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Wichtige Funktionen II

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Automatisierte Medienanalyse

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als die vielen einer der Herren an der TU Darmstadt zwar dann mal herzlich
Willkommen guten Morgen zur Vorleserin Sinus Kosinus und Verwandte 2. Teil wir hatten letztes Mal hatte ich den Sinus und Cosinus definiert nicht über die geometrische anschauen sollen über die Reihe es kam daraufhin die Frage auf wie es mal will man dieser einen finde ich meine ist dass diese Sucos beschreiben aber wer hat denn das oder waren und warum rausgekriegt nein sie noch 3 Wochen dann sehen Sie warum immer drauf kommen ist nicht er ist nicht wahnsinnig tiefsinnig um braucht halt bisschen Theorie machen wir demnächst und dann sehen Sie wo die Reihe herkommt Jahr nahm man uns Sinus und Cosinus zumindest jene deren Zahl noch mein Leben bei E r Bob werden zart Noah was aber wir haben hier also wir brauchen die wie gesagt Winkel in der Mathematik immer im Bogenmaß -minus die halbe -minus blieb die es einst minus 1 ja der letzten Vorlesung gesehene Telus und Kosinus gehen nicht immer nicht über ein zumindest eines aus ich hatte die sich schon gewarnt im Komplex ist das freilich also der Sinus ist in 0 0 steigt dann einen bis 1 in PAL oder ich runter und so weiter das ganz ist das Ganze punktsymmetrisch zum Ursprung auf der anderen Seite rüber wie gesagt nur ungerade Funktion der Kosinus es gerade in dem über 1 1 hatte stellen die halbe ist in Kinos ein Sohn steigt dann wieder und das Ganze gerade das heißt symmetrisch zur y-Achse rüber neu zu haben also dass einige war der sie aus der hier unten weil Sinus der Kursen aus und die ganzen Dinge sind 2. die Periode ich also ich hab im Prinzip in alle wesentlichen Formation hingemalt ab jetzt wiederholt sich das periodisch nach links und rechts und auf die Weise ist dann auch der nächste Satz nicht kein großes kein großes Wunder der Satz 10 13 der sich
beschäftigt sich mit den Nullstellen von den beiden Funktionen zumindest wenn sie er aus sind Sie das ist 0 1 1 waren von P übernehmen das die 0 P und dann immer so weiter ab und der Cursor setzen würde an einem Vielfachen von wenn sie um die halbe schieben also -minus gerade die halbe 3 der 5 Gehalt und so weiter was nicht so klar so was auch geht das denn auch in komplexen aller Nullstellen also es gibt außerhalb der reellen Achse in der komplexen Ebene keine weiteren Nullstellen von Sinus und Cosinus warum werden demnächst sehen also der Sinus von Z ist genau dann 0 wenn das Zelt reelles und von der Form kam tiefer ein Chaos Zelt aber und der Cosinus von Z ist genau dann 0 wenn das Zelt von der Frauen ist die halbe Blue es ein Vielfaches von McCarthy und des entscheidenden Satzes eben außerhalb von der reellen Achse und den bekannten dortigen Nullstellen haben Sie was im Kosovo sind sie keine weiteren und das brauchen wir um die folgende Funktion zu
definieren der nächste trigonometrische Funktion die auch häufiger vorkommt nämlich den Tagen Helms der Tangens war er vom bei der geometrischen Anschauung her das ist der Quotient der beiden KT Nimke rechtwinkligen Dreieck das kriegen Sie als Quotient von Sinus und Cosinus und damit den Cosinus teilen können das der eben nicht 0 sein also können wir den Tangens nur definieren wir die komplexen Zahlen ein denn der Kosinus nicht 0 ist das leisten müssen alle um die halbe verschobenen Vielfachen von pi wegnehmen und dann können wir jedes Zelt abbilden auf den Tangens von zählt aber der da ist Sinus von sehr durch Kosovos verzerrt ist der Tangens eines von Sinus und Cosinus abgeleitete weitere trigonometrische Funktionen mir die auch noch ins Bild einzeichnen dann kriegen wir überall da wo der Kosinus 0 es mir vorstelle dass S 1 und P 1 verschoben und die Sachen von also hier
eher und die nächste käme dann eben links und rechts entsprechen und der Tangens hat da jeweils sehr vorstellen kommt er sich aus dem
fürchterlich ähnlichem schmiegt sich in 0 1 7 Sinus an überholten da und macht sich wieder
auf in dem in die Unendlichkeit genauso hier und hier kommt dann noch mal den
Doc und nur stellen die gleichen die vom Sinus verwende sie müssen Tälern und das ist dann ganz auch nur sieht das
aus haben Sie hier den US-Konsum Sonntagen einem Bild und die nächste Frage und das hat gute sich dieses Bild ist noch mal anzugucken es wir wollen jetzt im Prinzip diese 3 3 Funktionen umkehren und sie weg was man mit dem Sinus Kosinus immer frisch gemacht hat dann wird Sinus und Kosinus und damit Winkel auszurechnen nur wenn wir den Winkel im Dreieck ausrechnen fest denn das als Vergleich ein den durch Hypotenuse die kennt man rechnete Sinus aus und will jetzt wissen was vereinfachen und das heißt dann auch die Umkehrfunktion von Sinus und wenn sich die Bilder angucken wenn sie feststellen so ganz einfach ist es der Umkehrfunktion nicht weil so wirklich ihr gießen die Funktion nicht mehr also wird jeder Beherzigung und ob sich mal angenommen werden die Frage ist also wie hier man unter Funktionen und die einzige Chance die man hat ist man muss halt den Definitionsbereich und sie das und Kosinus und Tangens so weit einschränken dass die Dinger der Gewalt die aktiv werden und damit natürlich reichlich Auswahl und da gibt es eine gewisse Standardsetzung die man macht aber das ist so das darauf will ich in 4 hinweisen im Prinzip also zum Beispiel für den großen Wurf wenn das so ist den Cosinus also war der EU mit 1 anfängt der Umkehrfunktion suchen und das heißt sie müssen sollten Intervall nehmen oder Cosinus streng monoton von 1 wieder seien sie als 1 g und denn wenn die kanonische Wahl immer noch üblicherweise nennen es das Intervall von 0 bis Pi also dieses Stück hier vom Cosinus auf
diesem Stück vom Cosinus ist das Ding umkehrbar bei streng monoton fallend aber das es weg für sie können auch das Stück von Windows 7 PE bis minus 6 Premieren oder von 35 die 36 die wir sicherlich der gelänge die nehmen das bei dem sie warum die anfängt und werden üblicherweise nennt man dieses Stück wenn sie nur aus will man auch nicht weit von der 0 weg mit man üblicherweise das Stück von des die bis die Halle auf dem 1. Sinus stellen wir die also in Active erstmal und auch als Funktion nach minus 1 1 jektiv und würden da haben wir uns muss man einen dieser 1. nehmen in denen man auch den der wohl liegt also für den
Tangens nennt man den der zwischen Mindestgehalt und die halbe leider nur das sind die 3 Stücke
auf dem Album Umkehrfunktion bildete die kriegen jetzt Namen also den Cosinus zwischen 0 und liegen sie die Mindestgehalt und der Heide und den Tangens auch zwischen das behalte die Halle dass es dort jeweils Umkehrfunktion gibt es denk ich lachen will offensichtlich die vom vom Cosinus wird nur von freien sein deren sich die vom Sinus und von der Tangens oder wachsen und die Funktionen sind die sogenannten Arcos Funktionen Akkus Cosinus Augustinus Agusta Angelns das ist die
Definition 10 15 wenn also wir definieren die Umkehrfunktion in der 3 von uns betrachteten trigonometrischen Funktionen Sinus Cosinus da einer 1 man und die sind die so genannten Argus Funktionen das Erste ist der Augustinus und den definiert man eben üblicherweise das natürlich definiert auf minus 1 1 Sinus liefert Ihnen man wahnwitzig sich -minus 1 und 1 und auf diesem in der diejenigen die das bange Frage ist was gegen die Inseln Zielbereich und wie gesagt beim Sinus üblicherweise die Zahlen zwischen -minus behalten und die Eier aber dann kommt der Akkus aus auch definiert auf dem Intervall -minus 1 1 und da haben wir gesagt bin wird den Cosinus zwischen 0 und pi also das kommen jeweils Zahlen zwischen 0 und pi raus an dieser im Bild wie gesagt ist diese der Zunge ein mathematisch gesehen willkürlich übernimmt sich das Intervall weiß am nächsten am 0 es an Unis und damit er wie das Naheliegende zu es fehlt noch der 3. da Akkus Tangens wenn sie in Bücher schauen oder in Formelsammlungen Sie feststellen es gibt noch starten wird trigonometrische Funktionen des über den Chor Tangens es geht denn sie kann und den Kurse kannst diesen aber alle in die Ableitung von den anderen also werden Verwurstung von den anderen sehr ab aber der Code da kann dein ganzes zum Beispiel 1 richtet Tangens ich wie es bei den 3 belassen wenn sie die 3 kleinen Gänse alle großen Wohnungen wer zu und zu mir zumindest der sie kannst ist
mittlerweile einfach komplett veralteten hab ich schon ewig nicht mehr gesehen da noch den es nach dem Tangens invertieren also die Umkehrfunktion das ist der Argus ernst von den Umkehrfunktion von der trigonometrischen fast die wichtigste und der eine bisschen andere Form als die anderen beiden weil dieses auf ganz R definiert wenn sie sich an den Tagen sehr der ging von von ganz unten nach ganz oben also ist die Umkehrfunktion auf ganz R definiert aber hat nur ein sehr sehr kleines ziel Intervall oder noch offenen nämlich das Intervall -minus PAL gehalten in diesen 1. Tagen sammeln wird hier ja und auch hier ist die Willkür eben im Zielbereich könnten noch Augusttagen einsetzen als Funktion von R nach minus 3 Hallen die wissen das Gehalt der muss sie nur einigen und es ist an der Stelle eigentlich ziemlich einhellige Meinung dass man die 3 Minuten meiner die Grafen von den 3 Umkehrfunktion nehmen also wie sehen die aus Augustinus Akkus Kosovos kann man gut in ein Bild malen diesen jetzt definiert auf minus 1 1 klar dass das voll die Achse wird die x-Achse dem sie nur hatten wir invertiert auf in der Weinindustrie Hallitzky heilen will den Cosinus hat mir das Intervall 0 bis PI genutzt da sich jetzt Grafen vom sehe so Kosovos eine Winkelhalbierende spiegelt so kriegt man jede unter Funktionsgraphen wenn sieht es so aus der Argus Sinus von minus 1 ist -minus die Haider weil sie wissen wie das Geheimnis eines ist ja Kosinus von 0 bis 0 weil sie nur für 0 0 ist oder Akkus Sinus von A 1 ist die halbe war Sinus um die heute ein süß es ist da kursieren außen wie er links und recht jeweils Mittelsenkrechten Tangente auf das gleiche gilt für den August Kurse das der Welt der seine Stelle -minus 1 wie große muss um die -minus 1 ist kommt dann hierüber an der Stelle 0 die halbe Mal Kosovos vom die Halle 0 ist und an der Stelle eines dieser 0 war Kosovos von 0 1 das da Akkus Kursen aus der 1. ,komma neues Bild will Augusttagen 2 der wie gesagt bisschen anders tickt der da Costa ein definiert auf ganz Erna und den nur Werte zwischen -minus pi halben die halbe an und ist eine sehr sehr langsam kriechende Schlange also im Unendlichen näherte sich dem wird -minus wie halte weiter an nur weil wenn sich einen Bank tragen sollen wenn sie möglichst gegen das halbe laufen wer der nach minus unendlich runter das kommt hier daraus dass der aber es dann ganz langsam von Mindestgehalt aus angekrochen kommt dann die bis herauf in 0 7 0 1 Dagens von 0 0 ist und dann wieder wieder gegen die Heide wurde nicht nur zur ja die gesagt der AG ist eine einzelne ist was die wichtigste von den 3 weil die zumindest mit der sie am häufigsten zu tun kriegen und das liegt an folgendem beispiele er Fragestellung ist folgende sie haben und brummte Mehr zweier Sohn wohnt in der Ebene oder für das was kommt ist es sehr gut diese Ebene
durchaus als komplexe Ebene zu verstehen aber wir das rein geometrische was wir jetzt machen also stellen sich als 2. Ziel vor sie das Gleiche nur Name Jason .punkt XY in den Handel und den kann man was er bisher immer gemacht haben angeben in dem man seine Excel Zankereien angeht da hatten wir gesehen diese länger im komplexen war dass der Betrag oder im R 2 der kritischen Norm von dem Vektor XY und was ich jetzt wissen will von Ihnen ist oder was willst ausrechnen wollen ist was ist dieser Winkel alpha also wurde ist dieser Winkel einfallen wie kann man den ausrechnen ich sagen XY und Sirenen Alfa aus und das ist ne reine Trigonometrie Aufgabe der das wissen wir gut dass eine 1. wissen dass er es x Quadrat +plus y Quadrat die Wurzeln raus das ist der die euklidische Norm beziehungsweise der komplexe Betrag und jetzt kann der niedrigeren Nemo Trigonometrie Moment was ist der Sinus von alpha ist gegen Kartelle durchgeführte lose in Berlin nur seit länge r die Gegenkandidat Länge y also dass Sinus von alpha y durch Art mit der Koloss von Eiweiß Ankathete durch Hypotenuse also X durch 8 und jetzt sehen Sie in Sinus und Cosinus von in man gesteckt jeweils dass er drin und dass er das einige war es schwierig werden die keiner rechnen und deswegen rechne man übermitteln Handelns alle Tangens von einfahren der war nach Definition sinus alpha durch Buenos Aires war und das halte ich für den Vorteil dass wenn sie y bricht er dich XP erteilen dann fallen die 1. raus und dann kriegen Sie y durch x Nase Tangens von Eiweiß y durch x alles ist fertig daraus ist ja wohl klar dass Altvater Augusttagen zum y durch x ist oder ist es gut vor sich sehr böse Falle das geht im Allgemeinen nicht also dieses wir das ist eine Stelle wo man einfach mechanisch umgarnt und jetzt Dieter bald Weißtannen wurden dann ist das also ich dann den Saal es X ist irgendwas dann ist natürlich als Agusta nennt auf die Nase fällt warum in den Weber sich gemalt hat dem zu aber was es wenn ein .punkt liegt was muss da sind also auskommen Browser irgendwas zwischen die Heide und wie bei den Preise die kann das beim Argus Tangens rauskommen nein weil Akkus Tangens 1 die Heide lebt der Akkus Tagen liefert Ihnen nur Winkel in der rechten halt iwie er kann ich Mehr oder sie müssen an der Stelle aufpassen da ist es an der Stelle fehlt und jetzt auf die Füße dass wir gesagt haben in diesen einen Ast dieser eine Ast ist gut die Rechte am Ende für alle Winkel zwischen die halbe -minus wie Heide und für alle größeren Winkel nach links rüber oder kleineren Winkel zwischen wieder geheim und -minus B hätte man einen Ast nehmen müssen das kann aber da Markus Tanja sich Wissen und dementsprechend müssen wir aufpassen beim invertieren dieser Gleichung Tangens von Eiweiß y durch x wo wir liegen mit unserem .punkt in welchem Quadranten und deswegen ist die Folge in voller Wahrheiten bisschen anders also es nochmal wenn sie zwischen wenn sie wissen dass sie alles war zwischen -minus P 1 und P halbe liegen wird dann ist alles gut da dann ist eine vereinfachte Agusta eigens von y durch x es und alles ist gut wir jetzt wird man sagen das es aber Droge Bedingung war mein Alter will ich ja gerade ausrechnen wo soll ich denn wissen ob das alles da drin liegt werde sehen zum Glück gleich den X 1 y ob sie mir recht nahe dem oder der Linken eine Ebene sind das sagte das Vorzeichen von x x positiv ist dann können Sie so einfach sagen alles was welch August y durch x Thomas 6 negatives da müssen aufpassen und hier kommt die allgemeine Formel wir und es gibt erstaunlich viele Fälle zu unterscheiden also was ist wenn der Tangens von einer y durch x
ist was ist dann Eifer also erst der Fall den wir gerade angesprochen hatten wenn in der rechten halbieren sind können Sie einfach den Akkus darüber werden und kriegen ihr Ergebnis und das geht immer dann wenn das nix positiv wenn sie der Rechner Ergebnisse aber sorgen sie Gelegenheit in Sie müssen unterscheiden doch unser Winkel irgendwas zwischen die halbe Bounty werden oder soll irgendwas zwischen -minus behalten -minus pi werden also sind wir wieder oder legal immer unten wenn weniger eigene oben sind das heißt das X ist negativ aber das Y ist noch positiv oder größer gleich 0 dann rennen sie den Augusttagen ganz aus der liefert Ihnen irgendwas zwischen und die halte und wieder zu 3 der August 1 liefert Ihnen dann der sprechen wir rechts der genau dem entspricht wenn sie die dazu zähle nur wenn es im anderen Fall sind das heißt die x ist kleiner 0 also Überlegenheit Ebene aber unten das Y ist auch kleiner 0 dann bringen sie den Augusttagen ganz aus aber Zivi aber nur dass es dort einfach dafür dass ihm an den 1. Tagen sind wir betoniert wäre noch der Anfälle wenn sie sich angucken welche Fälle noch viele rechts denn sie x gleich 0 ist noch nicht geklärt was habe Fall x gleich 0 wenn der wenn der Text Text ,komma unser Vektor 0 ist dann liegt der genau auf der Zeitachse mit 2 Fällen widerlegt mochte bislang absolviert und noch der bislang Achse ungemein weil es denen gibt die halbe oder man verlässt der Linken Mindestgehalt weil sie kriegen hier die halbe wenn das x 0 ist und das y positiv und sie kriegen hier -minus die halbe wenn das x 0 bis und das y negativ wir sehen die A Land war es etwas komplizierter als wir einfach den Akkus drangen sie über die Gleichung und das ist was was man allgemein beachten muss damals mit inversen Funktion zu tun hat wir haben willkürlich ein Abschnitt vom Sinus Fungus muss vom dann ganz aus gegriffene dementiert und wenn sie mit der zu inverse mit Akkus und von arbeiten müssen Sie immer sicherstellen dass sie auch in dem Bereich liegen in dem sie invertiert haben oder sonst korrigiere dass das was hier passierte und dort dieses Beispiel hab ich ihm ausführlich vorgerechnet oder was aus ausführlich erklärt warum weiß oder Next wichtige Anwendung her nur Mahlgrad Grad kurz zurück welchen Gehring
gesagt das Ding ist also was was wir da beschreiben ist weckte der Ebene und jetzt was die sie eben mal als komplexe Ebene vor aber sie können noch ein 2. 1 und wenn man sich das Bild ankommt stellt man fest sie können diesen Mann XY natürlich beschreiben sie diesen jetzt langweilen hatte angehen und der 2. Möglichkeit in diesem Punkt eindeutig zu beschreiben ist die sogenannte also diese Darstellung Innings wird sondern man kartesische Darstellung bei man hat diesen können und es geht gesamte sogenannte Polar Einstellungen und wie bedeutet sie geben nicht die Zahl X Y an sondern sie denn die Zahlen er und die anderen eher und Alfa geben Sie sagen nicht das denn es wird milder geradeaus und dann 3 Meter nach rechts seien Sie sagen Lauch 10 Meter 30 Grad an das ist das was üblicherweise Schiffsverkehr gemacht wird oder wenn die Kurse Grad angegeben in kartesischen oder man kanns auch so sehen dass es da Unterschiede in Karlsruhe Mannheim ich weiß nicht wer von ihnen den Karlsruhe Mannheim oder müssen beide Städte Mannheimer kartesische Koordinaten der Innenstadt von Mannheim sowie auch mäßig ab und wir die Richtung 3 wird in die Richtung in Karlsruhe und so mir das Schloss und Wohnwagen fächerartig die Straßen weg und da ist die klassische Polarkoordinaten Darstellung wenn sie gar so jemand sagen wollen wo sie wohnen dann sagen Sie nicht von mir geson 3 Blöcke so sondern Lammstraße also die Straße mit 30 Grad nach links und dann 500 Meter Höhe das im Gulag weil der als wichtige sich klar zu machen sie können jeden Punkt der Ebene beschreiben nächstes wollen Nader angeben oder indem Sie sagen in welchem Winkel wie weit weg vom Ursprung der einzige Banken sie damit nicht Krieges Ursprung selber weil da keine vernünftigen die der hat jeden Winkel gleichzeitig oder keine den können Sie keine vernünftige Winkel zuordnen aber in Bonn aber den Ursprung kriegen Sie ein eindeutig da über diese Darstellung er und als das in eine polare Darstellung ich indes des für die komplexen Zahlen der Ärzte
präsentieren das ist der Abschnitt sind 3 und diese Dollar Darstellung hat reichlich also bietet reichlich Möglichkeiten Rechnung in komplexen Zahlen einfacher durchzuführen aber kurz gesagt sie die Polar darstellen immer dann wenn sie multiplizieren dividieren wollen aber wenn wir nachher sehen also nochmal in ins Ziel das entsprechende Bild CAN unser definierten Körper der komplexen Zahlen dem wir der Ebene das er Zweige mit litigation aufgepfropft haben neben der so drauf vorhandenen Vektor Addition werden die XR Aldi eine Achse war Realteil Achse geahndet Imaginärteil Axel wenn sie komplexe Zahl z habe ist das ein Punkt in der komplexen Ebene der kartesischen kommt den kartesischen Koordinaten entspricht dass wenn sie den Realteil und Imaginärteil angeben und das entspricht in kartesischen Koordinaten unsere Darstellung Teilzeit +plus 7 mal über den 1. Halbzeit Gründe komplexe Zahl z waren kartesische Darstellung was sie auch machen können es eben zu sagen Sie denn die Polarkoordinaten an es es ja einmal der Betrag von Z den kennen wir schon und dann diese ominöse Winkel von gerade eben nur und den nennt man das Argument von Z kommt gleich noch als Definition und sehen Sie wenn Sie Argumente von komplexen Zahlen ausrechnen wollen dann brauchen sie eben unsern Argus Tangens von gerade im also die 3 verwendeten Begriffe noch mal als Definition ist ergeben und sehr komplexe Zahl z vor in dem einzigen was bisher können in kartesische Darstellung und dieser bitte schön nicht 0 ja aber aber
die sei bitte schön nicht 0 und das X und Y sein reelle Zahl also X ist der Realteil y ist Imaginärteil von unserer Zeit September dann was wir schon kennen ich schreib nochmal der Vollständigkeit halber ehem wenn man die Zahl er wieder gegeben ist die Wurzel aus x Quadrat +plus y Quadrat also das ist der Betrag von Z in indem man in den Betrag Franzl der und dann gibt es die größte die wir üblicherweise viel genannt der das die schon mal aufgetaucht glaub schon eines Krieges also genauer gesagt kleines Krise Ph der die die dieses Ding ist der Grund warum am Deutschen diese würden Haas haben weil irgendwann vor ein paar 100 Jahren mal jemand das witzig fand dieses Zeichen Pia zu transkribieren also über einen Griechen das Ding steht steht uns per aber so also Winkel und dieses G ist der Winkel zwischen diesen Stage NZZ wird und der positiven reellen Achse und das war die Börse die serielle Achsen sind das ist auch mal wieder klassische Willkür das einfach Festlegung und das Ding heißt das Argument von Z das Argument einer komplexen Zahl sind winkte und der Winkel in die Zahl einschließt dabei zur sID über den Achsen und wenn ich jetzt sagen das Argument und der Winkel dann ist das eigentlich strikt gelogen aber weil die Argument Funktion ist mehrdeutig ja weil wenn die wiederholt sich alle 2 die mir das heißt der Winkel zog der positiven reellen Achse existiert gar nicht da also zum Beispiel was soll vergessen dieses drohte er zusammen mit Vieh das nennt man die Polarkoordinaten von zählt wollte dich auch schon verwendet und will die SIG Angabe er wie ist die komplexe Zeit setzte wahnsinnig gar 0 ist auch eindeutig bestimmt aber die komplexe Zahl 0 da hat man der Radius ist nun über das Ende sind legal damit mit Radius 0 gibt nur eine komplexe Zahl also prinzipiell können Sie auch nun auf die Weise Polaco Holländer so ist haben Sie diese Stube er wie jede Stube er liegt in der Zahl aber was ich Ihnen sagen will ist zu einer Zahl gibt es mehrere mögliche Wahlen von er die also wenn sich zum Beispiel die
Polarkoordinaten 1 li also Radius 1 Winkel wie und Radius ein Single 3 p angucke dann ist das eine also war ein Zumwinkel wie laufen also nach links und was muss ich machen war das einzige P Verlauf nach links -minus 1 also mehr links 1 weg dann laden Sie -minus 1 das ist diese also 1 PS EGP Eislaufen kommen -minus 1 was ist 1 3 P 2. dies einmal rum und 3 diesen hat das Maronen und 1 nach rechts laden Sie über minus 1 und er die beiden sind das gleich hier nämlich die -minus seit und damit sehen sie zu einer komplexen Zahl gibt es mehrere Polarkoordinaten Darstellung wird könnte man sagen dass wenn ich total doof das will ich nicht weil das ist nicht mehr eindeutig und kein schöner Korrelaten Wechsel und deswegen widmen sagt man unser Argument fest was weiß ich das Argument darf nur zwischen 0 die oder ich mir das POP wir machen es macht man auch oft und trotzdem ist es sehr sinnvoll sich die Freiheit zu lassen alle Argumente zuzulassen oder warum mein man später mit den Dingen rechnen will und insbesondere die Argumente von 7 komplexen Zahlen eine agieren und ändern Sie Sieger setzt seine wie es heißt und und dabei kann sie neben basieren dass sie ihnen dabei verlassen wenn sie sagen sie wollen nun weil die bleiben im Prinzip müssen Sie das Argument als größte nur 2 Kiwi begreift und man wohl rechnen Sie mal 2 Möglichkeiten entweder Sie rechnen es alles so machen Einfluss modulo oder Sie machen bei jedem Schritt modulo der und um die Freiheit zu haben auch 1. Fluss Molo zu rechnen so dass man alle Argumente zu aber klar es eben die und 3 D als Argument bezeichnen diese komplexe Zahl und am Fluss ist es sinnvoll das Argument modulo 2 Key anzugeben und die ich Bereiche in denen man das Argument standardmäßig angeht ist entweder das Sie sagen das Argument dass es was das Allernötigste ist zwischen -minus POP wobei man dann üblicherweise die einschließt und -minus pi ausschließt und -minus wie es der gleiche wenn Wiki die beides zieht die bei sie negative relaxte das es einen von den beiden kann man weglassen oder die 2. Möglichkeit ist die auch häufiger genommen wird in dem 0 2 P 1 dem feinen Mann die 0 dazu und lässt das zweitägige aber im Rechnen ist es häufig sinnvoll diese Einschränkung erstmal wegzulassen und erst ganz am Ende sich dann wieder aufs Steiner in der Wale zu reduzieren indem man den der Sender gibt es wurde nur 2 Tierrechte werden da hab ich ich hab also auf Wein als sie den die Umkehr er in die Formen gegeben hat wie sie den Abriss Tangens er wie Sie den Winkel ausrechnen aus y x da hab ich schon so gemacht dass es zu der Variante -minus Pipi hier passt also ich habe den Mann aber nun
aber
kann
er ich hatte den Fall der es geht es um die negative erlag sind also den Pfeil y gleich 0 x negativ denn dadurch in die 2. Zeile mit reingepackt das die X kleiner würde zwar größter gleich 0 und da kriegen Sie dann also wenn sie zum gleichen und es kriegen sag 2 0 es 0 Intrinsity aus mir also die Farbe ist dafür gemacht dass sie das Steiner denn der Wein ist lediglich rauskriegen und zwar die eingeschlossen ist die ausgeschlossen aber genau so gewählt dass wir uns dann aber was kann innerhalb der SPD die komplexe Zahl mit dem Linken -minus das gleiche also wenn sie den gleichen Radius Winke -minus 4 Wege dies derselbe beim Argument können sie weiß jedes Mal 2. die waren zwar die dazu zählen dann in den Senat sei nicht also was ganz sauber sieht sozusagen in ein Algebra gezielt zu QC statt einem Analytiker würde sagen wir ist Argumente sie auch keine Funktion nach er aber wenn diese Funktion nach er modulo 2 die aber werden also sozusagen die Freiheit haben 7 Argument jeweils die warum 2. gilt für die Länder nicht einfach weil man sie rumgelaufen sind bezahlen sehen sie sehr enormen Kreis zu Tavernier stammt die Weisen der 2. Schiene Darstellungen der komplexen Zahlen einmal in Realzeit Imaginärteil oder eben der Radius und Winkel wir und
ich sammel jetzt hier einfach nochmal die
wesentlichen und warmen also was wie kommen Sie von einem ins andere aber und auch die hier wieder das Argument der imstande Intervall zwischen -minus Pie und aber also das X kriegen Sie als er mal cosinus alpha dass wenn sehr und als haben können Sie das XS einmal Kursus Alfa das ist die Farbe von für einen Kurs von 1 30. ich aber das ist einfach nur sinnlos ist ein Ankathete der Hypotenuse wenn sehr und einfacher haben können Sie das Y als einmal sinus alpha dann das ist die Richtung er und alpha gegeben berechtigt zum y die Formen sind übersichtlich und einfach und von der umgekehrten Richtung ist das also XY gegeben berichten er und wie ist dass er einfach dass er es einfach der Betrag immer und bisschen doof ist das viel und das hatten wir vorhin das ist viel das war eben das Beispiel 10 16 das schreib ich es nicht nochmal ausführlichen das war der August für den 5 er auf die Weise haben Sie jetzt mehr Erden Erziehung wie sie als er und wie ich selbst dann bestehen können und wie sie aus was hab ich als und wie ich meine gebracht wie sie aus er und Eifer als XY R und Alter bestimmen können so aber ja den bisher die Polarkoordinaten geschrieben als Strobel von R und als er es ist die die Darstellung mit der kann ich gut rechnen ja das gleiche Phänomen ist die kartesischen Koordinaten eingeführt haben er war es Stube geschriebene komplexe Zahl warm anfangen weckt 1 2 der da Imaginärteil und anderen angesehen sich wenn mit dem Schreiben als Realteil Email Imaginärteil dann sind die ganzen komplexen Rechenregeln einfach weil die ergeben sich dann aus der aus den Wählern rechnen oder gelegenen Quadrat gleich 1 ein und ähnliches was in Name jetzt hier ich zeige Ihnen wie man die Polarkoordinaten mit schon bekannten Größen so darstellen kann das mit den gut rechnen kann deswegen ist das ein ganz entscheidender Schritt für das was danach kommen wir schauen uns erst mal spezielle komplexe Zahlen an also sich nehme ein wie aus C dass die besonders schöne Eigenschaft hat dass ein Betrag einst das heißt das weniger vom Einheitskreis offen Kreis mit Radius 1 man uns den einnehmen künstlerische Herausforderung rasten The so also unser Zelt und so weniger wo auf mein Kreis vor wir haben ja wollen seine Polarkoordinaten haben dass sie es Betrag werden und und dass das Argument legen aber das ist die wichtige Beobachtung ist weil das werfen Einheitskreis es können wäre er mir das Argument haben die kartesischen Koordinaten also real und Imaginärteil leicht angeben was ist der Real Teil von will der Herr der von We also dein x-Koordinate ist er auch mal der Kosinus vom Argument er 1 das heißt das ist schlichtweg der Kosinus vom Argumente also Kosinus phi wobei das dies Argument von wählt und genau so kriegen Imaginärteil von W ist ist einfach der Sinus von die eben wobei für jedes Argument von weg das heißt es werden können so schreiben als Cosinus des Justinus ging bei Ihnen in des Nachts außerdem Einheitskreis zulegen ,komma kann man auch so formulieren wann immer sie komplexe Zahl nochmal Einheitskreis haben die Zumwinkel wird so dass der linke wo sie liegt so dass die der Realteil der Kosinus vor dem Winter der Mehr Geld sie das können die ist das gut und trigonometrische Pythagoras Betrag von es es Guindos Quadrat E-Plus Ines Quadrat S 1 so also jede komplexe Zahl am Einheitskreis könne so schreiben wir nehmen uns ein beliebiges steht hier also beliebige
komplexe Zahl z dann ist die Zahl z durch Betrag zählt also dem sich das Zelt und stauchen es unter Wasser deren Betrag werde Betrag davon es befragte durch Betrag Zelte und des 1 also dass da vom Einheitskreis dass unser Weg der können unser zählt jetzt eher brutale Methoden denn diese Form bringen kann das ist auch wenn wenn mehr akzeptieren dass das eine erlaubte unzulässige Umformung ist nein es ist nicht wahr dass der sollte bitte schön nicht nur ok jetzt sein erlaubt unzulässige und Forgó also wären also nur den Betrag erweitert aber jetzt wissen wir dieses zärtlich ich Betrag zählt ist am Einheitskreis das heißt wir können dieses tätig Betrag Z schreiben als große Nussbaum Argument +plus immer Siemens von Argumenten was das Argument von Konzept durch Betrag zählt was passiert mit dem Winkel wenn Sie Ihre Zähne durch eine reelle Zahl teilen nichts an der Winkel wenn man sie mit wenn sie mit dem Skala multiplizieren bedeutet das einfach dass sie ihr direkter strecken und stauchen und das Boot am Winkel nicht solange Skala nicht negativ ist nur das Gala negativ ändert sich der Winkel der Ausweise mit dem positiven Skalar was der Betrag ist da rauchen oder Strecken ändert sich am Beginn nichts das heißt das wird der Betrag Z hat immer noch hat als Argument denn es Argument von zählt also wie ist das Argument von zählt zur diesen Astro Cosinus in Asien muss sie kennen wir das war des R überraschende Zusammenhang zwischen die Funktion wurden trigonometrischen Funktionen nämlich die Eulersche Formel die uns sagt das ist genau ihr hoch Email wie und wie war wie gesagt das Argument von zählt also dies Betrag der vergessen Betrag Z e Hoche Argument von Z dort das was jetzt dasteht das ist die Standard Darstellungen Pollak wollen ab dann sind ihre Zahl Zelte in komplexe Zahl z geschrieben als Betrag Zelt Marjorie Argument zählt und damit am siehe z ausgedrückt durch die beiden größten Betrag und Argumente der sich dann der darstellen in Polarkoordinaten der komplexe Zahlen über und das ist der mit dem Mann mit der man rechnet aber nur mit der man sehr sehr gut und erfolgreich rechnen können und Dinge die im kartesischen Koordinaten also in realen immer den 1. Koordinaten unübersichtlich zu rechnen sind zum Teil sehr sehr einfach rechnen kann er unter das will ich nach der Pause vor nahm erst ein Stückchen oder
da wird wird ich glaube ich werde gerne die 2. Hälfte einsteigen eine und die geht wie gesagt los damit los dass ich Ihnen zeigen wir Ihnen jetzt mit der Polar Darstellungen in den komplexen Zahlen rechnen kann und Dinge betrachten die in kartesischen Koordinaten zumindest sehr mühsam wären wir haben jetzt diese Darstellung gesehen der das betragt Feldtheorie Argument zählt aber und dies wirklich aber so zu verstehen wie sie darstellt das heißt man kann durchaus aus der Anschauung über einfache Fälle von komplexen C 1 Betrag und Argument sich überlegen und muss gar nicht viel rechnen also was ist zum Beispiel die Vola Darstellung von 1 die komplexen Zahl 1 hat betrage 1 und was ist der Winkel den die Zahl 1 zu kommt zur positiven reellen Achse hat wer die Zahl 1 liegt auf der positiven reellen Achse also gelingt ist 0 also 1 hätte die Polar Darstellung eines Marjorie 0 und und sie sehen eorie 0 bis 1 es ist passt alles gut zusammen und noch mal zu der von vorhin natürlich ist das auch das gleiche wie Ivory 2 Tiedtke was es -minus 1 -minus 1 hat Betrag 1 von den geblieben wäre -minus 1 ist eorie P das war die berühmte Formel die ich in den Fluss der letzten Vorlesung hingeworfen haben priority plus 1 gleich 0 aber immer mal was ich werde es der mal i-was ist ihnen der in Polar Darstellungen Melly Wikia hat auch betrage 1 also eher betrage 1 was ist der Winkel der Winkel ist einmal nach oben das ist ein Viertel vom ganzen Kreis also P oder aber man kann es durchaus auch bei so Sachen wie 1 +plus machen das ein Einfluss blieben Betrag ja dann Imaginärteil sind bei der 1 also ist der Betrag Wurzel aus 1 Grad plus 1 Quadrat also 2 und das ist der Winkel von 1 +plus i 1 +plus editieren also die Hälfte von rechten das ist die 4. also 1 +plus sehr säkular Darstellung Wurzel 2 hoch IP führt und so also diese was ich damit sagen will diese Darstellung ist in diesem Sinne dass es Betrag und Winkel sind ganz anschaulich so und jetzt zum 1. ein Ergebnis an denen Sie das in Dollar Darstellung rechnen es und die
Faustregel ist ich mal so Raum werden will wann immer sie irgendwas additives zu berechnen haben also wenn sie komplexe Zahlen addieren oder subtrahieren müssen rechnen Sie kartesischen Koordinaten wann immer sie irgendwas muss ich Negatives zu berichten haben der Produkte von komplexen Zahlen die die Quotienten Potenzen insbesondere Potenzen dann sind oder Kurden haben das nur ein ich meine wenn Sie einfach nur 2 Wesen zahle ich meiner teilen wollen dann können das auch in kartesischen machen das ist oder mit einem Muli beziehen das George kartesischen aber wenn Sie halt viele sind dann lohnt sich's zu wechseln und warum weil es eben sehr einfach ist 2 komplexe Zahlen Polar Darstellung zu multiplizieren oder dividieren also in dem uns 2 komplexe Zahlen Polar Darstellung her er EU rief die und es jedoch ICI zu 2 Zahlen in C oder 0 und die Behauptung dann können Sie die Polarkoordinaten von 10 mal wie direkt dem Schreiben weil mal wer dann die Polarkoordinaten Produkt der Beträge zu mir der Winkel oder also wenn Sie 2 gewesen sein oder multiplizieren müssen Sie einfach nur den Betrag multipliziere die Dinge an die ich weiß er sich in die komplexen Zahlen irgendwann in der 6. Woche der 1. Semester eingeführt haben hatten wir diese wilde Multiplikation dastehen und irgendwie meiner verzweifelt gefragt ob die eine anschauliche Bedeutung hatte diese Multiplikationen besteht in der Produkt der Beträge ist unbedingt in dem Sinne kann man sich vorstellen kann wenn bisschen euch weißen es gab irgendwann mal muss es wurde raus suchen im Internet eine wunderbare so eine Wunde und initial war das eine Spiele Seite für mathematische Spiele da gab es komplexe Zahlen schießen also das hat sie komplexe Ebene und dann statt und das Aufgabe 3 +plus 5 mal 7 -minus 3 +plus 5 wie immer sie -minus 3 E und da musste man mit der Maus dem klicken und meint dass das ist und dann bekam man also die er gesagt ich es daneben wahr werden das kann man nur auf die Weise dich vorstellen äh zuordnen und wie man limitieren jetzt genau so also was ist was sind die Pollen da Koordinaten vor dem Quotienten kurz jene der Beträge Differenz Wellington aber und woran liegt das es Liedern des Funktionen die Funktion übersetzt Produkte im Sommer aber 7 mir sagen wer weiß aber ist nämlich kurz sehr kurz und sehr schmerzlos was ist z mal weh der mal WSR Ivory fliehen war es ok PSI ja das ist er mal es weil er Hoche wie das PSI mehr es ist die Polar Darstellung das wird vor der Betrag liegen genauso der Quotient Zeit durch W er ist er eher hoch ihr wie ich es ihr auch in sie das ist er durch S weil er Hoche wie -minus dass sie mir das gegeben daran dass die Exponentialfunktion Multiplikation Addition überführt und der Mensch tut sich einfach einfach addieren und auf die Weise haben sie Problem der Multiplikation von 2 Komplexen Zahlen auf die Addition der Winkel zurückgeführt und Multiplikation der Erträge sonders nutzlos ist jetzt dran es muss sehr viel an zum Beispiel können wir damit auch folgende Rechenaufgabe lösen rechnen Sie mir 1 +plus i auch 2011 aber das können Sie zugegebenermaßen unter diesen Grollen anrechneten ja 1 +plus 7 mal als bloße jemand Musik das ist mit gewissen Übungen aus multiplizieren theoretisch ich danach aber keinen Spaß er in Polarkoordinaten ist durchaus machbar denn sie auch warum ich Ihnen vorhin schon
ganz zufällig gerade dem bipolar Kundendaten von 1 +plus i ausgerechnet hab also was in Simula Kundendaten von 1 +plus i das war Wurzel 2 als Betrag und lieferte als Winkel 0 wir sehen das auch 2011 zu nehmen es nicht so schwer weil es die gesehen Produktgestalter um Produkte Brot wurden ziehen es immer leichter Summen zu potenzieren also was ist das das ist wusste 2 auch 2011 mal die 2011 mal Peseten kann der wir Betrag wird multipliziert beim Multiplizieren sind Greenside Sie Drago 2011 und dann müssen Sie PI und 2011 mal 4. addieren wir denn ich im Tor und das müssen wir jetzt nur noch irgendwie auch vernünftige Gestalt bringen und sie sehen an dem Beispiel auch warum ich alle Argumente zu lassen wollte er also 2011 mal die garantiert nicht sich -minus gehen wie das müssen jetzt gleich wieder da drauf runter reduzieren hätte aber es ist sehr praktisch einfach damit zu rechnen so was kommt da raus dann immer mal eine Wurzel 2 vorne weg dann bleibt Wurzel 2 hoch 2010 das ist 2 hoch 1005 dann kriegen wir hier hinten ich schreib ich die 2011 Malers 2008 plus 3 das ist sicherlich richtig und wenn es den warum also das ist was sind 2 mal 2 auch 1005 mal wie hoch die 2008 mal die 4. wenn Wendhausen wir sind 500 und 2 haben stimmte so bewundert und zweimal P mal eher Hoche 3 T-Shirt um das war er welche Wege für die Exponentialfunktion aus der Summe in Produkt von Exponentialfunktionen und jetzt wollen Sie sich mal das da anzuschauen was ist das für komplexe Zahl dass es eine komplexe Zahlen betrage 1 Evo IX hat immer Betrag ein Relax womit Winkel von 100 und 2 die es ist ähnlich große Winkel aber wenn Sie den ablaufen wenn Sie feststellen dass sie irgendwann doch wieder so gelaufen sind gar nix weil das die Wahl von 2 Pi das ist also 1 ganz einfache unkomplizierte 1 nur bisschen kompliziert geschrieben aber also was bleibt übrig es bleibt übrig 2 hoch 1005 mal Wurzel 2 er auch 3 P Viertel je nachdem wie gern sie Polarkoordinaten mögen ist das schon ein wunderbares Ergebnis weil es steht da was rauskommt ist die komplexe Zahl der Betrag 2 auch 1005 Volvo 2 und denke 3 verwirklicht der Mann der anschauen Inka diesen Granaten hätte rechne man das noch und das ist auch nicht so schlimm weil was ist denn die Zahl er mit Betrag Wurzel 2 und Winkel 3 P 3 es was die halbe senkrecht nach oben ist ja senkrecht nach oben PS nach links bei würde es genau dazwischen also hier auf der linken halbieren nun aber dass es 3 Viertel P 1 und das liegt aber wo 2. liegt die Zahl minus 1 muss ich also -minus 1 Brüssel übermitteln Sie habe dieses Problem diese komplexe Zahlen eine hohe Potenz zu erleben in 3 Zeilen hingekriegt ich fürchte diesen tollen haben wir uns paar mehr Zeilen geworden das ist einer der Haupt gründe für Polarkoordinaten wie gesagt sobald sie viel multiplizieren müssen die einzige Koordinaten die Möglichkeit der Wahl in kartesischen Koordinaten wenn sie das Verrückte 2. Beispiel bevor man die gut brauchen kann lösen wollen wohl nur mehr ein Gleichungen
werden im 1. Semester hatte ich ihm erzählt CS deswegen wichtig weil ja in C Polynom Ilja Faktoren zerfällt also wie das Polynom vom Grad größer gleich 1 mindestens eine Nullstelle hat er er das heißt wir wissen wenn wir uns so eine Gleichung zum Beispiel hernehmen der Taufe gleich 1 dann hat die der komplexen Nullstellen ja zu der bis zu 5 komplexen Nullstellen und die Frage ist wie kriegen wir die raus dann nur eine ist schnell gefunden der gleich 1 es tun leiden noch hier und auch da ist wieder die Polar Darstellungen der setzen nur also wir betrachten die Polar Darstellung von derzeit zählt das ist zählt er EU rief die Erde ja und beschreiben damit unsere Gleichung um 1 ist der doch ist er in auch 4 auch 5 wo würden neben dem Polar Darstellung ist nicht schwer ist er auf 5 wie hoch die 5 Mal fiel so ist müssen wir diese Gleichungen Tschetschenen auf 6. bleibt also die Gleichung war einst
gleichen er auch würden die Woche ebenfalls die Erde also suchen komplexe Zahlen so dass eine erhoffen weil sind weil die 1 ist wo manchmal wie einsetzen und das schöne ist das können wir jetzt in 2 Gleichungen verlegen eine für den Radius um eine den das Argument auf der linken Seite steht auch der komplexe Zahl die komplexe Zahl 1 also wir brauchen das einst die hoch 0 gleich er hoch 5 wie hoch die mal 5 es wird mir jetzt müssen wir das kann man das auflösen die einfache Gleichung 7 die von den Betrag den wir brauchen das erhoben gleich 1 ist und den jetzt müssen wir aufpassen wie bei einer Funktion müssen gleich sein und man sollte jetzt bitte nicht auf die Idee kommen zu sagen muss vielleicht nur sein beachten Sie die Miete nicht Eindeutigkeit des Arguments war der müssen haben dass er auch ihr fünfmal wieder jedoch immer 0 ist das Argument wiederholt sich alle 2 P das heißt was sie brauchen ist das 5. Mal wie der gleich 2 K P es für ein Chaos täte nehmen das viel muss ein Vielfaches von 2. ganzzahliges Vielfaches von 2 diese eine Möglichkeit es und wird dies wohl aber manchmal vielleicht weil dies eben auch eine Möglichkeit ja so die kleinen den Radius ist leicht gelöst die einzige gerade seine Befehle zahlt sich nur wenig der einzige Zahl der in Frage kommt den 5. Potenz 1 ist allen so jetzt müssen wir also noch die 2. lösen aber welche Möglichkeiten für die gibt es aber werden gerade schon gesagt eine mögliche Wahl dies natürlich 0 1 7 die neue setzen da ist es nur das ist nur meine 2 li aber sie können natürlich auch weil sie gleich 2 P produzieren das kriegen sie für vielleicht 2 Fünftel des oder gleich -minus 2 das ist für -minus 2 Fünftel die oder fünfmal die gleich viele Kriege dann kriegen Sie 4 Fünftel des oder -minus 4 Fünftel des mit dem können Sie jetzt weitermachen doch mal die gleich 6 dann kriegen Sie hier gleich 6 4 5. aber 6. 5. liegt außerhalb des Intervalls -minus diese die die komplexe Zahl mit Winkel 6. 5. wieder die gleichen wie die mit der er mit 2. 5. das heißt in der 6. 5. schaffen das heißt an der Stelle selber fertig Mehr geht's nicht wenn Sie mir die 2 in Polynom 5. Ordnung halten abnormal 5. Grades hat nun mal nicht mehr durch den und die 5 Nullstellen stehen hier also die Teile 5 einstellen werden 5 Lösungen Rades ist immer 1 und 5 mögliche Winkel minus 4 Fünftel T minus 2 Fünftel die 0 3 5. die 4 Fünftel des und diese 5 Zahlen wie nennt man auch die 5. Einheit Wurzeln noch weil es sozusagen jeweils die 5. Wurzel von einst ins Visier der Mehr die Lösung gleich 1 ausgerechnet das heißt diese 5 Zahlen sind 5. Wurzeln von 1 Uhr und deswegen heißt es ja 5. 1 Wurzeln die mal hin dann wird man sehen die komplexen Zahlen haben ein Gespür für schöne Geometrie wo liegen diese 5. 1 Wurzeln Einnahme gesehen ist 1 der gesehen alle 5. 1 als Wurzeln liegen auf dem Einheitskreis aber
ist Kreisen aber wo liegen sie aber alle auch mein als Kreis Linke 2 5. die 4 Fünftel P -minus 3 Fünftel geht -minus 4 5. liege also was ist 2 5. 4 5 kann diese müssen sich den Kreis hier umrunden 5 Teile einteilen und am 2. Teil und am 4. Teil die tun .punkt und genauso unten am 2. Teil und am 4. Teile tun .punkt und wenn sie jetzt eine gedachte Linie ziehen dann stellt man fest diese 5. 1 14 geben den genauen regelmäßiges Fünfeck haben im Prinzip können Sie damit jetzt Geometrie machen die Weise können könnte jedes also dem sie nicht jedoch gleich 1 10 Uhr 23 gleich einsehen können sehen regelmäßiges 23 E konstruieren zur Jagd damit wir drin ist diese Gleichung löst der jedoch gleich 1 da welche wenn sie Übungsblatt auch noch lösen meine meine Mission in so zeigen oder Darstellung es praktisch in solchen Dingen hÃufig damit erfüllt zu haben weil auch diese Aufgabe jedoch 5 gleich 1 werden kartesisch Pollenarten ziemlich furchtbar gewesen wären und ich will jetzt in einem der kürzesten Abschnitte des ganzen Skript in noch 3 Mehr Funktionen vor den Latz knallen er oder sie die so genannten hyperbolischen Funktionen aber nur der Abschnitt in den wesentlichen dazu dass sie die Dinger mal gesehen haben und das alles bei den sie über den Weg laufen wissen wo nachschlagen kann welche die die heißen wieder Sinus Kosinus Tangens aber jeweils mit dem Zusatz Hyperbole groß und wir gehen wahrscheinlich war noch nicht begegnet außer dass man auf dem Taschenrechner sich gewundert hat was dieses komische 7 ist und doch nur 7 kennen also was ist das nur der sie in Höhe von z (klammer auf oder gleich auf das Ziel definieren ist er auch Z -minus e Wochenminus Z also zu einem
Mittelwert eine Quatsch wie auch der wie auch Zeit -minus ihr müsstet Haider derzeit aus 10 und das Ding heißt sie nur für Turbo Lycos und das hat kommt vom überwunden Kuss dann gibt es den Koloss über Bohlen cos kurz vor der sieht fast genauso aus mit einem minimalen Unterschied nämlich dass dieses eine -minus Zeichnen mit dem "anführungszeichen ist jedoch C +plus EU-Minister Inhalte also das ist jetzt wirklich arithmetische Mittel von wie auch der dann jedoch Windes Zelte der DLL für komplexe sehen das ist der Cosinus über wohl größten aber und das letzte seiner Freundin Tangens hatten wir neues den Tangens definieren Tangens über Bohlen Kurs geht wieder genau so der nehmen denn sie muss aber wohl großen Teil durch den Kosovo über wurde Guss der Unterschied ist an der Stelle an der können ganz Täter aus 10 nehmen wir den gleichen Kosovo Lycos meinen sie müssten wählen wenn sie sehen da hat keine Nullstelle der darum komplexen keine Nullstelle und deswegen ist der Tangente wurde Kurs über der im Moment das ist Unfug und der hat in komplexen Nullstellen aber ok dass sie vielleicht noch mehr ich weiß ich jetzt nicht auswendig im Bremen hatte keine Nullstelle beim Komplex war dann aber also der könnte Tage sowohl Kosor ganz ehren definieren aber beim komplexen so auffassen aber so der 2 Fragen relativ natürliche Art der 1. ist wie man es wählen Sie die Funktion aus der ich mal
mal ich mal sehen
also ich mal sie natürlich nur jenen komplexe Funktionen meines schwierig 1 2 1 2 -minus 1 -minus 2 druckbaren Kosovo Lycos an Mittelwert aus ihr der Sony auch -minus zählt ja auch zählt auch nach rechts ab Wiesau auch -minus Zittau nach links ab Wiesau also da der Mittelwert auf beiden Seiten ab und was bis sie dann nur 0 bis 1 oder sowohl die kos ten irgendwie so aus der Mitte nicht eine Parade denken das den Garten exponentielles Wachstum rechts und links ja auch wenn es ein bisschen haben es sich aus mit denen dann gibt es den Sinus über Kurs der der schmiegt sich hier um einen großen für Prodikos angeht durch die 0 und ist ungerade ist punktsymmetrisch zum Ursprung der und Tagen Cyber-Bully großen dass es bisschen die Gemeinheit der Süden bisschen aus wieder Augusttagen ist soll ganz anders Delikt dessen Werte liegen zwischen minus 1 und 1 und also da kommt hier langsam von minus 1 herangeschlichen wichtig in 0 1 7 wurde Kuss an pro sowohl des Kurses der 1 und geht jeden einzelnen 1. Tanger sowohl große also von x natürlich besser das seit 1. natürliche Frage wie sie die Dinge aus 2 natürliche Frage was soll der Mist allen 1. sind viele Funktion aber die haben tatsächlich ihre Bewandtnis und wir noch ihren Namen zu Recht in 2 Dinge wie ich dazu sagen wurde war diese Funktion herkommen das eine ist diesen tatsächlich in gewissem Sinne immer in das Kosovo Sonntagen Jens und das ist jetzt mag es etwas esoterisch erscheinen darf auch so bleiben nämlich dann wenn sie die euklidische Geometrie verlassen und so genannte über boolesche Geometrien gehen das sind die sie kriegen wenn sie Flächen haben die aussehen wie ein Schalltrichter voller Trompete sogenannte Fläche mit negativer Krömer also stellen sich in der Fläche vor die Sorgen alles tun was man den gehen wenn sie auf deren Oberfläche Dreiecke machen und jetzt Trigonometrie da machen wolle Winkel ausrechnen dann müssen Sie nur Stoßstangen durch die 3 ersetzt und alles passt deswegen Cosinus überhole groß weil das der große Los für die bedrohliche gewiss ist eine dumme 90 Prozent von ihnen werden über modische Dmitry sehen es ist es egal aber das will ich nur sagen da kommt der Name her ja aber sie umgehen die hab ich jetzt erfreulicherweise versucht wegzulassen die können Sie Gesichtsbild an den 7 sowohl Grüß Gott sie komplett umkehren es nämlich Strickmode wachsen denn dann sowohl was auch beim Corsa wurden Kurs müssen sich für den Rechner erst entscheiden oder widerlegen die Dinger heißen dann Area Kosovo sowohl Area 7 sowohl großen Arie hat einen Sohn geht alles die Daunen sowohl gut alles exakt gleich die können die ganze Trigonometrie auch über Bodenflächen wenn Sie sagen ich wiederhole wir gesehen ist mir alles egal dann sage ich Ihnen noch den trotzdem nicht im Kosovo Co sehen Sie jeden Tag du mir das denn wohl sowohl wo sehen Sie den Haken an der Sache war also das ist kein gutes Beispiel für eine jede Kette das wär's doch Kettenlinie hängt nahmen sowohl Kosten werde jeder jeder Draht von Hochspannungsleitungen also diese Gruppe diese sehen den Soundtrack notwassern angucken das ist keine Parade oder Kreise so dass es im Kosovo wohl gut S ,komma also inwiefern tialgleichung und deswegen also Funktion Kettenlinie die Frauen die ein frei hängende Draht wir jetzt nicht so viel innere Verdrehungen hat der man dass es keine große sowohl Kunst ja freihängende sei das reine Draht oder wenn sich der Hängematte aufhängen die Farm ist der Kosovo konnte wer da kommt auch war aber ich gebe zu dass ihnen der sind seines werden Sirene malte auf weniger als aber ist es ein großes Solidus ich sammle noch kurz 2 3 Rechenregeln für die Dinger und dann wäre damit schon auf dem Wege aber wenn Sie sich die Definition von den 3 Funktion anschauen denn Sie ich habe ihn nicht so wahnsinnig viel Neues erzählt mit ich mitgebracht also dass ich den Einheiten gegeben habe weil die leiten sich alle direkt aus der her und die Funktion kennen wir ja aber das heißt da passiert nicht viel Neues über also ein paar Rechenregeln würden für die 3 Funktionen das Erste
ist wenn sie in dem man mal überlegt dass wenn sie trigonometrische Funktionen haben dann erwartet man sowas den trigonometrische Pythagoras den es wir 7 bisschen anders aus wir eben genau nicht große Symbole Kuss Quadrat -minus Sinus über wurde Kuss Quadrat von x gleich 1 aber ansonsten schöner wo ich trigonometrische Pythagoras und jetzt kommt der Zusammenhang der Sinus und Kosinus und da gilt wieder der Satz den ich schon gesagt hab trigonometrische Funktionen kann man nicht verstehen sondern oder allen bleibt muss sich komplex angucken also wenn man die komplexe Zahl z mit Realteil X und Imaginärteil y und dann werden Sie sehen wenn man sich jetzt den 7 den großen Dosen komplexen anschaut dann taucht plötzlich der Sinus oder Kosovo Lycos auf der Sinus von Z den können sie nämlich schreiben also der Sinus von x +plus y und das ist der Sinus von X leider Cosinus über Bully kunstvolle bisschen an durch den Cosinus von X mal der Sinus Hyperbole Kurs von Y mal E es ist sozusagen jetzt noch sein Additions der Korsen fand selbst ist der Kosinus von XP ihr an ist der Kosinus von x mal der Kosinus Cyber-Bully Kurs von y +plus der Sinus von X weil der Sinus über Superbulle Kuss von y war ihnen der Tor und ich will auch ein Aspekt dieser beiden formal noch
kurz hinweisen der was sie daran insbesondere sehen was war das wieder was ist was man sich vorstellen kann was macht der Sinus auf der imaginären Achse also was ist sie muss von I Y also dass ich es hinschreibe dass das was Sie sehen wenn sie sich den komplexe Sinus nehmen und den auf der imaginären Achse anschauen auf der reellen Achse gehen Sie den Sinus da machte denn je mehr sie Frage was machte senkrecht dazu was macht auf den Bergen deren ACS wir dass wir das darum einen in das von EY dann haben sie ZKE in der 1. Zeile x gleich 0 an Sie sehen dass wir neue Leitkurs UN-Konferenzen haben Sie das von ist 0 los von 0 Kursminus von 0 bis 1 mal sehen dass wir wohl den Kurs von y Mali und genau so kriegen sie Cosinus von EY in die 2. Zeile exist 0 Kurse für nächstes 1 bleibt der Kunde für wurde kurz von y übrig wir sehen würde der großen sowohl die ist nichts anderes als der Koloss auf dem den Axt die beiden sind sozusagen 2 Seiten einer Medaille und ich hab das auch deswegen um geschrieben um noch mal eine Warnung loszuwerden der da und sie damals Bild vom Cosinus überwunden Kurs an der der ,komma also diese Erinnerungen also der Kosovo Nikos unser unserer Hängematte zur sieht der Cosinus auf dem Mehr eine Achse aus wenn sie also nicht auf der Achse laufen sollen auf den Bergen Achse kriegen Sie diesen Grafen für den Kosovo Lycos und bitte schreiben Sie nie nie hin Betrag von große Lust Zeltes kleiner gleich 1 wie das z ausziehen in der großen los ist verdammt unbeschränkt im könne im Komplex der Haut genauso schrecklich schnell ab wie die Funktion wenn sie nur die relaxte verlassen was sie da drin aber auch Sinn ist der Kursus hat keine weitere Nullstelle auf den eigenen Achse zum Beispiel großes auf Wege den Achsen Nullstellen frei der Sieger sei das man Achse genau eine nullstelle nicht die und wenn was aus dieser Formel die sieht die ich in der Fall den geschrieben hat können Sie jetzt das was ich folgenden Satz behauptet habe herleiten es gibt nur mehr Nullstellen von großem Nutzen sind eine Reihe so also normal dass sich daraus ergibt Vorsicht denn nun groß auf C und beschränkt man also so das ist das was ich
Ihnen über diesen Funktionen zu erzählen wollte der Tracht in kürzester Zeit wieder auf weil wir jetzt weiter Eigenschaften von Funktionen suchen wollen und die Funktion die jetzige gezeigt hat die sind der Chinesen einer mal diesen vorkommen deswegen kamen die natürlich immer wieder durch so damit es Kapitel 4 weg anhand der Analysis 1. Teil denen bekommen zum gebilligt dann also das 2. Thal also anders
ist als weil aber auch wenn die in Kapitel Abstand ist kann ich ihn trotzdem noch gut motivieren wie es weitergeht über die 10 Minuten jetzt verschenken Hinweise in meinem Land das Gerippe da ich mich nicht kürzer er eine und worum es jetzt geht es insofern können sie sich ganz entspannt zurücklehnen weil was jetzt kommt haben zum 1. Anfang gesehen ist die Differenzial und Integralrechnung nur das heißt aber wir werden uns dem den er von der Schule her zumindest von Begriffen der bekannten wegen der Ableitung und des Integrals zuwenden oder und das auch geht erst mal in den Zusammenhang dieses aus der Schule kennen wir schauen uns Differenzierbarkeit also die Ableitung von Funktionen einer Variablen nannte aber wenn ich die Überschrift schon so welche können Sie alle vorhersehen dass das dann auch noch in mehreren Variablen kommt aber das ist so und halt wichtig aber aber wir machen erst mal eine Variablen um die Begrifflichkeiten zu klären und dann den Schritt der Variablen zu machen also der 1. Teil der Ableitung spielen und für die Einordnung aber wir sind jetzt ungefähr Mitte 17. Jahrhundert Anfang 17. Jahrhundert aber nur 2 Leute unabhängig voneinander ein Problem das aus der Antike offenbaren dass niemand Gilles gekriegt hat gelöst haben Leid mit Orden in aufrichtiger Feindschaft verbunden also dem Briefwechsel von denen die sind der gebastelt wir meinen Prinzip die gleiche Idee gehabt aus völlig verschiedenen Motivation ausführlich mit völlig verschieden Notation die Nachwehen begleiten uns bis heute in dem was es gibt was ich mir vorher gibt es zig Mutationen modische lagen schon andere und die aber die Frage wie sie eigentlich alle behandelt haben und ich meine das ist das denn die die sie kennen es geht um die Frage wie sich stimmig die Steigung eines Grafen an einem Punkt im All sich alle Funktionen ich würde bescheren glatten Grafen in eine Funktion x
f von x so das meine Volltexten und was sich haben wir es an einer Stelle x 0 vor diese Tangente hier vor und diese Frage war eben wie gesagt das antike virulent weil sie nur die Verkleidungen an allen möglichen Stellen auftaucht wir das und die Frage ist ,komma der sein denn Rat es ist gleich wieder mit der Frage wie kann ich eine die Steigerung des Grafen in diesem Punkte und Dinge die gehen jetzt dahintersteckt ist die folgende was bestimmen kann zudem Steigungen von Geraden Neigung von gerade wenn sie einmal gesehen haben Steigungsdreieck Steigung ausrechnen alles gut aber wir können eben nicht so wie die Funktion die Steigung ausrechnen was wir machen ist wird für uns auf den Begriff der Steigung einer Geraden zurück da sei man immer noch die Tangente und drängen die Steigerung aus muss das Problem die Probleme so kriegen wir danken der weil na ja immer mal gerne so mit Augenmaß anlegen aber das ist eben nicht so besonders genau aber was wir machen können ist wir nehmen uns einen anderen .punkt hier in der Nähe von x 0 den Funktionswert an der Stelle und legen da wir gerade durch die durch die beiden Punkte geht Ãltesten Tangente und das ist der so genannte Sekante weil sie den Grafen schneidet also Sie haben es 2 Punkte und legen da die gerade durch Koa und von der Geraden von der geraden könne jetzt nicht Steigung bestimmen weil wir kennen sie an 2 Punkten und dann können wir unser Steigungsdreieck reinlegen alles ist gut da kann den sie kennen wollen einem .punkt finden die Steigung nicht aus weil brauchen 2 Punkte verschenkt also man diese kann sehen Sie diese kannte war der können Sie Gestaltungsfreiheit ausrechnen und jetzt und das war der Grund warum es so lange gedauert hat bis man das Problem im Griff gekriegt hat ist brauchen Sie nur unser Wunderwerkzeug dann alles ist nämlich den Grenzwert Wahnsinn Krenz-Prozess und lassen das X Gimmicks nur noch für jedes x kriegen sie denn sie kannten weder sie kannte keine Steigung ausrechnen und die Steigung wenn alles gut läuft wird Ihnen ja wohl hoffentlich denn die Steigung der Tangente konvergiert und das ist die Idee der Ableitung also müssen wir uns die Steigung der Sekante überlegen was ist die Steigung der Sekante wie grimmig da diese Geraden Steinmarder geraden kriegen Sie müssen 2 Punkte nehmen die beiden Funktionswerte abziehen und durch die beiden er wertet dividieren also die Steigung der Sekante ist die von iX -minus gehe von x 0 durch X -minus x nur der ist die das Steigungsdreieck leider von X -minus geht von x 0 ist die länger X -minus x 0 ist die länger zusammen gehen sie in die Steigung der zur und jetzt ist die Idee der jedes wechseln einer von x 0 Anderson der Dekan Steigerung Grenzwert drauf und wenn alles gut geht dann wird das wohl hoffentlich uns die Tangente Steigung liefern das ist die Definition der Ableitungen Differenzen Quotienten aber wie wir an der Stelle noch tagen 1. erfreuliche Meldung für Sie sie können für diesen ganzen Abschnitt im Körper C vergessen machen nur reale Funktion das hatten guten Grund weil der die App Leitungs Begriff ist die 1. Stelle wo der Nahles ist in einer runden C um Welten auseinander differenzieren C fühlt sich völlig anders an als den er war nicht ich denke das es das ist in der malte dreimal vorkommen aber immer weniger entziehen jetzt erstmal nur 1 und dann wird noch festlegen dass in dem ganzen Abschnitt weil es ständig brauchen der Buchstabe groß e werden in der Wahlen er ist so ist wo sie kann auch ganz er seiner groß es einfangen der Wahlen eher zur Geschrei immer noch über die grade motivierte Definitionen der zu 1 1 also der an der Stelle x 0 in unserm Valley der Mehr Funktionen von ihm nach er aber und die nehmen wir müssen erst mal
vorsichtig die nennen wir differenzierbar aber in x 0 wenn eben unsere Idee von gerade eben auf geht das heißt wenn der Grenzwert der sie kannten Steigungen F von X -minus f von x 0 durch X -minus x 0 im Grenzwert x geht nix 0 existiert der das war die Idee gerade eben in stellen die daher Besteigung wieder mit sie kann Steigung lassen die Tangente Steigung laufen wenn der existiert dann nennt man das denn die Ableitung f strich von x 0 und dieser Quotient da der heißt der Differenzen Quotient das ist die mathematische Umsetzung das gerade eben gesagt Sie denn diese kann Steigung lassen die die Gegend der Steigung laufen und niemand verspricht ihnen niemand garantiert ihnen dass der Grenzwert existiert wir werden allgemein nicht existieren die Funktion hässlich ist oder sagen die Funktion ist eben nicht hässlich des differenzierbar wenn der Grenzwert existiert den dass die Ableitung an der Stelle machen wir dann Freitag weiter Wieland aufweisen kann ab
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Reihe
Mathematiker
Komplex <Algebra>
Zahl
Sinusfunktion
Komplexe Ebene
Kosinusfunktion
Strukturgleichungsmodell
Quotient
Nullstelle
Trigonometrische Funktion
Dreieck
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Umkehrfunktion
Dreieck
Funktion <Mathematik>
Unendlichkeit
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Umkehrfunktion
Funktion <Mathematik>
Ebene
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Umkehrfunktion
Formelsammlung
Graphische Darstellung
Tangente <Mathematik>
Trigonometrische Funktion
Ableitung <Topologie>
Zahl
Unendlichkeit
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Ebene
Kosinusfunktion
Trigonometrie
Länge
Punkt
Verschlingung
Momentenproblem
Gleichung
Vektor
Gradient
Komplexe Ebene
Quadrat
Umkehrfunktion
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Ebene
Polare Darstellung
Punkt
Kartesische Koordinaten
p-Block
Zahl
Richtung
Gradient
Komplexe Ebene
Polarkoordinaten
Meter
Höhe
Polare
Ebene
Radius
Addition
Parametersystem
Punkt
Kartesische Koordinaten
Vektor
Zahl
Komplexe Ebene
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Reelle Zahl
Achse <Mathematik>
Komplexe Zahl
Polare
Parametersystem
Komplexe Ebene
Radius
Homogenes Polynom
Polarkoordinaten
Komplexe Zahl
Rechnen
Komplexe Ebene
Parametersystem
Radius
Darstellung <Mathematik>
Verschlingung
Seidel
Algebra
Komplexe Zahl
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Radius
Parametersystem
Kosinusfunktion
Kartesische Koordinaten
Richtung
Komplexe Ebene
Quadrat
Homogenes Polynom
Polarkoordinaten
Betrag <Mathematik>
Komplexe Zahl
Einheitskreis
Auswahlaxiom
Mathematische Größe
Parametersystem
Darstellung <Mathematik>
Polare Darstellung
Zusammenhang <Mathematik>
Kartesische Koordinaten
Termumformung
Zahl
Skalarfeld
Gradient
Komplexe Ebene
Quadrat
Polarkoordinaten
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Eulersche Formel
Komplexe Zahl
Einheitskreis
Trigonometrische Funktion
Koordinaten
Parametersystem
Addition
Gewichtete Summe
Polare Darstellung
Exponent
E-Funktion
Quotient
Mathematisches Spiel
Gleichungssystem
Kartesische Koordinaten
Exponentialfunktion
Biprodukt
Zahl
Summe
Komplexe Ebene
Negative Zahl
Multiplikation
Betrag <Mathematik>
Polarkoordinaten
Komplexe Zahl
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Radius
Faktorisierung
Polare Darstellung
Exponent
Eindeutigkeit
Gleichungssystem
Gleichung
Zahl
Gradient
Komplexe Ebene
Lösung <Mathematik>
Polynom
Betrag <Mathematik>
Nullstelle
Komplexe Zahl
Einheitskreis
Geometrie
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Fünfeck
Verschlingung
Momentenproblem
Matroid
Gleichung
Komplex <Algebra>
Linie
Arithmetisches Mittel
Nullstelle
Höhe
Inhalt <Mathematik>
Tangente <Mathematik>
Geometrie
Funktion <Mathematik>
Sierpinski-Dichtung
Sinusfunktion
Trigonometrie
Kosinusfunktion
Komplexe Funktion
Fläche
Maßeinheit
Euklidische Geometrie
Rechenbuch
Flächentheorie
Torsion
Mittelwert
Kettenregel
Kettenlinie
Geometrie
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Addition
Kosinusfunktion
Quadrat
Zusammenhang <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Achse <Mathematik>
Nullstelle
Komplexe Zahl
Reihe
Trigonometrische Funktion
Komplex <Algebra>
Zustandsdichte
Differential
Variable
Punkt
Zusammenhang <Mathematik>
Differenzierbarkeit
Integralrechnung
Ableitung <Topologie>
Integral
Funktion <Mathematik>
Punkt
Quotient
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Gerade
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Wichtige Funktionen II
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 6
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/34562
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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