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Extrema und L’Hôpital

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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass es verlängert werden an der TU-Darmstadt K noch
mal die 11 organisatorische Erinnerungen nächsten Dienstag wie gesagt dass der Witz zu Hörsaal belegt also noch mal die Erinnerung so nächsten Dienstag in Elektrotechnik Gebäude S 3 0 6 0 51 und das zweite organisatorische auch nur Erinnerungsmail sich nächste Woche ist die sogenannte Probeklausur allen das heißt ja wir dank es gibt der jetzt in nächsten Tagen darauf wartet dass endlich das neue Übungsblatt hochgeladen wird wertet vergebens weil es wird keines kommen sondern das nächste Übungsblatt kommt in Form dieser Probeklausur das bringen die Tutoren und Tutoren dann an nächste Woche in die Übung mit ja also die bei der Klausur auch Deep drucken Sie sich auch nicht vor aus und bringen sie mit der Glasur sondern kriegen Sie im Hörsaal er und das ist sozusagen das Angebot das wir Klausur spielen und sie in der Übung einigermaßen den Perso Bewegung diese Klausur schreiben auch einzusehen wieso so aussieht wir werden die Klausur wird ich kann auch gern spaßeshalber mal dafür Ende Notenskala anfertigen das jeder mal sieht ist gerade so steht er frustrieren sie sich mit der den ich ist immer klar diese Probeklausur fällt immer schlechter aus als in Klausur war natürlich direkt aus dem laufenden Betrieb raus ohne richtig Zeit sich darauf vorzubereiten alles ganz anders aus und wir normalisieren dann die Punkte der Klausur so die Punkte eingehen den Bonus genauso als wärst die Ausübung von letzter Woche dieser nicht gab oder der und dieser Woche dieser nicht gibt sie kriegen außerdem dann nächste Woche in der Übung ein Übungszeit wenn was nach Übung besteht der dann in die Lücke füllt die durch die Probeklausur gerissen wurde genau das ist das Vorgehen nächste Woche gut gibt es dazu noch fragen ok auch gut das ist nicht der Fall dann danke ich noch mal ein austeilen und einsammeln und austeilenden in den die mal langsam in die Mathematik zurück und den wir anknüpfen beim Newtons erfahren dass sich ergibt der gestern der letzten Vorlesung am Schluss noch ein angerissen hat wobei ich ihn eigentlich damals alles Wesentliche schon erzählt habe was ich Ihnen noch mal zeigen will ist ein Beispiel das einmal sieht das das also dass man nachvollziehen kann dass es wirklich funktioniert und darüber lässt sich natürlich auch noch mal gut wiederholen was das Juden Verfahren war also ein Beispiel zum Yukon Verfahren ich hatte ihnen gesagt dass wir unser Fahrer diesen numerisches Näherungsverfahren für Nullstellen von Funktionen und Nullstellen von Funktionen heißt sie können also es Näherungsverfahren in die Gleichungen zu lösen meine beißt die Gleichung die ich lösen will ist ich suche die reelle Zahl x den sogenannten Fixpunkt Kosinus also die reelle Zahl x für die X gleich Kosinus von Text einige von ihnen kennen die Zahl alle Spiele Kinder auf jeden Fall ja ich bin sicher viele von Ihnen das schon mal gemacht mit dem Taschenrechner zieht er bezahle ein und drückt 33 Mal auf große Lust und dabei stellt man fest am Schluss konnte man das gleiche aus egal mit was man muss gelaufen ist wir die Zahl diese Zahl die sie da kriegen Sie nur auf großem ausdrücken ist die Zahl für die X gleich Cosinus X ist er weil das X was rauskommt ist die gleiche der großen aus werden und die will ich jetzt näherungsweise bestimmen eine Methode kennen sich schon eine Methode das den näherungsweise bestimmen weiter auf Cosinus drin zwar normale sondern wir und Verfahren der das habe ich gesagt dass die und Verfahren ist eine Methode um Nullstellen zu bestimmen also müssen uns das ihnen durch den Problem umschreiben also wie mache ich daraus nur Nullstellen Problem wir stehen Problem ist von der Sorte F von X gleich 0 was ist hier die Funktion zum Beispiel X minus Cosinus X die Nullstelle dieser Funktion nächsten des Kosinus von X ist genau die gesuchte Lösung gut also müsste man auf die Funktion hier das nur Verfahren anwenden damit man
sehen kann und das auch gut funktioniert erst jetzt schön zu wissen dass ungefähr rauskommen aus Bernhard hat jemand mir gerade nicht geglaubt ausprobiert hat jemals ein Taschenrechner ausgezogen und Couscous Couscous Couscous groß gedrückt nein also dann machen sie müsste man sagen was rauskommen aus also was ist der exakte werden solange Cosby sich nichts mehr ändern auf habe nein das ist schwierig ja gut ich habe sonst Fall als bergab hier auch dabei gut also gut wird es dass mein Taschenrechner mir gesagt hat 0 comma decimal 7 3 9 0 8 5 1 3 3 Als können sich immer auf für 2 1 5 und so weiter das ist das ist mir irrationale Zahl das denn also das würde mich auch da das ist der Yale wert wenn sie es versuchen kann sein dass irgendwas mit 0 comma decimal 9 rauskriegen ja wir schon gedacht das sind die der Taschenrechner immer und ich hoffe Radiant umgestellt haben nein wenn Sie den hatte vor diesem gehen immer gleich auf Bogenmaß und dann kommt auf 0 comma decimal 7 was raus wäre wenn man sie gerade rechnet kommt 0 comma decimal 9 irgendwas aus gut also dass war das sie und Verfahren
ziel und wir fahren ist eben ein er wieder hat dieses Verfahren und ich hatte letztes Mal gezeigt was man einig tut es mal mit dem Grafen der Funktion er setzt mit dem Startwert wird es jetzt an dieser Stelle nicht den Grafen der Funktion durch die Tangente und suchte Nullstelle dieser Tangente das ist dann der nächste der nächste Federations wert und das macht man so weiter an der Stelle wo die Tangente und so weiter und dass man wenn man das auflöst dann kriegt man die Form ist dann setzt man Schluss da die Vorschrift N plus 1 also der Entschluss 1. Näherungswert ist der Ente Näherungswert minus F von X N durch F Strich von X das ist das Wasser rauskriege der man diese Gleichung Tangente ist 0 auflöst also in dem Fall hier daher Netzen konkretes 11 nämlich X minus
Cosinus X also kriegen X N minus F von X NSX N minus Kosinus von X N und was ist er strich mir das ist nicht so schwer auszurechnen wenn sie X ableiten kriegen Sie 1 raus wenn Sie dem Kosinus ableiten kriegen sind minus 10 aus also das Windows Kosovos abgeleitet plus sehen aus Sie 1 plus Sinus von XL und das ist jetzt der Ration Vorschrift das können Sie Stadler nehmen
naheliegender Startwertes x 0 gleich 1 als diese period möglichst der Kursen des X muss natürlich zwischen minus 1 und 1 liegen weil Cosinus kann nur zwischen minus 1 und 1 liegen zwar mit x nur gleich 1 an was passiert dann was ist dann X
1 X 1 ist dann 1 minus siehe oben Kosinus von 1 durch 1 plus Sinus von 1 gut dann das kann man jetzt auswerten dann kriegt man mal als 1. Näherung 0 comma decimal 7 5 0 3 6 3 8 7 gut und jetzt geht immer so weiter Herr X 1 ist ein F Uhr ist dann x 2 stark x 1 minus X 1 minus Kosovo 6 als durch 1 plus 1 6 1 und wenn Sie das ausrechnen dann kriegen Sie 0 comma decimal 7 3 9 1 1 2 8 9 und dann
kommt der X 3 zum Beispiel 0 comma decimal 7 3 1 9 0 8 5 1 3 und wenn man jetzt mal vergleicht
oben und unten und male sich einmal wirklich den Stimmen der jeweils nur gut bei dem 1. geraten nix wirklich ein stimmt gar nichts der zweite hat immerhin schon mal das 0 comma decimal 7 richtig das X 2 hat 0 comma decimal 7 3 9 richtig und beim X 3 ist 0 comma decimal 7 3 9 0 8 5 1 3 von alles richtig also wenn Sie damit jetzt sind 6 Xfire diese Genauigkeit auf die 8 Nachkommastellen X-Fi ausrechnen 1 x vielleicht X 3 also natürlich irgendwann ab dem 19. denn L ist der ist anders aber den sie auf 8 Stellen runden sieht man schon gar nicht mehr dass sich was tut und Sie sehen dieses Verfahren konvergiert irrwitzig schnell wie gesagt die Faustregel ist alles gut geht haben Sie in jedem Schritt der Verdopplung der richtige Nachkommastellen hier so und besser 1 3 7 8 sogar wollen ja 1 3 8 also mehr als eine Verdopplung aber das was man erwarten kann dass Verdopplung der richtigen Nachkommastellen jeden Schritt und ist das toll Amnioten Verfahren dass man wirklich mit relativ wenig auf war mit wenigen Rechenschritten zu sehr guten Währung kommt seine Frage ein danke danke danke danke ja 1 minus und dann der Bruch ja x 0 bis 1 haben neben x 2 müssen Sie jetzt 1 x 2 ist x 2 s x 1 minus Kosinus von X 1 da war ne ich schreibe und runter sind steht hier also x
2 ist x 1 minus X 1 minus Kosinus von X 1 durch 1 plus minus 1 x 1 ich hoffe sie akzeptieren dass sich da X 1 stehen das ist es natürlich mit da wo es ein steht dieses 0 comma decimal 7 5 0 6 3 irgendwas eingeben ich das es enthalte also das ist der Gag also iterativen Verfahren Sie nehmen immer den vorherige Schätzwert setzen den einen kriegen damit noch ein besser gut also nun wir vergessen sehr
verbreitetes Verfahren wenn es darum geht nur stellte zu bestellen Sie blau natürlich die Finanzierbarkeit der Funktionen in der Formel steht F Strich drin wie auch letztes Mal schon gesagt es ist ein bisschen den er warf arbeite man aufpassen muss weil es eben nicht für beliebige Wahl des Startwerts konvergiert wenn der Startwert zu weit weg liegt oder doof liegt oder sie nur stille Dorf liegt dann kann sein dass es nicht konvergiert dann muss man in einer Stadt wählen und dann geht es besser das war mein 1. mein 1. Beitrag aus diesem Kapitel Anwendung der Differentialrechnung er jetzt kommt der nächste große Block und in dem geht um den sogenannten Mittelwert
Satz also definiert hier als Satz 3
3 Mittelwert Satz oft NWS abgekürzt weil er so oft auftaucht entspricht der Nummer 9 7 und damit eben auch es geht um differenzierbare Funktionen differenzierbare Funktionen auf einem Intervall Intervall wie und das 11. drauf mit differenzierbare Funktion beschreiben den Satz erst mal hin und dann sage ich kommen Sie wissen was der bedeutet und dann mein bisschen länger drüber was man alles aus diesen Satz für Honig saugen kann so dann aber noch 2 Zahlen a und b auch in die wobei kleiner ist als sammeln Intervall dass in diesen die drin liegt und dann sagt der Mittelwert Satz dann gibt es eine Zahl die wird jetzt dummerweise üblicherweise mit dem kleinen griechischen Buchstaben sie bezeichnet das insofern misslich weil das griechische zieht kleine Übung in dem Auto kann der Kalligraphie ist das richtig siehst ist ein bisschen gewöhnungsbedürftige Buchstabe das ist einer der Gründe warum dieser Satz immer so schrecklich ist aber ich setz mich ich allen gleich mich jetzt übliche Nomenklatur an also dann gibt ein Ziel aus dem Intervall AB also das wissen ja aber so ungefähr sieht aus ein aus dem Intervall
Arbil so nur heißt es gibt eine Zahl zwischen A und B R die dürfen Sie auch Elefanten in den es oder Blümchen mal beim Wasser ist heißt hat üblicherweise ziehe dann gibt und sie so dass Folgendes gilt die der Quotient S von B minus 11 von durch B minus bis gleich 11 Strich von Xing nur dass Sie sie noch viel aus ihren Star diese lässt diese Gleichheit wird oft noch anders hingeschrieben schreibe immer beides sind also gleich bedeutet trennt gleichbedeutend einfach nur das ging es aber
auch multipliziert er von des minus 11 von Ar SF strich Frank sehe mal B Minus und Sie sehen ja dass die beiden so dass Service ist einfach nur das Beben des Euro multipliziert manchmal kann man einfach die eine Form besser gebrauchen manchmal die ande- also es gebe ich Ihnen noch
einmal weil ich an sie sehen zum 1. Mal eine schöne Version vom C dann so sieht das aus das ganz alle das zieht auch deswegen so
gern oft auch weil das die griechische Version vom X ist der und wenn das X schon verbraten ist dann braucht man die Buchstaben des eine ähnliche Bedeutung hat und dann nimmt man gern XI gut das habe ich in der Satz hingeschrieben damit differenzierbare Funktion hat und 2 stellt aber gibt es und Sohn Xi so dass er das geht man kann jeder sagen dass sofort was soll das also lassen bisschen 1. sagen was bedeutet der Satz anschaulich und dann sehen wir hinterher was einbringt wenn man sich mal
anschaut was da steht dann kennen wir dieses Ding auf der linken Seite mittlerweile einig zu genüge er von den dass er von aber ich bin das ist was also begrenzen Quotient das ist Musikanten Steigung zwischen den Punkten A 11 und A und B 11 von die wir also wenn sie ihre Funktion mal ermittelt das goldene
hatten System sehr 10 irgendwo B und dann haben sie ihre Funktion f oder drin also ESX dass er von nix aber dann haben Sie hier wo von B und hier ist er von und dieser Quotient er Vorbild minus er von dadurch bin aber den Kennworten Differenzenquotienten anschaulich ist der die Steigerung von dieser sie kann mir er durch die Punkte A 11 und A und B 11 von B das ist dieser Quotient es sich dabei um diese sie kannten und was ist der Mittelwert sagt sagt ist wenn Sie 2 beliebige Punkte hier nehmen dann können Sie diese Karte bilden und es gibt dann immer zwischen A und B irgendwo auch einen eine Stelle in dieses berühmte XI so die Steigung an dieser Stelle genau die Steigung diese sie kannten ist andersrum gesehen das heißt sie können die sie kannte immer so nach oben oder unten schieben also Beibehaltung der Steigung nur verschieben so dass die irgendwo zwischen A und B die Tangente ist Sie dies Beispiel nehmen findet man sehr schnell 2 solche Stellen Xiros tot da zum Beispiel hier diese sie kannte wenn sie verschieben wird hier unten an dieser Stelle zur Tangenten dar also das wäre so ein mögliches Ziel dass das was der Satz sagt wenn Sie 2 Punkte A B haben können Sie die sie kannte bilden und dann gibt es immer zwischen an Stelle wo diese sie kannte verschoben die Tangente darstellt also für eine parallele Geraden gleicher Steigung die Tangente ist irgendwo zwischen über die Bild hier schon sieht sagt der Satz nicht das ist genau ein solches XI gibt in dem Fall gibt es mehrere gibt 2 solche war natürlich können Sie die gleichet kannte auch hier oben schieben und das würde Tangente also hier wäre auch ein mögliches Ziel sie können sie sozusagen soundso aussuchen der Mittelwert Satz sagt auch nur es gibt 1 auf kann 5 geben 1 geben kann 2 geben was der die Mittelwert Satz ausschließt ist dass es keines gibt es gibt immer 1 das ist die aus Art so das ist die geometrische Vorstellung dessen was in diesen Satz steht ich habe den Satz noch mal auf die Folie gemacht werde jetzt natürlich gleich aus Kroll guten Tag also der scheint der gleich noch mal und jetzt können sie immer noch
sagen gut das kann ich mir vielleicht bisschen was vorstelle was der Satz bedeutet aber was bringt der und dann sage ich ihm der bringt den ganz viel und das sammeln wir jetzt mal also 3 5 die Folgerungen da draußen er Gott ein wir haben also die Situation aus dem Mittelwert Satz F ist auf dem Intervall definiert nach er differenzierbar diesen Intervall und dann gibt es so ein
paar Überlegungen wie man es anstellen kann wurde Mitte der Zusatz ein weiterhilft 1. ist wenn Sie der besonders schöne Funktion haben nehmen wir Funktion deren Ableitung 0 ist auf dem ganzen Intervall also die Funktion hat die Lehrer Steigung 0 dann wäre ihre Vermutung wahrscheinlich dass das immer der konnte dass die Funktion dann konstant sein muss weil die kann sich ja nur schlecht drauf oder bewegen weil ich da nicht nur des die Vermutung ist in dem Fall auf mit der Wahl richtig aber warum antwort Mittelwert Satz also wenn der die Ableitung nun ist für alle x dann ist 11 konstant und woran liegt das dass liegt der Mittelwert Satz denn nehmen Sie sich irgendwelche Werte A und B aus dem hier dann sagt in der Mittelwert Satz es gibt diese zwischen ständig sie irgendwo zwischen A und B
für die geht es nämlich die zweite Version ist die untere Zeile er von Armin dass er von B ist F Strich an dieser Zwischenstände mal minus Bild ja aber es strich ist über 0 also ist das hier nur mal an Industrie also sprich neue was heißt dass er von denen dass er von ist 0 also ist er von B R von gleicher von B was wir gesehen haben ist für je 2 Punkte aus die mit der Wahl egal welches sie nehmen konnte gleich und sonst heraus als es die Funktion konstant haben ja aber nicht nur das
können aus dem Mittelwert Satz ziehen sondern wir können das dem Mittelwert Satz auch ziehen das die Ableitung er der Funktion etwas über ihre Monotonie Verhalten aussagt das ist Teil des
wenn sie wissen dass ihre Funktion positive Ableitung hat als er strich von X ist größer gleich 0 auf dem ganzen Intervall dann können Sie aus dem Mittelwert Satz ziehen dann ist 11 monoton wachsend ja auch keine ok auch eine Aussage die man glaubt nur wenn die Ableitung immer positiv ist dass die Steigung positiv dann ist das Ding wachsend das Gleiche funktioniert auch mit strengen wachsend also wenn Sie hier in sich trägt
größer 0 haben dann kriegen Sie hier anstrengen und das Gleiche funktioniert mit fallend also das ist halt sehe
wenn er Strich von X kleiner gleich 0 ist für alle x im Intervall dann ist 11 monoton fallend und auch hier wieder mit strikt also wenn sie den Strick kleiner 0 haben dann kriegen Sie hier in streng monoton vereint so auch da er habe die ich das liegt der Mittelwert Satz kann ich ihnen auch
zeigen was die dann eine Zeile was
müssen wir zeigen für Monotonie sie müssen sich 2 Punkte A und B aus dem Intervall in dem will kleiner B und jetzt eben zeigen dass den Akten des BSF von kleiner oder kleiner gleich eine größere Größe gleich er und BSI nachdem ob trennen wachsen wachsen fallend das streng fallen und die Argumentation dass in allen 4 Fällen gleich sie werfen den Mittelwert Satz drauf es geht jetzt wieder Sonne zwischen ständig XI zwischen A und B so dass die Differenz von 11 von A und F von B das selbe ist wie er strich von XI mal in das Spiel ist kleiner als b also diese aus droht hier ist auf jeden Fall negativ und von den gehen Sie das Vorzeichen Berater und jetzt bestimmt das Vorzeichen diese Ableitung hier das Vorzeichen der linken Seite als wenn diese Ableitung zum Beispiel auch negativ ist dann ist die rechte Seite strikt also strikt negatives lächelte strikt positiv dann wissen Sie F und A minus F und wie es größer als 0 mindestens 11 und als er größer als er vom W ja dann haben Sie eben strikt monoton strengerer Tonfall und so kann sieht alle Fälle durch deklinieren also das Vorzeichen der Ableitung bestimmt das Vorzeichen der Rechten und damit auf der linken Seite und daraus G ergeben sich sowohl B als 80 also müssen das Vorzeichen von 11 Strich von Phoenixsee das Vorzeichen der 1. Rechten und damit auch der linken Seite also insbesonders Vorzeichen von 11 von Armin dass er von B und je nachdem er von an dass er von
wie negativ oder positiv des IWF von Arcor sei von Biologen die Kälte abrupt so und daraus können wir jetzt eine schöne Folgerung ziehen und
das macht eine eine eine Aufgabe einfacher über die wir uns vom paar Wochen Unterhalt oder noch mal hier unterhalten haben wie sehen Sie eine Funktion an ob sie umkehrbar ist ob sie unter Funktion hat unser bisher bestes Kriterium dafür war sie brauchen strenge Monotonie also Sie müssen wissen dass die Funktion streng monoton wächst oder streng monoton fällt auf Intervall dann haben wir gesehen dann gibt es auf jeden Fall dunkler Funktion und diese strenge Monotonie können Sie sich jetzt eben aus der dem Vorzeichen der Ableitung besorgen heisere Folgerungen noch Folgerung aus der Folgerung man F Strich von X strikt größer als 0 ist auf dem mit der Wahl also für alle x aus dem Intervall II dann ist 11 auf dem Intervall I umkehrbar und das ist ein sehr angenehmes schnelles Kriterium um Umkehrbarkeit zu zeigen eine Ableitung ist schnell ausgerechnet wenn die Funktion nicht völlig absurd ist und da muss man nur nur noch schauen ob die Abmeldung positiv oder negativ ist 1 und dass man Hilfe braucht ist dieser Satz 3 1 12. war der Satz dass aus strikte monoton die Umkehrbarkeit folgt und streckte Monotonie kriegen wir eben es aus dem Vorzeichen der Ableitung auch hier geht es
genau analog mit kleiner also wenn Sie nicht Trick negative Ableitung haben dann ist natürlich auch die Funktion umkehrbar mehr schon das ist
ein Bereich der Dinge der schönen Folgerung aus Mittelwert Satz nur das ist ein also gemildert Satz liefert einen die Zusammenhänge zwischen der Ableitung und dem steigungsfreien der Funktion aber das ist nicht alles nur mit mir selbst können sie noch ganz viel anfangen und ich will nur noch ein anderes Thema an schneiden er und dass es der Mittelwert Satz ist ein wunderbares Mitte um Differenzen von Funktions- werden abzuschätzen im Griff zu halten zu kontrollieren meist sie sehen hier steht immer Differenzen von Funktions- Veränderungen Mittelwert Satz und ich will es an einem Beispiel machen ich behaupte für alle negativen Zahlen X und Y also für alle x und y kleiner gleich 0 gilt folgende Ungleichung nämlich dass er auch X minus E auch y also der Abstand von ihr urigste jedoch y nichts anderes ist dieser Betrag der Differenz der Betrag von des P 7 der Abstand von A und B also der Abstand von EU XTE auch y der ist allerhöchstens höchstens so groß wie der Abstand von XY und ich behaupte das ist egal welche XY zur sind negativ oder kleiner gleich 0 da geht immer diese unglaublich und das hat er den 1. Blick gar nicht Mittelwert Satz zu tun aber das ist
nicht und nur Satz wie sieht man das na ja nehmen Sie sich 2 zahl XY keine gleich 0 mehr dann geht es wieder und sie als Funktion f nehmen Sie die Funktion EU regster und dann sagt Ihnen der Mittelwert Satz also nach dem Mittelwert Satz existiert dann wieder Sonne zwischen ständig sie ich schreibe es mal vorsichtig zwischen X und Y weil im Moment nicht weiß ob ich's kleine y Rülpsern kleiner X ist also Ixis in das mit der Wahl XY aus damit der Ball y x da also ich sehe zwischen X und Y so das die diese die Differenz von ihr
auch X-Men dass er auch y ja das ist von nächsten dass er von an können Sie schreiben was er strich von ximal Extender besitzen an also war gleich F Strich von C X X minus y was ist in dem Fall 11 Strich von sie es ist Exponentialfunktion 1 F Strich auch die Exponentialfunktion also steht hier E-Books sie X X minus y so ein jetzt sieht es da
oben schon mal das was da haben schon mal ein bisschen dem ähnlich wohin wollen das wir noch die Beträge und Außenstelle diese Duplizierung von dem wir nicht wissen wo es liegt und was es ist nicht wissen wo es liegt stimmt nicht ganz wissen entscheidende Eigenschaft von dem Ziel ist liege zwischen X und Y das heißt insbesondere es ist auf jeden Fall kleiner gleich 0 ist wird es also bei kleiner gleich 0 wenn sie dazwischen liegt muss es auch kleiner gleich 0 sein und das hat den schönen Nebeneffekt dass wir wissen dass der Betrag von Enoch XI gut dass das Gleiche wie auch weil die Exponentialfunktion immer positiv ist das ist auf jeden Fall kleiner gleich 1 bei für alle negativen argumentiert Exponentialfunktion zwischen 0 1 liegt und wenn wir das jetzt noch verwenden dann sind wir fertig das liefert das für den Betrag von ihr auch X minus Ihr Rübsen an das ist nach der obigen Überlegungen der Betrag von Sie mal X minus y das ist der Betrag von ob sie mal der Betrag von X minus y wissen Sie Betrag von auch sie ist leider gleich 1 Inhalt links und rechts von dem ganzen gegenüber stehen positive Zahlen also können so dass Sie abschätzen durch ein X X minus y oder durch X minus und damit kriegt man diese Kontrolle hier das ist für diese einfache Funktion er hoch x ja eine einfache Rechnung und die Spielerei aber für kompliziertere Funktionen stattdessen manchmal eine sehr entscheidende Information dass man weiß ohne Funktion erhöht Abstände allerhöchstens um den Faktor 3 oder alle höchstens um einen Faktor und das kann man auch schöne Mittelwert Satz nachweist gut also den Mittelwert Satz ist der zweite
ist eigentlich eine der zentralen setzt über differenzierbare Funktion aber jetzt der aus dem kann man ganz viel ziehen das war so'n bisschen beispielhaft er spielt auch eine Rolle in den Beweisen von dem was jetzt als nächstes kommt die mit dem will ich Sie nicht belästigen er will nur mal dadurch darauf hinweisen will wird Satz ist immer relativ zentrale Sache ein was sie denke ich kennen und was jetzt kommt ist wofür braucht man die aber noch und auch die Ableitung um Maximierung Smiling Jungs Probleme zu lösen um maximal minimal von Funktion zu finden das soll jeden Kurs natürlich auch vorkommen dazu muss ich
aber nun erst mal definieren was überhaupt und Maximum so Minimum ist ich ich denke hier hat intuitive Vorstellung von lokalen Maximum und lokalen Minimum und globale Maximum und globale Minimum aber das ist er der alte Tieck von Mathematikern und von Juristen alles muss definiert sein bevor man drüber reden kann also Definition 3 7 Was ist ein Maximum was ist ein Minimum zum Glück wer Funktion jetzt wirklich ohne differenzierbare einfach eine Funktion auf Definitionsbereich man er und wir sagen an der Stelle x 0 aus diesem Definitionsbereich hat diese Funktion f ein Maximum Minimum und so weiter wenn das folgende gilt und also hat 11 ein sogenanntes globales Maximum die Definition wenn jetzt die alle nicht so wahnsinnig überraschend sein man definiert ein intuitiv klaren Begriff aber trotzdem ist ja da es bei interessante wenn sie schon mal überlegen wie würden Sie es machen also was bedeutet ein Stelle x 0 ist ein globales Maximum von 11 weil das heißt eben an allen anderen Stellen ist hat die 11 hat 11 kleinere Funktionswerte oder vom für die kleine gleich sind also es muss gelten f von x 0 größer gleich F von X für alle an für alle x ja also für alle x aus die 11 nur F von X nur f von x 0 muss in der größte Funktionswert sein alle anderen müssen kleiner gleich sein hier mit mein kleiner gleich also damit ist insbesondere bei der konstanten Funktion jeder period maximal still das gleiche das Minimum globales Minimum wenn eben alle anderen Werte größer gleich sind also an dieser Stelle kleiner gleich sonst genau dasselbe so das war das globale Maximum globales Minimum davon gibt es eine
lokale Version mehr auch
nicht verwunderlich ich meine ob das globale Wachstum davon gibts immer nur 1 lokale Maxima kann viele geben also wenn Sie die 5 Verteilung den das Relief der Erde zugrunde legen gibt es nur ein globales magst du nicht dem oder was aber sehr sehr viele lokale zum Beispiel die Wasserkuppe der und Gehwege verweise auch noch einführen das ist ein lokales Maximum wer also nicht nicht übermannt aber ist das eben alles andere kleiner ist sondern es reichte man sich nur die Umgebung anguckt lokales Maximum heißt irgendwie in der Umgebung von der Wasserkuppe ist nichts andres größer und er das kann man folgendermaßen exakt fassen also es hat an der Stelle x 0 lokales Maximum falls es ein offenes Intervall geht offenes Intervall die in den diese Stelle x 0 drin und es muss offen sein es muss um diese ganze Stelle x nur noch so ein kleinen kleine Umgebung geben kleines Intervall geben wer so dass in diesem Intervall f von x 0 der größtmögliche wert ist also so dass er von x 0 größer gleich F von X ist für alle x aus I dann also um den Gipfelpunkt muss ist ein kleines Stück geben wo alle andern kleiner sind genauso mit Minimum also lokales Minimum heißt es und offenes Intervall gebe zu dass hier f von x 0 kleiner gleich F von X gilt der er wohnen im Fall des lokalen wachsen der lokalen wachsen oder Minimum wird auch gern ein relatives Maximum oder Minimum verwendet also wenn Sie das irgendwo dem Buch lesen das ist genau das Gleiche wie lokales und als letztes wirklich noch ein weiteren abgeleiteten Begriff führender einfach
praktische praktische Abkürzung ist und langes reden erspart also irgend ein in die Stille x 0 ist ein globales Relativisten lokales Extremum wenn es eben ein Maximum oder Minimum ist und man gerade nicht spezifizieren Velux jetzt Maximum und Minimum ist und so weit und extrem Stelle sein ja und das ist eine Moment egal ob das eine maximale minimal Stelle ist dann sagt man das ist extrem stellen hoch also falls nicht sprechen das Maximum oder Minimum vorliegt Zar damit aber jetzt die der Begriffe mit denen wir
weitermachen können wenn das übliche Bild
dazu ist meine Funktion wo alles des vorkommt wir also Beispiel 3 8 über ihr das also zum Beispiel sowas zur das denn ich würde Funktion er habe muss ich mir noch entscheiden was eine Sprung Stelle passiert also sagen wir mal der wer der da oben dazu unter und nicht so wie sie sind maximal minimal Stellen aus zunächst mal wo sich das globale Maximum das globale Maximum liegt hier ja das ist der höchste Punkt das Ding ist gleichzeitig auch ein lokales Maximum das gilt immer jedes globales natürlich im Lokal das wenn Sie wenn es für alle kleine ist dann auch eine kleine Umgebung so das globale das lokale Minimum finden Sie hier unten dass das globale und ein lokales Minimum so lokale Minima gibt es nämlich noch mehr wollen wir noch lokale Minima hier ist noch ein lokales Minimum nämlich in dem Intervall hier 10 alle Funktionswerte größer gleich dann aber noch ein lokales Maximum wir haben noch ein weiteres lokales Maximum hier werden hier noch ein lokales Minimum ich glaube es habe ich sie alle der Punkt hier unten könnte noch interessant sein was es mit den der Sprungtisch Sprung Stelle ist wenn ich so mache weder lokales Maximum und lokales Minimum bei jeder in jedem Intervall darum gibt es größere und kleinere Funktionswert aber und das liegt daran dass ich den Funktionswert hier oben gemacht habe in jeder Umgebung gibt es im wegen 1. größeren werde den rechten 1. kleiner werden wenn es andersrum gemacht wird oder period dem Funktionswert unten dran und um die offene Klammer dann wäre es ein lokales Medium gut ein gut sie werden den jetzt kommenden
Test kennen Dartmoor muss die funktionellen Ableitung gleichwohl setzen und dann noch die 2. Ableitung überprüfen das Bild es auch ein bisschen gemacht um zu zeigen dass ist normalerweise ganz gutes Verfahren also wenn Sie sich mal anschauen was da so an lokale Maxima und Minima umläuft dann sind Sie an Stellen wo die Ableitung 0 ist es gibt aber auch welche die Sie damit nicht erwischen das sollte man nie vergessen also wenn man wirklich alle Maxima und Minima haben will dann beschäftige man sich bitte auch Mitterrand punkten wir und wenn sie natürlich welche aber die Funktion ist an einer Stelle nicht differenzierbar so wie bei den globalen und lokalen und in ihm und der hat dann Namen was natürlich auch der Differenzierbarkeit Test nix mehr gut aber im Normalfall ist das ein gutes Mittel also seine jetzt formuliert Satz 3 9 2 wenn Sie eine Funktion haben auf dem Intervall differenzierbar auf dem Intervall das natürliche Voraussetzung dass sie über die Ableitung argumentieren können da und dann sagt der Satz und die Reihenfolge sehr wichtig wenn dieses 11 in nix 0 ein lokales Extremum hat mache ich immer noch ein offenes Intervall rein bei ihm muss offen sein das ist genau der Punkt mit Punkten oder habe ich so dass ihn lokales Extremum dann ist die Ableitung an dieser Stelle x 0 0 dann gilt er von 11 Strich von x 0 gleichen so das ist der der Autor
er berühmt die berühmte notwendige Voraussetzung für extrem um wenn sie an einer Stelle extrem Stelle Stelle die von Toulouse differenzierbar dann ist die Ableitung 0 und jetzt die übliche Warnung die ich Sie bitte sehr zu Herzen zu nehmen dieser Satz würde wahnsinnig gern und viel verwendet und dementsprechend wird auch wahrscheinlich in seinem geringen Prozentsatz aber weiter so oft verwendet wird oft genug falsch verwendet die Umkehrung dieses Satzes ist falsch und leider wird der heutige mal umgekehrt verwendet da was wir die Umkehrung die Umkehrung wäre wenn der die Ableitung eine Stelle 0 ist dann liegt dort extrem Stelle vor kann das ist Kokolores und im Prinzip weiß das auch jeder er und auch das Prinzip wenn sie jemanden in gut ausgeschlafenen und voll zurechnungsfähigen Zustand Fragen mit Ihnen das auch jeder sagen dass das so ist ja das übliche Beispiel 6 auf 3 inne und wenn sie die Leute sowas in zum Beispiel in der Stresssituation wieder Klausurfragen dann brennen bei 5 Prozent die Sicherung durch und dann kommt doch wieder zum zur Katastrophe ja also wenn Sie x hoch 3 anschauen dann ist die Ableitung 3 Quadraten das heißt Stelle 0 ist ja werden wohl aber dieses blöde den ist bekanntermaßen weit
davon entfernt an der Stelle Nullen extrem Stelle zu haben nur weil die Steigung der zwar nun würde Funktion es wachsen für negative X und dann wird die Steigungen der 0 0 also ist weniger negative 0 x ist sie wachsen und damit die Steigung 0 und dann entschließt sich aber doch weiter zu wachsen und das wegen seiner Stelle nur keine Ex-Richter sondern sagen period und wie gesagt darf wenn ich sehen voll zurechnungsfähigen Zustand Frage dann sagt mir dass auf jeder wenn es in etwa so Frage denn für dich von paar von blieb ich dann von der gewissen Anzahl Leute wieder die Argumentation dass die Ableitung 0 also ich nix drin stellen ein wozu die dann der Satz überhaupt
er dient dazu die richtigen Kandidaten zu finden ja er sagt eben die Stelle wo die aber nicht 0 ist die des an den gibt es garantiert keine extrem stelle sie dann sich beim Suchen extreme Stelle auf die Boote konzentrier wurde dem nun ist das freundlicherweise meistens nur ein paar Stücke sind 3 4 Stück da man die dann einzeln von Hand aber bei dafür dass der Satz gut dass eine schon mal unendlich viele Zahlen wegwirft und die 3 4 die übrig bleibt muss man halt angucken aber man muss sich eben angucken und man darf nicht einfach sagen heuer da habe
ich jetzt nur Ableitung also spielt also gestern extrem
stellt und was macht man jetzt mit diesen Stellen die man sich angucken muss braucht man ein Kriterium schärferes Kriterium das sagt gut ich habe eine Stelle da Karte Stelle sein die sich dem an ob es eine ist das ist das sogenannte hinreichende extrem stellen Kriterium und das funktioniert wenn Sie zweimal differenzierbare Funktion haben weil die 2. Ableitung gibt ihnen dann ne Information darüber wie es mit der werden wie es mit der der Natur des extrem muss also ob der extremen vorliegt oder nicht also wenn Sie der Funktion haben wieder auf dem Intervall E die muss jetzt zweimal differenzierbar sein sonst können sie keine zweite Ableitung bilden nur die 2. Ableitung die 1. werde bis steigende der Funktion die 2. Ableitung ist die Steigung der Steigung aber das bedeutet 2. werden sagt Ihnen ob die Steigung zunimmt oder abnimmt und das bedeutet eben dass ihn sagt in welche Richtung krümmt sich der Graf man kann also die 2. Ableitung als Krümmung der Funktion des Funktionsgraphen interpretieren und die Krümmung unterscheidet jetzt eben genau auf 7 maximal minimal haben eine Maximum ist die Funktion allerdings gekrümmt und einem Minimum ist nach rechts gekrümmten und auf die Weise sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung was darüber aus ob sie jetzt Maximum nur Minimum haben also wenn Sie so eine Stelle x 0 aus wie haben mit der Strich von x 0 gleich 0 also so die kritische Stelle an den extremen sein könnte dann schauen Sie sich die 2. Ableitung der Funktion an heran und deren Vorzeichen also setzen das x 0 die 2. Ableitung ein und wenn die negativ ist dann haben Sie lokales Maximum und wenn die positiv ist dann am sind ok das Minimum also den 12 2 comma von x nur strikt negativ ist dann haben sind ok das Minimum und die nahe liegende Frage ist
natürlich was man in die 2. wir wohl ist da gucken Sie die Röhren wissen genauso viel wie vorher dann könnte da extrem und vorliegen man kann das Ganze noch verfeinern und macht die 3. und 4. 5. 6. Abmeldung angucken aber in den meisten Fällen reicht dieses Kriterium mit der zweiten Ableitung ja
was immer zweimal war da Sie Recht dass ist keine gut kein guter Fehler danke ja also wenn Größe ist mir im Moment kleines Maxim das gut ein Beispiel dazu
auf also Beispiel 3 12 ich suche eine halb zylindrische Dose vorgegebenen Volumens und jetzt kommt die übliche Mathematik Aktion wenn das Volume I vorgegeben ist dann setzen wir das mal 1 war dann kann man leichter rechnen und wenn sie halt jetzt nicht 1 haben wollen dann passen Sie Ihre ihre ihr Maß ist dem und ihre ihre Einheit an und ist alles gut und das ganze soll mit minimalem Material verbrauch passieren also platt gesprochen Volumen 1 mit minimaler Oberflächen also ich hätt gern so und er hat
also eine halbe halbe Halle zylindrisch förmige Dose ja Radius R Volume 1 und möglichst wenig Oberfläche Rechnung überlegen uns mal was
ist Volumen Oberfläche von so komischen den also das Volumen das soll ja 1 sein das ist die Hälfte vom Volumen von Zylinder das Volumen vom Zylinder ist Grundfläche P R Quadrat mal höher und davon die Hälfte das können wir H auflösen Namen Zusammenhang zwischen H und er also das Volumen bis 1 wenn haargenau 2 durch P X R Quadrat des wenn wir die Oberfläche ausrechnen was ist die Oberfläche von dem Dinge zu zu Elsner oben und unten so halben Kreis denke das rechte und den meinte das war das zusammenzählen also wurde und der jeweils halbe Kreis Deckel der der sehr der ganze Kreis hat die Quadrat als Eisfläche also haben Sie oben halbes G R Quadrat und und man hat ist P R Quadrat das sind die beiden Halbkreise da habe das Recht trägt das ist der einfachste Teil zwar der Gemahl Seitenlänge 2 a mal war und dann sehr sehen halben Zylinder mahnte das ist der ganze Zylinder man diesen Kreis vom Umfang 2 und dann meine Haare Zensoren halten Sie denn den Mantel der SR 2 P R 1 H und es also pi mal einmal haben Sa das kann man jetzt es ist der diesen zusammenfassen die in Haiti Aqua drahtlosen halb P R Quadrat geben ein für ein ganzes P R Quadrat und aus dem kann ich meine Zusammenhang von H und er einsetzen also jedes Haar wird ersetzt durch 2 durch P R Quadrat dann haben wir hier plus 2 R mal 2 durch P R Quadrat plus Piermayr mal 2 durch PR comma das kann man es schön nochmal bisschen sortieren das ist P R Quadrat plus 4 plus 2 P durch die leider habe ich jetzt jeweils das Erbe gekürzt in den beiden letzten so und bleibt 2 P plus 4 oben stehen und PR so und diese funktioniere die wenn ich mal groß er von er und was wir suchen ist dass diese
Funktion beschreibt die Oberfläche bei Vorliegen Radius die Höhe des durch das Polo einen Radius gekoppelt und von der suchen wir jetzt ein Minimum an wir wollen jedoch auf welchen minimieren also gesucht ist ein Minimum von 11 und das geht jetzt nach dem obigen Fahrplan also leiten Sie die Funktion
11 ab das im 1. Summanden noch relativ einfach dass es 2 PR bloß da haben wir erst mal ne ganze Menge vor Faktoren 4 plus 2 Pi durch B und jetzt müssen wir einst durch er ableiten 1 durch er abgeleitet ist minus 1 durch ein Quadrat also was wir hier haben ist 2 PR minus 4 plus 2 P durch P R Quadrat und das was wir jetzt nur setzen
na was besuchen sind die kritischen Stellen Sie die Stelle wo extrem stellen sein könnte also suche mir die Stellen an denen die Ableitung von f 0 ist die stellen den Sternen den ich mal er nur also 2 P R 0 minus 4 plus 2 P durch P R 0 Quadrat muss 0 sein man ist das der Fall nach das ist genau dann der Fall
wenn 2 P R 0 dasselbe ist wie 4 plus 2 P durch P R 0 Quadrat das ist nur sehr kleine open bracket die andere Seite gebracht zu
multiplizieren Sie mit dem mehr 0 gerade hoch 2 P er nun hoch 3 bei diesen ganzen Aktion hier muss natürlich immer er gleich 0 sein aber der Fall da gleich 0 ist nicht so wahnsinnig spannend weil wer dann hat die Dose nicht so wahnsinnig viel Volumen insofern können wir den ausschließen weil das ist durch das Volumen 1 ausgeschlossen also haben wir 2 Tiere 0 hoch 3 muss sein 4 plus 2 bis 4 plus 2 Pi durch P und dann die wie sich wie sie noch die 2 pi rüber und sie in die dritte Wurzel dann kriegen Sie an 0 ist der dritte Wurzel 4 plus 2 P durch Klima 2 P das kann man noch mal vereinfachen der der gemahlen 2 Hauskatzen die 2 plus P durch Klick Quadrat also die kritische Stelle an 0 ist Los 2 plus P Durchblick Vertrag und das ist die mögliche extrem Sterne
mehr jetzt ist es eben leider nur eine mögliche extrem Stelle also an der Stelle nicht fertig so jetzt muss man erst noch mehr infizieren dass das wirklich extrem Stelle ist und dass man mal über den Vorzeichen Test der zweiten Ableitung also was ist 11 zweistellig an der Stelle an 0 war comma bei FF Strich steht gerade noch da oben vor oberste Zeile durch den Eschrich von der 0 2 4 0 minus dieser Bruch leiten Sie das denn noch mal ab nein es geht erst mal 2 Pilaster der einfache teil und hinten das gleiche Spielchen wie vorher 4 plus 2 P durchspießen vor Faktor wenn Sie ein 0 1 durch ein 0 Quadrat differenzieren kriegen sie minus 2 1 durch andere hoch 3 also plus 2 1 durch ein hoch 3 ja und was man jetzt tun muss es ist auch dass er 0 einsetzen und wenn man das nach kriegt man raus das ist 2 P ja oder nein man tut jetzt Tulis sodass man das er 0 nicht einsetzt und sich überlegt also was herauskommt ist 2 P plus 8 plus Philippi Pi mal r 0 hoch 3 er 0 ist größer 0 alle Zahl die ich den 7 größer 0 wenn sie lauter Zahlen größer 0 multiplizieren und addieren dann kommt da das größer 0 raus also ist das hat er nun tatsächlich eine minimal Stimme dass man kann natürlich jetzt jedes Jahr 0 einsetzen und rechnen was da rauskommt
aber seine Stelle nicht nötig wenn man den genauen Wert der zweiten haben über mich braucht man muss das Vorzeichen kennen aber das Vorzeichen ist schon hier ganz klar so ist kann man auch wenn man die Aufgabe ganz lösen will das zugehörige H 0 ausrechnen ja aber nur wenn er nur hatten wir ja oben zusammen in der Beziehung zu meine gesetzt und Krieg raus das H 0 S 2 durch dritte Wurzel 2 plus P zum Quadrat durch Kriege alles Ergebnissen Bissen kommen aber konnten schönes Ergebnis oft zurück das denke ich waren Teil mit dem Sie sich gut anfreunden können werden der die meist schon gesehen haben ich will jetzt
sollen mehr zum besten neuen kommen das auch Anwendung der Ableitung ist und was auch ein Problem vereinfacht an dem wir schon gesessen haben vorher und zwar das Problem Grenzwerte zu bestimmen in dem Fall Grenzwerte von Funktionen und da auch
auch dar gibt uns die Differenziation ein sehr starkes Mittel an die Hand um genau die schwierigen Fälle von Grenzwerten normalerweise nerven in den Griff zu kriegen und dieses Handwerkszeug oder dieses Werkzeug nennt sich Hilde von Lobetal Lobetal französischer Mathematiker in relativ frühen Zeiten zumindest so früh das der Zirkumflex noch nicht dass es ersetzt hatte der neue Franz würde man das ja mit o mit Dächern schreiben aber der hat vorher gelebt und wofür diese Regel gut es oder
diese Regeln gut sind ist die Berechnung von Grenzwerten für Funktionen den Quotienten Form vorliegen und die Problemfälle sind also wir schauen uns an der Grenzwerte dieser Form F von X ich gehe von x mit x Gimmicks nur und diese Grenzwerte sind einfach und brav wenn es gegen 3 gilt und die die gegen 5 weil dann nehmen die Grenzwert dann geht der Quotient gegen 3 5. dann brauchen Sie keine Opel teil und noch gleich als Warnung vor weckt dann dürfen sie auch nicht ob vital ja also wenn das wenn dieser Grenzwert hier einfach ist bei den Männern nicht gegen 0 geht oder nichts gegen alle beide Grenzwerte existieren und beide nicht nur sehen oder und zumindest nicht 0 dann reichen die ganze setzte und dann braucht man keine schärferen Werkzeuge und das ob Zahl ist der sozialen didaktisch wertvoll er im Sinne von normalerweise so wenn sie wenn das grobe L wenn das eine Werkzeug toben sie war das andere nicht dann Schatz aber nix wenn sie mit dem großen Holzhammer draufhauen schadet also wenn sie nennt er da haben wir einfach gegen den und 7 Loblied dann kommt was tun wollt was falsches raus war das ist die wichtige Warnung beim Robitaille Orbitall ist
für die Drogen Grenzwerte spricht für den Fall nur durch 0 unendlich durch unendlich oder nicht minus ähnliche der Sohn ist er also der für so die klassischen taut sie Fälle oder also die Funktion oben geht gegen unendlich die Funktionen Werner geht auch gegen unendlich die Frage ist wer stärker diese wird dann das Tauziehen los geht und die Grenzwerte schwierig werden
dann hilft Orbital und was der sagt ist das folgende also was als Voraussetzung brauchen damit sie 7 werden können dass wir Differenzierbarkeit sonst wäre dieser Abschnitt nicht mit der bitte über die Finanzierbarkeit also F und müsse differenzierbar sein und Sie müssen
eben sondern Dosen daraus Fall sein also entweder muss gelten das den Limes X gegen x 0 von F von X gleicht dem Leben X gegen x 0 gehen von X gleich 0 ist wir also F und G den Ball gegen 0 dann geht der Grenzwert dagegen durch nur nur durch Sultan bekanntermassen alles sein also muss man sich dann was einfallen lassen oder sie sind im an und haut sie fallen nämlich unendlich durch unendlich also oder Plus oder Minus der Limes von X gegen x 0 F von X S Plus oder nehmen ihn aus der NSX gegen x 0 gehe von X bis plus oder minus unendlich also eine Kombination von o Männer geht die endlich Einzeller geht gegen unendlich oder wenn der gediegene sondern ich Insider gegen unendlich endlich Plusminus vor Variation wenn beide bestimmt noch endlich divergieren dann weiß man im Normalfall auch nicht was mit dem Grenzwert ist und auch dann kann man auch geteilt sehen also nehmen das ist ein Werkzeug der genau in den beiden schwierigen Fällen greift und der jetzt mir sehr einfache Methode liefert diesen blöden Grenzwert trotzdem auszurechnen zumindest wenn es funktioniert nicht wenn auch nicht immer aber es ist ein guter Ansatz ProVital sagten Sie diesen Grenzwert immer nicht einfach bestimmen kann weil man auf dem unbestimmten Ausdruck 0 durch oder und wenn ich denn endlich landet bestimmen wollen dann können Sie stattdessen an den Grenzwert bestimmen und zwar dementsprechend Grenze für die Ableitung also müssen dem Zähler für sich gesehen differenzieren Sie müssen den den er für sich gesehen differenzieren und wenn sie denn jemals Exkönigs 0 vor F Strich durch Gespräch bestimmen können dann super dann kommt es gleich aus Sie wenn sie den Grenzwert wenn sie für den Grenzwert sie eigentlich dem wollte also das ist
sozusagen das was man von Robert Heisig die eine Hälfte die man sich Robert Hallbergmoos merken muss sie können den Grenzwert für 11 durch die in dem sie den Grenzwert für F Strich durch die Strich ausrechnen das ist der angenehme Teil oder der gern vergessen geht ist es hier oben und den sollten sich aber auch werden das Ganze funktioniert nur wenn sie den Tropical auch brauchen also wenn sie ihnen in dem Tauziehen Fall sind würde ich nur dann endlich durch endlich ich habe es hier immer XTX 0 geschrieben das Gleiche funktioniert auch X gegen unendlich würde X gegen minus unendlich also in den in diesen Satz von Robbie Thal dürfen Sie gerne da Überreiter wo x 0 steht auch plus oder minus unendlich hinschreiben das machte Opel Teil nix die Warnung habe ich jetzt schon
5 mal gesagt aber ich schreib sie nochmal gehen also 1 und 3 14 die Formel gilt nur in den oben genannten Fällen also in den Fällen wo der Grenzwert von der Form ist irgendwas was gegen 0 geht durch irgendwas was gegen 0 geht oder was was gegen unendlich geht ich irgendwas was gegen unendlich gehen das ist aber nicht schlimm weil wie gesagt in allen anderen Fällen brauchen Sie sind ob
beteiligt war in allen anderen Fällen können Sie auch mit
normalen Grenzwert setzen die Sache lösen wichtig ist eben oder das fiese ist wenn sie nämlich mal aus Versehen den Orbitall trotzdem anwenden auf irgendwas der Zeller gegen 3 oder gegen 5 geht dann kannst du sinnest Orbitale ich sehr geht liefert das ist leider falsch und deswegen muss man bei der Anwendung Robitaille dringend immer überprüfen aber auch anwendbar ist weil eben einen zum Beispiel einfach ganz ganz freundlich und hilfsbereit liefert das Ergebnis ist 3 aber der und super ob Zahlen aus Fernsehen und in Wahrheit ist aber leider 1 ja und das ist bisschen wird deswegen muss man es wirklich im Vorhinein prüfen und in nur dann an wenn wenn man an werden darf ich mache noch ein Beispiel der Zone hoffe dass das eindrücklich genug ist Sa also Stabe Beispiele zu Orbitale damit sie sehen dass der wirklich mächtig ist und was so die Tricks und Fallstricke sind 1. klassisches Standardbeispiel für orbitale das X gegen 0 10 Uhr von X durch X und also wenn Sie Lust nächster durch X und machen es ging 0 und wenn sich das anschauen und mal versuchen ist gleich 0 einzusetzen sehen Sie es geht sofort schief wenn Sie in dem unten im man darf die dann halten wollen aber der Zelle sehen auch 0 der Sinus von uns 0 also Siegs gegen 0 schicken die der Zeller gegen 0 und der Männer gegen 0 also das X gegen Cs 0 Sinus von X ist sie das von 0 ist 0 und natürlich ist auch den Limes X gegen 0 von X dessen türlich auch 0 also weil die beiden weil der Zelle gegen 0
geht und denen er gegen 0 ist die Regel von Orbitall anwendbar und wie gesagt diese Überlegung muss man immer machen bevor man sie anwenden und dann löst sich aber gleich alles in Wohlgefallen auf weil das
bedeutet das den Limes X gegen 0 Sinus von X durch x des doof zu berechnen weil der Teller gegeben oder die die 0 dann sagt uns so vital ja den Inhalt nicht diesen Bruch sondern gleitet einen Zähler ab und leitet ab also und das kriegen wir dann dann kriegen wir das X gegen 0 7 das abgeleitet großen aus und X abgeleitet gibt 1 wird sieht man schon was das schöne SamMobil Tal zumindest wenn der wie Polynome rumstehen werden die bei jedem Schritt schöner war jedes Mal bitte gerade kleiner dem Fall wird aus dem nächsten 1 und plötzlich stört in in denen nix mehr und den den es hier in das es gegen nur von Cosinus kann sofort bestimmen das ist nicht Kosinus von 0 und das ist 1 also hat man auf diese Weise mit dem ein eher komplizierteren Grenzwert nämlich von der Form 0 durch 0
eigentlich dann sehr einfach berechnen 2.
Beispiel dies mein Grenzwert X gegen unendlich X gegen unendlich von X Quadrat durch die hoch Ex auch da im 1. Versuch was passiert hier kann ich vielleicht mit Grenzwert setzen lösen wenn ich XG unendlich jagen geht X Quadrat gegen unendlich Yoricks geht auch gegen unendlich also habe ich ein Grenzwert von der Form und endlich durch unendlich man den Zeller der gegen unendlich denn der geht gegen unendlich also bin ich eine Situation wo die Grenzwert setzen nicht weiterhelfen aber der mitteilen also wenn man an und das was ich jetzt hier geschrieben habe das ist die Mindest Menge was man sozusagen hinschreiben muss um klarzumachen und hat sich über die Einwände sowie Teile Gedanken gemacht ja also Dom ist auch ganz ausführlich aufgeschrieben bei der Limes vom Zeller 0 des Unternehmens von denen 0 kann man Ocotal Anwendung des geht ja das ist sozusagen die Luxusversion und das hier ist die Sparvariante die mindestens darstellen muss man sich also zumindest dieses Pfeil die fallen endlich dran steht dann wäre meine Reaktion in einer Klausur Korrektur da hat jemand sich keine Gedanken darüber gemacht ob man das Ding anwenden darf also das ist die Minimalvariante hier aber sie geben Zeller gegeben wenn sich der gegeben endlich also kann Robert Hall anwenden machen wir das kriegen wir raus der Grenzwert ist allen wenn sie den Glanz X gegen ähnlich anschauen von dem Bruch oder Zähler abgeleitet wird und der abgeleitet 2 x Quadrat abgeleitet gibt 2 x Yoricks abgeleitet tut nicht weh geht ihr auch X wenn man sich das jetzt anschauen dann sehen Sie da überhaupt nix gewonnen bei der Celler geht gegen 0 gehen unendlich und in der gegen unendlich also scheint so zu sein als würde dort beteiligt bringen aber nicht zu früh die Flinte ins Korn werfen manchmal hilft das Durchhaltevermögen die gleiche das gleiche noch mal zu tun der Grenzwert hieß es natürlich wieder ein Opfer für Orbitall da das Grenzwert von der Form oder nicht durch oder nicht den kann man also wieder kann man wieder auf die Zahl an den und das ist deswegen die gute Idee weil man damit deren gerade dieses würden Polynoms immer weiter
reduziert und wenn man jetzt die Orbitale anwendet kriegt man X gegen endlich von 2 durch ihr auch X und dann erst das Problem erledigt es geht der Zelle liegen 2 der Männer gegen unendlich und damit die das Ganze gegen 0 und wir kriegen doch noch den Ergebnisse aus da dieser Grenzwert ist 0 also manchmal dieses Beispiel im wesentlichen der zur sie zu motivieren den Halle durch aus 2 und 3
Mal anzuwenden er wenn man so das Gefühl hat er wird die Sache jedes Mal ein bisschen einfacher kann sich das lohnen so nächstes Beispiel soll dazu dienen ihn zu zeigen das mal den Orbitalen auch manchmal verwenden kann in Situation muss erstmal mal nicht nach dem Aussehen also wir schauen uns an den Grenzwert X von oben gegen 0 von X X L nix wenn Sie sagen man solle Lobetal zu tun haben da steht ja gar kein Quotient ja auch die Teile sagt was über Quotienten so sind also gleich doch keiner getan haben Jarno das ist die Frage der Perspektive und des geht die übliche Regeln aber das was man haben ich hat dann muss man es halt per Gewalt erzeugen weil das Problem ist dass es auch und Obergrenze das ist ein klassischer traut sie Grenzwert wenn sie nix gegen 0 schicken dann geht das X natürlich die 0 unter allen was macht der erleiden wenn sie nix gegen wenn sie nichts gegen 0 schicken so sieht ja da mir das nämlich ab also an sie was von der Form wohl endlich also das X mache die Sache klein zieht gegen 0 der allen X damit es endlich die Frage sehr stark und also wir wollen das Ganze Hopital lösen dazu brauche man Quotienten also machen wir uns ein das ist das gleiche wenn X von oben gegen 0 von allen Ext geteilt durch Einstig X da können Sie nicht widersprechen ja das ist Bauanträge wollen wir hilfreiche Begriff und jetzt Quotienten darstellen und da sah man kurz da stehen mit hier was was gegen die müssen endlich geht und hier was was gegen bloß unendlich geht also können wir den Orbitall anwenden und das schöne in dem Fall ist jetzt das beim Robert daran werden aus diesem schwer fassbaren Rhythmus was schöneres wird was passiert wenn Sie dort muss ableiten kriegen sie einst durch extra aus wenn Sie als durch X ableiten kriegen sie minus 1 sich x Quadra also haben Sie hier den Limes X von oben gegen 0 von diesen werden dabei brauche aber diese würden Doppel Bruch gab es natürlich wieder zu einem Hof machen wir dividieren in den über den Keller multiplizieren dann kriegen Line 6 gegen 0 von oben von minus X Quadrat durch x oder anders ausgedrückt den GSX von oben gegen 0 von minus 6 nahe des ist nicht mehr so schwierig was passiert mit minus 6 wenn sie genau schicken nein das ist nur Opera also gewinnt das X war das ist mein Tauziehen Fall mit dem klaren Sieger das XZ nur 0 der LX 7 minus unendlich kommt raus also das exakt geworden gut dann fehlt jetzt noch das eine Beispiel nämlich das an dem man sieht dass man dennoch beteiligt verwenden darf wenn man ihn nicht braucht das schaffen weil wir nicht mehr weil mit der Zeit durch sind festlegen welche geht es auf nächsten Dienstag und der danke für Aufmerksamkeit
Kosinusfunktion
Reelle Zahl
Nullstelle
Näherungsverfahren
Mathematiker
Gleichungssystem
Gleichung
Fixpunkt
Zahl
Funktion <Mathematik>
Numerisches Gitter
Näherungswert
Irrationale Zahl
Nullstelle
Gleichung
Tangente <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Schätzwert
Differentialrechnung
Mittelwert
p-Block
Funktion <Mathematik>
Mittelwert
Differenzierbare Funktion
Zahl
Quotient
Zahl
Punkt
Differenzierbare Funktion
Geometrische Vorstellung
Mittelwert
Quotient
Parallelen
Differenzenquotient
Tangente <Mathematik>
Gerade
Mittelwert
Ableitung <Topologie>
Mittelwert
Spieltheorie
Ableitung <Topologie>
Mittelwert
Gasströmung
Gleitendes Mittel
Ableitung <Topologie>
Vorzeichen <Mathematik>
Mittelwert
Gleitendes Mittel
Ableitung <Topologie>
Vorzeichen <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Negative Zahl
Zusammenhang <Mathematik>
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Mittelwert
Ableitung <Topologie>
Momentenproblem
Mittelwert
Exponentialfunktion
Faktorisierung
Positive Zahl
Betrag <Mathematik>
Mittelwert
Differenzierbare Funktion
Exponentialfunktion
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
GERT
Minimum
Lokales Minimum
Maximum
Mathematiker
Extremwert
Momentenproblem
Extrempunkt
Minimum
Stellenring
Lokales Minimum
Maximum
Punkt
Stellenring
Lokales Minimum
Maximum
Minimum-Abstand-Klassifikator
Eins
Mittelungsverfahren
Quadrat
Extremwert
Punkt
Ecke
Extrempunkt
Differenzierbarkeit
Umkehrung <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Zahl
Ableitung <Topologie>
Null
Vorzeichen <Mathematik>
Krümmung
Differenzierbare Funktion
Minimum
Maximum
Graphische Darstellung
Schärfe
Ableitung <Topologie>
Richtung
Momentenproblem
Gruppenoperation
Ruhmasse
Mathematiker
Volumen
Ableitung <Topologie>
Kreis
Radius
Quadrat
Zusammenhang <Mathematik>
Zylinder
Haar-Integral
Volumen
Umfang
Radius
Faktorisierung
Quadrat
Menge
Summand
Minimum
Höhe
Quadrat
Gruppenoperation
Volumen
Ableitung <Topologie>
Quadrat
Faktorisierung
Vorzeichen <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Zahl
Mittelungsverfahren
Differentiation <Mathematik>
Mathematiker
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Quotient
Berechnung
Zahl
Grenzwertberechnung
Funktion <Mathematik>
Große Vereinheitlichung
Differenzierbarkeit
Zahl
Ableitung <Topologie>
Zustandsdichte
Sinusfunktion
Stab
Zahl
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Polynom
Zahl
Polynom
Quadrat
Menge
Zahl
Quadrat
Perspektive
Quotient
Ext-Funktor

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Extrema und L’Hôpital
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 22
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35630
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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