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Elementare Kombinatorik und Geometrie

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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass es verlängert werden an der TU-Darmstadt K so dann
mal herzlich willkommen bevor ich denn es inhaltliche einsteigt noch 2 Anmerkungen die ich gebeten wurde von der Übungs- Organisation weiterzugeben da mir heute die 1. Übung angefangen und wir an das Chaos zu sortieren haben es gab ein Chaos heute morgen bei der bei der Gruppe 28 um 8 Uhr da er wurde ich gebeten noch mal klar sagen diese Gruppe findet in Zukunft statt also wir da drin saß und sich wunderte oder wer raucht aber am Anfang und zwar nehmen und dann frustriert wieder gegangen ist das war ein einmaliger Fehler von unserer Seite und oder nächste Woche findet diese Gruppe ganz normalen wie geplant statt er und die zweite Anmerkung betrifft das das heute also als der und über Schmidt es durch die Übung gelaufen hat mal geguckt wie die Lage ist und festgestellt da da ist er eben viele da waren klar aber dass auch ein ganzer Stapel heut um 9 Uhr 15 Übungsgruppen waren die eigentlich angemeldet sind aber zu einen Termin und da fangen jetzt will die Chaos Probleme an als ich habe klar gesagt und das bleibt auch so wenn ich angemeldet ist so riesig eine aus das heißt jetzt bitte schön ich dass sich alle ein aufsuchen ja klar ist 59 schöner als um 8 Uhr aufzustehen aber fangen Sie jetzt bitte nicht an dass jeder durch die Gruppen vagabundiert wussten gerade am besten passt das heißt es nicht also die klare Ansage werden Anmeldungen hat die bitte auch in die Gruppe vor angemeldet ist wenn dann Leute gar nicht hören bestritten warum sind Sie dann in der Gruppe angemeldet ich weiß Antwort war keine andere frei war er klar nur wieso man dann planen also deswegen wäre einer Gruppe angemeldet ist wohl nicht getan und damit 1. er die Planung erschwert und zweitens anderen die Möglichkeit nimmt sich anzumelden meldet sich diese möglichst spät mehr stell bitte ab dass es auch einfach unfair gegenüber die die denn hin würden und nicht können aber ich weiß man wie das Material kommen und so weiter klar es gibt ja auch die Möglichkeit jederzeit diese Veranstaltung anzumelden ohne Gruppen Zuweisung sprich in diese Sammelgruppe ich möcht zu keinem möcht nur ab es ich möchte mich an der Übung teilnehmen das heißt ja nicht dass Sie das unbedingt zu möchte und Sonne das heißt ich brauche es mal würden an wenn er in dieser Gruppe darf sich bitte jeder anmelden der Makler das muss nicht so bleiben das ist das ist ja Anmeldung damit man das Material kaum völlig okay ja aber sich in einer Gruppe anzumelden also man hingeht ist er maximieren und und nimmt an den Leuten die Möglichkeit also bitte das bleiben lassen und ansonsten haben wir jetzt ziemlich genau Eindruck welche Termine stopfen voll sind und welche ja ist denn heute Morgen um 8 Uhr waren sehr angenehm besucht da kann man noch 2 3 Leute man und wir werden jetzt versuchen nachzusteuern völlig klar hoffen das nächste Woche und das Chaos geringer ist aber ich möcht' doch sehr darauf drängen und bitten das nicht Plätze blockiert werden nur der Anmeldung will es nun die Anmeldung geht kann man das problemlos in der Gruppe oder Termin tun dann ist man angemeldet haben gut dann kann ich im Prinzip loslegen es gibt noch eine es gab eine bitte zu heutigen Vorlesung als eine Gruppe gibt die nach der Vorlesung ich Dante Peter mit der Presse und brennenden Reifen auf die sich diese musste sich heut bitte ohne Pause durchzieht das vom kurz vor 4 fertig sind von vor 4 kann ich gerne tun da wir dass sich die Leute nicht wundern wurde die Pause bleibt der ein dies am Ende machen die Pause mit dem Ende zusammen gut ansonsten aber letzte Woche den Abschnitt etwas gestern den Abschnitt 3 fertiggemacht das war so und hieß elementare Beweise mit wurde enthielt neben bei noch so bisschen Kram wie gesund Notation da und ich komme jetzt so und relativ kurzen Abschnitt ja eine Frage er ist die Frage nach dem Skript ich weiß dass die Wirtschaft Informatik als habe das ich geschrieben aber die Vorlesung habe ich Zeit ich jetzt geht dieses Jahr zum dritten Mal da ich sonst gibt es arbeitet für diese Veranstaltung gibt es in dem Sinne keins das war jetzt nicht drin also geschweige denn ich weiß noch nicht mal was ich in 5 Wochen erzählen aber ich weiß dass das Dorf ist deswegen ja auch die vielen andern Angebot ist ich will also für mich es ist mir vor allem wichtig weil es eine Möglichkeit gibt dass man nicht mittragen muss deswegen ja auch wie gesagt alles was ich hier schreibe kommt ins Zug haben es gibt die Aufzeichnung es geht alle möglichen Methoden es gibt ihn leider kein schönes gebundene Skript er ich kann mehr weil sie es nicht es geht von der parallel Vorlesungen im Falle von den Maschinen war weil ich möchte ihn nicht des Informatikers Grit zumuten das ist eine andere Baustelle das ist deutlich mathematische unbewusst deutlich mathematischer das heißt es ist vom IS gibt der Wirtschaftsinformatiker ist einfach ungeeignet es gibt es Krieg für den Maschinenbau Vorlesungen das ist vom Herrn Ralf das ist seit vielen Jahren erprobt und läuft das enthält viele Teile die wie auch machen in anderer Reihenfolge also was ich mir vorstellen kann ist ich kann Ihnen dieses Skript das kann ich natürlich nicht ändern weiß ich habe ich habe nur PDF PDF kann ich in der wir uns stellen und ich bin dann gern bereit in der Vorlesung in der jede Nummer sozusagen die Nummer diese PDF Wenn's zusammenpasst anzupinseln das kann ich machen ja das wäre sozusagen soll Skript mir fällt im Moment nicht ein tja wobei das mit diesem Skript von der bereits im Moment auch noch nicht recht passt weil ja also ist kann ich so er ab nächste übernächste Woche machen wir voll ist der Inhalt nicht zusammenpasst ja aber darüber dass der darüber denke ich schon länger nach aber das sehen was los deren genau mehr habe ich im Moment aber einfach selber nicht gut sonst noch Fragen zum organisatorischen die ja da gibt es ist es ist einfach viel danke mal ja ja ja das wär oder dass wir wollen sie die Hausaufgaben selber ausdrucken sich den wichtigen Tukan drin er geht wird die Veranstaltung und scrollen Sie zum Material und da steht und mal das Übungsblatt wenn sich das ausdrucken und mitbringt wo mir das gut gut ein weiteres gut also dann steigt jetzt ein in wie gesagt ein relativ kurzes Kapitel überschrieben elementare Kombinatorik da geht es ja weiß ich Kombinatorik das Wort werden Sie vielleicht die wir schon einmal gehört haben oder auch nicht er der geht zum Arzt Siedlungsfragen also fragen wie viele Möglichkeiten gibt es irgendwas zu sortieren zu machen zu tun das Gebirge da zum einen das Ziel eben diese elementaren Dinge los zu werden aber auch das sind jetzt wieder ein paar Notation ich ein für die ja einfach immer wieder brauchen wer mit geht es gleich los ich möchte Ihnen 2 neue Begriffe einführen 2 neue rächen Symbole und das 1. die Fakultät also wenn sie eine natürliche Zahl n haben dann ist die Fakultät die wird üblicherweise geschrieben als N exclamation mark mein wir werden das schon mal gesehen haben wir das so nicht gesehen hat weiß jetzt endlich was dieses komische exclamation mark offen Taschenrechner bedeutet also N exclamation mark das war es das ist das Produkt alle Zahlen von 1 bis n also einmal 2 x 3 X X N 1 das nennt sich in Fakultät gut und das ist eben wie den Zahl meistens wenn das n großes eine sehr große Zahl als Gäste was so gut passt zur gestrigen Vorlesung können Sie das mit dem gestern eingeführt Produktion Symbol können Sie schreiben als Produkt das weiß ich J gleich 1 bis Ende der J einmal zweimal dreimal im und so weiter bis man es ja das ist die Fakultät mehr und das 2.
was ich und das ist die Fakultät für n aus und man definiert zusätzlich noch 0 Fakultät ja mit der Definition sind sie müssen aufgeschmissen was soll nur Fakultät sein unsere Fakultät ist per Definition einfach 1 so und das 2. was ich Ihnen einführen will dann ist der Binomialkoeffizienten mit 2 natürliche Zahlen und das muss größer gleich K seine und dann ist der Binomialkoeffizienten folgendermaßen definiert erstmal wieder geschrieben wird als die 2 Zahlen n und K unter einander geschrieben und 2 Klammern und das ist der Binomialkoeffizienten gesprochen wird es den n über k macht sind ja dass er nicht über den kam es in die Barca er und n über k es per Definition n Fakultät durch K Fakultät mal N minus K verkohlt hält es kann wir fragen was bringt das ein so ein bekloppte Zahl zu definieren warten Sie 5 Minuten am Sie die Antwort die Zahl hat dreifachen anschauliche Bedeutung und deswegen ist interessanter also wenn man sie noch hier die Fakultäten auflöst was bedeutet das oben steht das Produkt alle Zahlen von 1 bis n ja also PC bis 1 runter dann wird allerdings hier unten dividiert durch das Produkt aller Zahlen K und die können Sie alle kürzen aber diese Zahlen von 1 bis KKS kleiner gleich in die steht oben zähle auch schon alle das heißt wenn sie alle raus kürzen dann haben Sie oben nur noch das das kleinste mit dem sie multiplizieren N minus K plus 1 für einen Moment wenn es jetzt andersrum gemacht er sichert die Endes K Parodie draus gekürzt ende des K Fakultät in Vistas auch kleiner als in diese Zahlen von einem von 1 bis er minus K steht oben und unten in dem Buch die können Sie kürzen das heißt wenn Sie oben raus kürzen bleibt das stehen und unten bleibt nur K Fakultät stehen also mal K minus 1 bis 1 da kann sie sah nach den Sieg 14 aber das hängt davon ab was er nun Karin sehen was da noch kürzen können oder zurück denn im Jahr komplizierten ist obwohl das Umbruch ist das ist immer ganz 2 ja es ist können Sie immer komplett kürzen das sieht man ja nicht unbedingt an aber das ist auch so das Ding heißt wie
gesagt Binomialkoeffizienten und gesprochen wird das habe ich auch schon gesagt n über k an ja und
10. Beispiele einfach mal nein Beispiel 4 2 A 5 Fakultät das ist was was man auch ausrechnen kann 5 x 4 x 3 x 2 x 1 nach Definition ich bin durchaus einverstanden so dass man 1 weglassen das ist 20 3 60 x 2. 120 ja um wer noch nie mit Fakultät zu tun hat Fakultäten werden sehr schnell groß also 18 Fakultäten sieht erst mal ganz harmlos aus das von der ich es nicht im Kopf ausgerechnet sind 6 Billiarden 402 Billionen 373 Milliarden 705. Millionen 728 Tausend ja also sehen vor gut werden wenn sie nicht mehr groß ich weiß
nicht wie es früher war das bei uns immer beliebter Sport zu kucken die alten Taschenrechner kommt und üblicherweise aber 69 Fakultät Schluss bei 70 Fakultät ist größer ist sehr noch 100 und Uhr vor nur so der Moment voller Taschenrechner normalerweise die die hier ich ließ diesmal gar nicht mehr also das ist Fakultäten Binomialkoeffizienten was weiß ich wie einfachen 5 über 3 es war es nach Definition 5 Fakultäten durch 3 Fakultät das ist einfache Teil obere Fakultät ich unsere Fakultät ist müssen noch das unter dem oberen abziehen 5 minus 3 es 2 und das kommt auch noch die roten hin guten und jetzigen Wähler kann man ganz viel kürzen noch 5 Fakultät durch 3 Fakultät ist 5 mal 4 und 102 2 x 1 das sind 20 halbe das ist sie nun dann was was grundsätzlich
für Jahr Koeffizienten gilt mir mal die Extremfälle was passiert wenn Sie n über 0 anschauen da haben Sie n Fakultät durch 0 Fakultät mal N minus 0 Fakultät für also n Fakultät durch 0 Fakultät mal N minus 0 also durch n x n Fakultät und da sehen Sie das ist 1 die etwa verwirrte durch immer und das Gleiche passiert eben wenn Sie in über n ausrechnen was die beiden Extremfällen über 0 und in über ihn 10 beide 1 und wenn man den nächsten Fall sich anschaut es auch noch recht übersichtlich in über 1 und über N minus 1 die sind beide einfach enden fernsehen kriegen relativ herausgerechnet gut das sind die Beispiele sowie Standardbeispiel für verkohlt mehr die 18 Fakultät es kein Standard das soll nur zeigen in das zweite groß er so dann Kammer Rechenregeln für Fakultäten weniger Witzchen habe ich im Wesentlichen 2 dabei kommt noch für die mehr publizieren eine weitere mehr zur ja der
so Rechenregeln er das ist 4 3 also das 1. ist die können Sie Fakultät ausrechnen eine Möglichkeit ist das ist Stück für Stück zu machen Fakultät ist das gleiche wie in mal N minus 1 Fakultät für also wenn sie minus 1 Fakultäten haben was ist es halt mit noch multiplizieren und bei den Bienen ja Koeffizienten gilt folgende schöne Symmetrie Betrachtungen wenn Sie n über k haben dann ist das nach Definition in Fakultät durch K verkohlt hält mein enges K Fakultät jetzt können Sie den Zeller so den Männer von dem Bruch sozusagen mal andersrum schreiben dass es Fakultät durch im Minus K Fakultät mal K Fakultät und die Karte K das schreibe ich es mal kompliziert das K S N minus 1 minus K ja wenn man das ausrechnet N minus 1 K ist in das N ist 0 plus KSK hat sich nichts getan der nach 0 addiert und was jetzt dasteht man sich genau anguckt was jetzt darstellt dann ist das
n über im Minus K also muss eine Symmetrie in diesem Binomialkoeffizienten 5 über 2 ist das selbe für über 3 10 über 4 ist dasselbe wie z über 6 das ist manchmal ganz praktisch weil das heißt man
muss wenn man viele Binomialkoeffizienten ausrechnen
muss nur die Hälfte ausrechnen weil die andern sind wir gleich comma nachher noch mal drauf zurück jetzt erstmal er dich in vollen versprochen diese Zahlen definiert man nicht weil sie irgendwie sparen Sie schön groß werden sondern weil sie will anschauliche Bedeutung haben und das ist der Inhalt von dem Satz 4 4 das ist der Anteil der Kombinatorik in dem Kapitel diese Zahlen Fakultät und wenn ja comma beziehen tauchen da dann auf wenn sie an Zahlen zählen und das erste ist die Fakultät also diese Zahl n Fakultät gilt folgende Bedeutung das geht n Fakultät Möglichkeiten in Dinge anzuordnenden also wenn sie in Dinge haben die sie alle unterscheiden können dann gibt es n Fakultät Möglichkeiten die in der Reihenfolge zu bringen das kann man sich auch vorstellen das Jahr das wird schnell große wenn Sie 3 das weiß ich dass es Beispiele wie viele Möglichkeiten habe ich meine Bücher in meinem Bücherregal zu sortieren und das nur 3 Bücher sind dann sind noch übersichtlich viele ohne das 18 Bücher sind sind in 6 Billiarden irgendwas Möglichkeit immer wenn ich mal ausprobieren er ja das ist eine der der der Probleme warum er darum wenn man Algorithmen schreiben sozusagen versucht Probleme mit dem Computer zu lösen in vielen Fällen ausprobieren alle Möglichkeiten jetzt nur weil wenn die wenn man mal vom bei 18 gegen 6 Billiarden Möglichkeiten ausprobieren muss dann kommt auch der schnellste Rechner irgendwann an seine Grenzen gut denn dann Was ist n über k also da gibt es auch Möglichkeiten Sache es gibt immer n über k Möglichkeiten aus entgegen K auszuwählen also wie
kann sie haben n Dinge anders den wollen
sie K auswählen es müssen wir noch eine a bisschen aufpassen es gibt verschiedene Möglichkeiten auszuwählen dabei ist gemeint ohne Berücksichtigung der Reihenfolge also dieses klassische Beispiel für n über k 10 Lottozahlen dabei wird seine Segal ob sie die ob die 7 als 3. das fünfte Zahl gezogen wurde wenn er von 6 bis 9 40 gezogen und darum geht es weiter das heißt die Anzahl der der möglichen 6. setzt beim Lotto ist beim Lotto am sind 49 so davon 6 aus und die Anzahl der möglichen Ziele junges dementsprechend 49 über 6 wenn Sie erst 49 gegen 6 auswählen für so das war damit
Szene der das sind noch meine Möglichkeiten also es gibt n hochkam Möglichkeiten aus wieder Dingen K auszuwählen aber jetzt natürlich mit dem anderen Modus und anzuordnen also suchen K aus und ordnen die an also jetzt die Reihenfolge entscheiden wer sie ausgewählt haben und Wiederholung sind zugelassen also dürfen das selbe den zweimal auswählen wir gute Möglichkeit sich das zu veranschaulichen ist er wer viele wer der können Sie in die diese Art K U K Buchstabe gewahrte können Sie aus dem Alphabet von Buchstaben machen das ist genau das was sie da machen wenn sie aus dem Alphabet von allen Buchstaben K Buchstabe gewährte machen dann suchen sie K Buchstaben aus mit Wiederholung und der Orden die an ich muss gut dann das kann man sich alles
beweisen ich will Sie da mir das nicht als ausführlich machen ich begründe Emergency teil die andern beiden kann man sich endlich überlegen also wird was wollen wir machen wir wollen Wörter aus ja man weiter weitergeht mit N Elementen denken denken Sie Index 26. scheint das Naheliegendste da und da wollen wir jetzt Wörter produzieren die genau K Buchstaben enthalten wie viele Möglichkeiten haben wir da das kann man sich schon 1 nach dem andern überlegen muss mir 1. 1. Buchstaben aus suchen und der 1. Buchstabe für den jetzt eben Möglichkeit ich kann jeden Buchstaben Alphabet nehmen und der Punkt ist jetzt dass sich unabhängig davon es völlig wurscht weil sie das 1. genommen habe für den 2. wir in Möglichkeiten habe nein bei den Lottozahlen ist das anders bei den Lottozahlen habe ich beim 2. 2. Zahl noch 48 Möglichkeiten weil die 17 ist ja schon bezog die nochmal ziehen aber den war dann darf ich eben Wiederholung zu lassen Sie mich wieder in Möglichkeiten das heißt für 2 Buchstaben habe ich im Quadrat Möglichkeiten nannte man setze weiter also für den dritten Buchstaben sowie wieder n dann haben Sie den hoch 3 und so weiter wenn sie eben K Buchstaben haben dann haben sie ihn hochkam Möglichkeit kann man das langsam überlegen gute so auf die Weise kann man
jetzt da ja verschiedene Dinge aus dem Alltag eben damit beschreiben ich habe es noch einmal 3 Beispiele dabei sie machen zur Nummer 3
Beispiele das eine sind die Lottozahlen das hatten wir gerade schon also aber was er anfangen wenn ich mit Was ist die Anzahl der möglichen Mischungen eines gab Blattes für Skatspieler hier mehr was
entspricht das das ist die Frage in wie viele auf wie viele Arten und Weisen ich die 32 Karten von Skatblatt anordnen kann das war Teil A das sind 32 Fakultät Möglichkeit ich jetzt verzichtet das auszurechnen aber wie gesagt 18 Fakultät ist schon irgendwas im Bereich 6 Billiarden 32 Fakultät ist um Größenordnungen größer ja also die Wahrscheinlichkeit dass sie genau zweimal dass das alle genau zweimal dasselbe Blatt kriegen ist nein 0
Herr dann das hatten wir gerade die Lottozahlen die Anzahl der möglichen Lottozahlen es 49 über 6 die Welt also abgesehen von allem Schnickschnack wie super und Zusatzzahlung was es mittlerweile noch alles geht aber zu sagen die reine Lottoziehung haben Sie die Möglichkeit 6 Zahlen aus 49 auszuwählen also das ist die Anzahl der möglichen Lottozahlen und das ist eine Zahl von der es gut ist zu wissen ähnliche Größenordnung sie legt ich als man noch mal genau mitgebracht 13 Millionen 983 Tausend 816 das ist also die Chance auf 6 Richtige zu kriegen also ein 1 14 Millionstel er ist die Chance auf 6 Richtige sehr das kann man da noch hin und her
kombinieren oder zu diesem dritten zu dem 10. noch ein Beispiel machen da ja Quatsch und da hat kann man sich zum Beispiel legen wie viel mögliche Autokennzeichen mit des an Nummer gibts also welche möglichen Autokennzeichen D a Buchstabe Buchstabe und dann irgendwelche Zahlen der vierstellige Zahl Darmstadt hatten darstellt gibt es vierstellige Zahl im Landkreis Dieburg und bevor jetzt Einwände kommen ich weiß dass es da Ausnahmen gibt und manche Nummernkürzel nicht vergeben werden aber jetzt aber mal die theoretisch möglichen sie haben 2 Buchstaben für jeden Buchstaben sie 26 Möglichkeiten also an 26 Fahrrad Möglichkeiten die Buchstaben zu belegen und sie noch 4 Ziffern das kann man sich entweder ganz einfach überlegen das sind 9 Tausend 199 verschiedene beziehungsweise wenn sie den 0 0 0 0 noch zulassen 10 Tausend das kombinatorisch machen heißt das wir haben wir müssen aus einem Alphabet von 10 möglichen Zeichen nämlich 0 bis 9 4 auswählen und dürfen die mit Wiederholungen stellen also ist es 10 hoch 4 was 10 Tausend ist logischerweise also kommt der 26 Quadrat 10 4 raus er und das sind 6 Millionen 760 Tausend also dann statt auf Rechnung bisschen wachsen das es da Probleme gibt ich sah das ist die eine
wesentliche Bedeutung voran Wohltätern
Binomialkoeffizienten und witzigerweise sind das aber beides Dinge die ein Pflichtdienst Stellen der Mathematik immer wieder aufploppen mehr also die für gut hält das ist jetzt hier definiert durch diese Anzahl der Möglichkeiten und das ist auch gut aber sie werden feststellen die taucht alle 2 Wochen irgendwo wieder auf wo man denkt wo kommt denn jetzt hier aber ist sie einfach dann und einem Beispiel wo man aber auch noch sieht was der Zusammenhang so Kombinatorik ist das ist ein wichtiger Zusammenhang und ist der so genannte bin ja Satz den habe ich im Norden dran gepackt und da geht's jetzt erst mal um was was offensichtlich mit Kombinatorik eigentlich nix zu tun hat sollen wir Bildung ja Einsatz das ist die Verallgemeinerung dessen was sie an alle als binomische Formeln hoffentlich gehen nach der auf wieder Bino mit drin mehr und wenn ihn jemand versucht den alten Bären aufzubinden dass das nach Angela bin Dominik benannt ist das ist Unfug also in ja Satz er ist das was Sie als binomische Formeln kennen allerdings jetzt nur binomische Formel ist die Auflösung von A plus B Quadrat Abfluss bin Klammern verbracht und was wir uns jetzt anschauen wollen es immer gleich noch 1 drauf nicht Abfluss bin Klammern Quadrat Zu und Abfluss bin Klammern noch n also A plus B in Klammern hoch 382 was kommt aus wir also 1 1 a und b und der Potenz N und dann will ich Ihnen verraten was A plus B in Klammern hoch n ist und für A plus B BND-Mann Quadrat muss es jetzt bei allen so fortsetzen aber was ist passiert wenn sie dann machen und die Antwort ist da tauchen plötzlich die Binomialkoeffizienten auf als hätte Gaskrieges Belange Summe werde ich den sich vor sich reiben sich das den A B X A plus B A B plus X A plus B X A plus B ganz auf da wir sich aus multipliziert wie Weltmeister und wenn Sie der Sie aus mit 10 geht es immer längere Summe so besonders nur so mal an dann kann man ja ganz fix sammenfassen Furcht nicht unübersichtlich was am Ende rauskommt ist somit mit Enzo Mann soll nämlich eine Summe von K gleichen mit endlos einzumahnen von K gleich 0 bis N und da ich tauchen jetzt unsere Binomialkoeffizienten auf n über k hoch N minus K der hoch krachen nur sid wild aus aber wie
gesagt im Prinzip kennen Sie das alles machen Sie mal in gleich 2 also gut in meine erste einfache Spezialfall sich in gleich einzelne wenngleich 1 es relativ langweilig denn es nicht dann steht da nämlich A plus B vielleicht Abschluss B nicht falsch und zwar nicht so wahnsinnig ich so wahnsinnig spannend also Markus Becker dran was steht dann da rechts der Welt steht jetzt in Summe mit 3 Sonaten für K gleich 0 K gleich ein zum K gleich 2 was Kinder Völker gleich 0 für keine gleich 0 kriegen wir 2 1 0 ich habe den vollen gesagt also was über 0 ist immer immer 1 also kriegen wir einmal ist 0 auch NSA Quadrat mal wie hoch 0 ist 1 bloß jetzt kommt der Völker gleich 1 haben Sie n über 1 also 2 über 1 ist 2 hoch 2 minus 1 also mal A und B hoch 1 plus der so man K gleich 2 und sie 2 über 2 ende beendete 1 also es werden 1 hoch 2 minus 2 ist auch 0 ist 1 und B Quadrat also Art plus 2 Avitos Flussbett Vertrag keine Überraschung die sage ja diese Formel hier ist die Verallgemeinerung der binomischen Formeln und so können Sie jetzt eben weitermachen und wenn man das alles richtig einsetzt kriegt man zum Beispiel für in gleich 3 auch 3 plus 3 Quadrat B plus 3 ARD Quadrat plus B auch 3 und das rauskriegen müsse sich in die ganze Bildung ja hätten ausrechnen wie man das schöne billiger machen kann sage ich Ihnen gleich sollte uns erst mal überlegen warum gilt
der Satz also ich frage mal wieder das Wörtchen Beweise sehen und für den Beweis gibt jetzt zig Möglichkeiten eine interessante Möglichkeit leide ich jeden ein das zu zu tun ist und kann das induktiv machen also bei Induktion über ist mir gute gute Übung in Induktion und mir gute Übung im Rechner mit dem Sonnenzeichen und Arbeit mit Index hilft also danach haben sind in der Schifferstadt aber kann sich da auch gut verknoten weil es ist eben 4 Notation was ich Ihnen zeigen wie ließen bisschen kombinatorische Betrachtung der Sache und das ist wenn jetzt nicht wenn ich wenn sie erst hinterher das zu einem mit 1 zu 1 gestanden Mathematik besonders da mal zu einem Mathematikgeschichte geben der besonders auf die reine Lehre bedachte sagte dass es doch keine Beweise aber vielleicht auch recht aber ich glaube man sieht hier gut was passiert also was wollen wir machen wollen A plus B auch N ausrechnen jetzt noch mal genau das was ich vorhin gesagt habe dass wir uns im Geiste vorstellen sollen was macht man dabei einmal modifiziert aus wie besessen ja immer das andere wird diese Form ist nichts als aus multiplizieren dieses Ideen Produkt was passiert wenn Sie dieses unendliche Brot und als gar wenn ich es in ganz ähnliches Produkt habe Element also wenn Sie dieses lange Produkt aus multipliziert dann sieht man einfach ein Summanden sofort Sie kriegen wenn sie aus jeder Klammer das an kriegen Sie einmal armer kriegen Sie auch in und sie der Klammer das B nehmen dann kriegen Sie die man in der Welt B auch somit haben Sie auch noch alle anderen Möglichkeiten sie können aus der 1. Klammern an aus der 2. des aus der 3. wie dann ausgeführten noch am Abend können alle durch Spiele alle kommen vorbei dieser aus multipliziere reichen ja also und wenn Sie das dann am Schluss wieder sortieren dann kann es auch relativ offensichtlich es kommt genau die endlos einzumahnen raus aber ist der 1. B ist der letzte und dazwischen gibt es eine von der Sorte Aber auch irgendwas mal B hoch das was das irgendwas zu N ergänzt darin sind wir uns einig nehme ist es die also die die Exponenten von A und B oben geben in Summe immer also wie hier bei dem auch 3 nahm sie jene 3 Damen sie 2 plus 1 unser 1 plus 2 da haben Sie 3 also das ganze würde so mehr geben wobei der erste Summand hoch n ist dann gibt es dann so machen das steht hier auch N minus 1 b die Frage ist nur was steht da vor dann gibt es den meinten der ist auch n minus 2 B Quadrat Frage ist nur was steht er vor und so weiter der allgemeine Summand hat dann die Form aber hoch N minus KB Hochkar und am Ende am sind dem vorletzten Summanden der S A X B hoch N minus 1 sie findet das question mark und der letztes bin auch in dem zwar das wird passieren die Frage so was sieht einen question mark stellen nach so
was die denen question mark stellen überlegen Dach was müssen wir mal den 1. das müssen wir machen als der 1. auch in meine 2 was müssen wir machen damit wir in das 1 mal habe nun einmal des bei der ganzen aus Multiplizierer Ziererei ja wir müssen halt den das ein Klammern das an annehmen aber der eine das B wie viele Möglichkeiten aber das zu machen wir können jede dieser Klammern einmal das B nehmen ja also wird wird man es in einer so muss uns eine Klammer Ausblicken daraus immer das P 1 1 1 bis 8 das das tun müssen von diesen in Klammern eine auswählen gebe das nehmen in über 1 dann aus in denen 1 auswählen es n über 1 also haben wir in über 1 Möglichkeiten das zu tun und dementsprechend auch für diese Summand auftauchen und allgemein wenn ich diesen Termin haben will ja ich weg kann mal das B haben und minus kam mal das da muss ich aus diesem Klammern da oben kam das B nehmen und dem Rest der Fälle das 8 welche Möglichkeiten habe ich kann mal das B auszuwählen von den in Stücke n über k das sieht man diese Binomialkoeffizienten auf die nicht zufällig aus und der hat wirklich ne kombinatorische Bedeutung das liegt daran dass man hier einfach Möglichkeiten zählt wie oft kann man welche die oft nimmt man an die auf dem man die und auf die Weise kommt genau die Formel zustande vor dem auch im Minus KB Hochkar steht eben genau der mit der Koeffizient n über k du so das sie mit den ganzen question mark also dieses question mark wie es in dem in über 2 und das question mark hier ist über N minus 1 und an den Enden ja heftige 1 logischerweise ein 2 vor steht nichts und wenn sie alle obwohl beziehen kommen auch in raus ja da steht in hob 1 über 0 wenn über 0 bis 1 und die besteht n über allen Ende wenn es auch 1 in dem Sinne stimmt die Farbe der O gut wie gesagt vielleicht keine perfekt stringenter beweise ich denke man sieht wird was passierte wurde vor mir her kommen das ist nichts als Zähne Möglichkeiten wie oft nämlich beim aus multiplizieren bis an die oft nämlich das Frau trotzdem ist dieser Satz oder dieser Satz ist eben wie schon gesagt hat die ganz wichtige Bedeutung wollen verschiedene Stellen brauchen kann und ich hier oder diese Formel diese ja meines Wissen Sie alle die binomischen Formeln sind schon wichtig kann noch und jetzt diesen Spezialfall davon das können wir also als auch A plus B in Klammern hoch 23 ausrechnen und ich bin so ein paar Folgerung ein paar Spezialfälle von der Frauen wie ich mir mal genau angucken nein also
das habe ich immer als Folgerung Folgerungen genannt Folgerung 4 7 das sind also jetzt Dinge die direkt aus dem Bindung ja Satz aus dieser Formel folgen einfach Spezialfälle davon 1 hatten wir schon gesehen in gleich 2 Eisen binomischen Formeln 1. Spezialfall an gleich B gleich 1 also schreibe hier noch mal in die Bilder mehr vorne hin damit wir die im Auge haben A plus B hoch in ist die so mehr K gleich 0 bis N in der weiter hoch N minus klar wie hoch kann er kann so ist jetzt mal an ich B gleich 1 1 was passiert dann der links ist es einfacher links ist 1 plus 1 ist 2 also dann kriegen wir 2 hoch N es gleich war es 2 auch in das K gleich 0 bis Ende n über k ja mal 1 Woche im Minus K S 1 x 1 K S 1 also kriegen wir diese schönen Zusammenhang hier und der ist es natürlich eher von rechts nach links das von links nach rechts zu lesen als sie können entweder diese besonders komplizierte Art zwar auch zu schreiben interessanter es andersrum wenn sie einfach alle Binomialkoeffizienten mit einem festen N aufsummieren und es war auch in raus das ist ganz hübsche zusammen
das war was kann man noch machen wir
können mal gleich einsetzen und B gleich minus 1 warum es auch interessanter Fall bei den Stellings 0 also wir waagerecht 1 und gleich minus einsetzen dann kriegen wir 0 zu hoch n aber das ist es auch nicht so wahnsinnig Verschieben von 0 also 0 bis gleich Summe K gleich 0 bis Ende n über k man das Besitz hinten 1 1 1 zurück Was ist X 1 aber jetzt kriegen sie minus 1 hoch K was sagt uns jetzt da das auch eine schöne Formel die sagt uns jetzt an können Sie wiedersehen als besonders kompliziert ab 0 zu schreiben aber interessante umgekehrt um aber gesehen wenn sie alle Binomialkoeffizienten zu einem festen N aufaddieren kriegen Sie 2 raus wenn man sie aber nicht einfach aufaddieren sondern mit wechselndem Vorzeichen also in über 0 minus in über 1 plus 1 über 2 minus 1 über 3 plus 1 bis 4 minus in über 5 immer abwechselnd dann kriegen Sie nur aus so was kann man noch machen wir können mal gleich einsetzen und die stehen lassen das ist auch eine Formel die man häufiger mal gern was ist dann 1 plus B hoch N das ist dann die Summe K gleich 0 bis in ein Forum einsetzen n über k das als also 1 auch im Minus K immer noch 1 und hier wird übrig B hoch Karl und das ist eigentlich auch ein ganz schöner Zusammenhanges haben Sie für jede reelle Zahl B diesen Term 1 plus B hoch in den Griff er darum der der ist der taucht häufige mal auf der also Kommentar zumal für alle wie dies die werden noch heute gesehen weil er was muss man machen wenn man Zinseszins ausrechnen 1 plus Zinssatz in Klammern noch ändern also B ist der Zinssatz zumindest ist er das was man dauern ausrechnen muss unter rechts steht eine Möglichkeit diese das ausrechnen können ohne so viel zu multiplizieren sondern als das ist manchmal ganz praktisch ok dann so ritterlich ihn
vorhin gesagt Sie sehen oder sagen so sehen wir diesen ganzen Sachen es ist wichtig dass man die Binomialkoeffizienten hat und kennt was ich Ihnen jetzt noch zeigen wenn es eine Methode wie man die Binomialkoeffizienten für kleine L und H relativ schnell sich über sich ausrechnen kann man kann natürlich diese Fakultäten ausrechnen aber die Definition von dem wir dann ja gesehen das bisschen mühsam weil die sind eben definiert als dieser Quotient von Fakultäten und wenn sie das wirklich ausrechnen bedeutet dass Sie kriegen immer eine sehr große zahlt geteilt durch eine sehr große Zahl am Schluss kommt meistens wir relativ mittelmäßig große Zahl raus aber sie rechnen zwischendurch mit riesigen Zahl die sie eigentlich brauchen und immer sprechen ist angenehmer diese Bindung ja publizierenden anders auszurechnen und das was ich Ihnen jetzt zeigt es auch eine Möglichkeit die sich sehr gut automatisieren lässt also man das auch am Rechner zum Beispiel gut ausrechnen kann und der Hintergrund davon ist eine weitere ganz schöne Eigenschaft des Binomialkoeffizienten 1 zu 1 mehr Rechenregel wenn Sie so wollen oder eine Formel die für die gilt also für alle NK aus und damit den Wiener mehr komplizierten n über k schreiben dürfen muss n größer gleich K sein gilt Folgendes in plus 1 über K können Sie ausrechnen als n über k minus 1 plus n über k an also kriegen Karten Binomialkoeffizienten der plus 1. Serie in dem sie Zweig Binomialkoeffizienten beenden Sie reagieren und wer den den Zahlenteufel vom 2. gelesen hat weiß was jetzt kommt also wohl
erst kommt natürlich weil dieses Mathematik Vorlesung das müsste man jetzt endlich beweisen dass es bisher eine üble freche Behauptung und der weiß davon ist schreiben Sie sich das den Fakultäten hin und kürzen Sie alles hin und her stellte fest das stimmt ich schreibe mal ganz wie man das eine Vorlesung freundlicherweise manchmal machen da frech Übungen aber was ist was viel wichtiger ist es die anschauliche Bedeutung von der Formel und das ist auch besser sich zu merken als diese blöde Formel Mann der Marken mehr sich die Formel aber besser ist sie werden sich was die bedeutet ein mal
an die 1. wieder mehr Gewürz zu schreiben also was ist der kleinste Binomialkoeffizienten wenn Sie so wollen es mit 0 1 0 1 x darüber 0 des Einzelnen der also nur über 0 1 so was aber dann wenn mal das ist der einzige dem Jacke 10. 7 in gleich 0 geben können weil da muss der kleiner gleich in sein aber mir n gleich 1 gibt schon 2 nämlich 1 über 0 uneins über 1 und wer in gleich 2 gibt es 3 Stück nämlich 2 1 0 2 über 1 und zwar über 2 und so weiter alles kann man
hier 3 über 0 3 über 1 3 über 2 mehr 3 über 3 und so weit ich schreibe die ganz bewusst also so geschehen hin weil das sagten unser mich da oben nach nicht
so unser förmlichen sagt wenn Sie n
über k minus 1 n n über k haben also das sind wenn sie zum Beispiel in gleich 2 nehmen das sind 2 Binomialkoeffizienten aus der Zeile wenn Sie 2 ja gesehen aus der Zeile haben dann kriegen Sie Einbindung der Gewürze aus der nächsten Zeile für 1 plus 1 in dem sie die beiden addieren mit dem gleichen K also was diese Formel da oben sagt ist der wird hier zum Beispiel rechnet sich aus der Brust der und der wird hier errechnet sich aus der Plus der und der wird hier errechnet sich aus der Plus der das heißt wenn man sich mal die 1. paar schreibt oder hausen wissen wir in diesem Amran dieses Dreiecks also also nur über 0 1 2 1 zu 1 2 3 über 3 und 1 7 0 2 1 0 3 1 0 4 unter dessen alles einen Sinn bei dem was man nun immer 1 was was ich selber was auch immer 1 also das heißt wir wissen am Rand comma nicht rechnen da kommt meines raus 1 bis 1 und in der Mitte kriegen Sie indem sie die beiden addieren kann also 1 plus 2 bis 3 2 plus 1 ist 3 und so können Sie jetzt hier einer weiterarbeiten also die vierte Zeile ist dann denke mit 1 an sie über 0 ist Nummer 1 1 plus 3 4 3 plus 3 6 3 plus 1 ist 4 1 5. Zeile 1 15 10 5 1 4 weil 4 plus 6. 10 das schreibt sich sehr schnell runter wenn man nur ein paar kleine Zahlen addieren muss wir können sieht sie weitermachen die sechste Zeile ist 1 6 15 20 15 6 1 unser Dorf oder ein H
die so und sie haben auf die Weise also dieses
ganze dienen nennt sich Pascal ist das Dreieck am Dreieck ist denke ich relativ klar und Pascal nach dem französischen Mathematiker Jean-Pascal der ganz viele sich mit Kombinatorik er Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt hat und mit dem denn die gearbeitet und was sie jetzt damit zum Beispiel sofort haben wenn sie dieses Dreiecks ich schreiben können Sie mit relativ einfachen Methodik jetzt A plus B noch 6 im Griff man die binomische Formeln nicht für A plus B Quadrat sondern für A plus B auch 6 war das die des letzten Zeile in der letzten Zeile steht 6 über 1 6 über 2 6 2 3 6 7 4 6 7 5 6 über 6 und 6 über 600 bei 6 1 0 bis 6 über 6. dass genau die Zahlen Sie brauchen um die Bindung aufzulösen aber was ist das das es nahm Binder den im Jahr Formel K gleich 0 bis 6 6 über klar aber auch 6 Minus KAB Hochkar also was herauskommt es auch auch 6 plus 6 hoch 5 b plus 15 a hoch 4 B Quadrat plus 20 auch 3 wir hoch 3 plus 15 A Quadrat des hoch 4 plus 6 dreijährigen plus
6 aber hoch 5 plus des hoch 6 also könnte sie vor Faktoren die diesen ganzen langen Sommer haben direkt hier im Pascalsche Dreieck ab und dieses Ding darunter zu rechnen es ist nicht so arg aufwendig war also klar wenn ich ihn jetzt von Ihnen verlangen sie sollen auf die Weise P in Klammern hoch 382 ausrechnen da sitzt man dann der Verein lädt das gebe ich zu denn diese Tat dann geht man ein Computer bringt den das bei mir aber auch der Code für Programm dass das da macht ist in 7 Zeilen geschrieben also des Algorithmus ist nicht schwer und sie kriegen auf die Weise diese Bindung ja Formel ganz allgemeinen Griff sehr das ist die Idee
vom Pascal schon 3 und sie sauber sind schon alles was ich ihnen im Moment und die Kombinatorik erzählen will und entspringen jetzt eben dem Thema wenn es da nicht noch Fragen zu gibt gut dann dann springe ich im Thema und bekommen es Gebiete 2. Vorlesung und da geht es ganz grundlegend erstmal um Geometrie der Ebene ich habe das so im Kopf bei mehr als das G oder dem Kapitel verbucht also ja weil die wenn das natürlich rauf und runter brauchen was jetzt kommt und da haben wir nicht mehr 1. Einführung in die Vektorrechnung geben das ist der Inhalt von Kap Kapitel 2 also
so dass das Kapitel 2 Geometrie in der Ebene und Vektorrechner und Anfang Tour mit der Ebene also Paragraph 1 ist die Ebene und aber ein bisschen gucken wie wir ganz aus der Anschauung raus einfache geometrische Sachen beschreiben lösen Probleme lösen und berechnen kann und ich denke wenn ich mal ich starte mit den kartesischen Koordinatensystem dann hole ich ist das was damit sie was anfangen können wie beschreibt man die Ebene man legt sich irgendwo im Koordinatensystem rein mit 2 zu 1 der senkrechten Achsen meistens X und Y genannt diese Achsen definieren einen Ursprung also man muss irgendwo im Ursprung seiner Betrachtung hinlegen ein Ursprung der heißt üblicherweise On und 2 zueinander senkrechte Koordinatenachsen fest und wenn man das hat dann ist der Vollzeit erfahren dass man jetzt jeden Punkt in der Ebene mit Koordinaten beschreiben kann wie macht man das nur also ab man hat seinen
Ursprung man hat die 2. einer senkrechten Koordinatenachsen wie gesagt X und Y so recht übliche Bezeichnung hier ist der Ursprung und dann ist es immer noch nicht wenn man mal die Achsen auch beschriftet mehr dass jeder weiß was sowie Einheiten sind und dann kann man es im Leben period der in der Ebene die c't Colin Daten so weisen der zierlichen wahrscheinlich auch nichts Neues ab so dass dieser Punkt hier die x-Koordinate 2 also nicht immer P nenne dann hat der DX hatte 2 und die y-Koordinate so haben wir ungefähr 3 da so und was sie damit machen können und das ist das was hat das dann die Mathematik ins
Spiel kommt Rechnung damit identifizieren sie die Ebene Achtung damit identifizieren sie die Ebene mit der Menge die üblicherweise R Quadrat genannt wird damit ist gemeint das kartesische Produkt von er mit sich selbst ein Kreuz R also die Menge aller Tupel aus 2 reellen Zahlen XY XY aus Erfahrung dass das kartesische Produkt von dem von er mit er weil sie eben jeden period durch 2 reelle Zahlen beschreiben nämlich die nächste in Art gut bei der ganzen Sache gibt denn
nach den Quadranten also wenn sie noch mal das Grollen Datensystem haben dann nennt man das Ding da die x-Achse das Ding da die y-Achse dies ist die den Bereich in dem X und y-Koordinate positiv sind denn der man normalerweise den 1. Quadranten dann gibt es den Bereich in dem die x-Achse x-Werte negativ und die y-Achse positiv sind das ist der zweite Quadrant dann geht man kreisweite hier unten der wo beide negativ sind heißt der dritte Quadrant der hier drüben ist der 4. und da kommt schon eine ganz grundsätzliche mathematische er der Konvention durch ein die man sich immer halten sollte wenn irgendwas gedreht wird dann geht es immer gegen den Uhrzeigersinn der also wir sind auch schon die Nummer der Quadranten laufen Gegenuhrzeigersinn das wird uns noch häufiger wird uns nachhaltiger
vorkommen auch winkte natürlich immer gegen den
Uhrzeigersinn gemessen das ist also eine grundlegende Konvention okay also mit aber den R 2 und was man damit im Prinzip macht es die Geometrie der Ebene der mathematischen Betrachtung erst zugänglich wenn man eben Punkte jetzt als Paar von reellen Zahlen sieht und das bedeutet man kann damit den period noch rechnen und damit hat meine matt kann meine mathematische Beschreibung der Ebene statt gut was beschreibt man üblicherweise dann in der Ebene meistens geht es darum spezielle Teilmengen zu beschreiben und ich bin jetzt einmal ein paar hinschreiben also spezielle Teilmengen der Ebene oder dass er 2 das ist total gar nicht als weil eben den Schreiber hier in gewissen Sinne für uns jetzt die Ebene der 2 ist oder der 2. Ebene über die Identifikation der zwischen haben gut Herrn nach alles was man
eben mehr was man ganz oft hat was sie sich auch
kennen ist Funktionsgraphen also die mag man üblicherweise in der Ebene mehr zumindest Funktionsgraphen für Funktionen von er nach er also Wärme Funktion dies auf den Intervall er gegeben also Intervall Grenzen A und B aus R A kleiner B und der eine Funktion denken Sie an die Frage auf was weiß ich X-Gene X Quadrat oder so was wir Funktion auf AB nach der und dann können Sie den Graph von der funktionalen haben Sie sicher schon hundertmal gemacht also das nennt man einen zweidimensionales Grollen Datensystem hier kommt die x-Achse hin auf die Achse kommt F von X dann gibt an irgendwo ein B in der zwischen hat man den Funktionsgraph das der Graf von 11 wie sieht der mathematisch aus wie kann man dem beschreiben das ist die Menge aller der Punkte XY in der Ebene also immer 2 so dass zum einen das XNA in dem Intervall AG liegt mir also meinen wenn die Funktion nur auf AB definiert ist dann ist auch der Graf nur über dem Intervall B die zu sehen klar woran es gibt sie nicht und jetzt muss man noch die y-Koordinate festlegen und was ist die y-Koordinate von einem Punkt auf dem Grafen also wenn ich hier diesen Punkt beschreiben will dann hier nix Koordinaten zwischen A und B und die y-Koordinate es genau F von X also sind alle die WELT XY das er 2 mit X aus A B O Y gleich F von X zu ja das ist eines was man es oft als Teilmengen immer 2 hat nächstes
geometrische Gebilde waren wir also
ein fast die genetische wissen period das ist klar nur Freunde macht den Kammern durch seine Koordinaten beschreiben das nächste was man dann zunächst ein Verhalten sind geraten nein damit können kommt vielleicht der Einwand geraten sind nur spezielle Funktionsgraphen Antwort ja ein war geht durchaus geraten die keine Funktionsgraphen sind comma gleich zu was ist denn der gerade nicht definiert einfach erst wenn mathematisch was wir gerade essen und schauen uns an warum das immer brauchen Zugang also 2 reelle Zahlen 3 regelt sein er und ich fordere das entweder an nicht 0 ist oder b nicht 0 Neise das durchaus nur seine wenn an und ist dann das bitte B nicht nutze also die solle nicht beide nur sagen und dann ist die nein diesen schöne viele Buschdorf eine gerade die Menge aller Punkte XY immer 2 so dass A X plus B X Y gleich CD so eine Menge also ne Menge die gegeben ist der seine Formel dieser Art nur durch seine Gleichung dieser Art ist die Menge aller Lösung dieser Gleichung das ist mir gerade meine Definition und können Sie sagen wie
hängt das damit zusammen dass sie üblicherweise als gerade
keine da und um das in die übliche Form zu bringen wenn Fall Unterscheidung machen und das ist auch der Grund warum es am besten so zu definieren dass wir so kriegen Sie wirklich alle geraten der 2 und warum sie aufpassen müssen mit wieso geraten sind doch auch nur Funktionsgraphen ist der 1. Fall was passiert denn wenn wir gleich 0 ist dann wissen wir dann ist gleich 0 weil ich habe gefordert dass nicht beide 0 sein sollen wird was passiert wenn was passiert in der Definition oben wenn A und B 0 ist dann steht Datenmenge G ist die Menge aller Punkte für die 0 gleich C ist das haben kann nur 2 da können nur 2 Dinge passieren entweder C ist tatsächlich 0 dann ist diese Gleichung für jeden Punkt es würde dann ist das der ganze R 2 oder C ist nicht nur das ist die leere Menge ja also das ist auf jeden Fall keine gerade deswegen sind A und B muss einer von den beiden nicht nur sein also wenn B 0 ist dann muss nicht 0 sein und das heißt wir können erst mal bei den 0 ist dass die leichter schreiben also gestern die Menge aller XY aus R 2 so dass A X gleich C können weil dies 0 und den Verdacht haben BY weg so weit das nicht nur das dürfe durch das teilen das ist die Menge aller XY immer 2 so das X gleich C durch Arzt so wie sie die gerade aus mehr
Service darstellt Eulenarten Systemen X-Achse Y-Achse so das ist jetzt die Menge aller Punkte für die gleich sie durch ist also hier ist Ziel durch aber nur über 10 steht da gar nix also sind alle Punkte auf dieser Geraden hier X gleicht sie durch aber wo und wenn wir jetzt noch sagt der gerade ist doch mehr Funktionsgraph dem der möge jetzt bitte nochmal nachdenken weil das ist kein Funktionsgraphen 1 das ist mir gerade aber die können Sie nicht erst Funktion realisieren aber in der Definition da oben im enthalten so das ist also meine Grady G in diesem Fall das 0 ist so man wenig 0 ist dann haben sie nur wiederum recht damit
dass Ihre gerade der Funktion ist weil dann steht das denn nicht so doof senkrechte Landschaft rum also wenn D nicht 0 ist dann können Sie tatsächlich noch y auflösen also dann ist nur die definieren die Gleichung finde gerade war Express BY gleicht sie das können Sie mal das A X auf die andere Seite bringen BY ist minus 1 X und jetzt können sie durch die teilen weil wenn ich nun ist wenn kriegen Sie y ist sehr durch B minus adelig PX er
und jetzt schreibt man das normalerweise nicht so hin sondern es wird man normalerweise neue Abkürzungen ein nämlich ist minus durch B und die ist sehr durch B wenn Sie das machen dann steht hier y ist gleich minus alle ich gehe es also x x plus D L und ich hoffe mal dass das eine formale Geradengleichung ist ist die kennen ja also Y gleich nächstes des er oder F von X gleich Indexplus des ebenso dementsprechend Funktionsgraphen angucken wollen und der Vorteil von der Darstellung gegenüber der A X plus BY gleich C Darstellung ist diese Zahlen und des haben und beide wieder ne geometrische bedeutet dass ich einfach nicht sein sollen die kann man über die gerade sieht sozusagen ablesen oder wenn man die beiden kennt kann man die gerade malen und die sind in ein Schaubild zuerkennen dann das Mama hin
also Y gleich in die Frist des ist jetzt meine Geradengleichung was bedeutet das nein die gerade wieder einen Schaubild x-Koordinate y-Koordinate so oder B kann man relativ schnell erkennen was ist das das des das des war es das des kriegen Sie wenn Sie X gleich 0 einsetzen setzen ist gleich 0 dann kriegen sitzt man es gleich des also an der Stelle x gleich 0 ist y D das heißt die gerade geht immer durch den period also es gleich 0 liefert die geht deutlich viele ich period 0 die also wenn wir des ist die die gerade auf jeden Fall durch 0 des das ist mal das Wasser aus dem des sehen und was ist jetzt das Ende nein mal mal Sonne gerade rein haben das ist also unsere gehen als die Menge aller XY aus R 2 zur das ne Express des ja gleich y der was brauchen Sie jetzt noch um diese gerade eindeutig beschreiben zu können Sie wissen schon mal die geht durch das des Seite gerade noch ganz viele Möglichkeiten da sie können Sie noch beliebig um diesen period so drehen alle möglichen Richtungen man lagenweise fest wir lagen sie fest in dem wir vorschreiben dass dieser Winkel ist da Sie den Winkel haben dass die dann sind sie fertig und diesen Winkel kriegen Sie folgendermaßen der hängt mit dem zusammen dass ist nämlich genau der Tangens von den Wind Hmm ja das liefert und da habe ich ja ja liefert aber liefert ist natürlich hatten Buchstaben mehr mehr tja also ist der Tangens von Alfa und das ist das was man auch die Steigung der Geraden in ja also das ist die berühmte Steigungen und y Achsen Abschnitts Form und das des ist der so genannte y Achsenabschnitt weil eben sagt auf welchen Abschnitte y Akte die gerade durch durchkommt zur damit kann sie also deswegen versucht man Gleichungen im Normalfall wenn er gerade im Normalfall wenn es geht ja wenn gerade senkrecht steht geht es nicht aber ansonsten versucht man sie auf diese Form zu bringen y ist gleich eine Zahl X X plus eine andere Zahl weil diese beiden Zahlen im und des die haben dann eben direkt geometrische Bedeutung so dass es meist vorläufig zum Thema gerade auf die natürlich zurück das das war sorry zu
schnell ja ja ich lasse es stehen so geht so wird er ich mag weiter mit Strecken Strecken als Teilmenge des R Quadrat der Strecke ist Teil von der gerade klar aber eben unendliches Stück von der gerade und am besten gibt man der Strecke an in dem man sagt was anfangs und Endpunkt sind also P 1 P 2 sind 2 Punkte in der Ebene und dann der wenn ich erst mal Symbol definieren P 1 P 2 mit Strich war das will ich als Symbol definieren für die Verbindungsstrecke von P 1 und P 2 also P 1 P 2 hyphen drüber ist eine Menge von Punkten nämlich die Menge der Punkte die auf der Verbindungsstrecke P 1 P 2 liegen mehr sowie würde jetzt gerne hin malen habe ich glaube ich muss hier noch ein bisschen streit Streikpause pause gewähren bitte ja also wenn Sie jetzt anfangen einen Briefe an einen Lehmann zu schreiben dann merke ich dann mache ich trotzdem immer weiter gut ist ja
also Strecke ich meine auch nix was sie nicht schon mal gesehen hätten zumindest vielleicht nicht mathematisch aber im Alltag 2 Punkte P 1 P 2 und die Verbindungsstrecke ist die gerade Linie dazwischen so weiß ich jetzt die Frage was ich jetzt noch klären will
ist nur gut das kann man so nicht von seiner Strecke wollen was man üblicherweise von der Strecke wissen will ist wie lang sie ist und man weiß wie lange man braucht mehr also was ist die Länge von der Strecke und wie können wir die ausrechnen klassische Fragestellung wie gesagt das ist das gebe der in Kapitel allen also was ist die kriegen Sie Länge von der Strecke raus im 1. überlegen gehen wir erst mal den P 1 sind dem P 2 Koordinaten also das P 1 habe die Koordinaten x 1 y 1 und das P 2 habe die Koordinaten x 2 y 2 und wenn wir jetzt die Länge von dem Ding raus ich mal da mal noch Sonys 3 trainieren rechten Winkel der dran dann sehen Sie die länger das hat immer 5 Tage was zu tun da die Länge von der Strecke kriegen Sie als die also die Länge der waagerechten Strecke Quadrat plus die Länge der senkrechten Strecke Quadrat ist das Quadrat der gesuchten Länge war also die Länge notierten notiere ich folgendermaßen ich nehme die Strecke P 1 P 2 und macht damit Betrag Striche dumm rum damit es gemeint die Länge der Strecke P 1 P 2 und die können wir jetzt Pythagoras ausrechnen da also die Länge die
uns dieser Strecke die wir suchen Quadri hat ich nahm Pythagoras das Quadrat von dieser Länge hier nur wie kriegen Sie die Länge hier ist x 1 3 6 2 diese Länge ist also x 2 und minus 6 1 zu 6 1 minus 6 2. negative da was Quadrieren ist das egal und dann brauchen Sie diese Länge hier wir unten ist y 1 da oben ist y 2 die Länge von der Strecke des Betrag y 2 minus y 1 oder Betrag oder bislang 1 minus y 2 Betrag also y 1 minus y 2 in Klammern an und damit Sie jetzt die Formel nur so noch die Wurzel ziehen die Länge der Strecke P 1 P 2 ist die Wurzel aus
Koordinate x 1 minus Koordinate x 2 Quadrat plus Koordinate y 1 minus hatte y 2 Quadrat und das den ganzen Störung die Wurzel gut dann werden Sie die Formel für die Länge und das ich denke es nicht fest Pythagoras gut schön das gibt
es noch für geometrisch interessante Figuren immer 2 haben geraten deren Strecken bisschen weiter wir mal auf mit dem geradlinigen über was krummes Maul Kreisel ja also es sind jetzt so die der mental geometrischen Figuren wie lässt sich ein Kreis beschreiben das habe ich ihn auch wieder erst die allgemeine vornehmen also an der mir jetzt schon 4 Zahlen A B C D in der und dann muss man so wichtig dass dem muss größer als 0 sein sonst ist das was sich im gleichen schreibe
kein Kreis sorge reißen nicht mehr sinnvoll liege Weise also klar ist der die Menge Volkes Wendepunkte Mengen XY aus R 2 und mit Kreis im Kreis ist Lösung nicht vor der Linie Angleichung sondern Lösungsmenge von der quadratischen Gleichung A A X Quadrat plus A Y Quadrat plus PX gereicht plus CY plus des dass es im Kreis sei jetzt fragen nein gute Frage also die Frage ist noch mal für ich nehme an die denen es nicht verstanden wie wieso dem nimmt man 3 x 1 1 x 2 und x 2 minus 6 1 und dann kommt auch was ganz anderes raus Vermächtnis kommt was anders aus nicht nur das negative x 1 minus 6 2 bis minus x 2 minus 6 1 denn das um sehen und sie genau aus mit negativen das Gute ist dass wir Quadrieren und wenn wir diese Zahl Quadrieren ist die Frage ob 5 oder minus 5 hatten einfach egal als das Quadrat würde das minus wieder das heißt sie dürfen hier tatsächlich x 2 1 6 1 1 bis 1 2 minus y 1 schreiben das ist völlig egal kommen das gleiche aus das muss auch so sein weil der Weg vom P 1 nach P 2 deshalb genauso lange wie der Weg von P 2 nach P 1 im Normalfall also diesen keine keine Steigerung inbegriffen vom Gelände oder sogar X flache Ebene mehrere Rückweges immer genau so anstrengend wie hinweg und das drückt sich ja also solche Sachen das sind Banalitäten Rückweges genauso lang hin weg aber solche Banalitäten finden Sie meinen Formel hat die Frauen müssen so sein dass es der Natur passen und dieses Rückweges genauso lang wie den indirekt drückt sich dadurch aus dass wenn Sie hier X 1 y 1 und x 2 bis 1 2 vertauschen dass sie genau das Gleiche so der das wird sich jetzt banal an aber diese Überlegung wenn ich wenn ich also es in ganz was kein allgemeines Konzept der nicht wenn ich mir natürlich das ein natürliches Phänomen versuchen mathematisch zu beschreiben ja und das in die Situation werden sie kommen wenn sie Ingenieur irgendein der einen etwas modellieren wollen mathematisch uns zum Beispiel mit der Nummer zu lösen dann müssen sie eine mathematische Beschreibung des Problems schaffen das wird dann üblicherweise die gleich eine Differentialgleichung sonst was sein dann ist es es sehr gute Idee sich zu überlegen was sind die Symmetrien von meinem Problem da was es in meinem Problem was weiß ich über mein Problem aus der Physik oder aus den ich habe über das der der Wissenschaft heraus was muss man die Gleichung erfüllen zum Beispiel sie musste gewisse Symmetrie haben wenn ich wenn ich XYZ durch x Z Y ersetzen muss das gleich auskommen oder oder oder und das sind ganz wichtige Hinweise die einen die man kriegt wie muss man das Modell bauen also das ist es und ich hier beinahe Arbeit kommt oft vor gut zur neue Frage hinter muss und equals sein sein Recht so macht das natürlich gar keinen Sinn danke denn immer das letzte bloß weg dank wer ohne gleich Zeichen alle die Excel XY als er 2 so dass 5 ist keine besonders tief in Aussage der gut dass es im Kreis das sieht so ähnlich wie vor
wir den geraden gut dass im Kreis achten Sie
darauf dass es hier wichtig vor dem X Quadraten immer zum Quadrat muss die gleiche Zahl steht deswegen und das ist kein Schreibfehler unter Zufall sondern nur dann damit Kreis sehen wir gleichen und Milizen kümmern so meistens wird man den Kreis so gegeben kriegen oder nicht er taucht in die so auf also man hat ein Problem und dann stellt sich raus die Lösung es würden somit Gleichung mit Quadraten drin wenn jetzt über dessen wie sehen die Lösung aus und da lohnt sich's diese diese Form auf den normal voranzubringen meistens geht man denn ist es sinnvoll den Kreis sich nicht so anzuschauen und dann wieder mit der üblichen Begründung diese Zahlen A B C D hier die haben direkt keine geometrische Bedeutung also sind weiß malen wollen und ich gebe Ihnen die Gleichung dann können Sie den ich mal also nicht es also nur schwer malen und es ist geschickt in Essig umzuschreiben und am besten schreibt man ihn sich in der folgenden Form X minus eine Zahl x Quadrat plus y nirgends eine Zahl NY Quadrat bis gleich in eine Zahl R Quadrat was ist denn mal vor meine Behauptung ist man immer sie Kreiszeitung von der Form da oben kriegen können Sie die so Form das so was von der Form darstellt und wenn Sie sich die Form jetzt Herrn dann haben die Größen die herumstehen alle Ende geometrisch anschauliche Bedeutung nämlich dieses Tupel MXM Y das heißt schon nicht zufällig so das ist der Mittelpunkt von Kreis und diese Zahl erhöhte die noch weniger zufällig so ist der Radius das heißt wenn ich in den Kreis so gebe X minus 2 Quadrat plus X plus Y minus 1 Quadrat gleich 16 wenn wenn Sie mir sofort sagen was Radios im Mittelpunkt sehen dann können Sie das sofort in meinem ganzen ansieht dann dann wissen Sie was das was das kreist also zum Beispiel der Zug es gleich wieder
die ja so ein Beispiel für ein Kreis also so weit das Beispiel 5 Kreis die er Beispiel Kreis der sogenannte Einheitskreis wäre die Gleichungen also wäre die Menge alle XY immer 2 so das X Quadrat plus y Quadrat gleich 1 ist das ist sowohl in der Form da oben mit gleich 1 und A und B gleich 0 und sie gleichen und und des gleich 1 also schon in der Normalform was ist er nix was im Y was ist Remixes 0 1 zu 1 0 und er 1 also das ist im Kreis um den Ursprung mit Radius 1 deswegen heißt Einheitskreis also Kreis mit Radius 1 um den Ursprung das ist sozusagen der Modell kratzen ja dass er nächstes Jahr 0 dessen geklontes 0 und dass er das als dann so wesentlich die spannende Frage wie gesagt im normalen Leben werden ein die Kreise nicht so mundgerecht serviert sondern das denn so da wieder oben also wie kriege ich die den Kreis wenn ich ihn irgendwie gegeben Krieg in die Normalform
noch mal viel in die Normalform kriegen weil alle Normalform kann ich ablesen welches ist und das ist ja das was jeder weiß dass sie etwas welcher Kreis ist das was daran das was den Puck und das kann ich an der Normalform sofort ablesen und in der allgemeinen Form nicht also noch mal als Beispiel eine beispielhafte Umrechnung von irgend Form in Normalform also Überführung in Normalform beim Kreis so und da habe ich ihn jetzt aber mein
Beispiel Kreis mitgebracht also 2
x Quadrat plus 2 y Quadrat wie vorhin gesagt die Zahl vor dem X Quadraten y Quadrat die muss immer dieselbe sein sonst was kein Kreis plus 4 X minus 8 y gleich 8 das ist nach dem was ich oben vollen definiert hat Kreis Gleichung so weit ist schon klar dass das kann man schon sagen man weiß schon dass es dem Kreis weil es ist dergleichen quadratischer nur mit mit quadratischem Thern die bei Zahlenfreaks beratene zum Quadrat sind gleich und das was rechts sieht es positiv also wissen Kreis aber die Frage ist welche und wie gesagt diese 2 4 8 1 8 sagt Ihnen nichts über Mittelpunkt und ratlos wenn seiner der Radius ist 3 das die 3 müssen Sie hier also müssen Sie mir erzählen wo sie die herkriegen da so was müssen wir machen wir müssen uns diese Kreis gleichen nehmen und sie solange piesacken bis Normalform darstellt und was wir dazu mal zuerst machen können eine überflüssige 2 raus die dir nur genau hinguckt dann steht über eine zwar also das alles durch alles mit 10 durch 2 kürzbar also 6 ratlos y Quadra plus 2 X minus 4 Y gleich viel zur auch was von der Form müssen das bringen X minus irgendwas Quadrat plus Y minus irgendwas Quadrat gleich Quadrat das das Ziel also noch mal was ist das Ziel wie gesagt ist immer gut machen sich ihr Ziel klar sie wollen was haben X minus werden das Quadrat plus y minus irgendwas Quadrat durch irgendwas Quadrate Quadrat und beenden ist Hmm und deshalb suchten die 3 Fragezeichen Sachen wieder zielgerichtetes rechnen nein ich kann das mal umsortieren und sieht man es besser wir mal die Excel zu dem X und Y zum Ypsilons Xtra plus 2 x plus y Quadraten das viel zu lange nicht 4 so dieses extra bei plus 2 x das sieht schon fast aus wie so ein Vino aber nicht so ganz der für das Plus 1 bloß ein sehr doof werden gerne noch plus 1 Maste kann es macht die 1 plus 1 minus 1 also das ist dasselbe wie X plus 1 Quadrat minus 1 das ausrechnen wie plus 1 Quadrates verbarg plus 2 X plus 1 10 wieder 1 wieder ab steht es comma plus 2 x so genannte quadratische Ergänzung das gleiche könnte beim y machen da steht der binomische anfangen von Y minus 2 Quadrat nein weil y 1 2 Karat ist y Quadra nahm Genome y Quadrat minus 4 y plus 4 ja das Plus 4 fehlt aber dann und dann ist sie Wasser wieder ab da sah man plus 4 zu viel also 10 1 4 ab das können Sie an Sa zwar zweimal quadratische Ergänzung einer fixen auf y warum wir
das gemacht war gemacht schauen Sie unser Ziel wir sind jetzt schon ziemlich nah dran ja X minus irgendwas Quadrate beim Islamist und das Quadrat es müsse noch den ganzen andern Rest der da so rum fliegt auf die rechte Seite schaufeln also haben wir X plus 1 Quadrat plus Y minus 2 Quadrat ist gleich plus 4 auf beiden Seiten plus 1 auf beiden Seiten es gleich 9 so und im Prinzip sind sie jetzt fertig man möchte mal auf dem Schlauch und Frage wieso sie denn jetzt werde ich will doch X minus irgendwas haben und nicht X plus irgendwas na ja auch dass es kein großes Problem plus Y minus 2 Karat er und die neuen schreibe normales 3 Quadrat und dann wissen Sie genau was ihre question mark sind also was ist das jetzt beim Kreis das ist ein Kreis um den Mittelpunkt minus 1 2 ja hier steht die minus 1 das die die 2 und der Radios ist 30 steht hier wenn Sie nur mal die Ursprungs Gleichung gucken die minus 1 2 und 3 die können Sie der ich nicht ablesen da ist gar nichts zu holen ich bin schon Minute drüber dann war ich Ihnen jetzt den Kreis noch hinzu mal der wird es furchtbar das kriegen selber und da sage ich weil die Aufmerksamkeit und wir sehen uns nächste Woche
Kombinatorik
Momentenproblem
Natürliche Zahl
Zahl
Momentenproblem
Ende <Graphentheorie>
Natürliche Zahl
Fakultät <Mathematik>
Binomialkoeffizient
Zahl
Momentenproblem
Drei
Fakultät <Mathematik>
Binomialkoeffizient
Billiarde
Koeffizient
Fakultät <Mathematik>
Symmetrie
Koeffizient
Fakultät <Mathematik>
Binomialkoeffizient
Kombinatorik
Rechenbuch
Binomialkoeffizient
Billiarde
Zahl
Zahl
Quadrat
Punkt
Element <Mathematik>
Zahl
Ecke
Mischung <Mathematik>
Größenordnung
Billiarde
Zahl
Ziffer
Quadrat
Zahl
Nonstandard-Analysis
Algebraisch abgeschlossener Körper
Summe
Quadrat
Zusammenhang <Mathematik>
Kombinatorik
Exponent
Verallgemeinerung
Mathematiker
Binomialkoeffizient
Auflösung <Mathematik>
Binomische Formel
Summe
Index
Quadrat
Ende <Graphentheorie>
Rechenbuch
Exponent
Summand
Koeffizient
Binomialkoeffizient
Mathematiker
Kombinator
Mathematikgeschichte
Bindung <Stochastik>
Zusammenhang <Mathematik>
Binomialkoeffizient
Summe
Zusammenhang <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Reelle Zahl
Binomialkoeffizient
Term
Bindung <Stochastik>
Rechenbuch
Quotient
Fakultät <Mathematik>
Mathematiker
Binomialkoeffizient
Zahl
Binomialkoeffizient
Sierpinski-Dichtung
Binomialkoeffizient
Gleitendes Mittel
Zahl
Bindung <Stochastik>
Sierpinski-Dichtung
Quadrat
Kombinatorik
Mathematiker
Pascal-Zahlendreieck
Zahl
Wahrscheinlichkeitstheorie
Dreieck
Ebene
Bindung <Stochastik>
Faktorisierung
Kombinatorik
Vektorrechnung
Momentenproblem
Pascal-Zahlendreieck
Geometrie
Ebene
Punkt
GERT
Achse <Mathematik>
Kartesische Koordinaten
Geometrie
Koordinaten
Ebene
Tupel
Quadrat
Punkt
Menge
Reelle Zahl
Achse <Mathematik>
Mathematiker
Kartesisches Produkt
Maßeinheit
Ebene
Teilmenge
Ebene
Reelle Zahl
Integration <Mathematik>
Geometrie
Teilmenge
Ebene
Quadrat
Punkt
Menge
Graph
Graphische Darstellung
Koordinaten
Dimension 2
Funktion <Mathematik>
Menge
Reelle Zahl
Schnelle Multipolmethode
Graphische Darstellung
Gleichung
Koordinaten
Punkt
Menge
Graphische Darstellung
Gleichung
Menge
Graphische Darstellung
Gleichung
Gerade
Graphische Darstellung
Zahl
Hidden-Markov-Modell
Arithmetischer Ausdruck
GERT
Menge
Achse <Mathematik>
Gleichungssystem
Gerade
Zahl
Richtung
Ebene
Teilmenge
Strecke
Quadrat
Punkt
Menge
Dimension 6
Strecke
Quadrat
Länge
Maß <Volumen>
Betrag <Mathematik>
Rechter Winkel
Koordinaten
Linie
Strecke
Quadrat
Länge
Betrag <Mathematik>
Koordinaten
Ebene
Kreis
Große Vereinheitlichung
Physik
Quadratische Gleichung
Gleichung
Differentialgleichung
Zahl
Lösungsraum
Linie
Quadrat
Menge
Symmetrie
Geometrische Figur
Mathematische Größe
Radius
Tupel
Kreis
Quadrat
Gleichung
Zahl
Kreis
Radius
Quadrat
Menge
Normalform
Einheitskreis
Gleichungssystem
Hidden-Markov-Modell
Radius
Kreis
Quadrat
Normalform
Gleichung
Zahl
Umrechnung
Mathematische Größe
Kreis
Quadrat
Gleichung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Elementare Kombinatorik und Geometrie
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 04
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35628
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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