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Konvergenzradius

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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass er verlängert werden an der TU Darmstadt wurden die größeste mal
herzlich heute Vorlesung ich habe als Erinnerung an gestern noch mal die Folie übers wussten Quotienten Kriterium aufgelegt damit hatte war gestern die Vorlesung beendet und ich hatte Ihnen gezeigt dass die Kriterien ob der angewandt werden können um Konvergenz von Reihen zu untersuchen hat denn auch gesagt wo die Grenzen liegen eben bei reinen dieser knapp an der Kante zwischen konvergierenden Divergenz sind stellt man fest die Kriterien werden irgendwann stumpf was sich dadurch äußert das ist hier eben diesen Falko gleich 1 bzw. W gleich 1 gibt die den Kriterien sollen Hintertürchen lässt dass sie eben ein zurückliefern können wenn sie sich nicht so recht sicher sind und das kann ich auch gezeigt kann häufiger mal passieren und dann weiß man eben wirklich nichts ich hatte am Schluss von der Vorlesung Beispiel vorgerechnet für Konvergenz von der Reihe mit Worten Kriterium und ich hatte da noch einziehen geschrieben und da will ich jetzt mal wieder einsteigen also das ist der letzte Teil vom Beispiel 4 14 mit Verweis auf 7 15 ein Beispiel von der Reihe wo man im Sommer des Quotienten Kriterium in Aktion sieht also und die Reihe war Summe n gleich 1 bis endlich hoch allen durch ihren Fakultät also in dem Fall ist die summierte Folge die Folge der Summanden hoch durch Fakultät und ich hatte sie am Schluss der Vorlesung eingeladen schon mal selber zu versuchen Quotienten Kriterium der was raus zu kriegen und auch verraten dass Divergenz rauskommt hat sich jemand daran versucht und wer kann mir jemand sagen was als Kuh rauskommt gut dann mal was zusammen aber Sie können wir schon sagen Q größer oder kleiner 1 raus kommt hoffentlich er Gott werden es dann sehen also werden das pro Quotienten Kriterium an nein das heißt war es bei diesen ganzen rein und Konvergenz Untersuchung oder zumindest absolute Konvergenz geht ist immer die Frage ist die Folge die da hinten in der Folge Summe steht wir 0 Folge wenn ja kombiniert sich schnell genug gegen 0 werden gesehen wenn das Zeug zu langsam gegen 0 kommentierte reichts nicht sehr harmonische Reihe und man kann sich eben dieses Coder um diesen Grenzwert vorstellen dessen Geschwindigkeitsmesser der nach wie schnell geht es den gegen 0 und dieses Co müssen wir also ausrechnen schau mal was in dem Fall das Q ist ich lasse den Limes erstmal weg und kümmere mich um diesen Bruch also was wir uns anschauen müssen ist der Bruch 1 plus 1 durch ein und davon der Betrag jetzt kommt das übliche Gewürge werden kurz ermittelt sehen dass man großen Doppel Buch liegt und auch hier noch mal zu der Frage warum nämlich das kurz ich das Wurzel Kriterium für das was sie Kriterium spricht dass er noch n oben im Celler wenn sie dann Ende Wurzel draußen wird das einfach gegen das musste Kriterium spricht die Fakultät was habe ich ihn letztes Mal gesagt es und Erfahrungswerte Fakultät spricht mehr für das Quotienten Kriterium als dass er noch n für das wusste wird im spricht also wenn sie Fakultät sind empfehle ich immer erstmals Prozentwerte auszupacken gut also was einem Plus 1 das ist n plus 1 hoch n plus 1 durch im plus 1 Fakultät über wo entsteht im Plus geschrieben dann geteilt durch 1 auch durch Fakultät der das ist immer der Moment wo man erschrickt man Quotienten Kriterium aber das ist alles nicht so schlimm alldieweil was wir machen müssen ist einfach mit dem
Kehrwert multiplizieren also das ist plus 1 Woche im Plus 1 durch plus 1 Fakultät multipliziert mit n Fakultät durch hoch N der und jetzt sieht man schon was der Vater vom 14. Kriterium an vielen Stellen ist dadurch also wenn ihre Summe von der Sorte ist dass sie das Umbruch drin stehen haben Sie zur Kehrwoche multiplizieren dann landet alles das was im MAN landet das was im Einfluss eines und steht immer ein oben und umgekehrt und Sie können die jeweils die Therme die jeweils von gleicher Sorte sind massiv gegen den der Kürze ja sie können die Potenzen kürzen und die Fakultäten und das ist immer beim Konzern Kriterium der große Spaß denn die große die große kürzt Welle los geht der bleibt meistens gar nicht so viel übrig also war was hier was sich am schnellsten kürzen ist sind die Fakultäten unten steht dem plus 1 x in x minus 1 X minus 2 oben steht in X N minus 1 minus 2 da können Sie die ganze Menge raus kürzen also sprich diese Fakultät kürzt die 1. 11 Faktoren von dem plus 1 Fakultät weg und was übrig bleibt ist von den Einstig durch plus 1 bei als argumentiere ich ihn jetzt den Betrag der weg wenn Sie mal schauen was den Betrag drinsteht dann ist das eine positive Zahl durch den positive Zahlen eine positive Zahl durch die positive Zahl das ist positiv als der Betrag das ist hier nicht wirklich relevant so also einzig 1 plus 1 ist es Fakultät durch ein plus 1 Fakultät was wir da noch stehen haben ist dieser etwas im 1. Moment blödelt haben endlos einzurennen plus 1 durch ein UN-Mandat zieht natürlich jetzt keine Potenz Regel wir haben vergleiche Base noch immer gleich Exponenten aber kein Grund die Flinte ins Korn zu werfen sondern ein Grund mehr dafür die alte Regel zu beherzigen wenn man was haben wir nun nicht hat muss man setzt zwingen also wir wollen entweder den gleichen Exponenten oder dem gleichen Basis damit wir das zusammen fassen können das gleiche Basis ist schwieriger herzustellen gleiche Exponent geht ganz gut schreiben Sie mal einen von den Faktoren oben im Zähler Xtra also 1 plus 1 durch im plus 1 mal 1 plus 1 hoch n durch m hoch in so die
das einzige plus 1 vorne kürzlich wunderbar und jetzt kümmere Potenz Rechenregel anwenden kriegen N plus 1 durch m hoch N und an der Stelle ist man immer noch nicht so viel schlauer weil wir müssen jetzt sehen dass er neben endlich angucken Trauer das da innen drin geht gegen 1 das da oben geht gegen unendlich da Exponent das Tauziehen der das was unten drin steht will die Sache nach 1 das was oben im Exponent steht wissen unendlich ziehen es stärker und was hilft ist die sind ja noch ein bisschen zu kneten und dann erkennt man den vielleicht irgendwann er schreiben Sie dass Ihnen drin mal als Summe von 2 Brüchen dann kriegen Sie N durch N plus 1 durch in oder 1 plus 1 durch ihren hoch N und spätestens das Ding sollten Sie jetzt kennen was passiert hier für n gegen unendlich eine der berühmtesten Grenzwerte überhaupt ja das ist das die Definitionen
wie auch immer man sehen will von E wir also dieses dieses Ding Verein die wohl endlich geht gegen E und damit Sie wissen was hier
passiert also der Limes von n gegen unendlich von A 1 plus 1 durch einen Betrag ist denn n gegen unendlich von 1 plus 1 durch m hoch N und das war jetzt muss man auch schon ungefähre Größe Vorstellung von E haben 2 Komma irgendwas ist aber aber dass irgendwas schon egal das einzig wichtige Moment ist das das größte einzieht Größe 1 und das
bedeutet damit ist die Rheinebene die wegen der Reihe weil das Prozenten Kriterium eben sagt wenn dieser Grenzwert größer 1 ist dann hat sie es mit Konvergenz dann haben sie Divergenz ok das Gepäck gut
weitere Beispiele zum Thema Quotienten und wusste Kriterien und alle anderen Kriterien und der Frage wann konvergiert 3 oder nicht viel nächstes Übungsblatt ich will jetzt das Konzept der Potenzreihe noch bestimmt weiter da aufpeppen noch ein bisschen er mehr draus machen und um das Konzept des ne kostet der Reihe noch müssen auftreten und das Konzept der Potenzreihe einführen und die wird uns dann das Konzept der Potenzreihe wird uns dann
noch einige Wochen begleiten weil es ein sehr er gute Methode liefert jetzt wieder Funktion zu beschreiben also was ist das ohne Potenzreihe das ist die Definition für 15 wir haben eine Folge damit wir der Reihe Kg zieht der definieren können ja also sein kann dass man sich eine Reihe wäre dass die folge der so meinten hier ist es jetzt ein bisschen anders aber mit ähnlicher Rolle so jetzt definieren und aus diesem ein wieder an der Reihe aber die Reihe enthält zusätzlich noch nen reellen Parameter x sozusagen die Variable und nicht und zwar nicht irgendwie sondern der folgenden Formen also eine Summe n gleich 0 bis unendlich dementsprechend muss ich die Folge auch eine nur machen x hoch n also es ist nun endlich erreiche in der jetzt noch und paar mit der X auftaucht und zwar in dieser Form Summe H 1 x hoch in und so denen man eine Potenzreihe mit
Koeffizienten der die Koeffizienten sind die geben und für jede Folge von Koeffizienten kriegen Sie natürlich ne andere Potenzreihe tja warum heißt und den Potenzreihe das ist nicht so wahnsinnig kompliziert ist dies der Reihe offensichtlich ist unendlich lange Summe und es ist wenn man sich überlegt was der Stätten eine Summe aus Potenzen ja also das geht los mit 1 0 andere Malicks auf 0 also eine Nummer 1 plus A 1 x plus 1 2 x Quadrat das 3 x noch 3 plus und so weiter in alle Ewigkeit da wenn man das sieht kommt ein 1 mehr ist Momenten Assoziationen das ist ja nix essen Pollino das was jetzt dasteht bis zu den XO Preise ein Polynom klar dort müsse Potenzreihe dann wurden umso ein viel allgemeineres Konzept bei der Punkt ist ja in viele so man Polynom ist über unendliche Summen wenn Sie so wollen ist mehr und Polynome endliche Potenzreihe oder man kann ganz ganz große Anführungszeichen schreiben wir Potenzreihe sowas wie unendlich langes Polynom aber das würde ich nun ganz ohne langen ganz großen Anführungszeichen stehen lassen weil die Sonne Potenzreihe ist kein Polo wir werden auch noch später sehen das so Potenzreihe eben das viel mehr Funktion das Polynome Potenzreihen Darstellung haben aber es ist mir eine gute Vorstellung dass man sozusagen Potenzreihen kommt wenn man die Polynomen denn jetzt immer höhere höhere geradezu lässt und in meinem gerade gegen unendlich jagen lässt dann hat man eben Potenz so das Gute ist was wir haben sind trotzdem noch seien und wie das Konvergenz Verhalten von Reihen ist haben wir jetzt betrachtet das heißt wir können uns das einfach mal anschauen was muss für die Freude am gelten und das muss für den Parameter x gelten damit wir hier was Konvergenz oder was divergent das kriegen und ich hatte gesagt Konvergenz von Reihen ist diffizil dabei bleibe ich im Allgemeinen das Gute ist dass es bei Potenzreihen relativ übersichtlich ist und das liegt daran dass es eben die spezielle Form einer Potenzreihe ist und wir werden gleich sehen schon das Wort zum Kriterium von dem ich immer
sagt das ist ein bisschen das ist ganz nett aber stumpf ist ja spitz genug und gibt uns sehr viel Information schon über das Konvergenz Verhalten von seiner Potenzreihe und zwar kann man über das oberste Kriterium den sogenannten Konvergenz Radius bestimmen und das ist eine Zahl die er die mir ist die gut kommt Konvergenz Verhalten von diesen rein ist er wieder gut es geht mir gegen die geht mir gegen die Ehre dass dichte der Konvergenz Radius der Nummer hat das Kapitel hatten Nummer da sie Abschnitt hat Nummer sei ab also 4 16 ist der Abschnitt Konvergenz reicht es und das ist nicht der Konvergenz war mit der Nummer 4 60 er also machen wollen ist wir wollen auf diese Reihe ANX Suche N das Wort der Kriterium anwenden wollte Kriterium steht nach dort drüben was müssen wir machen wir
wollen messen ob das den konvergiert oder divergiert dazu müssen wir diesen Geschwindigkeitsmesser Ente Wurzel Betrag von den Summanden anschauen und gucken ob die der Limes davon etwa endlich kleiner oder größer als 1 ist ja also unsere unsere Bereiche die wir anschauen wollen ist so man gleich 0 bis unendlich ANX n ja so was ist
jetzt davon das was müssen wir machen wir müssen uns anschauen Ente Wurzel vom Betrag von den summierten zahlt also Betrag von A 1 x x hoch doch das müssen uns anschauen und den die müsste NGO jährlich berechnen und schauen wann ist der kleine 1 und 1 ist der große ist es gibt eine gute Nachricht in eigener Sache eine Potenzreihe ist immer ein es gibt immer eine Stelle an der der Potenzreihe konvergent das kann man auch ohne wusste Christian sofort sehen schauen Sie sich mal die Potenzreihe da oben für x gleich 0 an das was Pfingst gleich 0 dann sehen 1. Herren am 0 x 0 hoch 0 stehen nur noch 0 ist ein bisschen schwieriges Thema habe ich hat am Anfang der Vorlesung per Auto du Mufti diktiert das nur hoch 0 1 ist das ist die Stelle wo das sich auch bezahlt macht der also nur noch 0 ist der Definition 1 das heißt der 1. Roman des anonym der zweite Summand S A 1 x nur noch 1 nur noch ein System definitif 0 und auch alle weiteren 0 hoch irgendwas ist 0 das heißt für x gleich 0 hat diese Summe dann ich unendlich viele Summanden sondern genau 1 nämlich den erst die Summe aus einem so meinten Konvergenz da haben wir keine Schwierigkeit also es gleich 0 ist das Ding in meine konvergente Summe es kann also nicht passieren dass der Potenzreihe Garnelen es konvergiert x gleich 0 ist es im Markt gegeben ich werde ihnen zeigen ist es gibt auch Fälle wo es wirklich so schlimm ist es also wo genau es gleich 0 geht und sonst nix aber es gibt viele stellen viele Fälle Woche mehr gibt so also schau mal nach was hier passiert da wir wollen diesen Ausdruck ausrechnen und er lächelt uns schon wieder so Entwurzelung hoch N entgegen dann tu mir das damals präparieren erstmal Wurzel Rechenregel wir können denn das Produkt aufsplitten der Ende potente Ente wusste Betrag am mal Ente Wurzel von Betrag X hoch ein so jetzt haben was Schönes immer vorne die n-te Wurzel Betrag am und den Betrag X auch ändern und dann die Ente Wort wissentlich Betrag X so und jetzt kann man hier von ablesen was die Folge A N tun muss damit wir Konvergenz haben oder Divergenz bekriegen absolute Konvergenz falls der Limes von den Dingen da oben der Limes entgegen gegen unendlich von dieser Enten Wurzel betrage NX auch allen also ob der liegt Limes im Leben endlich von der rechten Seite hier falls der Limes in gegen unendlich von Ente Wurzel Betrag 1 mal Betrag x kleiner als 1 ist und wir kriegen Divergenz falls diese Limes größer als 1 ist im es n gegen unendlich entwurzelt Betrag am mal Betrag X größer ist dann haben wir die Welt ist ja und sie sehen das Ganze da
das X oft unter dem verschiedene Dinge auf die andere Seite bringen die Frage ob das denn konvergiert oder nicht hängt an den X und hängt an diesem Limes in gehen endlich Betrag ein also unterscheiden wir mal verschiedene Fälle was für diesen Limes passieren kann 1. Fall schönster Fall Fall aller Träume dieser Grenzwert Limes n gegen unendlich Betrag Ente Worte vom Betrag am ist 0 was ist dann dann sind wir ihn im Fall von absolut der Konvergenz in dieser Grenzwert nun ist eine so war Betrag X immer kleiner als 1 da haben wir also egal was XS absolute Konvergenz dann haben war absolute Konvergenz für alle x aus das ist natürlich bisher nur theoretische beharre Betrachtung ich habe ihn noch nicht garantiert dass es irgendwelche Folgen gibt für die dieser Grenzwert 0 sein kann aber zumindest wenn er mal 0 ist dann aber den schönen Fall dass unsere Reihe
für alle x aus konvergiert 2. Fall wenn man gerade den schönsten hatten wir jetzt den blödesten was ist wenn der Limes entgegen unendlich von Ente wozu Betrag A 1 nur und eigentlich existiert also wenn das unendlich groß wird dann sind wir immer im zweiten Fall dann kann das Betrag X noch so klein sein das Produkt uns diesen Grenzwert und Betrag X ist immer größer als 1 es sei den Betrag ist 0 1 gerade vollen gesagt wächst gleich 0 haben sie immer Konvergenz aus dem einfachen Grund dass dann die Potenzreihe nur ein so man hat wenn Sie nur einen Summanden haben können Sie alles alle er alle Debatte über Konvergenz vergessen also wenn sie in dem Fall sind das diese Grenzwerte unendlich ist dann haben wir Konvergenz nur im Fall X gleich 0 dann ist nun hat man demnach aber dass der Fall den ich vorhin angesprochen habe es kann eben passieren dass man nur genau die 0 hat das sind ziemlich langweilige Potenzreihen die ließ man meistens aus und dann gibt
es denn da dabei der zwischen ja bisher mit Extremfälle abgegrast dieser Grenzwert von dem Ende wozu Betrag am kann offensichtlich nicht kleiner als 0 werden weil jeder einzelne vor jedes einzelne Folgen größer gleich 0 es war man die Folge größer gleich 0 es dann kann auch der Grenzwert muss dann größer gleich 0 sein was wir jetzt noch haben sie mich Fälle zwischen unendlich also nehme normalen dritten Fall an dieser Grenzwert existiert und ist weder 0 noch unendlich also eine endliche Zahl 33 oder 5 4 oder so was was aber dann so dann muss man eben gucken wir ja Konvergenz wenn der dieser Grenzwert multipliziert mit Betrag X kleiner als 1 ist und wir haben gut Divergenz wenn der Grenzwert multipliziert mit Betrag X größer als 1 ist wenn Sie die Grenze mal auf die andere Seite durch Dividieren was jetzt der geht weil er nicht nur das dann kriegen sie eine Bedingung Land kriegen Sie Bedingungen 1 x dann kriegt man absolute Konvergenz für den Fall dass Betrag X kleiner ist als 1 durch diesen Limes nur der diesen denn es darf ich jetzt teilen wie gesagt weil nicht nur das nur und ich krieg absolute Konvergenz wenn diese Limes multipliziert mit Betrag X kleiner 1 ist oder äquivalent Betrag X kleiner als 1 durch diesen man es und Sie kriegen
Divergenz im umgekehrten Fall eben wenn das Produkt größer als 1 ist das heißt wenn der Betrag von x größer ist als 1 durch diesen Ente Wurzel Betrag ein nur sieht man diese liegendes Ende wozu Befrager in ziemlich klare Bedeutung für diese Potenzreihen und bekriegenden sehr klare Aussage vom wollte Kriterium diese Zahl einst durch ihn das Ende wozu Betrag am sagt von nur alle Zahlen den Betrag kleine ist es diese Zahl sind gut in den konvergiert die Reihe und alle Zahl außerhalb die die Welt jetzt also bei der Potenzreihe kann es nicht passieren dass sie irgendwie in 3 5 und 8 konvergiert aber in 2 6 und 7 nicht sondern diese Menge der Zahlen denn sie konvergiert geht es immer Intervall das durch so eine Ungleichung Betrag X kleiner als die gewisse Zahl beschrieben wird oder ist es die ganze relaxe im 1. Fall oder ist es nur Nullpunkt nur das sind die Extremfälle gut also das heißt diese Zahl
hier des irgendwie wichtig und dementsprechend mit den beiden Namen das ist der Konvergenz Radiosender wird meistens mit roh bezeichnet also wir 3 Fälle unterscheiden also im Wesentlichen ist diese
Zahl 1 durch den Limes n gegen unendlich ende Wurzel Betrag A N und das ist ebenfalls im Fall 3 sind ja also wenn dieser Grenzwert dazwischen und unendlich ist und dieses 1 durch Sinn macht dann nennt man diese Zahlen Konvergenz Radius wenn sie im Fall 2 sind und diese Grenzwerte unendlich groß ist da macht das dadurch teilen nur sehen die sind aber dann werden Sie gleich sehen macht Sinn den Konvergenz Radius 0 zu setzen was in gewissen Sinne ja auch um die einstigen endlich ist in großen close quotation und wenn sie im Fall eines sind also wenn dieser Grenzwert 0 ist dann dürfen sie auch nicht durch den teilen und dann werden Sie gleich sehen macht Sinn Zusagen der Grenzwert und der Konvergenz Radius ist unendlich als auch in gewissem Sinne eines durch 0 ist in Anführungszeichen so und diese Euro die
nennt man den Konvergenz Radius der Rail und wie gerade gesehen dass sagt Ihnen diese Zahl Euro in welche X die Reihe konvergiert und für welche der Potenzreihe für welche X nicht konvertiert nur für alle Zahlen zwischen minus Ruhe und Roman sie Konvergenz für alle Zahlen außerhalb dieses Intervall ist haben Sie Divergenz also normales Bild wenn sich
ihre Seele Areale Achse haben man sagt in der Konvergenz Radius jedes 0 in der Stille nur Converged ihre Potenzreihe immer aber da ist eben eine ein Element die gesungen und wenn Sie jetzt hier wo das Ruhe haben können Sie das Minus O unter sowohl sagt für alle x den Betrag kleiner ist so also für alle x zwischen minus 2 und rot haben Sie absolute Konvergenz also in diesen beiden Intervall mir oder diese mit der Wahl von minus 2 bis 2 haben Sie absolute Konvergenz der Potenzreihe dann den außerhalb dieses in der Weise zumindest so da haben Sie die der ins ja das sagt das Wort für Kriterium und damit ist in dem Fall das was sie Kriterium für ziemlich gut das sagt uns nämlich für die wir sehen fast alle Zahl aufdrehen Achse ob die Reiter konvergiert oder divergiert mit 2 Ausnahmen an welchen Stellen ist das Wurzel liefe das wusste Kriterien seine würde 1 zurück mehr den Betrag X genau gleiche roh ist dann ist man hilflos da also ich an der Stelle minus roh und an der Stelle wo weiß man im Moment noch nichts da könnte Konvergenz oder Divergenz oder beides also beides sich nicht einen Punkt aber es kann sein dass es im Minus Ruhe konvergiert O divergiert oder umgekehrt oder was das ist Moment noch aber alle andern hat man schon im Griff und an dem Bild denke ich das sieht man jetzt auch warum dieser zum im Fall zweier im Fall 1 0 und unendlich Sinn macht der Fall 2 war der dass der Grenzwert von dem in es Ende wird sie den Betrag 1 0 ist in dem Fall haben wir also Konvergenz nur an der Stelle 0 und wenn Sie jetzt sagen das Konvergenz in der Wahl der der Bereich in dem die Reihe konvergiert ist immer im der Wahl um 0 dessen dessen Länge gegeben ist durch das Ruder genau sollte 2 dann ist eben in dem Fall das Intervall in dem das den konvergiert Intervall um 0 der Länge 2 x 0 also sprich nur die 0 und im Fall 1 in dem das Ding für alle x aus er konvergiert wenn sie die ganze Riege der Achse sehen als das Intervall um 0 mit unendlich in beide Richtungen deswegen ist eine Konvergenz Radius unendlich gut und hatte jetzt und dieses auch noch noch ein
letzter Name dieses Intervall von minus Robe Soho das nennt man das Konvergenz Intervall der Potenzreihe aus naheliegenden Gründen das ist das Intervall wo die Reihe auf jeden Fall absolut konvergiert das kann unter Umständen sein dass sie noch im Minus Rodeln rot zusätzlich konvergiert aber zwischen minus Woodrow wissen Sie ganz sicher dass das Dinge konvergent 3 ist man so 0
ist ist das Intervall enthält hat Grund wäre unendlich ist dann heißt das dass den Converged auf ganz absolut so das ist ja das Konvergenz in der Bahn und der Konvergenz Radius
warum sind Potenzreihen so wichtige die
Haupt Bedeutung einer Potenzreihe ist die folgende Überlegung wenn Sonne Potenzreihe dann ist das für alle X den Konvergenz Bereichen wir mal davon aus dass sie keine langweilige Potenzreihe haben spricht das Konvergenzen der Ball ist nicht das Intervall und nicht nur die 0 dann konvergiert dieser Reihe absolut im ganzen der Wahl für jedes x aus diesen bei minus froh und für jedes x aus diesem der Wahl hat die Reihe natürlichen wert den kann man im allgemeinen vielleicht nicht ausrechnen aber den den Hals und damit können Sie diese Potenzreihe auffassen als Funktion ja sie jede konvergent der Potenzreihe jede Probe Potenzreihe denn echtes Konvergenz Intervall hat definiert auf diesen Konvergenz Intervall der Funktionen in dem sie eben jedes X aus dem Pott aus diesem Intervall auf seinen mit seinen aus den Reihen wird ab also definiert auf dem Konvergenz Intervall das ist das Intervall von minus wurde so kann je nachdem wen Rhone Ähnliches auch
ganz er eine Funktion und zwar die 10 nehmen sich das X und Bildes ab auf den reinen währt der Reihe in gleich 0 bis unendlich ANX auch er so das wird sich erst mal eine die Spielerei an oder nach
der typischen Mathematik Idee wir definieren weil deren Funktion Wunder ich ausrechnen kann was ist toll er nein das hat ganz praktischen Nutzen weil wird sich herausstellen das so ziemlich jede Funktion mit der sie so im Alltag zu tun kriegen Sie jede von besonders jede von den schönen Funktion von den klassischen Polynome Kosinus Ines Tangens Exponentialfunktion zeigen zur Geburt muss und was noch alles alles Funktionen sind die Sorge Potenzreihen zu definieren sind und zweitens bietet Ihnen der Potenzreihe noch was andere nämlich der Möglichkeit diese die intrinsisch der eingebaute Möglichkeit diese Funktion zu approximieren sie können Sie vielleicht nicht explizit ausrechnen aber die Formel für die Approximation steht schon da was machen Sie wenn Sie die Funktion approximieren wollen mehr sie sparen sich die etwas ab zeitaufwendige Arbeit unendlich viele Summanden zu so viel und so wir nur 370 Stück wenn Sie dann wieder Summation einfach nach einer gewissen Zeit auf dann haben Sie nicht exakt die Funktion die durch über den freigegeben ist aber man weiß ist ziemlich gute Näherung wir also die partial Summen diese Potenzreihen liefern Ihnen automatisch mehr Approximation Methode für ihre Funktion und das kann man manchmal sehr sehr gut brauchen wer also wenn sich jeder bis summieren dann kriegen Sie damit mehr Approximation er Funktionen na und auch zum Beispiel kann man auf diese Weise unter strengen Akkus Tangens ausrechnen was macht ihr Taschen deren Akkus Handels ausrechnet immer sie drücken auf die Taste der Taschenrechner sie mir damit Ihr Problem mit August eines ausrechnen Taschenrechner delegiert der muss sich etwas einfallen lassen oder jemand der den programmiert hat muss sich was einfallen lassen um genau zu sein ja was macht der wenn es sich gibt die mit auch Patricks mehr wesentlichen mit der sich die Potenzreihen zu August Tangens gehört berechnet die 1. paar Summanden und 11 spuckt denn das Ergebnis aus so und sie kriegen nicht nur der Approximation für jedes x sondern was
sind denn diese Partial Summen für Dinge wir haben 7 endlich die Summe von solchen Kombination von das einfach Polo als sie kriegen auf diese Weise approximieren der Polynome für die Funktion die durch die dort den freigegeben ist Polynome sind einfache schöne Funktion mit den kann man umgehen und auf diese Weise können sozusagen kompliziertere Funktionen finden Sie approximieren Polynom mit zu komplizierteren Funktion Zeller ab dem Moment können es aber erst mal sagen gut wir haben Potenzreihe von der können ausrechnen wo sie konvergent ist und dadurch ist einfach erst meine Funktion gegeben auf dem Konvergenz Intervall wenn das Konvergenzen war nur die 0 ist die Sache wie gesagt etwas
langweilig aber sobald das Konvergenzen der Wald nicht nur die 0 Es gibt dann es 0 0 es haben Habenseite Funktion die 0 0 definiert ist bisschen was bislang ja aber sonst wenn es nicht nur die 0 ist dann kommt dabei das und als
1. Beispiel um ihn ist also als 1. Satz in dem Zusammenhang um Ihnen zu zeigen Funktion durch Potenzreihen kommen 10 auf jeden Fall schöne Funktion kann ich das folgende sagen das ist das minimal was man schön haben will wenn Sie der Funktion haben die gegeben ist durch eine Potenzreihe diese sei jetzt bitte den Konvergenz Radius haben der nicht und ist ja also wie gesagt dann haben seine Funktion die nur als 0 definiert ist ist es langweilig als der Konvergenz Radius wo von dem Potenzreihe soll strikt größer 0 sein damit haben Sie auf dem Intervall von minus 2 Rohr dadurch der Funktion gegeben und Sonne Funktion ist nicht irgendeine sondern der Funktion durch eine Potenzreihe gegeben wird dann kommt der in eine stetige Funktion aus nun her denn damals gesagt durch Tätigkeit wo man sich im Normalfall nicht so viel Gedanken machen die muss eh da sein sonst kaum mit den Funktionen im Normalfall nicht gut arbeiten deswegen mal gut zu wissen Funktion sich Prozent freigegeben sind er für diese Minimalvoraussetzung für fast alles also in mächtig ja
so jetzt haben sie aber das Recht mal 1 konkrete Potenzreihe zu sehen da man sich bisschen mehr drunter vorstellen kann und dann sage ich Ihnen Sie haben schon lang Potenzreihen gesehen ich habe sie nur durch die Nomenklatur so gut versteckt dass man es vielleicht nicht gemerkt
hat und zwar die folgende Potenzreihe die haben wir schon paar mal betrachtet wie gesagt ich habs nur nicht Potenzreihe genannt n gleich 0 bis unendlich sozusagen die einfachste Potenzreihe ja also das ist der Potenzreihe was ist hier das am das 1 hier einfach 1 nur für Besitzer eines die konstante Folge 1 und dann kriegen Sie diese Potenzreihe n gleich 0 bis unendlich einmalig ein also in der bis endlich X auch ich behaupte die kennen wir schon wenn es nicht sofort sehen dann machen sie im Kopf statt den x-mal Kurier der und das Ding jetzt Excel coolen ist ziemlich egal die Reihe über Couch allen die Hamas schon gesehen und von der wissen wir was rauskommt mir dass es die geometrische Reihe das ist die geometrische
Reihe die haben wir im Beispiel 4 3 durchgeackert mehr Beispiel 4 3 haben wir gezeigt das war eine schöne Reihe weil wir die partial explizit ausrechnen konnten und festgestellt dass für Betrag X kleiner 1 das Ding in meine konvergent Folge der Reihe ist und dass der Wert eines durch 1 minus X ist er und damit haben wir jetzt diese Potenzreihe komplett im Griff sie konvergiert für alle Betrag X kleiner 1 und man hat sogar den Wert nämlich die Funktion eines durch 1 minus X dann und einzig als minus 6 ist durch diese Potenzreihe gegeben und jetzt sehen Sie auch zum das 1. Mal Funktion die sich Potenzreihen gegeben sind sind im Allgemeinen weit weg von Polynomen also die Funktion als sich ein für das X ist jetzt nicht belegen Polung 5 gut er jetzt schauen wir doch mal
ob das was wir damals rausgekriegt haben und das was wir
jetzt neue wissen zusammenpasst also dann gesehen diese Summe hier diese Reihe konvergiert für alle Betrag X kleiner 1 und das ist der Wert dann sollte jeder der Konvergenz Radius bitte schön 1 sein rechnen wir doch mal die Konvergenz Radios aus ja also was es der Konvergenz Radius wir müssen uns noch mal wieder Rennen wie berechnet man den Konvergenz Radios er oh ist der 1 1 durch ist 1 durch der Limes n gegen unendlich Ente Wurzel Betrag N wobei das am die Koeffizienten Folge ist die vor dem X auch entsteht also hier in dem Fall konstant 1 na gut was ist das hier das ist eines durch der Limes n gegen unendlich von Ente Wurzel von 1 gut in der Wurzel von 1 1 es gegenwärtig von 1 gehört nicht gerade zu in schwierigen Grenzwerten ist 1 und 1 durch 1 ist immer noch 1 mehr also wie kriegen wir seriös Konvergenz Radius 1 raus das heißt unsere früheren hätte er Errungenschaft über die geometrische Reihe und der Begriff des Konvergenz trat das passt zusammen das den konvergiert für alle Betrag X kleiner 1 divergiert für alle Betrag X größer 1 und was ist sind wir noch zu klären ist was passieren den Gewändern nur was passiert für x gleich plus 1 was passiert fix gleich minus 1 und da
hilft jedes Wurzen Quotienten Kriterium nicht weiter ja weil mein da auf den blöden 1 Fall stößt das heißt hier muss man dann zu Fuß dran also schauen wir uns an was passiert für x leicht plus oder minus 1 so das gemacht und am
besten den man einfach plus oder minus 1 einsetzt was passiert wenn sie 1 einsetzen dann kriegen Sie so man gleich 0 bis unendlich 1 hoch n ja das ist die Summe in gleich 0 bis unendlich über 1 also 1 plus 1 plus 1 plus 1 darüber ich drüber nachdenken das ist total Divergenz die summierte Volkes ist nicht meine neue Folge da ist nichts zu holen und gleiches gilt auch am andern was
ist wenn minus 1 einsetzen dann kriegen sie die Reihe in Gleichmut bis endlich wir minus 1 Woche n also die Reihe im Minus 1 plus 1 minus 1 plus 1 ist minus 1 plus 1 minus 1 und so weiter dies auch Divergenz ich meine sie können natürlich auf die Idee kommen zu sagen so kommt doch nur raus ja immer so Kirchen Weise die minus 1 und 1 zusammen packen dann müsste der doch nur rauskommen das ist wieder die Rechnung ohne die Unendlichkeit gemacht ja Sie haben oder die ich nicht viele minus 1 soll endlich wieder ein sehr und niemand verbietet mir so die 1. 5 plus einsamer nach vorne zu schaufeln und die restlichen bieten dir der westlichen plus und minus ein so zu Pärchen zu tun zu paaren ist nämlich immer noch gegen geht immer noch genau auf weil ich habe nur 5 1 sehr weggenommen sind noch genauso viele einsame minus Einsatz und den Kopf in fast allen dadurch auf 5 minus 1 Sa rausnehmen und die restlichen zu brechen Paar Kombi-LOS 5 raus kann man alles machen denn es gibt keinen vernünftigen Konvergenz Begriff an der Stelle der den denen vernünftigen wir zuweist also die einzige weiße dieser war 3 zuweisen können was sie sagen können was ist denn es ist das ist nämlich die Berge andere Begründung das was drin steht es keinen Unfall gut also das was 1. Beispiel von der
Potenzreihe 1 das wir von kannten aber nicht unter diesem Namen wird und ich ihn sozusagen schon untergejubelt schauen wir uns noch ein anderes Beispiel an mehr einfach so zum mit dem Begriff waren
werden und zweitens möchte ich man ihn mit dem Beispiel jetzt zeigen dass sie tatsächlich an diesen Rang Funken des Konvergenz Intervall das da alles mögliche passieren kann bei der Carmon bei der geometrischen Reihe um wir gesehen die konvergiert in Innern natürlich Sie divergiert außen aber einen bei period divergiert sie auch wird nach zeige ich Ihnen Beispiel das an einen Rand period divergierten am anderen period konvergiert also 3 n gleich 0 bis unendlich minus 1 Woche in durch n x x auch das offene Potenzreihe irgendwelche Koeffizienten x hoch rennen und das unendlich oft aufsummiert was ist hier das A N das eine ist die Folge der Koeffizienten also minus 1 Woche in durch N so und wenn wir jetzt rauskriegen wollen was der Konvergenz reines ist müssen wir wieder nur Herrn unser ja unser Kochrezept rausziehen müssen den Konvergenz reines ausrechnen und dann haben wir alles darstellen also was in dem Fall der Konvergenz
Radius Konvergenz Radius es immer 1
durch der Grenzwert außen Kriterium also haben wir das ganze hier gemacht also es 1 durch es n gegen unendlich Ente Wort so vom Betrag ein könne also einsetzen dass es einst durch nehmen wir es n gegen unendlich Ente Wortsinne voran Betrag minus 1 auch durch aber was ist das 1 durch das Ende wenn das n gegen unendlich
so dann Ende wollte Betrag von minus 1 hoch n können Sie vergessen ist 1 der minus 1 noch 1 meinte der minus 1 Betrag davon es einst bei Betrag von 1 durch sagte Betrag weglassen steht hier in ja was ist das nur so ein bisschen Rechenregeln für Wurzeln anschauen das ist Limes n gegen unendlich von einst durch in Wurzel N ab und jetzt muss man sich wieder erinnern elementare Grenzwerte aus der Abteilung aus dem Kapitel über Grenzwerte von folgen da stand drin dass der Grenzwert von Ende Wurzel ende Wurzelende gegen 1 also geht eigentlich der Wurzel wegen eines durch 1 was da ist 1 der Grenzwerte und es also 1 also wir kriegen sie einst durch 1 durch 1 aber zu oft sie 1 auch weite Teile der immer wieder 1 raus das ist 1 also dass der Konvergenz Radius hier 1 und das heißt auch hier wieder
Konvergenz also absolute Konvergenz was wir jetzt schon wissen ist absolute Konvergenz für X aus dem offenen Intervall von minus 1 bis 1 Divergenz für X aus dem Intervall von minus unendlich bis minus 1 und dem Intervall von 1 bis unendlich das eine Betrag von x echt größer 1 ist wissen wir sonst divergiert was noch zu klären ist was passiert dann Stelle minus 1 und 1 Gold darum steht noch die Reihe nicht mehr lange also wir schauen was
passiert an den Stellen am Rand des Konvergenz Intervall ist wenn also schreibt die Reihe noch meine nach oben rausgegangen ist n gleich 0 bis unendlich minus 1 Woche N durch N X X auch in Tal was passiert für x gleich 1 haben Sie die Reihe n gleich 0 bis unendlich minus 1 hoch n durch m x 1 auch also wenn es 1 also muss mit der Konvergenz von dieser Reise hier beschäftigen ein wenn man es genau bedenkt eigentlich blödsinniger Ratschlag aber trotzdem falls es immer passiert wenn die Aufgabe im ist untersuchen sie wie weit welche X konvergiert die Potenzreihe der wollen er mal ja Beispiel 4 period was
19 a okay mehr ja ja ich da
drauf kommen das ist die Gammelfischerei ernst letzte Vorlesung gestern vielleicht letzten Mittwoch da genau diese Bayern geschaut da stand dann ich X Sonderstand Akku ja da stand er Q U N und stand als sich als 15 ja also vielleicht erinnern Sie sich so n gleich 0 bis unendlich Q auch n bis 1 durch 1 minus Q wenn der Betrag von Kugler der einst aber halten sie sich am Buchstaben und Namen auf als könnten sehr fand schreiben dass man nix ja da wir ja der so was ist da ich verstehe es nicht
können wir ja habe ich dagegen gleich 0 geschrieben Augen man ja ne n gleich 1 danke die Reihe muss bei allen gleich 1 anfangen da steht auch so klar weil gleich 0 macht ja keinen Sinn ja das ist die den Effekt hat man häufiger ja wenn gleich 0 ist der erste Summand minus 1 suche nur durch 0 es gibt sich ja ein gleich alt nein die Alternative es ich fange bei 0 an und dann später liberal N minus 1 über das sieht auch nicht übersichtlich aus so danke weitere Mist den ich hier verzapft hat gut aber melden sich wieder wenn sie sowas finden danke zur da steht auch so meine Herren wir mal wenn man auf der
schiefen Ebene ist mehr das war da genau ich wollte gerade sagen also das wird man müssen uns die Konvergenz dieser Reihe Cook in dem Fall sieht man recht schnell was passiert aber im Allgemeinen kriegt man jetzt natürlich immer diese Rentner da betrachtet welche rein raus und soll dann entscheiden ob die konvergierende divergieren und dann hat man wieder das ganze Arsenal an Kriterien zur Verfügung und erliegen Sie nicht der Versuchung dann das Konzert oder Worte Kriterium anzuwenden weil wo kommt denn dieser Rand Problematik hier deren Problematik kommt daher dass es für den Konvergenz reitet mit dem Wort Sekretärin ausgerechnet habe man diesen beiden Endpunkten das wozu die um 1 geliefert hat wenn Sie also jetzt für den Rand period das wusste dem anwenden dann kann ich ihn auch bevor sie es ausgerechnet haben sagen was rauskommt bin ich natürlich 1 weil deswegen sehr daran period wer also vergessen Sie in dem Zusammenhang sofort wurzle Prozent verfehlen liefern mit Ansage einst wenn Ihnen das den ich einst die sondern sich beim Konvergenz Rades verrechnet aber der Konvergenz das ist genau die Stelle an das Wort Kriterium 1 liefert also kann ich tun wir müssen also echte was anderes einfallen lassen in dem Fall hier müssen Sie sich eigentlich gar nichts einfallen lassen weil dieser Reihe kennen den wesentlichen schon bis auf eine kleine Schönheitsreparatur das sie noch ein minus vorziehen sie noch ein minus voranschreite in minus 1 Woche im plus 1 und die Reihe aber schon gesehen das ist nämlich die alternierende harmonische Reihe 1 minus inhaltlosen 3. mindestens Viertel bloßen 5. und so weiter und das ist ne konvergent 3 mehr gesehen konvergent aber nicht absolut konvergent die alternierende harmonische ab also haben Sie in dem Fall am rechten Intervall
Endpunkt Konvergenz schauen uns den linken Intervall Punkt an also X gleich minus 1 so man gleich 1 bis
unendlich minus 1 auch durch X minus X X gleich minus 1 also minus 1 hoch n der sieht man schauen in dem Fall neben sich alle Vorzeichen weg minus 1 Woche einmal minus Einzug ist in mir das 1 zu 2 in in 1 2 ist gerade minus 1 was Graces immer 1 also was übrig bleibt ist die Reihe von 1 bis unendlich über 1 durch und die ist bekanntermaßen die Welt denn das ist eine von den 3 auf die Insel mit dem Rainer das ist die harmonische Reihe und der modische Reise bekanntermassen Divergenz das heißt am linken Endpunkt haben Sie hier Divergenz Recht nahm sie Konvergenz mit
dem kleinen Umbau in dem Beispiel können Sie auch jederzeit ein Beispiel produziert von der Reihe die auf der rechten Seite divergiert auf der linken Seite konvergiert die Kölner welche bauen der beiden Endpunkten konvergieren eine der beiden entpuppen divergiert hat oben alles kann wirklich alles vorkommt und dementsprechend heißt das auch man muss den Rand immer von Hand extra untersuchen also am Rand kann alles passieren aber der Konvergenz Radius ist insofern schon mal eine gute Aussage weil eben bis auf 2 Punkte alle x sortiert nach konvergent und nicht kommen achten Sie deshalb wenn Sie irgendwelche Klausur oder Übungsaufgaben Potenzreihen sehen wir genau auf die Aufgabenstellung und schauen Sie ob da steht bestimmen Sie den comma ganz war der Reihe Studi Studierenden freundlichere Aufgabenstellung oder ob das steht bestimmen Sie alle x aus er die Reihe konvergiert ja von der Aufgabenstellung war das heißt es müssen Konvergenz Rades bestimmen 2. müssen noch die Beine dran period anguckt das gut dann ein ein weiteres Beispiel ein
weiteres extrem wichtiges Beispiel muss zu sagen ich hatte habe gerade wieder erwähnt ich habe so es gibt die Sammlung der 3 Reihen die sie auf die einsame Insel mitnehmen sollen und ich habe ihn davon bisher erst 2 verraten nämlich die geometrische und die harmonisch jetzt kommt Nummer 3 mehr ja ein der 1. Punkte für den Rand period 1 und 2. für minus 1 will also im 1. Fall habe ich nicht gleich 1 gesetzt im Prinzip Stiche um 1 hoch n ja aber die 1 habe ich dann gleich weggelassen zugegebenermaßen und die 2. für minus 1 Fenster vor also das ist nix gleich 1 und das ist nix gleichen das und das ist einfach ein Gesetz in die Reihe gut also Gestein weitere Fragen gute Steuern auf die 3. fundamental Reihe auf die 3. ganz wichtige die man wissen muss und die sieht folgendermaßen aus 3 n gleich 0 bis unendlich 1 durch n Fakultät X X auch in also hier ist das durch ihren Fakultät jetzt habe ich wieder bei 0 anfangen hier weil du so gut wie jedes Jahr 1 also das 0 Fakultät ist okay durch 0 nicht die Reise Doppelnull an wir und bevor ich ihn erklären warum die Reise wichtig
ist nehmen Sie doch einfach mal als Beispiel für eine Reise von der Potenzreihen versuche X den Konvergenz reines auszurechnen und wie sehr man nur eine Methode gesehen meine Konvergenz Radios ausrechnen kann also werden wir die an was war der Konvergenz Radius der Konvergenz Rades war einst durch der Grenzwert aus dem Wort Kriterium also ich lasse es mal das einst durch erstmal sein und wir gucken mal über den Grenzwert aus wozu gibt dem ausrechnen können wenn es n gegen unendlich Ente Worte vom Betrag ein sowas gibt dass hier das gibt man das in den unendlich ende Wurzel von einst durch Fakultät etwa gut es immer positiv also das auch einzig in Fakultät immer positiv den Betrag können wir also getrost weglassen gut dann kann er jedoch ein bisschen in der Wurzel Rechenregel drauf rum kneten und dann kommt dabei raus Limes n gegen unendlich eines durch Ente Worte von n faculty hält und der es muss man aufpassen und so rechnet nach 1. Konvergenz Rades endlich 1 durch das Tal comma Ganserer das einst durch diesen Mist aber das Problem ist ja bevor wir da überhaupt hinkommen müssen wir jetzt den keine Grenzwert in die nun endlich von Ente Wurzlen Fakultät ausrichten und jetzt können wir zurück es folgen Kapitel und dann stellen Sie fest dass die dann nicht der steht der mich weil da nämlich etwas biestig zu betrachten ist und bisher also mit den bisherigen Methoden auch einfach nicht klar ist was ist also ich denke ich sage Ihnen gleich Wasser ist aber wir kommen jetzt hin im Moment stehen wir hier ein bisschen wir machen und den das passt dazu was ich vorhin gesagt habe wenn Sie der Fakultät in ihrem ein drin stehen
haben ist das wohl so gesehen auch meistens keine gute Idee also starten wir doch mal 2. Versuch über das Quotienten Kriterium es habe ich ihn überhaupt nicht gesagt niemanden Konvergenz Rades bis kurz hinter dem ausrechnen kann aber es steht ihnen ja völlig frei diese Potenzreihe einfach also aufzufassen nur für jedes x steht eine Reihe wir wollen wissen für welche X das die konvergiert also wenn wir doch mal das Quotienten Kriterium darauf ein auf dieser Weise also wir gehen neben uns die Reihe und dann sagt uns das potenten Kriterium die Reihe die wir hier anschauen also n gleich 0 bis unendlich 1 durch Fakultät x hoch einen ist Konvergenz sogar absolut konvergent falls der folgende Grenzwert kleiner als 1 ist also der Limes n gegen unendlich voran denn was drin steht an der Stelle in plus 1 also A 1 plus 1 x auch im Plus 1 durch den was drin steht 1 x auch und davon der Betrag also das ist der Limes n gegen unendlich das kann man hier ein bisschen aufräumen vom Betrag A 1 plus 1 durch einen mal Betrag von x hoch im Plus 1 durch Betrag von x hoch N das kommt wie das große Clubfestival dass sie beim kurz den Kriterium fast immer haben das geht können das n gegen unendlich am Fluss 1 durch am mal Betrag x und das muss kleiner 1 präsentierte und sagt freie absolut konvergent genau dann wenn dieser Grenzwert summierte Zahl an der Stelle im plus 1 durch somit die Zahl an der Stelle steht noch denken dass dieser Grenzwert Q wenn der kleiner als 1 und jetzt ist wenn der es sehr genau der gleichen Situation vor mit dem Worte Kriterium das geht jetzt wieder Bedingungen ab das geht jetzt hier eine
Bedingung an diesen Grenzwert
ja oder genauergesagt wenn sie diesen Grenzwert haben da dann können Sie sagen welche X das dem Konvergenz wenn der Grenzwert S 5 S da ist es Konvergenz für alle Betrag kleinen 5. gut also man damit genauso ein Kriterium für den Konvergenz Rades Liebesworte Kriterium die gesagt Prozent wollte gesehen sind in ihrer in ihrer Wirkung und ihrem Naturell sehr sehr ähnlich sind hat verschiedene Geschwindigkeitsmesser für die Frage komme gerade oder nicht und es immer nur die Frage welches ist kann leicht auszurechnen so also kriegen wir das jetzt umfahren wenn der Betrag von x kleiner ist als 1 durch der Grenzwert immer vorausgesetzt wir dürfen das durch die Medien der Grenzwert von 1 plus 1 durch einen so das können Sie jetzt noch vereinfachen weil der Grenzwert von den Dingen 1 durch ist der Grenzwert von 1 durch den Dingen nach Grenzwert Rechenregeln also das ist der Limes n gegen unendlich von A 1 durch am plus 1 zum Betrag also den Betrag X kleiner ist als dieser Grenzwert dann haben Sie Konvergenz und das heißt und das heißt jetzt und das ist schön Wärme 2. nur 2. Darstellung für den Konvergenz Radios das Rohr können Sie einmal über die Wurzel Kriterium als 1 durch Limes n gegen unendlich Wurzel aus Betrag AN ausrechnen oder als Limas n gegen unendlich vom Betrag durch 1 plus 1 wobei diese Darstellung wenn gefährlich ist ich würde sie mir immer also es ist durchaus auch eine eine Überlegung wert dass sich so zu merken wo das komplizierte aussieht ja also das ist die einfache Formel und das hier ist die ungefährlichere Formel weil wenn sie sich dem Bombe da unten merken kommen sie glaube den Quotienten Kriterien durcheinander in Prozent Kriterium sie nicht genau den gleichen Ausdruck aber 1 durch wo hätten die dem steht ein Plus 1 durch einen und der steht am durch Einfluss 1 oder versucht sie diese beiden Formen zu merken dann habe ich meinen halt in der Eile weil die falsch Herr das ist der Vorteil an der Darstellung oben der Konvergenz Radius ist 1 durch der Grenzverlauf Prozent führte und dann ist auch parallel zum wollte Kriterium der Konvergenz Rades es einst durch der Grenze aus dem der ganze außen Wurzel Kriterium der Konvergenz Rades es einst durch der Grenzwert außen also wir sämtliche ja aber wie Sie sich das wenn es Ihnen persönlich leichter fällt sei
ihnen überlassen auf jeden Fall liefert auch das Quotienten Kriterium rein Ausdruck verliehen Konvergenz Radios und damit komme jetzt hier weiter also unserem Beispiel war die Reihe n gleich 0 bis unendlich 1 durch in Fakultät X auch n also das am ist hier 1 durch ihren Fakultät so und jetzt müssen nur noch einsetzen ab also ist das roh denn
MSN gegen unendlich vom Betrag am durch am plus 1 also der Limes n gegen unendlich von einst durch n Fakultät durch 1 durch plus 1 Verbund hält das ist der übliche Quotienten Kriterien Doppel brauche das ist ein Plus 1 Fakultät durch n Fakultät einfach multiplizieren mit dem Kehrwert und jetzt sieht man jetzt kommt wieder genau jetzt kommt wieder das große Platz Festival
das ist das gegen unendlich von 1 plus 1 nein das ist keine so besonders komplizierter Grenzwert das ist unendlich viel kriegen ihren Konvergenz Rates von endlich raus und das heißt diese Reihe die wir da oben haben die konvergiert für alle x aus er und dieser Fall das wäre eine für alle
x aus er konvergiert tritt tatsächlich aus wenn sich die Reihe noch mal anschauen würde man auch sagen na ja wenn man so ein blödes Ding für alle x aus er konvergieren kann dann ja wohl dieses was machen wenn diese vor Faktoren am für große N die werden nicht nur schnell klein die werden super wahnsinnig schnell klein weil Fakultät für super wahnsinnig schnell groß hat ich ihn nie am Anfang denn wie das 18. Fakultäten ihn geschrieben das war wie Sonne 20-stellige Zahl ja also wird einzigen Fakultät auf der absoluten Überholspur Klein gegen 0 und das X hoch N kommt dagegen einfach nicht an und dementsprechend konvergiert diese Reihe für alle x egal wie groß sie das X machen die Fakultät ist stärker denn so und jetzt habe ich ihn bisher einfach nur gezeigt dass das
komische Weise die für alle x aus er konvergieren und das schöne an dieser Reihe ist der Rhein wert aber ich gebe zu dass ich auch an der Stelle jetzt wieder kneife und in dem nur geben und ich zeige ich beweise dass er das ist warum er sonst noch länger gestimmt er nein also dieser Reihe n gleich 0 bis unendlich Einstig in Fakultät X auch hat Konvergenz Radius unendlich das so werden wir sind ja ja mal was anderes rum das habe ich schon die Spannung gemacht dass man die SPD also diese Reihe hatten Wert oder wird ist ziemlich bekannt wenngleich nur bis endlich 1 durch n Fakultät X auch n das ist er auch Ex es ist Exponentialfunktion für alle x aus er wenn Sie eine Mathematik Vorlesung anschauen dann ist das Definition Exponentialfunktion also definieren die anzeigt für alle x aus er ist das in Reihe und den werden wir Yoricks ist ich gehe über Definition einfach weil sozusagen klar hat also der Idee Vorstellung von der Potenz dazu ihre Vorstellung davon was er hoch PIIGS ist oder 2 oft Pi oder 2 hoch 5 gut hoffen dass noch Kleister x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 1 1 2 mehr 2 OP ist schon nicht mehr so klar mehr also das ist nicht zweimal zehnmal 2 pi mal da und das ist wenn man es denn wirklich definieren wir gar nicht so einfach er und die einfachste Methode ist das so zu definieren gut also das Exponentialfunktion und
Exponentialfunktionen extrem wichtige Funktion in allen möglichen Bereichen von mathematischen Anwendungen die wird ihn noch 4 x um die Ohren fliegen sie es uns ja zum Beispiel schon um die Ohren geflogen als für Polarkoordinaten C 1 geschaut haben und überhaupt nicht wussten was bis sich da das Ego wie viele Kundendaten schien auch einfach nur gesagt wird man das Malliori Vieh aber das ist eben immer die Exponentialfunktion denn allen möglichen Ecken auf auf zurzeit ich wollen und Teil angefangen was wir nicht gesehen haben es also diese Reihe in gleich 0 bis unendlich 1 durch n Fakultät X auch n hat Konvergenz Radius unendlich und was bedeutet das das bedeutet dass unser Leben das in dem in der Folge hatten diese
Ente wortlos eine Fakultät die muss ja irgendwie auch dagegen gehen also der Konvergenz ist unendlich das heißt der Grenzwert n gegen unendlich von dem Geschwindigkeitsmesser aus dem Wurzel Kriterium und das ist hier das Ende Wurzel einzig in Fakultät übervollen angeguckt haben der muss nur sein der muss 0 sein weil der Konvergenz Rades in unendlich ist so das ist was das ist der Grenzwert von auch schon n gegen unendlich 1 durch in der Wurzel n Fakultät und damit kriegen wir jetzt von hinten durch die Brust ins Auge den Grenzwert von diesem Ende was etwa gute draus bei der Berlin das von einst durch den 0 ist dann ist der Grenzwert von dem Ding selber unendlich zu hatten wir bedingt die wir die wir gerne nach unendlich er definiert wir Folge divergiert divergiert bestimmt nach unendlich wenn der Kehrwert gegen 0 geht also kriegen wir hier wenn das jetzt
rückwärts vom Konzern Kriterium zurück ins Wurzel Kriterium gespiegelt der Limes Ente Wurzel n Fakultät für gegen endlich der Sohn endlich also die Fakultät ist eine wächst einfach wirklich sauschnell und die wächst so schnell dass die Ende Worte sie nicht mehr klein gedrückt kriegt der das ist ein Grund warum das würzige Thema Fakultäten ist es das heutige Thema Fakultäten an anwenden dann kriegen Sie natürlich immer so Term Entwurf den Fakultät von dem weiß man zwar dass mir bedingt noch unendlich geht aber wenn Sie so und haben wenn sie dann Einbruch von haben haben und was von der vornehmlich durch nämlich rauskriegen wissen Sie wieder nicht was los ist dementsprechend das ist das Wort Sekretär für Fakultäten einfach Mist sah alles aber 2 Dinge 2 Wesen also eine ganz wesentliche Beziehung ich dir und noch ein Interesse hat wird ein noch ein interessanten Grenzwert rausgekriegt nämlich stehen hier unten gut bevor ich mich der funktioniert diese Exponentialfunktion nochmal mehr zu werden will nach ein anderes Beispiel und zwar Übungsaufgaben das zweite Beispiel dient im Wesentlichen dazu sie vor
einer Falle zu warnen die bei Potenzreihen ungemein Konvergenz reichen ausrechnet lauern auf die Falle müssen Sie ja nicht ja also müssen Sie nicht unbedingt reinfallen ist Issing zeige ich sehen also wieder eine Beispiel Potenzreihe in gleich 0 bis unendlich da habe ich wieder bei 0 anfangen x hoch 3 enden durch 2 hoch N war was ist das noch mal vor die 1. Summanden geschrieben das ist mehr 1 wenn sie in gleich nur setzen steht einst durch 1 plus ein halbes x hoch 3 bloß ein Viertel X auch 6 plus 1 8. x Woche 9 und so weiter können also es ist eine schöne Potenzreihe eine unendlich lange so von Mono mit Calls seltener vor aber der Potenzreihe Eleganz Menge Potenz ich persönlich schon kippen von Polynomen gibt doch das Polynom x so 5 plus 1 wo keine zur vierten auftaucht ja also sieht erstmal nicht schlimm aus worauf man aufpassen muss ist
was ist denn jetzt das zugehörige A N Mitte der Woche müssen ja jetzt unser Wurzel Quotienten Kriterien unsere Konvergenz Rades auszurechnen müssen wir das und zum Beispiel die Missernte wusste vom Betrag ein anschauen was ist das am das ein ist die müsste der Koeffizienten von unsere Potenzreihen was sind die Koeffizienten und jetzt ist der naheliegende Fehler zu sagen werde könne sehr kalter ablesen diesen Einzelheiten Viertel nein sind sie eben nicht weil zwischen der 1 in der Inhalt steht zum Beispiel noch der Koeffizient von X gerade des Kurses den von Xtra weisen den Fall nun ja deswegen steht da so mag nicht dar aber natürlich brauchen Sie den Koeffizienten also das in sieht so aus dass es 1 0 0 1 1 0 0 1 4 0 0 1 8 0 0 0 und so weiter da so sieht das ein aus und das ist deswegen wichtig weil wenn Sie jetzt in der Wurzel allen anschauen um zu gucken wogegen konvergiert dasselbe Wurzlen müssen sie anschauen Sie lieber ganz Radius da müssen sehr gut die Einfluss in die 1. Worte aber die innerhalb muss wie die zweite Wurzel sondern die muss in die 1. 2. 3. 4. Wort und dass ein Achtel muss in der 5. 6. 7. Wurzel bei seiner 7. Stelle steht und nicht an der er ist genau Vertreters der 1 2 7 0 die Wurzel er die Leute Wurzel 3. und 6. Wurzeln 9. kurz nach ok heute ist gar nicht weiter die der weshalb gar nicht weiter das muss was und die haben promoviert heute offensichtlich Gott also wir fahren wieder aufnehmen die Folge ist die sie müssen die Ernte Worts leiden gehen und dazu sind die 0 von entscheidender Bedeutung dass wenn sie auch gleich sehen wenn Sie also das was man zu
erst machen würde wenn man nicht genau
hinguckt machen kommen Sie auf ein falsches Ergebnis also was man zuerst machen würde ist wahrscheinlich man schaut sich an die Ente Wurzel von 1 durch 2 hoch N ja war als ich zwar auch eines das was da der Potenzreihe drinsteht und das ist genau falsch ich meine sich zwar auch in den großen Vorteil dass es schön einfach ist eine Wahl ende wozu draußen halten dann kann man die ganze gut ausrechnen dessen halt also es der Konvergenz Rades 2. 1 der nicht und die Gemeinheit ist diese 3 hier nur die 3 ist die Falle alle unsere bisherigen Rechnung waren so gestrickt das da steht ein X auch in nicht geht es eben nicht mehr Suchinda steht ein 3 1 und diese 3 mit der müssen irgendwie umgehen es kann man immer die ganze
Theorie noch mal machen für ANX auch irgendwas aber das wird mühsam die einfachste Methode mit sowas umzugehen ist sich das zurückzuführen auf das bekannte das macht man am besten mit der Substitution ersetzen X Y als x hoch 3 dann ist nämlich in NY die Reihe eine von der Form was ist schon kennen dann ist unsere Reise Summe n gleich 0 bis unendlich x hoch 3 durch 2 hoch N ich suche 3 können sich Schreiber 6 hoch 3 hoch n also kriegen Sie hier n gleich 0 bis unendlich y hoch N durch 2 hoch N und jetzt 10 bekannten Frau was das ist mir Potenzreihen wir sie die ganzen geschaut haben weil y noch n durch 2 hoch N die ist das jetzt wirklich 1 durch 2 hoch N nach also das A 1 1 sich 2 hoch N für n aus der 0 da jetzt gerne Konvergenz Radius von der
Reihe ausrechnen und dann müssen wir nur nachher dran denken das was substituiert haben also was ist Ende wollte vom Betrag am ende Worte vom Betrag 1 Ente Wurzel von 1 sich 2 Wochenenden das ist eines durch Ente Wurzel von 2 hoch N das ist in Halle und man sieht er nach unendlich jagen das wird da nicht mehr viel das geht gegen Al also Wasser Konvergenz Radius für diese Reihe Achtung Konvergenz Rahlves
ist einst durch dieser Grenzwert ja also ist der Ruf der Konvergenz Radius O für diese Reihe 2 ja aber wir müssen noch klären können und jetzt müssen berück- substituieren das sollte man an der Stelle jetzt nicht vergessen was heißt denn das dass dieser Konvergenz Radius 2 ist das heißt wir haben Konvergenz
wenn das selbst Elan zwischen minus 2 und 2 liegt und Divergenz außerhalb von dem abgeschlossen dabei minus 2 2 also wir Konvergenz für y im Intervall minus 2 2 y weil x noch 3 kann also wird man das x hoch 3 zwischen minus 2 einstweilige konvergiert die reiben das X hoch 3 außerhalb liegt konnte er divergiert sehen das heißt wo muss das X liegen für Konvergenz und Divergenz für Konvergenz muss es liegen zwischen minus 3. 1 zu 2 und dritte Wurzel 2 wenn wenn das X zwischen Industrie musste 2 3. Wurzel 2 liegt liegt das y das x hoch 3 zwischen minus 2 2 so und das heißt der Konvergenz Rades und ursprünglichen Raiding kann man
jetzt hier direkt ablesen weil das ist das maximale Konvergenz Intervall plus minus die Randpunkte also das Konvergenz der Konvergenz Radius von unserer ursprünglichen 3 x hoch 3 n durch 2 auch allen der ist also nicht 2 sondern dritte Wurzel 2 1 und diese 3 da oben die kommt genau von dieser Fall x hoch 3 gut es habe ich Ihnen
noch 2 Potenzreihen zum Üben mitgebracht und das sehen auch nicht irgendwelche sondern auch ganz berühmte also zeigen sehe dass die Reihe die Folgen der Reihe n gleich 0 bis unendlich minus 1 hoch n durch 2 n in Klammern Fakultät ich 2 Sie sehen es die gleiche Falle eingebaut X auch 2 in und 2 in Fakultät Achtung 2 in Klammern Fakultät ist was ganz anderes als zweimal in Fakultät also das ist die Klammern da sind wichtig dies ist die eine Reihe und die andere ist sehr verwandt die sieht folgendermaßen aus n gleich 0 bis unendlich minus 1 hoch n und überall wo hier in Links 2 n also eine gerade Zahl steht kommt jetzt nur ungerade Zahl reden also 2 1 plus 1 für gut hält X X auch 2 1 plus 1 die 1. Potenzreihe enthält nur gerade Polit also gerade Potenzen von X die zweite Potenzreihen hält nur ungerade Potenzen von X und die beiden behaupte ich haben auch Konvergenz Radius und ja so dass überlasse ich Ihnen was ich Ihnen noch sagen
ist warum das nicht irgendwelche Potenzreihen sind die haben Konvergenz Rades endlich das heißt auch dass in Funktionen auf ganz er definiert sind und auch diese beiden Funktionen kennen Sie die 1. die mit nur
Graden Potenzen ist nämlich der Kohlen aus also minus 1 zu 1 durch 2 n Fakultät Maliks auch 2 n gibt der man den Grenzwert von aus rechnet genau den Kosinus von X und zwar für alle x in er ja was dann die andere ist das erwarten Sie jetzt
wahrscheinlich schon das ist dann der Sinn aus also reine in gleich 0 bis unendlich minus 1 Woche durch 2 1 plus 1 Fakultät Malik sucht 2 hoch 2 1 plus 1 das ist der sehen aus von X für alle x in insofern sind es auch 2 sehr prominente rein und die liefern ihm eben auch eine Approximation von Kosovo so sehen das zumindest mehr Nähe von 0 durch Polynome gut damit aber man einige bekommt über Potenzreihen erreicht ich habe ihn auch schon so bisschen gezeigt sehr viele wurden sehr viele Funktion nur so das macht das 1 was ist hier gerade nein oh denn Sie Malcom Potenzreihe als Pantomime da das nächste das nächste pantomimisch Spiele mitnehmen und der 10 nicht darin dass die Technik hier es bringt es bringt mich an so jetzt jetzt jetzt bringt's nicht mehr gut das kann die Folge der Vorschlag hier vor soll das doch pantomimisch machen da habe ich überlegt das ist für sie alle die gute Anregung das nächste Mal 10 bei irgendwo pantomimisch Bienenstich Welt werfen Sie mal den Begriff Potenzreihen rein und dann schon so was rauskommt das noch ne Frage 2 1 plus 1 habe ich immer falschen was doch doch es muss über also die es lohnt sich eben sie diese rein also so langsam 1 bei in 2 3 Semestern können Sie die auswendig aber also wir das wird ausgesetzt wie die entstehen das ist im Wesentlichen sie haben die Ära in der Schweiz ja 3 x den Fakultät schmeißen die wechselnden Vorzeichen der zumindest einzurennen und für den Kosinus wenn sie nur die gerade so Summanden und für den Sinus Millionengrab das ist das was hier passiert so ich will nachdem wir jetzt gesehen
haben es gibt um ganze Stapel Potenzreihen die konvergieren manchmal und manchmal weniger manchmal mehr manchmal sogar auf ganz er und viele von den Funktion die wir so kennen lassen sich auf Potenzreihen darstellen das Konzept der Potenzreihe nochmal ein kleines bisschen aufbohren und verallgemeinern alles was ich bisher gemacht habe wir brauchen Text verallgemeinert wobei der nichts Neues passiert also es feigem allgemein hatte Konzept Potenzreihe und wenn man es ausführliche macht wird man sie auch gleich so ein aber dann wird's furchtbar viel
technischer dadurch jetzt glaube ich habe niemand Interesse
daran aber erzählen muss es ihnen Walmdach also 1. können Sie das habe ich natürlich auch hier schon ein Zimmer verwendet sie müssen nicht nur bei 0 starten wir bei jeder Reihe ob sie jetzt bei 0 anfangen zu so mehrere bei 7 das völlig wurscht darum geht es im Moment nicht also schreiben auch hier wieder 0 aber was sie noch machen können ist sie müssen nicht es muss nicht unbedingt nix auch allen seinen sondern es geht auch ein X minus 5 vor allen sie können das Ganze sozusagen auf der X-Achse auf der reellen Achse noch ein bisschen verschieben durch ein x 0 also mit einem festen x 0 aus er das muss natürlich in jeden Summanden das gleiche sein dieses X nur das an an den Entwicklungs period der Potenzreihe und bisher haben alles was wir bisher an geschaut haben war eben für den Fall X nur gleich 0 den Sieg nur gleich 0 Sätze sind der bisherige Fahrwasser was Potenzreihen angehen und dass ich jetzt zusätzlich zu zulasse ist dass sie da eben Brinson X minus 6 nur noch n ab sie können natürlich wenn die Sonne Potenzreihe haben sich hinsetzen alle diese X minus x 0 hoch Teile aus multiplizieren und das wieder neu sortieren dann kriegen Sie eine Potenzreihe mit X auch n aber der Aufwand ist nicht wert ja weil dann müssen sie ziemlich viel also so vielen Klammern aus multiplizieren und das Umsortieren wird die Ware also würde ich ihn nicht empfehlen aber kann man natürlich machen besser ist sich zu
überlegen wie das alles was wir bisher gemacht haben für solche Potenzreihen genauso gilt also alles obige bleibt gültig man muss sich jetzt mal überlegen was heißt jetzt das Konvergenz Intervall also was heißt der Konvergenz Radius was ist denn jetzt die Stelle war heute sehr gut was ist denn jetzt die Stelle an der diese Potenzreihe auf jeden Fall konvergiert das ist jetzt der Fall wenn nicht mehr wenn die vor x gleich 0 ist sondern wenn x gleich x 0 ist aber nix gleich x nur Stätten der Klammer 0 sie nur noch in den kriegen Sie nur den 1. Summanden und alle anderen Fall das heißt Sie haben auf jeden Fall Konvergenz x 0 und dieses ganze Konvergenz Intervall verschiebt sich eben auch in x 0 also wenn es einen Konvergenz Radius Ruhe haben dann bedeutet das hier jetzt das ihre Reihe Konvergenz
ist oder sogar absolut konvergent also absolute Konvergenz wenn das X nicht mehr also wovon x 0 weg ist also für x 4 x zwischen x 0 minus Phoronix 0 plus 2 und Sie kriegen Divergenz außerhalb dieses Intervall das also kriegen Divergenz falls das X nicht enthalten ist im abgeschlossen Intervall von x 0 minus 2 bis 6 0 plus und an der Stelle x 0
minus froh beziehungsweise X nur plus Ruhe sie natürlich wieder keiner kann wieder alles passieren das ist wie vorher auch also das Konvergenz Intervall es jetzt nicht mehr
um 0 zentriert sondern eben diese Stelle x Wochen die liegt gut das ist das was ich Ihnen über Potenzreihen im Moment erzählen will einfach für die grundsätzliche der hat man sieht war komme gleich wieder zur ich war gerade dabei den Schlusssatz anzusetzen allen die sich darüber genervt fühlen das ist jetzt doch eine Verzögerung beschweren werden sich beschweren sich bei dem wir immer wieder bei der Reinigung schmieren ja also da oben sind die sind ihre Freunde die sie hier festhalten ja wir eigentlich da ich wünsche er in anderen bisher brauchen wir dann auch halten
Faktorisierung
Länge
Punkt
Gewichtete Summe
Summand
Momentenproblem
Welle
Fakultät <Mathematik>
Kante
Rang <Mathematik>
Richtung
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Maximale Konvergenz
Substitution
Wurzel <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Parametersystem
Positive Zahl
Verschlingung
Exponent
Endlichkeit
Physikalischer Effekt
Reihe
Spieltheorie
Ähnlichkeitsgeometrie
Stetige Funktion
Zahl
Summe
Polynom
GERT
Menge
Absolute Konvergenz
Betrag <Mathematik>
Koeffizient
Bruch <Mathematik>
Mathematiker
Potenzreihe
ALI <Programm>
Mathematische Größe
Folge <Mathematik>
Große Vereinheitlichung
Zusammenhang <Mathematik>
Invertierbare Matrix
Gruppenoperation
Exponentialfunktion
Division
Variable
Quadrat
Ungleichung
Polarkoordinaten
Radius
E-Funktion
Quotient
Schnelle Multipolmethode
Unendlichkeit
Elementare Zahlentheorie
Geometrische Reihe
Flächeninhalt
Strukturgleichungsmodell
Geneigte Ebene
Ecke
Grenzwertberechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Konvergenzradius
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 18
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35642
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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