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Totale Ableitung II

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sie haben an der TU Darmstadt schau
gemein herzlich willkommen zu einer weiteren Vorlesungen über das immer die Frage wie kann ich vernünftig der Ableitung einer Funktion in mehreren Variablen definieren und ich hatte ihn am Ende der letzten Vorlesung noch den Begriff der totalen Ableitung hingeklatscht lassen andere Zugang werden partielle Ableitung angeschaut und hatten damit das Problem auf eindimensionale Ableitung zurückgespielt gesehen die können wir gut ausrechnen aber auch gesehen die partiellen Ableitungen allein reichen nicht um irgendwie eine Theorie von differenzierbaren Funktionen hochzuziehen oder irgendwelche einfach nur dass die Funktion partiell ableitbar ist die er keine besonders schönen Eigenschaften und dann kann man natürlich auch keine schönen Sätze beweisen also so wie ist der richtige Begriff der Differenzierbarkeit und das ist der der totalen Differenzierbarkeit beschreibt Erinnerung die Definition zumindest den kurz noch mal an also eine Definition 5 1 und ich auf dem Sohn bisschen an der mal um geknetet und so'n bisschen versucht sich mit der anzufreunden also Wärme Funktionen auf die definiert es Teilmenge von ARD also der Funktion von der den P und der heißt eben total differenzierbar wobei man hat ich auch gesagt das total üblicherweise weglässt was ich Ihnen jetzt zeige ist der Differenzierbarkeit Zwecke aber an einer Stelle x 0 und nun muss natürlich in dieser eingehen muss offen sein letztes Mal hat dies ganz sauber stehen das ist jetzt nur mal für die Wiederholung zur als total differenzieren weil in diesem Punkt wenn es eine lineare Abbildung geht also werden festgestellt die Ableitung einer Funktion von Erdenjahre P ist eine lineare Abbildung im Prinzip ist auch schon wieder eindimensionale seiner Ableitungen linear Abbildung eine lineare Abbildung von nach R und das ist Zahl aber im allgemeinen ist das lineare Abbildungen in diesem Jahr Bildung schreibt man DER von x 0 Differenzial von 11 an der Stelle x 0 die geht auch von eher den nach RP sowie die Funktion f ja und für die muss Bildquelle Definition Differenzierbarkeit auswaerts weil sie nicht mehr 1 7 oder sowas gelten das heißt dieses die 7 Jahre Abbildung muss die besten Jahre Approximationen meine Funktion sein es muss F von X gleich 11 von x 0 Lust diese lineare Abbildungen angewendet auf den Vektor x -minus x 0 gelten wird steht da ist es gleich linearer Approximation dann gibt es den will er den Rest R das muss für alle x hingegen gelten dass diese gleiche es keine mehr wegen der Abbildung wenn sie die Gleichheit in schreiben und das er entsprechend anpassen das entscheidende kommt jetzt diese Approximation durch die lineare Funktion muss es möglich sein und das bedeutet dieser Fehler ist klein wenn sie sich dem mit dem X 1 x 0 werden also der Wähler ist wird wenn sie X gegen 10 Uhr schicken schneller klein als der Abstand von X Text nur das 3. dieser Limes aus das war die Definition und dieses G f von x 0 ist eine totale Ableitung oder einfach die Ableitung von f an der Stelle x solle dazu setzen seine Nachkommen wir und die 1. ist ich habe Ihnen diese Definition wenn man der Definition in Satz 1 7 genommen und überreicht Betrag durch Norm ersetzt also da steht der Limes von er Norm von A von X durch Norm von x 1 x nur ob ich habe deinen Namen hab ich dran geschrieben welcher 2 nahm 1 unendlich Norm DIN Norm und ich hab da keinen dran geschrieben weil die Norm einfach egal ist und das liegt an unserer Erkenntnis das für Konvergenz und Stetigkeit Fragen immer des die Namen irrelevant ist weil alle Normen äquivalent sind und Konvergenz hängt von der Namen also zwar Konvergenz Verhalten von Normen ist selbe wie wenn die beiden äquivalent sind das heißt diese Begriffe hängt von der expliziten Wahl der speziellen war dennoch überhaupt nicht ab und deswegen hab ich das bewusst freigelassen und das ist sehr sehr nicht wenn Sie dann wenn man das so explizit wenn man mal wirklich mehr Funktionen nach Definition
ableiten muss nachweisen muss dieser es geht gegen 0 also erst durch x 1 x 0 geht gegen 0 das man sich die Normen so nennt dass sie gut passt das sie leicht zu berechnen ist dass sie leicht abzuschätzen ist das kann mal die einsam sein Magen endlich Norm dass es höchst selten die 2 enorm er aber wenn die gut passt dann endlich auch die er beachten Sie auch die nach oben und die Norm unten Sinn im Prinzip in verschiedenen Räumen und dass er von X ist in RP und das x 1 x 0 7 erwähne also wenn es sich hier schreiben da alle Normen der D und RP er Kinder lehnt über zur was ich Ihnen wozu ich Ihnen nix gesagt und auch also der Bemerkung nix sagen will ist die Definition ist so eigentlich unvollständig oder zum Definition ist so vollständig aber sie nicht an mich motivieren nicht aber nicht begründet weil ich Ihnen da oben sagt die Ableitung ist dadurch definiert dann sollte man vielleicht auch nachweisen dass wir diese Setzung des diese Ableitung eindeutig bestimmt das hab ich ihn nicht begründet ich als ich werde sich aber sein lassen ich will es mir trotzdem bemerken also die totale Ableitungen eine Funktion ist durch diese Definition eindeutig bestimmen natürlich nur falls es sie gibt also digitale Ableitung des Falles Existenz damit eindeutig bestimmt das heißt es kann passieren dass sie keine lineare Abbildung finden diese Definition erfüllt das die Funktion nicht differenzierbar ist aber sehen Sie finden eine lineare Abbildung wie das erfüllt dann ist die Funktion differenzierbar was nicht passieren kann es sich für 2 verschiedene wie so das geht nicht und dann zeigen wenn eine wenn Sie 2 in der Abbildung haben die Definition gleichzeitig erfüllen sind die beiden gleich aber so oder noch ein Beispiel wir und das ist ,komma steht für ein allgemeines wenn neben den einfaches Beispiel nicht Skalarprodukt mit dem Westen Vektor also neben einer bislang als des 1. es nehme das Standard Skalarprodukt mehr des ab und betrachten folgende Funktionen diese Funktion von RWE nach er sich nach P gleich 1 und F von X ist einfach multipliziere skalar mit Y das Funktionen in der Variablen x 1 bis x G und X dieser weckte X mit der Zahl zugeordnet das Skalarprodukt von y x oder 20. so dass es der Abbildung von RWE nach er das heißt unsere Ableitung wird seine eine lineare Abbildung von RWE nach R denn das Netz bestimmt und da wir noch überhaupt keine Rechenregel haben 7. sowie das Definition anzugucken also was wollen da machen wir wollen diese Funktion f an einer Stelle x 0 Mehr des ableiten was müssen also tun wir müssen unser F von X Line approximieren so sehr von nix schreiben was er von x 0 los lineare Abbildung angewandt auf X -minus x 0 +plus Rest müssen also irgendwo Exner Sixt 0 legt vor allem erstmal F von X 0 Dekreten wie machen wir das also haben F von X 1 das schreiben als er von nächsten Opel nur Approximation bloß fest also darum erstmal F von X 0 was ist er von X er verlegte Skalarprodukt von y mit x was wir eigentlich brauchen ist Skalarprodukt von wird ich das ist Evonik soll nur das ist jetzt das gleich das ist da die wissentlich Käse also müssen das reparieren das ist das gleiche Netz wenn ich hier noch an dir das Skalarprodukt von y x -minus x 0 er können Sie jetzt Genialität das Skalarprodukt ausnutzen denn das kann doch können sie zerlegen Gelabere bislang x +plus e -minus Skalarprodukt und damit x 0 denn wenn sie die beiden Skalarprodukt in 10 x 0 fein raus Mystik Skalarprodukt wird damit x da ist es jetzt in die Gleichheit es sind hier steht s f von x 0 +plus 2 ab jetzt -minus x nur und das schöne es aber doch mit PCIe-Lanes nicht mehr Bildung es gab Punkte ja also die Abbildung ich schreibe nochmal das heißt dass wir hier stehen haben ist schon die gesuchte Zerlegung verbrauchen F von X ist er von x 0 los lineare Abbildung angewandt auf X minus 6 0 +plus Rest und der Rest ist einfach nun ja das ist angenehm warm und dem Rest der konstanten und es ist daher recht leicht zu zeigen dass er 0 geht wenn sie durch Aids müsse zu würdigen also seiner Sommerauer
also am erfahren X ist es von nix 0 was kann aber Produkt von y mit x 1 x 0 ist ist nur die Übernahme von der Seite davor war und jetzt schauen wir uns an die ja Bildung und ja die auch Deck des W abbildet auf y Skalarprodukt mit werden und das darauf diesen ja das liegt einfach daran das Skalarprodukt wenn ja ist ja das war eines Tags oder Skalarprodukt davor ihren am 2. Argument also wenn sie der Stadt dem wenigen ankommen Gattung einsetzen ganz aus ziehen und haben das liegt vielen Jahreis also ist das was da in der 1. Zeile steht könnte es umschreiben als er von der 10 es x 0 +plus li angewandt auf X -minus x 0 los 0 und dieses 0 hier ist das von Excel einsame diese Zerlegung und es gedacht hat es der ICE nur von der Norm er nix er von Existenz jetzt Gallaher genommen 1. Betrag wird den Abstand von x 1 x 0 Na ja dass es in dem es über die 0 bis 0 das heißt nach Definition ist unser 11 differenzierbar er ist total differenzierbare an der Stelle x 0 das ging für jedes x 0 ich und das G f von x 0 ist die Abbildung fiel wir da alle x 0 5 diesem Prinzip das gleiche wie er dies das Multiplizieren mit Y und es ist auch das multipliziert y und das ist ein wenn man sich's dann genau überlegt was dabei passiert gar nicht verwirrend wie funktioniert hatte es an jeder Stelle er also die Ableitung der Funktion f wird es nie ja Bildung ist an jeder Stelle der Funktion f als lineare Abbildung der was da dahinter steckt ist ganz allgemein wenn Sie die lineare Abbildung haben von der den der PIN an wir haben wir die
ist das immer so also die ab will die Ableitung von Fly ist dann immer ist wirkte alle XRD und auch das kennen Sie es ist ein dem was das was heißt das wenn es eindimensional aufschreiben was also ist ein immenser ausschreiben was es lineare Abbildung von R nach R ihrer Bewohner nach er ist eine Funktion der Form am Alex der von X gleich einmal X ist er eine Abmeldung werden Grafen Ursprungs gerade ist das für Sie wenn Sie die Funktion a x nach x nach x ableiten und a raus und ist die 1 Kreuz 1 Matrix wenn Sie so wollen die lineare Abbildung X beschreibt dass das was hier passiert andere Sichtweise der Sache die können sich die lineare Abbildung der immer Weise Basis wählen es wurde wieder zu meinem Matrix vorstellen also f F von X is a x wieder mein AX ab und er aus total intuitiv der Alex abgeleitetes ich geb zu das Wort intuitiv Moment im zusammen mit totaler Ableitung ist vielleicht ein bisschen früh da muss man sich dran gewöhnen und da wir ja immer frei da sozusagen vor dem Mittagessen treffen kann ich Ihnen mal was mitgeben zum beim Mittagessen diskutieren das ist Diskussionsanregung von 5 überlegen Sie mal was von Objekt ist der 2. totale Ableitungen dir also dem einmal drumrum Spintisieren Janice 1. totale Ablehnung definiert wie sehen Sie mal drum rum setzte 2. definieren wollen was ist das überhaupt Zahl Vektor Abbildung von nach von wo nach wo komm interessantes Ergebnis raus und damit haben wir im Prinzip diesen Begriff total Ableitung und ich hab ihm gesagt wir brauchen den bleibe meine partiellen Ableitung allein kein Staat zu machen ist weil wir dabei das würde nur partiell differenzierbare Funktionen werden wir keinen vernünftigen Satz zeigen können n dass die englische Eigenschaft haben wir brauchen total differenzierbar ist seit ich in den 1. denn was schon lange warten Differenzierbarkeit ist stärker als Tätigkeit das ist der Satz 5 6 es war unser 1. Satz oder eine der 1. beiden Differenzierbarkeit denn er wenn die Funktion Fernseher Weise bestätigt also da übliche Setting werde Teilmenge von A D offen vom Konzept die auf die Mehr prägt und von der wissen wer sie sind 1 .punkt ausgehen nix 0 total differenzierter und dann ist die Behauptung wenn Sie nix nur der Tal differenzierbar ist eines jeden .punkt auch steht Besitz vorkommt MacBook zum eindimensionalen Fall und genau so dem eindimensionalen Fall ist die Umkehrung schrieb falsch ja alles G 3 die stetige Funktionen die nicht Differenz sind wenn Sie sozusagen parallel vom eigenen einziehen wollen der parallele Begriff zur zur Ableitbarkeit oder wird über Karl den er ist der total Differenzierbarkeit Mrd das ist der richtige Begriff ist zur und weiß es auch nicht viel mehr als im eindimensionalen die dieses begleichen müssen bezahlt mit der Definition herumschlagen also was wissen wir wir wissen Elvis x 0 total differenzierbaren das heißt wir können unser 11 von X in Indien gehen schreiben in dem es der approximieren x 0 als er von x 0 plus die lineare Abbildung die die Ableitung ist angewandt auf X minus x nur großen wärst wenn die sich seit dem geht der X
ausgehen wie vorhin schon gesagt diese gleichen an sich ist nichts ist Ehre richtig definieren geht das natürlich wie jedes lineare Abbildung des 11. dass er das einfach von nix er von x 0 -minus B von x 0 angewandt auf XP ist wohl der an der Frage ist das dass er schnell genug klein und also wissen zusätzlich weil das Erwin x 0 differenzierbar ist der geht so gegen 0 man den von Erfolg nix durch den Darm von X x 0 der ist nur das ist die Vorausset was deren müsse jetzt Stetigkeit kriegen und wie es einem eindimensionalen war Differenz jeweils deutlich stärker als ich Tätigkeit wir können einiges verschenken was wir brauchen ist gar nicht dass das nahm er wurde jetzt durch diesen x 1 x 0 gegen 0 geht dann lass uns ausreicht ist schon das wissen das damit insbesondere genau wovon er von x gegen 0 gehen der Aussage der Zelle drin ist viel stärker bei der Zahl der 3. haben sie das Berlin dass dieser Limes ist 0 wird man von diesem Grenzwert geht gegen 0 für Expedition war also der der am 3. die Sache nach oben macht die Sache groß und das er von X muss so schnell gegen 0 gehen dass es diesen noch kompensiert das ist das was die Finanzierbarkeit ausmacht was ich jetzt daraus folge ist nur der Erzähler muss dann gegen 0 gehen und dieser Unterschied ist der unterschiedlichen Differenzierbarkeit und Stetigkeit wir sehen Sie das groß wir und wenn der Berg die Norm gegen 0 geht dann haben wir auch insbesondere dass die Funktion selbst gegen 0 geht und das ist das was wir brauchen darüber haben wenn sie diesen Helene Siegs gegen X nur von A von X ist 0 wird er dann sah sich mal die oberste Zeile jetzt nochmal an und machen da man Grenzwert liegt gegen x 0 dann geht es er mal nix gegen 0 ist er von nix Neues konstant bleibt er von x 0 und denen der X -minus x 0 geht gegen 0 bevorstehende lineare Abbildung in der Abbildung sind stetig also geht es gegen die f von x 0 von 0 das ist 0 und es bleibt übrig der Limes nix Gimmicks 0 F von X ist er von X nur und das ist die treiben es hin aber das ist das was dahinter steckt er die kriegen jetzt aus dem Wissen dass das er gegen 0 geht das da oben das wenn sie mit dem X das x 0 annähern das er von nix gegen Evonik sollte also das ganze ganz sauber
also das haben wir haben der von XUL von XSL von x 0 dass die Ableitung an der Stelle x 0 angewandt auf X -minus x 0 bedecken Sie mal die Ableitung gesetzten lineare Abbildung sie hat noch ein das Argument von x 0 damit wir wissen welche Stelle ableiten und an der Stelle x 0 ist der von und lineare Abbildung braucht wie den aber noch ein Argument ist das 2. da X -minus x 0 +plus R von X unterdessen der Limes x gegen x 0 wann er von XPS 0 ja das ist bisherige Erkenntnis so wollen Stetigkeit von Erwin x 0 zeigen das heißt das wir brauchen Erfolge in der die Gegend zu 0 geht also es endlich endlich 1 muss nur sein und was der Stetigkeit brauchen ist zu zeigen dass dann es von einem gegen Evonik soll bei Definition der stetig Kael aber also Schaum müssen uns anschauen was macht er von AN und was wir uns anschauen er von 1 ist in dieser Ausdruck auf der rechten Seite das Erste was argumentieren müssen ist was passiert mit den in der Abbildung um die entscheidende Zutat die wir jetzt brauchen ist das lineare Abbildung immer stetig sehen was hab ich ihn irgendwann mal vor ein paar Wochen als Übungsaufgabe untergejubelt Übungsaufgabe 4 8 7 und das bedeutet Stetigkeit in die Ewigkeit bedeuten der sehr anschaulichen Bedeutung sich Tätigkeit war der dürfen Grenzwerte eine Funktion vorbeizieht also was wir anschauen müssen es der Limes eingehen und endlich die er von x 0 angewandt auf A 1 -minus 6 0 Tätigkeit bedeutet ebenso dass den Grenzwert vorbeiziehen es ist egal ob sie zuerst die Funktion anwenden wie geht es allen und dann den ganzen bilden oder zu 1. Argument den Grenzwert Bilder die Funktion 1 das bedeutet digkeit also können sie den Grenzwert jedes Argument ziehen so war das ist jetzt keine besonders schwerer Grenzwert mehr in das in den wenig 1 x 0 werden ein gegen zur kommentiert das neue also steht hier D F von X nur an der Stelle 0 und jetzt nur so normal in ihrem Wissen lineare Abbildung was letztes Vestberg Rahmen was man ja Bildung 0 die schicken Sie mal nach nur also kommt hier nur 8 Minuten zwar eine der fundamentale Eigenschaften lineare Abbildungen das Nullen auf 0 geschickt wird zur damit den Scheiß schon erledigt also können wir uns jetzt dem zuwenden was wir wirklich machen wollen wir wollen indem es entgegen allen nicht er von einem bestimmen darin dass er den Mut den die wollen nicht eher von einem es ganz oben sieht man sie noch wenn es n gegen unendlich f von x 0 +plus f an der Stelle x 0 angewandt auf ein -minus x 0 das muss er auch von A AN suche Forum mit der Gleichung 1 Felix eingesetzt und alle 3 Einzelteile hier kennen wir haben jetzt bestimmt in
dem es gehen ähnlich er von x 0 sehr von x 0 in dem es nämlich von der einen 2. Summanden von ihren Abbildung habe gesehen ist 0 der Limes von dem er das nur also bleibt er von x 0 übrig und das bedeutet praktisch Tätigkeiten und Sie sehen n aus Differenzierbarkeit freut Stetigkeit das heißt irgendwie ist die Hoffnung und innerhalb dieser Differenziation Begriff wird uns weiter was sie auch gesehen haben und das wird jetzt in nächsten Vorlesung so bleiben die Ableitung ist ihrem Wesen nach eine lineare Abbildung das heißt wir sind mitten in einer in der Analysis wissen mit weil uns mit referenzierbar kalt und Trends zu klagen und der fröhlich gewesen alles was über den Jaray geboren letzten Semester war still vergessen zu können das Trugschluss werden wenn sie dann alles es geht nicht ohne lineare Algebra alles was wir die Abbildung weiß muss man hier wieder aus Boden in daran wenn Abbildungen später den Matrizen zu tun hat warum sage ich Matrizen klar auch das wesentliche Eigenschaft bringen Bildung wenn Sie mir war damals ja Bildung können Sie durch Ihre Darstellungs Matrix beschreiben und dann gesehen dass es ganz wesentlich ist es mit zur Beschreibung von Abbildung du würdest du heilige gezielt zu sagen haben keine Lust mehr uns mit wir Abbildung Abstraktum zuschlagen wollen rechnen wir wollen Ableitung konkret ausrechnen wie er denn mal diese lineare Abbildungen durch über Darstellungs Matrix da untersuchen weil Matrizen zu rechnen ist wer dann werden Sie gleich sehen und schlägt auch den Link zu unsern partiellen Ableitungen von der letzten Woche und was wir machen werden grundsätzlich es wir beschränken uns darauf wirksam werden damals gesehen wir können jetzt deren dann die Freiheit die Basis zu wählen je nachdem welche Basen sie wählen im Ziel 1 am Ausgang kriegen sie wichtige Darstellungs Matrizen werden gesehen dass es manchmal sehr praktisch die Basis zu wechseln weil man in manchen Phasen schönere bald aus Madrid war das in anderen aber hier ist das normalerweise in ist nicht so entscheiden und deswegen nagen wir uns jetzt ein für alle Mal auf die Standard Basis fest dann aber war also zumindest dieses Gebilde Basis wechselt und was Transformation aus dann alles ausgehalten also die grundlegende Idee ist jetzt mit dem was jetzt kommt beschreiben die lineare Abbildungen wie er von x nur wie die Ableitung ist durch die Darstellungs Matrix bezüglich der Standard Basis und die Hoffnung ist natürlich dicht an der Basis ist Dienste der die bricht uns alle die die partiellen Ableitungen gehören wie Richtung der Standard Basen Vektoren ableiten kriegen Sie genau die mit Anleitung raus wir Hoffnung ist dass diese Darstellungs Matrix der Ableitung der total Ableitung was mit den Richtungs Ableitungen Richtung DER Standard Basis also mit den partiellen Ableitung zu tun hat und dass es tatsächlich der Fall und das ist der für das weitere fundamentale Satz 5 7. dieser Satz verknüpft jetzt und sein dies Kapitel mit dem vor Interpreten und sagt ich seine Ableitung hängt mit den partiellen Ableitungen zusammen und zwar genau bei diesen Darstellungs Matrix Zusammenhang ja Moment nee der Somme-vorbereitungen der Wirklichkeit redest deren 8 ok also dafür 7 ist das ist die Herleitung sozusagen ist der 1. Schritt dahin und zwar ist das erst mal liegen eine Richtung wenn Sie die total Ableitung haben bekommen sie Einrichtungs ableiten im 1. Abschnitt über die partielle Ableitung Richtungsanweisungen in alle Richtungen definiert wenn sie jetzt total Ableitung haben wie kommen die können Sie daraus die Richtung Verbreitung bestimmt gut also wir nehmen uns ein totale Fernsehware Funktionär auf noch ne Menge ja es geht von D nach er will wie üblich und ist an einer Stelle x 0 total differenzierbar dann demons uns Errichtung der Einrichtung war legte er die Idee nicht gerade 0 es gibt und die Aussage von
dem Satz sind 2 Dinge das Erste ist total differenzierbar ist stärker als Richtungs differenzierbar das heißt wenn die Funktion total differenzierbar ist dann gibt immer die Richtungs Ableitung also dann existiert die Richtung seiner Leitung in Richtung Frau an der Stelle x 0 und Sie können die auch ausrechnen wenn sie die ja wenn sie die totale Ableitung haben die Richtung sehr Leitung in Richtung war an der Stelle x 0 und das ist zum Glück sehr einfach ist gegeben durch die totale Ableitung an der Stelle x 0 das ist die lineare Abbildung sind lineare Abbildung von Erdinnere P und der geben Sie einfach die Richtung zu essen und wenn sie diese lineare Abbildung die Richtung einsetzen konnten legte er heraus und dieser legte er dies genau die Richtung Verwaltung Richtung zwar warum ist das so weil eben alles richtig zusammenhängt und ich bin Ableitung oder totalen Ableitung 2 Seiten derselben Medaille sind bevor was ausrechnen können bisschen technisches Vorgeplänkel er an der Stelle x 0 Differenzierbarkeit und ich wir sind die Varianzen Quotienten in Richtung V bilden x 0 damit ich das kann muss ich mich demnächst 0 nähern können kein Problem dass dies offen das heißt um x 0 ab ich Platz und wie sie hat sich da hat das nenn ich mal ein bisschen an also das geht es auch um das bedeute um jeden Ball und den gegen die Kugel die ganzen wie das bei Definition von offen in der Sonne Text 0 also eine Kugel also es gibt ne Radius Wasser nur war dass die Kugel und x 0 1 3 der selbst heran es das war diese Notation Index selbst noch von x 0 wie die Bauern in diesen also Comics würde gerade selbst waren das die ganzen geben dort diese das brauchen wir jetzt damit das was ich jetzt Schreiben Sinn macht er es geht nur drum dass ich je 16 11 Einsätze was Sie sich einsetzen war ja so aber die entscheidende Substanz
kommt jetzt wir wissen dass das wenn X 0 total differenzierbar ist was bedeutet das im Moment wissen wir was total Differenzierbarkeit nichts außer der Definition also stopfen wir die Malereien weglegen für jedes Haar das zwischen -minus Erbsen und Epsilon liegt beim nachdem er mit liegt es ist kann eine Kommune selbst wenn hat sich selbst nie damit x 0 +plus an malen Vektor und x 0 -minus ab also Excel +plus H Vektor wie man die wenn es darum geht das heißt ich darf ich's nur +plus haben alle legte einsetzen in Essen es im Bereich des E 10 an also für alle diese H gucke ich mir jetzt natürlich x 0 +plus habe an das ist der Ausdruck der Richtungs Ableitung vorkommen ich das Ableitung ist dieses wegen des Evonik soll durch hart an der Grenze dagegen 0 total Differenzierbarkeit bedeutet ich kann dieses Ding schreiben als er von x 0 bloß die Ableitung an der Stelle x 0 angewandter auf x würde es hat aber war -minus x 0 also Excel Möbius HV -minus x 0 das ist jetzt der in der Definition der Patient der wird eine Ableitung angewandt auf x gleich technics wird ist er aber wirst den 1. an der Stelle x 0 +plus Sarah und dieser 1. denn die übliche beliebig Ines Eigenschaft die kommt gleich erst mal schreiben was das noch kürzer auf dass es eher von x 0 dass die Ableitung von f an der Stelle x 0 angewandt auf den weg der Hamas war nur dass er von x würde das Haar war net wenig die wir wirklich ausnutzen dass wir total Differenzierbarkeit haben Berlin des X gegen x 0 Bonn er von x 0 +plus HV durch X -minus x 0 also x 0 des HV -minus x nur wenn es geht würde geht also wenn x +plus HV gegen x 0 geht er ist 0 aber besteht dieser Grenzwert fürchterlich kompliziert da da kann man verschiedenes vereinfachen wann geht x +plus HV gegen 10 Uhr das geht dann gegen die 0 gilt aus 6 6 0 6 der einziges OS X wird HV gehen soll sie jagen es Hagen 0 sehr eigene dann hier oben steht weiterhin eher von x 0 +plus H war Runden wird 1 X nur auf der Strecke bleiben der HV übrig ist es Hahns Gala das heißt mit der Homogenität der Norm können Sie das da unten raus 10 Uhr dann kriegen Sie das ist der Limes er von x 0 +plus habe war in der Norm durch Betrag von H mein Normform war jetzt können Sie die Namen von Frau 10 war dass ist einfach eine Konstante man von Frau es glücklicherweise nicht nur einen und seltene Tiere Problemen wenn immer sagen bleibt übrig der Liebe sei gegen 0 er von x 0 +plus HV durch H a der Betrag Haare so jetzt den sie noch das Betrag 1 durch Betrag H wieder in die Norm die um das er stillt und dann haben
Sie als durch die Norm von Frau Limes Hagen 0 von der Norm auf von x 0 +plus HV durch H =ist gleich 0 und das bedeutet jetzt das dieser nicht nur den Raum sondern der ganze Bruch gegen 0 geht also das sehr viel es sei gegen 0 bis 0 Tore war das alles gemacht wir wollen die echt Ableitung von f in Richtung ausrechnen an der Stelle x 0 also den Grenzwert den wir eigentlich betrachten wollen wir es lieben Hagen 0 eher von x 0 +plus Hamer V -minus Evonik sowohl durch a bisweilen Definition der Richtungs Ableitungen den von X nur ein kleines Stück Richtung Frau denn wir werden x 0 ab und fallen durch die Geldmenge diese nach Richtung Frau gegangen sind dessen die Differenzen vorziehen so was ist das alles wir werden gehören F von x f von x 0 +plus HV geschrieben als er von x 0 also zerlegt mit der üblichen ab Leitungs Zerlegung und damit kriegen sie eher von 0 +plus HV -minus f von x 0 ist das gleiche wie die Elf von x 0 angewandt auf einmal war muss er von x 0 +plus habe aber durch A und jetzt ausnutzt nutzt oder nutzen
aus dass die Ableitung lineare Abbildung ist wenn ja wenn einsetzt Ableitung an der Stelle als x +plus bei der y ist alles wahr werden es die legst du später werde nicht y was bedeutet skalaren Faktor Haar den können Sie daraus ziehen also da steht oben H e f von x 0 an der Stelle Frau +plus er von x 0 Lust habe Frauen durch aber wird sehen Sie im 1. Summanden kürzlich das H weg wird also die er von x 0 1 Stelle Frauen bricht los der Grenzwert gegen 0 er von x 0 +plus HV durch aber wird vor sich genau der steht noch da genau diese Grenzwerte aber gerade ausgerechnet er war nur der also bleibt übrig das ist DF von x 0 an der Stelle damit haben Werk das das die Richtungs Ableitung es in Richtung drauf von 11 an der Stelle x 0 das war die Behauptung des wird wir sehen also es gibt ein Link das mir total Ableitung und in Richtung Leitungen der S so einfach wie es geht wenn Sie die totale Ableitung haben und Sony die Richtungs Ableitungen Richtung dann setzen sie die Richtung einfach eine lineare Abbildung 1 also die partielle Ableitung suchen dann schauen Sie was ist es der gern Abbildung und dann Datenbasis weg dann haben Sie die Orte verzerrte es ist die eine Richtung aber das ist leider die die für das tägliche Leben nicht viel Hilfe bei was wir jetzt wissen ist wie rechne die partiell aber daraus eine totale haben mehr als andere ausreden wollen es kommt man schon vorher das Problem wie sie ich würde total aus ich über die partielle aus allen aber immerhin 1 die einfach nicht aber hinter uns also wenn Sie da Ableitung irgendwie durch das Orakel von Delphi zugeschickt gekriegt haben wenn Sie auf die Weise bin ich die partielle kriegen und ich will ihn jetzt umgekehrt zeigen wie sie an die totale ankommen die partiellen haben und das ist jetzt der angekündigte Satz 5 8 ja
es also erstmal die üblichen vor Verdächtigen an Voraussetzung wir haben wieder eine offene Teilmenge formell des werden .punkt in dieser offenen Teilmenge und alle Funktionen von Wiener hat und die sei an der Stelle x 0 total differenzierbar was die App Bildungs Matrix der lineare Abbildungen die die Ableitung ist bezüglich der Standard Basis ist und wenn sie die Ableitung smarten vielleicht an der Basis haben wer keine lineare ab also Design diese stellte Tage sie aber da nun das einmal dran ist was schon gesehen er demnächst nur noch partiell differenzierbar angesehen es wird halt differenzierbar ist existiert alle Richtungs Ableitung also insbesondere die Rettungsarbeiten Richtung Koordinatenachsen das heißt die Preisgelder Anleitungen und die Abbildung SmartPad und die Bildungs Matrix der Ableitung bezüglich der Standard Basen damit diese gelernt wenn sie die App Bildungs Matrix angeben müssen Sie ihn mal dazu sammelte jeglicher waren sie wählen also die Abbildung SmartThings 6 diese Linie Abbildung bezüglich der Standard also das ist genau die Jakobiner Madrid also die Matrix wird er als der partiellen Ableitungen und das ist der angekündigte wichtige Link zwischen total Ableitung wie sie Jacobi Matrix ausrechnen wissen sind wir sehen alle partiellen Ableitungen der Hersteller aus treiben Matrix nach dem vorgegebenen Schema und dann haben sie die Jakobiner Tricks was der Satz wird sagt es wenn die totale Ableitung überhaupt existiert das haben sie damit noch nicht geklärt Serben Jacobi Matrix damit wissen Sie ab .punkt Sohnes partiell differenzierbar sowieso nicht dass sie total differenzierbar ist aber wenn sie existiert dann ist der Kopf und ihre Darstellung 2. gefährlichen Steiner was es heißt wenn sie die wenn Sie woher wissen dass Dennis total differenzierbar dann können sie es dann aber ausrechnen indem Sie einfach das nie machen sie Forschung gemacht haben sie sich alle partiellen Ableitung aus schreiben die Matrix in der groben Matrix und haben sie ihre lineare Abbildung bezüglich der Standard Base wenn man sie wie wir sie gern was bräuchte muss man so rechnen aber normalerweise reicht ich dann aber also das ist das was ich sucht aber von Anfang so sagen die partielle Ableitung brauen Sitzen rechnen total aber brauchen sowie die Theorie und das ist der Link zwischen den beiden in der 1. Hälfte Probleme Ciao -minus weisen das ist auch der Vorarbeit gar nicht mehr schwer also erstens dass das das total Valencia partiell differenziert bezieht am Satz 5 7 gesehen habe gesehen alle Richtungs Ableitung existieren sogar das totale sie aber ist also es existieren insbesondere die Richtungs Ableitung bezüglich der in Richtung der Koordinatenachsen aber damit diese partiell differenzierter und das es wert ist doch was wir machen müssen ist müssen die Abbildung ist wir gehen davon aus dass die zuteil wird sie aber es gibt da sie 7 Jahre Abbildung müssen denn ab Matrix bestimmen wer glaubt der Code noch in der Bar in der Bildungs Matrix ich denke coolen würde was Sektor ja also wir bestimmte Bilder Basis Vektoren und den Kurden hat wenn die sagt der Spruch wird sie immer wieder einholen wir brauchen jetzt erst mal die Basis also brauchen NRW und RP Übersicht an der Basis rechnen Sie mal die Idee und BP naheliegenderweise also wenn die Zeit nicht an der Basis immer die aus den Standard Einheitsvektoren E 1 bis in die bestehe also dicht an der Basis das RWE und WP des brauche ich nicht zu den Namen die brauche nicht explizit dass es dicht an der Basis bis er bei Thomas jetzt brauchen es die Krajina an WDR der Base Sektoren also wollen dass man die Bilder Bares Vektoren aber die
Abbildungen die lineare Abbildung dieser anschauen ist die Ableitung von f es der von der des dann ist die Elf von x 0 lineare Abbildung von RWE nach Erbil also wir geben wir mal die Basis Vektoren Mrd zu fressen das er hat und das müssen wir für alle gleich 1 bis B machen und wieso gucken was da rauskommt das was kann wissen wir schon da sah man den in Satz 7 bestimmt Ersatz für das Sehen sagt uns endlich der Dateien Ableitung des Iliad abgebe dann kommt die Richtungs Ableitung in Richtung ihrer 3 aus nicht unsere Haltung und Wege nicht unser Meldungen Richtung EJ gerade die Leute partielle Ableitung ob also enthält je Spalte aber um die Orte Spalte der Abbildung SmartThings enthält also von der Abbildung SmartThings die Abbildung SmartThings hat bezeichnet als e w w w und er von x 0 Uhr das vom gehörte das war die Mutation Abbildung SMA Beziehung der beiden Basen von Lilian Abbildung also der Jahre Spalte von dieser Matrix denn die Koordinaten des Bild das Bild war der J F von X nur dessen Koordinaten bezüglich der Basis PP wir No-Names besonders einfach weil die Idee ist nicht an der Basis das sind die Koordinaten eines Vektors bezüglich der Standard Basis das ist der mit der selber also
die Koordinaten von DJs F von X 0 tendiert F von X nur und das ist die alte Spalte der grob Madrid Alan war die der Spalte unserer App Bildungs Matrix der Standard Basis die er sich bei der Kundin Matrix und damit sind die Jakobiner fix die Darstellungs Matrix unsere Neapel zur 2 Bemerkungen zu die 1. ist eine die oder vielen Sätzen schildern an der Stelle sei besonders an Sie erinnert die Umgebung ist weiß soll heißen wenn Sie Jacobi Matrix ausrechnen können dann heißt das noch lange nicht dass das dennoch Differenz jeweils was versteht es wenn die App wenn ab Bildung also wenn die Funktionen total differenzierbar ist dann ist ja Matrix die Abbildung Smart recht wenn sie von irgendwoher Jacobi Matrix kriegen kann es sein dass die Funktion nur lange nicht differenzierbar ist woran liegt das und sie waren alles was sie brauchen gesehen werden gesehen es gibt partiell differenzierbare Funktion denn ich möchte dich sind wir so Beispiel mich letzt am Dienstag in gezeigt das sie wenn die Funktion würde die partiell differenzierbar ist aber ich möchte dich aber am andererseits gesehen total Differenzierbarkeit indiziert Stetigkeit das passt nicht zusammen also wenn Sie diesen Satz anwenden müssen wollen müssen Sie bis jetzt leider immer noch vor Augen woher als der Welt Bakst Informationen kriegen dass das den Verteidigern Semester weil sonst wissen Sie nicht denn Sie dieser Zusammenhang wird würde ich wurde an die eine Bemerkung und die 2. Bemerkung ist ich weinen an die angedeutet werden hier rein und immer nur mit der Standard Basisarbeit eine Basis wechseln wenn alles ist beginnt die Mittelsteiner Basis ehren und deswegen ist aber sehr mühsam immer sehr genau zwischen den Abbildungen der Matrix zu unterscheiden der normale Analytiker macht das nicht auch wenn sie gemein haben wir lange Zeit nur damit zu tun gehabt hat dann musste sich erst mal mühsame Rindern richtig da war was mit der mehr war also nun muss man aufpassen werden ich hoffe dass es bei Ihnen noch ganz präsent ist dass man aufpassen muss um das lineare Abbildung gleich Matrix nur unter dem Vorbehalt geht dass sie die Basis kriegst haben ich werde mich nicht ganz ich werde Ihnen die Standard analytisch Schild Notation ich der beibringen und zeigen und die lebt davon dass man da nicht aufpasst und dass man die Matrix und die Abbildung down durcheinanderwirft was also noch ein wenig ein eige ,komma verboten weil sie zu gehen es ist gut wenn sie dich dabei klar machen dass sie wissen was sie tun es ist hier deshalb ok wenn man die Basis ein für alle Mal am Anfang des Kapitels des bekleidet hatten und am Anfang des Mate 2 Scripts und deswegen sich eben nicht mehr dauernd um Basis 6. Gedanken machen muss und deswegen wird im Folgenden Kreuz quer durcheinander gehen die Ableitung von f an der Stelle x 0 dass eine lineare Abbildung ist und sobald das Ding existiert die Jakobiner Tricks die eigentlichen Matrix ist ja und der Aperol nach erschienen die unter den Analytiker ist dass mir das leitet und dann sie wissen das ist gefährlich deswegen passt man am besten auf das heißt schon sehr gut auf die Finger dass ich irgendwo macht aber es wird in der alles ist oft unter und durcheinander geworfen das wäre ja auch tun weil nur ganz explizit darauf hinweisen dass jedes Land gute das war so wir haben jetzt partielle Ableitungen wer total Ableitung wir wissen wenn diese dann aber nichts ist dir da angesiedelt die partiellen gegeben das heißt wenn sie existieren können Sie ausrechnen und was uns jetzt noch fehlt ist ein Kriterium an das würde den da sie weiß es kommen das kommt jetzt mit noch so bisschen anderem beibehalten Arbeitsnorm erst man bräuchte in 2. Hälfte einsteigen zu
einen aber jetzt noch wieder Nachfragen kamen normal organisatorisch Ersatztermin für die Übung nächsten Donnerstag also den 2. Juni ist nicht ist der 6. Juni also den Montag eine Woche und ich jetzt schon am Montag oder so was also am 6. Juni ist der Satz den ich für den 2. Juni für alle die das noch Übung haben alle die diesen Freitag Übung haben und Montag machen einfach normal weiter weil ja keine Vertragsprobleme und das Gleiche was jeder normalen Fronleichnam noch da ist Freitag und Montag ganz normal Übungen und die Übung von Fronleichnam was wahrscheinlich irgendwas der würde vielleicht 23. 6. oder so was wird auch darauf den Montag drauf den siebenundzwanzigsten verlegt wie den großen Hörsaal mit allen zusammen unterschreiben wird eine Probeklausur und auch die anderen Gruppen also die freitags und montags groben schreiben dann in diesen zwar das ist das 11. Übungsblatt Probeklausuren also das ist dem und 20. und 26. nun und vom 23. Juni er den Arier Silben von der Ausübung dieser sind Donnerstag abgeben müssen was nicht geht weil ja alles zu die gehen sie am Montag in der Großen ab genau auch da wieder wie schon mal hier gemacht haben wenn ich jeder auf das Blatt den Namen von sich und den Namen von Übungsgruppen leider schreibt dann kriegen Problem wäre es wenn sie uns alle Übungs Allee Übungsblätter von 18 Gruppen Jahren Stabe schmeißen und da steht der Name Gruppe leider nicht drauf dann kriegen wir das nicht datiert also schreiben Sie alle da drauf für wen das ist ja ein also den den Namen vom Tod war dass er das können gut dass es organisatorische dazu Fragen in die geben das Übungsblatt also für alle donnerstags Gruppen gibt den nächsten Montag die große Übung im Ionen in Keller an 0 1 3 7 3 7 1 3 7 dieses Ding bringen Sicherungs der damit er also das ist aber sehr Abgabetermin mich womöglich nur noch je wir so froh wenn wir die 50 Mehr daraus das Wahnsinn war nicht ganz 300 enden können oder was Fragen zur Differenzierbarkeit gutherzige enormes 3. essen wir ja auch langsam langsam sortiert sich alles und wird stören und ich hatte Ihnen als wir bald werden sollen Thema kalt gemacht haben gesagt eine Idee einer Idee die der Patient über 1 Jahr war er praktisch den partiellen Ableitung könnte sein das wären Prinzip alle Richtungs Ableitung uns interessieren aber können die Richtung Osten Standardpaar Sektoren zusammenbauen vielleicht können wir ja auch in jede Richtung sehr breiter Massen Standard aus dem ich doch aus dem partiellen Ableitung zusammenbauen und hat mir ein krasses Beispiel gesehen dass das nicht geht beide Funktionen war partiell differenzierbaren eine goldene Einrichtungen und alle andern Rettungsarbeiten Ableitung gab es gar nicht und jetzt aber gesehen das gleiche Problem Patienten total auf und ich bin jetzt aus dem was wir schon haben zeigen wenn das denn HD-Fernseher ist dass sie das nicht dann kriegen wir tatsächlich das was er will wenn sie eine partielle Ableitung kennen können sie damit problemlos Einrichtungs Ableitung ausrechnen dass das Cola 15 und das ist im Prinzip alles schon passiert es wenn es Corolla übliche sehr denn sie haben Teilmenge gehe von der des Affen deren der Funktion wollen gehen ARD dies in iX 0 ausgehen jetzt kommt wieder die wesentliche Voraussetzung total differenziert war wie gesagt oder totale verlangt die aber brauchen sie keine Sätze machen und jetzt wollen wir alle Richtung so Ableitung ausrechnen aus dem Wissen der partiellen Ableitungen also niemals in Richtung Mehr weg aus Mehr Bilder nicht gerade 0 es so was ist jetzt die Richtungs Ableitung in Richtung war an der Stelle x 0 der den in Satz 5 7 gezeigt die Richtung Verwaltung kriegen Sie indem sie den Sektor Frau in die lineare Abbildung die totale Ablehnung des einsetzten nein also e f von x 0 an der Stelle v ist die 1. Ableitung dabei gerade gesehen wenn es denn da deren ist dann ist die der die der Rat Bildung die Ableitung ist aber der Bildungs Matrix ist der Gewinner trifft alle kriegen Sie den Tresen seiner Richtung fahren den sie kommen Matrix nehmen und die mit dem Vektor v multipliziert das ist der damals gesuchte legen wenn sie alle partiellen Ableitung aber am alle der kommen Arbeitslosen die Konzernleitung wurde 7 Frauen kriegen die Richtungs Ableitung in Richtung brauchen einfach möglicher Zusage Doris lösen sich nacheinander diese ganzen und Dinge auf die über einen partiellen Ableitungen hatten überdachten da vom sammeln gehen aber es gab in den nicht und der andere Sache die sich noch auf löst es sich hatte ihn damals gesagt den gerade den kann man sich ganz anschaulich vorstellen jeder der schon mal Bergwandern war kennt den wer gravierend ist der Vektor denn die Richtung zeigt muss am steilsten Raum geht und seine Länge ist nicht alles ist und dann ich hatte ihm damals gesagt das kann ich Ihnen jetzt aber nicht beweisen und es lag auch da dran das wenn es denn nur partiell differenzierbar ist das auch einfach nicht stimmt wenn es degradieren Ehrengast auch diese anschauen die nur mit der Zahl Differenzierbarkeit aber dann geht weiter dann ist es ich der Zug schnell gemacht also jetzt das ist jetzt die Begründung der Beweis für die Aussage der gerade zeigt in Richtung des dreisten anstellt bei dem Abschnitt hab ich gestern aber noch ein bisschen am Skript drum gefeiert so wie das bisher drin steht ist das zeigen wie gesagt der Seele da gibt es neue Versionen Jahrzehnt ist in die Liste mit aufgenommen und sobald die nächstes kann Version gibt es ja bald fällig ist das korrigiert seien da sich auf was Sie jetzt erzählt es nicht ganz so der sowie das was da stehe also das übliche LG Teilmenge des offen x 0 denn gehen und er wir wollen wenn gravierende reden gerade in Krisen die gleich 1 ist also eher von General er und jetzt brauchen wir die wesentliche Voraussetzung x 0 total differenzierbar und ich hätt gern damit überhaupt von der Richtung des gravierenden sprechen können dass sie nicht hat schon auch mit dem verstehen oder in der tiefsten Senke das Tal ist also wer gravierend sorbische 0 sein nicht 0 sein sonst aber keine Richtung an aber der gerade nicht nur das dann will ich Ihnen zeigen wie jeder andere wenn sie Richtungs Ableitung in andere Richtungen ich niemals den gravierenden Wandel die kleiner also nehmen sie sich dann in Richtung Mehr ARD ohne 0 und schauen uns mal an was ist der Betrag von der Rechnung so Ableitung von Erwin x 0
Richtung V oder was die betragsmäßige Größe dieser Richtungs Ableitung da gerade gesehen dass die total differenzierbar ist dann kommen sie an den Betrag Graz an den 1. Ableitung indem sie die Richtung Frau an Matrix multiplizieren unser 11 Funktion von RWE nach er der Kugel Matrix ist also in dem Falle Zeile und das heißt nicht dass im Falle der werden also wir kommen die Bildungsarbeit und kriegen Sie Produkt der Cube Matrix was da gerade mit dem Vektor v Jacobi Matrix ist und sein Leiter der Länge des also jeder der diese Talente der Länge des dass faulsten Vektor Spalten legte der Länge des das passt zusammen was bei steht in diesen Skalarprodukt können Sie das auch sehen es ist Matrix Produkt aber das ist nur weckt aber legte das Teil rauskommt ist das gleiche wie der Standard Skalarprodukt von gerade den er von x 0 wenn Sie es ganz genau nehmen sie es transponieren es sich bei der es mit der Harmonie ins Stil gar Produktes das Gleiche wie die Matrixmultiplikation von mir das ist erst wissen als greift die Matrix des 2. Vektors in die Kreuz 1 Matrix online Scrolls 1 Matrix aus also bezahlen warum das sei Skalarprodukt doch das ist dann so wie es lieber wir müssen uns wieder die lineare Algebra erinnern ist Betrag von Skalarprodukt denken Sie abschätzen das war die sogenannte chorische schwarz Ungleichung wieder große schwarze Ungleichungen kriegen Sie dieser Betrag Skalarprodukt desto kleiner als das Produkt der Normen also enorm von gerade in der 2 enorm malgenommen von fallender zweimal am und und das war der 2. Teil von Der große schwarz und Beinen das ist der den wir hier brauchen und diese Ungleichung ist strict man die beiden Vektoren linear unabhängig sind und das gleich kriegen Sie nur dann wie kriegen gleich in diese Ungleichung genau daran wenn die beiden sich nie abhängig sind also wenn der Vektor n der Geranien und war immer abhängt da was steht jetzt da das kleine ist ich sehe Sie schon sehen Sie schon an der Darstellung nicht unser ist ja kommen nach sechsmal war aber wenn sie denn die Richtung die Richtungsanweisungen Richtung haben den sie das Richtung die doppelte Richtung da haben Sie auch die Richtungs Ableitungen stellen Sie sich nur Richtung mit länger 1 2 oder sowas was jetzt ringen sie Richtung mit Länge 1 nehmen der die Norm von Frau wir kriegen sie die Richtung Ableitung von f Richtung betragsmäßig immer kleiner gleich also der größtmögliche Wert den sie kriegen können ist warum gravierend 11 und werden Sie und gleich kriegen sie nur dann wenn die beiden ja aber nicht also wenn die Frau also gegen den Maximalwert vor für alle anderen Frau ist das denn nicht kleiner als bei maximal wird aber den Maximalwert übertragen zulässig größte Richtungs Ableitungen kriegen Sie wenn die beiden weniger abhängig seien also ich bin da sehr sich größte Richtungs Ableitung kriegen Sie in Richtung was heißt linear abhängig entweder muss Frau ein Vielfaches von gravierenden sein positives Vielfaches also auch gleich den oder Frau muss das negative Seiten nur das Gleiche Na wenig heißt die Gruppe die gleiche Richtung wurde die Kugel die mit 3 wichtigen tu ich aber harte der gerade hier zeigt in die Richtung dass steilsten Anstiegs wir was passiert denn wenn das Frauen in die Gegenrichtung vom gravierenden zeigt also so was ist
jetzt nur was ist jetzt Richtungs Ableitung in dem Falle die Richtung so Ableitung ist dann der gerade von 11 mal dass Frauen das Frau ist jetzt im Plus oder Minus Graden von 11 nachdem und die beiden die gleiche Richtung oder in unterschieden also hier treibt gegenüberliegende Richtung zeigen und das es jeweils plus oder minus er der Moment da und Mehr Plus oder Minus der gravierend von 11 von x 0 bei der gerade jenen von von x 0 Rat oder miteinander was ist das Skalarprodukt von Vektor mit sich selber das ist der Bahn Quadraten Zeiss die kriegen jetzt die Richtung seiner in Richtung Aarau ist hat das Vorzeichen halten muss die das Vorzeichen wenn auch Titel in die gleiche Richtung zeigte der gravierenden und ein negatives Vorzeichen wenn Frau in die Gegenrichtung zeige den maximalen wir kriegen Sie also wenn Frauen die gleiche Richtung zeigt mittelgradige sozusagen den minimalen Wert den allerkleinsten wir kriegen Sie wenn das Frau genau gegenüber zeige in beiden Fällen liefert Ihnen natürlich die Abschätzung oben gleich weiter mit Ratschläge also größte Richtungs Ableitungen aber wir die Richtung gerade hier in der Koalition dass das was ich damals sagte der Lentia gehen in die Richtung des steilsten Anstiegs und das geht eben nur wenn das Ding total differenzierbar ist zur uns damals waren die beiden Begriffe wir ne ganze Menge Zusammenhänge wir können partielle Ableitung ausrechnen wenn das Ding total differenzierbar ist wissen wir da totale Ableitung =ist gleich der Jacobi Matrix die Frage ist nur wie sie das Ding wenn sie weiß gab es noch fehlt handhabbares
Kriterium für total Differenzierbarkeit allgemein haben natürlich ein System Definition aber wie immer wer wirklich will Definition Differenzierbarkeit Nachrichten der würden gerne ein Kriterium haben wenn wir die totale Ableitung brauchen müssen wir die partiellen ausrechnen kann weil die Karte über die Patientin mit der Bildungs Matrix ich würde gern diesen Gazellen Ableitung ansehen ob die vernünftig sein ob Sonne wird differenzierbaren Funktion gehören auch die zumindest in die Gefahr tragen nicht vernünftig zu sein also zwar zu existieren aber die Funktion ist halt leider nicht differenzieren und ich kann Ihnen also die schlechte Nachricht ist ein absolut Allgemeines genau dann wenn Kriterium gibt sich also wenn ihn jemand Jacobi Matrix vor den Latz knallt das wenig ob ansehen ob die dazugehörige also nur dann haben Sie die Möglichkeit der anzusehen ob die zugehörige Funktion totale Ferenc jeweils wenn Sie das denn nicht ansehen mit den Kriterien des jetzt kommt dann wissen sie allerdings auch nichts können trotzdem sein die keine genau dann wenn ich da nur wenigen Bedingungen in den reiche Bedingungen ehren da ,komma nicht vorweg die geht einfach nicht dass genau dann wenn aber die gute Nachricht ist diese im OP hinreichende Bedingung ist für alle als Hartfelder absolut ich und er dann das Mittel der Wahl und funktioniert gut so und das ist der Satz 5 12 ich also der Dividende vom Chip und Mängel Regen Aldehyd offen is war Pril und wir wissen diese nix 0 partiell differenzierbare und die Frage ist man sich in diesem Fall sehr differenziert war sie hätten gern daran dass sie jetzt folgen können das das Wintertage Ferenc Tiere und so wie es jetzt dasteht ist aus den schon mehrfach genannten Gründen Käse das bei der sie Vagheit freut mich total aber und das ist das Schöne wenn sie die partiellen Ableitung ausrechnen und sie kriegen raus dass das Ding stetig Mathilde können sie weiter also das die Funktion ist auf der ganzen Umgebung von x 0 partiell differenzieren und die partiellen Ableitungen demnächst 0 stetig dann ist demnächst nur noch total das als wenn sie jetzt wenn ihn jemand Lederkugel Matrix vor den Latz knallt und ist guck mal dass das nicht geht ist dass mit der totale ganz Überfunktion wundern dass die Yoko Matrix ist dann schauen Sie sich an ob der Kurde Matrix stetig von x 0 abhängt wenn sie das tut dann wissen Sie ok das bin ich total differenzieren wenn es nicht tätig ist dann ist nix man denke ist kann man auch Glück haben aber damals nicht aber wenn wir ihnen wenn sie der Klausur uns wurden und Funktion kriegen dann was die da drin das den Brüno drin Sinus Kosinus wir Funktion der meistens sehr schnell dass das bestätigt dass wir in Minnesota mit der realen Welt Funktion zu tun kriegen dann ist das im Normalfall bestätigen Tätigkeit ZielDifferenzierbare Funktion dann kriegen sie total fremd sierbarkeit geschickt ich will mir nicht beweisen ich meinen jetzt hier nochmal drunter zur einer für den Überblick habe er es ganz viele verschiedene Begriffe nanziell differenziere Wahlsonntage Ferenc Geweih stetig ich dann seine Leitung und da gibt's ganz viele Zusammenhänge die man uns einmal geschaut mit also das wir gerade gesehen haben ist und das ist das wesentliche Kriterium der Funktion stetig partiell differenzierbar ist das sollten sich auf jeden Fall merken dann ist sie total differenzierbarer ne wir haben gesehen man was einfach ist es wenn sich die partielle wird sie aber ist dann ist natürlich partiell differenzierbar und das ist einfach ab weil dann haben wir noch gesehen total differenzierbar impliziert stetig aber was nicht geht ist der freie von partiell differenzierender stetig hab auch gesehen wir also muss man aufpassen aber total differenzierbar über indiziert steht nicht mit und dann hat man auch gesehen total differenzierbar implizit partiell differenzierbar das hat mir Umweg gesehen was was vorhin auch noch aufnehmen wir haben eigentlich gezeigt dass alle Richtungs Ableitung existieren es total differenzierbar ist dann können Sie die Richtungs dann existieren Einrichtungs erweiterten und Sie können Richtungs Ableitung aus ausreichen wenn sie die Richtung in die ableiten einsetzen also hier das war der Satz 5 7 und als erzählen sie alle daher wenig das Ableitungen gehört nicht an der Basis Vektoren Richtung ist jenes ist natürlich weniger als die Richtungs Ableitung alle existiert dort das ist alles so zurzeit 1 Zusammenfassung der letzten 2 Stock also diese Begriffe sollten Sie kennen und diese Zusammenhänge sollten Sie kennen nur da also zusammenge sie Stetigkeit Differenzierbarkeit und Patienten Differenzierbarkeit und wichtig ist auch noch oder warum dieses Geld auch noch so gut ist es wir sehen er ja das ist es also die Frage ist auch ,komma hier inzwischen partiell differenzierbar stetig weiter geben sie über die Umkehrung gehen um in ein schön wär's das kann natürlich dann ich weiß wir sein aber es muss nicht wir hatten genug Beispiele also weinen hat bei dem in Beispiel den Satz von schwarzer Emerson denn wir hatten ja sogar wir ja sogar partiell differenzierbaren sonnig bei stetig wir wenn sich die 1. Zeile angucken aus die Patienten vorstellt also da kann der bekanntlich gelten sie sogar noch die Stimme und das ist eine der Stärken dieses Bildes ist es gut dass im Kopf zu haben wir sehen nämlich hier nicht nur was also gilt sondern sie sehen auch hier was nicht gilt aber es gibt in diesem Bild keine weiteren Teile also alle Umkehrungen sind falsch an das wenn dieses Bild dabei haben Mollenkopf Kopf Arme und Zettel haben dann wissen Sie nicht nur was alles gilt das ist was alles nicht gehe wann immer Sie wollen oder irgendwo nur kommen wenn sie einen Teil umdrehen ist das falsch Na also was natürlich als Teil 1 zeigt bezeichnen dabei wäre aus stetig partiell differenzierbar freut stetig aber das kriegen sie über die Transitivität hier selber hin was die Patienten voll total aber daraus wird stetig an und so können sie natürlich aber so Tage waren sie war war partielle fallen sie über aber jeder wegen diesem Diagramm der einmal bergauf führt ist falsch das heißt dieses der gaben fast in eigentlich alle zusammenge zusammen sobald sie einen Weg finden der bei geht hier also immer den Rhein entlang ist außergerichtlich und wenn sie einmal gegen einen Weile Land für müssen so falsche wer sich damit noch weitere Traummann kann es eine gute Gelegenheit also sie für Fall für die Umkehrung Gegenbeispiel zu führen manche sind schon das manche noch nicht manche geben sich aus denen es könne aber dann hat man sich denn dann hat man das die Zusammenhänge gut verstanden wenn man für jeden dieser Teile weiß woran denn sowie dieser ich weil ein Beispiel im Kopf hat warum das nicht geht so was aber jetzt ja nur 3 Differenzierbarkeit der partielle Differenzierbarkeit werden sehen die beiden sind enge Brüder beweisbar sehr differenziert ist es auf und der beizutragen und sehr Weise partielle waren aber und wenn es denn ich weiß ja Differenz jeweils das ist sowieso das Gleiche die beiden und die totale Ableitung ist die Dieter ist gegeben durch die partiellen und insofern müssen wir auch wenn wir total Ableitung ausrechnen wollen nichts Neues lernen total Ableitung ausrechnen heißt im Normalfall debattieren ausrechnen und das als Normalfall wie das aus erkennen was aus der Schule kennen hat nichts leisten zu und trotzdem bin ich in eine Witwerrente Nations Regel nochmal explizit den schreibt das ist nicht neu dass die Kettenregel
aber die geltende Regel ist sehr gut in der der ganze Matrizen zu haben war mit der Kettenregel wunderbar Matrizenrechnung kann dann wenn sie dazu sagen jedes Mal wenn sie die total aber ausrechnen wollen über die partiellen und über die er zu gehen ist das Unmenge Ableitung ausrechnen sensibel auf Bildung von der 5. 7 haben und sie wollte so Taler Ableitung haben dann sind das 35 passiert aber doch das ist Arbeit macht und wenn es weggeht Verkettung wenn die Abbildung der Verkettung ist kann man sich viel Arbeit sparen weil die Ketten regeln kann man direkt den Matrixraum formulieren und das schöne ist man muss sich da nicht viel Neues merken weil sie genau so aus wenn im eindimensional damals richtig interpretiert also was war die Kettenregel sie an 2 Funktionen wie man eingesetzt werden und wollen das die Verknüpfung ableiten das heißt wir brauchen 3 Funktionen der 3 verschiedenen Mengen definiert sind die HRB beide offen damit wir differenzieren können wir Funktion die die von General G der Funktion f die von Hahn nach er Rolle es brauche ich noch 9 Buchstaben nachher Kuge und wir wollen dass das li an einer Stelle x 0 in gehen total differenzierbar ist und dass er dann an der Stelle geht von x 0 1 damit kann es nach G x 0 total differenzierbar ist alle so die beiden seien an den jeweiligen wurden total differenzierbarer aber da wie bei der Kettenregel folgt daraus dass auch die Komposition total differenzierbar ist also zu uns an die Funktion f nach wie vor ist vernünftig definiert weil das gebe nach habe und dass er das Verfahren definierte und ich damit ist dass es nach der 1. Funktion von General Q ist dann Deniz 0 total differenzierbaren das ist wie bei der Kettenregel sowas kommt es bei der Kettenregel sie können die Ableitung von f
nach ausrechnen also Sie können die doch da der Ableitung von f nach wie an der Stelle x 0 ausrechnen wie äußere aber und Funktion an der inneren Funktion hat eine Ableitung der inneren Funktion das 1. mal sehr weh lineare Abbildungen mal ist die Verkettung also indem sie leicht in die äußere Funktion ab und setzen sie in ihrer Funktion ein und Verkehr in der es mit der Ableitung der inneren Funktion das ist jetzt die sich als lineare Abbildungen das auch als Sichtweise n Jacobi Matrix schreiben also das Sichtweise aus Matrix Sichtweise also die Jakobiner Matrix von 11 nachgehen ist der Bits 0 ist was ist der groben Matrix von allen an der Stelle die von x 0 Mahalia kommen Matrix von G 1 Stück zu 0 und wir sehen das alles passt zusammen mir ist der verketten von Abbildung war das Produkt der zugehörigen betsen kann was in unseren stets sind jeweils die Abbildung Smart Ritzen den der Abbildung oben drüber und die beim Eltern übersetzt Schienenprodukt ob man auch sieht ab die Dimensionen passen alle zusammen also erst nach dieser Funktion von R nach einer Kuh also ist die Ableitung die lineare Abbildung von RWE nach Kuh dazu gehört eine App Bildungs Matrix die Kreuz des ist das Elvis Nachbildung von RWE nach RP im Zuge einer Bildungs Matrix jedes L ist von R je nach Akku also dass die die Ableitung in der Abbildung von Apple nach Kuh dazu gehört eine QC als SPD Matrix und das geht jetzt von RWE nach P zu würde die Kreuz der Matrix sie sehen alle unsere Regeln für Matrixmultiplikation passen wie die Faust aufs Auge Mirko grollt spielen wieder gekreuzt The Matrix multipliziert gibt Nico Kreuz gemacht passt alles zusammen und die Bahn sie nichts Neues merken weil die generelle sieht genauso aus wie eine Dimension also Funktion ableiten innerer einsetzen mal innere Funktion ableiten man muss nur er jetzt als Ableitung halt dir ,komma fixe werden ich und an der Stelle auch nochmal wenn sie 10 Bücher schauen oder wahrscheinlich sogar bei mir Skript Doris letztlich ist vollkommen richtig in der 1. Zeile steht die lineare Abbildung f Sichtweise des F nach D ist die Verkettung der in Abbildung 1 2 einseitig den zu geringen Abbildung Matrizen gemalt .punkt und sie werden Sieg und 30 Bücher und wahrscheinlich auch und dem Skript denn das da steht die von 11 nach ist 11 mal die was soll bitte schön die wohl plikation von 2 lineare Abbildung sein das ist natürlich Verkettung ungemein beziehungsweise Moment wird dass die er hat mit seiner Bildungs Matrix identifiziert dass das was ich vorhin sagte die Analyse unterscheidet nicht zwischen ihren Abbildung oder Matrix was für jeden Algebraiker sozusagen oder jeden Menschen der aus Berlin Jan Algebra kommt ein also dass wir der größte Grundregel ist denn überhaupt die denn der richtigen begannen wir dass wir bis jetzt hier mal wieder sauber getrennt aufgeschrieben aber in beiden Teilen der mischen sich in der Wahrnehmung also das GF unter Siad el den weil sie sicher sind dass das Zeug total differenzierbar ist die nun über Ende gut dass die Kette legen wird uns noch mehrfach begegnen und wichtiges mitzunehmen sie sind komplexe aus aber sie ist es nicht sie ist genau das gleiche wenn er also in sich denn Erde unterschreiben dann ist das allen nachgehen ich an der Stelle x 0 =ist gleich f strich gewonnen die von x 0 mal die Strich von x 0 und spricht Teil Jr und die Striche lockt ist ob die mit stellt genau das dar was es wird am Ende vor aber zum Beispiel bei der
Kettenregel oder setzen wir ziehen das ist vorlesungsfrei stehe ich Ihnen unseren 1. hab ich das auf den Begriff passt sie es genau ankommt könnte man es ohne diese neuen begrifflich schnell ausrechnen entschuldige ich mich gleich dafür wir werden noch an Stellen die keine Regel durchaus zu schätzen lernen in dem Fall ist es jetzt eben akademisches Beispiel der aber wenn ich ihn jetzt irgendwie wie sie ihn etwas konstruiert aber wo man sieht dass es wirklich angenehmer ist wir einige Zeit abgelaufen also was wir da machen müssen 2 Funktionen verkehrten wenn wir sozusagen ein fast möglichen Fehler in der Funktion f von 1 2 1 1 er von XY indem wir eine von der die partiellen Ableitungen schon mal ausgerechnet haben x auf 3 y +plus X auch y R und dann zwar noch diesen Seiten und was sie jetzt gerne hätte es aber folgende Bilder und sie nehmen das ernst und setzen jetzt als XY ganz speziell ein T Quadrate hoch 3 also das EEG setzen sich des Quadrats und selbst dann setzen Sie die hoch 3 an das ist jetzt der Funktion Bewunderung denn eine Variable nämlich das des und ihre Bilder sind auch wieder das ist der Funktion von R nach R 1 und ich hätte es gerne eine Ableitung und jetzt man diesem Problem weil in Mainz kann ich da klammern drum und strich schreiben oder sowas aber strich ist in mehreren Variablen immer schlechter weil ja keiner weiß auf welche variabel bezieht diese -minus wir sehen Notation sich eingebürgert hat das so genannte totale Differenzial in 8 GT mit glatten die im Unterschied zur partiellen Ableitung dieses geschwungene die er also als Kommentar als ich eine Programmiersprache macht und Kommentaren in Klammern also ist tipps Kommentar ist denn nach den Ziel mit einer man totales different Al und das ist in dem Moment überhaupt nicht wer ist sondern das bedeutet die normale eindimensionale Ableitung der Ausdrucks nach der Variablen die gibt und das ist deswegen aber häufig praktisch weil man eben Ausdrücke hat mit 37 Buchstaben drin wo man nicht weiß wo Luftwirbel Strich schreibt weiß keiner in Buchstabe Zicken verstrich zur Ruhe also Kommentar Ende obwohl noch eine Verlängerung des Kommentars man beachte den Unterschied zur partiellen Ableitung er den nach des Exilort leitet nicht nach der Variablen x J aber doch in gewisser Weise schon aber leitet nach der Koordinaten x Sirup auf und nicht nach der Variablen das ist der Unterschied also wenn Sie F von X hinschreiben und schreiben jetzt x 1 x 2 x 3 also wenn sie schreiben er kam er von x 1 x 2 x 3 und sie schreiben jetzt x 3 aus Unna Jux und Dollerei deren dann ändern Sie dadurch die partielle Ableitung nach der 3. Koordinaten dich nur dass wir jetzt die Stadt X 3 schreibt ändert dann aber nichts wenn sich da demnächst 13 schreiben und ist total Differenzial angucken dann ändert sich das das ist der Untertitel gut ist hier meine Seiten Bemerkung was uns interessiert in dem Moment ließ aber was Definition einführen will nach DDR und war auch 3 in dem Sinne als wenn sie das 1. Radio 3 einsetzen man sie zuvor schon von einer eher und gewürdigt ableiten wie mache ich das mit der Kettenregel das ist Verkettung von 11 mit der Funktion und diese Funktion nicht G wie geht von er zwar er nach R 2 und von des ist der Vektor C-Quadrat hoch 3 dann ist das was mich interessiert also das totale
Differenzial von 11 von Quadrat to 3 ist dann war es das ist dann nachgehen Drillich von T es nach dies genau die Bildung erfahren die Garantie auf 3 1. wieder ein Buch damit als kann strich schreiben ohne Sitz keine Regeln was ist die Ableitung von dem von der Pakete und Ableitung der 1. Funktion an der 2. multipliziert mit der Ableitung der 2. oder ja also wie den Sie die oben also ich denn jetzt Matrizen das damals vom Sinn macht das ist was ist die Ableitung von f dass es in dem Fall gerade von Elke weil es geht von der 2. und das GG dann der Gruppe Matrix so ist brauchen wir die beiden Dinger was ist der Gruppe Matrix von G das ist nicht arg schwer der Quadrate hoch 3 nach der beiden des Kriminellen der Quadrat nach der Pleite des 2. und auch 3 abgeleitet macht es Draytek wahrer was ist da gerade in von 11 in Gallien von 11 eine Stelle XY der hatten würden an meinem Beispiel 4 14 ausgerechnet aber das sieht man auch so schnell es 3 x Quadrat y +plus Rübsen an X auch 3 plus x rülpst über eine und jetzt dann die Kettenlänge drauf
werfen also ob man das obige einsetzen man dachte XY ist jetzt die von des Na also die Quadrate auch 3 Mehr dachte Boa XY setzen wir die von 10 also Quadrate auf 3 und dann kriegen wir die nach den TE 11 von The Quadrate auf 3 das was ausrechnen wollten ist er gravierend an der Stelle C-Quadrat jedoch 3 oh jetzt muss ich rechnen also das ist dreimal x Quadrat X ist die Quadrat also ist das 3 to 4 weiter auf 3 +plus e auch y also ihr auch der hoch 3 und die 2. Komponente ist die noch 3 also die auch 6 lustig Quadrat auch die auch 3 zwar das ist Worten das ist gerade von vorgegeben und will jetzt muss nur mit der Cogema will von dem modifizieren also mit 2. g Tag war er tot aber dann Skalarprodukt stehen das kann man jetzt ausrechnen dass es 3 to Themen 1 ist 8 +plus 2 cm hoch die hoch 3 was 3 die Kommunen immer 2. Komponente 3 T Hochachtung Los 3 to 4 er auch der hoch 3 gut wird es noch zusammenfassen 6. die Woche 8 -minus 2 TL Los 3 to 4 er auch to 3 ist das gleiche wie es da steht ja wunderbar wir dann dann muss man fragt abhandengekommen ist jetzt dran was nur zweimal 3 6 ok war er er also wir sehen im Prinzip lassen für Matrixmultiplikation raus da die Kettenregel ja schon gesagt dass ein konkretes Beispiel weil sie den Sinn den Fall natürlich besser beraten sind wenn sich das G und setzen dass es eine Krise vom voraus leiten die ab aber im Prinzip ist das dass sie die die Matrizen die zu den einzelnen Abbildungen gehören als Ableitungen nehmen in einer multiplizieren dann kriegen Sie das die der Verkettung aus gut wir sind jetzt schon 2 Minuten war kein langes Gequatsche mehr sondern gut Appetit Schönes Wochenende und bis nächste Woche Partner
Approximationstheorie
Punkt
Differenzierbare Funktion
Abbildung <Physik>
Differenzierbarkeit
Partielle Differentiation
Norm <Mathematik>
Vektor
Zahl
Lineare Abbildung
Teilmenge
Differential
Variable
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Partielle Ableitung
Lineare Funktion
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Lineare Abbildung
Multiplikation
Variable
Skalarprodukt
Betrag <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Zerlegung <Mathematik>
Norm <Mathematik>
Vektor
Ableitung <Topologie>
Zahl
Funktion <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Differenzierbare Funktion
Abbildung <Physik>
Differenzierbarkeit
Partielle Differentiation
Stetige Funktion
Vektor
Zahl
Teilmenge
Lineare Abbildung
Stetigkeit
Ableitbarkeit
Umkehrung <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Darstellung <Mathematik>
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Total <Mathematik>
Momentenproblem
Summand
Differentiation <Mathematik>
Richtung
Lineare Abbildung
Stetigkeit
Stützpunkt <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Analysis
Verschlingung
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Differenzierbarkeit
Partielle Differentiation
Gleichung
Null
Herleitung
Menge
Lineare Algebra
Partielle Ableitung
Grenzwertberechnung
Radius
Momentenproblem
Quotient
Differenzierbarkeit
Vektor
Richtung
Konstante
Lineare Abbildung
Strecke
Index
Kugel
Betrag <Mathematik>
Rundung
Haar-Integral
Varianz
Ableitung <Topologie>
Lineare Abbildung
Faktorisierung
Verschlingung
Summand
Abbildung <Physik>
Partielle Ableitung
Zerlegung <Mathematik>
Skalarfeld
Ableitung <Topologie>
Grenzwertberechnung
Richtung
Matrizenmultiplikation
Verschlingung
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Partielle Differentiation
Linie
Richtung
Teilmenge
Lineare Abbildung
Wiener-Hopf-Gleichung
Partielle Ableitung
Stützpunkt <Mathematik>
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Länge
Matrizenmultiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Stab
Differenzierbare Funktion
Abbildung <Physik>
Differenzierbarkeit
Partielle Differentiation
Vektor
Zahl
Richtung
Teilmenge
Lineare Abbildung
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Partielle Ableitung
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Vektorrechnung
Biprodukt
Norm <Mathematik>
Vektor
Richtung
Quadrat
Skalarprodukt
Ungleichung
Kugel
Menge
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Partielle Ableitung
Lineare Algebra
Koalition
Abschätzung
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Matrizenrechnung
Matrix <Mathematik>
Total <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Vektorrechnung
Transitivität
Differenzierbare Funktion
Abbildung <Physik>
Differenzierbarkeit
Partielle Differentiation
Richtung
Gegenbeispiel
Mittelungsverfahren
Diagramm
Stetigkeit
Kettenregel
Reelle Zahl
Umkehrung <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Matrix <Mathematik>
Zugbeanspruchung
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Algebra
Abbildung <Physik>
Partielle Differentiation
Vektor
Ausdruck <Logik>
Sinusfunktion
Lineare Abbildung
Quadrat
Differential
Variable
Kettenregel
Partielle Ableitung
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Skalarprodukt
Differential
Matrix <Mathematik>
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Kettenregel
Abbildung <Physik>
Ableitung <Topologie>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Totale Ableitung II
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 13
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/34558
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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