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Geometrie und Trigonometrie

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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass es verlängert werden an der TU-Darmstadt K
Schauroth wenn dann mal ein herzliches Willkommen bevor ich inhaltlich einsteigen 2 organisatorische Dinge das erste ist es hat sich also letzte Woche klar herausgestellt die neuralgischen Punkte in dem was die Überfüllung der Übungen angeht ist der Termin Mittwoch um 9 Uhr 50 aber da aber wird wissen was ich meine wir und wer da jetzt nach gesteuert und es gibt 2 neue Übungen um die Zeit wer ist manche haben das schon entdeckt er sicher festgestellt so die eine hat schon 13 Anmeldungen die andere 5 aber das ist noch reichlich Plätze frei und ich habe auch gesehen da durch die Abwanderung also in anderen Gruppen sind jetzt auch wieder Plätze frei geworden zwar nur vereinzelt aber da gibt es wieder also jetzt können sie sich wieder sortieren trotzdem denke ich lohnt sich der Aufruf für Chance hat er von diesem Termin wegzukommen Donnerstag und Mittwoch 50 das seit der zu sein der den meisten am besten passt aber wer den Geschoss hat auf einen der anderen zu wechseln der Dienst dadurch in Service Fall eine bessere Betreuung weil es gab durchaus auch zu anderen Terminen noch Gruppen die zwar nominell zu voll sind aber wo dann da 17 Leute da saßen da hat man dann besser das Betreuungsverhältnis gut das zweite ist ich hatte ja letzte Woche bisschen was zum Thema Skript gesagt und zu der ins Auge gefassten Bastellösung ich habe jetzt heute morgen mal ins zu das in dieses Mal ist Script Mathematik 1 Maschinenbau von Herrn Reif hochgeladen können Sie sich mal anschauen nicht vielleicht erstmal noch mit musste weil 1. ist das was ich heute mache dann auch nicht drin und zweitens kann es auch sein dass da noch mal New aktualisierte Versionen komme aber nächste Vorlesung also ab morgen gibt es eben dann Parallelen Impfstoff hierzu dort und dann werde ich eben wie gesagt immer hier neben meinem Regierung noch die 13 Nummerierung mitführen und dann haben sie so eine zweite Stelle wo sie nachschlagen kann gut so weit dazu und von Ihrer Seite noch unklar halten die der allgemeinen Erörterung bedürfen gut wenn sonst Fragen sind nach der Vorlesung oder so aber genau spät halt wieder ohne Pause durch Paul hat habe ich infolge Termin gut ich hatte ihn am Ende der letzten Stunde noch kurz was über Kreise erzählt und hatte ihn die allgemeine Kreis Gleichung geschrieben und die Normalform vielleicht nochmal zum dran erinnern die Kreis Gleichung war X Quadrat plus A Y Quadrat plus B X plus CY gleicht des wobei das die immer größer als 0 sein muss wobei das so zu lesen wissen Kreis sind die Punkte x y die diese gleichen erfüllen und A B C D sind vorgegebene Parameter die daneben bestimmen wo der Kreis liegt die große ist und so weiter und nein hat es ihnen gezeigt die Gleichung ist zwar die allgemeine Gleichung aber die ist nicht schön wenn man ihn nicht sieht und meistens ist es sinnvoll wenn man dann so eine Gleichung hat das auf Kreis Normalform zu bringen und die war X minus MX zum Quadrat plus Y minus NY zum Quadrat gleich R Quadrat und die Buchstaben die Ziele stehen die bedeuten alle etwas also die Punkte XY auf dem Kreis mit dieser Gleichung bilden einen Kreis um den period MXM Y also das der Mittelpunkt und er dass der Radius deswegen ist die vom interessante ich hatte noch gezeigt wie man den andern überführt und darauf hingewiesen das Kreis ganz entscheidend ist das hier und hier das selbe steht nur X comma plus A Y Quadrat das transformiert sich hier oben drauf das denn da das hier und hier das gleiche stellt da steht jetzt 1 x 1 aber dass auch das gleiche das liegt daran dass diese vor Faktor R Quadrat rüber dividiert ist aber entscheiden ist das dann das Gleiche wichtig weil nur dann die zum Kreis und was passiert wenn da was Verschiedenes steht das ist jetzt
das nächste das ist unsere 5. geometrische Formen wenn sie dann verschiedene Zahlen schreiben sehen hippste da gebe ich Ihnen gleich nur die Normalform Umrechnung von der allgemeinen Frauen auf die Normalform wie beim Kreis man wird sie sieht die Ellipse Normalform genau so aus wie beim Kreis nur dass sie eben vor diesen beiden Klammern jeweils verschiedene Zahlen stehen haben dürfen und dann schreibt man das meistens in der Form X minus MX zum Quadrat durch alt wird plus Y minus NY zum Quadrat durch B Quadrat gleich 1 das steht rechts nur noch mehr ein nicht mehr der Radius des wieder nach unten gewandert er aber dass das so hinzuschreiben macht Wiedersehen weil in der Form
wir haben jetzt alle Größen wie der
Bedeutung also was ich wieder denken können MXM Y hat seine Bedeutung nicht geändert also der period MXM y ist weiterhin der Mittelpunkt jetzt der in Uetze oder man so den Streit mit Quadrat und B Quadrat und dann noch die Zahlen a und der Bedeutung das sind die so genannten Halbachsen und was das bedeutet Zeichen einem Beispiel also ein Beispiel für
eine Ellipse direkt schon in Normalform gegeben wäre X Quadrat durch 9 bloß y Quadrat durch 4 gleich 1 in dem Fall ist der Mittelpunkt der Ellipse jetzt 0 0 1 der steht X minus 0 Quadrat plus Sitzlandes zurückfordert weiter und das Quadrates 9 und das P verwahrte sich hier das heißt dass ist 3 1 bis 2 und die zugehörigen Apps sieht es folgendermaßen aus also mir die x-Achse die y-Achse 1 2 3 1 2 minus 1 minus 2 minus 3 minus 1 minus 2 so im Mittelpunkt es den Nullpunkt und die Halbachse ist das was beim Kreisen war das entspricht also auf der x-Achse im Sinne Halbachse 3 das heißt auf der x-Achse geht die Liebe sehr durch den Punkt 0 3 und durch den Punkt 3 0 nun durch den kommenden minus 3 0 auf der y-Achse am sie die Halbachse 2 das heißt die Liebe Seegetier durch war durch 0 2 und ich minus 2 nur und jetzt muss ich versuchen eine ruhiger Hand zu behalten war also diese Kartoffeln hier seine Liebste das ist eine Ellipse mit Halbachsen 3 und 2 und dass das dann sogar noch an eine Ecke rein geht es wirklich gar nicht ob ich Zar neuere so nein also müssen Sie mir besser hinkriegen gut aber Sie wissen was ich meine bei wenn Sie noch am Leben Material
brauchen finde Normalform habe ich noch
1 mitgebracht was vernünftige Zahlen liefert also eine Übungsaufgabe ja ich meine Sie können sich natürlich irgendwas selber hinschreiben oder Vorteil an dem Beispiel ist ist so gebaut das sind keine wozu aus 27 darum steht x vertraglosen Viertel y Quadrat minus 8 x minus 2 y gleich minus 4 das ist mir letzte sieht man
jetzt nicht sofort ist aber eine unter Aufgabe der bringen Sie das in der Ellipse Normalform damit sieht man 1. das ist mir liebste ist und zweitens können Sie dann die Mittel vom und die Halbachsen ablesen und das ist mir mit geht genauso bei den Kreisen das ist Sache der quadratischen Ergänzung ok also das war zum Überblick von Mengen die sind auf die in der Ebene intressant sein können er und das jetzt der nächste große Block ist bei den Beträgen der Ebene ist alles was mit Trigonometrie zusammenhängt also Winkel Berechnungen Sinus Cosinus und so weiter das ist der nächste große Abschnitt ja ja
so also das ist jedes Paragraph
2 alles ein bisschen neben der Trigonometrie und der der Begriff um den es hier geht hauptsächlich ist erst mal der des Windes also was ist ein Winkel da können wir ganz getrost unser naiven Begriff und sind denn ich will nur ganz auch einen wichtige Konvention hinweisen die grundsätzlich gilt linke werden in der Mathematik prinzipiell gegen den Uhrzeigersinn gemessen das ist eben eine Konvention die einmal festgelegt ist und dabei bleibt's da gibt es auch überhaupt keine Streitereien das Gegenuhrzeigersinn nennt man auch mathematisch positiv ist man manchmal im mathematisch positiven Sinne oder sowas damit ist gemeint gegen zeigt und wenn Sie jetzt
sonne Winkel des gegeben von einem Punkt P genannt sind als dann Inhalt Streit des und der Winkel zwischen A und B ist eben das Stück Kuchen so und dann kommen wir gleich also dass der Winkel zwischen A und B und warum so drauf und dass das der mathematisch positive sind ist weil das nämlich was andere
es ist als der Winkel zwischen B und A also nochmals gleiche Bild A und B was ist jetzt der Winkel zwischen B und A mathematisch positiv heißt sie müssen immer gegen den Uhrzeigersinn laufen das heißt der Winkel zwischen hier und da ist der Herr so und dann kommt schon die Frage gemessen
Winkel und auch da gibt es in der Mathematik eine klare Antwort zu und die unterscheidet sich leider von unserm Alltags umgehen mit Winkeln und B zum wahrscheinlich Leidwesen der hier auch noch von dem üblichen G oder sie Umgang mit Winkel er nämlich in der Mathematik wenn alle Winkel im Bogenmaß angegeben aus der sinnvollen gründen die sich im Laufe der Vorlesung noch erschließen was soll denn das sein würde das Bogenmaß ist das Bogenmaß also wir nehmen unser Bild von oben binden period P haben den Hals strahlt und halt Streit B du sollst
man mit diesem Winkel jeder zwischen messen und was man macht ist man denkt sich um diesen Punkt P ein Kreis mit Radius 1 geschlagen ein Kreis 4. rum eben mit Radius 1 also dass es länger 1 und dann kann man diesen Winkel hier die Größe dieses Winkes angeben in dem man die Länge dieses Bogens angibt da wie viel länger des Einheitspreises brauche ich um von A nach B zu kommen also das wir Maß für den Linke ist die Länge das Einheitskreis Bogens zwischen A und B und das ist eben nicht das was wir so aus dem Alltag kennen mit dem gerade ja im Alltag oder aus der Schule oder wie auch immer kann man die gerade Einteilung der ganze Kreis ist 360 Grad und winkte müssen halten Anteile von 360 eine Konvention des irgendwie von den Grundzügen auf die alten Babylonier zurück gehen muss weil nur die hatten den sechziger Zahlensystemen sonst die 60 herkommen aber das Bogenmaß ist an vielen Stellen praktischer also müssen uns mit dem
bisschen vertraut machen und sie müssen sich daran gewöhnen dass wann immer sie in einem einem mittig Veranstaltung gehen und 7 man Taschenrechner der beiden und des 1. Außenstelle oben das gerade Maß auf das Bogenmaß oder auch das nennt sich auch Rade Janz also dass diese ominöse Taste mit dem deckt abgraben machte und Texten die normalen Gradzahlen und hat ist der Allianz das ist das Bogenmaß also bitte vor jeder Mathe Übung unterstreichen Streichern Dämon und aufreibt umstellen bei allen Berechnungen der Mathematik Simmerath und die die oder dem muss man auch den Grad können die haben halt Teddy die nutzen endlich nächstes Mal diese Taste auf versprechen so aber natürlich damit wir uns daran gewöhnen können vergleichen was man mit unseren normalen gerade begriff was in 360 Grad Winkel im Bogenmaß wenn ich auf den Kreis einer rumlaufen auf dem Einheitskreis gelang es die Kreislinie das ist sollten Sie noch zusammenkriegen Umfang von Kreis mit Radius 1 Nummer Umkreis ist 2 PR also hatten umfallenden Einheitspreisen 3 des einst Umfang 2 p also es Bogenmaß von 360 Grad Wind lässt 2 Pi und der Rest ist jetzt sozusagen Dreisatz 180 Grad das entspricht einem dann erklären sie mal Mathematiker wenn Ihnen jemand sagt ich mal Pi dann muss das mal damaliger sein also mit 80 Grad ist die weißen andere wichtige Winkel Größen der klar rechte Winkel 90 Grad sind dann offensichtlich die halbe nur dass das was man recht dann denken auch daran erkennt sind Mathematiker Werner beim rechten Winkel von halbe nicht von 90 Grad gut und damit aus dem Ding sehen Sie es auch schon die allgemeine Umrechnungsformel das ist nicht kompliziert wir also wie es ist als fallen gerade Maß gegeben wie kriegen Sie das Bogenmaß also müssen die 360 raus dividieren und mit Peer multipliziert ermittelt Networking multiplizieren also dann ist im Bogenmaß Tennisellenbogen ASX gleich alles formal gut 2 Timo die beziehen 360 raus dividieren oder Kiel multiplizieren 180 Grad raus dividieren oder umgekehrt wenn es umgekehrt haben wenn sie den wenn im Bogenmaß gegeben haben Sie wollen die Gradzahl haben
dann ist es genau die umgekehrte vorne ungeklärt wenn Sie es X haben dann des Alfa 180 Grad der Klinik X X kann keine schwierige Umrechnungsformel aber eben grundsätzlich Ansage sobald sie in Mathe Vorlesung oder Mathe Übung gehen alles in Radiance umstellen und im Bogenmaß rechnen gut dann kommt jetzt was tun wenn und mit dem Winkel wenn sie ausrechnen wählt wir brauchen Sinus und den Kunden aus das ist der nächste Schritt also 2 2 Sinus und Cosinus 2 3 1 9 2 3 7 nicht gut und die kann man sich auch wieder im Einheitskreis
anschauen der Einheitskreis ist immer das Maß aller Dinge also sagen die x-Achse sie am liebsten Axels kommt wie dem das Problem mit der künstlerischen Ader wir brauchen Einheitskreis ja ne wird wieder eine Kartoffel er wurde brauche sieht nur den oberen sehr brauchen jetzt im Moment nur das obere den ersten Quadranten das der Kreis ziemlich Kreis ja also im Moment wenn ich jetzt hier mein Winkel alpha dann ist diese Länge 1 weil das Ganze soll gern Einheitskreis sein und dieser Punkt hier an dem die die Linien Winkel mit der x-Achse einschließt den Einheitskreis trifft der ist wichtig weil dessen Koordinaten definieren genau den Kosinus Unsinn Sie noch die Koordinaten haben siehe unten da die eine da die andere und diese Länge hier es genau der Kosinus von Alfa und hier diese y Länge das ist sinnlos von Alfa nein das geht jetzt das ganze 1. eine zwischen 0 und 2 Pi können Sie auf die weisen Sie in den Kursen muss definieren er in der Nacht nutzt man für andere zahlen setzt
man periodische vor aber wichtig ist jetzt erst mal dass man für für die zahlen wir für die Winkel zwischen rund 2 Walpi Sinus und Cosinus haben so er ich will sie noch eine Tabelle an die Hand geben die nicht immer recht praktisch finde in der Sie sozusagen die werte von Sinus und Cosinus finden von den man so gemeinhin an dem die hat jeder im Kopf unter männlichen Kopf dann die mit dieser Verbände er aus dem kriegen wir dann noch mal ein bisschen gerade im Bogenmaß in eingehen also ich schreibe mal so ein paar typische gerade wegen des Hin und runter das Bogenmaß zum dran gewöhnen und dann die jeweils den Sinus und den großen da fahren er zur
Gott also gut sehr wesentliche winken 0 Grad 30 Grad 45 Grad 60 Grad 90 Grand mehr als die mehr als die bis 90 brauche und schon gar nicht wenn man dann aus Symmetrien von Sinus und Cosinus sich jeweils den Rest zusammenbauen kann so was in das im Bogenmaß werden von gesehen rechte Winkel ist wenn man immer wieder PAL so das 1. 45-Grad-Winkel es auch einfach des die führten der 30 Grad in diesem dritten von 90-Grad-Winkel ist die sechste und dann kriegen wir den 60-Grad-Winkel als dem doppelten 30-Grad-Winkel zu P 3. wer gut und 0 Grad Winter hat auch eine 0 Bogenmaß wahnsinnig wenn die 0 ist dann haben sie auch 0 Einheitskreis auch gleich gut mal Bogenmaß und gerade so was ist mit Sinus und Cosinus wenn das gerade Maß 0 ist als der Winkel alpha ist 0 die Linie da oben liegt auf der PIN Achse ist es sinnlos 0 unter Cosinus S 1 und lassen Sie mich diese nun und diese 1 komisch schreiben die 0 schreibe ich mal 2 zu 0 halte das nicht half hoffe ich und die 1 schreibe ich es wusste 4 Halle sie sehen gleich warum in einem Extremfall nochmal 90 Grad was ist wenn sie 90-Grad-Winkel haben geht die Dinge senkrecht nach oben bin nächste gesehen ein 10. Kosinus 0 also dann schreibe ich den Sinus hin Wurzel 4 halbe und dann Cosinus Wurzeln oder halbe und was ist denn der wird davon denn der wird davon ist dass sie jetzt den Rest der Tabelle direkt geradeaus ausfüllen können bei über 30 Grad steht jetzt hier Wurzen 1 halbe dann steht hier Wurzel 2 halbe Wurzel 3 halbe und beim Kosinus gedrückt wird also Wurzel 4 halbe Wurzel 3 halbe Wurst 2 halbe Wurzel 1 Heide wozu und halte denn so kann man sich recht gut merken wir werden immer dieses beim 1 raufen man dann zählt runter und natürlich sind die Zahlen der das den Einfluss manche wissen zu kompliziert ja also mit den ich am Schluss der Klausur Schreie des Ergebnisses wozu 4 halte dann die Worte für kann so bisschen kürzen auch die Wurzel eines halben muss man nicht so stehen lassen aber so kann man sich ziemlich am leichtesten mehr gut das sind so die sagen die Werte von Sinus und Cosinus die häufiger mal vorkommen von dem man annimmt dann muss man es nicht zum Taschenrechner greifen sondern die haben so einigermaßen Gefühl so und jetzt haben wir natürlich Rechenregeln für diese Funktionen nicht meinen sie werden sich daran erinnern mit diesen Funktionen kann man wunderbar viel Geometrie machen und ganz viele Beziehungen Dreieck und sonst wo ausrechnen und ganz viele Längen ausrechnen und alle die die auf die 1. Vermessungs- Übungen gehen wissen wofür man des Dreiecks Berechnungszeit braucht gut aber deswegen ist wichtig sich mit diesen Funktionen gut auszukennen das ist jetzt ein bisschen das Programm für diese Vorlesung also des 1. in diesem Ton auszukennen 2 zu sehen was man damit G mit recht machen und eine 1. Beziehung die für die beiden gilt die sieht man an diesem Bild da oben sofort wenn man mal dieses 3 Hektar nimmt dann stellt man fest dass der Sinus von Alfa natürlich auch nochmal hier ist also diese gestrichelte Linie ist natürlich auch sehen dass Alfa verlangt und John Hansen rechten Winkel dann können Sie da mal die die Tage was drauf werfen die Tage was nur dann finden sie das die Länge
wurden also Cosinus Quadrat Alfa plus Sinus Quadrat Alfa S 1 Quadrat 1 2 3 bis 1 und das geht den so genannten trigonometrischen Pythagoras also das ist meine 1. Rechenregel Rechenregel 2 5 aber der sogenannte trigonometrische Pythagoras Sinus Quadrat von Alfa durch Cosinus Quadrat von Alfa ist 1 Quadrat beziehungsweise 1 und das sieht man direkt ob man dem Bild
das Ding an sich nein es im Prinzip möglich nur der Pythagoras ist der so genannte trigonometrische Pythagoras schon habe ich noch eine zweite hier am Anfang und zwar ist das die Frage wie das mit negativen Winkel ist was ist wenn sie sie von minus Alfa haben dann gilt die Grundregel der Sinus hast vor 2 also zumindest der Sinus mag keine Vorzeichen die schmecken nämlich die spuckte aus geht minus Sinus von Alfa wohingegen der Cosinus dessen großer Liebhaber von Vorzeichen der verschluckt die alle Kosinus von minus Alfas große muss als sehen Sie auch in sein Bild oben machen und mal alle Formen des Alfa ein Zeichen dann finden Sie diese Beziehung sofort im Bilde von diesen Rechenregeln geht später noch im ganzen Haufen mehr das ist zumal ein 1. anfallen ja ich will jetzt erst noch
abgeleitet aus Sinus und Cosinus 2 weitere Funktionen einführt den Tangens und den Code er und das in jeweils Quotienten von Sinus und Cosinus so würde aufpassen und Patienten bildet da muss man sicher gehen dass so nicht durch 0 teilt also müssen so definieren wenn das einfach so ist das Kosinus von Alfa nicht 0 ist dann können wir den Tangens definieren dann definieren wir Tangens von Alfa eben als Sinus von Alfa durch Kosinus von Eifer
es geht eben nur solange Kursen nicht nur das das den nennt man teilen wir uns deswegen auch die Abkürzung kann und etwas weniger gebräuchlich
aber auch nicht viel komplizierter genau das umgekehrte wenn der sie müssen nicht nur das einsetzen wenn die als wahr für die der Markt Sinus von Alfa ungleich 0 ist dann können wird Cosinus T-Sinus bilden und das ist der so genannte code Tangens also das ist Kosinus von Alfa durch Sinus von 1 8 das ist der Code einen ganz von Alfer und das sind ja da sehen Sie mal Sinus und Cosinus haben kriegen wir erst daraus sofort einen Jens Kurt und damit damals vorläufig zumindest mal die Funktionen zusammen mit dem Mann Herr Trigonometrie betreibt und ja können loslegen und eine 1. Beobachtung ist wenn wir die ganze Linke reden das denke auch eine gute Gelegenheit sind auch über unsere Ebene nochmal neu nachzudenken unsere eben anders zu beschreiben in die Ebene bisher immer gesehen als ausgestattet mit dem kartesischen Pollenarten System also und Ursprung und 7 2 senkrechte Pollenarten Achsen bezüglich dieser beim Kundendaten Achsen können Sie für jeden period Kundendaten angeht das ist eine sehr gute Sichtweise für alles was mit ja was irgendwie mit rechtwinkligen Dingen zu tun hat der also wenn man sich versucht in Manhattan oder Mannheim zurechtzufinden ist das super Methode der 3 Straßen geradeaus aus und dann 4 Straßen eine Richtung aber wenn man kommen Sie nicht erst zum Beispiel kreisförmige Geometrien hat dann ist es nicht nein Kreis kann diesen Kundendaten zu beschreiben ist mühsam und wenn sie dann unter man kompliziertere Gebilde hat erst recht und ich möchte Ihnen vorschlagen eine andere Sichtweise er auf die Ebene
eine andere Möglichkeit sozusagen Koordinaten
zu vergeben und das sogenannten
Polarkoordinaten so und die Polarkoordinaten wenn man so kann ich wenn ich ihn folgendermaßen motivieren also die die es immer sehr mir eben jetzt einmal dass ein das wir kennen sie haben Ihr extrem ihre y-Achse das haben sie period P 1 wollen Sie beschreiben ist Ihre Beschreibung meiner x-Koordinate y-Koordinate und gut ist ja dann können sie eben sagen wohin soll ob es aus hoffentlich verständlichen Gründen nicht unbedingt das Konzept was man GPS verwendet könnte man macht haben könnte jeden Punkt auf der Erdoberfläche mit jetzt dreidimensional aber kartesischen Korrelaten beschreiben oder er ist aber ungeschickt ja also wenn Sie dem Kapitän sagen ersetzen dreidimensional Collagen ist mit Ursprung im Mittelpunkt der period das hätte damit nichts an wenn sie die nur sagen es in 15 Grad nördlicher Länge und 35 Grad westlicher Breite dann sagte umgekehrt natürlich 15 Grad westlicher Länge und 35 Grad nördlicher Breite dann sagte Eider mit Canvas Anfang das sind Polarkoordinaten Zumwinkel ja der mit der befindet sich der Kreis Geometrie einer oder der Kugel Geometrie und das sind die Kinder bessere Methoden period zu beschreiben als kartesische Gollner ja und das war mir eben auch machen also wie schreibt man diesen Punkt am besten mit etwas was gut zum Kreis passt 10 folgendes sie gucken sich meinen Strahl an der den Ursprung mit dem Punkt verbindet und was jetzt angegeben ist was dem Kapitän auch sagen würden nimmt Kurs 30 Grad hören also im Winkel sowieso und fahre dann er kilometerweit können zur wenn sie dieses Paar R 4 haben wie weit weg vom Ursprung in welche Richtung haben Sie auch die gesamte Ebene beschrieben dann hat jeder period auch eindeutige Koordinaten nämlich wie weit muss man weg vom Ursprung und in welche Richtung muss ich laufen also die Idee ist beschreibe Punkte P 2 in der 2. durch 2 Angaben gut 2 Angaben vorher auch die x und y konnten hatte und jetzt beschreiben wir indem wir angeben den Abstand er auch vom Ursprung und den Winter Fly zwischen der positiven x-Achse das man die die positive x-Achse nimmt einfach wieder eine ist einfach eine Konventionen kann man dafür könnte auch die negative
y-Achse nehmen aber das macht keiner also zwischen positive x-Achse und der Strecke US-Frauen P dienen und nichts anderes ist mir geografische Breiten Längenangabe auch es wird bei der er der dreidimensionalen Gebilde da braucht man 3 Angaben nämlich Radius und 2 Winkel wir Länge und Breite und ist es damals Zweck war auf der Oberfläche ist der Radius immer derselbe plus minus ist so aber das ist die gleiche Idee period nicht an durch ein kartesisches Werte sondern gibt period an durch im Winkel und in Abstatt ich hatte vorhin das kartesische golden Datensystem schon Mannheim genannt als klassischen Fall wo man das gut verwenden kann falls jemand die Stadt kennt das sind die richtigen Corinna zu Karlsruhe der K 2 ist und der Sonne Gründung aus Zeit des Absolutismus in der Mitte das Schloss vom großen Großherzogpaar an der sich dazu setzen wollte und dann gehen darum so so Wiese und Fächer die Straße vom Schloss in alle Richtungen aus und wieso Sonnenstrahlen alle 30 Gartenstraße genau die richtige Polarkoordinaten wenn Sie wissen wollen wo sie hinwollen 500 Meter vom Schloss in Richtung 60 Grad von Akkorden gut also das Ding dieses Pärchen er auf die das heißt die heißen Polarkoordinaten von T und ich hoffe ich konnte überzeugen oder sie sehen dass man damit auch jeden Punkt P in der Ebene eindeutig beschreiben kann was heißt es eindeutig
was wir müssen vorsichtig sein man muss sich natürlich bei den 4 auf eine gewisse Bereiche einigen wo das herkommt also Fly gleich 0 und vielleicht 2 Kiel gibt dieselbe Richtung da der 8 Zenti- also muss das Vieh aus dem eingeschränkten Bereich also am Beispiel ja was ist der Einheitskreis Einheitskreis hatten wir schon gesehen wir gerade häufig gebraucht wenn man bisher man kartesischen Koordinaten angegeben Einheitskreis wird oft mit S 1 bezeichnet es steht das
wäre die eindimensionales wäre S 1 also die Menge aller XY R 2 und dann haben wir schon gesehen kartesisch können Sie denn schreiben X Quadrat plus y Quadrat gleich 1 1 also alle diese Punkte liegen auf dem Einheitskreis wie sieht den Polarkoordinaten aus das sind alle Punkte den Polarkoordinaten RVI was sind er ist konstant 1 und das Fliegen die zwischen 0 und 2 Klicks und in alle Punkte die Vereins zum Ursprung wechseln mit allen sind inzwischen und 2 laufen Sie einmal um und ab das ist mehr einfacherere auch wenn sie jetzt hier 3 Zentimeter länger ist aber das 2. deutlich einfacher Beschreibung als das erst also wenn ich mich vor das Gebiet liefern Kreis gemacht hätten Sie den und ich zu tun hatten dann würde sie den da oben nicht unbedingt sofort ansehen dass es dem Kreis ist nur bei den da unten haben sich sehr sehr sehr schnell und einfach biometrisch überlegt dass da unten 10 deutlich einfachere Beschreibung des eines Kreises das passt auch weil diese Kundendaten diesen eben dann gut wenn sie kreisförmige beschreiben dann passen was wir jetzt haben 10 2 Methoden die Ebene mit
Koordinaten zu versehen kartesischen Polarkoordinaten der und dann ist natürlich die logische Frage rechtlich die Blondine miteinander um das ich ihr von Karlsruhe nach Mannheim fahren muss jetzt zwischen beiden Quallenarten Systemwechsel mehr gut dann machen uns mal an diese Aufgabe es gibt eine Richtung dies leicht und gibt eine Richtung dies auch nicht viel schwerer der Flieger also 2 9 wie rechnet man die beiden Koordinaten ineinander um also Umrechnung von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten und umgekehrt und die einfache Richtung ist irgendjemand denn die Polarkoordinaten also ich behaupte wenn sie gegeben R 4 haben dann werden wir schneller fertig Name das fest also was ist das
Bild X und Y sie haben die geben Sie mir period P und was sie wissen es das ja und dass sich die beiden größten haben Sie was wollen Sie haben sie wollen haben dieses Ex und Sie wollen haben dieses das y finden auch noch mal hier her das ist auch das y und jetzt sehen Sie jetzt ist es einfach Trigonometrie also
Definition von Sinus und Cosinus der Kosinus von dem Winkel ich denke sie werden sich noch an den Merksatz erinnern Cosinus ist ein Katheter durch Hypotenuse also an Kathete von diesen Kinkel 4 hier hatte Länge x zu bodenlose hatte den er der Sinus von Fly ist gegen kann durch nur also y durch R und jetzt sehen Sie das können Sie jetzt sofort nach X und Y auflösen also ist
x Ehrenmal Cosinus Fee und y ist er mal sehen muss sich die nach und sofort die entsprechenden Formeln für den Übergang von Polarkoordinaten kalt ist das gegeben er und wie kriegen Sie X und Y so schwieriger ist der umgekehrte Fall also der Fall jemand gibt in XY und sie sollen die Vorlage in dazu bestimmt man uns daran ist nach zum also
2. Richtung gegeben ist der Punkt XY in kartesischen Koordinaten und gesucht sind die Polarkoordinaten R und wie damit auch da wieder von diesem Teil einen leichten Teil das ist dass also schon einmal zu sehen gegeben ist der Punkt dadurch dass sie das X wissen und dass sie das y wissen und was sie wissen wollen ist dass er man sehen Sie dass er kriegen Sie wieder einfach mit Pythagoras also dann wissen Sie noch 4 Tage was R Quadrat ist nix Quadrat plus y Quadrat Perioden rechter Winkel ist dann ist R Quadrat X Canal Plus y Quadrat das heißt er eine Wurzelziehen es hier kein Problem ist weil X Quadrat das y Quadrates garantiert immer größer gleich 0 also er ist nutzlos Exporte plus selbst lag nur das Feld einfach aus dem Pythagoras Zimmer ja schon zu 3 Vierteln fertig wir wissen wie man aus er und y Krieg wissen was X und zwar er kriegt und das einzige was noch fehlt ist wie kriegen wir denn jetzt aus dem X und Y das Vieh nun
ist das klar zur also ja das
XY gegeben was wir wollen ist dass viele und wie gesagt es ist nicht wirklich schwieriger aber ist es wenn nervig weil die Berechnung vom fiel die hängt davon ab in welchen Quadranten sie sehen das heißt sie müssen von vornherein wissen bin ich im 1. 2. oder dritten oder vierten Quadranten das nicht schlimm weil sie haben XY meine Vorzeichen von XY sieht man sehr schnell werden vertraten sie sind aber sie haben halt je nach Quadrate andere Formel und das ist einfacher wenn nervig aber lässt sich nicht wirklich umgehen also mal was einfach systematisch 1 2 3 4 mehr
1. Quadrant und immer ein Bildchen dazu und ich denke dann findet man die Formel auch und man keine Lust dass sich die alle zu merken ist das durchaus im Zweifelsfall so dass man sich halt immer wieder hin mal die Bilder also ist dot PDF es ist das wir haben wollen er das heißt dass y das da unten ist das 6 gekommen war dass Iran das Jahr mit vollen Tangens eingeführt vielleicht erinnern Sie sich da auch noch einen Merkspruch Tangens von Fly ist gegen Karte sieht ist ein Kartell der durch gegen hätte er kann die Anwendung kann ein der sich gegen hätte sich ein Kredit oder 10 Uhr für ist waren die Gegner der sich Anker tätigen A y durch x Sr Tangelst wies durch X und jetzt kriegen Sie das wie wenn sie den Tangens invertieren und da ist das ganze Problem drin weil das ist jetzt hier nach Quadrant immer ein bisschen das eine das andere und er Taschenrechner wenn sie jetzt einfach auf minus Arcus Tangens also oft hat auf minus 1 Tangens 10. der lieferte eh immer nur Winkel zwischen minus P halben Peer Heider oder wie das 90 Grad und plus 90 Grad und dementsprechend dann sind Sie hier auf der richtigen Seite also wenn sie jetzt hier den Tagen zivilen Taschenrechner invertieren kommt das richtige Ergebnis raus im zweiten Quadranten muss man aufpassen ab das passiert beim zweiten
Quadranten was heißt das zweite Quadrant das heißt der period liegt oben links das ist P gerade Linie da ist das X 4 ist es y und was wir jetzt haben wollen ist dieser Winkel 4 der Polar Polarkoordinaten werden denn die wird immer bezüglich der positiven rege x-Achse gemessen war und Sie sehen das passt das alles nicht mehr so schön das rechtwinklige Dreiecke rein also hier genutzt man wieder das rechtwinklige Dreieck hier was rechtwinkligen Dreieck gut kriegen ist dieser Winkel alpha hier und aber das Gute ist das iPhone 4 in Zusammenhängen also was man machen kann dass man in diesem Winkel alpha aus den kriegen Sie wieder aus Tangens Allvar ist man das ist y durch minus X ja man beachte und wenn Sie das einfacher haben dann kriegen Sie das Vieh in dem sie einfach von 180 Grad Winkel also von Pi das Art so dass der zweite Quadrant
ja 3. Quartal und da fallen auch wieder aus dem 3 mit dem Winkel den wir haben wollen also 3. Quadrant heißt es geht und wo hier und schön wir haben hier wir das y wer mir Länge x was uns interessiert ist dieser viel und Sie sehen wieder im 1 schönes rechtwinkliges Dreieck aber das sie wieder raus aber wir können es wieder machen denn wir diesen noch Winkel alpha hier berechnen also Tangens Fahrer das ist minus y durch minus 6 wenn sie auf die Weise dann das half haben die kriegen Sie das Vieh na ja dass es als abflossen bloßen gestreckte Winkel also das das ist der dritte
Quadrant zur für den entführten Quadrant geht
zu Ende ich also wieder das gleiche Bild diesmal nicht der Punkt P hier unten wenn mir das y werden hier oben das Ex und es war interessiert uns ein sehr sehr sehr großer Winkel nämlich der das ist für die und die sehen natürlich der hier ist wieder der zugängliche also wenn wir den aus Tangens von Alfa ist man erst y durch X und das müssen wir dann machen und das viel zu kriegen ja wie kriegen wir dann das Vieh das allenfalls das was dem Vieh zum vollen Wingefeld also ist das Vieh Zweiglinien das ein schon das ist der mühsame Teile wie gesagt das ist alles einfacher Trigonometrie geben muss halt dies würden Quadranten unterscheiden so gut damit
haben wir jetzt 2 Methoden die Welt zu sehen ja wir können Sie einmal ganz Rechtwinkligkeit sehen oder wir können sie in der Kreis Geometrie sehen in dem wir leben period trage so Winkel zuordnen und jetzt will ich die beiden Welten mischen das spannende kommt immer dann wenn man die Sache nicht und was jetzt kommt ist mehr was was häufig mal zu betrachten ist und was dann immer ziemlicher Rechenaufwand ist und den kommt man nicht um sie haben Gold Datensystemen das haben sich die Weltkarte so schöne Frauen Datensysteme und dann stellen Sie fest ihr Problem ist jetzt aber so dass es dann richtig einpasst unsinnigerweise sollten Sir Corinna ein System um 30 Grad drehen und um 42 Grad oder um was auch immer was die Frage ist wie kriegen Sie neuen wollen Daten aus dem alten umgekehrt ab und dann muss man rechnen und das ist das was jetzt kommt also einfachste Anforderungen das Koordinatensystem wechselt man kann auf viel kompliziertere Kurden Systemwechsel machen aber die einfachste der einfachste Koordinatensystem Wechsel der so aufläuft ist sie wollen das Ding drehen und das man mir jetzt da ein großes Bild
also die Ursprungs Koordinatensystem X-Achse Y-Achse ist da so und jetzt wollen sie aus dem Grund neues Koordinatensystem haben da wundern period P den goldenen System denn Sie schreiben war nach das sein y-Koordinate und ist ein x-Koordinate gut so und es war das Kanalsystem drehen er Ummenwinkel 1
vor und kriegen dadurch neues Koordinatensystemen mal das neue Konsonantensystem malen Gründerin so war das ist das neue Koordinatensystem und das heißt X strich y strich und das da ist der Winkel alpha und wenn das Ganze gedreht werden soll so was denn jetzt die Koordinaten von P in den neuen Kollegen Datensystemen ja genauso wie vorher Wahnsinn senkrechte Slot auf die X-Achse auf dich Strich Achsen Wahnsinn senkrechte Slot auf die y strich Achse und sie kriegen hier den X strich Koordinaten wird von P unter den y Strichcode der wird von P und die ganze Frage ist gegeben X und Y buckelig x triggern Apps Landstriche er gut ja Wogrin hier der das mehr
schauen wir uns mal an was wir da machen können wir müssen die richtigen Dreiecke finden vom und ein erstes wichtiges Dreieck ist das was durch die das X also die senkrechte Linie zunächst würde und dem bin gleich gegeben ist ja also benutzen bei diesen recht Millionen der Glaube sei nicht den doch meine andere fahren wir machen wir
hier eine Linie runter und diese Strecke hier die nicht mal ist haben so und wenn wir dann uns mal dieses Dreieck sie anschauen dann
finden wir dass der Kosinus von allen große Nase sein kann täte durch über den Lohse der ist genau erst durch x strich das 3 bis so gewählt dass das X Strich wird das nix Strich ist die größte die wir haben wollen dies die würdelosen diesen rechtwinkligen Dreieck und das es ist die ein Kathete und nahm sie aus dem alle des Einfalls in gegeben dass Alfa ist die Bank können dem wir drehen wollen was das heißt dass Alfa kennen wir das wirklich wollen wir haben was noch brauchen ist dass es hören aber auf jeden Fall haben wir damit mal ein Zusammenhang mit dem arbeiten können also es ist nix strich mal Kosinus von Anfang so und dass die andere interessante Größe die für das Ärzte Landstrich gut ist genau wusste selbst Landstrich das y strich
das finden Sie hier ja diese Länge von P bis zu seinen Mister X strich Achse das ist das y strich und da manchmal noch
eine zweite Losgröße 1 und 2 das CE das Ziel ist dieser Abstand hier nein den finden Sie auch noch mal hier oben wundern sich ihren rechten Winkel zur und damit haben sie jetzt wieder das damit haben Sie es glaube ich alle Hilfslinien
drin seien Sie der mein rechtes winkliges 3 das ist wieder so gemacht das das y strich der wollte nur sehr ist und wenn man sich überlegt dass dieser Winkel hier ist dann ist es wieder ein Alfa das ist die man um das das da gedreht wurde und auf die Weise kriegen Sie jetzt die zweite Bedingung die zweite den zweiten Zusammenhang der Sinus von Alfa vor der SC durch y strich das heißt T ist y strich weil der sehen das von allen so und damit er
hantieren wir jetzt weiter der Bund und das der waren noch die ein paar weitere Zusammenhänge die man hier oben direkt sieht das eine ist der Länge x kriegen Sie als es minus die darum habe müssen das Bild gucken es geht vom Ursprung bis zu der blauen Linie X wird vor auf und Abstandes genau T also Sie können es und hebe das X miteinander in verbiegt sie umsetzen und jetzt habe die habe ich alles was wir brauchen
also diese 3 zusammenhängen immer mal
zusammen und dann kriegen wir folgendes kleines ist also XSS minus C S und T 1 da oben stehen SSX Strichcode alle vor und T y strich Sinus vor das ist die erste Gleichung und die zweite ist y ja das ist man ja von da oben gucken das ist y
mehr ab ja das ist es nämlich Überlegungen in der anderen Richtung ja das wird sie dann können sich zusammensetzen aus diesem Stück hier also bis zu der blauen Querlinie das ist genau X strich Sinus Eifer und dem Stück von hier bis zum y und das ist in den 3 Kinder ist es jetzt Landstrich Cosinus einfach also das hier SX strich Alfa und das hier ist y Strichcode einfacher und das zusammen y also y
ist x strich Sinus erfahren plus y strich Kursen ein und was jetzt hier steht nach viel Rauch der sich verzogen hat ist das was wir haben wollten zumindest in eine Richtung wenn in der Richtung Münster normalerweise nicht brauche haben Sie jetzt vorbei wenn sie X durch und y strich kennen wie sie daraus XY kriegen also eigentlich genau das was man nicht will dass wir jetzt habe müsse Formel die 9 wenn die neuen Kundendaten wissen können Sie daraus die alten ausrechnen aber immerhin also mein Zusammenhang Gasen Zusammenhang wenn sich's Striche wird Anstrich haben dass alle verwiesen sie sie wollen 30 Grad drehen dann kriegen Sie über diese Formen XY gut es kann natürlich wieder sagen wenn es irgendwie falsch rum angefangen dann für mit mehr zum andersrum Wahlen müssen oder man kann einfach sagen wieso müssen doch fertig was wir jetzt hier haben ist der Übergang von den X durch Y strich Daten wie XY Koordinaten wir haben jetzt also einfach um minus Alfa gedreht und aus diesen Formen kriegen Sie die umgekehrte Gleichung mit sieht einfach geben zu müssen andersrum drehen sie müsste zumindest Alfa nennt wenn sie sofort die andere Formen raus also
umgekehrt damit Regierung ist ja zum Glück umkehrbar und wenn das die Formeln für die Drehung vom einen ins andere ist dann ist die Drehung um minus als die wird Abwicklung dieser Aktion aber wenn sie 1. Altverträgen unter Minus Eifer sind sie wieder da wo sie losgelaufen sind also machen wir doch einfach mal in den ganzen Formen da oben wohl wurde ein versteht Windeseile verhindern oder Name die umgedrehte Gleichung und die umgedrehte er die umgedrehte Rechnung so das ist jetzt einfach es
ersetzen also X Strich ist dann das von da oben x X das Schreiben der Stadt als in großen Nutzen Anfang man ist y x Sinus von minus Ver und Ärzten Landstrich ist x mal sehen von Windows Allvar so plus y x Kosinus von minus jetzt hat ich vorher noch gesagt diese ziellos und Kursus Funktionen die angenehme Eigenschaft sehr dezidierte Meinung zu haben minus schmecken oder nicht deswegen ist es noch vereinfachten Kosinus von minus als heißt es sehr wie Kursen einfacher der Sinus spuckt das minus aus als sie hier bleibt üblich Fluss y x Sinus von einfacher und in der zweiten Gleichung spuckte forderte Sinus das minus aus minus x mal sehen was von allen vor der Kursus verschluckt sein minus 1 X plus Y Kursen was ein sortieren Sie jetzt die endgültige Form also gegeben XY in den alten Koordinaten wenn Sie jetzt um 30 Grad drehen wollen sind die neuen Koordinaten des Punktes gegeben durch x strich ist diese Form mit als Vergleich 30 das ist das Ganze Endergebnis nach der ganzen rechten Schlag er will und das ist jetzt kann man da einfach einsetzen also als Beispiel Beispiel 2
11 ich nehme mal als das was ich jetzt schon die ganze Zeit als Beispiel den Mund führte Wechsel also 30 Grad heute noch mit Übersetzungshilfe da das Folgen gesehen 30 Grad bei meiner Tabelle drin Kosinus von Alfa ist dann Wurzel 3 halbe und Sinus von Alfa ist dann Wurzel 1 halbe oder auch einhalten und dann können Sie jetzt einsetzen und kriegen eigentlich was was schon gar nicht mehr so schlimm aussieht also wir wollen wir wissen wir können Gesamtlänge allgemeine Formel wie wir jeden period die Colgate von Leben period XY umrechnen wenn strich y strich in dem Fall sehr das folgendermaßen aus X strich es gleich jetzt gucken wir denn mit dem rechten Teil von der gleichen von denen Formen oben x-mal der Kosinus von allen fahrende der Kosinus von falls Wurzel 3 halbe also Wurzel 3 halbe X plus y x der Sinus von Alfa also plus Inhalt ist y und das selbst Anstrich ist minus X mal der Sinus von Alfa also minus ein halbes wächst plus jetzt normale Cosinus also plus Wurzeln Freiheit wird also das wenn die Formen für in Drehung um die sechste wieder oben sehen also kompliziert aus weil diese wegen Cosinus Lust habe da drin stehen über konkrete Werte einsetzt gibt es relativ übersichtliche Form schöne und ja jetzt noch eine unerwartete Folgerung aus diesem also wenn jetzt menge rächen Strecke hinter uns und gesehen man kriegt eben aus der mental Dmitry wenn auch mit etwas Aufwand diese Formel für die Drehung eines Punktes im Koordinatensystem und aus dieser Formel können wir jetzt umgekehrt wieder Erkenntnisse über unsere Cosinus und Sinusfunktion gewinnen es ganz nett und zwar die klassischen Additions Theoreme also das ist der Satz 2
12 Additions Theoreme und das sind wichtige Formeln für die Sinus und Cosinus Funktion die uns was die Ihnen was sagen über den Cosinus von der Sommer und den sehen von der Sonne also nehmen Sie sich 2 Winkel alpha und wird daher und die Frage ist jetzt was ist Kosinus von der Summe ausgedrückt im Cosinus und Sinus von Einzelteilen aber Sie wissen Kosinus von Alphorn große so vom Wetter und sie wollen daraus den großen schon Eifer plus Peter kriegen und kommen Sie uns bitte nicht auf die Idee einfach meine zu schreiben weil es könnte ja klappen Kosinus von Alfa plus Cosinus vom Wetter so einfach ist die Welt nicht das wär das würde vieles vereinfachen wenn es so wäre aber so stimmt einfach nicht aber es gibt eine Formel die sieht folgendermaßen aus der Kosinus von der Summe ist Kosinus von dem einen Winkel Malkurse muss von dem anderen Winkel minus das Produkt der beiden musste Sinus von Alphamann Sinus von Wetter und der sehen aus von der Summe der ist Sinus von Alfa mal Kosinus von Wetzlar plus Kosinus von Alfa mal sehen uns von Petra das sind die so genannten Additions Theoreme wichtige Formeln das ist eben manchmal vereinfachen wenn man einzelne Werte schon weiß andere Werte von Sinus und Cosinus zu kriegen beachten Sie es es bezieht hin aber sie haben damit auch Formen für Kosinus von Alfa minus Peter und für Sinus von Alfa minus Petterweil Kursus von Alfa minus später ist groß muss von Alfa plus minus Peter da und dann können Sie die die Formel benutzen Risikos muss einfach mal Narkose muss von minus später minus sehen von einfach Sinus von minus bitter ja also und dann können sie wegen des Zeichners tun sie das so groß muss rausschmeißen und dann haben Sie die schöne Formel hat deswegen kommen die nicht extra die Sie damit implizit gleich mitgegeben so und woran liegt das hier zum Wasser das wir unsern gedrehten Koordinatensystem zu tun ich beweise in die jetzt aus dem gedrehten Koordinatensystem raus damit ja man den Zusammenhang sieht man auch noch mal sieht immer mit dem solche rechnen kann es wird später eine zweite Möglichkeit geben sich diese Additions Theoreme Costa ganz anderen Ecke heraus herzuleiten da komme ich dann noch mal drauf zurück der ist leichter merkbar also weil das Problem ist wie merkt man sich diese blöden Formen da gibt es durchaus Möglichkeiten da brauchen aber es komplexe Zahlen so und deswegen muss das Moment zurückstellen also beweise fängt mit dem großen Bild
an wir wollen dass sie auf die Trennung des
Koordinatensystems zurückspielen also der Muse Kohlen Datensystem XY und man uns mal Einheitskreis hin mit weiter Sinus und Cosinus wiederfinden einigermaßen schon und jetzt haben wir auf diesem Einheitsfront Kreis wurden period P und dem Punkt P werden und so dass diese wegen der Moment meine dass das eine der Pompeji und jetzt machen eine Drehung des Koordinatensystems um Allvar also vielleicht wieder zweite Frage nicht also wir drehen so
Koordinatensystemen zudem X Trichet comma System von gerade eben und zwar so dass das jeder Winkel alpha ist mehr und den Punkt P immer so
den Punkt P immer so dass dieser Winkel hier darin gewährt nein also die gleichfalls der und die das Korn das dem gedreht wird und da wir über den P sodass sein Strahl zum Ursprung nochmal um den Gebete Arbeiter liegt als die neue Achse es ja warum wenn mit Integration na ja was denn
jetzt die Koordinaten von P das sind die Koordinaten von diesen Dingen dings P also sagen wenn ich ihn geschrieben es kann Sonne Einheitskreis seines diese Klänge jetzt 1 die Koordinaten vom Wind von dem Punkt P sind jetzt genau gegeben durch den großen von seinem Winkel und dem Sinus von sein dient also 1 Cosinus definiert das heißt was sie hier stehen an dieser Punkte ist Kosinus von Was ist der Winkel von dem vom P wenn sie Polarkoordinaten gehen hatte weniger als Flussbett dar also die Koordinaten von diesem Punkt dem Kosinus Eifer plus später 10 einfach das Bett an das aber nur genau die Zahl die es interessiert also meine da oben steht noch die eine Formel was wir wissen wollen das was es Kosinus von Alter plus Peter und was ist denn das für ein verpflichtet tja also so und das sind die Koordinaten muss man aufpassen dass sind die XY Koordinaten also die schwarzen steht auch zum Beginn schwatzte so was sind denn die Koordinaten von diesem Punkt P im neuen Koordinatensystem also was in X
Strich und y strich werden können wir jetzt ja ausrechnen und also das Herr Sixt recht das ist mir zu anstrengend so dass aber gerade gemacht
dann wissen wir nach dem gerade erreichten W X durch Y Strich und XY zusammenhängen nämlich X ist gibt das müssen Sie mir jetzt Moment glauben weiß es auch nicht mehr sehen aber das war X ist x strich Cosinus Alfa minus y Strich sinnlos Alfa und y dies x Strich sinnlos Alfa plus y strich Cosinus Eifer das waren die 1. Formen die wenn sie X durch Y Strich haben in X und Y geben so das andere ist aber dieses X strich ja und das hier ein sollte man sich immer klar machen da was ist das Y das y sehen Sie gerade oben noch ist die zweite Kohl werde von dem P das ist jenes von Alter plus ja fix y kennen wir und jetzt bitte können Sie um noch mal ins Bild kucken und finde nix Strich und Anstrich kennen Sie auch was ist denn Xtra ich die sie haben da oben als Beispiel Anni für andere ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel hier und dieses extrem ist lästig an von dem Wetter und die würdeloses 1 das heißt das X strich das X Strich ist Cosinus vom Wetter und genauso auf der anderen Seite ist das y strich der Sinus von Wetter so und jetzt jetzt nochmal alles was wir haben dann unseres weil in diese 2 Gleichungen hier ein nächstes Kosinus von Alfa plus später das ist die x-Koordinate von unserm period P y des Sinus von Alter plus später das ist y-Koordinate von unserem period P und setzen alles 1 und was wir
dann kriegen ist also Kosinus von Eifer plus später das ist das was wir ausrechnen wollen das ist unser X das ist x strich Malkursen muss einfach aber X Striches Cosinus Blätter also Kosinus von Wetter mal Kosinus von Alfa minus y Strich ist Ines von Welter mal Sinus von Eifer und die zweite Zeile ist der Sinus von plus Wetter das war genau die y-Koordinate von und period P der SX strich X 3. Kosinus von Wetter Marsilius von Alfa plus y strich y Strich von Wetter Marco muss ein so als müsste man immer wieder nach oben gehen wir prüfen ob wir auch genau dahin gekommen sind wobei man kommen wollten aber das ist genau das was oben der Behauptung steht nicht ganz oben der Behauptung steht Kosinus von Alfa plus Peter ist Kosinus von einfach mal Kosinus von Wetter als die beiden den der anders rum und das zweite Produkt auch anders rum und ich hoffe was glauben Sie mir das das das selbe ist und damit haben war die Addition Stil wir bewiesen also aus dieser aus dieser der eine Formel für die Drehung vom Kollegen System heraus wie gesagt ich gebe zu dass ist nicht unbedingt was womit man sich täglich neu herleiten will das ist auch nicht wenig sondern das ist das was und man kann und wenn wir dann in die durch die komplexen Zahlen durch sind zeige ich in anderen Zugang zu den Additions Theorien und der geliefert auch Methoden wo man sich die schnellen 3 Zeilen wieder herleiten kann da komme ich dann drauf zurück gut im Moment wollen wir mit
den Arbeiten und zum Glück stehen sie am
Schluss noch denn aus dem wie gesagt
die kann man sehr sehr oft verwenden und ich will jetzt ein paar wichtige Spezialfälle sammeln haben ja die andere wichtige Formen geben die leichter zu merken sind oder häufiger mal nützlich also wichtige Spezialfälle dieser Formen das 1. ist setzen Sie mal als Vergleich Peter was passiert wenn sie den Formen der um ein Vergleich Peter setzen dann kriegen Sie Formen für den doppelten Winkel also wenn ein Vergleich wird da es sich immer als Frau und Wetter bei der Einfahrt dann steht links Kosinus von 2 als und was sie dann aus den Formen der kriegen sind Formeln für wie kann ich wenn ich die großen Sinus von im Alter von wegen als Verweis daraus den großen Nutzen den sie das von der Winkel 2 Eifer bestimmen und die werden ein bisschen einfacher weil was steht auf der rechten Seite der gleich alles war also steht Cosinus Quadrat von einfacher minus Sinus Quadrat von Alfa alles auch mit schöne Zusammenhang zwischen diesen Funktionen Kursus Quadrat eiförmiges Sie das Quadrat als feste Kosovos von 2 einfacher wissen Sie schon was großes Quadrat plus sehen Quadrat ist und Kosinus Quadrat mindestens Quadrate also haben wir und die gleiche Methode könnte der unteren gleichen an sie setzen ein Vergleich später dann bleibt übrig Cosinus einfach mal Sinus Alfa farblos Alfa Markus muss einfacher das ist zweimal das gleiche also das ist zweimal Sinus Eifer Cosimos da und dort das ist der 1. Spezialfall fallen oder vor gut der und dann scheint noch der einzige zu dem ich was sagen will Gott also und dann steht erschließt sich mir nicht ganz so muss es mal B gegeben haben aber es gibt 2 mitnichten Musik Gott das ist nur das spüren so was am Ende der Seite passiert gut also das ist aber wir vor mir diese häufiger mal sehen werden und dass sich auch mal benutzen werden kostenlos vom doppelten Winkel Unsinn das vom doppelten schon jetzt kommt noch ein Thema das mit dem gerade behandelten sehr eng zusammenhängt wir haben gerade die Fragestellung beantwortet sie haben einen festen Punkt auf der Ebene im Koordinatensystem und dann drehen sie es golden Datensystemen wollen die neuen Kollegen hatten haben jetzt kommt fast das selbe aber andersrum angeguckt sie behalten ihr Koordinatensystem fest kommen könnte und jetzt drehen sie den Pinto und die neuen Quallenarten haben wenn man sich dann denken dass es irgendwie ungefähr das Gleiche die Formen sie noch ganz ähnlich aus es trotzdem wieder andere Frage stellen aber die lassen sich natürlich mit ähnlichen Methoden behandeln beziehungsweise aufeinander zurückspielen also jetzt drehen werden period um den Ursprung und suchen die Koordinaten des Bildpunktes nach der Drehung wenn den Punkt P kennen sagt
also Ausgangsposition sie haben period P L der ist gegeben durch seine Koordinaten und jetzt bleibt auch immer nur es gibt keine fahren weil wir haben jetzt nur ein Koordinatensystem Herr XY das von es denn da wir doch die ganze Zeit nicht dran gedreht und dann habe ich Ihnen vorhin gesagt Sie können jede er in diesem Punkt immer im kartesischen kommen Datensystem darstellen aber sie können natürlich auch in Polarkoordinaten Darstellung anschauen also sehr kompetent ist hier das ist der Welt X das ist der y die kennen wir und die Aufgabenstellung ist mehr dieser Punkt P wird jetzt um den Ursprung gedreht also wird wenn hier ein Stückchen um einen diente den Weg in den mal Alfa und wenn wir das machen dann kommt ein period bestrich raus also dieser Winkel hier zwischen dem P und dem Richter sei und die Frage ist jetzt bekannt XY bekannt was sind was gestrichen natürlich wollen wir nicht alles noch neu machen sollen wenn wir das was wir schon ein bisschen gesammelt haben nutzen und die die es jetzt die Normandie Polar Darstellung zu erinnern diese dot PDF den können Sie nicht nur XY beschreiben sondern auch in dem Sie hier die Länge er eingeben und diesen Winkel Vieh mehr das ist die Polar Darstellung von P länge R und wiege Fly und werden wollen die Umrechnung von konnte kartesischen subpolaren umgekehrt und die einfache Richtung waren wenn sie er und viel Wissen kriegen Sie X und Y also der Zusammenhang hier ist X ist er mal Kosinus von Vieh und y ist er mal Sinus von Vieh das ist die Polar Darstellung des Punktes P man sieht die beiden der Zusammenhang hier ist ergibt sich auch sofort wenn sie in dem dreieckigen rechtwinkligen Dreieck denn sie müssen in großen muss mal ausrechnen der Kursus von fließt an Kathete durch über den Dosis X durch der Sinus von Vieh ist gegen den Titel durch bodenloses y durch erntet sie weiß dass er auch multipliziert kriegen Sie die Formel darüber freuen zur und jetzt drehen wir P um den Winkel alpha er wird dann kriegen wirklich strich und die Frage ist jetzt was sind die Koordinaten von ja das ist in kartesischen Koordinaten ätzend es könnten wir noch mal wieder die ganze Trigonometrie von gerade machen und wie das vielleicht in ein Zeichen und S und T 1 für nur 3 Farben bemühen oder wir gehen Pollack vor Quallenarten mehr wie gesagt oder hatten Sie den wir dann super wenn man es mit Kreisen und Drehungen zu tun hat weil dafür sind sie gemacht und die sind die sind für alles was irgendwie nicht mit Kreis zu mit sind die richtigen was sind denn die Koordinaten von dem strichen Polak mehr die können sofort hinschreiben was passiert mit dem Radius wenn Sie da drehen ändert sich grollend dass es in meinem Bild hier ein bisschen fragwürdig ja aber die Länge ist immer noch er ja wenn Sie wenn sind strichen Stück drehen wird erst richtig drehen nicht länger war so also die Richard immer noch den Radius erstrebt er und was ist der Winkel wie sieht man auch sofort die alles war natürlich darum also die Polarkoordinaten von die können sie sofort angehen wenn sie die von P haben die sind nämlich gleich er über die und Winkel 4 plus einfacher das ist der Vorteil von Polarkoordinaten alles
was mit Bewegung zu tun er dessen
Polarkoordinaten ganz einfach das einzige was noch zu tun bleibt es zwar von unserm dicht richtig Polarkoordinaten wollen aber die kartesischen Koordinaten haben unglücklicherweise ist dass die einfache Richtung wenn sie die Polarkoordinaten kennen kriegen Sie die kartesischen relativ billig also nochmal was war der Zusammenhang der oben steht noch bei dem P die erst die X Koordinaten kartesischen ist gratis Malkursus muss vom Winkel des y-Koordinate ist Radius mal Sinus vom Winkel ja also was wir haben wollen ist es sind die kartesischen Koordinaten von strich den nicht mal sinnigerweise X spricht y strich und wie kriegen wir die die kriegen weißt X Strich ist Radios vom period P strich immer noch er mal Kosinus vom Winkel von p Strich und der Winkel von Pflicht Riches Ficus Alfa so oder haben wir jetzt da können wir jetzt unsere Tradition mehr drauf werfen dann Wesen Kosinus von Zyklus einfacher der große Nuss vom 4. Einfall zerfällt nahm Additions Theorien in Kosinus von Vieh Kosinus von Allvar minus Ursinus wie Sinus das gleiche können Sie mir Apps Landstrich machen y Strich ist nach der Umrechnung von kartesischen Polak auf Unfallort Polarkoordinaten kartesische Koordinaten Radius von den Radius Koordinate aus den Polarkoordinaten mal der Sinus von der Linken comma also sehen von Vieh plus einfacher ist comma der P Strich B Strich hat den den gefiel plus Alfa soll auch hier kommt wieder das Additions Theorien Spiel sie von 4 plus 1 Vaters wahrnahm Additions Theorien Großindustrie Sinus von Alfa plus Sinus von Vieh Kosinus von Eifer dass sie geht sie immer noch nicht vertrauenswürdig Ausfälle weil das wir eigentlich die Frage war gegeben P in kartesischen Koordinaten x y und jetzt will ich zum Donnerwetter der Formel haben für das X durch Y strichen dem keine fließt mehr rumstehen Alsen Alfa musste natürlich rumstehen Alfas der Wind und das ich denn ich drehe der muss in der Formel wo vorkommen aber ich wenig ehren Fly ausrechnen müssen mühevollen gesehen was er rund 4 ausrechnen finde Sauerrei ist er ist aber nicht wenige nächste Benutzerrechten ja das ist aber auch gar kein Problem da steht X und Y muss nur genau hingucken was ist denn XX ist Malkursen losfliegen schauen Sie doch mal hier beim mal Kosovos für ist x damals Industries y einmal Cosinus wie Wiesecks er mal sehen dass y na wunderbar setzen wir das ein und dann
kriegen Sie die Formel die man haben will also X strich S ja mal Cosinus Fließtext x-mal Cosinus Alfa minus damals Industries y y x Sinus von Alfa und y strich
kriegen Sie als er mal Cosinus X X X Sinus von vor plus er sehen dass diese Zählern y x Kosinus von Alfa nun ist der fertige Formel wenn Sie ein period XY um P 17. drehen der kriegen sie neuen Colgate indem Sie mit diesem Kurse mit dass sie das Sinus Kosinus von dem Winkel multiplizieren und den neuen Cortina und dahinter steckt diese Umrechnung in Polarkoordinaten wird dies der Formel Ziele nicht mehr zu sehen dass die keiner und kennt viele drin ist alle verschwunden aber das ist das was dahinter steckte bei der Herleitung okay das ist dieses sauber elementare Kapitel Trigonometrie der Ebene Winter in Polarkoordinaten und der nächste Schritt ist jetzt eigentlich mehr der in der in der Ebene kann man das alles noch elementargeometrisch behandeln für jeden vollen gesagt Polarkoordinaten sind eigentlich vor allem verbreitet und zu uns alltägliche umgangen auf der Erdoberfläche mehr jede gerade und Längenangabe auf der Oberfläche ist mir ist mir Polarkoordinaten Angaben oder genau 10 die Kugel gegolten Dateneingabe was sind man also braucht es eigentlich ein Werkzeugkasten mit dem Mann oder eine ein Konzept mit dem man diese ganze Überlegungen höhere Dimension mal zumindest ins dreidimensionale ziehen kann aber wenn man nur 3 denen seines kann auch gleich 15 gemeinsam machen das macht dann auch den Kohl nicht mehr fest und das ist das was üblicherweise als Vektorrechnung bezeichnet wird also bleiben in Dunstkreis Geometrie aber wir ziehen das ganze bisschen abstrakte auf wir führen Vektoren ein und machen Vektorrechnung ich denke das ist auch ein Bereich denn einige der Schule schon gesehen haben und einige Konzepte die wir jetzt hier zweidimensional gesehen haben tauchen dann 3 oder mehrdimensional wieder auf das ist aber dann Thema für die nächste Vorlesung von heute angeblich wieder aufwärts
Parametersystem
Radius
Kreis
Faktorisierung
Quadrat
Normalform
Parallelen
Mathematiker
Nummerierung
Gleichung
Mathematische Größe
Radius
Kreis
Quadrat
Homogenes Polynom
Normalform
Ellipse
Halbachse
Zahl
Gruppenoperation
Umrechnung
Quadrat
Kreisfläche
Punkt
Normalform
Ellipse
Halbachse
Ecke
Ebene
Mittelungsverfahren
Trigonometrie
Quadrat
Kreisfläche
Betrag <Mathematik>
Normalform
Ellipse
Berechnung
p-Block
Halbachse
Zahl
Trigonometrie
GERT
Mathematiker
Punkt
Mathematiker
Mathematische Größe
Dreisatzrechnung
Radius
Kreis
Länge
Punkt
Verschlingung
Berechnung
Ruhmasse
Umfang
Gradient
Rechter Winkel
Einheitskreis
Mathematiker
Bogen <Mathematik>
Sinusfunktion
Kreis
Kosinusfunktion
Länge
Punkt
Momentenproblem
Ruhmasse
Einheitskreis
Koordinaten
Gradient
Sinusfunktion
Sierpinski-Dichtung
Kosinusfunktion
Länge
Tabelle
Ruhmasse
Zahl
Dreieck
Gradient
Linie
Verbandstheorie
Rechter Winkel
Symmetrie
Einheitskreis
Geometrie
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Quadrat
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Quotient
Funktion <Mathematik>
Ebene
Sinusfunktion
Trigonometrie
Kreis
Kosinusfunktion
Verschlingung
GERT
Achse <Mathematik>
Kartesisches Produkt
Geometrie
Funktion <Mathematik>
Richtung
Ebene
Kreis
Länge
Kugel
Punkt
Polarkoordinaten
Strahl
Abstand
Geometrie
Koordinaten
Gradient
Richtung
Ebene
Strecke
Radius
Länge
Punkt
Polarkoordinaten
Meter
Einheitskreis
Kartesische Koordinaten
Richtung
Gradient
Ebene
Kreis
Quadrat
Kreisfläche
Polarkoordinaten
Menge
Einheitskreis
Gebiet <Mathematik>
Trigonometrie
Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Koordinaten
Umrechnung
Richtung
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Länge
Polarkoordinaten
Quadrat
Punkt
GERT
Polarkoordinaten
Rechter Winkel
Kartesische Koordinaten
Frequenz
Richtung
Quadrat
Vorzeichen <Mathematik>
Berechnung
Gradient
Sierpinski-Dichtung
Große Vereinheitlichung
Zusammenhang <Mathematik>
Polarkoordinaten
Netzplantechnik
Gleitendes Mittel
Dreieck
Linie
Polare
Gradient
Länge
Dreieck
Trigonometrie
Punkt
Kreis
Geometrie
Koordinaten
Gradient
Achse <Mathematik>
Koordinaten
Sierpinski-Dichtung
Strecke
Dreieck
Linie
Zusammenhang <Mathematik>
Dreieck
Sinusfunktion
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Rechter Winkel
Abstand
Sinusfunktion
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Abstand
Gleichung
Linie
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Zusammenhang <Mathematik>
Homogenes Polynom
Gleichung
Gradient
Richtung
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Multiplikation
Punkt
Homogenes Polynom
Gruppenoperation
Drehung
Gleichung
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Gradient
Sinusfunktion
Addition
Strecke
Kosinusfunktion
Folge <Mathematik>
Punkt
Homogenes Polynom
Tabelle
Theorem
Drehung
Koordinaten
Gradient
Sinusfunktion
Komplexe Ebene
Summe
Kosinusfunktion
Addition
Zusammenhang <Mathematik>
Momentenproblem
Homogenes Polynom
Theorem
Koordinaten
Ecke
Sinusfunktion
Kreis
Kosinusfunktion
Punkt
Momentenproblem
Einheitskreis
Drehung
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Punkt
Polarkoordinaten
Strahl
Einheitskreis
Zahl
Koordinaten
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Momentenproblem
Homogenes Polynom
Strukturgleichungsmodell
Rechter Winkel
Gleichungssystem
Dreieck
Sinusfunktion
Addition
Komplexe Ebene
Momentenproblem
Drehung
Physikalische Theorie
Sinusfunktion
Ebene
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Quadrat
Punkt
Zusammenhang <Mathematik>
Homogenes Polynom
Drehung
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Trigonometrie
Radius
Kreis
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Polare Darstellung
Kreisfläche
Punkt
Kartesische Koordinaten
Drehung
Dreieck
Richtung
Polarkoordinaten
Koordinaten
Umrechnung
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Radius
Addition
Zusammenhang <Mathematik>
Verschlingung
Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Physikalische Theorie
Koordinaten
Richtung
Umrechnung
Sinusfunktion
Ebene
Trigonometrie
Kosinusfunktion
Kugel
Vektorrechnung
Polarkoordinaten
Herleitung
Höhe
Zahl
Geometrie
Umrechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Geometrie und Trigonometrie
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 05
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35637
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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