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Partialbruchzerlegung

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so genommen hier und in der immer so sein Nachbar Renner werden an der TU-Darmstadt so damals mal ein
herzliches Willkommen heute ich hier war der letzten Vorlesung er ja habe letzte Woche sind wir eingestiegen die Integrations- Rechnung der dich ihn bisher von außen nicht motiviert sondern nur gesagt was wir tun wollen ist das differenzieren umkehren also besuchen jetzt nicht der Funktion die Ableitung sondern wir suchen zur Ableitung die Funktion die sogenannte Stammfunktion und wir haben festgestellt das Problem ist schon ein bisschen diffizil als das differenzieren wenn das differenzierendes klaren Satz von Regeln gibt die man einfach aber arbeitet Konzern integrieren ja geht's auch Regen die sind aber nicht so ein schöner vollständiger Satz sein die helfen meistens nur das Problem ohne Stammfunktion zu suchen auf dem Problem zurückzuspielen andere Stammfunktion zu suchen und dies ist gut läuft wenn dieses neue Problem dann leichter ist und auf die Weise kann man sich manchmal durchhangeln aber ich hatte ihn am Schluss der letzten Vorlesung auch gesagt es gibt definitiv Grenzen es gibt wunderschöne Funktion beliebig oft differenzierbar wunderschön haben wir sind eine Potenzreihe gegeben wir haben auch das wenig Stammfunktion gar keine Frage aber die sich dann Funktion kann man nicht beschreiben als außer dass Malerei in schreibt oder so was oder das integral aber man kann sie eben nicht durchweg Funktions- Vorschrift einfach in Frage so und wenn wir mal zum überlegen was der letzten Vorlesung gemacht haben dann war das ja nun die Differenziation trägen hergenommen also die Genialität der Ableitung die Produktregel die Kettensäge und da muss jede Entdecker Differenziation träge Integrationsräte geworden und ich habe heute noch eine weitere Rede wir haben gesehen beim differenzieren wenn 7 konvergierende Potenzreihe haben dann können Sie die differenzieren indem sie einfach in der Potenzreihe diese man differenzieren und das ist eine der wenigen Stellen wo es die gehen genauso schön dass Sie das differenzieren das geht weil period beim sie integrieren auch also das ist der Satz 1 8 da geht es um Stammfunktion von Potenzreihen und wieder bewahrheitet sich der Satz dass Potenzreihen schöne Funktionen sind da ist es also wenn man integrieren schön abgesehen davon dass sie es integraler Standpunkte natürlich wieder ohne Potenzreihe kriegen mehr haben sie auch nicht rein gesteckt also wenn sie eine Funktion haben die gegeben ist durch eine Potenzreihe zum n gleich 0 bis unendlich Koeffizienten am in der allgemeinen Form X minus x 0 hoch Entwicklungsstelle x 0 und wir setzen voraus dass der Konvergenz Radios ich strikt größer 0 ist sonst sind sie wenn sie im Fall Roh gleich 0 sind dann haben Sie in der einem period konvergiert 1 ist sind Begriffe wie differenzieren integrieren sinnlos also der Konvergenz Radius so comma größer 0 sein und dann ist dann kriegen Sie raus wenn sie jetzt die Funktion bilden die gegeben ist in dem sie jeden so man ihrer Reihe integrieren also mehr was da drin steht es Polynom Monomer A 1 X minus 6 nur noch n wenn sie das integrieren dann bleibt erstmal die Konstante am vorne stehen und wenn Sie X minus 6 nur noch n integrieren kriegen Sie daraus 1 durch plus 1 X X minus X nur noch im Plus 1 als das was hier steht ist einfach die Integration die Stammfunktion dieses Summanden und die der Satz sagt dann hat das denn den gleichen Konvergenz Radios und ist mir Stammfunktion von 11 also sie können hier tatsächlich so meinten Weise integrieren und kriegen
damit nicht am Funktion aus gut was man damit anfangen kann ist zum einen offensichtlich der Funktion an die Decke über den freigegeben ist Sinus Kosinus F Funktion Rhythmus irgendwas könnte die Stammfunktion bestimmen in sie diese Potenzreihe integrieren das bringt im Moment der nicht so wahnsinnig viel weil ich dann Funktion von Sinus Cosinus funktional Rhythmus haben wir alles schon bestimmt oder kann man erraten trotzdem ist das uninteressant also wenn sozusagen andere
Funktionen kommen die durch Potenzreihen gegeben sind kann man so die Stammfunktion bestimmen man kann damit aber auch umgekehrt was tun und das will ich Ihnen Beispiele zeigen man kann zu gegebenen Funktionen Reihen Darstellungen finden über diesen Zusammenhang hier
ja der Satz sagt ja nur wenn Sie der Funktion haben sich über den 2 gegeben das kriegen Sie sich der Stammfunktion in dem sie liedweise integrieren das kann man in beide Richtungen gelesen und was ich Ihnen zeigen will ist die man daraus mehr seien Darstellung für den Augusttagen Jens bestimmen kann er warum ist es interessanten aus dem üblichen Grund warum rein Darstellung interes- sind der Reihe nach dem für Funktion ist die Täler Darstellungsstil Teller Reihe das heißt wenn die reine Darstellung haben dann haben sie die Teller für umsonst und damit auch alle Tälern erhoben das können Sie sofort ablesen also der reinen Darstellung ist insofern schon was Interessantes so wo kriegen wir die rein Darstellung her wir müssen uns noch mal daran erinnern was die Ableitung des Augusttagen zwar die Ableitung des Akkus zeigen ganz hatten dem Kapitel über Differenziation bestimmt zu Einstig 1 plus X Quadrates waren Beispiel für die Formel über die Ableitung der Umkehrfunktion so und was bedeutet das dann das jetzt einmal
integrieren das bedeutet dass der Tagen gänzlich Stammfunktion ist diese Funktion als durch 1 bis 6 Quadrat wenn Sie eines der 1. 6. warten die Stammfunktion suchen dann kommt aber es dann ins Plus mit konstanter aus also das integral zu bestimmte Integrale von einst durch 1 plus X quadratisch Stammfunktion dieser Funktion oder eine Stammfunktion ist Augusttagen ernst und wenn man es ganz genau macht also alle Funktionen von der Form Agnes Tangens Plus für konstante sind Stammfunktion von einst sich 1 bis 6 Grad ab so und das schöne ist es im da steht noch keine
Reihe bekommt ist die Reihe her die Reihe steckt in diesem Ausdruck eines durch 1 plus X Quadrat lassen Sie mich denn ein bisschen kneten den schreibe ich folgendermaßen um das es einst durch 1 minus minus X Quadrat nicht jeder zustimmen dass das stimmt man weiß aber nicht unbedingt was das soll aber es stimmt ja bei Minus mal Minus gibt wieder Prost warum schreibe ich das so wir jetzt die das da in der Form eines durch 1 dass er bis da da steht 1 durch 1 minus und bei 1 durch 1 minus schnurz könnte sozusagen Pawlowsche und anspringt dass ein paar Mal gesehen ist ist die geometrische 3 als ich 1 minus schnürt das da rein wenn das schnuppe Betrag kleiner 1 hat dann ist das die Reihe durch noch so genau und das machen wir also hier kriegen sie das ist es integraler sie Stammfunktion von der Reihe n gleich 0 bis unendlich über den Schnaps auch also minus X Quadrat hoch in der Text das ist die geometrische Rail mit Q gleich minus 6 Quadrat und das geht natürlich nur solange wie minus X Quadrat im minus X Quadrat muss vom Betrag her kleiner als 1 sein also für x zwischen minus 1 und 1 okay aber
jetzt können wollen Einsatz von oben anwenden was sagte uns die Stammfunktion von Sonne Potenzreihe prägen Seen Konvergenz Bereich also dann die für x zwischen minus 1 und 1 kriegen Sie die Stammfunktion in den sie jeden Sommer hatten von dem ich zu mahnen die Stammfunktion bilden also das hier ist die Summe n gleich 0 bis unendlich das ist jetzt 1 8 über wenn sie integrieren aber lassen Sie mich erst noch aufräumen also dass es so nicht 1 8 also das integral über die Summe von minus 1 hoch n x x hoch 2 in so wird's vielleicht übersichtlicher ja ich habe nur noch mal die Potenz Rechenregel verwendet aus dem minus 6 Quadrate minus 1 mal fragt immer so und jetzt benutzen bei 1 8 das ist die Summe n gleich 0 bis unendlich und jetzt müssen sie ebenso man in die Tonne ebenso Marken die Stammfunktion bilden da bleibt übrig minus 1 hoch n mal 1 durch 2 1 plus 1 X X hoch 2 1 plus 1 0 1 so und das jetzt steht hier man ganz links wieder anfängt Augusttages von X ist bis auf eine Konstante gegeben durch diese 3 was so viel dass die Konstante gut die lässt sich aber leicht bestimmen weil diese Konstante kriegen sie einfach in den Sie mal schauen was längst gleich 0 passiert setze man auf beiden Seiten x gleich 0 1 und dann passiert was
links steht Agusta ganz von 0 plus C an also Augusttagen von 0 plus C ist gleichen jetzt rechts 0 eingesetzt so n gleich 0 bis unendlich minus 1 hoch n 1 durch 2 1 plus 1 x 0 hoch 2 plus 1 es kommt wieder muss nur kurz überlegen gibt es da drüben intern Sonderformen hoch 0 normalerweise es nur noch irgendwas wohl aber wenn dann der Exponenten 0 ist dann ist es einst aber Exponent 2 plus 1 der wird nur dann wohl werden 2 muss 1 gleich 0 dann müsste er Minus Inhalt sein oder so was das ist nicht also haben wir das herrliche 0 stellt so und damit haben sie so dass CSC ist Minister aber zeigen von 0 und der Tangens von 0 ist die Zahl den Tangens 0 ist das ist nur also ist sie 0 und damit haben wir jetzt endgültig die Reihen Darstellung
der Akkus Tagen denn es ist auch eine wunderschöne Funktion die durch der Potenzreihe gegeben ist zumindest für x zwischen minus 1 und 1 und die geht die Potenzreihe ist n gleich 0 bis unendlich minus 1 noch n durch 2 1 plus 1 x auch 2 ist und das Geld für x zwischen minus 1 und 1 in wenn man sich dann noch genau anguckt wann dieser Reihe da konvergiert dann man sie divergiert fliegt man raus 1 geht noch um minus 1 gehe ich gut das als Beispiel wie man sozusagen diesen Satz umgekehrt verwenden kann wie gesagt hat diese dafür da der Stammfunktion zu für diese Funktion die durch Potenzreihen gegeben sind man kann den umgekehrt auch mit diesem Satz wenn es gut läuft so wie er sich auf die geometrische Reihe zurückziehen und nicht mehr rein Entwicklung von der Funktion kriegen und glauben Sie mir das ist schneller als als wenn ich ihn jetzt die Aufgabe gegeben hätte bestimmen Sie mir die in der Reihe von Markus Tangens dann geht in Möglichkeiten die eine ist die die zweite Möglichkeit ist bestimme eine Ableitung vom August seinen so wenn die Kellerei aus und zeigen dass das Rest das es geht gegen 0 geht aber letzte Wochenrhythmus gemacht oder ist Aufwand hat das geht schnell ein gut schule als wir das differenzieren gesprochen haben habe ich dann
irgendwann eine große Tabelle gemacht wo ich so elementar Funktion und dazu die Ableitung geschrieben jetzt können Sie das Gleiche wie es für die vorher integrieren natürlich auch interessante einmal der Standardfunktion mit allen er mit den zu gering Stammfunktion kommt jetzt auch gleich wobei Prinzip ist ist unmöglich weil natürlich können Sie die Listen von damals nehmen und einfach umdrehen weil die Stammfunktion ist ja Differenzierung gedreht ja also das heißt sie müssen bei der differenzieren ist einfach von differenzierteste rechts links lesen aber machen um eine schöne Geste und ich kann gleich sagen diese ist wird eben
das Gefühl geben Hau dass man das alles tolles man alles integrieren kann man eine Stammfunktion gibt das ist wie gesagt im Allgemeinen nicht so einfach und der kann diese ist hat viele Erweiterungen also es gibt es berühmte Taschenbuch zu Mathematik von Braunstein sie man ja F da sind drin sollen wir 40 Seiten mit weiteren Listen für Stammfunktion von Funktion und an vielen Stellen steht da auch nicht auch nur eine Reihe oder kann man nicht explizit angeben und das er war früher zumindest also keine Algebra gab für die entsprechenden Physik-Ingenieur und so weiter ein wesentliches Nachschlagewerke man integrieren musste und da also das ganze Tabellen Werke über viele viele Seiten die Ihnen eben elementare Stammfunktion ausspucken das ist die ganze Industrien mittlerweile hat man den Vorteil dass natürlich viel man Rechner numerischen werden kann aber wenn man so in die Sechziger fünfziger Jahre zurück geht da gibt es eben riesige Tabellen Werke die zu gegebener Funktion die Stammfunktion ausrotten also hier nur der ganz kleine Tabelle mit den ganz elementaren Funktionen das meiste davon haben wir auch ja schon gesehen dass es jetzt also mehr eine Zusammenfassung für die schneller Referenz und wie gesagt wenn Sie eine funktioniere nicht finden dann müssen Sie halt wichtig größeren Tabelle der gegeben also ich schreibe jede Funktion erfüllen darunter die Stammfunktion und dann gibt es eine Spalte Bemerkungen unwesentlichen drinsteht für welche X das alles
funktioniert also 1. einfacher Fall ein Mono ich suche in Stammfunktion Einstig im plus 1 x x auch plus 1 das wird für die meisten noch aus der Schule geläufig sein das gilt für alle x aus er und für alle natürlichen Zahlen dann das Ganze in der allgemeinen Potenz x auch Alfa kommt genau die gleiche Formel raus einzig sich Alfa plus 1 x auch Alfa plus 1 wobei man jetzt aufpassen muss Alfa könnte Inhalt oder so was sein Watson sind nur definiert für positive X also ich hier muss x größer 0 sein und alles war Kleider minus 1 das ist der Fall führt PR für negative Exponenten da sie könnte zum Beispiel Alfa minus 2 sein dann es x hoch man 1 durch x Quadrat da darf natürlich X nicht 0 sein er X auch als Fahrer für X kleiner 0 wäre bestimmt das nicht doch X auch als wir für alle vergrößern minus 1 da können Sie X größer gleich 0 zu mehr kx größer 0 ja dann kann es auch da oben ein Schreiben ja so also und hier als vor ungleich minus 1 das ist das entscheidende sie sehen aus in der Formel dass ein vergleichendes 1 nicht so gut ja wenn Sie als wir minus 1 einsetzen dann existiert die Stammfunktion nicht weil steht einst durch 0 das heißt der Fall als Vergleich minus 1 des irgendwie sprechen der müssen wir extra behandeln der Fall als Vergleich minus einzig die Funktion eines durch x und durch X wird vom muss aufgefüllt also normalerweise sind die Stammfunktion von solchen Monomere Monomer also auch von diesen 1 durch x Urängste die Stammfunktion auch von der Form eines sich X auch allen aber einzig X ist die Lücke und die wird aufgefüllt der stimmt aber aus in gesagt hat ich ja der wird muss von Betrag X und das geht Wegs größer 0 oder 4 x kleinen so dann haben wir den besonders
einfachen Fall ihre Funktion Exponentialfunktion reproduziert sich beim differenzierende produziert sich dementsprechend auch bei der Stammfunktion Bildung Yoricks Riches R X also ist auch die Stammfunktion vor XI auch X dass der Einzelfall so dann haben wir irgendwann wo die ihre Funktion ist das natürlich viel Rhythmus nicht war hält von dem aber die Stammfunktion letzte Woche bestimmt in dem wir über partielle Integration gegangen sind das war der Thread wurde 1 Mut zur multipliziert haben und da kommt raus X X X minus X X natürlich nur größer 0 andererseits machte allen keinen Sinn andernfalls machte er im Fernsehen dann habe die trigonometrischen Funktionen Stammfunktion vom Sinus ist der minus Kosinus stammt von schon vom Kosinus ist der sehen aus jeweils für alle x aus war da hat
das Fangen viel so aber noch nein
gerade eben wieder verwendet wenn wir schon bei den Trick um ist er bei den trigonometrischen sind der Akkus Tangens 1 durch 1 plus X Quadrat so dann kann man noch
weist in diesem Hinweis ist ein einfaches des hyperbolischen Funktion der zunähen Cosinus superbolicus von X wie gesagt das entsprechende zur Kosinusfunktion auf einer über Wulffs gebogenen Flächen oder anders gesagt wie hoch Exposed hoch minus X heran und da der gesehen wenn sie den Kosovo Likus ableiten kann der Sender sowohl die Kurse raus wenn sie nur schwer Prodikos ableiten kommt der Kunde für wurde groß raus das heißt umgekehrt ist die Stammfunktion von große wurde Custer sehen uns über wurde Kost und die Stammfunktion vom sie müsse über wurde Custer Cosinus über wurde Kurs die beiden bilden ein abgeschlossen zu Kirchen für sich also jeweils wieder für ganze x Alle x in mehr gut da kann man jetzt wie gesagt stundenlang weitermachen aber man kann sich eben auch die komplizierteren Integrale häufig aus den hier Zusammenbau so also was wir hier haben Sie Polynom müssen die trigonometrischen sind Exponentialfunktion und so weiter und jetzt kann man eben anfangen daraus kompliziertere Funktion zu bauen und ich will jetzt in einem Verfahren zeigen wie man sozusagen weitermachen kann das steht exemplarisch für vieles andere habe ich denke das wird sei die wichtigste Klasse von Funktionen die oft vorkommt was man sich natürlich ich schnell zusammenbauen kann aus dem was oben steht wenn sie sie wenn sie die integrale bei X auch enden können für jedes ändern können Sie auch Polynom integriert und jetzt diesen Schritt weiter als die Polynom zu Quotienten von Polen um also wieder zur rationalen Funktionen und die Frage ist wie
findet man die Stammfunktion zu einer gegebenen rationalen Funktion oder der Städte gibt es
tatsächlich ein Verfahren das damals bis ganz zum bitteren Ende durchexerziert es wirklich in ermöglicht alle gebrauchen rationalen Funktionen denn sie gehen zu können der Stammfunktion angeben zu können das wenn ich jetzt hier aber nicht durchziehen weil das das Programm ist mühsam und lang und das würde uns das eineinhalb Vorlesung Kosten und das denn der wird dann doch etwas gering ich beschränke mich auf die wesentlichen Fälle aber das Verfahren ist die so genannte Partialbruchzerlegung und im Wesentlichen es der plakativ zu sagen Partialbruchzerlegung es nichts andere ist alles auf den Hauptnenner bringen rückwärts ja Bildrechte da haben Sie vollkommen recht was hat denn der der verloren ja also dass der einmal das völlig richtig die Zeile hier ist ja war als 1. 600 ist viel davon hatten die Ableitung von Markus Tangens Da hat irgendjemand das irgendwie mein der Glaube mir durchgegangen ist können Sie es sich anders rum reinschreiben ach doch das mach ich mal schreiben was mal andersrum rein weil das so gesehen sein nein das kann ein also so lässt sich das retten und daran sieht man jetzt wenn ich jetzt so gebrochen rationalen Funktionen kommen wunderbare Überleitung gell das ist das gar nicht ganz so banal seiner Wahl als sicher 6 Quadrat ist wunderschön gebrochen rationale Funktion und die Stammfunktion ist abgefackelt vor so außerdem Sie vorhin gesehen 1 durch x bitte muss Rainer sein können ein ganz komische Dinge passieren so aber ich will Ihnen 1. in die gesagten allgemeines Verfahren zeigen die man
bei den meisten gebrochen rationalen Funktion trotzdem die Sache kleinhacken kann und auf dem die Stammfunktion kommt mir bei den man schon mal Klasse von Funktionen man behandeln kann also außer den ganz banal die Polynome ja klar Cosinus Sinus können wir auch schon aber schon wenn ich Ihnen sage Cosinus Quadrat unser los rechnen geht auch aber muss man den wehrlos rechnen so also wir schauen uns an wie gebrochen rationale Funktion das heißt wir suchen sich dann Funktion von einer Funktion der Form P von X Strich Q von X wobei P und Q Polynome sind Zeller wie kann man das angehen 1. Idee
klare brauchen nur die Quotientenregel für integrale wissen Verzicht gute Idee nur die gibt es nicht also funktioniert nicht es gibt keine Quotientenregel für Integrale das ist die integrale sind in deutlich komplizierter als und die Idee des jetzt hinter allem steckt was kommt und ich denke es wichtig ist das am Anfang klar zu machen sonst sieht man nur bewusst von Rechnung und weiß nicht was das soll sich vorzustellen dieser Bruch da der könnte entstanden sein in den sie eine ganze Summe von einfachen Brüchen hatten und anerkannt werden man hat diese ganze schöne Summe von einfachen Brüchen offen ob gebracht da dann steht am Schluss so was da alles machbar ja gerne und viele durch dabei kann Hauptländern ist es viel übersichtlicher waren das wenn sie das machen so Bräuche mit Polynom durch Polen also Brüche von der Form eines durch X plus 1 durch X minus 1 plus 5 durch X minus 3 wenn Sie die laufen auch einer bringen dann steht am Schluss Sonnenburg stark an unser Ziel ist jetzt diesen Bruch wieder in möglichst einfache Summanden auseinanderzuziehen weil das integral ja so meinte Weise berechnen können für so haben wir ja das in der Regel wird es in die die Stammfunktion von der Summe ist Summe das Dampf zurück das heißt die das Ziel dieses diesen diesen Quotienten möglichst viele einfache Summanden auseinander das ist jetzt das die und das macht man mit den Folgen ich habe meist nur versucht den 4 Schritte aufzuteilen der 1. Schritt ist wenn Sie sich noch erinnern an unser Kapitel über gebrochen rationale Funktion da hatten wir da sowieso schon mal gesagt dass man so eine gebrochene nationale vor period der Funktion im 1. Schritt immer am besten auf so genannte Normalform bringen ich sage mir was das heißt das heißt im Wesentlichen 2 Dinge also für diejenigen die es noch mal irgendwann nachschlagen wollen das ist Nummer 3 2 17 er das heißt im Wesentlichen 2 Dinge wenn das P in größeren gerade dass
das Q dann können sie vor der Sonne polynomialen Anteil abspalten und außerdem können Sie natürlich alle gemeinsam Nullstellen von P und Q der können Sie den ja Faktoren kürzen und das soll man hier tun also was man macht ist man schreibt diese Patienten P durch Q als in polynomial Anteil haben bloßen P Schlange durch Q Schlange wobei HP Schlage und Co Schlange neue Polynome sind die jetzt verschieben die jetzt ein paar schöne Eigenschaften haben nämlich
1. sie haben den gesamten polynomialen Anteil abgespalten also jetzt ist der gerade von PI Schlange echt kleiner als der gerade von Q schlagen kann man immer man kann immer so viel Polynom vorne abspalten das der gerade von dem bislang ich kleiner so dass der von dem Q Schlange und dann können Sie noch zwischen schlagen und Co Schlange alle gemeinsam den ja Faktoren kürzen das heißt die beiden haben keine gemeinsame Nullstellen das 1. wäre also dass das gerade dass sie
diesen polynomialen Anteil H abspalten das geht per Polynomdivision und das muss man auch den Partialbruchzerlegung auf jeden Fall machen die will man auch nur weil klar heißen Polynom wenn Sie jetzt die Stammfunktion vorbildlich Kur haben wollen Stammfunktion von habe sofort verlassen Polynom dann brauchen Sie nur noch die vom Tisch durch Q Schlangen und das zweite ist die gemeinsame Nullstellen kürzen da darf man unter Umständen ein bisschen schlampig angehen die Nullstellen von Q schlagen müssen sie sogleich bestimmen wenn Sie jetzt zufällig eine übersehen weil das bislang und das gut lange so unübersichtlich sind dann ist das nicht als ich hinter dann merken sie es im weiteren Verlauf des Verfahrens dass da was schief gegangen ist und können korrigieren das haben müssen sie auf jeden Fall abspalten so wenn wir das haben also 1. Bemerkung als an der
Stelle ist dann lässt sich das Haar als Polynom leicht integrieren da davon die Stammfunktion zu finden ist nicht schwer was wir jetzt noch machen müssen ist uns um das P Schlange durch Kuhfladen kümmere so dass ist und dazu den jetzt die restlichen weiteren
Schritte ich habe die Schritte ja nun auf Folien mit dann können wir das Dach haben wir das für die späteren Beispiele noch mal schriftlich schon so also es ist nur das was ich bisher sagte man bringt diese dieses gebrochene nationale Form auf den noch vor so Schritt 2 wir haben jetzt also noch zu behandeln das Polynom lange durch Q Schlange es erledigt ist wird noch bis lange durch Q Schlange und der nächste Schritt den man dazu machen muss ist man braucht den Nullstellen von Co Schlange gut das ist wieder das alte Problem Nullstellen von Polynomen bestimmen das ist wie schon mehrfach gesagt im allgemeinen schwieriges Problem einer Klausur Aufgabe Übungsaufgabe auftaucht ist natürlich immer so gestellt dass es geht mir also meistens entweder wohl 2. Grades aber man kann eine leichte raten oder oder wenn man mit dem Realwelt Problemen konfrontiert ist ja und die Polynome kommen aus ärmlichen Messdaten dann ist es sehr unwahrscheinlich dass die Messdaten so freundlich sind das immer 1 gerade Nullstelle ist ja das ist ja so sind Messdaten das heißt in dem Fall dann sieht man dass Pullum zu hohen Grad hat keine andere Wahl als das per zu wären ja also meinen dann ist es sind ja auch die die Messdaten sind ja nur Näherung der Wirklichkeit insofern ist es nicht immer dann die stellt auch numerischen nährt das völlig klar zur also aber sozusagen theoretisch die Sache
einfach sie bestimmt die Nullstellen von Co Schlange und wo man dann das in der Praxis die Nullstelle hier Krieg ist eine andere Frage was bedeutet das dass Sie die Nullstellen haben das bedeutet und an der Stelle einfach ich jetzt zum 1. Mal dass sie ihr Q Schlange in den ja Faktoren faktorisieren können das geht natürlich nur ja als das geht es erstmal mal allgemein wenn Sie komplexe nur stellen zu lassen zumindest dann können sie ihre Prolongeau schlage und ich gehe mal davon aus dass das gerade in hat also ist sie die die Mitglieder gerade von Kusch Schlange dann können Sie das schreiben was in Colchicin QM X X minus mehr 1. Nullstelle X X mindestens 2. Nullstelle war und so weiter X X minus ne Ente Nullstellen das geht wenn sie komplexe Nullstellen zu lassen immer wobei dessen hier nicht heißen soll dass x 1 x 2 und so weiter notwendig beschieden sein müssen wir können natürlich mehrfache Nullstelle haben aber sie haben immer im komplexen Intersil Vielfachheit N 0 stellen und an der Stelle wenn ich jetzt aber für die Betrachtung hier in der Vorlesung spezialisieren und
sagen wir schauen uns nicht den Gefallen an also in dieser Vorlesung ich nur jene Nullstellen betrachten also den Fall von komplexen 0 stellt schließlich aus was ich habe das heißt dass das Verfahren dann nicht geht muss dann halt im weiteren Verlauf bisschen komplizierter ansetzen also wenn Sie das ja also ich verspreche Ihnen dass im Verlauf dieser Vorlesung der Fall einfach nicht vorkommt natürlich kann ich ihn nicht versprechen dass er nicht in Ihrem weiteren Studium irgendwann mal irgendwo vorkommt wenn Sie also in ihrer Masterarbeit sitzen und so ein blödes integral aber Zero Zerlegung lösen müssen und da ist man in Polen der komplexen Nullstelle drin dann schnappen sie sich im Mathebuch und lesen sich die halbe Seite noch an so viel schwerer ist es auch nicht aber es wird halt noch unübersichtlich gut also ich mache hier nur
jene Nullstellen dabei bleibe ich die ganze Zeit und ich will jetzt zunächst noch weiter einschränken nämlich ausschließlich einfache Nullstelle können also ich verlange im Moment das dieses Polynom Co Schlange lauter werde Nullstellen hat und dass die alle verschieben Gott übersichtlich die dass Sie wenn Sie die wenn sie mehrere Nullstellen haben unterhalten uns nachher noch die gesagt die komplexe Nullstellen spare ich hier aus so das ist Schritt 2 also Sie haben ihre ihre rationale Funktion auch nochmal vom gebracht als nächstes bestimmen Sie die 0 Nullstellen sah zahme Nullstelle mir diese Zerlegung hier von unserm Polynom mehr und jetzt erst folgende Idee und das ist jetzt wieder die
Idee mir zulegen unser unser Quotienten in möglichst einfaches und kann wenn man folgenden Ansatz was wär
behandeln wollen ist das ist die Funktion P Schlange von X durch Koshland vor 6 jetzt Dunse mal im Geiste dieses Q Schlange von Xtra da unten hin dann sieht man schauen was denn der Mann der das auf die Hauptmänner gebracht hatte was der Hauptmänner war ja der ob war eben dieses Co in völlig egal aber weil wir x 1 x 1 x x 1 x 2 x und so weiter bis X X und X f ja und was jetzt unsere Hoffnung ist und die funktioniert tatsächlich ist dass wir das Ganze wieder zulegen können in Einbruch und was durch X minus 1 x 1 bloß irgendwas durch x 1 x 2 bloß irgendwas durch X minus 6 3 plus und so weiter bis plus irgendwas X minus X und das tolle ist das geht immer sehen wir gleich also Kirchen 1 von X die Hoffnung ist man kann das Schreiben als eine Zahl A 1 durch X minus X 1 plus eine Zahl A 2 durch X minus 6 2 plus und so weiter bis der Mehrzahl AN durch x 1 x und nur wenn man jetzt dieses Ende Brüche auf der rechten Seite auf den Hauptnenner bringt dann ist auch der neue X minus x 1 x x 1 x 2 und so weiter bis X X das X N nein also das Kusch und was zu zeigen der ganze Zweck der Partialbruchzerlegung ist dieses auf dem Haupte bringen rückwärts zu machen warum weil die eben diese so Summanden hier können Sie ganz einfach integrierender kommen oder würden raus weil es immer von der Form eines sich X die werden da das den Stammfunktion von den Dingern Sinn im Wesentlichen nur sie waren Ende das heißt wenn wir tatsächlich das so gerechnet haben dann ist die die Integrationsaufgaben wesentlichen gelöst was jetzt natürlich noch die Frage ist was sind die Zahlen A 1 A 2 bis
A L also die Zahl muss man bestimmen aber das geht zum Glück und das tolle ist es geht eben immer zumindest wenn der gerade von dem die Schlange kleiner als der gerade vor dem Chor Schlange aber das haben wir ja am Anfang durch das bringen auf Normalform er auf das bringen auf Normalform garantiert und die wichtige Bemerkung an der Stelle ist eben eine solche Darstellung existiert immer und was man dabei macht ist wie gesagt man nein nein invertiert man macht das auf den Hauptnenner bringen wäre rückgängig einer der Gründe oder das ist der Hauptgrund warum es wunderbar einfach ist Aufgaben zum Thema Partialbruchzerlegung zu produziert ja also wenn man in der Gelegenheit das Übungsblatt zu machen dann ist immer wunderbar einfachen Übungsplatz der Partialbruchzerlegung zu machen na bei laufen Hauptnenner bringen geht schnell ja zu den 3 durch übrigens auf Hauptnenner haben Sie die fertige Ausgabe und dann geben Sie kann die Leute das rückwärts macht wird sehr das ist dann der mühsam mithalten ja gut also wir lassen uns nicht entmutigen sondern wir machen weiter
mit dem Programm Ziel ist eben diese
1 bis 1 zu finden damit dieses diese Aktion Wir haben diese durch offen ob eine gebracht rückwärts zu gut rückgängig zu machen also wie kommen wir an die A 1 bis A N 1 und in diesem Fall das laute einfache nur haben gibt es da ein relativ einfaches Verfahren fühle ist der Schritt 3 das ist der Ansatz nein noch mal der steht ja gerade noch O oder verschwindet gleich also wo kriegen wir die A 1 bis A in hier da oben steht ja im Prinzip die gleichen dieser erfüllen müssen wenn das entscheiden müssen diese Gleichung für alle x erfüllen und die gleiche multiplizieren wir jetzt gesammelt Kusch Schlange durch und wenn man das macht dann wird zieht sich ein wenig denn also multipliziere mit Kusz lange durch dann kriegen wir die Gleichung der Schlange von Ex ist A 1 Q Schlange von X durch X minus X 1 plus A 2 Q Schlange von X durch X minus 6 2 plus und so weiter bis A N Q Schlange ja von X durch X minus 6 kann das ist einfach die gleiche verlogene Kuss lange durch Musik ziehen ob mehr so und das schöne ist ja jetzt wenn Sie jetzt die Gleichung angucken die
X J Dahlin x 1 x 2 und so weiter das waren genau die Nullstellen von Q Schlange das heißt in jedem dieser Bräuche können Sie jetzt eine Nullstelle Hauskatzen und die ganzen wenn der Gewinn des ewigen Jagdgründe ein an als die Nullstellen kürzen sich aus also wenn Sie ein konkretes konkretes Fall haben immer noch kein Beispielen sehen Sie das kürzlich einfach komplett aus dadurch wird die Gleichung schon mal einfacher das ist das 1. gute und das zweite gute was passiert denn jetzt also wenn sie das Ding gekürzt haben da diese nur stellen was passiert dann wenn sie zum Beispiel x 1 einsetzen das über für x x 1 1 hier können Sie für nichts 1 einsetzen bei dem 1. so nach dem Gleichheitszeichen sie dann gegen die Wand fahren also durch 0 teil aber den haben sie herausgekürzt und kürzen kann sie X 1 einsetzen da steht längst die Schlange von X 1 ist die Zahl im ersten Summanden steht A 1 x der Rest vom Gro schlagen nachdem sie den Nullstelle x 1 raus gekürzt haben das Deluxe einst auch im bezahlt in allen anderen Summanden steckt die Nullstelle X 1 noch in den Chor Schlange drin dem Sinn raus gekürzt mehr extra extra 2 daraus gekürzt das heißt alle anderen so Marken sind 0 7 6 1 einsetzen also steht dann da habe die Schlange von X 1 ist A 1 x Zeit haben Sie ja 1 das gleiche können Sie mit X 2 X 3 X 4 machen also wenn Sie die Zahlen 1 x 1 bis X da einsetzen dann liefert Ihnen das jeweils A 1 bis A L wenn Sie mir das jetzt nicht glauben dann waren sie gleich aus Beispielen sehen Sie das so aber diese Zahlen 1 bis in kann man auf die
Weise recht angenehm und ohne viel Aufwand bestimmt was haben wir denn jetzt über diese Zeit A 1 bis A N haben ja wieder ganz am Anfang anfangen was wir eigentlich wollten war das integral von durch Co-Ausrichter da hat mir das erst mal zerlegt in polynomial Anteil des war Polynomdivision der hat uns keiner ans gemacht Denker wir so was kommt jetzt noch jetzt kommt der Schlange von X durch Co Schlange von X denn es immer noch
gut also das ist der 1. den kriegen wir hin bloß und jetzt aber dieses bin Schlange durch Kohl Schlange er selbst oder haben herausgefunden dass können ihn viele so meinten aufteilen und wieso man dass das schöne können wir alle einzeln integrieren weil eben die Stammfunktion von der Summe die Summe der Stammfunktion also bleibt übrig gerade bestimmte A 1 durch X minus X 1 D X plus die Stammfunktion von A 2 durch X minus x 2 x plus und so weiter plus die Stammfunktion von 1 durch x 1 x 1 x und Sie sehen wir haben es auf die Weise geschafft zumindest in dem Fall den wir warnen also nur jene Nullstellen alle verschieben das wär unser integral das komplizierte integral in endlos 1 einfache Integrale auseinander gefährdet haben und dieser Einfluss eines einfachen Integrale kann man alle bestimmen da das 1. ist integraler
beim Polynomen das denke sie von dem Polynom ab aber das ist keine Hexerei das lasse ich mal stehen und was ist mit den anderen dann Sie erst mal wenn Sie zum Beispiel das integral Stammfunktion von einzig x 1 x 1 suchen nein sie erstmal die konstant der einst die ganze vorziehen so was sich da Funktion von einst durch X minus 6 1 das ist im Wesentlichen so was wie einst ich X her also da wird da erwarten wir ein Logo rückt muss der kommt auch nur berührt muss raus und zwar kommt daraus der Logo Rhythmus von Betrag X minus X 1 warum leiten Sie es ab also muss ableiten kriegen sie einst durch X minus 6 1 innere Ableitung von X minus X 1 ist 1 also kommt Logo kommt ein Strich x 1 x 1 raus das Walze positive XX 1 gesprochen für besorgten Betrag beachten aber im Wesentlichen ist das das was rauskommt und das passiert bei allen anderen genauso also da kommt raus aber 2 Mal Rhythmus von Betrag X minus x 2 plus und so weiter und am in der A meine Logarithmus von Betrag X 1 X er und dann natürlich aber jetzt ja man so also Integrations- konstanten natürlich ja also es im Prinzip für jedes Integrale eigene Integrations- konstante aber die können Sie alle zu dem einer großen zusammenfasst so das ist die Idee der Partialbruchzerlegung das was man macht ist man und schwer komplizierten keine komplizierte gebrochen rationale Funktion diese legt man sich in einfach erklären und die einfachen Menschen Kammer integriert und das entscheidende bei dieser Ansatz wie im dritten Schritt stellt die man die Häppchen ansetzen muss und das wichtige an der Stelle ist sie brauchen den Nullstellen von dem Q schlagen die Nullstelle wollen schlage die sind der Schlüssel zum Erfolg so dann habe ich gesagt Regel hier komplexe nur ständig gar nicht anschauen was ich noch machen will ist mit mehrfacher Nullstelle und ihnen sagen wie sie den Ansatz der ändern müssen wenn sie mehr verfassen
Nullstelle haben also Modifikation des Ansatzes wenn die Nullstelle XJ nicht einfach ist sondern Frage also nehmen Sie mal demnächst schlimmeren Fall an sie eine doppelte Nullstelle das also eine Nullstelle die mehrfach auftaucht dann müssen wir uns was einfallen lassen dieses dieses Polynom Guss lange da und hat gerade wenn wir lauter so im ja jetzt haben wir da haben wollte die auf Hauptnenner bringen dann brauchen wir davon Endstücke und der richtige
Ansatz an der Stelle ist man braucht jetzt sozusagen so viele Summanden wie das Ding Nullstellen Ordnung hat man muss den der J durch X minus XJ wenn das den hat man ja ganz oder einfach nur Stelle ist den muss man durchs folgende etwas längeren Ansatz ersetzen als 2 haben Sie jetzt bei der
entfachen Nullstelle neue unbekannte Koeffizienten ich nenne die mal A J A 1 bis A J also J 1 durch X minus XJ das wäre der gleiche der oben drüber steht nein kriegen Sie noch ein 2. J 2 durch X minus XJ Quadrat plus und so weiter plus AJ M durch X minus XJ auch in also das ist der Ansatz den sie machen müssen bei der entfachen Nullstelle sie sehen die Bausteine und werden wir leider ein bisschen komplizierter nicht die sind aber auch nicht schwerer zu integrieren als die anderen das sind auch wieder nur von der Form eines sich X auch Alfa was bisschen also sozusagen die Integration
Nachhall dieser Bausteine ist nicht eigentlich nicht komplizierter Stück komplizierter wird ist diese A J K zu bestimmen ja sie sehr JK müssen wir bestimmen und es geht hier nicht mehr ganz geradeaus einfach durch einsetzen der XJ wie vorhin sondern da muss man dann bisher mehr machen in ganz allgemein fallen müssen sehen Koeffizienten Vergleich von 2 Polynomen machen und kriegen dann ja das Gleichungssystem für die für diese A J K und müssen diesen Jahrgangs System auflösen ist der schlimmste schlimmste Fall der auftreten kann also auf jeden Fall auch eine machbare Rechnung jetzt nach übrig
bleibt 11 wir müssen ja am Schluss jeden diese so man 1 integrieren wir brauchen von dir meinten die Stammfunktion für den 1. ist es wieder so nur gewollt muss ja also Stammfunktion vor dem 1. AJ 1 x Rhythmus vom Betrag X und das X J die Frage ist was ist mit den anderen dann kann ich Ihnen angeben aber es eben wie gesagt ist werden der begibt ergibt sich im Wesentlichen mit der kleinen Substitution oben aus der Tabelle also wenn
der integral von der Form haben durch X minus XJ hoch kahl ja das ist ja das was wir hier haben K größer gleich 2 ja das sind genau diese Therme darum dann ist das gegeben die Stammfunktion als mal 1 durch 1 minus K 1 durch X minus X J Hochkar minus 1 ja das klar ist nicht gleich dem J nein das J habe ich an das in der Nähe des K ist eine Zahl zwischen 1 und als in 2 und ja ist die Nullstellen Ordnung und sie haben sie haben den Thermen explosiv dort auch einzelne der so Quadrat in den der bissigsten das sich auch noch im Mindener so jetzt können Sie Car gleich 2 3 4 5 6 7 bis nehmen und für jedes dieser Cars können Sie den da darum integrieren durch die Form war die Formel ist im Wesentlichen die Integrations- Formel für X auch als waren in die gerade von ich so alt war als sich Alfa plus ein Zureks so weil ich suche Alfa plus 1 da genau also es geht er
einfach die Antwort der dafür wie Sie diese einzeln so man integrieren können als der bringt ja nur was wenn man uns ein kompliziertes und sehr komplizierten Bruch in lauter einzelne Summanden zerlegen dann müssen wir der natürlich ebenso mahnte die Gräben können sonst nutzt das nächste von Sammer mal wieder eine schwierige sind die gerade in schwierigen Integrale setzt es habe ich ganz viel Theorie erzählt ist müssen wir es einmal konkret machen also hier steht auch noch mal der Ansatz für die fahren und Sterne drauf abgesehen davon dass dann bloß ja also zwischen ne Idee alles ok also da steht der Einsatz für die fahren nur Stelle auch noch mal da unter der Folie können uns jetzt entlang hangeln im Beispiel mit
also Beispiel 1 12 ja entsprechend 2 1 zählen so und jetzt haben wir eben sollen ein erstes Beispiel gebrochen rationale Funktion X noch 3 minus X plus 3 durch x Quadrat minus X minus 2 Aufgabe ich hier gerne Stammfunktion und wenn man jetzt versucht mit den üblichen Methoden kreatives raten Substitution oder sonst wieder dran zu gehen dann sitzt man ziemlich schnell auf dem Trockenen also zumindest kreatives raten finde ich werden ambitioniert und der Substitution kommen sie nicht wirklich Walter sondern was in hin zum Fall hilft es Partialbruchzerlegung wir haben und man muss das Ding zerlegt 1. Schritt dazu ist müsse Polynomdivision machen siehe Kapitel über rationale Funktion also machen da das Buhlen um X auf 3 minus X plus 3 durch das Polynom x verraten X minus 2 der Polynomdivision kriegen Sinne in polynomial Anteil ist und wenn Sie das hier machen also er Wiese Polung Division machen die wie ich jetzt hier nicht neu aufwärmen dann kriegen Sie raus das ist X plus 1 plus 2 X plus 5 geteilt durch den wenn der Export dort minus X minus 2 so auch das ist der Schritt 1 von der Partialbruchzerlegung Sie meine Polynomdivision und Spalten diesen polynomial Anteil ab was übrig bleibt es wieder der rationale funktioniert freundlicherweise wissen einfach aussieht mit der Eigenschaft wies auch da steht dass das der gerade von der Zähler nicht kleiner ist als der gerade vom nur also das was jetzt hier steht sind ist geschlagen und Disco schlage im Prinzip müssen wir jetzt noch dafür sorgen dass den durch dass sie keine gemeinsame Nullstellen haben das ist in dem Fall einfach das oben hat nur eine Nullstelle nämlich minus 5 Tage dann setzen und minus 5 halbe ein stellt fest dass es nicht 0 also an sie keine gemeinsame Nullstelle Wir sind also wieder normal fahren da und können damit in
Schritt 2 und 3 vom und 4 vom
Partialbruchzerlegung Verfahren
eintreten was wenn der Stelle jetzt schon machen können ist wir können den polynomialen Anteil integrieren also was ist die Stammfunktion von X Stammfunktion von X Inhalte 6 Quadrat Stammfunktion von 1 ist X und übrig bleibt das integral von 2 X plus 5 durch x Quadraten das X minus 2 an sagt das ist jetzt das was wirklich noch durch die Partialbruchzerlegung jagen muss das andere war Polynomdivision und integrieren Form Polynom gut Schritt 2 wir
brauchen die Nullstellen von Männer also Nullstellen des Nenners quadratisches buhlen in dem Fall also 17 Möglichkeiten quadratische Ergänzung geschickt das raten die Kuh vorne was auch immer wollen was rauskommt ist die Nullstellen sind 2 und minus 1 zur deshalb können wir jetzt den Ansatz Wonderful die ablehnen wie gesagt der Ansatz führt immer zum Ziel also unsere Funktion die wir integrieren wollen 2 X plus 5 durch x Quadrat minus X minus 2 an der Stelle lohnt sich's wir kennen jetzt die Nullstellen des Nenners also schreiben wir denen man damals in faktorisiert der Form also das ist X minus 2 X X plus 1 1 dafür haben nur die Nullstellen bestimmt dass man das Ding so schreiben kann so der Ansatz ist jetzt die beiden Nullstellen zu trennen wie gesagt Hauptnenner rückwärts das zu schreiben Essential durch X minus 2 also man was wie oben A 1 durch X minus 2 plus eine Zahl A 2 durch X plus 1 das ist der Ansatz von der Partialbruchzerlegung ja also man kann eben diesen Bruch immer so in 2 Teile zerlegen so was wir so brauchen sind A 1 und A 2
na die wollen gesagt wie man die Dinge
bestimmen kann eine gute Idee ist immer multiplizieren Sie mal die Gleichung da mit dem man das ist immer mal der erste Schritt weil ihnen das die Brüche wegnimmt die Nullstellen Außenbänder dann muss man sich nicht mehr darum kümmern was man was man einsetzen darf und was nicht also was wir suchen sind 2 Zahlen A 1 und A 2 so dass diese Gleichheit da oben für alle x geht so habe es nur die bisher mit einer hoch dann kriegen wir die Gleichheit 2 X plus 5 ist gleich A 1 X X minus 2 X X plus 1 durch X minus 2 bloß A 2 X X minus 2 X X plus 1 durch X plus 1 ich verbinde sie Zimmer ganz ausführliche ist einfach der darum und indiziert und jetzt sieht man eben in jedem Summanden kürzlich entsprechende Nullstelle weggehen aber das dreimal gemacht hat dann lässt man diese Zwischenschritt weg Konferenz gleich ohne die Nullstelle hin aber ich denke es gute man einmal sieht was hier passiert alles haben sie ebenso so meinten
die Nullstelle oben und unten stehen können Sie also kürzen kriegen Sie ab dem 1. A 1 X X plus 1 und im zweiten 2 X X minus 2 dort so ist die gleichen immerhin schon mal Männer frei also besuchen abzahlen A 1 und A 2 so dass 2 X plus 5 gleich A 1 X plus 1 plus 1 2 X minus 2 ist für Alex das ist im Prinzip ein einfaches Problem weil was steht da da steht Polynom 1. Grades gleich Polynom 1. Grades das heißt was Sie machen können das im fünfzehnten Vergleich links und rechts es gibt in 2 Gleichungen für die beiden Unbekannten A 1 und A 2 Kammern auflösen kriegt man raus 1. Lösung das geht immer in dem Fall schnellere Lösung wir wollen gesagt setzen Sie mal die beiden Nullstellen ein ja setzen
Sie mal die beiden Nullstellen also zum Beispiel erstmal Sätze X gleich 2 was passiert dann mit der Gleichung längst kriegen Sie zweimal 2 plus 5 das ist der Mann im guten welchen Tag erwischt hat 9 und auf der rechten Seite wenn Sie da 2 Einsätzen kriegen Sie 1 x 3 plus zweimal 0 die 0 ist toll war was jetzt dasteht ist 9 ist dreimal A 1 also das A
1 3 aber schon das 1. im zweiten Schritt setzen bei X gleich minus 1 damit der Faktor hinter dem A 1 0 wird und was mir dann kriegen ist nur sie links ist der minus 1 einsetzen also minus 2 plus 5 das ist 3 ist gleich A 1 x 0 bloß 2 X minus 1 minus 2 bis minus 3 also kriegen 7 3 ist minus 3 A 2 dann muss er 2 minus 1 da haben Sie Ihre beiden zahlt ohne kommt Vergleich und ohne Linie aus kleinen System und was noch alles sondern einfach direkt auf dem Silbertablett abgibt so was haben wir jetzt damit gewonnen ja um die Zahlen A 1 und A
2 gefunden also was wir jetzt haben ist das integral das wir eigentlich untersucht haben 2 X plus 5 durch x Quadrat minus X minus 2 also sind die gar dass wir ganz am Anfang sucht aber noch anders aber das ist der schwierige Teil den können Sie jetzt schreiben alles integral über 3 also das A 1 durch X minus 2 plus das A 2 durch X plus 1 also minus 1 durch X plus 1 der Deluxe kann es hier sieht man mir diese Idee was wir gemacht haben ist wir haben das auf den auch der bringe rückwärts gemacht war werden die den komplizierten Bruch als Differenz von 2 einfachen geschrieben und die
Kinder können wir jetzt integrieren weil wir was steht jetzt da steht dreimal das integral von 1 durch X minus 2 DX minus das integral von einzig X plus 1 Text und da hat wir vorhin gesehen da kommen überwundenen raus
das ist dreimal der Rhythmus von Betrag X minus 2 Minois General muss von Betrag X plus 1 plus natürlich Integrations- Konstante und jetzt können am Schluss alles zusammen nehmen das sie am Anfang gegeben war war das integral X minus 3 minus X plus 3 geteilt durch x Quadrat minus X minus 2 den polynomialen Anteil hatten wir gleich am Anfang
der integrierte waren halt nix Quadrat plus X und dann kommt noch das dazu was da steht also dreimal der Logarithmus von Betrag X minus 2 minus den Rhythmus von Betrag X plus 1 plus Integrations- Konstante werden
im Prinzip Hamas damit der steht die Stammfunktion ich glaube im Nachhinein ist ein glauben Sie mir alle dass kreatives raten die falsche Idee gewesen wäre weil ich darauf die Stammfunktion wir jetzt niemand gekommen im Prinzip kann man so stehen lassen so bisschen blutet mir dabei das Herz weil wenn man das so stehen lässt kann das gute Gründe haben wenn man die Form braucht aber so ein bisschen schreit das dazu noch die eine oder andere Logo und das Reich danach noch die ein oder andere Rhythmus Rechenregel da mal drauf zu
werfen ja das war der polynomial
Anteil nicht gegen immer hoch zu sehen
wozu die jung ist eine ätzende Rechnerei aber es ist so also das ist groß das breiteste Verfahren für den mehr ganz in der 1. Zeile immer Polynomdivision gemacht und dann ist das X plus 1 plus diesen Rest Quotienten lieber behandelt aber diese X plus 1 gibt das Xtra einheitlich Squadra plus X ja und der Quotient dann aber noch diesen Quotienten behandelt dann geht diese koloniale Anteil häufig mal vergessen aber denn müsste sie mit nicht ja der ganze Rest waren nur noch der Quotient hinten nur das X plus 1 gibt dieses inhaltlich Squadra plus X das habe ich hier unten nur noch
mal wieder aufgenommen das ist eine der stellen muss sehr einfach schön wäre der Tafel vortragen haben so machen zu können wer das alles und dachte sah Bernd ich hatte gerade was gesagt von über muss Rechenregeln also was ich an der Stelle noch machen können das ist die eine andere Logo muss Rechenregel drauf werfen und dann sieht das nun bisschen schöner aus das ist nämlich dreimal Rhythmus von irgendwas bis Logarithmus von dem irgendwas hoch 3 neue und Logarithmus von irgendwas minus Logarithmus von was anderem ist nur Rhythmus muss vom Quotient also das Inhalt X Quadrat plus X plus 1 großer nur Rhythmus von
Betrag X minus 2 hoch 3 durch Betrag X plus 1 das sieht halt schon wieder bisschen übersichtlicher aus zugegebenermaßen ist den Ausgleich also keine wir den Kopf abreißen wenn sie das oben stehen lassen wir je nachdem wie man weiter rechnen wir es die eine oder andere Darstellung praktischer ich wollte meine ich mal daraufhin weisen weil dieser wird muss Rechenregeln die gehen immer so schnell vergessen König zweites Beispiel der im Wesentlichen die um ihn hier zu zeigen was passiert wenn tatsächlich mehrfache Nullstellen auftreten ja wir jetzt nur einfache Nullstellen die unten das der Männer Polynom x Quadrat minus X minus 2 hatte eben nur die Nullstellen 2 und minus 1 also 2 einfache Nullstellen das war der einfachste Fall jetzt nur noch ein Beispiel mit der doppelten Nullstellen und wenn sie dann die 3 X oder 4 fahren nur Stelle haben dann geht das eben
entsprechend auch so wird halt von Rechenaufwand her aufwenden also 2. Beispiele X Quadrat plus 4 geteilt durch x hoch 3 minus 2 x Quadrat DX wieder in ganz unscheinbares Problemen sie einige rationale Funktionen davon gern die Stammfunktion das kann schon ziemlich mühsam werden also gehen wir unseren unsere durch was müssen wir tun wir müssen zunächst das Ding auf Normalform bringe müssen Polynomdivision machen das habe ich uns an der Stelle jetzt hier spart das Celler Polynom abschauen gerade kleiner als das Männer Polynom und sie noch keine gemeinsame Nullstellen mehr drin in dem Fall sieht man das am einfachsten wir mal den Nullstellen vom Männer bestimmt die brauchen sowieso und dann die oben einsetzt dann sieht man aber es brennt nichts an also die Polynomdivision entfällt erstmal sie sind schon in dem Fall wo der Männer gerade größer ist als der Celler gerade brauchen wir
nicht wir sind hier schon in der normalen Form weil wenn Sie sich mal anstellen schauen was sind die Nullstellen von mehr x hoch 3 minus 2 x Quadrat da können Sie nix Quadrat ausklammern ist x Quadraten X X minus 2 wir sehen Sie sehr mit dem neuen der doppelte Nullstelle und einfache Nullstellen 2 und wenn sie erstmals in gleich 2 x gleich 0 oben einsetzen stellen Sie fest fix gleich 2 kommt 8 raus und fix gleich 0 kommt 4 draußen also beides keine Nullstellen vom Zähler also an sich schon mal keine doppelt keine Nullstellen oben und unten das heißt dieser Bruch der ist schon wieder Normalform für rationale Funktionen steht da schon da so also können wir jetzt den Ansatz hinschreiben denn wir brauchen für die
Partialbruchzerlegung wir haben ein Männer 3. Grades das heißt wir müssen auf jeden Fall 3 Summanden haben in der Partialbruchzerlegung schreiben uns denn wenn wir wieder in der faktorisieren Form am besten hin also Zählers extra plus vieren und X Quadratmer X minus 2 so was ist jetzt der Ansatz für die Partialbruchzerlegung
müssen Sie jetzt die untere Zeile und die oben kombinieren wir haben eine doppelte Nullstellen 0 das heißt für die ist hier 2 ja mal so für 0 2 solche Summanden wir haben aber 1 1 durch X minus 0 bloß 1 2 durch X minus 0 Quadrat bloß und jetzt intern für die einfache Nullstelle x 2 gleich 2 das gibt und A 2 durch X minus 2 ja oder bisschen kürzer geschrieben A 1 durch x plus A 1 2 durch x Quadrat plus A 2 durch x minus das ist der Ansatz die ist man sieht immer gut wenn man sich die Sache so in schreibt dass die Funktionen Länder faktorisiert ist dann sieht man den Einsatz im Prinzip für jeden für das für jeden Faktor in den da brauchen Sie ein Ansatz Funktion also ein so ein Bruch wenn Sie mehr fahren 0 besucht sehen ob die einfachen komm einfach so so und jetzt müssen wir diese 3 Zahlen a 1 1 1 2 und A 2
bestimmen Idee wie vorhin multiplizieren wird durch mit dem Ziel mit dem Werner das ist immer gut ja also wir bestimmen Bestimmung von A 1 1 1 1 2 1 2 und 1. Schritt egal was es multiplizieren Sinn
denn auch dann kriegen wir X Quadrat plus 4 ist gleich sollte Mode beziehen Sie die rechte Seite mit extra aber nix minus 2 im 1. Summanden kürzlichen X also bleibt übrig A 1 x 1 X X X X minus 2 im zweiten Summanden kürzlich X Quadrat bleibt übrig A 1 2 X X minus 2 und im dritten Summanden kürzlich in X minus 2 bleibt übrig 2 x x Quadrat also dass es wieder Multiplizieren mit dem man ab guten und jeweils die nur die unteren die Männer auf der rechten Seite kürzen sich raus weil jede dieser den ja Faktoren ja oben dazu Mut gezählt zur die gleiche muss wieder für alle x gelten und jetzt kommt der Moment wo das was freuen so ganz geradeaus gehen nicht so ganz funktioniert also wo wir mal so weiter
wie vor das war nicht schön erfolgreich setzen wir mal den Nullstellen ein also erst setzen wir mal x gleich 2 was passiert dann setzte Senegal ist gleich 2 1 2 Quadrat plus 4 bis 8 so dann setzen wir rechts es gleich 2 kriegen sehr 1 1 x 0 plus 1 2 x 0 bloß an 2 mal 2 Quadrat also 2 mal 4 das Gebirge schöne Gleichung 4 A 2 ist 8 daraus ist es nicht allzu schwer abzuleiten was 2 weiß also 4 als 8. das heißt dass 2 1 2 mehr ein aber schon mal sahen setzen sehe die andere Nullstelle ein nämlich X gleich 0 was
passiert dann längst 0 Grad plus 4 S 4 rechts geht A 1 1 x 0 genau 1 1 x 0 bloß A 1 2 X minus 2 und minus 2 bis minus 2 plus 1 2 x 0 und das Auge eine schöne
Gleichung minus 1 2 ist 4 also ist 1 2 minus 2 und die Probleme seien jetzt mit dem A 1 1 1 ja wie kriegen wir jetzt das 1 1 14. mal das was wir schon haben ein wir wissen schon
was A 2 und A 1 2 ist setzen da mal einen gucken was rauskommt
also Xtra plus 4 Werbelinks stehen bis gleich das A 1 1 kann man auch nicht 1 1 X X X X minus 2 nur danach der den Termes wenn sie nur einsetzen nur 2 Einsätze für jedes mal weg über den kriegen wir keine Aussage also ich plus 4 S 1 1 X X X minus 2 dann haben Sie das A 1 2 das ist minus 2 gibt man das 2 x plus 4 und das 2 ist 2 plus 2 x Quadrat Sa
fassen wir mal zusammen was darstellt X Quadrat haben Sie links und rechts haben sie 2 x Quadrat bringen die 2 war allerdings haben sie minus X Quadral der dann immer noch plus 2 x von rechts plus 4 fällt weg wertlos wären so auf beiden Seiten also habe ich alles dieses Minus 6 plus 4 plus 2 x Quadrat nach links rüber gebracht dann bleib stehen minus 6 Grad plus 2 x ist gleich die rechte Seite was steht da steht 1 1 x Quadrat minus 2 1 1 x und immer die gleichen jetzt ein bisschen anschaut dann kriegt man die Idee was das A 1 1 sein könnte 1 1 gleich minus 1 sieht es ziemlich gut aus passt kann natürlich ist aber formal auflösen aber an der Stelle ist es meistens so also wie gesagt im Notfall haben Sie jetzt mit Gleichung für eine unbekannte müssen seit auflösen aber meistens lohnt sie sie nicht aufzulösen so einfach mal scharf drauf zu gucken und dann sieht man was rauskommt 1 1 muss minus 1 Sa habe also wieder alle 3 Koeffizienten bestimmend und können zusammenfassen das ist jetzt hier mit
dem das ich fasse es ihn noch mal zusammen leider sieht man nicht mehr was oben stand also wir haben angefangen mit dem integral X Quadrat plus 4 durch x hoch 3 minus 2 x Quadrat wir haben den Nenner faktorisiert und haben daraus gemacht Xtra plus 4 durch x Quadrat X X minus 2 dann
aber den Ansatz für die Partialbruchzerlegung gemacht A 1 1 durch X plus A 1 2 durch x Quadrat plus Arzt weil durch X minus 2 so ist aber die 1 1 1 202 ausgerechnet 1 1 1 minus 1 A 1 2 war
sie hier minus 2 und A 2 1
2 also 2. 2 muss man sich
merken A 1 2 ist minus 2
und A 1 1 ist minus 1 dann
bleibt hier stehen integral über minus 1 durch Aids minus integral über 2 durch x Quadrat plus integral über 2 durch X minus 2 so und damit aber jetzt die Partialbruchzerlegung am Ende
da der Geburt Yvonne als seine Funktion ist auf eine Summe von 3 einfachen integralen die können wir jetzt integrieren Stammfunktion von minus 1 durch ist minus den Rhythmus von Betrag X ich dann Funktionen von minus 2 DX Quadrat ist zwar durch x entweder sind in die Formel die von den geschrieben habe und setzen ein oder sie überlegen sich mehr beim integrieren wird immer der Exponent unternehmen Zähler und der Nenner als größter also muss es irgendwas mit 1 durch X sein nein leider immer mal ab und guckt wie das wieder konstant ist ein Krieg raus Zweit-Ich X und der letzte ist wieder so einer wie wenn vor erhalten da bleibt übrig zweimal den Rhythmus von Betrag X minus 2 natürlich wieder bloße Integrations- konstanter wenn man jetzt will kann man das wieder die beiden Rhythmen wieder noch verheiraten und Krieg 2. Ich X plus allen von Betrag X minus 2 Quadrat gezeitigt Betrag X plus mit konstant ich also auch hier mit Mühe aber das geht der Stammfunktion gefunden und wie gesagt die Mühe er ist nicht den geschuldet er das ist die Ärger viel Sonne ist dem geschuldet dass Samsung zum bestimmen wirklich einfachen das ist schwieriges Zeugnis und selbst bei so relativ einfachen Funktionen damit ziemlich großen Kanonen schießen muss um die in Griff zu kriegen gut aber was Sie damit jetzt können
sind Stammfunktion bestimmen für alle wird's rationalen Funktionen solange keine komplexen nur Stellen auftauchen die nicht zu viel gesagt für komplexe Nullstellen Kammer das Verfahren auch noch aufbohren es gibt neuen Ansatz wird noch mal ein bisschen aufgepustet aber die Idee bleibt die gleiche man muss dann eben ja entweder man rechne gleich komplex dann kann man so machen hier oder meinetwegen reell dann muss man wissen komplizieren Ansatz werde das mal braucht findet das in die in den Büchern und das ist nicht also von der Konzeption her nichts anderes als das was wir gesehen haben ich will diesen Abschnitt über das die Stammfunktion und das unbestimmte Integrale mit einem mit einem ja mit 1 mit einem Satz beenden der für uns jetzt hier erst mal einfach nur
Informationscharakter hat ja aber für die ganze Theorie dahinter ganz wichtig ist haben werden und gesagt der wir suchen an dieser Stelle Stammfunktion so gegebenen Funktionen also Sohnes differenziere rückgängig zu machen und wenn das Ganze eine schöne Theorie werden sollen wenn es nach Anschluss möglich sein sollen möglichst viele Funktionen zu integrieren dann müssen wir aber auch wissen dass es so möglich die Funktion Stammfunktion gibt können wir nur sagen dass es irgendwelche er werde es schön einfache Funktionen gibt was wir sich zur könnte passieren dass große nur von X Sinus von X schon gar keine Stammfunktion mehr existiert dann wir die ganze Theorie der Wärme mühsam weil man dann immer noch klären müsste ob wir jetzt gerade in so Bogen Falles oder nicht also was ich jetzt hier noch machen will ist eine Aussage über die Existenz von Stammfunktion und das Ganze kann man auch unter das Motto stellen wir haben dich auf Sand gebaut ja also es geht genügen Stammfunktion alle wesentlichen Funk muss oder meinen Satz auch zusammenfassen alle für sie wesentliche Funktion haben Stammfunktion und zwar kurz und knapp jede stetige Funktionen auf einem Intervall besitzen Stammfunktion das heißt umgekehrt jede stetige Funktionen kommt vor als Ableitung einer Funktion und ich denke dass ich Ihnen im Kapitel über Stetigkeit hoffentlich genügend auch schräge stetige Funktion gezeigt hat also denken Sie an die Funktion x-mal Sinus 1 durch externe sind oszillierten Sinus der sich dann in die 0 auch dazu bereit erklärt zu sagen gut da bin ich nun aber dann fange ich wieder an zu zu flattern auch das ist mehr Ableitung von der Funktion die zu bestimmen ist interessantes Unterfangen aber es ist mir aber noch oder Funktion wir und das ist das was dieser Satz sagt Weitsichtigkeit haben
können Sie sicher sein dass Dinge hatte Stammfunktion das heißt diese Theorie das Tief integrieren Sie der Stammfunktion das mächtig genug um viele viele Funktionen insbesondere alle die ihn im Verlauf ihres weiteren Studien Daseins entgegenschlagen zu behandeln normale Bemerkung die ich schon am Ende der
letzten Vorlesung machte das heißt in keiner Weise dass die Stammfunktion zu jeder Funktion berechenbar ist ja das heißt nicht dass mir die angeben kann das heißt nur die existiert also das heißt nicht dass man diese immer angeben kann es gibt sie halt wenn man Pech hat ist sie aber zu
schüchtern sich zu zeigen ich hatte letztes Mal das notorische Beispiel ganz kurz
erwähnt weil habe ich die Zeit es bisschen ausführlicher zu machen nehmen Sie die Funktion f von x gleich er hoch x Quadrat das ist wer also die sieht ja völlig harmlos aus und dessen große Spielverderber weil gerade stetig dies sogar nicht bestätigt ist differenzierbar dies 302. x differenzierbar dies beliebig oft differenzierbar ist eine Potenzreihe gegeben gucken Sie wird es Rainer erst die Möglichkeit natürlich wie immer sie machen das volle Zellentwicklung leitet die Funktion absetzen oder einen alle Ableitungen rechnet das restliche aus dürfen sie machen ist aber wohl nur die Zeit weil sie den werden die Potenzreihe von der Funktion ja und dementsprechend ist er auch x Quadrat ist die Summe n gleich 0 bis unendlich Eva sehen die Sie wenn Sie die Ihrer hätten dann hätten sie X auch durch Fakultät war ja also das wär die 3D-Funktionen setzen Sie halt ich's Quadrat ein sah haben sich so 2 endlich in Fakultät das ist die Reihe das heißt es ist eine wunderbare Funktion dies insbesondere stetig hat also nach dem Satz oben
Stammfunktion aber diese Stammfunktion ist nicht elementar hin streitbar also Sie können noch so viele Logarithmen Sinus Kosinus Polynome Cusco sinnlos groß über wurde Kuss und sonst was kombinieren Sie kriegen diese Funktion nicht mit einer endlichen Darstellungen geschrieben sie können natürlich für die Stammfunktion mit einem mit dem was sie schon wissen sofort eine Potenzreihen Darstellung hinschreiben weil die funktionieren ist denn wurden freigegeben integrieren Potenzreihen indem man sieht liedweise integriert also man kann sofort eine Darstellung der Stammfunktion angeben also eine mögliche Darstellung für dieses
ominöse Objekt na also dieses Objekt hier ist das Problem Stammfunktion von der Xtra Rat Ratings das ist die Stammfunktion von der Potenzreihe die oben steht so man gleich 0 bis unendlich X 2 N durch N Fakultät X jetzt wissen Sie dass ist nicht an eine Potenzreihe sogar mit Konvergenz reisen endlich was schöneres kann es gar nicht geben in der dürfen Sie jetzt den drin integrieren nach
dem Satz von vorhin über die Stammfunktion von Potenzreihen das ist also so mehr n gleich 0 bis unendlich 1 durch die Fakultät bleibt stehen vom integrieren kriegen 7 2 1 plus 1 runter X noch 2 1 plus 1 natürlich bloßen Integrations- Konstante so das stetig Stammfunktion Potenzreihe das können Sie die bis in die jedes Worte Kriterium werfen und kriegen raus Konvergenz Radius unendlich das ist die Stammfunktion das ist die schönste mit ohne sich dann wohl zu schreiben dass es Sonderreihe Reihe dafür geschlossen ausdrückt zu kriegen er hat nicht nur bisher niemand geschafft sondern ist bewiesenermaßen unmöglich also es wird dass sich das die Stammfunktion aber schön also können sinnlichen schreiben Sie ganz natürlich brauchen können Sie numerischen wären sie aber sogar die Teller weil sie am alles was sie brauchen aber sie können sich eben nicht in schreiben die einzige Chance die haben es zu sagen okay ich nenne das Ding gezahlt Blümchen von Exter das kann man natürlich machen den ganzen Abend gut und was was in Online hat seinen Schrecken verloren aber mehr kann man an der Stelle so nicht tun gut so viel für heute ich stellt dann morgen in den 2. Abschnitt ihren das bestimmte integral ein und dann kann ich Ihnen auch endlich ja anschauen geben wo für das integral gut ist und was es bedeutet seit ich Sie am Anfang um Geduld gebeten also morgen kriegen wir das hin bis dahin erst mal vielen Dank für die Aufmerksamkeit und bis morgen
Konstante
Radius
Polynom
Stammfunktion
Summand
Differentiation <Mathematik>
Koeffizient
Reihe
Träger
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Darstellung <Mathematik>
Umkehrfunktion
Zusammenhang <Mathematik>
Stammfunktion
Momentenproblem
Differentiation <Mathematik>
Reihe
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Richtung
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Bestimmtes Integral
Reihe
Gradient
Funktion <Mathematik>
Konstante
Summe
Quadrat
Stammfunktion
Exponent
Potenzreihe
Stammfunktion
Geometrische Reihe
Exponent
Reihe
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Zahl
Erweiterung
Elementare Funktion
Stammfunktion
Fünfzig
Rechenbuch
Tabelle
Algebra
Reihe
Mathematiker
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Weg <Topologie>
Quadrat
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Exponent
Partielle Integration
Natürliche Zahl
Exponentialfunktion
Trigonometrische Funktion
Ausgleichsrechnung
Kosinusfunktion
Polynom
Quadrat
Stammfunktion
Rationale Funktion
Flächentheorie
Quotient
Klasse <Mathematik>
Exponentialfunktion
Funktion <Mathematik>
Integral
Quadrat
Partialbruchzerlegung
Stammfunktion
Rationale Funktion
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Folge <Mathematik>
Große Vereinheitlichung
Summand
Quotient
Rationale Funktion
Klasse <Mathematik>
Integral
Summe
Quadrat
Polynom
Stammfunktion
Normalform
Bruch <Mathematik>
Dampf
Funktion <Mathematik>
Polynom
Faktorisierung
Nullstelle
Polynom
Partialbruchzerlegung
Stammfunktion
Nullstelle
Minimalgrad
Faktorisierung
Polynom
Grad n
Nullstelle
Komplex <Algebra>
Gradient
Polynom
Momentenproblem
Rationale Funktion
Nullstelle
Zerlegung <Mathematik>
Partialbruchzerlegung
Stammfunktion
Summand
Quotient
Zahl
Partialbruchzerlegung
Normalform
Zahl
Summand
Nullstelle
Gruppenoperation
Gleichheitszeichen
Gleichung
Zahl
Summe
Stammfunktion
Nullstelle
Einfaches Integral
Polynom
Partialbruchzerlegung
Stammfunktion
Logarithmus
Betrag <Mathematik>
Rationale Funktion
Nullstelle
Ableitung <Topologie>
Integral
Polynom
Summand
Modifikation <Mathematik>
Nullstelle
Polynom
Variable
Quadrat
Koeffizient
Nullstelle
Gleichungssystem
Quadrat
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Tabelle
Nullstelle
Substitution
Zahl
Polynom
Quadrat
Partialbruchzerlegung
Stammfunktion
Summand
Rationale Funktion
Nullstelle
Substitution
Division
Zahl
Integral
Quadrat
Polynom
Stammfunktion
Partialbruchzerlegung
Nullstelle
Inhalt <Mathematik>
Zahl
Summand
Nullstelle
Gleichung
Zahl
Variable
Nullstelle
Gleichungssystem
Gleichung
Gradient
Quadrat
Faktorisierung
Zahl
Linie
Konstante
Quadrat
Logarithmus
Betrag <Mathematik>
Stammfunktion
Quotient
Polynom
Quadrat
Logarithmus
Betrag <Mathematik>
Quotient
Nullstelle
Quadrat
Polynom
Stammfunktion
Normalform
Rationale Funktion
Nullstelle
Zahl
Faktorisierung
Quadrat
Partialbruchzerlegung
Summand
Nullstelle
Zahl
Funktion <Mathematik>
Gradient
Faktorisierung
Multiplikation
Quadrat
Momentenproblem
Summand
Quadrat
Nullstelle
Gleichung
Gradient
Quadrat
Gleichung
Quadrat
Koeffizient
Gleichung
Gradient
Summe
Quadrat
Stammfunktion
Partialbruchzerlegung
Exponent
Betrag <Mathematik>
Zahl
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Stammfunktion
Stetigkeit
Unbestimmtes Integral
Rationale Funktion
Nullstelle
Stetige Funktion
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Summe
Quadrat
Stammfunktion
Reihe
Tiefe
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Stammfunktion
Endliche Darstellung
Potenzreihe
Konstante
Radius
Stammfunktion
Reihe
Potenzreihe

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Partialbruchzerlegung
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 25
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35643
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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