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Stammfunktionen und der Hauptsatz

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das so Mehr in einer 4 deren Stern sorgen
wenn ich einen schönen Morgen hat den anhaltenden man vertretenen der Vorleser wenn ich richtig informiert bin hat die letztes Mal mit der Integration 1 1 sondern angefangen und da er hat doch 2 Beispiele bekommen wie man wir immer Integrierbarkeit nach das heißt oder waren unter bestimmen am direkt mit einem weiteren Beispiel anzeigen aber zuerst ich leider nur auf was ist denn ein oder unter Integral einfach zur Erinnerung einen Versuch ist es aber ich hab das Ding noch nie benutzt über gespannt was dabei rauskommt also was es unter Integral nur ok das war schon mal nix wer sich die Mühe wird er Arien Mehr das sehr ich ja aber wer gerne gibt und er den Takt genommen also das unter integralen in einer Funktion f von x in einen der mir und anderen ist der dazu so Bremer über die untersuchen wie hat er das geschrieben noch immer nur über Zerlegung und das Intervall übergehen sollte definiert ist also das heißt ich habe lieber Celli überlege Zerlegung von einem Intervall gehen es ist klar wer sich Geesken aber auch für die Leute die hinten sitzen was ich frei gut also über Integrale es analog definiert wir da sehen wir nur um eine der über also also der ja mit wir trauern Lukasz Erinnerungen Murmanns die Funktion anschauen ob er also auf dem Intervall 0 1 ja er von x =ist gleich x also wie sieht es aus ich bin i 1 ist dass unsere Funktion Argentinier nur 1. Zerlegung wenn man so einfach auf zu hören hat es erstmal das Intervall äquidistant das heißt den gleich langen Abschnitte zu unterteilen in meinem Fall wäre das hier war entwickelte einhalten und 3 Viertel das heißt ich habe eine Verlegung in den des Intervalls 0 1 Inder n Abschnitte ein der jedes beliebige n aus den natürlichen Zahl ja also in dem Fall ja währe n 4 gesehen wieder aber wir waren ja auch an dem Beispiel sehen wir diese Lieder erzählen muss .punkt lässt sich dann schreiben als sie hat durch n wobei J wann macht 0 3 von 1 bis 10 DEU 0 stimmt nur bis Ende läuft fängt bei der Nummer 1 und hat bei allen 3 en also den gleichen wird ja gleich n auf dann hätte man der äußersten .punkt die Intervall länger es relativ einfach zu berechnen sei weil dieser am Stand dieser solcher zwar könnte was heißt es in dem Fall die Intervall länger ist definiert als der .punkt -minus der das 1. .punkt in unserem Fall so der Grund und das gibt hier Einstig durch doch nun da man natürlich braucht für die aber unter so benötigen wir das so eine solche Intervall das Minimum und das macht er immer und so Bremer wäre ich mir also ihren Intervall angucke sieht man schon deutlich was ist jeweils der äußerste Punkt des Intervalls also heißt das Minimum in Frieden und Beschuldigungen es an der Stelle J -minus 1 und das so bequem um auf dem Intervall ist an der Stelle F r an der Stelle des XJ so und jetzt aber wir mal ich glaube dass es noch im 1. Semester gewesen für Innovationen in der Vorlesung gezeigt dass für diese Summe
über die J wir dass das n n +plus 1 durch 2 ist das weiß ich nicht mehr nach aber ich glaube klettern das hat mal gemacht wie sich die Beispiel 1 5 5 so wenn man sich die für die Untersuchungen denn die Definition anschaut was ist das sie unter Sommer von der Fraktion Funktion zu der Zerlegung zn das nicht anders als die Summe dieser einzelnen Intervall Längen und jeweils das in dem Moment der Funktion auf diese Intervall nun gut das in Ihrem Beispiel relativ einfach einzusetzen dort auch man hat dann was mir wir haben jedes Enthemmung stehen ja -minus 1 dich in mal die Intervall länger und dies einst durch einen das dieser neuesten vom abhängig von J das heißt die das Ende des unabhängig in der so kann ich auf der Sommer und jetzt wird auch schon klar warum wir uns vorher dass sie angeschaut haben also normal erinnert haben beamen ich habe mir nur noch stehen die über J -minus 1 etwas verspricht das er nicht ganz dem was man mal Induktion gezeigt haben aber man kann einfach und indizieren oder sich einfach überlegen ok wenn ich hat gleich Einsätze ist der Sommer den kann ich weglassen und dann geht meine Sommer im sie nur noch an J gleich 1 bis N -minus 1 wenn ich nur J als Index also als Summanden hätte er erst gar nicht die Rede Gleichheit ausnutzen die man per Induktion gezeigt würde und es kommt raus wenn am Ende das die unter Sommer n Quadrat -minus n dich zwar im Quadrat ist ja mit der ich versuche es daher eine mit Trass ganz ähnlich lesen was ich habe was er denn es wenn als klar allerdings so sehr dass sie ist ein in das kann man vielleicht nicht so gut stehen 30 werden können müssen deutlicher zu schreiben immer noch mal beschweren aber nun jetzt kann man sich überlegen was passiert denn wenn die belegen Zerlegung beliebig sein wird das heißt wenn n gegen unendlich geht naja von dieser unter Sommer denn das nur ein relativ einfache Grenzwert Berechnungen überlegt sich dass er in vertrat nach vorne ziehen kann Guei und dann stehen dir nicht anderes als einziges eines durch N dich 2 und das sie geht wenn die unendlich gegen 0 also das heißt der Grenzwerte sein halber nahm die es war immer noch die Universum sonst können wir das Mittel er immer Integrierbarkeit nicht nachweisen weil ich ganz vergessen einfach nochmal zu wiederholen immer richtig Wählbarkeit bedeutet das dass unter Integral oder so über Integral vom Wert her gleich sind und dann ist das Integral der Funktion entsprochen hat genau diesen Wert am die so morgen über Stadt der Welt wir können ganz analoge Definition nur eben dass man statt in der in meiner Funktion auf dem Intervall das Suprenum verwendet das heißt er nur hier steht er anstatt J -minus 1 1 J im durch enden mal Einstig Ende genau jetzt wenn ich jetzt das Ende wieder im Raum dass sie aus der Sommer steht sogar diesmal direkt dieser nur von der gleich 1 bis n über J und jetzt kann ich wieder die Gleichheit die ich hier oben gesagt zeigt aber an wenden und er halte quasi fast dieselbe Summe nur das sehen wir haben also die im Quadrat +plus n dich einem Quadrat ja und im Prinzip meiner seinem als Grenzwert Berechnung wie schon bei der Untersumme kann man jetzt zeigen dass wenn man die Zerlegung beliebig fein macht der Grenzwerteinhaltung auskommt jetzt die Frage natürlich haben waren hatten wir uns den Grenzwert überhaupt an also ob so dass und Integral war doch über das so in der Untersuchungen definiert und hat doch gar nix für den Grenzwert zu tun nun hat aber was wir wissen da das ist nicht das Urteil Integral definiert ist also primär der Zerlegung geht natürlich dass jeder auch unter so Sommer kleiner ist als das unter Integral und was er will per Definition kleiner als das obere Integral und er das Integral ist das in dem um Personen das heißt jeder beliebige gibt es spezielle gewählte oder war Sommer ist vom Wert her größer oder gleich wir haben wir gezeigt dass in bei auf beiden Seiten also sowohl hier der Grenzwerte liegen halbiert geht und hier und ne unendlich ist ja im Prinzip so er quasi auch eine spezielle Zerlegung das heißt wir laufen auf den alle haben und nun um eine Schranke von Inhalten das heißt ich habe dann das ist die unter so unter Integral und aber Integral kann gar nicht anders sein als dass sie den Wert Einheit zu besetzen auch 1 und er und sagen per Definition müssen wir also jetzt das unser und einen
enthält in muss er die Seite kann danke Opa warum war wechselte ich normalerweise die Seite automatisch mit hatte mir das Rotlicht und nicht ich weiß gar nicht mehr lassen aber Wörter danke und mit
waren genau so wie wir sie noch nachschreiben also Werners unter Integral von X das ist das selbe wie das aber Integral über x =ist gleich Inhalt euch wie die letzter Vorlesung gezeigt hat oder definiert dann ist das eben genau dann Riemann integrierbar und das Integral hat den Wert Einheit so Ungarn 0 ist keine Ehre via doch eher ich zeichne selber noch also der mal die Funktion dieser die aus wer das war relativ einfach offen zu was wollte dir wollten wir stimmen wir wollten wissen was ist diese Fläche hier runter und will wenn sich das jetzt ankommt was ich da zeichne Mehr das das Einheitsrecht weg also man könnte auch einfach seiner gute weist diese Rechteck hat den Flächeninhalt eines der Seitenlänge 1 mal 1 und das Dreieck muss dann natürlich die 11. Mal so hätte natürlich diesen Flächeninhalt viel einfacher haben können aber wenn man überlegt was Funktionen gibt und werde dann ist der relativ offensichtlich das muss nicht bei jeder Funktion so trivial bestimmen aber deswegen muss man sich diese Riemann Integrierbarkeit und die Möglichkeiten es wird noch mal genauer ankucken Rupp die Riemann Integral haben per Eigenschaften die einem das in vielen Fällen und auch in der späteren setzen ob wir beide viel beweisen und auf den Abschätzungen Bestimmung von als integralen hilfreich findet in indem ich euch jetzt mal an ja also wir haben ein Ende wir haben einen betrachten die Funktion über einem Intervall ich Abi dabei aber kleiner sein als die das kann man sich grundsätzlich erstmal voraussetzen an und wir sagen wir haben zwar integrierbare er ordentlich will und sie hören will F und geben würde definiert über dem Intervall a b ziehen The wegen der eben Aussagen ich wenig Erde F von X ein Lebensraum und kleiner oder gleich ist als die von nix aber wenn aber dann geht das eben auch für das Integral wenn man sich überlegt na ja gut wir könnten hier oder aber wir hätten jetzt jedoch nur Funktionen drin die irgendwo da drunter liegt vollständig ist das ja schon naheliegend dass das auch so sein sollte war .punkt würde aber wenn man diese Eigenschaft den man eben auch Monotonie integraler
was auch relativ früh Na liegen ist wenn man sich überlegt was macht denn eine Multiplikation mit einer konstanten mit einer Funktion erst ändert die Funktionen nur in zum Beispiel wenn ich jetzt die gerade ich sie ändern nur die Steigerung das heißt das Integral wird entsprechend dem dieser Konstante verändert nur das heißt wir sind hier umgehen und jeder konstanter es ist er auch am der über die konstante meiner Funktion integrierbar das ändere ich irgendwie die Nation und Einteilung und es ist wirklich 100 Strecken Steuerung oder so und die Konstanten gehören einfach aus dem Integral hinausgezogen werden wir so da diese Eigenschaften kann man sich immer sehr schön an ganz einfachen fundamentalen also würde oder Geraden mal klar machen wenn man sich lieber aufzeichnen und guckt was das denn bedeutet die 3. Eigenschaft ist dass wenn ich jetzt so Haber und die das kann man hier immer wieder ,komma nochmal sich angucken wenn ich die jetzt hier
oben drauf dazu wo das westliche für mich schwierig oder gibt es irgendwie so was dann könnte man sich schon auf den gesetzlich natürlich gut gezeichnet aber im Prinzip kann man sich an die Eigenschaft dass ich dann auch einfach die integrale die Flächen darunter addieren schon ganz gut darstellen andere und die
Funktionen der E er draußen geben es dann auch integrierbaren werden wird und die integrale addieren sich kann man damit nicht werden müsse dann werden wir das glaube ich wird All 1 3 Eigenschaften bisher relativ einfach nachvollziehbar vielleicht ein bisschen schwieriger mit Mehr wenn auf den 1. Blick scheint die Dreiecksungleichung die eben auch gültig ist das heißt wenn die zuerst integrierbar ist so ist er auch das Insekt der Beitrag der von integrierbar und n der Tiere wir lässt und das Geld das dass der Betrag des Integrals ab geschätzt werden kann durch die dem Betrag der Funktion integriert ist kann man sich immer sehr schön an der Kurse und Sinusfunktion vorstellen also wenn jemand sich das Maß möchte weil legen möchte was danach passiert wenn nicht jetzt den Betrag der Funktion der Cosinus und Sinus überall ohne ist die nehmen oder so kommt später glaube ich auch nochmal das immer ganz gute Beispiele um sich dieses an diese Eigenschaft klarzumachen er wir müssen wir das morgen so ich gucke noch mich die letzte Eigenschaft auch noch auf die Seite Krieger
das macht doch nichts das kann man sich auch hier um bald vorlegen werde ich jetzt hier
inzwischen nicht Schritt ein über und erstmal den Teil hier integrieren und dann den 2. Teil integriere dass das dieselbe Fläche gibt es wenn ich von A bis G komplett er also wählen er einen liegen
und aus dem Intervall a b würde bei 1. eben auch auf diesen Teil Intervallen integrierbar wir können wir statt wenn man sich einmal überlegt wie das in diesen Systemen der Untersuchung war das macht das ist kein Problem wenn ich dazwischen dieser ok ich unterbreche jetzt weil ich mach die Zerlegung erstmal würde das Intervall a bis c und dann nochmal für die besten bis wie im Prinzip können dieselben Werte raus wir haben die Summe einfach nur an bringt unterteilt sozusagen der und das selbe ist dann natürlich auch für die integraler ob ich jetzt die Funktionen über den gesamten Intervall integriere oder das Integral das Intervall aufteile und dann die integrale addiere das ist egal das noch Eigenschaften die man eben sehr häufig verwendet kann ich wieder grade wenn man irgendwie so kann ich hier als Beispiel es wird wie gesagt auch später noch mal kommen in können oder Sie verwenden unterteilt man ganz gerne eine Nullstelle so n ich auch immer wieder gehört das den Beweis wir den
Teil an dem das heißt was wollen wir zeigen trat aber ganz kurz aber also wir haben 2 Funktionen f und über dem Intervall a b Nachahmer die integrierbar sind und die 11 ist kleiner als geben würde dann ist auch das Integral kleiner der aber das ist das was wir jetzt zeigen wollen essen also ich zeige wirklich auch das ich hab mir das noch mal angeguckt und die anderen Eigenschaften wenn man einmal verstanden wird wieder Teil A funktioniert die anderen Eigenschaften sind möglich über dieselben grundlegenden Eigenschaften und Überlegungen nachvollziehbar also über das nachweisen und damit beliebige Zerlegung das Intervall ARD und will an nennen würde wenn wir so was man ihm jetzt benötigt ist wieder wie sie denn solches Intervall aus ein Intervall ist dem definiert )klammer zu Erinnerung als ich wurde zum Beispiel x 0 bis x 1 und eine solche Länge das Intervall es das ist eben der Abstand dieser 2 Punkte 1 die unter Sommer denn die werden wir benötigen wir eigentlich nur die Untersumme für die unter Sommer die Probleme die wir wieder diesen in die Erde den kleinsten Wert der Funktionen auf einen solchen Intervall wer sah man eine 2. integrierbare Funktion und Dezember das er n Dach von J das ist dann eben definiert als das in die über dem Intervall also haben wir gehen er dieselben Verlegungen an jetzt aber 2 unterschiedliche Werte ende dies hier sind natürlich aber wir können ist wissen wir dass sie sie waren es am ja ist kleiner als es gehen ja alle x Arsen Interrail mehrmals dann ist auch klar dass wenn ich jetzt auf und Teil Intervall gehe dass auch das irgendwie Funktion f kleiner sein muss als das in Führung von der Funktion gehen und
wir werden so oder so er das Enthemmung der Funktionen f auf über dem Intervall oder ein stimmt das nicht nach es kleiner als in 10 g über dem Intervall was da ich jedem einleuchten wollte Abend und das gilt eben alle Intervall das heißt für alle J gleich der von 1 bis n was heißt es jetzt für die Untersumme na ja gut wir haben einmal die Untersumme von der Funktion f r unserer Zerlegung ist definiert als die Summe über diesen internen Wahlen weiß dass ich hier einmal die Intervall länger und jetzt wissen wir dass es im der Funktion f ist kleiner als das sind unsere Funktion die das kann man in der Summe auch einfach einsetzen Wut und erhält eine Abschätzung nach oben von der Untersuchung der Funktion f wir haben was haben wir jetzt hier stehen also nicht anderes als die unter so nur der Funktionen die es lassen wir uns auf und er Wohnungskonzern gehst integrierbar und wie ich das ja am Anfang schon noch aufgeschrieben hatte die unter dass unter Integral ist definiert als primum der untersuchen das heißt Integrierbarkeit heißt unser Integral der Funktion entspricht im unter integralen Namen widersprechen brauchen wir wirklich nur die Untersumme brauche ich die oberen aber wir haben darauf gesetzt Thomas entdeckten Riemann integrierbar es integrierbar das heißt die Überweisungen in der Gral also über gerade unter Rente grasen gleich ich brauche ich beide betrachten und das hier ist eben definiert ist immer das also primären der Zerlegung ich schreibe mal nicht noch Zerlegung der Zerlegung und so weiter das ist ihr es einmal aber eben gezeigt dass die Zerlegung des und der also die Untersumme der Funktion f kleiner ist als die der Funktionen g das heißt es gilt dasselbe gilt natürlich auch für das Supremo also das so primum der Untersuchungen und G ist größer als das der Prior der Untersuchung von 11 ja gut aber das obere und untere von GSM definiert als das unter Integral der Funktionen gehen und da die auch geben integrierbar ist hat das denselben Wert wie das Integral der zum geben und das ist was wir zeigen wollten .punkt Paar und wie gesagt die andern Eigenschaft also und vor allem die immer wenig geht und die Additivität sind wirklich ob ganz einfach auf Zeit aber in andere vielleicht nochmal sich ein 2 Gedanken machen bei ich ja schon mal E gemeint habe ob ich die Zerlegung der unter Taylor und die Summe in Sache auf Walter ändert man ändert nichts daran der Horde der S geht es nach einer manchmal nur 9 sei es wieder Standard Abschätzung nur sehr grobe Abschätzung des Betrags das Integral haben die wirklich
der der Gruppe ist und auch nicht nicht besonders gute Schranken für den Flächeninhalt angibt allerdings wenn wir später in nachsehen was in der Vorlesung kann man die Eigenschaften gerade besonders in vielen Beweisen sehr nutzbringend ausnutzen also wir haben den Satz 5 7 8. wir haben wieder ein Intervall Abi und mit an als leben und integrierbare Funktionen erst von an wie nachahmen kann aber ich bin jetzt kann man eben sehr gut abschätzen dem Betrag des Integrals in der Funktionen wahrnehmen es ist kleiner als die länger Definition sind damals weil das doch Nachgeben der Funktionen über den gesamten Intervall im Betrag nahmen sich normale zurück erinnert ich weiß nicht genau wann er das mit Normen gemacht hat das ist nichts anderes als die Subprime Normen der und zwar auf ein Ende in Kette an der Bar war also eigentlich nicht sonderlich schwer wenn nicht wir haben eben war die Dreiecksungleichung gehabt auf diese Ungleichungen sagt wir haben integrierbare Woche Funktionäre dann ist der Betrag des Integrals abschätzbar dich das Integral über dem Betrag der Funktionen ja es gibt auch und ja nun ist jetzt das so Dämonen der Sohn über den gesamten Intervall kann man auch als eine konstante dem sein wer sich überlegt haben jetzt jedes Intervall abnehmen wir haben die irgendwie über dem Intervall Funktionen dann hab ich immer so Primondo welche über den gesamten Intervall das an hab ich noch wann Funktion über dem Intervall a b also wir definieren Omen Funktion auf an gehen die eben das super der Funktion es dann verwendet wir ab nur
bei extrem aus ist also sind konstant 8 von werde so Primus von F und Samen jetzt hat der hat der allerdings immer der letzten Vorlesung gezeigt legt nochmal in meiner Funktion hat das ist ein kleiner Einschub also er hatte betrachtet die Funktion f es konstant zählt dann hat er gezeigt dass man für das Integral über dem Intervall über diese Funktion geht dass das nicht anders ist als die Länge des Integrals mal an diese Konstante ja ich erinnert das selbe gilt natürlich jetzt aber wird die Funktion g an schauen das heißt die Funktion es integrierbar also konstante übernehmen im besprochen und kompakten derweil immer ohne Probleme integrierbar heißt wir Geld gehe ist waren wir wir mit den Tick und wir Werte wie -minus war mal den Subprime um der Funktion f wird an eine Mehr ist wissen wir haben da das die Funktion des einfach Suprenum der zum f auf dem Intervall definiert ist dementsprechend ist natürlich auch der Betrag der Funktion f kleine heißt die Funktion die wir alle Werte auf dem Intervall er hat ihnen die Eigenschaft das Integral monotones das heißt welche Funktion habe in dem Fall den Betrag von 11 der kleiner ist als die Funktion von die wir haben 2 integrierbare sie waren dann ist auch das Integral davon abschätzbar und wenn wir dann mal hier kann man den Punkt hier in gehen ich habe den Betrag spricht 1. also der Betrag der Funktion von x f von x S 1 kleiner wie zeigt also oder wem welche 3 vom als die das Integral über dem Betrag der Funktion wenn wir jetzt ausnutzen dass der wird der Betrag von 1. E einerseits wie können wir den Betrag des Integrals von 11 abschätzen durch den das Integral über den Funktionen geht von x 7 ja und jetzt davon haben werden sagte die konstante Funktion da wissen wir wie das Integral ist und das ist eben wenn es einmal das Supremo geworden ist solange ab und damit habe man auch schon diese Abschätzung einer wirklich sehr sehr grobe Abschätzung weil ich meine Funktion die kann ja extreme Schwankungen haben außerdem Intervall und dann einfach zu sagen ok ich nehme eine Konstante die einfach alles flogen beschränkt und jetzt darüber ab kann man sich vorstellen dass das doch ein sehr viel größeres Integral sein kann als die eigentliche Funktion des einzigen siegreich selbst auch gut was wir jetzt 8 genau jetzt jetzt natürlich Sonntagen auf Verabredungen die man treffen muss was ist denn jetzt wenn ich über dem Einzelnen und integriert was was ist dann der Wert von meinem Integral oder wie sieht es aus wenn ich in Ihrer Rechnung aus Versehen ein Integral stehen haben die obere Grenze kleiner ist als untere Grenze handelt immer vorausgesetzt er ist
kleiner als P und den von A nach B dann definieren wir uns einen
wir haben wieder das Integral die die das Intervall also am Arm wie aus mit kleiner als B und integrierbare Funktionen über diesen Winter weil er an er wurde man kann sich überlegen wenn ich über einem einzelnen .punkt das wie aus dem Intervall das Integral bestimmen will das ist hat keine Fläche her das ist Integral über einen einzelnen Punkt definieren wir das den Wert einfach als 0 und wenn wir jetzt von der Stadt von A nach B von B nach A integrieren dann definieren wir das als das negative Integral man danach geht es uns auch aber man kann ob bauen in dem es die Frage ist jetzt haben wir unsere Mittel geschaffen der einzige gewarnt von haben Riemann integrierbar über die unter Mund aber sollen und das ist ja schon gewöhnt aber dass auch wir theoretisch wie geht das denn genutzt Funktion kann ich den einen oder die wie alle anderen ausreichend große Menge danach über diese Definition integrieren und das geht eben der folgender Satz nach der Build so wie wir
oder Tag im jede stetige Funktionen und ihnen eine vor Funktion erst über diese Definition integrierbar ja wir tun kann man sich denken wir hatten ja eben die die die Funktion x und wenn man sich überlegt welcher Song Teil Intervall habe ja es gibt immer eine intime am Anfang und Subprior am Ende des 7. weiß ich kann mir immer in diese Zerlegung sie so und wenn auf dem kompakten Intervall also haben wir auch keine Probleme mit der mit und Beschränktheit also wir haben wieder an wie aus am Ende viel dann Geld stetiger und jeder monotone Funktionen die über diese Intervall definiert 1. ist integrierbar ich werde für T Amen bei den Städten stetigen Funktionen bei der ich zurück erinnert daran da vielleicht aber das wenn ein 8. 12 Tätigkeit durch wenn ich eine stetige Funktionen ergänzen das der eigentlich der als kompakt und haben darüber eine stetige Funktion 1 diese Funktion auch immer ein Maximum oder Minimum am diesen kompakt um also oft die dem von auf dem Intervall a b an suchen dann würd ich jetzt eine Pause machen kann wer Mehr so ich mir dann mal weiter machen der bei haben als der meine letzte letzte Vorlesung nur auch gesagt ist die er ist aber auch dass das Integrierbarkeit der Bedienbarkeit nicht so viel miteinander zu tun hat aber erst im nächsten Abschnitt wird mal klargemacht dass wir eigentlich immer sehr viel miteinander zu tun hat und gerade bei der Integrierbarkeit die einen doch irgendwie schwer erscheinen so wie wir es tun Integral dieser aber und was unser Leben ist dann wirklich was sehr umständlich ein sehr kompliziertes aber dass dieser Ziel aber kann er sich die ist die Wahlkreise dir dabei die letzten 3 4 Vorlesungen auch gemacht hat dort kann man Integrale sehr einfach Stimme oder wie einfacher sagen was man so das geknackt ab und dazu erst meine Definition wir sie Jean am 4. wir haben der ist eigentlich nur ein ich nicht mehr und zu einer Ableitung er hat Mehr wir haben jetzt 2 vor zwar nur klein er und groß F die eben auf diese Intervall definiert sind wohl ab und wir sagen wir da SR ist die stammt sein online wir wir gehören wenn differenzierbar ist also groß darf wir zu das ist klar dass man das wir da haben Sie jetzt belegt die entscheidende Eigenschaft der stammt so ist das die Ableitung der zu hören neben der kleinen zum S entspricht da ich ich hätte wenn meine Frau zunichte Franz über während wir werden im am danach stehen sie wenn den Bestand haben wird sondern wenn man sich eben überlegt das jedoch und ich waren also wenn ich jetzt der Mehr kommen in der er sich habe
die ihre Stammfunktion 1. wenn der kleine am Abend dann machte sie nicht aber wenn ich hier in der Tiere ist immer noch nicht der Stammfunktion und was kann man sich eben ganz einfach überlegen das kann wenn ich Ihnen eine konstante war dann der habe ich es wir konstant und welches ableiten der konstante abgeleitet gibt immer wir können erinnern er und haben dann steht sie nicht anderes als es spricht das mal was sie das also die 2. 11. die stammt und so die Konstante an sich ändert nichts daran eine Eigenschaft der Stammfunktion zu sein und sie am wir sind gibt es sehr dass das weiß ich die Ableitung das ja dann wissen wir ja alle ich die ich Cerny abgeleitet wurde war konstant das wenn man ihm aber wenn ich jetzt sagen haben tja 2 stammt es an man und zum 1. ich und ich aber die Differenz an und leitet diese ab also die die Differenz der war da nur solch und Differenzen schreiben für den Verstand und dann abgeleitet wir haben gelernt das wird dann deshalb weil der Addition und aber Subtraktion kann ich auch die Ableitung der einzelnen Funktionen Abend es ist aber ein stammt zu werden und wer sollen es also steht hier die Ableitung von es ist und die Ableitung von die eben auch also Städtenamen darüber nein wirklich wenn ich 2 Söhnen habe er dann erhalte ich nur das heißt mit diesem Satz den ich vorher hatte das die über die Ableitung die Funktion konstant heißt 1. dass die das haben kann stand das heißt ich habe wirklich bestand finsteren unterscheiden sich nur in ganz Bayern und daher kann es sein dass der begrifflich haben stammen wir können dann aber ich habe jeweils dann diese Kontrollen die da sozusagen abgeleitet Fr gibt und jetzt kann man eigentlich der fundamentale Satz an sehr schwammig auch nur 5 also als je wer das der
der Indikatoren Rechnung ich bin ich und wenn wir das ist der der einfach diese Bar einen sehr viel die mir ne also gearbeitet letzten Verlesung einfach kombiniert und sagt wenn ich nur führen aber die wieder erwiesen immer noch und nach wie vor einen so wie du an mich ja dass der vergessen und das stetige Funktionen der R und im Intervall wie ab und an der See leben das ist das Integral sozusagen stampfen zur mehr gibt das heißt ich habe er in dieser Funktion Brust über dem Intervall annehmen die definiert ist der über das Integral 10 nach x in Dreck 1 X für es schlossen dran X oh aus in dem Interrailen ist eine Stammfunktion im Fall erfüllen also erst einmal leichter weil eben auch schon mal so kam mit den ganzen Variablen ich verwende hier natürlich die Variable es weil ich X als Variable schon ein haben möchte und ich kann nicht sagen sie sich integrieren und dann das Integral über die Variable x wurden also noch schöner wird zeigen dass dieses Wechsel der den Sieg Cray Grenzen nicht die Variante des Integrals das weitere es irgendeine andere stammt aber es so dieser zum 1. so kann ich die dadurch einen geben die Hans-Jochen ist allein die sie waren an der Stelle C also an der unteren Integral Grenze das ist meine nein sondern Menschen aus bewertet ist immer konstanter sicherlich nichts anderes als eine Konstante ist eben die sie haben die wir eben in der Abschnitt A da ich ich definiert haben wir eine Mehr immer wieder dann auch bereit 8 was ich denn könnte 1. Beweis an das wir wenn sie unter einem gehabt her wie an der Stelle 10 Leichname steht eben genau die stark aus als auf den 1. Teil aber da also spezieller Repräsentant oder im die Dame zwar oder Konstanz in also oder weiß und den Beweis war das ich
Beaujean kommen genau jene weiß zum Beispiel können die was ich meinte diese Standard abschätzen diese eigentlich sehr grob ist ich kann man zum Beispiel genau in die Erde war es für diesen Satz ab ist aber wir 10. gehört abends dann den Teil A wir werden zeigen ich er stammt vom sorgen was war die an Stahlkonzern ist es dann wenn es der Frau die und wenn die Ableitung kleine entspricht ja sogar sind zeigen das eben erst dem Intervall a b enthielten sich und sie war das er mir Ernst die Ableitung von f entspricht klein aus ablegen und hier vielleicht zur in einem das Foren sierbarkeit Mannes ist der Franz sie aber Na ja wenn der Grenzwert des Differenzen und existiert das heißt sei die einfach einen Brand aus dem Intervall a b und wenn der Konstanzer so das BKA also ich würde das habe ich immer noch in Intervall b statt und jetzt müssen wir dem einen könnten was nachdem der Grenze also der Differenzen Prozent also Gott uns an den Differenzen Prozent das heißt die an der Stelle x Tag -minus die so an der Stelle x mir da ich habe also in einer dieser Grenzwert war gegen 0 existiert und am besten an Mehr das im Jahr integriert das heißt es also wenn der existiert und der Grenzwert sozusagen an gegen Klein er an der Stelle x mal wieder wissen wir auch noch der Grenzwert ist auch wirklich also die die Funktion abgeleitet ergibt sich die es uns also Gröhes F abgeleitet gibt 1 was ist denn jetzt nach unserer Definition dieser Differenzen Prozent wir können die soll er an der Stelle x 1 +plus ha ausdrücken über das Integral von 10 von x wird wenn des Explorers zum klein er in Wien das das Integral von für das ich mir von der kleinen .punkt und so klein er wir hatten wir bei diesen Eigenschaften mal gezeigt dass wir in dem die Intervalle aufspalten können und die er Teil Integrale addieren können dass es kein Problem das ist eigentlich sozusagen war das dann mit das 7. ich glaube ich war verletzt Eigenschaft wir zeigen dass das eben nichts anderes ist als das Integral von Excel
bis ich habe von der Funktionen wir haben dann sie nicht habe ich da ist wir handeln also das sei jetzt mal größer als X 1 und dementsprechend wenig das Intervall ab die können wir das X wird bleibt das Intervall könntet ihr X oder was ich wollte haben in es hat Ihnen das was natürlich gerne zeigen würde dass der Grenzwert auch dieser diese Seite des Interferenzen hat auch eben die zum klein er an der Stelle wo heißt und da fängt es ja erst am das ich die können einem kleinen er an der Stelle x mal das ist das er ist wenn ich es hier endlich mal Multiplizieren mit Einstig H mal das Integral ich würde X-Servers der konstanten einstweilen noch einmal überlegt was wir über die Folgen der konstante Funktionen das Integral ist die dabei länger mal der Wert der Konstanten der jetzt konstanter 1 das heißt dieses Integral hat den Wert H und Mutter hatte sich im mal 1 durch Habeck kürzen und damit kann ich die Funktion und an der Stelle x mal schreiben als 1 Einstig haben am weil das Integral von und an der Stelle x 0 ist mir also dieses er an der Stelle x würde es ja nichts anderes als eine Konstante und wenn man zum Richter also auch weil die Eigenschaften Homogenität der können Konstanten in das Integral einziehen und ohne dass sich das Geld das bis sich den Wert verändert n am derzeitigen ist unpraktisch ich das dann noch Trauer ihr dass ich noch teurer sind der ja das kann man sicherlich okay wir wollten zeigen dass solche sagte der Differenzen fortwährend wir sind wir aha gegen wollten soll ja gegen die hören er an der Stelle x würde gegen das heißt man kann sich einfach mal angucken was ist den Differenzen Prozentminus Evonik wurden Betrag wie kann ich das den Absturz das war gegen das denn anderes Grand dann weiß ich mein Differenzen Prozent konvergiert auch und ich habe wirklich die Funktion f klein F an der Stelle x es ist natürlich das was er berechnet haben einsetzen heißt das Interferenzen Quotienten ergebe sich 1 durch haben wir das Integral Funktion f wie das was er sich eben für XI x mal eben geschrieben habe -minus einzig haben weil sie sich gerade nur bis XP nur Haar von den Körpern denkst einen konstanten Wert f an der Stelle x 0 1 haben wir den Additivität ich kann diese Integrale zusammenfassen also ich war während deren Ertrag überlegen H 1 durch H ist eine Konstante die kann ich aus dem betragen was ziehen also haben wir da stehen den Betrag von aber gewiss wir haben wir besser einfach nur H H ist eigentlich aus der Wechsel das Haar und dann haben wir hier unten drunter stehen im fernen Differenzen Patienten der so mit der Variablen und den konstanten Wert ist an der Stelle x 0 1 ja und jetzt können wir eben damit dem Anwender dieser Standard Abschätzung des die über wenn ein bisschen an der Betrag von der soll hier stehen und der ist eben kleiner als die Intervall also die Bezirk reisete die die er der Intervall Länge des Integrals das heißt das haben wir es das war -minus x nur dass das Paar das heißt es kann sich natürlich mit einer unserem einst durch H weg und es bleibt nur noch das zu haben wir es aus dem Intervall x 0 -minus H Betrag x 0 1 habe Trakl ob und deshalb immer von er wann es -minus f von x 0 kann man das aber noch lesen nicht mehr nach an einen Tag normal weiter zwar die stetig haben wir haben es ja den Intervall x nein von war das Exil Betrag von H 1 n nun kann man sich überlegen kann stetige Müller kann jetzt dann aber in seinem Gedächtnis kramen oder wird war die Stetigkeit bedeutet aber wenn ich jetzt Kardinal gehen Laster das heißt man es geht nicht nur dann weiß ich dass diese Subprime man im Alltag gegen 0 Most dabei durch normal was Stetigkeit so bedeutet und wenn ich aber weiß dass das gegen 0 geht heißt es man Krämer Differenzen 10 strebt gegen eben erst an der Stelle x sollen das heißt meine Frau zu hören ist differenziert aber der Grenzwert der Limes existierten und die Ableitung der zu eben kleiner weil ich an jeder Stelle als Grenzwert für die Kleinen zum klein er an der Stelle x 0 erhalten .punkt ist der Beweis Teil so weil Klagen oder gibt er zu fragen ob das muss ich leider wechseln was nicht aber es
vielleicht noch mal zur Erinnerung dann doch noch dazu wenn Teile der Beweise und des was war das die sage ich wir haben dann sie haben der Stammfunktion 1. Mehr von erscheinen mehr so geht die zur in der sie darstellbar ist als die Funktionen der an unteren Integral Grenze plus das Integral von kleinen F das ist was so zeigen weil er und dann werde das die Eier darstellen kann es hören aus dem Teil Arten würzen und ja der Wert des gleich an gilt eben das ,komma was er kann das Integral von A bis E X wann er wer das nutzen wir gleich auf das ich wir viele stammt so können wir ja ja ja und es jeder 6 aus dem Intervall a b wenn wir sagen die Standpunkt unterscheiden sich nur bis auf konstanten und hab ich auch schon aufgeschrieben das wissen wir es geht dann dass er nicht die Funktion f -minus die aus und die ableiten und an der Stelle x angucke dann steht da nichts anderes als will wir haben die Ableitung von f an der Stelle x die Ableitung von 4 an der Stelle x beide ergibt die zur und es aber das ist eben nur in das heißt aber ja das ist ne Konstantin gerät wir sie haben unsere und bald hat er auch sollte er mit der die Funktion f von x entspricht 4 von X es ist indes konstant und also wir haben die Stammfunktion der Seele vor sie waren die unterscheiden sich wir auch Konstanten und gezeigt dass es der Stammfunktion die haben wir konkret dargestellt und jetzt unser gehen das einen Standpunkte es kann sich nur was auch beliebige und das dann zu unterscheiden ja das kann mir die Frage wie denn diese Konstante wirklich alles ist das dann wirklich die an der Stelle sehen ab und an dann haben wir uns doch einfach mal anders kann man das Integral von
zählt wir wird das der X kann es von denen haben können wir mit der Additivität und den Eigenschaften die wir n in dem ein Satz von in Sie das was er angezeigt haben auf wussten dass wir das aufteilen können das Integral von ATIs X oder ist aufteilen eigentlich erweitern sozusagen in dem Fall auch und dann anderen das Integral von A bis C abziehende ja alles klar ich meine ich habe das förmlich wir I bis X also wenn man sich das überlegt ich hab ich hab ich dir mein an Passagieren 1 X und ich konnte mir zwischendurch nur das der von CSX an dann ist das nichts anderes als das gesamte integralen -minus den Euro also die das gesamte Eltern sind derweil -minus das untere Intervall kann und was haben wir das haben in der Mitte und am Anfang das ok wir setzen unsere Stammfunktion F von is gleich das heißt das steht hier die nichts anderes als die Stammfunktion F X unter Miners er gut jetzt hab ich wieder sind die greifen an aber bis die das heißt ich habe die Stammfunktion einfach an der Stelle sie statt an der Stelle x und jetzt haben wir mal gesagt ok die können wie Hand dort hin unterscheidet sich von wir bessere Konstante das heißt wenn ich jetzt der dazu durch die steht hier die -minus 1 werden -minus die an der Stelle sehen er ist als wie ein versehentlich weg und das steht nur da das Integral der entfernt 4 bis 6 es spricht der aus dem Iran X -minus die an der Stelle 10 wenn ich jetzt hier an der Stelle des addiere steht da wie an der Stelle x ist das die an der Stelle sehen immer anders das Integral wir woraus der Satz gelesen werden gehört an nach sei diese dürfen wir eine Rechnung Integralrechnung und leider nicht haben Sie gerade diese umständliche Rechenweise kann man einfach dadurch abkürzen wenn man weiß was Stammfunktion immer wenn man weiß wie diese der sie wie sie den Ableitungen von Flugzeugen und so weiter auf einen das natürlich nicht als verwenden und relativ einfach Integrale zu bestimmen mehr 1 zu 1 .punkt wenn ich jetzt statt der Variable x sage ok ich will mir jetzt das Integral einen guten also das Integral am Tag danach wie von einer sie ohne ab dann habe ich nicht anders als ich sie mir auf ihre Weise ausgenutzt habe ich habe die Stammfunktion an der Stelle des -minus die Stammfunktion an der Stelle und mit wenn ich das so kenne kann ich mein Integral relativ einfach je nachdem wie die so aussieht stammen wir was wir schreibt weil sie die man malerweise verwendet bei solch Integration ist das 1. wenn X das ist die Stammfunktion wird betrachtet einmal an der Stelle x gleich und an der Stelle X gleich B also bisschen kompakter je nach dem wie kompliziert die Funktion ist es leichter das mit der hinteren Darstellung zu schreiben ich würde an leer ist und wir schauen uns einfach A 2 Beispiele dazu alle Ehre ist
jetzt ist also 2 zu hören wenn man quasi das die stand kennt und wie es doch einen Deal am vielleicht der an die Integral der zu bestimmen also haben wir uns ja danke 1 durch x auf dem Intervall am Leben erhalten werden immer wie ihn die Differenz dazu und so ein bisschen das schon haben wissen einzig X das ist doch die Ableitung von allen das hat doch irgendwie was damit zu tun dass kann man als wir brauchen wir aber alles was ich tätige solle und stetige und wären sie noch integrierbar werde ich das nicht hätte dann könnte ich natürlich auch gar keine Stammfunktion zu finden am und wie schon gesagt habe auch die stampfen zusammen ist eben der Elend von X X aus er wegen Mehr ich habe vielleicht eine Eigenschaft ist nur das aber zu erwähnen dass wir setzen erstmal vor ist das nur die Leine also das eben beides Positives war natürlich bei allen von X nun verzeihen größer als 0 erstmal definiert ist dementsprechend wir an sondern erst mal das so an ,komma wurden diese Wählern ist stammt von Mannstärke von 11 verwechseln das Wohlleben aber soll er allen abgeleitet für positive Werte ist ein durch die in anwenden geht dann das Integral A nach B von 1 durch x nichts anderes als der allen an der Stelle x und XP also allen nicht und wenn die das Elend von Armen was ist denn jetzt dran an ein kleiner als kleiner als 0 ist wird der Kita die natürlich der Erde ich aber nichts immer gern würden wir vielleicht könnte ja der allen von minus x sein was ist denn der allen kann -minus x ja wir nicht negative Werte habe also wenn man seine X aus AB und das einmal negativ der dann ist mir das Expertenwissen Graffiti während definiert und was ist das denn abgeleitet werden das aber natürlich kann es natürlich nicht so einfach machen und das ist die meist nicht wie Ketten Ringe die man hier anwenden das ist aber ziemlich einfach was hab ich denn ich habe die innere Ableitung was ist die Ableitung von -minus x ist einfach nur ein Minus 1 und die Ableitung von allen der in der Fall eines durch -minus x das das heißt die Ableitung ist wieder 1 x das heißt habe negative Intervalle habe ich trotzdem eine Stand und sollen wir könnten die sich nur sehr unwillig von allen ich unterscheidet das einzig X integrierbar ist eine und wir haben als Stammfunktion in 11 von -minus 6 wir das heißt natürlich weil ich einfach X dabei weniger er hatte angucke dann ist die Stammfunktion bei allen Betrag von x so es beispiele aus klar meine Fragen habt fragt ob man gute welcher dafür Eigenschaften es sich immer ganz nett denn Kurden als auch anzugucken deswegen integrieren aber kommen das also was ist denn wenn wir den Cosinus von x anschauen der Ex zwischen und die Bawag das an was ist denn da wir haben hier nur haben wir die halber dann da der kostenlos werden die auf dem Intervall suche aber geht das hier so weiter und wenn man sich jetzt ein und wir wollen das Integral haben in dem Bereich man hat diesen Ort sich dieser welche an und guckt sich die Pflicht an wenn könnte man schon auf die Idee kamen und die Flächen sind gleich Groers die eine ist in diesen Bereich anderen negativen habe ich dafür das Integral einfach der werden heraus am und er wahrscheinlich gelernt habe der Gestank Funktionen also die ab die Stammfunktion in den Kursen ist der sie nur so Sinus abgeleitet geht einfach den Kunden aus aber Mehr T einig weil ihr könnt ich auch drauf unterhalten wir auf jeden Fall haben wir das Integral wenig von Whisky integriere von Kursen aus der die Stammfunktion hinaus an der Stelle x =ist gleich 0 1 x =ist gleich KI er 1 7 ist an der Stelle nur ist meine und der Sie nur das an der Stelle P ist eben auch nur sie dem so hat er das heißt es kommt 0 raus wie wir eben schon uns wenn wir bisher an gewonnen wenn wir sagen wir will aber die welche haben quasi als diesen Wert war so weil wir dann wirklich werden bemühte sich als sehr negative Fläche an das was unter der Achsel sozusagen ist dann muss man sich eben das was das wir Mal den Betrag der zum angucken und dass die wichtige Informationen das ist egal es wenn wissen dann habe die integrierbar ist dann ist es eben auch der Betrag der die ganze Zeit Integrale angeguckt die irgendwelche enden also war anfangs ein entfernt da hatten bei wir werden ja sehen wie in ist dann kann man dieses stammt und dann ist mir abgeleitet gibt die dann kann man das aber nie an also vom 1. 3. sag ich mal und dazu definiert man sich eben dort das unterstand denk Integral also man
überlegt sich was ist denn das Integral wenn ich jetzt mal nicht da ich hat Integration der also haben wir Intervall .punkt im Bett im haben und integrierbarer also integrierbare vor sie waren bei dieser Weg welche auf ihnen Stammfunktion er hat zwar immer wieder und wir sozusagen für die Menge aller Stammfunktionen weichen kann ja jetzt nicht also es ist ja nicht so dass ich eine einheitliche Stammfunktion aber so wie ich sagen kann wenn ich ableite dann hab ich nur eine einzige Ableitung aber beim Stammfunktion ist ja nicht ganz so leben aber dann sage ich ok das Integral Integrations grenzen sich das unbestimmte in Gera integralen und wer gut ist wenn wir eine das unbestimmte Integral eine Barke und repräsentieren zu können die Menge an einer Stammplatz Jahre tot also ich denke es da habe ich eine Menge also ich kann jetzt nicht sagen dass es Integral ist definitiv die die und wenn ich bestimmten Fall wenn und das entspricht einer Menge wenn ich jetzt die Integrationsklassen Einsätze ich immer einen festen Wert aus Aachen an ab merken also ein paar einfache Beispiele im bestimmte integraler und siehe da wir Sky wenn man jetzt sozusagen ein unbestimmtes Integral also gar nicht soll ich X aber sie erinnert ihn noch x abgeleitet gibt immer wieder er selbst ist das irgendwie hatte ich davor zu was wird er noch X zu tun aber da unterstand sind immer noch Konstantin zu früh also heißt die dieses unbestimmte Integral steht für die Menge aller muss dann eben auch Express zählt dabei zusehen Wert in annehmen kann ,komma stand Ebene das wäre es wir den Sinus von X das Integral das
liegt der Kurden abgeleitet gibt es sie also ist die Stammfunktion an dem sie das eng mit der -minus das zusammen und wie der wie Menge repräsentiert durch die Konstanten die dazu das sind wir mit jetzt einen ein Beispiel das 1. mal relativ einfach erscheint das ich und wir machen ein formales alles wir haben kann also X noch n und da ist die Stammfunktion wieder bald gegeben und allen ist das ohne -minus 1 ja wenn sich ok waren hatte -minus eingreifen werden wir stehen das Integral über 1 durch x und haben eben was ist die Stammfunktion neben der allen von nix Angst gerade das sind ein Indiz eigentlich einfach alles aber es ist mir extrem beliebt Fehlerquelle das zu integrieren weil wenn ich mir überlege wenn Funktion habe ich das noch n ich ableiten was mach ich da ich natürlich Tiere mit allen und sie im Index 1 ab einer wenn aufpassen weil es das wirklich ist mehr falsch das wenn integriert wird dann eigentlich abgeleitet wird weil man hier eben wirklich aufpassen dass der Fahrer Charakter und die Tänze unterscheiden sich aber es hat doch irgendwas ähnliches und das ist wirklich eine sehr sehr häufige Fehlerquelle das dann beim Integration also wenn einer schnell abgeleitet wird weil die beiliegende Ableitungen 3. leichter ist als die Bewegung und ich muss jetzt Index dazu und ich musste mit dem 7. 1 durch den Index also passt da er war wirklich eigentlich sehr einfach aber wie gesagt spazieren wir gerne leistet aber in der Sache dort noch und noch ein letztes Beispiel was ihm gesagt hatte hier ist die -minus 1 3 aufgenommen weil ich das Integral von einst der Text aber dann ist die Stammfunktion der Elf von X Betrag kann und haben wir als der wenn er Hunger hat und auch glauben will wenn die integriert leider nicht vor an und denke nicht dass ist aber derzeit geht immer noch 1 und könnten mir diesen sollen die am Ende reicht es aber hat dann integral leitet die einfach mal ab ja weil ich die unterlegen wir -minus kursen das von x ableitet dann muss -minus denn dann werden sie es stehen und auch bei diesen gerade bei diesem nur wenn ich dann pleite also wenn ich jetzt hier haben wir am Ende kein Trost N 1
DM ist ein X noch Infos einzig das Ableiter aber ich den Fehler aber nach wie vor brauche ich das anders als in den Faktor 1 plus 1 weil X doch n das kleine als direktes ist wirklich X noch n also das klingt jetzt vielleicht nur so aber ist es wirklich in extremen liegt der Fehler und das bei mir immer wieder dass ich mich gerade wenn ich irgendwelche haben wir gleich in korrigiere oder so ich denke aber dass ich einfach abgeleitet und sogar weil er nicht ich die Stammfunktion ab mit der integrierten Funktion zu tun hat und dass man durch einfaches ableiten wirklich sehr leicht überprüfen ich so wie wieder mit es war eine legt
Versace Personen die Potenzreihen ja gerne auch gemacht werden weitere Präsentation der Funktion und so weiter aber mit der Integration verbindet der also wir haben eine Potenzreihen gehen mir einen mit Konvergenz Radio es größer als 0 Best die aber seiner das am sozusagen wären wenn es überlegt man sich eben hatte mit dem die Stammfunktion von x hoch n also den 11. ja auch die Potenzreihe also die Reihe er mir um mehr jetzt haben wir eben hier n +plus 1 x such n +plus 1 nur so wegzurennen integriert mit diesen Faktor da die Reihe denselben Konvergenz Radius er sondern mächtiger mal dran erinnern als die Differenzierbarkeit gemacht hat in einer Variable da gab es auch vom Ansatz im bezogen auf die Differenzierbarkeit das wenn nicht dann die Potenzreihe habe dann der Konvergenz Radius gleich bleibt also flach dann nochmal nach das ist zum ähnliches Argument und wenn ich mir jetzt die das Integral der Potenzreihe angucke dann und macht das natürlich nur Sinn weil diese Potenzreihe entspricht natürlich nur 1 geschlossen Darstellung oder eine Funktion hat nun geschlossene Darstellung in Konvergenzplan ist also wenn das Anwesen Konvergenz Radius als im Konvergenz Bereich dann dieser nicht anders als so so und wir hatten ja gezeigt immer integraler ja da kann ich die Integration über die Summe der Funktion es ist sehr wie ein integraler also steht hier nichts anderes als die Summe der Integrale über die einzelnen Faktoren der ja jetzt aber AL sind dann will ich gerne vorziehen und wegzurennen hab ich eben euch die Stammfunktion von gezeigt das heißt hier steht nichts anderes als die Reihe eigentlich n +plus 1 2 X noch 1 plus 1 plus ebenso konstanter angesehen und Beschwerden kein bestimmtes integrales und bestimmt das heißt wir müssen diese ganze Menge darstellen hat haben da alle wird das 1. Mal ohne beweisen hat und dann ich will lieber Sieber noch schnell hat noch 3 Minuten ein Beispiel dazu an ja wir
könnten uns eine spezielle der 3 an und sagen wir gucken aus die Reihe an nach Würdigung Ex doch endlich enden hat und ja wir überlegt Konvergenz war das so ich hab hier die einst durch Inhalt vor Faktoren wir haben dann hat er Reihe den Konvergenz Rajons 1 da ich denke das kann jeder relativ einfach und schnell nachrechnen das heißt der Konvergenz Bereich Bereich ist X kleiner als 1 was ist in dem Fall kann ich den obigen Satz anwenden und das geht dann leicht probiert es an im Moment es ist natürlich die andere Richtung als sich wirklich da denn ich was ich jetzt mache es den Satz anders rum an zu wenig wir wissen welche Funktionen repräsentiert diese Reihe das hab ich vorher um es wirklich habe jetzt quasi diese Reihe dargestellt und die kann ich auch darstellen über das Integral der Ableitung in den einzelnen Summanden also steht hier das entspricht dem Integral also nur über dem Integral von 0 bis 6 worden sei to n -minus 1 2 also belegt die auch n 1 1 es Ekstase aber eine Stammfunktion ist X unter X doch endlich in abgeleitet ich mich denn vor Faktor ändert das kürzlich mit dem er nun weg und ich habe X auch n -minus 1 und welche sich über die Integral darstellen muss die das haben 0 bis das jetzt gar nicht wieder ausnutzen dass ich das Integral nach vorne gehen kann und ich habe in der Summe dann ein gleich 1 bis endlich von to n -minus 1 Tiere würden es kann ich mir das um Indizien dass eine ganz einfache Sache ich will das mal n bei 0 anfängt also oder vielmehr eigentlich will ich das dann nur die hoch entsteht also für n gleich 0 bis unendlich besteht dann hier nur noch Antioch entstand ein Theorem -minus 1 und diese Summe kennt man auch immer so ein bisschen in Unterlagen Blättern im Notfall aber auf jeden Fall entspricht diese Summe nur im einzelnen Systeme IT und nahm Beleg stammt vom Sohn eines billig ist es allen von also steht hier
nichts anderes als -minus Elend von 1 -minus von der Stelle t gleich 0 bis T gleich X und das ab eingesetzt steht -minus allen voran 1 oh das aber das müssen in der 1 -minus x wir aus allen von 1 -minus wurde er von einem neuere also steht hier das ist die Reihe entspricht dem Elend von 1 -minus x je gerettet werden wenn eine nicht klar ist sich zu dem Schritt von ich hier die rübergekommen verleitet einfach mal mit der Kettenregel denn das Elend von 1 -minus die ab und dann werde sie das schon sehen soll das war von meiner Seite ab
Summe
Punkt
Natürliche Zahl
Minimum
Integrierbarkeit
Zerlegung <Mathematik>
Integral
Mittelungsverfahren
Index
Summe
Länge
Quadrat
Summand
Momentenproblem
Berechnung
Integrierbarkeit
Inhalt <Mathematik>
Zerlegung <Mathematik>
Grundraum
Grenzwertberechnung
Integral
Konstante
Multiplikation
Flächeninhalt
Fläche
Rechteck
Abschätzung
Aussage <Mathematik>
Integrierbarkeit
Gerade
Dreieck
Funktion <Mathematik>
Integral
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Flächentheorie
Ruhmasse
Integral
Funktion <Mathematik>
Summe
Nullstelle
Fläche
Zerlegung <Mathematik>
Integral
Funktion <Mathematik>
Summe
Integrierbare Funktion
Taylor-Reihe
Länge
Betrag <Mathematik>
Abschätzung
Integrierbarkeit
Zerlegung <Mathematik>
Integral
Funktion <Mathematik>
Länge
Punkt
Dreiecksungleichung
Supremum <Mathematik>
Norm <Mathematik>
Integral
Konstante
Integrierbare Funktion
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Flächeninhalt
Kettenregel
Abschätzung
Integrierbarkeit
Schwankung
Funktion <Mathematik>
Schranke <Mathematik>
Integrierbare Funktion
Mittelungsverfahren
Punkt
Menge
Gebäude <Mathematik>
Fläche
Integral
Addition
Subtraktion
Monotone Funktion
Maximum
Gleichmäßige Beschränktheit
Stetige Funktion
Zerlegung <Mathematik>
Integral
Konstante
Stammfunktion
Minimum
Integrierbarkeit
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Konstante
Lag
Variable
Punkt
Wald <Graphentheorie>
Stammfunktion
Stetige Funktion
Ableitung <Topologie>
Integral
Länge
Folge <Mathematik>
Quotient
Integral
Körpertheorie
Konstante
Lag
Variable
Multiplikation
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Abschätzung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Extrempunkt
Fläche
Integral
Konstante
Variable
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Flächentheorie
Integralrechnung
Auswahlaxiom
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Konstante
Sinusfunktion
Ebene
Index
Arithmetischer Ausdruck
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Menge
Unbestimmtes Integral
Ableitung <Topologie>
Desintegration <Mathematik>
Integral
Radius
Summe
Variable
Faktorisierung
Stammfunktion
Menge
Differenzierbarkeit
Reihe
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Integral
Summe
Faktorisierung
Stammfunktion
Momentenproblem
Summand
Kettenregel
Reihe
Ableitung <Topologie>
Richtung
Funktion <Mathematik>
Integral

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Stammfunktionen und der Hauptsatz
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 16
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34555
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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