Bestand wählen
Merken

Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
nur präsentiert Mehr genannt werden an der TU Darmstadt 2 ich auf die meisten
können wir jetzt können jetzt wieder sicher der Mathematik zu wenden und der mit dem Bogen einigermaßen durch dann würd ich anfangen und Sie werden so geändert dass die Behörden die während der Vorlesung zusammenfinden und wir dann in der Pause die in die alle je nach vorne kriegen wenn wir gut wo waren wir werden sind mit dem Kapitel über gewöhnliche Differentialgleichungen und ich hatte Ihnen in Kapitel über elementare lösbare Gleichungen lineare Gleichungen gezeigt als ein eine wichtige Sorte von tialgleichung linearen Gleichungen hatten wir zunächst und die homogene Gleichung also mit rechter Seite gleich 0 gelöst und dann das Prinzip der Variation der konstanten gemacht woher denn dann am Schluss des letzten Wort Vorlesung erklärte war und dass er warum man eben auch Systeme von Differentialgleichungen anschauen weil das eben häufig Größen gibt die sich gegenseitig beeinflussen und den dann das auf den 1. Moment erstmal schrecklich aussehende System von linearen Gleichungen geschrieben und das es dann zum Glück noch ein bisschen zusammengefasst durch den Matrix Notation und mit diesen Systemen will ich mich jetzt wieder ich jetzt also mich beschäftigen die aber bisher nur eingeführt also werden lineare Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen und die halten mehr oder lassen sich gutschreiben kann also sinnlos ist den 1. Ordnung y strich von t is a von t mal y und Funktionen wie will und wenn sie es das ist die Differenz Gleichungen und dann braucht und Differentialgleichungen damit sie ja Chancen hat eindeutig lösbar zu sein immer noch ein Anfangswerte und der Seite Land continues y 0 sie sind erst mal aus wenn der lineare Gleichungen das entscheidende ist jetzt nicht mehr y ist nicht mehr der jetzige Funktionen aber groß als keine Zahl sondern y ist erweckt ist Vektor und groß als der Matrix also die Gleichung wird immer noch auf immer wieder weil die aber das y die gesuchte Funktion des 1. Funktion von ihm daher hoch also das y s y 1 SYN ich hatte immer große eingenommen war und das B ist eben auch von Ihnen auch ändern und das ist auch eine Funktion und die geht aber dies aber nicht das von The ist nicht ein Vektor dann von in Kreuz in Matrix sehen Sie das so wenn passt ob mit der gleichen alles zusammen wie von diesen Vektor y von diesen Vektor Matrix mal Vektor also n Kreuz in Matrix mal n Vektor gibt einen legte der Länge n macht Sinn können sie addieren und dann steht links y strich was soll das heißen Vektor strich ehrlich gesagt das ist -minus Nation dafür dass Sie einfach jede Komponente des Vektors ein 10 ableiten so ein solches System das ist ist dem von linearen Gleichungen ist eine Klage führt man ein Zeitlang 14 und 2 und jede dieser Ableitung von y einzusetzen und allen Kanälen linear abhängig von den Werten der Funktion y 1 SYN so und was macht man jetzt in unseren Dinge lösen will und ich sage Ihnen gleich ein allgemeines System von dem der anderen tialgleichung dann sieht sie lösen wollen wird es im Allgemeinen keine Lösungsformel geben deswegen werd ich an diesen allgemeinen System in die Theorie zeigen und wenn wir dann wirklich was rächen wollen müssen wir weiter spezialisiert aber die Theorie geht wunderbar hier und im Prinzip ist das Vorgehen genau wie bei einer Gleichung das heißt wir gucken uns 1. homogen ist dem an das heißt besetzen die gleich 0 und machen dann und gehen dann zum inhomogen System über eine zur also das so ist es denn es war das aber als homogen ist System ist sie nehmen ihre Differentialgleichungen setzen die Inhomogenität also SP gleich 0 wir schauen uns also die gleichen an y Strich von t is a von Thema zu die Höhe und das ist wie gesagt der Funktion out definiert sehr können Sie auch die einsetzen und wie geht es dir ist dass wir in 13 Matrix der und ich mir das die die dich von der Bank zu und dann kommt der 1. entscheidende Satz und der Satz ist jetzt das was ich bei dem in den linearen Gleichungen Superpositionsprinzip genannt habe also die Aussage wenn sie 2 Lösung von linearen Gleichung haben wenn es jeden Jahr Kombination von den wieder los das geht auch hier das schreib ich bisschen anders aus also das ist wieder das Superpositionsprinzip aber das ist wie gesagt ein elementares eine elementare Eigenschaft jeder den anderen tialgleichung und was uns
dazu anschauen ist die Menge aller Lösungen von dem System sie nehmen alle stetig differenzierbaren Funktionen auf ihnen werden in der in die Irre Gleichung da oben lösen also dass da dann nehmen sich alle Lösungen von der Gleichung und packen denn eine Menge müssen sie erst eine Menge und ich warte diese Menge hat noch viel mehr Struktur ist nicht irgend ne Menge sollen das ist unter Vektorraum und das ist ein n-dimensionalen unter Vektorraum von C 1 von ihm mit werden immer in der einzulegen also bestätigen tätig die wenn sie Funktion auf wie 10. Vektorraum übliche Begründung die 1 Jahr Kombinationen von Stich differenzierbaren Funktion sind das wichtigste der war ob und wie der Autor hier ist wenn sie ist eine Lösung von seinem linearen Systemen inhomogen ist wenn was ist denn dann ist das Wunderwerk der Raum und das heißt nichts anderes als Superpositionsprinzip weil was heißt unter Vektorraum das heißt wenn sich 2 solche Lösungen nehmen und jetzt mit dem Jahr Kombination davon Bildnisses viele Lösungen wir das heißt noch ein bisschen mehr was heißt unter Vektorraum da gab es damals das unterlegte und Kriterium 1 müssen wir 2 Dinge zeigen müssen zeigen die Menge der Lösung ist nicht leer oder Vektoren Kriterium 1 und 2. das gerade angesprochene wenn sie 2 Elemente rausnehmen ist jede beliebige der Kombination davon wieder drin das ist Witterung Kriterien 2 und als 3. wenn sich die Behauptung hier oben anschauen müssen wir noch zeigen dass die Dimensionen von dem L genau groß en ist da noch behauptet dass es nicht würden unter Vektorraum sondern es ist immer unterwegs der Raum von der Dimension groß en also die Anzahl der größten und so als Besitzer in diesem Jahr gleich und haben die Dimension von System ist die Dimension von Lösungsraum wir dieses immer noch den Lösungsraum der Gleichung ist der Raum eine Lösung ist und Alters das kann ich Ihnen noch gar nicht sein und steht noch die Theorie der Führung dass ich ihnen zeigen kann dass es den auf jeden Fall eine Lösung hat und ich kann auch die Dimension und nicht bestimmen was ich zeigen kann dass das unterlegt darum Kriterium 2 also wenn sie 2 Lösungen haben es auch jede in ihrer Kombination ein man kann also was zu zeigen ist wenn y 1 und y 2 in diesem L sind aber dann ist auch eine Frage y 1 +plus später y 2 aus der wir alle Alphabet aus er über das Tor und das ist im Prinzip so ähnlich also die genauso wie bei Gleichungen Wertesysteme in sich also diese 2 Lösungen aus allen Mehr nehmen sich 2 reelle Zahl Alphabet einer der und den rechnen sie mal aus was ein paar y
1 Prospekte Cello und 2. Ableitung habe und das gute gesehen das ableiten was den ja ist also die Ableitung von denen ja Kombination ist die in Kombination der Ableitung nach Bildungs Rechenregeln sie sind die komponentenweise machen als ein System deckt das Land 2 er aber das gilt für jede Komponente damit er wieder für Direktor an so y 1 ist Lösung das heißt y 1 strich is a mal y 1 y zweistellige zwangsweise Lösung also y 2 ,komma SA-Mann y 2 Uhr ist es an der Matrix also Multiplizieren mit allen lineare Abbildungen das heißt dass sie es a mal alt war y 1 +plus Peter sie dann 2 in den städtischen da was sie brauchen ist die aber in der Kombination an mal die in der Kombination also ist auch eine Frau Y 1 Flußbette y 2 Lösung das heißt es der Eltern Thomas jetzt noch fehlt ist erstens es gibt überhaupt Lösungen 1 munter Vektorraumes aber nicht leer sein und zweitens ist die Dimension zu Ende bestimmt und das wird er furioses Schlusspunkt des Kapitels über Differenzialgleichung nächste Woche worden waren da kann ich das machen also der desto mehr weiß aber später noch einmal ein Kästchen nicht jammern rum wir so aber das ist also der Satz ist trotzdem erst mal wichtig das Erste Struktur Aussage über diese ist immer von Differentialgleichungen zum Homo ist dem von Differentialgleichungen hat nicht irgendwelche Lösungen die Lösungen werden immer Vektorraum also die Lösungen von Sonnensystemen indem man Vektorraum er wird ein und nicht irgend die wilde Zorn nur wenn sie legt unter Vektorraum haben oder Vektorraumes die 1. oder eine der 1. Fragen die sich anschließt wie sieht mit der Basis aus gut also die diesen weil es ihnen der parat oder behauptet hat der Raumes n-dimensionalen dieser Lösungsraum wenn uns also in diesen Lösungsraum enden denn ihr unabhängiges weg Funktionen suchen dann ist das eine Basis davon und diese Basen kriegen haben ist
Definition 3 4 also gleiches Cetin wie die ganze Zeit ihn Intervall unsere Funktion unsere Koeffizienten Funktionen Bonn je nach einer hoch in Kreuz in stetig dann ist jetzt können Sie dies der Anfang der die Differentialgleichungen ,komma gleich einmal y anschauen wenn Grad gesehen die Lösung bilden im n-dimensionalen Vektorraum und wenn sie sich jetzt von diesem Vektorraum der Basis der in dem dann sagt man nicht eine Basis das fundamentalste Werk eine Basis das der linearen und das den Iran homogen Systems 1. Ordnung mit Matrix A zur nennt man das ein fundamentales ist aber was gefällt nicht also das nennt man dann eine fundamental System der Gleichung also von dieser Gleichung y strich von T welche Art von TY n also einfach ne strichweise fundamental System ist eine Basis das Lösungsraum zum deswegen ist es immer wenn die Sonne gleißt und System von linearen Angleichung habe es die Aufgabe sehen Sie in fundamental System wenn sie die Basis angegeben haben dann haben sie natürlich auch alle Lösungen um alle Lösung sind dann alle ja Kombination der Basis top und ich will Ihnen noch ein Satz mit geben ohne Beweis aber leider sehr hilfreich ist um zu entscheiden ob man fundamental System gefunden hat in meine wenn Sie die Lösung ausrechnen dann wissen Sie von vornherein sind sich sehr und 3 Kreuz Preises denn dann wissen Sie von vornherein der Lösungsraum ist dreidimensional und es vielleicht auch gar nicht so schwer rauszukriegen also mal die 3 Lösungen zu erraten oder 3 Lösungen woher zu kriegen und die Frage ist es ist so fundamental System ist die Frage sind diese 3 Lösungen ja unabhängig ist die Frage was heißt das denn ihr unabhängig im Raum durch die differenzieren Funktionen ja ist bisher Lösungsraum bisschen Raum und Funktionen unter Vektorraum Humor möchte ich die Fernsehmann Funktionen was heißt es da und ich will ihm zeigen darüber müssen sich da keine Gedanken machen weil das reichten mir Unabhängigkeits testen den und das ist der Inhalt Satz 3 5 also gehen wir davon aus sie haben Kreuz in gehen und sie haben aus irgendeinem Grund in verschiedene Lösungen gefunden also haben in verschiedene Funktionen die ich differenziere auf IE weg da wirklich das denn alles Lösungen von ihrer Gleichung y ;strichpunkt hier gleich ab und y und will man also woher haben Sie Lösung und die Frage ist jetzt sind die fundamental System also sind in der Basis von meinem Lösungsraum ja oder nein nein es gibt einfach Fälle wenn 2 von den Dingen denn die sind werden sie wohl keine Basis sein aber gehen davon aus und woher in Lösung und dann kann ich Ihnen ein paar äquivalente Bedingung angeben wann die Dinger tatsächlich ja unabhängig sind also die Folgen Aussagen sind dann nicht überleben es ist das was wir wollen also die Menge y 1 y 2 1 SYN diesen fundamental Systemen und das heißt dass diese Lösung y 1 bis y n das heißt es war 1 bis y in den weniger unabhängig in C 1 von die mit werden in allen nur mehr brauchen sie nicht mehr sie wissen der Lösungsraum es n-dimensionalen der haben Ende Elemente wenden oder wenig sind in diesem Sinne was er so vorsichtige Rückerinnerung 1 Kapitel über Basel so und das kriegen Sie genau dann wählen aber die folgende Menge y 1 von TY 2 von The bis y n von The wenn sie es sind die jede Funktion einsetzen dann ist das ne Menge von Vektoren müssen jetzt Lektoren n 1. T ist y 1 und den Vektor n steht hier also im Teil I stehen 3 stehen in Funktionen in der Menge Geld haben sich eine Menge von Vektoren und die Aussage ist wenn diese Vektoren linear
unabhängig sind in Rn der jedes T aus dem Intervall dann sind die Funktionen auch immer unabhängig das heißt sie müssen nur punktweise checken das bisherige unabhängige Mengen der Insel das erstmal mal bisschen übersichtlicher und jetzt kommt die wahre Magie wenn das kann man ja noch glauben wenn sich jeder Stelle ja unabhängig ist dann ist es auch dann ist es auch als Funktionen ja unabhängig wir waren wir dies jetzt 3. das ist wieder äquivalent dazu dass die Menge y 1 von TY 2 und die SYN von T also wieder eine Menge von Vektoren in unabhängig ist in allen für ein einzelnes Tier aus ihm also wenn sie ein TNI finden wir dass die Dinge die mir unabhängig sind dann sind sie automatisch für alle die aus ihnen ja unabhängig und fundamental System und das ist die Magie und das gilt für beliebige Funktionen Besonderheit so dass man es nicht wäre ist kein Problem 3 Funktionen zu schreiben die länger unabhängig sind die aber an irgendeiner Stelle in der abhängige Weltraum Produkte dass sie dafür brauchen ist dass das ist und dass das alles Lösungen desselben Systems linearer Gleichungen sind wenn sie die Lösung von System linearer Gleichungen haben dann was diese Magie dass der Allquantor der Existenz Konto übereinstimmen was erstaunlich selten der Fall ist normalerweise so dass sie zwischen 2 und 3 steht ist die Aussage für alle gilt irgendwas ist genau äquivalent dazu es existiert ein sodass das hat man selten aber das ist einer der seltenen Fälle wo es zutrifft und damit ist sehr sehr einfach zu checken ob man wenn man woher n Lösungen hat fundamental System hat der zu sehen alle Lösungen der anfangs Wert 1 oder nicht also wird sind alle Lösungen 0 1 umgucken sorgt Subdirector dabei rauskommen ja und erhält wenn sie das sind dann können Sie sicher sein das Zeug ist für alle Themen ja unabhängig ist ist ein damit es nicht mehr wie in den Jahren kann in den ja nicht beweisen den Besitz würdigten Theorie graben ich wollte in den mitgeben als Hilfsmittel zum Nachweis ob irgendwas so fundamental System sein kann kann dort haben wir also gesehen wenn so Modellsystem anschauen ist die Menge der Lösungen in meinem Innern unter Bauraum und wie immer kann man auch im Allgemeinen ich sagen also diese diese vor der Lösung aller ausrechnen der fertiger Formel die für alle solche Systeme gemacht ist es nicht aber es wird machen können ist das inhomogen ist es dem angucken also der scheidende sowie wieder einen Wanderweg gleich 0 gesetzt deshalb des B wieder so also jetzt gucken uns die gleichen anderes Landstrich is a von t y von The +plus B Phontänen dass das ihnen nur Problem ja es immer noch der Funktion des jeden The aus dem Intervall ihn Matrix er hoch 1. ROM Preis entsorgen und B Obst Essener Funktion von I muss die gehen die muss nach eher in den meine ganze gleichen einer Endspiel und die beide sollen stetig sein sah und was jetzt kommt ist der Struktur
Satz wir die Lösung von Ihnen Opern Nummer Sie es gehen wenn ich schreibe in den meinigen und wenn ich den schreiben können sie überlegen wo sowas schon mal gesehen haben was sollte ihn nicht bekannt vorkommen kann also wir haben und so üblich Setting wärmen Intervall in R auf dem die Gleichung gegeben ist wir haben A und B Funktionen wie oben also die Geraden derzeit rüber und jetzt ist weg Aussage von dem Salz wenn Sie eine Summe wenn die mal YP eine Lösung vom inhomogen Problem haben also mehr vom 3. zur und von nach allen wenn das eine Lösung ist um ihn nur den Problemen als man das in Immobilienproblem IP den mobilen das Problem also Sie haben eine Lösung irgendwo ja mir völlig egal welches in die verrät aber sie haben eine und wenn sie 1 haben haben sie alle dann sind die Lösungen vom inhomogen Problem alle gegeben durch folgende Form also irgendeine Lösung von homogen Problem kriegen sie dann als die sich für eine Lösung dieses spezielle Lösung y los 1 Mehr Funktion y H wobei das y H alle Lösungen des zugehörigen homogen Problems durchläuft man also wenn Sie eine Lösung des inhomogen Problems haben ein und alle Lösungen das Hormon gehen kann dann kriegen sie damit auch alle Lösungen des inhomogen Problems ist eben eine spezielle sind Anfang brauchen und diese Struktur haben sie 1 zu 1 so schon mal gesehen im letzten Semester Matte einst als das mit den Jahren gleichen System beschäftigt er viel einfacheres Gebilde einfach viel einfachere Struktur den Jahrestreffens ist dem auf sie erinnern sich daran dass sie wie Verleger aus Verfahren gelöst haben und der Liebling Jahrgangs ist ist und dann bauen gab es über die Theorie von der Lösbarkeit von System und da kam der exakt gleiche Satz vor wenn sie inhomogen ist inhomogen ist einer aus dem System haben lösen Sie das homogen ist dem besorgen sich eine spezielle oder auch partikulär Lösung da kommt das P R und alle Lösung des inhomogen Problem sind dann spezielle Lösung plus eine Lösung des homogen Problem ist die Lösung des inhomogen Problems was in a Raummaßen verschoben und darunter Unterraum war genau die Lösung des homogen Problem und exakt das gleiche passiert hier wieder und das ist das ist die Struktur von den hier ein Problem wir kriegen eine Lösung des inhomogen Problems in dem sie sich eine annehmen dass es da auf .punkt A der Ebene und der die Richtungsvektoren der Ebene die sich die Lösungen beschreiben 10 geben die Lösung des homogen ist es ist genau die gleiche Struktur und so so kann man sich das denk ich auch am besten merken also merken Sie sich jetzt nicht in wie vielen Jahren sitzt der was extra sondern merken Sie sich dass es genau wie bei allen Anlagen das Tor das kann ich ihnen auch zeigen und es ist nur dass wir zeigen müssen 2 Dinge
zeigen müssen zeigen wenn sie so spezielle Lösung haben und Homo ginge dann ist die Sonne wieder Lösung des oben homogen Problems und sie müssen zeigen jede Lösung des inhomogen Problem ist ist die schreiben als ihre spezielle +plus irdene homogene Lösung also machen uns an die 1. Sache also wir haben die spezielle Lösung ist wenn wir uns eine Lösung y H es homogen Problems Veto da müssen wir zeigen wo es die Funktion y geben die Summe der beiden ist also die speziell die partikulär Lösung und die sich homogene Lösung des das auch eine Lösung des inhomogen Systems ist also was machen wir also leiden müsse bis wir mal ab was y Strich innerhalb so Striches YPG strich +plus y H ,komma wenn es was man sich überlegen die beiden Funktionen sind jeweils Lösung voller Differenzialgleichung das YP löst das inhomogene Problem also SYT strich AYP B das YH löst das homogene Problem also es YH strich am Ball y aber natürlich jeweils alles mit rund lief und lief und lief und wenn sowie von der schreibt dann wird nicht übersichtlich ist das Wesentliche so beziehen mit der Matrix A linear also ist das aber mal Y P +plus y H +plus W und das ist man y muss man sehen es diesem Superpositionsprinzip eine Genialität der Gleichung wenn sie 2 Lösungen einsetzen ist in die in die Gleichung kriegen Sie als rechte Seite die suchen die Summe der rechten Seite raus das ist in dem Fall des +plus 0 also bitte damit es also wenn sie solle partikulär Lösung also eine Lösung des Ruppiner mobilen Systems haben und irgendeine Lösung des homogen ist die Summe wieder eine Lösung des inhomogen Systems dass der eine Teil vom beweist jetzt umgekehrt müssen wir zeigen wenn sie irgendeine Lösung dass ihre mobilen Problems haben dann ist die von der Form spezielle Lösung bloß eine Lösung des Homo gehen also wir nehmen uns irgendeine Lösung des ihnen Immobilienproblem sehr ja was wollen wir mehr wollen zeigen y ist von der Form y p +plus y H wobei y H eine Lösung des homogen Systems ist und das ist das Ziel das war die Behauptung vom sagt sie können jede Lösung gesehen wo gehen Systems schreiben als ihre eine spezielle Loslösung des Homo gehen ja gut also wir wissen y besser lösen y s 1 wir wollen es y haben also schauen wir uns mal an was es mit Y -minus YP das ist ja
unser Kandidat für das Y H der heiße bis wir müssen P müssten also zeigen y -minus YP ist die Lösung des homogen Problems also setzen wir das mal ein leiten das ab dass es wieder y Strich -minus YP strich beide Funktionen sind Lösung des inhomogen Problem also das y strich y +plus W YP strich is AYP nur +plus B wenn beide sind es auch inhomogene Problem was ist das dass es y +plus B -minus als um die -minus B also dass die Welt genau raus und was übrig bleibt ist A mal y -minus y und sie sehen diese Differenz erfüllt hat sich das homogen ist es denn wenn wir jetzt diese Differenz also y denn dann ist das eine Lösung das homogen System ist also haben wir genau die Struktur dem Satz steht in kriegen die Lösung des nur den Problems indem sie eine spezielle haben und da eine Lösung des homogen Systems Rauchwolken wie gesagt denken Sie immer der gleichen System ist genau das Gleiche nur eben eine Absage oder eine Komplexität Stufe höher damit nicht mehr Gleichungen von Busse zahlen suchen sondern sie suchen Funktion aber die Struktur ist genau dieselbe lösen Sie das homogene finden Sie eine Lösung des homogen Systems für Sie eine Lösung des inhomogen und dann haben sie eine Lösung des inhomogen indem sie eben auf diese eine alle homogen drauf hat er zwar an dann ist das ist so die die der Fahrplan was man tun wusste und der jetzt noch schnell die Begriffe die ich jetzt schon 5 Mal verwendet haben also Bemerkung 3 7 1. beachten Sie die Parallele zu LGs Theorie aber wir also die Wahrheiten die dieses denn es sollen ja gleich weiten sich wirklich also ja das ist immer was die Lesbarkeit Sdiri angeht und zweitens im entsprechen übernimmt man auch gern die Nomenklatur von dort also diese Lösung YP sie
spezielle Lösungen wie also diese eine Lösung die Sie irgendwo her brauchen wir die inhomogene Lösung der Gleichung er heißt spezielle Lösung genau über den Jahren ein System oder auch partikulär Lösungen auch der Begriff bei den linearen Gleichungssystemen schon gefallen also die Theorie ist die gleichen übernimmt man auch die Nomenklatur so und das ist jetzt ja der Fahrplan für die er Lösung von solchen klar es ist gehen also wenn Sie System von dem Angleichung haben inhomogen es im Allgemeinen 1. Schritt schmeißen sie Ideen in Homogenität erstmal weg nicht komplett sondern gut sichern aber erst mal zur Seite legen müssen Sie das homogene Systemen wie auch immer das haben sie sich dann Fundament heißt es denn für den Raum der Lösung kriegen Sie irgendwo her eine Lösung der passt der inhomogenen Gleichung und dann haben sie alle Lösung Demo gehen Gleichung indem sie auf diese eine alle homogen Lösung brauche bloß wie gesagt ein ganz allgemeines System von linearen Gleichungen mit kommst mit Mitleid mit Koeffizienten a von t und d die es da keine förmlichen und deswegen werden wir zum folgen spezialisieren auf den Fall dass die Matrix A in derzeit in The konstant ist also nicht wirklich von t abhängt sondern eine konstante Matrix ist die für alle die identisch ist also die Funktio und es kommt dann und dann kann man tatsächlich was recht wenn wir nach der Pause geht es 1. mal es durch ab so ich würd gern in die 2. Hälfte einsteigen ich hatte gerade schon so ein bisschen vor der Pause gesagt was jetzt kommen wir schauen uns immer noch mögen ja das ist der wahre Name spezialisieren dahin gehen dass wir sagen die Matrix A darf nicht mehr Zeit abhängig sein dass nicht mehr von ich mir von t abhängt sondern muss eine konstante Matrix sein und wenn wir das machen dann werden wir wenn wir tatsächlich in der Lage sein allgemeinen fundamental System anzugeben also es kommt der Unterabschnitt 3 2 linear das ist sowas nennt man dann ein wenig ja das ist man mit konstanten Koeffizienten nur gemeint diese Koeffizienten Funktion die in der Matrix A drinstehen die sind alle konstant nicht und hier und da sie haben eine Matrix die nicht mehr von der Bank das B die noch Mobilität der Arbeiter und die abhängt das können wir handeln aber das muss to dabei ist eine so also das heißt dass wir uns anschauen ist ihnen dies den wir von oben nur das Avanti konstant also die Gleichung die wir jetzt haben ist y strich und es immer noch ein Vektor nur zu bedenken ,komma von ist große Matrix an mal y und die Brust der Phontäne mit der sie hat sich nur ganz wenig getan das vom dem als Rektor und das ist der 1. Matrix in der auch in Kreuth immer so was wir so machen um das System zu lösen aber wie gesagt das 1. es aber bisher waren die Inhomogenität an sicherer Stelle im Kühlschrank das A B und schauen sich erst mal das homogene Problem 1 und Wiener Mobilität steht kümmern wir uns später der 1. Schritt bei der Angleichung es immer das morgen ist gehen wir wir ab das 1. wäre so
es binde ein fundamental System also finde die Lösungen vor der homogenen Gleichung und dies hier in dem Fall y Striche von Till ist Matrix aber mal y kommt weil man da ist denn diese gleich ums Leben heißt das ist eine zu ist das System von allen Variablen mit einem Gleichungen und der Lösungsraum des n-dimensionalen Basis wenn man zur ihr zu der gleichen da stehen hat es nicht mehr los legen soll und dann ist gut man schaue sich doch erst mal einfach den einfach möglichen Fall an der ein mögliche Falles n gleich 1 also das ist eine 1 Kreuz 1 Matrix 1 kurz 1 Matrizen sind relativ übersichtlich dessen Zahlen was die den steht dann da das Landstriches gleich fünfmal y Epsilon ist natürlich auch eine der Länge 1 also bezahlt ist der Fall denn wir hatten und dann können wir das Ding ja also wenn man n gleich 1 ist aber dann sind die Lösung einfach dann sind die Lösungen konstante mal eher hoch Themen an das ist das fundamental Systemen im Fall von n gleich 1 wir brauchen wir einen SD Lösungsraum eindimensional warum bei einem Vektor das ist der Weg der ihr auch Theater und eine Lösung senheit Alenia Kombination dieser aus dem einlegte bilden können eine tiefer zogen das aber schon hinter uns und das ist ein paar und jetzt kommt eine Stelle wurde meine Martin gilt Frechheit siegt wenn tialgleichung sind so biestige Dinge da sind wir schon ein paar Mal erwähnt alle Mittel erlaubt und die Idee jetzt die die die erstmals ist aber lassen Sie uns doch einfach mal bei diesen Lösung bleiben versuchen wir doch mal Funktion er auch die zu definieren wenn eine Matrix ist und was könnte er auch die Abende Matrix A sein oder wie hoch am NT als auch im Matrix dass sich ihr auch und The Matrix begründete durch EU er hoch Eintrag machte Matrix mit ihr eintreten es tut nicht sondern das ist die Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Weise Reihe definierte Insolvenz ja vom Sommer so frei definiert und 3 irgendwie mal ihr Konzept Marei wird doch endlich in Fakultäten setzen Sie mal Konzert der Stadt Z A 1 Dieberei auch Ende Jänner gute macht zumindest mal sehen können im Kreuz in Matrix haben es auch hochgradig gar vermittelt wenn quasi Mannes habe es auch Karten wieder einen Kurs in Madrid durch Gaffer der dass man ohne ein Wort in Matrix 1 können die alle auf die ihren Gewinne in kurzen macht zumindest du wenn es mal was was man hinschreiben kann also wir geben uns eine Matrix A vor und dann schauen uns einfach mal die Reihe diese Exponentialfunktion gehört eine Summe in gleich 0 so dämlich aber auch endlich in Fakultäten aber damals Konvergenzprobleme aber wenn wir das jetzt mal für den Moment ignorieren dann diese wie sinnvoll dass er auch als einen guten Ton das Ding nennt man die Matrix Exponentialfunktion von aber warum Tupmans mehr aus dieser Analogie der oben raus er wenn er auch die mal das ging für ein Kreuz 1 Matratzen lösten dann könnte ja vielleicht dieses eher hoch das für ein heute in Madrid und Rom und das ist frech aber ist tot wir DEU jetzt hab ich natürlich gesagt wir haben noch ein kleines Konvergenzprobleme an Stelle das es aber keins weil leider die Funktionsweise Verbrauchers man kann tatsächlich zeigen egal was einem Attentäter einsetzen diese Reihe das absolut konvergent er sie kriegen absolut ,komma Genter Reihe und woran liegt das das liegt daran also was heißt absolut komme gehen das heißt die Reihe über den Betrag in dem Fall Rey über die Normen konvergiert bei der Sitzung von absurde Konvergenz war sie nehmen sich die 3 über die Norm von dem was drin steht das ist eine rein er unter wissen was Konvergenz trumpften die Frage was ist enorm für diese Matrix der sog die Matratzen neben entrollt zählen also diese muss sie immer im Quadrat das ist normaler gibt er im Quadrat dimensionaler Vektorraum damals viele Namen zur Auswahl und da gibts geschickt den Namen wenn sie die Norm in diesem Sektor Raum geschickt während dann gilt dass die Normen von aber auch n kleiner gleich ist die Norm von auch wenn eine Zahl ist das eine Banalität derweil den Betrag von x hoch n =ist gleich Betrag von x Wochendende wir treffen muss man sich dann das überlegen aber das tut wenn sie die Norm nehmen wir dann kriegen Sie Summe in
gleich 0 bis unendlich aber auch durch in der Norm ich interkulturelle dass es erst mal so n gleich 0 bis unendlich das einzige in Farbe der das ist ne das ist mir wie eine konstante dieser unser Stammbaum rausziehen also eigentlich jetzt Betrag von n Fakultät aber wenn er gut so positive jetzt kommt diese schöne Eigenschaft von da oben das diesen Raum kann auch n kleiner ist als die Norm von auch in was jetzt dasteht ist schlichtweg er Woche normal kann das was am Schluss dabei steht es ne Exponentialfunktion für jedes Argument also ist die Reihe der Konvergenz wir ja und da ist die Konvergenz Meyer warnte vor unsere ursprünglichen Reihen dann ist die Aktion Konvergenz wann sie sehen dagegen jetzt 35 Dinge ein über die Welt vor ewigen Zeiten mal hatten deswegen ist das jetzt auch nicht das ist nicht der zentrale Teil der heutigen Vorlesung aber das angesehene Begründung warum Sie guten Gewissens mit ihr hocharbeitete ja so wer sitzt ein enormes es kann beginnen dann geht wieder nämlich die Mensen anrollen soll enorme quer lehnt also es egal welchen Unsinn denn das Ding ist einfach konvergent und damit ist diese Definition Augen sind können er hoch aber so definieren und kriegen jetzt für jedes an den Matrix jedoch ab Tage Matrix und jetzt dann werde man sammelt sämtliche Mann ,komma definieren kann man viel aber der wird ja ganz bewusst definiert und irgendwie ihre ich bezüglich nachzuweisen dass sie was mit den Lösungen von unserer Gleichung zu tun hat und er für sie da also nur mal so ein paar elementare Eigenschaften von selbst Matrix Exponentialfunktion zusammen dieser möglichen Einsatz 13 also sieht da brauchen Sie den Satz braucht man als Werk als Material 2 Matrizen in Kreuz N Matrizen ich will mit wow in 0 Matrix bezeichnen also wo ist die Matrix deren Einträge alle 0 sind und dann steht dieser Satz unter dem Motto alles soll bekannt Marines Uninstall-Funktion ist eine Exponentialfunktion und Exponentialfunktion der Zumba Eigenschaften die gelten immer nur sehen sie das ungewohnt aus was ist zum Beispiel Eon 0 also was ich auch die 0 Matrix wo nur das 1 Mehr wie auch die 0 Matrix ist ein Halsband irdischen genauso dieses kennen die Hoffnung auf das ist ein zwar also das ist die eines Mannes man da so habe sie glaub ich geschrieben das nächste was Sie über die exponential funktionen wissen ist wie hoch Amerigo
B ist wie hoch B der und jetzt das ist eine der wenigen Städte wo man aufpassen muss dass geht im Allgemeinen nicht also wenn A und B 1 Kreuz 1 Matrizen sind also zahlen dann ja da und wurde gleich 2 es geht es im Allgemeinen schießen und woran kann das liegen was ist der Unterschied zwischen 1 Kreuz 1 und 2 Cold 2 Matrizen der Unterschied ist die Multiplikation von 2 1 Kreuz 1 Matrizen können so umdrehen das ist kommutativ und wenn sie im Kreuz in Madrid mit allen Größe eines multiplizierenden Komotini nicht und dann funktioniert der Beweis von dieser Formel nicht und dann ist sie auch einfach falsch aber wenn sie als Voraussetzung reinstecken dass das gilt also wenn sie zufällig 2 Matrizen nehmen dieser ein zufällig umdrehen doch also wenn er mal die gleich da ist 2 so genannte konnotieren der ritzen dann ist das ok nun so dass die Sonne mal schneller also Vorsicht mit der Vorsicht mit der funktionalen eine Exponentialfunktion überführt Zucchini aber der Wende Matrizen Komotini so komm wieder was eine Eigenschaft Exponentialfunktion eine angenehme übernehmen kann und das ist was es mit der EU -minus an wie hoch -minus A ist sollten die trollte wenn es so geht wie wir uns das vorstellen was zu tun haben mit der inversen von ihr auch also 1 durch EU-Rat als es einst durch Matrix EOF Aromen das Heizen und dass es tatsächlich der Fall und die geht auch tatsächlich nix schief wo man da auch Angst haben könnte nur weil wenn Sie Zahlen haben zwar eine Zahl die männlichen Mädchengang das die nun bei 1 1 1 1 durch ok und bei Matrizen geht es viel viel mehr Matrizen Mädchen haben das heißt hier könnte was schiert NRW geht nix stehen egal was ihre Matrix A ist die Matrix er hoch ist immerhin datierbaren bekommt wieder so die die grundsätzliche Eigenschaft Exponentialfunktion zum Tragen Dinge immer besser zu machen als sie vorher waren also also egal was ist es jetzt nur Matrix ist sie Teil aber wie um alles in der Tiere war und tatsächlich ist die inverse dieser Matrix also er auch auch -minus 1 gegeben durch ihr hoch -minus hübsche Eigenschaft können Sie auch gerade so aus der Exponentialfunktion einer Variablen übernehmen und das letzte kommt jetzt das ist etwas was nichts mit einer Dimension zu tun hat weil es da beinahe es gibt wir das Hauptproblem wenn sie nachher sehen es gegeben aber berechnet wie hoch 8 also wirklich konkret angegeben aber schwerer ist man Mist ist nicht Sache der als das ist viel im Allgemeinen eklig aber es gibt ja ich meine es auch wiedersehen werden logisch dass das schwer ist weil er hoch aber rechnen heißt es dem von Gewinnen gewann 2 Gleichungen lösen wenn sie auch aber rechnen können haben so dass es den gelöst und System von ja also Gewässer Gleichung lösen ist normalerweise eklig also muss auch Exponentialfunktion eklig sein Gesetz von der Erhaltung des reichen auch also die die ich an ist aber es gibt eine Sorte von Matrizen für die kann man die Exponentialfunktion erstaunlich freundlich ausrechnen das sind und gut die einfachst mögliche nämlich die Übernahme also wenn das an diagonal Format noch Belieben an ein Dreck und sonst nur wenn die Einträge mal bin können sich denken warum man das ist man allen dann ist er auch einfach auszurechnen dann ist er auch an nämlich das was ich vorhin als 1. der EWG vorschlug sie nehmen einfach jeden Eintrag hoch nicht ganz also nehmen gehen einher auf der die Wunde ein hoch also eher Hochland 1 er Woche 102 bis ich auch und die Nulllinie Außenbleiben bleiben also die Exponentialfunktion wohnende und danach ist wieder der Golan Matrix wobei auf der Diagonale jetzt nicht lange einzusammeln stehen sondern eher Hochlande 1 ist jedoch damit aber doch nicht der ich beweist ihnen sag ihnen weil die warum so ungefähr gilt und C und D überlasse ich Ihnen also ob
Anteile an 2 war er hoch nur die Sie also eher hoch die 0 Matrix ist die Einheitsmatrix bilden was ist äh auch 0 was ist er auch die nur Matrix nach Definition das ist die Summe n gleich 0 bis unendlich Einheit also nur Matrix hoch n durch Interpol Tell wobei natürlich die Frage was ist denn was ist wenn man 6 hoch 0 und da gilt wieder das Gleiche wie Lernen auch bezahlen das ist die Einheitsmatrix also und in gleich 1 bis unendlich nur Matrix Suche endlich in Fakultät Bayern die nur Matrix hoch nur hoch 17 immer noch den 0 Matrix wenn sie so auch mit sich selbst multiplizieren Sie wollen bleibt die 0 Matrix und das steht Identität würde die Einheitsmatrix zur und zum Detail sage ich nix ausführlicher sondern das geht im Prinzip die für jene Zahlen vor für komplexe Zahlen damit die funktional Gleichungen irgendwann dämmerte 1 mal ausgiebig hergeleitet das was große Produkt nur Sinn in die Hochzeit und ich will dass jeweils 2 rein und dann müssen sie das große Produkte beim rein multiplizieren und dann kriegen Sie noch die Bildung ja vorne eine sie alles richtig im sortieren steht am Schluss des exponential da Inititiative daher es war einfach nach im Prinzip muss man genau das gleiche Ton dazu müsste man jetzt ein große Produkte einen der Matrix wertige rein einführte Binomial fordere dass ständig mehr alles die könne im Prinzip genau das gleiche rechnen mit einer Ausnahme wenn sie dann irgendwann bei diesen ganzen Summen die Summanden sortieren dann gibt bei lauter so Summanden von der Form armer armer armer dem immer b und a mal b mal a mal b mal a mal b und a mal a mal b mal den also irgendwelche wilden Kombination von und B und die müssen sie jetzt alle sortieren denn sozusagen nach Anzahl von außen an vom besten dazu müssen sie aus und bis vertauscht und deswegen braucht man die Voraussetzungen dass die Dinger konnotiert das AB gleich B-A ist also das geht im Prinzip jeder komplexe Zahlen unter Beachtung dass a mal b gleich b mal a ist wenn Sie das nicht haben dann können sie den Beweis für komplexe Zahl nicht durchziehen wenn Sie mal wie wir eine Stunde Ruhe haben probieren Sie das gern mal aus wenn sehen es schreiben sich wenn man sich erst mal da ein Skript den Beweis für komplexe Zahlen tun so als ob alle Rechenregeln die wieder verwenden den Matratzen auch gelten das geht gut und sich der Westen müssen zwischen den Namen des vertauschen damit das passt Tor und C und D trauen sie sich übernahmen der die 1. wichtigen Eigenschaften der exponential Matrix Funktion und jetzt kommt der entscheidende Satz für die man diese Matrix denn er will Madrid Exponentialfunktion braucht das bei 11 der liefert uns jetzt auf einen Schlag das Fundamentalisten für unser homogenes Probleme also ja jeder Menge erreichen dabei Kreuz in Matrix unser betrachten unser Problem
also y Strich von T =ist gleich a mal y Mantel der aus wie oder in dem Fall können auch die 1. annehmen und jetzt ist die er war die die die Lösung ist irgendwie sozusagen ihr Ohr an wie hoch die ableiten ,komma is runtergesprungen die damalige auch die Art und das ist die Lösung der Gleichung ist recht aber es tut also betrachten das gehen und die Behauptung es aber dann werden die Spalten der Matrix wie hoch die also die Spalten von ihr hoch des aber die bilden ein fundamentales ist neben dieser Gleichung also die Spalten der Matrix Sitten wartende Basis das Lösungsraum es dieser Gleichungen eine Bühne wenn wir diese und damit die Eigenschaften der Exponentialfunktion jenes das auch relativ schnell zu beweisen ob ich die sich dazu machen damit es das gesamte Problem gelöst also wenn sie den Matrix an und Sie können wechseln die 2. Jahr Funktion ich auch die ausrechnen indem sie die Spalten von dem was Sie rauskriegen und das ist die Basis für den Lösungsraum damit haben Sie eine Lösung morgen Problems und wir würden und worin das Problem ist gelöst wenn Sie so Anfangswerte haben wie sehr die Konstanten so einstellen es sich genau die Lösung wenn ein Handwerk legen aber damit ist das Problem so Problem komplett gelöst ist auch die Frage natürlich wenn sie ein konkretes haben die rechnen sie wirklich ganz konkret die auch die aus der auch von der Theorie Seite her Zimmer damit durch so also beweisen wir das um eine Jochen Spalten oder an die 2. von der Matrix ranzukommen wenn ich mal die wir nicht üblichen Notation also er hat wir jeweils periodisch Standard Basis Vektor also der Rektor der über Nullen hatten der stellen 1 in allen man eben das von J zwischen 1 und Enten also J es einfach der 0 0 1 0 0 0 1 ha warum brauch ich denn er war ich mehr auf die Weise schön die optisch bald herauslesen kann y von
TG definiert es wie hoch die e j ist dann nämlich genau die Art der Spalte von jedoch die kurze Überlegungen Karpfen wenn sich die Basis ist am Leben und den er hatte nur einen Zweck dran multiplizieren die 1. Zeile multipliziert mit dem vektor kriegen Sie den locken Eintrag der 1. Zeile der 2. Teil den wir und ein hat der 2. Zeile wird einfach der 3. Zeile das geht genau die Spalte also wie auch die AEJ ist die Orte Spalte von der zur das heißt was wir nach was wir nachweisen müssen ist wir wollen zeigen diese Spalten denen fundamental System müsse also 2 Dinge tun wir müssen 1. zeigen jede dieser 2. so zweitens die Spalten sind allen unabhängig also fangen also an zu belegen dass jede Spalte Lösung ist ja es geht also müssen wir schön ist müssen sie so nachrechnen was ist y strich y Strich ist die Ableitung von dieser Funktion wie hoch die AEJ so natürliche sozusagen war die Ablage für die auch DAS in die damalige die er aber genau das war zeigen also selbst die Definition von der Reihe 1 also was ist ihr auch die ich auch ist die Matrix T a hoch n durch n Fakultät das aufaddiert und dann einen J auf den legte Iliad angewendet diese ganze Summe will eine Matrix die können so wunderbar auf den Weg der Irak an den ist das Ganze aber mit der Angelegenheit also können sie es auch sozusagen umgekehrt machen können zunächst für jedes enden die Matrix des Theorems normal vor Ort Theorien auch ne Ort durch n verkohlt hält kann kann lesen Sie schon zum einen wie nach T 1. was ich mache ist ist T a hoch n wissentlich das Gleiche wie die hoch in auch wenn 1. steht die man aber die Thema aber dem Rat und skalare ist dies eine Zahl des Toten sind eine Matrix vorbeiziehen und das ändern c't immer die Mama nach 8 ja jetzt können sie wird dass er auf ein Schreiben 8. der in sollten wir das differenzieren und an der Stelle muss ich jetzt wieder ein seine Konzession machen und sie wir mir das nächste gleich bitte glauben was wir machen müssen ist 2002 Grenzwerte müssen Differenziation die Summe 10 und werden ich kann Ihnen plausibel machen dass es geht bei was steht denn da der steht Potenzreihe ich 1 mal auch in aber eine Potenzreihe ihnen was zu aber nicht gehandelt kann ich Ihnen nicht verkaufen dass das auf jeden Fall also ist Potenzreihe mit Matrix Qualitäten ich habe nicht gemacht kann ich also nicht sagen nach Gewalt nach sowieso ist das absolut konvergent und wir dürfen da drin die es so dass wir da Potenzreihe differenzieren aber er geht genauso dürfen wir also können wir diese Differenziation die Sonne reinziehen nebenbei das Prinzip der Potenzreihe ist The hoch n a hoch ne Ort durch den Fakultät ja und Theorien nach The anzuleiten nicht so wahnsinnig schwierig ist ist so man gleich 0 bis unendlich enden Maltheorie N minus 1 auch ne Art ich Enver gut hält aber dann in kürzen nicht ein in Kürze
wird stehen die hoch N minus 1 wohnten in -minus 1 Fakultät und hab ich überall ein Minus ein so vorher entstand da hätt ich auch gern auch ein -minus 1 und damit ich dann keine Fehler machst beim man ich habe ein vorgesungen gezogen war beim und sein Index hilft gemeinsame überrall überragende Summe in -minus 1 stehen ja das ganze soll die natürlich von 1 anfangen denn gleich 0 steht der in 0 3 Scampi Index hilft ja keine gesunde wieder bei 0 an vor dafür kriegen wir ihn drinnen to auch aber auch J durch n Fakultät und das ist wie hoch Ta Nea also tatsächlich genau die gleiche Rechnung die man macht und die aus zu kriegen das sind das jekt abladen Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion ist mit dem Fall aber eben noch oben die Orte an springt und das also wir kriegen tatsächlich dieses und das ist wenn uns noch das is A Y also y strich an alle Zählern und damit ist jede Spalte dieser Matrix tatsächliche Lösung von unserem System und was uns jetzt noch fehlt ist müssen also wir haben jetzt also y
Lösungen der Gleichung wir wollen tialgleichung und was uns jetzt noch fehlt ist was haben wir jetzt haben ist mir im System von dem ja Differentialgleichungen Ente in Kreuz ja am Ende Lösungen was wir so wissen dass es diese Dinge oder bin ich dann am oder Fundamentalisten und jetzt schlägt unser Kriterium von Freunden so was wir wissen auch und dann sagte mir die Exponentialfunktion sexuellen Jahr Funktion ist egal was sie für eine Matrix in die Exponentialfunktion reinstecken wie Matrix er auch die ist auf jeden Fall invertieren nur das war die Aussage vom Platz 13 Sie nun egal was sich wenn reinstecken wo reisen wird hierbei also eher auf der A 7 bei Wittiber egal was tief aber was heißt denn das für eine Matrix in der Tiere ist eher das heißt unter anderem dass die Spalten denn er unabhängig sein müssen in die er unabhängig in der in nur das war eines der Kriterien ist denen sich die Anzahl der unabhängigen Spalten bei der reinen einer Matrix und eines der Kriterien für in der Tierra kalt war daran muss sogenannt wollen sein also gleich der Anzahl der Spalten und das heißt die Spalten müssen immer und erwähnte er doch jetzt haben wir aber dass für jedes die unsere Lösungen Ninja unabhängig den an der Stätte T und das war dieser Satz 3 5 1 dann sagt dann sind die Funktionen auch als Funktionär unabhängig also sind auch die Spalten von ihr auch die in der unabhängig und weil sie alle Lösungen sind sind sie damit ein fundamentales Goldhammer also gesehen wenn sie die Matrix namens Anstrich gleich der festen Matrix aber und sie können ihr auch die bestimmter nahm sie damit ich ihr Events Jahrgangs ist gelöst und was da dahinter steckt ist diese Rechnung wir gerade hatten diese rechnen die Belgrader hatten die Kammern kurz zusammenfassen aber in folgenden was soll das heißen sie nämlich auch die das ist Matrix was bedeutet das jetzt welche Matrix ableitet soll heißen leiten sie halt in jeder der im Quadrat Komponenten ab und was sie dabei aus kriegen es tatsächlich so wie wie man sozusagen naiv wenn schreiben würde und sich selbst nicht glauben aber es stimmt es kommt raus Amalie oft ja noch die schöne Eigenschaft Exponentialfunktion wir können auch die Nasen Sequentia Funktion so ableiten dass wenn das zahlen und das ist das was wir oben den Beweis nachgewiesen haben dort ist jährt hat sich das immer noch reichlich theoretisch an wenn jetzt zeige ich Ihnen dass man damit bin ich ganz praktisch Gleichung lösen kann und auch diese Mann den 6 1 Jahr Funktion durchaus bestehen um was wir zu nehmen ist ein Beispiel das ich ganz unauffällig am Anfang dieser dieses Abschnitts schonmal geschrieben hat einfach als Beispiel y 1 strich Pantheist 3 y 1 von T +plus y 2 von T und y 2 ,komma Phontäne bis y 1 von The 1 3 y 2 von T jeweils die aus er Mehr das ist das ist das ist dem von den Jahren Differenzialgleichung wenn Sie y 1 haben ganz y 2 bestimmen selbst und 2 Augen sind 1 bestimmen aber sie kennen den beide nicht treiben uns das 1. Mal die übersichtlichere
Matrixraum um das ist das das ist die gleiche hat die Form y strich von ist 3 1 mal y von Tee das ist die 1. Zeile 1 y 1 strich es dreimal ist nur eines von 4 einmal bis 2 von T und die 2. Zeile ist y 2 Strich ist einmal bislang 1 von The +plus 3 mal y und 2 die nur das ist da natürlich und so macht es Al uns aber gerade gesehen die das gesamte Geheimnis diese Gleichung zu lösen besteht nur darin bestehen sie ihr auch also was wir jetzt brauchen ist wie hoch die aber mit dieser Matrix ab was müssen wir machen wir es uns diese Matrix hernehmen denn diese Potenzen dieser Matrix ausrechnen die Ente potenziellen Fakultät teilte das alles auf und die kaum machen wünsche ich viel Spaß wird ziemlich hässlich wird furchtbar hässlich ja die Enden Port also ist übrigens auch es erst auf Papier es ich aber es übrigens auch ein Rechner hässlich also das übrig also versuchen kriegen Sie auch wo es Probleme warum dieses auch wir Driessen gekriegt riesengroße Einträge also wir werden Sie diese 3 drin und wenn Sie jetzt das hoch 1000 dann sind die Einträge schonen Bereich 3 auf 1000 und dann wird noch durch enthal wurde mitgeteilt sie keine sehr große Zahl durch sehr große Zahlen des gedrungen rungsprobleme und so weiter das ist wirklich Koalitionäre machen Sie das bloß nicht eine sondern 1 erinnern sie sich an alles was wir ihr ja endlich kann man es machen hänge ich weiß schon dass man es machen kann ich sag nur muss aufpassen ja als man das nicht naiv durchknallen Rust richtig nur ich weiß dass die Numerik auf solche Sachen in zu ist auch nicht aber ich wollte die Problematik hinweisen werde und es geht deutlich einfacher man sich daran erinnern was wir Matrizen Paris und das entscheidende entscheidende wir Matrix Exponentialfunktion ist das was ich Ihnen vorhin gezeigt habe geht eine Sorte von Matrizen für die kann man es gut ausrechnen dass wir wohl Madrid waren ja vom sowohl die Ronan Matrix ist billig also rühmen sie das denn auch die regional Matrix und ich hatte mir zwar gesagt wir brauchen alles was wir da mal so Matrizen gemacht haben und was wir jetzt brauchen ist dir Wunder lisieren Eigenwerte Basistext ja also dass wir machen es wie die Rolle die sie in unserem Matrix ein zufällig ist das ist der mit asymmetrischen wartet gestellt es wäre symmetrische Matrix I 7 liberalisieren kann also aber das ist jetzt natürlich Glück oder an Feigheit Dozenten er dass sich ein Problem dem vormals ausrechnen kann er was muss man also tun wir müssen unsere Matrix der banalisiert was muss man dazu noch mal machen alle noch mal in die Gedächtnis kramen musste erst die Eigenwerte ausrechnen das sind die Eigenwerte von die gebe ich Ihnen jetzt hier einfach an diesen 2 und 4 und dann was braucht man auch beim braucht die Eigenvektoren und dann kann man den Basis wechseln machen kann das Anschreiben als die Basis Wechsel Matrix erstmal die Runde Matrix des so genau falschrum machen Basiswissen machen es in einer Matrix des was es Rückwechsel Matrix es auch -minus 1 nur werden uns alle Wagen und die Matrix des ist die Matrix auf der Diagonale die Eigenwerte stehenden tut es in der Matrix es stehen die Eigenvektoren um ihr Ziel die Eigenvektoren ausrechnen das überlass ich auch ihnen das ist darum jetzt gar nicht den kriegen sie raus die Matrix es ist 1 -minus 1 1 1 E ist die Bornheimer Tricks mit den eigenen Werten auf der Diagonale und die inverse von dem es kann man natürlich auch ausrechnen ist Inhalt -minus Inhalten Inhalten Hl wissen Sie rechnen es nach oben geht gerade nicht das ist wir Sie erreichen von dieser Matrix hat und warum ist das jetzt angenehm damit der Madrid Exponentialfunktion auszurechnen weil wir diese Matrix ist deutlich einfacher ist auch n zu bestimmen
wir brauchen wir die Matrix Exponentialfunktion brauchen wir alle Potenzen von allen und ich hoffe auch dass sie sich an diesen Kniff noch erinnern dass nämlich dem Potenz einer Matrix immer mal die sie dir polarisierte Gestalt hat deutlich einfacher zu berechnen ist mein ist eben erst mal die man so -minus 1 was steht hier steht es gehe es auch -minus 1 ist es wie es auch -minus 1 ist des und so weiter ja einmal und am Ende kommt dann wieder so -minus 1 SP es noch -minus 1 Bayern insgesamt 11 entschied nmal DSD so hoch minus 1 und wenn Sie jetzt sehen Sie das ist es sehr angenehm weil da steht ziemlich oft Identität rum ja und was übrig bleibt ist es die Woch en es auch -minus sein wenn man wenn man die Linie Abbildung denkt brutal logischer ob sie den Matrix in mal anwenden also ob sie wir kommen da ist dem drehen die Matrix an den Wänden zurückdrehen hindrehen Matrix anwenden zurückbringen Matrix anwenden ist das gleiche wie einmal hindrehen zehnmal anwenden wieder aber das ist die rechnerische Begründung dafür also auch können Sie auswählen indem sie die Augen ein Matrix auch entnehmen und die dann Basis wechseln und damit sind wir jetzt bei unserem Matrix Exponentialfunktion also was ist ihr hoch
die wie hoch die ist Summe von 0 bis unendlich die hoch in auch allen durch Enver gut aber gerade festgestellt aber auch allen es es auch -minus 1 hoch NS 1 das ist 1. jetzt kommen wieder Matrixmultiplikation zu regeln vor dieser Matrix besteht Theorien durch n Fakultät ist mit zahllosen Skala denn sie eine Matrix vorbeiziehen dann bleibt stehen es auch -minus einst der hoch n t ein wie hoch durch n Fakultät ist ja das Ganze noch die so -minus ein so dass es aus der Summe aus wenn gleich 0 bis unendlich Theorien wie hoch in durch in Fakultät es und wenn sie jetzt gucken was da steht dann steht da es noch minus 1 wie hoch die die ist als es noch schöner sie können nicht nur die Potenz einer Matrix dadurch bestimmt dass sie dir polarisierten also was 6. machen wir wundern Matrix auch entnehmen und dann wieder zurück Basissätze machen soll es geht sogar mit dem Abriss der zur also nehmen ihre Matrix meinen Basis wechselt berechnen Sie machen sich mit Funktion von der gibt einfahren ein Matrix und machen was wechselt ist das was steht wie auch DAS die Martin und ein Foto von D ich den Basis Wechsel gejagt na und das ist doch jetzt angenehm weil die es Madrid Exponentialfunktion von des oder der Wunder eine Matrix in können wir nach dem noch von Ihnen zu beweisen Satz 13 die leicht bestimmen was ist wie hoch die Idee dass es also das war er auch des ihren hat ist 2 dabei 2 0 0 4 und das ist er auch 2 T 0 0 wie hoch 4. also das ist er auch die Matrix 2 T 0 0 4 t und wie gesagt wir Gunnar Matrix Exponentialfunktion nehmen es einfach die Werte auf der Diagonalen die Exponentialfunktion steckt also aber das und damit wird man auch eher hoch die aber wie auch die aber ist wie hoch die so -minus 1 wer Gutes tun sie es ausrechnen und was da daraus dass enthalte Tamarix Modifikationen die innerhalb von der 2. würde mir so -minus 1 das dann über Inhalte drin wie hoch ihr T +plus i hoch 2. wie hoch T -minus er auch 2. wie hoch ihr T minus Igor dreitägige wie hoch die Tiere los er auch 2. es kommt raus und diese ganzen Matratzen in eine multi ziert und damit es unsere Differenzialgleichung gelöst bei wenn sie jetzt folgende 2 Funktionen
y 1 von y 2 konnte die beiden Spalten wann der Matrix also die 1. Inhalt mal wie hoch ihr Ziel los er hoch 2. wie wir die -minus ich auch 2. und die 2. Inhalten wie hoch wir T -minus wie hoch 2 wie hoch wird hier bloß ich auch zweitältesten die beiden Spalten von dieser Matrix dann ist das sehr fundamental ist fundamental System heißt Basis es wäre sonst für uns das heißt wenn sie die beiden Vektoren wir haben das sich daraus jeden jede Lösung der Gleichung zusammenbasteln Virginia kombinierte eine von fundamental Systeme sind in keiner Weise eindeutig nur jede Basis von den Lösungsraum müssen fundamental System wurscht ob das werden wenn Sie nicht Daumen ganze ohne der Basen wählen und in dem Fall ist es insbesondere eine aber sicherlich nicht die angenehmsten sicher die kürzeste und das sind also trotzdem ist es einer also die Aufgabe ist dem sind fundamental System an dann sind Sie an der Stelle wirklich und machen nicht das was ich jetzt hier machen was ich hier macht ihn schon der Motivation dessen was danach kommen am Mehr danach kommt der nächste Woche und zwar ist ein Einzel 2 Basis dieser aber kompliziert aus und sie sehen die haben auch Sonne sehr ähnliche Struktur die beiden und es lohnt sich von dieser Basis überzugehen zur Basis y 1 +plus y 2 y 1 minus 14 auf 2 das Ende des Eises an 2 bleibt der Basis Sektoren sind sind die beiden auch länger nicht das kann man nur wenn sie sich wieder ändern wollen einen anderen bisschen hinweg der Raum um Rechnerei dann machen sie das überlegen sich das also es geht immer gut was hier passiert ist wenn Sie 2 Vektoren haben Ideen ja
unabhängig sind an denen sich stattdessen die Summe von den beiden und die Differenz von den beiden das sind dann die 2 und diesen auch Union so dass da sie den man das hier macht dann sieht man dass lohnt sich das für Sie wenn Sie die beiden Vektoren addieren dann fällt in jedem in jeder in jeder Komponente des EU 2. hier genau richtig nur +plus SiO 2 Termine SiO zeigen dass ihr 2. E-Plus ihr 2. also sehen sie gar nicht mehr war gut und da sind sie beiden
addieren weil die auch 2 t genau weg und sie kriegen wie hoch Ihr Thema einen Vektor 1 1 der 1. Zeile Krisen halt erodierte Dossenheim 4. wie hier in der 2. Zeile das wäre und wenn sie beide voneinander abziehen dann fehlt überall das iOS 4. heraus und es bleibt übrig auch 2 C mal 1 -minus 1 dort das ist ebenfalls der Basis also ebenfalls ein fundamentales ist und was ein dabei auf sein kann und darüber unterhalten und beim nächsten Dienstag was Sie hier rauskriegen ist er hoch Eigenwert also als wolle man das ist dem er auch Eigenwert Malti was was ist der bewegte der dahinter steht nun das weitere Vorgehen
bewegte 1 1 war es die 2. Spalte von dem es ist der eigen Vektor zu dir oder legte 1 -minus 1 ist eigentlich dazu 2. und genau hier
steht wie hoch Eigenwert mal dazugehörige Eigenvektoren ihr hoch Eigenwert Thema zugehörige Eigenvektoren das ist kein Zufall darüber unterhalten wir uns dann nächsten Dienstag erhalten ich damit am Ende und Dank für die Aufmerksamkeit der noch mehr ab wenn auch Evaluationsbögen und warum liegen wenn wir jetzt noch nach vorne bringen
Mathematische Größe
Einfach zusammenhängender Raum
Länge
Inhomogenes Medium
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Vektorrechnung
Lineare Gleichung
Gleichungssystem
Gleichung
Superposition <Mathematik>
Vektor
Zahl
Gewöhnliche Differentialgleichung
Lösung <Mathematik>
Differentialgleichungssystem
Höhe
Mathematiker
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Differenzierbare Funktion
Gleichungssystem
Vektorraum
Gleichung
Differentialgleichung
Superposition <Mathematik>
Lösungsraum
Lineare Abbildung
Lösung <Mathematik>
Dimension n
Multiplikation
Menge
Reelle Zahl
Differentialgleichungssystem
Stützpunkt <Mathematik>
Raum <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Aussage <Mathematik>
Lineare Gleichung
Vektorraum
Biprodukt
Gleichung
Vektor
Lösungsraum
Gradient
Lösung <Mathematik>
Menge
Koeffizient
Differentialgleichungssystem
Unabhängige Menge
Funktion <Mathematik>
Ebene
Summe
Lösung <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Punkt
Gleichung
Superposition <Mathematik>
Differentialgleichung
Gerade
Funktion <Mathematik>
Unterraum
Lösung <Mathematik>
Deutsche Mathematik Olympiade
Matrizenmultiplikation
Koeffizient
Parallelen
Lineare Gleichung
Gleichungssystem
Gleichung
Vektor
Funktion <Mathematik>
Matrix <Mathematik>
Länge
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
E-Funktion
Gruppenoperation
Fakultät <Mathematik>
Reihe
Gleichungssystem
Exponentialfunktion
Vektorraum
Gleichung
Norm <Mathematik>
Vektor
Lösungsraum
Zahl
Summe
Lösung <Mathematik>
Mittelungsverfahren
Variable
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Multiplikation
Variable
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Gleichungssystem
Exponentialfunktion
Gleichung
Diagonale <Geometrie>
Zahl
Binomialbaum
Matrizenmultiplikation
Gewichtete Summe
Summand
Gleichungssystem
Exponentialfunktion
Gleichung
Biprodukt
Vektor
Lösungsraum
Zahl
Null
Konstante
Komplexe Ebene
Summe
Elementare Zahlentheorie
Menge
Komplexe Zahl
Matrizenmultiplikation
Total <Mathematik>
Differentiation <Mathematik>
Reihe
Exponentialfunktion
Physikalische Theorie
Zahl
Index
Summe
Theorem
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Grenzwertberechnung
Einfach zusammenhängender Raum
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Numerische Mathematik
Exponent
Exponentialfunktion
Gleichung
Differentialgleichung
Symmetrische Matrix
Eigenvektor
Zahl
Ereignishorizont
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Ende <Graphentheorie>
Rechenbuch
Eigenwert
Rundung
Differentialgleichungssystem
Inhalt <Mathematik>
Diagonale <Geometrie>
Funktion <Mathematik>
Summe
Große Vereinheitlichung
Matrizenmultiplikation
Exponent
Abbildung <Physik>
Inhalt <Mathematik>
Exponentialfunktion
Differentialgleichung
Diagonale <Geometrie>
Physikalische Theorie
Funktion <Mathematik>
Linie
Einfach zusammenhängender Raum
Summe
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Stützpunkt <Mathematik>
Inhalt <Mathematik>
Gleichung
Lösungsraum
Eigenwert
Vektor
Eigenwert
Eigenvektor

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 23
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34553
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

Ähnliche Filme

Loading...
Feedback