ist das, was ich zum Thema Polynome sagen wollte.
Also jetzt tun wir von den Polynomen noch ein bisschen weiterarbeiten. Man kann nicht aus Polynomen jetzt wieder neue Funktionen bauen. Ein bisschen sozusagen die nächst kompliziertere Klasse. Das geschieht nicht dadurch, dass man zwei Polynome addiert.
Wenn Sie zwei Polynome addieren, kommt wieder ein Polynom raus. Wenn Sie zwei Polynome multiplizieren, kommt wieder ein Polynom raus. Aber wenn Sie zwei Polynome dividieren, dann kann es Ihnen passieren, dass kein Polynom rauskommt. Sondern was dann rauskommt, sind sogenannte rationale Funktionen. Und das ist der nächste Abschnitt. Also 2,15 eine rationale Funktion.
Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die Sie kriegen als Quotient von zwei Polynomen. Also nehmen Sie sich zwei Polynome P und Q her. Sehr häufig Polynome P, das ist naheliegend. Und das nächste heißt dann Q.
So, und dann kriegen Sie eine Funktion, indem Sie die beiden durcheinander dividieren. Also F von X ist P von X durch Q von X mit X aus. Und da muss man jetzt aufpassen. Polynome waren immer auf ganz R definiert. Der Bruch hier kann natürlich in die Brüche gehen, sobald das Q eine Nullstelle hat da unten.
Also da müssen wir jetzt gleich nach dem richtigen Definitionsbereich suchen. Das Ding nennt man eine rationale Funktion. So wie eine rationale Zahl ein Bruch von zwei ganzen Zahlen ist. So ist eine rationale Funktion ein Bruch von zwei Polynomen. Was sind Beispiele lauter Funktionen, die nicht überraschend sind?
Was kriegen Sie als Quotient von Polynomen? Zum Beispiel 1 durch X² plus 1. Natürlich kann auch oben ein spannenderes Polynomen stehen.
X hoch 4 minus 1 durch X² plus 2. Aber zum Beispiel auch X hoch 7 minus X hoch 3 plus X minus 1. Wenn Sie jetzt sagen, wieso, das ist doch keine rationale Funktion, das ist ein Polynom. Richtig, aber nach der Definition da oben sind auch Polynome rationale Funktionen. Nehmen Sie einfach Q gleich 1, Q konstant 1.
Das ist ein wunderbares Polynom. Also in dem Sinne sind die rationalen Funktionen einfach mehr als die Polynome. Die enthalten auch die Polynome. So, dann nähern wir uns mal diesem Problem, das wir uns jetzt eingehandelt haben, dass wir nicht mehr auf ganz R definiert sind im Allgemeinen.
Das Q kann eine Nullstelle haben. Wenn das Q eine Nullstelle hat, steht unten im Nenner eine Nullstelle. Und dann haben Sie im Allgemeinen ein Problem mit der Definition von F. Jetzt ist es, jetzt geht es an der Stelle. Jetzt könnte man natürlich sagen, gut, dF sind einfach alle die Zahlen in R, die keine Nullstellen von Q sind.
Aber das ist zu kurz gesprungen, weil es könnte sein, dass P die gleiche Nullstelle hat und dass die sich schön rauskürzen. Und deswegen will ich sozusagen in Normalform einer rationalen Funktion einführen.
Also Bemerkung 2,17. Man kann eine rationale Form immer so darstellen, dass man so Dinge wie den Definitionsbereich ablesen kann. Und das meine ich mit Normalform. Und die ist von der Form, die eine rationale Funktion hat im Servicefall immer einen polynomialen Anteil.
Siehe da oben das dritte Beispiel. Und dann kommt der Anteil, der nicht polynomial ist, das ist dann wieder Quotient von zwei Polynomen, P-Schlange und Q-Schlange. Wobei also erstens H, P-Schlange und Q-Schlange immer noch Polynome sind, aber nun nicht irgendwelche.
Sondern man kann durch das H und durch entsprechendes Kürzen dafür sorgen, dass erstens der Grad von dem P-Schlange strikt kleiner ist als der Grad von dem Q-Schlange.
Und dass zweitens P-Schlange und Q-Schlange keine gemeinsamen Nullstellen mehr haben, wenn die beiden noch eine gemeinsame Nullstelle haben, dann können sie oben und unten den Jahrfaktor x minus diese Nullstelle ausklammern und den kürzen.
Und auf die Weise können sie garantieren, dass P-Schlange und Q -Schlange keine gemeinsamen Nullstellen haben, weil die können sie eben mal daraus kürzen. Gut, machen wir das an einem Beispiel.
So, also Beispiel 2,18. Also ich gebe Ihnen eine rationale Funktion.
x hoch 3 plus 2x² minus 4x minus 5 geteilt durch x² minus x minus 2.
Und jetzt ist die Frage, woraus müssen wir das x nehmen? Und im Moment haben wir keine andere Wahl als mal zumindest die Nullstellen vom Nenner rauszunehmen. Was sind die Nullstellen vom Nenner? Wenn Sie sich den Nenner da anschauen, sieht man relativ schnell, dass 2 eine Nullstelle ist.
Setzen Sie mal 2 ein. 4 minus 2 minus 2 ist 0. Und wenn Sie die 2 abdividieren, stellen Sie fest, der Nenner ist x plus 1 mal x minus 2. Also die zweite Nullstelle ist minus 1. Das heißt, jetzt für den ersten Moment können wir nur sagen, naja, x darf aus R sein, aber vorsichtshalber erst mal nicht minus 1 und nicht 2.
So, und was man dann macht, um auf die Normalform zu kommen, ist eine Polynomdivision. Und das ist jetzt eine Stelle, wo wir sie uns nicht mehr durch den Horner ersetzen können. Hier müssen wir sie jetzt wirklich durchführen.
Also was passiert, wenn wir das machen? Kriegen wir x hoch 3 plus 2x² minus 4x minus 5 geteilt durch das Nennerpolynom x² minus x minus 2. Also Polynomdivision x hoch 3 durch x² gibt x.
Wieder rüber multipliziert, x hoch 3 minus x² minus 2x. Das Ding da oben abgezogen. x hoch 3 minus x hoch 3 fällt weg, so ist es gemacht. 2x² plus x² sind 3x². Minus 4x plus 2x sind minus 2x.
Und dann wieder die nächste Ziffer runter geholt, minus 5. So, 3x² durch x² ist 3, also hier plus 3. Und dann schauen wir mal, was übrig bleibt. 3x² minus 3x minus 6.
Und wenn wir das abziehen, 3x² minus 3x² gibt wieder 0. Minus 2x plus 3x ist x. Minus 5 plus 6 ist 1. Und Sie sehen, die Polynomdivision geht nicht auf. Das hat auch niemand erwartet oder das wäre ein großer Glücksfall, wenn die aufgeht.
Nur wir haben hier einfach das obere Polynom durch das untere Polynom geteilt. Aber was wir jetzt haben, ist, was jetzt da steht, liefert uns einen guten Hinweis in Richtung Normalform. Weil was diese Polynomdivision jetzt sagt, ist unsere rationale Funktion f von x.
Also das x hoch 3 plus 2x² minus 4x minus 5 geteilt durch x² minus x minus 2. Das ist erst mal x plus 3. Das ist der polynomialer Anteil, das ist das, was hier hinten steht. Plus der Rest geteilt durch den Nenner, also plus x plus 1 geteilt durch x² minus x minus 2.
Und das ist jetzt die Normalform, noch nicht ganz. Also was wir jetzt auf die Weise geschafft haben, ist, wir haben den polynomialen Anteil abgespalten. Das x plus 3. Der Grad vom Zählerpolynom ist auch schon kleiner als der Grad vom Nennerpolynom. Das muss so sein. Das war am Anfang nicht so.
Für die Normalform hätten wir gern, dass der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad. Das ist okay, aber wir haben noch gemeinsame Nullstellen. Wenn Sie sich erinnern, das hatte ich Ihnen oben hingeschrieben. Dieses Nennerpolynom können Sie faktorisieren als x plus 1 mal x minus 2. Jetzt sieht man, das x plus 1 können Sie einmal kürzen.
Und was dann als Normalform übrig bleibt, ist x plus 3 plus 1 durch x minus 2. Das ist die Normalform. Jetzt ist alles erfüllt. Sie haben das ganze ist H, Polynom H plus Polynom P-Schlange durch Polynom Q-Schlange.
Grad von P-Schlange ist kleiner als Grad von Q-Schlange. Grad von der 1 ist kleiner als der Grad von x minus 2. Und die beiden Polynome da in dem Bruch haben keine gemeinsamen Nullstellen. Das obere hat gar keine Nullstelle. Insofern ist es auch schwierig, eine gemeinsame hinzukriegen. Und was man jetzt hier auch sieht, wir waren am Anfang zu vorsichtig.
Was ist? Was das Schlange heißen soll. Das ist einfach nur ein anderes Polynom als P, was aber irgendwie zu P gehört. Ich hätte es auch K und L nennen können, in anderen Buchstaben.
Aber ich wollte die Nähe zu dem P dokumentieren. Das Schlange ist keine Rechenoperation oder so was. P-Schlange ist einfach ein anderes Polynom. Schlange im Sinne von ein abgewandeltes P.
Gut. Die Anfangsvorsicht, dass wir aus dem Definitionsbereich die 2 rausnehmen, war gerechtfertigt. Die 2 dürfen Sie auch hier nicht einsetzen. Aber minus 1 ist kein Problem mehr. Weil die Nullstelle minus 1, die im Länder war, die hat sich durchs Kürzen erledigt.
Also was man hier an jetzt auch sieht an der Normalform ist, F ist sogar auf der Menge R ohne 2 definierbar. Und die minus 1 können Sie mit reinnehmen.
Dazu muss man das F natürlich in die Normalform umschreiben. Wenn Sie den Bruch von oben stehen lassen, ist ein Formal minus 1 nicht einsetzbar, weil im Nenner Null rauskommt. Gut.
Wer noch ein Bildchen braucht, hier ist noch der Graph von der Funktion. Ich versuche mich mal. Also X-Achse, F von X. 1, 2 ist eine spannende Stelle.
3, 4, 5, 6. So, damit wir rauskriegen, was hier passiert. Schauen wir mal, was passiert. Zum Beispiel, wenn Sie Null einsetzen. Wenn Sie Null einsetzen, steht da 3 plus minus 1,5. Also 2,5.
Die Funktion geht also hier durch diesen Punkt 0, 2,5. Dann hat sie irgendwo eine Nullstelle. Die ist nah bei 2. Und es gibt zwei für die Funktion wichtige Geraden. Das eine ist die hier. An der Stelle X gleich 2 passiert irgendwas.
Mit dem, was sich da passiert, werden wir uns noch auseinandersetzen. Und dann gibt es diese Gerade X plus 3, Y gleich X plus 3, die da schon drin steckt. Hier ist 3. Y gleich X plus 3 sieht so aus. Und was jetzt rauskommt, ist folgende Funktion.
Die schmiegt sich hier an diese Gerade an. Geht hier durch 0, 2,5. Und dann kommt der große Absturz. Dann geht sie durch das Unendliche. Und kommt von oben wieder.
Und schmiegt sich schließlich wieder hier an die Gerade an. Von der anderen Seite. So sieht das Ding aus. Gut. Und Sie sehen, diese Normalform ist gut zum einen gut, um zu wissen,
was darf ich wirklich in die Funktion einsetzen. Aber man kann an ihr auch sehr viele Features vom Graphen direkt ablesen. Diese Stelle, an der die Funktion hier durch das Unendliche läuft. Die sogenannte Polstelle. Die sieht man direkt im Nenner. Und diese sogenannte Asymptote.
Also diese Gerade, an die sie sich im Unendlichen anschmiegt. Die steht auch direkt da. Das ist dieses X plus 3. Der polynomialer Anteil. Ich will noch gerade kurz diesen Begriff Polstelle beleuchten. Also diese Stelle 2. Die ist ja offensichtlich von dieser Funktion die spannende Stelle.
An der passiert ganz viel. Das nennt man eine Polstelle. Und das ist ein Phänomen, das natürlich bei Polynomen nicht auftaucht. Polynome sind auf ganz R definiert. Solche komischen Stellen, wo die plötzlich nach unendlich absauen, gibt es bei denen nicht.
Und das nennt man eben eine Polstelle. Den Begriff will ich gerade noch kurz einführen. Also wenn Sie zwei Polynome haben. Und f von x ist eben die ganz rationale Funktion, die Sie kriegen.
Wenn Sie p durch q teilen, dann nennt man eine Polstelle. Dann ist jede Nullstelle des Nenners, die keine Nullstelle des Zählers ist. Sie haben vorhin gesehen, der Nenner kann durchaus, gerade bei dem Beispiel,
minus 1 war eine Nullstelle vom Nenner. Aber bei minus 1 passiert hier überhaupt nichts Spannendes. Für x gleich minus 1. Hier in dem Bild würden Sie niemals sehen, dass das irgendwie eine interessante Stelle war. Aber wenn Sie eine Nullstelle des Nenners haben, die keine Nullstelle des Zählers ist,
dann kriegen Sie solche unendliche Effekte. Dann kriegen Sie solche Polstellen. Also wenn Sie eine Stelle b haben, und die ist eine L-fache Nullstelle von q, also vom Nenner,
und keine Nullstelle vom Zähler, also p von b ist ungleich Null, wenn Sie eine rationale Funktion haben, wo die Stelle oben und unten eine Nullstelle ist, dann müssen Sie wieder oben und unten den Linearfaktor ausklammern und die Nullstelle rauskürzen, solange bis sie entweder unten verschwindet.
Wenn sie unten verschwindet, dann war es keine Polstelle, weil dann ist sie weg, dann kann man jetzt durch diese Zahl einsetzen. Oder bis sie oben verschwindet, dann ist hier noch eine Polstelle, und dann müssen Sie gucken, wie oft das Ding noch als Nullstelle unten übrig geblieben ist, und dann nennt man das eben in dem Fall jetzt hier eine L-fache Polstelle.
Also dann nennt man diese Stelle b, L-fache Polstelle, auch ganz oft L-facher Pol, also dieses Wortteil Stelle lässt man gern weg von f.
Und wenn wir jetzt in das Beispiel von oben zurückgehen, da steht die Funktion noch, x plus drei plus eins durch x minus zwei, da ist das x minus zwei eine einfache Nullstelle des Zählers und keine des Nenners, also hier haben Sie einen einfachen Pol,
und ein einfacher Pol sieht in Grafen immer so aus, wie bei mir hier gemalt ist. So, das ist ein kurzer Ausflug in die rationalen Funktionen. Und wir kommen auf dieses asymptotische Verhalten später nochmal zurück.
Was wir hier gesehen haben, irgendwie ist diese Gerade x plus drei für diese Funktion von großer Bedeutung, und die Formulierung liegt nahe für ganz große x, für x gegen unendlich, für x nahe unendlich,
verhält sich die Funktion wie x plus drei. Und was uns noch fehlt, ist ein technisches Instrumentarium, um solche Aussagen sauber mathematisch zu formulieren, ist so ähnlich wie für ganz große x, ist so ein bisschen wie Schiwasch. Und das werden wir, das ist diese Fragen, wie kann man das sauber präzise machen,
und wie kann man diese Aussagen der Form verhält sich so wie in der Nähe, also für ganz große und ganz kleine x, wie kann man da einen mathematischen Kalkül machen, wie kann man das in Formeln pressen, das ist eigentlich das Hauptthema dieser Vorlesung Mathematik I.
Da kommen wir jetzt in den nächsten Wochen drauf, das wird uns hauptsächlich beschäftigen. Und was wir da, Sie sehen schon, das Problem an dem Schiwasch ist, man muss quantifizieren, was es bedeutet für ganz große x, und man muss quantifizieren, was es bedeutet, ist ganz nah dran. Und was man dazu machen muss, man muss einen Begriff für das Unendliche im Großen und für das Unendliche im Kleinen haben.
Also man braucht einen Begriff für ganz große x, man muss das Unendliche im Großen beherrschen, aber man muss auch das ganz nah dran beherrschen, im Sinne von unendlich klein, unendlich nah bei Null. Und das ist das Hauptthema dieser Vorlesung, und alles, was ich jetzt mache, steuert da langsam drauf hin.
Gut, und hier sehen Sie auch so ein Thema, wir brauchen an dieser Stelle ein Sprachwerkzeug, das genauer ist als so ungefähr wie, wenn die x ganz groß werden. In zwei, drei Wochen sind wir so weit.
Es gibt, bevor wir damit mit den Vorbereitungen wirklich anfangen, noch ein kurzes Kapitel in diesem Einführungsteil über Funktion. Und zwar möchte ich nochmal auf die trigonometrischen Funktionen zurückkommen. Das ist Kapitel 3, trigonometrische Funktionen, das waren Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens.
Die hatten wir schon mal bei unserer Behandlung der Geometrie in der Ebene angeschaut. Und was ich jetzt im Wesentlichen machen will, ist unseren Katalog von Eigenschaften,
die die Funktionen haben können, mal auf diese trigonometrischen Funktionen werfen und schauen, ob die gerade, ungerade und so weiter sind, ob die monoton sind, weil monoton ist gut, weil dann, wenn sie zumindest ein Stückchen monoton sind,
dann sind sie dort vielleicht injektiv, und dann können wir sie vielleicht umkehren und können die Umkehrfunktionen definieren. Und das ist jetzt das Hauptziel dieses Abschnitts. Also nochmal kurz Erinnerung an die Definition. Was waren Sinus und Cosinus?
Das war immer das gleiche Bildchen. Sinus und Cosinus stellt man sich am besten vor über den Einheitskreis. Also sie malen einen Kreis vom Radius 1 hin. Das ist immer leicht gesagt und in der Vorlesung schwer getan.
Also dann versuchen wir mal wieder das Glück. Ah, der geht nur nicht zu. Also ein Kreis vom Radius 1. Also das hier hat Länge 1. Jetzt haben Sie einen Punkt auf der Kreislinie. Und wenn Sie jetzt hier das Lot auf die x-Achse fällen, dann gibt das Ihnen hier,
dann haben Sie hier den Winkel Alpha. Dieser Abstand hier gibt Ihnen Cosinus Alpha. Und dieser Abstand hier auf der y-Achse ist Sinus von Alpha. Und das Ganze kann man jetzt, jetzt kann man das Alpha immer größer machen. Und man kann im Prinzip mit dem Alpha beliebig oft sich da rumdrehen
und man kann sich anders rumdrehen mit dem Alpha. Dann kriegt man negative Winkel. Auf die Weise kann man die Definition für alle Alpha in R ausweiten. Und was man sofort sieht, das wiederholt sich ständig. Also wenn Sie mit dem Alpha da rumlaufen, kommt alle 2 Pi das gleiche raus.
Und das ist das, was man die Periodizität dieser Funktion nennt. Also diese beiden Funktionen, Sinus und Cosinus, sind 2 Pi periodisch. Und das bedeutet genau das gerade Gesagte. Das bedeutet, dass wenn Sie Sinus von x haben
und jetzt laufen Sie noch ein ganzzahliges Vielfaches von 2 Pi weiter, dann kriegen Sie wieder das Gleiche raus wie vorher. Also k muss hier jetzt natürlich eine ganze Zahl sein. Aber für alle ganzen Zahlen z ist Sinus von x das Gleiche wie Sinus von x plus 2k Pi.
Das ist Periodizität. Und 2 Pi periodisch, weil man eben hier ganzzahlige Vielfache von 2 Pi addieren muss. Gleiches gilt für den Cosinus. Das sieht man an dem Bild da oben eigentlich sofort.
Dementsprechend kriegt man den charakteristischen Graphen von Sinus und Cosinus, indem man auch diese Periodizität sieht. Machen wir sie noch einmal hin. Also hier haben Sie x, hier haben Sie den Sinus von x.
Der Sinus von 0 ist 0. Jetzt müssen wir erstmal ein paar Pi, 2 Pi, Pi halbe, 3 Pi halbe. Nicht überraschend spielt die Zahl Pi bei den ganzen Betrachtungen zum Sinus und Cosinus eine Rolle. Minus Pi halbe, minus Pi, minus 3 halbe Pi und so weiter.
1 und minus 1. Und jetzt muss ich wieder mein zeichnerisches Glück versuchen. Also der Sinus von 0 ist 0. An der Stelle Pi halbe ist er 1. Dann fällt er ab. In Pi ist er wieder 0. An der Stelle 3 Pi halbe ist er minus 1. Dann kommt er in 2 Pi und ab jetzt sind sie 2 Pi weiter.
Das heißt ab jetzt geht es eben wieder so los wie von vorne. Hier nach unten auch. In minus Pi halbe ist er minus 1. In minus Pi ist er wieder 0. In minus 3 Pi halbe ist er 1. Und so weiter. Das ist der Sinus. Und der oszilliert da fröhlich für alle Zeiten so vor sich hin.
Dann malen wir dem noch den Bruder Cosinus dazu. Der Cosinus ist einfach im Prinzip ein verschobener Sinus. Der ist an der Stelle 0, 1. In Pi halbe wird er 0. In Pi ist er minus 1. In 3 Pi halbe ist er wieder 0.
In 2 Pi ist er wieder da wo er bei 0 war. Klar, der Wert in 2 Pi muss der gleiche sein wie bei 0 wegen der Periodizität. Und dann geht alles von vorne los. Und genauso im negativen auch wegen der Periodizität. Sieht ja genau gleich aus. Das geht auch in alle Ewigkeiten weiter. Und Sie sehen sofort eine wesentliche Formel, die wir auch schon dastehen hatten.
Wenn Sie den Sinus um Pi halbe nach links schieben, dann haben Sie den Cosinus. Das sieht man am Bild gleich. So, was hatten wir noch für Themen wie diese Funktion, also für Eigenschaften von Funktionen?
Wir haben uns über Gerade, Ungerade und über Beschränktheit unterhalten. Und das kann man natürlich alles sich auch sauber überlegen. Aber wenn man sich die Grafen anguckt, sieht man direkt der Cosinus. Die grüne Linie ist symmetrisch zur y-Achse.
Und das bedeutet, das ist eine gerade Funktion. Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das bedeutet der Sinus ist eine ungerade Funktion. Und dann, wie sieht es mit Beschränktheit aus? Das ist bei beiden offensichtlich der Fall.
Beide kommen nicht über die 1 und über die minus 1 raus. Also betragsmäßig ist der Cosinus und der Sinus gedeckt durch 1 oder durch 17 oder wo auch immer. Also auf jeden Fall ist er beschränkt. Damit haben wir das. Eine Warnung an der Stelle zum Thema Beschränkt.
Werden wir vielleicht auch noch sehen, aber vielleicht auch nicht. Cosinus und Sinus können Sie auch für komplexe Argumente definieren. Also Cosinus von z und Sinus von z. B kann ich Ihnen auch noch zeigen. Und da geht das schief.
Der komplexe Sinus und der komplexe Cosinus sind nicht beschränkt. Ganz schlimm sogar, wenn sie die falsche Richtung laufen. Also wenn sie entlang der imaginären Achse laufen, dann wachsen die exponentiell schnell. Also die sind nicht nur nicht beschränkt, sondern die sauen ab wie Rakete. Also bitte aufpassen.
Für den reellen Sinus und Cosinus gilt das. Die beliebte Abschätzung von Sinus ist immer kleiner als 1. Aber nicht, wenn da ein komplexes Argument drin steht. Das wird dann gerne im Eifer des Gefechts ignoriert. Aber da wir keine komplexen Cosinus und Sinus haben, ist in dieser Vorlesung gerade die Gefahr gering. Ich sage das nur so für die Allgemeinbildung und für das langfristige Aufpassen.
So, dann hatten wir damals bei den trigonometrischen Funktionen noch den Tangens und den Cotangens definiert. Der Tangens war der Quotient aus Sinus und Cosinus da, wo das Sinn macht. Also da, wo der Cosinus nicht null ist.
Und der Cotangens war das umgekehrte. Also der Quotient aus Cosinus und Sinus da, wo das Sinn macht. Also wo der Sinus nicht null ist. Auch da nochmal schnell die Graphen.
Die sehen völlig anders aus, die beiden Funktionen, weil die haben jetzt wieder Polstellen. So, fangen wir mit dem Tangens an. Der Tangens ist Sinus durch Cosinus.
Das heißt, der hat seine Problemstellen da, wo der Cosinus null ist. Der Cosinus ist null bei Pi halbe und bei 3 Pi halbe und bei minus Pi halbe und so weiter.
Also die Problemstellen vom Tangens liegen hier bei x gleich Pi halbe, bei x gleich 3 halbe Pi, bei x gleich minus Pi halbe. Das sind die Problemstellen vom Tangens. Und ansonsten sieht der dann so aus.
Ich mach Ihnen mal den Ast hier hin. Der kommt hier aus dem Unendlichen angelaufen. An der Stelle null ist der Tangens null. Bei Tangens von null ist Sinus von null durch Cosinus von null. Also null durch eins ist null. Und dann läuft er hier wieder hoch. Eine ziemlich stark wachsende Funktion. Und wenn er dann sich den ganzen Berg auf durchgearbeitet hat, bis er im Unendlichen angekommen ist, dann muss er wieder losklettern.
Also eine echte Sisyphus-Funktion. Und wenn er dann wieder oben ist, naja, dann fängt er halt von vorne an. Und so geht das davor auch schon die ganze Zeit und in alle Ewigkeit. Immer wieder den Berg rauf.
Sein Kollege der Cotangens hat es ein bisschen einfacher, weil er kann immer runterklettern oder runterfallen. Also machen wir noch den Cotangens dazu. Der hat seine Polstellen an den glatten Pi-Einträgen, also null Pi Pi halbe, ne, null Pi, zwei Pi und so weiter.
Und kommt vom Unendlichen her, geht nach unten, verschwindet hier, kommt wieder von oben runter und so weiter. Jetzt muss ich ihn da, da kommt er her, da geht er runter und so. So, das ist der Cotangens.
Also schauen wir uns auch die Graphen an. Was gilt für diese Funktion? Das Erste ist, die sind auf jeden Fall mal unbeschränkt. Das sieht man, denke ich, sofort.
Die laufen oft genug zu beliebig großen Werten. Beide sind sie ungerade. Beide sind sie punktsymetrisch zum Ursprung. Und sie sind beide auch periodisch. Aber sie sind nicht zwei-Pi-periodisch, sondern sie sind sogar Pi-periodisch.
Der Graph wiederholt sich immer schon nach der Länge Pi. Gut, das sind die. Und jetzt ist, wie gesagt, die Frage, um die ich mich hauptsächlich hier kümmern will, wie sieht es mit Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen aus?
Und da können Sie natürlich sofort schreien, um Himmels willen. Brauchen wir doch gar nicht erst versuchen. Weil wenn es Funktionen gibt, die nicht injektiv sind, dann ja wohl die. Wie oft nimmt zum Beispiel der Tangens den Wert null an? Naja, in null, in Pi, in zwei Pi, in drei Pi, in vier Pi, in fünf Pi, in sechs Pi. Und wenn ich versuche alle Nullstellen aufzuzählen,
dauert die Vorlesung heute ziemlich lang. Aber wenn ich die unendlich vielen rechts habe, kommen hier noch die unendlich vielen links. Also injektiv können wir komplett in die Torne treten. Weil es ist nicht nur so, wie bei der Quadratfunktion, dass einzelne Werte doppelt auftreten als Werte,
sondern jeder Wert wird unendlich oft angenommen. Ja. Und was hilft dagegen? Was hat geholfen bei der Quadratfunktion, um die mit Gewalt injektiv zu prügeln? Wir haben den Definitionsbereich eingeschränkt. Wir haben gesagt, wir gucken uns die Funktion x² nur für positive x an. Dann sind wir das Problem mit den mehreren Werten los.
Also mit den mehreren Urbildern eines Wertes los. Und genau das Gleiche müssen Sie hier auch machen. Man muss halt nur noch radikaler werden. Was Sie machen müssen ist, zum Beispiel für den Tangens, Sie müssen den Definitionsbereich jetzt nicht sagen, Sie nehmen nur die positiven x. Das nutzt nichts, weil auch für die positiven x der Tangens noch unendlich viele Nullen stellen.
Sondern Sie nehmen sogar nur offen dieses Intervall hier. Sie nehmen sich sozusagen nur diesen einen Ast vom Tangens. Und wenn Sie sich nur diesen Bereich anschauen, dann stellt man fest, er könnte gut klappen. Das Ding ist ziemlich streng monoton wachsend.
Und in dem Sinne können wir das invertieren. Auf diesem Stück gibt es eine Umkehrfunktion. Und die will ich jetzt einführen. Gucken wir uns das Gleiche noch beim Sinus und beim Cosinus an. Gehen wir mal zu dem Bild da hoch. Da haben Sie das gleiche Problem.
Natürlich sind die auch weit weg von injektiv. Und auch da müssen Sie sich einfach ein Stück raussuchen, auf den Sinus und Cosinus streng wachsend oder streng fallend sind. Und die übliche Methode ist da zu sagen, für den Sinus ist das Intervall abgeschlossen von pi halbe bis pi halbe.
Auf dem Stück ist der Sinus monoton wachsend. Und für den Cosinus nimmt man üblicherweise das Intervall von 0 bis pi.
Weil auf dem Stück ist der Cosinus streng monoton fallend. So, und damit definieren wir uns jetzt die Umkehrfunktion. Und das ist, diese Umkehrfunktion nennt man Arcusfunktionen.
Vom lateinischen Wort für den Bogen, für den Kreisbogen. Und das entspricht der Nummer 811. Also, fangen wir mit dem Sinus an.
Da hatte ich Ihnen gerade gezeigt, wenn Sie den einschränken auf das Intervall minus pi halbe bis pi halbe, dann gibt das eine streng wachsende Funktion. Und das Bild davon ist das ganze Intervall von minus eins bis eins. Und das ist streng wachsend.
Damit haben Sie zumindest injektiv. Und da ich als Bild nur minus eins eins genommen habe, auch subjektiv. Das heißt, die ist bijektiv. Und die Umkehrfunktion existiert. Und diese Umkehrfunktion kann man nicht ausdrücken oder hinschreiben mit den bekannten sonstigen Funktionen. Also, diese Umkehrfunktion ist kein Polynom. Und es ist auch keine rationale Funktion.
Sondern es ist was anderes, was neu ist. Und deswegen bleibt einem nichts anderes übrig, als dem Ding einen neuen Namen zu geben. Und diese Umkehrfunktion nennt man den Arcussinus. Kurz vor dem Arxin. Und das ist jetzt natürlich eine Funktion vom Bild vom Sinus auf den Definitionsbereich vom Sinus, so wie gewählt. Also eine Funktion von minus eins eins nach minus pi halbe pi halbe.
Und das Ding heißt eben Arcussinus. Das ist die Umkehrfunktion. Ein paar Werte dieser Umkehrfunktion können Sie angeben.
Sie wissen, Sinus von Null ist Null. Also, Umkehrfunktion muss der Arcussinus von Null auch Null sein. Wenn der Sinus Null ausspuckt, muss der Wert vorher Null gewesen sein. Oder wir wissen zum Beispiel, gucken Sie nochmal an die Tabelle, die ich Ihnen am Anfang gegeben habe. Sinus von Pi sechs Lissen halb.
Damit kriegen Sie zum Beispiel, dass der Arcussinus von ein halb Pi sechs ist. Sobald man einen Wert vom Sinus weiß, liefert einem das den entsprechenden Wert vom Arcussinus. Genauso kann man den Cosinus behandeln.
Oben am Bild gesehen, wenn Sie den Cosinus auf dem Intervall Null Pi hernehmen, dann bildet der das auf das Intervall minus eins eins ab. Und ist auf dem Intervall Null Pi streng fallend. Das heißt, auch den können Sie umkehren und diese Umkehrfunktion ist der Arcus, der Arcuscosinus.
Ist eine Funktion, die jetzt auf minus eins eins definiert ist und auf das Intervall Null Pi geht. Und eben den Cosinus umkehrt. Heißt Arcuscosinus.
Auch da kann man jetzt, sobald Sie den Wert vom Cosinus haben, können Sie daraus den Wert vom Arcuscosinus hinschreiben. Ich mal Ihnen mal die Graphen von den beiden Dingern hin. Also die sind beide definiert auf dem Intervall minus eins eins.
Der Arcussinus und der Arcuscosinus. Da machen wir mal Pi halbe hin. Da machen wir mal Pi hin. Dann brauchen wir noch minus Pi halbe. So, was muss man machen? Man muss sich den Cosinus und den Sinusgraf nehmen und an der Winkel halbieren spiegeln.
Und was dabei rauskommt, ist erstmal für den Arcusinus das Folgende. An der Stelle Null ist er Null. Haben wir oben gesehen. An der Stelle ein halbes ist er Pi sechstel. Das ist ein bisschen blöd einzumalen. So ungefähr. Und was ist er an der Stelle minus eins?
Für welchen Alpha ist der Sinus minus eins? Das ist bei minus Pi halbe. Das heißt bei minus Pi halbe ist er minus eins. Hier geht er durch. Bei eins ist er Pi halbe. Muss er nach da. Und das Ganze ist die gespiegelte Version vom Sinusgrafen.
Naja ein bisschen steiler am Anfang und ein bisschen mehr Kurve. Und jetzt den Arcuscosinus.
Der ist an der Stelle eins ist er Null. Weil Cosinus von Null ist eins. An der Stelle Null ist er Pi halbe. Weil Cosinus von Pi halbe ist Null. Und dann läuft er hier so rüber.
Und mehr kann man jetzt auch nicht hinmalen. Wenn Sie jetzt versuchen würden diese Grafen weiter zu malen. Wenn Sie jetzt einfach die Cosinusgraf nehmen und dieses Spiegeln an der Winkel halbieren weiterziehen. Der Cosinusgraf würde dann hier eben so weitergehen. Und hier so. Und da sehen Sie schon, wenn Sie das machen, kriegen Sie keine Funktion mehr.
Also ein Graf von der Funktion darf eben nicht zurücklaufen. Weil dann haben Sie keine eindeutige Zuordnung mehr. Das ist die Stelle wo Sie die Injektivität brauchen. Also an der Stelle ist wirklich Schluss. Und Sie können eben den Arcuscosinus und den Arcussinus nur auf diesem Intervall. Minus eins eins mit Werten auf diesem Stückchen da definieren.
Und diese Funktionen sind auch die beiden Funktionen die Ihnen Ihr Taschenrechner ausspuckt. Wenn Sie da auf Minus eins und Sin drücken. So das gleiche kann man für den Tangent machen. Das habe ich vorhin am Bild schon gezeigt. Beim Tangent sieht die Sache schöner aus in dem Sinne.
Wir müssen uns zwar hier vom Definitionsbereich auch auf das Intervall. Also vom Tangent auf das Intervall minus pi halbe pi halbe einschränken. Aber was ist das Bild der Angelegenheit? Was ist das Bild vom Tangent auf diesem Intervall minus pi halbe pi halbe? Welche Werte werden angenommen? Ziemlich viele, nämlich alle in R.
Das heißt die Umkehrfunktion vom Tangent ist definiert auf ganz R. Und hat Werte eben nur in diesem Intervall minus pi halbe pi halbe.
Malen wir uns das auch noch hin. Also definieren wir das erstmal. Also C der Tangents. Haben wir gesagt wenn wir den auf das Intervall minus pi halbe pi halbe einschränken. Dann ist das eine streng wachsende Funktion und das Bild ist R.
Das heißt auf diesem Intervall minus pi halbe pi halbe können wir das Ding umkehren. Und jetzt genau wie oben diese Umkehrfunktion heißt Arcus Tangents. Arctan ist definiert auf dem Bild vom Tangents, also auf R. Und ihre Werte liegen zwischen minus pi halbe und pi halbe. Und das Ding heißt Arcus Tangents.
Jetzt können Sie das ganze Spielchen noch mit Cotangents machen. Der Vollständigkeit halber. Wobei ich muss ehrlich zugeben. Die Funktion ist mir im Leben noch nicht so oft über den Weg gelaufen. Aber gut, machen wir es auch noch. Wenn Sie den Cotangents auf das Intervall 0 bis pi einschränken. Dann gibt das eine streng fallende Funktion mit Werten in ganz R.
Die können Sie auch umdrehen. Das Ding heißt dann ganz kanonisch Arcus Cotangents. Das ist eine Funktion auf R und entbehrt den 0 pi an. Aber die wichtige Funktion an der Stelle ist der Arcus Tangents. Den werden wir noch häufiger wiederfinden.
So, auch die können ich Ihnen noch schnell hinmalen. Zumindest mal den Arcus Tangents male ich Ihnen hin. Da brauchen wir pi halbe und minus pi halbe. Das sind hier zwei wichtige Stellen.
Und der Arcus Cotangents ist jetzt die auf die Seite gelegte Tangentschlange. Also der kriecht hier langsam von unten heran. In 0 ist er 0. Und dann ist der Kletter Elan auch schon wieder vorbei. Danke.
kriegt er weiter hoch. So, das ist eine streng monoton wachsende Funktion, wächst langsam, aber vor sich hin und das ist eben der Graf vom Akkustangens. So, gut, das war nochmal so ein kurzer Rückausflug in den Bereich der trigonometrischen Funktion
und wir haben jetzt eben nochmal ein paar neue Funktionen eingeführt. Akkusinus, Akkuskosinus, Akkustangens und meinetwegen noch den Akkuskotangens und damit
will ich sozusagen dieses Einführungskapitel in Funktionen abschließen und mich jetzt dem vorhin erwähnten, sagen wir mal, Kern der Sache zuwenden. Das Ziel ist also, wie vorhin erwähnt, eine mathematisch exakte Behandlung des unendlich
großen und des unendlich kleinen zu erreichen und dazu hole ich ein bisschen aus und wie gesagt, das ist das, was jetzt oder vor allem das, was dann in der nächsten Woche kommt, ist die Basis für ganz viel, was danach kommt und der entscheidende Begriff
an der Stelle ist der Begriff der Konvergenz, um den wollen wir uns jetzt kümmern. Konvergenz ist das mathematische Konstrukt, das es erlaubt, über Unendlichkeit mathematisch
exakt zu sprechen und mathematisch exakte Aussagen über Unendlichkeit zu machen, die besser sind als, für ganz große X ist das so ungefähr gleich wie, sondern ganz exakt und was ich in diesem Kapitel 4 noch unterbringe, ist der Begriff der Stetigkeit, der dann darauf aufbaut, das sind zwei fundamentale Begriffe in diesem
Bereich Umgang mit dem Unendlichen und vielleicht auch nochmal für den Hintergrund davon, dieser exakte Umgang mit dem Unendlichen ist im Prinzip die Grundlage dafür, dass die Mathematik in den modernen Naturwissenschaften und den modernen Ingenieurwissenschaften
so einen hohen Stellenwert hat, weil ganz viele Modellierungsmethoden und ganz viele Techniken, die man verwendet, im rechnerischen Alltag fußen auf Überlegungen, die mit
dem Umgang mit dem Unendlichen zu tun haben, dazu gehört, wo wir noch hinkommen werden, eben der Begriff der Ableitung, ich denke, Sie werden ihn aus der Schule kennen, der ist nicht denkbar, ohne einen sauberen Umgang mit dem Unendlichen, weil was man gemacht ist, messen kann man immer nur Durchschnittsgeschwindigkeiten, man kann immer nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit
messen, über ein gewisses Zeitintervall, jetzt können Sie das Zeitintervall natürlich kleiner machen, dann haben Sie eine Durchschnittsgeschwindigkeit über ein kleineres Zeitintervall und für den Alltag reicht das ja auch, weil kein Fahrzeug beschleunigt so wahnsinnig
schnell, als dass man nicht mit einem klein genug Zeitintervall eine vernünftige der momentanen Geschwindigkeit kriegen würde, aber das ist natürlich nie die wahre Größe, wenn man rechnen will, würde man gerne mit der wirklich momentanen Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t rechnen, die ist aber sozusagen praktisch unerreichbar, wenn man immer
nur ein endliches Intervall messen kann, man muss ja messen, wie viel Weg habe ich in der Zeit, in einer Zeitdifferenz Delta t zurückgelegt und das ist eben immer ein ganzer Weg, und dieses Problem hat auch die Mathematiker lang beschäftigt und ist lang nicht gut gelöst worden und erst mit diesem, diese Lösung dieses Problems,
wie fasse ich mathematisch eine momentanen Geschwindigkeit, das ist der große Durchbruch, der dann auf der einen Seite den eigentlich zwei große Menschen Newton und Leibniz gleichzeitig hingekriegt haben, Newton hat darauf sein ganzes Gedankengebäude gebaut,
das mit der klassischen Mechanik zu tun hat, Leibniz die Differenzialrechnung, das war einer der Durchbrüche in der Mathematik, ich kann es noch was anderem festmachen, weil da schon, dass man sozusagen durch ganz alltägliche Beobachtungen plötzlich
im Unendlichen landet, altes Griechenproblem, wie groß ist Pi? Und da hat schon Archimedes eine schlaue Idee gehabt, mit der er aber nicht wirklich weiter kam, also wenn Sie einen Kreis oder ungefähr einen Kreis haben, dann ist Pi bekanntermaßen das Verhältnis
vom Umfang zum Durchmesser, die Frage ist nur, wie groß ist Pi? Und die Idee von Archimedes ist einfach, Sie approximieren Ihren Kreis durch regelmäßige N-Ecke, also Sie malen da ein regelmäßiges Fünfeck rein, für das Fünfeck lässt sich der
Umfang relativ leicht bestimmen, den Gradius vom Kreis nehmen Sie eins, dann müsste der Umfang von der Kreislinie die Länge in den Gradius eins nehmen, wenn Sie den
Umfang Pi, also nehmen Sie einen Kreis mit Durchmesser eins, dann rechnen Sie den Umfang von dem Fünfeck aus, das kriegt man hin und das ist dann natürlich eine zu kleine aber Approximation von Pi und wenn Sie es genauer haben wollen, nehmen Sie halt keinen Fünfeck, sondern einen Zwölfeck oder einen 57-Eck oder einen 182-Eck,
dann steigt natürlich der Rechenaufwand, aber Sie kriegen immer genauere Approximation von Pi. Und was ist jetzt Pi? Na ja, Pi ist jetzt irgendwie das, was passiert, wenn Sie das immer weiter machen, in so ein Endliche. Auf die Weise landen Sie im Unendlichen und die Frage ist, was passiert also mit diesen Umfängen von diesen ganzen
N-Ecken, wenn Sie mit N beliebig groß werden? Und am Ende kommt natürlich Pi raus. So und diese Frage, wie kann man dieses, am Ende kommt dann irgendwie Pi raus, das ist wieder so eine Vischivaschi-Beformulierung. Und was ich jetzt machen will, ist ein Programm,
um diese Vischivaschis loszuwerden, sondern eine exakte Formulierung, da kommt nicht irgendwie Pi raus, sondern in welchem Sinne konvergiert diese Folge der Umfänge, wenn Sie regelmäßige N-Ecken anschauen, gegen Pi. So und jetzt habe ich gerade schon die magischen Wörter
benutzt, Folge und konvergiert. Und an dem Beispiel hier denke ich, kann man auch gut klar machen, was eine Folge ist. Die Folgen sind für uns in dieser Vorlesung hier, das Vehikel, um uns behutsamer dem Unendlichen zu nähern. Man kann auf viele Wege zum
Unendlichen gehen und wenn wir jetzt versuchen und sofort dem Problem der Momentangeschwindigkeit zuzuwenden, dann überfordern wir uns, weil das, ja das ist konzeptionell schwierig, weil man es mit Funktionen zu tun hat. Und es ist besser, man nimmt sich erstmal
ein einfaches Modell, in dem die Unendigkeit sozusagen relativ übersichtlich verpackt ist. Und dieses Modell sind Folgen und dafür ist dieses Bild mit den N-Ecken hier oben ein gutes. Stellen Sie sich mal vor, Archimedes macht das also, approximiert seinen
Kreisumfang, dann könnte er für das Fünfeck ausrechnen, wie lang der Umfang ist und diesen Umfang würde man dann sinnigerweise A5 nennen. Vielleicht würde man ihn U5 wie Umfang nennen, aber ich nenne ihn jetzt mal A5. Das ist der Umfang des Fünfecks und dann sagt man, das ist einem nicht genau genug. Jetzt nimmt man einen Zehneck.
Warum gerade 10, weil das kann ich hier ganz gut reinmalen. Und jetzt sieht man, wie ungenau meine Zeichnung war. Und den Umfang von dem Zehneck, den nennt man dann sinnigerweise A10 und jetzt können Sie im Geiste das weitermachen. Ja, Sie können ein Elfeck nehmen, ein Zwölfeck und solange wir das als Gedankenexperiment machen,
ist es okay, weil dann müssen wir nicht rechnen. Und auf die Weise kriegen Sie für jedes für jede Eckenzahl einen Umfang, eine Zahl. Und so ein Konzept, so eine unendlich lange Liste von Zahlen, das ist das, was man eine Folge nennt. Also eins eins, was ist
eine Folge? Das ist entsprechend sechs eins. Ich schreibe es gleich in mathematisch sauber sprechen, aber erst mal, so wie man es sich am besten vorstellt, eine Folge ist eine unendliche Zahlenliste. Denken Sie dabei, ein Beispiel wäre Sie
neben Archimedes, der sich eben für jede Anzahl von Ecken seine Approximation für Pi hinschreibt. An ist dann eben der Umfang des Nx, das er in seinen Kreis reinlegen kann. So, wie machen wir jetzt so eine unendliche, also so eine unendliche Zahlenliste A1, A2, A3, A4 und so weiter. So, was ist die mathematische Definition?
Wenn Sie die sehen, wissen Sie, warum ich es Ihnen erst so motiviert habe. Mathematisch ist eine Folge nichts anderes als eine Funktion. Mathematiker lieben es, alles in Funktionen
und Mengen hinzuschreiben. Eine Funktion, ich nenne die mal A, von N nach R. Das Ding heißt eine Folge, also eine Funktion, die jeder natürlichen Zahl einen Wert A von N zuordnet. Insofern ist eine Folge überhaupt nichts Neues. Eine Folge ist einfach
eine Funktion von N nach R. Was hat jetzt dieses Bild mit dem Bild unendliche Zahlenliste zu tun? Man schreibt meistens die Folgen nicht so hin, sondern man schreibt meistens
eben An statt A von N und stellt sich so eine Folge vor. Das Schöne an den natürlichen Zahlen ist, man kann sie durchnummerieren. Die sind ja sozusagen schon durchnummeriert. Die sind ihre eigene Durchnummerierung. Die sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und so weiter. Und wenn ich jetzt eine Funktion von N nach R habe, heißt das, ich habe
eine reelle Zahl, die zur 1 gehört. Das A von 1, die A1, die reelle Zahl, die zur 2 gehört, das A2, eine, die zur 3 gehört, das A3. Und auf diese Weise enthält diese Abbildung A meine Liste von Zahlen. A57 ist eben das A von 57. Und diese Liste von Zahlen schreibt man eben dann so wie oben mit einem Index An ist das
ende Folgeglied, ist das A von N. Und für die ganze Folge schreibt man meistens so etwas wie die Liste An mit N aus N oder auch manchmal An, N größer gleich 1,
oder so wie oben A1, A2, A3, A4, Pünktchen, Pünktchen, Pünktchen. Gut. Und jetzt sehen Sie, da steht eine Liste. Da steht eine Liste von Zahlen. Aber formal,
mathematisch ist es eben eine Funktion, die jeder natürlichen Zahl, eine reelle Zahl zuordnet. Und zwar genau die, die an der Stelle, also der natürlichen Zahl N wird die reelle Zahl zuordnet, die an der enden Stelle in der Liste steht. Noch zwei Wörter, die ich oder ein Wort, das ich gerade schon verwendet habe und eins,
das ich garantiert noch hundertmal verwenden werde. Das einzelne An nennt man ein Folgeglied. Die Folge selbst besteht aus und in die vielen Folgegliedern A1, A2, A3 und so weiter. Und dieses N wird ganz oft als Index bezeichnet, weil es eben im Index
steht. Gut. Das ist Definition Folge. Und wenn es sich jetzt nach einem fürchterlich komplizierten Konzept anhört, glauben Sie nicht dran, es ist wirklich einfach eine Liste von Zahlen. Die Liste von Zahlen ist nur unendlich lang. Und es ist ja auch der Sinn davon, wir wollen eine unendlich lange Liste von Zahlen, weil wir wollen uns mit dem
Unendlichen in den Griff kriegen und quantitativ über das Unendliche sprechen können und zwar exakt darüber sprechen können. Und diese Folgen bieten uns sozusagen eine Spielwiese, wo das Unendliche relativ übersichtlich verpackt ist. Sie haben einfach eine unendlich lange Liste von Zahlen. Und tatsächlich tut man sich diese Aktion,
wir definieren, was ist das, das Unendliche und was ist das, was passiert im Unendlichen, was ist ein Grenzübergang. Wir definieren das ein einziges Mal für Folgen und alle anderen,
alle anderen Momente, wo wir ins Unendliche gehen müssen, spielen wir definitorisch auf die Folgen zurück. Alles andere fußt auf dieser eine Definition für Folgen. Deswegen ist die so wichtig und deswegen investiere ich jetzt auch hier so viel Zeit, dass ich das rüberbringe. An der Stelle noch ein paar grundsätzliche Bemerkungen, also was heißt
grundsätzlich Dinge, die noch allgemeiner sind, als ich es hier vorführe und so weiter. Das erste ist alles, was ich Ihnen hier erzähle, geht auch mit C statt R. Ich habe jetzt hier
gesagt, nehmen Sie Folgen sind Funktionen von N nach R, sind unendlich lange Listen von reellen Zahlen. Sie können natürlich auch unendlich lange Listen von komplexen
Zahlen nehmen. Und alles, was ich hier mache, geht genauso. Das nennt man dann komplexe Folgen. Also fast alles, was ich hier mache, geht genauso. Ich werde, damit wir jetzt nicht noch einen Abschreckungseffekt haben, das ganze Kapitel nur in R machen. Und ich denke auch, 95% von Ihnen werden mit reellen Folgen auskommen. Diejenigen, die später
im Studio mit komplexen Folgen zu tun haben, müssen sich ein Buch schnappen und kurz nachgucken, dass wirklich alles genauso ist, wie ich es Ihnen erzählt habe. Aber das ist dann auch nicht mehr schwierig. Ich will es nur gesagt haben, Sie können hier fast überall ein R durch ein C ersetzen. So, dann zweite Bemerkung an der Stelle.
Ich hatte Ihnen gesagt, eine Folge ist so eine unendlich lange Liste A1, A2, A3, A4, A5, A6. Wenn Sie jetzt wieder an unseren Archimedes denken, dann hat er Schwierigkeiten, einen A1 zu definieren. Weil zeigen Sie mir mal das Eineck, das Sie in den Kreis rein tun können. Mit den Einecken ist das nicht so weit her. Das heißt, der würde
sinnigerweise bei A3 anfangen, wenn überhaupt. Wahrscheinlich würde er erst bei A25 anfangen, weil die Nährungen davor sind eher alle zu schlecht. Soll heißen, diese Festlegung, eine Folge muss unbedingt bei N gleich 1 anfangen, ist einfach zu stark. Und im Allgemeinen ist das auch völlig wurscht, ob die Folge bei 1 anfängt, weil was uns interessiert ist ja
eh, was passiert im Unendlichen und nicht da vorne. Das heißt, eine Folge muss nicht immer bei 1 starten. Ich werde trotzdem fast immer das so hinschreiben, als würde sie bei 1 starten. Aber alles, was ich hier erzähle, gilt auch für Folgen, die bei 17 starten.
Also, natürlich macht es, Sie können Sie eine Folge anschauen, die zum Beispiel noch ein Nulltes Element hat, ein A0. Sie können aber natürlich Sie Archimedes sagen, größer gleich 5. Sie können auch bei minus 7 anfangen. Total egal. Wichtig
ist, Sie müssen einen Anfang haben. Ja, also N aus Z ist nicht. Sie müssen einen Anfang haben, einen klar definierten Anfang und ab da dann unendlich viele Einträge. Also, können Sie sich vorstellen, so eine Folge, stellen Sie sich einfach vor, ist erst mal nur eine Liste von Zahlen. Und wie Sie die Liste jetzt durchnummerieren,
ob Sie Ihre Excel-Tabelle in der Spalte Zeile 0 oder in der Spalte Zeile 33 anfangen, ist einfach Schnurz. Das Problem ist nur, Sie brauchen eine unendlich lange Excel-Tabelle. Das ist für die meisten Computer schwierig. Also, allgemein können Sie A n, n größer gleich n 0 und n 0 ist halt irgendeine ganze Zahl. Das ist okay.
Und das kommt auch vor. Gut, vielleicht nicht gerade minus 7, das habe ich jetzt noch nicht gesehen, aber eine Folge, die in der Numerierung bei 0 anfängt oder bei 2 oder bei 3 ist nichts Ungewöhnliches. Und alles, was ich Ihnen jetzt im
folgenden erzähle, gelten auch für diesen Fall, für diesen allgemeineren Fall. Daran hängt es nicht. Und wenn Sie sich darauf beru- wenn Sie unbedingt wollen, dass jede Folge bei 1 anfängt, müssen Sie sie halt umnummerieren.
Also, gilt auch im allgemeinen Fall. So, jetzt habe ich Ihnen erzählt, was eine Folge ist. Wie schreibt man denn jetzt so eine konkrete Folge hin?
Da gibt es verschiedene Möglichkeiten. Je nachdem, wie man die hat. Die einfachste Art, Sie schreiben die Liste einfach direkt hin. Also zum Beispiel eine Folge, mit der wir uns noch ein paar Mal beschäftigen werden. 1, 1 ½, 1 drittel, 1 viertel,
1 fünfte und so weiter. Ich denke, jeder kann sich denken, wie es weitergeht. Diese Methode, eine Folge hinzuschreiben, lebt davon, dass jeder kann sich denken, wie es weitergeht. Also, wenn Sie eine etwas komplexere Folge haben, ist das keine gute Methode, weil man eben nicht immer das
Bildungsgesetz sofort sieht. Aber für einfache Folgen ist das eine adäquate und gute Methode. Also, zweites Beispiel wäre zum Beispiel diese Folge hier. Ist auch eine Folge. Ich denke, auch hier weiß jeder, wie es weitergeht. 1, –1, 1, –1, 1, –1, –1, –1. Ist eine sogenannte alternierende
Folge. Ja, auch der Begriff ist. Kommt noch, ist aber hier wahrscheinlich relativ selbsterklärend. Das ist die einfachste Methode, eine Folge hinzuschreiben. Eignet sich, wie gesagt, nur für sehr einfach aussehende Folgen, weil man nämlich sonst das Bildungsgesetz an den ersten Fünf nicht erkennt und dann wieder Oxfamberg steht. Die zweite Möglichkeit ist,
Sie schreiben eine explizite Formel hin. Zum Beispiel können Sie die Folge, die oben beim Thema Liste als erstes steht, auch so schreiben, a n ist 1 durch n, n aus n. Das wäre genau die gleiche Folge, die oben drüber steht. Für n
gleich 1 ist es 1, dann kommt ein halb, dann kommt ein drittel, dann kommt ein viertel, dann kommt ein fünftel und so weiter. Vorteil dieser Schreibweise ist, Sie entbinden den Leser von der Aufgabe, errate das Bildungsgesetz. Das ist, wenn die Folgen hier hinten, die können Sie auch so schreiben, minus 1 hoch n, den Trick
wollte ich Ihnen mal gezeigt haben, kommt nämlich häufig vor. Minus 1 hoch n ist die Folge, die immer abwechselnd 1 minus 1, 1 minus 1, 1 minus 1 erzeugt. Stopp, jetzt habe ich es verhuft, weil wenn ich hier mit n gleich 1 anfange, ist mein erster Folgendeintrag minus 1 und bei der Folge oben drüber ist es 1, aber das kriegen wir gelöst. Also minus 1 hoch n plus 1. Jetzt ist es die Folge,
die oben drüber steht. 1 minus 1, 1 minus 1, 1 minus 1 und so weiter. Ein weiteres Beispiel, den expliziter darstellen, damit Sie sehen, wo das Ende der Listendarstellung ist, zum Beispiel die Folge 1 durch Ente Wurzel aus
N Fakultät. N aus N ist eine wunderbare Folge, taucht uns auch später nochmal auf. Wenn Sie von der jetzt einfach die ersten 5 hintereinander schreiben und dann Pünktchen, Pünktchen, Pünktchen, würde ich fürchten, dass zumindest wenn Sie es in konkreten Zahlen hinschreiben, womöglich noch in
Dezimalbrüchen mit den ersten vier Stellen, dann sieht keiner mehr, wo das herkommt. Da ist es dann besser, das so hinzuschreiben. So, das sind die ersten zwei Möglichkeiten, Liste und explizit und jetzt gibt es noch eine dritte, die kommt man nicht so direkt, die ist aber
auch relevant und ich sage Ihnen gleich warum und das ist die sogenannte rekursive Definition einer Folge und das ist das, was Sie immer kriegen, wenn Sie Nährungsverfahren oder wenn Sie irgendwelche iterativen Prozesse Nährungsverfahren machen, um näherungsweise Probleme zu lösen. Und eine rekursive Folge ist eine, bei
der Sie nicht eine Formel haben, mit der Sie das 357 Folgeglied ausrechnen können, sondern eine, wo Sie wissen, was das erste Folgeglied ist und dann haben Sie eine Formel, die Ihnen sagt, wenn Sie das 356 schon kennen, dann
können Sie damit das 357 ausrechnen. Also zum Beispiel ein Beispiel, eine rekursive Definition der Folge an wie oben, wäre folgendermaßen, das erste Folgeglied ist 1 und wenn Sie das Nte haben, kriegen Sie das N plus 1ste als an mal n durch n plus 1 für n größer gleich 1. Das wäre eine
rekursive Definition meiner Folge an. Jetzt habe ich die Folge an dreimal dastehen, einmal als Liste, einmal explizit, einmal rekursiv. Wie Sie sehen, ist die rekursive Definition hier die aufwendigste und unübersichtlichste. Ja, also diese Folge würde niemand so definieren. Ich wollte nur zeigen, man kann es
machen. Aber es gibt zum Beispiel, es gibt viele Fälle, wo Sie nichts anderes kriegen als eine rekursive Definition. Zum Beispiel eben bei jedem Näherungsverfahren, wenn Sie einen Rechner anwerfen, der soll Ihnen irgendwas nähern, denken Sie an ein Intervallhalbierungsverfahren oder was auch immer, dann können Sie eben den nächsten Iterationsschritt immer erst machen, wenn Sie den davor ausgeführt haben.
Sie können nicht einfach schon die 317ste Näherung direkt ausrechnen, Sie brauchen erst die 316ste. Und dementsprechend kriegen Sie dann rekursive Folgen. Ich gebe Ihnen noch ein berühmtes Beispiel für eine rekursive Folge an. Die stammt von Leonardo Fibonacci,
taginischer Mathematiker aus dem 16. Jahrhundert. Der hat diese Folge entwickelt, als er versucht hat, ein mathematisches Modell für die Vermehrung von Kaninchen aufzustellen. Und er hat gesagt, gut, am Anfang hat man irgendwie nur wenig Kaninchen, eins und eins. Und wenn die dann länger da sind, dann vermehren die sich. Und je nachdem, wie die sich
vermehren, das hängt immer davon ab, wie viele Kaninchen ich im Jahr davor hatte. Und auch da kriegen Sie was rekursives. Wenn Sie jetzt sozusagen von Zeitschritt zu Zeitschritt rechnen, dann hängt natürlich die Frage, wie die sich vermehren, immer davon ab, wie viele Kaninchen sind, je nachdem, wie lange die brauchen, um geschlechtsreif zu
werden, so und so viele Jahre oder Monate davor geboren. Aber Sie können nicht direkt von heute auf in drei Jahren rechnen, sondern Sie müssen sich langsam vorhangeln. Und seine Folge sah damals so aus, also d0 und d1 ist eins. Und man erhält die Anzahl zum Zeitpunkt n, indem man die Anzahl vom
Zeitpunkt n-2 nimmt und die Zeitpunkt n-1 dazuzählt. Fangen Sie nämlich nicht, wie er darauf gekommen ist, aber das war seine Idee. Und diese Zahlen nennt man deswegen bis heute Fibonacci-Zahlen. Und den
Anfang von dieser Folge kann man mal kurz hinschreiben, also 1, 1. So was ist jetzt d2? D2 kriegen Sie hier hinten, indem Sie d0 plus d1 rechnen. Also 1 plus 1 ist 2. D3 kriegen Sie, indem Sie d1 plus d2 rechnen, also 3. Also die Vorschrift sagt Ihnen, Sie kriegen
immer die nächste Zahl, indem Sie die beiden davor addieren. Also 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 und so weiter. Und auch hier sehen Sie, erstens, das ist eine
rekursive Definition. Versuchen Sie mal jetzt hinzuschreiben, versuchen Sie mal, das 382. Fibonacci-Zahl auszurechnen, ohne 381. zu haben. Erstens, also auf so eine explizite Darstellung zu kommen. Und zweitens, wenn Ihnen das jemand als Liste hinschreibt, das ist auch nicht besonders freundlich, weil erkennendes Bildungsgesetz ist auch nicht sofort klar. Das ist ein Fall, wo
eine rekursive Definition fast schon das Übersichtlichste ist. Gut, also das sind die drei Methoden, Folgen hinzuschreiben. Und was man jetzt mit
Folgen machen kann, ist erst mal wieder elementare Eigenschaften zusammensammeln, die die haben können. Das ist der nächste Schritt. Also als wir Funktionen hatten von R nach R, haben wir dann auch uns überlegt, Monotonie und haben wir gerade und gerade beschränkt und so weiter. Manche Dinge davon können Sie für Folgen machen. Und das ist das nächste, was
jetzt hier kommt. Also eine Sammlung von Eigenschaften, die Folgen haben können oder auch nicht. Und all das aber immer mit dem Ziel oder in Funktion dessen, dass wir diese Folgen benutzen wollen, um ja irgendwie mit
dem Unendlichen klarzukommen. Aber dafür ist es erst mal gut, die Folgen so ein bisschen zu kategorisieren und zu katalogisieren, bevor wir dann am Dienstag in der nächsten Vorlesung, wie gesagt, das ist eine ganz
entscheidende Vorlesung. Also die Vorlesung nächsten Dienstag ist sozusagen das Herz dieser Mathematik 1 und eigentlich auch noch das Herz, ein großer Teiler der Mathematik 2, uns dann an diese Definition der Konvergenz machen werden, die uns mit dem Unendlichen in Berührung bringt. So, also soviel der Vorrede. Jetzt hier einfach wieder Eigenschaften von
Folgen. Das erste sind ganz besonders schöne brave Folgen, sogenannte konstanten Folgen. Also so eine Folge ist konstant, wenn es ein
C aus R gibt, sodass A N gleich C ist für alle N aus N. Ich gebe zu, dass es sind dann langweilige Folgen. Das ist die Folge 11111111111111 in alle Ewigkeit. Das ist nicht besonders spannend, aber sind andererseits
angenehm, weil sie eben nicht besonders kompliziert sind. So, wann ist eine Folge positiv? Ist auch ein, glaube ich, selbsterklärender Begriff bzw. negativ, nennt man eine Folge dann, wenn alle Folgeglieder positiv oder negativ sind. Also wenn für alle N aus N gilt, dass A N größer Null ist bzw. für
negativ A N kleiner Null. So, dann hatte ich vorhin diese Folge 111111111, so ein Ding nennt man alternierend. Alternierend ist eine Folge, wenn ihre
Vorzeichen immer genau abwechselnd liegen. Also immer auf wechselnde Vorzeichen, dass wenn eins positiv war, ist das nächste negativ, dann wird er positiv, negativ, positiv, negativ. Und wie drückt man das aus? Da gibt es einen schönen Trick. Könnte man hinschreiben, irgendwie vorzeichen, wenn das A N positiv ist, muss das A N plus 1 negativ und wenn das A N negativ, muss
das A N plus 1 positiv sein. Das kann man ganz schnell abkürzen mit, wenn für alle N aus N gilt, dass A N mal A N plus 1 kleiner Null ist. Was heißt das? Ein Produkt ist negativ, wenn die beiden verschiedenes Vorzeichen haben, weil wenn die beiden gleiches Vorzeichen haben, ist das Produkt positiv. Und wenn das
Produkt negativ ist, heißt das, die beiden haben verschiedenes Vorzeichen und jeweils wenn sie ein A N nehmen und sein Nachfolger des A N plus 1, muss das Produkt negativ sein. Das bedeutet abwechselnde Vorzeichen. Gut, damit habe ich Ihnen schon mal die ersten drei Begriffe erzählt. Jetzt sind wir zeitlich am Ende. Insofern gehen wir da nächsten Dienstag weiter. Ich ruf
Sie noch mal alle auf. Nächsten Dienstag ist zwar leider die noch spätere Vorlesung, aber dann bringen Sie sich ein gehöriges Portion Konzentration für die nächste Vorlesung mit. Nicht weil es besonders schwierig wird, sondern weil es der zentrale Begriff dieser Vorlesung wird. Und da ist eine halbe Stunde drin, in der
Sie es lohnt, einfach mitzukriegen, was passiert. Also besonders lohnt für heute. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit und bis nächste Woche.