präsentiert von Open Learnware, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann mal ein herzliches Willkommen heute. Ich war in der letzten Vorlesung,

ja, letzte Woche sind wir eingestiegen in die Integrationsrechnung, die hatte ich Ihnen bisher von außen nicht motiviert, sondern nur gesagt, was wir tun wollen ist, das Differenzieren umkehren. Also wir suchen jetzt nicht zu einer Funktion die Ableitung, sondern wir suchen zur Ableitung die Funktion, die sogenannte Stammfunktion. Und wir haben

festgestellt, das Problem ist schon ein bisschen diffiziler als das Differenzieren. Wenn fürs Differenzieren einen klaren Satz von Regeln gibt, die man einfach abarbeitet, kommt zum integrieren. Ja, gibt es auch Regeln, die sind aber nicht so ein schöner vollständiger Satz,

sondern die helfen meistens nur das Problem über eine Stammfunktion zu suchen, auf das Problem zurückzuspielen, eine andere Stammfunktion zu suchen. Und dies ist gut läuft, wenn dieses neue Problem dann leichter ist. Und auf die Weise kann man sich manchmal durchhangeln. Aber ich hatte Ihnen am Schluss der letzten Vorlesung auch gesagt, es gibt definitiv

Grenzen, es gibt wunderschöne Funktionen, beliebig oft differenzierbar, wunderschön, sind durch eine Potenzreihe gegeben, haben auch deswegen eine Stammfunktion, gar keine Frage, aber diese Stammfunktion kann man nicht hinschreiben. Also außer, dass man eine Reihe hinschreibt oder sowas oder das Integral. Aber man kann sie eben nicht durch eine

Funktionsvorschrift einfach hinschreiben. So und wenn wir uns um überlegen, was wir in der letzten Vorlesung gemacht haben, dann war das, wir haben die Differenzierungsregeln hergenommen, also die Linearität der Ableitung, die Produktregeln, die Kettenregeln und haben aus jeder Differenzierungsregeln eine Integrationsregel gewonnen. Und ich habe

heute noch eine weitere Regel. Wir haben gesehen beim Differenzieren, wenn sie eine konvergente Potenzreihe haben, dann können sie die differenzieren, indem sie einfach in der Potenzreihe die Summanden differenzieren. Und das ist einer der wenigen Stellen,

wo das Integrieren genauso schön ist wie das Differenzieren. Das geht beim Integrieren auch. Also das ist der Satz 1,8. Da geht es um Stammfunktionen von Potenzreihen. Und wieder bewahrheitet sich der Satz, dass Potenzreihen schöne Funktionen sind. Da

ist es also mit dem Integrieren schön, abgesehen davon, dass sie als Integral, Stammfunktion natürlich wieder nur eine Potenzreihe kriegen. Mehr haben sie ja auch nicht reingesteckt. Also wenn sie eine Funktion haben, die gegeben ist durch eine Potenzreihe, Summe n gleich 0 bis unendlich, Koeffizienten an in der allgemeinen Form x

minus x0 hoch n, mit Entwicklungsstelle x0. Und wir setzen voraus, dass der Konvergenzradius strikt größer 0 ist. Sonst sind sie, wenn sie im Fall rho gleich 0 sind, dann haben sie eine Reihe, die nur an einem Punkt konvergiert, dann sind Begriffe wie differenzieren und

integrieren sinnlos. Also der Konvergenzradius soll strikt größer 0 sein. Und dann kriegen sie raus, wenn sie jetzt die Funktion bilden, die gegeben ist, indem sie jeden Summanden ihrer Reihe integrieren. Also, naja, was da drin steht, ist ein Polynom, ein Monom an x

minus x0 hoch n. Wenn sie das integrieren, dann bleibt erst mal die Konstante a n vorne stehen. Und wenn sie x minus x0 hoch n integrieren, kriegen sie raus 1 durch n plus 1 mal x minus x0 hoch n plus 1. Also das, was hier steht, ist einfach die Integration,

die Stammfunktion dieses Summanden. Und der Satz sagt, dann hat das Ding den gleichen Konvergenzradius und ist eine Stammfunktion von f. Also sie können hier tatsächlich

summandenweise integrieren und kriegen damit eine Stammfunktion raus. Gut, was man damit anfangen kann, ist zum einen, offensichtlich, wenn sie eine Funktion haben, die durch

eine Potenzreihe gegeben ist, Sinus, Cosinus, E-Funktion, Logarithmus, irgendwas, können sie die Stammfunktion bestimmen, indem sie diese Potenzreihe integrieren. Das bringt im Moment natürlich nicht so wahnsinnig viel, weil die Stammfunktion von Sinus, Cosinus, E-Funktion und Logarithmus haben wir alle schon bestimmt oder kann man erraten.

Trotzdem ist das ein interessantes, also wenn sozusagen andere Funktionen kommen, die durch Potenzreihe gegeben sind, kann man so die Stammfunktion bestimmen. Man kann damit aber auch umgekehrt was tun und das will ich Ihnen im Beispiel zeigen. Man kann zu gegebenen Funktionen Reiendarstellungen finden, über diesen Zusammenhang hier. Der

Satz sagt ja nur, wenn sie eine Funktion haben, durch eine Potenzreihe gegeben ist, kriegen sie eine Stammfunktion, indem sie gliedweise integrieren. Das kann man in beide Richtungen lesen. Und was ich Ihnen zeigen will, ist wie man daraus eine Reiendarstellung für den Argus tangens bestimmen kann. Warum ist das interessant?

Aus dem üblichen Grund, warum Reiendarstellungen interessant sind. Eine Reiendarstellung für eine Funktion ist die Taylor-Darstellung, ist die Taylor-Reihe. Das heißt, wenn sie die Reiendarstellung haben, dann haben sie die Taylor-Reihe für umsonst und damit auch alle Taylor-Näherungen können sie sofort ablesen. Also eine

Reiendarstellung ist insofern schon was Interessantes. So, wo kriegen wir die Reiendarstellung her? Wir müssen uns noch mal daran erinnern, was die Ableitung des Argus tangens war. Die Ableitung des Argus tangens hatten wir im Kapitel

über Differenziation bestimmt zu eins durch eins plus x². Das war ein Beispiel für die Formel über die Ableitung der Umkehrfunktion. So, und was bedeutet das, wenn wir es jetzt einmal integrieren? Das bedeutet, dass eine Stammfunktion ist dieser Funktion eins durch eins plus x². Wenn sie eins

durch eins plus x² die Stammfunktion suchen, dann kommt Argus tangens plus eine Konstante raus. Also das Integral, das unbestimmte Integral von eins durch eins plus x², die Stammfunktion dieser Funktion oder eine Stammfunktion ist der Argus tangens. Und wenn man es ganz genau macht, also alle Funktionen,

Argus tangens plus eine Konstante sind Stammfunktion von eins durch eins plus x². So, und das Schöne ist jetzt eben, da steht noch keine Reihe. Wo kommt jetzt die Reihe her? Die Reihe steckt in diesem Ausdruck eins durch eins plus

x². Lassen Sie mich den mal ein bisschen kneten. Den schreibe ich folgendermaßen um. Das ist eins durch eins minus minus x². Damit wir hier zustimmen, dass das stimmt. Man weiß zwar noch nicht so unbedingt, was das soll, aber es stimmt ja, weil minus mal minus gibt wieder plus. Warum schreibe ich das so? Weil jetzt steht das da in der Form eins

durch eins minus ebis. Da steht eins durch eins minus Schnirps. Und bei eins durch eins minus Schnirps könnte sozusagen der Pavlovsche Hund anspringen. Das haben wir schon ein paar Mal gesehen. Das ist die geometrische Reihe. Eins durch eins minus Schnirps ist der Rein, wenn das

Schnirps Betrag kleiner eins hat, dann ist das die Reihe über Schnirps hoch n. Genau, und das machen wir. Also hier kriegen Sie, das ist das Integral, also die Stammfunktion von der Reihe n gleich 0 bis unendlich über den Schnirps hoch n, also minus x² hoch n. Das ist die geometrische

Reihe mit Q gleich minus x². Und das geht natürlich nur so lange wie minus x². Minus x² muss vom Betrag her kleiner als eins sein, also

für x zwischen minus eins und eins. Okay, aber jetzt können wir unseren Satz von oben anwenden. Was sagt der uns? Die Stammfunktion von so einer

Potenzreihe kriegen Sie im Konvergenzbereich, also dann für x zwischen minus eins und eins, kriegen Sie die Stammfunktion, indem Sie jeden Summanden, von jedem Summanden die Stammfunktion bilden. Also das hier ist die Summe n gleich 0 bis unendlich, das ist jetzt 1,8, über wenn Sie da innen

drin integrieren, wobei lassen Sie mich erst noch aufräumen, also das ist jetzt noch nicht 1,8. Also das ist Integral über die Summe von minus eins hoch n mal x hoch 2n. So wird es vielleicht übersichtlicher. Ich habe

nur noch mal die Potenzrechenregel verwendet aus dem minus x² im minus eins mal x² gemacht. So und jetzt benutzen wir 1,8. Das ist die Summe n gleich 0 bis unendlich und jetzt müssen Sie von jedem Summanden die Stammfunktion bilden. Da bleibt übrig minus eins hoch n mal eins durch 2n plus eins

mal x hoch 2n plus eins. So und das, jetzt steht hier, wenn man ganz links wieder anfängt, Akus tangens von x ist bis auf eine Konstante gegeben durch

diese Reihenentwicklung. Was uns noch fehlt ist die Konstante. Gut, die lässt sich aber leicht bestimmen, weil diese Konstante kriegen Sie einfach, indem Sie mal schauen, was für x gleich 0 passiert. Sie setzen mal auf beiden

Seiten x gleich 0 ein und dann passiert was? Links steht Akus tangens von 0 plus C. Also Akus tangens von 0 plus C ist gleich und jetzt rechts 0 eingesetzt.

Summe n gleich 0 bis unendlich minus eins hoch n eins durch 2n plus eins mal 0 hoch 2n plus eins. Es kommt wieder, muss man kurz überlegen, gibt da drüben einen Term von der Form 0 hoch 0, denn normalerweise ist 0 hoch irgendwas 0, aber wenn dann oben der Exponent 0 ist, dann ist es 1, aber der

Exponent 2n plus 1, der wird nur dann 0, wenn 2n plus 1 gleich 0, dann müsste n mal minus ein halb sein oder so was. Das ist nicht. Also haben wir hier tatsächlich 0 stehen. So und damit haben Sie sowas C ist. C ist

minus der Akus tangens von 0 und der Akus tangens von 0 ist die Zahl, denn tangens 0 ist, das ist 0. Also ist C 0 und damit haben wir jetzt endgültig die Reiendarstellung. Der Akus tangens ist auch eine wunderschöne Funktion,

die durch eine Potenzreihe gegeben ist, zumindest für x zwischen minus 1 und 1 und die Potenzreihe ist n gleich 0 bis unendlich minus eins hoch n durch 2m plus 1, x hoch 2m plus 1. Und das gilt für x zwischen minus 1 und 1 und wenn man sich dann noch genau anguckt, wann diese Reihe da

konvergiert und wenn man sie divergiert, kriegt man raus, 1 geht noch und minus 1 geht nicht. Gut, das als Beispiel, wie man sozusagen diesen Satz umgekehrt verwenden kann. Wie gesagt, hauptsächlich ist er dafür da, Stammfunktionen zu finden für Funktionen, die durch Potenz

reingegeben sind, aber man kann eben umgekehrt auch mit diesem Satz, wenn es gut läuft, so wie hier sich auf die geometrische Reihe zurückziehen und eine Reihenentwicklung von der Funktion kriegen und glauben Sie mir, das ist schneller, als wenn ich Ihnen jetzt die Aufgabe gegeben hätte, bestimmen Sie mir die Taylor-Reihe vom Akus tangens, dann gibt es eben

mehrere Möglichkeiten. Die eine ist die, die zweite Möglichkeit ist, Sie bestimmen alle Ableitungen vom Akus tangens und rechnen die Taylor-Reihe aus und zeigen, dass das Restglied gegen 0 geht. Haben wir letzte Woche mit dem Logarithmus gemacht oder vorletzte, ist Aufwand, das geht schneller. Gut, so, als wir übers Differenzieren gesprochen haben, habe ich dann

irgendwann eine große Tabelle gemacht, wo ich Ihnen so Elementarfunktionen und dazu die Ableitung hingeschrieben habe. Jetzt könnte ich, das gleiche, wer ist für integrieren natürlich auch interessant, mal so eine Liste

der Standardfunktionen mit allen, mit den zugehörigen Stammfunktionen kommt jetzt auch gleich, wobei im Prinzip ist es unnötig, weil natürlich können Sie die Liste von damals nehmen und einfach umdrehen, weil die Stammfunktion ist ja differenzierend umgedreht, also das heißt Sie müssen bei der Differenzierliste einfach von Differenzierliste von rechts nach links lesen,

aber wir machen nochmal eine schöne Liste und ich kann gleich sagen, diese Liste wird Ihnen das Gefühl geben, dass alles toll ist und man alles integrieren kann und es von einem eine Stammfunktion gibt, das ist wie gesagt im Allgemeinen nicht so einfach und diese Liste hat viele

Erweiterungen, also es gibt das berühmte Taschenbuch zur Mathematik von Bronstein, Semenjajev, da sind drin so irgendwie 40 Seiten mit weiteren Listen für Stammfunktionen von Funktionen und an vielen Stellen steht da auch nicht auch nur eine Reihe oder kann man nicht explizit angeben

und das war früher zumindest, als es noch keine Computer-Igebra-Systeme gab für die entsprechenden Physiker, Ingenieure und so weiter, ein wesentliches Nachschlagewerk, wenn man integrieren musste und eben gibt es ganze Tabellenwerke über viele, viele Seiten,

die eben elementare Stammfunktionen ausspucken, das ist eine ganze Industrie. Mittlerweile hat man den Vorteil, dass man natürlich viel über Rechner numerisch nähern kann, aber wenn man so in die 60er, 50er Jahre zurückgeht, da gibt es eben riesige Tabellenwerke, die zu gegebener Funktion die Stammfunktion ausspucken,

also hier nur eine ganz kleine Tabelle mit den ganz elementaren Funktionen. Das meiste davon haben wir auch hier schon gesehen, das ist jetzt also mehr eine Zusammenfassung für die Schnellreferenz

und wie gesagt, wenn Sie eine Funktion hier nicht finden, dann müssen Sie halt durch die größeren Tabellwerke gehen. Also ich schreibe hier die Funktion f hin, da drunter die Stammfunktion und dann gibt es noch eine Spalte Bemerkung, wo im Wesentlichen drin steht, für welche x das alles funktioniert.

Also erster einfacher Fall, ein Monom x hoch n, Stammfunktion eins durch m plus eins mal x hoch m plus eins, das wird für die meisten noch aus der Schule geläufig sein, das geht für alle x aus R und für alle natürlichen Zahlen n.

Dann das Ganze in der allgemeinen Potenz x hoch alpha, kommt genau die gleiche Formel raus, eins durch alpha plus eins x hoch alpha plus eins, wobei man jetzt aufpassen muss, alpha könnte ein halb oder sowas sein, Wurzeln sind nur definiert für positive x, also hier muss x größer 0 sein

und alpha kleiner minus eins, das ist der Fall für negative Exponenten, also hier könnte zum Beispiel alpha minus zwei sein, dann wäre es x hoch eins durch x quadrat, da darf natürlich x nicht 0 sein,

x hoch alpha für x kleiner 0, hier stimmt was nicht, doch, x hoch alpha für alpha größer minus eins, da können sie x größer gleich 0 zu,

x größer 0, ja dann kann ich es auch da oben reinschreiben, also und hier alpha ungleich minus eins, das ist das Entscheidende,

Sie sehen auch schon in der Formel, dass alpha gleich minus eins nicht tut, wenn sie alpha gleich minus eins einsetzen, dann existiert die Stammfunktion nicht, weil dann steht da eins durch null, das heißt der Fall alpha gleich minus eins,

der ist irgendwie special, den müssen wir extra behandeln, der Fall alpha gleich minus eins ist die Funktion eins durch x und eins durch x wird vom Logarithmus aufgefüllt, also normalerweise sind die Stammfunktionen von solchen Monomen Monome, also oder auch von diesen eins durch x hoch n sind die Stammfunktionen auch von der Form

eins durch x hoch n, aber eins durch x ist eine Lücke und die wird aufgefüllt durch den Logarithmus, genauer gesagt, Logarithmus von Betrag x und das geht für x größer 0 oder für x kleiner 0,

so dann haben wir den besonders einfachen Fall E-Funktion, Exponentialfunktion reproduziert sich beim differenzieren, reproduziert sich dementsprechend auch bei der Stammfunktion Bildung, E hoch x Strich ist E hoch x, also ist auch die Stammfunktion von E hoch x E hoch x, das ist der einfache Fall, so dann haben wir irgendwann, wo die E-Funktion ist, ist der

Logarithmus nicht weit, von dem haben wir die Stammfunktion letzte Woche bestimmt, indem wir über partielle Integration gegangen sind, das war der Trick, wo wir eine eins zu multipliziert haben und da kommt raus x mal ln x minus x, x natürlich nur größer 0,

andererseits macht der ln keinen Sinn, andernfalls macht der ln keinen Sinn, dann haben wir die trigonometrischen Funktion, Stammfunktion vom Sinus ist der Sinus, Cosinus, Stammfunktion vom Cosinus ist der Sinus, jeweils für alle x aus R,

ja das war ein bisschen viel, so was haben wir noch, gerade eben wieder verwendet,

wenn wir schon bei den trigonometrischen sind, der Arcos Tangens, eins durch eins plus x quadrat, so dann können wir noch, weil es im wesentlichen so schön einfach ist,

die hyperbolischen Funktionen dazu nehmen, Cosinus hyperbolicus von x, wie gesagt das entsprechende zur Cosinus Funktion auf einer hyperbolisch gebogenen Fläche oder anders gesagt E hoch x plus E hoch minus x halbe und da hatten wir gesehen,

wenn sie den Cosinus hyperbolicus ableiten, kommt der Sinus hyperbolicus raus, wenn sie den Sinus hyperbolicus ableiten, kommt der Cosinus hyperbolicus raus, das heißt umgekehrt ist die Stammfunktion vom Cosinus hyperbolicus der Sinus hyperbolicus und die Stammfunktion vom Sinus hyperbolicus der Cosinus hyperbolicus, die beiden bilden ein abgeschlossenes Pärchen für sich,

also jeweils wieder für ganze x, alle x in R, gut, da kann man jetzt wie gesagt stundenlang weitermachen, aber man kann sich eben auch die komplizierteren Integrale häufig aus denen hier zusammenbauen. So, also was wir jetzt hier haben sind Polynome, sind die trigonometrischen,

sind die Exponentialfunktionen und so weiter und jetzt kann man eben anfangen daraus kompliziertere Funktionen zu bauen und ich will jetzt in einem Verfahren zeigen, wie man sozusagen weitermachen kann, das steht exemplarisch für vieles andere, ich denke es ist sozusagen die wichtigste Klasse von Funktionen, die oft vorkommen,

was man sich natürlich schnell zusammenbauen kann, aus dem was oben steht, wenn sie die Integrale über x hoch n können für jedes n, dann können sie auch Polynome integrieren und jetzt gehe ich einen Schritt weiter, jetzt gehen wir von Polynomen zu Quotienten von Polynomen, also wieder zu rationalen Funktionen und die Frage ist,

wie findet man die Stammfunktion zu einer gegebenen rationalen Funktion und an der Stelle gibt es tatsächlich ein Verfahren, dass wenn man es bis ganz zum bitteren Ende durchexerziert, es wirklich ihnen ermöglicht alle gebrochenen rationalen Funktionen integrieren zu können, eine Stammfunktion angeben zu können, das werde ich jetzt hier

aber nicht durchziehen, weil das Programm ist mühsam und lang und das würde uns jetzt anderthalb Vorlesungen kosten und da ist der Nährwert dann doch etwas gering. Ich beschränke mich auf die wesentlichen Fälle, aber das Verfahren ist die sogenannte Partialbruchzerlegung und im Wesentlichen, um es plakativ zu sagen, Partialbruchzerlegung

ist nichts anderes als auf den Hauptnennabringen rückwärts. Ja, da haben sie vollkommen

recht. Was hat denn der da verloren? Ja, also der Einwand ist völlig richtig, die Zeile hier ist, weil einst so ein ganzes Musikquadrat ist, wie wir vorhin hatten,

die Ableitung vom Agus Tangens. Da hat irgendjemand, da ist irgendwie mal der Gaumit mir durchgegangen. Also das können Sie jetzt natürlich andersrum reinschreiben. Ah, doch, das mache ich mal. Schreiben wir das mal andersrum rein, weil als solches ist es interessant. Das kann bleiben. Also so lässt sich das retten und daran sieht man jetzt, wenn

ich jetzt zu gebrochenen rationalen Funktionen komme, wunderbare Überleitung, danke, das kann nicht ganz so banal sein, weil 1 durch 1 bis x² ist eine wunderschön gebrochen rationale Funktion und die Stammfunktion ist Agus Tangens. Außerdem haben Sie vorhin

gesehen, 1 durch x, spielt noch der Logorythmus rein, also da können ganz komische Dinge passieren. Aber ich will Ihnen jetzt wie gesagt ein allgemeines Verfahren zeigen, wie man bei den meisten gebrochenen rationalen Funktionen trotzdem die Sache klein hacken kann

und auf die Stammfunktion kommt. Und damit hat man immerhin schon mal eine Klasse von Funktionen, die man behandeln kann. Also außer den ganz banalen wie Polynome. Klar, Cosinus Sinus können wir auch schon, aber schon wenn ich Ihnen sage Cosinus Quadrat, muss man wieder losrechnen.

Geht auch, aber muss man eben wieder losrechnen. So, also wir schauen uns an, die gebrochenen rationalen Funktionen, das heißt wir suchen die Stammfunktion von einer Funktion der Form P von x durch Q von x, wobei P und Q Polynome sind. So, wie kann man das

angehen? Erste Idee, klar wir brauchen nur die Quotientenregel für Integrale, wir sind fertig, gute Idee, nur die gibt es nicht. Also funktioniert nicht, es gibt keine Quotientenregel

für Integrale, das ist, Integrale sind eben deutlich komplizierter als Ableitung. Und die Idee, die jetzt hinter allem steckt, was kommt, und ich denke das wichtigste ist das am Anfang klar zu machen, sonst sieht man nur einen Wust von Rechnung und weiß nicht was es soll,

ist sich vorzustellen, dieser Bruch da, der könnte entstanden sein, indem sie eine ganze Summe von einfachen Brüchen hatten und dann kam irgendein blöd Mann und hat diese ganze Summe von einfachen Brüchen auf den Hauptnenner gebracht. Dann steht am Schluss sowas da,

das macht man ja gerne, wenn man viele Brüche hat, dann bringt man die auf den Hauptnenner und es ist viel übersichtlicher. Wenn Sie das machen, wenn Sie so Brüche mit Polynomen, also so Brüche von der Form 1 durch x plus 1 durch x minus 1 plus 5 durch x minus 3, wenn Sie die alle auf den Hauptnenner bringen, dann steht am Schluss so ein Murks da. Und

unser Ziel ist jetzt, diesen Bruch wieder in möglichst einfache Summanden auseinander zu ziehen, weil wir das Integral ja Summandenweise berechnen können. Für Summen haben wir ja eine Regel, die Stammfunktion von der Summe ist die Summe der Stammfunktion. Das heißt, die Idee ist, Ziel diesen Quotienten in möglichst viele einfache Summanden auseinander,

das ist jetzt das Ziel. Und das macht man mit den folgenden, ich habe mal versucht in vier Schritte aufzuteilen. Der erste Schritt ist, wenn Sie sich noch erinnern an unser Kapitel über gebrochen rationale Funktion, dann hatten wir da sowieso schon mal gesagt, dass man so eine

gebrochen rationale Funktion im ersten Schritt immer am besten auf sogenannte Normalform bringt. Ich sage gleich noch mal, was das heißt. Das heißt, im Wesentlichen zwei Dinge, also für diejenigen, die es noch mal irgendwann nachschlagen wollen, das ist Nummer 3217.

Das heißt, im Wesentlichen zwei Dinge, wenn das P einen größeren Grad hat als das Q, dann können Sie vorne so einen polynomialen Anteil abspalten. Und außerdem können Sie alle gemeinsam Nullstellen von P und Q, da können Sie die Nivea-Faktoren kürzen.

Und das soll man hier tun. Also was man macht ist, man schreibt diese Quotienten P durch Q als einen polynomialen Anteil H plus eine P-Schlange durch Q-Schlange, wobei H, P-Schlange und Q-Schlange neue Polynome sind, die jetzt ein paar schöne

Eigenschaften haben. Nämlich erstens, Sie haben den gesamten polynomialen Anteil abgespalten, also jetzt ist der Grad von P-Schlange echt kleiner als der Grad von Q-Schlange.

Man kann immer so viel Polynom vorne abspalten, dass der Grad von dem P-Schlange echt kleiner ist als der von dem Q-Schlange. Und dann können Sie noch zwischen P-Schlange und Q-Schlange alle gemeinsam Linear-Faktoren kürzen. Das heißt, die beiden haben keine

gemeinsamen Nullstellen mehr. Das Erstere, also dass Sie diesen polynomialen Anteil H abspalten, das geht per Polynomdivision. Und das muss man auch für eine Partialbruchzulegenung

auf jeden Fall machen. Will man auch, weil klar, H ist ein Polynom, wenn Sie jetzt die Stammfunktion von P durch Q haben wollen, Stammfunktion von H haben Sie sofort, weil H ist ein Polynom, dann brauchen Sie nur noch die von P-Schlange durch Q-Schlange. Und das zweite ist, die gemeinsamen Nullstellen kürzen, da darf man unter Umständen ein

bisschen schlampig rangehen. Die Nullstellen von Q-Schlange müssen wir so gleich bestimmen. Wenn Sie jetzt zufällig eine übersehen, weil das P-Schlange und das Q-Schlange so unübersichtlich sind, dann ist das nicht allzu schlimm, dann merken Sie es im weiteren Verlauf des Verfahrens, dass da was schief gegangen ist und können es korrigieren.

Das H müssen Sie auf jeden Fall abspalten. So, wenn wir das haben, also erste Bemerkung jetzt an der Stelle ist, dann lässt sich das H als Polynom leicht integrieren. Davon

die Stammfunktion zu finden ist nicht schwer. Was wir jetzt noch machen müssen, ist uns um das P-Schlange durch Q-Schlange kümmern. Und dazu dienen jetzt die restlichen weiteren Schritte. Ich habe die Schritte hier auch nochmal auf Folie mit. Dann können wir das da, haben wir das für die späteren Beispiele nochmal schriftlich. So, also

das ist nur das, was ich bisher sagte. Man bringt diese, diese gebrochen rationale Form auf die Normalform. So, Schritt zwei. Wir haben jetzt also noch zu behandeln

das Polynom P-Schlange durch Q-Schlange. H ist erledigt. Es fehlt noch P-Schlange durch Q-Schlange. Und der nächste Schritt, den man dazu machen muss, ist, man braucht die Nullstellen von Q-Schlange. Gut, das ist wieder das alte Problem. Nullstellen von Polynomen bestimmen. Das ist, wie schon mehrfach gesagt, im Allgemeinen

ein schwieriges Problem. Wenn es eine Klausuraufgabe oder eine Übungsaufgabe auftaucht, ist die natürlich immer so gestellt, dass es geht. Also meistens entweder ist das Polynom nur zweiten Grad, sondern man kann eine leichte Raten oder, oder. Wenn man mit einem Real-Welt-Problem konfrontiert ist und die Polynome kommen aus irgendwelchen Messdaten, dann ist es sehr

unwahrscheinlich, dass die Messdaten so freundlich sind, dass immer eins Grad eine Nullstelle ist. So sind Messdaten nicht. Das heißt, in dem Fall haben Sie, wenn das Polynom zu hohen Grad hat, keine andere Wahl, als das zu nähern. Die Messdaten sind ja nur Nährungen der

Wirklichkeit. Insofern ist es nicht schlimm, wenn man dann die Nullstellen auch numerisch nähert. Das ist völlig klar. So, also aber sozusagen theoretisch ist die Sache einfach. Sie bestimmen die Nullstellen von Q-Schlange und wo man dann in der Praxis die Nullstellen herkriegt, ist eine andere Frage. Was bedeutet das, dass Sie die Nullstellen haben? Das

einfache ich jetzt zum ersten Mal, dass Sie Ihr Q-Schlange in den Nierfaktoren faktorisieren können. Das gilt natürlich nur, ja, das gilt jetzt erst mal allgemein. Wenn Sie komplexe Nullstellen zulassen zumindest, dann

können Sie Ihr Polynom Q-Schlange, und ich gehe mal davon aus, dass das Grad N hat, also N ist hier der Grad von Q-Schlange, dann können Sie das schreiben als irgendein Koeffizient Qn, mal x minus eine erste Nullstelle, mal x minus eine zweite Nullstelle, mal und so weiter, mal x minus eine nte Nullstelle.

Das geht, wenn Sie komplexe Nullstellen zulassen immer, wobei das hier nicht heißen soll, dass x1, x2 und so weiter notwendig verschieden sein müssen. Sie können natürlich eine mehrfache Nullstelle haben, aber Sie haben

immer im Komplexen inklusive Vielfachheit N-Nullstellen. Und an der Stelle will ich jetzt aber für die Betrachtung hier in der Vorlesung spezialisieren und sagen, wir schauen uns nicht den Gefall an. Also hier in dieser Vorlesung will ich nur reelle Nullstellen betrachten, also den Fall

von komplexen Nullstellen schließe ich aus. Das heißt, dass das Verfahren da nicht geht. Man muss dann halt im weiteren Verlauf ein bisschen komplizierter ansetzen. Also ich verspreche Ihnen, dass im Verlauf dieser Vorlesung der Fall einfach nicht vorkommt. Natürlich kann ich Ihnen

nicht versprechen, dass er nicht in Ihrem weiteren Studium irgendwann mal irgendwo vorkommt. Wenn Sie also in Ihrer Masterarbeit sitzen und so ein blödes Integral per Parzellbruchzerlegung lösen müssen und da ist eine komplexe Nullstelle drin, dann schnappen Sie sich ein Mathebuch und lesen sich die halbe Seite noch an. So viel schwerer ist es auch nicht, aber

es wird halt noch unübersichtlicher. Gut, also ich mache hier nur reelle Nullstellen. Dabei bleibe ich die ganze Zeit und ich will jetzt zunächst noch weiter einschränken, nämlich ausschließlich einfache Nullstellen.

Also ich verlange im Moment, dass dieses Polynomen Q Schlange lauter reelle Nullstellen hat und dass die alle verschieden sind. Gut, was passiert,

wenn Sie mehrfache Nullstellen haben, unterhalten wir uns nachher noch. Wie gesagt, die komplexen Nullstellen spare ich hier aus. So, das ist Schritt zwei. Also Sie haben Ihre rationale Funktion auf Normalform gebracht. Als nächstes bestimmen Sie die Nullstellen. So, jetzt haben wir die Nullstellen, damit haben wir

diese Zerlegung hier von unserem Polynom. Und jetzt ist folgende Idee und das ist jetzt wieder die Idee, wir zerlegen unsere Quotienten in möglichst einfache Summanden. Wir machen folgenden Ansatz. Was wir ja behandeln

wollen, ist die Funktion P Schlange von x durch Q Schlange von x. So, jetzt tun Sie mal im Geiste dieses Q Schlange von x da unten hin. Dann sieht man schon, was denn der blöd Mann, der das auf die Hauptnenner gebracht hat, was der Hauptnenner war.

Ja, der Hauptnenner war eben dieses Qn völlig egal, aber war im Wesentlichen x minus x1, mal x minus x2, mal und so weiter, mal x minus xn. Und was jetzt unsere Hoffnung ist, und die funktioniert tatsächlich, ist, dass wir das Ganze wieder zerlegen können in einen Hoch, irgendwas durch x minus x1 plus irgendwas durch x minus x2 plus irgendwas durch x minus x3

plus und so weiter bis plus irgendwas durch x minus xn. Und das Tolle ist, das geht immer. Sehen wir gleich, also P Schlange von x. Die Hoffnung ist, man kann das schreiben als irgendeine Zahl a1 durch x minus x1 plus irgendeine Zahl a2 durch x minus x2 plus und so

und wenn man jetzt diese N Brüche auf der rechten Seite auf den Hauptnenner bringt, dann ist der Hauptnenner x minus x1 mal x minus x2 und so weiter bis mal x minus xn,

also das Q Schlange. Und was jetzt sozusagen der ganze Zweck der Partialbruchzerlegung ist, dieses auf den Hauptnenner bringen rückwärts zu machen. Warum? Weil jeden dieser Summanden hier können sie ganz einfach integrieren, da kommen lauter Logarithmen raus. Weil das ist immer von der Form 1 durch x. Die Ableitung, die Stammfunktion von den Dingern sind im

Wesentlichen Logarithmen. Sehen wir am Ende. Das heißt, wenn wir tatsächlich das so gerechnet haben, dann ist die Integrationsaufgabe im Wesentlichen gelöst. Was jetzt natürlich noch die Frage ist, was sind die Zahlen a1, a2 bis an? Also die Zahlen muss man

bestimmen. Aber das geht zum Glück. Und das Tolle ist, das geht eben immer. Zumindest, wenn der Grad von dem P Schlange kleiner ist als der Grad von dem Q Schlange. Aber das haben wir ja am Anfang durch das Bringen auf Normalform garantiert. Und die wichtige

Bemerkung an der Stelle ist eben, eine solche Darstellung existiert immer. Und was man dabei macht, ist wie gesagt, man invertiert, man macht das auf den Hauptnennerbring

rückgängig. Einer der Gründe, oder das ist der Hauptgrund, warum es wunderbar

einfach ist, Aufgaben zum Thema Parzellbruchzerlegung zu produzieren. Also wenn man in der Verlegenheit ist, ein Übungsblatt zu machen, dann ist es immer wunderbar einfach, ein Übungsblatt zum Thema Parzellbruchzerlegung zu machen. Naja, weil auf den Hauptnennerbringen geht schnell. Sie nehmen drei Brüche, bringen sie auf den Hauptnenner, haben so eine fertige Aufgabe und dann geben sie es an, dann können die Leute das rückwärts

machen. Das ist dann der mühsame Teil. Gut, also wir lassen uns nicht entmutigen, sondern machen weiter mit dem Programm. Ziel ist, eben diese a1 bis an zu finden und damit diese Aktion, wir haben diese Brüche auf den Hauptnenner gebracht rückgängig

zu machen. Also wie kommen wir an die a1 bis an ran? Und in diesem Fall, dass lauter einfache Nullstellen haben, gibt es da ein relativ einfaches Verfahren für. Also

hier ist der Schritt 3. Das ist der Ansatz. Nochmal, der steht hier gerade noch oben, aber der verschwindet gleich. Also, wo kriegen wir die a1 bis an her? Da oben steht hier im Prinzip die Gleichung, die Sie erfüllen müssen und das Entscheidende

ist, Sie müssen diese Gleichung für alle x erfüllen. Und die Gleichung multiplizieren wir jetzt mal mit Q-Schlange durch. Und wenn man das macht, dann verzieht sich ein wenig der Nebel. Also, wir multiplizieren mit Q-Schlange

durch, dann kriegen wir die Gleichung P-Schlange von x ist a1 Q-Schlange von x durch x-x1 plus a2 Q-Schlange von x durch x-x2 plus und so weiter bis an Q-Schlange

von x durch x-xn. Das ist einfach die Gleichung von oben mit Q-Schlange durch multiplizieren. So, und das Schöne ist jetzt, wenn Sie jetzt die Gleichung angucken,

die xj da, x1, x2 und so weiter, das waren genau die Nullstellen von Q-Schlange. Das heißt, in jedem dieser Brüche können Sie jetzt eine Nullstelle rauskürzen. Und die ganzen Nenner gehen in die ewigen Jagdgründe ein. Also, die Nullstellen kürzen sich raus. Also, wenn Sie ein konkretes Fall haben, wir machen auch

ein Beispiel, dann sehen Sie, das kürzt sich einfach komplett raus. Dadurch wird die Gleichung schon mal einfacher. Das ist das erste Gute. Und das zweite Gute,

was passiert denn jetzt? Also, wenn Sie das Ding gekürzt haben, da diese Nullstellen, was passiert dann, wenn Sie z.B. x1 einsetzen? Setzen Sie mal für x, x1 ein. Hier können Sie für x nicht x1 einsetzen, weil im ersten Summanten nach dem Gleichheitszeichen Sie dann gegen die Wand fahren, weil Sie durch Null teil. Aber den haben Sie ja

rausgekürzt. Und nach dem Kürzen können Sie x1 einsetzen. Dann steht links die Schlange von x1, das ist eine Zahl. Im ersten Summanten steht a1 mal der Rest von Q-Schlange, nachdem Sie die Nullstelle x1 rausgekürzt haben, an der Stelle x1, das ist auch irgendeine Zahl. In allen anderen Summanten steckt die Nullstelle x1 noch in dem

Q-Schlange drin. Die haben Sie ja nicht rausgekürzt. Sie haben ja x2, x3 usw. rausgekürzt. Das heißt alle anderen Summanten sind Null, wenn Sie x1 einsetzen. Also steht dann da P-Schlange von x1 ist a1 mal irgendeine Zahl. Haben Sie ihr a1? Das Gleiche können

Sie mit x2, x3, x4 machen. Also wenn Sie die Zahlen x1 bis xn da einsetzen, dann liefert Ihnen das jeweils a1 bis a1. Wenn Sie mir das jetzt nicht glauben, dann warten Sie gleich aufs Beispiel, dann sehen Sie das. So, aber diese Zahlen a1

bis a n kann man auf die Weise recht angenehm und ohne viel Aufwand bestimmen. Was haben wir denn jetzt, wenn wir diese Zahlen a1 bis a n haben, wenn wir wieder ganz am Anfang anfangen, was wir ja eigentlich wollten, war das Integral

von P durch Q ausrechnen. Dann hatten wir das erstmal zerlegt in den polynomialen Anteil, das war Polynomdivision, der hat uns keine Angst gemacht, den können wir. So, was kommt jetzt noch? Jetzt kommt P-Schlange von x

durch Q-Schlange von x, den müssen wir noch. Gut, also das ist der erste, den kriegen wir hin. Plus, und jetzt haben wir dieses P-Schlange durch Q-Schlange ersetzt oder haben wir rausgefunden, das können wir in viele Summanten aufteilen und diese

Summanten, das ist das Schöne, können wir alle einzeln integrieren, weil eben die Stammfunktion von der Summe die Summe der Stammfunktion ist. Also bleibt hier übrig das gerade bestimmte a1 durch x-x1 dx plus die Stammfunktion von a2 durch x-x2 dx plus und so weiter plus die Stammfunktion von a n durch x-xn dx.

Und Sie sehen, wir haben es auf die Weise geschafft, zumindest in dem Fall, den wir hier behandeln, also nur reelle Nullen stellen und alle dass wir unser eines Integral, das komplizierte Integral in n plus eins einfache Integrale auseinander gefrickelt haben und diese n plus eins

einfachen Integrale kann man alle bestimmen. Das erste ist das Integral über ein Polynom, das hängt jetzt natürlich von dem Polynom ab, aber das ist keine Hexerei, das lasse ich mal stehen und was ist mit den anderen? Da haben Sie erstmal, wenn Sie zum Beispiel das Integral, Stammfunktion

von a1 durch x-x1 suchen, dann haben Sie erstmal die Konstante a1 die können Sie vorziehen. So, was ist die Stammfunktion von 1 durch x-x1? Das ist im Wesentlichen sowas wie 1 durch x. Also da erwarten wir einen Logarithmus, da kommt auch ein Logarithmus raus und zwar kommt

da raus der Logarithmus von Betrag x-x1. Warum leiten Sie es ab? Wenn Sie den Logarithmus ableiten, kriegen Sie 1 durch x-x1. Die innere Ableitung von x-x1 ist 1, also kommt 1 durch x-x1 raus. Das war jetzt für positive x und x1 gesprochen, für negative müssen Sie noch

den Betrag beachten. Aber im Wesentlichen ist das, was rauskommt und das passiert bei allen anderen genauso. Also da kommt raus a2 mal der Logarithmus von Betrag x-x2 plus und so weiter und am Ende an mal der Logarithmus von Betrag x-xn. Und dann natürlich aber jetzt, ja, so.

Also, Integrationskonstanten natürlich, also im Prinzip für jedes Integral eine eigene Integrationskonstante, aber die können Sie alle zu einer großen zusammenfassen. So, das ist die Idee der Partialbruchzernägung.

Was man macht ist, man hat eine komplizierte gebrochen-rationale Funktion. Die zerlegt man sich in einfache Häppchen und die einfachen Häppchen kann man integrieren. Und das Entscheidende war eben dieser Ansatz,

wie er hier im dritten Schritt steht, wie man die Häppchen ansetzen muss. Und das Wichtige an der Stelle ist, Sie brauchen die Nullstellen von dem Q-Schlange. Die Nullstellen von dem Q-Schlange, die sind der Schlüssel zum Erfolg. So, dann habe ich gesagt, komplexe Nullstellen will ich gar nicht anschauen.

Was ich noch machen will, ist eine mehrfache Nullstelle und Ihnen sagen, wie Sie den Ansatz verändern müssen, wenn Sie eine mehrfache Nullstelle haben. Also, Modifikation des Ansatzes, wenn die Nullstelle xj nicht einfach ist, sondern M-fach. Also, nehmen Sie mal im nächsten schlimmeren Fall an,

Sie haben eine doppelte Nullstelle. Also, wir haben eine Nullstelle, die mehrfach auftaucht. Dann müssen wir uns was einfallen lassen. Dieses Polynomen Q-Schlange da unten hat grad N.

Wenn wir lauter so lineare Terme da haben wollen und die auf den Hauptnen erbringen, dann brauchen wir davon N Stück. Und der richtige Ansatz an der Stelle ist, man braucht jetzt sozusagen so viele Sumanten, wie das Ding Nullstellenordnung hat.

Man muss den Term aj durch x minus xj, den hat man ja, wenn es nur eine einfache Nullstelle ist, den muss man durchs folgende etwas längeren Ansatz ersetzen. An zwar haben Sie jetzt bei einer M-fachen Nullstelle M neue unbekannte Koeffizienten.

Ich nenne die mal aj1 bis ajm. Also aj1 durch x minus xj. Das wäre der gleiche, der oben drüber steht. Und dann kriegen Sie noch einen zweiten aj2 durch x minus xj² plus ajm durch x minus xj hoch m.

Also, das ist der Ansatz, den Sie machen müssen bei einer M-fachen Nullstelle. Sie sehen die Bausteine unten werden hier leider ein bisschen komplizierter.

Die sind aber auch nicht schwerer zu integrieren als die anderen. Das sind auch wieder nur von der Form 1 durch x hoch alpha. Also sozusagen die Integration nach all dieser Bausteine ist eigentlich nicht komplizierter. Was ein Stück komplizierter wird, ist diese ajk zu bestimmen.

Also diese ajk müssen wir bestimmen und das geht hier nicht mehr ganz geradeaus, einfach durch Einsetzen der xj, wie vorhin, sondern da muss man dann ein bisschen mehr machen. Im ganz allgemeinen Fall müssen Sie einen Koeffizientenvergleich von zwei Polynomen machen

und kriegen dann lineares Gleichungssystem für diese ajk und müssen dieses lineare Gleichungssystem auflösen. Das ist der schlimmste Fall, der auftreten kann. Also auf jeden Fall auch eine machbare Rechnung.

Was jetzt noch übrig bleibt, ist, wir müssen ja am Schluss jeden dieser Summanden einzeln integrieren. Wir brauchen von jedem dieser Summanden die Stammfunktion. Für den ersten ist das wieder so ein Logarytmus. Also die Stammfunktion von dem ersten ist aj1 mal Logarytmus von Betrag x-xj.

Frage ist, was ist mit den anderen? Dann kann ich ihn angeben, aber das ergibt sich im Wesentlichen mit einer kleinen Substitution

oben aus der Tabelle. Also wenn Sie ein Integral von der Form haben, a durch x-xj hoch k, das ist ja das, was wir hier haben, k größer gleich 2. Das sind genau diese Terme da oben.

Dann ist das gegeben, die Stammfunktion als a mal 1 durch 1 minus k, 1 durch x-xj hoch k minus 1.

Das k ist nicht gleich dem j, nein das j habe ich hier ja auch. Das k ist irgendeine Zahl zwischen 1 und m. Also zwischen 2 und m. M ist die Nullstellenordnung und Sie haben den Term x-xj hoch 1,

Sie haben den Term x-xj quadrat im Nenner bis x-xj hoch m im Nenner. Jetzt können Sie k gleich 2, 3, 4, 5, 6, 7 bis m nehmen und für jedes dieser ks können Sie den Term da oben integrieren durch die Form. Die Formel ist im Wesentlichen die Integrationsformel für x hoch alpha.

Integral von x hoch alpha ist 1 durch alpha plus 1 mal x hoch alpha plus 1. Das gibt Ihnen einfach die Antwort dafür, wie Sie diese Einzelsumanten integrieren können. Parzellbruchzerlegung bringt ja nur was, wenn wir unseren komplizierten Bruch

in lauter einzelne Sumanten zerlegen, dann müssen wir hinterher natürlich jeden Sumaten integrieren können, sonst nutzt das nichts. Sonst haben wir mal wieder ein schwieriges Integral durch ein schwieriges Integral ersetzt. So, jetzt habe ich ganz viel Theorie erzählt, jetzt müssen wir das einmal konkret machen. Also hier steht auch nochmal der Ansatz für die m-fache Nullstelle drauf,

abgesehen davon, dass da ein plus fehlt. Also zwischen, nee, nee, nee, alles okay. Also da steht der Ansatz für die m-fache Nullstelle auch nochmal da.

Unter der Folie können wir uns jetzt entlang hangeln im Beispiel. Also Beispiel 1,12, entsprechend 2,1,10.

So, und jetzt haben wir eben so ein erstes Beispiel, gebrochen rationale Funktion, x hoch 3 minus x plus 3 durch x² minus x minus 2. Aufgabe, ich hätte gerne die Stammfunktion. Und wenn man jetzt versucht mit den üblichen Methoden kreatives Raten,

Substitution oder sonst wieder dran zu gehen, dann sitzt man ziemlich schnell auf dem trockenen. Also zumindest kreatives Raten finde ich ambitioniert, und mit Substitution kommen Sie hier nicht wirklich weiter. Sondern was Ihnen in so einem Fall hilft, ist eben Partialbruchzerlegung

und man muss das Ding zerlegen. Erster Schritt dazu ist, Sie müssen eine Polynomdivision machen. Siehe Kapitel über rationale Funktion. Sie teilen das Polynom x hoch 3 minus x plus 3 durch das Polynom x² minus x minus 2 per Polynomdivision.

Dann kriegen Sie einen polynomialen Anteil und den Rest. Und wenn Sie das hier machen, also hier müssen Sie die Polynomdivision machen. Die will ich jetzt hier nicht neu aufwärmen. Dann kriegen Sie raus, das ist x plus 1 plus 2x plus 5

geteilt durch den Nenner x² minus x minus 2. So, das ist jetzt der Schritt 1 von der Partialbruchzerlegung. Sie machen eine Polynomdivision und spalten diesen polynomialen Anteil ab. Was übrig bleibt, ist wieder eine rationale Funktion,

die jetzt freundlicherweise ein bisschen einfacher aussieht. Mit der Eigenschaft, wie es auch da steht, dass der Grad vom Zähler echt kleiner ist als der Grad vom Nenner. Also das, was jetzt hier steht, sind das P-Schlange und das Q-Schlange. Im Prinzip müssten wir jetzt noch dafür sorgen,

dass Sie keine gemeinsamen Nullstellen haben. Das ist in dem Fall einfach. Das oben hat nur eine Nullstelle, nämlich minus 5 halbe. Dann setzen Sie unten minus 5 halbe ein, stellen fest, das ist nicht Null, also haben Sie keine gemeinsamen Nullstellen. Wir sind also in der Normalform und können damit

in Schritt 2 und 3 und 4 vom Partialbruchzerlegungverfahren eintreten. Was wir an der Stelle jetzt schon machen können, ist, wir können den polynomialen Anteil integrieren. Also was ist die Stammfunktion von x?

Stammfunktion von x ist ein halbes x². Stammfunktion von 1 ist x und übrig bleibt das Integral von 2x plus 5 durch x² minus x minus 2. Das ist jetzt das, was wirklich noch durch die Partialbruchzerlegung jagen muss.

Das andere war Polynomendivision und Integrieren von Polynom. Gut, Schritt 2, wir brauchen die Nullstellen vom Nenner. Also Nullstellen des Nenners, ein quadratisches Polynom in dem Fall, also 17 Möglichkeiten, quadratische Ergänzungen, geschicktes Raten,

PQ-Formel, was Sie auch immer wollen. Was rauskommt ist, die Nullstellen sind 2 und minus 1. So, deshalb können wir jetzt den Ansatz von der Folie abpinnen. Wie gesagt, der Ansatz führt immer zum Ziel.

Also unsere Funktion, die wir integrieren wollen, 2x plus 5 durch x² minus x minus 2. An der Stelle lohnt es sich, wir kennen hier jetzt die Nullstellen des Nenners, also schreiben wir den Nenner mal in faktorisierter Form.

Also das ist x minus 2 mal x plus 1. Dafür haben wir die Nullstellen bestimmt, dass man das Ding so schreiben kann. So, und der Ansatz ist jetzt, die beiden Nullstellen zu trennen. Wie gesagt, Hauptnenner rückwärts, das zu schreiben als eine Zahl a durch x minus 2,

also nennen wir es wie oben, a1 durch x minus 2 plus eine Zahl a2 durch x plus 1. Das ist der Ansatz von der Partialbruchzerlegung. Also man kann eben diesen Bruch immer so in zwei Teile zerlegen.

So, was wir jetzt noch brauchen sind a1 und a2. Dann hatte ich Ihnen vorhin gesagt, wie man die Dinger bestimmen kann. Eine gute Idee ist immer, multiplizieren Sie mal die Gleichung da mit dem Nenner. Das ist immer mal der erste Schritt.

Weil Ihnen das die Brüche wegnimmt, die Nullstellen aus dem Nenner, dann muss man sich nicht mehr drum kümmern, was man einsetzen darf und was nicht. Also was wir suchen sind zwei Zahlen a1 und a2, so dass diese Gleichheit da oben für alle x gilt.

So, jetzt multiplizieren wir mit dem Nenner hoch. Dann kriegen wir die Gleichheit 2x plus 5 ist gleich a1 mal x minus 2 mal x plus 1 durch x minus 2 plus a2 mal x minus 2 mal x plus 1 durch x plus 1.

Ich schreibe Ihnen das jetzt hier mal ganz ausführlich hin. Ihr habt jetzt einfach den Nenner hoch multipliziert. Und jetzt sieht man eben, in jedem Summanden kürzt sich die entsprechende Nullstelle weg. Wenn man das dreimal gemacht hat, dann lässt man diesen Zwischenschritt weg und schreibt es gleich ohne die Nullstelle hin. Aber ich denke, es ist gut, wenn man einmal sieht, was hier passiert.

Also jetzt haben Sie in jedem Summanden die Nullstelle oben und unten stehen. Hier können Sie also kürzen. Im ersten a1 mal x plus 1 und im zweiten a2 mal x minus 2. So, jetzt ist die Gleichung immerhin schon mal nennafrei.

Also wir suchen Zahlen a1 und a2, so dass 2x plus 5 gleich a1 x plus 1 plus a2 x minus 2 ist für alle x. Das ist im Prinzip ein einfaches Problem, weil was steht da? Da steht Polinom ersten Grades gleich Polinom ersten Grades. Das heißt, was Sie machen...

können, das ist ein Koeffizientenvergleich, links und rechts, gibt Ihnen zwei Gleichungen für die beiden unbekannten a1 und a2, kann man auflösen, kriegt man raus. Erste Lösung, das geht immer. In dem Fall schnellere Lösung, wie vorhin gesagt, setzen Sie mal die beiden Nullstellen ein.

Setzen Sie mal die beiden Nullstellen ein. Also zum Beispiel erstmal setze x gleich 2. Was passiert dann mit der Gleichung? Links kriegen Sie 2 mal 2 plus 5, das ist, wenn man einen guten Rechentag erwischt hat, 9. Und auf der rechten Seite, wenn Sie da 2 einsetzen, kriegen Sie a1 mal 3 plus a2

mal 0. Die Null ist toll, weil was jetzt da steht, ist 9 ist 3 mal a1, also ist a1 3. Da haben wir schon das erste, im zweiten Schritt setzen wir x gleich minus 1, damit

der Faktor hinter dem a1 Null wird, und was wir dann kriegen ist, jetzt müssen Sie links x gleich minus 1 einsetzen, also minus 2 plus 5, das ist 3, ist gleich a1 mal Null plus a2 mal minus 1, minus 2 ist minus 3, also kriegen Sie, 3 ist

minus 3 a2, dann muss a2 minus 1 sein. Dann haben Sie Ihre beiden Zahlen, ohne Koeffizientenvergleich und ohne lineares Gleichungssystem und was noch alles, sondern einfach direkt auf dem Silbertablett. So, was haben wir jetzt damit gewonnen?

Wir haben die Zahlen a1 und a2 gefunden. Also was wir jetzt haben ist das Integral, das wir eigentlich untersucht haben, 2x plus 5 durch x² minus x minus 2 dx, also das Integral, das wir ganz am Anfang untersucht haben, war noch anders, aber das ist der schwierige Teil, den können Sie

jetzt schreiben als ein Integral über 3, also das a1, durch x minus 2 plus das a2 durch x plus 1, also minus 1 durch x plus 1 dx.

Hier sieht man wieder diese Idee, was wir gemacht haben ist, wir haben das auf den Hauptnennabringen rückwärts gemacht. Wir haben den komplizierten Bruch als Differenz von zwei Einfachen geschrieben und die Dinger können wir jetzt integrieren, weil, naja, was steht jetzt da?

Da steht 3 mal das Integral von 1 durch x minus 2 dx, minus das Integral von 1 durch x plus 1 dx und da hatten wir vorhin gesehen, da kommen Logarithmen raus, das ist 3 mal der Logarithmus von Betrag x minus 2 minus der Logarithmus von Betrag x plus

1 plus natürlich eine Integrationskonstante und jetzt können wir am Schluss alles zusammennehmen, was hier am Anfang gegeben war, war das Integral x minus 3 minus

x plus 3, geteilt durch x Quadrat minus x minus 2, den polynomialen Anteil hatten wir gleich am Anfang weg integriert, der war ein halb x Quadrat plus x und dann

kommt noch das dazu, was da steht, also 3 mal der Logarithmus von Betrag x minus 2 minus der Logarithmus von Betrag x plus 1 plus eine Integrationskonstante, im Prinzip haben wir es damit, da steht die Stammfunktion, ich glaube im Nachhinein ist allen, glauben

Sie mir alle, dass kreatives Raten die falsche Idee gewesen wäre, weil ich glaube auf die Stammfunktion wäre jetzt niemand gekommen, im Prinzip kann man so stehen lassen, so ein bisschen blutet mir dabei das Herz, weil wenn man das so stehen lässt, kann das gute Gründe haben, wenn man die Form braucht, aber so ein bisschen

schreit das dazu noch die eine oder andere, das schreit danach noch die eine oder andere Logarithmus Rechenregel da mal drauf zu werfen, ja, das war der polynomialer Anteil, ich gehe gerade nochmal hoch, Sie sehen, das Anzeigbuch zur Legung ist eine ätzende

Rechnerei, aber es ist so, also das ist trotzdem das praktischste Verfahren für den Mist, ganz in der ersten Zeile, da haben wir Polynomdivision gemacht und dann ist das x plus 1 plus diesen Restquotienten, den wir dann behandelt haben und dieses x plus 1 gibt das x, ein halb x Quadrat plus x und der Quotient, danach haben wir nur noch

diesen Quotienten behandelt, dann geht dieser polynomialer Anteil häufig mal vergessen, ja, aber den müssen Sie mitnehmen, ja, der ganze Rest war nur noch der Quotient hinten und das x plus 1 gibt diesen halb x Quadrat plus x, das habe ich hier unten nur noch mal wieder

aufgenommen, das ist eine der Stellen, wo es sehr einfach schön wäre eine Tafelvorlesung machen zu können, dann wäre das alles noch da. So, ich hatte gerade was gesagt von Logarithmus-Rechenregeln, also was Sie hier an der Stelle noch machen können, ist die eine oder andere Logarithmus-Rechenregel drauf werfen und dann sieht das noch ein bisschen

schöner aus, das ist nämlich dreimal Logarithmus von irgendwas ist Logarithmus von dem irgendwas hoch drei und Logarithmus von irgendwas minus Logarithmus von was anderem ist Logarithmus vom Quotient, also das ist ein halb x Quadrat plus x plus ein großer

Logarithmus von Betrag x minus zwei hoch drei durch Betrag x plus eins, das sieht halt schon wieder ein bisschen übersichtlicher aus, zugegebenermaßen ist es genau das gleiche, also keiner wird Ihnen den Kopf abreißen, wenn Sie das oben stehen

lassen, je nachdem wie man weiterrechnen will, ist die eine oder andere Darstellung praktischer. Ich wollte nur an der Stelle noch mal darauf hinweisen, weil diese Logarithmus-Rechenregeln, die gehen immer so schnell vergessen. Gut, ich habe noch ein zweites Beispiel dabei, im Wesentlichen, um Ihnen jetzt zu zeigen, was passiert, wenn

tatsächlich mehrfache Nullstellen auftreten. Hier hatten wir jetzt nur einfache Nullstellen, hier unten das Nenner-Polynomen x Quadrat minus x minus zwei, hatte eben nur die Nullstellen zwei und minus eins, also zwei

einfache Nullstellen, das war der einfachste Fall. Jetzt machen wir noch ein Beispiel mit einer doppelten Nullstelle, und wenn Sie dann eine dreifache oder vierfache Nullstelle haben, dann geht das eben entsprechend auch so, wird halt vom Rechenaufwand her immer aufwendiger. Also zweites Beispiel, x

Quadrat plus vier geteilt durch x hoch drei minus zwei x Quadrat dx. Wieder ein ganz unscheinbares Problem, Sie haben eine rationale Funktion und hätten davon gern die Stammfunktion, das kann schon ziemlich mühsam werden.

Also gehen wir unsere Liste durch, was müssen wir tun? Wir müssen zunächst das Ding auf Normalform bringen, müssen Polinomdivision machen, das habe ich uns an der Stelle jetzt hier erspart, das Zählerpolynom hat schon grad kleiner als das Nenner-Polynomen und sind auch keine

gemeinsamen Nullstellen mehr drin, in dem Fall sieht man das am einfachsten, indem man mal die Nullstellen vom Nenner bestimmt, die brauchen wir sowieso, und dann die oben einsetzt, dann sieht man, da brennt nichts an, also die Polinomdivision entfällt erst mal, sie sind schon in

dem Fall, wo der Nennergrad größer ist als der Zählergrad, brauchen wir nicht, wir sind hier schon in der Normalform, weil wenn Sie sich mal anstellen, schauen, was sind die Nullstellen vom Nenner, x hoch drei minus zwei x Quadrat, da können Sie in x Quadrat ausklammern, ist x

Quadrat mal x minus zwei, dann sehen Sie, Sie haben eine Null, eine doppelte Nullstelle und eine einfache Nullstelle in zwei und wenn Sie jetzt mal x gleich zwei und x gleich Null oben einsetzen, stellen Sie fest, für x gleich zwei kommt acht raus und für x gleich Null kommt vier raus, also

beides keine Nullstellen vom Zähler, also haben Sie schon mal keine Nullstellen oben und unten, das heißt, dieser Bruch, der ist schon in der Normalform für rationale Funktionen, steht ja schon da, so, also können wir jetzt den Ansatz hinschreiben, den wir brauchen für die Partialbruchzerlegung, wir haben einen Nenner dritten Grades, das heißt, wir

müssen auf jeden Fall drei Summanden haben in der Partialbruchzerlegung, schreiben wir uns den Nenner wieder in der faktorisierten Form am besten hin, also Zähler ist x Quadrat plus vier und unten steht x Quadrat mal x

minus zwei, so, was ist jetzt der Ansatz für die Partialbruchzerlegung, da müssen Sie jetzt die untere Zeile und die oben kombinieren, wir haben eine doppelte Nullstelle in Null, das heißt, für die M ist hier zwei, wir haben also für Null zwei solche Summanden, wir haben a11 durch x minus Null plus

a12 durch x minus Null Quadrat plus und jetzt den Term für die einfache Nullstelle x2 gleich 2, das gibt ein a2 durch x minus 2, ja, oder bisschen

kürzer geschrieben a1 durch x plus a12 durch x Quadrat plus a2 durch x minus 2, das ist der Ansatz, man sieht immer gut, wenn man sich die Sache so

hinschreibt, dass die Funktion im Nenner faktorisiert ist, dann sieht man den Ansatz im Prinzip für jeden Faktor, im Nenner brauchen Sie einen Ansatzfunktion, also einen so einen Bruch, wenn Sie eine mehrfache Nullstelle haben,

müssen Sie hochzählen und die einfachen kommen einfach so, so und jetzt müssen wir diese drei Zahlen a11, a12 und a2 bestimmen, Idee wie vorhin multiplizieren wir durch mit dem Nenner, das ist immer gut, also wir

bestimmen, Bestimmung von a11, a12, a2 und erster Schritt, egal was ist, multiplizieren Sie den Nenner hoch, dann kriegen wir x Quadrat plus 4 ist

so, jetzt multiplizieren Sie die rechte Seite mit x Quadrat mal x minus 2, im ersten Summanten kürzt sich ein x, also bleibt übrig a11 mal x mal x minus 2, im zweiten Summanten kürzt sich ein x Quadrat, bleibt übrig a12 mal x minus 2 und im dritten Summanten kürzt sich ein x minus 2, bleibt

übrig a2 mal x Quadrat, also das ist wieder multiplizieren mit dem Nenner und jeweils die unteren, die Nenner auf der rechten Seite kürzen sich

raus, weil jede dieser Linearfaktoren ja oben dazu multipliziert wird, so die gleiche muss wieder für alle x gelten und jetzt kommt der Moment, wo das was vorhin so ganz gerade ausging, nicht so ganz funktioniert, also probieren wir

mal so weiter wie vorhin, das war so schön erfolgreich, setzen wir mal die Nullstellen ein, also erst setzen wir mal x gleich 2, was passiert dann, setzen Sie in der gleichen x gleich 2 ein, 2 Quadrat plus 4 ist 8, so dann setzen wir

rechts x gleich 2, kriegen Sie a11 mal 0 plus a12 mal 0 plus a2 mal 2 Quadrat, also a2 mal 4, das gibt wir eine schöne Gleichung, 4 a2 ist 8, daraus ist es nicht allzu schwer abzuleiten, was a2 ist, also 4 a2 ist 8, das heißt das a2

ist 2, einen haben wir schon mal, so jetzt setzen Sie die andere Nullstelle ein, nämlich x gleich 0, was passiert dann, links 0 Quadrat plus 4 ist 4, rechts gibt a11 mal 0, genau a11 mal 0 plus a12 mal minus 2, 0 minus 2 ist minus 2,

plus a2 mal 0 und das ist auch wieder eine schöne Gleichung, minus a12 ist 4, also

ist a12 minus 2 und die Probleme fangen jetzt mit dem a11 an, wie kriegen wir jetzt das a11, setzen wir mal das was wir schon haben ein, wir wissen schon was a2 und

a12 ist, setzen wir mal ein und gucken was rauskommt, also x Quadrat plus 4 bleibt

stehen, ist gleich das a11, kennen wir noch nicht, a11 mal x mal x minus 2, der Nachteil an dem Termin ist eben, wenn Sie 0 einsetzen oder 2 einsetzen, der fällt jedes Mal weg, über den kriegen wir keine Aussage, also x Quadrat plus 4 ist a11 x mal x minus 2, dann haben

Sie das a12, das ist minus 2, gibt minus 2 x plus 4 und das a2 ist 2 plus 2 x Quadrat, so fassen wir mal zusammen was da steht, x Quadrat haben Sie links und rechts haben

Sie 2 x Quadrat, bringen Sie die 2 x Quadrat nach links, haben Sie minus x Quadrat, dann haben wir noch plus 2 x von rechts, plus 4 fällt weg, plus 4 haben Sie auf beiden Seiten,

also jetzt habe ich alles, dieses minus 2 x plus 4 plus 2 x Quadrat nach links rüber gebracht, dann bleibt stehen minus x Quadrat plus 2 x, ist gleich die rechte Seite, was steht da, steht a11 x Quadrat minus 2 a11 x und wenn man die Gleichung jetzt ein bisschen anschaut,

dann kriegt man eine Idee, was das a11 sein könnte, für a11 gleich minus 1 sieht das ziemlich gut aus, passt, kann man natürlich jetzt auch noch formal auflösen, aber an der Stelle ist es meistens so, also wie gesagt im Notfall haben Sie jetzt eine Gleichung für

eine Unbekannte, müssen Sie halt auflösen, aber meistens lohnt sich es hier nicht aufzulösen, sondern einfach mal scharf drauf zu gucken und dann sieht man was rauskommt, a11 muss minus 1 sein, so haben wir also wieder alle drei Koeffizienten bestimmt und können zusammenfassen,

das ist jetzt hier mit dem, also ich fasse es Ihnen nochmal zusammen, leider sieht man nicht mehr was oben stand, also wir haben angefangen mit dem Integral x Quadrat plus 4 durch x hoch 3 minus 2 x Quadrat, wir haben den Nenner faktorisiert und haben daraus gemacht x Quadrat

plus 4 durch x Quadrat mal x minus 2, dann haben wir den Ansatz für die Partiabuchzerlegung gemacht, a11 durch x plus a12 durch x Quadrat plus a2 durch x minus 2, so und jetzt haben wir

die a11, a12 und a2 ausgerechnet, a11 war minus 1, a12 war hier minus 2 und a2 war 2,

also a2 ist 2, muss man sich merken, a12 ist minus 2 und a11 ist minus 1, dann bleibt hier stehen Integral über minus 1 durch x minus Integral über 2 durch x Quadrat plus Integral

über 2 durch x minus 2, so und damit haben wir jetzt die Partiabuchzerlegung am Ende, der gebrochenen rationale Funktion ist zerfallen in eine Summe von drei einfachen

Integralen, die können wir jetzt integrieren, Stammfunktion von minus 1 durch x ist minus der Logorythmus von Betrag x, Stammfunktion von minus 2 durch x Quadrat ist 2 durch x, entweder sie nehmen die Formel, die ich vorhin hingeschrieben habe und setzen ein oder sie

überlegen sich, naja beim integrieren wird immer der Exponent unten im Nenner eins größer, also muss es irgendwas mit 1 durch x sein, dann leitet man mal ab und guckt wie das mit der Konstante ist und kriegt raus 2 durch x und der letzte ist wieder so einer wie wir

in vorhin immer hatten, da bleibt übrig 2 mal der Logorythmus von Betrag x minus 2, natürlich wieder plus eine Integrationskonstante und wenn man jetzt will kann man das wieder, die beiden Logorythmen wieder noch verheiraten und kriegt 2 durch x plus ln von Betrag x

minus 2 Quadrat geteilt durch Betrag x plus eine Konstante, also auch hier mit µ aber es Stammfunktion gefunden und wie gesagt die µ ist nicht dem geschuldet, dass ich sie ärgern will,

sondern ist dem geschuldet, dass Stammfunktionen bestimmt wirklich einfachen teufelsschwieriges Zeug ist und selbst bei so relativ einfachen Funktionen man mit ziemlich großen Kanonen schießen muss um die in den Griff zu kriegen. Gut aber was sie damit jetzt können sind

Stammfunktionen bestimmen für alle rationalen Funktionen solange keine komplexen Nullstellen auftauchen gebe ich zu, wie gesagt für komplexe Nullstellen kann man das Verfahren auch noch aufbohren, gibt einen neuen Ansatz, wird noch mal ein bisschen

aufgepustet da aber die Idee bleibt die gleiche, man muss dann eben entweder man rechnet gleich komplex dann kann man es so machen wie hier oder man rechnet reell dann muss man ein bisschen einen komplizierteren Ansatz wählen, wer das mal braucht findet das in vielen vielen Büchern und das ist nicht also von der Konzeption her nichts anderes

als das was wir hier gesehen haben. Ich will diesen Abschnitt über die Stammfunktion und das unbestimmte Integral mit einem Satz beenden, der für uns jetzt hier erstmal einfach nur Informationscharakter hat, der aber für die ganze Theorie dahinter

ganz wichtig ist. Wir haben gesagt wir suchen an dieser Stelle Stammfunktionen zu gegebenen Funktionen, also wir versuchen das Differenzieren rückgängig zu machen und wenn das Ganze

eine schöne Theorie werden soll und wenn es nachher am Schluss möglich sein soll möglichst viele Funktionen zu integrieren, dann müssen wir aber auch wissen, dass es zu möglichst vielen Funktionen Stammfunktionen gibt. Könnte ja nur sein, dass es irgendwelche ja wenn es schön einfache Funktionen gibt, was weiß ich, könnte passieren,

dass für Cosinus von x mal Sinus von x schon gar keine Stammfunktion mehr existiert. Dann wäre die ganze Theorie ein wenig mühsam, weil man dann immer noch klären müsste ob man jetzt gerade in so einem doofen Fall ist oder nicht. Also was ich jetzt hier noch machen will ist eine Aussage über die Existenz von Stammfunktionen und das

Ganze kann man auch unter das Motto stellen, wir haben nicht auf Sand gebaut, also es gibt genügend Stammfunktionen, alle wesentlichen Funktionen, so kann man den Satz auch zusammenfassen,

alle für sie wesentlichen Funktionen haben eine Stammfunktion und zwar kurz und knapp jede stetige Funktion auf einem Intervall besitzt eine Stammfunktion. Das heißt umgekehrt jede stetige Funktion kommt vor als Ableitung einer Funktion und ich denke, dass ich Ihnen im

Kapitel über Stetigkeit hoffentlich genügend auch schräge stetige Funktionen gezeigt habe, also denken Sie an die Funktion x mal Sinus eins durch x, also diesen oscillierten Sinus,

der sich dann in die Null dazu bereit erklärt zu sagen, gut da bin ich Null aber dann fange ich wieder an zu flattern, auch das ist eine Ableitung von der Funktion. Die zu bestimmen ist ein interessantes Unterfangen aber es ist eine Ableitung von der Funktion. Und das ist das was dieser Satz sagt, sobald Sie Stetigkeit haben können Sie sicher sein das Ding hat eine

Stammfunktion, das heißt diese Theorie des Integrierens, die Theorie der Stammfunktion ist mächtig genug um viele viele Funktionen und insbesondere alle die Ihnen im Verlauf Ihres weiteren Studiendaseins entgegenschlagen zu behandeln. Nochmal eine Bemerkung die ich

schon am Ende der letzten Vorlesung machte, das heißt in keiner Weise, dass die Stammfunktion zu jeder Funktion berechenbar ist. Das heißt nicht, dass man die angeben kann, das heißt nur die existiert. Also das heißt nicht, dass man diese immer angeben kann, es gibt

sie halt. Wenn man Pech hat ist sie aber zu schüchtern sich zu zeigen. Ich hatte Ihnen letztes Mal das notorische Beispiel ganz kurz erwähnt, heute habe ich die Zeit ein bisschen ausführlicher zu machen. Nehmen Sie die Funktion f von x gleich e

hoch x², das ist, also sieht ja völlig harmlos aus und ist ein großer Spielverderber, weil klar die ist stetig, die ist sogar nicht nur stetig, die ist differenzierbar,

die ist 382 mal differenzierbar, die ist beliebig oft differenzierbar, die ist durch eine Potenzreihe gegeben. Wo kriegen Sie die Potenzreihe her? Erste Möglichkeit natürlich wie immer, Sie machen eine volle Taylor-Entwicklung, leiten die Funktion ab, setzen 0 ein in alle Ableitungen, rechnen das Restglied aus, dürfen Sie machen,

ist aber verlorene Zeit, weil Sie kennen ja die Potenzreihe von der E-Funktion und dementsprechend ist e hoch x², ist die Summe n gleich 0 bis unendlich, übersetzen Sie in die E, wenn Sie die E-Reihe hätten, dann hätten Sie x hoch n durch N-Fakultät, also das wäre die Reihe der E-Funktion, setzen Sie halt x² ein. Haben Sie x hoch 2n durch

N-Fakultät, das ist die Reihe, das heißt, es ist eine wunderbare Funktion, die ist insbesondere stetig, hat also nach dem Satz oben eine Stammfunktion, aber diese

Stammfunktion ist nicht elementar hinschreibbar, also Sie können noch so viele Logarithmen, Sinus, Kosinus, Podinome, Arcus, Kosinus, Kosinus-Hypopulikus und sonst was kombinieren, Sie kriegen diese Funktion nicht mit einer endlichen Darstellung hingeschrieben, Sie können natürlich für die Stammfunktion mit

allem, mit dem was Sie schon wissen, sofort eine Potenzreihen-Darstellung hinschreiben, weil die Funktion hier ist in die Potenzreihe gegeben, wie integriert man Potenzreihen, indem man sie gliedweise integriert, also man kann sofort eine Darstellung der Stammfunktion angeben, also eine

mögliche Darstellung für dieses ominöse Objekt, also dieses Objekt hier ist das Problem, Stammfunktion von ihrer x² dx, das ist die Stammfunktion von der Potenzreihe, die oben steht, Summe n gleich 0 bis unendlich, x hoch 2n

durch N-Fakultät dx, jetzt wissen Sie, das ist eine Stamm-, eine Potenzreihe sogar mit Konvergenzradius unendlich, was schöneres kann es gar nicht geben, in der dürfen Sie jetzt innen drin integrieren, nach dem Satz von vorhin über die Stammfunktion von Potenzreihen, das ist also Summe n gleich 0 bis unendlich,

1 durch die N-Fakultät bleibt stehen, vom integrieren kriegen Sie eine 2n plus 1 runter, x hoch 2n plus 1, natürlich plus eine Integrationskonstante, so da steht die Stammfunktion, die Potenzreihe, jetzt können Sie die in

das Wurzelkriterium werfen und kriegen raus Konvergenzradius unendlich, das ist die Stammfunktion und das ist die schönste Methode diese Stammfunktion hinzuschreiben, das ist so eine Reihe, dafür einen geschlossenen Ausdruck zu kriegen, hat nicht nur bisher niemand geschafft, sondern ist bewiesenermaßen unmöglich, also das ist die Stammfunktion, aber schöner als so,

können Sie sie nicht hinschreiben, Sie können sie natürlich plotten, können sie numerisch nähern, sie haben ja sogar die Taylor-Reihe, sie haben alles was sie brauchen, aber sie können sie eben nicht hinschreiben, die einzige Chance die sie haben ist zu sagen, okay, ich nenne das Ding jetzt halt

Blümchen von x, das kann man natürlich machen, dann hat es einen Namen, und was einen Namen hat, hat seinen Schrecken verloren, aber mehr kann man an der Stelle so nicht tun. Gut, soviel für heute, ich steige dann morgen in den zweiten Abschnitt hier in das bestimmte Integral ein und dann

kann ich Ihnen auch endlich eine Anschauung geben, wofür das Integral gut ist und was es bedeutet, da hatte ich Sie am Anfang um Geduld gebeten, also morgen kriegen wir das hin, bis dahin erstmal vielen Dank für die Aufmerksamkeit und bis morgen.