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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass es verlängert werde in einer dir Daniel so dann möchte ich
sehen alle herzlich zum letzten Durchgang Mathematik vor der Weihnachtspause begrüßen und bevor ich wieder die Debatte über die Ableitung einsteigen letzte Mal übriggeblieben war ist noch vor allem aus dem Treffpunkt Mathematik an mich herangetragen worden das ist Unklarheiten oder Unverständnis über meinen meine Ablehnung des Symbols Wurzel aus minus 1 geht ja denn als der komplexe Zahlen eingeführt haben gesagt es der Zahl deren Quadrat minus 1 ist und Sie sollten sich ein bisschen davon hüten das Symbol Wurzel aus minus 1 zu benutzen und ja ich würde einfach noch kurz sagen warum wo diese Abneigung kommt weil das sind scheint im für Diskussionen gesorgt hat ich will nicht sagen dass das Symbol völliger Quatsch es natürlich ist wie in in gewissem Sinne eine Wurzel von minus 1 ja eben die Quadrat minus 1 ist das Problem ist die Benutzung dieses Symbols weil man ja wenn man das Symbol schreibt damit gut zum einen meint eine Zahl deren Quadrat minus 1 ist aber zum andern weil eben weil unsicher Nummer assoziativ denkt also immerhin Assoziationen denkt er verbindet man mit diesem Symbol eben nicht nur das sondern man verbindet damit auch gewisse Rechenregeln gewisse Manipulationsmöglichkeiten oder der Stelle mit gefährlichen das ist der Grund weshalb ich abrate das Symbol zu benutze ich kann sehen vielleicht lasse sich an eine Zeile klarmachen er das Problem ist nämlich Sie können natürlich Wurzel von minus 1 von Englisch als sie für die schreiben aber sie dürfen mit diesem Wurzelzeichen dann nicht rechnen wie sie es gewohnt sind weil die üblichen das erregt Rechenregeln man von der Real Wurzen kennt einen Service Fall nicht gelten und das ist die schiefe Bahn auf die vor der ich sie etwas bewahren will also schauen sich mal folgende schöne gleich Halskette an minus 1 habe gesagt ist eh Quadrat also minus 1 ist immer I das ist die Definition von je nach nach Skript sozusagen jetzt ersetzen wir doch mal das die durch Wurzel aus minus 1 weil das so schön plastisch ist ja und wenn so darstellt ist es total naheliegend meine wo zuzurechnen wie man halt mit Wurzel rechnet ja das heißt wo zumindest 1 x Wurzel minus 1 ist natürlich Wurzel von minus 1 X minus 1 wozu von aber wozu von bläst wozu von mal will das ist total naheliegender Schritt so was ist minus 1 X minus 1 minus 1 X minus 1 bis plus 1 also ich die Wurzel aus 1 und das ist 1 also das minus 1 gleich 1 dass etwas schiefgelaufen also Schauer war welches gleich der was schiefgelaufen ist das 1. ist sicher nicht dass die Definition von das zweite gut das ist diese Ersetzung von Erich Wurzel minus 1 von der wir angenommen haben der die Macht in gewissem Sinne sehen das letzte gleiches unstrittig dass der vor ist auch unstrittig das Problem liegt im dieses Worte Gesetz geht halt nicht und das ist also eine Instanz des Grundes weshalb ich sage seien sie mit dem Symbol Vorsicht mein Mann in das Symbol als solches kann man natürlich man kann statt I auch ist auch so Blumentopf im Mai mehr wie man das Ding denn die Sie da also da kann man doch muss das Minus 1 nennen aber dann muss man sich ganz neue darüber Rechenschaft ablegen wie man mit diesen Dingen rechnet und jetzt ein Symbol zu verwenden für des man schon eine Vorstellung Kopf hat wie man damit rechnen dass ihm gefährlich weil zum Beispiel das geht schief er also an der Stelle hier ist eben nicht gleich sondern das ist nicht des ist und verschiedene und das ist das ist der Punkt Grund weshalb ich sie sozusagen ja ihn zumindest das nicht verbieten oder ist es in sonst wie viel sondern sie da vor warnen wenn das Symbol was los minus 1 auftaucht Sie einfach vorsichtig man kann damit eben nicht unbedingt zu rechnen wie man es gewohnt und die einfachste Methode dieses Problem zu umgehen ist das Symbol einfach nicht sein und alles ist gut keine sofort IN Schreie wurde die ist ein klar definiertes 8 gut das alles Bemerkungen außerhalb von Protokoll aber weil ich eben nicht gekriegt hat dass es da Verwirrungen gab wollt ich das ein bisschen erklären gut wir waren eigentlich dabei und über die Ableitungen die Differenziation von Funktionen Gedanken zu machen und ich hatte Ihnen das schon definiert und was ich jetzt machen wir das ein bisschen über die geometrische Bedeutung der Ableitung reden also das ist ein längerer Abschnitt 1 4 geometrische Bedeutung der Ableitung und da hat man natürlich schon so ein bisschen was im Kopf hat und jetzt Mal schon gesagt die Ableitung am
Funktion was zu tun mit ihrer Steinigung mit der Tangenten also nochmal ich normale Funktion mal hier X das ist die Funktion f von x wenn Sie jetzt an der Stelle x 0 ableiten dann hat das geometrisch was damit zu tun dass sie die Steigerung der Funktion f an der Stelle x 0 bestimmen wollen und die Steigung von der Funktion entspricht der Tangenten an dem Punkt x 0 f von x 0 wir nahe zu sehen dass es gerade während dass die Tangente an die an den Funktionsgraphen also an den Punkt x 0 f von x 0 und das ist die anschauen jetzt würde ich das gern in der Rechnung verbinden als ich mit ihnen zeigen was hat es tatsächlich diese Tangente mit der Ableitung zu tun wenn wir also mal die Sie gerade das einmal die Funktion T von XT die Tangente und wir überlegen uns mal was ist denn die Gleichungen
dieser Tangente die Legende also die sich gerade die wieder beschreiben weil es eben die gerade wodurch können Sie mir gerade angeben zum Beispiel durch ihre Steigung und durch einen Punkt den Sie geht so und die Steigung der Tangente ist eben genau als Strich von x 0 und dann brauchen Sie noch einen Punkt und ein Punkt haben sie zum Glück nämlich den Punkt x 0 f von x 0 da liegt die gerade eindeutig fest wenn sie wissen Sie die durch den Punkt x 0 f von x 0 unser die Steigung F durch von x 0 1 die Grades eindeutig festgelegt geht also auch darum was ist denn die der die Gleichung also die
Funktions- der Funktions- Ausdruck der diese gerade beschreibt die Gleichung der Geraden setzen wir mal die gerade lässt sich schreiben alles A X plus B 5 ist die Steigung Bäder Achsenabschnitt die Steigerung kennen wir schon also die Gleichungen gerade lässt sich schreiben als die Steigung F Strich von x 0 x x plus B und bestimmen das noch das B wir das B ergibt sich jetzt
eben aus der Forderung dass die gerade durch den Punkt x 0 f von x 0 gehen soll also setzen Sie x 0 1 was passiert wenn X 0 einsetzen dann soll bitte schön f von x 0 rauskommen also F von X nur soll sein f Strich von x 0 x x 0 plus Spätzle sollen die auflösen was ist dann das das B ist dann f von x 0 minus F Strich von x x x 0 die und damit kriegen sie Tangenten Gleichungen das ist auch
ein Grund weshalb man oft gern die die Ableitung bestimmen will wenn man an die Tangente rankommen kommen will ja das ist genau das eine noch andere Umformulierung des ab Leitungsproblem ist wenn sie nur den Funktionsgraphen haben und nicht gehalten ab Leitungs- Begriff also keinen keine Grenzwerte Begriff haben dann kommen sie in die Tendenzen nicht heran Beisitzer wissen das Ding muss durch x 0 F von X nur laufen aber dass die wird Ihnen nur einen Punkt auf der Geraden und der zweite den haben sie eben nicht und erst durch die Ableitung können Sie diese Tangente dann eindeutig festlegen also was ist die Graden des Geradengleichung durch die Tangente gegeben ist oben der Ansatz F Strich von x 0 X X plus das B also wir das B 1 bis f von x 0 minus 11 Strich von x 0 x x 0 wenn man sich die Gleichung bisschen anguckt sieht man dass man die nur müssen hübscher schreiben kann bisschen aufräumen da kann man noch 11 Strich von x 0 ausklammern das er strich von x 0 x x 1 x 0 plus F 1 x 0 das ist die übliche Form in der man die Tangente hinschreibt die Tangente an der Stelle x 0 ist gegeben durch die gerade die von X es spricht von x 0 x x 1 x 0 plus F von X nur und sie sehe die tut alles was es soll die Steigung von der gerade es F Strich von x 0 und wenn Sie x 0 einsetzen fällt der erste Summand weg und das kommt F von X noch aus gut warum ist man jetzt an dieser keine gehen so interessiert warum es dieser Legende so toll weil man im Normalfall also das wird dann interessante wenn die Funktion f für komplizierte Funktion ist ne eklig zu berechnen meinetwegen vielleicht eine die durch ich irgendwelche Messpunkte gegeben ist also Funktion mit der man von der
man gar nicht so genau weiß wie sie aussieht oder die schwer zu berechnen ist und dann ist eine naheliegende Idee wenn Sie die Funktion noch erleben Bild von oben jetzt man sein an der Stelle x 0 die Tangente dran das zumindest für x nahe bei x 0 liegen diese Tangente als Approximation der Funktion f dienen kann man also ist natürlich mit dem X ganz weit x nur der geht ist die Tangente mit ziemlich schlecht Approximation aber nahe dran ist sie gar nicht so schlecht wenngleich sogar sehen Sie in gewissem Sinne die beste linear Approximation war also wenn sie sich nicht mehr Mühe als sie gerade machen wollen dann ist die Tangente die beste gerade die sie finden können ihre Funktion zu approximieren und das ist
das was ich Ihnen jetzt zeigen will also eine Bedeutung der Tangente eine wirklich praktische Bedeutung ist und dass man mit der Tangente in der Nähe von x 0 natürlich nur die Funktion eine komplizierte Funktion approximieren kann also die Tangente ist mir so genannte 7 Jahre Approximation von 11 und je nachdem wie genau man seine Funktionswerte von 11 braucht reicht das oft schon aus also wenn sie ein in verschiedenen Bereichen vor wenn der mich Heiligabend so beim physikalischen Anwendung zu tun hat oft erleben dass man sagt ja wissen unser X ist nah bei 0 oder unter X ist nahe bei 1 1 x 0 und in der Nähe wären wir linear und das ist mir ganz typische Vorgehensweise was man das dabei
macht ist meine setzt die Funktion durch ihre Tangente er also was man sagt ist für x nahe bei x 0 ist das F von X ungefähr F 1 x 0 mal f Strich von x 0 mal x minus x 0 das war die Gleichung der Tangente er ist von der 4 plus F von X 0 plus 11 strich x 0 x x 1 x ja das ist die Idee den genial Approximationen das geht natürlich nur solange das X nahe bei x 0 ist was über die Quantifizierung dieses Nein bei x 0 werden uns unterhalten wir also das vielleicht mal nach Weihnachten diese Idee komplizierte Funktionen durch gerade dadurch Polynome ab zu approximieren wenn man noch genau verfolgen das ist der 1. groben Methode sie approximieren die Funktion durch liegen Jahre vom zur durch mich gerade und das geht eben gut für x nahe genug bei x 0 er will wenn Sie sich diese
Gleichung hier anschauen also diese sagen keine gleich um diese das gleich um die so ungefähr Gleichung dann nehmen Sie die mal bringen mal das F von X nun auf die andere Seite und dividieren durch X minus x neue also wenn Sie diese ich sage Ihnen gleich einmal nehmen und nach dem F Strich von x 0 auflösen also was da steht ist das dass er strich von x 0 ungefähr ist F von X minus 11 1 x 0 durch x 1 x 0 also diese Idee die Funktion durch die Tangente zu approximieren entspricht den die Ableitung durch den Differenzen Konzerns approximiert sieht man wenn das X nahe bei x 0 ist da und die diese diese Näherung der Funktion durch die durch die Tangente ist so Groth wie die Klärung der Ableitung durch Differenzenquotienten also wenn das X nahe bei x 0 ist dann ist dieser Quotient hier nahe comma von X nun in dem Sinne dass auch die Tangente nahe bei X F von X das ist eine Umformulierung und dass das tatsächlich mal auf
der vernünftiges Ghana funktioniert nämlich an konkreten Beispielen zeigen so einigermaßen funktioniert wenn Sie mal die Wurzel Funktion wer von X das Wurzel x da meine letzte Stunde ganz am Schluss die Ableitung ausgerechnet die war einst durch 2 Wurzel X und schauen uns das Ganze mal an an der Stelle x 0 gleich 4 dann also
interessieren uns für die Wurzel in der Nähe von 4 warum in der Nähe von 4 weil in 4 kann man die Wurzel einigermaßen leicht berechnet ja trotz von 4 sein mehr die Gewürz wenn ich sie dachte wozu von 3 comma decimal 9 8 Frage dann ist man im Kopf dass sie weniger schnell da und die des setzen Sie die Worte von 3 comma decimal 9 8 berechnen sollen wir rechnen gar nicht die Wurzel von 3 comma decimal 9 8. sondern sie berechnen oder die von 4 das kriegen wir hin dann legen sie in 4 die Tangente an die Wurzel Funktion und sagen so genau kommt es nicht darauf an ich nehme gar nicht die Wurzel von 3 comma decimal 9 8 und ich nehme den Funktionswert der Tangente möchte 3 comma decimal 9 8. kann ich leicht ausrechnen weil das ist einfach die gerade mehr der und um zu sehen wie gut das funktioniert machen was man hier einem Beispiel was ist die Ableitung an der Stelle x 0 also was ist die Steigerung der Geraden der Tangenten na ja einer Stelle x 0 es F Strich von x 0 1 durch 2 wo zunächst nur also eines sich zweimal Wurzel 4 1 4. zur dann können wir 10 schreiben was die
Tangente ist da also die Idee wie gesagt vielleicht ein Bildchen ist Worte Funktion na ja da war gerecht wird die nicht gerichtet so dort an der Stelle 4 hier ist also 2 sollen sie die Wurzel an der Stelle in der Nähe von 4 ausrechnen daneben drängen sich die Wurzel aus sondern sie approximieren die Wurzel durch die Tangente und der Nähe von 4 sollte diese Approximation gut sein was ist die Tangente hier denn dann während des gegeben siehe oben durch die Gleichung y gleich f von x 0 plus 11 Strich von x 0 x X minus x 0 also dem Spezialfall x 0 1 4 11 vor die Wurzel Wurzel aus 4 S 2 bloß F Strich an der Stelle x 0 ist hier im Viertel in X X minus x 0 also X 1 4 so das ist die Gleichung der
Tangente und jetzt können mal einfach an
konkreten Zahlen werden Gruppen wie gut ist die Approximation wenn März statt der Wurzel also wenn Sie jetzt die Wurzel von 3 comma decimal 9 8 mehr wollen da drängen sie nicht Wurzel 3 comma decimal 9 8 aus sondern sitzen hier 3 comma decimal 9 8 1 also 3 comma decimal 9 8 minus 4 ist minus 0 comma decimal 0 2 geteilt durch 4 plus 2 das sind lauter einfache Rechnung und das gibt ihnen Näherung für die Wurzel wir also die die ist immer die Funktion f von x gleich Wurzel X in der Nähe von 4 durch diese Funktionsweise flossen X minus 4 Viertel also und das ist mehr eine gute Approximation für Exxon Halle 4 und jetzt einfach mal 1 2 3 Punkten verglichen und klar sie natürlich fix gleich 4 einsetzen dann kriegen Sie für die Wurzel in exakt 2 raus wenn Sie hier 4 Einsätze natürlich auch er an der Stelle an der Stelle wo Sie die Funktion approximieren ist die Approximation durch die Tangente natürlich exakt weil die Tangente durch den Punkt x 0 f von x 0 gilt so was da sie selber von der 4 weg gehen immer mal als Beispiel einfach was bisher den 3 was bis sie den 5 wenn Sie sehen an dem Bild die Approximation wird in dem Fall umso schlechter je weiter sie von dem x 0 also von hier weg gehen wir gucken mal nach was ist Wurzel 3 Wurzel 3 ist so ungefähr 1 comma decimal 7 3 2 0 5 was passiert wenn Sie hier drüben 3 einsetzen das können am Kopf machen 3 minus 4 bis minus 1 also 2 1 one quarter 8 werden dass ein Viertel sind 7 Viertel 7 Folgen sind 1 comma decimal 7 5 also sehen wenn sie die Worte durch diese setzt man sieht Fehler aber noch sogar ein ganzes weg also bei 3 ist der Fehler 1. der 2. Nachkommastelle und was passiert bei X gleich 5 Worte 5 ist 2 comma decimal 2 3 6 0 6 dass Sie wenn Sie die Tangente 5 Einsätzen 5 minus 4 S 1 also dass die 2 plus Viertel 8 werde plus ein Viertel des neuen Viertel also 2 comma decimal 2 5 und Sie sehen die nachdem aber wenn er mit mir zu Genauigkeit bis in die bis bis auf die zweite Nachkommastelle zufrieden ist dann kann mit der Tangente sogar auf dem mit der Wahl von 3 bis 5 mehr das ist relativ groß ist dabei und Sie sagen nicht 3. schrecklich auf das Intervall von 3 comma decimal 9 bis 4 comma decimal 1 1 kriegen sie eine sehr gute Approximation Berater gut in also das ist nicht
nur Spielerei sind das kann man tatsächlich verwenden und ich hatte es vorhin gesagt warum der man die Tangente dieser gerne man deswegen weil sie in gewissem Sinne die besten Jahre Approximation dass diese machen können ihre Funktion ja sie können natürlich alle möglichen gerade durch den Punkt x 0 F von X nur legen die Frage ist welche approximiert die Funktion am besten und was dabei rauskommt ist die Tangente ist die richtige und das will ich jetzt einmal kurz diskutieren und die Frage ist natürlich jetzt in welch in welchen Maßen ist meine beste das lasse ich bisschen offen aber ich will ihnen zeigen kann das die Tangente in dem Zusammenhang eine schöne Eigenschaft hat ja die in gewisser Weise sagt dass die gute Approximation des und das wieder zu
machen es wir schauen uns mal an was ist denn der Fehler den wir machen wenn wir die Funktion durch die Tangente approximieren wie sind Sie denn nicht mal er sie können sich denken als Rest oder wie auch immer also den Fehler den Sie machen wenn man wenn man die Tangente die Funktion durch Agent approximiert diese Felder bestellen Doles natürlich 0 gefragt ist anders angefangen also ich nehme H sei das Stückchen das sich von dem x 0 weg bin wenn also der viele Fehler an der Stelle H a bis f von x 0 plus H man aus die Tangente an der Stelle x 0 plus haha ja also das ist der Fehler der Approximation wenn ich mich H von x 0 wegbewegen er hat noch 7 Nationen in Entfernungen Haar von X noch also das er von 0 ist er von x 0 das Telefon von x 0 das ist 0 war im period x 0 die Approximation exakt ist und wenn Sie jetzt mit dem H nach ins positive als negative gehen dann kriegen Sie hier einen zunehmenden Fehler oder auch der kann aber wieder kleiner werden auf jeden Fall kriegen Sie jetzt ist er von hat der Fehler den sie dabei machen so das Geld dann also was sie eigentlich haben wollen ist die Funktion der der Stelle x 0 plus an sie rechne stattdessen aus die der der Tangente an der Stelle x 0 plus H und das ist natürlich nicht richtig sondern sie machen jetzt in diesen Fälle von Haar setzen wir mal ein das Telefon x 0 plus H ist und wieder daran erinnern was die Tangente war wenn man die Tangente richtig einsetzt dann kriegt man raus die von x 0 Beschluss H ist der Funktionswert an der Stelle x 0 plus die Ableitung der Stelle x 0 X X minus x 0 dass es genau Haar ja das ist die Gleichung der Tangente plus er von haben denn jetzt sieht man also das ist noch mal nur geschrieben die period würde die Tangente genähert den Wert einer Stelle x 0 bestimmen wer aus dem Wert an der den wäre das Deluxe 0 plus Haar bestimmen wir durch den Berg an der Stelle x 0 und die Ableitung an der Stelle x 0 und dieses Haar und dabei machen wir den Fehler von Haar so jetzt setzen wir voraus und wir das Ganze gemacht für differenzierbare 11 und das bitte die wird uns jetzt dass das F differenzieren über ist liefert uns der Aussage darüber wie groß der Fehler sein kann und ist die den 11. Fränzi es wäre fest dieser Fehler ist hält sich sehr brav hält sich gut schauen Sie sich mal an was passiert wenn Sie relativen Fehler anschauen als den Fehler an der Stelle hat noch dividiert durch H hallo und was ist das werden müssen Sie nur dass er von H oben einsetzen dass es einst durch H mal der Fehler ist f von x 0 plus Haar Niners F von x 0 minus 11 Strich von x 0 Martha nein das ist einfach oben aus der Gleichung die 2 Zeilen drüber steht dass er eingesetzt jetzt können Sie hier ein bisschen Kosmetik machen das einst durch H in die klamme reinziehen dann steht hier f von x 0 plus H minus F von x 0 durch minus 11 Strich von x 0 x H durch also Strich von x 0 so und jetzt schauen Sie sich mal von dem ganzen den den Grenzwert 0 an also was der Grenzwert Hagen 0 vom relativen Fehler der ganze dagegen 0 davon ist der Grenzwert Hagen 0 hiervon ist der Grenzwert 0 dran NF differenzierbar ist was passiert dann mit diesen Quotienten hier das ist unser altbekannte Differenzenquotienten der geht gegen die Ableitung einer Stelle x 0 und wenn der den F Strich von x 0 geht 10 11 durch von X wohl wieder ab dann kommt hier nur was und Sie sehen auch wenn sie statt der Tangente der andere gerade nehmen also jede andere Steigung einsetzen dann kommt diese andere Steigungen hier raus Berater daraus und damit auch hier raus und die Steigung F durch Phonix Lohnes ist die einzige Steigerung dieser einsetzen können damit diese Fehler hier 0 wird und dass dieser Fehler hier der relative Fehler 0 wird das ist eine sehr starke aus sage mal was bedeutet das denn
das heißt der Fehler geht wenn sie Hagen 0 schicken also für x nahe bei x 0 Hagen 0 heißt X geht immer mehr zu x 0 geht für Verhagen 0 schneller gegen 0 als das H selbst nur weil sie teilen ja sogar noch durch H 1 dieser Grenzwert er von durch da haben 7 Männer das Haar stehen das geht Fragen nur gegen 0 das drückt den Grenzwert also eigentlich noch plus und plus oder minus unendlich aber dieses dieser Ausdruck dass der Limes gleichen und das bedeutet nun dass er von H O der Fehler geht wenn sie Hagen nur schicken auch gegen 0 und zwar so dass er sogar noch schneller ist als das H und den Männer und die ganzen Ausdruck nach 0 drückt als der Fehler geht für Hagen 0 schneller gegen 0 als das Haar selbst ganz auch seine gegen mehr als linear gegen 0 und wie jeder andere Steigerung diese ihrer Tangente oder für jede andere gerade diese durch diesen Punkt XIX nur f von x 0 legen könnten mit der andern Steigung statt F von X F Strich von x 0 kommt hier was anderes raus also kommt an der Stelle nicht nur raus das heißt in dem Fall ist die Approximation schlecht der relative Fehler geht dann nicht gegen 0 wenn Sie mit H gegen 0 gehen also in diesem Sinne das ist eben die Tangente die besten Jahre Approximation also ist die Tangente t von X gleich f von x 0 plus 11 Strich von x 0 X X 1 0 die besten Jahre Approximation von 11 Mal bei Exxon und und das ist auch
eine wichtige Art die Ableitung zu sehen weil die Ableitung dient dazu die richtige Approximation Funktionen ja Approximation Funktion zu finden die Erfinder in der Nähe von x 0 approximiert gut er das ist sozusagen eine der weiteren Motivation warum man Ableitung einführt wir werden das noch vertiefen nach Weihnachten werden uns dann die nächste natürlich die Frage ist was ist das Beste quadratische Polynom dass die Funktion am besten approximiert komische Polen Umpolung vierten Grades und so weiter darum wenn man später kümmern und werden feststellen was wir hier haben Spezialfall davon aber wie gesagt für viele viele Anwendungen reicht schon diese geniale Approximationen das ist was was man vor allem im ja eigentlich mechanischen physikalischen Anwendung extrem oft macht dass man komplizierte Funktionen für kleine Daten ist das letzte Daten nahe bei einem Punkt muss bekannt ist durch durchgelegen Jahre funktioniert sein gut ich mir ein bisschen
weiter in dem zusammen gehen welche Eigenschaften haben differenzierbare Funktionen welche Funktion sind differenzierbar wie kann man Ableitung ausrechnen und 1 ja Einsatz bringen den ich letztes Mal schon angedeutet habe Zusammenhang zwischen der Differenzierbarkeit Unstetigkeit darstellt und dieser Zusammenhang ist sehr einseitige Sache nämlich nicht differenzierbar ist stärker als tätig also wenn Sie mir differenzierbare Funktion haben erst auf dem Intervall I definiert und differenzierbar das heißt in jedem Punkt des inter weil sie existiert der Grenze Differenzenquotienten oder nein in dem Fall reicht jetzt auch differenzierbaren einer Stelle also dann aber also können sie period oder das Ganze der Wahl aufschreiben das Gleiche also wenn 11. besser an der Stelle x 0 dann ist der Zusammenhang dann ist das 11 automatisch an der Stelle x 0 stetig also das ist Wiederhören notwendiges Totschlag Kriterium wenn Sie rauskriegen sollen Doppelfunktion irgendwo steht differenzierbar ist und sie stellen fest die seine Stelle nicht mal stetig dann können sie auch für weiter zu probieren weil wenn Sie die Filets jeweils muss sich tätig sein aber das ist so ähnlich wie dieses Kriterium damit der Reihe konvergiert muss man mindestens das was drin steht im neuen Folge sein das ist kein scharfes Schwert und ein sehr stumpfes das hilft Ihnen dabei die ganz faule Äpfel aus die Kiste zu bitten wir also es gibt reihenweise Funktion die 2 stehe die sind aber nicht differenzierter umgekehrt funktioniert das nicht aber es ist so ein gutes Kriterium das ihn einfach sagt Differenzierbarkeit ist nicht stärkere Anforderung als Stetigkeit und der Grund warum der Satz gilt ist relativ einfach
das kommt eigentlich direkt aus der Definition der Differenzierbarkeit wenn man
sich noch mal klar macht was Differenzierbarkeit Unstetigkeit bedeutet vielleicht ich kurz Erinnerung was bedeutete nochmal Stetigkeit 11. stetig an einer Stelle x neue wenn flapsige Formulierung wenn das nix ausmacht wenn Sie mit Ihrem Argument bisschen daneben hauen also wenn für die X in der Nähe von x 0 auch F von X Leiber f von x 0 liegt oder genau formuliert wenn für der Grenzwert für X gegen x 0 F von X im existiert und gleicht dem Funktionswert f von x 0 ist das meine Definition nein und das bedeutet eben kleine Ursache hat nur klar also kleine Abweichungen der Ursache hat nur kleine Abweichung in der Wirkung als wenn sie mit dem X halbwegs 0 liegen dann ist auch das F von X schon nahe bei F von X noch das ist Stetigkeit und ich behaupte wenn sie Differenzierbarkeit haben kriegen Sie die Stetigkeit für umsonst der also fahren wir mal an gewissen und Selfies differenzierbar was bedeutet das einfach nach Definition der Differenzen Quotient hatten Grenzwert also der Limes X gegen x 0 F von X minus f von x 0 durch X minus X nur der existiert das ist dass die Zahl die wir Strich von x 0 genannt haben
so was heißt das wir müssen zeigen dass
der Limes F von X existiert und F von X 0 ist alle Ingredienzien stehen schon da Sie meine Zelle anschauen oder steht Mystics gegen x 0 von F von X minus F von X 0 es sieht schon gut aus also schauen wir uns diesen Ausdruck mal an also was ist 1 x gegen x 0 von F von X minus f von x 0 und wenn sie sich anschauen wo wir hinwollen also das müssen wir zeigen hier oben der dann ist jetzt unser Ziel zu zeigen dass soll bitte schön 0 werden wenn das neue ist bringen Sie die F von X nur auf die andere Seite so dass da oben das Beweis es dann zu Ende wenn jetzt nach langen langen Gleichheitszeichen 1 gleich 0 da steht dann 7 zufrieden gut was ist das 1. Überlegungen sie können da noch mehr Klammer einsetzen der Limes X gegen x 0 F von X minus f von x 0 wo das F von X nur mit den Grenzwert steht ist das Gleiche Grenzwert setzte wird die Differenz der Grenzwerte die die Grenzwert von Differenz der Grenzwert von Different von Referenz ist der Differenz der Grenzwerte und der Grenzwert XTX 0 von Evonik soll ist es nicht wert er und was ich jetzt mache ist ein schon mehrfach Gemüter trägt wir wollen diese Grenzen ausrechnen wir wissen was über den Grenzwert der oben mit diesem Bruch also müssen wir irgendwie diesen Grenzen mit dem Bruch der oben und erscheinen lassen sonst können wir unser Wissen nicht verwerten und wenn man den nicht hat was man haben will dann muss man sich das mit Gewalt erzeugen das heißt in dem Fall wir müssen die richtige 1 darum multiplizieren also das ist das gleiche wie der Limes F von X minus 11 von x 0 geteilt durch X minus x 0 x x minus x 0 klar da ich nichts getan ich habe mit der richtigen 1 multipliziert Motivation warum habe ich gerade damit erweitert damit ich diesen Ausdruck da oben erzeuge den über den ich was weiß bleiben sollen wissen verwenden also muss ich das denn wieso hingegen dass ich mein Wissen verwenden
kann sollte wenn der Grenzwert setzte das ist X gegen x 0 von F von X minus f von x 0 durch x 1 x 0 mal Limes X gegen x 0 von X minus x wolle buchen das ist Grenzwert Satz Produkt der 1. Grenzwert wissen wir existiert bei unserer Funktion differenzierbar ist der ist einfach f
Strich von x 0 und was ist der zweite Grenzwert ja wenn es nur Geld was macht ein X minus 6 0 das geht gegen 0 also das ist neu und damit habe man wohl und das ist das was wir haben wollten also damit das wissen wir lieben X x 0 F von X man dass er von x 0 bis
0 das heißt der Limes X gegen x 0 F von X ist er von x 0 und das bedeutet genau das F stetig ist nix also das gefällt aus den Differenzenquotienten raus und man kriegt hier die Stetigkeit Geschenke meine Differenzierbarkeit hatte da an der Stelle
noch mal die explizite Warnungen wie gesagt dieses Kriterium ausdifferenziert erfolgt stetig ist wieder nur so ein Sohn die ganz vorn Äpfel auszusortieren das ist in keiner Weise über Lenz also das heißt die zumindest wenn nicht das sehen da ist dass die feststellen sollen um eine Funktion bestätigte muss auch die wird es immer sein das ist ein sehr gewagte sehr gewagte Schluss Weise die man zwar immer wieder liest in irgendwelchen Übungsaufgaben oder Klausuren aber Sie es einfach furchtbar falsch also Sie sich da vor also Warnung 1 6 dieser Satz 1 5 sagt wenn 11 differenzierbar ist dann ist es tätig dieser befreien hier der ist brachial falsch ja also den aus wenn
sie wissen die Funktion des stetig können sie noch lange nicht daraus folgern dass das den ist das noch eine ganze Menge dazwischen und ein das übliche Beispiel aber letzte Woche erlässt gestern gemacht nämlich die Betrags Funktionen an der Stelle x 0 gleich 0 das war Beispiel 1 3 c und da hatten wir gesehen ist die Beitrags
funktionieren dann ist die an der Stelle 0 eben nicht differenzierbar der diesen Klick Klick es immer ganz schlecht fürs differenzieren die hat der 0 keine Ableitung aber es ist natürlich trotzdem stetig also in dem Fall man kann die eben durch zeichnen das das ist wunderbar stetige Funktion so noch viel schöner als stetig aber es ist auf keiner in keiner Weise differenziert gut damit haben wir den Zusammenhalt stetig Differenzierbarkeit geklärt dann und das ist weit zu bisschen von der theoretisch abstrakten Seite was was mit die Finanzierbarkeit zu tun hat das vielleicht etwas konkreter werden und das konkrete Problem angehen ich habe mich schon gezeigt möglichst Quadrat ableitet ich habe doch gezeigt mit die Wurzel ableitet aber wenn ich Ihnen jetzt x hoch x hoch eher hoch x-mal Rhythmus vom Cosimos vom Osttangente schreibe dann ist etwas mühsam das abzuleiten zumindest nach Definition also müssen uns auch die Frage stellen wie kann man effizient kompliziertere Funktion wirklich ableiten wie kann man die Ableitung bestimmen außer immer mit diesen wilden Grenzwerte Grenzveränderung Cynan und die Methode ist wieder die Gleiche wie schon so oft wir bauen und komplizierte Funktion aus einfachen zusammen also wir überlegen uns regeln wie berechnet man die Ableitung von eine Summe von Funktionen von Produkten von Funktionen von Quotienten von Verkettungen von Umkehrfunktion und so weiter und diesen Satz Rechenregeln denn wirklich jetzt im vorstellen und das ist der Abschnitt 2
hier er wieder Ableitungsregeln und ich schreibe sehen erstmal alle hin und dann machen wir ausführlich Beispiele dazu wird aber die Idee ist die gleiche wie
schon bei den Grenzwert setzen bei Stetigkeit wir wollen uns komplizierte Funktionen aus einfachen Bausteinen zusammen bauen das heißt wir müssen wissen wie rechtlich die Ableitung aus zum Beispiel von der Summe von 2 Funktionen wenn ich weiß ich die Appelle der Einzelteile weiß so und das ist eben Mützen ganzer Stapel Rechenregeln für die Ableitung also wir gehen davon aus wir haben 2 differenzierbare Funktionen F und und jetzt können wir mit den alles mögliche machen solange alle Voraussetzungen passender können sie addieren wenn sie multipliziere können Sie dividiert wir können sie verkehrten aber können welche von denen zu den L 1 von den dieses könne so umkehren und dann die was uns die Frage stellen was es mit der Ableitung der resultierenden Funktionen ferner mit den einfachen Dingen an einfach mit der Summe also was ist mit der Ableitung der Sommer und ich nehme nur die Summe soll ich mache gleich noch dazu wo was passiert wenn diese Funktion mit 5 multiplizieren also wenn sich 2 reelle Zahlen alle von Twitter noch dazunehmen und sich die Funktion Alfa es Flussbett der G anschauen also dreimal Sinus plus 5 Mal Kosinus was ist dann die Ableitung von diesen ganzen Dingen und die Antwort an der Stelle ist sehr sehr einfach zu dürfen den Strich einfach verteilen das ist formal 11 strich plus mal gestrichen also der Strich rutscht einfach an den plus vorbei auf die Funktion durch und diese schöne Regel nennt man die Genialität der Artbildung bei der Ableitung das ist Regel Nummer 1
dann der kommt das Produkt auch das Produkt ist differenzierbar also wenn F und G differenzierbar sind ist das Produkt differenzierbar und die Ableitung von Produkt erst mal das ist nicht so ganz so schön wie oben dies nicht einfach comma mal Gestrich auch wenn das irgendwie naheliegend oder verlockend ist aber es ist nicht so ist die Welt es bisschen komplizierter das ist F Strich die Funktion g plus 11 Mal die Funktion der Strich also müssen schon F und G beider ableiten aber sie haben diese Kombination so müssen es verbleibe mit dem und das der bleibt mit 11 multiplizieren das was rauskommt addieren das Ding heißt Produktregel weiß in um Produkte geht und ich habe da die Hoffnung dass sie die auch schon mal gesehen haben das war dann
geht's die entsprechende Regel für den Quotienten ab da muss man wie üblich
natürlich aufpassen was passiert wenn die Funktion und ist aber wenn die also wenn die vom Verein den 0 ist dann ist natürlich alles doof also setze mal voraus dass die Funktion g durch die mitteilen wollen nicht 0 ist er dann kann man auch 11 durch die ableiten was ist dann die Ableitung von f durch die damit noch mal diesen kommuniziert dass bei der Produktregel sieht folgendermaßen aus leiten sie F ab und multipliziert mit G leiten Sie indem Sie leiten sie G ab und multipliziert mit 11 und dann machen sie Differenz der beiden Ausdrücke also Eschrich mal geben das erst mal Strich und das ganze Ding teilen Sie da noch durch die Quadrat das nennt sich die Quotientenregel man beachte wenn das gehe nicht 0 ist es auch das die Quadrat nicht 0 also wenn es durch diese macht dann macht und F und die defensiver Sinn macht auch der Bruch hinten sind da gibt es keine zusätzlichen Probleme also damit können wir auch den Quotienten differenzieren so Dezember
bloß mal geteilt für diejenigen die sich jetzt nach der Differenz Fragen die Differenz das hatte ich schon mal erklärt steht schon da die 1. Regel liefert Ihnen nämlich auch die Divergenzen nehmen Sie als Vergleich ein Wetter gleich minus 1 dann steht da oben 11 minus 11 minus gehen strich S Estrich minus gestrichen also auf Differenz ist geklärt und jetzt kann man sich aber nicht zurücklehnen 1 mit Funktionen aber noch mehr Dinge tun als addieren subtrahieren multiplizieren dividieren die kann man zum Beispiel verkehrten ja wir können die einer Ausführung von 2 Funktionen angucken und beim differenzieren bei den Differenziation
Regeln zumindest ist die Faustregel alles was gutgehen kann geht auch gut erhöhen und auch die Verkettung von 2 differenzierbaren Funktion ist immer differenzierbar und auch da gibts nicht für also wenn Sie es mit G verkehrten f nach g anschauen das ableiten dann können Sie auch das ausdrücken durch die Ableitung von F und G das ist nämlich die Ableitung von f verkehrte mit G und diese Funktion multipliziert mit der Ableitung von gehen das ist die Kettensäge und alle dieser Satz geht von Regeln gibt ihnen wunderbaren Handwerks Koffer mit dem man noch so komplizierte für Vorstellungen von vielen Funktionen auseinanderklamüsern kann in Verkettung von Summen von Produkten von Patienten von Verkettung und alle eine nach der andern mit diesen Regeln behandelt so jetzt können wir so mir die Differenz Produkt Quotient Verkettung man damit Funktion noch was tun zumindest wenn sie gut ganz besonders schöne sind nämlich wenn sie umkehrbar sind dann kann man sie umkehren gibt es auch ein Zusammenhang von der Ableitung der Umkehrfunktion mit der Ableitung der
Funktion und wie gesagt bei dem mit Differenziation trägen gilt wann immer es eine Regel geben könnte die gibt es auch da ist die Welt schön also das gilt wenn ihr 11 umkehrbar ist das ist keine Voraussetzung sonst gibt es keine Umkehr Funktionen und dann braucht man noch eine weitere wichtige Voraussetzung sie brauchen umkehrbare Funktion aber das er und es muss differenzierbar sein und das allein reicht im Allgemeinen nicht erfüllt dass die Umkehrfunktion auch differenzierbar ist sondern das muss zusätzlich gelten dass die Ableitung von f nicht 0 ist an der entsprechenden Stelle aber wir haben nur dann geht das was jetzt kommt gut dann ist tatsächlich auch die Umkehrfunktion gut 1. existiert sie weil F umkehrbar ist und 2. Sie sie dann auch differenzierbar und Sie können die Ableitungen wieder ausrechnen wenn sie die Ableitung von f haben die Ableitung der Umkehrfunktion ist dann nämlich 1 durch es trifft verkettet mit der Unterfunktion also 1 durch F Strich Nachäffung minus 1 beziehen Sie auch warum comma nicht nur sein darf wenn f Strich 0 ist nachdem dieser Ausdruck einen ich bin gut das ist die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion die hat sonst keine schönen Namen so jetzt haben mehr so ziemlich alles was mit Funktionen tun kann unter der Regeln dafür ich habe den für den weiteren Verlauf der Vorlesung den Regelsatz nochmal auf Folie gepackt in wird hoffentlich gleich erscheinen und in also das ist normal das was ich gerade angeschrieben habe sein gut können Sie also wenn ich dann damit anfange Dinge abzuleiten jeweils noch mal die Regeln nach schauen er ich werde Ihnen jetzt im westlichen in der restlichen Vorlesung noch ein Stapel also sein noch nach am jetzt gleich noch eine weitere Regel präsentieren aber danach in ganze Stapel Beispiele zeigen und immer lieber ausführlich Beispiele und dafür verzichte ich darauf was jetzt in einer Vorlesung für Mathematik der käme nämlich eine einstündige als ob alle diese Dinge zu beweisen wer die Stunde für erspare ich Ihnen ich reduziere sich auf 5 Minuten zeigen einfach der zeigen beispielhaft 1 damit Sie sehen was man tut und dann den Rest lassen wir bleiben
also beispielhaft im Detail die Produktregel als Kompromiss zwischen nicht gerade die einfachste aber auch nicht die Wogen nicht die komplizierteste
warum geht die Produktregel warum ist diese wo kommt diese komische vor mir warum er strich mal G plus 11 x strich und das sieht man einfach damals ist einfach das sieht man wenn man den Differenzen Quotient von Produkt anschaut was müssen wir denn tun müssen Differenzen Quotient für die Funktion f x g anschauen und gucken was passiert wenn Wegs Gegend durch also müssen es fort mal gehe von X man das erstmal mal die von X nur durch X minus x 0 das ist der Differenzen Quotient des Produkts und von den müssen wir zeigen Limes X gings 0 existiert und es gleich f Strich von X normal G von x 0 plus F von X wobei die Strich von x 9 und das ist jetzt
herum massieren auf diesem Ausdruck zunächst mal was es 11 die von X das es F von X X G von X also steht er von X die von X und ganz hinten stellt minus f von x 0 Michael von x 0 und das Ganze wird geteilt durch X minus x 0 1 habe ich da so eine Lücke gelassen und die Lücke ist aber da kommt jetzt wieder die richtigen nur sein also wird dir mal wieder eine 0 und zwar die ich den Ausdruck F von X X G von x 0 und dann zärtlichen wieder so also plus F von X X die von PCs neue damit habe ich nichts geändert nur ich das gemacht ich kann F von X X G von X schlecht mit F von X nur mal die von x 0 vergleichen aber ich kann jetzt in den 1. 2 Summanden oben F von X ausklammern und die letzten 2 Summanden oben gehe von x 0 ausklammern und wenn man das mal macht dann passiert Folgendes und spätestens aber
sieht was dann passiert weiß man warum das sind gute Idee war die beiden Summanden einzufliegen was passiert wenn man sie in den 1. 2 x f von x ausklammern dann kriegen Sie F von X X hier von X minus gehe von x 0 durch x 1 x neue und jetzt nehmen sie die hinteren beiden Summanden vom Zähler unter meinen G von x 0 aus dann kriegen sind bleibt übrig in F von X minus f von x 0 durch x 1 x 0 mal die von x 0 5 der das ist einfach eben links F von X ausgeklammert und rechts die von x 0 ausgeklammert und jetzt sieht man schon was das Sirren frommen dieses eingeführten Ausdrucks war was jetzt stehen bleibt sind lauter Bekannte Differenzenquotienten Sie jetzt extrem x 0 schicken das passiert jetzt wächst x 0
schicken F von X was passiert mit F von X wenn Sie X es 0 stecken es habe was differenzierbar vorausgesetzt damit es insbesondere stetig haben Sie Formel das heißt wenn sie denn das X 0 von F von X machen ist dass er von x 0 das ist Stetigkeit von 11 da sich ja Gelegs gegen x 0 und bei 11 stetig ist das differenzierbare Funktion geht es gegen f von x 0 dies differenzierbar das heißt nach Definition der Ableitung geht das gegen den Strich von x 0 11. ist differenzierbar das heißt nach Definition der Ableitung geht das gegen 11 Strich von x 0 9. einfachste Grenzwertes der noch übrig was passiert für X gegen x 0 mit dem Ausdruck des von x 0 der sehr konstant also der gegeben die von x 0 übrig bleibt ist f von x 0 mal von x 0 plus G Evonik er dass er von der Strich von links 0 der Strich von links 0 x gehe von x 0 und das ist genau die behauptete vor mir der Produktregel die Ableitung des Produkts S 11 strich Mayday plus 11 mehr Gestrich der etwas F strich mal gehe habe ich da comma mal die ja doch das steht nur andersrum dar sein Berater wir also der erste Summand ist der 2. da der erste Summand heißt es weiter Gott das also als Schuppen um Ihnen zu zeigen diese Rechenregeln sind mit ein bisschen Rechnen verbunden aber nicht allzu viel und es folgen direkt aus dem Definition für die die Finanzierbarkeit von F und G so jetzt noch eine weitere Regel und dann zeige ich Ihnen dass diese Regelsatz relativ mächtig ist und wenn ich jetzt noch eine weitere Wege zum differenzieren bringen will dann
können sie sich zu Recht fragen was wir da noch machen ja also wie sich dennoch Funktionen miteinander zusammenbauen als mit plus minus mal geteilt verkehrten umkehren Sophie aber noch gar nicht gesehen stimmt dass es in dem Sinne ist auch keine Rechenregel die Ihnen sagt wie sie mit einer Verkettung oder mit einer Frau wusste wovon 2 Funktionen umgehen sondern was ich Ihnen doch zeigen wenn es jemand Funktion ableitete durch Potenzreihen gegeben sind wir mit der letzten Kapitel gesehen wenn Sie der Potenzreihe haben mit dem echten Konvergenz in der Wahl der sie nicht nur eine period konvergiert sondern echtes schönes am besten 2 exponential 3 die auf ganz er konvergiert der das ist das eine stetige Funktion die durch diese Worte freigegeben wird und was ich jetzt mache ich setzt noch 1 drauf und sagt diese Funktion ist aber nicht nur stetig sondern dies auch differenzierbar also die Aussage ist wenn Sinne Funktion haben durch der Potenzreihe gegeben ist dann ist das immer eine differenzierbare Funktion und ich kann Ihnen sogar sagen wie die die Ableitung aus also wenn das eine Potenzreihe ist im Konvergenz Radius oder größer als 0 ist ja also wenn darob Konvergenz Radius gleich 0 ist dann ist es als langweilig dann ist die Funktion 1 period definierter wichtiger nicht ableiten aber der Konvergenz Radius größer als 0 ist dann ist die wird dann wissen wir schon dass dann die Funktion f auf dem Intervall minus froh Bistro 40 definiert und stetig ist und dies nicht nur steht ist sie sogar da der da trifft differenzierbar das ist der zweite Satz in einer längeren Kette von setzen mit dem ich eben wir zeigen will und Funktionen die durch Potenzreihen gegeben sind sind wunderschöne Funktion also diesen sogar differenzierbar und man kann die Ableitung hinschreiben nämlich die
Ableitung dieser Funktion kriegen Sie in Sie wieder als Potenzreihe also die Potenzreihe der Ableitung ist dann gegeben als X A 1 x x hoch N minus 1 das 1. was man sich überlegt aber das funktioniert es diese beiden Potenzreihen ANX Suche ändern n x ANX auch minus 1 haben immer den gleichen Konvergenz Rat also wenn die da oben Konvergenz Radius 7 hat dann hat und auch Konvergenz frei ist das kann man sich wurzelt mit dem unser Wort soll Patienten weiter überlegen und das andere ist man hat auf die Weise meine meine Funktion gegeben hatte durch eine Potenzreihe gegeben ist gleich die Potenzreihe der Ableitung und jetzt können sie mich fragen wie soll ich mir denn diese blöde Formen merken dann sage ich denn das überhaupt nicht merken die Form des komplett intuitiv aber man sieht was da passiert was ist denn was würden Sie denn naiv machen wenn da die Summe nicht wer und Sie leiten einfach ab ja ist denn die Funktion A X X auch in ab die Ableitung des N X A X X O N minus 1 nur weil ich so n abgeleitetes n x x UM minus 8 was hier so passiert ist man darf das machen was man naiv tun würde nämlich jeden Summanden Einzel differenziert was man tut ist man differenziert unterhalb der Protest in der Potenzreihe man differenzierte so Summanden deswegen heißt es auch klingt weises differenzieren also jede Summand wird einzeln differenziert und das was rauskommt ist tatsächlich gleich die Potenzreihe der Ableitung ja also muss ich demnächst keine Formen werden soll muss ich hier merken wenn sie dem 2 haben und Sie leiten die ganze ab dann dürfen Sie das differenzieren mit dem Sonnenzeichen vertauschen und die Funktion die und dann zum zeigen steht differenziert und da unter dem Sonnenzeichen nur so bubiges Monostädte Sonne Funktion von der Form konstante X auch n ist das leicht zu differenziert das sehen Potenzreihen sehr einfach zu differenzieren einfach nur jeden Summanden für sich
ok das ist die letzte Regel die hier noch unter dem Blatt Papier schlummert also Potenzreihen differenziert man einfach in dem man so wie man es naiv täte die einzelnen so meinten differenziert das will ich auch gleich als erstes Beispiel machen was ist eine
Funktion von der wir wissen sie es durch eine Potenzreihe
gegeben ein die wichtigste Potenzreihe Exponentialfunktionen also rechnen wir mal aus Was ist die Ableitung der Exponentialfunktion und das können wir zum Beispiel mit diesem Satz 2 2 machen kann man auch auf 100 andere Arten machen kann man darüber Differenzenquotienten machen aber wenn wir den Satz jetzt schon haben dann nutzen wir doch mal aus also in dem als Funktion die Funktion er hoch X die der gegeben ist durch die Potenzreihe n gleich 0 bis unendlich X auch durch Fakultät der mir schon paar mal gesehen sollte sich langsam ins Langzeitgedächtnis einschleichen so wir haben schon gesehen das Ding hat Konvergenz Radius unendlich das war irgendwann letzte Woche also sagt uns der Satz 2 2 da oben dass die Funktion auf ganz er
differenzierbar ist und das für die Ableitung Regen in dem wir die Potenzreihe geht Weise differenzieren also die Ableitung F Strich von X ist dann was sie nehmen ihre so wenn Sie die Summe Glied Weise differenzieren also jeden einzeln so man da bis Sie mit dem allerersten also dem so meinten der Ordnungsnummer 0 da oben immer das Gleiche was ist denn der so mahnt für gleich 0 da haben Sie Ihr 0 stehen das ist 1 der so man für n gleich 0 ist im eine Konstante also den Fall 1 dem Fall fängt es an mit 1 plus X plus X Kreuger halbe plus x hoch 3 6. und so weiter dieser 1. so man diesen einfachen die konstante Zahl der Lage bloß weiter und wenn sie den differenzieren werden geht in die ewigen Jagdgründe einen wird 0 der konstante differenziert ist 0 dementsprechend geht der 1. Sauvant immer Flöten und bei der Ableitung fängt die Summe wie 1 an vergleiche auch hier die Regel Summation der aber nun fängt bei 1 an und was Sie jetzt tun müssen ist gar nicht so genau auf die Regel gucken sondern einfach jeden Summanden einzeln differenzieren Einstig im Quadrat diesen vor Faktor von X auch inhaltlich die nicht gezeigt dass die Ableitung ist aber in dem man behauptet was es ist und geschrieben und gesagt das dürfen Sie sich als Übungsaufgabe überleben überlegen darauf kann ich jetzt referenzieren und wir kriegen also das einzig sich in als vor Faktor ich suche n abgeleitet ist n x x hoch N minus 1 das war hatte ich gestern im angegeben Schulzke wir das bisschen aufräumen das ist die Summe n gleich 1 bis unendlich N durch N Fakultät der können Sie ein in kürzen dass es einst durch ein minus 1 für gut hält eine Interpol der sind das Produkt einer Zahl bis Ende wenn sie das mit es ist 1 durch dieses Produkt nehme das mit multiplizieren können dass wir kürzen wird das 1 Fakultät übrig X auch N minus 1 das kann man das natürlich so stehen lassen da man kann sich
auch überlegen müssen diese mühsame diesen ganzen auf minus 1 N minus 1 waren Sie meine Index Stift und schieben die den Anfang der Summation wieder nach 0 also schieben den Index statt bei 1 beginnt bei 0 dann müssen wir natürlich Inderin über 1 dazu zählen dann kriegen wir einst durch in Fakultät Maliks auch n Haubner die Reihe kennen wir auch dass es wieder auch X mehr also die wahrscheinlich ihn auch bekannte was herauskommt ist es ihm wahrscheinlich auch schon bekannte Phänomene die Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung haben Sie den Grund der Funktion differenzieren konnte die Exponentialfunktion raus das ist auch eine Möglichkeit Exponentialfunktion zu definieren zu sagen das ist die Funktion die diese schöne Eigenschaft hat das erklärt auch ein Teil ihrer
Bedeutung an okay aber dass es immer leicht zu merkende Ableitung wenn Sie die Exponentialfunktion differenzieren kommt Exponentialfunktion raus gut was ist noch eine
Funktion mit der viel zu tun haben die durch Impotenz freigegeben ist der große nur Fantasien aus also schauen wir mal was ist die Ableitung von Kosinus können wir genauso machen Potenzreihe aufstellen Potenzreihe differenzieren dann müsste man sich noch mal kurz erinnern was ist die Potenzreihe von Kursen aus ja ja haben Sie meinen den Schritt von der auf die letzte Zeile den man Zeilenwechsel ja da die mir das ist in der Geschichte oder wie soll es anders sagen wenn Sie ich ersetze sozusagen N minus 1 durch vielleicht sollte so machen Gesetze N minus 1 durch ich ersetze ich ich setze eben gleich im minus 1 period diese Summation da oben die summiert weg mit n gleich 1 an zu zählen und zu mir dann immer weiter hoch wir ich fange es mit 0 anzuzählen wieder dann habe ich hier natürlich jetzt gleich 0 bis unendlich und hier überrall entstehen was ich mache ist nicht ändere nur die den Summation Index aber nicht das was da steht wenn sich überlegen was steht in den letzten Sommer in der 1. Zeile die fängt wenngleich 1 an für n gleich 1 kriegen 1 durch 0 Fakultät Maliks suche nun plus 1 durch ein 2 gute Maliks so 1 durch plus 1 die 2 für gut hält Macs hoch 2 und so weiter nach dem Gleichheitszeichen was kriegen Sie da als durch 0 Frage oder Maliks sowohl Plus als durch ein Verbot doch einst die beiden Sumsen komplett identisch nur dass Sie einmal bei 1 anfangen immer bei 0 anfangen zu zählen ja das ist nichts als eine Nummerierung des gleichen Dienst einmal sagen sie die 1. immer unter der Nummer 0 1 sagen Sie der Susan mater die Nummer 1 das hatte ich damals also die Summation das Zeichen eingeführter Preisindex für den Verkauf das ist ist eine Technik die man häufig bei Summation anwendet bei ich sonst wirklich nicht gut sieht dass das was da steht eigentlich was ist das schon gehen da nämlich die die Reise selber klare geworden Gott aber es ist an der Stelle an der immer wieder für Verwirrung Auftritt des wir schon klein Dickschiff des was das muss man 3 mal selber gemacht haben dann glauben Sie mir das vorher verstehe ich jedes Misstrauen es ist hat immer so ein bisschen was von schwarzer messen gut also noch weitere Fragen ja alle Schritte vor das ist das ich habe gekürzt n faculty hält ist n x n das 1 x 1 2 x 1 weil der Sultan sehr sind Z Männer haben sie alle Zahlen bis n auf wurde Bezieherinnen Zählern Sinn N dann könnten Sie das Ende gehen dann bleiben alle Zahl bis minus 1 7 Männer stehen und das ist genau 1 1 Fakultät noch weiter Unklarheiten gut dann versuchen wir so machen Cosinus oder sagen Sie danach Wiederholung gleiten Sinn der 1. Frage was war mal die Reihe von Kursen aus der Cosinus hat eine Potenzreihe mit nur geraten Exponenten also auch von 0 bis unendlich entsteht X noch 2 Ellen Eisele wurden sei des Kosovos tauchen nur gerade Potenzen auf das korrespondiert damit dass der Kursus der gerade Funktion ist und das sind die vor Faktoren unten steht die gleiche Fakultät wie der Exponent also 2 in hält und oben stehen noch wechselnde Vorzeichen minus 1 auch n das ist die Reihe von Kursen und von der habe auch gesehen letzte Woche die hat Konvergenz Radios unendlich oder was heißt es habe ich ihn nicht vorgeführten habe ich ihn auch als Übungsaufgabe gelassen aber das heißt es ist auch eine Funktion die durch auf ganz Erbrechen Potenzreihe gegeben ist damit sofort differenzierbar ist und wir wissen auch wir die
Ableitung ausrechnen also was ist F Strich von X gleiches den wir gerade eben sie differenzieren die Potenzreihe Glied Weise also vor allen gleich 1 bis unendlich und jetzt haben Sie erstmal mal den vor Faktor minus 1 Woche n durch 2 n Fakultät der bleibt bei der Ableitung einfach stehen jetzt müssen Sie noch die Funktion X hoch 2 n differenzieren und wenn man die Funktion X auch 2 in differenziert dann kriegt man 2 1 x x auch 2 N minus 1 jetzt kann man wieder gleiches denn die gerade eben die 2 in kürzen geputzt Fakultät und läuft bis 2 ähnliche Männer 2 entstehen also 14 mal die 2 Enden aus dann bleibt übrig n gleich 1 bis unendlich minus 1 Woche n durch 2 N minus 1 hält X X sucht 2 N minus 1 so und jetzt mal kommt wieder das Gleiche wie gerade eben ist dass man nicht
den Index setzt man damit wir sehen was das ist ich behaupte bin ich auch diese Reihe gehen Sie man sieht so noch nicht so richtig das ist uns auch die man nach allen gleich 0 schieben also wie vorhin setzen Sie gleich N minus 1 dann ist man das N 1 ist das 0 also jetzt läuft die so wieder von ich nun los ist unendlich dann gibt es hier minus 1 hoch im Plus 1 haben das Ende zu dem im Plus 1 das Ende unten wird auch zum plus 1 also zweimal im Plus 1 die Stadt ausführlich minus 1 Fakultät und oben im Exponenten der setzen sie auch das durch im plus 1 dann haben sie zweimal im Plus 1 minus 1 so ist es wirklich ein bisschen aufräumen das ist so meine gleich 0 bis unendlich lassen Sie mich mal ein minus vorziehen minus 1 hoch n ja also das im Plus 1. minus steht vor der Sonne dann da unten was ist denn 2 plus 2 minus 1 das ist zwar im Plus 1 Fakultät X X noch 2 im Plus 1 und diese Reihe darf ihn jetzt weitläufig bekannt vorkommen das ist die Reifung sinnlos und was es dasteht ist dass die Ableitung dem Kosinus genau minus der Sinn ist und das gilt auch für Alex als er weil wir eben Konvergenz Rades unendlich das ist genau der gleiche Trick zu dürfen eben der Potenzreihe jeden Summanden 1 differenzieren und
alles geht gut und wenn man das gleiche zumal für den Sinus macht das rechtliche ich jetzt nicht vor aber wer das noch nochmal üben will und diesen wie gesagt diese Index muss man 3 Mal Leben gemacht haben dass man glaubt dass es eine gute Gelegenheit setzte sich zu Hause hin und dem die Blaupause von dem und machen das Gleiche für den Kosinus Was ist die Ableitung von Kosinus und dann stellen Sie fest gerne nach dem Kosinus bei der mir Ausgänge was ist er denn vom Sinus und dann stellen Sie fest die Ableitung von Sinus ist einfach der Kurse muss und auch das für alle x aus ein gut das ist Beispiel für diesen
letzten Punkt für diese letzte Rechenregel es gehe noch mal die andere noch durch und ich zeige Ihnen dazu jeweils ein Beispiel also Beispiel ziehen ein Beispiel für die 1. Regel für die Genialität zum Beispiel sich folgende F von X ist dreimal Sinus von X minus 2 x Quadra x hoch 3 das ist dann mit der Ableitung schauen Sie sich die 1. die Genialität Regel an die vor Faktor bleiben stehen und die Funktion werden einzeln differenziert das plus bleibt auch also das ist dreimal die Ableitung von Sinus minus 2 Mal die Ableitung von x hoch 3 das ist die Linie hält so haben Sie was aber gerade nicht ausgerechnet habe ich Ihnen überlassen ist der Großen aus minus 2 Mal die Ableitung von 3 von x hoch 3 ist 3 x x Quadrat also findet dreimal Kosinus minus 6 x Quadrate das ist die Genialität bei der Arbeit
sodann ein Beispiel für die Produktregel Ableitung von X Quadratmer Yoricks das ist ein Produkt von 2 Funktionen müssen wir sie die Produktregel ziehen und ja die muss man einfach anwenden das ist die Ableitung von X Quadrat mal die zweite Funktion und abgeleitet Ehejoch X plus die 1. Funktion und abgeleitet X Quadrat mal die Ableitung der 2. also Yoricks spricht das ist aber nur von X Quadrat ist 2 x die letzte Vorlesung mal ihr auch Ex plus X Quadratmer die Ableitung Exponentialfunktion von der wir vorhin gesehen die ist einfach ich auch Ex also kann man den Fall das Ganze noch diesen zusammenfassen und kriege können Sie noch die ihre
Funktion wieder ausklammern 2 X plus X Quadrat war er auch Ex und das ist ein Beispiel der Anwendung der Produktregel 3. ich gehe bei den den Regen jetzt hier Genialität Produktcodes werden zumindest davon aus dass sie das großen Ganzen schon mal gesehen haben und ihre Finger da auch so bisschen schon Übung drin haben wir dementsprechend wenn wir das dann auch in der Übung noch nochmal üben differenzieren es gibt da war mein Stapel von Funktionen an den sie sich austoben können die noch mal runter differenzieren ich sage aber auch eine gewisse Routine müssen sie entweder mitbringen oder müssen Sie sich da selber an eigenen jetzt doch weil sie werden feststellen dass in ihrem Studium nicht nur eine oder 5 sondern eher noch 500 Funktion differenziert werden für den noch Unmengen differenzieren und zwar auch wilde Funktionen und das ist was was einfach in die Finger muss das schöne differenzieren eben man hat diesen klaren Satz von Regeln und mit dem kann im Prinzip jede Funktion die differenzierbar ist und einigermaßen vernünftig differenziert wir egal wie kompliziert und auch Bilder vom Funktions- Ausdruck nicht in eine Zeile passt sie können damit alles zerlegen und jede Funktion differenzieren es ist manchmal in mühsamer Arbeit aber im Prinzip ist das was was machst du und einfachen rächen die Rechenregeln geht das kann man auch gut für computerisierten ja es gibt problemlos Computer Algebra System mit ihnen komplizierte Funktion differenzieren aber man muss es eben die Finger kriegen und da hilft nur Training und wenn sie das Training nicht wie wahrscheinlich die meisten aus der Schule mitbringen dann müssen sie es jetzt noch ein Trainer wie gesagt auf nächste Übungsblatt ist mir Übungsaufgabe drauf etwa also nicht nochmal 15 Funktion zu differenzieren wenn das nicht lustig runtergeht dann kann ich Ihnen nur raten suchen Sie doch mal selber 30 Funktion und wenn sie die nicht finden dann es ist oder dann werden nein die zu finden sich schwer man kann sich für die Funktion ausdenken ärgerliche Verwurstung von Cosinus Sinus und Egon Paul Normen und der Funktion und Sie können die und austauschen und tränen Tränen trennen Gott ich mache in eben jetzt noch für die anderen Regeln die eine oder andere der das ein oder andere Beispiel er wundert mich dann aber vor allem aufhalten bei denen ich nehme an ihr unbekannteren Regeln unten zu Umkehrfunktion und unter Umständen auch zur Kettensäge nächstes Beispiel durch die weiter von
oben nach unten durch nächstes beispiels- eines der Quotientenregel nach die Weise kann ich Ihnen auch ein Stapel von Ableitung von wichtigen Funktionen mehr bringen wenn uns zum Beispiel jetzt mal den Tangens her wissen schon was die Arbeiter vom Sinus und vom Cosinus ist der Tangens ist definiert als der Quotient von den beiden es ist naheliegend dass wir jetzt auch die Ableitung vom Tangens kriegen wir quatschte Tangens ist definiert als Sinus durch große los und so hat man damals definiert und das schreit geradezu da Quotientenregel her also was ist die Ablehnung Tangens Quotientenregel sagt was f Strich also Ableitungen der Zähler Funktion die Ableitung vom sehen aus multipliziert mit der Funktion im Nenner minus die Funktionen Zähler multipliziert mit der Ableitung der Funktion im Werner und das Ganze dividiert durch das Quadrat der Funktionen inne aber das
ist die Konzerne Regel und dann passiert Rosetten Regel was was da eigentlich passiert über das ausgerechnet hat muss man erst mal aufräumen also was passiert hier wenn man den Sinus differenziertes hatten wir gerade oben kommt der Cosinus raus also dass die Polen nur von X Kosinus von X und wenn wir den großen ausdifferenziert dann kommt dann Minus Sinus raus also haben Sie diesen etwas länglichen Ausdruck Cosinus Malkursen aus wenn sehen dass man minus Industrie Cosinus Quadrat und da kann man jetzt ganz mächtig
aufräumen das ist nämlich Cosinus Quadrat von X die bei minus dehnen plus plus Sie das Quadrat von X durch Cosinus Quadrat von X und da geht's jetzt das kann immer noch weiter auf da gibt es 2 Möglichkeiten wie man das aufrollen kann und beide sind führen zu dem doch bleiben schön Endergebnis und beide sind deswegen wichtig die 1. Idee ist man erkennt dass das was da oben steht nein es ist weil trigonometrische Pythagoras ist der Kursus berappen sie das war das 1 also steht hier nur einfach einzig Kosinus Quadrat die sehen dass es jetzt schon gar nicht mehr so lang 2. Möglichkeit
na ja sie haben hoch aber oben zählende Summe und wenn Sie mal das Ding 2 durch auseinandernehmen dann steht da Cosinus Quadrat durch Cosinus Quadrat plus 7 Quadrat ich Cosinus Quadrat der Cosinus Quadrat durch Cosinus Quadrates ziemlich 1 und und sie das durch große Siegesparade großes Quadrat ist sie lustig Cosinus parat und sie das durch groß muss weiter Tangens also ist die Ableitung und dann die 1 1 plus Tangens Quadrat Finck das sind beides Formen mit denen man arbeitet je nach Zusammenhang ist die eine praktisch oder die andere das wenn Sie beide wichtig das sind sei es ihn auch beide also je nachdem wen mit 1 ableitet nur ist immer mal zu überlegen welche von den beiden nämlich ich den mit welcher komme ich am wieder weiter mit welcher nicht mit welche krieg ich die komplizierte Formel was würde ich auch noch gezeigt ist interessanter weitere Zusammenhang ich nehme nicht an dass sie sofort gesehen hätten dass die Funktion als ganz die Funktion als sich Kosovos Quadrat dieser drin es findet man kriegt man dadurch auch noch gesteckt gut das ist der Tangelst als Beispiel für die
Quotientenregel so noch ein Beispiel für die Quotientenregel einfach nicht weniger weil ich die kurze Quotientenregel jetzt so toll finde sondern weil das ein seine Funktion es von dem man wissen muss was die Ableitung ist was ist die Ableitung von 1 durch x das auch mir einfach viel einfache Funktion die oft von komplizierteren Funktion ist das heißt man muss wissen was da rauskommt die kann man auch nach der Quotientenregel ableiten in dem Fall F und gehen bisschen einfacher ist ist die Funktion konstant 1 die ist die Funktion die von x gleich x also Ableitung vom Quotienten ist Ableitung von der Zähler Funktion Ableitung von 1 ist 0 Martin einer Funktion minus die Zelle Funktion mal die Abwehr der der der Funktionen in der Funktion des X also Ableitung 1 geteilt durch die Zähne vor Männer Funktion des X Quadrat also kommt heraus minus 1 durch extra erhalten er und auch das kann man
jetzt allgemein machen nicht nur für 1 durch Exxon auch für Einstig X auch n also einzig x hoch N und was herauskommt ist man aus allen durch x hoch N minus 1 das geht natürlich nur solange X nicht 0 ist und für alle natürlichen Zahlen n das kann man braucht man sich nicht Extra-Märkten weil es einfach eine Verlängerung
der Regenfälle X auch n mit positiven Exponenten ist wenn Sie das 1 x so n mal schreiben als minus enden ja er für das trifft wenn sie tja er wenn Sie das man als x hoch minus N schreiben dann können Sie das zu sein wie gewohnt ableiten kriegen minus enden x x auch minus N minus 1 hier steht freilich das muss plus 1 sein Heil ja gut dass ich das noch mache und das ist minus N durch x vor 1 plus 1 nach Potenz rechne er also das muss man sich nicht neuen Märkten das können Sie einfach mit der alten mit der andern Wege über positive Exponenten zusammenfasst kann zur ein
Konzern Produktregel kommt jetzt die Ketten Regel die Kettensäge denn dazu
Funktion zu differenzieren die eben Verkettung von anderen Funktionen sind und ich will ein einfaches Beispiel ein erstes einfaches Beispiel hier machen keine Rede wir uns noch eisigere weglaufen nämlich die Funktion eines völlig 1 minus X für x ungleich 1 da das X gleich 1 ist die Funktion des blöd aber fix und als es die gut definiert wir sind ist diese Verkettung von 2 Funktionen das ist die Verkettung der Funktion f von x ist 1 minus X und der Funktion eines durchnehmen also die Funktion die äußere Funktion ist die Funktion g gehe von y ist 1 durch y also die Funktion die einfach den Kehrwert bildet und die Funktion f von x ist die Funktion eines minus 6 an einem man dann dieser Blödsinn dann ist wenn sie dieses gehen es F von X können Sie dann schreiben als G von 1 minus X 1 die nimmt den Kehrwert also es geht von 1 minus X 1 durch 1 minus 6 bis 11 und jetzt sieht man wie man das Ganze als Kettenregel auffassen kann also was ist
jetzt 11 Strich von X ist demnach formen einsetzen die Strich an der Stelle F von X mal 11 Strich von X gibt oder stets mit F und G genau falschrum aber das ist die Formel also äußere Funktion ableiten innere Funktion einsetzen mal Ableitung der inneren Funktionen sowas ist es gerichtlich das hatten wir gerade oben festgestellt steht da noch ganze der allerersten Zeile die Ableitung vom 1 durch nehmen bis minus 1 durch x Quadrat also hier steht minus 1 durch F von X Quadrat und die Ableitung von f nur F ist das Nachrichten hier fragen sich und ich mich auch zu Recht vielleicht ist das mir Konzentration ist nicht mehr so gut bevor ich Sie jetzt noch weiter für Wirbel er und nicht von sie und dann dadurch nicht und sich auch nutzen wir das um die Stelle an der Sache zu sagen ist das wenn er das heißt ich setze nach den Ferien mitten im Leben wieder ein ich hoffe an der Stelle die für sie nicht völlig schwarze Magie ist ich wäre natürlich die Folie wieder mitbringen trotzdem es gut wenn sie sich vorher noch mal 10 Minuten einkochen wurden war nur so mitten drin sind bis dahin wünsche ich Ihnen jetzt wirklich schöne Ferien und das ist genug Uhr haben die sicherlich vielen vielen Eindrücke die so so 1. Semester auf sie niederprasseln von Wohnungssuche bis Geometrische Reihe haben Sie zu sortieren dass sie gute wusste dabei haben dass die schöne Weihnachten haben schönen Anfang ist schwer ins neue Jahr und ja insgesamt für die Ferien und ansonsten sage ich Inhalte die auf messen kann ein
Komplexe Ebene
Quadrat
Punkt
GERT
Differentiation <Mathematik>
Mathematiker
Zahl
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Punkt
Gleichungssystem
Graphische Darstellung
Gleichung
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Gradient
Punkt
Gleichungssystem
Gleichung
Gerade
Punkt
GERT
Summand
Graphische Darstellung
Gleichung
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Gerade
Grenzwertberechnung
Tangente <Mathematik>
Approximationstheorie
Polynom
Quotient
Differenzenquotient
Quantifizierung
Gleichung
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Tangente <Mathematik>
Gerade
Ableitung <Topologie>
Gleichung
Tangente <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Große Vereinheitlichung
Punkt
Ruhmasse
Tangente <Mathematik>
Zahl
Uniforme Struktur
GERT
Quotient
Differenzenquotient
Gleichung
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Familie <Mathematik>
Quadrat
Polynom
Approximationstheorie
Punkt
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Gradient
Funktion <Mathematik>
Punkt
Zusammenhang <Mathematik>
Stetigkeit
Differenzierbare Funktion
Unstetigkeit <Mathematik>
Differenzenquotient
Differenzierbarkeit
Reihe
Ableitung <Topologie>
Stetigkeit
Quotient
Unstetigkeit <Mathematik>
Differenzierbarkeit
Zahl
Gleichheitszeichen
Grenzwertberechnung
Stetigkeit
Differenzenquotient
Differenzierbarkeit
Summe
Quadrat
Umkehrfunktion
Betrag <Mathematik>
Menge
Quotient
Differenzierbarkeit
Stetige Funktion
Biprodukt
Ableitung <Topologie>
Grenzwertberechnung
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Summe
Stetigkeit
Reelle Zahl
Differenzierbare Funktion
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Quotient
Biprodukt
Ableitung <Topologie>
Divergenz <Vektoranalysis>
Quadrat
Fluid
Differentiation <Mathematik>
Quotient
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Ausdruck <Logik>
Zusammenhang <Mathematik>
Gewichtete Summe
Umkehrfunktion
Differentiation <Mathematik>
Quotient
Differenzierbare Funktion
Mathematiker
Biprodukt
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Weg <Topologie>
Polarkoordinaten
Summand
Quotient
Biprodukt
Summand
Stetigkeit
Differenzierbare Funktion
Differenzenquotient
Rechnen
Biprodukt
Ableitung <Topologie>
Zahl
Grenzwertberechnung
Ausdruck <Logik>
Radius
Kettenregel
Differenzierbare Funktion
Potenzreihe
Stetige Funktion
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Radius
Summe
Homogenes Polynom
Summand
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Radius
Faktorisierung
Summand
E-Funktion
Differenzenquotient
Exponentialfunktion
Zahl
Konstante
Summe
Quadrat
GERT
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Index
Reihe
Exponentialfunktion
Extrempunkt
Ableitung <Topologie>
Kosinusfunktion
Faktorisierung
Exponent
Reihe
Nummerierung
Gesetz <Physik>
Zahl
Index
Ende <Graphentheorie>
Vorzeichen <Mathematik>
Gleichheitszeichen
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Index
Summand
Exponent
Reihe
Potenzreihe
Hausdorff-Raum
Ableitung <Topologie>
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Quadrat
Faktorisierung
Punkt
Exponentialfunktion
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Linie
Quadrat
Algebraische Struktur
Umkehrfunktion
GERT
Norm <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Quadrat
Drei
Quotient
Punktgruppe
Zahl
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Summe
Kosinusfunktion
Quadrat
Zusammenhang <Mathematik>
Homogenes Polynom
Ableitung <Topologie>
Quadrat
Quotient
Natürliche Zahl
Zahl
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Exponent
Quadrat
Wirbelströmung
Geometrische Reihe
Kettenregel
Inhalt <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Ableitungen
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 20
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35624
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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