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nur präsentiert Mehr so wenig genannt werden an der TU Darmstadt trauert
damals AG und herzlich willkommen heut zur Vorlesung wir waren letztes Mal hängen geblieben im Prinzip mit dem 3. Dan Behandlung von Potenzreihen also guten sondern einen der war bei einem wie man sehen kann als unendlich verlängerte wohl normal also Sonne wird es in sich x auch allen und da hat es mit dem Konvergenz Verhalten von den Dingen beschäftigt und rausgekriegt das ist relativ übersichtlich wir die konvergieren nur in Entwicklungs und das in dem Fall nun oder auch der ganzen auf ganz E oder C oder in einem Kreis wobei in Kreisen dabei alles um den Entwicklungs und und die Frage war nur wie kriegen wir dieses Kreises die sind als raus und da haben wir gesehen während die die von uns voraus und Quotienten Kriterium für einen schönen Kriterien die man sich bei der Bayern der Potenzreihe Reichsstädten stecken denn die Ente Wurzel oder in Kroatien das vom konzentriert hier ja klar hatten sich nicht offenlegen verliehenes raus und uneins Berkeley dieses Liedes ist der ist der Konvergenz Radius das ist die Messe zum Satz von Hadamar und vom kurzen Kriterium und ich hatte letztes Mal in schon Beispiel des kurzen Kriterium vor geführt nur das was Beispiel 9 11 a und ich will jetzt im Beispiel 9 11 b noch auf eine verbreitete Halle hinweisen und zwar shoppe uns Folgendes an der Reihe geändert wird soll ich nicht 1 durch 2 hoch N X vor n wir die Hotels reine der hat eben nicht jeden Summanden also die gelöst werden gleich 0 mit den Wert 1 dann wenngleich gleich 1 also 1 plus innerhalb hoch 3 plus unterwegs auch 6 mussten 8. x auch ein also die hat nur jede 3. jedes 3. Potenz braucht nur umso betroffene Stelle Potenz Ratten reicht und die Gefahr ist es dass Sie sich jetzt dieses 3 enge oben nur Zusagen ignorieren und sich einfach den Hadamar stürzen und wenn sie das machen kommt das heißt es kosten er und deswegen hier ist die Warnung passen sie wir sowas auch wenn da oben nicht XOR ändern was anderes stellt und er nach an nicht der es sich nicht auf den Adam aber das 2. Kriterium Potenzreihen zu stürzen sondern einfach den das Source Kriterium rein heranzuziehen das ganze Ding an sich zwar auch NX auch 3 einzunehmen und in 2. Kriterium für rein zu gehen dann kriegen Sie im Kriterium raus Mannesmann konvergiert und sie kriegen Konvergenz rein ist haben auch den Satz mal gekriegt das war damals ja nicht dass wusste Kriterium einmal allgemein durch geht die 2. Möglichkeit die Ihnen hier vor wenn es die Societe ihrem sie setzen y gleich X auch 3 das liefert Ihnen jetzt der Potenzreihe in gleich 0 bis unendlich 1 durch 2 hoch N y hoch n und dann sind Sie mit üblichen Fahrwasser ins können wir den Hadamar anwenden und kriegen alles Konvergenz Radius 2 warum kann kann wegen Hadamar also das Rennen der aus welchen aus das Rohr denn is n gegen unendlich Ente Wurzel von Betrieb AG AN das sein dass das was von noch entsteht also Betrag von 1 bis 2 hoch N und da sieht man dass Gott hab ich alles wunderschön zusammen der Betrag fällt etwa das was drinsteht positiviert und dann bleibt übrig Limes n gegen unendlich von der konstanten Folge das ist halten der wird ist der Konvergenz radiert also es kommt mit den 2 zu 2 zur jetzt hat also diese Reihe mit dem Y drinnen Konvergenz reitest 2 was bedeutet das dass wir der Konvergenz zu lang das y was das X auch 3 ist in -minus 2 2 liegt und dem
ergänzt außerhalb des abgeschlossenen dabei ist nur wir wissen wie üblich nicht an den Bund -minus bei 2 ab innerhalb -minus 2 2 Konvergenz außerhalb des Windes der 2. 2 dem ergänzen so also wann ist x hoch 3 zwischen minus 2 und 2 aber X auch 30 -minus 2 und 2 solange das X ist zwischen -minus der 3. Wurzel 2 und der 3. nur zu 2 und genau so sehen sie die Wege in's außerhalb von abgeschlossen Intervall -minus 3. Wurzel 2 3. 19 2 und was ist und damit haben wir jetzt den Konvergenz Radius der ursprünglichen 3 an ist eben nicht 2 wie man kriegen würde wenn man den Gadamer direkt drauf wirft sondern des 3. Wurzel 2 also Konvergenz reitest der ursprünglichen Reihe ist damit 3. Wurzel 2 3. Würste Kompakt-SUV 3 Ehen und da muss man einfach aufpassen Weise gerade wenn man so eine Aufgabe hat diese würde Exponent der steht da ganz kleinen überließ man gerne und dann passieren Fehler aber Konvergenz radeln so kommen Potenzreihe ausrechnen das Alltagsgeschäft Übungssache und lustig wird es sich einfach oder kann man üben durch 16 Potenzreihen hinnehmen und ausrechnen wenn sie Übungsmaterial brauchen finden sie es an die allen Ecken und Enden oder noch besser die stellen sich einfach gegenseitig Aufgaben mich Potenzreihen Schreiben geht schnell und dann kann man den anderen klugen lassen was der Potenzreihe das ist wenn ich gebe ihnen noch 2 weil ich die von den die ich Ihnen sehr ans Herz lege mal anzugucken die tauchen nämlich jetzt bald wieder auf Tour also bestimmen Sie die Konvergenz Radien von folgen 2 Potenzreihen
vor von allen gleich 0 bis unendlich alternierende Vorzeichen -minus 1 hoch n in 1 2 n Fakultät man muss Komplex zählt auch 2 und die 2. sieht so ähnlich aus nur alles was da links gerade war 7. und gerade -minus 1 hoch n durch 2 n +plus 1 Fakultät zählt hoch 2 n +plus 1 und den können Sie sich mal die Potenz die Konvergenz ragen bestimmen das ist dann auch gleich Übung im umgehen der gerade angesprochenen alle er dann nach kurzer Kommentar zu dem Klammern und das 2 n Fakultät werden wer das er wenn das nicht der Kleist überlege sich das auch noch das ist was ganz anderes als 2 n Fakultät also die Klammer da endet in der dramatisch dies wichtig in oder so eine dessen Weizen trennt sie das was sich zum Thema Konvergenz Radius und wo und wann konvergieren Patents nein sagen wollte und jetzt weiß ich wie es langsam daran zu untersuchen was sind das eigentlich für Funk nur jede Potenzreihe gibt uns mehr Funktionen auf Ihrem Konvergenz Intervall was sind das für Funktion wieder rauskommen was haben Sie für Eigenschaften wie kann man mit dem Rechnen und es wird sich wie gesagt aus den dass so ziemlich jede Funktion die jetzt so spontan einfällt Tor also jede vernünftige Funktion wenn sie nicht gerade Signum oder sowas durch eine Potenzreihe gegeben ist uns wieder mit beschäftigen das 1. was ich jetzt bin zeigen will ist das große Produkt von Potenzreihen werden an sich pro Produkt hat mir vor
einen 2 Reihen haben die bei der COP absolut Konvergenzen und dem multiplizieren Sie dann können Sie daraus dann können Sie im Prinzip diese dass es so ähnliche Summen ehrliche Summe das können Sie aus multiplizieren und was dabei heraus kommt ist die das große Produkt der beiden Reihen und wenn man dieses diesen Satz das große Produkt kennen und speziell Potenzreihen statt der Rhein einsetzten kriegt man das folgende raus also das hier geht's ums große Produkte Potenzreihen wieder der Satz steckt nicht wirklich weiß sondern dass es einfach mehr Umformulierung also Spezialisierung des Satzes herein nur also wir geben uns 2 Potenzreihen vor wenn gleich 0 bis unendlich am X auch allen wenn gleich 0 bis unendlich PNX auch allen das seinen Potenzreihen K Tals wieder oder Zähne vor und jetzt hat jeder von den natürlichen Konvergenz Radius in den wir mal A 1 und A 2 und von den setzen wir voraus dass Sie beide Steckdosen tief sind in einer Reihe Konvergenz Radius 0 hat wir müssen ziemlich langweilig und und dann sagt der Satz dass dann die 3. Reihe die man als Produkt der beiden bekommt und dass es der Reihe werden gleich 0 bis unendlich über die Summe frontal gleich 0 bis N a k b e n -minus K x hoch allen die hat dann mindestens den kleinen dabei wären oder Jens-Daniel mindestens den Konvergenz Radius ,komma er was ist das Minimum von A 1 und A 2 Uhr ist der kleinere der beiden Posten Konvergenz ragen Verzicht auf das Produkt das machte die sind ne sie 2 funktionale den sein sie multiplizieren Sie dann werden die das Produkt dar existieren wo auf der kleineren der von den beiden Mengen existieren dann also auf diesen Dingen konvergiert dieses Produkt dreier und für alle x in Konvergenz Bereich also für alle x in K den Betrag kleiner als er ist also die Imker Konvergenz zu Bereich beider Potenzreihen liegen bin so dass diese Produkt reifen Kusche Produkt also die Reihe über die Summe bis NAK a k n -minus K x hoch n das das ist das Produkt der beiden einzureihen also in gleich 0 bis unendlich auch in mal der Reihe N gleich 0 bis unendlich ENX auch enden wenn dadurch haben sie das Produkt von den beiden Potenzreihen wieder als Potenzreihe dargestellt also dieser Ausdruck hier diese endliche Summe ist für jedes Ende des AN der Produkt Reihe ich wie gesagt Beweis muss man da eigentlich machen das ist die Spezialisierung von Einsatzwagen besteht im Wesentlichen der Vollständigkeit halber das man mir Referenz dafür hat und ich jedes Mal die allgemeine Rechnung machen mussten nur so und jetzt kommt die
1. schöne Eigenschaft von Funktion Potenz reingegeben sind nur wenn der Sonne Potenzreihe haben also wieder in gleich 0 bis unendlich A x auch n der Potenzreihe in K a und der Konvergenz Radius sei wieder größer 0 wie gesagt Konvergenz Radio 0 der langweilig eine dann haben wir gesagt definiert und diese Potenzreihe auf der Menge der X im KH mit Betrag kleiner als er also auf dem Konvergenz das ist was auf jeden Fall zum Konvergenz Bereich gehört mehr Funktionen wir einfach gegeben ist durch den Wert der Reihe also für jedes x konvergiert die Potenzreihe in den Bereich absolut mehr Zahl aus und das ist der Funktionswert und geht den jedem Potenz reine Funktion und das ist immer eine stetige Funktion wir werden feststellen dass noch viel schöner Arbeit im 1. Moment ist auf jeden Fall mal stetig oh Gott und deswegen Frage sagte es bitte schön ich die Signum funktionieren sie ihre Funktion wenn sie nicht echte Potenzreihe darstellen können zumindest nicht er wenn die 0 mit dem Konvergenz Bereich sein soll weil er diesmal nicht dicht und bitte tun konnte zu also wir kriegen rast jede Potenz reißen nicht jede Potenzreihe Ergebnis stetige Funktionen ich will Ihnen den ich beweisen sondern dem immer aber wir glauben sondern ich
will ihn zeigen was 4 Werke dieser Satz versetzen kann er und das ist eine schöne Eigenschaft ist und das sind 2 ist eine Bemerkung und ein Beispiel also dann gesehen jede Potenzreihe ist in ihrem Konvergenz Bereiche stetige Funktion das heißt aus 9 14 kriegen sie sofort dass die Exponentialfunktion also die Funktion und von 10 18 mit ihr von x gleich e hoch x dies stetig nur auf CD und natürlich auch auf er vor wie sie es wollen wären weil es uns ja Funktion rechnet 3 über den freigegeben ist und damit ist die Exponentialfunktion stetig und allein dieses Wissen nicht allein aber dieses Wissen und das was wir sonst über die Exponentialfunktion wissen ende wies das jetzt genau zu wird das Bild der Exponentialfunktion zu bestimmen also die Menge alle x in R die von Exponentialfunktion mit getroffen werden nur
und ich behaupte ich nur das Bild der Exponentialfunktion also es kann er bis in die Menge aller er auch x mit x in R 1 ist die Menge der Nullen endlich einer positiven reellen Zahl vor was müssen wir tun um das neben Stehfest nachzuweisen können es das Bild angucken und sagen ja klar sieht jeder das Übergang Beweis sondern wir brauchen wir lieber stichfeste mathematische Argumentation wir wollen die gleich der von 2 Mengen zeigen welche von 2 Mengen zeigt man am besten indem man Inklusion Sohn und Inklusion so zeigt die Einrichtung ist einfach wir haben schon gesehen dass ihr auch x größer 0 des jedes x denn er das zwar Beispiel 7 17 Uhr und das heißt das der das Bild der Exponentialfunktion mal auf jeden Fall in oder ähnlich enthalten ist der spannende Teil aber wirklich ich brauchen ist die umgekehrte Inklusion also wir wollen zeigen jede positive reele Zahl ist Sinnbild der Exponentialfunktion also für jede positive Zahl x R y 0 in 10 x so dass Irix gleiche bislang nutzt also nehmen wir unseren y 0 ja und suche nun schon Urbild und dann kam uns zupass dass wir irgendwann vor Urzeiten Beispiel 7 6 gezeigt haben dass der Limes für x gegen minus unendlich er von Diez gleich 0 ist und den Limes x gegen plus unendlich F von X gleich +plus 1 was bedeutet das dass bedeutete die funktioniert sich der 0 immer weiter an neue explodiert nach unendlich das heißt es geht sicherlich 2 Zahlen a b in R so dass das von das nehmen wir suchen Arbeit negative was brauchen wir so weit negativ dass das ihr von kleiner als y und das muss es geben weil es so nur das größer 0 das F von X geht gegen 0 für x gegen minus unendlich irgendwann muss also dann F von X unterhalb von bislang 0 liegen und Sohn an dem wir uns oder rechts die gleiche Argumentation y 0 es irgendeine Wählerzahl SRX geht gegen unendlich x gegen unendlich wenn sie das Bill groß genug wäre muss das irgendwann größer als das y 0 sein sonst wäre ich X nach rechts durch Istanbul nur beschränkt und das kann ich sagen wenn es dort was am 11. Dezember in 2 Zahlen a und b und von denen wissen wir noch was
Mehr dass es nämlich streng monoton wachsend das hatten wir auch schon gezeigt das ist jetzt echt zusammensammeln von vielen Einzelinformationen Beispiel 7 17 und weil es streng monoton 6. muss damit kleiner als P seinen sie auch PS und ihr streng monoton wechsele sagte spielen wenn sie einfach an aber größer gleich Bild eines Elora größer gleich ihr Hobby Widerspruch wenn so jetzt haben eine stetige Funktion auf dem Intervall a b e von als kleine y 0 11 und bis Größe y 0 und jetzt gibt ein Stichwort das alles erschlägt das ist dazwischen wird dazu der Namen zwischen wird Satz musste das der dazwischenliegende Wert y 0 angenommen werden also es gibt nichts 0 im ORF Intervall zwischen A und B zu dass er von x 0 gleich y und sie sehen die ganze Argumentation Bruce abends derzeit dazu damit auf der Stetigkeit der der kommt auch ohne diese Information würden wir das ich hinkriegen und deswegen kommt dieses auch erst jetzt dass es ein eine Anwendung dieser Erkenntnis dass Potenzreihe eine stetige Funktion liefert da wo sie konvergiert entbehrlich bin noch eine 2. zeigen dies fast noch wichtiger dass ermöglicht nämlich zum Teil sehr einfach naja der hartnäckige Grenzwerte zu lösen sich und ich will das an einem Beispiel machen und besuchen den Limes x gegen 0 von e hoch X minus 1 durch x wo man sich den angucken dann ist es wieder einer von den hässlichen Grenzwerten was passiert ein Fehler der auch 0 ist 1 also wenn sie nix gegen 0 schicken geht der Gitterzelle gegen 0 unter General auch es also wieder nur durch 0 gesundes und die Frage ist welches X ist stärker und ihm und ein jetzt auch keine Eier Heuristik von der Frauen die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom weil das geht nur fix gegen endlich allen sondern da müssen wir jetzt uns was einfallen lassen und auch hier ist uns die Potenzreihen ist und sich Ewigkeit haben Funktion die durch Potenzreihen gegeben sind warum na ja wir wissen dass das eh eine Potenzreihe ist wird über die mal einen
also für jede reelle Zahl x gilt er Woche X minus 1 durch liegt ist das alles durch x mal vor was bleibt dann übrig dass ich auch X ist die Summe von 0 bis unendlich NX auch in nicht erreichen 1 durch also schon nur das RAM ist als ich im Quadrat also 1 kann 1 durch n Fakultät 1 Fakultät X noch n -minus 1 wären es ist die Bodenfreiheit Exponentialfunktion und jetzt sehen wir was wir sieht man auch warum dieser Grenzwert dafür unerlässlich ist der 1. Summand in der Reihe ist einzelne aber und die wir genau wieder abgezogen also was da steht es 1 durch x Summe n gleich 1 bis unendlich 1 durch n Fakultät X auch in mehr oder noch mal umformuliert jetzt 7 das 1 durch x wieder in die Potenzreihe dann aber eine Summe von 1 bis unendlich durch n Fakultät x auch N minus 1 im 1 x raus gekürzten aber und darin dass man sieht dass das wirklich nicht eine Potenzreihe ist jemals wieder zurück n gleich 0 bis unendlich wenngleich nur wissen will ich's doch entstanden haben was muss vorne platzieren wenn gleich 0 steht vorne in der einst Fakultät also brauche ich hier einst durch n +plus 1 gut hält was man jetzt aber auch die weil gezeigt hat dass diese Funktion der vorne steht das EOX -minus 1 durch x für schwören auf R oder wollen wir wird oder werden wollen und nicht definieren aber dies gegeben ich diese patentfreie und und diese bei den 2 schauen uns kurz an also Samba
Wärmetheorie X minus 1 durch x ist die Potenzreihe Zunge von 0 bis unendlich mit der folge 1 durch n +plus 1 Fakultät X auch allen und dieser hat Konvergenz Radius unendlich das rechnet man geradeaus nach erhob trauen kann man zum Beispiel in Konzerten Kriterium machen was es Limes n gegen unendlich 1 plus 1 durch einen geholt das ist leeres n gegen unendlich 1 durch in bloß 2 Fakultäten wenn sie für n n +plus 1 einsetzen steht ein +plus 1 bis 1 1 2 mal 3 ist durch ein er also 1 zwar gute er muss abgeklärt das ist der Tag zu Ende ging hat sich Bonn 1 Backup ab großer kürzt und der und der ist nur 1 nur also haben sie ihr Mehr einen Konvergenz Rades endlich und das bedeutet nun nach dem Satz oben dass diese Worte 1 0 stetige Funktion darstellt also ist die Abbildung die auf das X ab bildet diese Reihe ,komma diese Reise weißlichem +plus 1 2 Gulden X auch allen stetig in 0 und damit wir durch war was heißt das was ist jetzt der Limes x gegen 0 wie hoch X minus 1 durch x so dass es den Limes x gegen 0 von unserer Reihe so wie dieser Reihe über 1 durch im +plus 1 2 gute auch allen von der wissen war bald von der Wissen über die Gebühr stetige Funktionen 0 ab das bedeutet wir können ja einfach 0 einsetzen wenn das so ist dann meine Reihe wir ziemlich wenig Summanden mit genau einem Summanden weil n n ab 1 ist das immer nur es bleibt nur das so meint wenngleich gleich 0 übrig und der ist 1
durch ein Fakultät also ein Name ist der Grenzwert erledigt gibt es wird sehr sehr ausführlich aufgeschrieben dadurch sieht mühsam aus man das dann mal gemacht hat ist das eine sehr schnelle und einfache Methode bei solchen Grenzwert nur Potenzreihen weiterkommt zu sehen was passiert aber so das zwar Theorie von Potenzreihen immer das brauchen gesagt da ist und sie mit je nach Funktion die man so kennt jede schöne vor zur über den Tag das T das wir jetzt gehen und das dann und vor allem ihnen einfach ätzend zu Stahl voll Optionen mitgeben die einfach auch vorkommen also zu Dinge auf die wir so lange warten wie Sinus Kosinus Tangens der Log und er warnte und das ist der Abschnitt 10 über wichtige Funktionen und Anfragen soll das Ganze mit dem Log den können wir jetzt problemlos definieren dann war alles was der Exponentialfunktion wissen müssen Bilder wird muss also den einst es Exponentialfunktion und wer wird es The Old was ich den anderen aus der Logarithmus ist die Umkehrfunktion sehr Exponentialfunktion die Funktion die das ihn hoch nehmen rückgängig macht und damit die geht war natürlich dass das exponentielle mit e wie
ist das haben wir im Prinzip einmal der Vollständigkeit halber hin als ich behaupte die Funktion von er nach nun endlich mehr gesehen nun endlich ist das Bild dieser Funktion ist direkt hier ein echter es ist höchst entscheiden werde ich kurz RAF hätt er ab erstellt kann ist es ja so auf CD ist weit vorn der weit weg von wie Active diesen die periodisch und dementsprechend werden sie dort nie in die Abbildung kriegen dementsprechendes Rhythmus auf See was ziemlich kompliziert ist und wir machen ein weiten Bogen aber auch er ist alles schön die Funktion der Funktion von 1 nach 0 die und beweist es fast schon zu viel gesagt man müssen nur alles zusammenstecken wärmen Beispiel 7 17 gesehen das es streng monoton weckst und da hatten wir den Satz in der streng monoton wachsende Funktion auf dem Intervall ist immerhin die der Wein dabei wichtig aber jedes auf er definiert er das ganz besonders groß ist und der das Ding ist also in der Tiefe und die ektivität aber gerade eben freuen erledigt das Weinen da kann man 15 in der wir gezeigt haben und das Bild der Exponentialfunktion in genau die positiven reellen Zahlen reicht ja gut und jetzt haben wir so streng wachsend also in der und damit er ist rät die Politik da in tiefste Retif Bettys Werte zur Arbeit das Ganze ist nur das Vorgeplänkel um jetzt Rhythmus zu definieren wenn das Ding der Direktive Abbildung ist dann hat sie eine und nur eine
Umkehrfunktion und denen will im Rhythmus also die Funktion LN und das ist die Umkehrfunktion da und jetzt definiert auf dem positiven reellen Zahlen mit Bild in er das Ding nennt man den Logarithmus oder den natürlichen Logarithmus zu bei zur Basis es und das ist jetzt erst mal einfach ne funktio was war da die Funktion Wunder viele eine tolle Eigenschaft da drauf und natürlich dass ich das als auf dem Logarithmus überträgt mir gleich vielleicht mal vor nochmal die Grafen hin dass wieder eine bildliche Vorstellung von den Funktionen nannte der Exponentialfunktion eine Art nach links den Grenzwert 0 ist sind 0 1 und danach sollte Abwehrrakete zwar wie bestimmen sie die Umkehr .punkt den Grafen der Umkehrfunktion Garten der Umkehrfunktion kriegen Sie indem sie eine Winkelhalbierende spielen nur also was kommt dabei heraus des noch der positive Elstal definierte Log geht hier gegen minus unendlich die durch eine Stelle 0 sah einst muss sein ihr auch 1 ist 0 und macht wird hier immer langsamer das ist der Ecke zu Oase wollten Eigenschaften der
Exponentialfunktion auf dem Rhythmus ziehen und das geht ganz gut also also erstens wissen wir Financial Funktion bestätigt und werden gesehen Umkehrfunktion von stetigen Funktionen auch wenn sind stetig also dass auch der Rhythmus auf noch unendlich stetig und hatten auch im gleichen Satz gesehen sinistren streng monotone Funktion haben und mit der Wahl eines jungen Kerber und die stetig sie umkehrbar stetig und die Umkehrung des auch streng monoton alles auch der Rhythmus streng monoton wachsend immer das Bild oben gesehen hat überrascht ein das nicht wirklich dann die 2 wesentlichen Werte Rhythmus die sich einfach daraus ergeben was die Welt der Funktion sind die Ohren und das 1 also das Elend von 1 nur er auch 1 ist eh also das Elend von E 1 mögen planen die Grenzwerte an den Rändern was passiert wenn sie x gegen unendlich laufen lassen mit dem erlernen dann wird der Wert zwar sehr langsam aber wird unendlich groß und was passiert wenn sich der 0 mehr und mit dem allen der 0 können sich nur von rechts wehren weil links ist nix und Definitionsbereich wundern Bild sehen wir da sollte -minus endlich rauskommen so donnern gibt's die Rechenregeln verlobe Rhythmus die sich
direkt aus dem Rechenregeln für die Exponentialfunktion ableiten also für alle positiven X und Y und im Moment mal wieder alle rationalen Crew bin geht es nach den Rhythmus mit der Summe der mit dem Produkt nur das mit und macht garnix also das is n von x mal y wenn von x-mal YSL von X +plus 1 wurde das den Namen der Rhythmus von der vom Quotienten können wir problemlos per Gesetz Landes Trick positiv ist die Differenz also das Elend von X minus 1 Erzählern Zählern und 3. würde Rhythmus von der Potenz über und Felix Loch CO und steht nicht so gut also ich denke ,komma es kann ganz bewusst weil x hoch her mit der er eine reelle Zahl aber nicht definiert wie hoch die kann man nicht ausrechnen aber wir rational Exponenten gilt über die Wurzel und dann kommt raus dass es mal ändern von Xtra so gut wie gesagt alle diese welchen Regeln eingeschlafen war direkt aus den dazugehörigen Rechenregeln Exponentialfunktion ich will das Papier allerdings zuteilen
rudimentäre zum Anteil an die beiden schon gesagt das ist nichts anderes als der seit dem 18. hat 7 18 hat gesagt wenn 7 streng monoton und auch mit der Wahl habe die stetig ist wenn es sich wirklich unumkehrbar die Umkehrfunktion ist stetig und auch wieder streng monoton da das trifft hier auf die Exponentialfunktion 2 also drin was will und werde ich auch schon gesagt wir wissen dass er auch nur gleich 1 ist wissen dass er auch 1 gleich es ist also muss er von 1 hat Not und Elend und ihr gleich 1 zu 1 tätig die Umkehrfunktion 10 Teile wir wissen wenn sie mit dem EX gegen plus unendlich laufen wird dass er extrem aber sah das heißt wir würden uns wenn Sie immer größere Werte erreichen wolle mit den Funktionen müssen Sie X immer größer werden damit wird der Grenzwert für x gegen unendlich und wir wissen dass der Grenzwert für x gegen minus unendlich ihr auch x gleich 0 ist und das ist im Umkehrschluss wenn sie sich mit der wenn sie mit dem Log draufgehen und sie wollen immer kleinere Werte immer immer näher an 0 ankommen müssen sie mit dem Text nach müssen endlich Lauge soll es kommen die Rechenregeln und ich zeige nur die 1. die andern gehen analog also ich zeige Ihnen nur Wellenform Produkt ist die Summe der na wie man mir das ich hier kurz der Abkürzung 2 neue Buchstaben ein dann aber wieder 2 neue griechische Ärzte an was man denn da den einige Männer des X 1 Buchstabe X braucht das griechische X und das heißt sie und schreibt sich so das ist eine Kalligraphie Onkel also XY nämlich es in allen X und das y müssen bis sie dem Problem mal das klar eigentlich y sieht aus wie das kleine das heimliche Raub und es so oder so Person geschwungen wird eine satanisches Frauen es insofern völlig ungeeignet als Ersatz war keine keiner Herzschmerz und das und was macht man dann man sicher im griechischen Kleinbuchstaben 1. lateinische nicht gibt und das ist beim y relativ weiß ich warum das hat mich immer normierte relativ vor ohne Absprache eine einheitlich dass Eltern aber ist allen wurde bis namens auch sie könne statt xiert Etat auch Banane und ich fanden im ich wenn es ist ziehen ETA aber ich hab's noch in diesen 2 Semestern in jedem Riesenbuchstaben einmal Tafel zu Hause aber so was man damit denn wie gesagt wir spielen die welchen Regenfälle Rhythmus auf die Rechenregeln Exponentialfunktion zurück was wissen wir für die Exponentialfunktion er auch XY +plus er da ist XY auch älter nur was man zu älter sie über allen von X und er dabei allen von Apps für Emissionen der Funktion Exponentialfunktion also ist er auch LX Apps und ihr auch in y y ja uns aber diese Gleichheit entwerfen sie auf beiden Seiten Rhythmus drüber man kann nix Letzteren sind positiv alles x-mal bislang positiv Georg sieht dass er ist immer positiv also können sie Rhythmus auf diese gleich drauf werfen und wir kriegen Rhythmus von x-mal Apps ist der Rhythmus von er hoch CI-Plus etwa von ihr doch ist das was drin steht also CI-Plus Ettal und sie war 1 von X und älter aber allen von
Apps an da steht und auf die Weise können Sie sich auch die allen Rechenregeln jeweils aus dem gleichen Regeln für den Friends Funktion ziehen und wir wissen wie mit den Rhythmus rechnet so dass es 1. schönen und hilft uns zweitens mit dem alten Problem weiter ich nehme die letzte Rechenregel uns noch mal her also wir neben unseren positives aber und nationales Crew B untersagte die letzte Rechenregeln in Sils Al-Ghout anschauen die Potenz dann können sie das 1. Mal kompliziert schreiben das kann niemand verbieten als eher hoch allen von auch dass wir zu verbergen wenn auch negativ wäre aber das ist nicht meine er positiv ist Doris Rennen aber die Rechenwege würden nur Rhythmus dann kriegen wir ihr hoch Omar das geht wie das rationale Gro und sich die gleichen jetzt anschaut stellt man fest das ist sehr praktisch weil die rechte Seite der Gleichung macht es auch Sinn für jede Kuh wo optimal LME könne sofort schreiben und damit können wir jetzt er konsistenten vernünftigen Weise die allgemeine Potenz die da es ist die übliche Definition der allgemeinen Potenz an weil die die Frage hat mir schon am Anfang immer da 1 meiner aufgeworfen was ist 3 Robbie ja 3 mal 3 mal 3 ne sondern 3 auch die wird genau dadurch definiert also an 3. geht nur für positive aber das war schon bei der Wurzel so und LX .punkt will jetzt aber auch X als wie hoch x-mal allen wenn man das ist die allgemeine Potenz in und damit ist jetzt wirklich Bodenziele mit reellen Zahlen erlaubt
wenn man sowas können werde die Potenzfunktion sagen auch das leitet sich alles aus den Eigenschaften von ihm vom zur Rhythmus er also wir geben uns wieder positives reale Basis aber vor dann ist zum einen zu sagen diese Funktion die Potenzfunktion dieses Wegs auf dass auch Apps schickt ist selbst wie eine stetige Funktion auf an gut und dann gehts wieder Rechenregeln die wenn Sie es nicht überraschen wenn ich auch x +plus ist aber die zwar auch dann brauchen -minus 1 ist an kann man aber auch x Woche ist auch in 2. Ziel an und das gilt dann für alle reellen Zahl x und Apps an wir sind keine überraschenden Rechenregeln das kennen wir von Exponentialfunktion zur Genüge aber es geht eben nicht nur der EG zur für beliebiges und Sie können jetzt per Exponenten zulassen auch die Rückführung dieser Aussagen auf Teller Rhythmus kann ich Ihnen kurz vor wären warum ist die Funktion die allgemeine Potenzfunktion die stetige Funktionen dabei sie über E und Rhythmus definiert des und das
stetige Funktionen Weise wollen zeigen wie allgemeine Potenzfunktion bestätigt was überlegen wir uns da dazu die Funktion die das X steht auf x-mal allen aber es ist ganz sicher stetig das ist einfach nur Multiplikation Männer Konstanten das ist Partner ganz am Anfang bei Stetigkeit jedes zufrieden sie Maliks auch K es wichtige Funktion und zwar ins wissen wer die Exponentialfunktion es stetig ich weiß das Patent freigegeben ist ich beides stetige Funktionen und was wir jetzt haben ist auch X ist nicht so dass die Verkettung von den beiden vom 9. Differenzial Funktion verkettet mit der Abbildung des Traffics weil schickt und ist damit auch stetig und als Verkettung stetiger Funktionen und das Tor und die Leichen legen mal wieder nur beispielhaft wie Versuche für die wir die Sommer also was ist auch hochexplosive waren ein da die Definition einsetzen wie hoch x +plus aber mal allen X plus Y mal allen von A nur Definition des immer wo auch der Exponent mal der allen von der Basis bis .punkt das ist der hoch XNA +plus y allen Art jetzt das nur bekannt dass das Gesetz für die Exponentialfunktion funktional gleich eine Exponentialfunktion e hoch XL aber mal Rübsen und allen aber und das was da steht sind wieder allgemeine Potenzen dass es auch x-mal auch Apps also sie ziehen sich die ganzen welche Regeln schlichtweg von Exponentialfunktion rüber zur damit haben war er Bauern in der Tidende Rhythmus geworden und als Nebenprodukt noch die allgemeine Potenz definiert er als nächstes kommen jetzt die trigonometrischen Funktionen also 7 spurlos spannend und Verwandte die machen wir dann nach der Pause jetzt erst mal kurz Ruhe so ich würd gerne
in die 2. Hälfte einsteigen und bevor ich jetzt in niedriger Mehr Funktionen gehe kann gerade in der Pause die Frage Ehepartner auf in einer Übungsaufgabe würde Begriff stetig fortsetzbar der stetige Fortsetzung auftauchen damit dass er dich so nicht erwähnt worum es geht es sie haben der Funktion gegeben waren Definitionsbereich nach Jahr und diese Definitionsbereich der ist von der haben würde beispielsweise er oder 0 aber was ist denn ein .punkt der und wir müssen Funktion da drauf und die Frage ist halt diese stetige Worte zum das heißt werde ich das heißt wenn Sie eine Funktion die im Prinzip dieser gegebenen Funktion gleich ist also er werden spielen Worte zum und was müssen sie dafür zu und dessen der Funktion fänden ich ich mir nie war er so gut ich muss jetzt von R nach R 1 gehen also die es hier drauf stetig die .punkt von Elvis stetig auf er 0 die muss man eher nach gehen wird er wohnt von X gleich F von X für alle x ungleich 0 und das 11. Daches stetig auf ich mir dass es da ist dann die Fortsetzung von 11 überall das selbe an Stelle es halt noch irgendwie definiert und auch stetig also ganz extremes Beispiel wäre sie nehmen als Funktion f die Funktion x durch x deutsche Funktion es war er ohne 0 definiert Wahlsiegs nicht heilen dürfen sich aber dies natürlich bestätigt fortsetzbar indem sie als 1. 8. die Funktion eines nehme ich also ist der Begriff stetige Fortsetzung ich meines Einfahrt können Sie die Definitionslücken so können dass das Ergebnis die Dichte an meinen den beinahe SPD ist es relativ offensichtlich und die Definition ist rein künstliche zeigt aber es taucht oft genug der Fall auf dass man nur komplizierte Funktion mit Nullstellen denn er hat der Mann nicht sofort ansieht ob das was da oben steht damit Nullstelle hat und ob das sich weg geht oder nicht das tätig war zeitweise der nicht und eine solche Aufgabe habe sehr wohl bewusst so dann bin ich trigonometrischen Funktionen einsteigen ja das ist der Abschnitt
2 ob also alles was mit Sinus Cosinus Tangens zu tun hat The und da ich viel in dieser Funktion in einer sehr für sie unerwarteten oder ungewohnten Weise einführen Devisenkurs werden sie wesentlich Ideenkreis Funktionen Dreiecks Berechnungen eine Seite durch die andere Seite des Kosovos vom Winde und so weiter aber ich bringe ihn völlig anders .punkt legt man die starren und zwar vor allem in der Übungsaufgaben 9 12 dadurch in 2 Potenzreihen reingeschrieben kann den sei in nur endlich -minus 1 Woch en durch 2 n Fakultät Zeitung 2 n und die 2. in gleich 0 bis unendlich minus 1 Woche in 2 n +plus 1 Fakultät der noch 2 n +plus 1 und gesagt solle Konvergenz Rades ausrechnen das muss ich Ihnen an der Stelle schon verraten was rauskommt aber ausrechnen sollen trotzdem noch das sind auch wunderschöne Funktionen die beide kommen diese beiden Kreisen haben Konvergenz Radius unendlich definieren also beide auch ganz C bzw. er mich stetige Funktion nachdem das Gewissen und die prägen jetzt diese beiden Reihen gehören auch zu denen die wenn man sich länger mit dem bisschen länger mit dem Stoff beschäftigte und spätestens 3 Tage vor der Klausur dann irgendwann auch mal einfach auswendig weiß bin also Sinus von Z ist das eine denn von Z ist die 2. von den beiden Reihen n gleich 0 bis unendlich -minus 1 Woche n durch 2 n +plus 1 Fakultäten Teltow 2 n +plus 1 das den heißt die los und die 2. Funktion groß von Z das ist die andere Seite und gleich 0 bis unendlich minus 1 auch n durch 2 n Fakultät der doch 2 Enden das Ding heißt der Kosinus wie gesagt so werden Sie sie nicht kennen aber ich kann gleich sagen natürlich nach diese Namensgebung nur sehen und es ist auch so dass das die Funktionen sind die Sie kennen also was ist die geometrische Anschauung von Sinus und Cosinus wenn man uns Kreis eine der größten künstlerischen Herausforderungen Vorlesungen und
bin also 1 1 also ob in dem das aber letztes Semester schon dass das Ding vertrat aber gut ist sollen 3 kleine zur und dann haben wir natürlich dass die Linie Länge 1 hat wir haben den Winkel alpha dann zeigen wir uns hier das rechtwinklige Dreieck mit dem rechten Winkel hier unten und dann ist dieses Stück hier der Kosinus von Ash und dieses Stückerl der Sinus von alpha über sich ziemlich Zeit aber was mir glauben drin ist wenn sie das alles war in dieser rein darum einsetzen kommen gerade sind dabei raus ob der 8. und wir müssen sich an eine wesentliche Konvention der Mathematik halten wenn Sie die Reihe also wenn das hier in den Beweis ist das vielleicht 40 Grad wenn sie reif wird sich einsetzen dann kommt was anderes raus weil man immer wieder recht ähnlichen Grad meine Werdegang von Vondran noch nie was gehört alle Linke binnen erinnert sich werden im Bogenmaß gemessen und der Hintergrund also einer der Haupt Hintergründe warum sind diese beiden rein da oben in wenn sie das nicht machen dann müssen Sie in diesen beiden Reihen von Sinus und Cosinus die superpraktisch sind ständig irgendwelche Korrektur Therme von der Form 360 durch 2 pi rumschleppen oder keine Lust hat und deswegen werden alle Linien Bogenmaß gemessen was ist das Bogenmaß da eigentlich nie ganz anstatt pro die Toga natürlicher als das weil es gerade so wo willkürlich man halt weisen in der 360 Teil 1 das liegt im Wesentlichen daran dass die Babylonier iranische angefangen haben die Babylonier hatten ein sehr beeindruckendes Zahlensystem auch nicht auf doch oder nicht gegründet auf die Basis 10 wir dort auf die Basis 60 und dementsprechend hat sich die 16 nicht die Stunden Minuten gehalten und er ist auch bei den Grazer aber das is totally kühler werden was das Bogenmaß macht ist das sagt dieser Winkel wird gemessen durch die Länge dieser Kreislinie also das Bogenmaß vor dem Wirkmittel ist den man sich denn wenn unter Druck es war das 1 und die Länge der liegt hier die bestrichen wird bis zu dem Winkel das ist Bogenmaß dementsprechend reden wenn Sie so meinen aber wesentliche Werte zusammenstellen naht und Bogenmaß
na gut 0 Grad 0 Grad sind auch im Bogenmaß 0 oder der Würdigste bestrichen dabei der nicht sich gerade ein warum es im Bogenmaß der ganze Kreis sind 2. die nun also 2 P Bogenmaß den 360 Grad in etwa 180 Grad wie und 6. davon sind 30 Grad ich war mal so paar wesentliche über den 30 Katzen also die 6. 45 Grad Tempi 4. in 60 Grad an 3. von 180 Grad also die 6. die 3. und 90 Grad im Viertel vom ganzen Kreis ganze Kreises 2. die also 90 Grad gehalten kann dann an die Dinger wer sich wenn man den noch nicht gearbeitet hat oder nicht daran gewöhnt ist sollten sich gewöhnen in den zieht immer im Bogenmaß Taschenrechner also immer sofort umstellen auf Rat nur Eigentümer der Tatra wechselte Grad grasen die neue Gras die glaub ich also von mir so mir niemand benutzt und Gefahr Draht ist der Radiant das dies Bogenmaß zurzeit ich ihn hier drunter noch so ein paar wesentliche Werte für Sinus und Kosinus dies ist nun zu kennen oder zumindest wie die sie sie schnell überlegen zu können also das ist der Sinn aus von diesen Werten und was ist der Kosinus von diesen werden kann und diese Tabelle er hatte just to Fall die Zahl 0 30 und würde 60 90 Grad sondern bieten ich hab man ihn hingehen weil ich mir die auch immerhin mal ich weiß die Welt auch nicht auswendig aber diese Tabelle lässt sich sehr leicht rekonstruieren und dient dann immer dazu sich schnell abzulesen und wie macht man das ich hab Ihnen Scripting geschrieben in der gekürzten Frauen also alle bräche brach gekürzt so sieht man nicht viel beschreibt sie ihr Wissen anders denn und dann 7 eine Struktur wie man sich leicht merken kann er sie das an und ist nun ja weiß man noch oder sieht man Bild oben in den Winkel 0 Grad dann gibt es eben nicht keine andere Orte des Verlags ist ist 0 und kann man wie dem Schreiben oder man kanns kompliziert schreiben als Wurzeln oder halte dass ich Reich der Sinne von 30 Grad ist Inhalt ist Wurzel einzahle der Sinus von 45 Grad das Wurzel 2 halbe der Sinus von 60 Grad das Wort 3 1 sie 7 von 90 Grad das Wort City Hall Busse 4 ist 2 2 sein der klar sich aber so kann man sich gut merken kann das ist die Idee dahinter unter Windows genauso rückwärts große Los von 0 ist Wurzel Filiale Kursus von 30 Grad das Wort zu 2 3 halbe Kursminus von 45 Grad des wusste 2 halbe kostenlos von 60 klar dass Wurzel einhalten aber von 90 Grad oder von The Heiress vorzubehalten dort merklich sie einfach nur als Vorschlag wie verwies gern an das merke ich das ganz platt so ein genau beschreiben Sie mit einem Schlusslicht der Klausur Ergebnis wozu 4 heilen nur kann man das schon noch kürzen kann das denn jetzt die Werte zwischen 0 90 Grad kann warum die wir nur die den Rest kriegt man aus Eigenschaften der
Funktionen ich mal in normal die Grafen der bei einem ich nehme an dass jeder die so oft gesehen hat aber der Vollständigkeit und Wiederholung halber sollte man das noch einmal also hier ist die halbe Std 3 die halbe übernommen zwar 2 Pia machen wenn es die Erde -minus die alle jedes langsam Bogenmaß Sinus und Kosinus legen immer zwischen -minus 1 und 1 aber nur noch sehen so was haben wir sehen uns an der Stelle 0 ist 0 Windows Phone BHL 1 an der Stelle diese wieder 0 der stellt 3 P halbe -minus 1 an der Stelle 2 dieser 0 und so weiter denn es schwingen und da man auf den Cosinus dazu der Kosinus ist an der Stelle 0 1 und fällt dann erstmal bis an der Stelle -minus 1 wächst dann wieder an und so weiter man nach unten so war und ob wo ab das ist also Koloss von X das und das und so weiter wir haben wissen alle Ewigkeit so und das ist der für die anschauen die Grafen von den beiden Dienern und jetzt werden kann sieht man an dem was wir da auch noch kommen wenn sie die Werte von Sinus und Cosinus zwischen 0 und wie kennen dann kriegen Sie mit der Grafen auch alle anderen Werte des Todes ist nur die halbe und das liegt eben daran dass es für diese sinnlosen Grundfunktionen extrem viele schöne Rechenregeln geht das liegt zum einen daran dass das schöne Funktionen sind aber zum einen daran dass wir diese Funktion ständig braucht und deswegen damit den rechnen muss und deswegen haben sind wer genau untersucht und es gibt viele viele Töne Eigenschaften die bekannt sind ich dann immer ein paar und wenn wir das 1. der trigonometrische Pythagoras man kann also wir weder Sikhs als er was immer sie nehmen kriegen Sie Sie das Quadrat von x +plus Cosinus Quadrat von x gleich 1 und wenn sich Pythagoras weil eben so ähnlich aussieht wie Quadrat Spielcharakter der Quadrat 1. und 2. immer bis zurück dann sehen Sie warum er Pythagoras heißt also was immer sie einsetzen klar dass das Quadrat plus Kursus Quadrat gibt immer 1 woran liegt das wir Amazon zum will
zurück wir sehen aus wenn sie sich irren wenn genehm ist der Sinus die eine Kathete der Kosinus die andere Kathete und wenn Sie den Pythagoras auch das rechtwinklige Dreieck einwählen kriegen Sie das Quadrat Kosovos Quadrat ist die Länge der Hypotenuse gibt und dies zum Quadrat also es 1 Quadrate und eines Quadrates ein dass es zugegeben kein Beweis du erst mal anschauen im Moment wir von Sinus und Cosinus gerade Definition über die rein wenn wir versuchen über die reine ist nachzuweisen ist das sicherlich theoretisch möglich aber praktisch jede Wahlen war gab gleich 2 Wochen denn beweisen zwar anderthalb Zeilen abhandeln können also können wir uns diese anderthalb Wochen noch machen also was
anderes Bayern zusammenarbeitete Eigenschaften von Sinus und Cosinus dazu definieren wann paar begriffen also wir haben der Funktionen auf Ehre oder auf 10 da haben wir sie vom Golos über Potenzreihe definiert mit Konvergenz Rades endlich das heißt werden damit auch den sinnlosen so Kursus gleich für komplexe Argumente definiert ein großer Vorteil Definition würde Potenzreihe weit über die Anzahl am Einheitskreis ist nicht so klar was sie muss sowie sein soll über die Hotels weiß einfach I ein er so also unser Sinus und Cosinus in Funktion von R nach einer von 10 18 unsere Funktion nennt man ungerade weil sie Minuszeichen abschalten aus .punkt soll heißen er von minus x ist immer -minus F von X für alle x Ausserrhoder aus T 1 also Funktionen Meeres Zeichen aus spucken immer ungerade und Funktionen die Minuszeichen gerne mögen uns einfach aufessen wenn man gerade also wenn er von Windows XP immer gleich F von X ist wo wir alle x in R oder C da der die gerade The 3. Begriff ist Periodizität der Funktion als periodisch wer das war nicht im Zusammenhang mit der er Funktionen und genommen wird Periode L ich bin das passiert was wir hier oben bei Sinus und Cosinus
haben sich
der Grad der sie x-Achse entlanglaufen wiederholt sich immer wieder wenn man ihn nicht so der Bericht zeige dich T wiederholt sich aber irgendwann immer wieder wenn dieses im Kosovo es ist dass alle 2 hier frei und das eine periodische
Funktion also nennt sich der Jusen Periode L die Periode ist auch in Bildern erinnert eine komplexe Zahl weiß doch was heißt dass der Graph sich wiederholt sich das heißt wenn ich mein Argument um 11 vergrößere also ich die Funktion f nicht eines der X 1 richtig Stelle x +plus L anschaue dann ist das das Gleiche wie wenn sehr der Stelle x anschaue wo jene Zahl beziehungsweise jede komplexe T 1 so dass es Periodizität und wir werden jetzt meine Begriffe nicht zufällig zeigen dass Sinus und Kosinus jeweils periodisch sind und Kosinus gerade und Sinus ungerade ist also Satz 10
zählen und wenn der Sinus ist nie ungerade Funktionen und und der Kosovos ist mir gerade Funktionen und man Grafen sieht man gerade und ungerade dadurch eine ungerade Funktion hatten geraten der punktsymmetrisch zum Ursprung ist mir gerade funktionalen Graben der Spiegel 7 trifft y-Achse ist wenn sich die Grafen von im Kursus anschauen dann ist genau das der Fall aber können das auch rechnen ich gerade aus die es tatsächlich über die reine Darstellung und und und zwar gleich für alle zerdehnt ihn also was ist Sinus von -minus Zelt bin der sowie das tät aber nicht anders machen es die einen schreiben wenngleich nur bis endlich alternierende Vorzeichen durch ungerade Fakultäten an meinem -minus 10 Teuro ungerade Potenzen in -minus der Tod 2 1 +plus 1 können wir schreiben als -minus 1 2 2 1 +plus 1 mal 10 2 1 plus 1 die Gerichte des wir wollen auf die Reihe von Sinus kommen also das Minuszeichen dauerten rausziehen gibt -minus 1 o n +plus 2 1 plus 1 durch 2 n +plus 1 Fakultät mal Z noch 2 1 +plus 1 Bit um 1 -minus 1 und ganze Menge Exponenten davon können wir wir weglassen kann ich mir alles auch 2 N -minus also was gerade 7 meinst also was übrig bleibt ist -minus 1 1 +plus 1 von den Entschluss 1 nämlich dass eine Minuszeichen weg und sie vor die Sommer und dann bleibt übrig eine Summe über minus 1 hoch n durch 2 1 +plus 1 Fakultät jedoch 2 1 plus 1 und das ist nichts anderes als der Sinn des Phonds kann und der Sinus ungerade ist wie Sie diese Rechnung einfach da dran dessen seiner Potenzreihe ungerade Potenzen vorkommen und wurde ungerade Potenzen sind die und gerade vor den sein Minuszeichen aus und der gesamte das Sport 1 Zeichen aus man kommt ist dass er das gleiche er große es gerade weil seine Potenzreihen nur gerade Exponenten gerade Potenzen enthält und jeder einzelne gerade Potenz schluckt das Minuszeichen also Länder für den
Cosinus Kosovos von -minus Z ist nach der Reihe vom großen Los alternierende Vorzeichen -minus 1 auch durch 2 n Fakultät -minus zählt doch 2 EL also kriegen wir wie gerade eben auch -minus 1 zu 2 1 zu 1 garantiert gerade alles -minus 1 auch 2 N 1 und was übrig bleibt ist genau die gleiche Reihe wobei das Minuszeichen weg Frühstück ist -minus 1 zu 1 durch 2 n Fakultät sind auch 2 n und das es Kosinus von 10 wir also Argument vom großen können Sie Minuszeichen dazu wird machen wie sie wollen das ändert nichts trauen wenn wieder mal wieder so große los 3 Funktionen die Sie in die schon kannte in neuem Gewand und dieses neue gewandt hat den Vorteil dass diese Lösung Cosinus auch komplex wirklich arge wie komplexe Argumenten anschauen können ist kann man natürlich sagen zum Wort interessierte sie nur von ihm den Winkel mit Länge I kann ich mir nicht so gut vorstellen er das ist ja auch keine Wende mehr werden und ärgern sich vorstellen trotzdem der Sinus oder Kosinus und komplexe höchst wichtig Band vor allem bietet er eine Einsicht die man reell nicht findet die aber dann ins reale zurückstrahlt und wie das viele Erkenntnisse ermöglicht die man ohne das komplexe nicht hätte und das ist Sinus und Cosinus sind so verschieden sie aussehen Ängste verwandt mit Exponentialfunktion witzigerweise sind Sie das im Großen und Ganzen an Exponentialfunktion auch immer das erstmalig vermutet man sich die Reihen anschauen kann man so bis sie die Idee ,komma Extensa Funktion es auch so was von der Form eines durch der Fakultät mal x noch Ende aber nicht so klar aber es gibt in ganz engen Link und das der den ich ein für die eines erfahrenen kann man die Fahne kriegen sie nur wenn sie sowohl Sinus Kosinus Isaac Exponentialfunktionen komplexe anstarrte nein sie brauchen ein je und die Eulersche Formel sagt wir jede komplexe Zahl z gilt er auch mal Z kann ist der Koloss von Z ihn leider Sinus von Z das ist der Link werden daraus folgenden Blechschäden schöne Dinge ich war noch ein insbesondere drunter werde das Aufbau weil man das ganz auf braucht B wenn sie sich jetzt wird das Ganze für jene X anschauen ja also nicht der einzige seiner nächsten er dann kriegen Sie Ihr auch IX des Kosinus x +plus i 7 6 das wird auch auf das Eulersche Formel bezeichnet sehen aber auch die es keine Formel 1 WM spielt auch für diese Frauen brauchen sie komplexe Zahlen weil sonst sich Bob definieren können und dass das insbesondere bedeutet es gut Pröll BMX dem großen x und 7. x reell und dementsprechend kriegen sie das wäre ja ein Teil von ihr auch IX Koloss von X ist und der Imaginärteil von ihr hoch IX die Lust vergeht das werden wir noch oft brauchen wenn es ehrlich gesagt diese alles der Formel ist wichtig in entsprechende meine 30 weglassen alle können die Übung schieben sehr eine nächste Übungsblätter finden das ist nicht wirklich das ist der ist jetzt der im Prinzip hat das ist Potenzreihen was sie machen müssen müssen sich die Potenzreihe der z anschauen oder Fifa rechts an und gucken sich die Potenz Cosinus an und wusste die zusammenstellen feststünden machen und weil das alles war das Reisen die auch das C konvergieren die ganze Rechnung auch okay war was ich jetzt hier machen will es als dieser neuen schon vorne ganz ganz viel Honig saugen bei natürlich ist der Vorteil wir kennen Exponentialfunktion gut und mir ist wissen wir es ja funktionieren jetzt wieder alles Formeln Wissen über Ziele so dass so und auf die Weise sammel ich jetzt mal einen Satz 10 12 so ganzen Haufen von wesentlichen Rechenregeln für Sinus und Cosinus dieser wieder nur er aber sie werden sehen es beweisen weil es wird ja ich habe 1 Gericht die sich also das 1. ist das hat mir vorhin schon an
sich und legen lassen aber es Schreibers immerhin der Sinus von X ist im Betrag niemals größer als 1 der Kosinus von X in trat niemals größer als 1 alle 7 und Kosinus der beschränkte Funktionen auf das habe man total Indus natürlich sehr großen beschränke ich über 1 raus an der Stelle kurze warum kommen sie nicht auf die Idee dass für komplexe Argumente zu versuchen wir das so sehen aber so groß dass auf Zinsen und beschränkt sich darauf er sind beschränkt been dem bekannten oder was das bekannten aber das sind die Additions Theoreme ganz wichtige Formen die Frage ist was macht man mit Sinus von X plus Y doch der mal auch damit würde man gern rechnen beliebten was heißt beliebt aber immer wieder gesehen in Zahn Aktion aus irgendwelchen Klausuren er gleicht das ist nicht die Lust an explosiven y und auch wenn es noch so schön und aus den schnell aus der Hand liest ist ist einfach ,komma falsch gesehen dass es keine lineare Funktion Tausig sich den Graph an der sieht nicht aus wie die gerade alles der 7 sich im Jahr das heißt so einfach geht es nicht aber es gibt Formel dafür und dieser zugegebenermaßen etwas komplizierter ist T-Sinus von der Sonne ist Sinus von x-mal Koloss von y wir sehen das von der bisher normal Cosinus von X und der Kosinus von der Sommer es ist cos cos sehen sehen also Cosinus Exkursen Koenders y -minus kann 10. x Sinus y so zugegebenermaßen hässlich zu merken aber einfach Zeile nicht man das nennt man die Additions Theoreme der trigonometrischen Funktionen kann man immer wieder brauchen wir die Mama hat dann folgt daraus noch schöne weitere Symmetrien für Sinus und Cosinus selbst vergessen wir sie nun verschiedene verschobene Grafen was passiert wenn sie den Grafen des Sinus und die erhalten allerdings schieben sich wenn ich das Bild dann stellen Sie sich vor Sie schieben den Sinus trafen die halbe nach links erlangten sie genau von Kursen aus kann wenn Sie den Chorsängern sondern entziehen kann werden sie auf den negativen Sinus Lust kann es für Sie wenn Sie ok ich jeden also sehen dass von x +plus
P dann kriegen Sie jeweils die gleiche Funktion negativ zumindest Sinus Kosinus von x +plus p ist -minus Kosinus und Pop und was passiert wenn sie um 2 p schieben sich dann tut sich gar nix und das ist die Periodizität von Sinus und Cosinus voll angekündigt habe wir uns von x +plus 2 P ist nur von X und Kosovos von der +plus 2. ließ Koloss von X also das heißt denn das und Kosinus 10 periodisch mit Periode 2 Titel des Grafen wiederholen sich alle 2. li und wenn man das Volk auch aus Additions der und damit wie gleich sehen werden das bei der Frauen fast vor Zorn wie beweist man das zeigt wie gesagt es war das
daher schon Formel vom Mars war der Anteil der Partei über das Sinus und Cosinus durch 1 beschränkt sind den Betrag also müssen wir uns anschauen was ist im Betrag von 7 6 einen Betrag von Kursen aus Text und hatten wir sehen Sie das im Kosmos hängen eng zusammen mit ihr hoch IX also eorie X das war die Eulersche Formel des Kosinus nix los wie sie nur selbst kann ist nämlich davon den Betrag nur Betrag von eorie Relax ist der Betrag vom Kurs nur 6 +plus 7 sexy kann Edition von komplexen Betrag Wurzel aus Realteil Quadrat plus Imaginärteil Quadrat kann und das ist der trigonometrische Pythagoras und das ist 1 K das heißt wir kriegen für jede reelle Zahl ist Bio IX wir komplexe Zahl mit Betrag 1 also wieder die in sie direkt in Wegs einsetzende reellen Zahlen eorie X hat immer liegen auf dem Einheitskreis das ist das er was wir hier ist 3 Fahnen kriegen und damit kriegen wir insbesondere wenn er in das der Betrag vom Cosinus IX und haben vom Cosinus X ist damit das ist ja da Polidori Access kleiner als der ganze Betrag von Leo Relax und das ist 1 genauso für den Sinus to das werden wir noch Lehrlinge kriegt aber jetzt bereiste Additions Sirene geht sehr hübsch und geradeaus über den 1 besser als man an der Wald und sie Felix Vorsitzender ankucken eines damals eine auch E x besitzen und was jetzt kommt ist nicht alles die die direkt .punkt nagende Exponentialfunktion exponential welchen Gesetz wie auch IX Marjorie y und Basis sehr Relax nach einer Cosinus x +plus i 7 selbst Bonn ihrer PCIe-Lanes Cosinus y bevor los die sie muss y tja und dann ist es nicht das aus multiplizieren von den beiden Dienern er kriegen wir cosinus Exkursionen selbst an sich ja andere Realteil erfahren ist -minus 7 Sixty-sieben 17 an und finde die den Menschen also ihm eine große muss von den 10 aus von y bewusst Sinus von X Kosovos von y dreist die große aus multipliziere Schlacht und damit sind wir schon fertig wir jetzt schauen Sie sich mal von dieser Gleichung hier steht den Realteil den Realteil an linke Seite was ist der Alltag von IOI x +plus y ist der Kuppel Anteil der Kosinus von x +plus y also real Teil der Woche
IX das Y ist der Kosinus verlief für 17 Uhr was sich auf der rechten Seite wenn sie den Realteil anschauen da oben der Gleichung steht großer lagerte am +plus i mal großer Landert haben beide große lange sind real also ist das letze Erledigungen Brian Imaginärteil das heißt der Leader der rechten Seite des Kosinus von X Cosinus von y -minus 7. x 7 ist y B und das war genau die Behauptung aus Mauritius Terror gleich man sie immer die Mehrzahl so nennen Imaginärteil der obigen Gleichung was ist der Imaginärteil von ihr E X plus Y so dass ist der Sinus von x +plus y so und imaginierter von der rechten Seite alles das was Sie mit stellt das ist genau das was behauptet war Cosinus Wegsehen des y Justinus x Cosinus y ,komma weil man sich dann diese Idee immer sagt dass die Additions Theoreme nichts anderes sind als das Patentgesetz für die Funktion was als erfahrene in der man sich das merken wir ganz Éditions Terrine sparen weil dann kann man sich denn eine Minute 30 wieder zusammen basteln an dann wären macht man Kurs diese Rechner mit mir werden hat die Addition Stille dastehen da einzige was sie eigentlich brauchen sind die 1. 2 zahlt nur die Rechte aber auch Spieler schnell gemacht nahm sie denn sonst würden wir da und so fertig zum und vom Feld heim mache ich ihn nur 2 Dinge das war diese verschoben und Sachen was ist denn das von x +plus PHL sind seines uns Theorien es ist Sinus von nix weil Cosinus vom P halbe lustigeres von PAL halbe mal Koloss von X denn als Hobby halbes eines Kursus Vorbehalte sowohl bleibt also Koloss von nix übrig ich und Nase kriegen sie jetzt des weiteren dass man sie nicht sehen dass Felix nächstes Pi das kann man bisschen kompliziert schreiben Sinus von x +plus die halbe
+plus erhalte wenn ich sehe dass von XP das behalte +plus die halbes Kurse noch von den Schluss der halbe nach dem obigen blickt und Kursen von x +plus die halbe ist hab ich jetzt nicht vorgeführt geht aber genauso wie das obige -minus die von oder müssen sie gar und so weiter so kriegen Sie die alle an die Dinge mit der Mittel ist der Beweis zu ändern ich will ganz in 15 Sekunden noch das ist jetzt nur eine Bemerkung es Klammer aber wir haben gesehen die bei der war er auch IIZ obgleich Cosinus x +plus wie Sinus x B 1 B und interessant ist diese Gleichungen sieht man zeitgleich PLZ wenn Sie mal Zeit Kiel setzen könnte dann kriegen Sie eorie Cosinus von P S -minus 1 denn von P ist 0 also eher horribly plus 1 gleich 0 ist und dass es eine warme von der soll dabei den einzigen Widerspruch geht die schönste Formel der Mathematik warum die 5 wichtigsten Konstanten danach also die 5 wichtigsten Konstante überhaupt einer Formel und sonst nichts e i P 1 zu 0 die 2 wichtigsten Körper Elemente das weitere halten und wieder soll der Addition Ei und wie und alles in eine Formel die steckt auch in der Eulerschen Formel drin damit möchte ich wollte gut sein lassen denn dank der Aufmerksamkeit
Radius
Kreis
Kreisfläche
Summand
Exponent
Betrag <Mathematik>
Quotient
Machsches Prinzip
Reihe
Potenzreihe
Radius
Exponent
Ende <Graphentheorie>
Vorzeichen <Mathematik>
Reihe
Potenzreihe
Rechnen
Komplex <Algebra>
Ecke
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Radius
Gewichtete Summe
Momentenproblem
Exponent
Machsches Prinzip
Reihe
Ähnlichkeitsgeometrie
Stetige Funktion
Biprodukt
Zahl
Summe
Vollständigkeit
Menge
Betrag <Mathematik>
Minimum
Potenzreihe
Funktion <Mathematik>
Positive Zahl
Menge
Reelle Zahl
Potenzreihe
Stetige Funktion
Exponentialfunktion
Urbild <Mathematik>
Inklusion <Mathematik>
Zahl
Null
Summe
Quadrat
Polynom
Summand
Reelle Zahl
Stetigkeit
Reihe
Heuristik
Potenzreihe
Exponentialfunktion
Stetige Funktion
Grenzwertberechnung
Radius
Umkehrfunktion
Logarithmus
Summand
Thermodynamik
Abbildung <Physik>
Fakultät <Mathematik>
Reihe
Potenzreihe
Exponentialfunktion
Stetige Funktion
Funktion <Mathematik>
Vollständigkeit
Logarithmus
Umkehrfunktion
Reelle Zahl
Abbildung <Physik>
Tiefe
Exponentialfunktion
Natürlicher Logarithmus
Ecke
Funktion <Mathematik>
Monotone Funktion
Momentenproblem
Exponent
Quotient
Rand
Exponentialfunktion
Stetige Funktion
Zahl
Summe
Umkehrfunktion
Reelle Zahl
Umkehrung <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Summe
Umkehrfunktion
Exponent
Reelle Zahl
Wellenform
Strukturgleichungsmodell
Exponentialfunktion
Gleichung
Hausdorff-Raum
Funktion <Mathematik>
Konstante
Multiplikation
Differential
Weg <Topologie>
Exponent
Stetigkeit
Reelle Zahl
Abbildung <Physik>
Aussage <Mathematik>
Stetige Funktion
Exponentialfunktion
Trigonometrische Funktion
Sinusfunktion
Sierpinski-Dichtung
Kreis
Radius
Kosinusfunktion
Kreisfläche
Punkt
Fakultät <Mathematik>
Berechnung
Fortsetzung <Mathematik>
Stetige Funktion
Dichte <Physik>
Ende <Graphentheorie>
Nullstelle
Potenzreihe
Stetige Fortsetzung
Trigonometrische Funktion
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Kreis
Länge
Kreisfläche
Verschlingung
Tabelle
Reihe
Zahl
Dreieck
Linie
Gradient
Zahlensystem
Rechter Winkel
Mathematiker
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Länge
Quadrat
Vollständigkeit
Momentenproblem
Dreieck
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Parametersystem
Kosinusfunktion
Zusammenhang <Mathematik>
Einheitskreis
Potenzreihe
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Graph
Exponent
Fakultät <Mathematik>
Reihe
Zahl
Gradient
Sinusfunktion
Summe
Menge
Strukturgleichungsmodell
Vorzeichen <Mathematik>
Komplexe Zahl
Potenzreihe
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Länge
Gruppenoperation
Formation <Mathematik>
Exponentialfunktion
Negative Zahl
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Eulersche Formel
Symmetrie
Theorem
Komplexe Zahl
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Parametersystem
Kosinusfunktion
Addition
Verschlingung
Graph
Exponent
E-Funktion
Reihe
Komplexe Ebene
Betrag <Mathematik>
Potenzreihe
Lineare Funktion
Trigonometrische Funktion
Sinusfunktion
Addition
Kosinusfunktion
Exponentialfunktion
Gleichung
Komplex <Algebra>
Quadrat
Weg <Topologie>
Betrag <Mathematik>
Eulersche Formel
Reelle Zahl
Fahne <Mathematik>
Komplexe Zahl
Einheitskreis
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Addition
Gleichungssystem
Gleichung
Lead
Physikalische Theorie
Sinusfunktion
Konstante
Mittelungsverfahren
Rechenbuch
Eulersche Formel
Theorem
Mathematiker

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Wichtige Funktionen
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 5
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34561
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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