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Lineare Dglen erster Ordnung

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denn an der TU Darmstadt meine ich jetzt
offiziell herzlich willkommen und können morgen er ich weiß nicht wie viele von ihnen schon in Stalker angeschaut haben alle einen mächtig noch was drauf hinweisen ja bin gestern ne ist der Nachricht geschickt die das E-Learning Center er evaluiert die Vorlesungsaufzeichnungen wie ihre Meinung dazu wissen und will wissen er also diesen Fragebogen zu und den haben die online gestellt und in der Nachricht gestern in Tukan hab ich Ihnen Zugangsdaten gesandt mit den Sie also diesen Zettel ausfüllen diesen Fragebogen ausfüllen können es wäre sehr drum bitten zum einen natürlich ist dass den sehr interessiert das interessiert mich natürlich auch wie das mit der Aufzeichnung ankommt macht das auch zum 1. Mal und das interessiert mich ob sich das lohnt oder ich also die Sie mir da wir nie auch mir da bitte Rückmeldung ich hoffe dass ich an die Ergebnisse noch wenn des Semesters ,komma und immer noch sagen kann was rausgekommen weiter kurze organisatorischer ist ich hab man damit das Sprechstunde ich kann heute bis 4 Dasein möchten haben für den Ausschuss Sitze also heute 16 Uhr ist bei mir Bettlein Guten das ist ist organisatorische haben sie dazu Zeit bei Ihnen Anliegen Brot dann kehre zurück zu den gewöhnlichen Differentialgleichungen und ich war letztes Mal stehen geblieben bei den so genannten homogen und Differentialgleichungen und das war eine Sorte man Gleichungen die man der Substitution lösen kann ich hatte ihn das sagen allgemein vorgeführt also Homogenic Differenzialgleichung ist von der Form y strich =ist gleich F und G und y von Tee das ist die ganz allgemeine Form und homogen ist sie wenn diese Rechte Seite er sich schreiben lässt als der Funktion nur von dem Quotienten y von Tillich Teal abhängt und dann war die Idee zu substituieren es genau diese Funktion y untätig deren anrechnen lassen rum und kriegte Differenzialgleichung für und stellt fest es von getrennten fände ich das war das was am Schluss der letzten Vorlesung gemacht haben aber das allgemein gemacht ich wenn es denn jetzt noch mal in Ruhe einem Beispiel vor es ist meist die Zeit ja also ein Differenzialgleichung und genau so dann Anfangswertproblem das mit homogen gefilmt tialgleichung n Anstrich y von The durchgehen -minus Quadrate durch y und weg war da den und Anfangswerte wenn er gleich im 1. Ordnung brauchen wir ein anfangs werden dem Barmann y von 1 gleich ein ja es angesagt bei so wogegen er 1 ist nicht immer ganz offensichtlich dass sie homogen sind so muss sich länger anschauen manchmal bei der geht noch welchen Sinn ist die homogen wer diese Rechte Seite können Sie sehen als y durch die -minus 1 durch y Rechteck war da gute und dann hat die dieser worden und man kann das so hieß dieser verstecken aber wichtig ist eben dass man es irgendwie schafft die Leichen so umzubauen dass sie diese ,komma so was also 1. Substitution wir machen die Substitution ist Betrug Muskelfunktion an wieder ist y von The durchgehen wenn man an eine halbe Lösung y von der ursprünglichen Gleichung ist mir die und so als hätten Sie die Lösung rechnen mit der herum und versuchen ihr irgendwelche Formen zu entlocken und wenn sie den Flüssen Kandidaten haben dann drücken Sie einfach nach dass eine Person ist so also wenn ohne y Lösung ist was wir dann für was ist dann strich bis es wieder Quotientenregel also oben ableiten multipliziert mit unten -minus unten ableiten wie 1 multipliziert mit oben durch die Quadrate Bern Bensien Einstig die vor klammernden man kriegt man y strich von Themen -minus y konnte durchgehen y Strich werden angenommen das
unsere Funktion y löst ist also y von The durchgehen wer Quatsch ist ist die rechte Seite also doch bestimmt y konnte durch T -minus The Quadrat durch y von Tag war unter hinten steht noch immer so von Themen jetzt setzen wir überall wo es geht den 1 y von Tillich T so C-Quadrat durch bislang von Thekla Rades 1 Brieuc war -minus Offerten -minus u von TW hier sieht man in dem Fall er ist Schönefeld bis -minus dass und und gegen das Ufer und weg was sie kriegen 1 durch die mal 1 durch Quadrat und hinten und die Gleichung strich Gleichgesinnte es tatsächlich wunderbar Folge getrennten verinnerlichen Funktionen Thema .punkt Sonnenuhren das muss auch immer so passieren also inhomogenen Gleichung haben diese bist du zu machen dann ist danach immer von getreten verinnerlichen sie direkt am Fluss der Vorlesung also wenn sie ihre Gleichungen im unter substituieren und da kommt was raus was nicht vorgetreten veränderlichen ist dann lohnt sich mal noch mal nachzudenken was du da gemacht hat kann so und jetzt kann er das Ding lösen kann getrennte veränderliche habe letztes Mal gesehen wie das geht und man sich nicht verrechnet im Skript kann also wie war das die Schmiere Rechnung war beschreiben das
strich 1. wonach die CD weil ich einst durch die es durch Quadrat alles wissen enthält nach nach links alles das Internet nach rechts dann haben Sie Quadrat des Guten ist wo Quadrat wo ist 1 wichtig die Teen Mannesmann sind die Grader voran Quadrat die =ist gleich und Liga 1 durch TDT an das was da steht macht versehen und der Renault Modus auswählen werden also was aber links 3. hoch 3 =ist gleich und jetzt kommt wieder an der richtige Moment wenn US-Ministerien abhandengekommen werden da Einstig Thema mein -minus Einstig Quadrat ist -minus Einsicht die meisten schlug war also würde ein Minuszeichen haben was hier auch dann haben wir hier und da man was hier kann man es von mir das was ich wollte also haben wir hier -minus und jetzt kommen wieder die schon angesprochen falle die Stammfunktion vom 1 durch die ist er den Betrag stehen und sie nämlich die Integrations Konstante mit einem von den beiden Integral nämlich danach hatten anfangs mit einschwenken sorgen unser T 0 also unsere brummt an dem wir den anfangs Wert vorgeben es einst was wir also suchen für die Lösung ist eine Lösung und in der Nähe der einst lebten damit argumentieren wo es den Betrag jetzt wieder weg also sind im Moment nur The größer 0 interessant und damit argumentieren und den Betrag direkt Mehr aber eben vor sich hätte ich das Anfangswertproblem so gegeben dass ich an der Stelle -minus 1 vorgeschrieben habe hätten sie allen von -minus Themen müssten weil er den von minus 1 ist halt unangenehmen man sich bisher seinen anfangs will einstellen wollen und dann kriegen Sie Konstante ist irgendwas mit allen von minus 1 Mehr tut weiß man nicht wie weil man so gut hin also wo waren wir gelandet wir waren gelandet ein
3. hochtreiben =ist gleich -minus allen und Herr Glos Konstante das Minuszeichen Friedenskräfte gab es auch von Forschungen irgendwie in neueren neuesten Version ist drinnen aber in werden SR-online ist ein Fehler so alles über das nach auflösen das ist nicht alles so kompliziert wenn es wo wie die 3. Wort aus -minus dreimal Elend die Lust 13. würde anfangs Wert einstellen also was soll sein von 1 zu 1 sein was so von 1 von 1 ist die 3. Wurzel aus Elend von 1 ist freundlicherweise 0 7 also die 3. Wurzel aus 3 C und das soll ein seien daraus folgt dass 3 C auch 1 sein mussten also ist die gleichen Drittel und alles zusammen genommen und habe mir jetzt und will diese 3. Wurzel der oben mit C gleichen 3. ba y durch die also selbst von c't meine ein y Conti die das Thema und die ist ich dir mal die 3. Wurzel aus -minus 3 in den The +plus als auch das wieder so eine Lösung der DGL die man nicht wirklich sofort geraten hätte aber sie tut dann und das sie tut sollte man auf jeden Fall ausprobieren bis ich war da wieder getrennte Pläne nicht mehr Rechnung dazwischen machen Sie die Probe wo man sie nicht so wie Skript gemacht habe da steht irgendwie nur immer leichte keine promovierte fiziert und vorher berechnet mir peinlich peinlich so machen sie die wirklich gut das war homogen Differentialgleichungen nur gerade kurz angetippt wie gesagt das den steht mir so Eis Beispiele dafür dass man Euch liegende Substitution weiter nicht war jetzt Homogenic wichtigste noch viele andere dort wo niemand seine Gleichungen Substitution weiterkommen das ist ein Beispiel jetzt als nächstes kommt allerdings kommt im Gegensatz dazu wie eine Klasse von Differentialgleichungen die hier in der Kurs drin sind weil sie einfach auch vorkommen wichtig sind sozusagen die einfachsten nichttrivialen Beispiele dass nur interessantesten und die am aber den Vorteil dass man sie groß und Bodo explizit lösen kann wir sind so genannte lineare Differenzialgleichung kann also den er Differenzialgleichung wir bleiben erst mal bei 1. Ordnung mit den am Anfang gesagt wie Differenzialgleichung höherer Ordnung können Sie mit dem richtigen trägt später immer auf die 1. Gleichung 1. Ordnung zurückspielen das ich noch ist wegen seines 1. beim Bereich 1. Ordnung die muss man verstanden haben und dann später mit dem höherer Ordnung umgehen zu können wenn man nur was ist jetzt lineare Differenzialgleichung kennen ja das gleiche System mehr Differenzialgleichung ist eine in der die Funktion y und ihre Ableitungen der Gleichung tauchen wir bislang ohne ,komma auch in linearer Weise also keine bislang Quadrat oder keine y mal y strich oder irgendsowas sondern YY strich brauchen linear auf sprechen sie die allgemeine
Form folgendermaßen aus also Definition 2 drinnen allgemeine in Form einer linearen DGL 1. Ordnung wir haben y strichen wer Möpse laden und seine rechte Seite jetzt den sie noch vor Faktoren also Koeffizienten zu lassen ich konnte abhängen also hier keine Funktion a von t stehen da keine Funktion von The stehen im Prinzip keine Rolle dass Landstrich noch eine Funktion C Phontäne stehen wir aber die dividieren Sie dann einfach durch also deswegen bleibt vorne 1 und ist also im Winter Valley und sein Sie Wasser für diese Funktion A und B daraus setzen wollen ist wesentlich auf .punkt und dort jeder nicht dass die einsetzen kann dass die stetig ist die allgemeine Form von linearen DGL 1. Ordnung wenn Sie mal gucken unsere 1. Beispiel das exponentielle Wachstum y strich gleich konstante mal y ist so eines SPD gleich 0 und ist -minus Mühen also -minus diese Konstante aber zum Beispiel schon das logistische Wachstum was wir hatten es keine lineare BGL bei der Taufe y Mar y Strich auf und das haben sie nicht retten so und wenn ja Differentialgleichungen am 1. Sieg seit Vordermann kann sie expected lösen meistens und zweitens haben Sie ne schöne Songs Theorie und was ich Ihnen ja 1 und da aber vor allem dann wenn der ist sollen Gleichung anschauen dann auch zurück kommen diese ganze Lösungs Theorie ist erstaunlich parallel erstaunlich ähnlich Theorie ja Gleichungssysteme aus 1 sprechen doch einige Begriffe die wieder auftauchen und zwar zum Beispiel der der der homogen Gleichungen was war eine homogene Gleichung bei mir im gleichen System rechte Seite gleich 0 was ist das ja auch also wenn B gleich 0 ist dann nennt man das eine homogene lineare Gleichungen und das ist jetzt eine etwas und ungutes Überladen des Begriffs homogen aber das ist leider so also das hat mit dem homogen von vor 3 Minuten nix zu tun eine homogene Differenzialgleichung ist 1 ,komma durchgehen die homogene linear ist es völlig anderes lineare Gleichung wo die rechte soll nun leider ist der Begriff doppelt belegt kann ich Ihnen nicht ersparen und kommt natürlich in dieser Vorlesung und direkten und dann aber dann kann man es drauf hinweisen also Begriff homogen ist doch wirklich denken Sie bei diesem homogen alle ihrer Gleichungssysteme homogenes in ihr 1. System ist ein 2 direkte sollte nun ist bei den Sinn des das jetzt verstecken lineare Gleichungen der Differenzialgleichung mit rechter Seite gleich 0 bei der man die Gleichung homogen und sonst heißt die inhomogen weil solche nicht davon
verwirren lassen dass der Name zweimal auftauchen und zeitweilig verschiedene Dinge bauen bevor wir daran gehen diese in der Angleichung explizit zu lösen will ich Ihnen das wesentliche Feature von linearen Gleichungen zeigen und das zieht sich durch als sie können was ihn jetzt die Massen die einfachsten Jan Gleichung 1. Ordnung eine Gleichung machen da noch mehrere Gleichungen höherer Ordnung und er ,komma dass kann man noch hundertfach verallgemeinern aber dieses Feature was jetzt kommt das ist das Wetter allen ja gleich Differentialgleichungen das hat mit der 1. Ordnung und sonst wie nix zu tun und das ist auch was was in physikalischen Anwendung oder sonst wie Anwendungen ganz wichtige Bedeutung hat ist das sogenannte Superpositionsprinzip und das sagt wenn sie 2 Lösungen haben Bonner homogenen linearen Differentialgleichungen also 2 Lösungen kann die uns immer die gleiche sein aber oder auch verschiedene beziehende Lösung zwischen den Anfangswerten irgendwelche 2 Lösungen von einer homogenen linearen Differenzialgleichung also hier gleich 0 ist wichtig für homogene gleich denken Sie an unser exponentielles Wachstum wäre jetzt Landstrich gleich mir meine Bestellung hält dabei kann man sie 2 Lösungen der gleicher nehmen Sie's 2 reellen Zahlen alpha und beta und bilden sie in der Kombination von den beiden also alpha y 1 was später y 2 im wenn Sie 2 Lösungen und schauen sich Nehemiah Kombinationen von an dann ist das auch eine Lösungen es wenn sie Superpositionsprinzip der Begriff kommt aus der Physik und bedeutet Überlagerung sprinzip gerade wenn sie 2 Lösungen haben können Sie die ID das komplette Lösung raus und das kennen sie alle wenn sie sich zum Beispiel wenn Männer angucken nun 2 Wasserwellen in 2 Lösung der sogenannten Wellengleichung gehen ja davon tialgleichung und wenn die jetzt aufeinander zu Schwaben dann überlagern die sich durch Addition da bei wählen können sich elektromagnetische Wellen Wasser ähnliche Wellen der Wellen die auch über eine drüberlaufen addieren sich da gibt es weniger Interferenz legt Effekte und was noch alles und das ist ein Ausfluss des Superpositionsprinzip das eben wenn sie 2 Lösung aber die beiden Dinge addieren Kombilösung aus Wiesengrund Feature aller lineare Differenzialgleichung ist es wohl überhaupt gewöhnliche von zahlreichen begrenzt werden Gleichnisse partielle Differenzialgleichung wann immer sie eine lineare können tialgleichung haben geht diese und was das damals aus 100 Sichtweisen ankucken mathematisch bedeutet das die Menge der Lösungen und sondergleichen dessen Vektorraum mal im Jahr Kombination sowie deren leider solche Dinge in so das kann ihn auch ganz schnell zeigen das ist eine Zeile und liegt im Wesentlichen liegt einfach nur an der Genialität der Gleichungen also neben sich y 1
1 bis 9 2 sein 2 Lösungen und jetzt schauen wir uns die Funktion y an dass es in diesem Jahr Kombination wurde soll als nutzen und 2 und zeigen dass das auch eine Lösung ist zeigen das was Lösung ist immer einfach sie selbst es einfach ein und das sie jetzt nutzen also das müssen wir ausrechnen dass es ,komma von The +plus an IT von dem bislang von The ausrechnen wir zeigen da kommt nur raus und was sie jetzt nutzen es zweimal im Jahr Genialität 1. nutzen wir das das ableiten was man ja das ist also y ist als normale Apps nur 1 von die später mal bis und 2 von Tee und das Tool abgeleitet werden Lust a von alle weil bislang 1 +plus bester y 2. um sorgt ableiten dass was ja wenn Sonja Kommerz zum ableiten machen Sie das als alle war mal bislang ein Strich von die das er damals nun 2 Strich von die wenn hinten besteht von alle paar y einst wollen die USA und die Bednar y 2 Bund Dill und jetzt nutzen aus dass die Gleichung Jahr ist indem wir nämlich jetzt einfach mal alles zusammenpassen was überall versteht y 1 strich von +plus a von t y einst von T und alles was in der Welt darstellt y 2 Strich von die Lost von TY 2. Mantel wollen jetzt ausschauen y 1 1 9 2 waren Lösungen der Gleichung der hormonellen linearen Gleichungen also ist das dann 0 und das ist 0 und ihn ja Kombination von 2 Nullen es auch eine neue und damit das Erbe des Landes haben das ist gut nur nichts anderes als Genialität der Ableitungen Genialität gleich insofern gilt das auch für jede im Jahr gleich und sei sie noch so kompliziert so also das wissen lineare Gleichung und ihre besonderen Eigenschaften jetzt wollen wir wissen wenn ich Ihnen zeigen wie man im Prinzip solche linearen Gleichung 1. Ordnung explizit lösen kann und er grinst in den 1. Teil am im Prinzip schon gemacht wenn geht im Prinzip wurde man bei den Anleihen System auch vorgeht ist erst mal das homogen ist es gehen und sucht eine spezielle Lösung des inhomogen kann also allgemeine Lösungen in wir ideellen 1. Ordnung und macht sie weiter nein das ist dem 1. Mal die Homogenic leichten also die homogene Gleichung dass heißt wir setzen wie gleich 0 und betrachten die Gleichungen die übrig bleibt und ich
schreib die mal mit dem erst mit dem Herrn der Produktion abhängt ob die andere Seite dass wir unsere üblichen Form haben y strich =ist gleich er von dem alle zittern ehe er von Tieren y und wenn sich die Gleichung angucken dann sehen Sie dieses von unter die wir schon kennen dies von getrennten verinnerlichen das ist die Funktion aber die nur von der Bank mal y ja bekannt für das würde sogar supereinfach neben den ja also wir sind ja so was man EY nach dt ist -minus an meine Zählern also -minus aber Thema wieder alles Salins was von bislang abhängt 1 b hierzulande Zählern =ist gleich -minus a von t Thiele und damit das niemanden aus den Pantoffeln Haut Integrale drüber was war das integrieren auf der linken Seite geht das auf der rechten Seite steht derzeit diese würde Funktion was ist ist Integral von an das kann man nicht sagen sondern gelesen das ist also man den Dingen Namen und schauen uns eine Stammfunktion von dem kleinen an das kleine ist stetig also auf jeden Fall eine Stammfunktion dar Unterricht an Funktionen war groß an dann wird er die Auswahl wir können die Stammfunktion und konstanten beliebig verschieben und es gibt eine für die weitere Rechnung sehr sinnvolle war der Stammfunktion und die will ich jetzt gleich von vornherein fest tackern also Prinzip an der Stelle könnten wir uns noch es dann Stammfunktion nehmen aber ich hätt gern die Stammfunktion von großen und kleinen ja an der Stelle T 0 wo ich nahe den anfangs wird vorgebe 0 ist die Griechen die mich von T 0 bis
T das kleine beenden 1. 0 gibt jetzt noch nicht im Prinzip steckten hinter 0 Integrations konstante drinnen erinnerte was ist dann die 0 wählen schieben Sie ihre PUK Grundfunktion groß Arne Konstante und das ist das was nachher wenn Anfangswertproblem haben der Anfangszeitpunkt kann Moment ist es ein willkürliches die 0 aus I wenn es in dem sich in den nur in ihr dann können Sie sich so die Stammfunktion von kleiner einschreiten sah wenn wir das haben dann kann wir zumindest mal das hinschreiben also was kommt oben aus unserer Gleichung raus über Niere linke Seite gibt den Rhythmus von betrage bis sie waren und rechte Seite gibt -minus unsere spezielle weil der Stammfunktion +plus Cell werden so normal bist und auflösen sowas schon die ganze Zeit machen den Kringe betrage 10 und die =ist gleich ihr hoch -minus aber und die Lebenslust Client sehen das ist ihr auch klein CDU auch -minus aber mit viel und lassen Sie mich diese eher hoch Client sehe ich mein scheint es Konstante der Missio können sie auch eine Konstante in den ich mal groß sehen und es einzuarbeiten unseres mal 8. müssen das große Ziel ist es ,komma grob positiven aber egal was der Client neben er hoch klein ist garantiert nicht die Winde 7 5 nahm er meinen sie sehen schon auch wenn sich die ganze Gleichung angucken Großzeh gleich -minus 7 macht keinen Sinn weil auf der linken Seite stehen Betrag dessen was Positives keine nur sehr grob Positivität funktioniert sorgen aber wenn wir jetzt den Betrag auflösen wollen was bedeutet das y von The im Betrag ist das also das y von The selbst plus oder minus groß CEO -minus und gehen und jetzt kann mir das nur der Minister die konstante stecken und sagen und so y ist eine Konstante Mario -minus ab und gehen jetzt mit der konstante beliebig aus er und diese ganze hatte das sogar 0 sein und sie kriegen sie es erstmal konstant gleich 0 was passiere wenn sie Konstante 0 setzt man kriegen Sie die Funktion was dann 0 und die konstant 0 ist wie man sich leicht eine Gleichung klarmacht auch Auflösung Kastan 0 abgeleitet ist 0 und von Thema konstant 0 ist auch 0 also kann sie auch C gleich 0 setzen und sie kriegen alle Lösungen der
homogenen Gleichung als y von die es konstante er Wochenminus groß aber untätig C Generäle Konstante und groß als eben diese spezielle Stammfunktion es Stammfunktion von dem klein und das ist die Einschränkung die Freude machte wenn ich ihm gesagt habe wir können im Prinzip so genial Gleichung explizit lösen dann mein ich diese Lösung damit der dies natürlich nur sie nie explizit weil wenn sie das kleine artig da .punkt und kleine an ich angeben können Täter immer noch nicht die gerade der Lösung drin ja auch -minus Integral von T 0 bis T über kleine ab in wie weit man das nächste CD Lösung nennen will es Geschmackssache buchen aber da man eben nicht jede Stammfunktion existiert angeben kann und an der Stelle auch keine Chance beide zu kommen so ich habe es dir ganz frech behauptet dessen alle Lösungen das hab ich natürlich nicht bewiesen da ich hab ihn ausgerechnet das sind Lösung aber es könnte ja noch 23 mehr geben und das ist nicht der Fall und das können sich der überlegen das sind tatsächlich alle an und ich lass sie damit aber nicht völlig allein und dann schauen Sie sich mal nochmal ganz am Anfang von dem Arzt über Differenzialgleichung das Beispiel 1 5 an da ist das Argument wie man das Nachweis gemacht für unsere exponentielles Wachstum wir können sich inspirieren lassen also das wenn tatsächlich alle Lösungen der homogenen Gleichung The man noch immer anfangs Wert einstellen wenn man will also wenn sie noch so sehr ich eben gefordert haben dass Y kontinuierlich y 0 ist was kriegt man dann den kriegt man y Nullen y und den 0 was sie selbst waren von 0 CE Wochenminus groß aber von den 0 und jetzt den Sie warum ich das Art unter 0 genauso gewählt habe auf unter 0 ist 0 also steht hier 10 Mal eher hoch 0 ist das Ziel und sie kriegen das was wir schon meine der Grenze Wachstum haben dieses Sie wenn Sie das wenn Sie die Stammfunktion so wäre dann ist das große Ziel hat die intrinsische Bedeutung das ist einfach der Anfangswerte Gleichungen also kriegen Sie dann y von The ist y 0 weil die Wochenminus groß aber von Till wobei das groß aber eben dieses spezielle war der Standpunkt und war integraler unter 0 bis die aber man ist der 1. wir sind kleiner Mann ist und die kriegen auf die weißen eindeutige Gleichung der eindeutige Lösung was jeden Anfangswerte gibt genau eine Lösung sie sind die eindeutige Lösungen vom Anfangswertproblem y strich von T +plus a von t Conti gleich 0 umgehende lineare Gleichung 1. Ordnung mit dem allgemeinen Landtag wer die Geschworenen jemals ohnegleichen hinschmeißt einsetzen werde aber wir wollten nicht nur dieses Problem lösen solle wollten das inhomogen Problem lösen bei
sorgen B ungleich 0 also gleiches Anfangswertproblem wieder noch aber stattet nur in der 1. Zeile wie Conti auf der rechten Seite wie leicht ist nicht mehr vom getrennten veränderlichen wenn Sie nicht mehr in der Bass von The mal irgendwas was von y zerlegbar noch das Brustbild von täten so alleine stehen das was was Neues einfallen lassen und da gibt 1 das Rechentrick der total super funktioniert und zwar auch nicht nur hier bei diesem Gleichung 1. Ordnung sondern ein Universal trägt wir lineare Gleichungen sozial wie kommen Sie an die wir sind inhomogen dran Berlin Angleichung immer das gleiche lösen sie 1. homogene Gleichung und machen sie dann den Trick der sogenannten Variation der Konstanten Variation der Konstanten ist immer länger drauf ein beeindruckend schräge Widerspruch in sich also was jetzt machen wir lassen die konstante variieren aber genau das machen wir und das funktioniert super also was ist damit gemeint die Lösungen der homogenen Gleichung kennen wir diesen was diesen C e hoch minus groß aber von TI 10 er jene konstante und ich man oben noch die Stamm vom Turm von klein an was wir jetzt machen ist wenn man einen ganz welchen Ansatz und warum gerade den bei der Tod und der Tod wann immer sie sollen in ja das Problem haben wenn Sie will die Lösungen der homogenen Gleichung haben dann hat freundlicherweise Lösung der inhomogenen gleichen immer die Gestalt dass sie aussieht wie die der Homo gehen nur die Konstante die kann und die Aromen und ist damit eine konstante mehr war das eben eine variierende kommt 20 ja wie gesagt ist recht funktioniert aber die zeigen auch gleich warum funktioniert aber das ist der Ansatz ist einfach nun Ansatz also das ist das kann man jetzt nicht beweisen oder irgendwie berechnen und das ist Erfahrungs Ansatz der ihnen sagt probiers einfach mal damit man könnte schiefgehen aber probiers einfach mal vielleicht gibt Lösungen die die Format und es gibt der Lösung die die Formate also was man 7 zum setzt in die
Gleichung 1 und schau mal was dann passiert und guter Ansatz zeichnet sich dadurch aus dass beim was aus ,komma sie lösen können sie können jeden Einsatz meiner könnten auch den Ansatz machen sie dann von TSE ob man das a von t +plus c von das können Sie machen kann keine nicht brauchbares bei aus doch man sie aber den Ansatz einsetzen das kriegen Sie dann die Gleichung sagt ihnen die rechte Seite des von The muss gleich sein y strich von The Lost Art von TY und den 1. Gleichung und Y muss dass er also setzt den Ansatz mal ein was passiert wenn Sie Ihren Ansatz differenzieren für Produktregel wenn Sie zur Erde zunächst mal Zielstrich von mal e Wochenminus groß ab und hinten los 10 Phontäne weil die Ableitung von der Funktion da ja wenn von der Funktion des erstmal mal die Funktion selbst weil die innere Ableitung also mal nach meinem -minus ,komma also ich starten in den sich nur noch mal runter also das ist 10 strich und die nein um das Avanti 10 von Thema die aber in ihrer Funktion jede Funktion reproduziert sich und dann geht's ne innere Ableitung -minus A ,komma und viel sodass war das y Striche es kommt Zug muss a von TY von also T sie und die Ivorer -minus Abend zurück 14 aus dass das groß Stammfunktion von dem kleinen ist also ist das Stück groß aber strich das kleine und hier steht man aus von TI sie von T e hoch -minus ab Mantel bloß a von t sie konnte die er wurde -minus aber der nun dass sie doch in der gut aus wenn die 2. mir da hinten machen mag ich Unsinn weg und es bleibt stehen sie recht fand die wir hoffen dass an manchen und das passiert eben immer wenn sie Variation der konstanten machen eine lineare Gleichungen ist die Struktur der linearen Gleichung und die Struktur der homogen Lösung mit der er Funktion die sich der produziert und in den die Stammfunktion kommen von ihrem Exponenten runter schickt und dann fallen die beiden die weg so jetzt schauen sich die gleichen die übrig gebliebenes an wie sie die aus 10 Strich von ist wie man Themen wie hoch USA 7. E Funktion auf die andere Seite gebracht was ist das für die Differenzialgleichung das ist sogar was noch einfacheres als das was wir gerade eben hatten die weg aber das ist nicht nur vom getrennten veränderlichen das ist sogar eine Differenzialgleichung die sich schon vor 5 Wochen lösen konnten es ist nicht einfach denn der Stammfunktion ja also Funktion C gesucht wobei die Ableitung gegeben ist durch die rechte Seite da es einfach nur die Stammfunktion von dem was da rechts steht das heißt was sie machen müssen ist nur und schlichtweg diese Gleichung wo diese Funktion auch integrieren also gesucht die
Funktion mit 10 Strich von ich B und die EU groß ab und viel was wir jetzt machen ist wir nutzen den Hauptsatz der Differenzial Integralrechnung und integrieren das auch was ist das Ziel von Tag sie von The ist dann 10 fand 0 das Integral von T 0 bis T Zielstrich von SP 1. glaubte hatten er ist wenig glauben die von den oder die andere Seite steht Integral unter 0 to des TWC Strich ist sehr von t -minus t konnten kann das ob dass wir uns integraler setzen Sie ein was da stehen haben sie von dem wohl los das Integral unter 0 bis T E von Essen die Woche groß aber von SBS damit am siehe ziehen doch jetzt aber das C also können wir das in den Ansatz einsetzen Dennis das y gegeben wir das y war was zwar Variation der Konstanten die homogene Gleichung wobei die Konstante die die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung wobei das die Konstante c und die konstante ausgerechnet nicht konstant haben ausgerechnet also Sie kriegen wir auch -minus 8 Ponty mal diesen Ausdruck glauben wir hoch -minus a von t C Phontänen holen los ich auch -minus Avanti weiß Integral von T 0 bis T wir wollen es hoch aber von ist ist du so Norden anfangs Wert einstellen also y 0 aber sein y von T 0 was ist das Fernsehen das bin gehobelte 0 einsetzen hoch -minus groß aber unter 0 groß auf unter 0 war so gewählt dass es 0 ist also steht eine 1 ist einfach C von 0 los dass er auch Gewinne 1 das Integral von T 0 bis T T geht mir 0 also bewusst nur einen Sohn damit aber alles zusammen unsere
Lösung unsere endgültige der inhomogenen Gleichung ist er auch -minus a von t e mal 10 von 10 0 C von Tieren und das y 0 was ihr Wochenminus Avanti also groß ab und die integrale unter 0 bis die wie man es i-wo groß aber ist es das auch der Traum überhaupt wenn sie Differenzialgleichung haben müsse dies schnell mal so ne Vorlesung hält immer nur die positiven Beispiele bringt und wir zeigt was man alles lösen kann dann denkt man immer man kann alles lösen das ist aber ohne vor das liegt nur daran dass ich ihn nur die Sachen zeigt man lesen kann aber das Töne in dem Fall sie kriegen wirklich fertige Formel also sie an ihre Gleichungen der gleichen stehen drin das kleine an das kleine B und des ten und das y 0 denn sie gegeben und dann setzen sie alles hier ein wenn sie ihre einzige Funktion mit dem kleinen Schönheitsfehler den Grinsen nicht umgehen wir müssen zum die deren aber um das groß ar bestimmen nun einmal für den 2. Summanden und die Weine die gerade müssen halt irgendwie auswertbar sein also in elementarer integrierbar sonst kriegen Sie zu mir so Papier keine geschlossene Lösungsworten sodass also normal essen Satz zusammen und diese Formel die jetzt hier steht ist die so genannte da wo sie herkommt die sogenannte Variation der konstanten Formel oder anderen 2. Namen vor allem im französischen Sprachraum gebräuchlichen das ist die so genannte der Menschen formen es ist aber beides mal das gleich also wenn sie nun Buch wird der nächste vorne lesen dann ist das das Gleiche wie Variation der konstanten Formel und die sagt sie können lineare Gleichung 1. Ordnung prinzipiell Lösung angeben egal also sein wird der deren 2 Funktionen A und B er dich auf dem Intervall wie deren Anfangszeitpunkt T 0 aus dem Intervall wie sie haben anfangs werde bis Nullen R alles beliebig und dann sagt den Satz dass an dass sie das Anfangswertproblem dass wir uns die ganzen anschauen also Apps Landstrich von
die +plus a von TY und den gleich wie Conti Reptilien wie und y Anfangszeiten T 0 gleich y 0 das das eindeutig lösbar ist genau eine Lösung ein und die Lösung für die kann man Integral Darstellung angeben nämlich die von oben also damit ja alles vollständig steht noch mal hierhin y von SIE Wochenminus groß aber von TY das ihn auch -minus groß Avanti das Integral von T 0 bis die wir wollen es die hohe groß aber von ist es und das große A und die kriegen sehen als Integral unter 0 ist die wieder kleine Art von SP ist Lüge das ist die närrische Formel oder die beiden zu einer konstanten Formel und die erledigt ein für alle Mal endlich hinjagen jagen Gleichung 1. aber guten damit eine große Klasse von Gleichungen in sagt große Klasse von Gleichung und wichtige Klasse von Gleichungen weil sehr sehr viele wir Domäne physikalischer Art oder auch alle möglichen Bereichen dass solche linearen Gleichungen gegeben sind man zum Business Gefühl ja ich freie Perspektive die die Natur mag Genialität man kann es auch so sehen den Benchmark Genialität bei dieser übersichtlich ist und versucht mir jedes natürliche könne man durch Ninja Gaiden zu beschreiben auch wenn es nur sie passt werden aber das ist meist ist meist der 1. Ansatz ihre lineare Gleichung zu suchen wie das 3 man im ja Gleichung so gut im Griff hat gute Ernten damit will ich jetzt sie erst mal die Pause entlassen wir machen wir nach ein Beispiel für die Lösung unterliegen ja gleich 2 ich würde gerne mit 2. 11. einsteigen bleiben in der 1. Hälfte die Variation der konstanten Formel gelitten am hätte Lösungsformel werden lineare Gleichung 1. Ordnung also wenn man so eine wegläuft wo nachschlagen einsetzen ausrechnen ich sag ,komma nachschlagen weil Mann viele mitarbeitet kann man sie vielleicht irgendwann auswendig aber es ist schon bisschen sperrig und ich will ihn an dem Beispiel gesehen jetzt vor wir zeigen dass er sie auch in der es schon mal strapazierten Situation auf der einsamen Insel ohne dass man das Skript zu sitzen erschoss haben seine Gleichung zu lösen wenn er ohne die vor ihrer Sie sich merken müssen sind 4 Wörter sie müssen sich mehr in getrennte veränderliche und Variation Konstante und damit sind sie durch warum na ja weil das ist das
was was Sie tun müssen Sie müssen die gleichauf angetreten veränderliche lösen und sie müssen Variation der konstanten machen und das kann man was mit gleichem Aufwand wie das einsetzen auch einfach von Hand machen also schauen uns mal die einfache Gleichung an linear inhomogen jetzt Anstrich von die ist y von T +plus D wird ausarten und y von Nullen bis ein was können Sie es entweder in jeweils einer konstanten Formel einsetzen das klein es einst die Stammfunktion davon ausrechnen bislang als -minus 1 die Stammfunktion davon ausrechnen ist so relativ fix das ist TI auch das kriegen sie nicht am Funktion Anfangswerte der 0 bis 0 zu und ist ein Skandal dass einsetzen ausrechnen ich will immer das vor was die machen wenn sie die Formel gar nicht daran haben lösen 1. homogene Gleichung aber die gleichen Gesetze ,komma von The gleich y von T das kann man natürlich der Variation der konstanten Formel lösen man kann aber auch kurz nachdenken weil die allgemeine Lösung davon die kennen Sie auch so das ist C e hoch des die aus der an Funktion des ihre eigene Ableitung ist die Exponentialfunktion und wie schon vorhin gesagt wenn Sie von den jagen und Aubameyang gleich eine Lösung haben dass jede Kombination davon auch Lösung gut wenn sie nur eine haben Sie ja Kommerz und hat alle vielfache also kriegen Sie dass das allgemeine so sollte man sie weil er so der Konstanten zur Lösung den umgehen Gleichung was war das nochmal Variation der konstanten trägt das Kochrezept in sich im Namen mit was sie machen müssen Sie mal wer den Ansatz wo sie die konstante variieren lassen kann also der Ansatz ist sie vom Thema wie hoch die und dann setzen sie den Ansatz in die Gleichung ein dann müssen Sie zuerst das y differenzieren die strich von TI auch die +plus 10 von The Ableitung von wo der Bearbeitung von ihr auch wo gehen das ist y strich und das soll sein y von The losgehen also sie von The wie hoch die lustigen und wie sehen Sie das was immer passiert wenn sie lineare Gleichungen haben und weil er zu einer konstanten einsetzen rtr fehlt was und sie kriegen Zielstrich von T war er auch die =ist gleich T oder =ist gleich T wie hoch müsste damit haben Sie die einfachst mögliche Differenzialgleichung 14 besonders noch auch integrieren ist C von The Integral also die Stammfunktion von t e hoch minus des Thiel über dieses unbestimmte Integral ausrechnen das lässt sich hören Werbung draufgucken haben so die Idee partielle Integration zu machen also nehmen das DSL und das eben auch -minus
die als gestrichen wir kriegen bei Razzien Integration war unser 1. mal geht das ist -minus t i hoch -minus d -minus das Integral von 11 strich die Estrich ist 1 und G ist -minus ich -minus t also bloß Iron -minus die die Thiel das ist -minus t hoch -minus die -minus wie hoch -minus der +plus Konstante dann aber wie Monster konstante eingefangen das ist auch gut und normal so weil die Konstante macht dann den anfangs Wert wird zwar mehr als man was wir bisher haben fast nur zusammen damit y Conti ist 10 und die er auch deren Ziel Conti war -minus d e hoch -minus die -minus eben auch -minus die Verluste 10 Mal ihr Hotel dann sehen Sie das Ganze vereinfacht dich noch königlich mit -minus T minus 1 Brüste CEO des aber den anfangs wird einstellen was soll sein 1 soll y von 0 sein kann also selbst waren von 0 -minus 0 -minus 1 +plus 10 Mal die hoch 0 also dem mal 1 über das lässt sich ziemlich problemlos nach c auflösen QC gleich 2 1 also kriegen Sie hier an jetzt endgültig die Lösung vom Anfangswertproblem dass die eindeutig ist wissen wir schon vom Satz über die Variation der Konstanten also y steht dann noch 2 Zeilen oben drüber -minus T minus 1 +plus 2 e möchten wir ist nur schön sortieren wollen 2 ihn möchten lustigen ein Sachen es das ganze Verfahren ist jetzt mit Graupel oder zu Fuß machen es egal wie kriegen damit Lösungen die lineare Gleichung 1. Ordnung guten besaß wird über die linearen Gleichung 1. Ordnung wie gesagt es wird einen 1. Einblick in die Welt der linearen wenn tialgleichung muss noch mehrfach in immer kompliziertere Gewandung begegnen und das 1. was ich da jetzt machen will ist du so genannten Systemen von Differenzialgleichung übergehen und da wird erst mal die Frage ich fürchte für die meisten wird im Moment gerade das Skript auf das Skript gibt es länger und seit Tagen die Probleme Material Zugang hochzuladen genauer gesagt bei dem ab der letzten Montag ist von Roche ich nehme an Sie am Problem Madrider runterzuladen was mitschwimmen das geht gut also mir wenn Backhaus ich hat das Ding heute Morgen hochgeladen gekriegt weiteres kräftig doch den ganzen Wege fertig drin also alles was jetzt kommt gibt es als Glück ist da aber ich weiß eben nicht glaubt dass es nicht bald besser geht denn dann kommen sonst muss ich mir was Lösung einfallen lassen gut also auch wenn jetzt irgendwie eben sie nicht haben seien Sie nicht besorgt da kommt ist alles da so ich will Ihnen jetzt erst mal so'n bisschen erzählen was das überhaupt sein soll ein System von Differenzialgleichungen
also Paragraph 3 unseres Ausflugs in die Welt der gewöhnlichen Differentialgleichungen der zum sogenannte Systeme von Differentialgleichungen um was geht's dann haben es bisher angekuckt siehe unsere Modelle was mit dem Wachstum sie am eine Größe y von The Populationsgröße und diese Größe wird in der Differenzialgleichung beschrieben weil ein Zusammenhang haben zwischen der Größe der Populationen ihrer Änderungen und dann versuchen sie über ein Seil einzulösen oder irgendwelche Eigenschaften der Lösung abzulesen an der Gleichung und das ist schon nett aber es reicht für viele viele Dinge nicht aus weil es meist häufiger einfach mehrere Größen die die sich gleichzeitig ändern und sich gegenseitig bedingen auch das ist irgendwie keine unerwartete Erkenntnis wäre also es kann alles hängt mit allem zusammen und mehrere mehrere Dinge können sich gegenseitig beeinflussen und sich auch gegenseitig im Wachstum oder im schrumpfen beeinflusst und dementsprechend kriegt man dann ein so genanntes System von Differentialgleichungen ich für jede Größe Differenzialgleichung wurde eine Größe mit drin stehen und ich will ihn also ich will Ihnen ein Beispiel hier zeigen dass ich da gar nicht weiter behandeln will aber an dem man ganz gut erklären kann wo das herkommt wie sowas aussehen kann als um was es geht sind sie haben mehrere Größen die durch überrennt tialgleichung beschrieben sind und in irgendwo der und sich gegenseitig beeinflussenden und ein Glas ist weiß wo man nicht die ganze Zeit mit populations Modellen unterwegs war dann aber das sind so weiter kann es ist ein populations Modell für das tut sagen das einfachst mögliche Räuber Beute Mode also werden vorher eine Population eine eine Population y von Tee und deren Wachstum aber beschriebene würde ich mit Teleservice logistische Wachstum und jetzt gibt aber nur leider nicht nur eine Population oder was heißt leider es gibt nun mal nicht nur eine Population auf der Erde sondern ganz ganz viele und geben ein schlossen sich alle gegenseitig und zu wenn man mir das Problem bisschen komplizierter machen will dann geht man mal von einer Population ob zeigt er schaut sich an was man 2 Population miteinander und dann jeden 1. spezielles Räuber wollte Modelle sehen eine Räuber Populationen eine Beute Populationen also ganz holzschnittartige 2 Spieler es gibt sozusagen nur Kaninchen und Löwen wollen zählen wie gehen die miteinander um und was passiert da und die einfachste Möglichkeit sind die sogenannten Volterra wortkarg Gleichungen und wie schreibe ich Ihnen heute wieder sehen und dann vergessen sie sofort wieder weil die sind es einfach mögliche Modell aber nicht explizit lösbar und super komplex also mit den Möglichkeiten diese Vorlesung in keiner Weise behandelt worden aber man sieht das schön lassen Systeme von Differentialgleichungen damit der 2 Größen X und Y und X von Phonty ist die Populationsgröße das Beutetier ist also der Kaninchen Populationsgröße Beutetieren Tatzeit gehen und y von The ist die populärste und größte des Raubtieres verzeiht sie so und jetzt gibt beschreibt man die Population durch
folgende beiden Gleichungen und die tun man also was es mit der Änderung in der Beutetiere oder ich schreiben einmal die Gleichung gehen oder Menschen alles ist eine Ware -minus später y von The mal Phonty wird je größer 0 da sie gehen wir davon aus dass das ganze spielen zum Zeitpunkt des gleich 0 startet und ab dann durch diese Differenzialgleichung gegeben ist und eine Zeitpunkt The gleich 0 müssen Sie natürlich sagen da sind wir nur gleich 0 müsse sagen die 4 Räuber wie sie heute am Anfang da so und die Änderung der Beute Population es beschrieben durch -minus wer der Räuber Population -minus Gamma -minus Delta X von T man tipps besonders sind die Volterra Gleichungen siehe sind dennoch brauchen 10 Anfangswerte X von 0 und bisschen und nur also wissen wie die Räuber wie Beute am Anfang dabei sein und dann gibt es so viele konstanten alpha beta gamma Delta in größer 0 und in den steckt die Modellierung sontwas bedeuten diese Gleichung er 1 also x von The ist die Population Beute y Conti ist die Population dicker Menge an Räuber ich habe Hunger ich mir vor .punkt und wie ändern sich die X strich von TSG Änderung der Beute Population zunächst mal steckt in der 1. Gleichung drinnen unser exponentielles Wachstum wenn sich den Anteil X spricht von The gleich Alfama links von The angucken ja je mehr Beute mehr Kaninchen da sind also die Größe X von The ist umso größer weckst wollte Population und als weist dementsprechend sowas wie eine Vermehrungsrate der wollte ihn also Eiweiß die Vermehrungsrate der wollte die muss man natürlich je nachdem welches Beuteltiere man hielt betrachtet einstellen wenn Kaninchen ist dem bisschen höher als bei uns Chacabuco also enden das ist nur Mode Jungs Parameter aber das ist der 1. Teil im Menge der Beute nimmt zu je nachdem wie viel Population von damals mit Proporz der tätsfaktor als außerdem wird die wird die Beute natürlich gefressen von den Räubern es wird das Bett ein negatives Vorzeichen und diese Frage wie viele von den wieviele von den Beuteltieren gefressen werden ist natürlich proportional dazu wie viel wollte Raubtiere es gibt es ging es der vor Faktor von den XP mal y Bettermann y Wetter ist sozusagen der des Rate die müssen sie auch wieder einstellen und diese
Fresserei hatte dies proportional dazu wie viel y sie haben also wie für ob obwohl damit
sie keine Räuber mit nix gefressen dann entwickelt sich die Kaninchen Population nach Methoden sehr lax tun kann macht die 2. Gleichung was machen die Räuber die Räuber sterben von Zeit zu Zeit das ist das Gamer wer also ist ,komma ist -minus kann man mal an das ist die ist der Berater wollen wir das ganze Modell geht davon aus das Ge ja also so wie es dasteht sieht erst mal so aus wie wenn das davon ausgeht dass die Population dass die Beuteltiere nur gefressen werden überhaupt nicht Natur natürlich sterben das ist nicht so dass es in dem Alfa mit drin da sind denn sozusagen von der von der Geburtsrate die ich da Berater ab .punkt man ist einfach muss sie so einstellen dass die der die Sanierungsrate auskommt die sie bei natürlichen wagt beim Wachstum ohne oder Räuber hätten und nur Arbeit die Räuber sterben von Zeit zu Zeit dass das Gamma und dann geht das Modell davon aus dass die Geburtsrate der Räuber das ist Delta das der der geht mit positiven Vorzeichen ein ist die Geburtsrate der Räuber davon proportional dazu ist sie wollte sie finden wenn man sie die Beute wenn verstehe sich da kamen sie wenig Beute finden dann vermehren sich weniger stark also das Delta X von dass es die Vermehrungsrate der Räuber und sie haben klassisches Systeme von Differentialgleichungen 2 Größen die sich gegenseitig bedingen an je nachdem die weitere wieder da sind koppelte zurück auf die Anzahl der Räuber oder Beuteltieren und wie gesagt dieses System so einfach und banal es aussieht ist erstaunlich komplex explizite Lösung so richtig Formel mäßig Fehlanzeige hässlich wir können das ganze numerisch lösen man kann Willi also man kann man kann Rasen Bilder malen wo man dann sieht die die wir entwickelt sich auf folgenden Koolmann und dabei wie ist es denn es ganz spannend wenn Sie Langzeitverhalten von Wanderern tialgleichung untersuchen was will ich machen wollen aber was die rauskriegen ist das Ungleichgewicht also es gibt mehrere so genannte stationäre Lösung also Gleichgewichtszustände sich nicht ändern ein Gleichgewicht zu steuern ist die Lösung 0 0 keine Räuber keine Beute sehr stabil bleibt auf alle Zeiten so dann gibt und es gibt aber noch ein 2. Reise wenig wie genau über der durch alle und der dadurch Kammer oder sowas oder Emus muss über Kreuz sein bei der sich der Mann der durch als so was wo sich alberne stabile Population einstellen und wenn sie nicht der stabilen Population sind dann haben Sie diesen Effekt das der Weiber und Populationen antizyklisch oszillieren was ist dieses klassische Modell wenn sie viele Bräute haben dann wird werden sich danach die Räuber vermehren solange sie so viel Beuteltiere wegfressen das irgendwann nicht mehr Gebäude da ist dann sterben wieder viele Räuber und dann geht das damit wieder dann die Beuteltiere wieder mehr Platz und vermehren sich und dann geht der Zyklus von vorne los und das steckt ja alles eine Gleichung gut aber wie gesagt ich wollte ihn die eigentlich also wir alle analysieren die gar nicht weiter durch beide und sind die zu kompliziert für die wurde so viel sondern es geht darum ihnen zu zeigen solche Systeme von Differentialgleichungen kommen ganz natürlich vor und was wir jetzt machen ist dass wir uns wieder auf den linearen Fall kaprizieren also schauen und Systeme von linearen Differenzialgleichung an auch die tauchen die hinstellen auch aber ich denke das ist relativ aber sich gut Vorstädten N das sind keine linearen Gleichungen nur leider tauchen auf der rechten Seite Produkte von y Maliks auch und das ist nicht mehr wir also im Jahr ich würde indem man Superpositionsprinzip bedeuten das heißt wenn Sie 2 Lösungen haben es auch diese Summe eine Lösung und es geht an diesen multiplikativen thermisch thermischen so also was ich hier machen will 10. lineare Systeme kann man unterschreibe ich ihn auch mal ein Beispiel nehmen also haben 2 Größen y 1 und y 2 im Norden ja dass dem Mehr zum Beispiel die Änderung der 1. Größe ist nur 1 ist gegeben durch dreimal y 1 +plus y 2 war die Änderung der 2. Größe y 2 es gegeben als y 1 muss dreimal y 2 und das grundsätzliche Problem und da ist es dem von Differentialgleichungen bleibt auch hier bestehen wir haben wenn sie sich einmal nur die 1. Zeile ankommen sind die über tialgleichung y 1 beschreibt und wenn ihn irgendjemand freundlicherweise y 2 verraten würde dann wäre das eine ganz einfache Gleichungen könnte das lösen wir das werden Sie besser 2 wissen ist das 1. 1. eine lineare Gleichung 1. Ordnung inhomogen Ypsilons weist einige Mobilität die kennen aber nicht y 2 also den sie die untere Gleichungen Personen sitzen 2 auszurechnen wir stellen fest auch das wäre kein Problem wenn minimale Mainzer verrät ja ich die beiden Dinge bedingen sich gegenseitig und wenn sie das eine haben es andere aber mehr wissen wo sie anfangen sollen wir müssen aber nicht rum einfach bei den simultan zu bestimmen unser man wollen Wahnsinns aus einer seltenen so also Abschnitte der geniale Systeme an wir werden
feststellen sogar lineare Systeme sind komplex genug so dass wir am Ende noch mal weiter spezialisieren arbeitsfrei muss erst man was es allgemein geniales System das was ihn gerade gezeigt hat war ein einfaches nämlich mit nur 2 Gleichungen und 2 Unbekannten aber sie können das ganz natürlich nicht in Gleichungen in unbekannten machen und dann gibts ne riesen Schreiber waren also werden die üblichen Intervall den er auf dem unsere Gleichung gegeben ist dann die Anzahl der unbekannten Größen groß enden ich würde in der Großen nicht kleinen wir kleinen im ganzen Teil über die ok über die gewöhnen getrennt tialgleichung reserviert für die Ordnung der Gleichung also mit den höchsten Verbreitungsgrad da ging es gar nicht angenehm groß ändern so nahm sie ne ganze Menge Koeffizienten also sehr haben Kurde 10. A K und Georg 10 jeweils Funktionen von ihm daher und stetig und des wir jede Wahl und J und K A diesen 1 n und dann kriegen Sie das Allgemeine ist dem lineare Gleichung 1. Ordnung also sie haben die 1. Größe y 1 strich und deren also deren Ableitung der in Änderungen beschrieben ich liebe ja Haare will im ja Kombination aller y 1 SYN also a 1 1 von mal y 1 von T +plus A 1 2 und die man y 2 von die los und so weiter bis er ein y n die los Inhomogenität B 1 von den Mehr das ist gleich wie gerade eben das ist ne lineare Gleichung 1. Ordnung wobei die rechte Seite jetzt eben von allen Größen 1 bis y in abhängen los will eigene Inhomogenität P 1 so das Gleiche machen Sie für jede dieser Größen also das Land ,komma Phontäne ist A 3 1 von T y einst von T los aber 2 2 Conti y 2 von +plus Art 2 entfernte es will und in man die bloß Inhomogenität B 2 Phontäne nein das damals ja weiter an man gibt es in Differentialgleichungen bis y n Strich von bis A N 1 von die y 1 von The +plus A N 2 und y 2 von Tilly in in und die y in Monterey Philosophie in unten war das ist und das Ganze ist wirklich aus wie das ist
ein Systemen wollen linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung Tor mit der Sie werden mir zugeben dass sie kompliziert genug aus wir können uns dran aber aber was es es ist eben nichts anderes als das was ich Ihnen vorhin gemeint habe im kleinen ihr Inhalt Wasser 2 Gleichungen mit 2 als 2 Größen 2 Gleichungen zensiert im größten in Gleichung aber es ist im Prinzip genau das Gleiche das ist die Gleichung Wen-Sinn Anfangswertproblem haben dann brauchen sie natürlich Anfangswerte was braucht man da wenn Sie wieder sich eine einzelne gleich in dem sich die 1. Gleichung von dem System der und gehen Sie davon aus irgend freundlicher wenn statt ihnen Y 2. Y N schon verraten wir wollen sie nur das LAN 1 ausrechnen den 7. 2. y kennen dann wenn sie den ganzen hinteren Schloh mir also dann ist das ja alles bekannt und dann könnte dass es Inhomogenität anschauen als neues B und dann haben sie die gleichen y 1 strich ist aber dass man 1 +plus d Nasen sind aber so vom letzten Abschnitt und das eindeutig zu lösen brauchen Sie ein Anfangswerte sodass man alt kann ja ich Argumentation können Sie für alle anderen sein machen was sie also brauchen ist wie jedes y j ein anfangs also fürs Anfangswertproblem benötigt man er sei mit dem vernünftig hoffentlich eindeutig lösbares Anfangswertproblem gibt braucht man an einer Stelle T 0 aus wie Zahlen y 1 0 y 2 Nullen SYN Nullen und dann sind die anfangs Werte müssen dann sein y 1 von T 0 müssen bis 9 1 0 7 9 2 von den 0 bis y 2 0 SYN von je 0 SYN 0 1 und wie jede dieser engen Größen ein Antwort also denken sind seines weil immer noch ein Räuber und Beute auch wenn das nicht ganz passt es 1 zu 1 ist die sind die sind die Beuteltiere und 2 sind dort Raubtiere an und ließen sie wesentliche Rolle am Anfang gar nicht gewollt ist so und jetzt kommt wieder wie vorhin auch schon wir haben liegen ja das
ist der und Kennedy B und jetzt sagt man wieder wenn dieser Modernität B E 0 ist dann heißt es ist dem Homo geben kann dass es wieder nicht das homogen bei den homogen Differentialgleichungen sondern homogen im Jahr gleich und es heißt rechte Seite des des gleich 0 umsonst wenn man inhomogen und vielleicht kann ich diese Zeile noch zu einem Kommentar in ganz andere Sachen nutzen ich schreib da jetzt aber so sowie gleich 0 was ist die den Film ging B ist B 1 B 2 bis Bill Gross am besten Vektor war also wer groß en Komponenten und das ist das Dauer Elend in der Mathematik mit der 0 die Nuller 370 Bedeutung und man schreibt immer 0 das 0 kann seine Nullen lernen sie neue Kronen in Z das kann seine nun in den Norden ziehen es kann seine neue Funktionen und Matrix 0 Vektor war heute wohl bei das neutrale Element der gerade betrachteten Gruppe additiven Gruppe da kann man nicht umhin und es lohnt sich sozusagen mit den Wölfen zu heulen an der stellen aber es ist eben gut wenn immer 0 0 steht so war kurz innezuhalten und sich zu bewegen was ist das Grad eigentlich nun also an der Stelle Herr Kämmer kurz inne gehalten dass jedes 1 0 in er groß en u n 0 Vektor will er nun kommt und wenn es gut wenn damit aber das den ja Systemen und sie haben schon gesehen das ist mühsam schreiben und damit es nicht ganz so mühsam hinzuschreiben ist kann man sich die Arbeit bisschen vereinfachen an sich dass es gebe Norman würdest du weiteten war
erben kennen Sie so was das ist lang und breit ausgeschrieben im Prinzip der Matrixmultiplikation was Beispiel wenn weckte links als y strich denken aber das Land einspringt und zu entspricht neben der Vektor B 1 bis B 1 als Vektor B dann steht zwischen den Matrix A gegeben durch diese kompetenten A 1 1 1 2 bis 1 m die Notation ist kein Zufall A 2 1 1 n multipliziert mit dem vektor das von 1 zu 2 in der steht nicht dass in Madrid wurde zu und er das will man sich natürlich zunutze machen und das Ganze als Martins Motivationsschreiben er an der Stelle viel dringender auf Rom gehen Sie doch mal 150 Seiten zurück und gucken Sie sich an was so Skript über Matrix und Matrix Rechnung Matrizen Eigenwerte Diagonale sierbarkeit was ist Wechsel und so dasteht weil das kommt jetzt alles wieder leider eigener Wahl Mattick alles mit allem zusammen er n das kriegen sie es alles wieder und ich hab gestern mal so über 5 zufällige Exemplare der Probeklausur es kennt um mein Eindruck da aber auch gucken sich das noch man also was ich da zum Thema gleich die 1. Aufgabe zum Thema Eigenwerte und die Fliegen von Matrizen gelesen hab war hat mich nicht gerade überzeugend das taucht ja alles mal auf guten also wir wollen dieses Dinge als Matrix den schreiben als Matrix Moderation schreiben und dann wird das alles viel übersichtlicher und lästig angenehmer schreiben und wie oft in der
Mathematik ist das ist das total Sie wenn Sie die richtige Relation haben verliert verlieren noch so lange den ihren Schrecken als Anmerkung 3 2 Matrix Notation für solche Systeme also wir schauen uns an das System von da oben mit Anfangswerten also diesen y 0 1 bis y 0 1 und das ist äquivalent zu folgendem System und das brauchte schon deutlich weniger Platz y strich von die is a von y von die +plus B und y von t 0 =ist gleich y 0 sie geben zu so sieht das schon gar nicht mehr so schlimm aus sowie das das was wir die ganze Zeit hatten und wie gesagt das Y ist jetzt in der Welt allein besitzt ein das ist der Weg der B 1 bis B 1 das als die Matrix mit diesen ganzen Koeffizienten drin also was ist y von T y Conti ist der Vektor y einst von die y 2 von die bis y von oder wenn sie es noch also der Vektor y j von T mit j von 1 bis er groß 1 und wenn ich y strich schreiben Sie die Frage was soll das denn bitte ableiten wenn sich im System wollen wären damit mein ich einfach komponentenweise ableiten also mehr ,komma werden derzeit mehrere 100 wird und so weiter und so macht man weiter also was ist das wie das ist der Vektor B 1 bis B 1 also der Weg der BJP und die wir gleich 1 ist er nun wann haben Sie den legte y nur das ist der Wächter der Anfangswerte also YJ 0 ja gleich ein das große Rennen und Schluss endlich die Matrix A von das ist die Matrix mit diesen Koeffizienten a j k drinnen wie alle von The hängen nur und damit aber dieses ganze Riesenkasten den von reduziert auch ne schöne Gleichung allerdings derzeit die gleichen in Vektoren das ,komma ist arm und immer y und nicht dem was ist jetzt das homogen ist denn das so so morgen es System ist das Baby gleich 0 also homogene System hat die y Strich von T ich a von TY und die die aus dem Intervall wie und das es wird zur Funktion auch mit der
wie und für jedes T ist es an der Matrix saßen am Kreuz enden und die stetig sein Funktionen einer Variablen aber mit groß en Quadrat er Komponenten und dieses ist System das nenn ich mal starren und das wo wir jetzt sind Folgen anschauen also wollen und System lösen kann und den allgemeinen wenn Sie so ein System haben dann können Sie das nicht explizit gelöst sogar bei den linearen ist eine echte die bei einer Gleichung geht über die Menschen Formel bei mehreren Gleichungen es mühsam also Sie können immer noch nie war es eine konstanten wo man schreiben die gilt auch aber um die und die zu nutzen müssen Sie die Lösung des homogen System seine kennen und wo sie die Lösung Kosovo wohin sie es sehr Krieges ihr Probleme gibt keine allgemeine Regel der insofern wenn ich an diesem System die Theorie machen und wenn wir dann extensive rechnen wollen spezialisieren mal ein Stück weiter sodass man wieder rechnen kann das ist es immer wichtig sich die Grenzen der Theorie also der rechnet Möglichkeiten klarzumachen der Stelle denken Sie mal dran die ein was möglich Differenzialgleichung ist da zum Bestellen von der der im Allgemeinen nicht also kann man nicht erwarten dass Differenzialgleichung lösen einfacher ist und ich zeige Ihnen sozusagen ein paar Wege im Dschungel auf die gangbar sind über wenn man was machen kann so was ich ihn das nächste Mal dann zumindest teilweise beweisen will ist der Satz 3 3 und das ist wieder da wenn auch wissen anders formuliert und das Superpositionsprinzip haben lineare Gleichungen ja den wollen gesagt das ist ein ganz allgemeines Peter von Jan Gleichungen wenn Sie mir Gleichungen haben und Lösung von den sind die weniger Kombination auch Lösungen was kann man so formulieren in dem Fall wir schauen uns die Menge L 1 es sind alle die stetig differenzierbaren Funktionen auf wie wir werden in allen war nur heißen Funktion auch die Wiederwahl I definiert in einer Variablen aber mit allen Komponenten y 1 SYN und stetig differenzierbar die unsere Gleichung Stern lösen also schauen sich die Menge aller Lösungen an von unserer gleich unsinnig bestimmen können Menge Lösung anschauen hab mal nix und dann kann man sich angucken was hat diese Menge für Eigenschaften in 7 Jahre Gleichungen haben bei diese Menge traumhafte Eigenschaften man kriegt man diese Menge ist ein N dimensionaler unter Vektorraum und viel Wohnraum einer stetig differenzierbaren Funktion der Traum und warum es das Superpositionsprinzip das gut versteckt Gewicht zu was heißt denn das Wissen unter Vektorraum ist das heißt die Menge ist abgeschlossen gegenüber dem Vektorraum wird wird .punkt die einzigsten Vektorraum bezüglich normal Kloster Funktionen und Galama Modifikation warum melden sich gewandt Überfunktion wenn sie 2 jemand über Funktion f und g haben ist auch er Gäste Dichterin Ziel waren es auch einfach mal endlich differenziert war und die Aussage ihres wenn sie 2 Lösungen dieser Gleichung haben dann ist auch jede linear Kombinationdieser Lösungen der Gleichung erhöht der Lösung der Gleichung das bedeutet gerade unterwegs berauben und das ist genau das Superpositionsprinzip wir können 2 Lösungen der homogenen Gleichung addieren oder das Galan multiplizieren kriegen wieder eine Lösung aus und das ist eben dies 1. wichtige Eigenschaft von Lösung linearer Gleichungen unter den wer dazu nächste Woche Wald mal vielen Dank für die Aufmerksamkeit
Quadrat
Homogenes Polynom
Quotient
Differentialgleichungssystem
Rechteck
Anfangswertproblem
Fluss <Mathematik>
Gleichungssystem
Substitution
Gleichung
Differentialgleichung
Gewöhnliche Differentialgleichung
Azyklischer gerichteter Graph
Momentenproblem
Gleichungssystem
Anfangswertproblem
Gleichung
Desintegration <Mathematik>
Integral
Gradient
Konstante
Quadrat
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Ebene
Faktorisierung
Punkt
Klasse <Mathematik>
Homogene Differentialgleichung
Lineare Gleichung
Gleichungssystem
Gleichung
Differentialgleichung
Lineare Differentialgleichung
Konstante
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Koeffizient
Differentialgleichungssystem
Ordnung n
Substitution
Ableitung <Topologie>
Elektromagnetische Schwingung
Azyklischer gerichteter Graph
Welle
Physik
Gleichungssystem
Superposition <Mathematik>
Überlagerung <Mathematik>
Reelle Zahl
Ordnung n
Wellengleichung
Ableitung <Topologie>
Addition
Partielle Differentialgleichung
Physikalischer Effekt
Betafunktion
Ähnlichkeitsgeometrie
Lineare Gleichung
Vektorraum
Gleichung
Lineare Differentialgleichung
Null
Lösung <Mathematik>
Menge
Differentialgleichungssystem
Korrelationskoeffizient
Verschlingung
Momentenproblem
Anfangswertproblem
Auflösung <Mathematik>
Gleichung
Zahl
Desintegration <Mathematik>
Integral
Konstante
Lösung <Mathematik>
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Konstante
Lösung <Mathematik>
Stammfunktion
Lineare Gleichung
Anfangswertproblem
Gleichungssystem
Gleichung
Differentialgleichung
Integral
Null
Konstante
Differential
Stammfunktion
Azyklischer gerichteter Graph
Exponent
Integralrechnung
Lineare Gleichung
Gleichung
Differentialgleichung
Ableitung <Topologie>
Integral
Azyklischer gerichteter Graph
Summand
Klasse <Mathematik>
Anfangswertproblem
Gleichungssystem
Lineare Gleichung
Gleichung
Differentialgleichung
Null
Integral
Konstante
Perspektive
Funktion <Mathematik>
Einfügungsdämpfung
Azyklischer gerichteter Graph
Momentenproblem
Anfangswertproblem
Lineare Gleichung
Exponentialfunktion
Gleichung
Differentialgleichung
Gesetz <Physik>
Integral
Null
Monster-Gruppe
Konstante
Lösung <Mathematik>
Stammfunktion
Unbestimmtes Integral
Partielle Integration
Ableitung <Topologie>
Mathematische Größe
Parametersystem
Faktorisierung
Dicke
Zusammenhang <Mathematik>
Menge
Vorzeichen <Mathematik>
Differentialgleichungssystem
Gleichungssystem
Gleichung
Mathematische Logik
Differentialgleichung
Gewöhnliche Differentialgleichung
Mathematische Größe
Physikalischer Effekt
Gleichungssystem
Lineare Gleichung
Gleichung
Biprodukt
Superposition <Mathematik>
Lineare Differentialgleichung
Summe
Lösung <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Spieltheorie
Differentialgleichungssystem
Stationäre Lösung
Mathematische Größe
Anfangswertproblem
Gleichungssystem
Gleichung
Zahl
Null
Variable
Menge
Eigenwert
Koeffizient
Differentialgleichungssystem
Haar-Integral
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Stellenring
Matrizenmultiplikation
Azyklischer gerichteter Graph
Homogene Differentialgleichung
Mathematiker
Vektor
Gradient
Funktion <Mathematik>
Null
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Azyklischer gerichteter Graph
Eigenwert
Vektor
Diagonale <Geometrie>
Einfach zusammenhängender Raum
Folge <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Differenzierbare Funktion
Modifikation <Mathematik>
Lineare Gleichung
Gleichungssystem
Vektorraum
Gleichung
Differentialgleichung
Vektor
Superposition <Mathematik>
Lösung <Mathematik>
Variable
Menge
Koeffizient
Mathematiker
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Lineare Dglen erster Ordnung
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 22
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34552
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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