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Stetigkeit

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ja ja an der TU Darmstadt also
begrüße ich Sie mal herzlich zur 2. Vorlesung herzlich willkommen ist ein Schritt weiter das Bild funktioniert auch also wenn ich nehme an dass ich ihn am Dienstag endgültig präsentieren kann das 1. vollständige voll Songs Aufnahme gibt ansonsten wollte ich fragen ob so in der 1. Woche wollen alles drunter und drüber geht irgendwie organisatorische Dinge gibt die noch zu klären sind wer hat da sich leider gar nicht drüber bei dass die Assistenten machen ich werd Ihnen sagen dass
da noch unklar ist dass die sich noch mal welche Gruppe kaufte mich auf 21 sehr gut ein anderes Beispiel Oriol ok ich glaube 3 Gruppen rein das Beispiel gut ich nehme es mit gut so was aber da wieder mal möcht ich jetzt nicht nicht USA zur
dann wurde in kam die bitte an mich heran das sich im letzten der letzten Vorlesung zwar definiert hätte was ein vom Grenzwert für Funktionen ist und alle Beispiele werden so wischiwaschi gewesen und ich hätte nie richtig mal bei Definition Grenzwert ausgerechnet den hab ich im 1. Moment gedacht das kann ja wohl gar nicht sein aber sie haben einigermaßen recht und dann dachte ich ich bringe halt am Anfang einfach kurz was mit also das ist sozusagen ein Einschub oder zur letzten Stunde noch Aufgabe nein das ist jetzt ne einfache nur zumal zeigen also wir suchen den Limes x gegen 0 +plus von einer Funktion f von x und diese Funktion f von x ist X durch Wurzel x +plus 1 Royal also es große x 4 die und jetzt ist die Frage wie oder so richtig zum Grenze war ganz exakt und nach der Definition hat gesagt Grenzwert von der Funktion definieren über Grenzwert von Folgen also nehmen uns Erfolge her das müssen wir machen aber auch in der Folge AN und die muss jetzt 2 Dinge erfüllen es muss sie gegen 0 konvergieren gegen den Punkt den wir uns anschauen es natürlich den Punkt an dem wir uns anschauen näher an und zum 2. ist wichtig bei den funktions Grenzwerten immer das sei darf nicht das 6 0 sein und in dem Fall bei diesen Grenzwert von rechts angucke da sein muss immer ich größer 0 sein also 2. Bedingungen am nicht 0 und insbesondere größer 0 Darlehen aus so ich mehr zur Folge hernehmen dann sagt die Definition des Grenzwertes muss ich mir anschauen was ist es von der Folge was er von einem und 2 überlegen uns erst noch mal kurz weil in dem eine Wurzel auftaucht wenn am gegen 0 geht was ist damit Wurz da das irgendwann mal Einsatz im Abschnitt über Konvergenz dass wenn ein gegen 0 geht und positiv ist das dann Wutzler auch gegen 0 geht oder halt gegen wozu Wurzeln Grenzwert von 1 also dass es auch 0 und wenn wir das haben dann kriegen wir jetzt den Limes n gegen unendlich er von 1 das ist das was wir anschauen müssen wir sowas was wir mit den vorhandenen Werkzeugkasten landen können in dem es von einem was ist das das ist dessen Folgen Grenzwert es ist wir müssen gegen endlich von durch Wurzel 1 plus 1 jetzt Grenzwert setzte verfolgen es n gegen unendlich von 1 durch den Grenzwert von Männer das geht weil der Grenzwert von denen ich 0 ist und dem Grenzwert in den wo Wurzel am +plus 1 im Prinzip jedes von Wurzlen +plus 1 in Klammern aber der endlich von 1 ist nicht besonders spannend Norm was jetzt dasteht ist 0 durch 0 +plus 1 also 0 dumm auf die Weise jetzt dass er von A 1 ist 0 für jede Folge die gegen 0 geht von rechts unten die 0 ist und das bedeutet gerade nach Definition das funktions Grenzwertes des Limes x gegen 0 von rechts F von
X wird das wenn der saubere saubere Berechnung von Sohn Grenze über die Definition und dazu kann ich nur noch bemerken äh danke für die Nachfrage dass ich das nicht saubergemacht hab und zweitens wenn sie werden sich wirklich brauchen weil wie bei folgen auch wenn rechnet schon über die Definition M dafür hat man die ganzen schönen setzte dass man es auch Bausteine zurückspielen kann später noch weitere Möglichkeiten Grenzwerte zu bestimmen die wir noch kennen lernen werden in dem großen Ganzen ist dann die Gefahr eher die dann in einer mündliche Prüfung weltlichen droht das man bis dahin die Definition vergessen hatte man sie die lieber benutzt er also das ist tatsächlich nicht so dass Sie das dann brauchen so dann hatte ich letzte Vorlesung in ganz am Schluss noch bisschen was wir Stetigkeit erzählt im Wesentlichen die Philosophie und auch keine Mathematik dazu genauer gesagt hat ich die Definitionen geschrieben und damit wie ich jetzt weitermachen ich schreib noch hin also das war Definition 7 7 und da haben wir wieder die Funktion von A nach aber genauer gesagt von dem Definitionsbereich der in drin liegt nach einer also diesen Teilmenge von R und er wüßte Funktionen von B nach A dann einmal gesagt an einem immer noch Punkt x 0 in D ein .punkt im Definitionsbereich und da hab ich ihn definiert was es heißt dass der Funktion stetig in diesem Punkt ist also das heißt stetig in x 0 mehr wenn Folgendes gelte das ist wieder so Definition die für jede Folge anfängt also für jede Folge Betonung wieder auf jede für jede Folge AN in D gehen die gegen x 0 konvergiert also den Limes in dem sich 1 x 0 und jedes AN gegen Definitionsbereich muss gelten dass auch die Folge er von am konvergiert und den dass sie konvergiert
reicht nicht sondern sie muss einen genau definierten Grenzwert haben nämlich den Funktionswert an der Stelle x 0 und ich hatte Ihnen gesagt Stetigkeit begleitet anschaulich wenn sie eine Variable nur wenig wackeln dann wackelt auch die Funktion nur wenig und dass das ein ganz wichtiger Begriff oder ganz wichtige Eigenschaft unseres normalen Alltags ist dass die meisten Dinge sich stetig erhalten und denn alsdann zum diskutieren beim Mittagessen mit mitgegeben was was hat diese Definition ist mit Bargeld zu tun das bisschen so erklären diese Folge am approximiert des 6 0 wo sie gewählt das heißt wenn ich in Großmacht komm ich demnächst nur beliebig nahe und was die Definition sagt wenn sie mit dem Eingangsparameter ganz nahe bei x 0 sind also mit dem beliebig nein nix 0 gehen dann bisher Ausgangs Parameter sie der Wert der Funktion f von einem beliebig nahe der von soll und das ist genau diese also eher konvergiert dann ging er von X wollen das heißt wenn sie mit dem groß werden dass sein aber x 0 ist muss er von allen aber er von x 0 sein und das bedeutet genau wenn sie am Ausgangs Parameter x 0 wenig wackeln dann wackelt auch das F wenn ich da das ist die Definition von Stetigkeit zurückgeführt auf unseren folgen Konvergenz Begriff wie gesagt im Prinzip über die ganze 4 die ganz allein ist es auf diesen einen Definition zurück so dann habe ich noch 2 etwas abgeleitete Definitionen glaub ich letztes Mal auch schon hingeschrieben man liest auch auf das Mehr Funktionen nicht stetig in einem Punkt ist sondern stetig auf ne ganze Menge also stetig auf D was heißt es ist stetig auf die das heißt es ist stetig in x 0 da alle x 0 lehnte zu also einfach überall aufstehen so das war das 2. und das ist wenn Sie an Funktionen die Kehle denken wie sie im normalen Leben vor sich haben also jetzt insbesondere der Mathematik oder hier und da Anwendung dann werden das alles Funktion seiner Finanzen Definitionsbereich geht dass ich mir ihn stetige Hässlichkeiten zeigen im Lauf der Vorlesung um sie nochmal immer wieder daran zu erinnern dass es auch Unstetigkeit im Leben gibt aber natürlich ist es so dass die meisten Funktionen mit dem man real zu tun hat stetig Gassen ganz fundamentaler Begriff und weil stetige Funktionen so was wichtiges und tolles sind kriegen die noch wir sind jedoch Extrabezeichnung wert und zwar schauen wir uns an die Menge aller stetigen Funktionen auf
ne Menge des und die bezeichnet man mit C von D das ist die Menge aller Funktionen von den nach aber so dass es stetig auf diesen verletzt man schon gesagt dieser Buchstabe c kommt vom englischen Wort konnten jetzt bestätigt ins heißt bedeute halt bedeutet einfach die Menge aller stetigen Funktionen so einen ab dann kommt Bemerkung 7 8 die enthält das was ich schon sagte wenn sie die Definition sich lesen betonen Sie denn für jede Folge Geld also es reicht nicht zufällig eine Folge zu finden für dies gut geht so das muss für jede Folge geht es muss egal sein wie sie sich demnächst 0 annähern dass er von einem muss immer gegen f von x 0 gehen es muss nicht eine geschickt die Möglichkeit geben sich dem anzunähern Sohnes muss egal wie wenn sie nahe bei x 0 liegen muss der Funktionswert nahe bei Echsen und bei f von x 0 und zwar egal wo sie sind so man am Beispiel was wir jetzt natürlich sozusagen was die nächste mathematische Frage ist er habe schon paar Funktionen kennen gelernt Polynome Funktion Betrag das stetige Funktion ja oder nein oder wie zeigt man das und die gehen wir jetzt im Prinzip tauchen die nächste seiner Vorlesung alle auf zusammen doch ein riesen Bündel von Mehr Funktionen die es bisher fehlen und das 1. was ich Ihnen zeigen wie des Betrags Funktionen also eine Funktionen in div F als Funktion von R nach ab oder von X ist Betrag X und ich will Ihnen zeigen dass das ne Funktion ist die stetig ist auf der Hand das geht ziemlich fix einfach nach Definition was eine Definition für jede Folge einige nix 0 geht muss 11 und den Definitionsbereich liegt muss es von einem gegen F von X 0 konvergieren also dem uns nix nur und die Wichtigkeit untersuchen und so den nächsten und müssen uns jetzt Erfolge hernehmen die gegen x 0 konvergierenden Definitionsbereich liegt das im Definitionsbereich liegt für den ich besonders schwer das ganz er also in er die gegen den untersuchten .punkt konvergiert und was wir feststellen müssen ist was macht er von einem konvergiert das brav gegen 11 von mit 0 und das ist zum Glück schon geklärt also es n gegen unendlich er von 1 war es das ist der Limes n gegen unendlich von Betrag am jetzt hat mir bei den Folgen im Satz in Grenzwert sei zu befolgen gesehen wenn Sie Folge haben die konvergiert eine geht gegen dann konvergiert immer Betrag eingeben Betrag also ist das hier Betrag aber oder in dem Fall ist aber nicht der Grenzwert 1 x 0 also ist das Betrag x 0 und was ist mit Tragik so ist es genau F von X und damit was das wie jede Folge 1 die Links 0 geht geht er von einem gegen F von X und das ist Stetigkeit das war das 1. Beispiel dann habe ich in ein Beispiel für ein ein weiteres Beispiel der stetigen Funktion mitgebracht ich hatte gesagt Polynome 10 interessant und ich zeigen er im wesentlichen jetzt das was man braucht um später zu schließen dass alle Polynome stetig sind was reichten Monologen also wenn man meist F die Funktion zehnmal hoch K und die überhaupt ich es stetig auf eher egal was sie als Ziel wählen also für jede Szene R und für jede Wahl von K enden kann also ist jeder Baustein von Polynom ist die stetige Funktionen und auch das ist genau so einfach wie im Anteil was machen wir wenden uns wieder nix nur hinterher wenn in der Folge AN die gegen das x 0 konvergiert und wir müssen zeigen dass dann auch eher von einem konvergiert und dass der Grenzwert F von X Landes und das erledigt sich auch mit den Grenzwert setzen für Funktion fehlte der ihnen dann geht meist müssen untersuchen den Limes n gegen unendlich von allen das ist was das ist der Limes n gegen unendlich und zehnmal ellenhoch K und das ist jetzt er jenes von Konstantin mal Freigelände für die konstante vor Limes 10 und also den bleibt dann übrig in dem es von allen Hochkar dass es ein Produkt von K ,komma gelten folgen die alle gleich sind aber 10 trotzdem K wegen der Folgen einer multipliziert werden das heißt wir dürfen auch nach den 2. Satz zuerst den Limes einbilden und dann hoch nehmen nach weil das Produkt von konvergent folgendes Produkt der Grenzwerte konvergiert das sind alles diese Grenzwert setzt der beiden und was jetzt dasteht ist 10 x nun Hochkar weil das allerdings nur konvergiert und 10 x nur hoch K ist genau F von X und das sehen Stetigkeit ist ein ich kein großes Hexenwerk was man und wir prüfen muss ist finden sich in der Folge des gegen Xue konvergiert trauen sich eh von 1 ein und gucken dass die rauskriegen dass das wieder konvergent ist hingegen f von x 0 geht und dass man da halt außen ff rauf und runter braucht sind die ganzen Grenzwerte zu verfolgen wenn sie jetzt für 5 Funktion Stetigkeit untersucht haben dann können Sie die es damals einer Stetigkeit gesehen dann ist sie nicht hier noch ein Beispiel anzugucken vor eine Funktion die nicht stetig ist und wir sozusagen das einfachst mögliche die sogenannte Siegen und Funktion die Kammer dabei gleich ein Film das der Funktion von R nach R es IGN abgekürzt manchmal auch SGL und die sehr einfach die liefert einfach das Vorzeichen also Signum von reellen Zahl hat nur 3 mögliche Werte
entweder -minus 1 wenn das x negativ war 0 1 x zu wenig 0 ist oder einzelne sex-positiv mit aber die Funktion des Vorzeichen der Zahl liefert und die ist wenn Sie sich den Grafen vorstellen nicht bestätigt nicht stetig und weiß nicht stetig in 0 1 weiter draußen ist es nicht so ein Problem und 5 ist sie gut stetig weil sie da konstant ist krabbeln oder zum Problem der ziemlich sprechen und Sprung ist sozusagen das erst mögliche einfachste Verhalten von Unstetigkeiten eine Funktion springt dann kann sich der Sprung Stelle beliebig nahe nähern aber dem Funktionswert um den Strom verschieden sein und damit haben sie kleine Auswirkung große Wirkung der kleine kleine Ursache große Wirkung kleine Ursache große Wirkung und steht bei Stetigkeit bedeutet genau kleine Ursache kleine Wirkung so aber das können natürlich auch saubermachen Krawatte zu dass das die Segnung Funktion ist 2 das stehen .punkt wir sehen wir dass das Ding nicht ist wir haben das übliche schöne Effekte der Mathematik etwas zu widerlegen dass immer einfacher als es zu beweisen wir brauchen nur ein Gegenbeispiel wir brauchen nur eine einzige Brücke Spielverderber Folge wird die die Sache schief gehen kann dies hier sehr einfach was nehmen wir benehmen uns als Folge 1 die Folge einfach 1 durch n aus allen und besseren aus den Stern was bisher für die Folge was in F einsetzen also Signum Funktion an der Stelle eines durch N das kriegen wir dann das Erste was wir haben ist die Folge AN komm geht gegen
0 das ist wirklich ne vorliegende konvergiert das heißt jetzt muss Limes von sich Nummer 1 gegen Signum von 0 konvergieren für die Stetigkeit aber das kriegen wir eben nicht also was es Limes n gegen unendlich von 7 um von 1 Na die 1 1 durch engen 1 durch N ist immer positiv für jedes enden das heißt das Vorzeichen von einst ich immer 1 und diese sollten alle hinkriegen des 1 und ist eben ich nun also 1 ist sehr selten gleich 0 und den er schon gar nicht und dementsprechend gilt die Bedingung für die Stetigkeit nicht weil sie dann von 0 ist 0 und ich als und das ist jetzt genau der Sprung zwischen 0 und den größeren Zahl nach der sie Sprung von 0 1 und dann das deswegen es da nicht stetig das ist dort sein die einfachste Möglichkeit der Unstetigkeit und ich sie an der Stelle ein bisschen warnen weil aus dieser Vorstellungen und stetig heißt die Funktion springt nähert sich auch so diese klassische Lüge für die Kinder aus der Schule stetig ist aber mit dem Stift den für gibt die Funktion durch zeichnen kann und ich will in einem Beispiel zeigen warum das ende für die Kinder ist die nicht weit genug trägt und ich mach einfach nur ich meine nur den Grafen hin wenn Sie sich an was passiert also ich schreib mal warnendes Beispiel warnendes Beispiel in dem Sinne was damit gemeint ist wir brauchen diese abstrakte Limes Definition der Stetigkeit wirklich und den Begriff vollständig zu verstehen und welche Na Vorstellung der Sorte ich kann Stift durch Zeichen zum zu greifen zu kurz und an der Stelle mach ich jetzt dann kann ich ist es zum Glück nur ein Beispiel am Rande weil ich letzte Funktion verwendet die wir gar nicht kennen nämlich den Sinus mein ich geh davon aus dass sie alle wenn wir wissen dass es sinnlos ist aber rein formal an bei denen der Vorlesung noch nicht hingemalt wäre also was ist er sie los zur Erinnerung in USA 0 in dieser 0 der halbe 1 Apps Apps ich das im Krieg und gibt es genauso andersrum da die klassische 7 Schwingung und so periodisch bis hat infinitum so war der Janko ist nicht sinnlos von X sondern sie von 1 durch x den uns kurz wie sie der Graph von Sinus von 1 durch x aus ich meine natürlich das ganze nur für x ungleich 0 aber für gleich 0 können das die natürlichen Gesetzen wir also da
alle Freiheiten wir zum Beispiel 0 Pages das Dinge nur stetig oder nicht so wie Sie die Funktion aus ich mal so mal nur für positive x sind im negativen siehst dies ungerade
ist einfach nur symmetrisch punktsymmetrisch wichtige Dhaka so was macht die Funktion Sinus 1 durch x und die spannende Frage ist wie sehen Ihre Nullstellen aus der die USA Nullstellen bei Viva Humply wann es Excel wir von P also es 1 durch x gleich Capri genau dann wenn x gleich 1 durch KP ist Mehr also die 1. Nullstelle hat das Ding bei 1 durch Pi dann kommt einem bei 1 durch 2 wie dann kommt eine Wahl als sich 3 Pilli Jan sichern Sie verstehen es weitergeht und dazwischen die die Funktion immer auch 1 auf minus 1 also die sieht so aus es einst das minus 1 und jetzt kommt eine zeichnerische Herausforderung eine dazu nur stellte Stopp so war schon versehen also den der man weg also so so so so so so so nur jetzt kommen ziemlich viele Nullstellen und dieser aber langsam schwierig zumal der in einer Stelle 0 7 0 aber dazu davor geht sie unendlich oft rauf und runter ja am Schluss ziemlich schnell ist das dem stetig einig also durch zeichnen kann man zugegebenermaßen nicht zumindest nicht ähnlichen Miene er also Sie sehen da muss man auch Thierry 4 ich verraten Sie es nicht stetig können sie beweisen es nicht viel aber ich kann sie leicht modifizieren dass sich tätig wird schauen uns vielleicht meine Übung an gute S er hat wir haben diese oder ich hab es besser man geschrieben Stetigkeit alles wie jenes von 11 von einem musste ich eher von x 0 sei Folge einige soll die ich wäre warum Limes eingeben ehrlich er von einem geht gegen irgendwas für jede Folge ist gerade funktions Grenzwert also ist die Frage warum schreibe ich nicht die Stetigkeit mit je 1 X gegen x 0 F von X muss er von Evonik 0 weiter zu eine wesentliche Voraussetzung fehlt oder der zu packen und dann geht das tatsächlich und das ist der Satz 7 10. und so kann man sich die Stetigkeit auch ist der denk ich am zugänglichsten von der Definition der jetzt machen und zwar für die Definition fehlt die Voraussetzung dass ich's nur mal fungspunkt von des ist wenn X 0 nur indirekt aber keiner uns .punkt dann gibt es den Grenzwert x demnächst wohl gar nicht bei den aber nur definiert für den Fall dass Sex nur fungspunkt .punkt ist und das brauchen sie der Stetigkeit nicht meinen sie Definitionen Stetigkeit nochmal anschauen da steht nur Ex-Model des nächste .punkt das kann diese drunter der was sein der Narrensprung brauchen Sie nur wenn Sie den funktions Grenzwerte definieren mal also das ist Einsatz dessen besten dessen beweist sich direkt aus den Definitionen gibt aber der es wert ist mein geschrieben zu sein also dann wieder eine Teilmenge von aber eine Funktion auf dieser Teilmenge und jetzt setzen wir nehmen nicht nur x 0 aus D seine setzen zusätzlich voraus das dieses x 0 half uns .punkt von der ist beliebt normal leben wenn sie ihre Punktion auf oder sonst was gegeben auf das Einfahren gegeben haben und die des X 0 das neue fungspunkt aber das braucht man die 1. Voraussetzung dann können Sie Stetigkeit über den funktions Grenzwert ausdrücken dann ist es stetig in x 0 genau dann wenn der Limes
x gegen x 0 F von X 1 ist jetzt funktions Grenzwert von letzten Dienst vom Dienstag gleich f von x 0 also wenn sich mit X x 0 nähernder nähern sich die Werte F von X 7 von Excel auch das ist wieder kleine Ursache kleine Wirkung wenn das X Naber x 0 liegt muss er von nix mehr der von x 0 liegen und das ist schlimm sozusagen die Formulierung wie die Stetigkeit denk ich am eingängigsten ist und ich will noch mal ein bisschen umformulieren wenn man sich so auch gut vorstellen kann also wenn Sie in diesem Fall sind dass das neue fungspunkt ist und er stetig in x 0 dann haben sie was da stehen das was oben steht also dem SX gegen x 0 F von X ist er von x 0 und das er von nix Neues Gansauge sind kompliziert schreiben das es erfahren wir 1 x gegen x 0 von nix mehr ende sechsgängige soll von exist x 0 1 und auf die Weise sieht man auch immer sich Tätigkeit vorstellen kann Stetigkeit bedeutet einfach die funktions Auswertungen der Grenzübergang vertauschen mir ist es egal ob sie zuerst auf das nächste Funktion werden und dann den Grenzübergang machen oder zu 1. Grenzübergang machen und dann die Funktionen das ist auch eine Möglichkeit den Stetigkeit sie immer mehr je nachdem kann man sich eher an also einer stetigen Funktion aus suchen immer beides machen mussten Grenzübergang Multifunktions Auswertung in welcher Reihenfolge man das tun will so wird nächster wichtiger Schritt wann immer wir das mit Konvergenz machen dass es auch hier wieder der Fall er dann bekommen wir also Stetigkeit ist wir Konvergenz definiert über Konvergenz von folgen für Folgen aber die Grenzwert setzte die uns erlauben komplizierte folgen kleine Einzel Bruchstücke zu zerlegen und das ist auch hier das hierher zu übertragen ist eine sehr Frucht baden den weil das nämlich ermöglicht die Stetigkeit Untersuchung von komplexen ausdrücken auf die Einzelteile zu untersuchen sie lange Summe von Funktionen haben und jeder einzelne stetig dann in die Summe stetig und das ist der nächste Satz das den Grenzwert setzen folgt sie nicht gerade Aas also dass der Satz 7 13 wenn Sie
also haben unser übliches Wärme Teilmenge des von R den Definitionsbereich es aber 2 Funktionen f und g auf dieser Menge und Design alle beide stetig an der Stelle x USB das heißt natürlich nicht dass es woanders nicht sind aber an einer Stelle sollen sobald ich tätig sein und das jetzt die Frage was es mit F +plus GF mal GIF durch die später dann auch äh verkettet mitgehen lauter solche Dinge mir ist erst durch den Tag schwieriger aber nicht durch 0 teilen dürfen aber alle anderen gehen ganz geradeaus also wenn Sie 2 stetige Funktionen haben dann sind auch die Funktion F +plus G elfmal gehe und Betrag F stetig in Index 0 0 es kommt wieder das Problem den Quotienten was brauchen wir zusätzlich für den Quotienten wir wollen 11 durch die betrachten an der Stelle x 0 dann brauchen wir das gerne Stelle x 0 nicht nur des und das schöne ist das das reicht mir also wenn sie zusätzlich noch wissen das x 0 in einer Menge die man nicht mal die Sterne liegt das sind einfach die in den Anden das ging nicht nur los wir also ich ganz einfach die nicht Nullstellen von G und wenn sie dann wenn dann dieses wenn X 0 da drin liegt dann können Sie sich die Funktion f durch die anschauen die kann natürlich auf die definieren soll die kann auf die Stern definieren also von dich danach er aber die Distanz auch stetig in Excel also wenn Sie 2 Funktionen haben der Hersteller stetig sind und an der Stelle ist der Männer nicht nur das auch der Quotient steht und weg den Beweis können wer guten Gewissens in bei der Bedie also Definition Leichtigkeit an den Grenzwert setzte verfolgen drauf werfen und das war's und aber trotzdem sollte der Satz nicht untergehen weil auch wichtig ist um zu sagen und Stetigkeit festzustellen von komplizierten Funktionen wie aus einfachen Bausteinen aufgebaut sind zur damit also Summe Produkt Vorziehen von Funktionen etwas Wichtiges was mit Funktion auch noch machen kann es verkehrten also 11 nach werden auch hier die Frage 11 und tätig sind es dann erst nach dem stetig Antwort ja sie Satz 7 14 und wenn wir die Quote die Verkettung haben dann gibt es noch ein Ding was wir tun können das wir bisschen komplizierter das ist die in Version also wenn es stetig ist was will ich hoffen das einst ins existiert dass man dann der Macht aber erstmal die Verkettung also wenn man uns was brauchen wir jetzt über uns bei Funktion der miteinander verketten können das heißt wir brauchen nicht nur ein Definitionsbereich Sonneborn 2 Definitionsbereich 1 für F 1 für gehen und wir müssen dafür sorgen dass das 11 ab bildet in den Definitionsbereich von G damit überhaupt die nach 11 bilden können wir also es geht von D nach E und gehe geht von den wir haben jetzt die Voraussetzung geschaffen dass die nach 11 macht jetzt kann man es anschauen also die Voraussetzung ist dass es stetig ist an der Stelle x 0 aus dem des er sein Definitionsbereich und das muss da steht ich sei nur dass er rauskommt also die stetig in f von x 0 das Elend von E und damit gute Definitionsbereich von gehen also wenn er Felix nur stetig ist und den er von x 0 dann sagt der Satz dann können sie verkehrten also dann ist die Funktion nach 11 das ist jetzt ne Funktion von wo nach wo 11
geht von D nach E gehe geht von B nach A also eine von den nach er ebenfalls stetig in x 0 und damit ist auch das Problem für die Verkettung gelöst der Beweis ist in dem für jeden auf dann haben Sie ne Blaupause für den Beweis da oben also was wollen wir zeigen wir wollen zeigen das F beginnen nach 11 tätig ist in X D also was müssen wir tun sich die sich der Gebrauch in der Folge die Gegend 0 geht also eine Folge in den die gegen x 0 geht das heißt der Limes n gegen unendlich Bonner Ende soll x 0 sein was wir zeigen müssen ist die nach 11 von AN die gegen die nach 11 von x 0 und natürlich müssen wir die Tätigkeiten von der von G ausnutzen also wissen dass es stetig ist in x 0 was bedeutet das das bedeutet die Folge 11 von 1 konvergiert gegen f von x 0 diese Folge er von allen denen ich mal wählen also das ist die Folge der die Bildfolge von einer der 1. wenn Sie so wollen also setzen jedes 1 F 1 1 Gebiet eine Folge dass es Erfolge ne ja wir jedes erstmal ne legt und wir wissen weil er stetig ist dass die der Limes n gegen unendlich PIN das ist der Limes von 11 von 1 und der Stetigkeit muss dass er von x 0 sein sorgsam eine Folge wären die Folgen E den Grenzwert der Phonic Wallace das aber die stetig in f von x 0 wenn er von ist die stetig das heißt was heißt das für jede
Folge wie in in dem Fall die gegen f von x 0 konvergiert konvergiert G von der Folge gegen die von der von x 0 also Lemmers n gegen unendlich und die von 11 von enden also von der vom BND das ist wahr ist dass es der Limes n gegen unendlich von geht nach 11 von A 1 und das ist einfach Definition der hintereinander Ausführung der ist er von einem wichtigen f von x 0 also geht die von von der allen gegen die von f von x 0 nach Stetigkeit und das ist genau gehen nach 11 von Excel und das ist das was wir brauchen also ist er gehe nach 11 stetig nix wurde gezeigt haben für jede Folge 1 die Klinik soll geht die die von der von einem gegen die Folge von X nur zur damit am war so nur kurz Produkt Betrag Vergeltung was mit Funktion nachmachen kann es zumindest wenn sie Sensibilität sind sie umkehren und die nächste Frage ist welche Funktion hat die wir aktiv ist und dies tätig ist dann also immer auch stetig und den die klare Antwort ist nein er geht im Allgemeinen nicht und das liegt vor allem da sie können sich ein böses Gegenbeispiel produzieren und zwar in dem sie den Definitionsbereich nehmen der aus 2 Teilen
besteht also das 1. Definitionsbereich na im Sie in Wert die wahre Funktion wir benötigen dividiert so und hier geht es so weiter hart wunderbar wie tief die können wir umkehren und wenn sie jetzt den um die Umkehrfunktion wurden den bilden was als Umkehrfunktion bilden das heißt im wesentlichen sind denn die ganze Projektion und drehen Sie um 90 Grad ist Deutsch wir möchten Rechner Dreh nix aber wenn Sie das mal so Kopf machen was kriegen wenn es um die Funktion raus wie sie dann ungefähr so aus dies definiert auf diesen großen Intervall hier ob ohne Strich also auf diesem Intervall ist die definiert und die was Na ja die macht ungefähr sowas war ein und da sehen Sie Monson Sprung an also wenn das dann die Funktion etwa die stetig Jahr also stetige geht ja gar nicht mehr und das dann ist das die vom so was ähnliches die Funktion vor -minus 1 und verlangt und stetig also die zum Problem und diese Probleme müssen wir überwinden und das Problem liegt im Wesentlichen daran deswegen Definitionsbereich so geschickt in 2 Teile aufgespalten haben wir das Loch im Definitionsbereich ist das Problem das ist dann der Sprung umgekehrt beschert gut also um den Satz über die Umkehrfunktion vorzubereiten kommt jetzt erst Stapel Begriffe im Wesentlichen die aber im wesentlichen an entweder ihr bekannt sind oder intuitiv nämlich gefragt der Begriff der Monotonie einer Funktion also munter wachsen und fallen streng wachsen streng feindlich denkt das kann ich relativ zügig aber handeln also ich hab mir Teilmenge des von A und der Funktion da drauf die ist monoton wachsend Na ja wenn sie eben 6 das heißt wenn ich 2 .punkt 2 Argumente reinstecken das eine kleiner als das andere dann müssen auch die Funktionswerte die ungleichen erfüllen also wenn für alle x aus D gilt das aus X kleiner gleich y folgt das er von X kleiner gleich er von y ist war das ist monoton wachsend monoton sein bedeutet das umgekehrte wenn ich 2 Punkte eines das der andere da muss der Funktionswert beim größeren kleiner sein als vorher also genau das Gleiche nur mit viel größer gleich unter den beiden Begriffen gibt jeweils jeweils noch die strenge Versionen das ist zu viel also das verwegen dann gibt c streng monoton wachsend was heißt das nach der Definition von monoton wachsendes der konstante Funktion monoton wachsend Na allerdings kleiner gleich y ist dann ist die Konstante kleiner gleich der konstant vollkommen richtig denn bei strengere wachsen wollen wir solche komischen Film nicht mehr dabei haben das heißt was wir fordern ist dass das denn wirklich größer wird das heißt was wir fordern ist das wenn das X echt kleiner als das Y ist dann ist auch das F von X ich kleiner als das er von y das ist ne stärkere daraus Sitzung als die die Monotonie das Ganze gibt's nur mit fallend und fallend ist wieder wie oben nur die in einer Relations
Zeichnung drin aber wo und dann wird man auch auf den Begriff dass eine Funktion einfach monoton ist oder auch streng monoton und damit ist gemeint dass sie entweder das eine oder das andere ist also wenn sie monoton fallend oder monoton wachsend ist beziehungsweise wenn sich streng monoton fallend oder streng monoton wachsend ist gut das ist denke ich sind Begriffe die man relativ glauben kann oder schon oft gesehen hat gut Name noch ein Beispiel dazu und dann ein schlimm also Beispiel 7 17 das Beispiel bringe ich ihn nicht um ihn zu erklären was monoton wachsend ist das behaupte ich können sich vorstellen sondern das Beispiel bringe ich weiß eine wesentliche Funktion dieser Vorlesung mal wieder bringt und wesentliche Eigenschaft von der wenn die Rede ist von Exponentialfunktionen nochmals Erzählerin was war das das war zum einen aber zum anderen ist das n gleich 0 bis unendlich die Reihe x so rennen durch n Fakultät werten das derzeit aus C C definiert aber im Moment schauen nur jene Funktionen an und ich behaupte dies streng monoton wachsend und das Beispiel ist im Wesentlichen hier war das später brauchen warum ist jemand am Werk dazu eine kurze vor Überlegungen was auch immer sie sich eine positive reele Zahl hernehmen sie kriegen dass die Exponentialfunktion für die an der Stelle größer als 1 ist und das kriegen sie nicht brutalstmögliche Abschätzung wenn man sich mit der Funktion des Experiments Funktion ist unsere exponential Reihe wenn gleich 0 bis unendlich x auch endlich ein Fakultät und was wir jetzt machen
Noa wir lassen mal wieder alles so machen es auf einem weg und des Malers alles auf den 1. weg und der 1. der wenngleich nur des Einzelnen nur du damit wo ist größer als 1 für alle positiven X das heißt er nochmal anders formuliert der jedes positive X ist EOX zwischen 1 und endlich und weil wir jetzt wissen was mit ihr auch -minus x ist ja auch -minus x ist nämlich als durch EOX das heißt wenn X weiter positiv ist für negative Zahlen also ich auch -minus x S 1 durch ihr auch Positives X EU positives ängstlich zwischen 1 endlich die diversen also die wurde wieder den inversen von allen Zahlen zwischen 1 und endlich liegen zwischen 0 und 1 das heißt wir kriegen er nun wir kriegen wenn sie das X aus -minus endlich 0 nehmen das dass er hoch x immer zwischen 0 und 1 liegt das er auch nix für negative x eben sehen wir also von einem für positive x ist inzwischen als nun endlich und damit aber insbesondere und das brauchen wir auch später immer wieder und es eine wesentliche Eigenschaft Exponentialfunktion das regt echt größer 0 ist für alle x aus er habe also die Exponentialfunktion es recht positiv egal wo sich mehr befinden das war die Vollbelegung und wenn wir die vor Überlegungen haben das begrenzter Funktion Schritt positiv ist dann kriegen wir die Monotonie die strenge Monotonie der Funktion jetzt mit dem billigen Trick also was müssen wir machen wir den und Tony wir brauchen müssen uns 2 Punkte der her nehmen von den wir die
Reihenfolge wissen also X ist kleiner selbst nahm und müssen zeigen dass EOX kleiner See und alles und das kriegen wir folgendermaßen man X kleiner also y ist da ist auf jeden Fall mal Y -minus x größer als 0 das einfach nur 6 auf die andere Seite gebracht wer angesehenen seine positive Zahlen ihre Funktion stecken dann kommt da was raus was größer als 1 ist und das war die Vorbemerkung wo was Positives ist größer als 1 wo sie das X ist nach der funktional Gleichung der Exponentialfunktion der Konzern rückt sollen Lyrics so und jetzt müssen sind diese Ungleichungen Romeo x durch multiplizieren dann steht da EOX ihre zu Leuten aber wenn er an man sollte sich an der Stelle sorgen Pawlowschen Reflex ein trainieren multiplizieren Sie niemals eine Ungleichung mit sei es auch irgendwas ohne darüber nachzudenken ob das irgendwas vielleicht negativ werden könnten wir haben beliebter vieler egal wo Ungleichungen Dobermänner Beck multiplizieren ja nur wenn der Nenner negativ ist dann wird sich das ungleiche Zeichnung und das übersieht man hier also der Flex 1 trainieren wir wollen mit Yoricks multiplizieren wie auch XS tatsächlich immer positiv aber gerade gesehen also dürfen wir das und kriegen ihr auch XP bis echt kleiner und Zimmern unser durch damit die Monotonie gut jetzt hab ich Ihnen was über streng monoton monoton erzählt und wollte gar nicht erzählen wie das mit der Fähigkeit der Umkehrfunktion ist das kommt im nächsten Satz aber zum 1. Mal größtes Bräuchen und dann bei wo ich würd gern langsame 2. Hälfte einsteigen und ihnen nach das Resultat über die Umkehrfunktion präsentieren also jetzt wie gesagt ganz im Allgemeinen jede stetige bietet diese Funktion der Bestätigung der Funktion wird nicht klappen für das Beispiel von vorhin und ich hatte gesagt die tritt das Problem ist dass ich bei diesen fiesen Beispiele der Definitionsbereich in 2 Teile aufgespalten hat mit dem echten Abstand dazwischen und das ist auch das was wir jetzt brauchen was wir machen müssen ist verlangen dass unsere Funktion als Definitionsbereich Intervall hat also ein zusammenhängendes Stück man kann solche Aussagen Sauerei die vorher nicht passieren und das ist der Satz 7 18 und den gebe ich Ihnen nur an der werden wir keine Beweise machen das ist Stetigkeit der Umkehrfunktion also wie gesagt die Funktion ist es nicht auf einem beliebigen Definitionsbereich definiert sollen auf dem Intervall und wie Sie vorhin gesehen haben ist das eine wichtige Voraussetzung die sollte man wenn man den Satz anwendet tunlichst im Auge haben dann ist setzen wir voraus dass er aus von ist das heißt nichts anderes als er stetige Funktion auf wie und zusätzlich noch das sie streng monoton ist und diese strenge Monotonie ist deswegen wichtig oder gut weil sie uns die Umkehrbarkeit umsonst mitliefert wenn Sinne streng monotone Funktion haben dann ist die automatisch biegt tief zumindest also ist auch hier nicht jektiv und dann kann man sie umkehren also eine streng monotone stetige Funktion dann sagt der Satz dann ist er als Funktion von den E auf dass er von Eli also 11 per Gewalt zu jektiv gemacht neben diese Funktion außerdem kriegen Sie dass das er von E also das Bild wieder ein Intervall ist stetige Funk dass es noch ihr drin versteckt auch interessante Aussage stetige Funktionen bilden immer Intervall auf Intervall aber und jetzt kommt der entscheidende Teil er vor -minus 1 können Sie weil das Ding jetzt Bier Tiflis definieren ist eine Funktion von er von hier nach wie und die wieder stetig auf dem er von und sie ist auch strenger laut wurden also wenn sie streng monotone Funktion darf man dabei haben die stetig ist können Sie die umkehren gefunkt umgeformt wurde wieder städtische widersprechen oder also genauso schön wie er und das hab ich nicht reden schauen Sie sich den nächsten Übung an die Monotonie Richtung bleibt auch erhalten also wenn 11 strengere wachsen war auch die Umgehung von Steuern wird wachsende wird extrem unterfallen war ist auch die Umkehrfunktion streng monoton fallend so wie gesagt das Matschie ohne Beweis ich will Ihnen lieber die Zeit nutzen noch ein bisschen so fakultativ Steuern über Stetigkeit zu erzählen wobei das 1. ist wenn da würde mich jetzt verschiedene Mathematiker für steinigen wir nicht sagt dass das Verbot was jetzt kommt das Satz im 19. Mehr es wäre äquivalente Bedingung zur Stetigkeit der Charakterisierung Verständlichkeit und wenn Sie Vorlesungsskripten Bücher oder sonstige von Mathematikvorlesungen kucken wenn Sie dort immer diese als die Definition finden und unsere Definition über die volle und als den Satz also was jetzt kommt ist derzeit die Mathematik ganz saubere Definition der Stetigkeit die aber ein bisschen unanschaulich ist dass die über die Folgen des wegen hab ich mich in die umgekehrte Vorgehen entschieden die beiden sind äquivalent völlig wurscht ich hab die Falten Definition genommen für die Definition und bringen jetzt den Satz in einer Energiekrise würde man das anders rum machen und der Hintergrund ist dass die 2. Definition die jetzt kommt einfach nicht leichter zu verallgemeinern ist auf abstruse des Settings aber das interessiert uns ja nicht also kommts jetzt als Arzt und das Ganze ist das so genannte y Wälder Kriterium der Stetigkeit also das es geht um Stetigkeit wären wenn Definitionsmenge in erwärmen .punkt eine Definitionsmenge und Stetigkeit interessiert ja eine Funktion auf der Definitionsmenge nach so weit so bekannt und diese Funktion ist in x 0
stetig an genau dann wenn wie gesagt das ist äquivalente Bedingung für Stetigkeit und jetzt kommt der Quantoren müsste also was sagt dass ich schreib hin und dann diskutieren wir die genau dann wenn für jedes Epsilon größer 0 das kennen wir schon von den von dem Folgen für das Epson größer 0 geht's einen Delta größer 0 zur das für alle x in gehen den Abstand zu x 0 Betrag von x 1 x nur dass der Abstand x 0 kleiner als der älter ist gilt dass der Abstand von 11 von X zu FAX 0 kleiner ist selbst an die man an dass wir zustimmen wenn ich ihm das am Anfang des Kapitels das Definition auf den vor den Latz geknallt hätte dann hätten sie mir hätten Sie ich zumindest im Kopf gern aus dem Wasser geschmissen so aber was heißt das und wenn man sich mal überlegt was es heißt dann sind wir wieder bei der Philosophie vom Anfang was versteht es das ist schlecht ich bin so auf zu uns darauf einigen er und wer nicht damit sie die letzten 5 Minuten davon sich Spanier man die brauche ich sonst machen wir dann über Steuern im Juni und Juli wollen sie erst recht keine Überstunden machen also ich wollte Ihnen sagen warum das mit der Philosophie man kann was sie also ich am Anfang gesagt Stetigkeit bedeutet wenn Sie am Eingangsparameter nur wenig wackeln wackelt auch der Ausgangs Parameter wenig und das ist genau das was hier steht mathematisch und das Ganze müsse sich wieder das Erbsen es glaube bei den folgen die zulässige Abweichung für jede noch so kleine Abweichungen die sie zu tolerieren bereit sind Erzählern also sie sich sagen der Versuchsaufbau und wollen jetzt messen und dazu müsse die Eingangsparameter einstellen und die Eingangsparameter können Sie sich genau einstellen und dann dann ist klar Eingangsparameter Mist bauen und kommt natürlich etwas Falsches raus aber sie wollen dass das irgendwie im Rahmen bleibt das heißt Sie sagen sie akzeptieren Abweichung von der den gleichen Hundertstel Ausgangs Parametern und dann sagt den Stetigkeit für jedem sie jeder abweichen die sie toleriere Epsilon gebe es eine ein Delta gibt es einen eine CPU Größe Wälder die noch größer 0 ist so dass wenn sie den Eingangsparameter X nein DM also weniger als der an dem richtigen x 0 also wenn Sie so zum Einstellen der Versuchsparameter sich nicht um mehr als Geld dafür tun dann liegt auch das Ergebnis ist ein X nicht weiter als ihre zulässige Toleranz erzwang von Evonik zurück nur dass das was da steht wir selbst aber sowohl für jede zulässige Abweichung gibt ne Tolleranz Delta also dass man sie mit dem Eingangsparameter innerhalb der Toleranz Delta vom richtigen Wert bleiben das Endergebnis nicht mehr abweicht von der von X soll aber das ist genau Stetigkeit na das ist der äquivalente Formulierung und ich will das ja auch gar nicht beweisen sondern dann später mal ganz frech verwenden aber ich hoffe ich konnte Ihnen irgendwie plausibel machen dass dann nicht dass das wegen gleichen Dunstkreis ist wir unsere Formulierung von vorher beide Definition mit erhalten wenn Sie am Eingangsparameter nur wenig wackeln wackelt auch die Funktion ich kleine Ursache kleine Wirkung das ist Stetigkeit so was ich jetzt noch machen will bevor zu Eigenschaften von stetigen Funktionen kommen ist noch ein anderer stetig keitsbegriff stärkerer stetig keitsbegriff also und man muss dazu sagen bestätigt es wird sein noch in um
1700 drohen wenn Mathematiker damals damals war die Mathematik die so formalisiert das Wort Funktionen im Namen dann gehen Sie mal davon aus dass eine Funktion immer stetig ist die konnten sich nächstes und stetiges vorstellen es ganz einfach nicht und irgendwann kam dann werden geht das ungute Gefühl auf dass man da vielleicht irgendwie ist da doch was anderes gibt und das in formalisieren müsste und daraufhin haben sich Unmengen der Stetigkeit Begriffe gebildet wann das kann bei denen man diesen verschieden wonach 2 ausgestorben und haben überlebt und haben ihre eigene Berechtigung und ich mich in allen anderen zeigen und das ist der Wille Stetigkeit und was da dahinter steckt ist folgendes sie haben eine Teilmenge von Ehre Definitionsbereich seine Funktion von denen er so weit alles klar du diese Funktion nennt man jetzt wer beschützt stetig bei den entsprechende Mathematiker falls was geht es muss 1 EL größer 0 geben meinetwegen auch größer gleich 0 ist die sogenannte jetzt stets konstante deswegen heißt auch ganz zufällig L für die was gilt der Abstand von 11 von X zu erfahren y muss immer kleiner gleich allen war der Abstand von XY seien da alle XY aus dem Definitionsbereich was heißt das durch die Funktionen also wenn Sie 2 Punkte haben mit Abständen in gewissen Abstand dann ist der Abstand der Funktionswerte höchstens einmal so groß die Funktion 2. vergrößerte Abstände allerhöchstens um den Faktor aktuellen und er könne sich vorstellen dass wenn sie das haben das sie dann so in die Richtung Stetigkeit kommen weil das eben auch bedeutet ganz kleine Abstand im im im im Ursprung im Definitionsbereich höchstens um L größer und das heißt sie können den Abstand im Bild Bereich beliebig kleinmachen wenn sie ihnen Definitionsbereich beliebig kleinmachen und damit sind bei Stetigkeit tatsächlich ist das nicht stärkere Bedingung als Stetigkeit also es kommt im 6. Satz wieder fit stetige Funktion ist stetig und wir haben so etwas ähnliches schon mal gesehen vielleicht erinnert sich der eine oder andere an diese also eine Form der Ungleichung wenn Sie den beinahe schon fix Grundsatz zurückdenken allerletzte Vorlesung einzeln er war vielleicht viele schon einen für ihn aber der tauchte Sonde Ungleichung auch auf der Haggis seine Funktion strikte Kontraktion wenn so Bedingungen gewinnen QC leider 1 warum das sind also ist aber Lizenzbedingungen damals gewesen ohne das so zu nennen soll zeitlich angekündigt das ich Ihnen zeige das jede Lippstadt stetige Funktion auch stetig ist warum zeitlichen Wirtschaftstätigkeit weil die Verständlichkeit mir sehr einfach zu viel infizieren der Sache ist deutlich leichter als für jedes y finde man Delta so dass für alle x das ist einfach die meisten das kann man manchmal relativ schnell rechnen vor allem noch mit Werkzeugen die Zukunft sehen werden nicht wissen dann vor das würde für mich in diesem Begriff ein weil mit Switches Stetigkeit kann man sehr angenehm hantieren also was hatte ich gesagt wenn Sie mit der Geschicklichkeit Stetigkeit nachweisen wollen
müssen sie also wissen dass wird Stetigkeit auf Dichtigkeit impliziert das machen wir jetzt also wir haben wieder der Funktion von A nach R auf den Definitionsbereich D in dem das diesmal das war nix soll ich behaupte der sich selbsttätig wenn wir selbstverständlich ist dann ist stetig also dann ist in C von gehen wir Herztätigkeit impliziert Stetigkeit und ist da ist falsch also Wirtschaftstätigkeit ist wirklich stärker für wichtige Funktion die nicht mehr selbständig sind aber nicht umgekehrt unter Beweis der eigentliche Beweis es erstaunlich einfach wenn man das selbst der der Kriterium nimmt in den aber das ist falsch es ist tatsächlich länger also das müssen wir zeigen wir müssen zeigen es ist stetig in jedem x 0 aus ausgehen also niemand sein Herr man muss ein beliebiges x nur aus Mehr und wir setzen voraus das das er stetig ist auf der wir so was müssen wir machen wir wollen selbst wenn der der Kriterium verwenden also wie das er bislang größte nur für jede zulässige Toleranz die die sie zugestehen gibt es in der da gibts ne zulässige Abweichung vom ECX 0 so dass für alle x die weniger als der von x 0 weg sind dass er von X weniger selbst und von f von x 0 6 das ist jetzt leider der Kriterien also essen wenn Ärzte dann größer 0 vorgehen und dann behaupte ich wenn sagt was sagte er verstehe die mir wird stetig sagt wenn Sie den Abstand vorgeben im Definitionsbereich dann wird der ab der Abstand der Bilder höchstens um L größer das heißt wenn sie den Abstand Epsilon garantieren wollen dann sollten Sie sicherstellen dass ihre Urbilder ihre am Definitionsbereich nicht mehr ist y durch L voneinander weg liegen wenn X Y mehr als Aids oder wenn X X nur mehr als Erzähler durch L zusammenlegen und dann ging er von links oder von x 0 weniger als der durch L mal L also Delta und Epsilon selbst und durch immer L also weniger selbst auseinander das können wir hier auch raus also das der so setzen dann gilt für alle x in die die weniger als Delta von x 0 Welt liegen an seiner selbst geben dass der der bestimmt und das hat uns alle die X an die weniger als der von x 0 dagegen und müssen zeigen er von X liegt weniger als f von x 0 mit weniger selbst war von der von x 0 3 kann also schauen wir uns einen was ist wird er von x und f von x 0 mit dem Abstand der beiden und jetzt sieht man schon die Wirtschaftstätigkeit drängt sich geradezu auf wir haben F von X minus F von X 0 er besteht Stetigkeit bedeutet genau das das kleiner ist als Elmar X -minus x 0 Promis 6 0 wissen wir dass es kleiner ist als der Eltern das Delta war y durch L und das es also sehen mit dem Geld geht es durch war man jetzt haben dann könnte die selbst an der der Kriterien drauf werfen das war Satz 7 19 und der liefert jetzt das er stetig ist nix an dem also vor dass wir Stetigkeit ziemlich sofort Stetigkeit anders der jetzt man müssen ist zeigen dass umgekehrt Quatsch hieß also der Nachweis dass das das falsch ist und wie
zeigt man dass irgendwas nicht gilt man Giften Gegenbeispiel an also Unternehmer möglichst einfach also wenn nehmen als Definitionsbereich mal den ganzen R weil das etwas nicht so kompliziert ist wir mal die Standard Parabel von exist x Quadrat und das ist wie Sie mir hoffentlich zugestehen werden wichtige Funktionen und falls jemand anfangen will zu diskutieren dann sag ich aber schon gemacht das ist nämlich Beispiel 7 9 b dann ist es stetig an sie Beispiel 7 9 B war konstante weil sie Lochkreis stetig für alle ziehen alle K wird sie konstante gleich 1 und kann gleich 2 dann sind sie da also dass das wichtige Funktionen zeigen dass dies nicht mehr besteht stetig und das war der Widerspruch ich nehme an dass dem werde beschützt stetig das heißt dass das heißt es geht mir das Herz Konstante L so dass der Abstand von 11 von Excel von Y immer kleiner gleich L malte der Abstand von X zu Y des und zwar für egal was wir Nixon y wählen wir und jetzt bringe das unwidersprochen das bringen wir zum Widerspruch in indem wir ganz spezielle X und Y wählen wir wissen dass für alle x y das nehmen mal als X zweimal L und das y el wenn Sie das tun dann sitzt die Annahme
schon in der Tinte weil das wissen wir wir wissen das dass er viele tätig ist das ist unsere Annahme also dass der Abstand von F von X zu 11 von y mehr anders rum kleiner gleich ist er mal der Abstand von XY aber das ist die Herztätigkeit die wir annehmen jetzt setzen wir mal hier auf der Seite 1 X und Y ist ist es 2 EL YSL 2 N -minus Alice L Betrag von Alice immer noch L also dass es in Quadrat und auf der anderen Seite kriegen wir was kriegen wir F von X X ist 2 EL also 2 EL Quadrat -minus 1100 verloren also -minus L Karat 2 EL Quadrates 4 Quadrate 1 EL Quadrat 3 EL Quadrant L Quadrates ganz sicher positiv also haben wir jetzt die schöne Ungleichung das 1 große gleich 3 ist und das sieht nicht gut aus alles widersprochen damit ist die Annahme falsch dass dem westliche besteht stetig was hier passiert die Funktion oder umgekehrt was bedeutet dass anschaulich dass wir Funktionen Größen nicht um mehr als L multipliziert wenn sie sich im Gran symbolisieren heißt es aus Mehr aus einem Stück hier unten wird allerhöchstens ein wahres Stück da oben das heißt die Steigerung des Grafen ist irgendwie durch L beschränkt Stellung des Grafen unterhalten wir uns noch aber das ist der anschaue die Bedeutung von wird besteht stetig das Ding wächst nicht so rasant wenn Sie jetzt das Gegenbeispiel an Charles war die Normalparabel und große X wird die eben wächst die beliebig schnell und macht damit jede Vielschichtigkeit kaputt steuern das war das was ich noch zum Thema Liebe steht stetig sagen wollte einfach alles zusätzliches Tool für das ist im Moment sehen als zusätzliches Stroms Stetigkeit nachzuweisen und was sich jetzt im nächsten Abschnitt machen will das ist unter Abschnitt 7 3 hat zwar das ist Eigenschaften von stetigen Funktion stetige Funktionen sind
die 1. schon gesagt unser alltägliche Annahme und zweitens in
der Mathematik sehr wichtig und zwar deswegen weil sie ein Paar sehr schöne elegante Eigenschaften haben und davon bin ich im Wesentlichen 2 in dem Abschnitt präsentieren eine mit beweist eine ohne und das 1. ist der zwischen der Zusatz und sie sehen daran dass der Satz den Namen hat das wahrscheinlich nicht ganz unwichtig ist das können sich grundsätzlich merken Sätze würden aber wir irgendwie suspekt dass sie diesen und was bedeutet das sagte zwischen Satz und warum überhaupt zwischen und warum wird da geht es um folgendes sie haben eine stetige Funktion auf dem Intervall alle Sie haben 2 Punkte an denen er mit kleine B das gibt den Intervall a b und eine Funktion die soll auf diesem Intervall abgeschlossen stetig sein also die stetige Funktion auf dem Intervall Pralinen sicher sofort 15 ein und dann sagt der zwischen wird Satz wenn Sie jetzt einen Wert y 0 haben der zwischen er von A und E von belegt man sie können Art für die Beine an .punkt das Intervall ist die Funktionswerte ausrechnen und jetzt sehen Sie sich in irgendeinem Funktionswerte das war ein Wert der dazwischen liegt dann ist das und dann sagt der zwischen der Satz dann ist das auch ein Funktionswert dann muss 1 x 0 im Intervall a b geben so dass f von x 0 gleich y 0 ist das ganze normalen Bild also wir geben uns vorhanden 2 Punkte A B 1 wir Funktion die stetig ist auf dem abgeschlossen derweil AB dass es die Funktionen dann haben wir hier unten er von und hier eher von Biel am A T wird sagt der Satz können sich irgendein y nur jeder zwischen herausgreifen und wenn sie das tun finden Sie garantiert ein .punkt das dieses Excel 0 hierzulande abgebildet wird an dem Fall wäre zu 1 x 0 an dieser Stelle was dahintersteckt egal welchen Wert sie zwischen von Adel von den links wählen weil die Funktion stetig ist muss muss der Graph von allen dazwischen wird noch vorbeikommen die kann sich an keine horizontale Linie dazwischen vorbeimogeln das kann sie nur in Spuren oder auf andere Fliese mit Drogen und diesen als stetig wenn sich stetig sein muss kommt sie an den er bislang nur wenig Hawaii das ist der Zwischenwirt Satz und den kann man dann also der der gibt häufig die Möglichkeit Existenz von irgendwelchen werden nachzuweisen eine Möglichkeit also wie gesagt werden hier nicht beweisen aber ich denke anschauliches relativ klar wenn sie versuchen die stetige Funktion zum einen den er von anfängt oder von B auf dann müssen Sie alle dazwischen irgendwann mal überstreichen so und so weiter .punkt wichtige Funktionen zumal die das nicht tut dann werden Sie merken was passiert und eine und Formulierung oder Anwendung von dem Satz und dann sieht man ihr was ich meine mit Existenz von allen Dingen die man daraus also von Werten die man daraus kriegt ist der
durch den Einsatz von Wales Bolzano und das ist was lass waren oft anwendet ohne den Namen zu verwenden was ein intuitiv zu klar ist und zwar geht es da drum wenn sie 2 reelle Zahlen haben mochte wieder der Eichbäume eine Stunde ist doch super wenn Sie also wir haben wieder eine stetige Funktion auf dem Intervall kleiner wie und bestätige Funktion auf
diesem Intervall a b und wenn jetzt erfahren kleiner 0 und er von B größer 0 oder umgekehrt und der Komfort bestätigt 1 insbesondere ein Wert in der Mitte und dann heißt es zwischen gibt die Stelle wo die Funktion und das und das ist doch nur Stein Kriterium wenn Sie Funktion Vandalenseite negativer positives stetig dann muss irgendwann durch Müll kommen und das ist der durch den Satz von Bolzano nicht schreibt den etwas kryptische aber aber das ist genau das wenn er von war er mal 11 von B kleiner 0 ist dann gibt nix 0 ablehnen so das er von x 0 gleich 0 ist also erfahren aber der von des kleinen Hundes dann gibt es natürlich nur still das wegen Ersteinsatz von Bolzano der garantierten Existenz von Nullstellen und das ist in der Vorbetrachtungen Freunde wenn sie zum Beispiel die Iteration nähern wollen also die nur werden wollen interessant und die der Ration zu starten wenn sie das Testen wissen sie dazwischen können Sie suchen also unter Beweis ist ziemlich gerade aus und muss sich nur überlegen was bedeutet er von aber er von viel kleiner 0 was bedeutet das wenn ein Produkt negativ ist das bedeutet dass entweder als einer der Summanden positiv und eine negativ ist also das bedeutet entweder gilt er von aber größer 0 und er von den kleiner 0 oder umgekehrt der von kleiner 0 aber wenn er von einer kleinen dann muss er von den größer 0 sein das heißt die beiden verschiedenen Vorzeichen und in beiden Fällen folgt die Behauptung aus Nullstellen zwischen Wert setzen wir haben Zeit dann jeweils 0 zwischen 11 von AOL und
von belegt und damit gegen 10 x 0 so dass allen F von X oder gleich 0 ist denn durch den Satz von Mozart Existenz von Nullstellen gibt im Wesen ist nicht 1. Zwischenwirt Salz und jetzt kommt noch der 2. große Satz er war er war stetige Funktionen auch dessen Existenz tanzen und dafür brauch ich erst noch ein Begriff der aber auch intuitiv sein sollte also deutlich intuitiver als das
es und der der Kriterien sich Tätigkeit Definition 7 25 und zwar geht es um die beschränkte Funktion also damit Definitionsmenge Teilmenge er werde Funktion auf der Definitionsmenge und den werden wir beschränkt wer wann es nur Funktion beschränkt Funktion es beschränkt wenn man ihre Bilder beschränkt ist also wenn die Menge von gehen das Bild vom Zone beschränkte Menge ist ja und das wiederum ist genau dann der Fall wann es eine Menge beschränken 1 eine Menge beschränkt das ist genau dann der Fall wenn es eine Konstante c größer gleich 0 geht so dass der Betrag von 11 von X kleiner gleich C ist für alle x in die also alle Werte der Funktionen müssen unterhalb Schranke Ziel bleiben dann nennt man das Ding beschränkt ist relativ nahe liegend zwar jetzt kommt der 2. große Salzsee der stetige Funktionen der in keiner Betrachtung von Stetigkeit werden darf und da geht es um die Frage wo geht's um das Zusammenspiel von Funktionen Definitionsbereich ich habe jetzt nicht eine Funktion haben für den Definitionsbereich eine wichtige Funktion aber kompakt Menge und diese Kombination die es starken also brauch eine kompakte Mängel und damit das hier nicht beinahe alles was ich erzähle sollte bitte nicht hier sein also das kann kompakte Teilmenge von er die nicht leer ist Veränderungen kompakt war in diesem Fall abgeschlossen und beschränkt und wir nehmen uns der Funktion die stetig ist auf der kompakten Menge kann und dann sagt der Satz dann gibt es 2 Elemente von denen K sie sehen an der Stelle würde der Satz fürchte dich falsch wenn hat leere Menge wäre also dann gibt es 2 Elemente aus dem K X wohnten Starmix oben Sternen warum die chronologisch dann heißen sehen Sie gleich so da ist der Funktionswert f von x unten Stern kleiner ist als alle Funktionswerte f von x und der Funktionswert F von X Stern größer ist als alle Funktionswerte f von x für alle x denkbar also es gibt sozusagen einen nie einen externen Anwendern minimale Funktionswert angenommen wird und es gibt ja nix und Sternen der maximale Funktionswert angenommen wird und insbesondere heißt das dass Sie die der stetige Funktion aber kompakten Menge beschränkt ist also wenn eine kompakte Männer haben und darauf eine beschränkte eine stetige Funktion dann ist die ihrer beschränkt auch dann versuchen Sie mal dann sehen Sie was passiert und Graph eine stetige Funktion aber zu zeichnen sie nicht beschränkt ist und wenn sie dann 2 Papiere mit Versuchen vollgeschmiert haben dann sehen Sie warum das nicht geht die schreibt den Satz nochmal in warum denn weil das ein bisschen guter Merksatz ist also eine stetige Funktionen an auf
einer kompakten Menge und das haben wir hier was macht denn es gibt diese x und nicht der links oben Stern und wie gesagt ist X und nicht dann ist die Stelle wo der Funktionswert minimal wird weil alle F von X sind größer als dieses 11 Uhr x und die Sterne der Alex Inka und das ist eben die Stelle wurde Funktionswert minimal wird und das andere ist die Stelle wo der Funktionswert Maximalwerte deswegen heißt der Satz bestätige Funktionäre kompakt Mängel neben dem Minimum und ihr Maximum auf dieser Menge an und dass man sie jetzt das ist zugegebenermaßen deutlich lange her aber erinnern an den aller 1. aber der Mathe 1 da haben ja über maximal minimal Supremo den Führung von beschränken man gesprochen und ich habe darauf hingewiesen dass wenn sie eine beschränkte Menge haben dann dann ist schon die Existenz ist wir oder gegen uns nicht klar geschweige denn Verwachsungen Minimum wir sind NDR da hat jede beschränkte man Subprior wurden in vermuten dass der Vollständigkeit Axiom aber wachsen und ihnen Existenz ist was Besonderes und überhaupt nicht von vornherein klar und dieser Satz sagt eben den 7 das stetige Funktionen und hat mehr haben dann sind diese dann nimmt ab das Bild ihr Maximum und Minimum soll ich kann noch den 1. Teil vom Beispiele zeigen dieses Beispiel 7 27 ist im Wesentlichen eine Bemerkung eine Warnung zum Satz 7 26 mit dem üblichen Hinweis Voraussetzung sind wichtig jede einzelne Ausnutzung dieses Satzes ist wichtig und wenn sie irgendeine weglassen oder falsch und das kann man hier an 3 Beispielen mal zeigen also Überschrift Voraussetzung sind wichtig kann man nicht oft genug betonen was nehmen wir das mal als 1. die Stetigkeit weg also wenn man eine kompakte Menge wir natürlich überall ist es abgeschlossen derweil 0 1 aber es Funktionen in der folgende Funktionen die SEX wenn X im offenen derweil 0 1 ist und Design Inhalte wenn X 1 daran Punkte ist also wenn X 0 oder 1 ist 1 Inhalt und ist er von X gleich X was ist der Graph von den Dingen
wir ist einst das 1 dann ist der Gehalt F von X gleich X aber an den beiden Endpunkten wir sind nicht mit dabei hat die Funktion den Wert Einheit dar diese Funktion ist offensichtlich nicht stetig auf 0 1 also auf abgeschlossen derweil 0 1 sondern auf dem Essen aber abgeschlossenen nicht über Einsatz Spuren und dementsprechend geht auch der Satz steht was ist hier erfahren von er von K ist das offene Intervall 0 1 das heißt das Verbrennen von 11 von K ist 1 und was fehlt das sind die Punkte x und Stern links oben sterben nur was es müsste nach dem Satz gelten das ist X und starren gibt mit werden und nix oben Stern mit wird 1 kann und die gibt es nicht weil es halt genauso wegdefiniert hab ja bei den beiden Stellen wo die angenommen da diese Offenheit wegdefiniert und dann nicht gilt Satz nicht das Bild man nicht Max vom Minimum an und das liege daran dass die Funktion ich tätig war das heißt diese Voraussetzung ist wichtig man bei der nächsten Vorlesung darin jetzt auch die beiden anderen Beispiele also wenn Sie wichtige Funktion auf der beschränkten Menge haben funktioniert es nicht und wenn sie nicht jede Funktion auf der abgeschlossenen Menge haben funktioniert es nicht ja ein jetzt erst mal allen guten Appetit und sie dann wieder aufweisen können
Gasströmung
Teilmenge
Folge <Mathematik>
Punkt
Momentenproblem
Stetigkeit
Berechnung
Mathematiker
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Parametersystem
Folge <Mathematik>
Punkt
Stetige Funktion
Division
Variable
Polynom
Bündel <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Menge
Reelle Zahl
Stetigkeit
Vorzeichen <Mathematik>
Unstetigkeit <Mathematik>
Mathematiker
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Sinusfunktion
Gegenbeispiel
Mathematische Größe
Graph
Physikalischer Effekt
Stetigkeit
Vorzeichen <Mathematik>
Rand
Unstetigkeit <Mathematik>
Schwingung
Mathematiker
Zahl
Teilmenge
Sinusfunktion
Stetigkeit
Nullstelle
Grenzwertberechnung
Teilmenge
Summe
Folge <Mathematik>
Quote
Betrag <Mathematik>
Menge
Quotient
Stetigkeit
Nullstelle
Stetige Funktion
Funktion <Mathematik>
Gegenbeispiel
Folge <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Gebiet <Mathematik>
Konstante
Teilmenge
Parametersystem
Umkehrfunktion
Momentenproblem
Rechenbuch
E-Funktion
Reihe
Abschätzung
Exponentialfunktion
Zahl
Funktion <Mathematik>
Gradient
Positive Zahl
Monotone Funktion
Folge <Mathematik>
Wald <Graphentheorie>
Aussage <Mathematik>
Exponentialfunktion
Stetige Funktion
Gleichung
Zahl
Richtung
Negative Zahl
Ungleichung
Umkehrfunktion
Vorzeichen <Mathematik>
Stetigkeit
Mathematiker
Parametersystem
Folge <Mathematik>
Faktorisierung
Wald <Graphentheorie>
Quantifizierung
Stetige Funktion
Richtung
Teilmenge
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Mathematiker
Funktion <Mathematik>
Konstante
Gegenbeispiel
Dichtheit
Quadrat
Stetigkeit
Urbild <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Gegenbeispiel
Mathematische Größe
Strom <Mathematik>
Quadrat
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Momentenproblem
Stetigkeit
Stetige Funktion
Funktion <Mathematik>
Graph
Reelle Zahl
Mathematiker
Stetige Funktion
Linie
Funktion <Mathematik>
Summand
Vorzeichen <Mathematik>
Finite-Elemente-Methode
Nullstelle
Iteration
Stetige Funktion
Graph
Maximum
Stetige Funktion
Teilmenge
Konstante
Vollständigkeit
Menge
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Minimum
Kompakte Menge
Inhalt <Mathematik>
Axiom
Funktion <Mathematik>
Menge
Verbrennung
Minimum
Abgeschlossene Menge

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Stetigkeit
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 02
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34556
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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