Präsentiert von OpenLearnWare, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann mal einen schönen guten Morgen und herzlich willkommen heute zur Vorlesung. Ich habe Ihnen mal die Seite mitgebracht vom eLearning Center.

Die eine oder andere werden Sie schon gefunden haben. Also das ist TU Darmstadt und dann auf eLearning. Und da finden Sie, jetzt können Sie an verschiedenen Stellen gehen, hier bei OpenLearnWare, Lernmaterial finden und dann in der Mathematik die Aufzeichnung zur Wartezeit für Impf.

Die ist seit gestern oder so online. Ja, können Sie mal reinschauen. Zu wiederholen, zu nachschauen, das ist jetzt alles da.

Dann wollte ich noch mal organisatorisch kurz mich dazu äußern zu den ersten Feiertagen, die jetzt kommen. Also bei SdnK Freitag diese Woche, da finden definitiv keine Übungen statt.

Und es sind nur drei Gruppen und deswegen ist unsere Bitte, diese drei Gruppen fallen schlicht aus, aber Sie sollen natürlich Ihre Übungen haben und deswegen verteilen Sie sich bitte möglichst gleichmäßig auf die Donnerstagtermine. Das sind irgendwie gute 80 Leute auf 18 Gruppen, das sollte pro Gruppe nur vier Leute mehr sein, das müsste gehen.

Also die K-Freitagsleute mögen sich bitte irgendwie homöopathisch auf die anderen Gruppen verteilen. Was Sie dann brauchen, ist eine Möglichkeit, Ihr Übungsblatt abzugeben. Und unsere Überlegung dazu ist, Abgabe für die K-Freitagsleute des Übungsblattes ist am nächsten Dienstag hier in der Vorlesung.

Also kommen Sie mit dem Ding frisch von Ostern zurück und schmeißen es mir hier auf den Tisch. Und wir geben es dann den Tutoren und hoffen, dass das noch rechtzeitig klappt, dass Sie dann am Freitag die korrigierten Versionen kriegen. Das ist der Freitag und dann haben wir gleich den Ostermontag.

Und die Montagsgruppen profitieren jetzt davon, dass sie so früh angefangen haben, die setzen einfach eine Woche aus. Also die nächste Montagsübung ist am 2. Mai und da machen Sie dann das dritte Blatt. Also der Montag war bisher im Vorlauf zu den anderen Gruppen und ist ab jetzt im Nachlauf zu den anderen Gruppen.

Sodass wir immer Donnerstag, Freitag, Montag einen Übungsblatt behandeln. Das müssen wir irgendwann wieder rausholen, das werden wir in der allerletzten Woche des Demesters machen. Gut, das zum organisatorischen. Dann wieder zu stetigen Funktionen.

Ich hatte Ihnen letztes Mal zwei wesentliche Eigenschaften stetiger Funktionen gezeigt. Zum einen den Zwischenwertsatz, zum anderen den Satz bis Minimum und Maximum. Und bei dem war ich mit dem Beispiel noch dabei und wollte ihn dann auch noch beweisen.

Also schreibe ich den Satz nochmal hin. Das war der Satz 726. Da haben wir betrachtet eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge.

Also wir brauchen als Definitionsbereich eine kompakte Teilmenge von R. Die soll nicht leer sein. Und haben eine Funktion von K nach R, die stetig ist. Das können wir kurz durchschreiben. F ist ein C von K, also eine stetige Funktion auf dem Kompaktum K.

Und dann war der Satz. Die Funktion nimmt ihr Minimum und Maximum an. Also es existieren X-Undenstern und X-Obenstern-Punkte in K. Sodass der Funktionswert an der Stelle X-Undenstern kleiner gleich ist als alle möglichen Funktionswerte F von X.

Und die sind wieder kleiner gleich als der Funktionswert X-Obenstern. Das gilt eben für alle X in K. Also alle Funktionswerte liegen zwischen dem an der Stelle X-Undenstern und dem an der Stelle X-Obenstern. Und das bedeutet insbesondere, dass F beschränkt ist.

Wir werden nachher, wenn wir den Beweis machen sehen, wir machen es genau umgekehrt. Wir zeigen zuerst, dass F beschränkt ist und ziehen daraus die andere Aussage. Aber ich habe vorangegangen, bevor wir den beweisen, schauen wir uns, wollte ich Ihnen drei Beispiele zeigen. Unter der Überschrift Voraussetzungen sind wichtig.

Das ist das Beispiel 727. Und ich hatte Ihnen letztes Mal schon diese seltsame Funktion hier vorgeführt. Auf dem Internet einliniert.

Und zwar einfach als die Funktion F von X. Aber an den Stellen 0 und 1 war sie auf ein Halb gesetzt. Dann hatten wir gesehen, die Funktion ist auf einer kompakten Menge definiert, auf dem abgeschlossenen Teil 0,1. Aber sie hat kein Minimum und kein Maximum.

Sie nimmt den Minimalwert 0 und den Maximalwert 1 nicht an. Und dass der Satz schief geht, liegt daran, dass die Funktion nicht stetig ist. In dem Moment, wo Sie sie wieder stetig machen, das heißt in 0,0 setzen und in 1,1 gilt der Satz.

Dann haben Sie an der Stelle 0 die Minimalstelle und an der Stelle 1 die Maximalstelle. So, das war das Beispiel A. Jetzt lassen wir die nächste Voraussetzung weg. Jetzt nehmen wir eine stetige Funktion, aber auf einer Menge, die nicht kompakt ist, weil sie nicht abgeschlossen ist. Also als K nehmen wir jetzt die Menge 0,1 ohne die 0.

Und als Funktion nehmen wir eine Funktion, die darauf wunderbar stetig ist, die Funktion 1 durch X. Warum ist die da drauf stetig? Die Funktion f von X gleich 1 ist als konstante Funktion stetig. Die Funktion f von X gleich X ist ein Monom, haben wir gesehen, ist stetig.

Und wenn Sie jetzt ein Quotienten von zwei stetigen Funktionen haben, wobei die nennen, die 0 wird, was sie hier nicht tut, dann ist das eben auch wieder stetig. Also wissen wir, dass das eine stetige Funktion ist auf dieser Menge 0,1, aber f ist nicht beschränkt.

Also der Satz geht auch hier schief. Der Grenzwert für X gegen 0 ist unendlich.

Den hatten wir irgendwann mal im Grenzwertkapitel angeschaut. Also der Limit von X gegen 0 von rechts, von dieser Funktion, der ist unendlich. Und was hier schief geht, ist, wie schon gerade gesagt, das K ist nicht abgeschlossen und damit nicht kompakt und damit ist eine der Voraussetzungen vom Satz nicht erfüllt.

Nur das können Sie auch nicht einfach reparieren, indem Sie die 0 dazu packen, weil Sie dann keine stetige Funktion mehr hinkriegen. Und jetzt können wir als letztes eine stetige Funktion auf eine abgeschlossene Menge nehmen, die nicht beschränkt ist.

Also wir nehmen als K ganz R, das ist keine kompakte Menge, weil sie nicht beschränkt ist, aber sie ist abgeschlossen. Und als Funktion können Sie so ziemlich alles nehmen. Was nicht beschränkt ist, nehmen wir E hoch X für X in R, dann ist das wieder eine stetige Funktion auf ganz R, aber die ist nicht beschränkt.

Das heißt, der Satz gilt auch hier nicht und das liegt eben daran, dass das K eine nicht beschränkte Menge ist.

Also Sie sehen, jede einzelne Voraussetzung dieses Satzes ist wichtig und keine wurde umsonst dazu geschrieben. So und jetzt, das waren die Beispiele, an denen man das sieht.

Und es ist auch immer gut, wenn Sie irgendwo einen Satz kriegen, wenn Ihnen jemand einen Satz erzählt. Ist das eine gute Methode, um so einen Satz zu verstehen? Nehmen Sie sich den Satz her, schmeißen Sie eine Voraussetzung weg und konstruieren Sie ein Gegenbeispiel. Dann nehmen Sie die nächste Voraussetzung weg und konstruieren Sie ein Gegenbeispiel. Auf diese Weise sieht man nämlich, warum der Satz tut und warum er eben nicht tut, wenn man eine Voraussetzung weglässt.

Also um einen Satz zu verstehen, ist das eine ganz gute Methodik. So, was ich noch machen wollte, versprochen habe, ist Ihnen das zu beweisen und dabei sehen wir nochmal,

wie eben alle drei Voraussetzungen, Stetigkeit, Beschränktheit und Abgeschlossenheit der Menge und Stetigkeit der Funktion eingeht. Also wir beweisen jetzt den 726 über die Existenz von Maximum und Minimum auf eine kompakte Menge für eine stetige Funktion. Also wir geben uns eine kompakte Menge vor, die bitte nicht leer ist, Teilmenge R und eine Funktion, die darauf stetig ist.

Und jetzt müssen wir beweisen, dass die Minimum Maximum annimmt und damit beschränkt ist. Also wie gesagt, wir machen es andersrum. Wir wissen zuerst mal, dass das Ding beschränkt ist.

Also der Schritt ist beschränkt. Und wie machen wir das? Wir machen einen Widerspruchsbeweis, Beweis durch Kontraposition. Wir nehmen an, dass F ist nicht beschränkt. So, dann müssen wir nicht beschränkt irgendwie ausschlachten.

Das heißt, wir müssen die Aussage beschränkt negieren. Schreibe ich also erst nochmal hin, was heißt beschränkt. Zum Negieren ist immer gut, alles in Quartur zu beschreiben.

Beschränktheit heißt, es gibt eine Konstante größer gleich 0, sodass für alle x im Definitionsbereich die Funktionswerte im Betrag kleiner gleich c sind. Das ist Beschränktheit. Also können wir das negieren. Was heißt es dann nicht beschränkt zu sein?

Dann können wir ganz formal herunterhauen. Jede Existenzquantor wird ein Allquantor. Also für jedes c größer gleich 0 gibt es ein x in K, sodass das f von x größer ist als das c im Betrag.

Das ist die formale Negation. Für jede Konstante, und das ist auch irgendwie eine anschauliche Aussage, jeder versucht die Funktion einzukasteln, geht schief. Irgendeinen Ausreißer gibt es immer.

So, jetzt spezialisieren wir. Wir nehmen nicht jedes c größer gleich 0, brauchen wir gar nicht. Wir nehmen nur alle natürlichen Zahlen. Damit greifen wir alles bis unendlich ab. Also, wenn Sie als c ein n nehmen, also für jedes n aus n, gibt es für jedes n aus n einen zugehörigen x-Wert,

den nenne ich mal a n, also ein a n aus K, sodass der Betrag von f von a n größer ist als n.

Das ist jetzt für c n eingesetzt und das zugehörige x a n getauft. So, auf die Weise uns eine Folge in K verschafft. Das ist die Folge der Ausreißer. a n ist immer der Punkt auf der x-Achse, für den f von a n größer als n ist.

Jetzt haben wir eine Folge in K, und K ist eine kompakte Menge. Und da hatten wir einen Satz über Folgen auf kompakten Mengen, der jetzt seine volle Stärke entfaltet.

Das ist der Satz von Bolzano Weierstrass. Jetzt muss man ein bisschen im Gedächtnis kramen. Was war Bolzano Weierstrass? Der hat gesagt, wann immer Sie irgendeine Folge in einer kompakten Menge haben, muss die nicht konvergieren, das wäre zu viel verlangt, aber sie hat immer irgendeine konvergente Teilfolge.

Ich habe damals gesagt, anschaulich bedeutet das, wenn Sie in einer kompakten Menge unendlich viele Punkte verteilen wollen, dann können Sie das nicht so machen, dass die alle einzeln liegen. Die müssen sich irgendwo häufen. In einer kompakten Menge ist nicht genug Platz für unendlich viele Punkte, die Abstand voneinander haben.

Irgendwo müssen sich Ihre Punkte häufen. Das war der Satz von Bolzano Weierstrass, der also sagt, diese Folge a n hat irgendeine konvergente Teilfolge. Also sie hat einen Häufungswert, so kann man es auch sagen. Und diese konvergente Teilfolge, den nenne ich mal, der üblich übers Mehrfach hatten, a n k.

Also hier ist jetzt k die Laufvariable, k aus n. Also das Ding hat eine konvergente Teilfolge und wenn diese Teilfolge konvergent ist,

also x0 ist der Grenzwert abgeschlossen. Was heißt abgeschlossen? Abgeschlossen heißt, jeder Grenzwert einer Folge in k liegt wieder in k, also ist das x0 selber auch in k.

Jetzt haben wir die Kompaktheit von k schon mehrfach ausgeschlachtet für die Existenz der konvergenten Teilfolge und um zu wissen, dass das x0 wieder in k liegt. Und das Einzige, was wir jetzt so nicht verwendet haben, ist, dass f stetig ist, das kommt jetzt.

Was nutzt uns das, dass f stetig ist? f ist stetig auf k, also insbesondere stetig in x0. Und was bedeutet f stetig in x0? Das heißt, wenn Sie eine Folge haben, die gegen x0 konvergiert, konvergiert die Bildfolge, konvergiert f von dieser Folge, gegen f von x0.

Wir haben eine Folge, die gegen x0 konvergiert, nämlich die Folge a n k. Unter Folge a n k wissen wir, die konvergiert gegen x0. Also sagt uns die Stetigkeit, wenn wir jetzt das f auf die Folge a n k anwenden,

dann muss das auch konvergieren, und zwar gegen f von x0. So, und jetzt müssen wir uns daraus irgendwie einen Widerspruch basteln. Die Annahme war, f ist nicht beschränkt. Und aus der Annahme, f ist nicht beschränkt, haben wir jetzt diese Folge und diese Grenzwerte aussagen,

damit wir wissen, a n k konvergiert. Das kriegen wir aus der Stetigkeit

und Konvergenz ist insbesondere beschränkt halt. Also wissen wir, die Folge f von a n k, also die Folge f, also die Folge, die Bildfolge von unserer konvergenten Teilfolge a n k, ist eine beschränkte Folge. Und das ist jetzt ein Widerspruch.

Warum ist das ein Widerspruch? Sie sollten sich überlegen oder erinnern, wie wir die Folge a n gebildet haben. Die Folge a n war genau so gemacht, dass f von a n immer größer als n ist. Also ist insbesondere f von a n k im Betrag immer größer als n k.

Für alle k aus n. Passt nicht mehr ganz. So, jetzt haben Sie eine Folge, die beschränkt ist,

und gleichzeitig bestimmt noch unendlich divergiert. Das kann nicht stimmen. Da ist unser Widerspruch. Also war die Annahme falsch, von der wir gestartet sind. Die Annahme war, dass f nicht beschränkt ist, also ist f beschränkt. Das ist der erste Schritt von dem Beweis.

Wir haben also gezeigt, die Funktion muss beschränkt sein. Und daraus können wir jetzt im zweiten Schritt die Existenz vom Maximum und Minimum ausziehen. Das ist noch nicht selbstverständlich.

Im ersten Moment hört sich das so an, wenn das Ding beschränkt ist, dann muss es irgendwo maximal und irgendwo minimal werden. Nein, muss es nicht. Denken Sie an das erste Beispiel von gerade eben. Diese Funktion, die f von x gleich x war und die 0 und 1 waren sie in halb. Die ist beschränkt. Kein Funktionswert ist größer als 5.

Aber das Bild hat eben weder Maximum noch Minimum. Es gibt keinen Punkt, an dem die Funktion am größten ist. Je näher Sie da eins kommen, desto größer wird sie. Aber es gibt nicht den Punkt, wo sie am größten ist. Und das war die Aussage des Satzes. Die Aussage des Satzes war, es gibt den Punkt, da meinen wir auf 5, aber es gibt mindestens einen, an dem die Funktion am größten ist.

Und das müssen wir hier noch nachweisen. Und ich weise es Ihnen nur für den x-Obenstern nach. Der x-Unternstern geht genauso. Also das ist der zweite Schritt von dem Beweis. Die Existenz vom x-Obenstern. Und wie gesagt, x-Unternstern geht dann genauso.

Wenn Sie es vervollständigen wollen, einfach entlang von dem, was ich Ihnen jetzt vorführe, genauso nochmal überlegen. So, der Startpunkt ist natürlich, dass unsere Funktion beschränkt. Was wir im ersten Schritt gezeigt haben.

Damit kriegen wir, wie gerade gesagt, nicht, die Funktion ist beschränkt, das heißt, das Bild ist beschränkt, also die Menge f von k ist eine beschränkte Menge. Und damit kriegen wir nicht sofort die Existenz von Maximum und Minimum. Aber zumindest, weil wir freundlicherweise in R sind, Existenz von Supremum und Infimum.

Das ist das Vollständigkeitsaktion. Ganz in der Mottenkiste gewühlt. Das Vollständigkeitsaktion war das, was uns garantiert hat, dass in R keine Löcher mehr sind. Und das sagt, jede beschränkte Menge hat ein Supremum und ein Infimum.

Also das Vollständigkeitsaktion sagt, das Supremum f von k, das existiert mal zumindest. Und wenn Sie an das Beispiel von vorhin denken, an die Funktion f von x gleich x mit einem halbernden Rändern, hat die keine Maximalstelle, aber ein Supremum existiert.

Das f von k ist das offene, ist dabei 0,1. Das Supremum ist 1. Das wird nur nicht angenommen. So, und was wir jetzt zeigen müssen, ist eben genau, es wird angenommen. Also es gibt dieses Supremum des Bildes. Und was wir noch zeigen müssen, ist, das Supremum vom Bild liegt im Bild.

Dieses x Obenstern in k, sodass f von x Obenstern gleich s ist. S ist der Kandidat fürs Maximum. Wenn das Maximum existiert, ist es S. Und jetzt muss man zeigen, dass es auch im Bild drin liegt. Dass es einen x Obenstern gibt in k, sodass f von x Obenstern gleich s ist.

Und jetzt kommt ein Trick, den man in so einer Situation anwendet. S ist das Supremum, also die kleinste obere Schranke der Menge f von k. Was war das Supremum? Das Supremum war die kleinste obere Schranke einer Menge.

Und wenn S die kleinste obere Schranke ist, dann ist jede kleinere Zahl ganz sicher keine obere Schranke. Sonst wäre es nicht die kleinste. Also, wann immer Sie n aus n nehmen, und die Zahl S minus 1 durch n anschauen, ist die kleiner als S. Und damit ganz sicher keine obere Schranke von f von k.

Es war die kleinste. Eine kleinere kann es nicht geben. Damit ist jede kleinere Zahl keine obere Schranke. So, was heißt das?

Es ist keine obere Schranke von f von k. Das heißt, irgendwo zwischen S minus 1 durch n und S muss ein Element von f von k geben. Es muss irgendein Element von f von k geben, das größer ist als dieses S minus 1 durch n, weil sonst wäre es hier eine obere Schranke.

Also, gibt es für jedes n aus n Stern, kriegen Sie also ein y n in f von k, das größer ist als S minus 1 durch n.

Wenn es kein y in f von k gäbe, das größer ist als S minus 1 durch n, wäre S minus 1 durch n eine obere Schranke. Das kann es nicht sein. Also, und was wir auch wissen, jedes Element von f von k ist einer gleich S,

weil S ist eine obere Schranke. Also finden Sie für jedes n ein y n, das zwischen S minus 1 durch n und S liegt. So, und jetzt können Sie daraus zwei Dinge ziehen. Erste ist eine einfache Anwendung vom Sandwich Theorem.

Wir haben auf die Weise eine Folge y n gewonnen. Was passiert, wenn Sie jetzt für diese Folge y n gegen und endlich gehen lassen? S minus 1 durch n geht gegen S. Die Folge konstant S geht gegen S. Also, nach dem Sandwich Theorem geht auch y n gegen S.

Die haben wir da eingequetscht. Und das Zweite ist, das y n ist jeweils ein Element von f von k. Also, für jedes n in n Stern finden Sie ein Urbild von dem y n. Gibt es ein x n in k, wo das f von x n gleich y n ist?

So, auf die Weise haben wir eine Folge x n, die wieder eine Folge in k ist. x n ist die Urbildfolge von unserer Folge y n.

Und das y n, das wurde eingequetscht zwischen S minus 1 durch n und S. Da war die Sache mit der Konvergenz einfach. Die x n sind jetzt irgendwelche Urbilder von den y n. Die liegen irgendwo in k, aber mehr wissen wir nicht. Die können kreuz und quer hüpfen. Aber das Schöne ist eben, k ist eine kompakte Menge.

Und egal wie stark die hüpfen können, eine Teilfolge muss konvergieren. Bolzano-Weierstraße, Zweiten. Also, Bolzano-Weierstraße hilft uns noch einmal.

Diese Folge x n ist eine Folge in k, k ist kompakt. Das x n hat eine konvergente Teilfolge. Und die nennen wir wieder x n k. Jetzt ist also wieder k die Laufvariable.

Und damit haben wir die Sache fast erledigt. Weil auf die Weise können wir uns jetzt einen Kandidaten für unsere x oben Stern verschaffen. Und wie kriegen wir den?

Wir haben x n k eine Folge in k konvergiert. Also hat das Ding einen Grenzwert. Und diesen Grenzwert nennen wir x oben Stern. Der wird es tun. Also das ist der Limits k gegen unendlich x n k. Man beachtet, der liegt in k. Weil x n k eine Folge in k ist, die konvergiert und k kompakt und damit abgeschlossen ist.

So und damit sind wir durch, weil jetzt kommt die Stetigkeit von f. Und die übersetzt uns wieder die Konvergenz von x n k in eine Konvergenz von f von x n k.

Also was sagt Stetigkeit von f? Wenn sie in das f eine Folge einsetzen, die gegen einen Grenzwert konvergiert. Also in dem Fall x n k konvergiert gegen x Stern.

Dann konvergieren die Bilder der Folge gegen das Bild des Grenzwertes. Also gegen f von x Stern. Das ist Stetigkeit. Was war f von x n k? f von x n k ist y n k.

Jetzt haben wir da den Limits k gegen unendlich von y n k stehen. Die ganze Folge y n konvergiert gegen s. Das steht noch da, erster Punkt.

Limits y n für n gegen unendliches s. Jetzt gucken wir uns die Teilfolge einer konvergenten Folge an. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent und konvergiert gegen den gleichen Grenzwert. Also kommt hier s raus. Und wenn Sie jetzt die Gleichung so um die Kurve lesen, steht da s ist gleich f von x oben Stern.

Und das war zu zeigen. Damit sind wir fertig. Das war ein langes Stück, ich weiß, ich gebe es zu. Aber es ist ein Beweis, in dem so ziemlich alles zusammenkommt, was wir so in den letzten drei Wochen gemacht haben.

Deswegen denke ich, ist ja ganz instruktiv anzuschauen. Schauen Sie sich einfach nochmal in Ruhe an. Und gucken Sie sich damit auch dann einfach die Begriffe an, die dann nochmal auftauchen.

Teilfolge, Folge, Häufungswert, Polzarierstraße usw. Damit will ich es erstmal mit Stetigkeit gut sein lassen, zumindest in einer Variablen. Der Begriff verfolgt uns weiter.

Und das Problem anschneiden, dass Funktionen in einer Variablen Funktion von R nach R was Schönes sind. Aber nicht alles auf der Welt. Weil eine Funktion von R nach R modelliert ihren Zusammenhang, wo eine Größe eine andere beeinflusst.

Aber normalerweise ist die Welt und mehrere Größen beeinflussen eine Ausgangsgröße. Das heißt, normalerweise werden irgendwelche Funktionalen Parameter von mehreren Variablen abhängen. Also ich bin sicher, jeder von Ihnen hat schon mal eine Funktion programmiert, die mehr als einen Eingangsparameter hat. Und insofern müssen wir uns damit beschäftigen.

Das passiert, wenn so eine Funktion mehr als einen Eingangsparameter hat. Und das erste Ziel ist, den Begriff der Stetigkeit auf solche Funktionen zu verallgemeinern. Das ist § 8, Stetigkeit von Funktionen in mehreren Variablen.

Und diese Funktionen in mehreren Variablen tauchen hier zum ersten Mal auf. Und deswegen will ich kurz was dazu sagen, wie man sich die Dinger vorstellen kann.

Weil es ist ja immer gut, mit dem Bild im Kopf an sowas ranzugehen. Eine Funktion von R nach R stellt man sich gemeinnahm besten über den Graphen vor. Da haben wir auch schon ein paar hingemalt. Das sollte man mit einer Funktion von mehreren Variablen auch tun.

Das Problem ist natürlich, wenn Sie eine Funktion von drei Eingangsparametern, die fünf Teilen ausspuckt haben, dann brauchen Sie, um deren Graph darzustellen, drei plus fünf, also acht Dimensionen. Damit sind wir gemeinhin überfordert. Was wir können, sind drei Dimensionen.

Das heißt, was Sie hinkriegen, sind Funktionen von R2 nach R oder Funktionen von R nach R2. Mehr geht nicht. Aber für die Vorstellung reicht das eigentlich. Wenn Sie wirklich ein gutes, anschauliches Gefühl für eine Funktion von R2 nach R haben,

dann sind Funktionen von R37 nach R auch nicht viel komplizierter. Und ich möchte deshalb dafür werben, so eine gewisse Vorstellung für Funktionen von R2 nach R zu kriegen. Und wie kann man sich die am besten vorstellen? Ich habe Ihnen einfach mal ein paar Bilder mitgebracht.

Die Funktionen selber sind ziemlich egal. Das ist jetzt die Funktion f ist x² plus y². Und wie man sich das am besten vorstellt, ist, Sie legen die beiden Eingangsvariablen in die Grundebene, zeichnen den Funktionswert auf die Z-Achse,

und was dann rauskommt, ist über jedem Punkt eine gewisse Höhe. Die Höhe über den Punkt 3,5 ist der Funktionswert an der Stelle 3,5. Und solange die Funktion nichts absolut Wirres ist, kommt dann so eine Fläche im Raum raus als Graph oder wenn das halt, also sehr gut ist, das Bild wirklich über Höhe zu denken

und zu sagen, eine Funktion von R2 nach R ist sowas wie ein Gebirge, wie eine Landschaft. Über jeden Punkt haben Sie eine Höhe. Und die Funktion gibt Ihnen sozusagen die Topographie der Landschaft raus und Sie sehen sozusagen, wie Sie laufen müssen, wenn Sie möglichst wenige Steigungen

oder möglichst viel Steigungen oder möglichst weit rauf oder möglichst weit runter durch diese Landschaft gehen wollen. Also, das ist die hier. Noch eine andere, die Funktion x mal y.

Das könnte man vielleicht als verwegende Architekt, als Dach konstruieren, das Ding. Sie sehen, es ist immer eine Höhenverteilung über eine Ebene, so ein Graph. Ein bisschen was Wilderes, wo man auch mal ein paar Hügel und Täler sieht. Das ist Sinus von x mal y.

Es ist immer eine Höhenverteilung über eine Ebene. Und womit wir uns natürlich noch beschäftigen werden, sehen Sie hier schon, sind so Fragen auch in diesem Zusammenhang, wie komme ich ans Minimum und Maximum von so einer Funktion ran. Also, wie beschreibe ich solche Funktionen?

Und der erste Schritt ist, Städigkeit von solchen Funktionen zu untersuchen. Alles, was ich Ihnen hier bisher gezeigt habe, waren städige Funktionen. Die hier sieht an manchen Stellen ein bisschen eckig aus. Das liegt aber nur daran, dass das Mäkel nicht genau genug auflöst.

Also, was ich damit Ihnen transportieren will, ist, stellen Sie sich eine städige Funktion mit mehreren Variablen vor als eine Höhenverteilung in der Landschaft. Und damit kommen Sie eigentlich relativ weit.

Also, was ist das Ziel hier? Das Ziel dieses Abschnitts ist die Verallgemeinerung des Städigkeitsbegriffs auf Funktionen. Funktionen, wenn Sie es ganz abstrakt hinschreiben wollen, Funktionen von D nach W,

wobei D eine Teilmenge von V ist und V und W normierte Vektorräume. Also, R-Vektorräume, Normen haben wir nur auf R-Vektorräume angeschaltet. Wir haben zwei R-Vektorräume und gucken sich Funktionen von einem R-Vektorraum mit den anderen an.

Also, zwei R-Vektorräume mit Norm. Und Sie schauen sich Funktionen vom einen Vektorraum in den anderen an. Die Funktionen dürfen natürlich einen Definitionsbereich haben, die müssen nicht auf ganz V definiert sein, deswegen das D. Und Sie gehen aber von einem Vektorraum in einen Vektorraum W.

Der Interessante ist, die Spezialfalle, die wir natürlich auch noch angucken werden, ist von R D nach R P. Also, eine Funktion mit D-Variablen und P-Ausgangsparametern. Aber sozusagen mathematisch steckt dahinter eine Funktion von einem Vektorraum in Vektorraum. Und aus diesem Grund, werden Sie sehen, fällt uns jetzt auch in diesem Analysis-Teil

so im Lauf der Zeit ein Großteil der linearen Algebra vom letzten Semester wieder vor die Füße, weil wir eben jetzt Funktionen von Vektorraum in Vektorraum betrachten. Man beachte, wir haben schon Funktionen von Vektorraum in Vektorraum betrachtet,

nämlich lineare Abbildungen im letzten Semester reinweise. Die lineare Abbildung ist so eine Funktion von Vektorraum in Vektorraum. In dem Fall ist der Definitionsbereich immer der ganze Raum V. Und wenn man die Veranstaltung so rum aufzieht, ist die Gefahr immer so ein bisschen, dass die Leute sich immer nur lineare Abbildungen vorstellen.

Lineare Abbildungen sind was sehr Schönes, aber auch was sehr, sehr Spezielles. Also wenn Sie sich zum Beispiel die linearen Abbildungen von R nach R anschauen, das sind alle die Funktionen, deren Graf eine Ursprungsgerade ist. Also eine Gerade, die durch den Ursprung geht, das sind die linearen Abbildungen.

Sie werden mir zugeben, es gibt ein paar mehr Funktionen. Also es gibt nicht nur Grafen durch den Ursprung. Und genauso gibt es Unmengen mehr Funktionen von R3 nach R5 als lineare. Also alles, was ich Ihnen gerade am Beispiel gezeigt habe, waren keine linearen Abbildungen. Also wir haben schon solche Funktionen angeschaut, aber sehr, sehr spezielle.

Und wir wollen das jetzt deutlich ausweiten und im Prinzip beliebige Abbildungen von R3 nach R5, von R7 nach R, von V nach W anschauen. So, und warum ist es so wichtig, dass das normierte Vektorräume sind und nicht einfach Vektorräume?

Was bedeutet Stetigkeit? Stetigkeit bedeutet, wenn ich am Eingangsparameter nur wenig wacke, dann wackelt auch das Ergebnis nur wenig. Was heißt denn wenig wackeln? Wenig wackeln heißt, der Punkt muss in der Nähe liegen. Und damit ich in der Nähe formulieren kann, brauche ich einen Abstand. Wir brauchen irgendeine Möglichkeit, einen Abstand zu formulieren,

sonst brauchen Sie mit Stetigkeit gar nicht erst anzufangen, weil Sie nämlich sonst nicht sagen können, liegt nahe bei. Dementsprechend brauchen wir eine Norm oder irgendeinen Abstandsbegriff. Und deswegen brauchen wir normierte Vektorräume. Aber wenn wir das haben, stellt man fest, wie erledigt sich diese Übertragung des Stetigkeitsbegriffs durch ein geeignetes,

durch Copy und Paste und dann ein paar kleine Anpassungen. Also müssen wir uns erinnern, wir hatten die Stetigkeit im Einimensionalen für Funktionen von R nach R definiert.

Wir hatten zuerst den Funktionsgrenzwert definiert. Und den brauchen wir hier auch wieder. Das ist Definition 8.1. Und die können Sie im Prinzip wörtlich übertragen. Wie hatten wir den Funktionsgrenzwert definiert? Also ein limes x gegen x0 von f von x. Indem wir es zurückgespielt hatten auf einen Folgengrenzwert

a n geht gegen x0 und dann f von a n für n gegen unendlich laufen haben lassen. Und was wir dafür als erstes gebraucht haben, haben wir den Begriff des Häufungspunktes, weil sonst Grenzwert keinen Sinn macht.

Und genau das gleiche Programm machen wir jetzt hier auch. Also wir nehmen uns zwei normierte R-Vektorräume, V und W. Stellen Sie sich im Sinne des gerade Gesagten vor, dass V der R2 ist und W der R. Das ist völlig okay. Also eine Funktion mit zwei Variablen mit einer Ergebnis. Sie haben eine Teilmenge D von V in der Definitionsbereich der Funktion

und eine Funktion von D nach W. Und jetzt müssen wir zuerst mal definieren, wieder was es heißt, dass ein Punkt x0 in D ein Häufungspunkt der Menge ist, damit wir vom Funktionsgrenzwert reden können. Also x0 in D heißt Häufungspunkt von D.

Wie hatten wir das definiert? Wir müssen diesen Punkt x0 irgendwie aus D heraus annähern können. Also es muss eine Folge geben, eine Folge n, die in D liegt.

Wenn es eine Folge ann in D gibt, die Folge muss gegen, ich hätte ihn noch nicht anmachen sollen,

ich brauche ihn erst später. Ich bin fies.

Also, falls es eine Folge ann in D gibt, die muss zwei Dinge tun. Sie muss das x0 approximieren und sie darf nie selber x0 sein. Also es muss gelten, ann ist ungleich, x0 für alle n aus n.

Sie müssen den Punkt x0 erst der Menge D approximieren können, ohne die Folge einfach konstant x0 zu setzen, das geht immer. Und der Liemes n gegen unendlich von ann, der muss x0 sein. Und wenn wir jetzt so einen Häufungspunkt haben, dann können wir den Grenzwert x gegen x0 definieren.

Also sie nehmen sich einen Häufungspunkt von D her. Und dann sagt man, der Liemes x gegen x0 f von x, den wollen wir definieren. Der ist gleich einem Wert y.

Es lohnt sich kurz innezuhalten und zu überlegen, was für ein Tier y eigentlich ist. Soll heißen, ist y eine Zahl oder ein Vektor oder eine Matrix oder eine Funktion oder was ist das eigentlich? Also für jedes x liegt f von x im Bild, also in W.

Dann liegt auch der Grenzwert da drin. Der Grenzwert dieses y ist also ein Element aus W. So, das gilt falls, und jetzt können Sie einfach die Definition von vorne, das war wahrscheinlich 7,1, kopieren. Falls für jede Folge, und auch hier wieder Betonung auf jede Folge,

ann, die in D liegt und die nie x0 ist, also ann ungleich x0 für alle n aus n, und die gegen x0 konvergiert, also so eine Folge, die Existenz einer Folge ergibt sich daraus, dass x0 ein Häufungspunkt ist.

Sie brauchen eine Folge, die das Ding zum Häufungspunkt macht. Und dann muss gelten, dass der Liemes n gegen unendlich f von ann gleich dem y ist.

Dann, wenn das für jede Folge konvergiert f von ann und immer den gleichen Grenzwert liefert, dann nennt man diesen immer gleichen Grenzwert den Grenzwert für x gegen x0 von f von x, und das ist im Prinzip genauso wie von r nach r. Diese Definition, wenn Sie zurückblättern 7,1, die hatte noch ein C und ein D Teil,

und da haben wir den links- und den rechtsseitigen Grenzwert definiert, also Liemes x gegen x0 plus und Liemes x gegen x0 minus. Und die möchte ich Ihnen hier nicht verallgemeinern, und das ist keine Faulheit, und das ist kein Entgegenkommen, weil wir versuchen, den Kurs schlank zu halten,

sondern das ist strikte Notwendigkeit, weil es überhaupt keinen Sinn macht, die zu verallgemeinern. Stellen Sie sich vor, Sie sind im R2 und sollen gegen einen Punkt x0 laufen, und was heißt jetzt bitte schön, dass Sie von links oder von rechts dagegen laufen. Im R2 können Sie auf sehr, sehr viele verschiedene Weisen zu einem Punkt x0 kommen,

also Sie können so oder so oder so oder so, aber Sie können natürlich auch drauf zuspiralen oder so und dann doch noch von der Seite kommen. Also Sie können viele Dinge tun, links und rechts macht einfach keinen Sinn. Es gibt keinen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert, es gibt nur einen Grenzwert, und mehr machen wir nicht.

So, damit haben wir den Funktionsgrenzwert, und jetzt können wir auch genauso Stetigkeit übertragen,

auch das geht im Wesentlichen analog, wenn wir mal den Funktionsgrenzwert haben, also gleiches Setting wie oben, Sie haben zwei normierte R-Vektor-Räume, Sie haben eine Teilmenge D von V, auf der die Funktion definiert ist,

und die Funktion geht von D nach W. Was heißt jetzt, dass diese Funktion stetig ist in einem x0 aus D, gleiche Definition wie vorher auch, also F heißt stetig,

zunächst in einem Punkt und dann wieder auf der Menge, also stetig in einem Punkt x0 aus D, und jetzt können Sie einfach abschreiben von oben, wenn für jede Folge,

und auch hier wieder Betonung auf jede An im Definitionsbereich, die gegen x0 konvergiert, also limas n gegen unendlich An muss x0 sein, und für jede solche Folge muss gelten, wenn Sie das F drüber werfen,

dann geht das Ganze gegen F von x0, das ist genau das gleiche wie Stetigkeit vorher, wenn An gegen x0 geht, muss F von An gegen F von x0 gehen, dann nennt man das Ding stetig. Das war Stetigkeit in x0, dann kommt wieder Stetigkeit in D,

also F heißt stetig in D, falls F in jedem x0 aus D stetig ist, und Sie sehen, wenn Sie es jetzt mit vorne vergleichen, mit der Definition Stetigkeit für Funktionen von R nach R, das ist wirklich wortwörtlich das Gleiche, der Unterschied liegt in der Definition des Funktionsgrenzwerts,

aber dann können Sie die Stetigkeit eins zu eins übertragen, und auch die Bezeichnung Stetige Funktionen kann übertragen, und jetzt müssen wir aber noch sagen, von wo nach wo, wenn ich nur C von K schreibe, dann ist immer gemeint, C nach R,

aber wenn das Ding noch einen anderen Zielbereich hat, müssen wir den mitnehmen, also C von D, W, Continuous Functions von D nach W, ist die Menge aller F von D nach W, so dass F stetig ist auf D.

So, das ist einfach die wortwörtliche Übertragung des Begriffs der Stetigkeit, und an der Stelle machen wir jetzt ein kurzes Polstchen und dann in 10 Minuten weiter. So, ich würde gern langsam in die zweite Hälfte einsteigen,

ich habe Ihnen gezeigt, dass man den Begriff der Stetigkeit erst mal eins zu eins abschreiben kann,

und das geht für beliebige normierte Vektorräume, also ich habe noch nicht mal endigdimensional oder so etwas vorausgesetzt, aber natürlich ist der relevante oder meist häufig wichtige Fall der,

dass wir eine Funktion haben von einem RD in einen RP, und auf den will ich mich jetzt zurückziehen und den wollen wir jetzt genauer betrachten, also ab jetzt ist der Vektorraum V, auf dem die Funktion startet, irgendein RD,

der Vektorraum W, in dem die Funktion Werte nimmt, annimmt einen RP, das D ist weiterhin jetzt eine Teilmenge von V, also eine Teilmenge von RD, und das F geht jetzt eben von D nach RP.

Was da natürlich noch dazwischenstecken kann, ist, dass der Raum nicht wirklich ein RD ist, sondern irgendwas isomorph ist, irgendein d-dimensionaler Vektorraum von Matrizen oder sonst was, aber wie wir gesehen haben, alle endigdimensionalen Vektorräume sind zu irgendeinem RD isomorph,

insofern reicht es uns diesen Fall anzuschauen, und so eine Funktion, wie ich sie jetzt hier stehen habe, wie sieht die aus? Man schreibt weiterhin F von X, nur X ist jetzt eben keine Zahl mehr, sondern X ist ein Vektor in der Menge d, die eine Teilmenge von RD ist,

das heißt, das X hat die Komponenten, wenn Sie es ganz sauber schreiben, sieht das so aus, also F von diesem Vektor, und da die Analytiker von der linearen Algebra ein bisschen weg sind

und keine Lust auf solche Genauigkeiten haben, hat sich da eine etwas einfache Schreibweise eingebürgert, wo man schreibt F von X1 bis Xd, das ist nicht 100% korrekt, weil F von einem Vektor abhängt und nicht von d-Zahlen,

aber diese Identifikation leisten wir uns, und deswegen nennt man so eine F eine Funktion von d-Variablen, das ist das, was auf der Definitionsbereichsseite passiert,

und wenn wir uns jetzt anschauen, was mit dem Bild ist, dann ist F von X was? F von X ist ein Vektor im RP, das heißt, er hat P-Komponenten, F von X erste Komponente, F von X zweite Komponente bis F von X pte Komponente,

und jetzt kann man den Gesichtspunkt umdrehen, also auf die Weise, jetzt habe ich erst F von X gebildet und dann die P-Komponenten angeschaut, was Sie machen können, ist, Sie können sich P-Funktionen definieren, und die Funktion F1 ist die, die jedem X die erste Komponente von ihrer Funktion F zuordnet,

die Funktion F2 ist die, die jedem X die zweite Komponente zuordnet, und die Funktion FP ist die, die pte Komponente zuordnet, und auf die Weise kann man F von RD nach RP sehen als ein Vektor von P-Funktionen von D nach R,

also die Funktionen F1, F2 bis FP sind jetzt Funktionen, die weiterhin auf D definiert sind, aber nach R gehen, und die nennt man die Koordinatenfunktionen.

Wo wir auch schon die Koordinatenfolgen hatten, die nehmen sich in ergebenden Funktionen von RD nach RP, einfach die Funktion, die jedem Wert die J-Komponente zuordnet, und das ist die J-Koordinatenfunktion.

Und die Dinger sind deswegen wichtig, weil sie normalerweise alle Eigenschaften von F an den Eigenschaften der Koordinatenfunktionen ablesen können, und deswegen viele Betrachtungen, für viele Betrachtungen es reicht, sich auf Funktionen mit Werten in R zu beschränken,

und dann zu sagen, naja, wenn es für alle mit in R geht, dann geht es wegen der Koordinatenfunktion auch für alle mit Werten in RP, und ein wesentliches Beispiel einer solchen Aussage will ich Ihnen jetzt hinschreiben, Städtigkeit ist nämlich sowas. Also, wenn wir eine Funktion von RD nach RP haben, auf einem Definitionsbereich in RD definiert, in X0 in D,

dann ist die Funktion eine Funktion F, die auf D definiert ist und nach RP geht, dann und nur dann stetig in X0, also stetig in X0, genau dann, wenn alle Koordinatenfunktionen stetig sind.

Also, wenn Sie von jeder Koordinatenfunktion nachweisen können, dass sie stetig ist, dann haben Sie es für die ganze Funktion, und umgekehrt, wenn die Funktion stetig ist, ist jede Koordinatenfunktion stetig. Also, die Funktion ist stetig genau dann, wenn die Koordinatenfunktionen F1 bis FP als Funktionen von D nach R stetig in X0 sind,

und zwar hier, also alle. Wenn jede einzelne stetig ist, dann ist die Gesamtfunktion stetig, und wenn die Gesamtfunktion stetig ist, ist jede einzelne Koordinatenfunktion stetig.

Und das bedeutet, wenn wir jetzt Kriterien für Stetigkeit aufstellen, dann reicht es, wenn wir den Fall anschauen, dass eine Funktion auf eine Teilmenge D von RD definiert ist, aber Wert in R hat. Weil wenn Sie Stetigkeit für Funktionen mit Werten in R untersuchen können, dann können Sie es auch für Funktionen mit Werten in RP,

indem Sie einfach alle Koordinaten anschauen. Und was dahinter liegt, ist nicht besonders tiefsinnig, und zwar liegt das daran, dass wir einen entsprechenden Satz auch schon für Folgen hatten. Wenn Sie sich an das letzte Kapitel vom Matte 1 zurück erinnern, eine Folge in RD konvergiert genau dann,

wenn jede Koordinatenfolge konvergiert, und der Grenzwert ist der Vektor der Grenzwerte der Koordinatenfolgen, und das übertragen wir hier, und das nutzen wir hier, weil ja Stetigkeit nur über Grenzwerte von Folgen definiert ist.

Also wir wissen, wann ist eine Funktion stetig in X0. Nach Definition genau dann, wenn für jede Folge, das ist jetzt die Definition von Stetigkeit,

für jede Folge an in D, die gegen X0 konvergiert, gilt das auch die Folge der Funktionswerte von an konvergiert, und zwar gegen F von X0.

Das ist Stetigkeit. Und jetzt kommt der Satz 6.5. Das war genau dieser Satz für Folgen. Die Folge im RD konvergiert genau dann, wenn alle ihre Koordinatenfolgen konvergieren, und die Koordinatenfolge der Folge F von an sind genau die Koordinatenfunktionen.

Also für jede Folge an in D mit limes n gegen unendlich an gleich X0, das bleibt stehen. So, und was heißt jetzt, limes F von an ist F von X0, F von an ist eine Folge in RP,

und die konvergiert genau dann, wenn der Grenzwert jeder Koordinatenfolge konvergiert, und die Koordinatenfolge ist genau Fj von an, und das muss gelten für jedes j zwischen 1 und p.

Und was Sie jetzt da stehen haben, ist Stetigkeit der Koordinatenfunktion für jedes j, also das ist nach Definition der Stetigkeit genau dann der Fall, wenn Fj von D nach R stetig ist in X0,

und auch das wieder für jedes j gleich 1, 2 bis p. Also damit kriegen Sie Stetigkeit der Funktion von RD nach RP, indem Sie Stetigkeit aller Koordinatenfunktionen untersuchen.

Und das ist auch das, was man normalerweise tut. Also wenn Sie Stetigkeit einer Funktion untersuchen sollen, die fünf Ausgabewerte hat, dann untersuchen Sie für jeden einzelnen, ob der stetig abhängt. Also können wir ab jetzt bei allen weiteren Stetigkeitsuntersuchungen nur Funktionen anschauen, die nach R gehen,

und können damit den allgemeinen Fall mit erschlagen über diesen Satz. So, was war das nächste, was wir bei der Stetigkeit von Funktionen von R nach R gemacht haben? Also die Idee ist jetzt natürlich, imitiere möglichst alles, was wir jetzt im Kapitel 7 gemacht haben, im Kapitel 8.

Manches, haben wir gesehen, geht nicht, links- und rechtsseitigen Grenzwert können wir nicht einführen, aber das meiste geht, und das arbeiten wir jetzt durch,

und arbeiten uns damit in die neue Materie ein und wiederholen auch gleich nochmal die ganzen Stetigkeitsbegriffe. Und der erste wichtige Satz, den wir hatten, war das Baukastenprinzip. Sie können die Stetigkeit komplizierter Funktionen zusammenbauen aus Stetigkeit von Einzelteilen.

Also wenn zwei Funktionen stetig sind, ist Ihre Summe stetig, ist Ihr Produkt stetig, Ihr Quotient stetig, ist Ihre Verkettung stetig. Das wollen wir übertragen, da muss man ein bisschen aufpassen, alles geht nicht. Die Summe von zwei Funktionen können Sie gut übertragen. Beim Quotienten wird es im allgemeinen Fall schwierig, weil der Quotient von zwei Vektoren ist nicht so unbedingt definiert.

Insofern müssen wir uns hier ein bisschen eingrenzen auf das, was Sinn macht. Aber wir kriegen trotzdem wieder ein schönes Baukastenprinzip, wo wir komplizierte Funktionen aus einfachen zusammen setzen können.

Also das ist der Satz 8.5. Wir haben wieder eine Timing-ID von RD, auf der unsere Funktionen definiert sind. Wir haben einen Punkt X0, wo wir die Stetigkeit untersuchen wollen. Und wir haben zwei Funktionen F, G von D nach R, stetig in X0.

Und dann für die Verkettung, wir haben hier auch Verkettung von Funktionen, haben wir noch eine Funktion H, die ist auf F von D definiert und geht auch nach R. Und diese ist stetig in F von X0.

damit wir nachher h nach f anschauen können. Und dann sagt uns das Baukastenprinzip, wenn wir jetzt aus f, g und h neue Funktionen basteln, dann bleiben die wieder stetig, also die Funktion f plus g. Das macht Sinn, f von x und g von x sind Vektoren in Rp, die können wir schön addieren.

In dem Fall sind sie Zahlen, insofern können wir die addieren. Insofern können wir in dem Fall auch multiplizieren. f mal g, weil f von x und g von x sind Zahlen. Der Betrag von f und eben die Verkettung h nach f, das sind jetzt alles Funktionen von d nach r.

Und die sind dann auch alle stetig in x0. So, jetzt kommt noch der Quotient. Wenn wir Funktionen nach r haben, können wir den bilden. Und das ist auch wie vorher. Wenn zusätzlich das x0 an einer Stelle liegt, wo das g nicht 0 ist, also das x0 muss ein x aus d sein,

sodass g von x nicht 0 ist, dann können Sie die Funktion f durch g anschauen, f von x und g von x sind Zahlen. Die geht jetzt von d Stern nach r, nicht mehr von d, weil auf die Nullstellen von g ist sie nicht definiert.

Und auch die ist stetig in x0. Also diesen Satz können wir komplett retten. Der funktioniert genau wie in einer Variablen und auch der Beweis ist absolut identisch. Also wenn Sie den auf dem nächsten Übungsblatt machen, dann haben Sie den gleich für hier.

Da ändert sich nichts. So, und an der Stelle ist vielleicht gut, mal ein Beispiel einzustreuen. Und das Beispiel ist ein bisschen ein ausführlicheres, um Ihnen zu zeigen, dass Stetigkeitsuntersuchungen im RD,

so einfach es bisher war, diese Definition fortzuschreiben, durchaus ihre Tücken haben können. Weil erstens man den Funktionen nicht so ganz leicht ansieht, ob sie stetig sind oder nicht.

Und zweitens, die Rechnung etwas, ja, man sich da einfrickeln muss, auf manche Ideen kommt man nicht so ohne weiteres. Deswegen führe ich Ihnen das jetzt ausführlich vor. Und zwar anhand von zwei Funktionen, zwei Funktionen f und g von a2 nach r.

Und ich schreibe sie Ihnen mal beide hin. Also die erste ist f von xy, also eine Funktion von a2 nach r. Wie gesagt, das sind die, die wir noch grafisch darstellen können. Zwei Eingangparameter x und y sind hier also reelle Zahlen und ein Ausgangsparameter.

Und der Funktionswert ist x mal y durch x² plus y². Und das können Sie immer dann machen, wenn Sie nicht gerade im Ursprung sind. Im Ursprung ist der Nenner Null, aber überall sonst ist der Nenner strikt positiv.

Das heißt, für alle xy ungleich Null, Null können Sie die Funktion so definieren. Und im Ursprung definieren wir sie halt irgendwie, definieren wir sie mal Null. Und dann habe ich eine Funktion g von xy und die sieht fast genauso aus.

Also gleicher Aufbau, im Ursprung ist sie Null. Und wenn ich nicht im Ursprung bin, ist sie was anderes. Und sie hat auch im Nenner x² plus y². Und wir machen eine einzige Änderung. Und zwar im Zähler x² mal y statt x mal y.

Sehen Sie sich sehr ähnlich, die beiden Funktionen. Sie werden aus rein didaktischen Gründen schon erraten haben, dass eine wahrscheinlich stetig ist und eine nicht. So ist es auch. Und das werden wir jetzt nachweisen.

Ich zeige Ihnen mal die erste. Mit der fangen wir an. Also hier erscheint jetzt hoffentlich gleich die Funktion f. Das erste, was man bemerken kann, ist, wenn Sie nicht im Punkt Null Null sind, ist die Stetigkeit einfach.

Warum? Die Funktion f von x gleich x und f von x gleich y sind stetig. Also ist das Produkt x mal y stetig.

Der Nenner ist eine Funktion, die außerhalb vom Ursprung nicht Null ist. Das heißt, wenn Sie durch die teilen, bleibt stetig. Also außerhalb von Null Null können Sie argumentieren, die Funktion ist eine Verkettung pro Zehn Produkt von stetigen Funktionen. Damit stetig. Die spannende Frage ist, was passiert in Null Null?

So, das ist die Funktion f. Wir sehen, da passiert in Null Null irgendwie Ungeheuerliches. Und wenn man das Bild sieht, dann sieht man es auch an der Formel, dass da was schiefgehen muss. Wir sehen, die zwei Diagonalen haben eine besondere Bedeutung. Also hier unten, der Definitionsbereich ist hier unten das Quadrat von minus eins bis eins und von minus eins bis eins.

Und wenn Sie jetzt zum Beispiel auf diese Diagonalen hier, die erste Diagonale hier oben, auf diese Diagonalen hier die Bilder anschauen, welche Punkte sind das? Das sind die, wo x gleich y ist.

Und für x gleich y, was passiert, wenn Sie in die Funktion f x und y identisch einsetzen? Also mal y gleich x setzen, dann haben Sie x Quadrat durch x Quadrat plus x Quadrat. Das ist x Quadrat durch 2x Quadrat, das ist einfach ein Halb. Das sieht man hier auch, die Funktion ist auf diese Diagonale, wo x gleich y ist, konstant ein Halb.

Und wenn Sie aber x gleich minus y setzen, also die Diagonale hier unten nehmen, die Diagonale, wo x das Negative von y ist, dann steht oben minus x Quadrat und unten x Quadrat plus x Quadrat, also kommt minus ein Halb raus.

Und das sieht man hier auch, auf der Diagonalen hier unten, also auf der Diagonalen, wo x gleich minus y ist, ist die Funktion konstant minus ein Halb. Und das wird jetzt schwierig mit der Stetigkeit. Wenn die Funktion auf der Diagonalen plus ein Halb ist und auf der anderen Diagonalen minus ein Halb,

dann wird sich am Punkt der beiden Diagonalen gewisse Schwierigkeiten haben, sich zu entscheiden. Und genau das passiert. Wir sehen dazwischen, verschmiert die Funktion halt so irgendwie, wie es geht, außerhalb von 0 muss sie glatt sein und versucht diesen Sprung immer mehr auszugleichen. Aber je näher sie an 0 kommt, desto schwieriger wird das. Und wir werden sehen, dass das Ding nicht stetig ist in 0. Und die Idee ist genau das, was man gerade am Bild gesehen hat.

Also wir schauen uns f an. Gut, sollte ich vielleicht erst hinschreiben, was ich vorhin noch gesagt habe.

Wenn Sie x und y ungleich 0,0 nehmen, dann ist x² plus y² immer nicht 0. Das ist nur 0, wenn beide 0 sind. Also kriegen Sie in dem Fall nach dem Baukastenprinzipsatz, das war Satz 8,5, dass f und g stetig sind auf der Menge R2 ohne den Ursprung.

Wenn Sie also außerhalb vom Ursprung sind, haben Sie eine stetige Funktion. Das Problem tritt im Ursprung auf. Und da schauen wir uns jetzt erst die Funktion f an. Und unsere Vermutung durchs Bild genährt ist, die Funktion wird im Ursprung nicht stetig sein.

Also die Behauptung ist, f unstetig im Punkt 0,0. Wie zeigen wir das?

Stetigkeit bedeutet für jede Folge am, die gegen 0 geht, geht f von an gegen f von 0. Unstetigkeit heißt also, Unstetigkeit ist einfacher, weil wir nur einen Spielverderber finden müssen. Unstetigkeit heißt nur, es muss irgendeine Folge geben, für die das nicht klappt.

Es reicht also ein Gegenbeispiel. Wir können eine Folge finden, die gegen 0 geht, aber f von dieser Folge darf nicht gegen f von 0, also nicht gegen 0 gehen. Da ist die Idee naheliegend, wir haben gesehen, wenn Sie auf den

Diagonalen laufen, dann bleibt die Funktion konstanten halb oder konstanten minusen halb. Und das wird wahrscheinlich nicht gegen 0 gehen. Also nehmen wir eine Folge, die auf der Diagonalen lebt, eine Folge an im R2. Und welche Folge ist die einfachste, die auf der Diagonalen lebt und gegen 0 geht? Folge n, 1, n.

Wenn Sie Stetigkeit in Null untersuchen, dann braucht man ganz viele Nullfolgen im R2. Das ist so ziemlich eine der einfachsten, also abgesehen von der Folge konstant Null oder der Folge 0, 1 durch N oder 1 durch N, Null, die braucht man auch häufiger mal.

So, also wir haben eine Folge 1 durch N, 1 durch N. Das erste, was wir feststellen ist, das ist eine Nullfolge. Also der Limous N gegen unendlich a n, der ist tatsächlich 0, 0. Und was noch für die Rechnung ganz gut festzustellen ist,

a n selbst ist nie 0, 0, sondern bleibt davon immer weg. Warum ist das gut, dass a n selbst nicht 0 ist?

Naja, es fällt uns dann leichter f von a n zu bestimmen. Also was ist f von a n? Funktion steht noch da unten, f von 1 durch N, 1 durch N. Also das ist Limous N gegen unendlich f von 1 durch N, 1 durch N. Müssen wir einsetzen.

1 durch N mal 1 durch N im Zähler macht 1 durch N² durch 1 durch N² plus 1 durch N². Jetzt habe ich den Limous vergessen. Und was Sie jetzt sehen ist, das ist Limous N gegen unendlich 1 durch N² durch 2 durch N².

Das ist Limous N gegen unendlich von 1,5. Und der ist 1,5. Wenn 0 ist aber nun 1,5, looks der 0? Also das ist eigentlich genau gar nicht 0. Und was war aber 0? 0 ist der Wert f von 0, 0.

Und damit kann f nicht stetig sein, weil wenn f stetig wäre, müsste f von a n gegen f von 0 gehen und f von 0 ist 0. Tut es nicht, also ist f nicht stetig. Und wenn Sie die Stetigkeit widerlegen wollen, ist das immer der Weg der Wahl.

Suchen Sie sich eine Folge, die gegen die Stelle geht, aber f von der Folge geht nicht gegen f von der Stelle. Das war f. So und jetzt hatten wir g, eine Funktion, die ganz ähnlich aussah.

Der einzige Unterschied war, dass im Zähler nicht x mal y, sondern x² mal y steht. Und dann sollte man meinen, das ändert nicht so schrecklich viel.

Leg Ihnen mal die andere Funktion hin und dann sehen Sie, das ändert eine ganze Menge. Das ist jetzt die Funktion g. Ein einziges x mehr im Zähler und schon sieht das Ding deutlich glatter aus. Es hat immer noch eine Ecke in 0. Das wird immer mehr gefaltet auf 0 zu und in 0 hat es eine Ecke.

Aber das Ding sieht einigermaßen stetig aus. Je näher Sie an 0 kommen, egal von wo, umso näher gehen die Funktionswerte auch an 0. Und Sie sehen daran auch, warum im R2 und noch schlimmer im Rn so viel schiefgehen kann mit Stetigkeit.

In R, wenn Sie sich zu einer kritischen Stelle kommen, haben Sie im Wesentlichen nur zwei Möglichkeiten. Sie können von rechts oder von links kommen. Ah gut, Sie können hin und her hupfen, aber Sie haben nicht viel Wahl. Im R2 haben Sie wahnsinnig viel Platz und können von allen möglichen Seiten nach 0 laufen.

Sie können spiralen, Sie können alles Mögliche machen und das nutzen auch die Funktionen weitlich aus, um irgendwelchen Quatsch zu machen. Also das Verhalten von solchen Funktionen ist einfach viel reichhaltiger. Wir wollen der Funktion g noch nachweisen, dass sie nicht stetig ist.

Also die Behauptung hier ist jetzt, g ist stetig im Ursprung, also in 0,0. Wie zeigt man das? Na jetzt müssen wir tatsächlich in den sauren Apfel beißen und jede Folge anschauen.

Also was müssen wir tun? Wir müssen uns eine Folge an in R2 nehmen, die gegen den kritischen Punkt, also in dem Fall die 0,0 konvergiert.

Linus an für n gegen unendlich sein 0,0. Jetzt können wir nicht irgendeine konkrete Folge nehmen, jetzt müssen wir sie abstrakt lassen. Und müssen zeigen, dass dann f von an immer gegen f von 0,0, also gegen 0 geht. Dazu ist es ganz gut, sich die Koordinatenfolgen herzunehmen. Also die Folge an ist eine Folge in R2.

Die hat also für jedes n eine x- und y-Komponente und ich nenne die x-Komponente mal sinnigerweise xn und die y-Komponente yn. So, jetzt muss man im Prinzip zwei Fälle unterscheiden. Es könnte sein, dass für irgendein n das an mal 0 ist.

Aber wir schauen uns erstmal den Fall an, was passiert, wenn das an nicht 0 ist. Was ist dann g von an?

Wir wollen zeigen, g von an geht gegen 0, wenn n gegen unendlich geht. Allgemeiner und sehr brauchbarer Trick in vielen Lebenslagen, wenn Sie zeigen wollen, eine Folge geht gegen 0, zeigen Sie der Betrag der Folge geht gegen 0. Es ist oft einfacher. Und in dem Fall hier auch.

Das funktioniert nur bei 0. Wenn Sie zeigen wollen, eine Folge geht gegen 1, dann nutzt Sie nichts zu zeigen, dass der Betrag gegen 1 geht. Aber bei 0 tut es. Also, wir schauen uns den Betrag an. Was ist mit dem Betrag von g von an?

Das ist der Betrag von xn²yn durch xn² plus yn². Das ist einfach die Definition von g. Und weil das an nicht 0 war, können wir das einsetzen. Jetzt haben wir in diesem Betrag verdammt viele positive Zahlen stehen. Das ist xn² durch xn² plus yn² mal Betrag yn.

Und der entscheidende Schritt ist jetzt zu sehen, dass dieser Vollfaktor, der vor dem yn steht, völlig egal was xn und yn ist, ist der immer kleiner gleich 1.

Warum? Weil der Nenner immer echt größer ist als der Zähler. xn² plus yn² ist immer größer gleich xn². Wir können es auch so hinschreiben.

Wir machen das Ganze größer, indem wir den Nenner kleiner machen. Und den Nenner machen wir kleiner, indem wir das yn² weglassen. Und dann sehen Sie, was übrig bleibt ist einfach Betrag yn.

Also für jedes n ist Betrag von g von an kleiner gleich Betrag yn. Das galt für die n, für die das an nicht 0 ist. Aber wenn das an 0 ist, dann ist es noch einfacher.

Also wenn das an zufällig gerade mal 0 ist, was ist dann g von an Betrag? Na ja, an der Stelle 0,0 ist g als 0 definiert. Also das ist 0. Und das ist ganz sicher kleiner gleich als Betrag yn.

Weil Betrag immer positiv ist. Zusammen haben wir also, dass für alle n aus n gilt, dass der Betrag von g von an kleiner gleich Betrag yn ist.

Und damit ist die Sache gewonnen. Warum? Weil das an war eine Nullfolge. An konvergiert gegen 0,0. Also konvergieren beide Koordinatenfolgen gegen 0. Also insbesondere konvergiert die Folge yn gegen 0. yn war die zweite Koordinate von an.

Wenn an gegen 0,0 geht, muss yn gegen 0 gehen. Und wenn yn gegen 0 geht, dann geht auch der Betrag von yn gegen 0. Das war Grenzwertsatz. Und nun können Sie mal wieder unser immer wieder gern genutzte Sandwich nehmen.

Die Folge g von an. Also Betrag g von an ist kleiner als Betrag yn. Der Betrag hier ist immer größer als 0.

Also ist die Folge g von an eingequetscht zwischen der Folge konstant 0 und der Folge Betrag yn. Also kriegen Sie aus dem Sandwichsatz, dass der Limous n gegen unendlich Betrag g von an gleich 0 ist. Das bedeutet, dass der Limous n gegen unendlich g von an gleich 0 ist. Und 0 ist zufällig auch noch g von 0,0.

Und das ist genau die Bedingung, die Sie brauchen, damit g an der Stelle 0,0 stetig ist. Das müssen wir für jede Folge zeigen, dass g von an gegen g von dem Grenzwert der an geht. Und das haben wir hier erreicht.

So, Sie sehen, die Unstetigkeit war deutlich leichter als die Stetigkeit. Für die Stetigkeit muss man ein bisschen üben. Sie werden Gelegenheit dafür kriegen. Ich habe Ihnen hier noch eine Übungsaufgabe aus dem Skript.

Das, was wir im letzten Semester angeschaut haben, also die linearen Abbildungen, von denen hatten wir schon gesehen,

das sind sehr schöne und brave Abbildungen. Und das sind sie auch im Sinne der Analysis. Also wenn Sie eine lineare Abbildung haben, die von RD nach RP geht, dann behaupte ich, die ist stetig auf ihrem ganzen Definitionsbereich. Das wäre eine Übung.

So, damit haben wir Stetigkeit übertragen auf Funktionen von RD nach RP. Wir haben den Begriff, wir haben gesehen, Stetigkeitsuntersuchungen werden etwas mühsamer, weil die Funktionen komplizierter werden.

Aber im Prinzip ist es alles das Gleiche wie in einer Variablen. Man muss nicht eine Folge hernehmen, die gegen die untersuchte Stelle geht und zeigen, F von der Folge geht gegen F von der Stelle.

Und was wir jetzt danach hatten bei Funktionen einer Variable, waren die Eigenschaften, also der Zwischenwertsatz und der Satz über stetige Funktionen auf dem Kompaktum. Die könnte man versuchen zu verallgemeinern. Was beim zweiten sehr gut geht, sehen wir gleich. Was beim ersten nicht so gut ist beim Zwischenwertsatz, weil um den Zwischenwertsatz zu formulieren, brauchen Sie einen Begriff für Zwischen.

Zwischenwertsatz war, wenn Sie eine Funktion haben und ein Wert zwischen F von A und F von B, dann wird der von der Funktion auch angenommen. Aber was heißt zwischen F von A und F von B, wenn F von A und F von B Vektoren sind?

Also das wird nichts. Aber der zweite lässt sich verallgemeinern und ist auch in mehreren Variablen oder vor allem in mehreren Variablen ein sehr, sehr starker Satz. Also wir schauen uns wieder eine stetige Funktion auf dem Kompaktum an.

Wir nehmen wieder ein Kompaktum in Rd, nicht leer. Wir nehmen eine stetige Funktion, Kompaktum, also aus C von K, damit es wieder gemeint auf K definiert, nach R, stetig.

Und dann können Sie den Satz genauso hinschreiben wie am Anfang der Vorlesung. Dann gibt es ein X-Unden-Stern und ein X-Oben-Stern in dem Kompaktum, sodass F von X -Unden-Stern kleiner gleich F von X kleiner gleich F von X-Oben-Stern ist für alle x in K.

Und damit ist auch wieder jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge eine beschränkte Funktion. Ich werde Sie jetzt nicht nochmal durch zwei Seiten Beweis jagen. Die Idee ist genau die gleiche.

Wer Spaß dran hat, möge sich hinsetzen und den Beweis übertragen. Sie werden feststellen, es ändert sich so gut wie nicht. Was ich machen will, das mache ich allerdings auch nicht mehr heute, ist mithilfe dieses Satzes Ihnen zumindest andeutungsweise ein Versprechen aus dem letzten Semester einzulösen.

Da hatte ich Ihnen gesagt, im Prinzip, wenn Sie Konvergenz von der Folge im metrischen Raum definieren, also Konvergenz von der Folge im RD, dann müssen Sie immer dazu sagen, welche Norm Sie nehmen, weil die Definition der Konvergenz über die Norm geht.

Und natürlich, wenn Sie die Norm ändern, stellt sich die Frage, ist die Folge auch in der neuen Norm konvergent und bleibt der Grenzwert der gleiche? Wir hatten gesehen, auf RD gibt es einen ganzen Stapelnormen. Das heißt, da gibt es eigentlich ein Problem der Eindeutigkeit. Und ich hatte Ihnen damals gesagt, das ist nur ein scheinbares Problem, weil die Konvergenz auf RD nicht wirklich von der betrachteten Norm abhängt.

Anders gesagt, haben Sie eine, haben Sie alle. Wenn eine Folge bezüglich einer Norm konvergent ist gegen den Grenzwert, dann konvergiert sie bezüglich jeder Norm, und zwar gegen den gleichen Grenzwert. Manchmal hatte ich das so als Bemerkung verkleidet, weil ich es Ihnen nicht plausibel machen konnte, und mit diesem Satz geht das jetzt.

Das ist das Programm. Dann für nächsten Dienstag. Ja, da werde ich Ihnen, ich werde Ihnen den Beweis nicht komplett vorführen, aber so erklären, woran es liegt.

Für heute danke ich Ihnen für die Aufmerksamkeit, und bis nächste Woche. Schöne Ostern, bis nächste Woche.