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Mathematik I für Bauwesen - Integration

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Roman also die der immer so sein Nachbar auf Inhalt reagieren an der TU Darmstadt so dann mal herzlich
willkommen zum Abschluss der Vorlesung Telefon Polynom und die Täler Reihe damit haben wir uns ja gestern beschäftigt und gesehen er was die Täler Reihe ist und wie man da die hier am Beispiel vom Rhythmus einmal gezeigt wie man die Teller Reihe ausführlich bestehenden wie man auch sehen und nachweisen kann dass die Zählerei die Funktion darstellt dass also die Funktion gleich ihre Zählerei ist er und warum ich mich jetzt noch kümmern will ist das wofür das Teller Polynom eigentlich primär spannend ist nämlich seine Funktion als Währungs- Verfahren als Approximation von komplizierten Funktionen da hatte ich ihn am Schluss zum letzten letzten Vorlesung schon die Aufgabenstellung vom Beispiel 4 7 hingeschrieben also besuchte er ist einen Näherungswert von 1 comma decimal 0 5 hoch 1 comma decimal 0 2 mit der Genauigkeit von mindestens 10 hoch minus wir ob und das Ziel ist es natürlich nicht das den Taschenrechner einzugeben zu gucken was rauskommen sondern sich das so zu überlegen und zwar nicht wenn man sagt man hat keine Taschenrechner sondern weil irgendwie muss ja auch der Taschenrechner das machen wir mein Taschenrechner kann auch nicht hexen der kann auch nur rechnen und was der macht es genau das vielleicht etwas kreiert vielleicht gibt es da noch ein bisschen geschickteres Näherungsverfahren aber es ist irgendwas in den Dunstkreis so und wir können wir jetzt unser Teller Polynom nutzen um dieses das Problem zu lösen also wir haben nur Papier und Stift und wir wollen 1 comma decimal 0 5 x 1 comma decimal 0 2 mit der Genauigkeit ausrechnen und die Idee ist hatte jetzt maschinengeschrieben sind nehmen die Funktion f von x ist x hoch 1 comma decimal 0 2 Uhr was uns natürlich interessiert ist jetzt 11 von 1 comma decimal 0 5 weil es von 1 comma decimal 0 5 ist die gesuchte Zahl und das ist ist der klassische Fall von einer Funktion der durch die eben schwer auswertbar ist zumindest einfach so mit normalem Papier und Bleistift mit Methoden ist eben exponentiellen zum mit den Exponenten 1 comma decimal 0 2 bis 7 müsse also versuchen wir das zu kriegen ohne dass wir das tun müssen und die Idee ist man suche sich eine Zahl in der Nähe von 1 comma decimal 0 5 für die geht auswählen der Funktion einfach ist in dem Fall ist es natürlich mit Holzhammer klar was diese Stelle ist nämlich die Stelle 1 an der Stelle x gleich 1 ist die Funktion leicht auszuwerten 1 comma decimal 0 5 liegt sehr nah aber eines glücklicherweise das heißt naheliegend ist jetzt diese Funktion zu entwickeln um den Punkt x 0 gleich 1 mehr so und dann ist die den bestimme also das Täter Polynom diese Funktion mit Entwicklungsstelle x 0 gleich 1 er setzte die Funktion Ich-Erzähler vorgenommen das müssen wir schauen wie sie die genau das Telefon und sein muss damit wir die gewünschte Genauigkeit wegen da der 1. 2. Grades 3. Grades je nachdem wie viel wir brauchen die Zählung des 4 zu erreichen berechnet den Wertes der Polynoms an der Stelle 1 comma decimal 0 5 und dann wenn wir mit dem Rest die zeigen können dass der erhalten wert dass der die Abweichung die das Telefon und von der Funktion hat noch kleiner ist als die minus 4 und dann ist gut so was müssen wir tun um Täler Polynome von dieser Funktion aufzustellen gebrauchen die Ableitung der Funktion das in dem Fall nicht allzu schwierig die Ableitung der Funktion ergibt sich nach der üblichen Regel für Potenzen also die Ableitung des 1 comma decimal 0 2 x x hoch 1 comma decimal 0 2 minus 1 also hoch 0 comma decimal 0 2 und die 2. Ableitung genau so F 2 comma 1 comma decimal 0 2 x 0 comma decimal 0 2 meine Ex noch 0 comma decimal 0 2 minus 1 also X auf minus 0 comma decimal 9 8 das auch das alle gerne Funktion die man jetzt an irgendwelchen krummen stellen
auswerten möchte aber das schöne ist für
das Telefon darum müssen wir diese ganzen Funktionen nur auswerten ADDIX gleich 1 oder nix gleich 1 Internet also was wir brauchen ist er von 1 F Strich von 1 und es in der Woche Moment erst 11 von einzelne Strich von 1 er von 1 1 zu 1 comma decimal 0 2 S 1 er strich von 1 1 comma decimal 0 2 x 1 zu 0 comma decimal 0 2 S 1 comma decimal 0 2 und damit können wir schon mal dass der Polynom 1.
Grades aufstellen also was ist T 1 11 an der Stelle x tja wenn dies vorher noch mal aufgelegt Teller Polynom 1. Grades T 1 11 eine Summe von 0 bis 1 in 2 Dementi gesunde und haben sie da drin jeweils die Ableitung von f den wert eines x 0 stehen durch ein Fakultät X X minus x nur hoch N also in dem Fall 1. so meint Fälle Polynom nullter Ort nullten Grades immer dass der Kunde um das einfach aus dem Funktionswert bestellt und dann kommt die 1. Ableitung F Strich von 1 geteilt durch 1 Fakultät X X minus Entwicklungsstelle also X minus 1 das ist in dem Fall jetzt hier
1 plus 1 comma decimal 0 2 X X minus 1 ist dass wir das Telefon um 1. ordnen und ich bin jetzt zeigen dass das schon reicht also es reicht das Telefon um 1. Grades anzuschauen und der das würde uns schon ausreichend gute Näherung lief also weisen wir das nach wir müssen jetzt zeigen
das der der wenn der jetzt Ex- gleich 1 comma decimal 0 5 Einsätzen klingende Zahl raus das ist natürlich nicht exakt 1 comma decimal 0 5 Uhr 1 2 0 2 wir genähert haben aber sich zeigen will ist dass dieser wert wenn sie einst Wohlbefinden das der Polen um 1. Grades einsetzen dass dieser werde alle höchstens um 10 hoch minus 4 vom echten wird abweicht und dafür brauchen wir jetzt das Rest werden gesehen der Satz von Teller sagt uns der Fehler den wir machen wenn wir die Funktion durch ihr Teller Polynom ersetzen lässt sich beschreiben durch dieses Reste in der Großform also mitten im Satz Fontäne an mit x 0 gleich 1 und X gleich 1 comma decimal 0 5 4 1 comma decimal 0 5 ist die Stelle an der wir das der Vollendung auswerten wollen was sagt dann nochmal der Satz von Teller der sagt dass es diese ominöse zwischen ständig sie geht die zwischen x 1 x 0 liegt also im Intervall 1 bis 1 comma decimal 0 5 wir wissen nicht wo das Ziel liegt Gewissens liegt eben zwischen X und XI also irgendwo in diese mit der Wahl das ist zum Glück ein recht kleines Intervall da das XI nicht viel Auslauf also es gibt es sie in diesem Intervall so das der Unterschied zwischen F von X also den der Zahl die besuchen er von 1 comma decimal 0 5 wollen wir haben also aber allgemein ja wer von 1 comma decimal 0 5 also der wird der wird in der der exakte Werte die wir nicht bestimmen können minus der Näherungswert denn wir kriegen das 1. Teller Polen um an der Stelle führen das der gegeben ist durch das 1. Grosz durch dieses Lago restlichen der Branche Darstellung R 1 11 von 1 comma decimal 0 5 und er
1 er von 0 comma decimal 1 comma decimal 0 5 es so wie es da steht die im Plus 1. Ableitung an der Stelle XI dies jetzt leider schon wieder um raus geflutscht also in dem Fall die 2.
Ableitung einer ständig sehen dann steht jetzt
ganz oben 1 comma decimal 0 2 x 0 comma decimal 0 2 X X um minus 0 comma decimal 9 8 1 müssen wir jetzt sie einsetzen also das
ist die 2. Ableitung ständig sie
geteilt durch 2 das ist die 2 Fakultät unten X X minus 6 0 also mal 1 minus 1 comma decimal 0 5 zum Quadrat ist jetzt ist hier 1 da wird der Pollen um 1. Grades genommen haben um zu nähern so gar dass F das F 2 Strich einsetzen wie gesagt Stück weiter oben
das es halt mal 1 comma decimal 0 2 nein 0 comma decimal 0 2 Marx sehr hoch minus 0 comma decimal 9 8 mal 1 minus 1 comma decimal 0 5 bis minus 0 comma decimal 0 5 zum Quadrat für das minus weg also mal 0 comma decimal 0 5 bar so also was uns der Satz von
Teller sagt es der Unterschied zwischen
dem waren wir denn wenn nicht in diesem können den wir haben wollen und dem Näherungswert den wir kriegen durch das 1. Teller Polynom irgendwie darstellbar in dieser Form und von dem XI wissen wir es liegt zwischen 1 und 1 comma decimal 0 führt mehr wissen wir nicht aber nur den Intervall liegt so was noch sonst was das muss eine ganze Menge was mit 1. machen kann ist diese ganzen Zeit konkreten Zahlen die da stehen miteinander zu verrechnen also halt mal 1 2 0 2 x 0 comma decimal 0 2 x 0 comma decimal 0 5 9 0 comma decimal 0 5 da kommt aus 2 comma decimal 5 5 mal 10 hoch minus 5 nein das ist das schöne wenn man diese Teller Polynom Währung macht solange man damit dem X nah bei Xi ist also lange mit dem x 0 ist ist dieser Abstand hinten dieses X minus x nur sehr klein und wenn sie das noch Quadrieren oder bei höheren Grades hoch im Plus 1 nehmen wird das sehr sehr klein und was dann bei höheren Grades auch noch extrem hilft in der Nehrung ist die plus 1 Fakultät hier unten waren Sie den M 5 ist dann am 7 6 Fakultäten Männer stehen die Macht in diesen Rest sehr sehr sehr klein war so also 2 comma decimal 5 5 Mal so um das 5 X XI hoch minus 0 comma decimal 9 8 und wie schon mehrfach gesagt das Ziel von Betrachtung das restliche das ist nicht jetzt dieses XI zu bestimmen wenn Sie das XI exakt haben dann haben sie genau wissen Sie genau was der Fehler ist den Sinn machen wenn sie das 11 durch das T 1 11 mehr dann können Sie das es exakt ausrechnen das ist ja genau das Problem dass man es nicht dass es schwierig ist was man vermeiden will also wird man das über diesen Trick auch nicht hinkriegen aber man kann eben sich jetzt zunutze machen dass man weiß wo das XI ist der wir wissen dass das gesehen steht noch ganz oben zwischen 1 und 1 comma decimal 0 5 ist und jetzt ist die entscheidende Beobachtung dass diese Funktion in die das Ziele eingesetzt wird also T wird abgebildet auf T hoch minus 0 comma decimal 9 8 auf dem Intervall zwischen 1 und 1 comma decimal 0 5 monoton fallen ist dieses Theo minus 0 comma decimal 9 8. ohne Kabel artige Funktionen wir sind auf dem positiv also Kabel artig auf dem 1. Quadranten diesen Feind zweite Methode zu zeigen dass es den fallendes des leiten Sie es ab die minus 0 comma decimal 9 8 Meilen T Potenz minus 0 comma decimal 9 8. negativ dass Dinge die negative ab ja also es monoton fallen das
heißt den größten Wert nimmt dieses Ziel hoch minus 0 comma decimal 9 alle dieses Tier 1 0 comma decimal 9 8 am liegen in der Wahl Ende an also Geld dass dieser Ausdruck sie auch minus 0 comma decimal 9 8 auf jeden Fall kleiner gleich 1 auf minus 0 comma decimal 9 8 ist Funktion des Feind also das linken der beiden am größten und das klingt in der Wahl Ende wurdest sehr kommen kann es 1 ja und das ist 1 also wissen Sie dass dieser Ausdruck hier der uns noch stört oder hier der ist kleiner gleich 1 also haben
wir gefunden damit liegen wir das der S wenn Sie durchs Zähler Polynom annähern der ist gut es zum einen größer gleich 0 Zeit man oben gesehen und es kleiner gleich 2 comma decimal 5 5 mal 10 hoch minus 5 x 1 und 2 comma decimal 5 mal 5 Erzählungen das 5. insbesondere kleine missfiel und damit wissen wir egal was ist die wahre wenn wir die Funktion f nähern durch das der Polen T 1 f und Unsinn denn mit der Wahl zwischen 1 1 comma decimal 0 5 bewegen dann ist der Fehler den wir bei dieser mehr machen kleine gleich um minus 4 und das ist das was wir wollten also wissen wir unsere Währung ist gut
genug und können unsere Teller Polynomen anstelle der Funktion f um näherungsweise 1 comma decimal 0 5 vor 1 comma decimal 0 2 auszurechnen das ist das was ausrechnen wollten das ist er von 1 comma decimal 0 5 und das es nach den eben betrachteten das denen Polen normale Stelle 1 comma decimal 0 5 plustert erst an der Stelle 1 comma decimal 0 5 dass das kleine gleich 10 noch minus 4 also ist
dieser Werte als er von 1 comma decimal 0 5 1 um die gut genug ist wenn wir das was wir noch
ausrechnen also was ist T 1 er von 1 comma decimal 0 5 und das ist jetzt nicht allzu schwierig weil das ist ja nun Polynom 1. Grades dass wir aus rechnen müssen das ist 1 plus 1 comma decimal 0 2 1 1 comma decimal 0 5 minus 1 also 1 Plus 1 comma decimal 0 2 x 0 comma decimal 0 5 und wenn man das ausrechnet kriegt man 1 comma decimal 0 5 1 also das ist eine
Näherung mit vieler kleiner gleich 10 noch minus 4 und das ist das das ist tolle Ansatz von Teller das 1 1. das beste approximieren Polynome Billi beliebigen gewünschten Grades liefert und er liefert ein nicht nur das bestmögliche approximieren dem Polynom sondern er liefert einen zusätzlichen der verlässliche sich abgesicherte Aussage wie groß der Fehler höchstens sein kann also es wird sozusagen seine eigene Qualitätssicherung gleich mit und das ist dann ein deswegen wird der eifrig und gern benutzt es gibt natürlich andere Näherungsverfahren bessere Näherungsverfahren allgemein gilt die Faustregel Je allgemeiner einsetzbar so Näherungsverfahren ist umso ungenauer muss es sein wenn sie natürlich Näherungsverfahren das genau zugeschnitten ist auf ihr Verhalten von Holzbalken dann ist es beim Beschreibung von die Gewalt von Holzbalken natürlich deutlich sollte ist deutlich genauer sein als ein Verfahren das für jedes biege Verfahren von der für jedes für jede Funktion irgendwo in dem Universum funktioniert der 1. sehr allgemeines Verfahren dementsprechend gibt es natürlich für spezialisierte Anwendung bessere Verfahren aber im Allgemeinen ist es das einfachste Näherungsverfahren wenn einem erstmal nicht spezialisierte was in den in den Händen liegt gut das ist der Abschluss zu dem was ich zum Thema Teller sagen wollte mehr und dann ist jetzt die Frage ob es an der Stelle noch Fragen geht ja ein unter der aber ja klar also die Frage ist der Teddy die einen des Tellers hängt dran dass man ohne Funktion hat mit der man arbeiten kann wenn man nur den komplizierter Flug Aufgabe hat und dass die keine Funktion weiß man dass man nicht was die Funktion ist er will ja aber andererseits wenn Sie sich mal die Aufgabenstellung hier oben anschauen war das auch so
was dabei keine Funktion weit und breit
gesucht war eine Währung für diesen Zahlen und das ist dann eine Aktion der der modellhaften Umsetzung welche Funktion nicht denn um das Problem zu lösen ich sage ja nicht dass das die einzig mögliche Herangehensweise ist also zum Beispiel wäre es sie genauso möglich zu sagen ich nehme die Funktion 1 comma decimal 0 5 hoch x der unter allen Zellen entwickelt die um den Punkt x 0 gleich 1 und setzte dann 1 comma decimal 0 2 kann man auch machen ich habe es nicht ausprobiert ich weil das besser es kann sein dass man mir dann dass man dann 2. Grades braucht aber es funktioniert auch das Problem daran ist dass die Funktion als comma decimal 0 5 hoch x die hässlicher ist dass ihre Ableitung angeht also es wissen ungewohnter das weg ist dass der naheliegender Ansatz aber niemand sagt ihm dass das nur so geht also das ist dann die die Kreativität der Anwendung des mathematischen Rüstzeug die man jetzt mit dem mathematischen Rüstzeug auf das konkrete Problem losgeht das ist nicht der vorgezeichnet ist eine Möglichkeit ach ja er habe er erwarte das Wort da war nein er dann also meinen dann wär's nur was was Leute interessiert das leider programmiert was ist noch tut ist es ersetzt ihn da die ist wenn sie eine vor wenn man ein Physik oder ich eine kleine Formel herleitet oder auch wenn Sie eine Formel herleiten für irgendeinen Zusammenhang zwischen Kraft und wir eine Kraft wird das Lager Bauteil was das sie mit dem Bauteil ja dann macht man Zahlweise Formen häufige Effekt die Formel ufert aus wird immer größer komplizierter immer hässlicher es geht immer noch immer noch einen Effekt zu berücksichtigen und das wird immer schlimmer typische Methode sich mal zu überlegen bei den ganzen Eingabeparameter die da reingehen gibt es da welche von denen ich zwar natürlich nicht weiß welche genaue Zahl rauskommt aber die sind immer im Bereich von mehr die liegen alle zwischen 0 comma decimal 9 und 2 1 comma decimal 3 dann typische Ansatz meinen es ist eine Formel und dieser dieser Parameter Gemeinde hat der steckt schöner Weise noch in so ekligen Funktionen wie Logo Rhythmus von Wurzeln von Silos von irgendwas drin dann kommt die große Aktion jetzt wird die Teller und in der Formel ersetzen normal der Logarithmus durch die 1. Weise machen von Saint Teller die von Telefon Formel dann kriege ich falsche Formel weil ich habe jetzt gewährt das stimmt nicht mehr aber da ich weiß ich bin in der Nähe von Entwicklungs- period wird diesen Währung gerechtfertigt sein das ist was was man als in der mich einige sieht aber auch in der Wissenschaft ständig tut und dazu muss man wissen an welchen Stellen darf man das und man darf man das nicht man darf ich mal ein Klassiker einfachste Form der Teller was ständig gemacht mit kleinen Gewährung 10 Uhr von Alfons Alfer wenn Sie sicher schon oft gesehen haben Ja es war beim brausender Mathematik wenn ich zum Beispiel rein Entwicklungen von Funktionen 1. will wenn ich er ja also das ist ein ganz wesentlicher Anteil weiterer Entwicklung was wertvolles in kann ich jetzt noch müsste kurz nachdenken halt ich in seine Vorlesung nur dann also das ist ein wirklich wichtiges Werkzeug und ich wir jetzt hier ein auf einsamer Gases Level aber ich bin bei wenigen Themen dieser Vorlesung so sicher wie bei dem das Sie das noch 10 sehen werden okay also und sei es nur in Form dieser zum Beispiel diese kleine die Gewährung Sinus ein Vergleich alt ist fast alle Fahrer für kleine liegen dass wir klassische Teller Währung 1. Ordnung weil man was man tut meiner setzten Sinus durch sein der Polen um 1. Grades und dass der Wohnung 1. Grades von Sinus ist x ja und diese mehr und es endlich für große Winkel kompletter Kappes R aber für kleine Dinge 7 gut noch weitere Fragen ja also die Frage der Welt dessen Taschenrechner raus kommt an Ernährung ist er aber klar Taschenrechner kann ich eh ausrechnen weil oder die und die ausrechnen Worte Taschenrechner unendlich viel Zeit die haben sie nicht alles was der aus period Ernährung immer ist auch nicht mehr bei der notfalls selbst der 12. stellt auch Display die 17. Denn interessiert mich hat period dabei gut dann kommt jetzt große Umbruch da und ein Jahr im Prinzip kommt jetzt das Thema wir machen alles rückwärts dass wir gerade von als gemacht haben ich will was über Integration erzählen
also differenziert kommt das integrieren nicht besonders überraschend das ist das Kapitel 6. Vorlesung und es geht jetzt ums integrieren und das integrieren kann man auf 17 verschiedene Weisen einführen und ich habe mich für eine Methode entschieden die viele Vorteile hat und nur leider einen Nachteil ich brauche von Ihnen jetzt 2 Vorlesungen Geduld und zwar in dem Sinne das ich in im Moment nur eine in der mathematische Motivation Integration bringen kann das wird nicht so bleiben aber das gerade Zeit Vorlesung bis ich eine erklären kann weshalb sie Motivation haben sollten integrieren zu sehen werden auch so genug für die gerade gesehen haben dass wir glauben es ist brauchen aber ich werde jetzt erst Mal sozusagen es wenn jetzt 2 Vorlesungen in den man ist nicht unbedingt sieht wo für das Zeug gut ist ich bitte einfach die Geduld und mir zu glauben dass wir das so noch brauche kann gut und was gilt's es geht zunächst mal um den Begriff der so genannten Stammfunktion und die Fragestellung ist ganz einfach formuliert wir haben gesehen wie man differenziert ja und wenn auch gesehen da gibts wunderbaren Satz von Regeln und wenn ich ihn Funktionen Knalle und sie an die Regel einigermaßen geübt und ihre Finger am die in sich aufgenommen dann können Sie mir einer gewissen Zeit je nachdem wie kommt sie die Funktion zwar die Ableitung zurückweist ja so und jetzt drehe ich die Fragestellung einfach nur um und sagt ich gegen die Ableitung und ich hätte gern die Funktion also wieder rückwärts ich suche nicht zu der Funktion die Ableitung sonnig Suche zunehmend Funktion eine Funktion deren Ableitung des ist also ich gegen die Ableitungen gern die zugehörige Funktion kann man als Frage betrachten und die mir ganz in sehr interessante er ja gibt es interessante Antworten darauf also die Ziel ist wir wollen differenzieren rückwärts also besuchen nicht zu Beginn der Funktion die Ableitungen sondern wir suchen zugegeben Ableitung die Funktion und dann stellt sich das wenn wir als sehen raus witzigerweise ist dieses Problem deutlich kniffliger als das andere also die Frage die dir zu geben aber die Funktion zu finden ist deutlich mühsamer ich schwieriger
als umgekehrt so aber jetzt definieren wir erstmal die Begriffe dazu mehr also wie gesagt die geben ist diese Funktion und wir suchen der andere so dass ich die Arbeit die gegebene Funktion rauskommt und die diese andere Funktion ist das was meine funktionellen also Definition 1 1 entsprechend 2 1 1 ich habe dann Intervall hin ich habe mehr Funktionen auf dem Intervall oder auf na ja also auch fast den ganzen der Wahlen
2. Fall so und eine
Funktionen die stetig auf E ab ja ja denn nennt man Stammfunktion wenn sie eben diese Eigenschaft hat dass wenn ich Sie ableite F rauskommt ok also heißt Stammfunktion von 11 auf E wenn ihre Ableitung eben kleine 11 ist also 11 groß F Strich von X ist kleine von X und jetzt kann man an der Stelle so ein bisschen wir noch mehr großzügig sein und es lohnt sich an der Stelle großzügig zu sein ich verlange nicht das groß F strich gleicht klein 11 auf ganz gilt sondern ich erlaube der Funktion groß F sozusagen endlich viele Ausrutscher also ich lasse so dass ist eine ähnliche Anzahl 37 Punkte die dann den das nicht tut das wird sich noch als sinnvoll erweisen und ist jetzt erst mal eben ein bisschen mehr Freiheit für die Funktion groß 11 also diese Gleichung muss gelten dass groß F muss nicht nur stetig sondern sogar differenzierbar seien fast überall und die Abmeldung von groß es muss klein ist also groß ist erst richtig nicht klein 11 für was ich jetzt meine Hände für fast alle X aus Idee was meine ich damit damit meine ich für alle x bis auf endlich viele Ausnahmen also für alle x bis auf endlich viele Stellen an denen das schief gehen darf der Vorteil davon ist dass man später zum Beispiel stellen und Sprung stellen von dem kleinen 11 aus damit dann auch behandeln kann mehr also Prinzip muss groß strich gleich klein es sein und es darf zwischen drin 5 Stellen geben wo das Altauto zufällig nicht passt so dass man eine Stammfunktion und damit ist Stammfunktion
ja differenzieren rückwärts habe sie angegeben klein 11 und gesuchtes groß so dass groß entspricht das ist und was an diesen Stellen x 1 bis x ändern diese ähnlichen Ausnahme stellen passiert ist egal also das kann zum Beispiel passieren dass die Funktion groß F zwar existiert aber nicht differenzierbar ist es kann sein dass das kleine 11. nicht ist nicht definiert ist das goldene Definitions Lücke von Klein 11 sein ja es kann auch einfach sein dass beide Funktion zwar wunderbar existieren aber groß F Strich einfach nicht klein es ist also es ist einfach endlich viele Stellen den der nicht fordern mal 2 3 Beispielen Beispiel 1 2 da 1. einfaches Beispiel wo man noch die Stammfunktion raten kann ob er von X ist 2 x also wenn ich in einer Funktion Frage deren Ableitung 2 x ist dann hoffe ich dass in einer einfällt da ist zum Beispiel die Normalparabel also F groß F von X glich x Quadraten wunderbare Lösung das ist nicht Funktion Begründung wie so oft beim Stammfunktion finden na Weidermanns differenziert klappt's ja weißt du wenn Gigs Quadrat ableiten kommen 2 x raus und das sollte ja auch kann ich gleich dazu sagen diese Methode nämlich die Jahresraten ist eine der besten methoden Stammfunktion zu bestimmen ob er also die braucht man immer wieder in dem Fall ist nicht so schwer aber wenn die Funktion kommen Sie das dann ist das und das Essen total legitime Methode ja also dies nicht dies nicht schlechter oder besser als andere wenn sie von irgendeinem orakelte Stammfunktion kriegen und nachrechnen das ist ist das ist nicht zum Glück einfach nachrechnen dass wir vom und standen so einfach nur so nur differenziert und kann nachweisen dass ist eine wunderbar sind sie fertig so zur dieses Beispiel das ist einfach kann aber dazu dienen
eine wesentliche fallen zusammen mit Stammfunktion schon mal gleich aufs Tablett zu bringen Stammfunktion sind nicht eindeutig wenn Sie der Funktion haben kann hat die im Allgemeinen mehrere Stammfunktion bei zum Beispiel wenn sie eine andere Funktion ich nenne die man es lange X Quadrat minus 17 DM und wenn Sie das ableiten kommt wieder 2 x raus also es auch nicht Funktion das ist hier relativ offensichtlich gleich habe ohne konstante dazu gezählt und wenn sie eine konstante dazu zählen dann in sich die Ableitung nicht ja das wird Sie nicht wundern man kann das aber wunderbar verkleiden und dann ist es nicht mehr so offensichtlich weil ich behalte behauptet zum Beispiel dass sie es auch nicht Funktionen X plus 1 X X minus 1 das sieht man es nicht mehr so schnell dabei wenn sich Genom erinnert sie ans auch wieder schnell bei was ist das das ist es Quadrat minus 1 der ab aber entsprechende Effekte gibt es noch an allen Stellen also man sollte sich nicht so schnell ins Bockshorn La jagen lassen das kann mehrere Stammfunktion geben also denken Sie bloß
nicht dass man sie irgendwie Stammfunktion ausrechnen und vergleichen Einfluss ihre Übungsblatt Bearbeitung und stellen fest oder hat er ganz andere Stammfunktion als ich das kann schon sein die sind nicht eindeutig wir werden uns nachher noch drüber unterhalten in welchen Sinne wie und wie viel sie den auseinander fallen können so jetzt mal ein Beispiel dafür das Sonne Stammfunktion eben nicht überall auf dem Intervall Ableitung F haben muss wenn Sie mal zum Beispiel folgende Funktion 11 die S 1 für positive X dies minus 1 für negative X und für 0 ist mir völlig egal was sagen Sie mir eine Zahl 7 völlig wurscht ja na also minus 1 dann an der Stelle 0 7 und dann 1 und dann gab dich die
Funktionäre Stammfunktion und die kennen Sie auch nämlich die Betrags Funktion Betrags Funktionen dann Sie jetzt natürlich sagen denn es wäre die Vitalfunktionen schlecht weil die kann ich gar nicht differenziert die können Sie nicht ganz auf er differenzierendes stimmt da gibt es nämlich in Problemstellen 0 0 sich differenzierbare aber und das ist einer der Gründe wir haben extra gesagt der Stammfunktion muss gar nicht über alle finanzierbar sein endlich viele Stellen dürfen rausfallen in dem Fall ist ist nur eine nämlich die 0 aber illiberal Ausländer 0 wenn sie dieses F differenzieren ist das groß F differenzierbar und so positive X kommt 1 raus und weniger die ExComm kommt minus 1 aus als Ableitung oder 0 geht nicht aber in unserem Sinne unsere Definition ist ist ja wunderbar stammt zu den sorge drittes Beispiel auch
nochmal gleiche Bauart dass Sie sehen es können nicht nur solche Sachen passieren wir Sprung von 11 so noch andere Dinge nehmen Sie die Funktion f von x ist Wurzel aus Betrag X geteilt durch X Felix und gleich 0 das sieht geht mal eine seltsamen Funktion
ausmalen was immerhin wie sieht die aus
also x und f von x für positive Ex ist der Betrag der oben weg haben Sie Wurzel X durch ist 1 durch Wurzel X sieht sie also aus wie die Hyperbel die durch 1 durch Wurzel Slicks gegeben ist für negative X ist der Betrag der oben minus 6 haben sie wortlos minus X durch x ist eines durch Uhr 1 minus 1 durch Wurzel minus X und es geht hier somit habe es da unten ja also das ist es wo was ist die Stammfunktion das verrate ich Ihnen gewann Nachrichten das ist tot Stammfunktion dazu ist zweimal Wurzel aus Betrag X ab für aus er dieses auf ganz er definiert das ist mir Stammfunktion warum Meyer leiten das ab für Busse landesweite positive X ab haben Sie zweimal Wurzel X Kosslicks abgeleitet einzig 2 Wurzel x 2 durch 2 vols links ist eigentlich loslegst wie oben und genau so auch für negative kriegt auch aus also auch hier wird dann sind an den Effekt sie haben Stammfunktion auf ganz dies natürlich nicht über Rang auf er ist groß er strich gleich klein erstmal klein F G 10 0 gar nicht aber nun in unserer eine Ausnahme stelle und wir kriegen auf ganz Erde Stammfunktion im Sinne unserer Definition wie sieht die aus das
ist zweimal Wurzel Betrag X das heißt für positive X ist einfach 2 Wurzel gib Wurzel als hier und für negative X ist zweimal Wurzel aus minus X ist auch eine positive Wurzel ist also sieht so aus auch interessante Funktionen man sieht hier natürlich an der Stelle 0 ist das groß 11 auch nicht differenzierbar aber das macht nix an einzelnen Stellen darf unsere Stammfunktion ja durchaus nicht differenzieren so
das mal als Beispiel einmal für diesen Begriff Stammfunktion und die Idee die Sie da vor dem
Kopf haben sollte dies immer das was im Anfang sagte Stammfunktion ist differenziere rückwärts also Vermittlerfunktion an und suchen sich eine deren Ableitung da nicht gegeben ist so sollen uns nochmal diesem Phänomen zuwenden das Stammfunktion nicht eindeutig sind es ist schon verblüffend weil beim ableiten die 2. eine funktioniert genau eine Ableitung und beim rückwärts klappt es nicht das liegt daran dass das differenziert Information vernichtet das differenzierende vernichtet nämlich genau Information über die Konstante die dran steht Sinne Funktionen noch plus 5 machen in der sich die Ableitung nicht diese Information wir beim ableiten vernichtet und die ganzen integrier- natürlich nicht wiederherstellen oder als beim Stammfunktion bilden nicht wiederherstellen und daher kommt der Effekt dass es nicht eindeutig ist aber das Ganze ist nicht ist nicht so dramatisch wie es anhört weil man kann sehr genau sagen um wie viel sie Sonne Stammfunktion unterscheiden kann also Stammfunktion sind nicht eindeutig aber es gelten die folgenden beiden
Dinge einsame wollen schon gesehen wenn sie nicht Funktion haben dann können Sie in eine andere Stammfunktion bauen in dem sie einfach eine Konstante dazu addieren also wenn Großeltern Stammfunktion von Klein 11 ist dann ist auch immer groß 11 los eine Konstante also das gilt für jede Konstante C aus er auch eine also egal welches CSR sind zudem F dazu addieren sie kriegen immer wieder der Stammfunktion raus einfach weil eben dieses C dann ableiten verspielt das hat mir vorhin schon gesehen und jetzt kommt die umgekehrte Bemerkung die
umgekehrte Beobachtungen die sagt das was aber auch also umgekehrt wenn sie 2 Stammfunktion haben wie gehen wir davon aus Wärme Funktion klein 11 und wir haben 2 Stammfunktion groß F und groß gehen die weite Stammfunktion von Klein 11 sind dann können wir folgen Überlegung anstellen dann schauen wir uns mal an um wie viel unterscheiden sich die beiden Stammfunktion werden und dazu ist es sinnvoll sich mal Differenz anzuschauen weil die gesagt der genau mich unterscheiden sich und dann über die Stammfunktion selbst gar nicht viel wissen sondern nur über ihre Ableitung schauen uns mal die Abmeldung von der Differenz er ja dann nur von der Differenz ist nach habe Leitungs- Rechenregel die Differenz der Ableitung was ist groß er strich groß wisse Stammfunktion von Klein 11 also dass es 11 was ist groß die strich na ja große Dießner Stammfunktion von kleine 11 also das ist kleine so das heißt die Ableitung von der Differenz ist 0 und er hat mir gesehen wenn Sinne der Funktion auch mit der Wahl haben den Abmeldung 0 ist dann wissen wir was über die das war der Mittelwert Satz der uns da hilft und der sagt Funktion die auf dem Intervall 0 ab period konstante 0 Ableitung hat dass die Thema konstant ist also ist die Funktion f minus G mehr konstante Funktion und das heißt wir sind tatsächlich in
dem obigen Fall also es gibt ne konstant das heißt es geht C für eine Konstante C aus er also wenn sie nicht Funktion haben können sie Bewegungsdaten brauche die Kriege wieder eine aber jede andere Stammfunktion kriegen Sie so jeder andere Stammfunktion unterscheidet sich von Gross 11 Nummer konstant der schon so
jetzt ist das Kapitel überschrieben mit Integration und ich werde mir Stammfunktion der Zeit das integral einzuführen also das und was ich zu Ihnen zu erst einführen möchte ist das sogenannte unbestimmte integral das ist Abschnitt 1 4 nein also sitzt auch zum 1. Mal in die Kranhaken auf und was ich hier ein für das eigentlich nur ein neues Symbol überhaupt kein neuer Begriff also das unbestimmte Integrale geschrieben als integral von 11 bezeichnet einfach die Menge aller Stammfunktion von 11 also das ist die Menge aller Funktionen f wobei große öffne Stammfunktion ist von kleinen also für jede Funktion f ist diese integral von 11 die Menge aller Stammfunktion
was wir schon gesehen haben ist diese Menge der Stammfunktion hat eine ganz gewisse
Struktur also integral F ist immer von der Form nehmen Sie irgendeine Stammfunktion 11 0 war es 0 ist also irgendeine Stammfunktion von 11 und addieren Sie als alle Konstanten C aus er drauf dann haben sie alle Stammfunktion also das ist wobei hier das 11 Nullen in beliebig gewählte spezielle Stammfunktion von ist das ist das schöne an der Bemerkung der vor den sie eine Stammfunktion haben haben sie alle also sie brauchen
nicht alle also von der ist also 11 0 ist eine wenig gewählte spezielle Stammfunktion von scho das ist das sogenannte unbestimmte integral und man schreibt das aber es meistens nicht so hin und insbesondere ja also mich mit diesen Mengen Klammern sein was man meistens hinschreibt die übliche Schreibweise die man auch in allen Büchern findet ist die
folgende das integral von F ist eben jetzt nehmen sie wieder in eine spezielle gewählte Stammfunktion F 0 plus 10 mit C aus oder andere Notation dafür integral über 11 von XTX S 11 0 von X plus C führt sie aus er das ist im Prinzip so nun die zweite Schreibweise wird verwendet wenn man wenn man aus irgendeinem übergeordneten Grund ganz klarstellen wir wie gerade die Variable heißt ja also wenn die Variable mit der man rechnet irgend einen äußeren Sinn hat eine Temperatur ist oder eine Länge oder ein irgendein Werte eine Bedeutung für die Umgebung hat und man einfach klar stellen wir die Variable heißt hier es und nicht anders und wenn du egal was du willst Ich will dass die es heißt dann ist sie nicht die zweite Schreibweise zu verwenden weil man damit eben den Namen der Variable Festtag hat gut also ein bisschen Fingerübungen dieser neuen
Schreibweise wie gesagt ich habe hier überhaupt nichts Neues definiert dieses integral 11 ist die Menge aller Stammfunktion entscheide Begriff ist der Begriff der Stammfunktion aber mal ein bisschen mit diesem neuen Symbol gearbeitet also Beispiel 1 5 1. zum Beispiel das
integral er hoch 2 XTX in gerade auch 2 x XTX also was was uns dieses Symbol sagen das unbestimmte Integrale von der Funktion her ist die Menge aller Stammfunktion dieser Funktion besuchen also Stammfunktion von ihr auch 2 x ich habe im Moment nur die Definition haben das ist eine so wie er sie zu werden so dass so eine Funktion deren Ableitung auch 2 x ist und der mir nichts anderes können ist das einzige was dem Moment können wie schon gesagt kreatives raten da Berater wir so eine Funktion der Abmeldung R O 2 x ist einer Funktion ist das alles relativ übersichtlich weil ihr Funktion wenn man die ableitet reproduzieren sich selbst als wenn sie ihr Ricks ableiten kommt er extra aus anzunehmen ist also das dich Darmfunktion irgendwas im Dunstkreis Exponentialfunktion ist und was man einmal machen kann ist und 1. nun 1. Rate Ansatz also die Stammfunktion wird wohl wieder irgendwas im Bereich O 2 x sein schau mal ob das Tod wenn wir Glück was passiert wenn sie auch 2 x ableiten können sie keine Regel ist zweimal ihr hoch 2 x stimmt nicht ganz aber fast lässt sich leicht korrigieren man Inhalte vor alles ist gut inhaltlich auf 2 x wenn Sie das jetzt ableiten Grinsen halt mal zweimal auf 2 x und das ist 2 x also das ist die Stammfunktion 1 1 spezielle Stammfunktion es komme noch alle Konstanten drauf und dann an Sie alle warum wir gerade schon gesagt das gilt deswegen
weil wenn sie Inhalte auf 2 x ableiten dann kriegen sind nach den Regeln Halle mal ihr auf 2 x mal in der Ableitung ist Zeuge neuneinhalb als 2 1 also 2 x übrig zweites Beispiel des Weißen
Beispiel für die zweite Schreibweise oben mit dem X anderes Beispiel wäre was ist in unbestimmte Integrale Kosinusfunktion also besuchen eine Stammfunktion der Kosinusfunktion eine kennen Sie welche Funktionen das Ableitung Kosinus nicht gesehen ist weil 7 Sabelo minus Cosinus doch das in außer dass aber im Großen genau also Sinus eines anderen großen aus sei es der Sinus ist eine Stammfunktion und alle kriegen Sie indem Sie noch beliebige konstanten drauf addieren das immer schon nein das geht weil eben die Ableitung von Sinus der Großen ist ab
gut und können sich vorstellen diese Methode des Integrale ausreichend für kreative Rates ist gewissermaßen begrenzt der also wenn sie auf die Weise Frage was sich deren Funktion von Yahoo Sinus von Nowgorod muss 2 x vor 5 dann wird dies damit kreativ raten also brauchen wir andere Methoden und das kommt jetzt also es geht um die Frage wie kann man kompliziertere Integrale auf zurückspielen das ist eine Frage die die wir in verschiedensten Zusammenhängen der voll so verwandelt haben aber die kann man komplizierte Grenzwerte auf einfache wie kann man kompliziert ich Tätigkeit Fragen auf einfache wie Kammer das differenzieren komplizierte Funktion auch einfacher zurückspielen pro gibt an wolle sondersgleichen gebrochen und so Baukasten drin Trendziel und an der Stelle werden wir zum erstenmale merken das integrieren irgendwie häßlicheres Zeuge dass der Rest bei der Versuch ist dieses Baukastenprinzip aufzuziehen der scheitert nicht aber so richtig ein Durchbruch wird er auch nicht sein wir kommen somit K Formen raus aber die also so ihre Tücken und sind nicht so wunderbar wie zum Beispiel der Satz der Ableitungsregeln der alle Probleme auf einmal ist und was ist die Idee ist die folgende der integrieren also ich dann umso bestimmendes differenzieren rückwärts also es einigen Zusagen geschnappt mal unsere Rechenregeln differenzieren haben und versuchen die andersrum zu lesen und daraus Regeln zur für die Stammfunktion zu kriegen das klappt bei manchen ganz gut und bei manchen der schlechter und bei manchen so halten und ja ich werde jetzt 3
so Rechenregeln präsentieren und dann werden wir mit den und bisschen arbeiten also Rechenregeln 1 6 Rechenregeln für integralen und worum es jetzt geht es wieder die übliche Frage sehr eine Summe von 2 Funktionen und wollen wissen was diese Stammfunktion wolle so ist am Produkt von 2 Funktionen wollen wissen was das dann vom vom vom Produkt ist und so weiter und also dazu nehmen und 2 Funktion mit ihren Stamm Funktionäre also groß 11 seine Stammfunktion von Klein 11 Gross G seine Stammfunktion von Klein G und dann brauche ich noch gleich 2 reelle Zahlen alpha und beta zur
dann war die 1. in die die 1. Differenziation träge war die Genialität der Abbildung Alfa 11 plus später G strich bis Alfa F Strich plus Peter Gestrich und die können wir ab jetzt übersetzen in entsprechende Formel für die Stammfunktion von als erstes bitte gehen also die Frage ist was ist die Stammfunktion von Alfa 11 Flussbett darin enthalten sie insbesondere die Frage ist bloß gehen setzen sie als Vergleich Peter gleich 1 das ist die Frage enthalten F minus G setzen sie als Vergleich Einzelblätter gleich minus 1 ja das ist alles mit drin aber so und die ist eben
wieder wenn man die entsprechende Formel für die
Ableitung und versuchen die rückwärts zu interpretieren also was ist mit der Ableitung von Alfa groß 11 plus Blätter groß gehen 9 jetzt geht den sie die Genialität der Ableitung das heißt dass sie es einfach mal 11 strich plus Peter-Michael strich f Strich und strich kennen wir aber sind schließlich Darmfunktion also einfach mal 11 groß 11 Striches kleine plus später mal groß dash ist klein gehen so dass sie jetzt hier stehen haben das Alfa Gross
11 plus Peter Gross gehen eine Funktion ist deren Ableitung Alfa S Plus bei der GIS also ist dieses Alfa groß er Flussbett der groß G genau die Stammfunktion von Alfeld Flussbett gehen da die sich erfüllte die Voraussetzung dass sie eine das ihre Ableitung als 11. Peter G ist dass Frauen sowie nicht Stammfunktion und dementsprechend also die Stammfunktion von Alfa 11 Flussbett AG also das unbestimmte integral gegeben durch einfach mal groß 11 das später mal groß G und alles Stammfunktion kriegen Sie wieder in dem beliebige konstanten C aus er dazu addieren und dass unsere 1. integral Rechenregel das
ist die sogenannte Linie enthält das sind die Preise und das ist eine Stelle an der der Mitte gehen genauso gut dran sind wir differenzieren da brennt nichts an also wenn sie Stammfunktion von der Summe von 2 Funktionen nehmen wollen dann brauchen sie einfach die Summe der Stammfunktion wenn das so gut bei Mama noch direkt
weiter und wenn uns die nächste integrer die nächste Differenziation Trainer und schauen das Produkt von 2 Funktionen also was ist mit dem Produkt mit der Produktregel ich hoffe dies noch Präsenz zum schreiben so noch hin also Produktregel des Differenzierens wenn sie groß mal groß und differenzieren dann kam leider nicht Gross F Strich war groß Gestrich raus aber so was ähnliches da kommt raus groß strich mal G plus groß elfmal groß G strich nein das ist die Produktregel jetzt wissen wir wieder was Gross F Erdstrich ist dass es kleine wegen Stammfunktion plus gehen plus groß erst mal klein wie war groß gestrig ist die klein das ja dass das was uns die Produkte gesagt und daraus können Sie jetzt auch wieder eine stammt Funktionsträger ableiten was steht da Gross F also groß F groß gehen ist mir Funktion deren Ableitung das Zeug auf der rechten Seite ist das heißt Gross F Gross G ist die Stammfunktion von 11 mal Großklein elfmal groß G Grund groß elfmal Kleingeld das ist was die Produktregel und Vielfalt jetzt können wir den Teil aber verwenden was wir stehen am besten integral über eine Summe das können Sie schreiben als integrale als Sohn über die integrale erstmal G bloß integral groß elfmal klein G ist die Genialität und dann kann man überlegen was bedeutet das jetzt um Integrale
auszurechnen und dann stellt man fest da kann zwar eine schöne Formel aus aber der ihre Tücken und zwar stellenweise meinen die Form um die Sie üblicherweise in geschrieben wird was dazu noch mache es sich bringe diesen letzten Terni auf die linke Seite und dann haben Sie also integral erstmal klein elfmal mal groß gehen ist groß elfmal groß G minus integral groß elfmal klein gehen das ist die Formel die wir für integrale aus der Produktregel das differenzieren ziehen können diese Formel wird normalerweise als partielle Integration bezeichnen so und die ist jetzt ein ne Instanz dessen wo ich sage da immer nur halt erfolgreich warum diese Formel gibt uns der Formel was wir tun können wenn wir die die greifen und Produkt haben dass das was wir haben wollten wir wollten denn die gerade von Produkten ausrechnen aber wenn Sie die Formel anschauen dann tut im Job nur halt weil sie sagt uns das integral könnte ausreichendes längst wenn das integral rechts könnt ja super ja also wir setzen die gerade durch ein anderes das ist eben der halt gute Lösung das ist dann toll wenn das Recht integral einfach ist dass das linke oder umgekehrte wenn die beide gleich hetzen sind dann ist diese Form nutzlos also die dies so halbe gewinnen die Produktregel war Schüler die sagt wenn sie Produkte hat differenziert man dann kommt das Aus die hier sagt wenn man denn die gerade von Produkt hat dann kann man das Ende wenn man andere sind die gar kann dass es mehr Sonne relative Aussage sehr hilfreich im Zweifel im Einzelfall aber eben kein Universalmittel so das aber trotzdem die wichtige Formen partiell Integration so was immer
noch für für Ableitungsregeln aus den was ziehen können nächste Idee Quotientenregel vergessen Sie die die gleich wieder probieren Sie es gar nix kommt nix bei rum es gibt gar keine vernünftige Formel die doch die keine Regel und mit der kann man noch was anfangen und ich glaubte würde behaupten dass es sogar die Rechenregel bei integral die am häufigsten verwendet wird die am meisten bringt aber die auch am aller ja also die auch die meiste Kreativität gefordert um sie zu verwenden also schauen wir mal was was der Ketten ziehen können also keine Regel für Differenziation liefert uns integrationswillige man muss also sehr klar was die Kettensäge war keine Rede sagte wenn ich groß es mit groß die verkehrte er also ich setze große gegen groß F einbilde groß er von groß G von X und jetzt das Leid ich ab dann kann ich das bleibt denn die mich das groß F ableite nämlich das groß F ableite und diese Funktion mit groß G verkehrte also groß gehen groß er strich einsetzte das es äußere Ableitung von der inneren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion also multipliziert mit gestrickt dass die Täterinnen es kann mal wieder verwenden das große von groß die Stammfunktion sind also was hier steht das ist klein 11 verketteten groß G mal gehen und jetzt muss man diese Regel wieder uminterpretiert 1. Regel über Integration ist in der Aussage Stammfunktion was steht es die Funktion auf der rechten Seite kleine 11 nach Groß kleinen des ist die Ableitung von der Funktion groß 11 noch groß geht das heißt groß 11 noch groß G ist die Stammfunktion von der Funktion auf der rechten Seite also können wir folgende sind schreiben die Stammfunktion
das unbestimmte Integrale von der Funktion auf der rechten Seite von Klein 11 nach Gross G mal klein es f nach g wir wollen oder nicht ist 11 nach G hat das ist eine Stammfunktion und alle weiteren kriegt man indem man die Konstante C Deal und der diese Regel ist die die gemeinhin als Substitutions- Rede bezeichnet werden das ist die Substitution von Integralen und die sieht mal auf den 1. Blick wieder sehr gut aus weil links integrales mal berechnen will und rechts steht fertige Stammfunktion also dieser Effekt um eine Razzia Integration das nur die gerade durch nano sind die integral daraus dargestellt wird dann hat man nicht aber das ist nur die halbe Wahrheit weil dann schauen Sie nur mal an was da steht 1. Problem ist um die Regel anzuwenden muss man dafür sorgen dass es in die gerade auf der linken Seite genau diese Form hat also es muss sein er verkehrte Mittlerfunktion multipliziert mit genau der Ableitung dieser Funktion den drinsteht das ist mir ganz spezielle Form und außerdem wenn man die rechte Seite da auswerten will stellt man fest dass man doch wieder nur die die gerade ich nehme die GAL eingetauscht hat weil das kennt man denn wenn man das integral auf der linken Seite stehen hat man kennt Klein F Gross G und Kleingeld und auf der rechten Seite steht groß 11 was also noch machen ist die Stammfunktion von Klein 11 bestimmt also insofern hat man auch hier nun in die gerade die GAL eingetauscht ist ist nur hier durch die Schreiber durch die Schreibung ein bisschen versteckt trotzdem ist das würde ich mal sagen eine der Regeln die am aller häufigsten am aller weitestgehenden verwendet werden mit dem man viele viele leckerer Integrale lösen kann bestimmen kann aber eben eine die wir gewisse Kreativität im Einsatz erforderte sie erfolgreich anzuwenden gut ich habe auch die ganzen Formeln die ganzen Rechenregel normaler Folie dabei weil die Wärme jetzt 70 und 30 x anwenden gibt wie gesagt die Anwendung dieser integrationswilligen ist leider eben nicht Sauce quält Forges differenzieren differenzieren geht der Algorithmus sehr Wire-Funktion so werden diese 5 Regeln an und am Schluss kommt Ableitung aus mit allen verrechnen die dann passieren aber so von der Theorie her kann man das also man das beim Differenz bei WDR nicht so so so klingt klassisches Bombo ist dazu zu sagen differenzieren das Handwerk integrierendes Kunst heran beim differenziert ist klar was man tun muss um man integrieren kann man durch kreative Mischung diese Regeln hier was rauskriegen oder auch nicht und man weiß im 1. Ende klappt oder nicht da und ich dann auch gleich dazusagen Jahre etwa erstmal erstmal meine das was geht und nicht immer nur was nicht also aber Beispiel auf der
Folie finden Sie noch mal die 3 gerade präsentierten Regeln im Jahre des Patienten Integration und Substitution und die will ich ihn mit dem wir mit den will ich jetzt mit Ihnen bisschen arbeiten also erstmal Beispiel 1 7 ja ein Beispiel für die Anwendung der mir hält wir suchen die Stammfunktion der Funktionen Sinus von X plus 2 durch x am Ende also sehen das plus 2 durchwegs soll Ende gehen wenn so die Stammfunktion davon wir Funktion deren Ableitung sie ins plus 2 durch X ist und das ist ein klassischer Fall für die Genialität des Integrals sie können den plus auftreten und eben Einzelbausteine betrachten Sie können das reicht die Stammfunktion vom Sinus zu bestimmen und ich dann Funktion von 2 X und weil das zweite Klicks können Sie noch sehen als 2 1 durch x das 2 wäre dann so sein dass Wetter also einfach wäre ja 1 es wäre der Sinus Wetter S 2 und gehe es einzig X dann können Sie das Schreiben als plus zweimal integral über 1 durch XTX das wäre die Genialität ganz ausgenutzt und das was jetzt hier steht Integrale von elementare Funktionen die man wissen oder raten kann Stammfunktion vom Wohnsilos übervollen schon ist der Kosinus er ja fast ist nicht ganz der Cosinus was passiert wenn sie den Kosinus ableiten so jetzt wirklich Kurse abgeleitetes Minus Sinus also aber dann und minus Probleme es gibt also hier minus Kosinus bloß ne Integrations- Konstante dann haben wir hinten plus 2 zweimal integral über 1 durch Excel Funktion deren Ableitung als sich X ist das sollte in einer einfallen das ist eine aus und auch die ja dort das zweite integral noch immer Konstante und jetzt es wichtig wenn Sie sie zum anschauen haben wir hier da implizit oder leidet durch die Schreibung eigentlich die Hälfte aller X diskriminiert nämlich ausgeschlossen ich alle negativen Waterloobrücke muss ist also große die wächst definiert also da ist irgendwo noch ein Problem das geht so nur für x größer 0 aber zumindest Exkursion oder mir jetzt schon eine Stammfunktion nämlich minus Kosinus von X plus 1 plus 2 mal 1 von X plus der einst musste 2 an der Stelle ist man üblicherweise nicht geneigt dauernd sehr 1 plus die 2 mit zu schleifen weil ob sie jetzt zweimal eine reelle Zahlen zu addieren oder einmal ist auch egal also hier kann man wieder sagen plus und sehe es mir jede Zahl sehe ist eben sie 1 plus C 2 und das gilt für alle x größer 0 WDR zur ist
es natür- gesehen komisch weil die Funktion 2 durch X ist aufwendiger die wächst definierten und Problemen unsere Stammfunktion wird sich nur für positive was ist da passiert wir haben zwischen der geschlossen oder zu schnell geschossen ja wir überlegen uns mal was ist wenn das X negativ ist also wird sie trauen sich eine Fallunterscheidung werden es nur den Fall X
größer 0 abgehandelt schauen Sie wir schauen uns mal für X kleiner 0 anlass der Rhythmus danach die ich dann Funktion von einzig existierende was mit Logo muss also was ist mit dem jetzt können wir natürlich im Globe muss keinen X einsetzen das negativ ist aber wir können das X einsetzt was passiert denn wenn der über muss von minus X anschauen für negative X und das ableiten dann kriegen wir war keine Regel nur so muss sowie das exakte Regel ableiten Logarithmus muss ableiten geht 1 durch das Argument also 1 durch minus x X innere Ableitung also X minus 1 und dann stellen wir fest da kommt wieder einzig Extrakt also wir negative X ist die Stammfunktion von einst X der Logarithmus von minus X also kriegen wir für negative X integral über Einstig XTX ist allen von minus X plus C für x kleinen welche 4 noch er zusammen und kann man das Schönschreiben und so sieht man es auch normalerweise Stammfunktion von einst durch X ist allen von Betrag X plus C für C aus aber bei allen von minus x weniger die XSL vom Betrag X diese Betragens übrigens was was im Eifer des Gefechts nur Klausur Kern vergessen geht und dann mehr frage und er vom Betrag XAML frei allen von X für die Stammfunktion von sich X und dann muss man 3 Zeilen später X gleich minus 5 setzt und dann kommt das große Erwachen Obst was da jetzt passiert dann umso vom ungerührt von einzig XSL ist er den Betrag X und ich allen X Gott das als Beispiel
Solidarität als nächstes ich ein Beispiel zu partiell Integration machen partielle Integration man sich die Formel anguckt ist diese es diese Formel die gemacht ist um Produkte von Funktionen zu integrieren die über den Nachteil hat dass sie nur den Degraa laufen das integral zurückspielt und wir zeigen dass das nicht unbedingt immer Nachteil ist sondern dass das die Sache das mag man oft Fehler hat wo man dieses nächste integral dann leicht bestimmen kann wenn Sie zum Beispiel das hier in gerade bei x Sinus von X Produkt von 2 Funktionen und das raten der Stammfunktion fällt schwer wenn man es nicht schon also natürlich sein die im lange zu Zeug zu tun hat fällt immer nicht mehr so schwer aber also ich hätte stets auch nicht planen brauchen wir nicht an die partielle Integration das müssen wir erst mal dieses integral sehen als integralen Produkt von 2 Funktionen das fällt nicht schwer 1 er von 1 X und eines Siemens X und es ist aber ganz wichtig sich zu überlegen welche nämlich als kleine von welchen ich als große die warum im Laufe der Rechnung werd' ich das kleine 11 in welch zum kleine heftig Stammfunktion suchen müssen und zum groß G die Ableitung und man sollte es jetzt so machen da ist bei diesem Prozess das sich ergebende integral einfacher wird und das ist in dem Fall der Fall wenn der diese Funktion X als groß denn den und den Sinn aus als klein wenn man keine Gefühle hat dann muss man halt einfach beides mal ausprobieren und auf die Weise Gefühl entwickeln da aber das ist ja das ist das was ich vorhin meinte damit die gehen gibt es nicht den Algorithmus wo man sagt das muss man so machen es gibt verschiedene Methoden um mit den kann man versuchen und Mama Klappe zu Mama Katze nicht aber so wird dies so aufteilen können wir hier schön die Form der Patient Dedikation verwenden so was sagt die uns die Stammfunktion von X X Sinus X ist dann gegeben als erstmal f x G groß elfmal groß G Gross G haben also ist x was ist groß F kleine F ist der Sinus also dass die Stammfunktion und 7 es hat nur oben schon das ist ein Minus Kosinus der also schreiben was nochmal ausführlich hin der von X also das ist nach Basel Integration G groß G mal groß 11 man das integral klein geht mal groß F ich hoffe ich habe es richtig abgetrennt so jetzt war es also groß G von X ist X damit haben wir das klein von X klein wie es die Ableitung von groß die ist dann 1 Klein 11 ist von X was ist dann groß 11 Uhr Service ist die Stammfunktion vom Señores und das es wieder minus aus hatten wir gerade schon
also können wir hier einsetzen muss man nur noch jetzt Zambales und stehen uns mal zusammensetzen groß G mal groß F ist X X minus Kosinus Nina integral von kleinen mal groß 11 klein die S 1 Gross 11 ist der minus Kosinus das können Sie mich fragen ob ich denn die Integrations- konstante verschlungen ja da steht auch immer der groß 11 bis minus Cosinus plus C stimmt bei dieser Farbe die partielle Indikationen sich jetzt schauen wo sie herkommen da dürfen sie ihren Bestand funktionieren die Stimme für jede Stammfunktion also dann aussuchen und naheliegenderweise somit die mit kleinste gleich 0 aus darf natürlich auch klein Segler 718 nehmen aber dann wenn die Form nämlich übersichtlich der Personalien beweisen nicht die mit C gleich 0 und dann habe ich dieses schöne förmlichen ihr und dass sie jetzt eigentlich so aus als hätten wir die Sache nur noch schlimmer gemacht während ein integral und jetzt aber so ein Riesending aber das schöne ist dass bei diesem ableiten von Groß G aus dem X 1 geworden ist das heißt das jetzt hier unten steht ist dadurch ein deutlich einfacheres integral geworden das wird sich
steht ein bisschen aufräumen bis minus x X Kosinus von X plus integral von Kosinus von X das Minuszeichen vor dem großen muss gar nicht vor sind die 13 der Genialität und das kann man jetzt integrieren davon kann man jetzt die
Stammfunktion bestimmen bei Dichtern Funktion von
Cosinus kennen wir das ist minus x X Kosinus von X Stammfunktion vom großen Los ist der sehen ausweisen comma Co sinnlos ist plus von X und jetzt kommt Integrations- konstante dazu und damit haben wir die Funktion wenn man sich nicht glaubt ist es bei dieser ganzen in die Gießerei bei der ganze Bestimmung Stammfunktion immer Bodenprobe zu machen weil das Programm machen einfach S Probe machen als nur muss differenzieren das Problem ist sich dann Funktion zu finden sie zu Wert infizieren es immer einfacher also hier einmal beispielhaft wenn man sich selbst nicht traut ob es richtig war noch mal die Probe also wir leiten unser Ergebnis ab also wir leitende Funktionen Sinus von X minus x X Kosinus von X plus C ab große können sich auch sparen was passiert wenn sie das ableiten Sinus abgeleitet aus dann haben Sie jetzt ein Produkt Produktregel x-mal Cosinus X geht minus einmal Cosinus X minus x mal die Abmeldung Cosinus X minus Sinus von Ext so muss man ja mal die Sache sortieren lassen es gibt große dass es mir das große nur 6 ist 0 man das X 1 minus 7 6. x X 7 6 es ist es endlich schon nach oben verschwunden aber das war genau das was
wir uns rächen wollten integral x-mal Sinus X also hat passt wir werden damit die
Stammfunktion von mal X bestimmt und was war jetzt das was gemacht hat dass es
funktioniert das gemacht hat dass es funktioniert war dass das durch das Ableiten diese vor Faktors x 1 bis x beim 1. Tag Reihe das was stört haben Sie die 3 6 hätten als gutes kennen wir das ist minus groß und das X ist das was stört durchs ableiten von den X ist außer 1 geworden und werden das X weggekriegt stört nicht mehr wir können ausrechnen also das muss immer so ein Leitlinie sein man überlege sich im integral was nervt und versuche dieses was ja nicht weg zu kriegen mehr gut noch ein zweites Beispiel
für partielle Integration an dem ich zeigen
will normal auch nochmal zeigen will das eben ob man durch kreativen Einsatz der Regeln auch einstellen weiter komme und was es nicht gedacht hätte ich möcht mit Ihnen die Stammfunktion vom Rhythmus bestimmt ist andere muss ich dann Funktion von einzig Excel wenn sie dich gern ich dann Funktoren aber aus da bitte sagen Sie mir es den denken hoffentlich einige was erzählt der uns jetzt hier der Bild partiell Integration anwenden auf die vom auf dieses integral besonders geht nicht über kein Produkt richtig da steht kein Produkt und deswegen ist es auch völlig ohne intuitiv jetzt partiell Integration zu ziehen aber man macht trotzdem und die Begründung ist weißt tut ja also wie gesagt beim integriert ist jedes Mittel recht solange rauskommt daraus also solange regnete richtig ist und was rauskommt und in dem Fall die Zähne schön trägt die stammen und somit mehr als Delegation zu bestimmen und die Methode ist mal wieder wenn da kein Produkt ist und man haben will dann muss man sich per Gewalt als produzieren seit steht Produkt ja das ist einmal allen von X und jetzt Gavazzi Indikation anwenden und diesmal ist es die Richter die zum Ziel führende Variante dass die Funktion eines als klein F und der Logarithmus als groß die Sache wenn ich in der so verraten können was rechnen was kommt raus partiell Integration
anwenden wir kriegen zunächst mal das Produkt groß elfmal große G dazu müssen wir jetzt diese eigenster integrieren auch völlig in und und intuitive nicht in die Quere die alles nur hässlicher als kritischen X also Krieg ich x-mal und dann groß G bleibt stehen also x X 1 von X 2. deren Fahrweise Integration minus und jetzt das integral vom umgekehrten groß elfmal klein G Gross F klein G groß etwa x Klein G ist die Ableitung vom Rhythmus die kennen wir dies einzig X und jetzt sieht man warum mir plötzlich alles magisch tut weil dieses letzte integral das wird jetzt einfach x x 1 durch x das ist nicht so kompliziert das ist x mal allen von X minus integral über 1 also die
Stammfunktion der Funktion konstant 1 eine Möglichkeit ist die Funktion X also kommt hieraus x in den von iX minus X plus Konstante wobei bisher wissen also plus Konstante mit konstanter aus und damit aber die stampft also sehen und intuitive Anwendung tot und deswegen ist sie Wer vor gut das war partielle Integration wir werden noch
viele viele Funktionen die Kriege im Verlauf dieser Vorlesung und sie werden noch mehr denn integrieren weil noch die Übung dazu haben der komme immer wieder darauf zurück also keine Sorge es gibt noch mehr Anschauungsmaterial geben nicht will jetzt erstmal Substitutions- Regel rüberkommen und da noch ein Beispiel zeigen und ja
das Beispiel was jetzt kommt ist eigentlich recht freundliches Beispiel weiß genau auf die Struktur passt wir werden uns später noch ausführlich über die Regel unterhalten ich suchte der Stammfunktion von Yoricks Quadrat X und so und jetzt sehen Sie die Funktion der Städte ist freundlich die weltweite hat schon mal genau die Struktur die auf der linken Seite stellt Funktion verketteten in andern also hier ist Klein 11 die Funktion groß die ist die Funktion X Quadrat und jetzt muss hinter als Produkt die Ableitung von dem groß glich dem groß GSX Quadrat also das kleine die sollte 2 x sein es ist nicht der steht nun X das ist aber aber ein Problem das sich lösen dass wir hätten da gern 2 x also machen und sein 2 das Inhalten als integrale Yoricks Quadrat x 2 x wäre das ist auch mal wieder so was von ich hätte gerne 2 also mache ich mir einen und wenn Sie jetzt Ihre auf mit der Substitution
Träger H und dann passt alles also mal was ist war als Klein 11 nämlich die Exponentialfunktion als groß nämlich die Funktion X Quadrat dann ist dieser Term vorne Yoricks Quadrat genau klein von Gross G also das was hier auf der linken Seite stellt was ist dann kleinen gehen also was ist dann Kleingeld von Exner dass es 2 x also Sie sehen oben steht jetzt genau klein 11 von Gross G Marklein G und was wir jetzt noch brauchen um die rechte Seite aus zu werden ist groß F Gross 11 mehr wenn Klein 11 große 11 ist die Stammfunktion von kleinen F Stammfunktion und Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst weil wenn ich sie ableite kommt sie wieder selbst aus also muss er von y ist er halt zwar jetzt können wir direkt in die
Substitution Svane reingehen also was ist ihr Yoricks Quadratmer XTX sie oben erstmal mal den Halt vor Inhalte Yoricks Quadraten als bei XTX das was jetzt dasteht ist genau von der beschriebenen Form des es sitzen halt mal
integral klein 11 von groß G von X mal von XTX
und das ist genau das was hier links steht Kleider vom G klein also ist es dasselbe wie das was Recht stehen also ist das eineinhalb mal also hier geht es so zu zu uns reden ein Inhalt mal nachgehen von X plus Konstante nur so wieder groß er von groß die einsetzen Glück dass das groß es gerade noch oben steht groß F ist die Exponentialfunktion groß G ist nichts Quadrat also steht hier in Halle wie hoch X Quadrat plus konstante unkonstante aus wobei der ein ich natürlich so wir dann halt steht vor dem ganzen Dinge also ist diese Konstante hier in andere Konstante sie spricht sich durch diesen halt sie dort das Weiße Beispiel das genau auf nicht stammen auf die Subsumtion träge zugeschnitten ist im Allgemeinen im normalen Leben muss man sich der sieht die Situation erst basteln dass man Subscriptions Regel anwenden kann der der später nochmal ausführlich drauf zurückkommen was ich Ihnen jetzt noch mitgeben
will ist ein weiteres eine weitere Analogie zu der Differenziation es Regel also werden die Genialität übertragen auf in gerade werden die Produktregel sehen die übertragen hat dass sie partiell Integration gebracht werden die Quitten keine Rede zu Substitutions- Regel gemacht und was dennoch konnten bei bei ableiten war bekommen Potenzreihen ableiten und da gibts viel gute Nachricht beim Thema Potenzreihen ist wie üblich alles schön da kann man genauso in die gewähren zu integrieren die man aus differenzieren kann nicht liedweise also worum es jetzt noch dezent Stammfunktion von Potenzreihen da hat man dann differenzieren gesehen wenn Sinne period sondern die das Potenzial gegeben ist dann ist die differenzierbaren ihre Ableitung kriegen Sie in dem Sinne für Konvergenz Bereich die Potenzreihe einfach Summanden weist differenzieren und was dabei rauskommt ist wieder eine Potenzreihe mit gleichem Konvergenz Radius und diese Potenzreihe geht in die Ableitung und genau das Gleiche passiert beim integrieren also wenn sie eine Funktion haben die gegeben ist durch eine Potenzreihe n gleich 0 bis unendlich X minus x 0 hoch N und die hatten Konvergenz Radius der sei größer 0 aber wenn wir kommen des Nuristan von der geht dir einen ein Punkt 1 langweilig und dann sagt der Satz dann hat die Funktion groß F von X die gegeben ist durch die Potenzreihe bei der sie einfach jeden Summanden integrieren integriert man dieses am x x 1 x nur auch allen sie waren Funktion deren Ableitung das ist was Sie tun müssen ist die KLM Differenziation es Regeln für das für Potenzen rückgängig machen was man dann findet ist er einst durch plus 1 mal A N X X minus x 0 hoch im Plus 1 die hatten auch den Konvergenz Radius froh und ist eben die Stammfunktion von Klein 11 und ist mir Stammfunktion von 11 und auch das was man da hat auch das nennt man in Analogie zur Differenziation Git Weise Integration sie dürfen eben so mahnten Weise integrieren wenn sie nicht spurt konvergent Potenzreihe integrieren wollen scho haben noch 2 Minuten eine noch einen Kommentar zu dieser
es muss ihm das alles nicht habe mich also jetzt auch
keine Kommentar der groß inhaltlich ist
sondern einfach einen Bus Info ja
gerade als Substitutions- Funktion ich hatte ihn gerade das
integral von EU x Quadrat mal XTX ausgleichen das ging Google Substitution des ging deswegen gut weil die dieses X stand das uns das klein G geliefert hat ganz in der Nähe liegt berühmtes Beispiel voller Funktion das sich zu sein er war ihnen als er für die Neugier mitgeben will Stammfunktion von der da Sie können ja mal bisschen wenn sich den Sieg eines ist jetzt gemein wenn sie noch aus der Schule ein bisschen sowie integralen spielend gewohnt sind aber so manch da muss auszurechnen aber ich ich sie nicht damit weg weil das gemeint ist es geht nicht er also was heißt die hat natürlich dann Funktion und die Stammfunktion können sie auch leicht hinschreiben mich mit dem Satz hier oben drüber schreiben Sie die Exponentialfunktion als Potenzreihe dann steht da oben drüber sofort was die Gefahr Stammfunktion ist nämlich die Potenzreihe sie kriegen wenn sie der Potenzreihe die weil sie mehr und dann hat man also gestandene Potenzreihe für diese Stammfunktion und macht sich auf die Suche übrigens noch so period normale Mathematik Potenzreihen auf und dann macht man sich auf die Suche nach einer geschlossenen Darstellung also versucht diese Stammfunktion in mitzuschreiben mit ihr Funktion Sinus Kosinus Logarithmus Tage ins Hotel Polo mögen was bis findige man darauf kommen was das etwas sieht es zu beweisen dass es nicht geht es geht einfach nicht diese so harmlos darstellen will Stammfunktion hier ist nicht sogenannt elementar integrierbar spricht er von Stammfunktion aber Sie können diese Stammfunktion neues Potenzreihen schreibt und das auch noch als Beispiel dafür um Ihnen zu zeigen Differenz integrieren es in die hässliche als Differenzieren sowas ist dass beim differenzieren nicht passiert als die einzige Wahl die Sie jetzt haben Sie mit dieser Funktion hier zu tun haben wollen es sie neuen Namen also ein Elefant von X ist diese Stammfunktion so wie man sie auch zum Beispiel machten einen Logarithmus einführt der und weist die Funktion des nicht umkehrbar die Umkehrung vom zum damaligen schreiben also nennt man sie und den Sidobre muss sowas kann man ja auch machen mehr geht nicht gut das so als kleines Hintergrund denn noch jetzt endgültig vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und bis nächste Woche
Algebraisch abgeschlossener Körper
Polynom
Punkt
Näherungswert
Exponent
Näherungsverfahren
Reihe
Zählen
Zahl
Ableitung <Topologie>
Gradient
Funktion <Mathematik>
Summe
Polynom
Momentenproblem
Ganze Funktion
Ableitung <Topologie>
Gradient
Polynom
Näherungswert
Zahl
Gradient
Quadrat
Taylor-Reihe
Ableitung <Topologie>
Gradient
Polynom
Näherungswert
Menge
Exponent
Grad n
Fakultät <Mathematik>
Zahl
Funktion <Mathematik>
Polynom
Zahl
Polynom
Normale
Gradient
Algebraisch abgeschlossener Körper
Polynom
Näherungsverfahren
Grundraum
Gradient
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Parametersystem
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Physikalischer Effekt
Physik
Kraft
Gruppenoperation
Zahl
Gradient
Logarithmus
Homogenes Polynom
Mathematiker
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Stammfunktion
Momentenproblem
Explosionswelle
Mathematiker
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Stammfunktion
GERT
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Stammfunktion
Physikalischer Effekt
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Zahl
Funktion <Mathematik>
Hyperbel
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Physikalischer Effekt
Rang <Mathematik>
Konstante
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Physikalischer Effekt
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Konstante
Stammfunktion
Mittelwert
Ableitung <Topologie>
Konstante
Mathematische Größe
Stammfunktion
Menge
Unbestimmtes Integral
Funktion <Mathematik>
Konstante
Stammfunktion
Menge
Null
Variable
Länge
Stammfunktion
Menge
Entscheidungstheorie
Konstante
Stammfunktion
Menge
Momentenproblem
Witt-Algebra
Unbestimmtes Integral
Inhalt <Mathematik>
Exponentialfunktion
Ableitung <Topologie>
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Zusammenhang <Mathematik>
Stammfunktion
Homogenes Polynom
Unbestimmtes Integral
Ableitung <Topologie>
Integral
Grenzwertberechnung
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Summe
Stammfunktion
Differentiation <Mathematik>
Reelle Zahl
Betafunktion
Abbildung <Physik>
Funktion <Mathematik>
Stammfunktion
GERT
Ableitung <Topologie>
Mathematische Größe
Summe
Stammfunktion
Differentiation <Mathematik>
Biprodukt
Ableitung <Topologie>
Integral
Funktion <Mathematik>
Linie
Stammfunktion
Homogenes Polynom
Differentiation <Mathematik>
Partielle Integration
Biprodukt
Ableitung <Topologie>
Cartan-Ableitung
Relationalsystem
Konstante
Mathematische Größe
Stammfunktion
Unbestimmtes Integral
Physikalischer Effekt
Mischung <Mathematik>
Substitution
Normalvektor
Ableitung <Topologie>
Integral
Konstante
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Elementare Funktion
Stammfunktion
GERT
Reelle Zahl
Substitution
Zahl
Ableitung <Topologie>
Integral
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Logarithmus
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Kerndarstellung
Ableitung <Topologie>
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Stammfunktion
Partielle Integration
Biprodukt
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Stammfunktion
Ext-Funktor
Funktion <Mathematik>
Dichte <Physik>
Sinusfunktion
Mittelungsverfahren
Schwingung
Faktorisierung
Logarithmus
Stammfunktion
Partielle Integration
Reihe
Ableitung <Topologie>
Funktor
Konstante
Mathematische Größe
Stammfunktion
Partielle Integration
Ableitung <Topologie>
Quadrat
Stammfunktion
Substitution
Inhalt <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Integral
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Quadrat
Stammfunktion
Träger
Substitution
Inhalt <Mathematik>
Exponentialfunktion
Term
Konstante
Quadrat
GERT
Exponentialfunktion
Radius
Punkt
Stammfunktion
Exponent
Summand
Differentiation <Mathematik>
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Quadrat
Logarithmus
Stammfunktion
Mathematiker
Umkehrung <Mathematik>
Potenzreihe
Exponentialfunktion
Substitution
Normale

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Mathematik I für Bauwesen - Integration
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 24
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/35639
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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