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Konvergenz und Divergenz

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Roman sind hier und und dann immer so sein Nachbar Brennmaterialien an der TU dastehe dann man einen herzliches
Willkommen zur Fortsetzung der Vorlesung über Konvergenz und jetzt der eine spezielle erstmal 0 folgen nur Folge war letztes Mal der zentrale Begriff noch mal zum wieder reinkommen unten steht noch mal die Definition Minuten nur 0 Folge ist eine Folge als eine liste vorwählen zahlen die in gewissem Sinne eine n gegen unendlich geht ging die Zahl Einträge diese gegen 0 und das wird so abgegriffen oder formuliert dass man sagt für jedes Epsilon größer 0 also für jede noch so kleine positive Zahl muss irgendwann JWD also ganz weit draußen in ihrer Folge der Betrag der Folge wieder kleiner ist diese Zahl y werde diese Stelle ab der ihre Folgen die der betragsmäßig denn es y sind hängt natürlich von dem S 1 ab die rigider gehen wer sie der Selbstlerner nur darum drehen und so weiter draußen müssen 7 allgemein dass 0 wählen aber nur Folge bedeutet eben nur für jedes Ärzte Edition 1 0 und ich hatte ihn dann am Ende gegen Ende der letzten Vorlesung noch so ein paar Rechenregeln er mitgegeben mit dem man aus bekannten 0 folgen neue nun Folgen machen kann mal so im Telegrammstil waren die wesentlichen das folgende wenn sie Folge haben und addieren oder subtrahieren davon der andere 0 Folge den kriegen Sie wieder nur Folge wenn Sie eine neue Folge mit der konstanten multiplizieren kommt dabei wieder 0 Folge raus und wenn Sie eine beschränkte folgen mit der neuen Folge multiplizieren dann gibt es auch eine neue Folge da habe ich letztes Mal nicht darauf hingewiesen dass man sich nach und dieser letzte Punkt beinhaltet insbesondere auch die Aussage dass der 0 Folge multipliziert mit dem 0 folgende 0 Folge ist bei der ja den letztes Mal erklärt 0 Folge ist insbesondere der beschränkte Folge also dieser letzte Punkt bedeute beinhaltet insbesondere 0 voll gemein und Volkes ist nun Folge hat ja nur weil eben jede 0 Folge automatisch beschränkt ist ja es ist sogar noch allgemeiner ich kann nur folgende derjenigen beschränken Folge multiplizieren dann machen und Frage er so und das war so die er drin der die eine Klasse von Regeln und dann hatten wir noch zuletzt die Regel wenn Sie 2 Folgen haben also wissen dass A 1 0 Folge ist und Sie wissen das die man das also und sie wissen dass der Betrag von der kleiner gleich der Betrag von ist fast überall dann impliziert das das auch die ne 0 Folge ist das war diese ein Krebs Satz aber das DIN zwischen 0 und entdeckt wurde und einen schon gegen 0 geht dann Seiten die er nichts anderes übrig als auch genutzt so das waren so die Erkenntnisse vom Schluss der letzten Vorlesungen Daten wir paar Beispiele mitgemacht und ein 3.
habe ich den nicht geschaffen will ich Ihnen noch zeigen
also das Beispiel 1 9 Ziele und zwar eine schauen uns da eine Folge 1 DIN diese minus 1 auch n seit 5 N durch im Krabat minus 3 und da sind wir zu langsam an wenn sie bei der Folge zeigen wollen dass es 0 folgen Sie gehen hier die Definition dann haben und gut zu rechnen aber das Gute ist und muss nicht über die Definition gehen sondern man kann sich ja folgendes überlegen und was ich verwenden will ist dieser letzte Punkt hier als ich will zeigen dass diese Folge des N betragsmäßig kleiner gleich vor am ist und am besten 0 Volk er und das braucht man eben nicht für alle in sondern nur fast überall das heißt für alle n größer als 1 0 und wie hier stellt sich raus und gutes er nun ist 3 also die folgende Rechnung die ich jetzt nach die gilt für alle in größer gleich 3 und das reicht ich muss ja nur zeigen Betrag DM kleine gleich Betrag in fast überall und für alle in größer gleich 3 ist ein klassischer Fall von fast überall nur die einzigen die es nicht tun sind in gleich 1 zu 2 zur das so so machen müssen Betrag von DIN kontrollierende Betrag von der kleinkriegen also minus 1 hoch n 5 N durch N von minus 3 und davon der Betrag so jetzt kann man erst mal den Betrag auf die Einzelteile zerteilen es betragen minus 1 Woche Betrag von 5 in durch Betrag vom Männer mehr stellt man fest der Betrag macht die ganze minus 1 den ganzen minus 1 Grad schon mal weg oben bleibt 5 entstehen 5 es positiv auch kein Betrag mehr Noten steht der Betrag von den Vorgaben des 3 die betragen nervt mich natürlich ist man auch beim Rechnen aber man sich mal überlegt und sehr ist größer gleich 3 ist im Quadrat ist also größer als 9 oder mindestens 9 dann stellt man fest diesen Betrag gibt es auch nicht wirklich ja also hier können Sie jetzt das Prinzip schon für in gleich 2 geht das gut da unten den Betrag weglassen weil im Quadrat minus 3 für alle in größer gleich 2 positiv ist eine Sache im jetzt behaupte ich kann ich ihn auch gleich begründen das ist kleiner gleich 5 in durch im Quadrat das sieht jetzt erst mal
aus wie schwarze Magie aber was ist die Idee davon vielleicht kann ich erst sagen wenn man auf die Idee kommt und dann rechne man sein dar was uns interessiert sind sind große in der in dem Fall in größer gleich 3 dieses Minus 3 ist allen von der philosophisch gesprochen für große eben gerade egal ob sie von dem im Quadrat noch 3 abziehen ich das im Quadrat wenn und so groß ist die minus 3 nicht mehr wirklich spürt insbesondere ist im allgemeinen wenn das groß genug ist die Hälfte von einem Quadrat auf jeden Fall größer kleiner als im verraten minus 3 und dementsprechend haben Sie diese Ungleichung das gemäß so rigoros machen also warum gilt diese Ungleichungen hier ja also im Quadrat minus 3 man geht man gilt dass das Quadrat minus 3 größer gleich 1 größer als im Quadrat ist wir müssen nachweisen sind waren es 3 größer als ein Quadrat halbe ist nein wir wollen in diesem Bruch wir wollen den Wurf größer machen dem Großmacht man größer wie man in einer kleineren machte also den einer kleiner machen also meines im Quadrat minus 3 größer gleich im Quadrat das ist genau dann der Fall bringen Sie die im Quadrat halbe nach links denn in Quadrat mindestend Fahrrad halbe also entfernt Fahrradteile minus 3 größer gleich 0 ist beziehungsweise dann wenn im Quadrat halbe größer gleich 3 ist das heißt dann wenn im Quadrat größer gleich 6 ja gut wir haben es in Brüssel gleich 3 in größer gleich 3 ist im Quadrat größer gleich 6 man alle Mal erfüllt also das ist okay und weil das Geld haben auch die ich da oben so jetzt nur mal gucken was haben wir da 5 N in Konrad halbe dass sie unübersichtlich aus aber so als könnte damit etwas anfangen weil da kann man schön rum kürzen wurde beziehen sind hier Bruch dann steht da zählen durch im Quadrat und 10 durch Quadrat ist 10 durch n und das ist eine uns allen bekannten 0 Folge siehe letzte Vorlesung
also wäre nach Beispiel er wird es nur eines wollen aber ist die Folge 10 durch n aus in 0 Folge das war ein Beispiel dafür werden schon festgestellt 1 durch 1 0 Folge und alle unserer Rechenregeln war wenn sie nur Folge haben können Sie mit jeder Konstanten multiplizieren Sie kriegen 0 Folge also ist ziemlich eng in das Ende 0 Folge also das Ding ist mit 0 Folge und was wir jetzt gezeigt haben ist dass wir genau der Situation dieses letzten Punkt sind wir noch oben steht unser unsere Folge des N der dominiert durch eine neue Folge und ist damit selber auch 0 voll also ist mit diese
Aussage da oben diesen Sternchen da auch die mir vor so war der sehen Sie diese Aussagen sind diese Rechenregeln um für die neue Folgen sind sehr sehr wertvoll weil man eben komplizierte folgen da drauf einfache zurückspielen kann im Endeffekt muss man nur wissen dass einzig eine neue Folge ist und kriegt dann auch so etwas grösseres Ungetüm damit in den Griff gutes aber ganz 0 folgende geredet dann wenn Sie sich an meiner Einführung über die rein erinnern da wollten wir ja aber nicht nur Zahlenfolgen haben die gegen 0 konvergieren sollen auch zum Beispiel welche die gegen 2 konvergieren oder gegen 7 also ich erinnere nochmal an das Bildchen nur
1 plus Halle Drusen-Viertel flossen 8. 16. 2 in Reisebussen 64. und so weiter das kommentiert offensichtlich gegen 2 das können wir noch nicht wir können bisher nur 0 Folge aber das schöne ist immer mal 0 voll dann ist nicht mehr schwer zu formulieren was es bedeutete Folge konvergiert gegen 382 comma decimal 7 und das
ist jetzt der nächste die nächste der nächste Begriff den Begriff des Grenzwerts mehr also
1 10 jetzt beliebiger Grenzwerte nicht mehr nur bedingt 0 das entspricht der Nummer 6 8 also als haben Sie eine Folge am und die nennt man wenn Sie so ein Grenzwert hat also wenn sich nun endlich irgendeine Zahl annähert dann nennt man die Konvergenz da Begriff habe ich glaube ich auch jetzt zwar schon paar mal verwendet und die Zahl der sich an der dass der Grenzwert den bezeichne ich gehe mit es gibt noch und wieder für nur in zu Grenzwert das Wort Limes schlichtweg Latein das Gleiche er denn ich mal an gut wir spielen wir jetzt eine Folge geht gegen den Grenzwert Art zurück auf der Folge diesen 0 Folge wir schauen uns die Folge an einem Minus 8 also nehme ihre lange Listen von Zahlen von der sie zeigen sollen die konvergiert den artigen 25 wenn Sie Reste und sind von jedem Listeneintrag 25 ab das was dabei rauskommt musste 0 Folge sein als man schaut sich den Abstand die Differenz den Fehler den die Folge zu ihrem möglichen Grenzwert macht an und wenn diese wenn dieser Fehler dieser Abstand 0 Folge ist dann sagt man das den konvergiert gegen das ist mir relativ natürliche Zurückspielen auf den schon vorhanden den Begriff der 0 vor also wenn sie ihre Folge eindämmen und denn die Zahl abziehen
und das was dabei rauskommt ist der 0 Folge dann nennt man das Ding konvergent und den Grenzwert und die Schreibweise dafür ist die folgende in dem Fall benutzt man das Leben verlieren das liegen n n gegen unendlich bis gleich 8 das müssen wurde die Schreibweise dies bedeutet genau das was du richtig gedeutet er salopp gesprochen die Folge A N nähert sich also ist eine perfekte näher und der Zahl je weiter ich raus die umso besser welche ich nicht der Zahl an und dann im Grenzwert im n gegen unendlich erreiche ich sozusagen diese Zahl aber die genauen meine Definition ist das was oben drüber steht ein dem es ein gleich bedeutet ein Minus die Folge 0 Folge das heißt wieder für jedes y die jede noch so kleine Abweichung y gibts ne 0 ab dem der Abstand von der zu kleine ist als selbst für alle in die größer sind als dieses in und so dass es der Konvergenz Begriff kriegen noch alle folgenden nicht
Konvergenz in Namen wir folgen Sie nicht kann erklärt wenn man die divergierend und um gleich welchen Missverständnissen vorzubeugen das ist der Normalfall also konvergente Folgen sind was kostbares seltenes der Normalfall ist dass das nicht klappt und dass die Folge die weg ist gut war Hörbeispielen aber damit haben
wir jetzt diese ganze Frage wie können wir sauber verlassen das in der Folge sich immer genau eine Zahl an der definiert über diesen Konvergenz Begriff 1. Schritt für 0 gemacht 2. Schritt werden die Folge Minister Grenzwerten 0 Folge ist dann konvergiert die Folge gegen diesen Trend gut fangen wir mit einfachen Beispielen an nehmen Sie sich eine konstante Folge ich hatte ihn letztes Mal am Schluss noch die Frage da gelassen was es mit der Folge konstant 0 ist das der Konvergenz oder nicht also was ist mit der konstanten Folge jetzt nicht mehr nur sondern konstant sehe und die Antwort ist das ist das beste konvergierende was es geht es ja wunderbar comma Legende Folge prüfen Sie es nach für jedes er größer 0 müssen Index N 0 finden habe denn der Abstand von 10 zu 10 klar dass der Grenzwert ist sie das denn es konvergent gegen sie also was müssen wir tun wir müssen für jedes y gegen 0 0 finden so dass für alle in die größte sind der Abstand von 10 zu 10 nämlich 0 klar dass er selbst über also für welche N ist 0 kleiner selbst über eine für alle also dem Fall können sie immerhin 0 gleich 1 wählen haben Sie sogar den schönen Fall dass es Epsilon egal wie klein sie es machen dass er nun muss ich mal groß werden aber sie können für jedes y 1 0 nämlich als wunderbar also so Konvergenz wie sonst nix ist die konsequenteste Folgen aller konvergent folgen also die konstante Folge konvergiert gegen C denn die Folge wenn man sitzt hier nach zufolge 10 minus sehen das ist die 0 Folge und die Ihnen in Frage also das ist die Folge konstant 0 und diesen und fragt gut 1. Beispiel aber es ist nur gut sich zu
merken wenn man irgendwie Beispielfälle konvergent Folge braucht einfachstes mögliches Beispiel von der der Konvergenz Folge einer was Konstanz schöneres was konstantes gibt es nicht wo dann ergibt sich aus der Definition von Konvergenz gegen den Grenzwert auch eine relativ einfache Schlussfolgerung wenn sie schon den 0 Folge haben können Sie das problemlos eine Folge bauen die gegen irgendwie in der bezahle konvergiert was haben wir das es mal 72 also nehme sie 72 Plus beendet das ist eine natürliche Folge des gegen 72 konvergiert warum Nein das ist die Definition von Konvergenz gegen 72 wir Definition von Konvergenz gegen 72 ist wenn ich von der Freude 72 sie Koppenrhol Folge raus ziehen sie von der Folge mal 72 ab was passiert dann mehr
also nehmen sie ein und sind 72 ab das ist dann 72 plus BNR 72 sehr gut 72 plus PIN minus 72 und das ist wären und das ist ein nur gut das ist die Definition direkt mit sich selbst ausgetrickst aber Sie können damit auch andere folgen behandeln zum Beispiel was ist denn mit der Folge N plus 1 durch n erst überlegen was ist das für eine Folge das ist die Folge 2 3 halbe 4 3. fünfviertel 6 5. 7 6. 8 7. 9 8. wenn man sich so vorstellt 101 Hundertsel 100 200 Einzel 1001 Tausendstel dann sind wir schon klar die die den eigens für das wird immer näher an 1 also weisen es war wie machen wir das nach der Anleitung von oben ziehen Sie den vermuteten Grenzwert ab also schauen Sie sich an die Folge 1 minus 1 das ist ein Minus 1 das ist n plus 1 durch N minus 1 das ist N durch N plus 1 durch N minus 1 und das ist 1 durch na ja und wenn es dann nur Folge gibt dann also außer der mehr die 0 freudigsten 0 Folge sind wie auch hier die konstante 0 folgen aber das ist so ziemlich die nächste also das ist nur Folge und damit konvergiert 1 gegen 1
alternativ Begründung so begründest mit dem Teil B C können das am Schreiben als 1 plus 1 durch n und einzig 0 Folge als ernst beschrieben als eine konstante Zahl plus 0 folgen dann kommt in die konstante Zahl aus ja auch wir Bauer da ja da haben Sie den wunden Punkt dieser Methode gefreut getroffen das würde der ja ja haben Sie den wunden Punkt Methode voll getroffen das ist so ja also diese ganze Definition lebt davon dass sie nicht Idee ein Orakel ein irgendeinen Einfluss da haben der ihnen sagt was der Grenzwert sein könnte und das ist aber in Wahrheit auch ein großes Problem also wenn sie ein würdevoll und sollen rauskriegen gegen was die konvergiert ich werde noch einige Tricks und Kniffe zeigen aber es gibt nicht den Algorithmus es gibt nicht das Verfahren Rechnung fertig sondern das ist ohne Gefühls Erfahrungs- sagte das ist ein kreativer Prozess sonne Folge niederzuringen und ihr nachzuweisen dass sie den Grenzwert hat und wieder aus dem ja das ist dabei das ist so eine Stelle wo der naive Glaube Mathematik ist eine Sammlung von Formeln vor die Hunde geht ist nicht es gibt Kriterien damit wir dies sind wesentliche nicht behelligen die Kriterien die Sie erlauben nachzuweisen Gefolges Konvergenz ohne zu wissen was der Grenzwert ist also 1 noch präsentieren meistens klicken Sie mit dem 14 dann aber nicht auch nicht raus was der Grenzwert ist das sagt Ihnen und nur ja konvergiert ja das ist dann sind dann andere Methoden die sagen dann das den konvergiert das ist immer schön aber dafür kann wichtiges nicht was der Grenze ist die 2. hier wenn Sie schon eine Idee haben dann können Sie so ein bisschen kriegen Sie auf die Weise raus was der Grenzwert also das dass es stimmt der Heilige Gral der Maschine wo man um die Folge reinstecken und kommt der Grenzwert aus der fehlt noch ja gut aber sozusagen gutes Gefühl gehabt das ist die Engstelle hier das ganze funktioniert nur wenn Sie eine Idee haben bei sowas geht es noch mehr das ist eine der wenigen eine
der wenigen Stellen wo ich immer zugeben muss dass da ein Taschenrechner einen gewissen mehr der Klausur hat weil natürlich wenn man die Sonne würde Folge hat und rauskriegen will was kann der Grenzwert sein dann ist es naheliegend ersetzt X 5 Tausend 1 Gruppe rauskommen und wenn da steht 1 comma decimal 0 0 0 0 0 0 3 1 den wahrscheinlich aber auch das kann böse trügen bei Konvergenz heißt ja nur die Folge konvergiert irgendwann mal da dagegen das sagt nicht wie schnell und waren und das kann durchaus passieren das auch doch die 1. 10 Tausend vorliegen soll die 1. 10 Millionen vor die die völlig woran es liegen dass der Grenzwert um das den sich erst danach entscheidet ob vorgeht comma rechts abbiegen es auch ganz nett also auch das in gefährliche mit hole ich zeigen lieber ein paar andere etwas exakte also ein Beispiel dafür ist zum Beispiel die letztes Mal geschworen harmonische ja ich habe ihm gezeigt also 1 plus 3. Tausend wir müssen 5 Tausend 6. wenn sie das alles aufaddieren konnte man fällt irgendwann der das beliebig groß das kann mehr geht nicht und wenn Sie sich jetzt aber hinsetzen und mal man seinen Taschenrechner die 1. oder mit dem Computer die 1. paar Tausend Dinge aufaddieren dann wird es ziemlich bald langweilig und dann beschließt man dass wird nicht mehr als 10 das kann ja nie mehr als 10 werden weil ich glaube wie gesagt dass sie bis 10 sind müssen sie schon so und so viel Tausend zusammenzählen dann aber das Gefühl dass das muss konvergieren der Pustekuchen ja also da muss man sehr vorsichtig sein mit endliche endlich Berechnungen können nie na Aussage Konvergenz liefern mehr weniger plausibel Vermutung aber nie mehr endgültige Aussage weil eben der Konvergenz kommt nur drauf an was ganz weit draußen oder ganz weit unten in der Folge passiert gut das habe ich in 3 konvergente Folgen gezeigt seit noch eine die und es gibt offensichtlicheren wenig auch weniger offensichtliche divergierende folgen also nie relativ offensichtliche vor divergierende Folge ist 1 plus 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 mehr das sieht man schon und da gibt es keine Verluste Grenzwerte wo soll hinlaufen wird immer größer in ich Zeit in mir bis sie nicht ganz offensichtlich die Welt in der Folge und das ist die wechselnde Vorzeichen Folge 1 leicht minus 1 hoch n also die Folge ist minus 1 1 minus 1 1 minus 1 1 minus 1 1 und so weiter und das ist nicht die Welt in der Folge also nicht Konvergenz er und die Frage ist nur wie begründet man das jetzt 1. gemeinsamen darin draufgucken begründen sagen was soll denn bitte auch der Grenzwert sei die kann sich aber nicht entscheiden gehört für für für für für für für alle Ewigkeiten das kann nichts werden aber das Problem ist ja wie gesagt in dem Zusammenhang ist nicht gut intuitiv zu argumentieren sondern wir müssen auf die Definition keine Wahl wir müssen diese Definition arbeiten oder mit irgendeinem daraus abgeleiteten Satz aber wie gesagt intuitive intuitive Argumentationen in Sachen Unendlichkeit
ist mit Vorsicht zu genießen also warum ist es denn Divergenz er und jetzt kommt so ein klassischer Mathematiker Trick wir wollen zeigen wenn sie zeigen wollen irgendwas ist nicht werden was also irgendwas ist nicht schloss sich irgendwas ist nicht grün irgendwas ist nicht die Welt nicht Konvergenz dann ist es häufig sehr nicht mal so zu tun als wärst das also wenn mal an klassischer Beweis durch Widerspruch wenn jemand anderes den werden wir gehen der Konvergenz in dem das denn wer konvergent und zeigen dass das völlig absurd ist dann kann es das nicht sein also wenn dem an das Ding der Konvergenz also wir nehmen an dass der den Limes in gegen unendlich minus 1 auch allen und wir wissen natürlich nicht was es aber den wenn halt mal ach in dem an die geht es in der heißt gut nach die jetzt nach Definition das ist wie gesagt das was wir haben was heißt das
dieses Folge gegen konvergiert das bedeutet dass die Folge minus 1 hoch N minus dieses das das wir 0 Folgendes ja das ist Definition von Konvergenz so was bedeutet nun wieder das ist nun folgendes das bedeutet wie jedes Namen Klasse mal dass jedes in der Tasche für jedes heißt auch insbesondere für 1 also Zug nicht in also wenn Sie mal Y gleich 1 das reicht schon ich sie dann gleich 1 gibt es dann einen N 0 aus allen so dass der Abstand von den minus 1 hoch n zu kleiner ist als Y also kleiner als 1 für alle größer gleich warum ist dass ich meine das kann man jetzt so alles rein mich hat mich aus dem Defition folgern wir das schon richtig aber warum was ist die Idee dahinter warum für das zum Ziel ich will dieser komischen Folge 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nachweisen dass sie zu viel wird zum zu konvergieren nein er und das mach ich so ich nehme an das Geld was muss in konvergiert und da kommentieren heißt eben irgendwann ist der Abstand kleinen bei mir ist der Abstand zu den es wird immer kleiner als 1 aber der geht ist die Folge hüpft ja immer um 2 nahmen sie dauern 2 hilft dann fällt es schwer einen Abstand von 1 langfristig einzuhalten und das Kinder wir jetzt auf den Punkt ja also für alle n größer gleich in 0 haben wir jetzt diese Ungleichungen dass der Abstand von minus 1 auch n zu unseren fiktiven kleines als 1 so und jetzt schauen Sie sich doch mal vom Netz nehmen Sie sich doch mal so enden du größter gleich 1 0 hier und schauen Sie
sich mal 2 aufeinanderfolgende folgen wieder an also nehmen sie minus 1 auch n minus das nächste minus 1 auch n plus 1 ziehen Sie mal 2 so Folge Folge davon einer abgezinsten sich 2 Fälle in die dass das gerade oder ungerade entweder steht da minus 1 minus plus 1 oder es steht der Abschluss eines 1 minus 1 kommen also es steht der entweder minus 2 oder 2 mit Betrag darum steht da 2 oder 2 also das ist einfach immer 2 ja egal was das Ende ist ob das jetzt gerade oder ungerade ist völlig wurscht ist einfach mal 2 Wahlen einen Fall ist der Betrag von 2 den Fall Betrag von minus 2 es ist jetzt ausgeschlachtet das unseres vorgeben Leben führt und 2 hüpft so was wissen wir denn andererseits der wissen dass über den Abstand von unserem minus 1 hoch n zu nämlich des kleiner setzen auf darf dann von einzurennen plus 1 ist auch klar dass Apps also wissen was über Differenz von minus 1 noch n zu unser großes Problem ist in diesen Tagen da steht keine drin Wahl und so schön Wissen über warte männliche werden weil das keine Art aber und da gilt die alte Weisheit haste keines macht die 1 also man kann da wir bei uns brauchen dann muss man halt mit Gewalt Gewalten machen ich hoffe Sie akzeptieren dass ich ein richtiges gleich geschrieben habe er das älteste trägt der Mathematik meiner dir mal 0 0 addieren ist schmerzfrei möglich war man in der nichts minus Abschluss als wohl also ist das was da steht immer noch gleich der Vorteil ist jetzt stehen Divergenzen von minus Einzug in zu da über die wissen wir was Stimme erst mal in diesen großen Betrag Dreiecksungleichung anwenden das ist kleiner als der Abstand von minus 1 auch in zu aber plus der Abstand von Art zu minus 1 zu 1 plus 1 wenn Sie jetzt ganz penibel sind immer noch mal schnell um das ist das 1. schreibe ich ab minus 1 noch im Minus war plus in den zweiten so klammere ich minus 1 aus aber im Zuge der Betrag sofort wieder weg das ist das gleiche wie der Betrag von minus 1 oder 1 plus 1 minus also was nicht gemacht habe zeitliche irgendwo und plus starten gleich geschrieben Zoos Gemeinde zur also erst so man einfach abgeschrieben im 2. meinten habe ich die ob Fraktions- Reihenfolge vertauscht das kostet mich natürlich normalerweise minus aber welchen Betrag den ist das minus egal und verschwinden gleich wieder so was habe ich jetzt hier
stehen habe ich den minus einzuwenden dass er von dem weiß ich aber es ist kleiner als ein y also kleiner als 1 was die hier minus 1 hoch irgendwas Minus an dass irgendwas ist größer gleich 0 also ist das Ding auch kleiner als 1 also dass das kleine 1 und dass das kleine 1 also ist das kleiner als 1 plus 1 ist 2 und wenn jetzt noch mal die ganze ungleiches Kette anguckt dann kommt das raus was ihnen nicht so wirklich glaubwürdig also die 2 die kleiner ist als sie selbst die muss noch erfunden werden das heißt dass für zum Widerspruch und damit kann die Folgen nicht Konvergenz werde angenommen unsere Volkes
konvergent mit im Grenzwert an und dann hat sich rausgestellt egal was sie für das führt zu nun Widerspruch also dass das sind die Berge in der Folge ja gute Sammer also Beispiele von komme Gärten und die Welt deren Folgen gesehen und es bleibt weiterhin die Frage die natürlich in
Frage sie kriegen Stapel von 15 Folgen auf dem Tisch sortieren Sie mal wer diesen konvergent und welches sind die divergiert und schön im schwersten Fall noch werde Konvergenz hätten noch der noch gewusst so was der Grenze und dass ich ihn jetzt in der Folge zeigen wir sind Tricks mit wurden Rechenregeln des genau für diese Fragestellung das und das 1. das ist sozusagen 1. sehr grobes Sieb ein 1. Totschlagargument um Freuden auszusortieren die garantiert nicht Konvergenz sind also die garantiert Divergenz sind heißt hier Satz 1 12 und das zusagt einfach nur ganz kurz und knapp jede konvergent Volkes beschränkt also wenn sie eine konsequente Folge haben können Sie sicher davon ausgehen dass die beschränkt ist unwichtig ist der Umkehrschluss dieser aus oder der Delegation dieser Aussage wenn Sie eine unbeschränkte Folge haben dann kann die man sofort auf den die Welt Start weil wenn sie kommen denn wir müsste beschränkt sein sie sich beschränkt also Sie die denkt dann das ist das 1. grobes sie wenn sie sozusagen ihre Thronfolgekrieg und sagen soll dass die Konvergenz oder die wir gern dann lohnt sich ein 1. Blick ob das denn vielleicht unbeschränktes und beschränkt ist ein Flop auf den die Wellen schlagen er an der Stelle gleich ein großes Achtung weil der Satz wird häufig gern falsch missverstanden die Umkehrung ist falsch also kommen Sie mir bitte bloß nicht mit die Folge ist beschränkt also ist die Konvergenz ist große Blech frug und warum das schauen Sie zum Beispiel mal gerade auf das was oben auf den oben gerade noch zu sehen ist also das Beispiel 1 FC die ich diese Folge minus 1 auch N minus 1 1 minus 1 1 minus 1 1 minus 1 1 und so weiter dies wunderbar beschränkte keines der Folge geht es größer als 5 aber mit Konvergenz hat es nicht so ja also jede konvergent ist beschränkt aber wenn Sie rauskriegen dass ihre Folge beschränkt ist dann wissen Sie noch nichts über Konvergenz oder Divergenz das Kriterium jeden Satz ist nur toll um unbeschränkte Folgen von vornherein mal als divergent rauszuschmeißen so kann ich ihn gar noch kurz begründen warum jede konvergent Folge
beschränkt ist ich hatte das entsprechende für 0 folgen letztes Mal schon begründet das müssen wir jetzt nur hochziehen also Sie nehmen sich im Gefolge Herr der konvergent das volle mit wird an ja dann bedeutet das nach Definition das die Folge am Minus aber der 0 Folge ist sollten was genau definiert am konvergiert gegen genau dann wenn das 1 0 Folge ist das heißt diese Folge dies beschränkt das war letzten Vorlesung das war die Nummer 1 8 1 noch mal kurz in den Worten das war da die Begründungen sie 0 Folge haben bedeutet das dass für jede selbst enorm die volle ab einem gewissen N 0 kleiner sind betragsmäßig kleine sind dass dieses Epsilon nehmen selbst gleich irgendwas völlig am 17. zu y gleichen 10. gibt es dann in 0 Stelle ihre Liste der ab der eine betragsmäßig kleiner als 10 sind das heißt die da unten sind schon mal kleiner als 10. die sind auf jeden Fall beschränkt bleiben die 1. N 0 Stück übrig das er 0 kann schön groß sein es aber völlig egal es unendlich viele und von diesen N 0 endlich viele Stücke am Anfang hat es irgendein sein größtes wenn sehr endlich viele haben die Zeit dann größtes und damit sind alle beschränkt durch diesen Wert des größten weil die am Ende haben sie alle mit 10 im da das oder die Begründung für den 0 Folge jetzt wissen Sie bei minus 1 beschränkt ab das heißt
es gibt jetzt wir Konstante CNR zur dass diese folge von A ein Minus aber alle kleiner gleicht sie sind so das aber gar nicht das was wir wollten sondern wollten dass das beschränkt ist und da hilft jetzt wieder der Trick mit der 3 zum Gleichung kann es nicht oft genug sagen die 3 zum
Gleichung ist eine der wesentlichsten Dinge der Mathematik so banal sich also aussieht so was wir eigentlich haben wollen ist eben nicht der Betrag von einem Minus aber Sonne wollen haben wir wollen wissen der Betrag von 1 der bleibt beschränkt gleiches Problem
wie vorher wir wollen was im Betrag von der in diesen wir wissen aber nur was wird ein Betrag von 1 A keine aber wohl eines haben fast keines macht die 1 an diese 7 0 also das ist das selbe wie ein Minus Abschluss an über ein das wissen wir was schreiben was mit Dreiecksungleichung ab das ist ein Minus Betrag plus Betrag alles wieder die Dreiecksungleichung Summe von 2 betrifft ein Betrag von Summe ist klar dass die Summe der Beträge das 1. kleiner als sie der da hinten ist ein eine feste Zahlbetrag und was wir jetzt raus haben es alle vor wieder einen Cent durch diese Zahl hier beschränkt und damit haben wir das jede konvergent der Folge automatisch beschränkt die so das ist wie gesagt ein 1. wenn Sie so wollen
Divergenz Kriterium wenn Sinne unbeschränkte Folge haben können Sie die von vornherein mal als divergent aus zurzeit nur bei 0 folgen als nächstes hat sich ihnen gezeigten wesentlich ist Höchstwerte und auch nicht nicht nur ganz einfach banale folgen so noch kompliziertere anzuschauen sind diese Sätze der Form die Summe von 0 folgen Sie der neue Folgen Produkte fahren beschränken folgende Folgen sind nur folgen und so weiter und Stabel Seitz diese sozusagen diesen Satz von Rechenregeln der kommt jetzt als nächstes und das sind die so genannten Grenzwert setze und auch
die also die Absätze kommen jetzt eben die hatten
wir vorher den Spezialfall von 0 folgen jetzt kommen sie allgemein also das was hier steht der wird jetzt insbesondere große Teile von dem umfassen das vorher schon da standest Verallgemeinerung von dem Satz bei 0 und das ist ein ganz ganz wichtiger Satz im Prinzip beruht jede Methode werden die Grenzwerte auszurechnen am Ende meistens auf einen von diesen reden von diesem fixiert die so also die Frage ist wieder wenn sie kommt wegen der Folgen haben und sie kennen die Grenzwerte was ist damit so mit Produkten mit Quotienten mit Differenzen mit Beträgen und allem was es sonst noch gibt also Sie haben 2 konvergente Folgen und den an und die eben die setzen wir beide als konvergent voraus ich nehme mal an den Grenzwert von der Folge am das ist kein besonders kreativer nahm aber ich denke man kann sich so besser werden und B ist der Grenzwert der Folge mehr und schlussendlich nämlich noch 1 x 2 reelle Zahlen nochmal alpha und bitter so und dann gelten die folgenden
Rechenregeln wenn man so will okay 1. nehmen Betrag dazu wenn die Folge am konvergiert dann konvergiert auch die Folge Betrag am und der Grenzwert ist das was man erwarten würde mit wem es n gegen unendlich Betrag am gleich im Betrag von wem es n gegen unendlich also Betrag an als besonders komme den Vorgaben in die Beträge von jedem Folge die dann kommentiert das gegen den Betrag des Grenzwerts schöne rächen will dann an der Stelle eine Warnung Weise anders ist als bei 0 folgen umgekehrt ist
das Quatsch also wenn sie wissen die Beträge
konvergieren gegen irgendwas da muss die Folgen noch lange nicht konvergieren wenn Sie das Lieblingsbeispiel von gerade eben nämlich die Folgen minus 1 1 minus 1 1 minus 1 1 minus 1 1 Jahr die wechselnde Vorzeichen Folge so Beträge von jedem folgen die wenn die Folge 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 diese wunderbar konvergent Herr Kollege der geht gar nicht gegen 1 trotzdem ist die Folge der wechselnden 1 1 1 1 1 7 nicht kommen gut aber so umgeht wenn sie eine konvergierende Vorgaben so sind träge darum hauen konvergiert immer noch und zwar den Betrag von Grenzwert so 2. billige er sieht 2 komme Gente Folgen haben und sie bilden am Fluss PIN gibt es wieder eine konvergent Erfolges geht sogar viel allgemeiner sie können die 1. Folge am noch mit dem Zahl Alfa multiplizieren und Sie können die zweite Folge der PIN noch mit einer Zeit Berta multiplizieren und was rauskommt ist immer noch eine konsequente Folge also können sozusagen dreimal die 1. plus 5 Mal die zweite oder auch nur mal die 1. plus 7 Mal die zweite oder die 1. minus die zweite nur als Vergleich 1 bitte gleich minus 1 egal können Sie alles machen und was rauskommt es im eine konsequente Folge und auch hier kann man den Grenzwert ausrechnen man die Einzel Grenzwerte kennt also den Limes n gegen unendlich von dieser Folge Alfa A 1 plus Blätter B N dass es einfach mal der Grenzwert von der Folge an plus Berta mal der Grenzwert von der Folge PIN also Alfa A plus Peter B wir sehen sie wieder das wesentlich an diesen Sätzen ist man kann sich komplizierte große Riesen folgen kleinhacken kleinere Einheiten ja also wenn Sie mir Folge haben die aus 2 Summanden besteht und Sie können von jedem Einzel Summanden zeigen dass der konvergiert dann kriegen Sie den Grenzwert von der großen Freude eben als Summe der einzelnen Grenzwert das gemalte Literatin machen also wenn ihre Volk aus 27. meinten besteht dann gucken sich alle 27 so man einzeln ein und die gesamte der Gesamt Grenzwert ist so somit 27 einzig Grenzwert nur das ist praktisch und die Grundlage von ganz viele brauche komplizierten folgen man den
Griff kriegt wenn man das für die Summe kann wenn das natürlich das Produkt auch und das Produkt geht das auch problemlos also wenn A N und DN konvergierende Folgen sehen dann ist auch die Folge einmal des Konvergenz und auch mit den Grenzwert die man erwarten würde also der Grenzwert im gegen unendlich der Folge einmal den ist der Grenzwert in endlich von der Folge am mit mal der Grenzwert in die nun endlich von der Folge B also bei der Not Nomenklatur von oben am weiblich wunderbar das können Sie also den der komplizierte Folge
haben die nicht nur in so manchen unterteilen ebenso man einzeln untersuchen zum sie können noch Einzelfaktoren untersuchen und wenn sie für jeden so man jeden Faktor 1 7 begrenzt daraus haben rechnen Sie die einfach so zusammen und kriegen den Grenzwert von der ganzen Volk machen wir gleich ein Beispiel Dezember Addition von Folgen ist gar
steht gerade noch so untergehen in B steckt wie gesagt auch versteckte Subtraktion fortfolgenden nehmen Sie als Vergleich ein gleich minus 1 dann steht da ein Minus PIN komme im sehen wir die Multiplikation und dann ist es naheliegend jetzt voraus mit der Division weiterzumachen das Problem ist nur wie üblich beim die hier muss man aufpassen dass man mit der 0 dabei Schwierigkeiten hat ja durch 0 Teil ist nicht so gesund und dann deswegen muss man müssen aufpassen was soll denn ein durch PIN sein und das Ganze geht eben nur gut wenn das B also der Grenzwert der Folge BND-Insider kann wenn steht wenn das nicht nur das der Grenzwert von der Folge Männer darf nicht nur sein aber dann geht alles gut wenn der Grenzwert im Männer ungleich 0 ist dann ist auch die Folge am durch DEN konvergent und man kann den Grenzwert zu ausreichen wenn man sich sehr hofft also der Grenzwert n gegen unendlich von 1 durch den ist dann der Grenzwert in gegen unendlich von A N geteilt durch den Grenzwert n gegen unendlich von B 1 also durch die mehr und das macht eben
sehen weil das denn nicht nur das Beachtung diese Regel funktioniert wirklich nur wenn das bin ich nun ist wenn das bin und es gibt wieder 2 Möglichkeiten also wir spielen und es gibt 2 Möglichkeiten in der
ein weiß man was in der andern nicht also wenn das P 9 ist und das ist nicht 0 also ob man sie was was gegen 7 konvergiert oder gegen 583 aber nicht die nun und jetzt gegen 0 dann ist die Freude am durch die übergibt weil dann wird die unbeschränkt Thomas B immer näher an 0 geht und das am bleibt in der Nähe von Siegen dann wird der Brauch Größe größer größer größer und explodiert dann ist diese Folge eigentlich PIN immer divergieren und ein häufiger mühsamer aber häufiger
Fall war es der spannende Fall es ist halt wo beide 0 sind ja wenn B und A 0 Sinn und dann regiert das große Fragezeichen das etwas was was begrenzt werden ganz oft passiert und den Effekt nur noch oft erleben es findet ein Tauziehen mit ungewissem Ausgang statt bei was bedeutet das wenn den 0 PIN gegen 0 dann haben sie oben dem zählen eine Folge stehen die versucht den ganzen Ausdruck klein zu drücken wir die wird geht gegen 0 wird immer kleiner kleiner kleiner und versucht das Ganze gegen 0 zu jagen die Folge und nimmt sie in Männer die geht auch gegen 0 das bedeutet aber dass sie den Bruch Versuch groß zu machen die kleinere Zahlen zu schreiben umso größer wird dieser Bruch Wahl durch die kleine durch bezahlen 0 teilen heißt ja mit dem Kehrwert multipliziert also das richtig große multiplizieren also das ist sozusagen der Zidane ein Ende vom Tau und versucht es denn der 0 zu drücken und das B entrückt von unten und Versuch das denn noch er nicht jagen und die Frage sein wer stärker und deswegen sind solche Ausdrücke von der Form Folge durch Folgen oben geht es gegen und unten geht gegen 0 die Spanne weil da ist ist nicht sofort klar was passiert bei die beiden die Klappe verschiedene Richtungen Seilziehen und dann dann kommt auf eine stark ist der kann alles passieren da kann nur rauskommen da kann dass die Berge dass bei rauskommen der kann aber auch Papiere aus kommen nur da kommt völlig drauf an der halt gerade stärker ziehen oder wenn die beiden ziemlich genau gleich stark sehen kann sich ebensogern Gleichgewicht einpendeln und am Schluss kommt eben 3 comma decimal 8 raus kann alles passieren dann noch viele Beispiele sehen ich missliche einmal erwähnt haben wenn sie den Fall haben Bruch und es ist nur durch 0 dann nutzte in diese Rechenregel hier gar nichts war der Bruch 0 durch Nullen Grenzwert kann alles sein so dass immer auch gleich am 1. Beispiel also wichtig ist sozusagen von diesem Satz
mitzunehmen Mutterwitz er addieren subtrahieren multiplizieren alles okay wenn sie 2 Konvente folgen agieren kommt als Grenzwert für die Summe der Grenzwerte raus wenn 2 kompetente Folgen multiplizieren kommt das Grenzwerte Produkt der Grenzwerte raus Quotient auch okay solange sie nicht im der nur durch nutzen ja so und das machen wir natürlich sind die meisten Beispiele dann immer so dass es interessante wird das heißt häufig sind in diesem Fall nur gleich würde ich nur und dann muss man sich überlegen wie man zu Potte kommt und ein ganz typisches Beispiel ist das folgende als sie haben niemals 10 x 10 m hoch 3 minus 7 im Quadrat plus 5 du 5 endlos 1 x in ja empfehlen kommen was ist der Grenzwert sie und Feiern ist wenn man so mit so was soll ich oft gesehen hatte man sich dann doch mal wünschen zurück mein Taschenrechner aus dem Tag X 5 Tausend 1 groß rauskommen das kann man machen kann man aber auch anders angucken was ich Ihnen zeigen wir es im Dreck der immer funktioniert wenn Sie so und Dinge haben von der Form man N durch Polynomen N der funktioniert sogar noch ein bisschen allgemeiner wenn da irgendwelche Wurzeln in allen oder Potenzen von Wurzeln entstehen geht das auch noch nein wenn Sie so was von der Fahrbahn wohl nominellen geteilt durch Gründungen N das ist das was ich Ihnen jetzt Antrieb zeige immer der Gewinner dann kriegen Sie auf die Weise immer raus ob das den konvergierenden jagen was so also was interessiert uns dieser Grenzwert hier und was der der Trend ist ist kürzen sie die höchste Potenz das ist erstmal und intuitiv weil ich meine was soll man denn in dem Buch noch kürzen des doch schon also meine bei nach dem Bruch damit komplizierter das ist erst nun intuitiv aber es lohnt sich also kürzen Sie aus dem was ist hier die höchste Potenz oben geht ist er noch 3 unten geht mal aus multipliziert bezieht auch bis er noch 3 also kürzen Sie meine dennoch 3 auch wenn
das nicht intuitiv ist aber wie gesagt das Unendliche ist nicht intuitiv machen Sie man machen einfach mal was passiert also was passiert wenn man oben durch ein noch 3 und unten durch ein auf 3 dann bleibt stehen 10 minus 7 durch einen plus 5 durch ein Quadrat geteilt durch ja 5 N plus 1 geteilt durch in 1 teil und durch in hoch 3 des kurzes im Quadrat weg aber einen bleibt noch übrig das ist jetzt der Vorteil davon wir mal den Männern noch weiter auseinander das ist in dem es gegen endlich C ja ja Berater nicht besseren Empfang Radio das kürzlich erst mal raus hat also was ich mache sich multipliziert das Ganze mit er noch 3 durch den noch 3 mehr den Zähler da richtig dies falsch danke tiefen Teller das ist Käse das 3 danke er jetzt sich wieder eine bis der nicht Sa aber das habe ich richtig ja bereits der das also bitte schreibe ist dann richtig genau richtigen Moment gesagt durch ein hoch 3 und 4 unten habe ich 5 plus 1 durch was ist der Vorteil davon ich habe diese Folgen jetzt zerlegt in lauter Teile von dem ich weiß was Sie für ihn geben endlich tun diese 10 da aber nicht sehen wenn ich in den endlich lasse dann die die 10 gegen 10 ich meine die konstante Folge 7 durch endet gegen 0 5 durch ein hoch 3 geht gegen 0 warum geht 5 durch ein noch tragen 0 da sie auf 10 verschiedene Weisen begründen Sie können sagen einzig er noch 3 ist ab 1 gleich 1 immer kleiner gleich Einstig in sie können auch sagen 5 durch er noch 3 bis fünfmal einzig einmal durch in einzig in einzig 1 0 Folge also es auch als sich immer als ich immer einzig eine neue Folgen die gibt es 100 verschiedene Weine da wenn wir geht es gegen 0 die 5 und die gegen 5 von einzig in geht gegen 0 an so das heißt
der Zähler darum denen da unten der geht gegen
5 plus neue geht also insbesondere nicht gegen
0 das heißt nach unserer 1. nach unserer Rechenregel gerade eben können Sie das Ding zerlegen als liegen gegen unendlich von 10 minus 7 durch N plus 5 durch er noch 3 geteilt durch niemals n gegen unendlich 5 plus 1 durch enden war das war die Rechenregel für den Quotienten jetzt können Sie die Rechenregel für die Summe anwenden was rauskommt ist 10 minus 0 plus 0 durch 5 plus 0 und das ist ungefähr 2 also rausgekriegt das ganze den da oben konvergiert gegen 2 und das funktioniert immer wenn sie Polynom durch Polynom haben kürzen Sie höchste Potenz raus was übrig bleibt sind die ganze Zahlen welche absoluten Zahlen und denn der Form irgendwas durch von dem Sie wissen es geht gegen 0 das ist soll eine Standardmethode wie man
diese Rechenregel die man dir produktiv anwenden kann man kann sie auch an vielen andern Stellen verwenden immer wenn sie er große Ausdrücke von Folgen haben lohnt sich ein 1. Blick kann ich das Zerlegen in kleinere Bausteine von denen ich was weiß ich will noch eine Warnung an der Stelle los
werden weiß mal wieder Sonne verführerische die Möglichkeit gibt eine Analogie aufzubauen und das sollte dann doch vielleicht auch gilt und dies freilich also Sie haben diese ganzen Sätze wenn sie 2 kommt wegen der Folgen haben es die Summe Konvergenz wenn sie zwar kommt wegen der Folgen habe ist das Produkt Konvergenz und alle diese Sätze sind mit Divergenz statt Konvergenz sind falsch also entsprechende Aussagen für Divergenz 10 alle Mumpitz und das muss man sich noch mal klar gemacht haben damit man auf sich auf diesen Trichtern ich Reinfeld es ist so nahe liegend zu sagen ich habe eine Folge dessen Summe von 2 und weidete Einzelteile sind die wir gehen dass die Summe natürlich auch die wir gehen Nein blödes einfaches Beispiel ist wieder in dem unsere Folge am Himmel zu mehrfach gesehen die ist einfach ein wunderschönes Beispiel dies Divergenz da immer Freunde mühsam wird die Zeit so und jetzt nehmen Sie doch mal in die Wade Differenz dieser Folgen mit sich selber die Folge am minus 1
das ist eine Differenz und eine Summe von 2 die Dirigenten folgen was ist nicht mehr die Folge selbst ist dann relativ brav das ist natürlich dann die Folge hallo ich meine das Produkt für die Differenz gebe die Aua sitzen sie Differenz kommen sie auf 0 bislang bisschen bisschen mehrere Spannenderes beispiels- dem sie die Produkte für den es geht aber auch also wenn das Produkt die Folge am ein das ist die das ist die Folge minus 1 Woche in X minus 1 Woche n also minus 1 hoch 2 n ja das ist die Folge konstant 1 die volle konstant 1 ist wunderbar Konvergenz das ist ein Produkt von 2 Dirigenten folgen dem Produkt also Sie haben 2 divergierende folgen und das
Produktes kommen werde aber die Welt endet die Differenz ist auch Konvergenz die Summe nicht immer zum ich aber die Differenz es Konvergenz das Produktes Konvergenz also entsprechende setzte 10 Unfug und für die für die Addition kriegen Sie auch Gegenbeispiele tut man so bei der Addition beider Addition dem die Folge minus 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 und die Folge 1 1 1 1 1 1 also die die mit minus 1 an die mit 1 Effekt aber sonst mehr gleiches Speicherung Gewölbe also die beiden Länder die 0 0 0 0 0 0 0 0 0 raus also Summen von konvergenten Folgen sind
konvergent Produkte von Konvergenzen Konvergenz zum von divergierenden Folgen sind irgendwas da weiß man nix gut ich habe ihn jetzt denn es wird Sätze gezahlt er mit denen man kommerzielle folgen zusammenbauen kann und damit man die zusammenbauen kann es ist klar dass man braucht man braucht zum Bausatz von elementarem Grenzwerte die man einfach kennt wenn man braucht so 5 10 werden die Folgen von dem man einfach weiß was rauskommt einzig in hatten wir schon ich will Ihnen jetzt einfach noch ein Stapel von andern mitgeben zum teil an den einen und jetzt eine Vorlesung für Mathematik erhalten würde länger sitzt und die alle nachzuprüfen ich gebe die einfach mal und Katalog von Grenzwerten die
oft vorkommen den können Sie sich dann wenn Sie auf ein Blatt Papier malen immer als Spickzettel dabei haben und einfach nachgucken sozusagen als kleine Formelsammlung das 1. sind Exponenten und Polynom Bohnen und ja alle Dinge für jedes einfach aus er und wie er will der der Zahl den Betrag kleiner 1 ist gilt das den jemals n gegen unendlich von Innenhof alles war mal Q noch der es immer nur egal was Eifer was ist zu solange das Kon- Betrag kleiner einst wir glauben Sie das einfach mal 0 setzen dann ist dieses Enno Ralf einmal 1 ist weg wenn sie zum Beispiel Q gleich 2 nehmen dann steht der 2 hoch N also 1 2 4 8 16 32 das wird natürlich nicht Konvergenz her außer Landes Co kleiner als 1 ist das immer geht es immer 0 insbesondere lassen Sie mich das besonders herausheben setzen Sie mal tatsächlich als war gleich 0 dann kriegt man den Limes n gegen unendlich von Couch enden der ist 0 zu lange der Betrag von Cuc Werner ja also zum Beispiel halbhoch n Fällen gegen unendlich gegeben und ja zur was immer noch
ende Wurzeln mögen jetzt ein bisschen weit hergeholt sein aber in 2 Wochen wissen Sie warum Ende Wurzeln wichtig sind da also wenn Sie eine Konstante C haben und jetzt bilden sie die Ente Wurzel von 10 also bilden erst die Worte von 10. 3. wusste ich würde was die 5. Wurzel die schöne Folge in Teil von der Folge haben sie vielleicht also je nachdem wie oft in den Taschenrechner schon gespielt haben sind halt von der Folge schon erlebt geben Sie Ihre mit seinen Taschenrechner ein oder drücken Sie wozu wozu Wozuwozuwozu Wozuwozuwozu was passiert Hmm wird immer kleiner stimmt nicht es gibt 1 denn auch irgendwann nach 25 mal drücken kommt 1 raus das war ein Trost kommt liegt daran dass etwa nicht genau rechnet war natürlich kommt nie wirklich 1 aus aber es wird sich in der 1 an also sind dann irgendwann unter dem y dass der Taschenrechner noch kann mir aber genau es komme geht immer gegen 1 deswegen Stimme wird immer größer nicht wenn sie innerhalb eines wird immer kleiner nicht wenn sie innerhalb Anfang wird immer größer das geht egal was das ist immer gegen 1 also das ist immer 1 wir was machen Sie wenn Sie wozu von wozu von Wurzel rechnen rechnen Sie die Worte die führte wozu die achte wozu die 16. Wurzel 32. also alle Wurzeln außen aber so nun mal wieder ein gut bisschen spannendere Frage das kam Taschenrechner jetzt nicht mehr so schön iterativ machen wie die Ente Wurzel der Konstanten was passiert da oben bei dem Ende Wurzel das Ziel ist eine Konstante und wenn sie mir Wurzeln sie ziehen und so kleine drücken Sie das nach 1 jetzt kommt wieder Interessantes Tauziehen Phänomen die Ente Wurzeln hier versucht das Ganze natürlich wir nach einzudrücken aber der Sie das entnehmen umso größer wird auch das passende Wort Steg also das in der Wurzel versucht die Sache groß zu drücken wer gewinnt die in Wurzel was herauskommt ist auch 1 jetzt ein Tauziehen Phänomen bei dem keiner gewinnt und das ist jetzt die Folge für alle die dies also allen Wirtschaftsingenieure die wenn sie noch auf 10 oder haben Sie wahrscheinlich schon oft gesehen 1 plus 1 durch hoch N eine ganz berühmte Frau erfolgen und bei der kann man sehr schön jetzt das Tauziehen wiedersehen was macht das N oben im Exponenten 1 plus 1 durch indessen meine Zahl größer 1 egal wie groß es in den 7 größer 1 das heißt dieses exponentiellen dieser Zahl macht das groß war das n oben Exponenten drückt das gegen unendlich die einst durch den Versuch das ganze man einzuschieben und den Einfluss des exponentiellen zurückzudrängen und die Sache eher klein zu machen Endergebnis unentschieden und was rauskommt ist irgendwas mittendrin ist weder 1 noch beliebig großen was dabei rauskommt ist die berühmte Eulersche Zahl e 2 comma also ungefähr 2 comma decimal 7 1 8 und so weiter das ist eine sehr spannende Zahl die einen 37 völlig unzusammenhängenden Ecken der Mathematik wie aus dem nichts auftaucht ist es so eine und dessen Cluster Kompromiss her fürs weder 1 noch beliebig groß sondern halt so und was dazwischen und an der Stelle kann ich noch eine ganz große Warnung schön plastisch machen ich möcht Sie bitten die das Grund grundgesetzlich verbriefte Recht alle entziehen sind gleich und alle sind gleich schnell zu achten was soll das heißen das ist so ein klassischer sage jetzt mal Anfängerfehler mit Konvergenz zu tun hat die folgende Argumentation in dem die Folge wir können jetzt zum Beispiel sagen ebenso wie schon gesagt habe 1 plus 1 durch n ist immer größer als 1 wenn ich jetzt mal größer als 1 habe und die auch in dann geht es gegen unendlich also die das dagegen endlich 2. Argumentationen was Sie jetzt bei der wir zum gemacht haben ist sie haben das ende erst mal festgehalten ja das Ende das in dem einst durch ändern sie festgehalten und dem armen gesagt wenn du schon mal noch unendlich ich halte an und sondern fest und über den ich bislang in der mehr so anders rum machen sie könne noch das Elogen festhalten und sagen dass bei Ihnen drin laufe du schon mal los wir also Argumentation wäre dann folgendermaßen 1 plus 1 durch geht gegen 1 einzig in die gegen 0 also bitte 1 plus 1 sich in dem 1 1 Suche Endes aber immer 1 also kommt ein Trost das wäre der umgekehrte Fehler was Sie gemacht haben ist wir haben das in oben Exponenten fest sagt Maria das ernstlich in bei Ihnen in der Klammer rennt erstmal noch unendlich wenn das da ist dann lasse ich dich los und argumentieren es immer als schon verloren wird das ist im Tauziehen nicht fair wenn 1. eine 10 davon wenn der fertig ist auf der andere das gehe ich also schon bald leichtsinnig ziehen dürfen und an dem Beispiel sieht man dann kommt auch zu falschen Ergebnissen wenn man seine Argumentation macht der also ist dass der Effekt der schnellen und langsamen N wir lassen weil das eine N und dann auf das andere argumentieren sie nie so also argumentieren sie nie das eine N hat den Effekt wenn ich das zweite vernachlässige und dann mache ich danach das zweite das geht schief dass ein klassisches Beispiel gut warum habe ich jetzt gerade gesagt es ist die
Folge für die Wirtschaft das ist die Folge die auftaucht dann immer sehr einige Zinsberechnung machen ja einzig eines der Zinssatz und wenn Sie also das ist so der dieses diese klassische Überlegung was passiert wenn sie nicht mehr jährlich sondern monatlich und dann wöchentlich und dann täglich und dann wenn nötig und dann sekündlich verzinsen und den Effekt den sie dadurch erreichen ist dass sie am Schluss alles mit multipliziert so um Ihnen zu zeigen diese Folge diese Zahl es aber jetzt nicht nur auf Zinsrechnung beschränkt zu sein wie gesagt taucht dann alle möglichen unmöglichen Stellen man immer zieht wieder auf noch in anderen Grenzwert n geteilt durch Ente Wurzel aus Fakultät wenn das völlig Obskures es hat auch E wir werden auch hier wieder klassisches Tauziehen das N O macht die Sache groß und ihnen Männer ziehen sogar noch 2 hingegen landet das n von der Wurzel zieht die Sache gegen 1 das in Fakultät in der Wurzel sieht die Sache ganz schnell noch groß da ziehen mehrere Beteiligte an vielen vom sei und am Ende steht vor also wie gesagt taucht dann alle möglichen komische stellt immer wieder auf gut es ist mal und Vorfahren Grenzwerten die interessant sind zu wissen also ganz wichtig ja es der Zauber der unwichtigste ist der letzte die 4 da drüber die muss man parat haben darum die Côte tauchen in allen möglichen und unmöglichen Verkleidungen immer wieder auf und parat haben heißt nicht dass sie unbedingt
immer im Kopf sein müssen meinetwegen am Saufen Zettel aber Sie müssen Erinnerung haben die habe ich auf Zeche sie müssen sozusagen erkennen als das 20 die Grenzwerte zur jetzt bin ich Ihnen noch eine Antwort auf die gute Frage von vorhin schuldig was mache ich denn wenn ich nen Folge ab und keine Ahnung was der Grenzwert sein könnte wie die rechtlich da wieder ich habe kann das zurückführen auf bekannte Grenzwerten kann das so in Teile zerlegen das geht aber auch nicht immer und was ihm jetzt zeigen wir sind noch 2 Hilfsmittel die helfen können Konvergenz nachzuweisen auch in Situationen wo man den Grenzwert vielleicht gerade nicht raten kann oder kein Orakel oder kein freundliches keine freundlichen Menschen hat der einen verrät was es sein könnte und das sind jetzt noch 2 weitere Konvergenzkriterien das 1. liefert einen freundlicherweise sogar Grenzwert mit das zweite nicht also das 1. hat dafür ein wunderbar leicht
eingängigen Namen das ist das sogenannte
sendet stören hier käme auch gleich die so das halt so heißt so aber jetzt sogar 3 folgen dass es wieder Sonne Vergleichskriterium also Sie haben 2 folgen die Konvergenz sind dann von dem Sie den Grenzwert wissen der und seien 2 konvergente Folgen und wichtig ist die müssen beide den gleichen Grenzwert haben also zum Beispiel 2 0 folgen oder 2 folgen die gegen 1 gehen also beide folgen müssen Konvergenz sein und den gleichen Grenzwert haben und in der ich mal 8 schon dass der Mensch Theorien sagt jetzt
wenn Sie eine Folge haben die sie untersuchen wollen und die Liebe zwischen diesen beiden also wenn der Folge CN haben und für die können sie nachweisen dass zumindest ab einem groß gelogen N also fast überall das CERN immer zwischen A 1 und wie er mit also wieder fast überall das heißt es gibt es dem Index N 0 ab denn diese Ungleichheit Halskette gilt also für alle größer gleich 0 geht diese Ungleichheit Skizze vor allem größer gleichen 0 liegt das CM zwischen dem einen und dem BND dann irgendwie
in dem Fall auch intuitiv klar was hat denn das C jetzt noch für Möglichkeiten in Sachen Konvergenz das geht steht stramm und freudig auf das zu des PIN marschiert auf den Ar der Platz zwischen 1 PIN wird zwangsläufig immer kleiner weil die müssen ja beide nach und das CN hat überhaupt keine Wahl als auch zu nach Art zu gehen und das kommt auch aus also wenn es auch zählen Konvergenz und der Grenzwert ist auch und das Ding heißt Wünsche Theorem weil das CEN eben wie die Wurstscheibe bisher wird zwischen A 1 und B 1 eingequetschte also es n gegen unendlich CN ist dann ebenfalls und das ist relativ praktisches Kriterium wenn man gute Vergleichs Folgen hat nur das ist das entscheiden wir sie brauchen gute Folgen mit den Sie vergleichen können da wenn Sie die im Griff haben dann können Sie alles was dazwischen liegt ja kriegen sie
Konvergenz und in dem Fall kriegen sie sogar den Grenzwert mit so jetzt als letztes Kriterium 1 das wirklich komplett ohne eine auch nur aber des auskommen wurde Grenzwert liegt hat dafür will nach das liefert den den Grenzwert nicht mit das ist so genannte Monotonie Kriterium und das ist kurz knapp und bündig das folgende wenn Sie eine Folge haben die 2 Eigenschaften gleichzeitig hat nämlich die muss beschränkt sein also wollen nachweisen eines konvergent ist klar ein muss man Mindest beschränkt sein das hat schon freuen wenn sie nicht beschränkt ist kann sie nicht Konvergenz werden aber wenn Sie beschränkt ist und noch was zusätzliches nämlich fast überrall monoton also fast überragen heißt wieder ab irgendeinem N 0 ist es immer ist monoton und was überholt und so heißt es sagte in
der man nur entweder monoton wachsen oder Mode aber das dann für immer als muss sich von entscheiden also ab einer Stelle muss es monoton Wachs oder monoton fallend sein dann ist das ein Konvergenz also wenn sie nachweisen können Erfolges beschränkt und monoton wobei mir Tones egal wer die 1. 27 dieser Mist bauen aber irgendwann musste monoton sein dann fügen Sie Konvergenz und das 1. Kriterium das wirklich komplett davon befreit ist dass Sie wissen müssen was der Grenzwert ist also auf Ihre Frage vorhin mit dem Kriterium sind Sie von dieser Rate der Pflicht befreit das zieht es ist völlig wurscht ob sie mehr Ahnung haben was der Grenze oder nicht sie müssen nur nachweisen beschränkt und monoton und die Sache ist erledigt woran liegt das auch hier bringen jetzt keinen vollen Beweis aber ich denke Intuition warum das Geld kriegen Sie am ehesten wenn sie sich vorstellen sie sind die Folge und sie versuchen gegen die Auflagen zu verstoßen also versuchen sich vorzustellen 7 sowie der Folge vorzustellen sie Person sie feuchte Sinne stellen sind die soll sein beschränkt und monoton aber sie wollen einfach partout nicht korrigieren weil sie wollen Spielverderber Spielverderberin sein und dieses Monopol die Kriterium übern Haufen werfen und dann überlegen Sie mal die Krise sehen ja Sie müssen monoton sein also müssen wir weiter raufklettern meinetwegen und wachsendes immer höher gehen das Problem ist sie dürfen aber müssen beschränkt bleiben kommt die Decke er irgendwann das Ende sie dürfen nicht größer als 382 werden aber Sie müssen immer weiter wachsen er bis zur Decke müssen Sie nicht kommen Sie können natürlich beschließen sie dann irgendwann konstant so käme dann sind sie Konvergenz ist wollen wenn ich also müssen immer ein bisschen weiter darauf na ja wenn Sie aber darauf gehen und kommen Sie den Mann in der Nähe der Decke dann können sie nicht mehr beliebig und dann kommen sie irgendwann müssen sie irgendwann kommentiert das ist der Punkt denkt kann man natürlich alles fein säuberlich beweisen aber das ist die Idee der wenn Sie immer monoton wachsen und sie haben Deckel obendrauf und sie müssen unendlich viele Punkte unterbringen dass das Problem dann bleibt aber kein Platz gut lassen Sie mich noch ein Beispiel für das
Semlitsch Theorie machen man sieht wie anders helfen kann und auch das ist ein Beispiel mit dem Finnen trägt denn man noch 27 Mal an allen Stellen verwenden kann bei ähnlich gelagerten Fällen wir schauen uns folgende Folge an A N es Ente Wurzel aus 1 plus 5 hat ja ja das sieht jetzt schon verdammt ähnlich aus für Dinge die wir gerade hatten wir hatten in die Wurzel allen an ende Wurzelende gegen 1 werden muss wenn es hat leider nicht entwurzeln plus 5 also was macht diese Folge und eine Antwort ist hier mit Semlitsch Theorien drauf zu werfen Zemitzsch Theorien steht auch oben gerade das müssen wir machen wir müssen also diese Folge am entspricht dem C Änderungen mehr von dem am wollen wir Konvergenz zeigen also wenn man sich immer zählen dann ist das weniger dann ist es übersichtlicher zwar erst dann spricht CNBC Änderung der wollen das 10 auf Konvergenz untersuchen was müssen wir machen müssen SCN einquetschen zwischen A und B 1 und von 1 DM müssen derzeitigen ging gleichen Grenzwerten geht es zählen auch gegen diese 2 und dieses einquetschen müssen wenn nicht für alle machen das reicht fast überall und das richtige fast überall ist hier in größer gleich 5 immerhin das sieht man wenn man das austüfteln muss natürlich nicht am Anfang der fängt mir mal an zu rechnen und stellte
man fest darin sehen was er gleich 5 hat geht es gut was ich will also meinen sie mit dem CN an wenn die Wurzel allen plus 5 und das müssen wir jetzt einquetschen zwischen A 1 und B also müssen irgendwie wie kleinere Folge finden von der wir wissen die geht gegen was und dann müssen die größere Folge finden wir wissen die geht gegen was und die sollen bei den ins gleiche G das heißt bei diesen ab Prozess nach links und rechts da kann man jetzt natürlich viele Dinge tun war aber man muss vorsichtig sein weil man darf nur Dinge tun die am Grenzwert nicht wirklich was ändern dabei wenn sie jetzt nach links was eine kleinere Folge finden die gegen 0 geht und nach rechts größere die gegen 7 geht dann ist gut dann wissen Sie wenn die Folge konvergiert konvergiert sie dich irgendwas zwischen 1 und 7 aber das ist nicht das was sie wollten wir also bei den links und rechts muss immer noch der gleiche Krenz herauskommen das heißt man muss hier bis mit Skalpell reingehen und nicht mit dem großen Hammer wir so aber sehr Beispiel mehr machen können in dem Fall ist zu sagen wir er der der lohnt sich selbst ins unreine zu denken was ist denn für große ändern dem Ausbruch werden wesentlich und das das Tauziehen mit wichtig wer zieht gegen den Tau denn die Wurzel sieht die Sache Gruppe nach 1 DM in den sieht die Sache groß und die 5 ist ziemlich egal er also lassen Sie die 5 doch mal einfach weg die weil 5 ist das was nervt weiß ist die gute Idee dass was nervt weglassen was passiert wenn sie die 5 weglassen das Ding wird kleiner am Ende Wurzel immer kleiner gleich in die Wurzel endlos führt weil die Ente wurzelnden monoton wachsende Funktion ist Hoppe das ist nämlich schon mal schön weil von der Folge wissen wir die konvergieren die komme geht gegen 1 die haben wir gerade so jetzt brauchen wir noch rechts der andere Folge die auch gegen 1 von der geht und das ist jetzt ein bisschen Frechheit gefragt aber dem Feld sieht Frechheit zuwenden normal dass unser in größer gleich 5 ist wir können Sie das dann größer machen in dem sich statt der 5. hätten was grösseres nehmen was grösseres S 5 in dem Fall in können ende Wassers das endlos ist größer gleich alte wurzellos plus 5 wenn n größer gleich 5 ist warum ist es toll das ist deswegen toll weil das das dasselbe ist während die Wurzel 2 m und das ist das selbe Wende Wort 2 man an der Wurzel in um über diesen Fluss sie dann kann man sich ja überlegen wie man auf die Idee gekommen ist der was weiß man denn wer weiß Ente wozu von konstante man weiß Ente Wurzlen da weiß man wo sie geht ja also muss man irgendwie so den Herrn in Form das am Schluss diese Form übrig bleibt weil von dem weiß man was wird das alles gut weil in der Wurzel 2 gilt für die nun endlich gegen
1 ende Wurzel endet für n gegen unendlich gegen 1 da also die dieses Produkt auch gegen 1 Produkt von Konvergenz Gefolges konvergent unbegrenzt wildeste Produkte Grenzwert und einmal als ist 1 und jetzt übernahm Semlitsch Theorien durch ja hier unsere Folge
CN es eingequetscht zwischen Erfolge am und Erfolge der Folge ein die gegen 1 die Folge wären die gegen 1 also kriegen Einnahmen Semlitsch Theorien das auch die Folge 10 gegen 1 der also das n gegen unendlich Ente Wurzel plus 5 bis 1 also gute Nachricht diese ganzen Rechenregeln helfen ihnen dabei komplizierte Grenzwerte aus auf rauszukriegen im Zweifelsfall schlechte Nachricht der Weg dahin ist nicht eindeutig also an dieser Stelle müssen sich endgültig von der Illusion verabschieden die Mathematik ist ein fertiger Werkzeugkasten für jeden Problem die Frau mit drinsteckt unterstellt von oben seine zahlreichen unten kommt das Ergebnisse raus sondern es gibt ein paar Tricks und Methoden aber die richtigen kreative Kombination Demo Toten muss jeweils auf das Problem angepasst werden gut
dann kommt jetzt ja ein bisschen ein
neuer Begriff noch ja aber relativ der der eine schon länger der Luft liegt ich habe ich ja schon die ganze Zeit darum wenn ich da drüber erzählt dass Folge immer beliebig groß wird wir zum Beispiel Folge 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 und so weiter also die Freude in dies die Berge und klar weil die hat keine Grenze dieser bei einer gewissen an Weise anders die wir dass diese Folge minus 1 hoch n also minus 1 1 1 1 1 1 1 1 diese minus 1 1 Folge ist deswegen Divergenz weil sie mich entscheiden kann nicht so richtig zielstrebig die Folge 1 1 1 7 8 9 10 ist ziemlich zielstrebig der fest und so endlich ab und solche Folgen des in ganz großen Anführungszeichen gegen unendlich gehen was Sie natürlich nicht tun wenn sie nicht kommentieren die kriegen jetzt eine Bezeichnung eben weil die sind nicht konvergent sind Divergenz die sind so genannte bestimmt die divergiert und das ist sehr wichtig das zu trennen von der Konvergenz weil so manche Dinge bei bestimmte Divergenz anders sind aber trotzdem sind bestimmt die wegen der Folgen was andere ist als der Köpfe Folge die sich nicht entscheiden kann wie man das als auch in also wir fassen wir das das so Folge gegen unendlich geht beliebig groß wird oder gibt es den wunderbaren trägt wenn sie über beliebig groß reden was wir mit der Konvergenz hier zum Begriff habe es beliebig klein er also nur irgendwas geht gegen was andres der Abstand zwischen den beiden mit beliebig klein dafür dass Konvergenz dar und wie spielt man beliebig große beliebig klein zurück in dem man dir werden nimmt Makler Werte von beliebig großen Zahlen Sie beliebig klein und leer werde von beliebig klein also dabei nur liegenden Zahlen sind beliebig groß und das ist der Trick dabei also wenn es in der Folge haben ja die und jetzt kommt auch an unsere Volksganzen bestimmt divergent nach plus unendliche bestimmt die werden nach minus unendlich definieren also in einen Fall 1 plus unendlich an in der Folge haben die fast überreiche größer 0 ist und für die gilt wenn Sie 1 durch die Folge anschauen dass das konvergiert an dass das nun Folge ist dann nennt man diese Folge was
heißt das wenn 1 durch die wenn die Folge der Kieler Werte 0 Folge ist dann bedeutet dass die A 1 werden immer größer 1 weil 1 durch einen gegen 0 heißt am muss wachsen dann nennt man diese Folge am bestimmt divergent nach unendlich wir also so was wie Konvergenz nach unendlich kann es nicht geben wenn Ihnen das so selten wie man das aus so Mund fällt das mal in die Sie das mal formulieren dann immer gleich zurückrudern das ist Käse es kann man es kann nichts nach endlich konvergieren es kann nur etwas bestimmt nach unten nach unendlich divergiert so das gleiche mit minus unendlich wenn Sie Folge haben
die fast überall kleine 0 ist also ab einem gewissen N 0 10 alle zumal es sind alle folgenden negativ und der Grenzwerte in der er Kernwerte ist nur dann wenn man das Ding bestimmt die wir gehen nach minus unendlich er
diese Formulierung Konvergenz nach
unendlich er ist wie gesagt Käse
ist aber natürlich auch dadurch leider etwas angelegt das schlampig notiert wird aber die eingebürgerte Notation für bestimmte Divergenz ist Ihnen das n gegen unendlich am gleich unendlich führen es genau als wäre es Zoo notiert man auch Konvergenz aber dieses Symbol ist sowohl diese schreiben dafür dass man sagt die Folge ist bestimmt die wir gerne nach und ich glaube bestimmt die wir gern nach minus ehrlich ist denn das gleich wieder mit minus der vor
dann steht hier mit Wasser so das sind dieses
Begriffspaar bestimmt die wir gerne nach unendlich und nach minus unendlich Beispiele
dazu oder zumindest ein ja das ist eine Zeile Beispiel 20 weil das ist nichts was ich Ihnen lange begründen müsste das werden Sie mir so glauben wenn Sie die Folge im Quadrat nehmen nur 1 4 9 16 und so weiter dann geht es nach plus unendlich warum alle Folgenglieder sind positiv und 1 durch das Ding sich im Quadrat ist 0 Folge das genauso können Sie jetzt auch nach minus unendlich Limes entgegen endlich man dass er noch 5 das ist Erfolge gegen das unendlich geht die Folge minus 1 Woche n also wie
das 1 1 1 1 1 1 1 1 die wir mehrfach hatten ist und bleibt einfach mit die Werke in der Folge die Sonne ich bestimmt die beginnt mit die Kernwerte davon sind immer noch minus 1 1 minus 1 1 minus 1 1 diesen keine 0 Folge dementsprechend ist die wirklich ganz furchtbar Divergenz und diese Folgen die wenigstens strebsame nach unendlich denn die haben jetzt ein eigenes den eigenen Begriff gut jetzt vielen Dank für die Aufmerksamkeit und eine schöne Woche bis nächsten Dienstag
Multiplikation
Positive Zahl
Folge <Mathematik>
Punkt
Betrag <Mathematik>
Klasse <Mathematik>
Fortsetzung <Mathematik>
Zahl
Quadrat
Große Vereinheitlichung
Punkt
Betrag <Mathematik>
Rechnen
Gradient
Konstante
Quadrat
Punkt
Ungleichung
Folge <Mathematik>
Aussage <Mathematik>
Zahl
Grenzwertberechnung
Folge <Mathematik>
Zahl
Index
Folge <Mathematik>
Zahl
Grenzwertberechnung
Konstante
Punkt
Mathematiker
Zahl
Folge <Mathematik>
Einfügungsdämpfung
Zusammenhang <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Berechnung
Mathematiker
Grenzwertberechnung
Unendlichkeit
Punkt
Ungleichung
GERT
Klasse <Mathematik>
Mathematische Größe
Divergenz <Vektoranalysis>
Algebraisch abgeschlossener Körper
Folge <Mathematik>
Zugbeanspruchung
Betrag <Mathematik>
Kettenregel
Dreiecksungleichung
Mathematiker
Folge <Mathematik>
Umkehrung <Mathematik>
Konstante
Gleichung
Algebraisch abgeschlossener Körper
Summe
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Mathematiker
Gleichung
Zahl
Summe
Folge <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Quotient
Verallgemeinerung
Biprodukt
Grenzwertberechnung
Summe
Folge <Mathematik>
Summand
Betrag <Mathematik>
Dimension 6
Vorzeichen <Mathematik>
Zahl
Maßeinheit
Grenzwertberechnung
Addition
Summe
Subtraktion
Multiplikation
Faktorisierung
Folge <Mathematik>
Dimension 6
Division
Multiplikation
Folge <Mathematik>
Physikalischer Effekt
Zahl
Ausdruck <Logik>
Richtung
Summe
Folge <Mathematik>
Quadrat
Polynom
Exponent
Quotient
Grenzwertberechnung
Quadrat
Folge <Mathematik>
Momentenproblem
Zahl
Unendlichkeit
Summe
Folge <Mathematik>
Polynom
GERT
Exponent
Quotient
Ganze Zahl
Machsches Prinzip
Zahl
Ausdruck <Logik>
Summe
Folge <Mathematik>
Aussage <Mathematik>
Biprodukt
Gegenbeispiel
Summe
Addition
Folge <Mathematik>
Gewichtete Summe
Physikalischer Effekt
Mathematiker
Biprodukt
Grenzwertberechnung
Polynom
Exponent
Betrag <Mathematik>
Formelsammlung
Zahl
Hidden-Markov-Modell
Konstante
Ende <Graphentheorie>
Exponent
Zinsrechnung
Physikalischer Effekt
Mathematiker
Ecke
Zahl
e <Zahl>
Grenzwertberechnung
Grenzwertberechnung
Index
Folge <Mathematik>
Physikalische Theorie
Folge <Mathematik>
Ungleichung
Große Vereinheitlichung
Punkt
Wurzel <Mathematik>
Physikalische Theorie
Grenzwertberechnung
Biprodukt
Physikalische Theorie
Folge <Mathematik>
Deutsche Mathematik Olympiade
Total <Mathematik>
Mathematiker
Zahl
Physikalische Theorie
Grenzwertberechnung
Grenzwertberechnung
Quadrat
Folge <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Konvergenz und Divergenz
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 14
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/35641
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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