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Exponentialfunktion und Differenzialrechnung

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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass er verlängert werden an der TU Darmstadt so sehr wünsche ich wünsche ich
einmal ein herzliches Willkommen und danke allen bei der Autoren für die versuche hier ein bisschen Weihnachtsmarkt in den Hörsaal zu bringen also hier oben und da hinten ja und ich werde versuchen da darum in diesen paar Girlanden aus Exponentialfunktionen man zu werden weil das ist das Thema des nächsten Abschnitts also Paragraph 5 von dem Kapitel das mal anfing mit Konvergenz und das bisher endete damit das wir und über Kollegen der einem konvergente Potenzreihen unterhalten haben und in dem Kapitel Potenzreihen hat ich insbesondere der Exponentialfunktion ans Herz gelegt als eine ganz wichtige Potenzreihe mit Konvergenz Radios oder endlich und die will ich noch ein bisschen beleuchten das ist sozusagen ein Anhängsel dieses Kapitel 5 11 Kunst diese exponential nochmal eine Betrachtung dieser Exponentialfunktion weil das eben so extrem wichtige Funktion ist die an vielen Stellen auftaucht und in dem Zusammenhang tauchen ganz natürlich auch die Bürger wird man auf die fehlten uns bisher die wollen wir auch noch kurz anschauen ok also Erinnerungen was ist diese Exponentialfunktion er naiv oder von der Idee her ist das Ganze eher hoch EX ja und so sieht man es auch in seinen Taschenrechner ein und denke nicht viel drüber nach klar ist was ist er hoch 5 das ist immer die meine Email Email E dann kann man sich aber überlegen was ist er auch 5 3. ja das ist die dritte Wurzel von eben mal die dritte Wurzel von immer dritte Wurzel von eine dritte Wurzel von immer 3. wozu von das geht auch noch gut dann schwierig wird es dann bei der Frage was es EOP also was ist er wo was irrationales und da gibt es verschiedene Möglichkeiten man kann entweder sich rantasten und sagen wo ich nehme eine irrationale Zahl wäre so durch rationale rechne er auch die rationalen aus und dann muss ich halt überlegen dass er hoch diese Währung von konvergiert in den Grenzwert nämlich den er hoch die irrationale Zahl das eine Methode die andere Methode ist man stellt man macht 1. bisschen Theorie über rein und stellt damit den Zeugen fest dass dieser Reihe die ich ihn letztes Mal gezeigt habe also Reihe von 0 bis unendlich ich suche durch Fakultät wenn Sie ganzzahlige und rationale der DX einsetzen das beides hier immer übereinstimmt ja also dass diese Gleichheit hier haben Yoricks ist immer über diese Reihe definiert dieser Reihe hat haben wir gesehen Konvergenz Rades unendlich konvergiert also für alle x aus er und auf die Weise kann man hat meine Frau müsste er auch Excel Potenzreihe wie auch X und das schöne an der Potenzreihe ist die Macht jetzt sind für beliebige X aus er das ist die von der vernünftige Definition was EOP ist wie auch die können sie eben nicht mehr darstellen als mit iteriert der Multiplikation von mit sich selbst zu P definiert sich über diese frei der Reihe über die Loch in durch Fakultät und das ist eine ganz entscheidende Reihe wie gesagt die gehört zu den 3 dreien die wenn Sie auf eine einsame Insel nur 3 Reihen mitnehmen dürfen dann gehört die dazu die die geometrische Reihe und die haben und ist dabei gut für die Exponentialfunktion
es ist jene Potenz Funktion für die gelten die üblichen Rechenregeln die für Potenzen gelten sammeln wir die noch mal schnell zusammen das da es 5 1 das es 5 2 am 1. war der spezielle wird er auch 0 ja das sieht man sofort an der Reihe was passiert wenn sie 0 einsetzen nun ist der Entwicklungssprung der Potenzreihe das heißt die Summe ist ein Element sich und der erste Summand S 1 also er auch nur das 1 dann hat die Exponentialfunktion eine
schöne Eigenschaft die man der Reihe nicht sofort sieht er auch X ist immer größer gleich 0 egal welches X aus er sie einsetzen also ihre X ist immer positiv dann gibt es die übliche Potenz Rechenregel er hochexplosive y ist das gleiche wie noch x-mal I noch y egal welche Zahlen X und Y aus aber sie einsetzen und die andere typische
Potenz Rechenregel was passiert wenn sie ihr auch
x nehmen und diese Zahl wieder hoch y erst mal macht das Sinn weil Yoricks wieder positiv ist und zweitens können sie das ganze ausrechnen dem sie ihr hoch X X Y nehmen und auch das gilt für alle Wahlen XY aus er in dieser letzten Form es steckt noch 1
zu sehen als Spezialfall was man oft verwendet nämlich was es er Wochenminus X ja auch minus X ist nach dem oben denn sie setzen Sie Y gleich minus 1 mehr ist er hoch minus 1 x x und das heißt wenn sie es auf die rechte Seite gehen kriegen Sie das als ihr auch X hoch minus 1 oder anders geschrieben als einst durch ihn auch X und das ist auch schön Zusammenhang die man oft braucht 1 durch ihre X ist eben auch minus 6 gut das ist das was man auf jeden Fall wissen muss Rechenregel für die Exponentialfunktion kommen wir gleich darauf zurück ich will an der Stelle jetzt
einen kurzen Exkurs machen der sozusagen er ja denn zum Stoff eine ständig weiterbringt Arbeit mit dem ich ihn noch einmal Zusammenhang beleuchten will der bisher bisschen obskur geblieben ist zum also das ist jetzt mehr ein Abschnitt diese Bemerkung ist mehr ein Abschnitt mathematisches Hintergrundwissen als er absolut zentral Klausur Stoff also können Sie sicher sein dass ist jetzt nicht das Thema sein dass da geht's mir und Hintergrundwissen und um verschiedene enden die bisher lose hängen vielleicht bisschen zu verknüpfen ich hatte ihn beim Thema rein am Anfang gesagt wir machen das für reelle Zahlen aber sie können das alles genauso für komplexe Zahlen macht und diese exponential reisen ganz typisches Beispiel dafür dass das sehr fruchtbare Idee ist wir also exponential Reihe war ja zwischen wiederum rausgerutscht n gleich 0 bis unendlich x hoch n also variable hoch N durch N Fakultät und ob sie jetzt X auch allen oder zählt doch ändere hinschreiben in der ganz wenig aber sie können auch komplexe Zahlen auch entnehmen also diese Definition der Ehe frei ist nicht nur der toll dass sie einem hilft das ganze folgende Zahlen vernünftig zu definieren soll auf die Weise haben Sie auch sofort mehr naheliegende und gut funktionierende Definition für alle Zeit Ostsee muss ich kurz noch überlegen dass das passt aber wenn man sich auch hier die Konvergenz anschaut stellt man fest auch wenn Patienten Kriterium das auch in C hier konvexe kriegen Konvergenz für alle Zelte C sogar absolute Konvergenz für alle Zeit C mir und dieses Thema und
wenn man dann auch als Definition Exponentialfunktionen C das ist die so genannte komplexe Exponentialfunktion noch mal an der Stelle ich für die Ihnen jetzt nicht einmal die noch fünfmal vorkommt der Vorlesung ich nehme mal an dass sie ja gar nicht mehr vorkommen aber man soll es mal gesehen haben also wenn Sie irgendwo sich man sowas sehen wie
er hoch 1 plus ihr müsse sich nicht wundern wie denn das sein soll sondern Definition steht hier oder was sie sicherlich noch sehen werden ist sowas wie eh hoch I X T E auch immer und kommt es vor sobald in jeder Schenkungs Gleichungen taucht unter jedoch ihr um negativ wenn sie noch Sieg und 30 mal sehen so und wenn man jetzt sich ankommt wie man diese Rechenregeln die dann noch die Beweise stellt man fest diese Rechenregeln komme alle direkt aus dieser rein Darstellung die gelten also also zumindest A C und D Biene B war Positivität die geben nicht aber für alle anderen also diese Rechenregeln die da oben stehen 5 2 A C und D gelten genau so nein und worauf ich jetzt Moment nur
raus will ist das rechtfertigt im Nachhinein eine Setzung die ich Ihnen am Anfang einfach alles gottgegeben oder können wir jetzt nicht verstehen müssen wir glauben gegeben hat also die Polarkoordinaten Darstellung allen Defini so eingeführt haben habe ich ihnen für den period Cosinus libysches Isidors E habe ich ihn damals gesagt dafür können wir auch kurz hoch IVI schreiben das war irgendwie aus der hohlen Hand geboren und sah komisch aus funktionierte gut aber man fragt sich wo es herkommt und das kann ich Ihnen jetzt zeigen mal was ist denn hoch IX für
reale wird können wir ja die Definition einsetzen in
hoch E X ist die Reihe gleich 0 bis unendlich I X X auch allen durch in Fakultät das ist die kommt nicht dass es die komplexen Exponentialfunktion gut jetzt kann man das bisschen und fahren wir wissen dass das zeigt das ist mir absolut konvergent der Reihe das heißt man darf da drin rechnen wie man gewohnt ist und sogar die Reihenfolge vertauschen alles kein Problem ja auch n x x auch durch Fakultät so und jetzt ab dann ihr auch entstehen und je nachdem was das macht Tod dieses Idee macht E.ON natürlich irgendwas ja für alle geraden in abwechselnd ein und minus 1 und für alle ungeraden entsteht abwechselnd ihren sie lassen Sie mich mal die beiden Fälle gerade in gerader und in die ungerade einzeln betrachten also ich mir hier alle n von 0 bis unendlich wobei eben gerade ist was passiert dann gut dann haben Sie X auch N durch N Fakultät und was ist es ihr auch n mit n gerade das ist wenn das ist entweder 1 wenn das sogar Vielfaches von 4 ist ja oder minus 1 wenn das N 2 6 10 14 ist und so weiter das können Sie folgendermaßen fassen das ist ein Minus 1 hoch n halbe so also wenn die Hälfte von n immer noch gerade ist es einst womit der Tiefe und n ungerade wird ist minus 1 so und das Gleiche machen wir jetzt es habe bisher alle geraten in verhackstückt jetzt brauchen wir noch alle ungeraden also n gleich 1 bis unendlich oder ja n gleich 0 bis unendlich n ungerade was passiert da der kleine ich mal ne aus und da muss man sich überlegen was die restlichen es machen stellt sich raus das ist minus 1 hoch N minus 1 halbe X auch durch Fakultät warum ja
überlegen was es mal den 1. paar Fällen was ist weg ICN gleich 1 wenngleich 1 ist die dass sie schon da ein I und um den von den von der das 1 0 für ihn gleich 3 haben Sie da stehen 2 halbe also 1 minus 1 hoch 1 x i das sind genau 3 hieße die minus 1 und 2 es und das dritte steht vorne also scheint ganz gut passen muss man sich natürlich sauber überlegen aber passt so und jetzt müssen wir das ein bisschen umschreiben die 1. Summe läuft über alle geraden in das ist formuliere ich jetzt so um dass ich sage ich laufe wieder über alle
klar aber ich setzen diese Summe 2 K gleich also ich laufe ich mache K gleich 0 1 2 3 4 5 6 7 und ersetzt jeweils n durch 2 K das hat zum Effekt dass da wo er nicht die jetzt 0 2 4 6 8 10 passiert ja was passiert dann wenn wir hier 2 K gleich setzen dann müssen wir wieder von K gleich 0 bis unendlich summieren wenn 2 K in ist ist in halbe klar also minus 1 X 2 keine durch 2 K verkohlt hält plus in der zweiten Sonderbussen die ungeraden geht dann nämlich 2 K gleich N minus 1 mehr dann muss ich wieder vom K kann ich bei Karl 0 anfangen für K gleich 0 krieg ich n gleich 1 für K gleich 2 für ich viele durch im Minus 30 in gleich 3 und so weiter also durch das wenn das Carl die ganzen Zahlen also natürliche Zahlen durchläuft dann geht das eben jeweils in 2 Schritten die ungeraden Zahlen ab so und was steht da das Städten Idee der steht minus 1 noch ein Minus 1 halbe N minus 1 ist 2 Cha 2 K halbes genau Oka ne S 2 K plus 1 x auch 2 K plus 1 durch 2 K plus 1 verkohlte so und wenn man jetzt noch mal genau schaut was hier steht und
abgleicht mitten rein die ich ebenso gezeigt habe also was sie noch machen können ist dieses ihr vor die Sonne schieben und was dann da vorne steht ist nichts als der große muss von X und das was da steht ist die Reihe die gleich großen aus X ist und was hier steht ist ihm mal dieser Reihe und diese Reihe aber auch schon mal gesehen das ist der Sinn von X also was herauskommt ist tatsächlich genau das was wir dem Paar den Polarkoordinaten gemacht werden und es passt alles zusammen nein also das für die Polarkoordinaten C eingeführt haben habe ich ihn damals dieses Eoil X als Kurzschreibweise für Sie das X R Kursus Express immer Sinus X verkauft jetzt kann ich Ihnen zeigen das passt auch zusammen und ist das der gut das so als Schlenker wie gesagt ansonsten betrachten der Vorlesung immer nur Fälle Potenzreihen alles ok aber das auch nur mal als Beispiel dafür dass man diese Theorien aufbauen kann und allgemeine auf C anschauen wenn es der ein oder andere da eine die immer braucht
später nicht der volle zurückschrecken ist nicht kompliziert an gut ich will jetzt von der Exponentialfunktion zum
Logarithmus kommen muss ist die Umkehrfunktion Exponentialfunktion damit Junker Funktion existiert müssen erstmal sicherstellen dass diese Funktion das des Bund zur Umkehr weiß also bijektiv bzw. im jektiv und dafür aber immer festgestellt dass es gute zu zeigen dass es den streng monoton wächst und das ist jetzt der nächste Punkt also nur findet Untersatz 5 dot 4 und sagt die Exponentialfunktion dies erst so spät nicht Melk stetig aber schon ist streng monoton wachsend und zwar auf ganz er und wenn wir das haben dann haben wir im Acker bitte Stetigkeit gesehen wenn sie die stetige Funktion auf eine Wiederwahl haben er es wunderschön großes in der Wahl dieser streng monoton wächst dann ist es denn immer umkehrbar und da können wir damit über Brust definiert dass der Exponentialfunktion stetig ist freut einfach daraus dass sie durch die Potenz freigegeben ist hat sich im letzten Kapitel gesagt steht komme Potenz durch Potenzreihen Funktionen sind im Innern des Konvergenz in der Weise also hier auf ganz er immer stetig was wir
so tun müssen ist zu zeigen dass das den streng monoton wächst und das können wir einfach nach Definition machen also dem uns X und Y aus er her mit X kleine y und müssen zeigen dann ist auch ihr Ex klar dass ihr und und da muss man nur einzig bisschen nervig muss 3 Fälle unterscheiden er je nachdem ob X und Y beide rechts von 0 liegen bei den Links von 0 oder auf jeder Seite von 0 1 also fange mit dem Fall an dass beide positiv sind für 0 kleiner gleich X kleiner y geht das folgende 1 bis wir zeigen dann es auch Yoricks kleiner Rücksiedler und das geht über die reine Darstellung ganz schnell was ist er auch X I auch X ist die Summe in gleich 0 bis unendlich X auch N durch N Fakultät da X positiv ist jeder von diesen Summanden da positiv das mir absolut konvergent erreiche und alles um Banken sind strikt positiv das heißt ich mache diese Reihe größer wenn ich jeden Summanden größer macht man wenn ich ebenso so Mantel vergrößere dann muss auch der gesamte größer werden weil er nicht wieder abgezogen wird das den wechselte vorzeichnete könnte alles mögliche passieren habe ich agieren nur positive Zahlen und wenn ich jeden einzelnen so meinten größer macht dann wird auch die gesamte 3 größer das heißt wenn ich jetzt den XY Einsätze mache ich jeden einzeln so meine ich größere mit der Gesamtreihe größer und das ist dann gleich ihr und also das ist der einfache fallen
so ist noch mal den Fall dass beide kleiner 0 sind und der Fall also X ist wieder kleiner y aber beide sind kleiner gleich 0 und der Fall spielt sich darauf zurück auf den 1. weil wir eben
wissen um minus 6. 1 sich ihr wächst wenn Sie das so haben also nix kleine y kleiner gleich 0 ist dann ist auch 0 kleiner gleich minus y kleiner als minus 6 man muss nur aufpassen zahme die Ungleichung mit minus 1 durch multipliziert drehen sich alle Relations Zeichen um minus X ist jetzt der größte und jetzt können wir wegen dem 1. Fall klingt wird sofort raus dass er auch minus y kleiner ist SSE auf minus 6 1 Minister bislang minus 6. positive Zahlen also kann man den 1. Fall anwenden und kriegen die auch minus y kleiner ihr auf minus X und damit haben wir jetzt durch weil was wollen wir machen wir wollen eigentlich zeigen dass er auch X kleiner ist als ich auch y er auch X ist aber nach Rechenregel für die Exponentialfunktion durch auch minus X diesen Bruch kann ich jetzt größer machen indem ich den Werner kleiner machen denn einer mache ich kleine indem ich ihr auch minus X durch ihr auch minus y ersetzen nachdem gerade gezeigten und eines durch ihren wie das Y ist wieder rülpse und schon steht da das ist schön Exponentialfunktion das man ebenso einfache Beziehung hat zwischen Hurek jedoch auch minus X und deswegen kann man viele Dinge die man für die positiven Zahlen gezeigt hat meistens schnell
auf die negativen rüberziehen und jetzt bleibt noch der Fall zu behandeln wenn die nun in der Mitte liegt also für x kleiner 0 kleine y was passiert war und
da können wir jetzt auf die beiden oberen Fälle zurück greifen man beachte ich habe in den beiden Fällen oben jeweils zugelassen
das der ein dass der 1 gleich 0
ist als im 1. Fall ist nur kleine gleich x zugelassen 2. Fall ist y kleiner gleich 0 zugelassen und das heißt was Sie hier machen können ist in dem er auch X X ist kleiner wir sind im zweiten Fall X ist kleiner als 0 was gleich 0 ist man selbst gleich 0 im zweiten Fall dann kriegen Sie dass das kleiner ist als ihr auch nur in einem zweiten Fall und am 1. Fall y ist größer als 0 7 7 1. Fall X gleich 0 kriegen Sie hier machen 1. Fall kleiner als ihr rückt an egal welchen Fall sie nehmen sie habe immer Yoricks kleine und und das heißt das Ding es streng monoton wachsend und wie gesagt das aber nicht zum Selbstzweck
gezeigt sondern weil wir damit das Ding
umkehren können also die Haupt der Haupt gewinnen davon ist das damit die Exponentialfunktion umkehrbar ist eine Umkehrfunktion besitzt das hatten wir uns in den normalen 3 1 12 und 3 1 13 überlegt das wenn sie eine stetige Funktion auch der Wahl haben und die ist streng wachsen dann gibt es eine Umkehr Funktionen dies wieder stetig zu und diese um ihre Funktion trägt jetzt neuen
Namen und Namen heißt immer dass man eigentlich 9 habe man nicht gehen sondern würde eigentlich gern diese Umkehrfunktion mit einer Funktion ausdrücken also zum Beispiel als Polynom oder als Kosinus sie muss oder sonst was und das tut halt nicht weil die ist nicht mit einer Funktion ausdrückbar dass sie muss man neue Namen erfinden und das ist das was der natürlich viel Rhythmus ist also Definition 5 5 beziehungsweise 8 11 also die Unterfunktion der Exponentialfunktion die gibt es nach unsern obigen Beobachtungen diese Funktion vom Bild der Funktion auf ihr Definitionsbereich man kann viele Eigenschaften von ihr ausrechnen aber man muss ja vorher erst meinen Namen geben dass man sie in schreiben kann und das Ding heißt natürlich oder wurde das und die übliche Abkürzung kommt vom lateinischen den Logarithmus naturalis und SLN und allen ist wie gesagt nur Funktion vom Bildbereich der Exponentialfunktion also von strikt positiven reellen Zahlen auf den Definitionsbereich der Exponentialfunktion also nach ja Appel
und wie kommt man an den Grafen dran ich hoffe Sie erinnern
sich noch daran wie kriegt man den Graf von Dunker Funktion sie zeigen sich den Grafen der funktionieren also 6 dass eine Stelle 0 1 der Grenzwert nach minus unendlich ist 0 und dann Gericht zu langsam bis zur 1 hoch und wenn sie mal im positiven ist dann kriegt sie das große Wachstum und Saud ganz schnell darum endlich ab also das ist die Funktion Irrwegs Witzigmann die den Funktionsgraphen der Umkehrfunktion sie müssen an der Winkelhalbierende spiegeln aber sie machen sich die Winkelhalbierende in der Koordinatensystem ein neben den Graf und Spiegel nerviger werden der muss auch die durch den an der Stelle eines muss er nur seinen und geht zu und das ist er geworden ist er sie sehen Rhythmus ist nur definiert und auch von direkt aus der Definition als Umkehrfunktion auf dem Bild Exponentialfunktion also nur für positive Argumente im reellen macht ein Rhythmus von minus 1 keinen Sinn erhöhen man kann eben nur darum gehen wo die Exponentialfunktion auch Werte hat also Logarithmus ist sowas das gleiche Problem wie bei der Wurzel man 8. darauf dass das was drin steht immer größer 0 ist gut was Geld für welchen Regeln für den Logarithmus die
kommen alle direkt aus den Rechenregeln vor die Exponentialfunktion und sind so ein Klassiker von denen die zwar irgendwann in der Schule schon unterwegs waren aber üblicherweise bis zu früh in der Schule als dass sich noch daran erinnern ich habe so auf Übungsblatt ist aber mal kurz Aufgabe zu zum Wiederaufwärmen wer also wird muss ich nehme er auch 0 ist 1 bewusst die es wird ja Funktion um also muss allen von 1 0 sein das ist der einfache Teil was ist mit denen die Mieten die man zugegebenermaßen wahrscheinlich keine Schulstoff die kommen hier jetzt dazu wenn ich von x mit x von rechts gegen 0 gehen sehen Sie am Bild was passiert der den von X wird minus unendlich und wenn ich mit dem X gegen Plus soll endlich die dann ist der Logarithmus zwar langsam aber da geht gegen plus unendlich wird muss es eine wahnsinnig die langsam Falten langsam wachsende Funktion aber er gilt nach plus unendlich so jetzt die
wirklich Rechenregeln von den ich sicher bin dass ich schon mal gesehen haben aber ich Verständnis haben wenn die etwas für Bunzel also für alle positiven Zahlen und XY nur solche dürfen dem Rhythmus einsetzen Geld und die sind Rechenregel wird sozusagen reziprok zu den der Exponentialfunktion auch relativ logischerweise wenn sie der Logarithmus von dem Produkt von 2 Zahlen haben können Sie den ausrechnen den Stellung Rhythmus von einer von der Zahl x nehmen und den Logarithmus der Zahl y dazu addieren beim exponiert Exponentialfunktion es umgekehrt wie hoch so die Produkt von Funktion das besetzte Logarithmus umgekehrt in Logarithmus von Produktes Summe von Rhythmen man und die zweite Rechenregel für
den für die Potenz von der Potenz die übersetzt sich Rhythmus folgendermaßen für alle positiven X und verehrte alle Regeln y gilt wenn sie den Logarithmus von der Potenz ausrechnen sollen dann können Sie das viel einfacher machen nämlich in dem sie nur den Rhythmus von X ausrechnen und das mit Y meine das ist das entsprechende zu Potenz von der Potenz Rechenregel für die Exponentialfunktion diese Rechenregeln das Logo Rhythmus sind eine der gründe oder sind der Grund warum der Logarithmus noch vor 50 Jahren viel mehr benutzt wurde als heute Nase ihrer Eltern und Großeltern womit Logo Rhythmen geradezu gequält bis zum anschlag das dass Sie die nicht mehr so Baron weil zu Zeiten wo man keinen Taschenrechner hatte naturgemäß die komplizierte die Rechnerei also naturgemäß es viel einfacher war Zahlen zu addieren als Zahlen zu multiplizieren und noch mal viel einfacher war zur oder uns also potenzieren noch Schlimmste war und wenn man potenzieren ersetzen kann durch multipliziert oder so ich an die ist man froh und das ist der Hintergrund von Logarithmentafeln ja das Produkt von 2 Zahlen kriegen Sie in Sie also wenn Sie so was drauf werfen kriegen Sie indem Sie loben addieren und das sehr wohl und Hafen verwendet wird man hat mit Tafel für das Problem der Multiplikation großer Zahlen auf die Addition zurückgespielt das war der Hauptzweck der Sache deswegen war das damals deutlich wichtiger als heute und ist nicht mehr so wichtig trotzdem sollte man wissen was nur gut
muss ist und was für den gilt er bei es weiterhin ja ganz wichtige Funktion des und es so und so viele Gleichungen gibt die Sie einfach nur lösen können wenn sie gewußt habe gut mehr es habe ich ihn
definiert was er Yoricks ist und die Unterfunktion und jetzt können sie sagen damit es aber ja nur ganz gut kleiner Bruchteil gelöst Kabelnetz erklärt was er auch Pie und jetzt kommt Jürgen schlau sagt und was ist dann zwar auch die wenn Sie sagen reizlose wieder sich der neue Reihe einfallen lassen für 2 hoch x dann sage ich nur das Problem muss sich nur einmal lösen und ich kann Ihnen jetzt wenn ich das er auch X kann jedes andere auch X oder Baouch X auch lösen und das ist der Kniff hinter der allgemeinen Potenz und dann auch dem allgemeinen Rhythmus und auch da helfen diese Potenz diese Rechenregel für den Logarithmus uns aus der Klemme also was ist jetzt interessiert ist nicht auch Ex sondern 2 O X oder allgemeine Potenzen B hoch X und die dazugehörigen aber der man also definiert man Baouch X
2 Hopi das ist zwar auch B EU können wir jetzt gehen die Reihe einsetzen kann man natürlich auch nicht explizit wirklich ausrechnen aber es hat zumindest meine kann nachweisen die Reihe konvergiert und kommt er mit zwar raus aber es ist 2 Opi und der Knef ist jetzt die Logarithmus Rechenregeln zu verwenden für den natürlichen Logarithmus und dieses Problem zurückzuspielen auf die Exponentialfunktion E also Sie haben jetzt neue Basis B gewollt BOX bestimmte also B positiv und X ist mir reelle Zahl so und jetzt ist die Frage wie definieren wir die auch X das ja was wir können es Ex das der keines wird was wenn natürlich wird muss und ich behaupte das reicht weil nehmen Sie mal er das BOX ja also es es sich mehr Rechnung mit definiere BOX wie auch X können Sie schreiben als er hoch allen von BOX das ist noch nur alles komplizierter gemacht sich mal klar es von allen von irgendwas ist wie wir das irgendwas weil allen ist die Unterfunktion Modellfunktion das ist doch kein noch keine gesehen weil wenn sie das aus einem wollen Sie mir noch BOX ausrechnen aber um stets noch allen von x hoch B können Sie schreiben als über auch X man allen von B das ist die Rechenregel verloren muss und da ist macht jetzt Sinn nach besten positive reelle Zahl allen bekannt so ausrechnen oder zumindest den Taschenrechner entlocken Ellen Begemann mit X multiplizieren und davon will sie ihre Funktion bestimmen das ist der vernünftige Größe die man für die man nichts Neues definieren muss und das ist die Definition von X auch Bitten der BOX noch x-mal den Logarithmus von 3 das ist die allgemeine Potenz Potenzfunktion das ja
und so kann man ja damit ist Baouch erklärt und jetzt kann man sich also zum Beispiel 2 auch B 2 auch b ist demnach hoch der einen von 2 und jetzt kann man sich die Funktion wieder anschauen und stellt fest auch die ist wieder umkehrbar auch dieses strengen wachsen also auch die Funktion des X zuordnet Biobricks ist streng wachsend und damit umkehrbar ja also was man muss sie immer diese Umkehrfunktion braucht es Lösen von Gleichungen der Form 2 OX gleich 5 wenn der nächste das zwar doch es gleich 5 ist dann muss man das 2 auch x invertieren X gleich was von 5 und das ist genau die Unterfunktion die jetzt kommt und das ist eben der Logarithmus zur Basis B und diese also diese
Unterfunktion der heißt Logarithmus zur Basis B denn der Logarithmus Naturales denn natürlich viel Rhythmus von oben ist der Logarithmus zur Basis E ist der hatten spezielles Zeichen weil am häufigsten vorkommt wird muss zur Basis B wird üblicherweise so notierte Lork zur Basis B und dass der Funktion auch auf nun endlich mit Werten denn er und definiert als die Umkehrfunktion von BOX das heißt die Logarithmus von X zur Basis B ist die Zahl zur des er ist das nahende dort muss von zur Basis B ist die Zahl x sodass des Woche X gleich Arzt aber vielleicht gerade noch mal hin also
Lord B von ist die Zahl x mit B hoch x gleich an 5 das ist wenn Sie die Gleichung wo es gleich aber die Umkehrfunktion drauf werfen der Stick x gleicht diese Umkehrfunktion von Art denn dafür ist Rhythmus wichtig um eben solche Gleichung auflösen zu können den schien die Gleichung so zum Sagen Sie über eine Lösung dieser Gleichung 2 urigste Szenen dann hätten sie hatten sich entweder Logo muss erinnert oder etwas ich denn sonst steht man etwas wie der Ochs vorm Berg und weiß ich was man
tun soll gut für diese allgemeine Potenz und die allgemeine geritten der im Prinzip die gleichen Rechenregeln lassen Sie mich die zur Vollständigkeit nochmal hinschreiben Rechenregeln 5 8 also 1. Potenzen die sind genauso wie bei der Exponentialfunktion nur dass sie halt jetzt sich in Yoricks sondern BOX da stehen haben
also des hoch die Summe von 2 ein ist was rechnen was nach Definition durch das ist die Definition von Bio X plus Y das war ja eh Wurst X plus Y X der allen von B 1 das ist die Definition der Potenz jetzt können Sie da oben auch Distributivgesetz darum aus multiplizieren das ist er auch XL allen D plus y 1 B dann können Sie die Potenz Rechenregel für die Ehe Funktion verwendet haben sie ihn hoch irgendwas plus irgendwas anderes das ist eben auch das eine irgendwas mal ich auch das andere irgendwas also jeoch XL die mal ich auch y ändern will und jetzt setzen sie wieder Definition einer Yoricks allen SPOX und er auch y 1 B ist BUY bei den sehen Sie was rauskommt ist das ganz gewohnte percent gesetzt wo X plus Y auch der der genauso können sie auch das andere Gesetz über
tragen die Potenz von der Potenz BOX auch y SPD hoch X X Y auch über die Funktion 1 zu 1 und als letztes noch wenn Sie verschiedene Basen haben also a mal b und potenzieren das zu Potenz X dann ist das das Gleiche wie auch x-mal wie auch PCs so lassen sich dann der Potenz Rechenregeln die Folgen alle aus der was den für ihren Titel geworden
was wird aber muss Rechenregeln da gibt es eine ganz wesentliche und die erledigt alles andere dies sei nicht der Traum und zwar stellt man fest wenn man einen Algorithmus kann kann man alle wir sie brauchen Sie nur einen und normalerweise mit bei dem die natürlichen habe sie können und andern dem könnte sich auch drauf
einigen dass man den Rhythmus zur Basis 217 als das Maß aller Dinge wenn es völlig egal wenn sie ein können können Sie alle und das liegt an der folgenden schönen Regel wenn Sie Logarithmus von B zur Basis X haben dann können Sie denn mit dem beliebigen B und sie gehen die lockeren Basis also zu einer anderen Basis dann können Sie den immer ausrechnen in dem Sinne wird man zur Basis E verwenden dazu Basis aber nämlich als Rhythmus von X zur Basis die teilte ich Logarithmus von B zur Basis an das geht für alle B x positiv danke das heißt wenn aber nächste beliebig also können Sie zum Beispiel dass als die Eulersche Zahl e wählen und kriegen damit insbesondere wenn sie den Look natürlichen
Logarithmus haben wenn sie den behandeln können dann kriegen Sie jeden anderen also Logarithmus von X zur Basis B können Sie in dem Sinne immer schreiben als natürliche Rhythmus von X durch natürliche Logarithmus von das heißt im Prinzip brauchen sagt ihren Taschenrechner nur einen einzigen Rhythmus in dem natürlichen oder den 10 oder in zweier oder irgendeinen üblicherweise natürlichen um wenn sie denn ein Logo Rhythmus haben dann brauchen sie einander nicht mehr bei jedem andern kriegen Sie so und damit kriegt man auch die ganzen Rechenregeln rübergezogen wir wenn Sie jetzt Rechenwege für den Logarithmus von X zur
Basis von X X Y zur Basis B haben wollen wenn Sie das immer umschreiben als er wird man zur Basis also noch natürlich und dann dort die Rechenregeln Verwendung wieder zurückschieben und auf die Weise kommt man auch hier auf die immer gleichen Regeln also der Logarithmus zur Basis B von dem Produkt X X Y ist die den natürlichen Logarithmus die wird muss von Basis P von X plus der Logarithmus zur Basis B von y und die Regel für die Potenz
also Logarithmus zur Basis B von der Potenz X auch y ist y Neider der Logarithmus von X zur Basis bilden das 1. hier gilt für alle positiven X und das zweite hier gilt für alle positiven X und für alle BNY die Regeln sind also für den aus Basis B gerade gleich musste was ist er dann natürlich eine gewollt muss und wichtig ist sich eben noch mal also sicher dabei zu merken man braucht nicht alle Brücken und zu können das reicht einer weil die sich auf diese angenehme Weise nannte umrechnen gut so viel zum Thema Logarithmus er sind an verschiedenen Stellen
wichtige Funktionen und ich will jetzt zum Abschluss dieses Kapitels noch 3 weitere Funktionen zeigen auch im Wesentlichen damit Sie die mal gesehen haben die man aus der Exponentialfunktion ableiten kann also reelle Funktionen und das sind die sogenannten
Hyperbel Funktionen vielleicht nachher kurz noch ein Wort dazu warum die Dame Funktion heißen jetzt erstmal Definition das ist auch nix großartig Neues die haben nur eine anschauliche Bedeutung und sind deswegen klingt es wegen eigenen Namen ich und für alle die sich schon mal
gefragt haben was auf ihrem Taschenrechner neben dem großen denn Sie diese komischen Kos und sie wird sein soll die kommen jetzt also das 1. ist groß große steht für Cosinus über wurde Kurs also irgendwie per Kabel Funktionen hyperbolischer Kursen aus und der ist nichts nichts großartig Neues der ist definiert als er auch X plus er auch minus X Heide also in dem Sinne direkt aus der Exponentialfunktion abgeleitet und man könnte Prinzip über und dem Kosovo Likus verwendet diesen Ausdruck ihrer Explosion minus x halbe hinschreiben das ist der Mittelwert aus dem Ericsson oder wo minus X er dann gibt es den dazugehörigen Sinus superbolicus wollen Großteil H ist ein große Schule wurde Kurs ist also nur über wurde Kuss nicht weilt der ist so ähnlich definiert SED auch X minus E auch minus 6 halbe das Ding nennt sich sie noch selber wurde kurz der und jetzt kann man sich mal frech
hinstellen und in Analogie
weitermachen als wir beim Trigonometrie bei der Trigonometrie Sinus und Cosinus hatten aber damit den Tangens definiert als sinnlos durch Posen aus und das können Sie jetzt hier genauso machen was ist der Tangente Boboli Kunsthandel von X das ist der Sinn unserer wurde Kunst durch den Kunden aus der wurde kurz das habe und jetzt meine ich Ihnen erst einmal die Grafen hin und dann sage ich noch ein bisschen was zu den Funktionen also Kurse so Sinus und sagen mir Kunst sie können und sehen wo man wahrscheinlich noch nicht was das
mit Kosinus Sinus und Tangens zu tun hat das ist kein Wunder ist auch nicht so ganz geradeaus also die sehen die Funktion aus denn also haben Kursus über wurde Kurs ein der an der Stelle 0 mehr was bisher Version 0 einsetzen Dulles 1 Jung minus 0 das auch 1 1 plus 1 ist 2 durch 2 S 1 also eine Stelle 0 ist der 1 und ansonsten seine gerade Funktionen aber wenn Sie statt X minus X einsetzen was steht darum minus 6 plus halbe dass ist wieder der Kosovo Likus von X also der schlug minus das gerade und was passiert wenn Sixt noch unendlich jagen oder wenn sie X groß werden lassen dann wird irgendwann die seit Jahren ich auch minus X ziemlich vernachlässigt und das Ding fällt sich wenn Exponentialfunktion und so sieht der Graf auch aus das Ding sieht so ungefähr aus wie ne Exponentialfunktion nach links und nach rechts ist der Kursus über Wohl Kunst ist keine Exponentialfunktionen ist der Kosovo Logos aber sich so ähnlich dann kommt der Sinus über wurde Kurs was ist deren Bestände 0
9 6 gleich 0 einsetzen steht da 1 minus 1 halbe 1 minus 1 2 bis 0 also der den 0 0 Durchgang auch hier wenn sie X nach plus unendlich wenn X groß werden lassen bitte ob minus Xtra Abend vernachlässigbar das ganze Haut API-Funktion wenn Sie X nach minus unendlich jagen sehr klein werden lassen dann haben Sie vorne ne auf minus er hoch und was Negatives was vernachlässigbar wird und das Ganze geht wie Exponentialfunktion nach minus unendlich und entsprechen sie da sie nur über wurde so ungefähr so aus schmiegt sich darum einen Großhadern und geht hier nach unten symmetrisch weg ungerade Funktion des symmetrisch punktsymmetrisch zum Ursprung und jetzt kommt der Tangente wurde Custer ist der
da der ist der Quotient aus
den beiden Sinus überhole durch Cosinus superbolicus wenn Sie sehen wenn man das macht für große X nähert sich der Sender sowohl die Kosten Kosovo Likus asymptotisch an wenn sie die baltischen eine dividieren kommt dem unendlichen 1 raus für grundsätzlich ist der ist der kleine 1 war der Kosovo Likus immer über den Sinus über wurde kurz liegt also für den Tangente wurde Kuss brauchen wir hier die also Tote 1 hier unten wollen noch die also Tote minus 1 und dann ist der Tangente sowohl groß so langsame Schlange die hochkriecht durch die 0 Geld und hier gegen 1 gibt das ist der Tamara so jetzt nach kurz 2 Worte nämlich zu den noch gar nicht verlieren zu der Frage was bedeuten die Funktion was sollen die 1. ist nochmal vom schöne Funktion aber die Hauptbedeutung ist er da kommt auch der Name her wenn Sie ebene Geometrie betreiben dann gehen sie Sinus Kosinus Tangens für den Dreieck Sommer habe alles gemacht kennen Sie seit längerem nun ist die Welt nicht immer flach ja das wissen auch seit einiger Zeit die Erde ist keine Scheibe und die Welt ist nicht nur flach und dementsprechend sehen dass dass sie Geometrie betreiben müssen auf gekrümmten also klassischer Fall Geometrie auf der Erdoberfläche sind 30 von 2 3 Patrice Paris-Moskau müssen für das Dreieck natürlich langes Regal ist 3 dann ist das kein lebendes treibt und wenn Sie daneben gehen und messen denn in der Summe wenn man sie verstehen die ist nicht P also heißt 180 Grad bisher war ich weil es kann in das der und es stellt sich raus sie müssen die Trigonometrie anpassen zu müssen die Trigonometrie entsprechend für die gehen auf die gekrümmte Oberflächen das ist wenn wir jetzt hier so irgendwie Vermessungs- ingenieurmäßigen darf der darum Triangulierung egal weil das ist eh alles so nah an Flach dass man diesen diese Abweichung vergessen haben aber auf große Strecken also wenn er welche Flugzeug Hose berechnet werden ich bitte so Rolle period er damit haben wir aber gar nix zu tun weil das ist mir positiv gekrümmte Fläche das wenn die Kugel Geometrie die hier die 3 sind auch für bourbonischen Geometrien zu Hause das heißt auf negativ gekrümmten Flächen also wenn sie eine viele Betriebe machen wollen auf dem Poser und Richter oder auf dem Trompeten Trichtern auf einer Fläche die so aufgeht dann er jetzt die 3 der Kursus Wohnsilos Sinus und Tangens und die ganze Trigonometrie stimmt wieder das ist die eine Bedeutung dieser Funktion mit der werden Sie wahrscheinlich wenig zu tun kriegen dies nur deswegen wichtig weiter das Haar das sie bedrohliche kommt mehr andere völlig unerwartete Bedeutung hat noch der große wurde Kusti auch noch verraten bei Kosovo Likus sehen Sie im Alltag ständig semicolon sowohl beständig zu tun und keiner weiß es der Kursus über wurde Kurswert auch Kettenlinie genannt und woran liegt das
also der Kosovo die größte diese Kurve da die heißt Kettenlinie und das heißt sie deshalb weil wenn sie eine Schnur eintrat eine Kette nehmen und lassen sie frei an 2 Enden baumeln also die klassische Falles Überlandleitung vom Strom oder eben auch mit Kette die einfach dann hat die natürlich ihre V hat schon immer drüber nachgedacht was würde fordert also mal die dann irgendwie aber welche Form es das und Reis also Stücke von Kreisbogen und ich habe von reparabel nichts von alledem ist große sowohl Kuss oder rechnen das freie frei einfach so aufgehängt die Kälte hängt sich in Form eines großen wurde Kuss das den heißesten Kettenlinie und das ist die deswegen sehen Sie das im Alltag ständig also Oberleitung sleit über Überlandleitung jede jede jeder Fahrdraht von der Straßenbahn in Darmstadt jede Kette die sich umhängen hängt in der Form eines Kosovo Likus also natürlich nur der Kette die dann kein Anhänger dran hatte aber also die Kette die über gleich wer es aber die hängt in der Form eines Kosovo LKWs noch eine Bedeutung von dieser Funktion bitte die tauchen genauso wie Sinus und Cosinus noch an 5 3 anderen Stellen irgendwie chaotisch in der Mathematik auf ich wollte sie gezeigt haben damit sie damit umgehen können da damit wenn die ihren wenn ihn irgendwann mal begegnen sich denken was ist denn das sein damit sie hier einfach Definition haben und damit rechnen können gut das ist dann der Abschluss zu diesem Abschnitt über Konvergenz von von Folgen von Rhein und jetzt in diesem elementaren exponential unteren muss Funktion und jetzt kommt wieder ein großer gesprungen und ich will eigentlich dahin zurückkehren wo ich die Reisens begonnen habe ich habe ihm gesagt ein Punkt weshalb man das Unendliche gern verstehen würde war immer das Problem also geschichtlich gesehen über viele Jahre wir viele 100 Jahre das Problem der momentanen Geschwindigkeit
und richtig gelöst wurde dieses Problem gleichzeitig in England von Juden und hier vor Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Preis die dann den Rest ihres Lebens im wesentlichen dazu gut zugebracht haben sich mehr Briefe zu schreiben dass sie jeweils die Erfinder sind unter anderem der und das Ganze ist in heutiger Sprache die sogenannte Differentialrechnung und Kapitel 5 gewidmet und die kann man jetzt auf viele Weisen motivieren ich Probier's mal über die momentan Geschwindigkeit das war eines der Probleme an dem sie wirklich hochkochte damals also wir bewegen uns so im 17. Jahrhundert 16. 17. Jahrhundert und der zentrale Begriff der Differentialrechnung in dem ich mich im 1. Kapitel der verschaffen fassen will ist die Ableitung den Begriff nehme ich mal an haben Sie schon mal gehört so also was soll dieses Problem
der momentanen Geschwindigkeit sein darüber haben sich in Minuten und Leibniz und andere mit einem mit dem damals noch nicht so genannten aber den Bereich der Physik beschäftigten Leuten beschäftigt sie haben ein Objekt das sich bewegt und sie haben so Strecke Zeit Gramm also auf der Welt auf der x-Achse tragen sie ab die Zeit die abläuft und auf der y-Achse an welchen period einer als linear angenommene Strecke sich ihr den befindet also es mir wohl noch überhaupt Liebe so Sachen reden wie das ist das das Gefährdung Kurven fährt oder so das Fett also ganz brav gerade aus die Strecke da hoch her und die Frage ist zu welcher Zeit befinde sich sein welchen Ort in diesem Zusammenhang zu welcher Zeit befindet sich an welchen Orten kann man natürlich relativ nahe liegend durch Mirko beschreiben so zum Beispiel soll im heißen zu diesem Zeitpunkt hier 0 hier befindet sich das Vehikel an dieser Stelle was in diesem Fall wenn ich so mal heißt das hat wahrscheinlich da man von links stillgestanden und hat dann langsam beschleunigt und ist mit zunehmender Geschwindigkeit der nach oben gefahren das mal so meine Probleme Begriff Geschwindigkeit die man jetzt die Geschwindigkeit von den Dingen bestimmt das Wall ist sozusagen die grundlegende Frage und was relativ einfach ist sind Durchschnittsgeschwindigkeiten für gewisse Zeitintervall also was ich machen kann ist ich messe zum Zeitpunkt der 0 Wo ist das denn ich messe ist zum Zeitpunkt t 1 an also ich habe zum Zeitpunkt t 0 hier meinen Ort an dem das Ding ist ich habe meine denn der heißt er von den neue also diesen Zusammenhang das bis zum Zeitpunkt t am Ort x am Ort F Fontänen bezeichne ich mit 11 also dieses 1. Funktion f von Till sie hier er von T 2 der von D 2 ist der Ort an dem das Gefährt zum Zeitpunkt des und dann ist es nicht schwer die Durchschnittsgeschwindigkeit Studie unter 1 zu bestimmen oder zwischen 11 von T 1 und er von T 2 dass man sie in dem sie einfach so tun was wäre das denn nicht auf der groben Cove gefahren sondern als wäre das denn mit gleichbleibender Geschwindigkeit in derselben Zeit von T 0 nach die 1 gefahren also als wäre es wir mit gleichbleibender Geschwindigkeit und das heißt in diesem Diagramm hier eine gerade von den 0 also von 11 unter 0 nach 11 von T 1 in der Zeit T 0 bis T 1 gefahren und von der gerade hier können Sie die Steigung ausrechnen dieser Grades genau die Durchschnittsgeschwindigkeit dieses Gefährt hatte zwischen 10 und unter als an also die Steigung der gerade in diesen in
diesem Schaubild entspricht genau der Durchschnittsgeschwindigkeit also die Durchschnittsgeschwindigkeit im in der es im Zeitintervall T 0 T 1 in dieser Zeit in dieser Zeitspanne entspricht der Steigung der Geraden durch die Punkte weil diese gerade nicht durch 2 Punkte fest durch die Punkte T 0 11 von 0 und T 1 er von T 1 am und so und die können wir einfach angeben muss man sich das Steigungsdreieck von der Funke von der geraden bisschen hinein und dann stellt man fest diese Steigerung ist er von T 1 minus 11 von T 0 durch T 1 minus 10 nur das passt alles auch von den Einheiten der Geschwindigkeit ist Strecken Differenz durch Zeitdifferenz für die Brotzeit gut aber damit haben wir das ganze Problem eigentlich nur kaschiert weil was willst auf die Weise kriegen Sie Durchschnittsgeschwindigkeit 1. Geschwindigkeit immer gemittelt über den der Wahl aber wenn wir jetzt einfach partout wissen wollen was ist die Geschwindigkeit von unserem Gefährt genau zum Zeitpunkt t 0 Zimmer keinen Millimeter weiter alle wollen nicht wissen wie die Geschwindigkeit durch schnell auf das mit der Wahl sondern wollen wissen zum Zeitpunkt des 0 wie groß war da genaue Geschwindigkeit das und das ist das Problem der momentan Geschwindigkeiten das hat einige Leute umgetrieben und das Problem ist es ist eben nicht lösbar ohne einen irgendwie rudimentären Begriff von Konvergenz der heutige Konvergenz Begriff der Stadt Leibnitz Union noch nicht zu Verfügung gerne noch so bisschen darum rum fand aber sie hatten wo die Intuition dafür und was ist jetzt die Idee in heutiger Sprache die die Heideggers Sprache ist naheliegend sie können keine momentan Geschwindigkeit bestimmen ist irgendwie schwielig warum was brauchen Sie dafür das und so konnte das Problem auch formulieren sie brauchen statt diese gerade die die 2 Punkte verbindet die Tangente im period für 0 also brauchen die Tangente an diese Kurve dem Punkte 0 sich anschmiegt und um diese Tangente zu bestimmen haben Sie eigentlich nicht genug Information sie wissen zwar dass sie durch den Punkte 0 11 unter 0 gehen musste mit dem sie einen period ihrer geraten aber fehlt der 2. alternativ müssten sie die Steigung wissen ja ist natürlich Wissens geht durch den und er von den nur 90 kennen die Steigerung dann können Sie die kann der denn mal das ist insofern würde also die Tangente haben wollen um genau diese steigen zu bestimmen das heißt auf die Weise können Sie die Steigung bestimmen Sie die Steigung bestimmen wo können und das ist Bürgerin Schluss ist muss wächst also gibt es da ein Problem und müssen wir diese Tangente rankommen und die Idee ist den Tod für Intervall also wenn sie doch solche in der Wale und machen die immer kleiner also Sie nehmen das die 0 bleibt an Unsinn denn jetzt da den T 1 und T 2 das Lernen und liegt und bestimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit auf diesen kleinen Intervall T 0 T 2 1 sind die 3 dass noch mehr dran liegt und bestimmt Durchschnittsgeschwindigkeit wir sehen schon wo die Konvergenz ins Spiel kommt ja Sinn T 4 das noch nie erlebt unter 5 noch mehr und so weiter grinsende Gefolge von solchen immer kleiner werden dabei eine Folge von Durchschnittsgeschwindigkeiten März jetzt können Sie hoffen dass diese Folge von Durchschnittsgeschwindigkeit auf immer kleinere Intervall am Ende konvergiert gegen einen wert und diese werden muss doch wenn ich alles Unfall so zugeht die momentan Geschwindigkeit 0 sein ja und das ist die ganze Idee der Ableitung also was man macht es nur wir die Geschwindigkeit intern oder haben da und die man sind liebenswert in dem Sie dieses T 1 hier immer näher an das Ziel nur schieben also ein Grenzwert T 1 gegen 10 0 von diesen aus vor für die Steigung m das ist der Ausdruck für die Steigung zwischen dem Punkte nun unter 1 lassen Sie das der 1 gegen die neue gehen waren das Intervall immer kleiner und hoffen dass dieser Grenzwert existiert und dann stellt sich raus und das im Allgemeinen macht ist die dieser Grenzwert nicht immer die Frage wann dieser Grenzwert existiert es wieder einen interessanten
Fragen und was man in so einer Situation dann nur machen kann ist also man hat so wird man hätte gern dass der möglichst oft existiert und existiert nun mal nicht immer und wenn der Ex ist dann macht man es einfach so dass man sagte Funktion ist besonders schön es besonders brav oder nett wenn Sie diesen Grenzwert ist dabei der Grenzwert existiert und dieses braven Umwelt heißt in dem Fall differenzierbar also wenn man eine Funktion an einer Stelle differenzierbar den Sie uns den Gefallen tut dass dieser Grenzwert existiert und das ist die 1. Haupt wichtige Definitionen in dem Abschnitt also Differenzierbarkeit 9 1 ich ja er demnach auch Beispiele zeigen an dem man sieht es geht eben nicht immer diese Idee auf diese Weise momentan Geschwindigkeit zu bestimmen funktioniert nur wenn ihr Essen einigermaßen schön glatten Grafen hat was auch immer Glatteis tief aber die Idee ist das was hier steht sie neben diesen Quotienten der die Steigung der diese kannten beschreibt den sogenannte Differenzenquotienten und lassen jetzt die 1 gegen die 0 gehen und hoffen dass dieser Grenzwert existiert warum es ist ein interessanter Grenzwerte weiß mal wieder Tauziehen ist was passiert wenn sich die einstigen den und laufen lassen mit dem man da sieht man sofort wenn man T 1 gegen 7 Uhr läuft dann wird das beliebig klein gegeben nur war das ist schon mal gefährlich wenn sie mir dagegen nur der aber der Zelle hilft was passiert wenn es nicht besonders bekloppt ist unter 1 gegen 4 0 geht also unser Bild oben wenn sie Sonne ständige Bewegung haben dann wird er von T 1 natürlich gegen 11 unter 0 gehen das heißt auch der Celler geht gegen 0 das ist wie den Grenzwert von der Form was was gegen 0 geht durch das was gegen 0 geht das interessante Fälle weil der obere der Celler versucht klein zu drücken wenn er versucht zu drücken und die Frage wer das Tauziehen gelebt also interessanter Grenzwert von dem man eben nicht ganz abstrakt entscheiden kann ob er existiert aber wir sagen jetzt eben einfach wenn er existiert nennen wir die Funktionen der Stelle differenzierbar also die Funktion brauchten Definitionsbereich und das sei in dem Fall ein offenes Intervall L also man differenzieren geht hätt ich gern dass die Funktion auf dem aufm Intervall definiert ist wenn wir das das ist
rein technische Voraussetzungen die Schwierigkeiten vermeidet normalerweise zu Funktion dann auf er wurde auf die positiven Zahlen die definierte dass kein Problem ist also unsere Funktion f sei auf Intervall definiert nach er so auch und jetzt kommt der Differenzierbarkeit Begriff ich habe schon mehrfach gesagt was die für uns
hier bedeutet Herr gut es kommt normale Differenzen Prozent also sie haben 2 Punkte Excel X 0 in ihrem Intervall und dann heißt dieser Ausdruck der da oben steht jetzt mit x 1 x 0 statt T 1 und T 0 also dieser Ausdruck F von X minus 11 von x 0 durch X minus 6 0 nur dass das was da oben steht mir das jetzt in die Zeit Zeit hat im des natürlichen Buchstaben das die ich schreibe zwecks an sich habe die einzig durch X ersetzt und die Tenure durch x neue diese kurz ihren heißt Differenzen Quotient aus inhaltlichen Gründen das ist ein Quotient von 2 Differenzen einfach nur weil dieses Wort hunderttausendfach auftauchen wird und dieser Differenzen Quotient ist nicht
nur irgend komischer Quotienten sondern der hat wie gerade gesehen anschauliche Bedeutung und das ist wichtig sich das klar zu machen der entspricht der Steigung der Geraden auch häufig genannt sie kannten durch die oben gesehen durch die Punkte x 0 f von x 0 und X 1 f von X 1 na also wenn Sie 2 Punkte auf dem Grafen sicher nehmen und die durch mit gerade verbinden dann ist dieser Differenzenquotienten Steigerung dieser gefragt das ist das sozusagen dass sie ohne Grenzwert Begriff hinkriegen was schon die
die alten Griechen gekriegt haben und jetzt lösen das Problem der Tangenten das Problem der normalen der der momentan Geschwindigkeit jetzt Mama den Grenzwert von dem Ding für X gegen x 0 also machen das Intervall immer kleiner auf dem wir die Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmt und wenn dieser Grenzwert existiert dann heißt das F eben differenzierbar also 11 heißt differenzierbare an der Stelle x 0 x 0 ne natürlich falls jetzt dieser Grenzwert existiert der Differenz
der Grenzwert Differenzenquotienten 4 X gegen x 0 also Sixteen x 0 F von X minus f von x 0 durch X minus X nur das heißt der existiert dann nennt man die Funktion differenzierbar und dann gibt es die Folgen der hoffe ich schon mal gesehen die Schreibweise diese Grenzwert also den Limes X gegen x 0 F von X minus F von X 0 durch X minus 6 neue das ist zu lesen im Sinne von Funktionen Grenzwerte was von paar Wochen hatten den bezeichnet man als 11 Strich an der Stelle x nur er oder auch häufiger mal vor allem wenn es mehrere Variablen gibt gebräuchlich die oder mindestens das stark physikalische angehauchte Anwendung ist die f nach d x von x 0 er in diesem Notations durcheinander dass es bei den Ableitungen gibt wird der vorhin an Abg angesprochene Briefwechsel nach f Strich oder f period ist Leibnitz Notation G f nach d x ist mir um Kleider das unabhängig von der entwickelt jeder hat seine eigene Schreibweise gehabt und bis heute den Ball benutzt denn die Estrich Notation gehäuft in der Mathematik die die Nacht die die nach DX Notation gehäuft in der Physik oder auch in den in ähnlicher in der Mechanik und so weiter aber wie gesagt diesen völlig lohnen zu verstehen er an gut dieses denen diese
Zahl also dieses F Strich von x 0 Zahlen und das ist anschaulich also in dem urigen Problem die momentan Geschwindigkeit zum in dem Fall Zeitpunkt x 0 oder eben die Tangente an den Grafen die Steigung der Tangente an den Grafen nix los und die diese Zahl nennt man auch die Ableitung von 11 an der Stelle x 0 gut so damit haben war die Ableitung
definiert und was man dazu klar sagen muss diese dieser Begriff der Differenzierbarkeit ist wenn man so will eine Notlösung natürlich hätte man es viel lieber diese Grenze existiert einfach immer tut nicht weil das nicht tut muss man den für den Fall wo es Toten Namen geben und das ist der Name differenziert so was man aber oft wird es nicht wie hier differenzierbar in einem Punkt soll man hat aufzutun mit Funktion die nicht nur einem period differenzierbar sind sondern in jedem Punkt und dafür gibt es auch eine Sprechweise Funktion nennt man dann differenzierbar auf E wie war das Intervall auf dem die Funktion definiert ist und wenn man sagt differenzierbar auf E dann ist damit gemeint dass es in jedem x 0 aus I differenzierbar ist mehr mehr das ist einfach nur der
abkürzende Schreibweise anstatt zu sagen es ist iX 0 differenzierbar für alle x nur aus wie sagt man etwas auf die Differenz im Amt in dem Fall kann man jetzt folgen schönen
Trick machen wer und zwar kann man jetzt neue Funktion definieren die Funktion f Strich dies wieder auf die definiert geht nach er und da in jedem Punkt x 0 als I zu den Ableitung Swärd F Strich von x 0 ja sie können es in jeder Stelle ableiten an jedem Punkt x 0 auf Ihr diese diesen blindes bestimmen und es geht ihm dienende Funktion und diese Funktion nennt man die Ableitung von 11 oder auch wenn man es genau war haben wir die Ableitungsfunktion von 11 also Ableitungen oder genau Ableitungsfunktion von 11 und das ist denke ich das was ich schon paar mal gesehen haben dann wenn sie es haben können Sie die Ableitung ausrechnen gut er bevor ich
beispielhaft ein paar Funktion anschau auf Differenzierbarkeit und haben ausrechne möchte ich noch eine Umformulierung dieses Grenzwertes davon vornehmen also ich habe in die Definition ist die Funktion ist differenzierbar an der Stelle wenn diese Differenzenquotienten vernünftigen Limes hat Felix Giggs 0 und war diese Fehrensen Quotient lieben so verdammt oft ausrechnen muss ist es gut wenn man da so ein paar Tricks Kniffe und mit Toten hat die man sich denn manchmal vereinfachen kann und das ist die 1. einfache Vereinfachung er er und zwar es gibt 2 Möglichkeiten das anzuschauen sie können sich das ganze anschauen als sie an der Stelle x 0 und sie an das X in der Nähe und dann schieben sie gucken sich das dabei zwischen XX 0 1 machen die Tangente und jetzt stehen Sie das X 1 6 0 1 oder Sie sagen Sie sitzen mit 0 und in ein kleines Stück nach links oder kleines Stück nach rechts dieses kleine Stück wenn man üblicherweise und vergleichen den Wert an der Stelle x 0 plus H mit dem wird eine Stelle x 0 und diesen Übergang denn dann das macht man indem man als hat das Haar ist sozusagen der Abstand von dem XX 0 und jetzt ist es relativ offensichtlich wenn das X gegen x 0 dann geht dieses H gegen 0 wenn Sie XP nix 0 schicken also darf davon XX wird immer kleiner dann bedeutet das das umgekehrt dieses Hades Differenz ausdrückt gegen 0 geht und damit können Sie jetzt diesen Grenzwert von Differenzenquotienten den Mann ja betrachtet also der die Ableitung an der Stelle x 0 definiert nochmal was war der das war der Limes X gegen x 0 F von X minus f von x 0 durch X minus x 0 den können Sie jetzt Äquivalent darstellen also wenn der existiert existiert auch der anderen umgekehrt und die Werte sind gleich in dem sie eben diese Setzung H ist X minus x 0 einsetzen was ist ein X X ist dann x 0 plus H also hier steht ein minimales für H gegen 0 f von x 0 plus Haar minus f von x 0 durch x 1 x 0 durch haben das ist absolut identisch zueinander das heißt sie können sich entweder mit dem linken Grenzwert abmühen oder mit dem rechten das ist egal wenn wenn sie ein von den beiden Griff kriegen dann ist das Ding differenzierbaren der wert ist die Ableitung noch ein
Kommentar zu dem 1. Differenzenquotienten sie brauchen sich nicht damit um quälen sich zu merken ob der F von X 1 f von x 0 oder f von x 0 wie das F von X steht wichtig ist dass sie oben und unten die gleiche Reihenfolge nehmen also wenn Sie oben F von X würde dass er von X schreiben und nix nur minus X es auch wieder gut waren ansieht mit minus 1 gekürzt wird das ist egal wichtig ist eben die Differenz der Funktionswerte durch Differenz der der Argumente mit gleicher Reihenfolge gut also jetzt versprochen Beispielen
er ganze Stapel Beispiele an dem man so typische Vorgehensweisen sieht und auch typische Fallen und vor allem auch Beispiele von Ableitungen die man ständig braucht mit einfachen Funktionen im Jahre Funktionen geraten eigentlich müsste man ja sagen wir mal ein praktisch denkender Mensch es brauche überhaupt nicht machen weil sich das Reden über der werden aus der die Steigungen period aus was die Steigerung von der geraden mehr natürlich in dem Fall dass wir also bei der F von X gleich 1 bis B ist der Graf die gerade Steigung also muss gefälligst doch bitte schön für die Ableitung an der Stelle x jetzt rauskommen trotzdem ist über interessante sehen ob das was wir uns überlegt haben völliger Kokolores ist und mal zu schauen ob hier rauskommt zu als 1. einfach Beispiel ja also wir haben dich Geradengleichung mit ARD aus er und der Definitionsbereich von der Funktion sei ganz er ist ja kein Problem so was müssen wir machen um die
Differenzierbarkeit nachzuprüfen und um die Abmeldung auszurechnen wir müssen den Grenzwert von Differenzenquotienten anschauen also wir nehmen uns x 10 x 0 aus er her und schauen uns an was es F von X minus f von x 0 durch X minus X nur wir müssen einsetzen A X plus B minus A X 0 minus Ä durch X minus X nur da man worum es bei dem schönen Effekt dass sich das B weggeht plus B minus bis wollen ist können wir ausklammern bin dann steht oben A X X minus x 0 geteilt durch X minus x 0 wunderbar dass es ja wer und was wir eigentlich uns interessiert es nicht dieser
Quotient sondern gelingt es Felix gegen x 0 aber da ist es nicht mehr schwer zu bestimmen also wenn wenn wir sie lieben es links und rechts sogar werfen im es wächst geht nix 0 denn dies links gegen die Ableitung Unrechts von der Konstanten A 1 hat also ist das 11 differenzierbar auf ganz er war wenn das für beliebige 6 0 gemacht x 0 das ging für jede 6 0 das Ding ist auf er differenzierbar und der wird der Ableitung an der Stelle x 0 ist der Limes von X gegen x 0 vom Differenzenquotienten also F von X minus f von x 0 welch x 1 x neue das ist der Limes X gegen x 0 von und das ist Aachen also es kommt tatsächlich das
raus was ausgeweitet die Steigung der Geraden ist in jedem Punkt 8 schöne basteln Sommer und diesen komplizierter weiter steigende langsam
was ist demnächst kompliziertere Funktion eine quadratische also nehmen weil ich dann Parabel f von x gleich x Quadrat auch ich auf ganz er definiert wir schauen uns wieder den Differenzenquotienten an also wenn man uns x 1 x Lolas R und schauen uns an wie das mit dem Differenzenquotienten passiert
also wir brauchen F von X minus 11 1 x 0 durch X minus X nur und von den Grenzwert x gegen x 0 einsetzen der Funktion das ist Grenzwert X gegen x 0 X Quadrat 1 x 0 Quadrat durch X minus 17 Uhr mit Sitz auf den 1. Moment so aus dass wir das in Dover Grenzwert Mensings gings 0 jetzt laufen lassen müssen Sie nix weiter geht's um genommen und gegen 0 muss man ein bisschen dran rum kneten und die richtige Idee ist hier zu sehen dass man oben und zwar 3. Binom anwenden kann oben ist das nämlich das Gleiche wie X minus 6 0 X X plus 6 0 Naumann das mein geschrieben hat sie und wie es weitergeht das können Sie das x 1 x 0 raus Kerzen
das ist Limes X gegen x 0 von X plus 6 0 ja der Grenzwerte es jetzt einfach Limes X gegen x 0 von EXIST x 0 wie 6 ging's nur von nix Neues auch x 0 also dass ist 2 x x nur also
kriegen wir auch hier dass die Funktion auf erledigt war es auf auf ganz er differenzierbar ist bei dieser Grenzwert für jedes x 0 aus er existiert habe das war das Kriterium für die Vollziehbarkeit der Grenzwert existiert und Sie können auch die Ableitungsfunktion hinschreiben der Werte Ableitung an der Stelle x ist immer 2 sollten Sie jetzt in der Schule schon bisschen differenziert habe man nicht überraschen dass die Ableitung von X Quadrat 2 x ist kommt als auch aus das kann man auch allgemein machen ich lasse dazu
herzlich ein und ich glaube das nächste Übungsblatt tut das auch also was passiert wenn Sie jetzt nicht X Quadrat machen sondern sie gehen gleich mal die Freude machen X auch enden also X auf 37 und dann kriegt man mit einem etwas ausführlicheren aber ähnlichen Argument auch aus was die erste Ableitung ist also auch die Funktion des überrall differenzierbar und 11 Strich von X ist eben mal x hoch N minus 1 wenn Sie ihn gleich 2 Sätzen sehen sie kommt zweimal x hoch 1 ist nix raus passt zusammen das ist die allgemeine Formel das es weiß jetzt nicht ob es bis auf Übungsblatt geschafft hat er es nicht das Übungsblatt geschafft hat lasse so als Übung stehen mehr so nachdem wir jetzt 2
Beispiele gesehen haben von Funktionen wo das gut geben differenzieren sage ich Ihnen jetzt ein Beispiel wo es schiefgeht das ist auch das Standardbeispiel das einfachste sozusagen also eines der einfachsten muss schief geht nicht die Betrags Funktion also F von X ist Betrag von x auch definiert auf ganz er und ich schaue mir das nur an an der Stelle x 0 gleich 0 1 2 gleich 0 ist bei Betrag
Funktion die spannende Stelle normal wie sie der Graf aus so war da und jetzt interessiert mich die Ableitbarkeit an der Stelle x 0 gleich 0 also was müssen wir tun immer wieder die gleiche Definition müssen uns den Differenzen Quotient anschauen F von X minus f von x 0 durch X minus 6 0 und da müssen wir nach den Grenzwert XTX 0 wie dann gut alles einsetzen x 0 bis 0 er dass der Betrag also hier steht Betrag von x Mindestbetrag von 0 durch X minus 0 also Betrag von x durch x so was ist denn jetzt Betrag von x durch x das ist relativ
übersichtlich da gibt es nämlich jetzt nur 2
Fälle was passiert wenn das XP das wäre 6 0 ist dann macht das Wort keinen Sinn wenn das X 0 ist aber auch der Betrag X oben 0 also meinetwegen könnte man dann noch über 0 debattieren oder sonst was wir gleich sehen ist egal was passiert wenn das X positiv ist dann ist der Betrag X oben einfachen X entsteht der ängstlich X da haben Sie ja 1 was passiert wenn das X negativ ist dann haben Sie an der Stelle oben minus X minus 6 durch X ist minus 1 mehr so was müssen wir machen wir müssen uns von diesen Ausdruck den
Grenzwert X gegen 0 angucken und da sitzen sitzen sie was in der Tinte war der Grenze existiert offensichtlich nicht wenn sie sich von rechts 1 0 1 mehr kommt 1 raus wenn sich von links ein Wiehern kommt minus 1 raus also könnten sie noch so was wie rechts und links sei den Grenzwert jeweils produziert aber ein Grenzwert ganz sicher nicht also in dem Fall hat man Pech gehabt der Limes X gegen x 0 von diesem Ausdruck F von X wenn das er von X 0 durch X minus x 0 der existiert nicht und die Betrags Funktion also dieses 11 ist nicht differenzierbar in 0 das ist das eines der einfachsten Beispiele für eine Funktion die tatsächlich nicht differenzierbar ist nein das einfach beispielsweise Funktionen gesprochen haben wenn wir gleich noch zu kommen warum ist denn das Ding gefährden ich differenziere was passiert denn hier was ist die Anschauung von der Ableitung der anschauen der Ableitung es die geht ihn an die Steigung an dieser Stelle des Funktionsgraphen wenn sich die mittags Funktion anschauen dann ist die Steigung an vielen Stellen völlig klar sehen Sie zum Beispiel hier sich die Funktion angucken da ist die da einfach diese gerade die hochwürdige natürliche Steigung 1 aber was soll denn die Steigungen 0 bitte schön auch sein sehr Grenzwert liefert uns die Steigung an der Stelle x nur in dem Walde steigen Stelle 0 wenn sich an der Stelle nun hat diese Funktion so knicken was ist denn jetzt die Steigerung werden Sie von links dahin laufen ist im Minus 1 also von rechts laufen sie plus 1 der Zusage diesen wohl nur weil die Funktion liegt so schön auf dieser 0 Tangente aber auf minus one half oder halte sie nicht es gibt einfach keine vernünftige Definition für diese Steigung dementsprechend hat ihn auch die Differenzen vorziehen keine werde liefern aber es gibt keine vernünftige Definition alles zwischen minus 1 und 1 ist irgendwie vernünftig und dementsprechend funktioniert sie nicht und sie kriegen keine keine Ableitung an dieser Stelle in allen anderen Punkten x und das er ist es Ding differenzierbar mit Steigungen einzu- positive X oder minus 1 wie negative aber nicht der nur eben nicht so auch noch ein viertes
Beispiel im Wesentlichen bei mir das noch braucht im weiteren Verlauf ja und zwar die Wurzel Funktion der also F von X ist Wurzel X und als Definitionsbereich nämlich hier aus gutem Grund das offene Intervall von 0 bis unendlich im Prinzip können Sie wozu natürlich auch noch in wurde definieren er nur von 0 ist 0 dass man könnte das oder eckige Klammern machen aber wir werden gleich sehen und das zeigt sich dann auch Grafen die Funktion die Worte Funktion diese 0 nicht differenzierbar über sonst ja deswegen wir sie jetzt mal raus was
müssen dann machen wir müssen wenn die Vereinten Quotienten anschauen F von X minus 11 von minus f von x 0 durch X minus 6 nur gut setzen bei allen F von X ist Wurzel x f von x 0 des Wurzel x 0 durch X minus 6 nur da kann man jetzt wieder keine guten Grenzwert sie das hat man oben Kameras und kann nur als aber es ist der gleiche Trick wie vorher beim Quadrat wir jetzt umgekehrt jetzt haben wir unten im Männer höhere Potenzen stehen und was man hier machen muss ist auch den den er hier wieder als 3. Binom schreiben des ist nicht ganz so offensichtlich aber es genau der gleiche Trick das ist oben Wurzel x wie das Wort x 0 durch Wurzel X minus Wurzel x 0 x Wort Slicks plus war zunächst nur das darf ich weil ich zunächst 0 beides positive Zahlen sind ja also x 1 x 0 müssen die Gassen Definitionsbereich sein das heißt die sind beide größer 0 das den gab ich aus den Wurzeln ziehen und dann kann ich dieses x 1 x 0 kompliziert schreiben es diesen dritten genommen weil das komm raus wenn Sie den 3. bin rückwärts machen da kommt aus Wurzel x Quadrat minus Wort Slicks 0 Quadrat also x 1 x 0 so jetzt können sie wieder kürzen und das raus was übrig bleibt ist 1 durch Wurzel aus X plus Wurzel aus 6 0 und jetzt können Sie hier den Grenzwert machen was passiert wenn sie jetzt XTX nur laufen lassen im macht man erst Grenzwert Satz Grenzwert von dem ganzen des einst durch Grenzwert von dem und immer mehr was passiert mit X-Gene x 0 werden müsste sie mit Wurzel x wenn ich's Gimmicks 0 geht das ist die Frage der Stetigkeit die wozu Funktion ist stetig also die Wurzel X genutzt x 0 und was hier übrig bleibt ist ein Stichwort Slicks 0 plus Wurzel x 0 oder 1 durch 2 Wurzel x 0 wir sehen Sie schon den 6 nur gleich 0 probieren dann das an der Stelle gelaufen heran also das wird in so zumindest in neue nicht funktionieren es funktioniert gar nicht aber für alle anderen x größer 0 kriegen wir das die Wurzel Funktion differenzierbar ist und die Ableitung des einst durch 2 Wurzel X also für alle x größer 0 und das hier echt größer 0 steht ist wichtig gut mit der nächsten ganze Stapel von Saarwahl sehr einfachen Funktion die wird sie entziehen können über kompliziertere Funktion differenzieren können und was sonst noch alles aber dem zu sagen ist soll ein Teil dessen was noch zu haben zu sagen ist wenn ich ihn morgen zeigen für heute das ist bei vielen Dank die Aufmerksamkeit und noch nen schönen Abend
Brücke <Graphentheorie>
Summand
Momentenproblem
Gleichungssystem
Natürlicher Logarithmus
Gradient
Kreisbogen
Negative Zahl
Kettenregel
Offene Abbildung
Tangente <Mathematik>
Gerade
Sinusfunktion
Addition
Positive Zahl
Irrationale Zahl
Differenzierbarkeit
Ruhmasse
Stetige Funktion
Gleitendes Mittel
Biprodukt
Konstante
Polynom
Absolute Konvergenz
Keim <Mathematik>
Höhe
Kettenlinie
Mathematische Größe
Geschwindigkeit
Algebraisch abgeschlossener Körper
Trigonometrie
Folge <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Physik
Verweildauer
Exponentialfunktion
Normale
Quadrat
Variable
Reelle Zahl
Flächentheorie
Graphische Darstellung
Zeitintervall
Distributivgesetz
E-Funktion
Differenzenquotient
Gleichung
Unendlichkeit
Komplexe Ebene
Strecke
Geometrische Reihe
Zeitdifferenz
Grenzwertberechnung
Punkt
Natürliche Zahl
Scheibe
Arithmetischer Ausdruck
Triangulierung
Ableitbarkeit
Stützpunkt <Mathematik>
e <Zahl>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Exponent
Physikalischer Effekt
Reihe
Fläche
E-Funktion
Hausdorff-Raum
Zahl
Dreieck
Maßeinheit
Ableitungsfunktion
Summe
Umkehrfunktion
GERT
Betrag <Mathematik>
Ganze Zahl
Fünf
Mathematiker
Potenzreihe
Planimetrie
Akustooptik
Koordinaten
Geometrie
Differentialrechnung
Total <Mathematik>
Tiefe
Physikalische Theorie
Vollständigkeit
Multiplikation
Ungleichung
Logarithmus
Kugel
Polarkoordinaten
Ende <Graphentheorie>
Stetigkeit
Mittelwert
Kleiner Bruchteil
Kosinusfunktion
Wald <Graphentheorie>
Kurve
Quotient
Schwingung
Diagramm
Hyperbel
Variationskoeffizient
Reelle Funktion

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Exponentialfunktion und Differenzialrechnung
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 19
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/35629
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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