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Unteralgebren und Erzeugnis

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genannt werden an der TU Darmstadt
ein einen dann herzlich willkommen und einen schönen guten Morgen ich habe ihn mal ein wie ich habe es schon so statistisch signifikant das Zwischenergebnis von den Ergebnissen die von der Probeklausur mitgebracht das ist jetzt 13 Übungsgruppen das heißt die absoluten Zahlen müssen Sie wahrscheinlich noch mit knapp 2 multiplizieren oder so mit einer eineinhalb aber ich denk soll die Gruppe der grobe aus weil man sich so ein wir haben weder besonders niederschmetternd noch besonders erfreulich einfachen tödliche Klausur Ausfall wir können sehen wo sie das denn wenn sie mal in die angegebene Bestehens Grenze 25 einzeichnen sehen Sie das ist einigermaßen bedürftig ist er ja was mich etwas verwundert hat war der saumäßig Ausfall der Aufgabe 3 Getreides weil sie Beweis von der Formel von war was leicht vom Stoff her weit weg aber wirklich nicht mehr weiß sondern aber auch nie 1 zu 1 Übungsaufgabe aus dem Skript also 2. irgendwie nicht so abwegig gewesen sein und wenn Sie sich
anschauen das bei der Aufgabe 3 die häufigste Punktzahl waren dann ist das ziemlich nicht hören genauso das sage ich aber schon direkt nach der Klausur gesagt habe ich vor allem die Aufgabe 1 etwas verwunderte mehrdimensionales Extremwert rechnen echte Rechenaufgabe nach Standard erreichen da muss auch ein bisschen mehr drin sein Walter ein das sind die Punktelieferanten guten aber ansonsten einfach ein normaler klar so ausfallen sollen was andere
mächtig spannendere Sichtweise erhöht ja wenn jetzt einer der Klausur der noch ein bisschen Angebot dazu es wird auf jeden Fall auch in den Ferien Sprechstunden geben wenn man das mit den verschiedenen liest aus und es also wir werden so da wir ja zum Glück ziemlich viele Leute sind auch bei sich nicht 25 die Danzig bis 25 Sprechstunden kommen das heißt jede Woche mal 3 bis 3 oder so das ist sollte ein gutes Angebot sein bestellen die Liste aller dieser den Sprechstunden Struck haben und dann können Sie sich gucken welche Ihnen am besten passt Grund oder weg also welche Details Plural ich ihn am besten passenden unter vorbeilaufen es wird auch wenn der Warte eines wiederentstehen Übungsblatt geben mir geht der gleiche Disclaimern wie damals wenn Übungsblatt macht dann Sinn wenn es welche Stoffe geht viele Aufgaben enthält und dann ist das nur zu leisten wenn es keine Lösung gibt also eher wenn wir wieder einen Sperma größenordnungsmäßig 25 30 Aufgaben Blatt raushauen aber eben es zu keiner Lösung geben er ob das jetzt schon direkt am letzten Tag des Semesters fertig ist weiß ich nicht also kann sich auch noch in die ich nicht jene einziehen aber wir arbeiten dran und wir kriegen das dabei als da ist n ja entspricht und Vereinigungsfreiheit und dann ist es noch nicht 100 Prozent in trockenen Tüchern aber doch zu 95 Prozent wird es wohl über zentrale QS-RL endete finanziert werden auch ab 1 Pilotprojekt 1 klar so Vorbereitungskursus es geben also irgendwie noch einmal er Vorlesungen mit oder Vorlesung sehr ähnliche Veranstaltungen mit Beispielaufgaben Tipps und so weiter das ist noch ein bisschen das schwer aber das wird so wenn es passiert in den 3 Wochen vor der Klausur so in dem Bereich auch Tage dann hoffentlich bald genauer Informationen und Liederdichter weiterleiten er kann gut das ist so das was ich momentan organisatorischen habe und sie noch irgendwelche Dinge auf dem Herzen wünsche fragen was ich auch gleich noch die wieder sagen kann dass ergibt sich wie letztes Semester ich werde am Freitag nicht mehr die volle Vorlesung brauchen also ich meine man kann immer anhängen aber bevor ich jetzt noch ein Kapitel durch breite machen wir lieber bisschen weniger Damen bleibt wahrscheinlich seine Dreiviertelstunde übrig am Freitag im um mein Angebot ist da wieder das dann ich da alle Fragen offen stehen versuchten zu beantworten meine 2. inhaltliche Fragen und nicht die üblichen Versuche welche Themen sich ist kommt dieses Thema dran da kommt das Thema dran das heißt wenn Sie sich schon mal so bisschen überlegen was war so der Begriff mit dem sie am allerwenigsten zurechtkamen oder der wurde die Methode die sie überhaupt nicht verstanden haben damit sie das noch mal und bringen Sie die tragen am Freitag mit erfahrungsgemäß sind solche Frage Vorlesung nur gut besucht weil alle denken vielleicht hat jemand eine sehr gute Frage ich lerne das wenn das alle denken dann gibts halt keine Fragen also bringen sie selber welche mit mit denen sie dabei am allermeisten ich hoffe zumindest dass sich das zum einen manche Verwirrung da noch entwirren kann gut dann würde ich in die Mathematik einsteigen und da hatte ich letztes Mal ein zugegebenermaßen sehr abstraktes Thema angefangen innerhalb der warum das abstrakt bleiben muss und wer ja wiederhole es noch mal die Definition von der allgemeinen Algebra aber vorher noch mal einfach denken Sie dran um was es hier geht was man modellieren will es eine Menge von Dingen mit denen man auf den man Operationen ausführen das ist das ist die Grundidee sie haben werden welche Elemente einer Menge mit denen sie Operation ausführen können wenn sie das tun können wenn Sie keine Lust haben mathematisch algebraische Strukturen zu denken dann denken Sie in einem in der objektorientierten Programmierung der tut man genau das gleich in den eine Menge von Objekten mit denen sie endlich Operation ausführen und das ist das was die allgemeine Algebra motiviert das weil Definition 1 zu 4 und dann wird sie erst gesagt wie definieren Sie erst ist denn was ich für geplante es ihn eben sagt was für Sorten von Operationen man sie auf ihrem auf ihrer Menge haben ja und dieser Operation Symbole die sie auf dieser Menge haben ja die was den eine Menge kalligraphisch er zusammen und das ist die Menge der Operation Symbole und für jede Operation müssen Sie noch wissen wie die spärlich die ist wie viele Elemente die es braucht um zu arbeiten und das ist das Dietmar also das es ist einfach in eine Menge von sogenannten Operation stimmen wollen und das sie mal sagte jeder Operation wichtige ständig die ist das heißt es liegt meist eine Abbildung die jedem Element von diesem der natürliche Zahl zuordnet und dieses sieht einzig die ständig Geisterbilder so und dann hatten wir damit der Algebra definiert dafür brauchten wir erst eine Menge das ist jetzt Menge A ist es ist eine der wesentlichen Anteil der Algebra ist die Grundmenge das ist die Menge der Objekte mit denen sie hantieren und dann brauchen sie so und Hüte und jetzt ordnen Sie jeden Operation Symbol 11 eine wirklich konkrete Operation auf Arzu wenn diese Dinge in Sri abstrakte Operationen und jetzt mit diesen was eine konkrete Operation auf dem ab auf der Menge an zugeordnet also jedem der kalligraphisch 11 sei eine und diese soll natürlich Sigmar von 11 billig sein über das nicht mal gerade gemacht also eine 7 von elfstellige Operationen und jede Zeile wie reisen 11 unten Index an wie diese Algebra und zu sagen das ist jetzt die konkrete Operation 11 auf diese Algebra aber also das ist ne Operation auf an und die Stetigkeit ist Dietmar von E nur wenn Sie jetzt das haben dann haben Sie ne Menge an also glatt und Sie haben mir Menge von solchen konkreten Operationen auf diesen und dieses Paar A 11 das ist das was ein interessiert Menge mit Operationen wird es glatt 11 ist jetzt die Menge aller konkreten Operationen Effenbergs war und erbosten geschwungen und dieses war eine Menge mit einem Stapel von Operationen drauf dass man sich eben eine allgemeine Algebra und wie gesagt allgemein beim wenn ich jetzt hier Algebra sah man nicht immer so eine sehen wirklich allgemeine auch weglassen und der Typ ist eben dass er sich nur von oben ich habe mittlerweile sogar vom Touren zu dem Thema festgestellt das ist für den Begriff um Synonyme gibt also wenn Sie sozusagen bei Google oder Wikipedia anwerfen so wollen dann gehen sie nicht nur allgemeine Algebra einen so geben Sie auch mal algebraische Struktur ein das ist ein Synonym er unter dem sich auch was findet zwar aber nicht wie sie die Vorstellung sie haben es Struck die haben ne Menge von Dingen Gruppen Elemente zahlen Vektoren abstrakte Datentypen mit denen sie Operationen ausführen kann das sorgen das
und dieses meinen dass sie sowas haben ist der können Sie versuchen dass es allgemeine Algebra zu modellieren wie sie werden nachher sehen dass der Begriff wie ich ihn hier eingeführt haben eigentlich noch zu kurz greift und das sogar schon sehr einfache Dinge wie das schweige den ich ihn letztes Mal gezeigt habe ich einen passenden da muss kann man den Begriff auch verallgemeinern darauf will ich jetzt Stil der letzten Woche verzichten er aber wie er die Grenzen des Begriffs werd ich ihn dann noch aufzeigen also dieses du eingeführten allgemein Algebra begrüßt da sorgen noch eine Konfrontation weil er etwas sehr ein sehr häufigen Fall in den Formaten sowieso aber in der Mathematik auch haben sie ganz auf den Fall dass Sie auf so ne Menge natürlich wir endlich die Operation habe ja nicht ausgeschlossen dass es unendlich viele sind aber der meist der Fall wird endlich sein und in dem Falle sind sich angenehm einfach die Operationen wie es ist Ihnen zu schreiben also wenn diese Menge glatt F einfach Oskar Operationen besteht dann werd ich im Folgenden der Algebra ein bisschen kürzer notieren also gibt folgende Konsultationen die Algebra schreibe ich dann als Grundmenge und dahinter einfach mit Komma abgetrennt die K Operationen und was ist jetzt der Typ der Typ sagt was das Operationen sind aber sagt war ein wirklich der Operation sind dann Dakar Stück jede von denen ich Billigkeit und die schreiben einfach auch hintereinander weg ich mal ein Sieg mal 2 Sigma-CA an und dabei ist natürlich Stigma J genau das Dietmar von dem F J ich finde es nicht in Schwemme werden sie das wohl selber so gemacht zur also mit so kann man das bisschen kürzer hinschreiben wenn sie endlich wieder haben oder ich es danach einmal die Notation benutzen für unendlich viele wo klar ist was gemeint ist und jetzt wie gesagt eigene eige bereits ein abstrakter Begriff der abstrakte Begriff abstrahiert allen und dementsprechend an wenn ich es Beispiele schreiben Sie hätten sie mich am Anfang vom 1. Semester komplett ausgelacht was ist das beste
Beispiel was ich ihm zeigen wir dass wir eine Gruppe wenn ich ihm gesagt hätten der Gruppe ist ein Beispiel für was wir hätten sie mich immer am Anfang von der Warte eines sicherlich auch der Kiyak ich auch dass sie mittlerweile dass das mittlerweile funktioniert also will der Gruppe hatte letzte Woche noch mal dran erinnert was ist mir Gruppe eine algebraische Struktur ne Menge mit einer Verknüpfung die gewissen Eigenschaften genügt das eines Assoziativität der Verknüpfung aber die wesentlichen Eigenschaften sind die Existenz von Neutral Element es gibt ein Gruppen Element das egal mit was es verknüpfen dies nicht ändern also wenn sie entdeckt mit Addition denken die 0 und die Existenz Existenzen inversen Element wir können durch Verknüpfung wie Element auf dem 0 wieder auf das neutrale man biegen und das zugehörige Inverses also das ist es dafür brauche ist das in der Seele man wissen Sie 3 wichtige Bedingungen von der Gruppe U und es ist auch daraus ist jetzt auch irgendwie wird dann klar wie man so eine Gruppe als der Algebra schreibt man also was haben wir bauen die Grundmenge gegrummelt Elemente auf dem operiert wird das ist die Menge gehen wenn es die Frage was andere Operationen auf der Gruppe und da haben wir im Wesentlichen 3 Stück die 1. klar die Operation die sie auf der Gruppe haben ist die Verknüpfung auf der Gruppe man hat man an meist mit Stern geschrieben das ist die Verknüpfung auf der Gruppe da können Sie eine Gruppe aber noch mehr Dinge tun die können nichts mehr das inverse Element mit das Operaciones einstellige Operation jedem die also die seinen Weg wäre also seinen das zuordnen kann man ja mir immer am Anfang mit Querstrich geschrieben ich brach das hier mal übernehmen das hier mal und schreib das mal so symbolisch mit dem Querstrich also das ist die Bildung der inversen als eine schwierige Operation und dann hat mir gesagt in seiner Algebra ist wenig konstante Existenz von konstanten Elementen die man fordert als neues Telekooperation aufzufassen und dementsprechend ist das neutrale Element auch Operation -minus Telekooperation allen dann haben sie eine Gruppe können Sie die Gruppe gut als Algebra Schreiben mit den Opfer mit Operationen Stern wer und allen was ist der Typ von den Dingen eher der Typ ist einfach die Liste aller ständigkeiten also die Sterblichkeit von dem Stern von der Verknüpfung der Gruppe ist 2 jeweils 2 Gruppen Elemente nehmen 3. machen die Stetigkeit der der diversen Bildung des 1 stecken ein Gruppe mit einem kriegen anders raus und die Stimmigkeit von neutralen man ist 0 7 stellige Operation sehr konstant so so aber das allein ist und es auch keine Gruppe da wird nur gesagt er dass in der Menge haben mit einer Verknüpfungen werden nicht mit 3 Verknüpfungen mit 3 Operationen noch an 2 Stellen einstellen nur stünden so überhaupt nicht gesagt wie die zueinander stehen und wenn sich an die ein Wirbelwind anhalten wird es ehrlich gesagt 10 algebraische Struktur genau sitzen abstrakten Datentyp gehören 3 Dinge die Sorgen die Objekte mit denen sie arbeiten die verknüpft die Operation die sie ausführen und die Axiome in sagen wie diese Operation aufeinander wirken was 14. Axiome wer die Gruppen Axiome kennen wir dieser neuen also so eine Menge mit den 3 wird mit 3 Verknüpfungen vom Typ also mit die Natur 2 1 beziehungsweise 0 den Folgen Axiom genügen und dann ist es endgültig ne Gruppe diese Axiome hatten wir zum einen genannt aber die Assoziativität also für alle A B und C aus B gilt als Stern wie ich der einzige welche einstellen B den C das ist die Assoziativität das 2. Gruppen Axiom war das neutrale Element was müssen wir da fordern dass das neutrale Element geht steht schon oben also für alle aus gehe es aber können mit allen dasselbe wie eng verknüpft mit an das selbe wie via und die 3. Forderung ist das inverse Element die Existenz von inverse man steht schon oben wir werden gefordert dass ist diese Verknüpfung quer geht und das Wirken Operation quer gibt und ob eine einstellige Operation quer das heißt Bildung von nach G die Abbildung quer muss also auch ganz G definiert sein damit ist gewährleistet dass es für jedes G 1 die Quere gibt und was dieses geht wir tun soll sagen wir jetzt also wie das ausgehen soll gelten dass Stern AG wäre welch stellen
aber welchen entzieht und was an dieser Darstellung der Gruppe schön ist ist dass sie jetzt in den Axiomen keine Existenz Quantoren mehr drin haben den in den Gruppen Axiom in Kapitel 2 dann im Existenz von Allquantor wird haben sich in der einer alten eine Nation noch Allquantor enthält weil eben die Existenz der Objekte jeweils oben durch die Operation wir geben zu rufen wird wenn er nur guten damit mal die Gruppe werden damals noch eine besondere Klasse von schönen Gruppen unterschieden das waren die arabischen Gruppen R a bissi Gruppen
waren solche bei denen die Verknüpfung
kommutativ wir das ist hier nicht gefordert oder noch gesehen damals dass das gut ist es nicht zu fordern weil es Unmengen Gruppen die ihn nicht kommutativ Verknüpfung haben denken Sie an die Spitze an die allgemeine lineare Gruppe an der orthogonale Gruppe Symmetrie Gruppen Spiegelung Gruppen so ziemlich alles was in der Geometrie 1 an 1 Geometrie Gruppen auftaucht ist nicht allen nicht kommutativ also das tauchten an verschiedensten Stellen auf so aber was heißt konnten kommutativ und dann nennt man sie aber wenn eben zusätzlich das Kommutativgesetz Bild also das Axiom K wer alle A und B ausgehen gilt aber stellen die vielleicht nicht mehr nach zur zu diesem Beispiel er jetzt noch 2 Anmerkungen als sie sehen so der Gruppe lässt sich S dann eingepreist schreiben also eine Menge von Objekten Operation drauf und Einsatz Axiomen und wenn Sie sich die Axiome nochmal anschauen wenn ich in dieser hingeschrieben wie wir sie am Anfang hatten und eigentlich ist das war ganz formal gesehen und sauber weil die Operationen am Werk definiert als Abbildungen und diese Produkte auch nach oder in dem Fall jetzt geh hoch innerhalb des und wenn man das sauber schreibt muss oder sich jede Funktion schreiben wir also formal ganz richtig wäre wenn sie zum Beispiel jetzt des die kommod Aktivität die da oben steht neben dann müsste ich ihm natürlich schreiben was ist denn das Sperren jetzt ist der 1. zweistellige Operation auch gehen also der Abbildung die 2 G Elemente den daraus in die Elemente macht das heißt wenn Sie es wirklich in funktional Schreibweise schreiben dann müssen Sie schreiben Stern von AP s Sperren von BA nur ich das Abbildung gebraucht Argument werden das mag hier noch angehen und man sich zum Beispiel mal den wir das das Axiom über die inverse hinschreiben alle aus gebe was war das inverse erst dann AG wäre es querstellen ASN das steht da also Sternen voran ha und von aber =ist gleich Stern von quer von Allah und =ist gleich n und wenn sie es komplizierteren Gruppen Ausdruck hinschreiben in dieser Schreibweise dann sehen sie gar nix mehr weil einfach die diese Gewohnheiten dagegen sprechen deswegen würd dies eine wird aber so gemacht dass man natürlich zweistellige Operation so wie man es kennt man zum bloßen kennt als A +plus darstellen wie schreibt aber man sollte sich klarmachen was man dabei tut er also man schreibt eine Funktion in sehr komischerweise du also Minenfeld niemand mehr dass sie diese komische Schreibweise hier verwenden wird doch niemand n aber soll sich klar sein das ist das eigentlich ist es so das war ein Teil A in wir merken an und halbieren die Ohren die Welt nicht die gemäß sind von dem Teil B ist wenn sie irgendeine Strukturwechsel wie die Gruppe nehmen die jetzt als Algebra modellieren wollen dann ist das kein eindeutiges erfahren da gibt es keine klaren Algorithmus führen keine nicht die Lösung der wir werden jetzt jene Gruppe modelliert als der Algebra mit 3 Operationen dem standen quer und dem neutralen wählen aber natürlich können Sie einfach sagen für die also er das man auf die Modellierung als Algebra ist nicht eindeutig ein alternativ können Sie zum Beispiel bei der Gruppe da eigene die Existenz und den in der also die Existenz und neutrale man kann ja nie Axiome stecken also können sozusagen Forderungen die Operation oder die Axiome stecken können Sie wissen und herschieben sie können natürlich auch einfach nur eine Verknüpfung nur eine Operation OSG offen die wirken lassen und sagen in der Gruppe G ist eine war wenn der Grundmenge G und eine Verknüpfung Stern wie vom Typ II ist
nur mit den Axiomen Satz aus Kapitel 2 er also mit den Umsatz den wir dort für Gruppen in geschrieben haben 1. Axiom bleiben gleich Assoziativität wir alle ABC ausgehen wird er ständig den Zehen gleich einsperren ich dann sehe jetzt müssen Sie bei neutralen enthaltene schreiben es gibt man aus die zu dass wir alle aus gilt Sterne allen welche in Stern aber gleich dem sie Existenzen neutrale man statt als Operation oben als Axiom unten und beim inverse Element genauso also für alle A in die existierten AG wäre in gehen so dass Stern AG wäre gleich Ich-AG mehr stellen aber gleich in das war der Axiom Satz den wir in Kapitel 2 hatten in den Sinn der Gruppe A natürlich auch aus so als Algebra Modi deren völlig anderen Typen sind völlig andere Struktur auf dem Papier er aber in der der steckt natürlich das gleiche mathematische Konzept würde sich Freiheit immer mal ganz praktisch ist weil man eben auf die Weise je nachdem welchen Teilaspekt von sondern mehr Struktur man bedrohen oder untersuchen will daraus eben oder leben herausheben haben Tor wird ,komma weitermachen und die verschiedenen andern algebraische Strukturen die wir schon gesehen haben ebenfalls das eine Bar auffassen können Sie auch können Sie entweder ja als weitere Beispiele sehen oder als kurzen Crashkurs Wiederholung was hatten wir damals in Kapitel 2 das hatten wir noch werden Gruppen und danach aber das war nicht kühl der Orten wer vor mit einer Verknüpfung und dann und 2 Verknüpfung angeschaut haben wird zuerst die Struktur des Regens also das war ein Ringen ein Ringen das Modell für eine Regen wann die ganzen Zahlen Z wie Addition und Multiplikation also sehr habe mit der Addition der schöne Gruppe eine arabische Gruppe und sie haben mal dazu distributive Verknüpfung mal und da die waren sie nur Assoziativität kann mehr Ansehen zählt nicht Zeit können sich dividieren da können so normale oder gut dann keine Dress machen oder sowas aber das ist eindeutig viel kompliziertere Aktion aber wirklich als Verknüpfung aufzählt haben sie nur los und mal und zum Schluss das -minus aber eben nicht das geteilte das ist Touristenregionen wie können wir denn als Algebra modellieren Na ja dann wissen gar nicht wie tun wir müssen was ist länger als der Gruppe kommt denn das mal dazu also haben eine Grundmenge Erde auf der wir operieren die soll ja die Zielgruppe seinem Gruppe hatten wir gerade gesehen modellieren wir normalerweise als Algebra mit 3 Verknüpfungen drauf begruben Verknüpfung der Blasenbildung und immer dran Element auf dem Regen die Gruppe Verknüpfung meistens sich mit Stern geschrieben so groß war danach das mal kommt alles dazu distributive Verknüpfung was ist jetzt der quer wenn das weniger Glück das Plus ist dann schreibt man die inversen Bildung üblicherweise mit mir -minus wir sind zu 5 bis -minus 5 und das neutrale Element bezüglich der additiven Verknüpfung schreibt man auch meistens nicht mit allen sondern als 0 das immer wieder bei diesem da mal Teilkennzeichen 0 das 35 Tausend verschiedene Bedeutungen hat was in dem Fall ist das neutrale Element bezüglich der Addition beim Renten und dann kommt eben dazu wird es jetzt ist wäre es der Operation Satz eine Gruppe wirkt zweistellige Verknüpfung einstelligen Blasenbildung durch ständige konstante und jetzt kommt noch dazu die Multiplikation wir sagen welchen Typ das ist also für das
in dem Falle zusammengesammelt ständigkeiten die Addition ist zweistellige Operationen die additive Bildung einstellige die 0 ist Mehr konstanteste 0 Operation und das mal den ist wiederum mit zweistelligen Don dann war natürlich noch den Axiomen Satz da können wir erst mal 1. gestellt wenn sie nur er plus minus 0 anschauen dann ist es der Algebra mit 3 Verknüpfungen vom Typ 2 1 0 ja und von der verlangen wir dass der gesamte Axiom Satz wenn arabische Gruppe gelten ja und was sie dann noch brauchen ist Assoziativität formal und Distributivgesetz also was wir alle ABC aus er nach geht schreib ich hier schon nur denn es er zur aus meinem Regen gelten 1. a mal b mal sehen is a mal b bei C das ist die Assoziativität der Multiplikation und dann waren sie die beiden Distributivgesetz R a mal wir C is a mal b +plus abermals die und andersrum der von recht
und links Distributed weil sie keine Commuter tivität der Multiplikation habe man allgemein a +plus b mal c ist a mal bloße Inhalt ist Regen wir hatten damals dann auch Norwegen mit 1 wenn Sie noch ein neutrales Element der Multiplikation haben das müssen Sie halt dann als zusätzliche 0 stellige Operation Omas konstante dazufügen also sogenannte Ring mit 1 wäre dann der Algebra R plus minus 0 mal 1 vom Typ 2 1 0 2 0 1 und 10 ist man zusätzlich fordern dass es einst neutral ist Element auf die Weise können Sie auch einen Ring bei sie und das ist alles in die die daran dass man den Begriff der allgemein Algebra so gemacht hat deswegen werden diese ganzen algebraischen Strukturen und des heißt mehr alte Gebrauch algebraische Struktur der drin modellieren können durch einen fein gesagt dabei kann es durchaus Schwierigkeiten geben weil ich ihn nicht die allgemein Algebra hier allgemeinste Form einer allgemein Algebra definiert haben und ich will ihn jetzt an einem weiteren Beispiel dass es schon angeschaut haben zeigen was da passieren
kann an dem kann es noch klicken und dann schauen uns den normalen Bildspeicher vom letzten Mal unter Chris nicht mehr geflickten also Teil des was hatten wir noch eine algebraische Strukturen nach Gruppen und sehen noch Körper gemacht die Wähler sich indes Übung und danach einen da die Struktur des K Vektorraumes und damit an uns lange beschäftigte Dance passte 2. Hälfte vom 1. Semester durchgängig Vektor also wichtige mathematische Struktur ein Vektorraum und da sehen Sie wenn Sie sich jetzt überlegen wie sie das als Algebra verklausulierten relativ schnell das Problem in deren 2 Sorten werden 2 in Sorgen von den Dingen auf den sie operieren nämlich sehr am Vektoren in Vektoren in V und skalare in in und sowas sieht die Definition der Algebra ich sehen gezeigt hab ich von den 3 Auswege entweder sie definieren wer Sorte gar gebunden auch das geht es ist auch nicht wie kommunizieren und das schreiben der und noch unübersichtlicher ich mich dazu entschlossen die Tiere das erstmal zu lassen und sie mit dem einfachsten möglichen Fall zu konfrontieren und direkter und kriegen Sie auch in diesen ein Fass möglichen Fall noch gepresst und seine folgenden Werke waren was es Problem es würde Algebra brauchen sehe mir Grundmenge auf der was passierte es kann in dem Fall eigentlich nur das Haus derweil auf den Kater sie nicht so schrecklich auch als Ort womit sie was tun es in die Retour auf vor und dann brauchen sie Operationen und Operation7 definiert als Abbildungen von Frau Kreutz vor kurzem auch als Frau Kreutz Frau irgendwelche Anzahl von Faust nachkaufen und da kauft jetzt kein K auf geklingelt K dann ich rein gewusst und die die es jetzt zu sagen die betrachten die dabei Elemente in den K gar nicht als Elemente mit den operiert wird weil mit dem operiert man eigentlich also auf den will ich wirklich operiert sondern die operieren zur so betrachten die Kabel demente als Operationen und zwar das Tabelle nennt wenn Sie jetzt mal den Vektorraum in das Kapellen in 5 ist die Operation Strecke den legte um 15 aber das Kabel entzwei identifizieren sie mit Operation Strecke und 2. wenn und das ist der Wagen waren also sagen soll K Vektorraum den können Sie als Algebra als ein so Algebra wir sie hier haben wurde hier an indem sie sagen das ist der Grundmenge die Groom NSV die Menge aller Direktoren was ansieht also Operationen darauf was waren Vektorraum Vektorraum darum eine additive Struktur also keine Vektoren addieren und in dieser Additive Struktur muss das Ding der Gruppe sei eine also können Vektoren addieren es assoziativ Themen da gibt den -minus in additiv inversen Vektor es gibt nur 0 Vektor dessen Additive Struck und alle die wir grobe Struktur das heißt auch da haben wir wieder die gleichen Operationen wie bei einer additiven arabischen Gruppe also Sie haben Addition von Vektoren haben Sie das in der Seele man bezüglich addieren das heißt denn der auch -minus Frau und sie haben den 0 Vektoren zur bis dahin haben Sie die additive grobe Struktur des Vektorraumes und jetzt brauchen Sie noch die skalare Multiplikation das Gala Multiplikation jetzt auch mir also VW nach einfach war ja ja sagen wir jetzt für jedes Eiweiß das einstellige Operationen das es heißen jedes Element aus K als einstellige Operation auf also die Operationen sind minus 0 und jedes man diese eigene Operation wird sehen Sie an der Stelle bewährt sich das ich nicht gefordert hat dass wir immer endlich wieder Operation haben wir er Vektorraum haben stehen da jetzt ziemlich viele Operationen ist was ist der Typ das ist vorne einfach also die der Typ von der Additionen Vektorraumes 2 der den 2 Vektoren dringendere braust der Typ vom inversen nehmen also vom -minus nehmen es 1 denn nur legt das der Konstante der Täter von ist 0 und jedes Alter ausgraben ist ne Operation die dem V zuordnen das alpha-Forum also nur einstellige Operation nicht rein das mal so war ich denn jetzt sehr viel Eigensinn ich denn so viele ein
solides kahlen Winter also das Rosen zweistellige das Mindeste einstellige der Mülltonne nur Konstante und jedes Kabel immer das einstellige Operationen Schwanz vielleicht noch meinte er wenn man was die Idee dabei ist in die Idee dabei ist identifiziere das Körper Element als war mit der App Bildung und die nämlich dann wieder als war in jedem doch Hausfrau zuordneten legte einfach machen das ist die des was sie jetzt noch brauchen wenn dir ist Axiomen Satz es muss mal wieder nach vorne blättern was ich nicht Kapitel 3 oder 4 Vektorraum Axiome an was muss alles gelten Mehr wurde es ist das was bisher nicht da steht es kam aus dem Körper seinen Definition vom Körper als Algebra wie gesagt auch Übungsblatt dann ehrlich gesagt diese Additive Strukturform Vektorraum also Frau mit dem Beschluss der in der Nähe der inversen Bildung bezüglich +plus und den neutralen nennt 0 das muss mehr arabische Gruppe seien und dann gab's noch ein Satz von 4 Aktion die beschreiben wie sich die Addition und die Skala Multiplikation in vertragen und deshalb die zur also für alle VW Ausfahren der alle Alphabet aus gelten wenn es ist es einfach nachgeschlagen vorne in der bewölkt aber eine aber auch dass es Erinnerung nochmal also 1 ist sauer Ailsa Welt da Frau ist also war später aber das war so und assoziativ Gesetz für die Gala Multiplikation nun zu beachten ist dass damals hatten wir eine Skala Multiplikation definiert und wie es jetzt mit der Frau zu verstehen als diese einstellige Operation Aubert abgebildet auf bedarf aber auch das freilich nicht als eine mit der .punkt Funktionen Klammern sonst haben sie sowie Klammern stehen dass meine Knie sie die 3. der des 3. R Axiom an der Stelle warnen Distributivgesetz zwischen der Addition im Werk in in Gallaher Körper und der skalare Multiplikation also als später meine Frau ist als auch das Bett der Frau und das letzte waren Distributivgesetz zwischen der skalare Multiplikation oder Additionen Vektorraum aller Art hallo Lust als verwegen zur des Verlags Umsatz von echter an und dann haben Sie den auch als eingebracht er in jetzt allerdings eben mussten wir jetzt damit das klappt im allgemeinen unendlichen Operation Satz zu lassen Alternativen wie gesagt sie sollten sie definieren sogenannte Mehr Sorte gebunden die nicht nur als eine Menge operieren sondern wurden 5 Mengen 10 man egal wie viele man zum operierenden genommen werden dann müssen sie halt jeder Operation sagen wie viel Elemente aus welchen Mengen die nimmt und wie viele Elemente von welchen man die ausspuckt und dann wird das alles was hatten Dell deutlich komplizierter aber die DDR die gleichen und was man im Allgemeinen tatsächlich mehr sollte der ergeben braucht zeige ich Ihnen jetzt einmal ein 2. Beispiel von vom Einstieg nämlich dem Beck Speichers abstrakten Datentypen und das ist hier nur ein unvollständiges Beispiel weil ich den eben nicht in diese Struktur gepresst kriege das wie gesagt es wir wohl nichts damit zu tun hat dass die Struktur schlecht ist sondern dass ich ich gehe zu feige war in diesem Verleih Gemeinheit ja auszubreiten der und woran sie auch Wiedersehen dass Sie wenn Sie den formatik damit wirklich was anfangen wollen und wie gesagt es ist ein mächtiges Werkzeug also das wird Ihnen wenn es mir theoretisch Informatik mehrfach begingen dann müssen Sie sich da ganz schön rein würden weil besonders Bildspeicher passten die einfachste Algebra nicht rein also nie wieder dieses Beispiel und wie gesagt das Problem ist der braucht eigentlich immer so artige Algebren weil was war da darüber auch mehrere Sorten werden die Menge Speck alle möglichen steckt Belegungen aber sie hatten auch die Menge der Elemente die Sie auf das Deck schieben kann wir sind in 2 Sorten und jetzt könnte man natürlich so wie oben versuchen also wie ist das Problem sie an 2 Sorten die
hatte ich in dem uns Beck genannt also das eine ist die Menge aller möglichen Elemente die Sie speichern und Zweck ist die Menge aller möglichen Zweck Speicherbelegung ich erinnere nochmal daran dass die Operation waren die wir festgestellt haben dass wir über unseren Zweck brauchen da gab es einmal die Operation wusch ja Elementen nimmt und einen der vorhanden ist bei Belegung und daraus einen neuen Zweck macht dann gab's die Operation die 1 wegnimmt und ihnen das oberste Element zurück liefert es gab eine Operation braucht die ihnen das oberste Element Wandsbek weglöscht und es gab eine konstante NTT das eine konstante Nullstelle Kooperation die einfach den Lernzwecke bezeichnet das die 0 stimmig ist also so anzudeuten die liefert in einen speziellen Zweck nämlich den Lernzwecken so das war die Operation und jetzt am überlegen wie kann man daraus der Algebra machen und mit dem Bush also sehen man braucht 2. Mehr sortieren zweiseitiger ergeben in dem Fall wenn man zum Zweck mit dem Bus könnten wir uns im Prinzip noch behelfen wie beim Vektorraum ja das ist die gleiche Struktur wird die skalare Multiplikation in Vektorraum die Struktur dass sie Element aus kam mit dem Element aus Frau wirklich Stunden wegnehmen das Frau daraus machte in skalaren weg dann machten wird daraus sei es diesen Brush könnten beim Prinzip noch wie die skalare Multiplikation indem wir die Elemente als Operation auffassen in die Algebra nutzen aber womit endgültig schief geht und ob es wunderbar begrüßen Einstellung Operation Ausweg kein Thema diesen durch billige Operation auf der kein Thema er das Problem ist der Kandidat Birgit Wandsbek nach Element und den Krieg will ich gar nicht mehr daran gewußt und deswegen an der Stelle müssen Sie irren 1. dann auf Mehr saftiger wirklich auf Mehr sollte ergeben gehen das will ich wie gesagt hier lassen aber das ist der natürliche Schritt immer noch ne Woche Zeit hätte ich das in den Westen tun ja und dann könnten Sie dann kann man relativ leicht Sonsbeck Speicher noch deutlich komplexere eine abstrakte Datentypen S 1 Ei gebracht auffassten mir also das wir machen könnten wir könnten jetzt probieren wir dann Vektorraum durch zu ,komma wie gesagt
es geht an den Topf Ski also wir könnten sagen wir könnten das aber suchen so definieren als die man ist Beck alle möglichen Speck berlegungen wie das für Operationen wie gesagt was gut geht ist das NT das gut geht ist das Pop und dann würde man das Push The dadurch Molly über Vektorraum dass wir jedes Element als Operation auffassen und würde wieder sagen man den Typen das MIT ist der konstante von Nützlichkeit 0 das Porto uns täglich weist das 1. Element weg und die Wandsbek zurück das ist einstellige Operation Ausweg und jedes Element ist auch eine eigenständige Operation aufs weg dass wir ein Jahr gebar vom Typ 0 1 1 1 1 1 1 1 1 sowie wie sie Elemente haben ja dann müssen Sie noch den Axiomen Satz wird zu machen das 1. Axiom dass wir vorne eingeführt hatten war wenn sie ein Element auf den Steg draufpacken und nach sich und danach wieder runter schmeißen dann kommt die Ursprungs weg raus also für alle x nennt und für alle es ins Weg geht wenn sie 1 x als jene auf es draufpacken dass man sie das durch und das Bursche ist modelliert als ist nix selbst also das X als Element ist eine Operation auf die Länge des Wegs die das sie selbst obendrauf packt das X von essen Sie lesen als Akte X um auf es war er und dann können Sie das Exil runter schmeißen und dann soll bitte schön es rauskommen und dann hatten wir das 2. Axiom das Bernice wenn sie ein Element auf dem Zweck drauf schieben und dass man sich mit Top liefern lassen dann können sie das man zurück das kann ich Ihnen schreiben weil das Top können wir nicht und dann kommt das 3. Axiom das war einfach das wenn Sie vom Ende Zweck das oberste Element runter schmeißen dann reden sie immer noch was wert man das nicht möglich ist dass sie so nicht moderiert kriegen ist das dort und deswegen bleibt das ein unvollständiges Beispiel und sie bräuchten wir mehr sagte der IRA so Ärmel also zu weit nein Traum gleich noch ein Beispiel und so weit die Wiederholung der schon gesehenen Beispiele jetzt in diese Struktur in gearbeitet wenn es auch ein bisschen die Grenzen gezeigt wie gesagt dass es keine Grenze der Theorie sondern dessen dass ich jetzt hier nicht die wolle Allgemeinheit zumuten will sondern einfach nur so ein 1. Geschmack von diesem Thema bringen will ja ich würde gleich noch ein weiteres Beispiel ein Unternehmer dann ist das Programm der restlichen Vorlesungen etwas worauf ich auch schon hingewiesen hatte als für Gruppen Ringe Körper Vektorräume gemacht haben es gab gewiss ist Strukturen die haben sich da durchgezogen werden sie bei Gruppen die hatten Sieverding ihren Zweck haben den Seeweg drum die man immer gleich der Begriff des homomorph ist muss der Begriff einer Untergruppe unter den Unterkörper unter Vektorraum also sozusagen die irgendwie die liege nicht daran dass es spezielle Gruppe am sonnigen daran dass werden algebraische Struktur haben und tatsächlich und das ist die Stärke dieses Konzepts wenn Sie solche Begriffe wie Homeoffice muss oder unter Algebra komplett allgemein definieren und auch mit den komplett allgemein umgehen es gibt sehr viele Eigenschaften dieser Begriffe die einfach ganz allgemein gelten und das will ich jetzt versuchen will heute und am Freitag auszuarbeiten mir sehr dass ist erstmal eine wohlverdiente Pause und dann machen wir danach bricht einem 2. Hälfte einsteigen denn wisse was organisatorisches eingefallen betreffend alle von ihnen immer montags Übungsgruppen sitzen niemand verlangt von ihnen dass sie das 14. Übungsplatz nächste Woche Montag nochmal Juni kommen es wäre jetzt eigentlich der Bonus der das liegt daran dass wir ja an was war das damals Ostermontag haben sie lassen und dann waren sie plötzlich Wahrnehmung dass Gruppen die letzten Turnus das rächt sich jetzt und die Überlegung ist dass das nur 2 der 3 Gruppen sind das heißt wir werden die bewährte Praxis wäre nur homöopathischen Verteilung nutzen also alle montags im muss bearbeiten es glänzende Übungsblatt bitte einfach diese Woche den Donnerstag und Freitag Gruppen Parteien sich ansprechen man sollte das gar kein Problem sein und dann hat jeder jedes Übungsblatt gesehen und wir haben hier keine Wald und da macht keine Probleme denn in Ausübung des noch immer müssen einfach verteilt zu jetzt zurück der ein wären ich habe bisher in Bonn den mathematische Strukturen die wir im 1. Semester kennen gelernt haben gezeigt dass die allen dieses Konzept allgemein Algebra passen ja ist der Name sattsam bekannte Struktur wieder gefunden und es wagen wir uns an was neues also jetzt will ich es auch noch nutzen ihn ein weiteres Beispiel ist eine algebraische Struktur zu zeigen die wir bisher nicht gesehen haben misslichen der Vorlesung kann gut sein dass ich schon woanders gesehen haben weil sie dann Informatik auf auftaucht und die ich jetzt einfach gleichen Algebra Sprache einführen will und es geht um sogenannte verwendeten dann wie gesagt gut sein dass das Wort schon aufgetaucht ist beim Verband er verschiedensten Stellen auf das ganz witzig seine Struktur die immer mal wieder in Mode die Linse kommt und woran sie es im folgenden denken können dass es gibt viele Dinge die der Verband Struktur haben ist aber ich denk das elementarste einfach bis denken Sie an Teilmengen von der Menge und Schnitt und Vereinigungen deren Vereinigung von Mengen wir sind ja sicher Verband also wir waren es der wenig Gesetz eingebracht mit der Grundmenge L Karlsplatzes L hier ich wollte ich Frauen dem Fachverband ,komma Vektorraum durcheinander und verband heißt auf Englisch lädt ist da kommt dass er hier also seine Algebra L und die 2 Verknüpfung ist es also wieder ganz brav einseitig und die schreibt man meistens als geschnitten wird und verbunden mit aber wie gesagt wenn sie L als Potenzmenge von der man alles Menge von Mengen auffassen dann stehen sie jetzt am besten das als geschnitten Vereinigung vor des werden Sichtweise er die Schreibweise ist ist auch insofern sprechen sie können sich auch vorstellen dass er eine Menge von Aussagen ist und das ist das und und was anderes was oder was auch weil wie gesagt dieser Verband ist ebenso so dass das durch verschiedene Stellen wieder auftauchen wenn das ganz am Anfang vom 1. Semester meines Übungsaufgabe dass es diese Parallelstruktur zwischen Vereinigung und steht von Mengen und und und oder von Aussagen die und das liegt eben daran dass beides Verbände sind also ist der Algebra mit 2 Verknüpfungen und das
beides sind zweistellige Verknüpfung also sehr die Signatur 2 2 was uns jetzt noch fehlt sind die Axiome und dessen wieder alles nur Allquantor Axiome also für alle x y was zählt er als allen an sie essen ganze Stapel Axiome und wie gesagt denken Sie immer dran was macht teilen was macht Schnitt und Vereinigung von Mengen aus also das 1. ist es egal wie rum Sie vereinigen Union sie schneiden also x verbunden mit Y und y verbunden mit X also X vereinigte zusammen Frankreich x ist das gleiche das Gleiche gilt für schneiden also x geschnitten y und y geschnitten X gleich das nennt man wahrscheinlich nicht überreißen kommutativ Dell dauern aus und lass ich das Axiom Assoziativität also its verbunden mit Y verbunden mit Z ist X verbunden mit Y verbunden mit der und das gleiche das Schneiden X geschnitten y geschnitten erzählt ist nichts geschnitten mit y geschnitten zelten das ist die Assoziativität und den sie wie gesagt das schneiden schneiden von Mengen und das verwenden bei einigen von ihnen nehmen wenn sie das auch nicht weiter überraschend dann kann die sogenannte ihren Potenz das ist das heißt folgendes wenn sie nichts nehmen und das mit sich selbst verwenden dann kann wenn wir extra aus vereinigt mit ist wenn sie mit schneiden dann nennen das auch nicht arg viel also x geschnitten Mitglied Bild dass man sich in den Portalen wiederum bleich
und Potenz potenzieren also x reichen legt reinlegt reingelegt Text ist alt immer noch das gleiche wie wenn sie das nicht machen und als letztes kommt ein Axiomen irgendein achso muss auch noch kommen dass ihnen sagten die beiden Dinge sich gegenseitig zueinander verhalten habe bisher aber immer nur gesagt das macht das gebunden was Markus geschnitten aber wie verhalten sich bei einander und was man gefordert ist das folgende und das mag wenn sie eine man nicht was man jetzt erwarten könnte wäre so und das Distributivgesetz war war nicht billig mit ist aber nicht billig wirken aber nicht wie das ist ein allgemein Verband zu viel immer gleich sondern was Sie hier fordern ist die sogenannte Absorption und das heißt wenn Sie X verbinden mit X geschnitten y wird es weniger als jetzt Distributivgesetz Braumann 2 ständig spielt dann ist das nächsten setzen Sie mal in Gedanken Mengen ein also vereinigt mit ich mit vereinigt mit A geschnitten wenn Sie mit gestehen wir vereinigen eigentlich diesen Teilmenge von abweicht und das gleiche Geld andersrum also nix geschnitten mit IT verbunden mit Y ist ebenfalls X das nennt sich die Absorption Job und das alles wenn sich dann verbannte netzseitig da gesagt wenn sie ein Teilmengen Beziehung also mit geschnitten und Reinigung denken wenn er war damals ein noch Distributivgesetz zu wenn Sie Distributivgesetz haben das geht natürlich oft nennt man sonnverbrannt distributiv also sehr zusätzliche Forderung an den Verband man so sehr es dich Geld nicht 1. beschied gesetzt verbunden mit Y geschnitten mit Z =ist gleich x verbunden mit Y beschnitten X verbunden mit z und andersrum also x geschnitten wird y verbunden mit Z ist X geschnitten mit Y verbunden mit x geschnitten Z das ist die sind die Distributivgesetz wie sie kennen wir setzen sowie der Mengen A B und C 1 dann ist das alles schlüssig dann nennt man den Verband dann heißt es
PIN ein distributiver Verwandten gut aber dass es im Ei also Tagen Allgemeinbegriff eines Verbandes muss das Distributivgesetz nicht gelten sondern nur dieses schwächere Gesetz der Absorption welch gut sich das klar zu machen dass aus der Distributivgesetz Nias als absurd und bald ist es bei Nase müssen halt einfach ich weiß nicht richtigen Buchstaben einsetzten aber die Absorption des schwächer ist ist wirklich Daunderer nicht gesagt Beispiele für Verbände gibt's sein alle möglichen Stellen
in also das eine wär es wenn sie eine Grundmenge X haben wenn können sie sollen verbannen auffassen bei den Krisen verbanden sich die Potenzmenge von externen also alle Teilmengen von X und jetzt auf den also Operation die Vereinigung und den Schnitt also nicht umschneiden spielten die Vereinigung es ist da sicher verwahren sogar distributiver Verband aber um vielleicht noch was ganz anderes hin zu schreiben wenn sich die reellen Zahlen nehmen und es darauf 2 diese beiden Verknüpfungen definieren zwar wie also in die reellen Zahlen und das geschnittene ist das Minimum man 2 Argumenten nur und das verbunden mit ist das Maximum von 2 Elementen ist auch das der Verband also die Operationen sind einfach auf er geschnitten mit über 2. sind beides zweistellige Operation also müssen 2 Elemente schon sich nehmen 3. daraus herstellen und das geschnitten mit nimmt sich das kleine vor den beiden und das Geschäft vereinigt mit dem weil das der Verbund mit in's des größeren ab wenn sie nach Kopfverband raus gut und ein weiteres Beispiel des Verbands aber wahrscheinlich genau und vielleicht den Fluss der Vorlesung oder sonst anfangen Freitag wir und sie werden noch 100 Tausend Verbände sehen in ihrem weiteren Studium Verbände kaum über und überall wieder voran zuordnen es ehrlich gesagt das weitere Programm ist Eigenschaften unseren algebraische Struktur die immer wiederkam als Eigenschaften algebraische Struktur zu sehen und nicht der speziellen Ausgestaltung und das 1. das immer wieder hatten waren so Unterstrukturen also einer Gruppe Untergruppen beim Bergbau Monde Vektorraum genauso sollte sie gemacht aber genauso können Sie unter den Unterkörper Unterverbände begann einfach zum allgemein eingebracht und Algebren definieren das war das eine und in dem Zusammenhang hatten wir dann erzeugte Untergruppe und die lineare Hülle und Vektorraum von den Mengen Vektorraum als Mythenbildung auch das es ein ganz allgemeines Konzept das sie in der Algebra durchziehen können das ist der Abschnitt 2 unter Algebren und Erzeugnisse und das geht eben ganz allgemein müssen sie wird uns Matte 1 viel Arbeit die Sparte wenn wir gleich allgemeine Algebra gemacht hätten dann nur sagen müssen ob es so ist und den und damit das Untergruppen so und Vektorraumes und den und das finden wir unter der so werde von so viel kürzer wahrscheinlich ist dabei nicht immer verstanden dass wir machen so und jetzt also 1. Weste das in der Boden bereitet für die Abstraktion des Partners und brauchen zwar aber die Idee ist die gleiche wie im weh wenn sie sich Gruppen oder unter Vektorräume oder sonst was anschauen wenn algebraische Struktur Samson Algebra und jetzt suchen Sie Teilmengen der Grund also die Grundmenge dazu und sie Teilmengen der Grundmenge die selbst mit gleicher neige gleichen Typs Inselgruppe haben tun sie deine in der Gruppe die selbst auch eine Struktur haben sie Vektorraum haben so sie Teilmengen des Weltraums die selbst weggeräumt unterliegt doch und was dafür das entscheidende ist was ist das entscheidend dafür dass in der Gruppe und Teilmenge von der Gruppe der Untergruppe ist deren dadrauf natürlich und naturgemäß ihre Operation die Operation erben sie von der großen Struktur die Frage ist nur sie müssen sicherstellen dass diese Operation sieht er nicht aus Prag Vision der Struktur muss abgeschlossen sein unter den Operationen wenn sie sich 2 Elemente der und Untergruppen nehmen die verknüpften dann müssen sind Untergruppe bleiben was ist eine Untergruppe und ist die Definition von darunter Algebra wo man sind also eine Algebra haben dann ist das immer noch eine Menge von Elementen und der Menge von Operationen A 11 und des seine eige brav und Typ es Dietmar also wie oben definiert ,komma setzte unter einem Pra das ist mir nun der Algebra braucht wieder der Grundmenge und länger vor Operationen mehrere Operationen von der großen Algebra besinnen Untergruppen der Gruppe suchen dann ändern Sie dabei nicht Operationen übernehmen sie Operation und wo eine kleinere Grundmenge haben also suchen sich in wie es wird Teilmenge von dem glatten A und das muss es eben so beschaffen sein dass die Operation aus aber wenn sie auch Elemente von B anwenden wie man will bleiben du das heißt es Bier muss so sein es jede Operation also für jedes Operation wohl etwas ich will jetzt hier im Folgenden die Abkürzung verwenden Beständigkeit von den 11. wenig ändern aber nun aber dazu er sich nen etwas 11 und Beständigkeit des und für jede solches Operation Symbole muss gelten der inständiges Operation als inständig Operationen das heißeste Wochenende Elemente dieser einsetzen und wenn sie diese Elemente alle aus wie wählen und die in die Nut berühre Kooperation auf einsetzen wo dann darf sie das nicht aus darunter Struktur austragen Inselgruppe haben und der Untergruppe haben wollen dann müssen Sie wenn Sie 2 Gruppen Elemente aus der Untergruppen nehmen dann muss man den 1. Untergruppe rauskommt also das muss wieder in die wir also was hier steht es die Menge des
ist abgeschlossen unter allen Operationen wie sie in ihrer Eile war ausführen können also unter eine Operation extra aus dem Blatt aber wenn man sie das haben dann können Sie folgendes machen dann können Sie eine Algebra wie definieren also geschwungen wie wird als Grundmenge dieses B und das Operationen eine Menge Dinge ich mal FBI was ist das SP das 11 b s weil dies sind genau die Operation auf aber dem B eingeschränkt das ist die Menge aller Operation die auf haben dass sie die einschränken auf B 50 mal von 11 also setzen nur Bier Elemente in diesem in diese Dinge eigentlich mehr allen Elemente aus A und dass man sie für alle Operationen die auf dem befinden sich und dieses Ding das ist jetzt eine Grundmenge mit der Menge von Operationen brauche man beachte jedes dieser eingeschränkten SAS wirklichen Operation auch wie weil eben wenn sie denn den B Elemente zu fressen geben spuckt auch Elemente aus das aber vorausgesetzt egal was sie denn den aus B geben es kommen immer Elemente aus heraus das heißt diese Einschränkung sind wirklich Operation noch weh und dann ist dieses dieses geschwungen B hier nennt sich dann eine unter Algebra von und das ist genau das gleiche wie das beim Vektorraum darum der Gruppen überall gemacht haben soll suche eine Teilmenge der Struktur die selbst die gleiche Struktur des als 2. Teil Definition des alberne praktische Schreibweise nicht definieren die Menge Suppe von A. Thorp wieder englisches hat also wer ist es unter Algebra ist die Menge aller oder wie sich die Menge aller und Algebren sondern die Menge aller Grund nennen alle und Algebra also dieses Tor von A ist die Menge alle be in a oder sehr oft so dass die obere Bedingungen gilt also das P von B und der Algebra von Art am also dieses Besuch von A ist die Menge aller Grund Mengen von unter Algebren von an dass es einfach nur mehr abkürzende Schreibweise wichtig ist wir haben den Begriff der unter Algebra werden und hier als der mehrmals und wenn sich hier zurückkehren was mit Untergruppen dass mitunter recht gemacht ja wir werden unter Vektorraum Kriterien Untergrundgruppen Kriterien und hatten verschiedene Sätze darüber was Untergruppen drohen und einen hatten wir sowohl bei Vektorräumen als auch bei Gruppen und es liegt daran dass er einfach auch ein ganz
allgemeines bin ist auf dem dann eine ganz wichtige Konstruktion los war und das ist folgendes also sie haben eine Art Algebra Grundmenge Operationen 11 hier kommt würden der Stigma und dann ist der 1. Teil der Aussage ist die immer darunter alle gebrauchen egal was ich in der Algebra aber irgendeine ohne eine untergebracht werden sie immer Name dies langweilig aber die gibt dem war nämlich das ganze Ding kann man diese eige bereits und Algebra von sich selbst ist eine banale Aussage aber das Wichtigste meint zu schreien warum na ja wenn sie wenn sie wie die Elemente aus dem in ihre Operation einsetzen kommen natürlich immer eine man raus und wenn es keine Operation das heißt der die Operation sind abgeschlossen aber an das ist aber keine Überraschungen der wichtigen Teil dieses Satzes ist der teilen und das war es was wir eben bei Groupon bewegte Rollen hatten und was mir ganz ganz starke Struktur Aussage und dabei lieber ist wenn sie unter 1 2 und Algebren nehmen und die schneiden also schneiden die Grundmenge und wenn 2 oder Probleme die schneiden wenn sie zur Unterwelt Vektorräume die schneiden kommt immer wieder der unter Algebra raus wenn Sie Sondergruppe schneiden kommen Untergruppe raus wenn sie zur unterlegt aber nicht mehr Einkommen unter wegbekomme aus das gilt ganz allgemein und das gegenüber 2. geht auf für 7 das gilt nicht nur für sie besonders gilt für unendlich viele und das gilt für beliebig unendlich viele das ist ganz allgemeines konnte allgemeine Effekt wenn sie irgend Menge ihr haben die ihnen würde nur die Untergebenen zu teln soll nicht mehr sein es ist ein Index Menge ich kann 2 Elemente seien 7 mir dich bekannt abzählbar sein die keine überabzählbar seien die kann beliebig groß sein der Menge es gab die reellen Zahlen seien und jetzt haben sie für jedes J aus wie eine Grundmenge von einer unter Algebra von also das BJ des Ausdruck von für alle J denn die oder sie haben wenn ne Menge mit der sie indizieren und jeden Index Jordan am sie jetzt unter Algebra an und dann sagt der Satz dann ist der Schnitt über einen dieser Grundmenge von und
Algebren also der Schnitt über J aus wie Georg werde wieder Grundmenge 1 und Algebra also in der Not von Beschnitt von beliebigen und Algebra müsse unter allen das ist sozusagen die verbal Version dieses Satzes zum Mitnehmen und doch weitreichende das Resultat ist so sind ist der weiß was
also Wärme A und B Teil 1 mehr das Erste ist jung wie gesagt ist immer nur unter Algebra von Arten weil unter seine eigene Operation abgeschlossen ist und wer es keine Algebra also ist und Grundmenge vom insofern das war ich nach den wesentlichen und sie sie das sofort an ich jetzt zu horten wichtiges der 2. Teil also Sie haben irgendein Schnitt runter in die Wohnung wollen zeigen dass sie den und Algebra also Sie haben was es tut zeigen die haben den in den Schnee der das IW Art und das ist jz nicht Unmengen von und Algebren wie schneiden sie alle da mag sein dass da nicht viel übrig bleibt der sein aber die entscheiden dass es sie noch für die Buschmänner nicht viel übrig bleibt die entscheidende Aussage ist dieses Ding und das nenn ich mal wie dieses Ding ist immer ne und der Algebra also Grundmenge 1 und Algebra von A und das heißt dass wir zeigen müssen ist dieses Ding ist abgeschlossen und der ein Operation die sie auf ausführen können also unter allen 11 aus bin wie weisen wir das nachher bleibt uns nichts anderes übrig als uns mal Augenoperationen wunderbar zu ich ständigkeit von den den ich mir in dem ich mich jedes Mal wieder von 11 schreiben muss und was man selbst zeigen müssen zeigen wenn sie Elemente aus B 11 einsetzten komm immerhin nennt also die raus also nehme sich in Elemente aus also es is ständig also brauchen sie ein Element aus B sowas gilt dann wenn sie wenn die alle in sind B ist Durchschnitt über alle Bj wenn Element diese ganze Schneiderei überlebt hat dann war sind sie nicht viel von dem des ordentlichen allen auf unser ausgeflogen also was sie daraus Wissen ist alle diese B 1 bis B 1 neben DJ und zwar für alle die Autos lieben wenn Sie eigentlich drin wäre dann wären wir schon mal Beck zur hätte aber jedes bejaht ja nie Grundmenge von und Algebra von aber was heißt das Menge von und Algebra zu sein heißt wenn sie irgendeine Operation auf Elemente von DJ anwenden dann bleiben sie im gelobt das heißt wenn sie geht unser 11 nehmen die ja Version davon und das auf diese Elemente mit 2 1 bis 2 bis ihn anwenden wenn es der sehen wie und zwar für alle J aussenden das bedeutet es gerade das BJ unter Algebra ist gut wenn er jetzt dieser dieses dieser Wert 11 A von B 1 bis B 1 des Ortes für alle hat mehr dann es auch in die bis in jedem BJ damit es auch im Schnitt 1 Million und damit dieser im Wege überdies beschnitt über alle wir ja und das genauso so zeigen mussten müssen zeigen wenn sie irgendwelche B 1 bis B 1 Mundi setzen sie einen ihr in ihrer Operation F dann leiden sehen will oder kann Beweis ist kurz vergleichen sie mit dementsprechenden grob wir bereuen es genau der gleiche aber ist ob Bild weitreichenden das das cooler 2 3 also wir haben die den eige war eine Menge von Elementen und der Menge von Operationen da drauf und jetzt haben Sie da eine Teilmenge X von der Menge an also nicht unbedingt die Grundmenge von Algebra sondern und untergebracht und irdene denken Sie was dran sehen Sie also weg da Raum für irgendwelche Vektoren raus kann was er mir dann an der daran gemacht wenn sie sich einfach ein paar Vektoren rausnehmen denn es ist durch keine oder Vektorraum aber werden dann überlegt sich immer ein kleinstmöglichen unterwegs beraumte die 5 enthält das war die Menge aller ja Kombination dass bei den Jahre wer Gruppen genau das gleiche es geht eine kleinste Untergruppen die eine gegebene Menge enthält das war die sogenannte erzeugte Untergruppe und auch das Essen ganz allgemein Konzept eine algebraische Struktur dieses erzeugen wenn sie eine Teilmenge haben weil was machen Sie jetzt suchen die kleinste unter Algebra DX enthält das ist jetzt das Tier und das ist keine rein abstrakten Stil sondern das ist was was die was man häufig braucht der sie haben wir riesige algebraische Strukturen denken sehr wenn Sie wieder in den formalen einem abstrakten Datentyp und jetzt mit allen möglichen Bewegungen der Variablen mit allen möglichen mit allen Möglichkeiten und wie spezielles Problem brauchen Sie gar nicht so viel wie wie sie das Problem brauchen Sie nur einen gewissen Satz von Bonn wenn du stellen die die angenommen werden können das kommt mir vor aus ähnlichen Gründen da brauchen Sie gar nicht diese diese Struktur sie brauchen uns also dass die kleinstmögliche Struktur die alle vorkommenden Zustände enthält und aber trotz wäre unter den Operation abgeschlossen ist weil sie natürlich daran Fehlermeldung normalerweise rausfliegen man über Masters und der Innovation konsistenten abgeschlossen ist aber kleinstmöglichen alle sind alles entscheidende enthält und das ist genau das was Sie suchen suchen die kleinste und Algebra wie ihre vorgegebene Menge X von gebrauchten zu spenden enthält wie kriegen sie die also erst mal die bezeichnen wir die die Bezeichnung
mit eckigen Klammern x was machen Sie wenn Sie suchen sich mal alle unter Algebra aus die größer sind als X wie sehen Sie die kleinste wie schneiden die alle waren sie dort untergeht schneiden Grinsen Unterhaltung aus ist das schön einen Satz nach oben also was nehmen Sie die schneiden über alle wie dieser das und Algebren von Asien und die das X enthalten kann man sich alle und 3 gewann er die größer sind und aus dem Satz von oben bin sie jetzt ziemlich sofort dass das silberne super super ende unter Algebra ist also wenn diese Menge diese Menge eckige Klammer Ibsen Besame mit den Einschränkungen der Operationen auf diese Menge es immer nur unter Algebra von Aachen wenn man das Cola weil das direkt aus dem Satz droht drüber folgt während also sie wissen dass am unter Algebra von A ist damit ist das einzige was ihnen noch Schwierigkeiten machen könnte also was wir stehen da müssen Schnitte worunter Algebren das ist mitunter über das ist was dem Satz oben unter einer Voraussetzung nämlich dass der Schnitt bitte nicht leer ist ich hab vorausgesetzt Index Ida darf nicht mehr sein der Schnitt ist aber nie leer weil sie haben immer da drin im schlimmsten Fall kriegen sie als kleinste und Algebra Brady X enthält halt doch alles raus weil ich so groß war das natürlich nix mehr gibt nun aber es immer drehen also es die gibt es eine Ehe und Algebra und Mängeln unter Gebrauch auf das X enthält damit ist durchschnittlich leer und dann folgt die Behauptungen aus den Satz Too zu legen ja und
das entscheidende also ich diese Konstruktion ist ganz wichtig wie gesagt die dient dazu wenn da ein Universum auf das nötige zu beschränken und sich nur die Algebra anzugucken ja interessiert weil man normalerweise ebenso ne Menge X hat von denen die wichtig sind und der Rest interessiert einig dann möglichst wenig dazu um ein abgeschlossenes System zu haben und dieses Ding wie eckige Klammer x Krieges noch schöneren Namen das eckige Klammer hält ja also haben 1 war ja eine Teilmenge X von A irgendeine und dann nennt man dieser eine Brade so unter Algebra eckige Klammer x 10 mit dem dazugehörigen Operationen was das ist die erzeugte und Algebra von X oder auch das Erzeugnis und das wenn sich der den Namen des Mehr der erzeugten Untergruppe gegeben haben an also das ist der heute unter eine gebraten oder andere Bezeichnung des Erzeugnisses und Ibsen in an und auf die Weise haben Sie mir Möglichkeit wenn sie mit ihren mit Teilmenge haben die selber keine und Algebra ist und was wir normalerweise passieren wenn sie mit Teilmenge von interessanten Zustände haben stellen sie fest dass mittlerweile dummerweise keine eigene war aber auf die Weise könnte das bin würdig abschließen unterkriegen unter eine brachen wir ist kommen 2
führen und wir merken hat sich auch bei Erzeugnis von Gruppen und meiner Zeit bei den liegen nach D anschauen es dieses X wie das entspricht der kleinsten und Algebra von A allerdings ist die kleinste unter eige war B 11 b von a würde in der dieses X ganz enthalten ist also dass das X in der Grundmenge der eine war ganz den Westen nur begleiten Sie Gruppen Erzeugnis Vergleich lineare dem Vektorraum essen alles unter ein Leben in ihrer Struktur und er an und dann ja damit kann man das bisschen rumspielen verleiten sich 2 Übungsaufgaben aber 1. die Übungsaufgabe 2 6 wie entspricht auch einen Satz den du wohl der Untergruppen Isaac Barrow unterlegt waren gab als er mit den eingebracht hättest gewisse Eigenschaften von diesen Höhn Operator weil haben sind 2 Teilmengen von dem aber XY und dann gelten die folgenden 3 aus sagen was es 1. banal also ist wenn man die bräuchte Kopf hat logischerweise nicht zeigen was X selbst ist immer in seiner erzeugt enthalten wenn man wie die im Kopf hat ist das Erzeugnis die größte seine kleinste sein soll dies enthält dann ist das sollte das bitte so sein aber sehr gut zu zeigen ist es schön wenn es monoton das heißt wenn sie nix haben dass wir zusammenhalten ist wenn es die von x erzeugt Algebra in der Ferne bis war der 2. Algebra einhalten und drittens die hilft nicht nicht unbedingt immer mehr also wenn Sie das Erzeugnis von X bilden oder das Erzeugnis von 2. von X Band und nicht das nächste da sehen Sie einmal soll dann wenn sie noch so oft wie Sie wollen erzeugen passiert nichts mehr dabei das was dahintersteckt ist können Sie es später noch zeigen wenn sie unter Algebra haben ist ihr eigenes erzeugt also wenn Sie unter eige wenn wir nix zufällig schon Grundmenge unter Algebra ist ein versierter erzeugen nix mehr Jo Übungsaufgabe 2 7 brauche ich Ihnen jetzt im Moment nicht hinschreiben die finden Sie ihn dann auch im April Übungsblatt ist noch mal ein Beispiel für den Verband also eher was diese und diese unter Algebren gilt nämlich mit den Verband und das wir unsern mehr zeigen was ich kann an der Stelle an der heute die Veranstaltung beenden und wenn in den Rest am Freitag wie gesagt der Bewertung bisschen Zeit Fragen aber wir erstmal vielen Dank wir müssen Topf 3.
Zahl
Extremwert
Vektorrechnung
Natürliche Zahl
Algebra
Abbildung <Physik>
Gruppoid
Sorte <Logik>
Objekt <Kategorie>
Allgemeine Algebra
Index
Algebraische Struktur
Menge
Stetigkeit
Mathematiker
Punkt
Addition
Folge <Mathematik>
Algebra
Gruppoid
Inverse
Abbildung <Physik>
Element <Mathematik>
Objekt <Kategorie>
Algebraische Struktur
Menge
Stetigkeit
Eigenwert
Existenzsatz
Mathematiker
Axiom
Objekt <Kategorie>
Kommutativgesetz
Menge
Orthogonale Gruppe
Symmetrie
Algebra
Abbildung <Physik>
Gruppoid
Klasse <Mathematik>
Quantifizierung
Biprodukt
Allgemeine lineare Gruppe
Axiom
Geometrie
Addition
Algebraische Struktur
Multiplikation
Distributivgesetz
Ganze Zahl
Algebra
Existenzsatz
Gruppoid
Inverse
Gruppenoperation
Axiom
Addition
Vektorrechnung
Tabelle
Algebra
Abbildung <Physik>
Gruppoid
Vektorraum
Sorte <Logik>
Vektor
Konstante
Strecke
Multiplikation
Algebraische Struktur
Menge
Struktur <Mathematik>
Addition
Punkt
Distributivgesetz
Algebra
Gruppoid
Gruppenoperation
Vektorraum
Sorte <Logik>
Unendlichkeit
Konstante
Multiplikation
Menge
Einfache Algebra
Axiom
Funktion <Mathematik>
Länge
Algebra
Gruppoid
Potenzmenge
Aussage <Mathematik>
Vektorraum
Element <Mathematik>
Untergruppe
Teilmenge
Weg <Topologie>
Multiplikation
Algebraische Struktur
Menge
Verbandstheorie
Schnitt <Mathematik>
Struktur <Mathematik>
Axiom
Teilmenge
Signatur <Mathematik>
Verbandstheorie
Exponent
Distributivgesetz
Schnitt <Mathematik>
Axiom
Parametersystem
Zusammenhang <Mathematik>
Berührung <Mathematik>
Distributivgesetz
Algebra
Gruppoid
Potenzmenge
Maximum
Distributiver Verband
Vektorraum
Element <Mathematik>
Untergruppe
Teilmenge
Algebraische Struktur
Verbandstheorie
Menge
Reelle Zahl
Eigenwert
Minimum
Schnitt <Mathematik>
Teilmenge
Index
Menge
Physikalischer Effekt
Eigenwert
Rollbewegung
Reelle Zahl
Algebra
Gruppoid
Vektorraum
Schnitt <Mathematik>
Untergruppe
Vektorrechnung
Algebra
Gruppoid
Element <Mathematik>
Vektorraum
Untergruppe
Teilmenge
Variable
Algebraische Struktur
Menge
Zustand
Durchschnitt <Mengenlehre>
Schnitt <Mathematik>
Teilmenge
Index
Menge
Algebra
Gruppoid
Zustand
Schnitt <Mathematik>
Grundraum
Untergruppe
Teilmenge
Operator
Momentenproblem
Verbandstheorie
Algebra
Formation <Mathematik>
Vektorraum
Barrow, Isaac
Untergruppe

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Unteralgebren und Erzeugnis
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 26
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/34560
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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