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so ja wir sind hier in der immer so sein das Lernen lernen an der TU-Darmstadt die Bti von Aufzeichnung zugucken können so
gut also solange der da arbeitet er Versuch ich nochmal ohne Visualisierungen zu rekapitulieren wo wir waren er die warnen Karte die über numerische Integration mehr Integration bedeutet wir integrierende Funktion die wenn ich einfach elementar integrieren können aus welchen Grund auch immer sondern die wir mit dem Computer rechnerisch näherungsweise integrieren wollen das kommt in vielen vielen Fällen vor ja letztes Mal 2 genannt entweder ihre Funktion ist so kompliziert dass man das werden dem Papier nicht loslegen will oder zweite Möglichkeit auch sehr häufig Sie kennen die Funktion gar nicht sondern sie kennen nur die Funktion an einzelnen Stellen weil zum Beispiel die Funktion als Messwerte kriegen da sie haben 15 Messwerte von ihrer Funktion und wir kennen sie gar nicht dann können sind erst recht nicht um Papier integrieren so müsse sich wir uns verfahren einfallen lassen und ich hatte letztes Mal 2 Näherungsverfahren kurz skizzieren eine mit Ihnen heute durchrechnen das 1. Also die Grundidee ist immer sie denn das Intervall auf dem ihre Funktion definiert ist sagen dass in Teile je mehr sie nehmen unser müssen Sie rechnen da warum so genau aber die Richtung Erklärung natürlich und jetzt approximieren sie auf jeden diese in der Wahl ihre Funktion entweder durch nicht gerade das für Zutat Trapez Regel weil sie dann auf jedem in der Wahl haben Sie dann recht er gut das oben schräg begrenzt ist durch mir gerade die die Funktion der approximiert das wäre Dieter Peets reden dann müssen Sie nur noch Trapeze auf die Flächeninhalte von Trapezen aufsummieren oder die etwas er dich in nachher auch noch zeigen etwas dann aus gefinkelter Idee sind dem immer 2 der Wale zusammen und verbinden die 3 Punkte wurde Intervall Grenzen auf die Funktion treffen durch ein Parade Bogen und integriert diese Parade Stücke das ist aufwendige von der Rechnerei weil sie keine Trapeze haben sondern krummlinig gerade Linie dafür ist die Nehrung besser habe mich jetzt mal schon diskutiert ich dass beides seinen Sinn hat je nachdem ob es gerade anstrengender ist mehr Messpunkte zu kriegen oder anstrengender ist die Parabel Stück also die Indikation durchzuführen es mal die eine Regel mal die andere Wege zielführender gut so würde ich gern mit Ihnen die Trapez träge durchrechnen und das ist im Kopf echt ätzend also auch normal dass er seine 4 nächsten Update stellen kriegt mehr vor 2 so fängt so fängt die Vorlesung heute der Pause an aber auch nicht so
gedacht war ja gut will man erstmal mal weiter tja dann können wir loslegen ist schon zur also jetzt gerade
in Worten gefasste auf dem Papier also wir schauen uns die Trapez rege an ich weiß das Farbschema Trapez rege was wir haben ist die Funktion die wir integrieren wollen auf dem Intervall AB nach und die sei von die ganze Zeit und grundsätzlich stetig stehe ich wie gesagt Grundvoraussetzung eine Funktion die wird von der man immer ausgeht sollten Sie jede Funktion mit besprochen haben kommt ja auch mal vor ist das werden nie Probleme weil dann nutzen Sie die Aldi TV tätest Integrals rechten vom Anfang vom Anfang bis zum Sprung und das in der Grabensprung bis zum Ende auf den beiden Stückchen alles gut und recht addieren Fluss zusammen also Sprünge sind neben Problem dementsprechend können wir ja auch jetzt sagen stetig mit dem Sprung der zugelassen ist aber dann das Problem stellt sich nicht wirklich so und die bitte das ist wie gesagt immer sehr lege dieses Intervall AB in Stückchen und auf Stückchen näher waren dies die vielleicht andere Funktion rächen Trapez und addiert man auf und ich will jetzt hier für die Rechnung erst mal den einfachsten Fall annehmen nämlich dass wir das Intervall in in gleich große Teile der Wale zerlegen das ist das Naheliegendste in vielen Fällen auch das Vernünftigste aber es gibt durchaus Fälle wo es sehr sinnvoll ist davon abzuweichen deswegen ist es gut wenn man die Freiheit hat diese Intervall auch verschieden groß zu wählen aber und rechnen fangen jetzt mal mit gleich großen Teilen der Wahlen an also haben die Intervall AB und das Zerlegen sehen ja ja gleich groß wird schon schwierig finde das so machen also annähernd gleich große Stücke und die Schnittstellen nämlich mal x 0 es immer A X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 und das letzte in dem Fall des X 6 ist das B das ist ohne Zerlegung und die Teile der Wale dieser Zerlegung sind dann eben von der Form X minus 1 bis X wie wobei die jetzt von 1 bis n läuft nur für ihn gleich 1 haben sie wir Intervall 0 bis 6 1 für gleich 2 x 1 bis x 2 und so weiter und für die gleich 6 x 5 bis 6 6 und die sind aber alle zusammengeklebt geben alle wir das Intervall AB scho mehr so und habe
gesagt diesen gleich groß des Saales egal welches die das gilt immer dass der Abstand von XII CX-7 minus 1 also diese Differenz die ist immer dieselbe und diese Zahl wird diese diese Schrittweite von dem Zerlegung des heißt in der Numerik grundsätzlich also fast immer H und dieses heißt natürlich strikt größer 0 genau kann man auch sagen wie groß das heißt wenn Sie das Intervall A
B in allen Teilen teilen wollen dann hat natürlich jede und jeder Teil die Länge des Indus adelig N sie müssen die Länge des Niles Arten in Stücke teilen also müsse sich jedes Mal wenn es durch weit laufen und dieses habe üblicherweise auch Schrittweite genannt wenn man eben das Intervall in engen Schritte dieser Länge unterteilt so das integral das natürlich eine sehr schöne Herangehensweise wieder
wegen der ALDI TV vität sie kriegen einfach das gesamte integral dass sie haben wollen das integral von R A bis B über 11 in dem sie die einst Integrale aufaddiert also die von x 0 bis X 1 er von XTX bloß von x 1 bis x 2 er von XTX und so weiter plus am Ende von X N minus 1 bis X N und auf die Weise haben Sie jetzt das Ganze integral von A bis B ist eben auf diese Teile zerhackten man beachte x 0 hier ist nix N S B zwar dass es Aldi TV Terre des Integrals wenn das Ganze kann man jetzt auch noch kürzer schreiben mit dem Sonnenzeichen das ist die so mehr wie von 1 bis n integral von X minus 1 bis X E und ob ich an bis XII der von links Deluxe so das heißt was man eigentlich nur noch tun müssen ist jetzt diese Stückchen Integrale ausrechnen wie gesagt das kann man im Allgemeinen nicht etwas das es zu kompliziert oder sie kennen das es eben nur an diese Stelle liege minus 1 von Dixie und was man jetzt eben macht ist schon die schon angesprochen
Approximationen durch ein Trapez also um dieses
integral jetzt auszurechnen approximiert Nein dieses integral von X minus 1 bis XII über 11 das approximiert man durch ein Trapez dann mal das Bild von der letzten Vorlesung ja
also hier sind minus 1 ist mehr
mehr da drüber liegt er nur die Funktionen das ist also das ist jetzt nur eines von diesen Teilen der Wahl das es geht noch viel größer ich mal extrem großen was sie haben Sie hier das Intervall und dann kommt das Trapez dass man als Währung geben indem man eben hier die beiden verbindet und auf diese mit der Wahl 7 bis 1 bis XI rechnet man im Staate mit der kann bald Gral und der F dieses integral oder dem Trapez aus also durch Trapez was sind die Eckpunkte von dem Trapez das ist alle Mal XII minus 1 0 XII 0 ja das sind die beiden unten auf der Achse wird aber noch 2 Punkte oben das ist der Punkt X minus 1 F von X T minus 1 und der Punkt X E Herr von Excel das sind die Eckpunkte vom Trapez so und jetzt muss man sich an der elementargeometrische erinnern die rechne man die Fläche von Frau Piltz es wissen Sie ihn wieder auf die Formel oder man überlegt sich noch mal schnell wenn sie rechtlich wäre alles einfach nur dann wäre es eine Seite mal die andere und der Trick beim Trapezes das Ganze aufs rechte Eck zurückzuspielen ich mach mal so ein paar Hilfslinien rein schauen Sie sich mal also es gibt
hier des großen 3 Rechteck das ist natürlich zu groß es gibt es kleine richtig hier das ist zu klein aber wenn man jetzt mal schaut wenn man immer genau die mit dem Wind dann kann man das Recht etwas was oben übrig bleibt einmal darüber spiegeln und da unten reinlegen und dann hat dieses Trapez genau die Fläche von dem Recht mit einer Seite XII minus X T minus 1 und die andere Seite ist der Mittelwert von den beiden Werten F von X I N F von X T minus 8 nur die Höhe ist der Mittelwert von F von X E und F von X 7 minus 1 und die Breite ist XII das X 7 minus 1 also kommt heraus also die Breite von dem
prächtiges XII minus X T minus 1 und das wird multipliziert mit dem Mittelwert aus den Funktionswerte also F von X E plus F von X T minus 1 halbe das können wir jetzt noch mit bis sie weniger Zeichen wo schreiben weil diese Länge XII minus X minus 1 die kennen wir dass unsere Schritt weiter also das ist mal Herr von X E minus 11 von XI minus 1 halte das ist die Fläche von einem Sohn Pilz jetzt wollen wir ja aber natürlich allen Trapeze zusammenrechnen also wenn unser ganzes Integrale ausrechnen wollen
dann agieren wenn diese ganzen Trapeze zusammen also was wir nicht haben wollen das integral von A bis B F von XTX das haben wir gesehen könne wegen der ALDI tv-terrier zerlegen in der Summe von integralen von X minus 1 bis X F von X XTX und diese integralen wären wir jetzt über die Trapeze also jetzt kommt die Währung
auf jedem einzelnen Intervall X im Minus als Bixby in Sie ihr integral durch diesen Wert F also das ist ungefähr somit die gleich 1 bis Ende über F E so dann setzen sie ihre Formel für das F I 1 Summe II gleich 1 bis mal F von X E minus F von X T minus 1 halbe jetzt sieht man auch warum es so schön Weise Schrittweite in jedem Fall Konstanz an die können sich aus der Summe rausziehen geht haben weil die Summe die gleich 1 bis F von X E das aus dem Minus 1 plus ein Minus geworden keiner hat es gemerkt da sich die über Plus F von X E Plus F von X T minus 1 will das war der Mittelwert von beiden Funktionswerte der von XII plus F von X mündet in das ein Teil des sauer im Prinzip könnte man es jetzt schon so stehen lassen er aber das kann man sie noch ein bisschen
schöner hinschreiben wenn man sich's leichter merken kann da was passiert denn hier in der Summe im Mai die Summe in Pfündchen ausschreibt machen wir das mal besteht H mal f von x 0 halbe plus F von X 1 halten das ist der so man die gleich 1 vielleicht 1 kriegen Sie F von X 1 plus Evonik Wohnen halten für die gleich 2 kriegen Sie F von X 2 plus F von X 1 Zeile das heißt er von X 1 kommt noch nochmal dazu mit Inhalt insgesamt habe dass er von x 1 2 x auch und zweimal F von X 1 halbes und Ganzes F von X 1 also steht hier plus F von X 1 auch er x 2. zweimal auf einmal für die gleich 2 im 1. Summanden einmal für die gleich 3 2. und so weiter also jeden dieser stellt x 1 x 2 x 1 x auch zweimal auf bis auf den letzten wenn Sie gleich Entsetzen kriegen Sie F von X endlos F von X N minus 1 der von X in das als auch auch zweimal auf über der F von X N nur einmal also F von X 1 Dose von x 2 plus und so weiter bis plus F von X N minus 1 plus F von X Inhalte also die beiden Endpunkte spielende
Sonderrolle die werden mit die damit dann halt ein und die andern wenn alle aufaddiert die beiden Endpunkte sind A und B also was sich erhaben ist er von A plus F von wir halten plus die Summe von 1 bis n minus 1 F von X E dieser sehen die Farbe ist das ist das deshalb Trapez rege so beliebt ist die Form ist ein ich total einfach die kriegen sehen approximiert ihren Flächeninhalt sie Teil während der Wahlen in dem Fall jetzt also n gleich lange Stücke auf dann rechnen Sie alle Funktionswerte an diesen Stellen aus der 1. die letzten halbieren sehe und addieren Sie alle auf und haltet die Schritt noch gleich ein Beispiel er aber das ist es schön dann diese Formel die relativ leicht zu merken und vor allem sehr sehr leicht am Computer oder sowas 10 dementiert also was sie tun müssen um diese Näherung zu kriegen das integral ist nichts als ihre Funktions- auswerten und addiert wir müssen nur Zahlen addieren und das F ausrechnen mehr muss man nicht tun das ist sehr übersichtlich und deutlich einfacher als wirklich vorbei die Stammfunktion zu finden was den allgemeinen schon gar nicht die seit ich vorhin gesagt das diese Formel gilt für konstante Schrittweite h sind auch von richtet das Haar das macht man meistens so wenn es keinen Grund gibt es nicht zu tun aber es gibt oft Gründe das tun dass das die Schrittweite verschieden ist 1. Grund der möglich ist es ja mal wieder nur Messwerte von ihrer Funktion dann können sie nicht sicher sein dass die Leute die das Zeug gemessen haben freundlich sind und ihre ihre Eingangsparameter immer schön Äquidistanz hinlegen es gegen seine sein nicht das heißt ihre Punkte 7 vielleicht nicht äquidistante dann müssen Sie dann müssen Sie nicht haben sie Abstände die verschieben sind 2. Fall wenn ich kurz das geht
also Bemerkung 4 2 mehr er die denn oft sind nicht äquidistante nicht äquidistante Teil Intervalle worden sinnvoll also wenn es keinen Grund gibt bleibt natürlich per äquidistant aber es gibt viele Fälle wo es passiert also 1. 1. fallen sie haben Messwerte und die liegen halt einfach nicht Äquidistanz dann können sie zwar
jammern aber dadurch ändert sich das auch nicht oder 2. Fall ihre Funktion sie zum Beispiel so aus hier ist
aber da ist B und die Funktionen sie zur als mehr dann können Sie natürlich äquidistante da legen mehr aber 85 Prozent von dem Intervall sind total langweilig weil das die macht die Funktion wächst er die Funktion der passiert nur ganz nah an die was und nix passiert eh nix spricht man sieht einfach äquidistante werden also ich sie machen werde 4 der Malereien 5 dann ist ihre Jungen mit Trapeze hier vorne dies ausgezeichnet ist wunderbar und Eskorten furchtbar ja können Sie sagen klar dann mache ich ein alles die kleine logisch aber je mehr sie das kleine machen umso höher der Rechenaufwand und da vorne gewinnen sie durch das Kleidermachen nicht mehr viel und das ist Fall wo man sagt wenn man wenn die Funktion so aussieht dann macht man nicht alles kleiner dann macht man will mit kleine zum Fahren lässt man die Großen der Wahlen weil das ist eine gute Näherung das ist auch ein Fall wo es durchaus sinnvoll sein kann verschiedene Schriftgrößen zu machen er da gibt es eine ganze Industrie von von der Verfahren die sich genau überlegen wie wann ist es sinnvoll wo zu verfeinern und wo ist muss grobe Massenwut wo sind feine Maschen wichtig aber das sind so die Bilder die man da im Kopf haben sollte wenn die Funktion nur an einzelnen Stellen viel Macht und sonst fast konstant ist da macht man natürlich da die Funktion große also große Schwankungen hat kleinere der und da wo sie fast konstant ist dann macht man größere ok gut also lange Rede kurzer Sinn es macht
häufiger mal sehen dass die Teile der Wagen nicht Äquidistanz in die Formel Om funktioniert natürlich nur wenn sie Äquidistanz sind was sollen sie sonst allein für das H einsetzen wir nochmal angucken wurde vor mir her kam dass die Rechnung
noch ja da hatten wir unsere Funktion
genommen dann aufgeteilt auf die Talente Wahlen auf jeden Teil Intervall das integral durch F I genährt durch die Fläche vom formierten Trapez da die Fläche eingesetzt und wenn das jetzt keine äquidistante das also wenn die in der weil nicht alle gleich lang sind steht da natürlich nicht Haar dann steht da XII minus XII minus 1 und ab dann geht die Rechnung der nicht mehr gut weil das Haag dieses X XI minus 1 können sie dann natürlich nicht als Faktor für die somit ziehen weil das für jedes I verschieben ist das heißt dann bleiben sie mit der Formel übrig die da steht wenn man statt dem H XI minus X Ihnen das einzelne schreibt die schreibe ich Ihnen noch mal als Referenz
hierhin also Formel bei nicht äquidistante Zerlegung eben das ist genau die die wir gerade gesehen haben nur davor H steht kommt das ist Ihnen des X einsehen also das integral von A bis B F von X T X wird genährt durch die Summe der Trapez Flächeninhalte wenn die Trapez Flächeninhalte sind XII minus X T minus 1 war dem Mittelwert von F von X F von X T minus 1 also F von X E-Plus Evonik 7 minus 1 halbe und das ist die Trapez Regel für nicht äquidistante CDU muss period und das was wir vorhin gemacht haben dass selbst diese Differenz lege 7 Siege 7 sei es durch Hartz-IV und da einfache weiter geht hier jetzt natürlich nicht mehr aber so sie dann die Formel aus so soll man Beispiel
und das Beispiel war sie nach ist natürlich ein klassisches die männlichen Beispiel zu heißen ich mach mal ganz einfache Funktion bei der kein Interesse hat das tatsächlich so wäre es zu tun es geht jetzt darum zu zeigen wie das ganze rechnerisch aussieht ohne dass ich Ihnen hier 30 Summen vor rechnen muss er also was ich was wir jetzt mal wollen dieses integral von 0 bis 1 über X der Vorteil davon ist das kann man die Nummer so ausrechnen dann sieht man wie viel man daneben liegt also integral von 0 bis 1 über X Quadrat Stammfunktion davon ist nicht schwierig ist one third x hoch 3 in den Grenzen von 0 bis 1 es gibt ein 3. Mal 1 minus ein 3. Mal 0 also eintritt so wenn es also bei unserer da geht's Rapids Regel was rauskommt was in der vor Eintritt liegt dann sogar fröhlich
so und damit ich ein nicht allzu viel rechnen muss zerlegen unser Intervall 0 1 in 3 Teilen der Wale auch dafür würde natürlich kein Rechner anfangen zu rechnen vernünftige rechnet der Sohn integral er approximieren soll dann macht mal gleich mal gleich 100 Teile der Wale drüber das ist nix umrechnet dann los das ist mir zwar auch zu mühsam also in gleich 3 und Sie werden sehen schon sein gleich 3 kriegen eine sehr sehr einigermaßen brauchbare Näherung in in gleich 3 ist was ist dann die Schrittweite h Schritt weiter sind dabei Länge durch n Intervall Länge hier 1 also wie heißt dann ein Drittel bitte schreibe ich ihn noch mal die gerade gefundene Formel für die Trapez Regel auf
das integral von A bis B Herr von XTX wird genähert du ich habe mal 11 von halbe plus 11 von der halbe und dann die Summe die gleich 1 bis N minus 1 er von X I also sie addieren alle zwischen stellen auf als Tiefpunkt sonst stellt auf die beiden Enden werden halbiert und das wird alles aufsummiert und dann wird noch durch die mit der Schrittweite multipliziert so ist das in dem Fall
hier Schrittweite 3. A und B sind nun und 1 er von 0 ist 0 wie es einst von 1 ist 1 sollen aber die Summe von ihm gleich 1 bis N minus 1 minus 1 ist hier 2 als die Summe ist nicht gelangt der nur 2 Summanden f von x 1 plus f von x 2 das sind die zwischen Punkte wenn ich das Intervall 0 1 mit Schritt weit ein Drittel zerlege dann habe ich als x 0 x 1 x 2 x 3 0 one third two thirds 1 also habe ich es von Eintritt 1 er von 2 3. stehen der das ist es schon zu haben schauen was rauskommt also das ist ein Drittel man Einhalt Fluss die Funktion war Quadrieren also 9. plus 4 9 scheinen so schöne Übungen Bruchrechnen 9 18. Plus 2 18. plus 8 18. 19 18. um 19 18. Mai ein Drittel des wird ganz furchtbar also ein Drittel x 19 18. und das sind 19 54. gehen wir jetzt mal schauen der Yale der das ein Drittel ein Drittel sind 18 54. so schlecht ist das also nicht sogar mit nur 3 Schritten über 3 Teile der Wahlen habe jeden Fehler von 1 54. der also der Wahl
wenn es ein Drittel und ein sind 18 54. also sehr Fehler ist hier ein 54. das heißt der so von der Größenordnung 2 Prozent 1. 54. ist von der Seemann Drittel also von der Größenordnung mehr Prozent ich dir so viel wie im System 18 nach Hersteller aber sie ganze Menge doch in 18 also um die 5 Prozent 5 bis 6 Prozent Gott ist jetzt noch nicht wolle aber ganz okay und wenn sie es genau haben wollen dass ich habe vorhin ich habe vorhin mal noch n gleich 4 durchgerechnet wenn sie ihn gleich 4 durchrechnen dann kommen sie auf ein Fehler von dem ich glaube wir müssen und um ein 90 darum 92. oder so was also dann wenn Sie das schon mal wieder auf die Hälfte drücken er und wenn man dann in größer macht wird es immer besser Herr gut das da können Sie gern auch weiter mit rumexperimentieren machen Sie meine gleich 6 mit einheitlichen die größere Bruchrechnung aber dann dürfte das schon ziemlich exakt so das man Trapez Regel das ist das das in alles frei er Rechner oder Computer Algebra System oder was auch immer tut wenn sie numerisch integrieren dann auf dem Hintergrund diese zum Reihe ab mehr ich noch kurz was das sind weniger sagen Dissens oder kann es im Prinzip die
gleiche Idee nur verfeinert oder sagen wir eben komplizierteren Währung aber als man kommt Wert kompliziert und handelt sich damit natürlich kompliziertere Formel 1 also gleiches vorgehen aber genauere Näherungen durch Parabel bilden schmalen gleichen Bildchen im zum erklären was da passiert also das die Grundidee ist wieder die Gleiche meine zerlegt Zeitintervall AB in Teilen der Wale umrechnet dann auf den Teilen der beiden Währungen aus und klatschte in der zusammenaddiert die zusammen und die
Frage ist nur wie man die Währung auf den Teilen der
Wahlnacht also und bei der Trapez Regel hatten auf jedem Teile der weil Trapez das die Sache wert und weil das Sümmchen Regel fasst man immer 2 Teile der zusammen es wegen ist wir das Essen Regel auch wichtig dass man den eine gerade Anzahl von Teilen der Wahlen teilt ich mache hier wieder Äquidistanz war also äquidistante Zerlegung äquidistante Zerlegung von AB in gerade also nichts wobei diese Zahl wir und wie viele Teile meines zerlegt gerade sein soll so ihren wo unsere Funktion drüber und das ist und was aber das nur wenn man die jetzt her Trapez approximieren würde das integral würde man eben 2 so Striche durchmachen werde man die Trapez dermaßen bei Essenzen macht ist man nimmt hier diese 3 Punkte denn da denn der und den da und legt da die Vespas ist über Parabel durch durch 3 Punkte legte Parabel fest wenn man das in dem Fall macht Versuch ich mal das große
Mode ungefähr einzuzeichnen zumal geraten die dürfte ungefähr so aussehen die Parabel des durch die 3 Punkte geht darum was man jetzt eben nimmt um zu nähern das für den Währungen der Fläche ist die Fläche unter dieser Parabel wir sehen Sie in dem Fall legt man zwar mit dem Chor sehr weit weg von dem F aber so vom Augenmaß der dürfte das Endergebnis nicht so weit weg liegen weil zum Glück ein Teil gegen den andern sich aufhält man hat links ein bisschen zu viel recht zu wissen zu wenig das ist natürlich Glück gehabt das muss nicht so laufen denn und jetzt ist natürlich wie man das
macht wie kriegt man raus dass es im Allgemeinen genau ist als das Trapez Regelverfahren aber natürlich für die Formel komplizierter die rechnen jetzt eben nicht vor das schreibe ich hin er und zwar auch nur für den
äquidistante fallen mehr ich wollte ihn
nach hauptsächlich gezeigt haben dass es eben nicht nur die Trapez Regeln gibt sondern auch noch was anderes es gibt noch hunderte andere Verfahren der das sind so die 2 gängigsten was herauskommt ist
also es integral von A bis D er von XTX wird angenähert durch die Summation dieser einzelnen elementar also diese einzelnen der Wale wobei man immer 2 zusammenfasst deswegen wird die Summation hier etwas blöd hinzuschreiben also so wertvoll wie gleich 1 bis N minus 1 aber nur die ungeraden ist und kriegt aha 3. mal F von X minus 1 4 F von X die plus F von X Minute XII plus 1 das ist die Formel für die Regel wir
sehen uns dann aus soll es auch nicht komplizierter als die Trapez rege sie müssen Funktionswerte von 11 bestimmen mit ähnlichen Zahlen multiplizieren aufaddieren das kann man auch mal umsortieren so ähnlich vollen gemacht haben und dann kam Folgendes raus das ist H 3. mal er von B plus 11 von die beiden wieder besonders plus 2 zweimal die Summe aller Funktionswerte an den X stellen mit Tiraden in die C ist also f von x 2 plus F von X 4 plus F von X 6 und so weiter bis F von X N minus 2 plus 4 Mal dir den ungeraden f von X 1 plus F von X 3 plus F von X 5 plus und so weiter bis er von X minus 1 ist gerade muss gerade sein dann ist er minus 1 und gerade das passt so dass es gesehen wird länger als die andere aber auch nicht komplizierter auszurechnen und liefert wird Ihnen damals eine genaueren Währung Bern für das Beispiel von vorhin er ließ hat sogar die wunderbar genaue Währung also sind herzlich eingeladen jetzt mal das Beispiel von Freund in dem integral von 0 bis 1 2 x Quadrat und wenn sie in gleich 2 oder in gleich 4 und rechnen mal aus was da rauskommt und schon für in gleich 2 kommt mit Fehler 0 1 3. raus wunderbar der Fälle ist nun der bleibt auch 0 kann noch sagen warum er bei 7 Quadrat Polynom in was passiert wenn sie quadratisches Polynom durch die Parabel annähern da kommt die quadratische Polo aus das Ding ist eine Parabel ist die Parabel diene Parade besten wäre die Parade ja mit wenn es logisch dass sie müssen Verfahren liefert für quadratische Funktionen immer sofort das richtige Ergebnis aber ich meine die vollen gesagt kein Mensch will die Funktion X Quadrat numerischen degeneriert aber daran sieht man schon dass das so Verfahren in dem Sinne besser ist es die Treppe genau ist regelt weil es eben mehr Funktionen exakt integrieren kann ich habe gut so weit dazu also wie gesagt der Sonne gibt die ganze Industrie von anderen Verfahren aber wenn Sie der jemals eines alten brauchen hoffe ich dass mit dem was ich Ihnen jetzt hier gezeigt habe die Einarbeitungsphase nicht groß ist weil die Grundidee von allen diesen Verfahren ist dieselbe man sein der Wahl von A bis B Harke ist in Teile und auf jedem Teil man die Funktion der eigene durch ein Trapez durch mit quadratische Funktionen durch irgendwas einfach zu berechnen das und dann addieren man das auf denn gut ich will jetzt zum Abschluss der Vorlesung noch ein Kapitel machen das sehr gute Integrationstheorie passt deswegen hier gut als Nummer 5 dranhängt heran aber Grund da die dass man andererseits aber auch gut als Anwendung des Integrationstheorie verkaufen kann da ja was auch viel genutzt wird in
den 1. die Überschrift dazu 10.
sogenannten Fourierreihen benannt nach schon Baptist Fuji französischer Mathematiker aus dem Anfang 19. Jahrhundert das Ende 18. Anfang 19. der mit den Dienern virtuos Toros hantiert hat was vor allem deswegen beeindruckend ist weil der Mensch keine Ahnung hatte davon was Konvergenz ist das sind wieder rein aber der hat das perfekt damit hantiert viele Dinge in der Physik damit gelöst und nachdem dem zu Ehren sind sie Land die Grundidee von Fourierreihen ist sozusagen ähnlich wie bei den Teller Reihen wir wollen komplizierte Funktionen durch einfache mehr dabei mit der Rainer mir gesagt werden kommen sie die Funktion und besuchen Polynome die nah dran sind das wieder aus der Polynom und das führte den dem man das Polynom immer genau macht größerer gerade groß gerade größere irgendwann auf die Teller rein und da damals gesehen das geht gut wenn die Funktion beliebig oft differenzierbar ist in der ich es die dann noch gegen 0 gehen das war ein bisschen mühsam mehr bisschen mühsame Rechnereien man konnte damit sehr sehr viele der Standardfunktionen beliebig gut approximiert es gibt eine Klasse von Funktionen für die Teller rein wenn man sich überlegt offensichtlich Mist sind für die Funktion also Täter Polynom offensichtlich Mist sind die haben so sogar funktionieren sogar Potenzreihen Entwicklungen die haben Teller erreichen und die der Funktion auch da trotzdem wenn man diese Funktion tatsächlich mit der Teller Intendant Polynom werden will ist das zumindest wenn man sich nicht ganz waren Entwicklungsstelle den Test saugt Murks und es in die periodischen Funktion der jungen Funktion sind wird der Entwicklung von allein deswegen ungeeignet global gesehen natürlich können Sie in der Nähe von 0 den Sinus wunderbar durch X ersetzt den sie mit dem Telefon um 1. Ordnung mehr aber sicher zu gehen dass die Währung von Sinus X durch x wenn das X X X gleich 100 überschreitet relativ schlecht ist da also global gesehen sind hell Entwicklung ist und das liegt einfach auch daran dass der Funktionen naturgemäß beschränkt sind Weise Periode sind ja die Fackel und außer jetzt ist ist ganz 5 ist wie beschränkt werden Polynom geht im Plus und Minus werde ich immer irgendwie ab dem die können also nicht wirklich gut nähern und der das ist der Punkt wo die Folie rein reinkommen also das Ziel ist ziel dieses Abschnitts
ist eine Entwicklung zu finden also Währungsentwicklung Näherungen rein Entwicklungen zu finden eine Entwicklung die von jemandem Währung in dem wir dann halt nach dem fünften Summanden abbrechen für periodische Funktion und wie gesagt Polynome scheiden von vornherein aus dem Polynom periodische Funktionären zu wollen ist haben auf die Schraube hauen was nicht also wer soll was anderes einfallen lassen wiederholen wir noch kurz bei schon so furchtbar lange her ist was sich den periodischen meine Erinnerung 5 1 also eine Funktion die auf er definiert ist nach R heißt Periode ich mit Periode L wobei er den Begriff Zahl ist die größer als 0 ist falls die folgende Gleichung gilt wenn ich die Funktion inne und ihren Grafen um allen nach links schiffte ich schaue mir die Funktion f von x plus L das entspricht dem Verschieben des Grafen und dann ändert sich nix dann komm wieder F raus also F von X plus 1 F von X für alle x aufs oder anders gesprochen wenn ich eben weiß was er von X ist und ich geben die Periode L weiter denn ich werde gleich nicht das ist eine Periode Funktion ich denke Sie kennen alle am Sonntag der wo diese
Funktion im Kampf natürlich zunächst mal die die jetzt auch hier gleich eine er fundamentale Rolle spielen Sinus Kosinus Funktionen Schwingungen denn das ist auch ein
Bereich wo ist das was jetzt kommt mit Folie ZDv erreichen ganz große Rolle spielt wer immer sie haben was haben was schwingt dann sind Sie im Wesen das was früher Entwicklung angeht das periodische Funktionen angeht also nicht zweimal bei den Sinus in Male fast den Sinus dann ist das eine wunderbare periodische Funktion ich
mal immer noch eine andere gehen damit man damit sie noch nein das Bild im Kopf haben zum Beispiel die Folgen hier im Rahmen der Zeichen Genauigkeit auch mit periodischen Funktion also sind die alle Striche gleich und alle jeweils auf der gleichen Höhe und und und und und ganz ohne periodische Funktion was in die Perioden die hier oben das ist zum Beispiel eine Periode länger dann Sinus also üblicherweise 2 Ki sonne Sinus ist natürlich auch Periode 1 Periode achten wenn Sie 8 die weiterlaufen kommt auch hier das gleich also die Periode ist keine eindeutige Größe sondern er wenn seine Periode habe sie
die vielfach auch mit Periode was wir hier eine also dieses Stück hier ja eine Periode ab dann wiederholt sich die Funktion ja also noch mehr Beispiele ausgeschrieben die Funktionen Sinus von x die ist egal welches N aus allen 7 Meeren Periode dieser dafür N gleich 0 Periode ich wenn gleich 0 ist es die Funktion konstant 0 dies Periode von jeder Periode wir gar nicht wie sie weiterlaufen muss gleich aus wo oder ich als wir mal bald in ungleich 0 es Periode Spielperiode 2 Pi durch n nur so weit sie das NX ist wenn sie 2 P weiterlaufen sind Sie wieder da sind dass von X plus 2 Pi aber wie gerade gesagt jeder Vielfache von der Periode es auch mit Harry oder als dies insbesondere auf 2 Pilgeri und und wie gerade schon gesagt wenn sie die
konstante Funktion haben dies auch auf jeden Fall immer periodische also zumal die Funktion konstant 1 DSL Periode für jedes Ende warum ersetzen Definition ein F von X plus L S 1 und F von X plus 1 1 auch von X für alle x das so das haben wir gerade
noch ein paar Eigenschaften von periodischen Funktion die wir dann noch brauchen das eine ist periodischen Funktionen bleiben erhalten wenn sie sie also die Piri-Piri zieht und so bleibt erhalten wenn Sie die Funktion bei konstanten multiplizieren oder wenn sie 2 periodische Funktion addieren also wenn F und G bei der Periode sind und Alpha-Beta reelle Zahlen dann behaupte ich dann ist auch Alfa 11 Klaus-Peter G r Periode ist warum sieht man recht fix Alfa
F plus Peter G also müssen wir zeigen um zu zeigen dass DSL Periode ich mir seine Stelle Express L anschauen und zeigen wirkungsgleiche raus Stelle x also das ist was das ist Alfa F von X plus L Klaus-Peter G von X plus nun sind aber F und G beide Periode ich das heißt als F von X plus Endes F von X und gehe von X plus LSG von X nein es steht schon da das ist eine vor 11 plus Peter G an der Stelle x also einfach dadurch dass er von geht die die gleiche Periode haben als auch die Summe Köln ist die
1. Beobachtungen addieren von 2 Perioden Funktion derselben Periode führt wieder zu einer periodischen Funktion dieser Periode mehr so was ich Ihnen jetzt zeigen will ist dass man im Prinzip alle Periode Funktionen normalisieren kann auf eine also dass man eine Periode Funktion immer so substituieren kann dass man die Billionen Länge festlegen selbst festlegen kann und was man dann üblicherweise tut es als Referenz als Norm Periodenlänge nimmt man 2 Clips es gibt wollten Sie Fragen haben gerade 2 pi und ich 1 meine Güte dabei Sinus und Cosinus Periodenlänge 2 pi habe und Sinus und Cosinus und sozusagen die Referenz Funktionen des ist kreolischen Funktionen und dann wird man nicht allzu viele Koeffizienten seine Funktion drin stehen hat ist es sinnvoll alles auf 2 Plätzen und wenn Sie mit der Funktion starten die ihre periodisches mit der Periode L dann sage ich Ihnen jetzt wie sie da draus wie sieht das so um substituieren kann dass die Funktion 2 P Periode schwört und dann hat man sozusagen das ganze auf Referenz Länge gebracht rechnet immer mit Word iberischen Funktionen übersetzt Einfluss wieder zurück auf Periode allen also meine Behauptung ist wenn sie L periodische Funktion haben dann ist die Funktion f Schlange von X die definiert ist als er vor dem X X L durch 2 P dies dann 2 Pike und also wenn sie sozial sowie Variablen Substitution machen 10 Sätze T gleich X X L durch 2 P dann haben Sie dadurch die Periode von nach 2 pi gestiftet und haben mir genau die gleiche Funktion nur mit Periode 2 p also was Sie machen es sich der und stauchen den Graf solange ist der in Periode 2 Theater nicht mehr also warum hat das denn warum ist es denn 2 Pi Periode ich nachrechnen Berater was müssen wir tun wir
müssen es uns anschauen erschlagen von X plus 2 P müssen zeigen da kommt wieder F F Schlange von X raus und natürlich unter Ausnutzung dessen dass wir wissen dass das F L also was erschlagen von X plus 2 Pi Definition von erschlagen dass es erfahren X plus 2 P X L durch 2 das Definition von der Schlange nehme das Argument von der Schlange 40. F und wurde bezieht mit durch 2 pi und setzt es in F 1 gut gutes kann man hier innen drin ein bisschen rechnen dass es erfahren X X L durch 2 Pi plus 2 L durch 2 4 also Plus das wissen aber dass F L Periode ich das heißt wenn Sie was haben 11 von irgendwas plus L dann ist es das selbe wie er von irgendwas das ist die Eigenschaft dass L periodische ist also ist das das Gleiche wie F von X X L durch 2 P das liegt daran dass F L periodische Töne 8 so aber F von X X L durch 2 Pins genau als Schlange von X so das ist und was jetzt dasteht ist der Schlange von X plus 2 pi zerschlagene von X und das X haben nämlich also es gilt für alle x als er und damit ist dass es lange Zeit stieg die ich so und die den mehr wert von diesem wo dieser kurze Rechnung da die schon gerade erwähnt auf diese Weise kann man sich jede L Periode Funktion um substituieren auf mit 2 die periodische und das gegenwärtig im Rest des Kapitels im Wesentlichen nur noch 2 Tiberio diese Funktion anschauen aber über diese Rechnung geht alles was ich für 2 pi periodische Funktion sage mit den richtigen und Substituierung für beliebige L periodische Funktion also im weiteren dann wird über das den sei es zwar die Periode ich wenn Sie die Funktion haben die nun mal leider 7 Periode ist dann müssen sie eben mit diesem Verfahren auf 2 pi ummodeln und dann können Sie alles anwenden was willst mehr gut letzte Eigenschaft von
periodischen Funktion ich gern gleich nutzen möchte ist der ja relativ einfache Beobachtung was integral aber sehr nützlich also wenn Sie 2 Pike yogische Funktion haben oder allgemein eine Funktion mit der Periode L dann wieder in Ober- und Substitution denn dann will ich ich jetzt Folgendes machen ich mir meine Zeit der ionische Funktion und integriert die über die ganze Periode also in die Glieder von nur bis 2 P das erst einmal ganz durch sowas Person integral er die volle Periode und dann ist die das was das tolle da dran es ist völlig egal wo sie diese Indikation über die volle Periode starten und das heißt für alle alle für aus er ist das das Gleiche wenn sie von Alfa bis Alfa plus 2 pi die wenn Sie würdevolle Periode integrieren ist völlig wurscht wo sie die Staaten das können Sie beliebig hin und her stiften
da kommt immer das gleiche raus man am Beispiel vom Kosinus wenn Sie mal so mal so großen Unsinn zu malen zur eine Variante von 0 bis 2 p zu integrieren wäre eben hier das während die gerade würdevolle Periode danach wiederholt sich alles also von daher von der bis dahin und was jetzt diese Bemerkung C gesagt ist da kommt das gleiche raus wie wenn sie irgendwo anders Staaten also wenn Sie zum Beispiel von hier bis hier integrieren kommt genau das Gleiche raus oder auch wenn sie mittendrin Staaten also wenn sie von hier es war ungefähr einmal ganz durch integrieren kommt immer das selbe raus da sagen Sie über dabei der Länge 2 p integrieren es völlig wurscht von wo bis das ist sehr angenehme Eigenschaft von Triebe von Periode Funktionen meine dem verdammt Cosinus kommt noch dazu dass immer 0 rauskommen weit über der volle Periode ist das was Oberharz die Fläche oberhalb von von der x-Achse immer genau gleich der Fläche unterhalb des ist weil besondere Symmetrieeigenschaften Kosinus wenn Sie sich einander periodische Funktion muss es nicht so sein aber entscheidend ist wenn sie die ganze Periode integrieren ganz wo läge es egal wo sie anfangen kommt immer das gleiche raus scho wie
gesagt das Ziel soll sein komm Periode Funktion komplizierte periodische Funktionen approximieren durch einfache und natürlich ist wenn ich mir was approximiert man am besten Periode Funktion der Termin periodische Funktion was sind die einfachsten periodischen Funktionen in den Konstanten die Sinne sind die großen ausfällt und das ist die Grundidee der vorher Reise wir approximieren komplizierte der EU diese Funktion des Sinus und Cosinus Funktionen genauso wie die Idee des Täler Reihe war der approximieren komplizierte Funktion durch Polynome ist also durch Firmen von X auch n bis jetzt die Devise approximieren durch Summen von Sinus und Cosinus Funktion und zwar von Sinus und Cosinus Funktion mit immer höherer Frequenz also mit immer schneller wackeln denn sie müssen kostenlos Vogt und das führt auf den Begriff des so genannten trigonometrischen Polynoms das ist sozusagen die Entsprechung zum Teller Vollendung und alle die jetzt fürchten sei gleich gesagt die Theorie der vor rein oder die ganze Sache mit Fidel Schwolow oder trigonometrischen Nehrung ist deutlich freundlicher netter und wenn sie weniger er Schwierigkeiten verbunden als die Teller weil sie geht auch verdammt viel häufiger er und führt zu sehr schön Ergebnissen kommen noch drauf also Träger damit es Polynom oder trigonometrische Reihe das die Reihe ist dann wieder die Ideen das trigonometrische Polynom und so mehrere sein ähnlich hoch so weise sind wieder weg es Polynom schon gesagt nehmen großen so Sinusfunktion mit immer die immer schneller oszillieren und addieren Sie mit Koeffizienten auf und dementsprechend sieht und regelmäßig Gründung folgendermaßen aus Sie haben Konstanten der Manuel über dem Polynom auch also bei einem normalen und dann haben sie in der Summe schreib mal von kleinen gleich 1 bis groß allen über Koeffizienten a n man ein Cosimos von n x x plus PIN mal Sinus von n x x und aus Gründen die später klar werden und die Moment reine im Kosmetik sind steht hier vorne an 0 halten also die halbe kann ich im Moment noch nicht erklären die nach total Sinn die müssen Sie Moment einfach mal so schlug aber es ist natürlich irgendwie also sehen noch ein dass es kein Problem es hoffentlich dann halten zu schreiben dann ist das ein oder halt halb so groß oder doppelt so groß wie sonst gedacht wird das ist im Moment reine Kosmetik wird sich im Nachhinein als ja ist auch in die Kosmetik das dient dazu dass nach der dass man nicht dauernd den Fall Agenten wenngleich gleich 0 Formen extra behandeln muss Manier die 2 Weltmacht hat man nachher in eine Fallunterscheidung wenn er nun ist dann gilt folgendes und wenn er nicht 0 ist dann geht das und das und das nicht hat schreibt man hier angehalten und diese Zahlen A N und DN dass irgendwelche Regeln Koeffizienten so Ding nennt man 1 trigonometrische es Polynom und ich gebe zu wahrscheinlich werden sie die Idee das Ding ein Polynom zum den Schreck finden es ist ja auch kein Polynom träger damit das Polynom aber es ist die gleiche Idee wie bei einem Polynom bei dem Polynomen Sie die Grundfunktionen X auch n x x Cortex auf Dreiecks auf X 5 und so weiter und Lohn ist eine endliche Summe von dem Mittwoch Faktor 3 X X plus 5 mal extra plus 7 auf 3 plus 13 x x auf 382 aber das Polynom gleich in die hier Sie haben der einfache Familie von von Grundfunktionen nämlich Sinus N X und Kosinus NX also sehen das Nußzweig Sinus 13. Felix 5 6 und so weiter und Kosinus Exkurse Nußzweig Kosovo Streiks Kosmos spielt und so weiter und sie war noch Cosinus 0 x ist die 1 fahren und aus dem man jetzt wieder mit vor Faktoren Summe auf gleiche Idee nur sehr setzen die X auch n Basisfunktionen durch Sinus und Kurse warum weil sie nur so groß es besser zu der ionischen Funktionen passen als X auch in das ist sozusagen Polynom in periodischen Fall floh also wie sehen diese Funktionen mit denen
man dar arbeitet aus ich mal in meinen hin ich versuchs mal Sinus was man für die sinusförmige versendet 2 Familien von Funktionen Cosinus NX Unsinn dass er nix sich Mama die Sinus auf der 1. Sinus der auftaucht n gleich 1 ist sie wächst wenn der sie bekanntermassen ungefähr so aus wenn zwar das ist der Sinus dann ist die nächste Funktion wieder auftaucht
in gleich 2 sie muss von 2 x das ist auch eine Sinuskurve auch mit doppelter Frequenz also die hat bis jetzt die Periode ich so ja genau die gleiche Funktion wurden zusammengedrückt so dass muss 2 x dann kommt als nächstes Sinus Dreiecks und das ist jetzt
ätzend weisen das 4 sehr viel leichter zu malen
als ich vor so mal sehen dass 3 x 10 bis 3 x macht jetzt eine Periode auf 2 Drittel P R 1. TuS ja ja genau 2 Drittel P also bis hierhin musste einmal durch sein zur dann kommt die nächste Periode bis er bisher bis ein Drittel P ist zur und dann war da noch 1 bis 2 TL ja das ist es sinnlos von 3 ist so ungefähr und jetzt macht und so weiter also sind es 4 x mit immer weiter zusammengestaucht und aus diesen elementare Funktionen baut man sich jetzt immer komplexere periodische Funktionen auf
bitte und glauben Sie mir meine kann daraus verdammt kompliziert 2. kompliziertes Zeug bauen wer nur weil sehr nett sehr viel Freiheiten Sie können jetzt jede dieser Funktion des kommt aus in das vierte von 7 7 6 6 in diesem und somit der Zahlen multiplizieren das alles aufaddieren als er kann sie beliebig werde periodische Verzweigungen machen denn auch noch hinkommen so das ist wieder das Polynom was ist es denn trigonometrische Reihe oder trigonometrische Reihe sagt man so gut wie nie bevor die Reihe bevor wir Reihe ist genau das Gleiche nur dass man es eben genauso Übergang vom Polynom zur Potenzreihe da oben unendlich lang summiert also eine trigonometrische Reihe oder vor Reihe ist jetzt das gleiche nur dass man eben bis unendlich geht wie gesagt rumänische Reihe ist nur dann wie aus er gründen der er des ehrlichen Begriff sinnvoll üblicherweise nach sagt man vor einen der dann folgendermaßen
aus auch das komische an 0 halt anfallen und jetzt nennt man das Gleiche wie oben nur dass man nicht mehr groß N auf 14. bis endlich summiert in Kosinus von NX plus PIN Sinus von NX und A 1 und B 1 sind wieder reelle Zahlen und da sind wir jetzt erst mal der Reihe dass die Frage ob die konvergieren was noch alles interessiert uns nicht so ein Ding wir vor ihrer R scho er entwickelt er bleiben Sie jetzt der wegen an solchen trägeren Mädchen rein und dann Fury Reinig hatte gesagt die dienen dazu Periode Funktion zu approximieren und vielleicht noch so als Motivation an der Stelle das wird auch im Alltag ständig unter und getan hat sie alle nutzen das sehr sehr oft nicht sicher da was macht man wenn man vor Reihen von Funktionen bestimmt comma noch leben man zerlegt die periodische Funktion in diese Schwingungen man schreibt sie wer also das Ziel wird wieder seinen Funk zu zeigen dass wir die Funktion schön genug ist wenn man die Funktion durch Sonderreihe darstellen kann und das bedeutet Sie haben eine komplizierte Schwingungen und die können Sie das eine Reihe darstellen und diese Reihe Darstellung gibt ihnen dann an wie sie diese Schwingungen elementare Cosinus und Sinusschwingung zulegen können das ist was was man wenn man mit Schwingungen und solchen Dingen zu tun hat sehr oft macht und ein typischer Fall wo sowas auftaucht wo haben Sie mächtig primäre periodische komplizierte Funktionen jedes Musikstück der jede Musik jede Thron besteht aus einer er und diese Schwingungen sind zum Teil mächtig komplizierter Thema Obertöne Thema klagen und Harmonie und Disharmonie im zu Ende wenn Sie nur mal so mal so der Sohn schwingungsdämpfenden Musikstück anguckt dass es ziemlich kompliziert und jetzt will man aber solche Musik ja üblicherweise speichern zum Beispiel auf der CD oder man will sie mit im Radio durch Luft schicken und und große da ankommen da gibt verschiedene Möglichkeiten zu und eine Möglichkeit ist das hier und wenn Sie so wollen die oder Untertitel zu diesem Kapitel er ich erkläre Ihnen was sie MP3-Player macht wer was MP3-Player macht des was MP3-Player ist ist im Wesentlichen eine große Speicherkarte klaren drauf und ansonsten ein Gerät das vorige rein ausrichtet und zwar in und zurück und mit abartiger Geschichte was auf dem MP3-Player gespeichert ist ist nicht die komplizierte Schwingung Skrupel sondern sind die A 1 und die B MP3-Player merkt sich nicht wie das schwingend sondern der merkt sich die A 1 und die B der vorige Reihe und wenn Sie es hören wollen rechnete sich nämlich denen aus ja da muss sehr schnell vor hier einen unter rechnen könne kannte der Vorteil davon ist sie müssen sich nur diese Zahlenreihen und BND-Akten und und das ist das tolle daherkommt die Kompression sie brauchen sich nicht alle ein und beinhalten weil der vor Faktor von der Kosinus Schwingungen mit 55 Kilohertz des interessiert keine Sau bei und mit ihn nur bis 20 Kilohertz das heißt wir mal gleich gar nicht erst gespeichert und der Formfaktor von dem großen muss mit der Frequenz 5 Herz den können Sie auch sofort in die Tonne treten war das Video auch nicht ja da kommt die Kompression der und man sieht eben auf der auf der Frequenz sei die man sich diese einen Bären anschaut ist die Musik wunderbaren Frequenzen verlegte man kann genau nachjustieren und genau die Dinge raussuchen die wirklich gehört werden die interessanten den Respekt ist das ist das was der MP3-Player macht und im Prinzip der Kirchen diese Vorlesung wie MP3-Player Recht natürlich nicht wirklich bei der Pakt schlauer Algorithmen aber was die Grundidee dahinter ist gut dass wir da dahin kommen also
müssen arbeiten und wie gesagt das Ziel wird es immer sein analog zur Teller Entwicklung sie haben gegebene periodische Funktion wie finden wir zahlen ARD in so dass diese der Funktion Sie schreiben dass das diese Fourierreihe wenn Sie da sind ist alles gut das können Sie dann machen dann können sich die vorige Reihe hernehmen sagen über 20 Kilohertz wird sowieso keiner schmeißen alles weg der Vorteil davon ist dann nahm sie keine unendliche Reihe mehr sondern nur noch mehr in dieses Trio des des Polo und dann haben sie ihre Funktion sinnvollerweise genährt durch dieses trigonometrische Polynom weil höhere Frequenzen wird eh keiner wenn Sie Glück haben sie die höheren Frequenzen noch Rauschen das damit leicht nicht gefiltert haben und sie können dann ihre Funktion durch diese trigonometrische Reihe des dieses Ringen Polynom nähern im Fall von MP 3 Player sogar Prinzip ohne Qualitätsverlust war so dass ich würde und in vielen anderen Fällen wenn man so mit solchen Signalen zu tun hat 10 andere Gründe irgendwas wegzulassen oder besonders zu bedrohen auf Wahl kann man auf die Weise periodische Funktionen sehr genau nähern durch trigonometrische Polynome und diesen wieder sehr einfach zu berechnen bzw. sehr einfach zu speichern weil sie müssen eben was MP3-Player macht nur diese Zahlen 1 PIN speichern und ich die ganze Funktion wer sich speichern 25 von diesen einen PIN und die ganze Informationen der Kiste Zimmer aber bis wir kommen wie gesagt zum diesen Arbeit
und das Haupt zur mal in wir gelernt was ich jetzt noch brauche um Ihnen zu zeigen wie das sind wohl die reinkommen 10 ganzer Stapel in die gerade die man ausrechnen muss deswegen sage ich ja
das Kapitel gehört hierher und diese in die gerade laufen üblicherweise unter dem hochgestochenen Überschrift Orthogonalität Relation ich kann auch gleich für Suns erklären wieso das so heißt aber im Wesentlichen geht es jetzt darum Janssen starb Integrale auszurechnen und schreibe sehen erst mal hin und dann begründe ich Ihnen den Namen und wir zeigen auch an einem Beispiel wie man die ausrichten und worum es geht es wir müssen uns anschauen was passiert wenn man unsere elementare Funktionen sind die theoretischen reisen zusammengesetzt aus den Bausteinen Cosinus NX und sehen was entdeckt für alle möglichen und die Frage ist was passiert wenn man von dieser Mitar- Funktion 2 nimmt multiplizieren dann auch integriert also erstmal mal eine es ist Teil aber was passiert wenn sie eine Sonne Funktion im und in volle Periode
integrieren also von 0 bis 2 p Kosinus von NXT X oder integral von 0 bis 2 p sie muss von allen XTX für von schon mal gesagt was dann passiert der wenn Sie den großen Söhne volle Periode integrieren da haben Sie genau so viel Fläche überm Graf wie welche und anderer auf dementsprechend kommt da nur raus und dann sehen das genauso das muss man hier aufpassen da gibt es eine Falle das stimmt nur wenn das er nicht 0 ist was ist wenn das 0 1 finden Sie das stimmt dann immer noch weil sie nur von 0 das neue und wenn Sie die Funktion 0 von 0 bis 2 p integrieren kommt nur aus an dem Kosinus geht schief dem Kosinus von 0 x ist Kosinus von 0 bis 1 ist die Funktion eines von 0 bis 2 p gehen kommt natürlich nur raus und Whoopi deswegen also die gleichen so wie sie da steht nur für n ungleich 0 Fällen gleich 0 ist das beim Cosinus 2 piept comma wenn ein
dann Teil B worum es jetzt geht wie gesagt ist alle möglichen Kombinationen dieser aus Produkten dieser Funktion machen können also was ist zumeist mit dem integral von 0 bis 2 p Kosinus von NX mal Sinus von gleich 0 da also was mit diesem Ding und da kommt eben wundersamerweise auch nun raus und zwar egal was und ist wurscht welches Ende der sehen sind wieder so Symmetrieeigenschaften von Kosinus wenn Sie und wenn sie dann groß Osten und dem oder den Sinus nehmen die beiden multiplizieren und dann eine würdevolle Periode integrieren Koppruch aus so was passiert wenn sie Kosinus mit dem Kosinus multiplizieren das fehlt jetzt noch 2 Fälle
Cosinus mit großen das multipliziert und sehen uns mit dem es multipliziert also wenn sind Cosinus NX malen Cosinus MX nehmen und das volle Periode integrieren da muss man aufpassen gibt verschiedene Fälle das kann jetzt nicht immer nun sein warum was ist zum Beispiel wenn gleich ist wenn also zum Beispiel ändern sind bei beide 0 dann steht da Kosinus von 0 bei Kundus von wurde steht da 1 x 1 da komme 2 Pierer aus das ist mal der 1. Fall also wenn sie den N und beide 0 sind dann integrieren Sie 1 Funktionen wenn sie die 1 vom zu integrieren kriegen Sie 2 P nämlich den der war länger raus so wenn die nicht bei neuen sind aber beide gleich dann kann da nicht nur rauskommen weil was haben wir dann immer große muss er nix Narkose muss er nächstes ist Quadrat NX Cosinus Quadrat NX ist mehr Funktionen dies strikt positiv daher also dies größer 0 1 weil zum Quadrat von was und wenn sie die indigenen kann Garantien die 0 raus sondern und das muss man dann eben tun und wenn man das tut dann kommt raus dass ist also wenn und gleich sind aber nicht 0 dann kommt der Pierer aus aber jetzt habe ich auch schon alle Fälle aufgeführt wurde nicht nur rauskommt ich behaupte sonst ist das immer nur also wenn die und wenn verschieben sind kommt ja auch immer 0 raus und Sie sehen es kommt wunderbar auf 0 raus und da werden wir gleich ganz oder werden würde ganz viel Honig daraus saugen können so
da kommt noch der Fall was ist wenn sie 2 Sinus Funktion multiplizieren also integral von 0 bis 2 p Sinus NX Meisingers MX und da das etwas Ähnliches wenn die beiden Dinge verschieben sind kann wieder nur raus also wenn n ungleich ist dann kommt da nur raus und wenn die beiden gleich sind kommt wieder Pierer aus also gleich und nicht 0 wenn sie bei den Rosen dann steht da sie das von Römer Sinus von neu entsteht dann 0 dann kommen vielleicht nur aus gut ja das sind die sogenannten Auto Täternation und ich werde sie Ihnen das wenn
Sie mir auch nicht sein dass nicht alle vorrechnen sondern nur eine also den Anteil den kann man einfach direkt ausrechnen Stammfunktion hinschreiben einsetzen kommt raus und was ich Ihnen zeigen will ist der Teil C also wollen uns anschauen das integral von Kosovos NX mal Cosinus MX
und die andere der des und der BKL die gehen im Prinzip mit den gleichen Tricks das muss ich in die nicht alle vor klar denn erst Verhalten N und bei den losen aber von schon durchdekliniert wenn er nun beide 0 sind dann in die gehen Sie da einfach die 1 Funktionen und die Funktionen über 2 0 bis 2 p integriert die ist eben 2 P das ist geschenkt 2 der Fall dem ich er noch loswerden will ist was ist wenn einer von beiden 0 ist also genau einer von beiden ende der ist 0 dann können wir den Teil Art ihn ja wenn er 0
ist oder 0 ist dann ist dieser Cosinus eben der 1 dann steht da Cosinus NIK zumal wenn er 0 ist steht einfach integral von 0 bis 2 muss NX und Co sind das ist Anteil 0 also wenn einer von den beiden und und der andere nicht dann haben hier auf jeden Fall 0 der Fall ist auch okay in Sa jetzt
Mama also das was noch übrig ist und
also nicht beide 0 und auch nicht eine 0 sondern alle bei nicht 0 und dann müssen wir zeigen wenn Sie beide gleich sehen Kombi raus und wenn sie verschieden sind dann kommt nun aus so also sein n und m 2 natürliche Zahlen die nicht 0 sind und wir wollen wir zeigen dass diese Formel da oben dann definiere ich mir jetzt 2 neue Größe nicht einfach und bitter Alfa ist die Summe von n und und Berta ist die Differenz wir kann ich aber mal so setzen falls die Summe wird dass die Differenz und dann ist umgekehrt
oder dann gilt Folgendes was passiert wenn sie jetzt als farblos mit allen rechnen als Abschluss später ist endlos endlos N minus M das 1 0 die 2 1 also das ist zwar in halbe das es genau denn umgekehrt wenn sie Alfa Mindestwerte halbe rechnen bringen Sie ein Plus man das bloß die 2 durch 2 es es gibt also wenn sie ein vom Wetter haben kriegen Sie n und daraus zurück also wenn sie haben unsere Welt ausrechnen wenn sie ein von bitte haben kriegen Sie daraus und und was ich jetzt nutzen will ist das folgende
Additions Theorien für den
Kosinus da geht es also das ist folgende Kosinus von A plus B halbe mal Kosinus von minus B halbe wobei an denen ich in Zahlen sind wissen halt Kosinus von Art plus Kosinus von weg das ist Additions Theorien für die Summe von Cosimos werden und mit dem können wir jetzt dieses in der integral klein hauen und deswegen wollte
ich indes auch vor nein natürlich kommt man nicht einfach so aus der hohlen Hand auf die Idee oder werfe man mal das Editions Theorien drauf und dann klappt das schon deswegen vielleicht in das Vorhaben also was der ausrechnen wollen das integral von 0 bis 2 p Kosinus von NX mal Kosinus von NX und jetzt hat nur oben sehen Sie schon ich will auf diese Form kann wir das Additions Theorien und ich habe darum wie schon es einfach plus bitte halbe und ist einfach minus Peter halbe vorgearbeitet wir haben da schon mal was vorbereitet also dementsprechend mit
den Nomenklatur von oben ist dass das integral von 0 bis 2 p über Kosinus von Alfa Flußbette halbe Marco aus von Alfa Miles Peter halbe so jetzt können wir das Additions Theorien drauf werfen das ist das gleiche wie das
integral von 0 bis 2 p wie man halt mal Kosinus von Alfa plus Kosinus von 9. fiel die Excel ja also ich war das noch mal das was besser sehe dass es Kosinus von Alfa X plus X halbe mal Kosinus von einer X minus später Exhale halbe so wir jetzt dieses Additions Theorien da oben an mit Alfa X und bellt leicht bitter Ex was wenn er rauskommt ist Kosinus von Alfa X bloß Kosinus von Berta X mit dem Halter vor das war das Additions Theorien von
oben und Sie sehen was der Gewinn davon es ist aber dieses Büro wird Produkt von dem man nicht weiß man sie die klären soll bald klar wenn Sie das jetzt partiell integrieren dann kommt nur wieder ein Produkt von 2 Kosinusfunktion oder von 2 Sinusfunktion raus dann sah nichts geworden das haben wir jetzt zerlegt in eine Summe von 2 Funktionen und das ist bei dem integral natürlich die schönen Sommer haben weil die können Sie jetzt mit Aldi TV vität auseinanderziehen und einzeln bearbeiten da kann ich dann Funktion direkt hinschreiben das ist ist jetzt erstmal wieder alpha und beta ein das ist ein halb sind integral von 0 bis 2 p Cosinus Alfa war Entschluss nix und bitte war den minus M links zur jetzt und jetzt gibt es 2 Fälle zu beachten was jetzt hier steht es es kann integral 2 muss man 9 2 Integrale auseinander dass es innerhalb sind integral von 0 bis 2. die Kosinus von endlos MX Deluxe bloßen halb integral von 0 bis 2 p Kosovos von allen minus M XTX Dezember einige Fahrwasser was wir schon kennen das da stehen haben es mit Kosinus vor dem Vielfachen von X das sei sie war von X integriert würdevollen Periode das statt dem Anteil das ist 0 das ist auf jeden Fall 0 nach an weil wenn sie nur Kosinusfunktion über die ganze Periode integrieren kommt nur raus das zweite im Prinzip auch wieder mit dem üblichen Achtung wenn allen gleich ist dann steht da natürlich große von 0 dann steht er die Funktion konstant 1 dann kommt der nicht nur raus und dann kommt da 2 Pierer aus
also hier kommt jetzt die Fallunterscheidung man n ungleich ist dann ist auch das hintere Integrale 0 reißen Kosinus von irgendwas X X der die ganze Periode integriert wird und wenn man gleich ist dann kann der Funktion konstant 1 stehen die wird von 0 bis 2 p integriert kommt 2 Pierer aus mit dem Inhalt der vor gibt die genau wie behauptet und damit haben wir dieses zweite Auto Rivalität den gezahlt das war jetzt die mühsame Arbeit bevor wir dann ernten können das werden wir dann auch fragen der letzten Vorlesung tun für heute also heute bereits der mühsame teil und morgen können wir dann ernten und vor die Entwicklung von periodischen Funktion aufstellen ja insofern ja freilich ab morgen untergehen verhalte sich aufpassen kann
Sierpinski-Dichtung
Approximationstheorie
Länge
Faktorisierung
Punkt
Gewichtete Summe
Momentenproblem
Summand
Trapezoid
Natürliche Zahl
Familie <Mathematik>
Träger
Richtung
Arithmetischer Ausdruck
Homogenes Polynom
Periodische Funktion
Numerische Integration
Substitution
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Addition
Bruchrechnung
Trigonometrische Reihe
Numerische Mathematik
Fläche
Reihe
Ähnlichkeitsgeometrie
Schwingungsdämpfung
Zerlegung <Mathematik>
Gleitendes Mittel
Biprodukt
Frequenz
Zahl
Fourier-Entwicklung
Sinusfunktion
Basisfunktion
Konstante
Summe
Polynom
Stammfunktion
GERT
Zahlenreihe
Rechenbuch
Menge
Periodenlänge
Koeffizient
Höhe
Mathematiker
Potenzreihe
Plancksches Wirkungsquantum
Schwankung
Aggregatzustand
Mathematische Größe
Algebraisch abgeschlossener Körper
Folge <Mathematik>
Elementare Funktion
Physik
Klasse <Mathematik>
Rechteck
Kompression
Physikalische Theorie
Linie
Variable
Quadrat
Algebraische Struktur
Formfaktor
Ende <Graphentheorie>
Reelle Zahl
Mittelwert
Schwingung
Näherungsverfahren
Minimalgrad
Trigonometrisches Polynom
Inhalt <Mathematik>
Ganze Funktion
Kosinusfunktion
Zeitintervall
Schrittweite
Gleichung
Integral
Integrationstheorie
Flächeninhalt
Orthogonalität
Fourier-Entwicklung
Größenordnung
Quadratische Funktion
Term
Ecke

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Fourier-Reihen
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 28
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35634
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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