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Funktionen und Polynome

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Automatisierte Medienanalyse

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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass er verlängert werden an der TU Darmstadt so dann wünsche ich mir ein
herzlich willkommen und der schönen Tag wir waren letztes Mal ich denke wir leben in dem Abschnitt über Eigenschaften von Forellen Funktion also dann Funktion von Erlach R und haben Eigenschaften gesammelt die die haben können oder auch nicht das war Monotonie Eigenschaften beschränkt und damit gerade und ungerade und ganz am Schluss der Vorlesung habe ich dann noch das letzte Drittel von neuen Begriffen eingeführt in der tief soll aktiv bijektiv ich will jetzt gerade noch mal kurz wiederholen dass die 3 Begriffe bedeuten also eine Funktion von DFDS der Definitionsbereich nach B der Fund des beides Teilmengen von R und dann ist es im jektiv wenn salopp abgesprochen jeder wird höchstens einmal getroffen wird das heißt das darf nicht passieren dass 2 verschiedene Argumente denselben Funktions- Funktionswert produzieren und das können Sie so ausdrücken wenn wann immer sie sich 2 Elemente aus dem Definitionsbereich nehmen die verschieden sind dann muss für 2 verschiedene period Argumente immer auch müssen auch die Funktionswerte unterschiedlich sein also wenn x 1 und war ich x 2 ist dann ist er von X 1 ungleich F von X 2 Premiere kann man auch so verstehen die Funktion darf sozusagen darf keine Informationen vernichten in dem Sinne dass wenn sie das Bild sehen müssen Sie immer auf das obere rückschließen kann wo man vor 2 verschiedene Zahlen auf das gleiche abgebildet werden wissen Sie mir nicht nur wo sie herkam wenn sie wissen es kommt 5 raus bei der Energie Funktion dann wissen Sie was das Argument waren die Funktion nicht in ihr tiefes und er von 3 und 11 von 7 beides 5 ist dann wissen Sie ich habe man 3 der 7 eigentlich 3 gesteckt also in tief bedeutet sowas wie sie können die Wirkung der Funktion f rückgängig machen Sie wissen wenn sie das Bild kennen kennen Sie das Urbild das ist in der Täter da comma lernen auf dieses rückgängig machen comma zurück dann gab es das 2. 2. Begriff so jektiv der besagt dass das Bild der Funktion gleich dem Wertebereich ist also 11 von DF die Menge aller Werte die wirklich rauskommen wenn sie die Argumente in der F einsetzen das muss ganz B sein das nennt man solche und schlussendlich bijektiv waren die beiden kombiniert also eine Funktion des
bijektiv wenn Sie ihnen jetzt lief und so jektiv ist also wenn sie sowohl verschiedene Argumente immer auf verschiedene Bilder geschickt alles auch das Bild der ganze Welt überreicht so dass man diese 3 Begriffe und ich will dir nochmal durchdeklinieren an einem Beispiel oder je nachdem wie
man's in den 4 verschiedenen Beispielen ich scrolle hier oben raus geht alles
auch mal da auf der Folie ist das Beispiel eines 11 bzw. 0 9 so jetzt schauen was die folgenden 4 Funktionen an und die ja wir können dann zu können denn diskutiert ob das die gleiche oder verschiedene sind also F 1 von X ist x Quadrat Funktion geben Sie der gerade die Normalparabel und die Schau die an als die Funktion von er nach er wie sieht's mit in die Aktivität aus in jektiv bedeutet 2 verschiedene Urbilder haben immer 2 als habe ihn Argumente über verschiedene so Bild das funktioniert hier nicht wenn sie minus 1 und 1 einsetzen komm weil das X 1 raus wenn sie minus 5 und 5 einsetzen comma dass meine 25 aus also es gibt verschiedene x 1 x 2 im Definitionsbereich mit identischen Bildern das heißt diese Funktion ist nicht in jektiv wie sieht's mit solcher tief aus solle tief würde heißen sämtliche wird im Zielbereich des er werden angenommen sämtliche Werte kommen vor dann das sieht auch schlecht aus weil versuchen Sie mal nix zu finden so dass er von F 1 von X gleich minus 7 ist das wird nix alle negativen Zahlen tauchen nicht auf das heißt diese auch nicht so viel tiefer na ja damit beantwortet sich die Frage ob sie bijektiv ist schon von selber bijektiv heißt einfach beides muss da sein wenn keins ist immer von beiden weit weg also ist für uns folgende Funktionen an F 2 definiert auf er aber mit Wertebereiche nur unendlich und die Funktions- Vorschrift es genau die gleichen also wieder die Funktion f f von x gleich x Quadrat aber jetzt gemacht der ich habe den Zielbereich geändert unwirklichen geändert haben der Gewalt so geändert dass das Ding so jektiv würde wir was war das Problem also viel TV-Held nicht alle x in er nicht alle Werte y denn er werden von der Funktion angenommen alle negativen nicht aber eine positive schon jedes jedes reelle Zahl größer gleich 0 4 Wurzel wenn sie die einsetzen kommt die Zahl raus das heißt diese Funktion ist jetzt so Yeti ja sämtliche Werte im Intervall nun endlich werden angenommen also ist das Bild der Funktion gleich dem Wertebereich damit es es relativ wie sieht's mit Ihnen jektiv aus immer noch genauso schlecht wie vorher setzen Sie 2 ein und setzen Sie minus 2 1 liefert beides 4 also sind 2 verschiedene Argumente mit gleichem wert das Ding ist immer noch nicht in jektiv und damit natürlich auch nicht billig das ganze kann ich auch das reicht damit minus 2 einsetzen ich habe nur den Wertebereich geänderte Definitionsbereich ist ja Funktion besteht aus 3 Dingen Definitionsbereich Zielbereich und Funktions- Vorschrift der mit ausreichend vor Funktion verschärfte das gleiche der Wertebereich hat sich geändert und minus 2 einsetzen darf ich weiterhin aber genau das ist das was sich jetzt als nächstes mache es ist wie umgekehrt also die S 3 also wenn danke für den zwischen so ist die perfekte Überleitung es war es genau umgekehrt 20 die Funktion eine mit Definitionsbereich nun endlich und Wertebereich R wieder im gleiches 11 also gleiche Vorschrift und jetzt haben sie genau das umgekehrte Spielchen dies jetzt wieder nicht so jektiv weil finden garantiert kein X so dass er von X gleich 7 minus 17 ist aber ich habe sie jetzt mit Gewalt im jektiv gemacht in dem ich eben alle die Dopplung rausgeschmissen habe jede wenn ich die positiven Zahlen Einsätze kommt jeder der tatsächlich noch einmal vor und damit ist die Funktion inaktiv aber nicht mehr so tief und natürlich immer nicht bijektiv weil der Täter forderte bei CDs was das Beispiel geben zeigen soll es die beiden
Begriffe oder die 3 Begriffe sind die beiden Begriffe in Netivot so ist sind komplett unabhängig voneinander also es gibt jede Kombination gar nix beides nur das eine das andere so und jetzt kommen wir mal die beiden schauen Sie sich 4 1 Funktion von Opel endlich nach Norden endlich immer noch die gleiche Vorschrift und dann haben wir schlussendlich alles dies in der Tiefe keine 2 Werte geht auf das selbe Bild dies solle tief jedes Element im Bildbereich kommen werde Bereich Komfort und damit ist endlich auch blickt so und was man an der Stelle beachten sollte ist 1. auch wenn das im
allgemeinen Sprachgebrauch oft untergeht das sind die mathematischen Sinne 4 verschiedene Funktionen wir müssen ja schon deswegen weil die völlig verschiedene Eigenschaften haben die eines in jektiv die andere nicht dann ist wirklich die andere nicht das heißt die müssen verschieben sein sonst wenn diese Begriffe sinnlos wird ja also das wegen gehört zur Funktion zur Definition immer der sonst Bereich der Bereich und die 2. Vorschrift alles 3 und wenn die verschieben sind dann sind verschiedene funktio- 1. Mergen an der Stelle zweite Bemerkung es hängt eben extrem ab vom Definitionsbereich und vom Wertebereich Funktion solle tief in wurde bijektiv und oder alles zusammen ist mir das heißt man mache sich das dann so solche Fragestellung geht immer vorher klar was es nun genau meinte Fictions Bereich was man werde Bereich der mich damit arbeiten kann er das ist die Bedeutung diese
Begriffe da kommen wir gleich zur ja das war schon angedeutet wie ihn je TV-Funktion vernichtet in dem Sinne keine Information darin wenn sie das Bild kennen kommen sie aufs Opel zurück wie wir es reaktive Funktion sagt Ihnen was über die Größe des Bildes aus Sie wissen welche Widerpart vorkommen und zusammengenommen gehen sehen die Möglichkeit die Funktion eben rückabzuwickeln der Funktion umzukehren da komm vergleichen ich will ihn vorher noch ein ganz wichtiges Kriterium für vitäten man für jede für Funktionen auf er das ist sozusagen die meist ist die einfachste Methode nachzuprüfen ob der Funktion im jektiv ist oder nicht ja also wenn sie nachweisen wollte er also meistens die Nacht ein fast Version und das ist jeder Satz 1 12 bzw. die 8 6 und das verwendete wieder mit den andern Eigenschaften oben wenn ihre Frau wenn sie nach wenn sie wissen dass ihre Funktion der strengen monotone ist und zwar egal ob wachsend oder fallen also streng monoton heißt jetzt eben entweder streng monoton wachsend oder streng und von fallen dann implizit in das sofort in die Aktivität also wenn sie nachweisen können sie eine streng monotone Funktion dann kriegen Sie sie in Reaktivität frei Haus umsonst und das ist meistens recht übersichtlich nachzuweisen
dass eine Funktion streng monoton es geht im Normalfall recht einfach da wonach Kriterien für kennen lernen und damit habe man habe man ganz gut dass endlich die Kelts Kriterium ich werde
noch begründen wie das zusammenhängt also
warum wie kommt es dass strenge
Monotonie Inaktivität impliziert in der also ich spreche ich wir den Satz beweisen und das ist wunderbar kurzes Argument das können wir hier problemlos machen was müssen wir tun müssen zeigen vom soll es in indirekt die also eine Funktion die es monoton wachsen streng monoton wachsend oder feine müssen zeigen Sie es in ihr geht das heißt 1 und 2 Elemente aus den Definitionsbereich hernehmen die verschieden sind dann zeigen wenn sie noch die Bilder verschicken also wir nehmen uns 2 mit außen Definitionsbereich der x 1 und x 2 x die verschiedensten und wir müssen uns überlegen was es mit der von X 1 F von X 2 was bedanken wenn das das die verschieden sind na ja das heißt sind nicht gleich das heißt 1 muss ich größer sein als das andere also sie haben entweder X 1 kleine 1 x 2 oder X 1 drittgrößter x 2 m als von den beiden muss gelten gleich können sie nicht sein so was bedeutet das jetzt aber egal in welchen der beiden Fälle Sie und egal ob die es streng monoton Fälle der streng monoton wächst sie haben auch wieder eine Ungleichung für die Bilder also es gilt entweder F von X 1 ist kleiner als er von X 2 oder F von X 1 ist größer als er von X 2 nur also wenn sie 1. Fall sind X 1 kleine x 2 und es ist streng wachsen dann landen sie bei 11 etwa von X 1 Kleider von X 2 den 7 1. Preise und 11. streng fallen der landen so im zweiten Fall in dem zweiten Fall oben sind mit fallt 1 7 1. und so also egal wie Sie es drehen die Voraussetzungen implizieren dass sie diese entweder den einen oder den anderen Fall haben also das liegt an der streng Monotonie wieder Apps Feinde da wachsend ist werden wird die wird die Ungleichung vererbt und was heißt das jetzt mehr das heißt natürlich dass er von X 1 nicht F von X 2 sein kann nur wenn es eine es strikt kleiner oder Strick Größe ist dann müssen sie verschieden sein also das dann 11 in die Ecke andere Sichtweise dieses Resultat ist
man überlege sieht man versuche das auch immer eine gute gute Übung wenn man so eine Behauptung sieht hier streng oder ohne Funktion ist in NET dann besuchen Sie einfach Graffunder funktionieren zumal die den Satz kaputt macht also man Sinne streng monoton wachsende Funktion wenn ich ihn jektiv ist und dann merken Sie warum es nicht geht das würde den ich ihn jektiv bedeuten das würde bedeuten es gibt 2 Punkte x 1 und x 2 das gleiche Bild ab also das heißt die Funktion muss durch den Ton und durch den Punkt gehen soll jetzt mein Sohn meine streng wachsende Funktion die das tut dann sehen Sie schon das geht schief er also die streng wachsen muss so laufen wie es muss immer weiter rauf gehen aber jeder vorbeikommen kommen das fällt ihr schwer das zumindest wenn sie auf dem ganzen Gebiete zwischen definiert sein muss Gott so seit ich vorhin schon gesagt sie
hat Idee an der Sache ist wir wollen Umkehrfunktion bilden also wir wollen eine Funktion die wir mal angewendet haben wieder rückgängig machen ja also wenn mir was gerechneten Wollens ja sie wollte rückgängig Taste von ihrem im Editor drücken das geht nicht immer mehr also wenn Sie die Festplatte formatiert haben ist nicht rückgängig machen aber das schöne ist wenn sie das ihr tiefes habe man jetzt und das ist der Inhalt vom 1 13 also es kommt die Unterfunktion und was wird dass sie dazu brauchen um der Funktion wieder rückgängig zu machen ist in die Aktivität weil nur das gewann sie den dass sie aus dem Bild rückschließen können was das Argument war dass sie zu dem Bild gefühlt hat also nehmen wir uns eine Funktion haben Abendessen Nutzungsbereich D F die indirekt aktiv ist so was heißt das das heißt für jedes der 10 an ihnen denn er im Zielbereich der Funktion gibt es höchstens 1 X im Definitionsbereich das darauf abgebildet wird also höchstens 1 x in F so das F von X gleich ist das sagt Ihnen in der Tiefe in der tief Tiefgarage die nicht das ist 1 geht nur das könnte sein die bevor wir demnächst trage den sie nach er gibt über Y 10 er die nicht getroffen werden da die keine Werte sehen aber 2 x die auf dasselbe y gehen sind Vorboten durch die Negativität also gibt es höchstens 1 so und das heißt jetzt aber wenn Sie jetzt einschränken und sich nur die y anschauen die auch im Bild legen also für jedes y im Bild von 11 nein das war für jedes y in bildlichen beschreibt das man so in B 11 das soll das Bild von 11 sein also 11 vom Definitionsbereich für jedes dort wissen wir es geht nächstes auf dieses y geschickt wird Arbeitsamtes aus westlichen Bild im Bild zu sein bedeutet genau es gibt x so dass er von XY ist andererseits wissen es geht höchstens 1 und wenn mindestens und höchstens 1 geht dann heißt es gibt genau 1 also gibt es genau einen X außen Definitionsbereich so dass F von X gleich jetzt an so und das gibt uns jetzt die Möglichkeit mehr Unterfunktion zu
definieren weil das bedeutet wenn jetzt eine Zuordnung wenn sich ihren y aus dem Bild wir Sie genau ein Urbild jetzt können Sie diesen y will das X zuordnen also dem y aus dem Bild das Urbild X zuordnen für das F von X gleich y gilt allen also diese zu ordnen die den y des x zuordnet der die Umkehrfunktion das ist die Umkehrfunktion von 11 und was die Macht ist die Macht in die Wirkung von 11 rückgängig wenn beachten Sie an der Stelle hier dass es bei Ihnen jektiv vorausgesetzt dadurch dass wir sagen wir nehmen nur y aus dem Bild machen was mit Gewalt so liegt die also die Funktion f wenn Sie sie sehen als Funktion von DF nach B F wer also wenn Sie die Funktion f jetzt nicht nehmen von DF nach er sondern von DF nach PDF sogar bijektiv die selektive es in jektiv ist und dadurch dass mit den sowie vor dem Wertebereich einschränken auf nur noch die Liebe vorkommen haben was sie mit Gewalt zu relativ gemacht also ist sie BT und dann kann man sie umkehren und das ist dann die Unterfunktion von 11 und geschrieben wird die erfocht minus 1 also das Symbol des Designers ja wo man das einst als Funktion Was ist der Definitionsbereich von 11 auf minus 1 was für den DFV minus 1 füttern wir die Bilder von 11 also Definitionsbereich von 11 auf minus 1 ist jetzt das Bild von 11 die Werte von 11 Uhr minus 1 sind die X außen Definitionsbereich mit F von X der y also das Bild ist und er vor minus 1 von y ist definiert als das X für das X aus die von 11 nicht F von X gleich Apps an und das ist dieses X für jedes selbst B-Elf geht und das ist genau 1 davon geht dass die kann der BFC gezählt wenn Sie mich nicht nur genau einzeln irgendwie 5 davon gäbe dann wäre das keine vernünftig definierte Funktion weil wenn ich jedes Ypsilons geben muss immer ein genau definiertes X ausspucken und nicht irgendwie ich kann hier nicht eine Funktion nicht die Aufgabe überlassen suchte von den 5 das schönste außer dass nach der Funktion an zur das ist die
Umkehrfunktion wir schauen uns mal ein Beispiel
an wir können das Beispiel von vollen weiterstricken das kann ich auch hier wir können das Beispiel von vorhin weite Strecken weil wir hatten uns ja mehr wir hatten uns ja die wollen die Funktion X Quadrat angeschauten verschiedenen Definitionsbereich und werde Bereichen festgestellt waren welche dazwischen womit sie in aktiv sind also werden das war im Beispiel 1 11 im Beispiel 1 11 haben wir gesehen wenn Sie den richtigen Definition so den richtigen Wertebereich nähen also insbesondere Flieder Fictions Bereichen nur die positiven reellen Zahlen nach er das war in das ist 3 der von x gleich x Quadrat wenn sie die nehmen dann ist die in der tief das heißt für die können wir die Konstruktion von gerade eben machen müssen noch das Bild ausrechnen also was ist dann in dem Fall des BDF also das Bild er von DF das sind alle die Zahlen die herauskommen wenn Sie die Zahlen bestehe zwischen oder endlich fliegen Quadrieren und da kommen alle Zahl zwischen 0 nun endlich raus nein er und
nach dem der Belegung von gerade eben existiert damit die Unterfunktion mehr und die Umkehrfunktion vom Quadrieren das müssen Sie machen das Quadrieren rückgängig zu machen wird sie alle nicht überraschen das müssen die Wurzel ziehen und in dem Fall Handels alles so gemacht dass man die furzen auch vernünftig definieren kann er nämlich durch die Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen dass man natürlich rein willkürlich Sie können das Gleiche auch machen in dem sie vorne das F nicht auf dem Intervall nun endlich einschränken so auf das Intervall wenn es nämlich 0 es gäbe dann die negative Wort an der Stelle ist dann natürlich der Willkür drin aber das ist die übliche Willkür an der Stelle niemand definiert die negative nicht
definiert sich die Wort Fleiß die negative
zahlen wäre aber natürlich möglich also was ist hier ganz konkret das er X minus 1 ist jetzt mehr Funktionen definiert auf dem positiven reellen Zahlen und nur die können sind die Wurzel auch einsetzen aus dieser Willkür heraus die Werte sind auch nur endlich und er X minus 1 von y ist das X für das X aus dem Intervall nur endlich für das Geld X Quadrat gleich y das heißt die Funktion kennen sie alle Herr X minus 1 von y das ist das was man üblicherweise als war am Zeit kommen und die gesagt was dann in eine willkürliche Setzung wahr ist dass wir uns
auf den positiven erst auf die positive Relax eingeschränkt haben aber das muss man tun sonst wird die Funktion nicht im jektiv und wenn sie nicht in Hektik können Sie nicht um was bei der Konstruktion also Prinzip können Sie hier Funktion umkehren wie der wichtige Punkt es über die Linie Aktivität sowie auch das so jektiv können Sie mir per Gewalt machen wir indem sie einfach den Wertebereich einschränken in tief der Gewalt ist manchmal schwierig wie geht's in dem man den negativen Aspekt ist so das Ganze noch mal gerade fällig wir
sehen die Grafen hier von der Funktion und von der Funktion aus ich denke die sind in geläufig also die Funktion f ist der positive Axt Fondant erst von der normalen Parabel wird nur der positive weil weniger die erwarb geschnitten ja die Funktion der 0 auf wo man wo sie über die 0 weiterziehen wenn Sie zu den nur weiterziehen ist das denn nicht mehr jektiv dann können sie es nicht wert hier also nicht wenn sie keine Unterfunktion bilden so die sieht der Wurzel Graf aus die Worte von 0 bis auf 0 die Worte von 1 ist auch 1 und nun sieht es so aus und an der Stelle passiert ist was was kann kein Zufall ist das kriegt man immer so die Grafen von 11 Uhr vom einsehen geometrisch ganz einfach zusammen
nämlich das ist die nächste Marco wenn Sie den Grafen von 11 zeichnerisch haben und Sie wissen dass 11 umkehrbar ist in dem Fall sieht man das andere Kriterien hätte es auch getan dieses F ist streng wachsen streng wachsen folgt im jektiv dann können Sie es umkehren wenn Sie den Grafen haben Sie dieses umkehrbar dann kriegen Sie den Grafen von 11 auch minus 1 direkt geometrisch in dem sie alle Winkelhalbierende spiegeln also der entsteht aus dem Graf von 11 und das ist man ganz allgemein das die ganz allgemeine Effekte hat nichts mit dieser speziellen wozu Funktion zu tun das geht immer
durch Spiegelung an der geraden Y gleich X ja also die gerade die den 1. und 3. Quadranten da die Winkelhalbierende S Y gleich X an dieser gerade hier müssen sich spielen und so entsteht der eine Graf aus dem an wie die Unger vom so wurde Umkehrfunktion es endlich wieder die Funktion sehr so dass das ich immer hin und her ja der und sonst gab es immer der gespielte Graf also wenn die Funktion und ist also so weit die Funktion unter es kriegen Sie den Graben ist immer so dass damit dem Beispiel nichts zu tun sondern das gilt allgemein Sendung der Funktion haben und von dem erfahren Sie den Graph dann kriegen Sie sind gar von Funktion durch Umklappen das ist ganz angenehm Thormann ja und die was herauskommt in der ja bekommt das was rauskommt ist das X für das X Quadrate y ist wenn er vor mir das 1 von y ist dasjenige X für das 6 Quadrate y ist und das ist die Wurzel von zu nein Sie können jetzt wieder wenn sie mit Y unzufrieden sind weil Funktion müssen immer x essen dann schreiben Sie jetzt 10 er vor mir das 1 von X Wurzel X ja also meinen aber ein Argument von der wozu muss ich immer X heißen weglassen Argument von der Funktion Muslime X heißt es kann auch so oder T oder Y oder Elefant oder Blümchen heißen dass es ganz egal Anja ist jetzt y weiß ganz sinnvoll ist zu unterscheiden die Elemente von vom Definitionsbereich von 11 von Elemente vom Bild und so die übliche Methode ist die Definitionsbereich Alex und dem Bild NY und dann operiert die Umkehrfunktion auf den jetzt als gut ja so einfach wo das herkommt Mitte nächsten y ist das Bildchen hier das ist die x-Achse und das ist die y-Achse was macht das 11 das 11 ordnet den XY Sohn dass er Woche minus 1 geht es um Sa jetzt haben
wir in der Tiefe relativ bijektiv tief und
wenn gesehen wofür das gut ist wir werden sie Umkehrfunktion bestimmen und ist welche die Frage oder Unterfunktion hat das geht Rechenregeln wenn die Umkehrfunktion dabei ist und das ist die Abteilung 1 16 also Rechenregeln 1 16 also nimm uns mal 2 Funktionäre die beide bijektiv sind so dass eine Umkehrfunktion haben also das 11 geht von die Elf nach BFD des Definitionsbereich ist das Bild von 11 G geht von Definitionsbereich von G ins Bild von den und Design jeweils bijektiv also jeweils in und soll und damit gibt von beiden die Unterfunktion und dann war ich die gleich noch verketten will will ich noch haben dass das Bild von G wiederum mit Teilmenge vom Definitionsbereich von F ist die mit dem Wagen letzte Vorlesung auch nur auf die Weise ist gesichert dass wir die Funktion f und g von X bilden können weil wenn wir jetzt gehe von XP dann liegt das im Bild und damit wieder Definitionsbereich 11 und wir können es drauf an so und wenn wir das haben dann gelten die folgenden aussagen 1. eigentlich logischer beschreiben nochmal 11 konkret was ist der Definitionsbereich von Unterfunktion Junker Funktion nach die Wirkung der Funktion f rückgängig das heißt sie muss sich was sie verarbeitet sind Bilder von 11 mehr jedes Ergebnis des 11 Ausdruck kann man die Unterfunktion stellt man da kommt wieder das Urbild raus ja also ist der Definitionsbereich vom 11 auf minus 1 genau das Bild vom und umgekehrt das Bild von der Umkehrfunktion des der Definitionsbereich von 11 die tauschen genau diese Rollen dann habe ich es die ganze Zeit gesagt aber noch nie geschrieben
die Unterfunktion macht die Funktion rückgängig also es gelten die schön regeln wenn Sie erst erfahren werden und dann die inverse und dann die Unterfunktion dann kriegen Sie wieder X und das gilt für alle x 2 das Sinn macht also für alle x den Definitionsbereich von 11 beachten Sie es macht Sinn wenn die 10 die Elf ist dann ist er von X Bild von 11 das Bild von älteste Definitionsbereich von der Umkehrfunktion und alles passt zusammen also diese Verkettung es auf jeden Fall definiert umgekehrt geht übrigens genau so das ist der Teil C wenn Sie sich
in y hernehmen aus dem Bild von 11 dann ist das Jahr der Definitionsbereich von 11 X minus 1 also können sie er vom minus 1 mal auf das y werfen und davon wieder dass es bestimmt ja und die Aussage ist auch das er erzeugte y das sage den wesentlichen werden in das 11 wieder die Umkehrfunktion von vereinfachen das einzigste was erworbenes also minus 1 ist dann das tut auch noch ein bisschen rechtfertigen warum man hoch minus 1 schreibt es ist schön Notation weil mehr 1 durch einzig X ist halt auch wieder X so und jetzt kommt das
letzte und das ist mir Rechenregel mit ein bisschen 1 exclamation mark und ich hoffe ich kann ihn aber klären warum das exclamation mark so sein muss also dass die kleine Warnung der Wahl jetzt schauen uns nach die an wie gesagt die Voraussetzung um sind so dass das Geld 11 nach diesen Funktionen von der EG also Definitionsbereich von ins Bild von 11 sie nächste Direktionsbereich von gehen und gehe anwenden sind 7 Bild von GE wird von B ist im Definitionsbereich von F also werfen Sie es drauf laden Sinnbild von 11 und die Aussage von dem Satz ist jetzt wenn er von die beide bijektiv sind dann ist es ist sich gute Nachricht dass vererbt sich auch auf die Umkehrfunktion auf die Verkettung F nach also die Behauptung ist wenn die beiden bijektiv sind dann ist auch 11 nachgehen bijektiv wenn sie sich sozusagen so überlegen bijektiv heißt sie können die Operation an denen der Funktion rückgängig machen macht das sehen wir wenn sie es machen und dann gehen beide kann so rückgängig machen können Sie natürlich auch die wieder rückgängig machen F rückgängig machen dann kommen wir zurück das macht schon alles sehen und jetzt es nur die Frage was ist dann die Umkehrfunktion und jetzt kommt das exclamation mark die Umkehrfunktion von der Verkettung ist dann also 11 nach dir um minus 1 ist dann Achtung Reihenfolge die auf minus 1 nach 11 auch minus 1 und nicht erworbenes 1 nach Georg minus 1 was Sir tun müsst ist die Reihenfolge vertauschen ja und das sieht vielleicht jetzt erstmal komisch aus ich
möchte ihnen nahe bringen warum das nur so sein kann und auch in ihrer ganzen Alltagserfahrung nur so ist diese Regel hier hat nämlich einen sage ich mal umgangssprachlichen Namen die heißt doch geschurigelt wenn Sie mich fragen was hat das mit Sorge und so zu tun 11 was immer Sie machen es nach Gerstmann sie erst die und dann F stellen Sie sich die hier vor 1 Socke anziehen und dann 11 als Schuh anziehen was Sie machen F nach Klasse zieht 1. sogar den Schuh sollte man sie dass es wollen sie das abends wenn sie Nause kommen rückgängig machen ich glaube niemand kommt auf die Idee zu 1. sagte auszuziehen wird sondern sie müssen natürlich zu 1. Schuh und dann die Sorge zu müssen das umgekehrt machen es total logisch wenn Sie zuerst die sogar bei die Schule müssen wir rückgängig machen Sie es schon eine Socke und das ist diese Regel es ist nur so vernünftig und ich hoffe damit kann man sich's merken also wann immer sie wir Geltung und haben Tiere müssen denken die Reihenfolge spätestens dann wenn Sie sich was sie sah das ist
das ich mache noch ein weiteres Mal 2 weitere Beispiele und dann lassen wir das dieses Thema erst mal sagt gut also Beispiel 1 7 7 sagen wir lieber 17 und das 1. 1. Teil vom Beispiele die mir einfach dazu noch Runde weitere Funktion einzuführen die man immer wieder braucht wir hatten
wollen die Funktion Links Kinder X Quadrat und haben die umgekehrt und das können Sie nicht nur das Quadrat machen sondern für jede Potenz also wenn sie F die Funktionen x nichts Quadraten haben wir festgestellt hat ist wenn Sie so umkehren wollen gut den Wertebereiche Bereich auf nun endlich Einzug schränken sinnlich Weißbier aktives und jetzt schauen sich nicht X-Gene x Quadrats und X demnach X O N 1 und meine Behauptung ist oder die mir relativ einfache Überlegung ist auch das ist bijektiv für jedes N größer gleich 2 also meines ist auch die tiefe n gleich 1 aber das ist einfach die Funktion X Gegner X dies nicht so wahnsinnig also schon schöne
Funktion aber die tut nicht so wahnsinnig viel und
lässt sich sehr leicht umgehen indem man sie nämlich noch mal
anwenden es ja er also bijektiv
für jedes größer gleich 2 und damit hat sie der Umkehrfunktion und diese Umkehrfunktion ich einfach noch bin Ahnsen das ist die n-te Wurzel die brauchen wir noch also die Umkehrfunktion L X minus 1 von dieser Funktion die definiert die Ente Wortwechsel das in gleich 2 gibt es Quadratwurzel lässt man das N auf der Wurzel üblicherweise weg und Vereine haben sie eben hier die Ente Worte häufig auch geschrieben als x hoch 1 durch n sei damit auch gleich definiert also das ist die Ente Wort ein und man beachte man könnte jetzt Klimmzüge machen die Frage kommt üblicherweise wenn n ungerade ist dann können Sie da oben großzügiger sein und zweimal er das Schreiben nur weil X-Gene x hoch 3 es hat dieses Problem vom X Quadrates verschiedene Werte auf das gleiche abgebildet werden nicht dies immer in jektiv auf ganz er man könnte also auch eine dritte Wurzel aus minus 8 definieren mache ich jetzt hier Moment mich braucht man höchst selten ja also aber wäre drin ich habe jetzt hier damit ich keine Fallunterscheidung Krieg ende Wurzeln auch in dieser Folge einfachen dieser Vorlesung oder wenn der Ball Leben immer nur aus positiven Zahlen hat den Vorteil dass man sich nicht immer die Rechenschaft ablegen muss und Gedanken ob das jetzt gerade gerade oder ungerade oder auch ne ich egal einfach nur übergroße über positive Zahlen ziehen dann ist das wurscht so und dann 9 noch ein zweites Beispiel weil um eine Frage habe ich mir zugegebenermaßen bisher gedrückt das ist Martin sozusagen von der Definition her einfach zu sagen dass Dinges bijektiv also die es Funktion und das reale Leben verlangte häufig nach der Frage wie sieht die aus und ja da will ich wenigstens ein leichtes Beispiel vorrechnen ich bestimmen Sie also die Unterfunktion und ich gebe so das ist jetzt auch kein Glorioses Beispiele weil wer die Rechnung ist nicht allzu lang aber wir wollen ja auch in Mannheim also wieder 11 auf nun endlich definiert und F von X nicht mal 1 minus X Quadrat und jetzt ist es nur meine Behauptung das Ding ist ihnen jektiv und wir können also umdrehen umkehren und das zeigen wir jetzt mit dem vorhin erwähnten tret ich will denn ich behaupte dass es streng monoton fallend und wenn wir das haben wissen was den Satz von freien dann ist es in der Kiefer jede streng monotone Funktion ist in die Ecke so was müssen wir zeigen um zu zeigen dass es streng fallend wir müssen uns 2 Elemente aus dem Definitionsbereich nehmen also den Fall 2 Probe Zahlen aus er größer gleich 0 von der wir wissen das von denen wir wissen dass X Strickkleider ist y ist da müssen wir zeigen F von X ist strikt größer als er von jetzt Gott wie ist das wir wissen dass X kleiner als y ist daraus dann deswegen wissen insbesondere das auch die Quadrat das Quadrat von X Strickkleider ist das Quadrat von y ist also jetzt kommt der Achtung Moment jetzt multiplizieren wir die Ungleichungen minus durch ich hoffe Sie erinnern sich alle noch dran da muss man das Relations Zeichen umdrehen also ist minus X Quadrat schräg größer als minus 17 und Quadrat das heißt wenn auf beiden Seiten noch 1 dazu addieren ist 1 minus X
Quadrat und das ist nix anderes als F von X strikt größer als 1 minus y Quadrat und das ist er von y und jetzt Daten also das F von X Tripolis als er von Y das heißt das Ding es monoton Fab streng monoton fallende das ist schön wir
jetzt kriegen war wie vorhin gesagt ohne weitere Anstrengung das 11 automatisch in jektiv ist hören strenge Monotonie führt in der Tiefe umsonst
mit und dann damit wir auch nicht um der Funktion angeben können ist das einzige was wir noch brauchen das Bild also was ist das Bild von diesem F die 11 war war das nehmen Sie 11 und stopfen sie alle möglichen Werte aus dem Definitionsbereich rein und dann über also das was ist das das ist die Menge aller Werte F von X wenn X größer gleich 0 ist was immer kurz überlegen was kommt dabei heraus die Funktion des eben 1 minus X Quadrat steht noch oben wenn Sie eine Zahl zwischen größer gleich 0 einsetzen es zum Beispiel nur einsetzen kommt 1 raus wenn Sie es mit dem X großer drehen wenn sie einst einsetzen es nur wenn sie mit dem Krieg X immer noch größer drehen dann wird das war negativ mit über negative und noch viele negative was sie dabei kriegen ist das ganze Intervall von minus unendlich bis 1 das keine strikte beweist aber ich hoffe sie sind jetzt nicht Mathematik studiert sondern glauben mir das alle das ist mir das so wendig und 1 kann man der Stelle raus und das ist das Bild von 11 so jetzt haben wir das das Ding in die Tiefe ist und wenn das Bild bestimmt wenn wir also jetzt den Wertebereich aufs Bild einschränken f als Funktion von 0 bis unendlich mit Werten in diesem Intervall minus unendlich 1 dann ist das eine Funktion und dann können wir direkt die Unterfunktion bestimmen als behandelnde Funktion zu
bestellen wir brauchen 3 Dinge wir brauchen Definitionsbereich Wertebereich und wir brauchen die Funktions- Vorschrift und Definition so Wertebereich sind hier einfach er weil die müssen Sie nur oben ablesen der Definitionsbereich Forderung der sodass der Bild ist die Geldmenge ist das Bild von der Ursprungs Funktion also in dem Fall das Intervall minus endlich bis 1 und das Bild ist der die Definitionsbereich von 11 also die Zahlen größer gleich 0 so ist müssen überlegen was ist er wo man das 1 von Y also niemand als man y heraußen Definitionsbereich der Umkehrfunktion also den Bildbereich der Funktion also minus unendlich 1 und dann ist er vom minus 1 von Y nach Definition das X da muss man aufpassen was der Definitionsbereich war das X aus 0 bis unendlich so dass er von X das da ist 1 minus 6 Quadrat der Ich-Erzähler an und jetzt sehen Sie schon was sie machen müssen Sie müssen diese Gleichung jetzt 2 x auflösen was wir
brauchen ist das Xtra erworbenes 1 von y ist x nämlich dieses X diese Gleichung löst und Umgebung zum bestimme läuft raus auf Kg auflösen einer Gleichung und je nachdem wie komplex das F ist wird die Gleichung halt komplexer ist ganz komplizierte Funktion f habe sehr komplizierte funkt Gleichungen lösen das kann dann sehr hässlich werden solche geht das noch 1 minus 6 Quadrate y können wir noch x auflösen X Quadrat ist dann 1 minus y und jetzt muss man aufpassen nämlich beim Wurzelziehen jetzt ist die Frage welchen welchen Werte wurzele wollen wir haben 11 Uhr minus 1 von y ist dann X und wir müssen uns jetzt noch Rechenschaft darüber ablegen was war Definitionsbereich von 11 beziehungsweise was was soll die Geldmenge vom R X minus 1 seines sollen positive Zahlen rauskommen umstellst noch erworbenes ein so nach nun endlich gehen also müssen wir die positive Lösung denn das ist genau die Wurzel also die Wurzel aus 1 ist ja und damit steht die Umkehrfunktion dar was meine Stelle noch aufpassen und beachten kann ist im 1. Moment sollte man hier ihren Schreck reden
da bei der steht jetzt mit Wurzel aus 1 sitzen an unsere Wurzeln solche Worte die
existiert ja nur wenn das was drunter ist größer gleich 0 ist und was er gerade definieren aber durch die gesalzene selbst noch was sie damit das y groß wird dann geht es aber dann wird das aber schrecklich dann aber ein Problem achten Sie bitte das y kann ich groß beides y es aus minus nämlich bis 1 war also die Wurzeln sehen weil das y aus den richtigen in der Wand ab und das muss wenn sie Umkehrfunktion bestimmen immer natürlich auch so sein wer ist das ganze Verfahren mit dem die Liquidität diese so gemacht das ist das Medium der Funktion nur dann bestimmt wenn es auch Sinn macht also muss was sinnvolles daraus gut das war das Kapitel Weber vom zu also über grundlegende Eigenschaften von Funktionen die haben können oder auch nicht und was ich jetzt noch machen will in weiterhin so unserem Einführungskapitel Funktion mit den paar ganz spezielle einfache Typen von Funktionen durch zu gehen hat konkrete Funktion und deren spezielle Eigenschaften oder der spezielle hält ja wer mir anzuschauen was für die speziell geht und möglich ist das sind zunächst Polynome 3 zentrale Funktionen und dann noch ein Abschnitt über trigonometrische Funktionen nochmal also nochmal Sinus Kosinus Tangens und wenn das vorbei ist dann gehen wir ein die er in der Handlung des Unendlichen zur also der nächste Abschnitt Paragraph 2 Polynomen
rationale Funktionen also und da soll es jetzt erstmal mal um Polynome gehen sozusagen als die 1. relativ einfachen Funktionen auf ja kann natürlich kann man noch konstante Funde die sind auch dabei Geradengleichung werden sozusagen auch normal einfachere
einfache Funktionen die sind aber bei dem Polynom natürlich gleich mit dabei gut also weisen vorgenommen ein Mann um geschrieben ich denke jeder von ihnen hat Sonne vorstellen lassen Vollendung ist Polynom ist mehr Funktionen immer von A nach Arkansas Definitionsbereich immer ganz ernähren und hat einen so genannten gerade das ist eine natürliche Zahl n das heißt die Funktion f geschrieben werden kann in der folgenden Form ist Summe von Wohnungen von Funktion der Frauen X auch Fiat mit vor Faktoren also Summe Summe war dieses zum Zeichen zumal ja gleich 0 bis Ende A J x hoch J also die Summe von Termen erfahren 5 x x x 17 da wäre jetzt 17 5 und dass sie je 17 und diese Zahlen 0 A 1 und so weiter bis am das sind irgendwelche reellen Zahlen und damit das Ding wirklich gerade eben hat forderte man noch dass das endete schöne Zahl ungleich und als der höchste der kommerziellen vor der höchsten Potenz der soll nicht 0 sein sonst der gerade eben nicht sondern kleine und diese Zahlen er an
0 bis 1 die heißen die Koeffizienten von Polynomen und damit aber schon Polynom definiert also schon mal 2 Beispiele nennen
Beispiel 2 vor F von X also zum Beispiel zur 3 plus 2 X plus 1 das wäre ein Polynom vom gerade 3 nur weil die höchste auftretende Potenz ist 3 und vor zu 3 Städten 1 und 1 ist nicht 0 also sowohl Novum gerade 3 er war bereit sich auf diesen 0 da
vorne so rum weil man sich selbst guten Beine stellen kann zum Beispiel folgendermaßen was ist denn der gerade von dem Polynom X minus 3 in Klammern Quadrat minus 6 Quadrate 1. Blick klar 2 weil die höchste auftretende Potenz ist 2 der Gelackmeierte bleiben gerade 1 warum weil na ja was ist das Genom X Quadrat minus 6 x plus 9 minus 6 Quadral und das ist minus 6 Quadrat plus oder minus 6 x haben ich wollte vielleicht doch im innersten Innern das ist gerade zweier minus 6 plus 9 und das ist wohl Rundfunkrat 1 haben also beim gerade bestimmen nicht immer nur den 1. Blick trauen soll noch mal genauere drauf gucken das Ding hat gerade ein Ziel so das war also die
viel zum Paul Norman denke ich
relativ vertraut die Gebiete ja ja nächste Frage wann sind 2 Polen nur mitleidig und da gibt es den schönen Satz 2 3 vom Koeffizienten vergleiche ob 2 Polynome gleich sind sieht man ihn sehr einfach an nämlich indem man einfach ihre Koeffizienten vergleiche deswegen heißt es so also 2 Polynome sind genau dann gleich wenn alle Koeffizienten gleich sind das hört sich jetzt einer totalen Banalität an aber nehmen Sie mit das ist nicht ich sage gleich warum also was heißt das das
heißt die beiden Polynome ja gleich 0 bis Ende Xury Ort und so mehr J gleich 0 bis allen B J x auch J sind gleich genau dann wenn A J gleich B J für alle die Ort das ist noch mal die gleiche 1 enthält 0 1 bis 1 aber es ist nicht total Klage es ist einem klar wenn man schon
17 Mal benutzt und 13 Mal gesehen hat aber es ist nicht total klar denken Sie zum Beispiel an die beiden folgenden Funktionen nehmen Sie den Sinus Quadrat von X und nehmen Sie die Funktion 1 minus Grünus Quadrat von also 2 komplett verschiedene Funktionen offensichtlich würde gleich der Kursus Quadrat des Verrates 1 mehr bei den Behörden trigonometrischen ist diese Frage welche sind welche Polynome davon sind gleich schon vieleckiger Köln das würde ein Polynom ist sie können es wirklich an den Koeffizienten ablesen also sofern es ist ein schöner Satz aber wie gesagt es einen so in Fleisch und Blut übergegangen dass man nicht mehr drüber nachdenken gut also haben wir Volume können Sie vergleichen und natürlich was man mit Polen um machen wie das auswerten das können sie
wieder sagen das ist doch was zum Anfassen vom Welt also aus werden soll heißen ich will von dir das Polynom L von der Stelle 7 ausrichten zum Anfassen vom Welt setzt man hat einen unterstrichen und setzt hat ein ja um meinetwegen Song großen Computer und setzen ein schon klar aber man muss immer wieder Programmier- und sich überlegen wie man das geschickt macht und das kann man Geschichten ungeschickt machen völlig ich wie den zeigen geschickt nach und das ist das sogenannte Horner Schema und das ist ne Methode das Geschick zu machen und wenn ich das jetzt hier vor mir vielleicht das natürlich alles ein Polynom von gerade 2 3 4 vor und da mag das bisschen albern wirken die Unterscheidung zwischen einfach aber einsetzen Monarchie mehr aber denken Sie wenn Sie dann wähle Probleme wirklich mal rechnen dann haben Sie sehr schnell mit Polynom von sehr sehr hohen Graden zu tun und da wird das dann relevant und das ganze wird auch noch aus anderen Gründen wichtig bei der Sonne Schema ein numerisch also für den Rechner deutlich stabileres Verfahren ist als das stupide einsetzen also das ist das Problem sie haben Polen ja gleich 0 bis Alioth x noch J denken Sie sich allerdings Polynom und Sie haben bezahlt B aus R und das Problem ist ganz banal wie rechnen Sie es von B aus und die Frage ist jetzt 1. die nach der Effizienz Wie geht schnell und zweitens die was damit also was wir damit gleich mit erledigen möglichst genau also effiziente Berechnung von er von B gut und natürlich ist die 1. Ideen ersetzt es ist
halt einfach ein dann mal die vorsichtige Frage wie viel müssen Sie dann rechnen 3 also wenn sie denn den Wert einfach einsetzen was passiert dann da müssen sehe das B hoch n ausrechnen also müsse sie N minus 1 x multiplizieren namens man ist weniger aber im großen Ganzen das so was wie n x das ist BOL minus 1 ausrechnen das Buch eine das 2. 4 1 3 dann müsse sie werden von denen mit dementsprechend erlaube multiplizieren dann ist alles aufaddieren und summa summarum kommen sehe mit ein bisschen tricksen vielleicht ein bisschen weniger aber auf ungefähr 2 hoch N minus 1 Multiplikation und in Addition und wie gesagt klar wenn Sie das mit dem Polynom 3. Grades machen dann ist es nicht so wahnsinnig viel das kriegt man noch von Hand eingetippt was eigentlich kritischer ist ja kann das eine was kritische ist jede zusätzliche Rechnung produziert wenn es auf bekommt wieder machen Rundungsfehler das auch ein Punkt weshalb es gut ist nicht so viel zu rechnen und in dem Fall kommt noch der Effekt dazu dass sie aus dass uns Effekte haben können die die Rundungsfehler noch viel größer machen und deswegen brauchen sind andere Idee und das ist eben das was man das Horner
Schirmer danach in den und die Ideen zu schreiben Sie das mal völlig absurd
aus habe das lohnt sich
zur also was müssen wir einig machen wir
müssen denn wer von uns Polynom ausrechnen also ANX auch n plus A N minus 1 x O N minus 1 bis plus und so weiter aber 2 x Quadrat plus A 1 x bloß 1 0 1 das ist der Wert den sie haben wollen also fix das gleich wie nachher und was ich Ihnen jetzt vorschlagen ist der klammern mal ein bisschen aus also wir lassen das 0 hier stehen und jetzt im gesamten Rest der jetzt noch auf der linken Seite steht da hat jeder so Summand nix denn das können ausklammern also glauben Sie mir das X aus was bleibt dann stehen dann bleibt er 1 und was jetzt noch übrig bleibt hat alles am Anfang X Quadrat mit 1 x vorgezogen also hat es über 1 1 eine Potenz runtergehen also hat aber die jetzt zu jeder so man zumindest noch nix ja das kann mal aus wir können aus dann bleibt jetzt vieles A 2 alleine stehen weil das 2 hatte jetzt schon 2 x durch das ausklammern und dann das die vor der davorsteht immer noch ne lange Summe aber jeder Summand der da drin steht der hat noch mindestens nächsten wären ja das Gerät ist doch ziemlich lang weiter treibe ich mache mal paar Pünktchen und was dabei passiert ist ziemlich viel ausgeklammert und am Ende steht ja minus 1 plus X mal allen denn jetzt kommt Norm Problem ist es ist sehr sehr viele kann man zu machen und ich weiß leider nicht wie viele aber so ist das ist gleiche wie vorher nur ich gebe zu dass oben sieht übersichtlich aus aber es ist leicht so waren also müssen wir dieses X sukzessive einmal ausklammern aus Rest und dann kommt das raus so und das was jetzt dasteht es im Wesen den schon Schoner sondern bei jetzt
überlegen Sie mal wenn Sie jetzt wenn sie oben versuchen B einzusetzen haben Sie Ihre 2 minus 1 Multiplikationen in Addition wie viel an Sie den unten was mir sie waren wir müssen das wann sie ganz in an klaren geschafft Klammern Handwerk mal ganz in 1 x x 1 eine Multiplikation plus 1 minus 1 ab einer Addition dann müssen wir mit X multiplizieren eine Multiplikation das nächste das 2 drauf addieren eine Addition jede klar machen Sie eine wohl wieder zu eine Addition gibt in Summe n Multiplikationen in Addition so das heißt sie haben Größenordnung in Multiplikation gespart wenn in nur 3 ist dann können Sie sagen mir doch egal ich denn beim Kaffeetrinken N 3 Tausend 750 ist kann das durchaus früher nicht der 1. 2. und da steht auf nächste Übungsblatt was zu ist wenn sie dieses Ding da oben Brot voraus ausrechnen gibt es das Problem der Auslöschung dass die große Zahl von sehr großen Zahlen abziehen und das ist was es ist am Rechner machen was immer für extreme rund ums Anfälligkeit sorgt und was in das Ergebnisse stark verfälschen kann dagegen ist das untere System Gefreiter ziehen nächstes Übungsblatt so und jetzt will ich habe ihn auch noch zeigen nur mit dem Ding tatsächlich arbeitet war das schon ist so wird diese Klammern aussehen die algorithmische Vorgehensweise die dahintersteckt dieses untere auszuwerten ist deutlich leichter als das oben wenn das gerade schon gesehen was müssen Sie denn machen wenn sie diesen Ausdruck da unten aus werden wollen sie von ganz hinten an sie nehmen das 1 multiplizieren mit ihrem X mit dem das muss es ausdehnen wollen Aldi in den nächsten Koeffizienten drauf wurde mit 7 x bei den nächsten geholt selten drauf Mode mit sie mit X er demnächst Verbrauch und bitte mit Xtra demnächst mit der wurde sie mit X der dass da dass das rollt er das das das gibt die schönen glatten Algorithmus und das kann man wunderbar thematisieren und automatisieren
und den Rechner liegen ja so so kommt dass wir sowohl blöde die brauchen immer so und ganz klar rollenden gegen die Bank nicht mit also das kann man wunderbar schematisieren und damit ist es wunderbar auch von daher schon mal geeignet für eine automatisierte Auswertung was machen Sie schreiben Sie sich mal Ihre Koeffizienten von dem Polynom dem Produk- können je nachdem die ganze Menge sein so dass dann haben sie das B mit dem aus werden wollen ja so was müssen Sie machen um 7 noch die Klammer das müssen Sie machen um 11 von B auszurechnen sie müssen mit dem starten nur dann müssen Sie das X mit das eine mit dem B multiplizieren also neben den Wert hier und wurde beziehen mit B oder steht aber mal ein das ist ein X dann müssen sie das am minus 1 drauf addieren das heißt Sie müssen diese beiden Zahlen hier addieren dann steht die unten wieder was da müssen sie mit Mixed Mode Beziehern das mit B kriegen Sie hier also mal will dann müssen Sie das wieder aufaddieren und so weiter mit dem multiplizieren aufaddieren mit dem multiplizieren aufaddieren was hier rauskommt ist er von sich also diese Rollen der Algorithmus und hier mit x bei der nächsten Komfort Koeffizienten der dazu wurde Beziehung mit X hat ihre nächste Konzerten dazu wurde gezielt mit X addieren nächsten wird selten so es genau das was hier steht nur Multiplizieren mit addiere den nächsten gezerrten das multipliziere mit XL geremixt Konzerten dazu mit X der demnächst dass das was hier passiert sinnigerweise schreibt man sich am Anfang hier meistens noch mit 0 hin dann hat man auch nur bloß nein plus 0 es halt ein also man das Ganze meinem Beispiel und falls mir das Ding da oben gleicherweise raus scrollt gibt es das Schema und aufholen so also nochmals ganz ein Beispiel schlimmer bleib mal hier das ist das
Beispiel 2 5 also FIS 2 x hoch 3 minus 6 x Quadrat plus 9 x nächsten das Vieh und meine PS 2 bei den kleinen Polynom wie gesagt wenn sie jetzt auch noch von anderen 2 zweimal 2 hoch 3 minus 9 6 mal 2 Quadrate aber fand es gar nicht mehr an dem wir stehen sind sich schneller er muss es noch einmal gemacht haben was müssen wir tun steht oben schreiben sich die Koeffizienten von ihrem Polynom einfach in die 1. Reihe 2 minus 6 9 minus 4 ja hier vorne die Zahl mit der Sie diese einsetzen wollen 2 und da die 0 nahm worden sein ganzes starren was wir machen müssen ist nur die Maschine anwerfen addieren Sie den nächsten Konzerten dazu und 2 plus 0 multiplizieren Sie mit dem mit dem B 2 mal 2 also hier kommt es mal 2 ist 4 agieren sie zusammen minus 6 und 4 es minus 2 multiplizieren Sie mit 2 es minus 4 9 1 4 5 Mode ziehen sie mit 2 Szenen sehen dass 4 6 also 11 von 2. ist wird an den also das ist einfach nur stupide aber es führt zum Ziel und wie gesagt damals aber gemacht hat sind sie fünfmal schneller als ein Taschenrechner da ist man kann der ganzen mal anders ausgleichen uns auch tatsächlich man
muss sich ja bei sowas neuen immer erst mal vergewissern dass es passt also was ist 2 mal 2 hoch 3 minus 6 x 2 Quadrat plus 9 x 2 minus 4 es zweimal 8 minus 6 x 4 plus X gleich 18 schreiben können egal also das sind 16 16 minus 24 plus 18 minus 4 16 bis 24 minus 8 plus 18 sind sehen minus 4 6 mehr wunderbar ja also es geht so aber auch aber Sie sehen ja auch wieder den Effekt den man so rechnet wie unten passiert es dass man zahlen hat die man laufend von da abzieht und addiert und die werden wenn dies der Grad des Polynoms sehr groß ist dann werden die Zahlen die Sie hier addiert und abziehen sehr groß und da steckt mehr Gefahr Tränen für den Rechner die also haben wir an der Stelle die erstmal nur den Wert bestimmt schön dass es das auch ist immer da und ich will Ihnen jetzt noch einen unerwarteten Mehrwert von dem Horner Schema zeigen auf dem man im 1. Moment nicht kommende weshalb es auch wertvoll ist man wir mal folgendes
schauen uns nicht mehr das Polynom F 1 so das Polynom F von X minus 6 Nase sehr von 2 minus 6 wissen wir jetzt dass das 0 ist weil er von 2 6 also hat das Polynom F von X minus 6 es war eine Nullstelle ja was heißt das ist denn eine Nullstelle das heißt sie können die ab dividieren das heißt es geht um wurden und gerade 1 kleine also vom Grad 2 so dass er von X minus 6 sich schreiben lässt als den ja Faktor X minus 2 mal die von X abspalten von Nullstelle ich erinnere mal wenn
man da hinkommt die kriegen Sie jetzt das gehen das kriegen Sie im Normalfall durch Polynomdivision ja das ist so dicht Brute-Force-Methode die immer tut machen wir das er an der Stelle noch mal ausführlich für die die es noch nicht gesehen haben oder die es vergessen haben was war das F von X das hat ich stehe zu weil also ich habe so meine F von X minus 6 ist 2 x hoch 3 minus 6 x Quadrat plus 9 x und das er von X hatte minus 4 das heißt wenn wir jetzt minus 6 machen aber minus 10 so und wir wissen aus unserer vorherigen Betrachtung diese
Funktion hatten 2 1 0 stellen und damit der
mit diesen durch den abspalten also 2 x hoch 3 minus 6 x Quadrat plus 9 x minus 10 und dieses Polen und wollen wir teilen durch X minus 2 was ist ja wobei auch gleich Platz
nach unten sage ich Ihnen wer über nicht
viel und so mehr bitte mehr zwar
dass es heute so also Polynomdivision im Wesentlichen so wie schriftliches Dividieren bezahlen ohne Polynom Brüno müssen auch nicht komplizierter ist sein also wie macht man das 2 x hoch 3 durch X minus 2 ist in 1. Näherung Maliks Quadrat mehr gucken wir mal was für ein Fehler
gemacht haben x Quadrat X X minus 2 dann ist 1. Näherung besser mal 2 x Konrad gebt minus 2 x hoch 3 minus 4 x Quadral
das müssen wir hier abziehen 2 x hoch 3 minus 2 hoch 3 0 das passt gut minus 6 x Quadrat plus 4 x Quadrats sind minus 2 x Quadrat dann die nächste Stelle von oben runter holen wie beim schriftlichen Dividieren minus 2 x Quadrat durch x teilen die minus 2 x wieder zurück multiplizieren minus 2 x x x ist minus 2 x Quadrat minus 2 X X minus 2 bis plus 4 x gucken was er falsch gemacht haben der erste Summand der 1. x Quadrat Herrn geht natürlich wieder weg so dass es gemacht 9 X minus 4 x ist 5 x die nächste Stelle runterholen 5 X minus 10 und jetzt sieht
man geht auf plus 5 5 R 5 x x minus 5 X minus 10 wunderbar ja also haben wir per Polynomdivision unser erstmal
bestimmt also der haben jetzt f von X minus 6 ist gleich X minus 2 mal dieses Polynom 2 x Quadrat minus 2 X plus 5 oder noch mal ganz dass er formuliert F von X ist
gleich X minus 2 x 2 x Quadrat wenn 2 X plus 5 minus 6 zur und jetzt schreibe ich Ihnen noch mal die wir zuerst wollen
furchtbar schnell gemacht ich schreibe ihn noch mal genau dafür dass er für also was war das das etwa 2 x hoch 3 minus 6 x Quadrat plus 9 X minus 4 ja danke stimmt Gott da dann ist das sehr gut weil der welches gleich nicht auf die Nase gefallen danke so was aber voll gemacht wir haben enorme gemacht für dieses Polynom mit wir gleich 2 ja damit
angefangen die Rechnung noch mal addieren Sie runter 2 plus 0 es wolle und dann immer Strelkov multiplizieren 2 mal 2 ist 4 4 minus 6 bis minus 2 hoch multiplizieren minus 4 und addieren minus 4 plus 9 bis 5 5 mal 2 Szenen 10 minus 4 6 sogar Freunde das dann alles schon mal da bis dann eingeschrieben also das aber vorgesehen die Zahl ist das eigentlich und wichtige beim beim hoch und nur das ist er von 2 ja dafür das gemacht und alles dazwischen diese ganzen Zwischenergebnisse Tage braucht man ja eigentlich nicht interessiert nur das Ende muss man nur durch weit gefehlt auch die Zwischenergebnisse sind spannend vergleichen Sie doch mal die Zwischenergebnisse wir den Polen umgehe in kann das Zufall sein das kann Zufall sein aber das ist kein Zufall sondern das ist
eine wunderbare Effekt Schimmer besonders schnell mal liefert ihnen nämlich nicht nur den Wert an der Stelle sondern es erspart ihnen die gesamte würde Polynomdivision war ja nie dieses Jahr mir dieses Polynom dieses dieses Polen umgehe dass da werde das gekriegt ja Polynomdivision über hindurch der nächsten das 2 abgespalten haben völlig unnötig weil wir hatten alles schon vorher das Polynom stand schon da haben so nicht gesehen das Polynom stand nämlich hier unten in der letzten Zeile von Schema und er wartet nur darauf gepflückt zu werden und das ist das schöne am Horner
Schema zusätzlich dazu dass man damit schnell der dass man damit schnell Werte von Polynom ausrechnen kann man kann auch Polynome faktorisieren durch Stellenabbau und Polynomdivision machen alles in einem schreibt das mal zusammen so wie es auch auf der vorgestellt also was werden jetzt die Erkenntnisse wenn sie ein Polynom haben er von X eine Summe Ende J besser ist der Grad eine Summe J gleich 0 bis M A J x hoch J seien Polynome vom Grad n das vom Grad n heißt nur dass das eben nicht 0 ist und B sei eine reelle Zahl diesen das Polynom einsetzen wollen dann können Sie jetzt das Schema machen mehr also schreiben Sie
sich damit zum mehr was ich schreiben sich Versorger Schema die Koeffizienten von Polynomen in 1 zu 1 hier schreibt man sich meistens das PIN damit man es nicht ist dann kommt hier die 0 so die Ergebniszahlen die sie kriegen die nicht mal CNC N minus 1 C N minus 2 und so weiter der C 1 C 0 es sind die Zahlen die und manchen auftauchen natürlich geht immer das CEN gleich am nächsten wegen der 0 das ist immer so aber dann lassen Sie uns das mal CNN und dann haben
diese Zahlen CNN alleine Bedeutung
nämlich 2 Dinge zum einen das war das 1. wofür es einig am Anfang konzipiert hatten wenn Sie den Wert von 11 an der Stelle B haben wollen dann können Sie den jetzt direkt ablesen dass ist das Ziel nun an der Welt ganz oben rechts das ist der Wert er von der Stelle BE aber das war Schema liefert noch mehr es liefert nämlich eben auch die Faktorisierung ihrer vom ihres Polynoms F von X wir Polynom können sie dann immer schreiben als X minus B mal das Polynom das übrig bleibt aus dem Koeffizienten in der untersten Zeile stehen das ist jetzt Polen Rundfunkrat N minus 1 1 kleiner CLJ plus 1 x J und natürlich bleibt am Schluss noch das er von B so wie oben auch stehen und das gilt dann für alle x als er so alle diese Information steckt in dem ein oder immer drin man arbeitet sich einmal durch einen hat man alles was man braucht und komm Flugverbindung kündigte Vision können sie komplett vergessen er besonders relevant und wichtig ist das für den Fall dass ihr B nicht B seinen Sitz Kartenwert ausrechnen wollen sondern durch ein wie auch immer gearteten Huo Renten Glücksfall haben sie mit Ihrem B genau oder Nullstelle von dem Polynome nicht wenn Sie mal davon aus dass das Beben durch den ist dass er vom besten 0 dann heißt dass die intern dar das wäre und was dann da steht es gut 1. Zeile 10 wolle er von bis 0 2. Zeile F von X ist X minus P X minus P mal dieses nächste Polynom das heißt Sie kriegen dann tatsächlich die ab Faktorisierung der durch den X minus P und auf die weiseste Sonnenschimmer auch ein gutes Mittel um ja Faktor Zerlegung von Polynomen zu machen und lassen Sie mich dazu
zunächst damit alles schön vollständig ist den Begriff der
Nullstelle definieren herrliches mehrfach verwendet aber nicht nur nicht eingeführt aber letztendlich auch keine Überraschung also Begriff 2 6 denn nur stelle die ganz natürlich definieren für eine Funktion also er von A nach er seine Funktionen das muss es nicht unbedingt Polynom sein und bezahle B aus er für die geht es von der gleich 0 die es Nullstelle von 11 das ist denke ich keine überraschenden die Begriffsbildung aber der Vollständigkeit halber muss immer dastehen und was wir jetzt gesehen
haben wenn man das Schema ist aber das ist wahrscheinlich 2 ist ist sie sollen neue Stelle im ab ab faktorisieren können also wenn Sie ein Polynom vom Grad n haben und das hat mir Nullstelle also B seine neue Stelle von 11 die Frage wo man seine Nullstellen hier trägt ist ne ganz andere das ist wie gesagt mühsam dann sagt diese letzte Zeile die jetzt hier auf der vorgestellt formal Schema wendet der Nullstelle ist er von den 0 das heißt wenn Sie dann diese letzte Zeile übernehmen dann gibt es immer ein den umgehen das ist ein gerade kleine also von gerade N minus 1 so dass sie schreiben können F von X ist Exners B Michael von X für alle x aus er ist das was man ab faktorisieren von der Nullstellen nennen und das ist jetzt natürlich was was immer
weitermachen können wenn jetzt das gehe wieder ohne Nullstelle hat dann können Sie nächsten durch den daraus ziehen und so weiter plan also gilt jetzt auch der von den auch gleich 0 dann kann man das wiederholen und kann die Nullstelle eben quadratisch rausziehen also dann ist er von X gleich X minus P X X minus P also X minus B Quadrat mal ein neues Polen um habe von X je nachdem wie auf das noch eine Nullstelle hat das blöde der Polynom kann man das weitermachen und auch da
Schmuggel ich Ihnen jetzt noch ein Begriff unter also Nullstelle B von 11 nennt man dann 11 x können Sie sich jetzt denken wenn man sie in 11 x so abspalten kann also wenn es ein von es geht mir die Buchstaben aus G H I J K denn das einfach wieder G also ein Kunden umgehe geht das jetzt an der Stelle die von den nicht mehr 0 ist werden und das 11 lässt sich schreiben als X minus B L x mal dieses Polynom die von X da also Sie haben erfahren Nullstelle wenn sie ebenso L x abgespalten kriegen oder 1. Geld übrig bleibt der ist definitiver der Stimme nicht mehr lohnen das ist die sogenannte elffachen Nullstelle mir fehlt noch ein gibt sagt gut die Frage ist nur wie macht man es praktisch habe aber schon gesehen oder Schema immer wieder wird das vorne Schema immer weiter man brauche das einem Beispiel
also Beispiel 2 8 wir haben ein Polynom mit der bekannten Nullstelle also immer wieder kein allzu großes x hoch 3 minus 6 x Quadrat plus 9 X minus 4 und als B habe ich verrate ich Ihnen jetzt mal das 1 Nullstelle ist Rathenau gut sieht man auch so sehr schnell und wenn sie 1 einsetzen kriegen Sie 1 minus 6 plus 9 minus 4 und 1 plus 9 bis 10 und 6 plus 4 ist auch 10 also gut nur raus und obwohl wir jetzt schon wissen dass nur rauskommt Ladies einmal
das war schlimmer zu machen und zwar nicht um rauszukriegen das nur raus kommt es gegen den Fall auch so sondern damit wir uns die Bilder Polynomdivision sparen kann weil das natürlich die spannende Frage ist was wäre so sehen ist ein System Nullstelle aber die Fragen in die vielfache Nullstelle es ist das wird mit bloßem Auge schwierig es wie wir meinen er Orakel hat und das kann man sehr schön mit dem sehen also nehme und so Polo Massen die Koeffizienten 1 minus 6 9 minus 4 oder machen wir mal oder schlimmer mit dir gleich 1 das hat den Vorteil dass es modifizieren recht übersichtlich wird also 1 plus 0 bis 1 multipliziert mit 1 ist immer noch 1 1 minus 6 bis minus 5 mit 1 multipliziert es immer noch minus 5 9 1 4 1 1 9 minus 5 müssen wieder addieren ist 4 wir mit 1 multipliziert es wieder 4 4 minus 4 ist 0 die nur als jetzt oder muss sich verrechnet das dann nur rauskommt wussten wir schon vorher aber wir haben eben nicht nur das
raus dass jetzt 11 von 1 gleich 0 ist sondern wir haben auch unsere Nullstelle abgespalten nämlich F von X ist nach der vor Millionen auf der Folie X minus 1 x das Polynom das übrig bleibt also X Quadrat minus 5 X plus 4 plus 11 von B aber das ist ja nur also hier diese Zahlen 1 minus 5 und 4 die kommen jetzt nicht irgendwo aus dem das den Teeblättern oder so sondern das sind die die hier stehen so das ist unser Polen umgehen und um jetzt zu gucken ob das einst vielleicht doppelte Nullstelle ist eine einfache muss mal wieder gucken ob das neue Stimme vom G ist machen wir
also was hat das denn für Koeffizienten 1 minus 5 4 setzen bei 1 1 was kommt raus einmal 1 ist 1 minus 5 plus 1 ist 4 minus 4 minus 4 x 1 ist minus 4 klar muss auch didaktisch so gewollt sein werden wenn ich schon sage sieht man nicht sofort auf so Nullstelle hat muss es eine doppelte haben will aber ist
tatsächlich eine also was kriegen wir raus
wir kriegen raus wieder gehe von 1 gleich 0 und das G lässt sich wiederum zerlegen als X minus 1 x das Polynom dass Sie rauskriegen also X minus 4 und damit haben so dass es komplett zerlegt komplett R und zerlegt er von existiert zwar das X minus 1 mal das G also X minus 1 Quadrat X X minus 4 und somit Darstellung von dem Polynom F das ist
eigentlich das Schönste was man kriegen dann das wünscht man sich über das Polynom so dastehen bei den Sie so dastehen dann sieht man ihre Eigenschaften allerschnellsten somit Darstellung nennt man eine Zerlegung ja Faktoren weil man jetzt eben also zum Beispiel Nullstellen sieht man jetzt sofort aber auch andere Eigenschaften lassen sich am allerschnellsten in der Form ablesen das und ja Faktoren des sind eben diese
Ausdrücke X minus irgendwas ohne die ist das jetzt erledigt man sieht es eben zum Beispiel sofort dieses Polynome doppelte Nullstellen 1 und der einfachen stellen 4 ich will an der Stelle noch eine Warnung und eine Folgerung
anschließen da ich habe ihn jetzt ist der damit gesehen wie man über den reellen Zahlen wenn man Nullstelle hat die Nullstelle habe dividieren kann die Frage meine die Nullstellen kommt ist eine deutlich komplexere im wahrsten Sinn des Wortes und auch das ist auch in keiner Weise klar da ist das immer geht mir weil es gibt in er reichlich Polynome die sich nicht in den ja Faktoren zerlegen lassen also nicht jedes Polynom lässt sich in R in den ja Faktoren zerlegen schreiben gleich welchen das heißt es gibt eben Polynome vom Grad 2 3 4 5 die keine Nullstellen haben da man sie ja Faktoren zulegen wollen brauchen Sie neue stellen und jetzt ist es gar nicht so schwer sich Polen ohne
zu überlegen die keine neue Stellen haben zumindest keine die Xtra plus 1 hat keine reale Nullstelle wir suchen so mal fälle Zahl mit x Quadrat plus 1 gleich 0 aber sie können auch bei höheren Graden 4 plus 1 hat keine Regeln Nullstelle aber zum Beispiel auch kompliziertere Polung Polynome Wegs Quadrat plus X plus 1 hat keine reelle Nullstelle das heißt hier können Sie keine linear Faktoren
abspalten und das macht die ganze Theorie der Polynome über den reellen Zahlen so mühsam und das ist einer der
wesentlichen Gründe warum die komplexen Zahlen so wichtig sind weil diese ganze Theorie wird dort deutlich deutlich angenehmer ein Satz den Sie vielleicht auch schon kennen können wir noch als Folgerungen ziehen jedes Mal wenn Sie meine Polen vom Grad ne Nullstelle haben können Sie die hat dividiere der gerade mit 1 kleiner das gibt ihnen eine absolute maximale Obergrenze der Nullstellen jedes Polynom kann ich höchstens N 0 Nullstellen haben weil eben bei jedem ab die die verlieren Sie einmal den Grand unter mehr als gerade die Zeit nicht also ist Wohnung vom gerade n hat allerhöchstens N 0 stellen mehr gibt es nicht das ist der Mann Nullstellen Suche zum Beispiel als Lösung
von einer Gleichung die man lösen muss ganz angenehm dass man weiß welchen Polen 3. Grades habe und ich habe schon 3 Lösungen Braun suchen was kann keiner mehr geben gut so viele für heute zum Thema Polynome und neue Stellen wir machen und morgen Nachmittag weiter frei Feldern für die aufweist
Teilmenge
Parametersystem
GERT
Menge
Energie
Wertevorrat
Urbild <Mathematik>
Zahl
Parametersystem
Quadrat
Negative Zahl
Positive Zahl
Reelle Zahl
Matroid
Wertevorrat
Urbild <Mathematik>
Quadratische Funktion
Zahl
Funktion <Mathematik>
Tiefe
Wertevorrat
Funktion <Mathematik>
Monotone Funktion
Funktion <Mathematik>
Ungleichung
GERT
Ecke
Umkehrfunktion
Punkt
Gewicht <Mathematik>
Fehlerkorrekturmodell
Tiefe
Gebiet <Mathematik>
Umkehrfunktion
Urbild <Mathematik>
Wertevorrat
Quadrat
Umkehrfunktion
Reelle Zahl
Wertevorrat
Zahl
Quadrat
Umkehrfunktion
Reelle Zahl
Funktion <Mathematik>
Punkt
Wertevorrat
Linie
Quadrat
Umkehrfunktion
Graph
Physikalischer Effekt
Teilmenge
Umkehrfunktion
Rollbewegung
Tiefe
Urbild <Mathematik>
Graph
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion
Klasse <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Exponent
Rundung
Funktion <Mathematik>
Positive Zahl
Quadrat
Monotone Funktion
Umkehrfunktion
Ungleichung
Momentenproblem
Zahl
Ecke
Quadrat
Menge
Mathematiker
Tiefe
Wertevorrat
Zahl
Positive Zahl
Quadrat
Umkehrfunktion
Momentenproblem
Gleichungssystem
Positive Lösung
Gleichung
Wertevorrat
Zahl
Sinusfunktion
Polynom
Umkehrfunktion
Trigonometrische Funktion
Unendlichkeit
Funktion <Mathematik>
Summe
Faktorisierung
Polynom
Maß <Volumen>
Exponent
Reelle Zahl
Rationale Funktion
Natürliche Zahl
Zahl
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Polynom
Exponent
Koeffizient
Polynom
Koeffizient
Gebiet <Mathematik>
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Quadrat
Polynom
Rechenbuch
Grad n
Koeffizient
Berechnung
Volumen
Funktion <Mathematik>
Addition
Multiplikation
Punkt
Rundungsfehler
Physikalischer Effekt
Gradient
Summe
Quadrat
Polynom
Exponent
Summand
Summe
Addition
Polynom
Multiplikation
Menge
Rechenbuch
Rollbewegung
Koeffizient
Größenordnung
Zahl
Quadrat
Polynom
Koeffizient
Reihe
Zahl
Faktorisierung
Polynom
Quadrat
Momentenproblem
Rechenbuch
Physikalischer Effekt
Nullstelle
Zahl
Gradient
Quadrat
Quadrat
Polynom
Summand
Division
Polynom
Quadrat
Polynom
Physikalischer Effekt
Zahl
Summe
Polynom
Reelle Zahl
Koeffizient
Zahl
Gradient
Mittelungsverfahren
Faktorisierung
Polynom
Koeffizient
Nullstelle
Zerlegung <Mathematik>
Zahl
Vollständigkeit
Polynom
Nullstelle
Gradient
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Polynom
Nullstelle
Quadrat
Polynom
Koeffizient
Nullstelle
Polynom
Quadrat
Koeffizient
Nullstelle
Zahl
Faktorisierung
Polynom
Quadrat
GERT
Nullstelle
Zerlegung <Mathematik>
Faktorisierung
Polynom
Reelle Zahl
Nullstelle
Gradient
Ausdruck <Logik>
Komplexe Ebene
Faktorisierung
Weg <Topologie>
Quadrat
Polynom
Reelle Zahl
Grad n
Nullstelle
Zahl
Gradient
Lösung <Mathematik>
Feld <Physik>
Polynom
Gleichung
Gradient

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Funktionen und Polynome
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 11
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35635
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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