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Automatisierte Medienanalyse

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genannt werden an der TU Darmstadt wenn man
also mal herzlich willkommen zur heutigen Vorlesung ab und soll für die kleine Verspätung tat deine Probleme bei der Besorgung der Infrastruktur für die Aufnahme gegeben weil das ihnen bei der entsprechenden Stelle auch allen Seiten Tag machen insofern stimmt das ein Dank an alle die hier sind und eine Warnung an alle in die Kamera der fast nicht geklappt mit Aufnahmen gut es klappt jetzt also können alle was wir jetzt oder später folgen wir hatten in der letzten Vorlesung uns herangepirscht eine mehrdimensionale extrem mehr Probleme der aber das aus Estrich bis macht schon Sinn im Anwesenden sein extreme Probleme also an die Frage wenn ich die Funktion von mehreren Variablen hab wie kann ich bei der Extremwerte Maxima und Minima finden und ich hatte Ihnen gezeigt dass zumindest das notwendige Kriterium für das Vorliegen einer extrem schnell im Prinzip der aussieht wie eine Dimension was wir suchen Sie eine Nullstelle der Ableitung als kritische Punkte das kennen wir nur schön dem setzten nur schnelles gravierenden und ich hatte auch gesagt der Saar hat die gleichen Warnungen wieder Satz in einer Dimension insbesondere sind es eben nur die kritischen Punkte und es kann auch sein dass es Stellen gibt dann den degradieren nun ist aber bin keine maximal stelle und dass es zum Beispiel mehr Dimensionen können Funktionen wie ganze Menge Unfug machen dass der so genannte Affen Seite und steht die Funktion schriftlich noch bei 1 bis 3 x y Quadrat man kann Sarah verschiedentlich anders geliehen und da sehen Sie in der Mitte bis eine Nullstelle der Ableitung wenn wenn Gott also eine Stelle wo jede waren wo jede wie in der Mitte ungefähr besten mit Anleitung Mulder 1 Nullen jede Richtung ist die Steigung 0 aber es gibt eben keine maximal Stelle werden sie über diese passte so rüberlaufen an sie Maximum und wenn Sie über die weiße so rüberlaufen Hansen Seite .punkt also keinen Weizen Maismehl wenn ich ein bisschen zeigen den zeigen die noch das 2. bis die mit 2. Warnung enthält mehrdimensionale Funktionen haben mehr Platz als eindimensionale dementsprechend können Sie mir Unfug machen und würden Sie sich davor vor direkt
gegen außen eindimensionales übertragen was hat diese Eigenschaft diese Funktion der Eigenschaften eindimensional nicht gehen wenn sie eine gute Diskussionen eindimensional machen und suche Maxima und Minima und ich würde ihn die Funktionäre geben dann würden sie wenn sie gut nachdenken gleich merken dass was nicht stimmen kann die Funktion hat nämlich 2 maximal 3 lokale aber kein lokales Minimum im einnehmen sein die das nicht eine Funktion 2 lokale Maxima dann muss irgendwo der Wechsel umdrehen ja immer nehmen ist ist kein Problem der es erkennt das Siebengebirge 2 Gipfel dazwischen was für 2 maximal ohne Minimum der Tisch da also da können durchaus Dinge passieren immer lassen einen nicht kennt jetzt hab ich die nettere erzählt was alles passieren kann wenn das Netz erstmal was gegen die Finkenwerder Art
wie finden wir überhaupt unsere nationale Minderheit stellen wenn Sie uns einen den andern gab es war ein formschönes Kriterium wenn man kritische Punkte rechne man die 2. Ableitung aus und schaut nach dem ,komma er zart nach ob die positiver negativ ist oder was da los ist und je nachdem hat man extrem extrem hohen machten dann nehmen und genau das gleiche bisher wenig investiert zeigen und das muss man überlegen wie er mir das Kriterium damals gefunden das Sammelband Salzmann Teller gefunden und das gleiche Programm machen wir jetzt auch also worum es jetzt geht ist die Frage in reichen die bisherigen oder hinreichendes Kriterium extrem stell und wir hatten damals ebenso es Gegensatz von Täter was haben wir also wir haben kritische Stellen wären es meine Funktion auf unserer Erde tionsbereich gehe Gewinn je nach R e l Teilmenge von RWE und wir setzen voraus dass die an der Stelle x 0 und die muss im Innern von liegen 2 mal stetig differenzierbar was muss einmal stetig differenzierbar sein damit wir das notwendige Kriterium anwenden können und kritische Stellen suchen wir mit einem Insider werden argumentieren wollen noch mal 2 mächtig gewesen war und was er verlangt das wir an kritischen Stelle sind also wir haben schon die Stelle x 0 dessen kritischer Punkt und wir wollen jetzt besuchen ist das Maximum Minimum haben oder nicht von den blau und das Organisation Teller anwenden und Tänzerinnen und Launcher wir brauchen wenn wir uns unsern .punkt überhaupt nähern können was mobile also einen Satz von Tälern nennen bei den letztes Mal den Satz von Tele hingeschrieben in der will die Versionen brauchen mit K gleich 1 also Wiederholungen ist 1. Ordnung und die er wieder fit wenn den das Fest ist der 2. Ordnung und dann sagt man der Satz von Teller es gebe Pläne des Wegs gibt und sie zwischen x und liegt nun zwischen 2 x wies das XY auf der Verbindungsstrecke von Nixon nur Licht oder so dass er neben nähern können durch das der Polynom 1. Ordnung also die lineare Funktionen gegeben ist durch den Aufschwung den Funktionswert f von x 0 +plus bin gerade lehnten die Ableitung von f an der Stelle x 0 weil ich zu zumindest nicht nur das linearer Näherung der Wohnung 1. Grades und er hat mir das die und das habe sei jetzt hier folgendermaßen aus dem Prinzip 2. Ableitung von f Maliks -minus x 0 Quadrat und damit das alles mit den Landwirten und Victor Schreibweisen gut passt schreibt man das am besten so halt die Inhalte noch also die alles mit 2 Fakultät es -minus x 0 transportieren transponiert 2. Ableitung von F 1 ständig sieht es war die Hessen Matrix von etwa das belegt die multipliziert mit mit minus 0 naja Do was wissen wir jetzt mehr wissen x 0 ist mehr kritische Stellen zu 0 ist der Nullstelle von gravierenden also ist Berlin 0 damit fällt dieser Term weg ich
und weggehen weil ich wegen eines F von X nur auf die andere Seite Weise F von X minus 11 1 zu 0 ist dann gleich ein hal ein Witz -minus nicht nur transponiert 1. Matrix man er anders belegt nie mein mindestens 0 und das ZIS Ebenen .punkt auf der Verbindungslinie zwischen XX so dass die feste Stelle an der wir die 0 stelle der Appell die Nullstelle Ableitung haben X ist .punkt eine Bohrung reicht das Evonik soll auf die andere Seite gebracht und das gleich aber damals in einer Dimension auch gemacht und die Idee ist was uns interessiert ist ob f von x 0 maximaler oder minimaler wir wenn wir also F von X 1 er von x 0 anschauen und Evonik Solisten Maximum muss diese linke Seite immer negativ sein und wenn er von x 0 Minimalwert ist wenn es diese Rechte linke Seite da immer positiv will also etwa nächstes FAX 0 Bergmanns genau aus wie viel des F von X leben von Evonik soll weg ist und sie sehen was uns interessiert ist das Vorzeichen der linken Seite nun auf der rechten Seite steht jetzt ein Damen und dem wir das Vorzeichen also brauchen wir müssen wissen ist auf der rechten Seite positiv oder negativ und wir müssen das sicherstellen dass es für jedes in der Umgebung von x 0 5 immer relatives Maximum zum Beispiel brauchen wir für jedes x in der Nähe von x 0 ist die seit Jahren auf der linken Seite ein Maximum brauchen bei dass er negativ ist also müsste dieses Ding auf recht selten negiert und beschreibbar diesen Ausdruck der steht noch mal bisschen anders hin was besteht ist da Vektor Matrix mal Spalten Spaltenvektoren nur was in 2 Spalten weggerissen weiten Lektor also da steht sein der damals beide legte das kann sehr Skalarprodukt schreibt ist es Skalarprodukt Comeback bei EGT -minus x 0 mit dem Sektor 1. Matrix an der Stelle ziehen multipliziert mit ich -minus 7. um diese Skalarprodukt hat die Form Vektor multipliziert mit der Matrix mal weg bei und werden zu sehen und das Vorzeichen und jetzt müssen alle mal ganz tief im Gedächtnis kramen Thomas hatten wir mal und zwar im April lineare Algebra im letzten Semester als es um Eigenwerte und so weiter gehen endlich ich ihn am Schluss wieder frei also hatte ich am Schluss ein Thema gebracht muss gegen die Gesetze positiv und negativ definiert für Madrid da ging es genau um die Frage wann sind solche Produkte weg glauben man Matrix mal Vektor positivere negativ und genau das könnte ihr Tier wieder wiederverwenden und der Begriff positiv definierte zum Beispiel war eben eine Matrix ist positiv definiten wenn Don Ausbau weg da man Matrix mal der gleiche Vektor immer positiv ist egal was wir und das ist genau das was wir brauchen wir wissen die 1. Mathetest positiv definiten dann ist dieser Ausdruck am Ende immer positiv egal was x 1 x 0 ist und dann ist der Ausdruck links immer positiv und damit ist er x 0 immer kleiner gleich F von X und Minimum könnte ein ein kommen Stord dort wird sehr Sie haben damals immer genau darauf hingewiesen positiver negativ definiert macht nur Sinn wenn sie symmetrischen Matrizen haben aber glücklicherweise war dessen machen müssen mit also zumindest der stetig differenzierbaren nur ja also sich gut passt zusammen und das wär rauskriegen es Gott also das wir nur kann es mag nun lokales Maximum muss dieses Skalarprodukt da also dieses Ding von hier oben in der Umgebung von x 0 3. negativ sein und für ein lokales Minimum dann
muss es positiv sein war und das war genau das was der zum Thema positiv und negativ definiert gesagt hat nicht weiß meinen ich also Erinnerungen Blatt sogar die Nummer mitgebracht das war definierte und 3 11 20 wenn Sie eine symmetrische Matrix haben aus NRW B was die Hessen Matrix ja zum Glück ließ und beim nennt man die positiv definiert und wie falls das Skalarprodukt von x mit AIX immer größer 0 ist und B jedes x aus er D er außer 0 sich's gleich 0 nämlich dieses Skalarprodukt immer 0 aber für alle 1 x muss es positiv sein dann nennt man diese Matrix positiv definiten wird sehen Sie wenn Sie Reste Matrix da oben wenn sie wissen dies positiv definiten dann sie genau so aus .punkt weg Matrix mal war und negativ definiert in der kleinen 0 Spiel na klar nur schwer und danach nur noch den Begriff indefinit und vielleicht auch mal wiederholen was bei indefinit in der Simitis ich die Matrix hat beide Verhalten auf einmal und zwar je nachdem was sich bewegt in dem also sie kann immer in die eine Richtung die sie positiv und die andere in negativ das ist was was einer Zahl nicht unbedingt passieren kann bei der Matrix aber schon also
sollen was es heißt in der Chemie eine dich eine ein Vektor x und ein Vektor y immer die so dass wenn sie dieses symmetrische Produktmix AX bilden das positiv ist sich unbedingt y dass man also also den Matrix die sich nicht positiv oder negativ bist mitentscheiden kann und beides mal versucht indem man ihn gesehen was zu rauchen wir sie gesehen haben ist aus der positiven und negativen Defini seid der Matrix entscheidet sich die Frage ein Maximum oder Minimum des Schreibens in einem Satz zusammen und wenn man dann diesen Satz angucken schneller fest was es eigentlich toll weil es genauso wenn einer Dimension war also wir haben wieder weitgehende Teilmenge von offen das übliche Setting des ganzen Kapitels werde Funktion f und die nach er damit wir die ganze Aktion da oben machen müssen muss die 2 mächtig Differenz über sein damit wir das machen dürfen was belogen gemacht haben Keller und so weiter und so weiter also in die es dabei stetig differenzierbare und wir haben nicht den Erix würden gegen kritische Punkt ist also der gerade jenen von eher von der Stelle x 0 der ist nur dort mehr Zeit in einer Dimension was müssen Sie machen müssen 2. aber zunächst ausrechnen also von der x 0 also wird bei der Rail rechnen die 2. Ableitung von f x aus Business und Matrix und dann gerade gesehen wenn diese Matrix positiv definiert ist dann ist die Differenz von x die und er von links oder von x 0 der sehr verließen das er von x 0 ist immer positiv das heißt er von x 0 ist immer kleiner gleich F von X und das heißt der haben lokales Minimum also dann hat er wenn X 0 ein relatives Minimum und umgekehrt wenn die Matrix negativ
definiert ist dann hat sie da ein relatives Maximum und der 3. Teil ist wenn die Matrix indefinit ist wenn sich also nicht so recht entscheiden kann dann können Sie sicher sein dass der Sattel .punkt erwischt haben also dann hat in iX 0 keine lokale keine Relativistic bringen dort Sie den Satz ist normal anschalten wenn dieser sehr genau das gleiche im eindimensional notwendige Bedingung sei also die Ablehnung bis 0 hinreichende Bedingung wenn die 2. Ableitung positiv also Minimum müssen seit der positiv noch das Wort definitv abdecken aber positiv mit Minimum negativ definiert Maxime genauso wenn eine Dimension allen was es noch dazu haben eigentlich hat man das eine Dimension auch das ist der Fall wenn sie in einem also an diesen indefinit Begriff noch wenn sie wirklich in ihr weniges wandern sie keine extremen passen Sie mit diesen 3. Teil auf gebrauchen wirklich indefinit und in definiert heißt es gibt eine Richtung in der x a x positives und es gibt eine Richtung in der EG bei echten gelten wenn sie Nachkriegs haben wir die dieses x a x größer gleich 0 ist und in irgendeine Richtung ist auch mal 0 das nennt man positiv oder so negativ sehen die definiert dann wissen Sie wieder nix das ist so in den Sinn eine Dimension 3 der werden 0 an sich ist man ratlos denn was sie für ihn die wir brauchen es wirklich ein X wusste ich positiv ist unendlich y muss ich mir also da aber was der Hauptmesse zeigen sollte sie müssen sich da 9 Zusammenhang merken das ist alles so wie Sie es gewohnt sind müssen ihren alten Satz aus der Schule wir nehmen und die richtigen Begriffe ersetzt er setzte 1. Ableitung durch Talenten ersetzte 2. werden durch Hessen Matrix ersetzte positiv für positiv definierte ersetzen negativ nicht negativ fiel er und alles ist genauso wie vorher was diese Mühsal geworden sowieso weil sie die Rechnungen ja weil sie nicht mehr einfach mit 2. Ableitung haben gucken die positiv ist dann die 2. Ableitung ist wennst viele Varianten sind mit 15 Kreuth 15 Matrix und der sie nachweisen müssen dass sie die definiert ist ist in Afrika aber das was sie tun muss ist genau das knapp vor was man also braucht denn gute Kriterien für positiv und negativ definiert wer kann und die habe ich ihn damals in diesem Kapitel 3 11 auch alle angeschrieben aber ich wann immer also ich würde mich nicht wundern wenn die überall noch präsent sind ich würde schätzen wir werden sie auch schon lange weg also schreiben Sie Norma hell also 1. Bemerkung Erinnerungen wie zeigt man positive oder negative die Finitheit das wird jetzt hier wieder wichtig das weiter die Liegezeiten in der Versenkung verschwunden also wenn Matrix A ist positiv bzw. negativ Defini was war damals beenden sagt bei 11 22 und da
gibt es im wesentlichen 2 Charakterisierung 2 der lehnte aus sagen wie sehr fraglich will nun dass nach überall also 1. sind die wahren können es die rechnen x a x für jedes x aus und zeigen dass das positiv Könige im macht man aber selten dann meistens geht man einen dieser beiden Umwege und was für eine schöne charakterisieren gebe die eigenen Werten denn die Eigenwerte der Matrix aus wenn man alle Eigenwerte von positiv sind echt wo sie also größer 0 1 was man positiv befinden und wenn alle Eigenwerte echt negativ sind dann ist das Ding negativ definiert und wenn es den positiven also ein echt positiven echt negativen Eigenwert gibt dann ist das in die wenn ihre Matrix 1 der 3 und minus 5 hat was die andern sehen das wir völlig wurscht aber sobald eine positive und eine negative Eigenwert gibt dann ist das Ding in der war und die 2. 2. sagte waren die so genannten Unternehmen Norén die und Ohren waren unter den Termin nannten sie fahren mit 1 Kreuz 1 b Termin nannte oben in der Ecke an meinen sie die 2. was bei dem Termin nannte die 3 Kreuze beide Termine nannte die viertplatzierte Termin nannte die sie immer in den sie noch weiter in die Ecke unterlaufen werden und diese Unternehmen waren die müssen ein gewisses Muster einer Vorzeichen haben in Vorzeichen haben und zwar entweder wenn sie positiv definiten haben wollen dann müssen sie alle positiv sein und wenn sie negativ definiert ist dann muss folgendes gelten der 1. unter nur also sprich der Eintrag oben links der Matrix muss negativ sein der 2. und der Wiener positiv der 3. negativ geführte positiv und so weiter also da müssen Sie alternierende Vorzeichen haben -minus 1 ab wenn genaue Formulierung bauen den 3 11 22 nach aber das waren die beiden Hauptkriterien mit den man die Finitheit nachweisen kann ich und ganz wichtig das hat ich gerade schon gesagt ich also wenn ich positiv oder negativ zu sehen die definiert ist wenn das heißt ein Eigenwert ist 0 was nun also eine Matrix 1. Matrix hat 0 als Eigenwert dann sitzen sie der Tinte dann weiß man nicht also dann geht in dieser Satz keine Information da muss man mit irgendwelchen anderen Methoden darüber nachdenken ob das dem Index Rerum hat oder nicht also der in der ein immensen Anwälte 2. werde wohl ist wenn 0 Eigenwert ist immer schlecht Herr Frau Dörre über damit haben wir das Problem eigentlich in der Tüte wir müssen eigentlich genau das Gleiche machen eine Dimension und ich will mich auch nicht drücken das wird ja immer machen er wenn eine Funktion mitgebracht der einmal maximal minimal durchexerzieren kann er dass das Beispiel 6 4 und wenn es da langsame scheint
sehen Sie dass sich da auch an Beispiel genommen haben bei dem alles mal vorkommen mag nur minimal sollte .punkt alles vorbei wir mit Isiskult hier ist mal dort und also dass es das wir funkte hauen was die Funktion von R 2 nach er war 1. Mal dann die Rechnung nicht völlig absurd wird weil ich würde es bei Kohls 2 1. Matrix hat und zweitens weil ich Ihnen das Bild zeigen kann was also von R 2 nach und er von XY es x Quadrat plus 2 y Quadrat e hoch minus x beitragen sitze gut das ging und dem wollen wir die extrem einstellen bestimmen was brauchen wir uns zuerst die kritischen Punkte britische Punkte sind die Nullstellen der Ableitungen also müssen wir dieses es ableiten Ableitung ist in dem Fall der gerade jenen haben und nun von der II. nach Ehre also es die Ableitung teilen Vektor der Länge 2 in der 1. Komponente steht die Ableitung nach x von den denn das ist es 5 Produkt und Kettenregel also was haben wir Produkt den vorderen bei ableiten die 2 x mal den hinteren haltbar Lust den 1. Tag bei abschreiben und den 2. Tag bei differenzieren er Funktion reproduziert sich und die innere Ableitung geht -minus 2 x was man noch -minus x Quadrat -minus y Quartal war dass die anderen X Weinmeister y ableiten und was sehr ähnliches raus der 1. Tag bei differenzierten ihr y Weidenzweig stehen lassen was wirst weiten Fakt 1. Tag bei stehen lassen wann hinten ehe Funktionen protestiert die Spiele die innere Ableitung ist -minus 2 y ich mir auch es nicht beitragen wird da das ist die 1. Ableitung wie gesagt immer nur das gleich mit einer Dimension müssen um welchen aber das kann man so ein bisschen vereinfachen es ,komma aus jedem Summanden 2 e hoch minus x Quadrat -minus y Quadrat vorziehen dann bleibt stehen vor dem in der 1. Zeile vom 1. Summanden und vom 2. Summanden -minus x Quadrat -minus 2 y Quadrate und das Spiel nicht genau -minus x 5 3 -minus Brötchen und parat X ich und von zeigen und 2 der 2. Komponente bleibt den 1. so meinen wir bricht 13 an und zeigen so meinten -minus x Parade Zählern -minus 2 y hoch Wales Beamer einfach ich
Knochenstück sehen Sie gleich warum im 1. Summanden gar nicht im 1. Komponente keine und X vorziehen wenn ich einst -minus x Quadrat -minus 2 y parat und in der 2. Komponente kann ich y vorziehen 2 -minus die 2 3 -minus war y war da wir suchen wir kritische Punkte also das soll bitte schön der nur der versagt denn sie ein Ding was immer passiert wenn man mit man seine Funktionen diskutiert wie kriegen für die kritischen Punkte ein Gleichungssystem mit so vielen Gleichungen wies Variable gibt es zum Beispiel nach es eigentlich nie nen Jahres beim System es sei denn Sie haben es sehr einfach vom tun nicht sondern sie ja meistens so was Häßliches wieder stark und jetzt muss man da dieses Trends ist gelöst lösen und dabei Tomba Fallstricke noch insbesondere ein möcht ich gleich hinweisen also was ist unser Gleichungssystem ist denn da oben muss nur sein dieser Vektor wird vor Faktor zweimal Jochen -minus 6 gesichtswahrende 17 Ankara des garantiert nie nun weil die Funktion nicht nur des und 2 ist auch höchst selten 0 dementsprechend ist unser Gleichungssystem x-mal 1 -minus x Quadrat minus 3 y parat gleich 0 in der 1. Gleichung bei der Gleichung y mal 2 -minus die 2 3 -minus 2 y Quadra welchen welchen einst das ist gleich im 2. beweist jetzt ein 4 über Folter und grundfalsche Reflex ist ist zu sagen ich könnte es mal 1. gleichen durch weil gleichen kürzlich auch durch y wenn sie es die gleichen ich X kürzen kriegen sie aus 6 Quadraten ist bei y Quadrat bei 1 wir egal also so kommt gleich aus und wenn sie das machen und das Ganze ausrechnen dann kriegen Sie keine Lösung aus also werden und was dabei das Problem ist Sie dürfen diese Gleichung natürlich X teilen ja sogar ängstlich 0 aber nix neues und sie teilen die gleichen durch x dann werfen sie alle Lösungen weg wie er auf die x-Achse die auf der Zeitachse leben das heißt diesen Fall bevor sie das X durch Teilen wirklich schön und ganz gefälligst werden gesondert behandelt also was passiert wenn X gleich 0 ist dann ist auf jeden Fall mal die Gleichung 1 erfüllt und wir müssen uns dann nicht mehr kümmern und die leicht gleich um 2 die vereinfacht nicht ich
habe oder ob sie dann mal 2 -minus 2 y Quadra halte ich nur wenn er dieses nicht mehr so schwer zu lösen man Mama das also es muss entweder y gleich 0 sein oder 2 -minus 2 y Quadrat gleich 0 also 2 gleich 2 y Quadrat und das haben Sie genau dann wenn y gleich 0 ist oder y Quadrat gleich 1 also für y gleich 0 oder Y gleich 1 oder Erzählern leichten ist immer 3 Lösungen 0 0 0 1 0 0 -minus Don jetzt wird in 3 Lösungen gefunden haben dann können wir im 2. Fall verwenden und was passiert wenn Aids nicht 0 ist und man es nicht neu ist dann den 1. gleichen richtig sein und wir Tores ist also wenn jetzt nicht neu ist dann wenn wir die 1. Gleichung ich X 3 und fliegen raus 1 -minus x Quadrat minus 3 y Quadrat 0 sein was oder anders gesagt weiß -minus x parat minus 3 y Quadrat gleich -minus einst war dass da hab ich das so krude mit den ganzen Minuszeichen dahin was hab ich deswegen so krude mit den ganzen Minister in teilnehmen weil es nur besser einsetzen kann das Blatt nämlich -minus x gerade Minister y Quadrat können sie wunderbar Hiromi die 2. Gleichung einsetzen und ich -minus 1 ersetzen wir das machen ich dann aber die Sache im Prinzip sagt aber so
setzen dass 1 2 Na dann haben wir also 2 war war es zwar nicht weil sie noch mal den Ball Y mal 2 -minus x parat -minus war y oder welche 0 und werde jetzt bald gefunden -minus x Quadrat -minus bei y bereitwillig ich mit 1 zu 1 also kriegen wir Y mal 2 -minus 3 -minus 1 ich 0 das heißt y 2 +plus 1 bereit 3 y Gleichmut .punkt man bei plus Mindestalter und dort war egal ich jedenfall kaum draußen zu ungleich 0 was heißt sehen Sie jetzt wenn X 0 ist dann kriegen wir 3 kritische Stellen man x 0 nicht 0 ist da muss und immer 0 sein was also wissen wir jetzt y 0 muss kommen die 1. Gleichung einsetzen wie lautet dann 1 -minus x Quadrat gleich 0 das Beben war auch noch gelöst das ist genau dann der Fall wenn X 1 legt man das hat so einsam ist was mir Fall 3 quasi stellen außen 2. Fall noch mal 2 insgesamt 5 kritische Stellen dazu nochmal alle dem Gott also es war zum 1 0 0 0 1 0 minus 1 das war der 1. Fall und aus dem 2. Fall aber noch gekriegt 1 0 und -minus 1 0 wir sehen Sie wenn Sie am Anfang die beiden Gleichungen erst mal rigoros mit XY geteilt haben nein sie eine Lösung mit x gleich 0 und eine Lösung bezwang ich nur weggeworfen und dann gar keine gekannt warten was deutsch Thomas Mann geht an was sind das für Punkte wer diese Stelle 0 0 es ging da unten da sollte man daraus bin das das minimal Stelle ist dann die x-Achse ist die Standards ist die also 1 0 es irgendwo hier das ist der ja -minus 1 0 ist der Berg 0 1 ja so 0 -minus 1 ist der hier vorne der Papierkassette hier das sollte bitte schön sagte .punkt werden und 0 1 ist hier hinten noch mal die hier im irischen Kassel also dann tatsächlich die kritische Stellen von der Funktion gefunden aber Männer meist aber natürlich das nicht der Mann rechnet das und das Bild in die sich vorstellen zu können aber jetzt ist das ganz gut um das hier mal ich verfolgen doch was müssen der setzt nach ja die kritische Stellen müssen überprüfen ob das maximale minimal sind mit unseren saartext bei also Überprüfung und der britischen stellen was mit den hinreichenden Kriterium auf maximal stellen also der Satz Becks 3 Brot was sagt der Mann der die die 2. Ableitung aus ganzem es gewohnt ist also rechnen wenn bei Ableitung aus ich bei klei Viet jetz insofern als dass ich ihn die einfach
wandert rechnet sich das erspart mir einige peinliche verrechnen kann sich also auch wenn sie das tut ein soll ich machen sie sich denn da die Hände von vollen herleiten den 1. Komponente nach X aber entgegensehen die 2. Ableitung zweimal nach Nancy nix differenziert die kommen die obere linke Ecke der 1. Matrix und Matrix hat wieder so ein Vorfall aber bei allen Ableitungen wird sich dieser Funktion reproduzieren und wenn sie jetzt sauber nach x ableiten ich es doch gemacht hat dann kommt hier als Faktor raus einst minus 9 x Quadrat -minus 2 y Quadrat plus 4 x hoch 4 plus 8 x Quadrat y Quadra müssen sie spätestens warum ich hin das nicht heute er so wenn sie die den gerade entnehmen 1. kommt oder und die 2. Komponente nach x differenzieren wenn Krisen ein durch den Eintrag in The Matrix und Links -minus 3 x y mal 3 -minus die Quadrat -minus 2 y Quadrat mal den Vorfall wurden alle Ableitung gemeinsam haben man sie müsse sich jetzt die 2. Ableitung die 2. Komponente des gravierenden immer die noch y mit und die nach links differenzieren wie die 1. kommen und sie dann differenzieren denn es steht hier oben es können sich aber schenken weil da kommt das gleiche raus wie einem wie sie dies ist Nachrichten symmetrisch einen Satz von Spar und was sie noch brauchen ist dann auch y differenzieren und es gibt hier unten 2 -minus x parat -minus 10 y Quadrat wer Lust 2 x Parade y Quadrat Lustspiel y hoch die to also richtig Langnese Matrix das gute ist der The Matrix als Ganzem Besitzer ausrechnen aber müssen damit nicht mehr viel machen müssen um unsere kritischen Punkt einsetzen um wie man eindimensionalen auch sie rechnen die 2. Ableitung aus und schauen sich an was macht die 2. Ableitung an den kritischen Stellen 1. kann sich der Leser 0 0 1 1 X 1 10. sind 900 nicht viel übrig er auch neue wie hoch minus 0 , war hoch 0 ist 1 das heißt das bevor der Vorfall ist zwar n und was wert innen drin stehen na ja alle und meinten die wichtigsten Apps und Inhalten fallen weg befestigte er einst in den beiden Diagonalen neben der immer steht 0 weiter in Bonn mit XY wurde gibt manche und stehen 2 sehen die 1. Matrix 7 0 0 ist man relativ übersichtlich und von den müssen wir jetzt entscheiden ob sie positiv oder negativ das heißt positiv definiten negativ definiert ist also eine man BTX eilends aus für alle x oder wir gucken uns die Eigenwerte an oder weggucken und Unternehmen waren an in dem Fall ist es sinnvoll die Eigenwerte anzuschauen weil die Springer 1 ins Auge also was sind die Eigenwert dieser Matrix die ein als die Matrix ist 2 0 0 4 liegen vor Faktoren und das Runde ein Matrix also die Eigenwerte 2 und 4 und 2 und 4 sind beide positiv das heißt diese Matrix ist positiv definiert und das bedeutet bedeuten
.punkt Joan an an der Stelle 0 0 n e in Ha also Unsinn ist Geld da ein richtig sein so Wassermann noch müssen den nächsten kritischen Punkt einsetzen ist der Punkt 0 1 wenn Sie 0 1 nehmen haben sie vorne 2 mal e hoch minus 1 also 2 durch E war sie in der Matrix alles wo X steht fällt weg und alle Y 10 1 Watt bleibt in den 1. ausbog 1 -minus 2 1 -minus 3 das ist -minus aber wir 6. 0 das heißt die beiden neben jemand Aldinger sind wieder 0 hat unrecht wenn sie da x gleich 0 setzen und Y gleich 1 beim kriegen sind 2 -minus 10 +plus 4 2 -minus wenn wieder 6 -minus bin also -minus wir mit Blick auf das es will dir wohl danach die ihre eigenen sofort preisgeben -minus 2 durch die und -minus hierdurch E wissen es beide negativ also haben wir den negativ definiert Matrix und das bedeutet an der stillgelegten Maximum vor ich kann das weiß nicht mehr 0 1 X ist 0 y ist 1 alles Anderson Gott und es 0 9 1 1 das muss man der hier sagen wir dass jede kleine Andersen über dort dann kommt der Punkt 0 -minus 1 im Kölner kurz abhandeln weil der Senat Tricks an .punkt 0 -minus 1 =ist gleich 1. nachsitzen .punkt 0 1 wenn sie einmal mal besser nach 6 reinschauen SY geht den oder quadratisch oder auch 4 ein Komfort Teilchen nicht zum tragen das gleiche gilt für Sex also die beiden in diagonal Dinger gewissen Ableitung sind immer immer immer neue weil immer XY vorne steht und bei den andern in die y x jeweils nur quadratisch oder auch 4 1 deswegen sind die Vorzeichen nicht deswegen sind auch die beiden anderen kritischen Punkte die wir jetzt noch übrig haben sich nämlich der
haben noch 1. Matrix stellen -minus 1 0 und 1. Matrix einen späten 1 0 da kommt raus wenn sie es einsetzten 2 durch li -minus 4 0 0 1 also Sie haben ja als Eigenwerte -minus 8 durch und 2 durch ihren das ist jetzt der Fall ein Strick positiver einstrich negativer Eigenwert also das die Matten in der sie nicht und das heißt wir haben hier kein Experte das sind die beiden was von da drüben am gut also der Rechner seines Mehr das gut muss sich keine neuen Satz merken das eindimensionalen tut weiterhin wenn man die richtigen Ersetzung von dem damit ich unseren kurz Lauf durch die Differenzialrechnung mehrerer veränderliche beenden aber natürlich immer noch beliebig viel machen aber ich denke dieses dieses Thema Extremwerte habe aber abgehandelt aber noch ne Frage bevor nein die eigene gute Frage weil negativ wollen sie die wie das alle so positiv negativ des Mieters aller Eigenwille sind negativ was sich abwechseln Moos sind diese Unternehmen waren diese oder kann also wenn sie den negativ definiert die Matrix haben schreit meine ganz besonders banalen na dies negativ gestimmt weil das ist -minus die den Täter haben sie X X X -minus Identität X 1 kommt daraus -minus mit Partner nicht wir sehen Sie schon alleine werde sie -minus 1 ist Mehr was immer abwechseln muss man diese unter der Therme wenn sie diesen Termin an nehmen sie -minus 1 ja es bis plus 1 x des wieder -minus 1 und so weiter +plus 1 -minus 1 plus 1 das war das jedem abdeckt aber die Eigenwerte sind alle negativ nur mehr sagen es einfach normal diesen Abschnitt 3 11 anschauen waren wir positiv und negativ mich nit eines bin ja ja ja immer seinen Bildes komisch ist mir auch aufgefallen aber ich kehre ich vielleicht hier nun ja es ist irgendwo und viele entweder in der Rechnung oder in dem Bild oder Öl oder das immer mir Blacklight Achsen irgendwie bei keine Ahnung was ist bald den ich Ihnen zu ich bin aber jetzt nicht danke also wenn findet darf man werde man aber wegen der Satz es trotzdem richtig er ist lange Jahre erprobt in der wurde schon sehr oft mit Vorlesungen tätigten ich bin wo sie ist weil es wärmer beim Bild oder bei der Rechnung was schiefgelaufen aber ich denke ich dies nicht die spezielle Rechnung wichtig ist dass sie die immer sind mitnehmen ist alles eindimensionalen wenn sie die richtigen ist es richtig der G ersetzen die das Hotel noch weiter baggern gut mehrmals meist ein kurzes Häuschen und dann werden wir uns dem integrieren Blut ich würd gern in 2. Hälfte beginnen der auch Grad die Bestätigung gezeigt gekriegt die Rechnung was nicht gerecht sogar richtig das Bild war falsch eingeführte schnell glaub also eben man kann sich besser auf das Bett verlassen ich hab wahrscheinlich einfach beim Eintippen die Wechsels zur vertauscht was was gut also wie gesagt er wolle uns der Integration zu wenden also Indikationen den reellen Zahlen in das ist der Abschnitt 7 wenn er eigentlich von der Anlage her was völlig völlig anderes also es geht jetzt ich werde Steigungen und um differenzieren sondern um was anderes geometrisches der Moderne Funktion gegeben war
wurde mit der Wahl üblicherweise als das ABS am sowie Funktionen und bevor vorlegt und die Frage des entsprechen Leute seit der Antike umtreibt wie groß ist dieser Flächeninhalt und Core das ist die grundlegende Idee und grundlegende Frage von Archimedes bis heute eine spannende und natürlichste Sache einfach so lang dass die Chorda darum also die Funktionen wie gerade ist oder so was nicht immer das sind und wenn die Kohle da gebogenes dann wird's schwierig und einige sind völlig anderes Problem und witzigerweise landet man am Schluss wieder weil Differenzialrechnung ist eigentlich eines der großen Wunder in der Mathematik was hat was hat dieses Flächen Probleme mit der Steigung zu tun aber es hat das werden wir sehen wie er BU-Rente ja und es ist auch ein Beispiel dafür wie lange manchmal Dinge der Mathematik abhängen müssen also n die Frage wie große werden welche Flächen unter welchen Kurden hat wie gesagt schon Archimedes mit massiv beschäftigt damals so Fragen Kreis klar Kreisfläche aber auch zum Beispiel und einer Parade und dabei verschiedene sehr feinsinnige geometrische Ideen gehabt aber nicht die Theorie ist nicht herausgekommen und dann tat dann sehr sehr lange dauert und die 1. Integral Begriffe die dieses Problem also grundsätzlich lösen stammen also ich ihn hier vor wir es dann der 1. von Bernhard Riemann das heißt Ende 18. Jahrhundert Anfang 19. also mal schlappe 2 Tausend Jahre drüber nachdenken dann kommt auch was bei raus im Gegensatz zum Differenzieren gibt bei dem es einfach die Theorie geht dann fertig mit dem integrieren mehrere verschiedene die 3 Begriffe das braucht sie gar nicht zu verwirren ich sag das nur Feist gewinnt man ihm einen anderen Weg läuft diese ganze Schiene die 3 Begriffe unterscheiden sich im Wesentlichen in zwar für die Mathematik sehr entscheidende Nuancen aber trotzdem Russen also natürlich wenn Sie so sonnige glatte Funktion 1 einem ist der Flächeninhalt einfach 17 und dann ist der 7. diesen ausrichten aber in aus unterscheiden sich sehr aber für uns reicht wir bleiben ganz klassisch beim Riemannschen also dann im grob den ja auch in die einfachsten und 1. und wie geht wie man das Problem an es stellt sich wieder raus den scheidende das entscheidende Ding was man braucht ist begrenzt wird und gesagt die ganz alles ist besteht aus der werden alles andere ergibt sich auch in weil natürlich diese schon darum gebogen ist müssen wir irgendwie einen Grenzwert arbeiten und was man normalerweise macht ist gut dass wenn sie kennen man unterteilt das Intervall in Stückchen was heißt da normalerweise x 0 das es x 1 x 2 x 3 sowie für viele Stückchen gemacht X 5 und es beim X 6 war und dann nimmt man einfache Geometrie wo man die Flächeninhalt ausrechnen kann das wären zum Beispiel recht gegeben also Teilnehmern liegen hoch es war und ist wenn auf jeden Gesängen der Wale den minimalen Wert der Funktion man schaut sich das zugehörige Rechteck an als in diesem Fall wäre dass dieses Recht nicht hier unten und den Maximalwert der Funktion auf dem 1. Intervall den hat man hier oben Decke großes Recht was machbar für jedes Intervall das am 2. dabei wäre das das richtig mit minimalen Wert der maximale Wert liegt hier in diese beiden Rechtecke demnächst der Wahl ist das der minimal und dass der Maximalwert minimal Weltmarkt immer wird was noch die Weise kann man die Funktion zum einen vom unteren durch eine Fläche annähern also die Annäherung der Fläche von unten wäre man addierten Flächeninhalt dieser rechteckige auf diese richtige zusammen garantiert zu wenig Fläche für den ganzen Flächeninhalt und an Mann die ganzen großen Rechteck der dir die auf den Namen und zu viel und jetzt nach Bonn über kleine Unterteilungen und Mord das wenn man jetzt eben Unterteilung wie ich klein macht die er welche Inhalte die man von unten kriegt irgendwas was konvergierende die Flecken hält die von oben kommend liegen was konvergieren zwar messen bei dem das gleiche und das ist eine Fläche ab Reiseziele der Grenzwert Begriff 3. Tor das Programm wie ich jetzt Dauer machen und das 1. was wir brauchen ist eine technische Definition was war das 1. was wir gemacht haben wir unser Wahl und so Intervall in Stückchen zerlegt das ist war es eine Zerlegung das heißt dann auch gleich so also wir haben 2 und Intervall a b aus deiner SPD natürlich das ist kein schönes Intervall und eine Zahl n aus N Stern ist ist die Anzahl der Unterbrecher Punkte und denen eine endliche Menge zählt von Punkten x 0 X 1 bis Xn das sind Punkte im Intervall a b dass man eine Zerlegung von dem Intervall dann sei es diese .punkt der in das Intervall zerlegen das heißt der 1. Punkt
sollte bitte schön sein also x 0 sollte aber sein das X 1 strikt größer das X 2 ,komma größer und so weiter ist X N -minus 1 noch strikt kleiner als die Zellen und ich werden sollte besser es ist eine Zerlegung dem Namen wieder zu und dazwischen ähnliche .punkt ich habe jetzt nicht dass die Äquidistanz ändern was sie sind einfach dazwischen da sie sich prächtige dürfen verschiedene Breiten hat das ist einmal so manches numerische Belege ganz praktisch kann man natürlich wenn man die rechte Ecke wenn man immer nur endlich rechnen kann da kleiner machen wo die Funktion sich viel bewegt und Stellen wo die Funktion sich langsam dahin schleicht und größere richtig in den kalten deswegen ist es sehr praktisch sich da nicht auf Äquidistanz festzulegen wer dafür noch da waren das ist das 1. das is bänglichen relativ Nalini Begriff ist einfach die Zerlegung des sind ist in diese Teil Intervall die die dann den man das Intervall zerschneidet es sind die XJ hat meinen dass der das ist einmal ein von der Definition ja
was wir jetzt brauchen ist was brauchen Sie um die Techniker die Verdächtigen auszurechnen sie brauchen die Breite der rechte Ecke und sie brauchen die der Rechtecke die Breite der richtige kommt aus der Zerlegung des der richtige kommt von der Funktion also Wärme Funktionäre auf diese mittlerweile gegeben unternehmen alles was jetzt kommt gut 7 8 es möge die von vornherein und grundsätzlich beschränkt werden zu bis in die gehen jetzt nur beschränkte Funktion und sehr bedroht eine Mondsonde Zerlegung Mehr und dann können wir unsere rechteckigen mal wird und so richtige definieren was brauchen wir um das Recht zu fassen um die Flächeninhalte von recht Ecken auf auf zu summieren selber erst mal das die Grund Seite des Rechtecks das ist das Intervall von XJ -minus 1 bis J das ist das ein Stückchen von dem von und sah mit dabei dass durch die Zerlegung gegeben ist naja dann brauchen wir die Länge von diesem Intervall Städtchen ewig mit Betrag J schreiben Betrag von der Menge ist ja was komisches meine ich jetzt in dem Fall wir haben man kann es das Maß ändert einfach die Länge von dem Intervall werden Sie die Länge von so mit der Wahl aus weil das ist obere Endpunkt -minus und drehen .punkt also XJ -minus das ist die Länge der Grundseite des Rechtecks des brauchen Sie noch die Höhen Rechteck das hat mir gesagt wenn dem auf dem Recht auf jeder auf jeden Fall dabei 2 Rechtecke was mit den kleinsten Funktionswert erst für das mit dem größten Funktionswert als für also die kleinere will nicht kleine NJ Leinen ist bis in den Morgen aller Welt auf wie hat einen und die größere ist groß NJ das ist das Suprenum aller Werte die f auf dem Intervall J an und das als alles PJ von 1 ist der damit haben wir die Bausteine aus denen wir unsere Näherungen durch die richtige zusammenbauen können alles kommt die kommen die den werden so man das ist die Definition sagen 2 also alle unsere Dinge die wir brauchen sein so wie vorher also damit das Intervall a b Dame Funktion f Strauß und haben Zerlegung vom Intervall also das alles Win 7 1 zur was wird aus Rennen wollen sind die gleichen Inhalte der Rechte Bild mehr
ich bin jetzt mal ein bisschen obere Zerlegung bringen zur dann das hier ist dann die 1 das ist die 2 dass es die 3 sich diese Höhe hier wäre das kleine M 1 diese Herr wäre das groß MAN zum zur des rechnen wer gesungen von Rechtecken aus der des kleinen rechte Ecke also summieren über alle Teilen der Wale mit Tag 1 bis n echt nicht welche ist kurz bei man Seitenlänge an die Seitenlängen gehöre ist in dem Fall kleine J und die Seitenlänge wo unten ist dieses Betrag von ihr dass sie länger von dem Intervall und dieses wieso Summe davon das ist die Summe aller untere rechte Ecke und die bezeichnen wir jetzt hier mit Essen unterstrichen unten 11 von wir diese Summe hängt davon ab welche Funktion f sie haben die geselligen setzen nehmen unterstrichen soll andeuten dass sie die kleinen Rechtecken nehmen wenn sie großen Rechteck in denen ich das Ding es ober strichen von der von Celle und das ist die Summe JA gleich 1 bis n großes MJ Betrag von ihr das Erste Ding heißt runter Summe von 11 auf 10 Grad und das 2. die nennt sich die Ober Summe um und wenn ja welche unsere Funktion Flächeninhalt und hat alles nachher gut geht dann ist die runde Summe definitiv zu wenig und die Oper so definitiv zu viel und die Hoffnung der sie jetzt wir die Zerlegung immer feiner machen wird die Untersumme Internet den Tendenz kleiner werden der größer werden die Oberson in der Tendenz kleiner werden und die beiden müssen sich ermitteln wie treffen und wenn die sich da es treffen dann wenn wir das dass endlich ein zur Welt ,komma Einkommen noch eine relativ offensichtliche Bemerkung aber es ist nur gut alles ist sie zu haben egal welche Funktion f nehmen und egal welche Zerlegung sie nehmen die Untersumme ist in kleinen Welt der Oberst aber Supremo von Funktion auch mit der einen Hand gleich er zu prima Kurse welche Menschen und ist es groß J es einfach immer größer es ist ja das heißt die beiden Drogen sind zum einen die eines Summanden weil sie kleiner als die andere also der das Endergebnis kleine rauchen und jetzt kommt der Moment wo wehrt er zu beliebig fein Zerlegung übergehen ich ihn gesagt was steckt ist begrenzt der Begriff und Sie werden es gar keinen Grenzwert bin das liegt daran dass sie irgendwie schon erwähnt diese Zerlegung wenn sie immer feiner machen es klare sie Ukrainern machen wir die Oberson befreien und Untersumme war wachsen und damit hält der Grenzwert in dem was wir zu definieren ist mit dem Supremo mit demselben in dem Mumbai und das wenn wir verwenden Zeus kommt also den Scheine Definition Definition von verminte gerade unter Injektion 7 Pia also das gleiche zählten die vorhin schon während 2 Herr Zahlen a b a kleine jedes Intervall auf dem integrieren wollen und beschränkte Funktion unbeschränkt muss die Funktion des sein bei sonst 7 passieren kann da sind es eben nur das Prägung nicht existierte um das Brioni existiert er die ganze die die ganze Konstruktion nicht so so was schauen wir uns an aber wir schauen uns an die
Menge aller Untersuchungen also wenn man so uns alle möglichen Zerlegung von Abi ja so und berechnet für jede Zerlegung die unter Summen und gucken uns alle alle rauskommen wenn alles gut geht sind alle diese untersuchen natürlich kleiner als der der mir die gerade gehen wollen alle die so oder so man ein Wert der kleiner ist als die Fläche die Daumen runter nicht so also dass diese Mängel Hochwasser einig nach oben beschränkt und ihr so drehen um diesen super Kandidat das Integral er was in dem sich alle möglichen und so Mehr mit ein noch so fein Sättigung und dann nehmen Sie der so den Supremo wenn das nicht dass es egal ist was so sein dass nicht gerade Flächeninhalt ist was und wer aber sehr sehr vorsichtig und weil dies nicht wird dieser Junge hat existiert oder ob dieses Suprenum mit den nicht es nach 1. Untersuchungen rauskommt zusammenpasst und deswegen nennen wir das hier erst mal wenn sie existiert das untere Integral ich mache so und Strich drunter bei so dass es ist das untere Integral von 11 auf der Mehr oft auf dem Intervall a b ü diese nur die horrende Summen verwendet alle unternommenen waren alle für jede Zerlegung oder mal ausgerechnet das darf man das so bringen im gleichen Spaß kann man natürlich mit dem Ober so machen aber es gibt eine sogenannte obere Integral A bis D oben unterstrichen oben überstrichen Evonik das ist jetzt das den für Mum über alle möglichen Oberson also dem wieder alle Zerlegung zählt das Intervall ist berechnen wie jede Zerlegung zählt nicht den real aber in Gedanken die Ober Summen und wilden davon dass ich der sehen weil alle Oberson werden mehr sein als die Fläche die sie und ihre Funktion haben und wenn sie es immer feiner machen sollte sich das annähern sie in Führung ist also guter Kandidat kann werden wer das und die Kraft dort Mehr natürlich nicht zugeschrieben es ging heißt ein oberes Integrator also es is ober Integral von 11 auf diesem Intervall und jetzt kann es passieren dass wird passieren nicht auf zu heute nächste Woche werde ich noch ein Beispiel zeigen wo das passiert dass sie das obere sind egal ausrechnen und das unter Siegern ausrechnen und werden einfach nicht gleich was immer geht es dass das obere Integral größer ist als größer gleich dem unteren ist aber es kann eben leider passieren dass ich übereinstimmen will dann geht das ganze Verfahren Schicht wird was macht man immer wenn so was ist das es per sein an das ist was schief gehen man definiert sich alle die die
Funktion 5 als schön für dies nicht schief gehen wenn man eine Funktion schön wenn das Verfahren nicht schief geht und alle anderen sind Spielverderber mit Flügeln als wenn jetzt Teppiche Verfahrensmangels aber also wenn man die Funktion f auf dem Intervall a b e n ist sagen nicht schön sondern Riemann integrierbar war aber das ist eine andere Formulierung für schön vor ja oder auch einfach kurz integrierbar in diese Riemann Vorsatz wie gesagt kommt daher dass es verschiedene Integral Begriffe gibt und je nachdem dieses Integral aufbauen ist definieren den Papa das Paar pathologische Funktionen die bei der einen beim einen die Grey begrifflichen die Gräber sind wir uns dann und dafür wieder andere nicht unter einem deswegen muss man eigentlich sauber unterscheiden was Riemann integrierbar was bewegen die wir waren das noch die anders integrierbar ist aber wie gesagt im normalen Leben macht das 3. wenig Rolle also gut bin deswegen die man plane dann meistens nur die Gräber sagt zum einen wissen sie wenn unser Spielchen funktioniert wenn also das untere Integral von 11 im gleichen Wert liefert wie das obere Integral von 11 ja und wenn das der Fall ist dann werden wir diesen eindeutigen zahlen wir tatsächlich das Integral von allen ja also dann ist das weil das wenn man die 3 von oder einfach wieder nur Integral früher auf dem Intervall b also das wir nach den es wächst alle die pathologischen Funktion aus da diese Töne Idee wenn Nähe von oben und von unten und sein wird an einfach nicht funktioniert und wir die dies funktioniert ja also in meinem denn der war und wer die aber damit Integral definierter to die Frage ist jetzt wie er was allerdings 2 natürlich fragen 1. es war gibt überhaupt Rinaldi Leberfunktion man definieren und Ziele an sich auch kommen QC Grüne Monde definieren gibt da keine und 3 der Frage also da anschließen sind wenigstens ziemlich viele Funktionen weit denn er war nur so ein paar Exoten aber er 13 wesentliche Fragen ist wie rechnet man das aus bei natürlicher keine Lust denn die Zerlegung durch CX nur das Supreme und das Inferno man das alles sagte Gleichnisse Wahnsinn gut es ist weitere Programme und wir werden es in nach erkunden das Erste 1. was ich gerade schon sagte wir könne nicht sicher sein dass das obere und das untere Integral gleich sehen aber daher dass einer alle Untersuchungen kleiner also das immer die runde Summe kleiner gleich der zugehörigen Ober Summe ist können Sie zumindest eine Ungleichung die immer gilt das untere Integral bisher die Annäherung an den Flächeninhalt von unten approximiert war auch naheliegend ist immer kleiner gleich den oberen Integral wenn Sie werden helfen undurchsichtigste Bar approximieren davon Subprime und Intrigen sind sich weniger raus als wenn sie und oben approximieren davon dass in Stimmung und das 2. wie in kleine Vorsicht Warnung weil natürlich motiviert Sie das Integral über Flächenberechnungen wo muss wissen auf was integral so wie sie definiert das berechnet ich wirklich schlecht war weil diese Bildung eher von XTX von A bis G
die zählt Flächen die im negativen also Flächen und unterhalb der x-Achse negativ ich das so gewollt und gewünschten es werden sehr alle kennen ich meine sehr wahrscheinlich in der Schule schon das ein oder andere integriert und gehen den Effekt ich wollte nochmal drauf hinweisen also wenn Sie der Funktion haben sie nicht so wie die die die ich vorhin gemeint hab schöne positiven bleibt irgendwie so ausgeht aber und jetzt der die das integral ausrechnen also vorausgesetzt es gibt welchen die Überfunktion zur Abwehr einer dann rechnet in das Integral diese Fläche hiermit positiv diese freche positiv aber die Fläche und negativ das ist das Ding nehmen dürfte irgendwas was bei 0 oder knapp über 0 raus ,komma die sich gegenseitig man sie wirklich was zu sagen welchen Inhalt im klassischen Sinne haben wollen das heißt diese Haider und auch positiv die er und dann müssen Sie einfach nur Betrag 11 integrieren also sollen diese Flächen auch positiv zählen dann muss man Betrag 11 integrieren
ich bin ich und wenn was passiere betrage 11 nehmen dann haben Sie die Funktion der hier sehr gleich betrage und dann klappt einfach dieser brauchte und mir hoch an und damit der auch positiv gibt der Mehr dann ist immer noch gut die Untersumme sind dem fahre des der kleinere Rechteck immer noch Gott nein ist nicht das größere kreischt oder wie war das größte ich nicht weiß sie es in dem der Funktion der Funktionswerte also wenn sie werden Dorje darin dabei haben ist die Untersumme das Kleid das Rechteck mit dem kleineren Funktionswert also dieses hier das rechtlich Untersumme Summe und das Oberson recht hat es dem größten Funktionswert es wei0 0 bei Traktor so will nun und und das muss auch so sein oder so muss immer kleiner gleicht Oberson sein der nur 19 meine ganze Argumentation von vorhin hinfällig wäre also in der Definition von Folter und der Sonne steht das kleine MJ und das kleine Emirat ist es eben von von der kleinste Funktionswert wenn Martin Groth macht im negativen großes rechne bei der zieht viel aber nur also diese Warnung steht jetzt einfach schon mal am Anfang damit sie das immer bedenken die macht jetzt mathematisch noch überhaupt keinen Sinn weil wie gesagt es ist noch gar nicht dass es auch Weg über Funktionen G außerdem selbst wenn es in die der weiß sagt denn dann das Betrag F in die dabei ist den Satz brauchen auch noch mindestens das immer sie haben wollen aber den müssen wir uns wenn ich Ihnen also da solche Dinge aber nur einfach jetzt schon mal darauf hingewiesen werden der Zusammenhang Flächeninhalte Integral ist nicht ganz so ganz so klar sondern das Integral rechnet Flächeninhalte und oberhalb des x-Achse positiven und halbwegs dazu to aber bevor wir jetzt weitermachen kann ich ihnen zeigen dass man auch mit der Definition schon das ein oder andere Integral austricksen kann und ich will Ihnen was ein Beispiel von einer nicht integrierbaren Funktionsseiten war natürlich brauche ich Ihnen nicht Angst machen dass es keine integrierbaren Funktion gibt wissen sie längst dass es die geben und dass alles was man so im Alltag findet auch integrierbar ist wegen dieses Gespann nicht halten weil dies nicht dort aber erst ein banales Beispiel wir gucken uns an eine konstante Funktion immer mal die Begriffe sortiert also die Funktion f sei einfach konstant C und Cisal in der Wille zur nur so dass die die DDR mal was ist das Integral ja klar zehnmal Intervall Länge aber dabei das dann richtig der den war länger aber das werden wir wie kriegen wir das über die Definition raus in dem Frage was müssen wir machen wir müssen uns eine Zerlegung nehmen das uns alle Zerlegung nehmen und alle Ober untersuchen ausrechnen was schöne ist da kommt gar nicht so viel Verschiedenes bei raus also wenn sich eine Zerlegung hernehmen x 0 x 1 besiegt n von A wie Gott das müssen wir dann an den dessen des kleinen ja dann das große NJ ausrechnen das kleine Emirat und das große aber was ist im J war der kleinste Funktionswert denn die Funktion f oder das ging um funktions die Funktion f auf dem Intervall J 1 der die zum konstant ist dann ist der das Briefe vom Ziel und das super und es auch C also sind kleinen J und großem wird gleich alle gleich Tee und zwar für jedes Jahr ich und dann dann ist das gar nicht so schwer die Ober und Untersumme auszurechnen was passiert wenn sie
die Ohren die Untersumme ausrechnen wie kleine erfunden und die große sind alle gleich also sind auch die Ober und Untersumme alle gleich also die Oberson es jeweils gleich darunter Sonne und ist in mir die war ja der ganze 1 können Sie hier groß oder klein MJ hinschreiben wie sie wollen mal die Länge von Intervall es großen J des konstant sehen also bleibt übrig J gleich 1 bis Ende der Länge der Intervall zur wieso Sommer über alle Intervalle in der Zerlegung was war die in der Intervall Länge von sonst Zerlegung sind derweil das war XJ -minus x J -minus 1 dort Summe aber dies zum Glück für alles und jedes kurzum ist nur x 1 -minus 6 0 +plus x 1 +plus x 2 +plus x 3 -minus x 3 besungen und so weiter haben da bleibt nicht viel von übrig und was übrig bleibt ist zehnmal der N -minus Mix 0 und das ist genau 10 Mal Windows machen kann kommt das raus was rauskommen sollte dass wir damit rauskriegen es das untere Integral von A bis B das ist das ist das Bremen über alle untersuchen wurde so müssen alle gleich das Supremo über eine ein .punkt in Menge ist Thema will -minus aber das Gleiche gilt für das in für über alle Oberson und wenn die gleich sind dann ist das auch das Integral ist Thema des -minus also wissen auf die Weise sind wenn es geht einen Sieg über Funktion ist es sogar ganz vieles gibt über überfielen die die Überfunktion ich eine konstante Doktor der und wir können außerdem gar ausreicht denn dass wir nicht zufrieden sein aber immerhin es wird Mehr so jetzt kommt das 2. Beispiel nämlich in gesagt man Mamas umgekehrt ich zeigen eine nicht integrierbare Funktion eine Funktion auf dem Intervall 0 1 nach ehren und ich besprechen sprechen schon ich werde von der keine Grafen mal Funktion hatte nahm die rechtliche Sprung Funktion und den damals nicht zu Unrecht weil die springen bisschen der den Wert 1 ein ein wenig X in zu AB gehören rational Sinn sie hatte 0 denn wer ABS 0 1 hat den Wert 0 an allen Stellen in 0 1 die irrationales einfach die ja also sozusagen der das Ergebnis einer Abfrage also wann immer Sie sich Sie geben der funktioniert Bezahlmodelle reelle Zahl sich nun 1 und liefert in 1 zurück wenn die rational war sie für den nur zurück wenn die rational an Funktion ist einfach der Entscheider ist dass die nationalen und kann sich vorstellen wie sie den Grafensohn zumal es mühsam weil es den 7 1 1 nationalen pro 0 1 Rational .punkt man dass man aber sie natürlich trotzdem das funktionieren und dieses dieses etwas unangenehme Dinge hat sich in der Geschichte ausgedacht Eis als Munition in einem längeren Streit darüber ob denn nicht jede Funktion beim integrierbare stetig oder sonst was ist und hat damit seine Kollegen die alle jagen sie damit und zeigen dass das bin ich nicht aber mal was passiert dann also erstmal von der
Grundvoraussetzung her passt das biegen und so schön aber das ist ne wunderschöne beschränkte Funktion auf dem Intervall beschränkt ist offensichtlich das heißt wir können unsere ganze Maschinerie anwerfen können wo man untersuchen bestehen und guten oberen unter Integrale und gucken ob da das gleiche raus kam wenn man uns also eine Zerlegung der vom Intervall 0 1 wir zulegen und sind dabei 0 1 in allen Teilen der Wanne mancher an das was sich mit den Ober und Untersumme also für jedes J von 1 bis n geht dann was was ist das kleine MJ das kleine MJ ist das in für um über alle wer denn ihr von 11 von X kann jedes Intervall sei es auch noch so kurz enthält eine irrationale Zahl war also ist das in dem vom über die Funktionen Intervall 0 egal was in dieser Weise nehmen weil in irrationale Zahl ist umgekehrt in hält aber auch jedes noch so kleine in derweil eine rationale Zahl das heißt in jedem x in jedem J gibt ein X das rational ist das heißt in jedem J wenn erst einmal den Wert 1 an damit ist das so primum ein wo schräges derweil wurscht welche Zerlegung Na ja damit denn die der Vagheit schon in den Brunnen gefallen nein das Getreide das für die Untersuchung die Untersumme sowohl an alle kleinen Jahrzehnt wollen sie können noch so oft also ist es endlich aufmachen noch so oft 0 addieren komme raus also in alle untersuchen 0 0 und was wir den Ober Sommer die Summen sind was die Oma Summen sind Summen wo MJ mal Intervall Länge das groß MJ ist egal welches Intervall sie haben einst also haben wir sie wieder die Summe die der legen da stehen die Summe über die der Wahlen ist die
Länge sind gesamt Intervall ist und dies 1 nein genau wie oben Summe dabei längst halten denn das gesamte Tor das heißt eine untersuchen sind alt 0 alle Oberson sind 1 jetzt denen wir das untere Integral das untere Integral ist das so gesehen und über alle untersuchen doch er aber laut der neuen wird auch nicht größer also das obere Integral ist es ähnlich alle Oberson die kleinste 1 von 1 1 7 7 Nummer 1 also ist ober Summe 1 das opulente Integral 1 dass unsere Integral 0 das was ich vorhin sagte was passieren kann passiert diese Funktion das Leben nicht Riemann integrierbar gesehen aber es ist trotzdem gilt die Ober Sohnes größer gleicht oder so machen so integrales Kurse gleich dem unter Integral das stimmt immer aber es kann in ich größer sein wie dieser Fall weil ich vorhin von anderen Integral Begriffen sprach das wäre so ein Beispiel von Sonne pathologischen gegen das Riemannsche nicht funktioniert aber zum Beispiel mit dem andere wechseln die gerade trifft ob er also Becken die hierbei ist das Ding aber nicht wenn man gut ich wollte ihn damit eben zeigen nicht alles ist integriert war die Frage bleibt interessant was ist integrierbar wenn werden wir uns nächste Woche mit meinem Freund hab ich ihn erst mal den Begriff serviert und damit hoffentlich wissen was zum drüber Wildtiere mitgegeben erstmal Schönes Wochenende und bis nächste Woche ab pro Tag ab ab
Graph
Variable
Quadrat
Kritischer Punkt
Menge
Extrempunkt
Nullstelle
Maximum
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Null
Richtung
Ebene
Punkt
Extrempunkt
Lokales Minimum
Maximum
Term
Gradient
Teilmenge
Weg <Topologie>
Quadrat
Kritischer Punkt
Minimum
Nullstelle
Inhalt <Mathematik>
Lineare Funktion
Ableitung <Topologie>
Matrix <Mathematik>
Verschlingung
Matrizenmultiplikation
Lokales Minimum
Maximum
Biprodukt
Vektor
Gesetz <Physik>
Zahl
Symmetrische Matrix
Richtung
Skalarprodukt
Eigenwert
Vorzeichen <Mathematik>
Nullstelle
Minimum
Lineare Algebra
Ableitung <Topologie>
Teilmenge
Kritischer Punkt
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Minimum
Gruppenoperation
Lokales Minimum
Maximum
Vektor
Ableitung <Topologie>
Richtung
Einfach zusammenhängender Raum
Länge
Matrizenmultiplikation
Summand
Vektor
Zahl
Kritischer Punkt
Quadrat
Eigenwert
Vorzeichen <Mathematik>
Kettenregel
Nullstelle
Ecke
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Lösung <Mathematik>
Faktorisierung
Variable
Kritischer Punkt
Quadrat
Summand
Gleichungssystem
Gleichung
Vektor
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Quelle <Physik>
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Gleichungssystem
Gleichung
Kritischer Punkt
Quadrat
Eigenwert
Rundung
Inhalt <Mathematik>
Diagonale <Geometrie>
Ecke
Ableitung <Topologie>
Standardabweichung
Differentialrechnung
Kritischer Punkt
Matrizenmultiplikation
Punkt
Rechenbuch
Reelle Zahl
Extrempunkt
Eigenwert
Vorzeichen <Mathematik>
Achse <Mathematik>
Maximum
Ableitung <Topologie>
Gradient
Mathematische Größe
Kreis
Differentialrechnung
Kreisfläche
Punkt
Glatte Funktion
Rechteck
Fläche
Zerlegung <Mathematik>
Zahl
Integral
Unterteilung
Flächeninhalt
Endliche Menge
Flächentheorie
Riemann, Bernhard
Mathematiker
Inhalt <Mathematik>
Ecke
Geometrie
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Länge
Summand
Momentenproblem
Rechteck
Ruhmasse
Zerlegung <Mathematik>
Zahl
Gradient
Summe
Menge
Betrag <Mathematik>
Flächeninhalt
Höhe
Inhalt <Mathematik>
Ecke
Summe
Ungleichung
Gewichtete Summe
Flächeninhalt
Menge
Kraft
Fläche
Zerlegung <Mathematik>
Integriergerät
Funktion <Mathematik>
Integral
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Physikalischer Effekt
Fläche
Rechteck
Zerlegung <Mathematik>
Integral
Integrierbare Funktion
Summe
Flächeninhalt
Betrag <Mathematik>
Flächentheorie
Funktion <Mathematik>
Länge
Punkt
Gewichtete Summe
Irrationale Zahl
Zerlegung <Mathematik>
Integral
Entscheidungstheorie
Summe
Integrierbare Funktion
Betrag <Mathematik>
Menge
Reelle Zahl
Rationale Zahl
Funktion <Mathematik>
Summe
Länge
Integral

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Integration in R
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 15
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34550
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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