Bestand wählen
Merken

Komplexe Zahlen

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
so genau sind die Änderungen der immer so sein dass es verlängert werden an der TU-Darmstadt K schon
ein herzliches Willkommen an alle zu heutigen Vorlesung wir stecken mittendrin in der Behandlung von komplexen Zahlen und ich hatte die letztes Mal gezahlt immer wenn man einfach nur postuliert es gibt würden bezahlt wie Quadrat minus 1 ist und jetzt die Rede sein entsprechend auf Vorrat also alle Zahlen der Form A plus B x betrachtet mit a und b reelle Zahlen ein Gebilde bekommt in dem man wunderbar addieren kann in dem man subtrahieren kann in dem man multiplizieren kann und in dem man dividieren kann langweilig durch 0 teilte durch 0 Teil immer verbunden er und wie dieses Gebilde der Erweiterung von Erle und ich möchte am Ende waren wenn dividieren damit wir nochmal kurz einsteigen Daten als letztes Beispiel hat ich eben vorgerechnet wie man 2 plus I durch 4 plus 3 dividiert und der trickreiche gewesen der Trick war gewesen war so sieht es doch immer erst später zum oder schon mal gute Versuch er die ja sehr trägt weil hier gewesen malt man erweitert den Bruch mit der Zahl 4 minus 3 G und das ist auf den 1. Blick erstmal unklar was das soll und man merkt erst dann wenn man jetzt ausdenken was dabei passiert und dabei unten den 3. Binom ausnutzt und dann stellt man fest oben kommt was wahr ist nämlich 11 minus 2 die und und kriegen Sie am 3. Binom 16 plus 9 und dann ist die Zahl der unten steht mir eine reelle Zahlen und Sie können das wieder zusammenfassen als 11 25. minus 2 25. ich hatte ihm gesagt das ist jetzt nicht nur zufällig bei dem Beispiel Sauce und dass es immer der trägt man sie dividieren und offensichtlich ist diese Zahl 4 minus 3 wie die dadurch entsteht dass sie nur das Vorzeichen vor dem immer den derzeit umdrehen irgendwie hat wichtig und das sind wirklich jetzt Namen was die Definition 4 Siege 5 7 beziehungsweise 10 8 also nichts anderes als diese Zahl die wir da oben benutzt haben wenn sie eine komplexe Zahl haben A plus B Maidli wenn eine komplexe Zahl dann nennt man diese zahl die dadurch entsteht dass sie vor dem minus das Vorzeichen umdrehen die bezeichnet man mit Z quer bei dieser Querstriche sozusagen eine neue Operation die darin besteht Imaginärteil sein Vorzeichen umzudrehen also wenn Z A plus B ist eines der Querarm minus B und die nennt man die zu Z konjugiert komplexe Zahl na das also konjugiert komplex oder das ganze Ding der Strich nennt sich auch komplexe Konjugation also konnten und das geht nicht wieder hinter den 7 Zahl komplex konjugieren heißt das einfachste drehen das Vorzeichen des Imaginärteil es um der Realteil bleibt so wie ist da also Beispiel ganz
konkret Beispiel 5 8 nehmen Sie die Zeit 2 plus E was ist davon dass konjugiert komplexe eben den Vorzeichen vom Imaginärteil umdrehen 2 minus E Maß das konjugiert komplexe Vezzali die muss man sich vorstellen als 0 plus einmal die wenn Sie das ist das Vorzeichen rumdrehen Zinsen 0 minus einmal die das es genau minus E was passiert wenn Sie mir eine reelle Zahlen also zum Beispiel die 5 und die konjugiert komplexen in 5. 5 plus 0 mal Kollege Komplex gibt 5 minus 0 meine nie das ist immer noch 5 also alle reellen Zahlen sehen die Konjugation sozusagen nicht für jene Zahl geht immer konjugiert konsultierte Zahl gleichzei- selbst er kann so überlegen dass es genau dann wenn also das ist ein Test auf ob mit Zahl Realist wenn sie von der komplexen Zahl zeigen können Sie es gleich ihren konjugiert komplexen wenn es automatisch werden so also jetzt können wir komplexe Zahlen addieren subtrahieren multiplizieren dividieren solange man nicht durch 0 Teil können Sie jetzt neuerdings auch konjugieren er und was noch ein bisschen fehlt ist irgendwie eine geometrische anschauen was ist das überhaupt für das ist immer noch einfach die freche Idee wir packen wir noch in jeder zu und gucken mal was dabei rauskommt und
was ich Ihnen jetzt zeigen will ist ein
Modell das dazu dienen soll sich die komplexen Zahl dass man sich die vorstehend und was machen wir da und das funktioniert sehr gut das ist die sogenannte gaußsche Zahlenebene also eine geometrische anschauen für die komplexen Zahlen und vielleicht wenn ich Ihnen das gezeigt habe wie sie dann nicht mehr so abwegig sondern dann habe man Bild erfahren jede komplexe Zahl ist gegeben der also an sich komplexe Zahlen anschaut dann ist jede komplexe Zahl gegeben durch dieses der diesen Ausdruck plus bin Mali und jeweils nach den natürlich was sie und die kriegen sind aber komplexe Zahl das heißt sie können ihre komplexe Zahl beschreiben durch 2 regele Para- Meter das sehen wir jetzt nicht zum 1. Mal hören da was was man durch 2 reelle Parameter beschreiben kann das war unsere Ebene der 2 die Menge aller Punkte der Ebene und die die es jetzt identifiziere die komplexe Zahl A plus B mit dem Punkt A B in der Ebene und das ist mir sehr weitreichende Idee und die funktioniert sehr gut also eine gute Idee sich die komplexen Zahlen vorzustellen ist man nehme die Ebene also die haben wir schon oft
den gemalt 2 Achsen und meine Frage von der komplexen Zahl den Realteil üblicherweise auf der waagerechten auf der X-Achse auf das ist jetzt der Konvention aber das ist absolut Standard der Realteil wird auf die x-Achse aufgetragen der Imaginärteil auf die y-Achse und dann können Sie zum Beispiel also wird sie noch mehr Einheiten machen 1 2 3 minus 1 minus 2 minus 3 1 2 3 und so weiter zur dann nahm sie hier alle komplexen Zahlen diese Ebene da drin zum Beispiel wenn Sie hier die Realteil 2 Imaginärteil ist 2 das ist die Zahl 2 plus 2 wie 1 2 plus 2 plus 2 I hat Real Teil 2 über den Erhalt 2 und entspricht dem Punkt 2 zwar nur so können Sie jede komplexe Zahl als period in der Ebene identifizieren und diese Ebene heißt dann die gaußsche Zahlenebene gut und dient in vielen Fällen als sehr gute geometrische Anschauung für CD ich hatte C am Anfang eingeführt als Erweiterung der reellen Zahlen der realen Zahlen stecken Sie drin wissen alle die komplexen Zahlen mit Imaginärteil 0 Uhr sind die hier im Bild das ist genau die relaxte dem Realteil Achse also diese Achse hier das ist er also hier zum Beispiel diese Zahl ist die Zahl 1 plus 0 Mali also die 1 er Beckett dafür uns zu Hause ist die 1 du und die Zahl die gezahlt die Tiere ja zahlen die hat immer mehr Teil 1 Realteil 0 deckt entsprechen auf der senkrechten Achse die heißt immer Generation liegen die rein imaginären Zahlen drauf und es ist die Frage wie weit trägt diese anschauen über die Ebene können wir unsere
Rechenoperationen in See
geometrisch verstehen und die Antwort ist ja überlegen wir uns doch mal was ist die Addition und C Addition in C gegen folgendermaßen sie dem A 1 plus B 1 sie Plus als zweites B 2 ihren rechnen ganz wie gewohnt was kommt dann dabei heraus also sehr nicht mehr wie die rechte Darstellung senden period A 1 B 1 und den Punkt A 2 B 2 und was dabei rauskommt ist nichts anderes als die klassische weckte Addition A 1 plus A 2 B 1 bis B 2 also zum Beispiel an dem Beispiel 1 Beispiel nun die 2. 2 hinnehmen und hier noch ein Punkt 3 plus sie dann können Sie jetzt die Punkte mit ihren Ortsvektor identifizieren konvertieren Sie jetzt diese 2 Punkte im in der Ebene die ALDI ansehen dächtest klassische Additions Parallelogramme mehr und der period Ende herauskommt das ist der Punkt 5 plus 3 E und 5 plus 3 ist genau die Summe aus 2 plus 2 I und 3 für Sie also die Addition in C entspricht genau der altbekannten deckte Addition das überhaupt nichts neues eigentlich wenn sie diese Identifikation machen komplexe zahlt infiziert mit dem period dann identifiziert sich die Addition einfach mit der Decke Tradition da sind wir schon mal auf bekannten Grund was ist die Konjugation nur wenn sie ihren Sohn period sehr in der komplexen Ebene was ist jetzt sehr schwer Z Wer ist der Punkt der den gleichen Realfall hat aber den negativen Imaginärteil ja also müssen auf der reellen Achse auf der gleichen Höhe bleiben gleich er Realteil aber der Imaginärteil klappt nach unten um Krieg negatives Vorzeichen das heißt das Z W liegt hier unten können also und damit ist das conjugal konjugieren entspricht einer Spiegelung an der reellen Achse also wenn sie die konjugierten von der komplexen Zahl suchen dann müssen Sie ihn einfach an der reellen Achse spielen unternahm sie den konjugiert passt auch gut dazu dass der Yen wenn sie spiegeln sich nicht ändern dieses liegen auf der Spiegelachse period auf der Spiegelachse verschiebt sich nicht so habe die Addition ist direkter Addition dementsprechend ist die Subtraktion aufgeweckter Subtraktion dass es nicht so der er spannende viel interessanter ist natürlich jetzt wie sieht's aus mit Multiplikation und Division die also das wäre jetzt die nächste
Frage geometrische anschauen der Multiplikation die Vision wie sieht wie kann man sich das in der Ebene vorstellen und da gibt es eine schöne anschauen für aber da noch nicht die nötigen Hilfsmittel für also das ist im Moment noch kräftig aber ich verspreche Ihnen das er Kirchen im Laufe dieser das ist jetzt ein Ziel dieser Vorlesung ist eine geometrische Frauen dafür zu kriegen was es bedeutet 2. wechselt seinen dazu multipliziert ab so aber bevor da einsteigen bin ich noch ein paar Rechenregeln los werden der bisher haben wir diese welchen Operation
plus minus mal geteilt und Konjugation alle so wissen ein Seminar der behandelt aber die haben natürlich Beziehung zueinander und da man damals ein paar Regeln in der Nummer 15 und viele von diesen Regeln laufen unter dem Stichwort alles wie gehabt also erst mal ich viel Material für alle Z Z 1 Z 2 Z 3 aus gilt und jetzt kommen ein paar Rechenregeln die wahrscheinlich die sie so überhaupt nicht hinterfragt werden dass sie gar nicht ab gar nicht draufgekommen wären dass es ein Problem sein könnte aber lassen Sie mich der Vollständigkeit halber erwähnen also das Addieren in Z in sie ist auch eine sogenannte kommutative Operation sprich ist egal ob sie Z 1 plus Z 2 oder Z 2 plus Z 1 rechnen gleiches gilt fürs Multiplizieren Z 1 x Z 2 ist das selbe wie z 2 Z 1 also diese Dinge nennen sich kommutativ Internet einen schönen Fremdwort aber ich denke das werden sie von selber richtig gemacht dann gelten die assoziativ Gesetze das heißt im wesentlichen zu dürfen Klammern versetzen Z 1 plus Z 2 plus 3 ist das selbe wie wenn sie 1. 2 und Z 3 addieren und dann das Z 1 zu zählen genauso für die Multiplikation also ob sie erst Z 1 mit Z 2 multiplizieren und dann Z 3 multiplizieren das ist das selbe wenn sie erst Z 2 mit Z 3 multiplizieren und dann mit Z 1 multiplizieren und dass das Geld führte in der er zu der Überlegung dass man in Zukunft solche Klammern gleich von vornherein weglässt wenn Sie die Summe von 3 komplexe Zahlen haben würde wenn er auch niemand Klammern setzen weil die Reihenfolge einfach mit das aber wir gerade dabei sind alle Fremdwörter
hinzuschreiben also das ist die so genannte Assoziativität auf dann geht das Distributivgesetz spricht sie dürfen aus multiplizieren ausklammern Z 1 x Z 2 plus Z 3 ist das selbe wie Z 1 x Z 2 plus Z 1 x zentral das nennt man Distributivgesetz statt soll das denn also die ganz einfachen redlichen die
mit denen man sozusagen Alltag arbeitet ohne darüber nachzudenken so und jetzt will
ich nach ein paar Regeln denn in 3 anzögen die das Verhältnis dieser Rechenarten bloß und mal zum konjugieren beleuchten also wie verhalten Sie sich zum konjugieren zum Beispiel ist die Frage wenn Sie 2 Zahlen miteinander agieren und da anders konjugiert komplexe bilden hat das irgendwas zu tun mit dem konjugiert komplexen von Z 1 und dem konjugiert komplexen von Z 2 und die schöne Antwort ist ja das ist einfach die Summe dabei dass es also egal ob sie zu 1. die und anders konjugiert komplexe bilden oder ob sie von jeder einzelne es konjugiert komplexe Bild und dann addiert gleiches gilt freundlicherweise für die Multiplikation also Z einstmals R 2 und dann konjugieren ist das gleiche wie Z 1 quer bereits Zweig ich war an der Stelle jetzt exemplarisch ein Argument da ab sofort in der Zukunft immer weglassen sie könnten sich fragen wieso redet der Mensch da vorne immer nur über Addition und Multiplikation ich zum Beispiel bis zu trainieren du meine Antwort ist das subtrahieren steckt da drin die gleiche Rechenregel fürs Minus ist damit auch erledigt das will ich ihn hier einmal vor also ich behaupte sie haben damit die gleiche Rechenregel fest Minus warum na ja was ist Z 1 minus zu 2 Z 1 minus setzt weil Z 1 plus minus 2 das ist immer der gleiche Trick kann man das in das aus plus zurück spielen will beim Plus wissen sie dass das Ganze auseinanderfällt also das ist ja ein Square Plus schreib ich noch krasser minus 1 x 2 ja das ist die Rede von hier oben das und die sagt wenn sieht der Summe haben dürfen sie jedes einzeln konjugieren und jetzt haben wir im zweiten Teil die regelt das mal den kriegen wir hier Z 1 Square plus minus 1 quer Marcel Zweig quer ja das ist die entsprechende Regel Festmahl was ist minus
1 quer minus 1 ist mir reelle Zahl wird in der Regel zeigt werden und dass hier gar nichts das ist also minus 1 Marcel Zweig wäre und das es wieder Z 1 Quellen Industriezweig also mit diesem Trick kriegen Sie immer wenn Sie irgendwas das bloß wissen und übers mal kriegen sie auf minus ja das sitzen bisweilen nicht immer wieder so erwähnen er aber er das funktioniert immer genauso
er gleich ist den eiserne findet im Minus und Sie kriegen damit auch was was durch Z 1 geteilt durch Z 2 dieses ganze Ding hier in die Quere es ist damit auch Z 1 quer durch Z 2 quer natürlich nur wenn das Z 2 nicht 0 ist aber 2 nicht 0 ist kriegen Sie auch ne Regel für die WDR aus der Mitte multiplizieren war was ist dividieren dividieren ist multipliziert mit dem Kehrwert und insofern kriegen wir damit auch die diese Regel zur also was das
so sagt Detail ist egal welches Rechenzeichen sie zwischen 2 Komplexen Zahlen haben bloß mal minus geteilt sie können über dem Querstrich auf die Einzelteile ziehen wir das werden wir noch ging so nächstes schöne ich nächste schöne Formel was passiert wenn Sendezeit konjugieren und das Ergebniss nochmal konjugiert das ist gut sich wieder die geometrische anschauen zu erinnern was heißt konjugieren konjugieren heißt Spiegel dann der reellen Achse was passiert wenn Sie eine Zahl spielen und dann noch mal der gleichen Achse spiegeln dann können sich das Ganze auch Spanien sind sie wieder da wo sie losgelaufen sind also Z fährt wir ist immer Z u eine Begründung 2. Begründung Was ist sehr schwer Z quer macht aus dem Fluss macht aus dem Vorzeichen dass immer genährt heißt das andere Vorzeichen mehr wenn Sie das Vorzeichen zweimal wird sind sie wieder da wo sie hergekommen ob so und zum Abschluss noch eine
Formel die das Queren mit dem Real und Imaginärteil zu in Verbindung bringt das sind sehr praktisch und Realteil würden wir gehen erteile auszudrücken also der ja Teil von einer komplexen Zahl ist immer Inhalt mal die Summe aus Z und Z quer und der Imaginärteil von einer komplexen Zahl ist immer 1 durch 2 mal wie die Differenz aus Z und Z quer warum das gilt seit ich Ihnen gleich klar das wenn es sind ganze Stapel von von Rechenregeln
Formeln bei manchen wie bei der Idee ist irgendwie anschaulich klar wo die herkommen die 11 ich mal an sieht man nicht sofort aber bei diesen ganzen Regeln ist der Nachweis dass sie gelten oder dass sich klarmachen dass sie gelten nicht wahnsinnig aufregend nehmen sie zum Beispiel für die für die Rechenregel mit dem quer da oben nehmen sie Z 1 als A 1 plus P 1 wie unser 2 als A 2 plus B 2 II 14 Sie einen rechnen nach und stellt fest dass es stimmt das einfach nur Nachrichten ich will es an 2 Beispielen machen und den Rest können Sie nach der Blaupause dann nach mixen also ein Beispiel ist ich führe ihn C vor C war das Distributivgesetz also Z 1 mal Z 2 plus 2 3 ist das selbe wie Z 1 Z 2 plus Z 1 Z 3 und das will ich Ihnen im Wesentlichen vor damit man nachsagen kann ich hier gekniffen das ist mir nicht 1 von den erfinden bitte mal ganz er
wie gesagt diesen alle nicht schwer aber dieses Ding hier es hat ein bisschen länglich aufzuschreiben also was machen wir das Z 1 ist mir komplexe Zahl das heißt der lässt sich schreiben als A 1 bis B 1 E setzt weil es sich schreiben als 2 plus Bild 2 die und Z 3 lässt sich schreiben als 3 plus B 3 wie jetzt müssen wir eben darum einsetzen und feststellen ob das alles stimmt also was müssen wir ausrechnen Z 1 x 2 plus Z 3 zur was ist Z 1 entsetzt über ein S A 1 bis B 1 sie in multipliziert mit C 2 alsbald plus B 2 E plus Z 3 3 plus B 3 war was machen wir mehr alles ruchlos aus multiplizieren was ist das das ist A 1 A plus 1 andere mach erst alle die die Realteil ergebenden der 1 A 2 A 2 A 3 und dann kriegen Sie noch reale Beiträge wenn sie 2 hieß aufeinander werfen die geben dann zusammen im Minus 1 also minus B 1 B 2 minus B 1 B 3 und jetzt kommen alle die die ein einfaches wie enthalten das ist A 1 B 12 plus A 1 B 3 Kloos A 2 B 1 plus A 3 B 1 bei ihnen soll ich alles haben zahl Satire um das ist A 1 A 12 minus B 1 B 2 plus wenn man das mit 1 und 2 sammeln A 1 B 2 plus A 2 B 1 plus alles mit 1 und 3 sammeln A 1 A 3 minus B 1 B 3 plus A 1 B 3 Kloos A 3 B 1 B das ist nur die Zeile obendrüber 9 zusammen sortiert und jeweils sortiert vorne alles was nur 1 und 2 enthält und eben alles was 1 und 3 und jetzt kommt der Moment wo man scharf drauf gucken muss und dann stellt man fest dass was hier vorne steht S A 1 plus B 1 E X A 2 Bild I natürlich drin mehr A 1 bis B 1 E X A 2 plus Bild 2 die warum am besten sieht man so rückwärts wird welchen sie von unten nach oben das ist 1 x A 2 und dann das Email das die dicken minus 1 also minus B 1 B 2 plus A 1 B 2 lieblos B 1 A 2 und das da hinten ist der man genauso scharf drauf guckt A 1 plus B 1 sie man 3 plus Petra Lee und das ist nix anderes als Z einstmals für 2 plus Z 1 x Z 3 und da wollen wir hin als dass sie sich 4 setzt alles einsortiert so lange um bis man da ist wo man hin will und viele entsetzt an so der von den einen
regeln können Sie genauso machen ich für ihn
noch eine andere vor das ist die Aussage F und davon auch nur die 1. das war der ja Teil von zählt lässt sich schreiben als Inhalt Zirkuszelt quer das ist das Ziel und da auch gleiche Methode setzen Sie jetzt zeitgleich gleich A plus B I und dann rechnen Sie aus was diese Rechte sei liefert also was ist dann in Halle sehr plustert quer das ist der Inhalt A plus B X Z das ist sehr quer Z A plus B X I ist ist sehr Querarm minus Beamer also Industrie sehen Sie was passiert Decks quer negativen Imaginärteil vom Zeit das heißt die beiden der General Ausdrücke plus P mindes- B fallen genau und übrig bleibt ein halbes x 2 m x an na ja und ein halbes Mal zweimal ist eben aber und ist genau der Realteil von Z auf die Weise kann man den Realteil mit Z und Z darstellt schon
also wir können Sie jetzt Hattingen wir können dividieren multiplizieren konjugieren und wir wissen wie sich diese ganzen Dinge verhalten und Wärme geometrische anschauen und die geometrische anschauen wenn ich es an einer Stelle noch komplettieren mit dem Begriff der er keine ich dann auch recht naheliegend ist wenn man sich wieder die komplexen Zahlen als gaußschen Zahlenebene vorstellt also wie war das Sie haben imaginäre Achse sie haben die Rede Welle Achse sie mögen wohl komplexe Zahl z u dann ist hier Realteil von selbst der ja von Z entspricht der X Koordinaten in ihrem kartesischen Koordinatensystem so haben das gerade identifiziert der Imaginärteil von Z entspricht der y-Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem das war genau die Identifizierung zwischen C 2 zur und die Idee war eben die komplexen Zahl z zu identifizieren mit dem period Z in der Ebene bzw. haben wir auch gesehen dass es das gleiche mit dem Ortsvektor des period das Zelt und dieser als wir das Ganze ist eben an geschaut haben aber diesen vektorielle Länge zugewiesen und die Länge die Weise jetzt der komplexen Zahl z
als Betrag zu also wenn sie der komplexen Zahl z haben A plus B E dann definieren wir den Betrag von Z erst die Länge dieses Vektors was ist der also von zählt dass die Länge hieß denn wenn ist Willi und dementsprechend jetzt Pythagoras rechte Winkel die Länge von den Dingen ist die Wurzel aus A Quadrat plus und das Ding nennt sich eben der Betrag von Z und damit haben auch wieder ein Größenmaß für komplexe Zahlen nein das ist das was den Betrag immer tot und eine neue
Rechenmethode ein neues Spielzeug und jetzt können wir von vorne Fragen die verträgt sich der Betrag mit den andern rechne tun also wieder eine neue Abteilung Rechenregeln und auch von den sind die meisten nicht neue war was ich mit meinen dass wir auch wo ich Firmen die sich laufend neue Sachen werden müsste sondern dieser Rechenregeln sind im Prinzip das genauso wie in der also die das Verhältnis von Betrag zu Plus und Wahl ändert sich nicht zwischen ziehen erst bleibt das gleich das einzige was jetzt dazukommt ist es konjugieren ja das konjugieren gibt es den ärmlichen oder sie kann das eigentlich Dietz Kollegien auch wenn er das macht gar nix da kann man es auch ignorieren ja und wir schauen mal wie sich der Betrag jetzt zu den andern Sachen verhält also wenn wir uns 2 komplexe Zahl z und wenn nehmen dann kann ich dieser kommt das 1. konjugieren dazu aber der Betrag um das konjugieren hat mir sehr einfaches Verhältnis zueinander wenn sie wissen wie lange die welchen Betrag die Zahl Z hat was ist mit den Betrag von 10 quer und Mannsbild geguckt wo ist da oben sehr schwer sie müssen mir Z an der reellen Achse spiegeln Z werde dass ich hier unten spiele period Achse im lange wird der Betrag von Ziegler quer sein genauso lang wie der von Z also Betrag von Z wer es immer gleich Betrag zählt das ist sehr einfachen freundliche Regel und das Bild dahinter ist einfach die Spiegelung klären ist die Spiegelung der reellen Achse und die endet die Länge nicht so dann hatten wir immer wählen was passiert wenn Sie 2 Zahlen multiplizieren und den Betrag von Produkt anschauen da kommt wunderbarerweise schöner Weise raus das ist genau das Produkt der Beträge das gilt auch im komplexen wir haben das Gleiche gilt für das den Quotient Betrag von Z durch W ist Betrag von Z durch Betrag von W natürlich wieder nur solange wir nicht nur das weil wir nur das dann macht zärtlich wir keinen Sinn und Betrag Z durch Betrag wie auch nicht er soll dann kommt
was ist wenn Plus und auch da gilt genau das Gleiche wie Reilly wenn ich keine gleich Betrag plus Betrag wie sondern nur eine Ungleichung die immer wieder gern zitierte Dreiecksungleichung also der Betrag von 10 plus W ist kleiner gleich der Betrag von Z plus der Betrag von W das ist 3 zum gleichen haben auch schon gesehen dann wird Rektor der Ebene gesehen und da ja unser Betrag siehe oben genau als dass der Betrag von dem Vektor von also der die Norm von den Vektor Ortsvektor von AB definierte sonnig verblüffen dass diese ganzen Rechenregel 1 zu 1 dieselben sind also dann ja auch die Dreiecksungleichung und jetzt er kommt noch eine schöne neue Regel dazu das ist jetzt wieder eine die sind einfach nur dem komplexen gibt weil wieder der Konjugation drinsteht aber die macht viele Dinge sehr praktisch und weil uns diesmal auszurechnen was passiert wenn Sie der Zahl mit ihrem eigenen konjugierten multiplizieren das aber schon gemacht das einmal gemacht ist in dividiert haben nun der mir gesagt der der Dekan dividieren ist 7 multiplizieren oben oder unten mit dem kollidiert komplexen des Nenners und was dann passiert ist es auf wundersame Weise in den da plötzlich der reale Zahl steht was am 3. Silom liegt und ganz allgemein gilt wenn Zahl mit ihrer eigenen konjugiert komplexen multiplizieren dann kommt immer Betrag von Z Quadrat aus also genau Realzeit Quadrat Flussübergänge S Heilkraft macht und das ist sehr angenehme vorne weil man damit nämlich folgendes
machen kann damit können Sie jetzt das
Dividieren sich einfacher merkte ich hatte letztes Mal mehr allgemeine Formel fürs TV dir den geschrieben die hat so die ganze Breite hier gefühlt und keiner hat Lust sich die auswendig zu merken bauen sie auch nicht der damals schon gesagt mehr sich für Trick der träges Multiplikation also er weiter mit dem konjugiert komplexen dass man das und eigentlich brauchen sich noch nicht mal das zu merken sondern was Sie sich merken können ist die folgende relativ einfache Formel für das für 1 durch Z also wenn Z und gleich 0 ist dann kann man einst durch Z immer darstellen als Z quer durch Betrag Z Quadrat also wahrscheinlich auch noch komplizierter als ich den Trick mit den Arbeitern zu merken besten merken sich den Trick dem erweitern es konkret rechnen müssen oder das hier und wenn Sie jetzt 1 Z haben sie damit auch wir durch Z war was ist wie durch Z mehr wie man einst ich 10. zur um dieses folgt direkt aus dem 11 aus dem des das will ich Ihnen gerade noch zeigen also ich werde Ihnen nicht das ganze Ding wieder vor beweisen sitzen wir Zulagen aber A D und E also B und C überlasse ich
Ihnen aber die und machen schnell das ist der Ton also wir müssen den Betrag von 10 quer bestimmen und zeigen Betrag von Z Z sei wieder die ganze Zeit wie schon jemand Abschluss des Mali was ist wenn Z A plus des Marlies was ist dann Z quer das ist dann minus B Mali M queren heißt nur das Vorzeigen von Imaginärteil umdrehen das ist der Betrag der von Wurzen aus Quadrat plus minus B Quadrat wozu Austria Teigquadrat wieder zeitweise das ist der na ja aber ob sie minus B Quartiere B Quadrieren ist nun wirklich egal minus 1 Quadrates hat 1 und das was da steht ist jetzt Betrag Z period zur das ist der Anteil aber das ist die
rechnerische Begründung die anschauliche Begründung wenn sie in der realen Achse spiegeln ändert sich die Länge von weg dann ich zeitlich gesagt D und des was müssen wir tun müssen Z x sehr schwer ausrechnen also seit Z wieder A plus B I dann ist Z Mazyek schwer A plus B E mal minus E und ich hoffe jetzt erkennt Sie diese Struktur aus dem dividieren wieder mit dem dritten Linderung war das es 3. Binom und was rauskommt ist Quadrat man B Quadrat was ist das das ist Quadrat wie Quadrat ist minus 1 also haben sie minus minus B Quadrat oder kurz plus b Quadrat na ja und Quadrat plus b Quadrat ist das Quadrat von Fonts Z betrachten Z Betrages wurzellos Aquada plus b Quadrat also plus b Quadrat das Quadrat so dass es des und daraus kriegen wir jetzt wie zeige ich Ihnen das einst durch Z diesen diesen Ausdruck hat ich multipliziert es denn mal mit Z und zeigst kommt 1 raus vereinzelt Z ist ja die Zahl der EZ multipliziert 1 ergibt also z x Z quer durch Betrag Z vereinbart wir sehen Sie schauen der zu werden wir einfach unser des nur das ist z Mahlzeit quer durch Betrag zigmal oben steht jetzt auch Betrag Z Quadrat nach D und das ist 1 also dividieren Sie das Zelt durch nen die Voraussetzung ist dass das Z nicht 0 ist also dass wir das Zelt durch dividieren Dennis Z quer durch Betrag Z Quadrat gleich 1 60 also folgt dieses eh
ziemlich schnell ausfindig gut so jetzt haben wir unsere komplexen Zahlen mehr in der komplexen Ebene dargestellt wissen was die Addition des wissen was die Konjugation des geometrisch anschaulich die Multiplikation ist noch übrigen schwierig und das liegt nun da daran da das das Betrachten in der Ebene zwar richtig ist aber die Koordinaten die wir bisher benutzen die kartesischen Koordinaten real immer genährt heißen die falschen um Multiplikation Division zu verstehen und wir hatten damals als wir die Ebene betrachtet haben auch immer mit zwischen 2 Kundendaten gespielt den kartesischen und dem dann immer ein period entweder beschrieben durch seine Ex und y-Koordinate oder durch Abstand vom Ursprung und winddicht und genau das Gleiche kann man jetzt hier wir können sie sehen alles da 2 bekannt identifizieren mit R 2 und können jetzt also diese Polarkoordinaten nachts ihren Beitrag und das ist eine sehr sehr fruchtbare Idee das wegen der wir noch mal kurz in die Polarkoordinaten bei diesem
Polarkoordinaten haben dann in Serie eine sehr ja die erleichtern es sehr die komplexen Zahlen zu verstehen also Erinnerung Polarkoordinaten und die Grundidee war immer sie beschreiben ihren Punkten R 2 nicht recht sehen X und y-Koordinate also in dem Fall nicht durch den Real und den Imaginärteil sondern sie schreibt beschreiben ihren period selten mehr 2. also das war die real und Imaginärteil Darstellung die entspricht in kartesischen Koordinaten sondern Sie beschreiben den Punkt in dem sie die Länge dieser Strecke angeben die kennen wir schon dass ist Betrag Z bei denen wir schon und diesen Winter hier das war die Grundidee der Polarkoordinaten diese period Z hat jetzt die kartesischen Koordinaten Realteil Z in einer Teilzeit und die Polarkoordinaten Betrag Z I nein und er das ein weil wir jetzt hier auch
wieder machen mehr da und die eine
wesentliche Überlegung ist die folgende wenn Sie Zahl Z haben dann können Sie die immer schreiben was passiert wenn sie diese Zahl zählt hier mit dem Faktor 3 multipliziert 306 das ist ja wie Cerberus der plus Z natürlich also zweimal Z und fliegen wir aus dem Bild raus wenn sie zweimal Z machen dann ist das der plus Z und ich hatte Ihnen gesagt Addition in C entspricht der Vektor Addition also wenn das Zelt ist dann die zweimal Zetsche weiter hinten wenn genau noch mal den Weg da dran geklebt so und wenn sie jetzt 10 Mal durch den Betrag von zerteilen mehr dann landen sie auf dem Einheitskreis nun die Zahl z durch Betrag zählt die hatte nur Betrag 1 normale Betrag von zärtlich betrat 10. Betrag Z durch Betrag Z und das ist recht zur das heißt aber wenn sie zerbricht Betrag teilen landen Sie auf dem Einheitskreis und auf dem Einheitskreis kennen Sie wenn Sie 4 haben die Koordinaten das period auf dem Einheitskreis oder die der ja ein Teil des mehr der Teile oder die X und Y Kolonnade von period auf dem Einheitskreis sind einfach Cosinus wie Sinus wie damals bei den Polarkoordinaten mehrfach festgestellt das heißt Z durch Z quer hat die kartesischen Koordinaten Cosinus wie Sinus oder als komplexe Zahl geschrieben bis Cosinus die plus Sinus wie Mali das ist der Darstellung in kartesischen Kundendaten Read haltlos ihm müsste man jetzt einmal hin oder anders formuliert nur die beziehen Sie den Betrag Z nach oben also z ist Betrag von zählt mal von Fini plus 7 das Finale töten was gibt es jetzt das ist eine Darstellung ihrer komplexen Zahl z in den größten Betrag Z und vielleicht also wenn sie denn die Polarkoordinaten ihres Punktes kennen können Sie so die komplexe Zahl ausrichten die dazugehört so dementsprechend ist dieser Welt wenn der fliegen von Interesse das
ist der linke viele polarer Stellung und der sagt bei den komplexen Zahlen hat ihren eigenen Namen in Führung noch schnell einen also Begriff 5 13 das Winkel Pole der Winkel der Polar Darstellung heißt das Argument der komplexen Zahl also in sie heißt dieses Vieh auch Argument von Z dpa der Begriff hat sich in sehr durchgesetzt in der 2 gibt es in dem Sinne nicht in C sehr sehr sehr praktisch
unbrauchbar und man schreibt dafür auch kurz Art von zählt also Notation dazu dies ist die ist aber von Z und arg steht eben für Argument anders denn eine kleine Warnung die ich auch schon bei den Polarkoordinaten immer 2 los geworden denn das Argument dass so zu schreiben so geriert ist eigentlich schlecht weil es suggeriert jede komplexe Zahl hat genau so ihr Argument ist die Kabine Funktion selbst wenn Sie da Z in diese Funktion Arbeit eingeben kriegen Sie das Argument raus und das hinter bestimmt nur so mit dem Achtungszeichen weil uns oben sieht man gerade noch diese Zahl Z hat diese Winkel Vieh aber es hat natürlich auch diesen Winkel fliegt 4 plus 2 Kinder habe das ist immer das Problem der Polar Darstellung Sie können auf die Winkel immer beliebige Fieber 2 pi darauf eingehen und kam auf den gleichen Punkt also dieses Fly ist nur bis auf vielfache von 2 P genau bestimmt und das ist für die sind in die gleiche Warnung über Polarkoordinaten die gilt immer noch was meinen Sie üblicherweise macht ist meine
sich von vornherein auf ein Intervall der Länge 2 p aus dem das viel zu kommen hat also und die üblichsten Wahlen sind man sagt von vornherein fieser immer zwischen 0 und 2 Pi zu wählen dann sind eindeutiges Argument oder was aber mindestens kann also die war tauchen beide ungefähr gleich häufig aus legen Sie mich da nicht fest was häufige ist das Intervall von minus Pikes Peak ja aber dann P einschließen gut also die kommen beide vor und wenn man mit Argumenten rechnet sollte man immer vorher festlegen was so dieses Intervall ist aus dem man die Argumente Welt gut ja dann aber jetzt im Prinzip die gleiche Fragestellung überleben kann diese beiden der Geometrie der Ebene auch die geben kann period in kartesischen Koordinaten wie kriegen Sie die Polarkoordinaten gegeben werden period Polarkoordinaten wie kriegen Sie die kartesischen und das war in der Einrichtung dieser relativ angenehme Umrechnung in der anderen Richtung etwas mühsam aber das bleibt hier bestehende ich will Ihnen ein Beispiel vorrechnen
aber danach bin ich Ihnen zeigen das ist eben dadurch also einen hohen Nährwert hat sich mit diesem Polar zu beschäftigen weil sie einen geben geometrische anschau vor allem weil sie eine geometrische Anschauung für die Multiplikation und Division gehen also das ist Beispiel 5 14 und wir schauen uns mal die komplexe Zahl an 1 minus Wurzel dreimal die das komplexe Zahl ihnen Darstellung A plus B also alles er in kartesischen
Koordinaten geschrieben und die Frage ist jetzt was ist Betrag und Argumente also wie komme ich an die Polar Darstellung war so 1 wie wollte dann mal E der andere Teil ist den Betrag ausrechnen was ist der Betrag von Z in dem Fall der ist die Wurzel aus der Teigquadrat also als 1 Quadrat plus Imaginärteil Quadrat also Wurzel aus 1 plus 3 muss das 1 plus 3 Nutzen aus 4 das ist zwar ist übersichtlich und bisschen der Flieger ist das Berechnen vom Argument müssen uns wenn wir einmal damit überlegen muss in welchen Quadrant dann würde weckte liegt also wenn 1 minus Wort 3 der Realteil des also 1 der mehr er ist minus 2 zu 3 Busse 3 so ungefähr 1 comma decimal 7 also der Imaginärteil erteilen es minus Wurzel 3 das heißt es Z liegt ungefähr hier und nach Konvention wird der winkenden Polarkoordinaten immer gemessen zur positiven reellen Achse also wir brauchen dieses hier und das ist bisschen mühsam leichter zu berechnen ist dieses Eifer aber wenn Sie dieses mal haben dann ist hier einfach 2 Pi als also wenn wir es einfach aus also 2 Ki minus fiel und das Eifer wollen wir haben was ist denn der Kosinus von dem Alfa Jose Nuss ist ein Katheter durch U-Boote also über Gemüse Hypotenuse die wurde nur sehr 2 Angela die durch die bodenlose ist also mal und der Sinus von dem Alfa es gegen Patente durch die wurden Nose gegen den Täter hat hier Länge Wurzel 3 also den Sinus muss putzen 3 halt ist suchen Winkel alpha dessen Kosinus Neid und dessen sehen wollte 3 Hallen ist wenn Sie jetzt mal diese Tabelle kucken die ich ihn am Anfang bei der Trigonometrie geschrieben habe tauchte der tatsächlich auch der Winkel es genau P 3. auch 60 Grad genannt so also es aber des Alfa was ist denn das Argument von selbst das Argument von zählt ist das Vieh und das Vieh ist 2 Kinos alle fahren also 2 Speed 3. 6. 3. in das geht 3. 5 und das ist das vielleicht da so und auch noch mal zurückkommen auf die Warnung von
vorhin andere Möglichkeiten also das ist das Argument in dem Moment wo sie die Konvention haben das Argument würde immer zwischen 1 und 2 liegen wenn Sie die Konvention haben das Argument liege zwischen minus P halb zwischen minus POP dann tut der natürlich nicht weiter größer als P ist er dann müsste sie noch 2 pi absehen also es Argument von Z können Sie genauso auch mit gleich wird Rechtfertigung 5 oder mit gleiche Berechtigung als diesen werden also als minus B 3. nein oder meinen wegen also noch 2 P zu zählen das ist dann allerdings das ist dann allerdings nicht mehr arg üblich aber geht natürlich auch Argument von selbst als 5 B 3. plus 2 P also als 11 P 3. aber das ist dann wie gesagt schon nicht mehr üblich aber die beiden 1. Fälle das ist durchaus üblich 5 bietet oder minus kommt immer auf den persönlichen Geschmack des Autors an gut da mir jetzt die Polarkoordinaten von diesen von dieser
komplexen Zahl bestimmt er und was ich ihnen versprochen habe es diese Polar Darstellung denn der dazu zu verstehen was multiplizieren C macht und damit dann auch dividieren und das kommt jetzt also das ist die Nummer 5 15 bzw. 10 L zeigen wenn ich Ihnen die geometrische Bedeutung von Multiplikation und Division und wenn Sie die versuchen in kartesischen Koordinaten also über den Real und Imaginärteil zu verstehen dann ist es ein klassischer Fall von man sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht da haben sie eine komplizierte Formel und weil sie gar nicht was das und die richtige Brendel der richtige
Herangehensweise um es multiplizieren dividieren zu verstehen ist die Polarkoordinaten Schreibweise nun das sehen wir gleich denke ich recht deutlich also nehme sich 2 komplexe Zahlen der Z 1 und Z 2 und jetzt schreiben wir nicht Z 1 als A 1 plus B 1 wie unser 2 als Arzt bei P 2 lieber dann landen in der Tinte sondern wir schauen uns die Polarkoordinaten von diesen Vektoren er von diesem komplexen Zahlen an und die Polarkoordinaten von Z 1 sein R 1 4 1 und die Polarkoordinaten von Z 2 sein R 2 I 2 Zeller was ist dann Z 1 x C 2 wir sind der diesem wollen dann hätten könnte das jetzt rechnen und deswegen habe ich ihn oben angegeben wie das zusammenhängt Z 1 können Sie schreiben wenn sie wenn sie von Sat.1 die Polarkoordinaten kennen habe ich ihn oben geschrieben wie sie auf die kartesischen kommen das ist er 1 also Betrag von Z 1 x Kosinus von 4 1 plus Sinus von 4 1 x wie 1 zwar diese Überlegung wenn sie aus dem Z 1 den Betrag raus dividieren dann bleibt nur noch der Puppe period auf meine Heizkreis übrig Cosinus wie 1 plus 7 4 1 wie also ist Z 1 Betrag von Z 1 x dieser Punkt auf dem Einheitskreis ein Privatkonzert 1 ist immer 1 so und das ist sehr 2 machen Sie es gleiche das gibt man R 2 Marco sinnlos von 4 2 plus 7 das von Vieh zweimal Ideen zwar hier wissen wird wieder wieder rechnen müssen dass es zwar ein mühsamer lange Ausdruck aber das kriegen wir hin zunächst mal gibt es vorne 1 x R 2 und dann gibt es 2 Klammern zum aus multiplizieren also auf geht's das ist Kosinus von 4 1 mal Kosinus von vielleicht 2 jemals wieder zuerst zur TV danach real Imaginärteil also großes wie einst Mancuso sie 2 geben Realteil 2. Beitrags und Realteil kommt dann wenn die beiden hieß auseinanderfallen also bei dem Fernsehen ist die einzige jemals Industriezweige wie die beiden hieß geben im minus einzeln übrig minus Sinus von 4 1 mal sehen was von 4 2 so was habe ich 2 von den 4 Terminen geschrieben die dann aus multiplizieren entstehen noch ist die 2
Wochen eine ist das ist sie von 4 1 Heiko von 4 2 plus Kosinus von 4 1 mal Sinus von Filz Wahl Mali und noch große close bracket tja das war jetzt 4 sortieren kann aber ist bisher nicht viel passiert außer ausklammern von 2 wüssten
klammern aus beziehen von Service in Klammern und jetzt kommt der Moment wo man scharf drauf gucken muss und sich erinnern dass man diese Ausdrücke irgendwo schon mal gesehen hat Kosinus von AlphaGo Sonos von Wetter minus in das ein Versehen das Unwetter das in die rechte Seite von Additions Theorien an und man sicherlich Additions Theoreme ergeben oder die in Ruhe nochmal nachschlagen dann werden Sie feststellen sie kriegen hier einfach R 1 R 2 Mal Kosinus von der Summe für die 1 plus 4 2 Glos und jetzt hat man sich diesen zweiten Teil daran sehen aus wie ein zwar große muss die 2. große Moschee eines Industriezweigen stellt fest dass es und Additions Theorien und das ist nichts anderes als der Sinus von der Summe der Winkel Sinus 4 1 plus 4 2 Mal in so und das schöne an dem der Darstellung ist jetzt dass wir jetzt die Polarkoordinaten von Z 1 x Z 2 ablesen können war jetzt haben meine
Darstellung von der Sorte Z 1 x Z 2 diese eine Zahl x Kosinus von dem Winkel plus Easy nur sehen dass von den Gemeinden das ist genau das was ich oben gesagt hatte da können Sie die Polarkoordinaten sehen das was vor nicht jedes der Betrag und das was das Argument von Cosinus und sehen muss das ist das Argument von Z also kriegen hat die komplexe Zahl z 1 x C 2 die Polarkoordinaten der Betrag ist er einstmals wird zwar er hat er 2 also der Betrag von Z 1 x 2 ist nur das Produkt der Beträge von Z 1 2. ist jetzt noch nicht so wahnsinnig überraschend das wussten wir schon früher also Betrag von Z 1 Matzel 2 ist Betrag von Z 1 x Betrag von Z 2 das war eine von Rechenregeln freuen das ist es nicht überraschend dass Überraschendes was passiert mit den Winkel und der wird ganz einfach der Winkel vom Produkt ist die Summe der Winkel von einzelnen also der Winkel von LZ 1 Z 2 ist der Winkel vom Z 1 plus der Wege vom Z 2 und das sieht man eben nur in Polarkoordinaten ich in kartesischen das heißt damit können wir jetzt das Multiplizieren
einmal am Beispiel malen nein wir uns ein
nach da Zar er aber also
wieder auszuzahlen Ebene Realteil Imaginärteil irgendwo hier sehr Z 1 Z 1 ist gegeben durch diese Länge R 1 also den Betrag von Z 1 und den Winkel 4 1 haben Sie irgendwo jetzt der 2 seit 2. gegeben einmal durch die Länge durch den Betrag von 10 2. ist dass er 2 und den Winkel 4 2 dann und was ist jetzt Z 1 x Z 2 Z einstmals jetzt ist die komplexen Zahlen der Betrag das Produkt der Beträge 1 2. und den Winkel die Summe dieser beiden Winkel ist also was Sie machen ist tragen hier nochmal den 4 1 1 oder nehmen Sie die Zeit in dieser Richtung legt und den Betrag R 1 x 2 ist und das ist Z 1 x C 2 also multiplizieren multiplizierte Beträge und addiert die winddicht period das ist die Anschauung hinter multiplizieren multiplizieren
multipliziert die Beträge und aktiviert die Winkel und damit ist auch das Gut in der Ebene vorstellbar was da passiert jetzt kann man genauso das Dividieren behandeln können sie die gleiche Rechnung noch mal noch mal machen landen sie auch auf den sprechen Additions Theorien und was dabei herauskommt ist ein Polarkoordinaten also in die wieder Z 1 geteilt durch CO 2 hat die Polarkoordinaten er 1 durch R 2 also die Beträge werden dividiert auch das hatten wir schon und die Winkel werden einfach subtrahiert 4 1 minus 4 2 ja also dividieren
dividierte Beträge und so trainiert sie ist so und das ist das ist eben das was sie im kartesischen Koordinaten ich sehen dazu brauchen Sie die Polarkoordinaten und jetzt lassen Sie mich die Koordinaten noch die oder
goldenen ein bisschen ausweiten um was ich Ihnen jetzt ein für ist nichts als mehr erst meine formale Schreibweise die sich einfach die einfach total nützlich ist aber wichtig von dem Teil des eben dies mitzunehmen das multiplizieren und dividieren hat auch in der draußen Zahl Zahlenebene klare geometrische anschauen zum Beispiel was ist Multiplizieren mit I multipliziert mit I ist eine wunderbare geometrische Sache oder wird mit I die Zahl er Betrag 1 das heißt wenn Sie Z mit ihm multiplizieren dann ändert sich ein Betrag Maliks aber der Betrag von 10 Mal die ist dann der Betrag von z x 1 im Betrag von 10 aber was ist die Macht ist dass er trinke P halbe der linke von ist rechte Winkel ist die halbe und wenn Sie jetzt die komplexen Zahlen die multiplizieren dann ändere sich der Betrag nicht aber der Winkel wird OP halte er das heißt Multiplizieren mit ist nichts anderes als eine Drehung um 90 Grad der multipliziere gewesen sein wie macht nichts anderes ist diese Zahl um 90 Grad zu drehen sofern sie ganz also für diese Modifikation eigentlich nicht schön anschauen der eben so dann ich hatte Ihnen oder wir hatten jetzt mehrfach verwendet wie man von Polarkoordinaten auf kartesische Koordinaten in den komplexen Zahlen kommt nämlich in dem an selbst schreibt es Betrag Z mal diesen Ausdruck Cosinus wie plus Email 7 plus minus 4 Mal in dieser Ausdruck Cosinus Industrie mal wieder ist wichtig der taucht immer auch und den schreiben wir jetzt anders und diese schreibe ist immer ist im Moment wahrscheinlich erstmal überraschend erklärt sich im Nachhinein und ist hoch praktisch und zwar also diesen Ausdruck Großindustrie plus Sinus Mali der ist schon schon so doof lang zu schreiben den lohnt sich's abzukürzen als der hoch Email 4 da geht es darum weiß gut passt er eine 1. Begründung also weil keine Begründung aber ein Indiz dass es passen könnte setzen sobald die gleich 0 1 das ist er auch 0 1 nur also es hier wirklich die Eulersche Zahl e ihres die e Funktion Exponentialfunktion er hoffe 0 Unrechts kriegen Sie was Sie vielleicht 0 Kosinus muss von nur des 1 plus 10 muss von 0 bis 0 also auch 1 wunderbar aber natürlich ist das das Zeug an einem period übereinstimmt noch keine Begründung dass es passt aber immerhin wenn nicht übereinstimmen würde das die Begründung dafür dass ich Mist erzählt aber es stimmt überein gut ja wir werden sehen dass das eine sehr sinnvolle Setzung ist und warum macht man die weil die das ganze Leben mit den Polarkoordinaten extrem vereinfacht diesen Zusammenhang hier nennt man die Eulersche Formel nach Leonard Euler und was ist dann dieses rief viel denen eine EU rief die natürlich nie komplexe Zahl und was ist der Betrag von dem rief sie kann ausrechnen wo Evi ist diese komplexe Zahlen Trial Halle Cosinus die man mehr Teil Sinus wie Betrag davon es also Cosinus Quadrat plus Sinus Quadrat die und das kennen wir doch irgendwoher das ist der trigonometrische Pythagoras Cosinus Bradfield Ursinus parat wie es einst Burzler S 1 ist nur noch 1 also dieses UNIFIL ist für jedes sicherlich vielleicht komplexe Zahl mit Radius 1 also eine auf dem Einheitskreis und der mit der kann man es wunderbar rechnen
und ich zeige Ihnen jetzt gleich warum das
praktisch ist so und das war meine Bemerkung 5 17 hat das ist immer noch die 10 12 wir hatten vorhin festgestellt wenn sie komplexe Zahl C haben und sie kennen die Polarkoordinaten dann können Sie über diese Form mit dem Kosinus und sehen was sich die kartesischen Koordinaten zurückholen man also wurde Kundendaten von der komplexen Zahl sind Betrag Z Argument an oder eben manchmal dann auch er auf wie er aber er ist der Betrag und fließt das Argument mehr und was ist dann zählt Zeiten und wollen ihn überlegt Z kriegen Sie als Betrag X von selbst mal dieses Kosinus von Vieh plus 7 dass viele von ihnen wir mal zur und das Ding hatten wir jetzt gerade um wenn abends das heißt was wir kriegen es Betrag von zählt wie hoch Email mal und oder auch jetzt die nach dem um ein Betrag von Z oder er schreibt er wo wie viel und in dieser Darstellung haben Sie jetzt die gesammelten Polarkoordinaten Konzert da steht er drin da steht viel drin das heißt wenn sie das Ding hinschreiben beschreiben Sie damit die Zahl Z komplett und die Polarkoordinaten können Sie direkt ab ist in ganz vielen Büchern in ganz vielen oder ganz oft werden Sie gelesen das sind die Polarkoordinaten von Z kann man auch so sehen will also auch wenn sie irgendwo die Aufgabe kriegen bestimmen Sie die Polarkoordinaten von Z dann können Sie entweder in schreiben das ist open bracket 3 und die A 3 und die 3. oder sie schreiben es gleich als dreimal EU-Mitglied 3. also man kann die Polarkoordinaten so wunderbar kompakt darstellt auf jeden Fall viel schöner als diese langen genervten Kurse müssen sind so und warum ist es noch eine praktische schreibe außer dass sie kürzer ist
weil sich jetzt diese Rechenregeln für Multiplikation und Division in Polarkoordinaten ganz von selbst ergeben wir haben was gesehen wir haben gesehen wenn Sie 2 komplexe Zahlen dem und multiplizieren also wenn ein Z 1 jetzt Polar Darstellung also als er einst iMovie 1 und Z 2 als er 2 iMovie 2 dann wissen wir was Z 1 x Z 2 ist Z 1 x Z 2 hat sich Polar Darstellung mein Mantra von vorhin
Pult multiplizieren sie die Beträge und addiert die Winkel also Z 1 x Z 2 hat die Polar Darstellung R 1 x R 2 wie hoch Summe der Winkel 4 1 plus 4 2. und jetzt sehen Sie wenn Sie mal die Dinge von der einsetzen kriegen sie R 1 wie hoch ifi 1 x R 2 Egoi 4 2 und diese ganze Rechenregel fürs Multiplizieren Formen komplexen Zahlen das ist nichts anderes als die Potenz Rechenregel für die Funktion er hoch ifi 1 Marion Evi 2 ist er auch in 4 1 plus ich Hifi 2 also steckt alles in der Potenz welche drin das heißt wenn sie mit Polarkoordinaten arbeiten brauchen Sie sich über den und zwar in dieser Form also wenn sie die Polarkoordinaten so bei er ich noch ifi darstellen dann brauchen Sie hier Multiplikation und Division keine Gedanken zu machen dann geht es wie gewohnt nach Potenz Rechenregeln also auch hier müssen uns nix Neues merken doch die polare Stellung Mario hieß und dann rechnet sich mit diesen komplexen Zahlen wie gewohnt wenn sie die Potenz Rechenregel der die Funktion von mehr mehr er und wenn man das nein weitertreibt dann kann
man damit jetzt sogar ja 2
Striche man hat den einstmals als die die senkrechten 2 ja ja das sind leider zeigen das senkrecht steht ja also das ist als eine Gleichung so zu lesen 4 so Germanist das
weiter treiben und damit sogar die eine beliebige Funktion definieren wenn auch später noch mal anders machen aber keine Stelle passt das aber auch nur wenn sie ihre komplexe Zahl plus B X der nehmen dann können Sie jetzt wenn man mal dieses Theorie oben als gegeben hinnehmen nimmt er auch Z definieren nämlich als er Wochen das ist ihr hoch A plus B nix definiert nur hingeschrieben was bedeutet aber das können Sie jetzt definieren als hoch A X I hoch B und das was jetzt rechts steht macht alles Sinn er hoch an ist eine ganz normale WILL R Funktionen wie hoch aber mal und das sie oft die hatten wir definiert als Kosinus von B plus 7 das von den beiden die Weise können Sie sich 9 Kosinus von B 10 vom WBS reell macht alles Sinn doch die Weise haben sie nicht allgemeine Komplex Exponentialfunktion wunderschöne komplexe Funktion kann man sich sich später dran austoben okay was zweimal stimmt dann kann man nichts denn das ist 5 18 das ist vollkommen richtig da muss ich ab jetzt Ojeh wenn Sie mir jetzt noch häufig auf die Finger klopfen müssen wir jetzt natürlich alle Zahlen Gott
werden wenn Sie das so definieren kommt dabei Ebene in Zahl in der Funktion dabei raus die insofern würdig ist der Name der Funktion zu tragen als sie genau die Eigenschaften hat die man von ihr erwartet egal welches Z 1 und Z 2 aus C 7 hernehmen gilt dann nämlich ihre Hochzeit 1 plus Z 2 gleich Jahr schreiben Sie es sehen hoch A 1 plus B 1 wie plus 2 plus B 2 die man umsortieren A 1 plus 1 2 plus B 1 plus B 2 B das ist nach Definition hoch A 1 plus A 2 mal wie hoch B 1 B 2 Idee die Funktion erfüllt er nein er fühlt er Potenzgesetz also sehr hoch A 1 plus als weil er hoch A 1 mal die Woche an 2 gleiches gilt für die gerade definierte Potenz Funktion mit dem I drin das war das Additions Zions Theorien jedoch B 1 wie hoch Bild 2 dieser ziehen Sie es wieder um das ist er auch
A 1 wie hoch wie die mal eher hoch H 2 wie auch den 2 die und das ist er auch Z 1 x ihn auch Z 2 also die die Exponentialfunktion man sie so definiert erfüllt das was sie soll und genau so auch mit minus Z 1 minus Z 2 ist er auch Z 1 geht halte ich ihn auch zu zweit gut also wir haben jetzt komplexe Zahlen
betrachtet über diese goldene hatte Polarkoordinaten die Polarkoordinaten hatten wir gesehen lassen sich gut schreiben als Z ist er mal Ivory viel wobei er der Betrag von Z ist und wie das Argument und dazu hatten wir diese Funktion wo wie viel definiert und von der seine immer noch so ein paar Eigenschaften er normalen halbierte
einen gucken mal so n bisschen was die Macht 5 20 das entspricht 10 13 er was ist denn zum Beispiel eher hoch 2 TV Definitionen Kosinus von 2 P bloß Sinus von 2 prima Idee war mehr Cosinus und sehen zwar die periodische also dass es große von 0 plus minus von 0 mal hielt das hat von schon überlegt des 1 plus 0 Mali 1 zu 1 jetzt dass hier bei der Exponentialfunktion was Komisches sie sehen auch Zweitligist dasselbe wie auch nur wenn man sieht ja auch dieses 2 Kurses Unsinn das definiert und was passiert ist die Exponentialfunktion auf der Emerging imaginäre Richtung wer von Sanktionen Wähler Richtung kennen Sie eine imaginären Richtung ist das Dinge periodische Funktion das bisschen gewöhnungsbedürftig da aber sie die Winde verbindet man mit seiner Funktion nicht direkt mit der Liebe zu Tell anderer wichtiger
spezieller wird was ist er hoch P halt in Mali kann man sich entweder ausrechnen und überlegen aus den Thomas gleich überlegen machen wir es dass der Stick ist mit Polar Darstellung von komplexen Zahl welche Polar Darstellung ist es Betrag ist der vor Faktor also 1 also wenn der komplexen Zahlen mit Betrag 1 unbedingt gibt die Halde Minke P halt immer noch mal war es ein ganz Kreis war 2 die also Halbkreis ist P 1 P halbe rechter Winkel einmal auf also mit Zahlen mit Betrag 1 die auf der imaginären Achse liegt das ist die für alle da kommen wir bitte schön am Ende ihrer aus warum ist es eh mehr setzen sie es einen großen von P halbe plus 7 das von Peer Heidemarie an den Stellen die halbe ist der Kosinus immer nur PAL der Sinus 1 0 Mark plus einmal hier also so
jetzt haben wir 2 pi eingesetzt um die halbe setzen war normal Peer ein auch hier gleich Überlegungen können sich viele geometrische belegen das Zahlen mit Betrag 1 denn wenn GPS also was heißt der wenn fit statt auf ihre reellen Achse Pro 7 Relax und Red Lumpi also im Halbkreis nein sagte negative reellen Achse welche Zahl auf den negativen Regeln Axa Betrag 1 die minus Arzt also EOP es minus 1 und ich kann es mir bis dahin nicht verkneifen die Formel noch in der üblichen Art und Weise umzustellen wie hoch T plus 1 gleich 0 das und das ist er eine Formel die deswegen schönes weil er sozusagen die 5 wesentlichsten Zahl Mathematik drinsteckt 0 1 in die Klinik nicht die kriegen sie nie so elegant alle auf einen Haufen wenn dieser einen Form Sie die Zahl mit denen sie am meisten zu tun haben werden alle in einer Formel war so und jetzt es
letztes wirklich einfach noch ein Beispiel und normal zu zeigen das man mit dieser Exponentialfunktion jetzt wirklich rechnen kann weiß dass er hoch 2 plus Pi 2 bezahlen das ist er auch nach Definition jedoch zweimal erhofft die Yuppie aber gerade überlegt es minus 1 also das ist minus ich weiter und so können Sie gezielt es ihr auch Z ausrechnen sie auch Zeit haben wenn sie auch hier hat Heidemarie auch immer wieder Teile Mali wie auch immer in der Tag X I dreht das Ding auch wohin und dass er hoch Argentinien den Betrag period gut da kann man jetzt noch stundenlang weitermachen keine Sorge machen ich stundenlang weiter zum bis heute nicht eine Rechenregel habe ich noch sogenannte Formel von dem also das ist jetzt im Prinzip eine Potenz Rechenregel für komplexe Zahlen ja eine komplexe Zahl C in natürliche Zahl n und was wir anschauen wollen ist Zelthofer N ja und wenn wir das Z wie den Polartag Koordinaten schreiben also Z ist er ihn Wi-Fi nicht dann können Sie das Z doch n schreiben als er mir gut das ist jetzt noch einfach nur eingesetzt wo ist wie hoch dann das schöne ist eben wenn sie die zieht es ja was passiert wenn Sie mit Zahl auch entnehmen was hat die für den Polar Darstellung der nach der Betrag Konzert hoch n ist eben der Betrag von Z mal mit sich selbst mal genommen also Betrag von Z hoch N und der Winkel wird n mal dazu addiert also kriegen wenn die X-Fi und das passiert hier von ganz er wenn sie jetzt einfach Potenz Rechenregel anwenden kriegen Sie auch n mal wie hoch die auch n und nach der Potenz Rechenregeln das mir Potenz von der Potenz sich ergibt als Produkte Exponenten haben sich hier in hoch Vieh und sie sehen es passiert genau das was passieren soll diese Zahl Z Suche N hat Betrag R hoch und Winkel in X-Fi und jetzt kommt die eigentliche Formel von dem war wobei es jetzt auch schon wer das ist
so und jetzt damit das wieder umschreiben die Darsteller mit Cosinus und Sinus also dieses Betrag von Z auch n Diskursen Neues von entfliehen plus Sinus von Infineon X E das ist die das ist jetzt die Formel von dem nur gut was bringt uns
das also außer dass wir jetzt verstehen also dann des wichtigsten zum Mitnehmen ist eben die die geometrische anschauen der Multiplikation und Division in C und wenn man das mal hat dann dient das auch für viele andere Probleme und 1 würde ich Ihnen doch zeigen was Sie damit noch machen können es Gleichungen lösen bei den man vorher ohne Polarkoordinaten von vornherein gesagt hätte komplette hoffnungslos und Zahlen ausrechnen von dem man gesagt hätte völlig hoffnungslos also das erste ist was es zum Beispiel 1 plus ihr hoch 13 einfach nur 1 plus 7 x 1 plus 7 x 1 plus IN 13 mahnenden multipliziert man 2 Stunden lang aus und am Fluss verrechnen man sich viermal dann kommt irgendwas falsches raus bei Einsatz richtiger Ansatz Polarkoordinaten was sind die Polarkoordinaten von 1 Plus sie was Sie brauchen ist der Betrag und der Winkel für den
den gemacht was sich ein kurzes Bildchen wo liegt 1 plus Ili 1 Christine liegt hier vor was ist das denn wenn wir hier unten das ist nach alter rechter Winkel also ist der Winkel von 1 plus sie die Hälfte vom rechten recht dass die halbe also Pflicht führten und was ist der Betrag von 1 Plus das Wurzel 2 also hier steht was 2 er hoch IP Viertel denn das ganze hoch 13 ich habe und jetzt sehen Sie warum Polarkoordinaten angenehmer sind zum Multiplizieren und Potenzieren als kartesische das kartesische Koordinaten wenn die
potenzieren geben Ihnen hässliche Bindungen binomische Formeln der 1 sie auch 13 können sie wieder mehr Einsatz drauf werfen Krisen Riesenlandes Summe und keiner sieht ja was das andere Produkte Produkt vor 13 zu nehmen es einfacher also was bleibt übrig musste 2 hoch 13 mal er auch die Kiew wird noch 13 die Wurst 2 auch 13 können Sie schreiben als 2 auf 6 x Wurzel 2 zwar auch 6. nur 2 auf 12 X wozu 2 ist die 13. und wir kriegen Sie hoch E 13 4. P und das muss man sie mal überlegen was den 13 4. Kiefernwälder Winkel ist in der und erstmals noch wieder klar zu machen dieses Dinges Zahl die Periode ich ja also wenn Sie jetzt da oben 2 die weniger nehmen kommen Sie auf den gleichen Winkel raus 13 14 ist das gleiche wie bei 10 bis 8 also 5 4. P das ist zwar auch 6 Wort 2 GUI fünfviertel P und jetzt muss man sich wieder überlegen was ist das für eine gut erstmal muss man und Informatik der Kollegen fragen was 2 hoch 6 ist das ist 64 die vormalige wissen dass auswendig 1 und zwar die 64 x Wurzel 2 so und was ist auch ihr fünfviertel P das ist Zahl mit Winkel 5 5 Apple-Pie also 4 4. PSP wie viele Priester Halbkreis also es 5 4. für den P immer das geht noch hier macht genau nach schräg unten an so und wir haben wieder was 2 aber er also die das Ding mehr Radius Radius ein Zumwinkel fünfviertel Pi also was das komplexe Zahl herauskommt ist 1 durch Wurzel 2 minus 1 minus da im dritten Quadranten beide Koordinaten sind negativ sollst nur 2 kürzen dann bleibt übrig 64 X minus 1 minus I oder minus 64 minus 64 I war immer noch nicht wenig Aufwand aber deutlich weniger Aufwand als das 1 plus I 13 mit sich selber Mut zu multiplizieren und wenn Sie der Meinung sind das schaffen Sie immer noch dann kommt das nächste Aufgabe 1 plus i hoch 2 Tausend 748 unterbrechen es nicht mehr anders aber nur noch so sehr gut das als Abschluss um Ihnen zu zeigen für die Polarkoordinaten Wurzeln an der Stelle weiter dann morgen Nachmittag für heute vielen Dank für die aufweisen
Komplexe Ebene
Erweiterung
Quadrat
GERT
Vorzeichen <Mathematik>
Reelle Zahl
Zahl
Komplexe Ebene
Reelle Zahl
Vorzeichen <Mathematik>
Ruhmasse
Zahl
Ebene
Parametersystem
Komplexe Ebene
Erweiterung
Punkt
Menge
Reelle Zahl
Achse <Mathematik>
Meter
Imaginäre Zahl
Hausdorff-Raum
Zahl
Maßeinheit
Ebene
Summe
Komplexe Ebene
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Negative Zahl
Punkt
Vorzeichen <Mathematik>
Höhe
Parallelogramm
Division
Ebene
Komplexe Ebene
Addition
Summe
Vollständigkeit
Multiplikation
Momentenproblem
Gesetz <Physik>
Addition
Summe
Multiplikation
Distributivgesetz
Rechenart
Zahl
Quelle <Physik>
Reelle Zahl
Summe
Komplexe Ebene
Algebraisch abgeschlossener Körper
Vorzeichen <Mathematik>
Zahl
Distributivgesetz
Komplexe Ebene
Momentenproblem
Strukturgleichungsmodell
Feldgleichung
Ausdruck <Logik>
Ebene
Komplexe Ebene
Quadrat
Länge
Betrag <Mathematik>
Vektorrechnung
Rechter Winkel
Welle
Kartesische Koordinaten
Koordinaten
Ebene
Komplexe Ebene
Quadrat
Länge
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Quotient
Vektor
Zahl
Quadrat
Multiplikation
Arbeit <Physik>
GERT
Betrag <Mathematik>
Algebraisch abgeschlossener Körper
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Ebene
Komplexe Ebene
Addition
Multiplikation
Länge
Quadrat
Polarkoordinaten
Betrag <Mathematik>
Kartesische Koordinaten
Koordinaten
Division
Zahl
Strecke
Komplexe Ebene
Länge
Punkt
Polarkoordinaten
Betrag <Mathematik>
Kartesische Koordinaten
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Addition
Faktorisierung
Punkt
Kartesische Koordinaten
Kartesisches Produkt
Vektor
Zahl
Komplexe Ebene
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Einheitskreis
Koordinaten
Komplexe Ebene
Punkt
Polare Darstellung
Polarkoordinaten
Zahl
Ebene
Komplexe Ebene
Parametersystem
Multiplikation
Länge
Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Division
Geometrie
Polare
Umrechnung
Richtung
Sinusfunktion
Trigonometrie
Parametersystem
Länge
Quadrat
Polare Darstellung
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Tabelle
Berechnung
Koordinaten
Gradient
Komplexe Ebene
Multiplikation
Polare Darstellung
Polarkoordinaten
Momentenproblem
Kartesische Koordinaten
Division
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Komplexe Ebene
Punkt
Vektorrechnung
Polarkoordinaten
Betrag <Mathematik>
Einheitskreis
Sinusfunktion
Addition
Kosinusfunktion
Momentenproblem
Physikalische Theorie
Zahl
Ausdruck <Logik>
Sinusfunktion
Summe
Komplexe Ebene
Multiplikation
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Theorem
Sinusfunktion
Ebene
Summe
Komplexe Ebene
Länge
Multiplikation
GERT
Betrag <Mathematik>
Richtung
Ebene
Addition
Polarkoordinaten
Betrag <Mathematik>
Kartesische Koordinaten
Koordinaten
Physikalische Theorie
Division
Sinusfunktion
Radius
Kosinusfunktion
Zusammenhang <Mathematik>
Momentenproblem
Modifikation <Mathematik>
Kartesische Koordinaten
Drehung
Exponentialfunktion
Zahl
Gradient
Komplexe Ebene
Quadrat
Multiplikation
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Rechter Winkel
Eulersche Formel
Einheitskreis
e <Zahl>
Komplexe Ebene
Multiplikation
Polare Darstellung
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Division
Zahl
Komplexe Ebene
Summe
Multiplikation
Polare Darstellung
Homogenes Polynom
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Exponent
Division
Polare
Komplexe Ebene
Komplexe Funktion
Exponentialfunktion
Normale
Gleichung
Zahl
Funktion <Mathematik>
Ebene
Addition
Exponent
Physikalische Theorie
Zahl
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Komplexe Ebene
Periodische Funktion
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Exponentialfunktion
Richtung
Sinusfunktion
Kreis
Komplexe Ebene
Negative Zahl
Faktorisierung
Polare Darstellung
Betrag <Mathematik>
Rechter Winkel
Mathematiker
Zahl
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Komplexe Ebene
Darstellung <Mathematik>
Polare Darstellung
Betrag <Mathematik>
Exponent
Natürliche Zahl
Exponentialfunktion
Biprodukt
Koordinaten
Zahl
Multiplikation
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Rechter Winkel
Kartesische Koordinaten
Gleichungssystem
Zahl
Division
Bindung <Stochastik>
Summe
Komplexe Ebene
Radius
Algebraisch abgeschlossener Körper
Polarkoordinaten
Biprodukt
Zahl
Koordinaten

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Komplexe Zahlen
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 09
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35640
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Ähnliche Filme

Loading...
Feedback