Bestand wählen
Merken

Fortsetzung Fourier-Reihen

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
so genau sind die Meinungen der immer so sein dass er verlängert werden an der TU Darmstadt also dabei herzlich
willkommen das das Rechenzentrum begrüßt uns wieder wie gestern aber diesmal ist es nicht schlimm war da was zu erzählen dieses immer der letzten Vorlesung Vorsemester Ende und dementsprechend gibt es ein bisschen organisatorisches Übungsbetrieb ist
beendet wir werden jetzt demnächst fieberhafte rechnen ist mit dem Bonus in Aussicht da werden Sie sicherlich noch Bescheid kriegen weil wir natürlich dann irgendwann einer er eine Rückkopplung brauchen wir werden irgendwie aushängen oder in Tukan bereitstellen was bei uns in der Buchführung angekommen sie funkte sie haben und dann ist die bitte dass sie noch mal vergleichen ob das mit ihre Buchführung übereinstimmt weil üblicherweise passieren bei Massen von Daten über Federn er und dann geht's irgendwann auf die Klausur zu und dafür gibt es auch von unserer Seite noch die eine oder andere Hilfestellungen er es wird auch in den Sommer in der auch in den Semesterferien Sprechstunden geben von allen Übungsgruppen Leiterinnen und zu und muss Gruppenleiter ja die Termine stehen aber noch nicht endgültig fest aber die tauchen Tukan irgendwann und Informationen auf es geht wird geben von uns ein sogenanntes Ferien Übungsblatt ich hoffe das diese Woche wenn dies nicht mehr schaffen aber einmal im Verlauf der nächsten Wochen die Idee von dem Film Übungsblatt ist das Sie da drauf Aufgaben finden über den Stoff der ganze Vorlesung Kreuz und Quer von leicht bis schwer und zu allen möglichen das naturgemäß ne ganze Menge Stoff ist wenn das ne ganze Menge Aufgaben seien also ferner Hausbewohner was sie 20 bis 30 da ich will wieder der Stelle gleich vorbeugen sie brauchen die Frage gar nicht stellen eines wird dazu keine ausführlichen Lösungen geben und Sie können auch noch 3 Mal Nachfrage es wird keine geben die Alternative ist ganz klar ein wie das geben Fällen Übungsblatt ohne Lösung oder es gibt hat keine Feld Übungsblatt mit Lösungen weil von und setzt sich niemand hin und schreibe diese 30 Lösungen ausführlich auf das ist er kann nicht leistbar und dementsprechend gegen also dieses Angebot eines fährt Übungsplatz an aber wir können Ihnen da keine ausführlichen Lösungen bieten da ist sozusagen ihr Austausch untereinander gefragt das tut der Sache auch gut weil Diskussion über das den Stoff ist der die beste Methode das Zeug zum mehr so das ist das eine dann gibt es von Seiten des Treffpunkts Mathematik für Bauingenieure Glasur Vorbereitungskurse für die ich hier gerne Werbung mache ich habe die Termine hier mal auf die Folie getan der Text oben drüber ist das was auf der Seite vom Treffpunkt offiziell dazu steht es gibt Glasur Verwaltungskosten hatte einzeln 2 jeweils 5 Doppelstunden am 13. 14. und 15. 3. wird auch der Johannes kommt schon machen denke ich und die Termine stehen hier besichtigen die auch auf der Seite vom Treffpunkt und wenn das schwer zu finden ist habe ich das heute morgen aber mal als Linke setzt auf die Seite vom doch die kann Seite von der Veranstaltung also auf der Dogan Seite von hier finden so Information gelingt auf die Informationen zu den Klasse Vorbereitungskurs ja das ist das organisatorische für den Moment gibt es da von Ihrer Seite noch Fragen gut gut dann wechsle ich wieder zum Thema Fourier rein über als Erinnerung habe ich noch mal auch die Folie geschmissen was bevor weil es wer letztes Mal hat ich ihm die Idee wollen vom periodische Funktion das sind jetzt hier knapp 2 P periodische Funktion approximieren durch Summen von Sinus und Cosinus Funktionen zu endlich wieder sonst Funktionen durch Polynome approximiert haben und das entsprechende der sprechen Approximation Funktion dass das was dann trigonometrische Polynome nennt sehen Sie oben konstanter haben der aus jetzt Ästhet Ästhetik Gründen mit halt multipliziert ist plus eine ähnliche Summe von Kosovos NX und Sinus NX jeweils mit vor Faktoren wenn man also ist Polomat dann macht man den gleichen Übergang die vom Polynom zu Potenzreihen und gucke sich unendliche solche rein an und das was da unten drunter steht kommt erst später ich habe also man guckt sich Unendliche solche rein an und so denke man bevor hier eine also bevor die Reise unendliche Summe von irgendwelchen Sinusfunktion kann Mittwoch Faktoren der vor alle Konvergenz fragen Sie Moment ausgeklammert um den Hals zu ihrer ihr und die die die was wir jetzt machen wollen ist die so genannte vorher Entwicklung einer Funktion es ist dem Skript von Herrn Ralf 2. Teil 4 period 5 also Sie haben die Periode Funktionen der letztes Mal schon gesagt das kann zum Beispiel das Musikstück sein also nein das Ganze muss ich ist wenig periodische habe tritt sagen der einzelne Ton ist wenn wir das jetzt erst in kleinen Intervall anschaut kann man das dort jeweils als periodische Funktion auffassen und dann diese Funktion die diesen Ton die Schwingung der Ton es sich in alle Ewigkeiten ausgedehnt vorstellen ausgedehnt vorstellen und danach eine Periode Funktion auf ganz er und die kann man vorher transformieren das ist das was eben wie gesagt MP3-Player macht diese diesen das der wieder close bracket umgekehrte der hatten also wenn sie die in die MP3-Dateien herstellen die da haben betont die Schwingungen die wird zu rechnen Sie vorhin transformierte dann kriegen Sie diese Zahlen A 1 und B in die speichern Sie der MP3-Datei ab und der MP3-Player ließ die eine B n aus und rückt und er erzeugt daraus wird ich bin so also wenn die 2 die wir jüdische Funktionen und und ich sage es mal ein hoffnungsfroher Ansatz ist dass wir diese Funktionen durch Missouri Reihe darstellen können also 11 ist durch den Fourierreihe darstellbar also wenn wir unendlich viele solche Sinus und Cosinus Funktionen addieren dann kommt dabei ist Frau ist und ich werden dann Ende der Vorlesung zeigen dass die Hoffnung nicht trügt dass die sogar sehr oft erfüllt ist Moment ist es eben ein hoffnungsvoller Ansatz das heißt unsere Funktion
f lässt sich eben schreiben als in dieser Konstante Thermal 0 halbe bloß so n gleich 1 bis unendlich Marco sinnlos von NX plus PIN Marsilius von NX also als vor Irak und die Frage ist jetzt
natürlich geht das und wenn es geht wie sehen diese Zahlen an 0 A 1 A 2 und so weiter und B 1 B 2 B 3 und so weiter aus 3. also wie muss sich die Zahlen diese
Zahlen 0 A 1 A 2 B 1 B 2 B 3 die muss ich die wäre das da genau F rauskommt nein und die Frage kommt dann da auch 11 raus oder nicht die machen wir später das ist wie gesagt die Frage Kunde geht das auch alles so wie es soll was ich jetzt erstmal mal nach ist wenn es klappt dann kann ich Ihnen sagen wenn das geht dann nur mit einer ganz bestimmten Wahl von diesen zahlen 1 0 1 1 2 und so weiter werden dann liegen diese Zahlen fest und das kann man jetzt schön ausrechnen also wenn
das so ist wenn das 11 sich also eine so beschreiben lässt dann muss folgendes gelten ich leide sie einmal folgendes Integrale auszurechnen das integral meine volle Periode von der Funktion f oder andere werden es immer an unser 11 lässt sich ebenso durch eine Folie reinschreiben was gilt dann für dieses integral was ist denn das integral von 0 bis 2 F ja wenn es sich so schreiben lässt dann können wir diese Darstellung da oben unten sind die gerade einsetzen dann sehen wir dass es mir lange Summe von Termen Summenbei bei integralen sind Rolle weil die darf man Summanden Weise zu ausrechnen also was da rauskommt oder wenn man das einsetzt ist an und halbe man das integral von 0 bis 2 p über 1 Kloas in der Summe in um wenngleich 1 bis unendlich Eva mal das integral von 0 bis 2 p über Cosinus NX bloß PIN nein es
integral von 0 bis 2 p wir sind 10 x ich close bracket und das ist jetzt nur um diesen Ansatz dass das es so aussieht eingesetzt und der ganze das ganz den ganzen schlugen von 0 bis 2 p integriert was passiert jetzt jetzt erinnere ich noch eine also mühsam Teil der letzten Vorlesung am Ende der letzten Vorlesung hat ich mit Ihnen richtig Integrale geknetet und da hatten wir das rausgekriegt sogenannten Auto Realität Relationen dann gesehen wenn sie den Kosinus von der eine Funktion vom Typ Cosinus NX übers ganze Intervall 0 2 pi integrieren dann kommt der immer nur aus außer man gleich 0 ist wenn gleich 0 es steht ist der Kosinus von X ist einst dann ist natürlich integral von 0 bis 2 p über 1 das ist 2 das über ganz gut Städtchen nämlich gerade mehr versteht mit dem Grafen nur bis 2 P über 1 das können wir schon mal ausrechnen also das ist 0 halbe
mal 2 P drin so dann kommt hier eine Summe wenngleich 1 bis unendlich eben mal nehmen Sie greifen nur bis 2 P über Kosovos NX mit n größer gleich 1 und sie in die 1. Zeile bis 0 also da steht einmal 0 plus PIN mal die gerade über den Sinus NX über die ganze Periode 1. Zeile ist 0 also Beate gar nicht so viel übrig da bleibt den optimal an 0 übrig dafür dass das vorher nicht mal eine Zeile gepasst hat das ist recht übersichtlich Ausdruck und da ist es insofern noch eine schönere gleichen als wir jetzt sehen wenn Sie es kennen und das F lässt sich so darstellt dass der vorige Reihe dann muss das 0 diese Gleichung genügen das heißt dann muss das 0 zu berechnen sein als einzig Pi mal dieses integral also was daraus was wird damit
insbesondere kriegen es wenn unsere Funktion tatsächlich von Sonne Fourierreihe dargestellt wird dann nur dann kann die Fourierreihe nur 1 ein einziges an haben und zwar 1 durch Pi integral von 0 bis 2 p f von x x das ist das Ergebnis dieser
Rechner also kennen wir schon mal das 0 wenn es denn klappt nur so jetzt aber letztes Mal einen
ganzen Stapel mehr von solchen so genannten Auge Orthogonalität Relation ausgerechnet wer gesehen das da ganz auf 0 rauskommt das hat uns ja auch hier schon sehr gerettet das dann 0 rauskommt also es lohnt sich geradezu zu produzierende in die von der Form sind Cosinus N x mal Sinus MX oder Kosovos N x Cosinus MX und damit können wir auch die ganzen anderen Koeffizienten der Entwicklung ausrechnen also
jetzt 2. nehmen Sie mal größer gleich 1 sehr und man aus was integral von 0 bis 2 p f von x x Cosinus XTX immer noch unter der Annahme das dass er sich eben als Fuji reinschreiben also setzen wir mal den diese Annahme hier eine Schlappe für das er für die vorher hin dann kriegen wir hier
raus das ist integral von 0 bis 2 p jetzt kommt die vor Reise 0 halbe bloß Summe n gleich 1 bis unendlich 10 aus NX plus PIN LCoS am Cosinus NX plus PIN Sinus NX und das Ganze den seit multipliziert mit Kursen das NX und ich die zu spät ist über dieses Riesending sieht mag an die Lust vergehen aber anders als es erst eine Zeile ist nicht so schlimm aber wenn man jetzt genau hinschaut steht da gar nicht so viel aber jetzt kommen wieder unsere Orthogonalität
Relation und hauen fast alles weg schreiben was man aus lauter eines integralen also das ist integral von 0 bis 2 p an 0 halbe mal Kosinus von MIX Blue nur so mehr wenngleich 1 bis unendlich fahren mal dem integral von 0 bis 2 p Kurse muss von allen x-mal Kosinus von MIX der EX plus PIN mal das
integral von 0 bis 2 p 10. x mal Cosinus NX was ich je gemacht habe es Genialität von integral ausgenutzt um habe gerade bei den langen Sommer wird ich Summe von 4 integralen er und im Wesentlichen als dicke ausgleiche deine Freunde ich habe auch die großen MX aus multipliziert in jeden Term rein so und jetzt sind die gerade die dastehen alle wieder von dem Typ hier das wegen aber letzte Vorlesung vorgearbeitet und was steht da zum Beispiel unser größer gleich 1 also wenn sie es erst integralen nehmen integral von 0 bis 2 Piber Kursus XTX mit größer gleich 1 1. period hier liegt ja auf der rechten Seite das ist 0 also den Term hier kann man schon mal vergessen so dann das zweite geheimen Gleichung und 1. 3. 1 das dritte integral B mal integral von 0 bis 2 p Sinus N x mal Cosinus MX also könnten Sinus NX meine große muss MX einmal auf die vorher gucken Produkt vom großen Los NX-Bit Sinus MX und damit die klären die ganze Periode der kann er sein was es will das ist immer 0 also auch der Termine macht keine großen 1 mehr und dann bleibt noch das mittlere integral übrig da jetzt 2 große Lust habe drin stehen und da sehen Sie da gibt es verschiedene Fälle dann wenn Cosinus NX auf MX trifft das ist das was ich in die letzte Vorlesung vorgerechnet hat dann gibt es die 2 Fälle 2 Pipi und nur der 1. Fall ist wenn er gleich im gleich 0 ist in den sind wir hier nicht weil das im ist größer gleich 1 also 2. oder 3. Fall das ist bis auf eine Ausnahme immer 0 es ist nur dann nicht nur wenn das gleicht dem ist zumal wann taucht das hier auf in unserer so mal hier 7 dass er nur von 1 bis unendlich das ist fix ja und das also das läuft alles haben als bis endlich durch irgendwann wird es beim vorbeikommen aber genau einmal also von dieser unendlich viele Summanden sind unendlich viele Nullen und ein einziger nicht nur und dann den nicht nun es ist der wo das in gleich dem Imbiss also was übrig bleibt ist nur der Thermen mit mit gleich von dazu vom 2. integral also was übrig bleibt es am mal integral von 0 bis 2 p Cosinus NIX Cosinus NIX der Ex mehr werde dieser eine so man übrig für den gerade in gleich im ist so und die sind egal über Cosinus Exkursen dass nächstes aber das mal ausgerechnet von der bis 2 pi das ist P also was hier übrig bleibt ist P A N das aber doch aus diesen in diesem Fall da oben was recht übersichtliches gemacht und wir das einen bestimmt wir sehen jetzt wenn unsere Funktion 11 sich als Folie reinschreiben das
dann muss das am die Form haben einst durch P mal integral von 0 bis 2 p f von X Cosinus MX DX und das ging für alle größer gleich 1 und wenn man jetzt noch mal oben 5 bis 7 Böen dass man das nicht mehr sehen was dann oben Umstand an es 1 durch P integral 0 bis 2 p f von x Text das ist aber wenn Sie jetzt hier im gleich 0 setzen genau dieselbe Formel wenn sie im gleich 0 Nullsätze steht da Kosinus von Bundes 1 also diese Formel geht auf gleich 0 hier können wir also auch in Größe ich 0 schreiben und sie kriegen alle ein nach dieser Form das ist nebenbei bemerkt der Grund warum man den trigonometrischen Polynom und in der Komischen Fourierreihe voll an 0 halbe steht das weil er mir einen seltsam warum steht an Adelheid und ich an 0 das steht also halbe damit diese Formel für alle in dieselbe ist wenn Sie davon an 0 schreiben dann haben Sie bei den annulliert als sich 2 Tiere bei allen anderen nein es sich China und damit diese Formel immer dieselbe ist macht man dieses komische halt ein so also wesentlichen kommt es daher das hier bei diesen Kursen NX Kursen des MX oben 2 Pipi und 0 steht diese 2 da oben die macht das aber so damit aber die jetzt bitte ich Sie mir zu glauben dass
genau die gleiche Rechnung mit dem PIN auch funktioniert also genauso durch Berechnungen des Integrals von 0 bis 2 p f von x mal Sinus von MIX also wenn Sie dieses integral hernehmen jetzt für dass es wieder die vorige Reihe einsetzen dann kriegen Sie wieder lauter Integrale von der Sorte und was man daraus Trickkiste Formel für die PIN die
B 10 genau so aus als durch die integral von 0 bis 2 p f von x und jetzt Sinus XTX jetzt größer gleich 1 2. die 0 gibt es nicht das ist die Formel für die B zur diese Zahlen am und des also 0 1 Als war weiter der B 1 B 2 B 3 und so weiter die kann man berechnen über die Funktion f hat und wenn die Funktion f wenn gesehen wenn die Funktion f so ist dass sie durch eine Folie 3 dargestellt werden kann dann muss die Fourierreihe Reihe genau diese Koeffizienten 1 und DM habe also wenn es überhaupt geht dann mit den das heißt diese wohl diese Koeffizienten die ja die ergeben sich aus der Funktion f die beschreiben die funkt die vorher weil die wenn sie den Tod zu Funktion f gehört und diese Koeffizienten heißen dementsprechend vorige Koeffizienten also die so
bestimmten zahlen 1 0 A 1 A 2 und so weiter B 1 B 2 bitte 3 und so weiter die heißen vorher Koeffizienten von mehr wie man sie berechnet haben schon raus steht um sind integrale Fuer Gorizia berechnet man immer die man die Funktion f nimmt mit entsprechenden darum zu oder sie den Sinus M N E R X oder dem Kursus X multipliziert und dann über eine Periode gekriegt und am Schluss noch mit als sich die Formel das vergesse ich zumindest ständig also einzig P und dann in die gerade die Funktion noch mal Cosinus MX und die Zahl die sie da kriegen das ist der frühe sind am und das kann man sich insofern mehr kann ich denen alles auf einer Folie also wenn ihre Funktion f durch so vorher 3 dargestellt wird da müssen die Koeffizienten a 1 und deren und das aber das hier steht diese Formen hier erfüllen und das ist insofern ganz gut zu merken als zum Beispiel wenn sie das H 5 berechnen wollen dann müssen Sie das 11 multipliziert mit dem Kosinus von 5 x also genau mit der Funktion des dem A 5 steht ja also immer immer die Konzeption von der sie den Formfaktor haben wollen die müssen Sie mit F multiplizieren und eine von nur deshalb hier integrieren und ich Pithey so kam seinen Volk offiziell das gilt für ein und das gilt für BR beim BN sind die Sinusfunktion und dann ein sind sie Kosinusfunktion die 1 sind die vor Faktor der Cosinus und die B in die vor und Faktoren der Sinusfunktion also insofern eigentlich ein sehr in sich flüssiges denn und meine nein in nächster Punkt wäre jetzt ja Ihnen mal an einem Beispiel voller Funktion die früher Koeffizienten aus und ich nehme meine ja wir wissen exotische Funktion
er und zwar eine Funktion die nur 2 Werte annimmt die IS 1 wenn das X zwischen dem geradzahligen Sachen von P und dem ungeradzahligen vielfachen von P legt also zum Beispiel sie ist 1 Zwischenrunde er zwischen P und diese minus 1 über war sonst also zum Beispiel zwischen Pier und 2 P immer zwischen dem ungeradzahligen vielfachen von Pi und geradzahligen vielfachen von P sie gezielt nach Monstern kompliziert aus wichtig ist das was ich gesagt habe Funktion des 1 zwischen dem Garcia den die wir fungieren ungeradzahligen vielfachen und dann wieder minus 1 zwischen und Gradzahl es ob ungeradzahligen vielfachen von Pi und den nächsten Kratzer die weil sie kriegen periodische Funktion aber den Grafen hin also das 2 P das 3 P da ist minus P das Minus 2 P dann ist die 1 zwischen Rodopi Zipi und 2 P 7 minus 1 dann ist sie wieder 1 dann wird sie wieder minus 1 zwischen minus Typ 0 7 minus 1 zwischen minus T und 2 PS die 1 und so weiter und so fort kann zur Funktion es mit der wo diese Funktion es der periodische Punktion davon Periode 2 p das ist eine Periode niemand hat gesagt dass periodische Funktionen bestätigt sein muss und von der können wir jetzt die Folie Konzerten zählten ausrechnen alles was wir tun müssen steht da müssen die sind die gerade berechnen machen wir das
mal also was ist das 0 das ist nach vorne integral 1 durch die ab über eine Periode also von 0 bis 2 p F von X Text das Prinzip F von X X Kosinus von 0 XTX Augustus von Olix ist 1 insofern haben Sie einfach nur den Mittelwert über 11 das integral über 11 klären an der Stelle in die immer über die volle Periode von 0 bis 2 p an der Stelle ist aber meine Freiheit weil ich denn am Anfang gesagt wenn sie der Periode Funktion haben und sie die Gelbe volle Periode des egal wo sie anfangen zu können man könnte ja also auch von minus P bist P integrieren oder von 1 bis 1 plus 2 P oder was auch immer Sie wollen wir also brauchen nur den dieses Intervall muss genau 2 pi lang sein wo sie starten das wurscht ich normale sie jetzt mal immer so dass wir bei 0 anfangen in dem Fall ist das sehen die gar nicht schwer auszurechnen das kann man erlernen Stammfunktion von diesem komischen F sich überlegen oder man überlegt sich was ist denn das die Fläche von 11 zwischen 0 und 2 pi also unter dem Grafen von 11 zwischen und 2 P das ist einmal das berechtigte oben und einmal das richtig da unten und wenn man das Ohr nicht gezeichnet hätte wären die auch beide gleich groß und dementsprechend unter 0 das also die Fläche unter dem Grafen von da ist Pi mal 1 minus Pi mal 1 und das ist wohl so eigentlich wollten mehr
also was wir brauchen sind alle am und alle des endet mit 1 0 angefangen das bringt nicht so viel über das sind 0 Prozent dessen was wir haben wollen wir brauchen es zweimal unendlich viele einer mehr aber die restlichen die Kammern auf einen Schlag machen aber die am der im größer gleich 1 und damit ich nicht Dauer dieses einst durch Pi mitschleppen muss welchen ich jetzt mal für den Moment Pi mal am aus das ist nur damit sich weniger zu schreiben habe wenn ich gehe mal einen ausgerechnet habe keine Industrie Pithey aber da muss ich nicht dauernd einzig Kiefers Integrals also die man am essen integral von 0 bis 2 p F von X Folge gesagt die mehr Kriege ist wenn sie den Koeffizienten am ausrechnen wollen dann müssen Sie das erst mit der Funktion multiplizieren die beiden Koeffizienten am steht das ist hier die Funktion Cosinus MX also multiplizieren wir F von X mit Cosinus XTX und dann müssen wir das integriert es ist das schön dass die Funktion f relativ brav ist dies nur entweder 1 oder 0 1 minus 1 also dieses 1 zwischen Lopi und minus 1 zwischen 4 und 2 P dementsprechend bietet dies an das integral hier in 2 Teilen der gerade aufzuspalten und erst mal aus zurecht und das also zu sowie als integral von 0 bis P f von x mal Cosinus MX bloßen integral von Pi bis 2 P über dieselbe Funktion das ist einfach die
TV tätest Integrals das können wir machen jetzt kann man einsetzen was das F ist zwischen über dieses immer 1 also steht hier integral von 0 bis die Cosinus MX und da steht zwischen dir und 2 P ist dass die Funktion minus 1 also aber man ist das integral von 0 bis die Kosinus XTX ich ja die beiden Integrale kann man jetzt direkt ausrechnen 8 und wir können jetzt nicht mehr argumentieren wenn wir sagen er so integral Kokosnuss MX ist immer 0 nein das wird dann nur wenn sie über die ganze Periode integrieren aber in die Creme nicht nur die ganze Periode sondern wir offenkundig die also müssen wir hier wirklich rechnen also was ich dann Funktion von Cosinus MX Klawunn schon vom großen ist der Sinus ja dann noch das MX korrigieren das 7. 1 durch nach vorne also 1 durch 10 Uhr von MX die Stammfunktion ist infizieren wollen leiten sich schnell ab findest abgeleitet die dem Kosinus in der Ableitung von dem MX gibt man mal also gibt mal als durch immer Malkursus MX und das ist groß 6 so dass in den Grenzen von 0 bis P da minus und jetzt habe ich hier offensichtlich von ist gebongt die Grenzen hier sind nicht nur das P sondern gibt es 2 P ich hoffe die also die eine oder andere hat sich schon gewundert ja also minus auch wieder die gleiche Stammfunktion 1 durch sie aus von X in den Grenzen von P bis 2 P wenn man jetzt genau hinguckt stellt man fest ich erfolgen vorgewarnt man darf nicht gleich sagen dass es nur weil großen Städte mehr deswegen nicht aber es ist trotzdem wohl weil egal ob sie jetzt nun der Peer-to-peer oder 2 pi einsetzen was in den Sinus zu stehen kommen sind immer ganzzahlige Vielfache Phobie und sie nur seinen ganz nicht sie waren von Peace Wolf also da stehen ganz viele Nullen da steht 1 durch m x 0 minus 0 minus 1 durch m x 0 minus 0 und das ist immer noch 0 also das alle am sind 0 für die Hälfte von Fuego rezenten ausgerechnet diese sind sie alle 0 wir werden später noch sehen dass das kein Zufall oder Unfall ist sondern dass man das wenn man bisschen sich drüber nach wir sind über nachgedacht hat auch von vornherein hätte sehen können dazu sage ich nachher noch was wenn wir es mit IBM aus und hoffen dass da nicht auch nun
rauskommt war ein sonst wäre das ein bisschen komisch weil die Funktion ist offensichtlich nicht nur nein also rechnen um die B M aus noch hier recht nicht Klima IBM aus damit ich nicht über ist sich Piëch schreiben muss also Klima des dieses integral von 0 bis 2 p f von x mal sehen aus von XTX gleiche Rechnung wie vorhin gespaltenes integral auf denen integral von 0 bis Biermann integral von P bis 2 P auf dem ein Intervall ist das F 1 auf dem andern ist minus 1 also das wär rauskriegen diesen integral von 0 bis P wir sehen aus MX bloßen integral von Pi bis 2 P in den ersten integral von Pi Pi bis 2 P übersehen muss MX so und das müssen wir integrieren Zimmer genauso schwere leicht wie oben Stammfunktion von Sinus MX es minus 1 sich im Großen Haus MX das minus im Gegensatz zu vorher kommt es daher dass die Stammform zum Sinus in der minus kostenlos ist minus 1 durch einen Kosovos MX in den Grenzen von 0 bis B minus minus minus 1 durch also plus 1 durch Cosinus NX in den Grenzen von Pipes 2 P zur
gut das kann man jetzt einsetzen und jetzt komme tatsächlich nicht mehr immer nur raus nur manchmal also das ist minus 1 durch es muss man genau werden wir jetzt kommen viele viele minus was ist Kosinus von Martin da hilft nur die typische Examens Antwort das kommt drauf an das kommt drauf an ob gerade oder ungerade ist große Nuss von MLP ist dann 1 wenn das gerade ist und minus 1 wenn das ungerade ist das kann man kurz und knackig so schreiben dass es minus 1 hoch n 1 wenn im gerade ist minus 1 wenn n ungerade ist große von Pis minus 1 großen von Zweitligist wieder 1 Kursus von 3 minus 1 also der Stelle kommt drauf an ob das gerade oder ungerade ist okay denn minus einzelne 1 zur minus Kosinus von 0 das ist mal wenigstens klar Kosinus von Vormundes 1 plus 1 durch mal Kosinus von 2 MP Kosinus von 2 MP dass es auch wieder einfach bei 2 MP ist in ein Grades sie war es von Pi und große muss dann geraten sie werden von P S 1 also da steht man 1 minus Kosinus von Empires das hatten wir gerade schon von Empirie ist minus 1 hoch n so jetzt stehen ja nicht nur 1 und minus 1 Endes aber maximal kompliziert vermurkstes und was überlegen was was steht da eigentlich und dafür lohnt siehst erfahren Unterscheidung zu machen und das eben gerade oder ungerade ist was passiert wenn gerade ist wenn er gerade ist dann sind diese ganzen minus 1 Woche in diesem bei der 1 dann steht da 1 minus 1 das ist 0 und da steht 1 minus 1 das ist 0 dann steht also wohl plus 0 das ist nun schon wieder 0 also letzte Hoffnung gerade wenn n ungerade ist dann ist die minus 1 vorne minus 1 also dann 7 minus 1 minus 1 minus 2 der minus 2 noch vor dem minus sind dann 2 Händen haben Sie 1 minus minus 1 bis ist 2 also vorne 2 durch plus 2 durch ihren 10 4 durch Sa also kriegen wir tatsächlich hier vor komplizierten raus es aber um stets noch 8 und der Pi mal BMW rechnen also für das BM noch
durch Peter seien das M ist also je nachdem ob das n ungerade oder gerade ist entweder 0 für gerade n oder 4 durch MP oder 4 durch PIN für ungerade ich ja damit können wir jetzt zumindest mal formal die
vorige Reihe von 11 hinschreiben ja damit alles Sony-Konzern ausgerechnet ja sind alle 0 die Beeren sind neue für gerade und 4 durch die für und Grabe also können wir jetzt die vorher Reihe von dem es zumindest mal vorbei hinschreiben was ist die Folie 3 von 11 das ist erst mal das an und halten an 0 1 0 fällt also weg Name Summe gleich 1 bis unendlich einen hohen große mal Kosovos NX aber die einen sind alle 0 fällt also auch weg also Dame Summe von n gleich 1 bis unendlich B mal Sinus von MX so reine Sinus Reihe also diese Funktion können Sie eben zusammen bauen nur aus Sinusfunktion brauchen Sie keine Kosinusfunktion für und man braucht sogar nicht mal alle Sinusfunktion so nur die mit ungeraden M also aber auch Tiere nur die ungeraden Ems also im gerade und das B M ist dann 4 durch 10 Ausfall NX schon jetzt so bisschen Geschmacksfrage Zone sondern mit seinem wilden n ungerade drunter sieht nicht besonders hübsch aus man kann das auch noch umformulieren indem man sagt man somit nicht das sondern man schreibt liberal wo er nicht D 2 K einsehen und somit das K also genau das gleiche wäre die folgende Summe Summe K gleich 1 bis unendlich über 4 durch Pi mal 2 K plus 1 bin ich von 1 1 von 2 K minus 1 2. minus 1 mal sehen muss von 2 Kerne minus 1 x und ob es diese obere Darstellung oder ob die Unterredung Darstellung schöner ist dass es eine Frage der Ästhetik das soll jeder für sich entscheiden die vor Nachteile sind klar Roman Sinne kleinere vorne übersicht Formel dafür also diese Dover Einschränkung und man also nicht den und gerade die man gern leicht überließen da was falsches rechnet und nahm sie nicht eindeutig klare und dafür sei die Formel in der Länge das ist eine Frage der Ästhetik der kann man nicht sagen dass alles besser als das andere das sind die beiden Möglichkeiten diese Reihe hinzuschreiben und was natürlich jetzt die die Frage ist der mit einem Mal die vorige Reihe von 11 ausgerechnet das heißt wenn es sich als so eine Überlagerung von Sinus und Cosinus Schwingungen darstellen lässt dann so aber ob das jetzt 11 ist das wissen wir Moment noch nicht hat das es in dem Moment noch das große Fragezeichen die Hoffnung ist natürlich schon warum ist das die Hoffnung weitere wenn man natürlich weiß ohne Funktion lässt sich so zusammenbauen dann kann man sie im wahrsten Sinne des Wortes so zusammenbauen ja das ist das was man in in allen er machte man sozusagen Computerklänge erzeugte man schmeißt die richtigen 7 so große muss man übereinander und man dann auf die Weise sehr komplizierte Geräusche und Funk und Töne zusammenbauen Auslosung Kursen nicht zu und natürlich wird man nie die ganze Reihe bis unendlich zusammenbauen immer nur teil aber gleich Ideengeber Teller rein die Hoffnung ist dass die Fury Reihe die Funktion f das stellte man dann bei K gleich 57 aufhören kann zu summieren und eine relativ gute Approximation hat das kann man sich für dieses Beispiel das mal anschauen und ich habe das mal alles mein
mitgebracht als Folie nur
also gut gibt können ja doch da
tja das ist die Funktion die wir gerade haben und steht mal die schrecklich liegt die schreckliche vor Funktions- Vorschrift aber wie gesagt einfach 1 zwischen 0 P und 2 4 1 3 4 und minus 1 zwischen den ungeradzahligen den gerade seinen viel vom P und da unten steht noch mal die vorige Reihe die wir gerade ausgerechnet haben 4 durch in Sinus NX mit den gefahren und schauen uns noch mal an was ist denn der 1. Fury was ist denn das die 1. vorigen Währung spreche ich hier mal bei der Summation bei allen gleich 1 auf 1 nur ein Summanden wir kommen ein weit darunter genau also 11 ist die Funktion und die grüne Linie ist es vorhin Polynom 1. Ordnung das es wird naturgemäß keine perfekte Annäherung aber sie sehen so schlecht ist die Idee nicht also wenn Sie die Aufgabe gehabt hätten finden Sie die Sinusfunktion die möglichst nah dran liegt dann der ungefähr so was rausgekommen ja das ist die bestmögliche Währung immer mit einem einzigen Sinus produzieren kann ist diese Grüne Linie besser kommen sie mit einem Sinus nicht dran noch ist wenn sie den nächsten Tagen dazu also wir so mir noch mit sein wird nur dass es n gleich 1 vielleicht die Sinus X jetzt kommt auch dazu 4 durch 3 P Sinus 3 x auch noch der für 5 gleich auch noch ja das ist es also so rauschende ist diese funkt ist die Schwingungen die sie kriegen wenn sie diese 3 Sinus übereinander schmeißt wird schon besser wenn immerhin die Funktion ist ja auch wirklich hässlich war wie soll so ein aber sie musste immer unendlich auf Differenz beliebig oft differenzierbar ist wie soll da diese Sprünge machen kann der dich der gar nicht Gründen nur annähern und das ist das was er tut hier nur ja wie es normal noch den großen Sprung ich habe mal einfach willkürlich bei 17 aufgehört das ist die Funktion die Sie kriegen wenn sie bis 17 summieren es scheint das mir vom Sohn zu tun zu haben wir also meinen da gibt es dieses ärgerliche flattern das lässt sich nicht ganz umgehen als es man um die Sinusfunktion die kann aus ihrer Natur nicht raus die wackelt aber 7 möglich schön nah bei unserm F zu bleiben und wenn Sie jetzt weitermachen dann stellen Sie fest die Abweichung wird nicht beliebig also die nicht beliebig klein sie sehen was die Problemstelle 1. Problemstelle es natürlich immer Virus springt wir sehen sie passiert Sohn über Effekt die die die vorher Reihe das geht zu weit nach unten an der Sprung Stelle und schießt um übers Ziel raus das macht jeder Strom Sterne das dann das kriegt man nie ganz los aber dieser Effekt wird zunehmend kleiner für große für große wenn sie mal weiter summieren und im Endeffekt verschwinde also in in Grenzwert verschwendeter und ein Krieg tatsächlich sogar für so richtig diese Funktion wie die mit Sprüngen mehr sogar für die die Tifosi Reihe am Ende gegen die Funktion also Sie können die vor diese funkt sogar tatsächlich diese hässliche Sprung funktioniert Fourierreihen approximiert bisher nur am Bild und heuristisch ich werde in das entsprechende Resultat nachher noch zeigen das sagt dass es tatsächlich geht freiwillig noch mal zurückkommen ich nun kann jetzt heraus München hält an das habe ich also dann vorigemal
zurückkommen auf die Beobachtung die wir gehabt haben diese das alle diese am 0 1 also als wir diese funktioniert die vorkommerziellen ausgerechnet mal westlich der wegkriegen reingesehen Reihe der ganze Cosinus Anteil verschwindet woran liegt das das liegt daran dass die Funktion wir angeschauen haben und gerade
war er die Funktion die wir vorige transformiert haben war dieses Ding hier und das ist er ungerade Funktion dies spiegelt die ist punktsymmetrisch zum Ursprung und Sinus ist und gerade und Kosinus ist gerade um den Sinn und gerade Signal Ameisen und gerade Funktion dann hat in der Entwicklung der von der groß ist nix zu suchen der große muss mache gerade Anteile der Sinus macht und gerade an seidenen diesen Effekt haben sie immer wenn Sie also von vornherein wissen dass ihre Funktion ungerade ist dann brauchen Sie die Fuego mit den von den Kosinusfunktion gar nicht als Ausrede alle ungeraden Funktion sind die am immer 0 und bei der geraten Funktion sind die B R immer 0 automatisch und immer und das
eben zum einen daran dass Cosinus um gerade sind das kann man sich auch noch das sozusagen rechnerisch klarmachen also Teil 5 8 wäre ein gerade und ungerade Funktion wir hatten jetzt eben gerade das Beispiel von einer ungeraden Funktion also das erst wenn 11 zwar die periodische ist sonst brauche Fourierreihe gar nicht werden und ungerade wenn ungerade ist was ist denn dann der von mit der Funktion die wir
integrieren ja was ist dann mit der
Funktion die wir integrieren um den um das am auszurechnen also diese Funktion f von x Marco sinnlos von MX wir das ist die wenn sie versuchen würden das zu dieser Funktion wenn sie von dieser und soll es einen ausdenken wollen dann integrieren Sie diese Funktion f von x x Cosinus MX wenn 11 ungerade ist und der Cosinus ist aber gerade was ist denn mit dem Produkt von den beiden das aber was mir ewig hier gebe ich zu aber wenn sie mit ungeraden und somit der Geraden Funktion multiplizieren kommt in eine ungerade Funktion raus am besten kann man sich's wieder mit dem alten mit der alten Erträge machen gerade Funktion fressen minus auf ungerade spucken sie aus was passiert wenn Sie hier statt dem X minus X einsetzen dann frisst der Cosinus weil gerade ist ein Minuszeichen auf die Funktion f von x will sie ungerade ist spuckt es aus also in Summe spuckt das ganze Ding ein minus Ausnahme Lösung so also das ist gerade Funktionen und damit er folgt eigentlich sofort dass das am 0 ist weil was ist das das AMS besoffen eines sich Pi 10. gar von 0 bis 2 p f von x x Kosinus von MX also über diese ungerade Funktion seit ich ihm gesagt wenn Sie mir die ganze Periode indigenes wurscht wo sie die anfangen also das ist das gleiche wie einst durch P integral von minus P I bis P Herr von x Kosinus von XTX und jetzt kann man hier noch lange hin und her substituieren
aber ich hoffe dass Ihnen ein Bild reicht wenn sie ungerade Funktion haben und integrieren von minus bis P also symmetrisch zum Ursprung dann ist das immer nur der also was man rauskriege ist wenn sie eine ungerade Funktion haben dann sind alle am 0 und das führt immer auf der reine Sinus Reihe das ist gut zu wissen weil es die Hälfte des Arbeitsaufwandes Sparverein die Aufgabe ist berechnen Sie die Folie Gewinnzielen von einer Funktion und dann die sehen der Funktion außerdem rund sofort an dass die gerade ist oder ob es gerade ist dann kann sich die Hälfte der Arbeit sparen weil die 1 7 9 0 fertig genauso umgekehrt wenn sie wissen dass ihre Funktion gerade ist dann drängte sie
muss kein Wald hat bei dass sie muss keinen Beitrag also wenn sie mit 2 T periodische gerade Funktion haben dann geht das gleiche mit der Funktion f von x mal Sinus von X was
ist mit der es ist gerade das heißt wenn Sie da jetzt mit statt X minus X schreiben ist es sehr minus auf der Sinus spuckt 1 aus also in Summe wird 1 ausgespuckt das Dennis und Grade und dann geht wieder das wenn Sie das über der volle Periode integrieren das dann nur was kommt also kriegt man hier B gleich 0 für alle im größer gleich 1 das heißt in dem Fall kommen
sie auf eine so genannte reine Cosinus Reihe es gibt nur Cosinus Therme wobei in dem Fall dieser Term an 0 halbe vorne dieser Konstante zerren erzählt auch also große Muster der sozusagen kopfüber an oder einem Marco sinnlos von 0 x das alles
Hilfsmittel zum berechnen sie können sich also in in den Fällen wo Sie sehen dass die Funktion gerade oder ungerade ist diese werden gleich die Hälfte der Arbeit sparen und müssen jeweils nur die ein oder nur die WM ausreicht vor die große Frage noch offen ist oder nur der Bierchen beantwortet ja Banken wie kann ich denn nun sichergehen dass meine vorige was mit meiner Funktion zu tun hat 1 konvergiert die vorher Reihe 1 konvergiert sie gegen die will ich jetzt noch klären und dazu will ich eine Voraussetzung 1 11 einführen unter der
alles gut geht also ich erkläre Ihnen jetzt welche Funktion f die Idee mit der Fury Ray gut geht und ja schon gesehen dass können relativ milde Funktion seines werden wollen diese 1 minus 1 Stufen Funktion die ist auf jeden Fall dabei und solche die Funktion die ich jetzt betrachten wir nennt man stückweise glatt 3. also eine Funktion f ist stückweise glatt diesen Begriff muss ich jetzt definieren der sagt so natürlich erstmal mal nix stückweise glatten stückweise Glatzen im
Wesentlichen ja es kommt so waren sie zählen 2 oder 6 oder sonstige Bedingungen ich versuchs mal als 2 zu verkaufen bitte und zwar der 1. sagt Sie was stückweise glatt sagt und die zweite Bedingung sagt wie die Stücke zusammenkleben stückweise glatte ist sprechen gemeint was damit gemeint ist die Funktion das ist im Prinzip klar aber eben nur auf Stückchen also Sie können Ihre in der Intervall in Teilen Verhalten auf jeden Fall ist es gut und dann gibt es aber Problem Stellen an denen eben die Stücke Zusammenstoß so das heißt im Prinzip muss das sein dass 11 sein stetig differenzierbar also einmal differenzierbar und die Ableitung selbst wieder stetig aber es darf Ausnahme Punkte geben okay das darf eine Menge eine Menge von Ausnahmen period geben wird die Frage wie viele und das dürfen sogar unendlich viele sein müssen es auch sein weil die Funktion einer sollen der Periode seiner das heißt mit ihren wurde Strom Stelle hat dann hat sie natürlich sofort unendlich viele Sprung stellen weil wiederholt sich ja in jeder Periode also es darf dürfen unendlich viele Problemstellen sein also es gibt eine Menge x 1 x 2 x 3 und so weiter die das unendlich lang sein aber es gibt eine wichtige Einschränkung diese Probleme stellen dürfen das Klumpen also mathematische ausgedrückt diese Menge darf keine Häufung es period habe aber es war dann eine Häufung es period da müssen Sie sich zurück erinnern an die Debatte über Stetigkeit da die definiert was Reibungspunkt ist neues Instrument dessen period also also von dieser Menge ist ein Punkt den Sie mit einer Folgen dieser Menge beliebig gut approximieren kann also der klassische Bild für neue Songs period wäre jede Menge sieht so
aus also die Menge der Problem stellen hat eine Stelle auf diese so zukleistert ja unendlich viele Punkte beliebig nah dran liegen das ist warum das völlig okay ist wenn das x 1 x 2 x 3 wenn das die Stelle 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Bube Dame König As sind dann ist gut der die am Kanal sind aber so ist verboten also es muss ne Menge sein die keine Häufung period besetzt und dann an den darf die Funktion
erst mal wie ich machen was sie will und über sonst muss ich stetig differenzierbar sein und jetzt kommt noch und zweitens sie darf an diesem Problem stellen an diesen x 1 bis x x 2 1 1 6. x 3 tatsächlich nicht
billig machen was sie will sie darf das Springen sie darf dann nicht differenzierbar sein alles ok aber sie muss von links und rechts Limetten haben sie muss von links und rechts Grenzwerte haben also für alle diese XJ also X 1 6 2 x 3 da oben müssen existieren die links und rechtsseitigen Grenzwerte X von oben GMX von rechts den XJR von X und der Limes X von unten gegen XJR von X und nicht nur die
sondern auch die von den Ableitungen ja also außerhalb dieser Punkte die vom zur stetig differenzierbar das heißt die Ableitung gibt es liberal aus in X 1 X 2 X 3 X 4 und so weiter und die muss den XJ nicht existieren aber der Grenzwert für X gegen XJ von der Ableitung der muss existiert und zwar von links und von rechts genehmigen müssen nicht übereinstimmen das ist nicht verlangt aber Sie müssen da sein müssen endlich jetzt Werte haben Sie müssen definiert sein so wenn sie das alles haben dann heißt die Funktion stückweise glatt das ist jetzt ein Monster von einer Definition und man kann sich nicht von der vorstellen deswegen weil ich Ihnen da jetzt noch 2 Grafen den von Funktion die stückweise glatt sind und von 2 Funktion ist nicht stückweise glatt sind also Beispiel 15 ein
Beispiel für eine stückweise glatte Funktion aber von schon gesehen nämlich unsere 1 minus 1 Funktion ja also das jetzt beliebig lange nach links und rechts ist ehrlich ausgegeben die ist stückweise glatt weil bis auf endlich viele Stellen nämlich genau die Strom stellen also die Probleme stellt x 1 x 2 x 3 und so weiter sind hier natürlich genau diese Dinge aber diese stellen hier sind die die auch da da und da und so weiter dass die Probleme stellen das unendlich viel aber das darf die häufen sich nicht mehr die sind immer gleich weit von Edeka neue Songs period und zwischen dem Problemstelle SLI-Funktion wunderbar stetig differenzierbar dass sie mich immer konstant und dementsprechend existieren wann immer sie von links oder rechts ein Sonderproblem Stelle kommen die Grenzwerte von links und rechts und zwar von der Funktion genau wie von ableiten wer die Ableitung von der Funktion über 0 außerdem in den Sprung stellen existiert nicht also dies stückweise glatt das heißt unser Beispiel von vorhin wurde vor ihrer ausgerechnet haben erfüllt diese Voraussetzung aber gut ja man schon gesehen habe ich in ein anderes Beispiel hin Nonne stückweise glatte Funktion also das sind die Beispiele für stückweise Pleitier also zum Beispiel so was wäre auch stückweise glatt bei die sind überhaupt nicht glatt da also im Sinne also der ganz viele Ecken aber ich habe ich gesagt dass sie glatt sein soll so unsere stückweise glatt sein und stückweise glatt ist sie wunderbar wissen die stückweise linear und auch hier wieder wesentlich im nicht differenzierbar auf ganz er weil es die Probleme stellen hier und hier und hier und hier und hier und da und da an den sie nicht differenzierbar ist aber das macht nix wissen wir unendlich viele aber die haben keine Häufung period und über Überreiter zwischen ist die wunderbar sie stetig differenzierbar und alle Grenzwerte links und rechts Ex ist also stückweise glatt
also 2 Beispiele für nicht stückweise glatt morgens ich nehme auch wieder periodische Funktionen werden war endlich vielen Problem stellen die sich nicht häufen also damit können Sie es natürlich zerstören sie nehmen eine wo sich die Probleme häufen ich bleibe dabei den periodischen Funktion war nur die interessieren uns er da könnten sich zum Weibe sowas ihnen Tangens vorstellen mehr Thomas der erfüllt die 1. Bedingung von stückweise glatt wunderbar über 3 bis auf einer gewissen Menge von Problemstellen ist er dich differenzierender sogar beliebig oft differenzierbar die Sänfte Problemstellen haben kann morgens period sind schön Discreet über die relaxte gleichmäßig verteilt trotzdem ist es den ich stückweise glatt war die zweite Bedingung nicht erfüllt ist die Grenzwerte von links und rechts wenn sie die Problemstellen kommen existiert nicht ja ja das ist nett das ist wirklich nicht schreckliche funktionsfähig auch so und die der Ableitung wollen so recht ist erst recht nicht also die ist nicht stückweise glatt auch wenn sie so erstmal aus dass wir sie stückweise mit Ladefunktion aber bitte dem ich diese für Edition passt nicht die ja also so war letztes Beispiel auch nicht stückweise glatt sie wenn sie so der Wurzel 1. zusammenkleben in der ja also man auch unendlich nach links und rechts ausgedehnt ist es auch nicht stückweise glatten das ist zwar auch wieder so das sehe eine gewisse Menge von Problemstellen haben an den die Funktion nicht billig differenzierbar ist es wenn noch kein Problem die Problemstellen häufen sich auch nicht in dem Fall existieren sogar die Mieten der Funktion von links und rechts an jeder Problemstelle und es existiert auch der Grenzwerte Ableitung von links aber der Grenzwerte Abmeldung von rechts existiert nicht wenn man sie mit der von rechts komme mit der Ableitung wird die beliebig große der Welt ist groß und das alles was hier das Problem ist ist dass der Grenzwert also der
Grenzwert von mit X von oben gegen die Problemstelle von der Ableitung von X der existiert nicht der ist unendlich groß deswegen ist sie auch nicht stückweise glatt ja warum sind jetzt kostet stückweise glatte
Funktion so wichtig die Antwort ist das was Sie unter 5 11 verlängert das Konvergenztheorie oder ein mögliches Konvergenztheorie florieren ihren das ist es ist nur eines von vielen also ich mache hier gerade sozusagen die Anfangsgründe von vorher eine bevor hier einen kann sie nicht zweisemestrige Vorlesung machen zwar kein Problem sind vierstündige Vorlesung über 2 Semester machen uns immer nicht alles erzählt er das geht oder der andere von Konvergenzkriterien und und und und Sichtweisen die Sache anzugucken pro ihr einen wird spannend aber das ist sozusagen das gebräuchlichste Theorien mit dem sie am häufigsten zu tun kriegen werden wenn sie damit zu tun kriegen und das möcht ich ihn hier vorstellen und das arbeitet er mit stückweise glatten Funktion also wenn Sie der Funktion erfahren 2 die periodische und stückweise glatt dann geht alles gut also wenn ihre Funktion stückweise glatt ist dann können wir die Frage vorhin gestellte Frage was hat hat die Fourierreihe jetzt was mit 11 zu tun mit einem ja zu 9 90 Prozent Ja beantworten er zumindest ist dann auf jeden Fall garantiert dass die Folie Reihe immer die zugehörige vor Reihe immer konvergiert das ist ja schon mal beeindruckend ja häufiger gesehen so rein zu nachzuweisen dass sie konvergieren ist zum Teil ein riesiges Unterfangen und wir kriegen einen perfekten Konvergenz Satz wenn ich der zwar die periodische stückweise glatte Funktion die Folie an Reihe dazu anschaut dann konvergiert die für alle x aus er nein das ist schon mal schwer ja also wir wollen die schreibe ich es auch also Dschamaa meinen damit dass den vollständig ist was ist die in dem Fall
ich notiere das mal mit F F von X also die geben 11. 1 F die vorher Reihe von 11 die es haben wird ich die sogar gerade noch da drüben die ist 0 halbe plus zumal n gleich 1 bis unendlich A N mal Cosinus NIX plus mal Sinus NX wobei A 1 und B gegen die Folie Koeffizienten sind also mit das ist jetzt dieses die dient auch der Zusammenfassung dessen was auf den 4 Seiten der Vorstädte also das einen kriegen Sie als 1 durch P integral von 0 bis 2 p f von x Cosinus NX DX und das PIN wenn Sie als 1 durch das ist cool werden sind selten passiert es besonders peinlich dort er wurde der war also das B entsteht auch da integral von 0 bis 2 p F von x was NX der Ex also auf die Weise steht noch mal
alles gebündelt da was Sie da drüben haben also die vor ihrer ist so gegeben und das sind die Koeffizienten wenn sie 11 haben können Sie die im Prinzip ausrechnen wenn das 11 stückweise glatt ist ist das immer eine comma der 3 und es ist nur die Frage ging was konvergiert Sie denn
und die Antwort ist im Prinzip ging es aber nur Sofas und ich leide sie ein schauen uns noch mal an was bei uns am Beispiel von vorhin
passiert ja was passiert also
wogegen konvergieren diese vor einen Augen Anschein davor die Funktion konstant ein minus 1 ist da scheinen sie sich sehr die blaue Kurve langsam der Funktion anzunähern an Problemen gibt es natürlich einen Stellen wo Funktion springt das erste vorige Reisende auch schwer sich zu entscheiden wohin sind konvergieren soll also zum Beispiel bestelle soll sie jetzt an der Stelle Pi gegen 1 konvergieren oder gegen minus 1 oder gegen was dazwischen oder was auch das ganz natürlich sagen ja das sehen Sie eine Funktion die Funktion f an der Stelle P Foristen zugeparkt in des IS hatten immer rechts also wir mögen das als die Funktion nach der Definition so 1 ja ist es immer rechts abgeschlossen links offen also alte diverse über sie 1 dann sollte die Folie gefälligst 1 von der gehen wenn Sie sich die vorher Konzerten angucken sehen sie dass da integriert wird von 0 bis 2 p wenn Sie die Funktion umdefinieren an der Stelle P definieren Sie minus 1 statt 1 ändert sich alle die gerade mal gerade gar nix bei einem integral ist ist völlig wurscht wenn sie ein period ein period meinem integral ist wenig da das heißt auch wenn Sie die Funktion anders definieren dass sie an der Stelle Pi minus 1 ist komme genau die gleichen vor ihrer heraus das heißt so funktioniert es nicht und wenn sie mal anschauen was diese Sinusfunktion machen stellen sie fest an der Stelle P sind die alle 0 das ist ja logisch ich meine Sinti einsetzen diese Fourierreihe dann steht da sie nur von einem Genosse den P 7 0 oder gehen Sie endlich auf 0 auf das würde man auch 0 das heißt an der Stelle was die Furie macht sie weiß nicht so recht was soll sie denn jetzt werden einzelne minus 1 und sie ist ganz auf Ausgleich bedachten entscheidet sich nur für den Mittelwert also die Folie Reihe konvergiert im Prinzip gegen 11 außer an Stellen an denen das F springt und an den stellen das F springt nimmt sie den Mittelwert von den beiden Ex werden links und rechts und hält sich aus dem Streit raus das ist das was sie vorher gemacht entzerren sie das Schreiben es aber auf kommen denn doch
sehr also also sie konvergiert immer und sie konvergiert gegen war es wie gesagt im Prinzip gegen 11 außer an den Stellen wo das entspringt also die vorher Reihe von 11 an der Stelle x ist im Prinzip F von X falls das stetig ist NIX von an
den Stellen wo das öffentlich tätig ist dann ist die der Werte vorige Reihe nicht der Funktionswert sondern der Mittelwert des links und rechtsseitigen Grenzwert und weil die Funktion stückweise glattes existiert der links und rechts Seite die Grenzwerte also die Seite die vorher Konvent der geht dann in den Mittelwert aus den Grenzwert von links und den Grenzwert von rechts falls F und stetig X im Prinzip könnte man wenn man Studenten erschrecken spielen will auch hinschreiben sie konvergiert immer gegen diesen Mittelwert wenn dann sagt jeder wisse was ist das denn er bei den Stellen wo X tätig ist ist der linksseitige Grenzwert leichten rechtsseitigen Grenzwert gleicht dem Funktionswert also an der Stelle muss tätig ist ist diese Sie diese beliebigen gleich und beide gleich den Funktionswert entsteht also halt mal Funktionswert muss Funktionswert steht von Ex er hat also im Prinzip transportiert das genau die gleiche Information nur gut versteckt ich denke so ist klar also die Funds die vorige Reihe konvergiert über da wurde vom von stetig ist wenn wichtige Funktion und da muss es nicht ist nimmt sie den Mittelwert des links und rechtsseitigen Grenzwert also unser Beispiel von gerade eben sie konvergiert über gegen die Funktion nur einen Sprung stellen den Mittelwert und der Mittelwert von 1 zu minus 1 ist eben nur soll das ist das große Theorien zum Thema Konvergenz von vorhin ein wann immer sie was haben musste weil sie glatt ist Konsistorium Fourierreihe darstellen und die Reihe konvergiert gegen 11 überall da wo die Funktion f tätig ist so
ich mir noch ein weiteres Beispiel anschließen in dem wir noch mal die Effekte und mit dem ich noch ein altes Versprechen einlösen will also noch eine spezielle Funktion 2 die periodischen stückweise glatt von einer nehmen Sie die Perle die 2 die periodische Funktion für die gilt das f von x gleich x Quadrat ist für Betrag X kleiner als was meine ich damit also ist die
Funken die reellen Achse minus PIP 2 P minus 2 P und so weiter wie es auch 3 nur jetzt nehmen Sie sich die Normalparabel die Funktion X Quadrat zwischen minus POP ja das ist die Funktion f Quadrat für Betrag X kleiner P und die setzen sie 2 pi Periode fort also da kommt einfach noch mal die gleiche Funktion den dran und noch mal und ja auch und so weiter und so fort her also sollen zum Parabeln Parabel Eierkarton oder was also unendlich auf die Parabel dem dann der gesetzt und dann rennen sie davon
weil die vorige weiter aus das ist ein sinnvolles Unterfangen weil die Funktion ist wunderbar stückweise glatt also die hat natürlich diesen komischen spitzen Ecken darum aber deutlich gesagt es platzen sie stückweise klappt nur wenn sie einen stillen minus 2 Termine minus spielen oder so viel das 3 T minus P P 3 P und so weiter in Stücke teilen sie dazwischen sogar beliebig oft differenzierbar alle Limetten links und rechts existieren alles ist stellt die stückweise Glad die sogar an einen Mix aus er stetig dabei die Anschlüsse passen ja für stetige Funktion das heißt wir die vorige Reihe von der haben wird sie für alle x was er konvergieren und sie wird für alle x aus er die Funktion kommen also die Folie Reihe stellt für alle x was er genau diese Funktion dar wir sofern sie nur ausrechnen und da wir jetzt gleich angesichts der Zeit etwas kneifen ich Fahrrad nicht ich begründe ihnen die Hälfte von den vorhin Konzerten und die andere Hälfte der sich indes Übung die Hälfte ist nehme ich einfach mal dass Sie gerade Funktion ist DS Achsen symmetrisch zur y Axel das heißt gerade und dann vor gesehen mir gerade Funktion haben dann sind alle Sinusfunktion weg dann sind alle DM 0 sie kriegen eine Cosinus Reihe dann des PIN gleich 0 für alle größer gleich ist zur und was ich Ihnen jetzt überlasse ist die am ausreichen das ist in der engen Runde vor partielle Integration aber das geht und was dann rauskommt als vorher 3 ist Pi Quadrat 3. das ist das plus 4 Mal also das 0 ist 2. Quadrat 3. plus 4 Mal der 3 K gleich 1 bis unendlich minus 1 hoch mal Kosinus von Karics gezeitigt K X aus ab also das ist die vorige Reihe von also was ist das keine den Fall das AKH ist viermal minus 1 hochgradig kalt Kontraste man diese wenn das in die gerade ausrechnet also dieses Funktion f dann nimmt im Prinzip muss man in die integral Quadratmer Cosinus MX ausreicht es ist zwar partiell integriert X Quadrat ist nervig aber es geht und dann kommt diese vor ihrer heraus und das wir jetzt eben wissen ist unsere Funktion ist ich stückweise Glad 1. stückweise glatt und stetig also ist das Ding hier gleich F von X für alle x aus er denn daraus kann ich jetzt damit kann ich jetzt ein uraltes Versprechen einlösen von dem man überhaupt nicht erwartet dass es jetzt kommt und man immer Folgendes sie wissen diese Gleichheit zwischen Sarai und dem F gilt für alle x aus er also immer ganz schmal Spezialist gleich die damit könne noch andere Sachen einsetzen führt auch zu was aber das wo ich es gerade wenn wir 6 steckt was passiert wenn sich's B setzen dann wissen Sie was er von X
ist also was er von Text war zwischen minus spielen P die Funktion X Quadrat also er von PSG Quadrat vom ist die Quad aber andererseits ist er von Pi natürlich auch die Reihe an der Stelle Pi also das ist die Quadratur kann plus 4 Mal so mehr K gleich 1 bis unendlich minus 1 Hochkar Kosinus von KP durch K Quadrat sorge Kosovos von Chappi das aber schon zweimal diskutiert was passiert wenn sie großes von Chappi anschauen das kommt drauf an ob K gerade oder ungerade ist in einen Graben K haben sind gerade wie war das von P in große Lust da kommt 1 raus und den ungeraden K kommt minus 1 raus also diese großen Erfolg hat vieles wieder wie das 1 5 K
also steht hier Pi Quadrat 3. plus 4 Mal Summe K gleich 1 bis unendlich minus 1 sucht X minus 1 sucht Karmann einen Stichtag wird vor
diesem ganzen minus 1 kam bei minus 1 K Schlobohm den können sie jetzt getrost weglassen weil was ist das das ist minus 1 hoch 2 K es ist mir das einfach was gerade es das ist 1 also steht hier die Quadrat Drittel plus 4 Mal somit kann gleich 1 bis unendlich über 1 durch K Quadrat das Lehmann gesehen was jetzt kommen so und
ich weiß nicht erinnern Sie sich noch anders oder ähnliches und intuitiv da tauchte auf einer Folie dieses Ding auf und ich hatte so als Knalleffekt gesagt das ist eine Kollegen der Reihe und der Rhein wird ist die Quadrant 6. und wo kommt bitte schön das Tier das Waigels mal das auf das kann man jetzt auflösen auf diese blöden Reihe was steht denn da bringen Sie mal dass die Konrad Drittel auf die andere
Seite dann kriegen 2 Drittel P Quadrat es gleich viermal diese Reihe K gleich 1 bis unendlich Einstig K Quadrat noch durch 4 und dann kriegen Sie raus die Reihe von Karl gleich 1 diesen endlich über Einstig K Quadrat erst 2 durch 12 zum sechsten B Quadrat Text da kommt das B und das ist mein ist jetzt können Sie sagen wann aber echt viel gearbeitet also wenn jetzt 3 Kapitel lang Integration eingeführt 2 Vorlesungen bevor wir einen und debattiert und den ganzen in denen der Konvergenz Satz habe ich endlich mal gewesen und dann aber noch nicht Fourierreihe ausgerechnet ich endlich mal ausgerechnet habe weil ich den gilt gekniffen hat sondern sie nur angegeben und dann kommt am Schluss dieser mickrige rein der raus ja aber es ist die schnellste Methode die ich kenne meine auszurichten ja also da sehen Sie wie eklig rein werde sein kann das ist die 1 es gibt viele Methoden dieser eine ausreichende so berühmter aber war mal für mich die einzige die man über Mathe 1 in der letzten Vorlesung kurz vor Ende noch so gerade mit mit hängender Zunge schaffen kann gut damit habe ich also dieses alte dieses alte Versprechen eingelöst ich hätte noch 2 Schlussbemerkung die jetzt etwas zeitlich hinten runterfallen ich hatte ihn am Anfang gesagt fernsehen dass wir nur 2 die periodische Funktion anschauen weil er man alles ob sie drücke substituieren kann auch 2 sibirischen Funktion das ist natürlich mühsam in jedem Einzelfall macht es es viel sinnvoller sich einmal die Formel für die vorkommerzielle mehr zu sehen und die allgemeinen durch zu transformieren und dann kommt man auf der Formel für für vorher Koeffizienten von
beliebigen L periodischen Funktionen die wollt ich in einige hinschreiben damit Sie die wenn irgendwann mal brauchen griffbereit haben schlimmsten Fall müsse so sehr nachschauen im Winter ferner Wikipedia oder sonst wo also die schwarzen noch schnell hin also da jetzt mehr L periodische Funktion der dann können Sie mir die vorige Reihe die können Sie die vorige Reihe auch für L periodische funktionieren schreiben dann müssen Sie allerdings die Periode auch natürlich von Sinus und
Cosinus anpassen also die Fourierreihe von 11 hat dann die Form immer noch an 0 Heide der ändert sich nix Summe n gleich 1 bis unendlich Cosimos und jetzt kommt nicht NX sondern in um mega X das und aber bisher immer 1 er war sie noch aus selbst ein zurück welches die andere das wird Tiere schon länger nicht mehr
Gebrauch mit sehr gut gut das war dann wohl das
Ende falsch geknipst hier statt
ja sehr gut also B mal
aus N O mega X und das so mega bis 2 I durch allen also er jetzt die Frequenzen sehen sie bisher war trat er jetzt die Periode bisher war die Periode L die Periode 2 p war das auch gar 1 dieses Amiga hat auch eine anschauliche Bedeutung ist die Frequenz also zumindest Elektrotechniker fände das ist anschaulich und die A 1 und B R berechnen sich danach folgenden Formeln 2 durch die Periodenlänge bisher Valderejo Länge 2
pi deswegen war es das einzig Pi 2 durch L integrale 1 eine Periode Länge von 0 bis L f von x mal dieser Kosinus von N um Nigger X der Index verenden aus dem natürlichen Zahlen mitsamt 0 und das E N bis
2 durch L integral von 0 bis Ende mehr F von X Sinus von allen Amiga X der X Fällen aus also auch hier die gleiche Struktur sie kriegen die Koeffizienten indem sie die Funktionen wie in der Woche hier Entwicklung hinter dem Koeffizienten stehen mit dem F multiplizieren auf so der Sinn des ja die Formeln für die allgemeine vorige Reihe wenn Sie jetzt noch weiter mit dem Zeug zu tun haben kommen in vielleicht Leute und haben ihn doch die komplexe Form der Fourierreihe auch die gibt es die leidet man aus der Art in den man Kurse nur indem man ihr auch I X ist kostenlos X plus wie sie X verwendet spare ich Ihnen jetzt ich sage es gibt noch ich ewig ewig weiter die Anfangsgründe der Fourierreihen haben sie aber ich den wenn sie irgendwo auf die stoßen sollte und es kommt was was sie noch nicht gesehen haben müssten sie mit dem Rüstzeug weil sich eben nicht gegeben habe er der erklären können wichtig bei den Dingern ist die Idee sie eine komplizierte periodische Funktion und zerlegen sind einfache Schwingungen Cosinus und gut dann bin ich an der Stelle am Ende dieses Abschnitts am Ende der ganzen hatte einst Vorlesung ich wünsche Ihnen jetzt schöne Semesterferien auch wenngleich weist die ganzen Klausuren liegen an einer bin ich auch schon ich wünsche Ihnen Fahrer noch für die Klausur viel Erfolg und ich denke wir sehen uns dann in Mathe 2 wieder ab April bis dahin eine schöne Zeit vielen Dank für Ihre hier insbesondere alle die jetzt noch hier sitzen für ihr eifriges kommen für die Aufmerksamkeit und ganze Semester und heute und dann
Quelle <Physik>
Faktorisierung
Länge
Gewichtete Summe
Punkt
Momentenproblem
Summand
Natürliche Zahl
t-Test
Berechnung
Mathematik
Gradient
Monster-Gruppe
Index
Sechs
Spezielle Funktion
Periodische Funktion
Homogenes Polynom
Schwebung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Verschlingung
Physikalischer Effekt
Reihe
Fläche
Stetige Funktion
Gleitendes Mittel
Frequenz
Zahl
Fourier-Entwicklung
Null
Sinusfunktion
Konstante
Summe
Polynom
Stammfunktion
GERT
Betrag <Mathematik>
Menge
Rechenbuch
Periodenlänge
Koeffizient
Mathematiker
Schwebung
Mathematische Größe
Folge <Mathematik>
Glatte Funktion
Invertierbare Matrix
Klasse <Mathematik>
Term
Physikalische Theorie
Überlagerung <Mathematik>
Linie
Quadrat
Formfaktor
Ende <Graphentheorie>
Stetigkeit
Mittelwert
Glattheit <Mathematik>
Schwingung
Trigonometrisches Polynom
Kerndarstellung
American Mathematical Society
Neun
Kosinusfunktion
Kurve
Fehlerkorrekturmodell
Gleichung
Integral
Unendlichkeit
Lösung <Mathematik>
Partielle Integration
Rundung
Orthogonalität
Fourier-Entwicklung
Integration <Mathematik>
Ecke
Grenzwertberechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Fortsetzung Fourier-Reihen
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 29
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35632
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Ähnliche Filme

Loading...
Feedback