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Gewöhnliche Differentialgleichungen, Problemstellung und Motivation

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ich genannt werden an der TU Darmstadt
zwar Gemeinde in guten Morgen und herzlich willkommen noch nochmal zur Erinnerung ich denke meistens ist präsent nächste Übungsblatt also das 11. ist die Probeklausur das heißt für alle am Freitag und Montag findet das ganz normale Leben Übungsgruppen statt schreiben die US-Gruppe diese Probeklausur und für alle Donnerstag sollte die definitiv diese Woche keine Übung haben in den nächsten Montag wieder den Hörsaal A 0 1 hier unten drunter Montag 13 Uhr 30 und dort in Wirklichkeit eine Probeklausur zu schreiben denn es gilt der gleiche Spruch wie letztes Jahr letztes Semester er in die klar so es von ihrer Wertigkeit relativ niedrig Riesenzelle wie eine Ausübung der insolventen 7 der Probeklausur so viele mogeln und L Urlaub es benutzen wie sie das bei jeder Ausübung auch dann er an der Name der ich jetzt keinen Stress das Sie müssen bedenken die einzige diese Betriebe sind sie selbst also nutzen Sie die Chancen ein dass Unterklasse Bedingungen zu schreiben und das andere ist natürlich ist die Klausel zur jene Tage verteilen aber trotzdem für alle dieselbe können sich also auch da eifrig austauschen da gilt das gleiche die einzigen die darunter leiden sind sie selbst weil sie keine keine ungefilterte Rückmeldung darüber kriegen wo sie stehen und das bedeutet umgekehrt einfach aus wenn es gründen die bitte an alle die jetzt am Freitag schreiben halten Sie die Klappe halten sie sich zurück und erzählen Sie nix keine aufgeregten Forenbeiträge oder ähnliches und den Leuten am Montag die Chance geben noch ohne er und allen vorgesehen die Klausel zu gehen gut das ist das dann waren wir inhaltlich ein letztes Mal wird Vorräte wurden nur Motorräder reinigen geblieben ich schreibe in die Definition nochmal auch also was wir hatten waren eingangs Signal an eine Funktion die wir abspeichern wollen die wir nähern wollen und die ist auf einem um 0 zentrierten Intervall definiert werden Na ja dann gab es diese technische Voraussetzung dass wirklich stückweise stetig sein damit die die gerade Einkommen existieren stückweise stetig war das 1. 8 begann das Intervall in Stücke zerlegen auf jeden des Stückes das den stetig die Bedingung dass ein ein da lege Punkten die längste rechtzeitigen Grenzwerte existiert in den hat oder wenn die Ideen der weder Wiederwahl Länge ist also die Periode die Frequenz die durch täte denn dann konnte man damit zu 11 die vorige Koeffizienten bestimmen in dem man über den Definitionsbereich vom 11 integriert und zwar das Produkt von 11 mit den Basisfunktionen der vorher 3 also mit dem Kosinus omega X N aussendet und mit den Seen das enorme Garics und was man dabei macht es es ja im sonstigen Basis Wechsel im Raum der Funktionen man stellt die Funktion f da in der Basis gegeben ist durch diese Sinus und Cosinus Funktionen und die Koeffizienten a 1 d n geprägt man so angenehm weil das eben was es ist und normal Basen gilt dass die Koeffizienten sicher Skalarprodukt ist weg das mit der mit dem Basis ergeben was da steht ist nichts anderes als das Skalarprodukt in immer mehr das war der Hintergrund und wenn sie die vor ihr Koeffizienten einen Bären haben wenn sie vorher einen schreiben die fängt an mit den absoluten geht eine 0 Halle des Heide erstmal wie gesagt willkürlich kann man an nach halbieren der Sinn von ist wenn sie nicht halbes schreiben kriegen sie um real 0 noch extra Formen wir müssen Sie oben den Sonderfall an 0 1 für der ist dann halt hier durch den die gerade die richtige mal Integral wenn man das um einheitlich haben will und sich diese Formel nicht allzu mühsam merken macht man das halbe Dorf wird der war und dann kommt der einseitigen und etwas den waren dem Fall jetzt 3 n gleich 1 bis unendlich Koeffizient einmal die Basisfunktion große muss in omega X plus spielen weil sie müssen Umwege zu Ivory Ray und wenn sie im Gesicht bis in die Sonne bis dem länge groß en seiner ganzes vorher Brüno R wir dort dem das war die Definition der vorher eine noch eine andere Möglichkeit wie man die vorher reiche die vollstän interpretiert der stehen kann und an wenn man aus der Signalverarbeitung kommt aus dem ja das ist bei mir Elektrotechnik wichtig was macht ist man der Funktion f in der Heide und die zerlegt man in Inventar Schwingungen Grundstimmung und baut sich diese Funktion f auf als Summe von Cosinus und Sinus Schwingungen also die Frage ist wie können Sie es besamen bauen aus er ja aus auswählen der das ist die bei dem der Kurse die vor ihrer entstehen und das ist natürlich der Signalverarbeitung denkt oder vom wurde Modulierung von Signalen die spannende Frage welch große mussten Sinusfunktion wo sich wie er dir dass ich meinen wünscht das Ausgangssignal Produkte zur dann aber oder zur Einzelbeispiele NRW sind ein Beispiel gerechnet will ihn jetzt noch ein 2. zeigen das ist das Beispiel 10 10 10 wir der strapazieren wie die vorige beide mal ist aber der bis dahin wo die Regularität nach reicht es ich mehr jetzt mal wirklich stückweise stetige Funktion die aufspringend werden das 1.
Beispiel dafür die Funktion f von x legst das da was Schönes und jetzt schauen wir uns an die Funktion eine Funktion die wirklich springt nämlich im Wesentlichen die Segnungen Funktion der also ich bin mir auch in der weinendes Kiki den ich Intervall Länge 2 die hat das ist unser Standard Standardteile und er von Access Siegen und von X ist Vorzeichen von nix also -minus 1 wenn das X kleiner 0 ist 0 wenn das x gleich 0 ist und 1 1 X es beim dort einmal davon die Freude Qualitäten ausrechnen also unsere Funktion wie das XP minus 1 0 da einst die stückweise stetig verlegenes Intervall in 2 Teile Bonn wird gibt es morgen von 0 bis Pi auf dem linken Intervall sie konstant und schön stetig und dem zum rechtsseitiger Grenzwert existiert und auch konstant und schön stetig und links rechtsseitige Grenzwert existiert wenn sich die Definition dort weil sich die enorme ankommen stellen sie fest über den Wert an den Stellen an den Schnittstellen aber da überhaupt nichts vorausgesetzt keine Funktion machen wird sie will das ich könnte ab von 0 17 setzen das hat er macht dann stückweise stetig gar nix Capote zuordnen also die Funktion wollen wir da heute früh eine bestimmen das kann man natürlich machen eine brauchen das Geld bei sich die dich als Voraussetzung für die spannende Frage jetzt was hat nach wie vor eine der Funktion zu tun also wie bestimmt man die vorher Reiher muss die integrale integrieren und ich hatte ein letztes Mal Einsatz gezeigt dass es sich immer lohnt zumal kurz nochmal drüber zu gucken ob die vom Symmetrie hat gerade ungerade ist wenn man sich dann aber sparen kann wie funktioniert und gerade wer von minus x ist -minus f von x punktsymmetrisch zum Ursprung und wenn sie und eine Funktion haben dann sitzt man alles was Cosinus Anteil ist also gerade Anteil Feldweg A 1 0 für alle in allen und Sie kriegen die PIN in dem Sie nicht von mir dass sie wisse die sonore 0 bis die integrieren und den Wert verdoppeln also 2 durch die in dem Fall und Integral von 0 bis P F von X Sinus von allen omega X einiger ist ja bei 1 dies 2 P also sonniger 1 F von X denn das nx und in diesem Falle lohnt sich dieses über gerade oder ungerade gehen sehr weil wir nur noch von 0 bis die integrieren müssen was die ganze Fallunterscheidung Spahn zwischen und P ist unsere Funktion einfach konstant 1 steht einfach das Integral über Sinus zur Oase so das integrier ich dann und sehen was ist der -minus Kursen aus wenn Kurse North er von NX sind nicht ganz bei mir dieses beleidigte bringt wieder in raus also muss ich mit 1 durch in korrigieren 2 D E meine -minus 1 durch Cosinus NX in den Grenzen von 0 bis Spiel es nicht laut leise Funktion dort steht ab 30 B gut -minus Cosinus abgeleiteten Dinos und NX das in raus und so geht das einzig in der Sørensen Einsätze also wären in den 1. 2 dich entlieh mal wer der Kosinus an der Stelle Angie kommt es immer drauf an was SMS wenn gerade ist das ein Cent ungerade ist es -minus 1 bei der Kurse an der Stelle 0 der ist wenigstens nicht so kompliziert der S 1 also haben wir 2 durch NPE man 1 1 -minus -minus 1 auch wenn eine gewisse die dieweil Minuszeichen bei denen der verarbeiteten ja es gibt sehr 2 Wellen gerade in ungerade was passiert wenn n ungerade ist n ungerade ist dann steht da 1 -minus minus 1 das ist 2 also steht der 4 durch MP und man gerade ist dann nicht in der Klammer 1 -minus 1 das ist 0 also haben wir dann 0 wir per Du dann können Sie vor Schreiben also die pure Korge 10 sind viele ich n IP du ungerade enden und die Geraden keinen Fall war es also dass ihre
vor ihrer wir der die geben der 1. Herrn ist es gebe ich 1 mal P also werde ich die denn das von X The kommt die nächste ungerade Zahl 4 durch dreimal wie Sinus von 3 x es täte fünfmal P 7 das von 5 x und so weiter oder als Summe geschrieben gemeinsam verschiedene Weisen schreiben man könnte wieder schreiben in gleich 1 bis unendlich ende ungerade werde ich in die News von allen X oder des ganzen kommen mag K gleich 0 bis unendlich hier durch 2 K +plus 1 wie wir die weil Krieg bei auch es nur die ungeraden Zinos von 2 kabellos einst was sie vorher werden und die spannende Frage ist wie üblich was hat die Royals wieder Funktion zu tun die Folie 3 1. Mal worden kommentiert er was dieser Konvergenz ist wichtig weil die Konvergenz sagt Ihnen eine Reihe konvergiert und zwar gegen 11 wissen Sie die Nähe und der oder besser das ist das was man beim Lernen immer gern hätte es ist wieder so ein Fall sehen mit absoluter Konvergenz ist nix wenn Sie mal ich sage wir einen werfen und der sagen oder Sinus den könnte durch Einsatz schätzen wenn die das wie Einstig n also eine die wir gerne meine Rente gibt das heißt der Sinus muss sie wieder bei der Konvergenz helfen die Frage es kommentiert Erwartbares und anscheinend was über sollen Funktion sowas häufiger dann sollte man sich das mal anschauen ich für dieses Beispiel jetzt mal die wie das Bild mitgebracht er zur es diese Funktion f liegen um Funktion also erstmal in diesem Treiben des Babys die anschauen zumindest die minus 1 denn für 0 7 -minus 1 zwischen und wie sie alle und angesehen wohl nur noch die vorige 3 wenn sie denn eine Funktion darstellen immer Periode ich ich gar nicht anders ist es im Kosmos Funktionen können sie nicht anders ist es Periode zusammenbasteln Bissinger welches die gleiche Funktion einfach noch ein paar Mal daneben geklatscht wird seine Periode Fortsetzung definieren wir gleich von 11 aber die gleiche Funktion und setzen das den Periode vor dort deutlich steht also diese periodischen Fortsetzung nach auf dem Intervall von und gerade die Sachen des geraten ist -minus 1 und auch mit der Wahl von gerade die vielfachen zum ungeraden die vielfachen ist es bloß ein und der innerlich mal die Jahr aufgeschrieben Wetzka ausgerechnet an wir gucken uns mal so ein paar von nun an was das 1. in Polen und das 1. so über den Daumen ist die beste Näherung gesendet Zinos NX und Kosinus NX und SSE noch X und uncool X von in den hinkriegen na und da kann man nicht viel besser machen als so ne das wird jeder wahrscheinlich so probiert neu stellen übernommen und halte da sinnloses rund und nicht eckig der muss sich darin die eine anschmiegen zur was macht was passiert wenn sie das 2. Folie Polynom dem also geht Wiesingers x +plus gierig ich 3 die Kurse X ergab sich aus 3 x 1 und 5. +plus also dass er künftig Fehler Polynom Mitreise meinen wenn sie sie gar nicht schlecht aus da ich das jetzt Mehr Sinneszellen dienen können kann sie mehr so kleine Oszillationen produzieren und die gelbe Kurve liegt jetzt schon deutlich näher an der roten ist ist ja auch immer die Funktion dass sie diese müssen Kurses Funktion gemeinsam Mehr einer eigenen Kursus Funktion sind glatt und rund und dann und zur Ecke kriegt man nicht so leicht gewährt aber bisschen Zeit aber wenn wir den Sinus wenn Sie das bisschen Zeit gehen und in Wald und jetzt mal das 17. Polynom angucken das ist blau hier dann stellt man fest das wackeln dann noch so ein bisschen aber im Großen und Ganzen ist es ganz gut die kriegen an der dass es ein ganz typisches Verhalten an solchen umstellen denn das Ding an so was zu oszillieren 3. so der überschlägt das ein bisschen bis dann sie nicht vermeiden dass deswegen dann an den Ecken wir sehen das muss um die Kurve dafür brauchte bisschen Platz wenn Sie mir jetzt die grüne die gelbe und blaue Funktion angucken dann sehen Sie diese beschlagen nimmt ab und sieht also ganz gut aus und was man tatsächlich trägt und das ist jetzt der nächste der nächste also der zentrale Satz wie vorher sein sogar in diesem Fall von China stückweise ist durch diese immer stückweise klar dass im Falle einer stückweise glatten Funktion kriegen sie in jedem vom Konvergenz der weil gegen diese Periode folgte die Konvergenz Seitensprung Sprung stelle nicht besonders gut aber sie stark zur also es geht um die Frage der Konvergenzen was wir dazu brauchen ist man sieht wesentlich darin mit der Funktion sich die früherer Railjet oder die Folie Polynome leben auch ganz R und wenn sie das Funktion zu tun haben dann haben Sie was mit diesen periodischen Fortsetzung der Funktion und tun und die definieren und sind erst mal die periodische Fortsetzung er
Definition 10 l du Massen im Kopf
haben soll dass das Bild von gerade eben sie denn die Funktionen klatschte Seele den Grafen und ehrlich mal nebeneinander in dessen an dem man sich aus wir haben die Funktion gegeben genau das 8. und dessen Skripte der mittlerweile korrigiert einer alten Version hab ich dann parhaiten vergessen ich auf so wie es jetzt anschreibt stimmts also Funktion auf unsere üblichen Intervall von -minus die halbe bis die halbe Nacht war Periode t e r t dort und jetzt wollen wir die periodische Fortsetzung definieren also müssen jetzt die Funktion auf ganz er auch fortsetzen gehen uns also nächsten er vor wie definieren wir jetzt die Periode sofort dazu meine Stelle x während sich in das Tierheim unter halbe den es erst dann ist die kreolische Fortsetzung einfach erfordert und wenn es nicht da drin liegt dann ist er so oft und geh ich eben bisher in dem Intervall -minus die halbes der Halde liegen und den werden wir dann das machen wir so als wäre nix als er eher an den können Sie ihr ihrer wähle Axel in lautes Stücke einteilen der Länge TI wenn sie finden eindeutige Zahlen und welches von x abhängt was zählt das denn sagten welchen Stück The sind und Y das hängt auch von X aber der sehen sagte wo in Stückchen sie sind also dass es zwischen minus der HR und der Heise der sodass sie das X schreiben kann es kam IT +plus y also Bienchen das Tor ist ihre relaxte da es nur das -minus die
halbe da die Heide auf dem Intervall das er gegeben und jetzt setzen sie halt was ist hier T 3 halbe T 2 T und der X ist jetzt irgendwie hier also auf dem Intervall hier is Ihre Funktion gegeben und jetzt wollen sie die periodische fortsetzen werden definieren das müssen Sie machen der müssen mit dem X 1 meint je nach links wird zweimal die nach links übers genau derentwegen sie in dem Fall also K gleicht mussten zweimal getroffen und das hier X ist zweimal die Mosop es ist das was da dahinter stecken und jetzt nehmen Sie natürlich was wenn sie es wäre da an SPD X für ihre irdische Fortsetzung im Wert von F 1 Zimmer also es wird viel die welche faserig bezeichnen die man mit F die also erst mit NXP ist jetzt der Funktion auf ganz R und er wie an der Stelle x ist es an der Stelle y und das y ist dieses y das von x abhängt von Opel das nennt man die periodische Fortsetzung von was dabei anschaulich dass jedes klar dass er sich volllaufen auf Bild hatten setzen den Grafen der Funktion unendlich oft nebeneinander man also an den Sender Funktion haben mit auf ist der halbe
Theater irgendwie so was Na was ist jetzt die periodische Fortsetzung IST DAS 3 halbe T -minus so XL von nix wenn Sie das jetzt periodisch fortsetzen was Sie dabei machen ist in dem einfach diesen Bogen hier den hier ist natürlich identisch und setzen den der noch ha mal daneben kann ist dass es bei der periodischen fortsetzen passiert zur Welt kommt ja und der Bemerkung dazu aber das ist eigentlich klar was dieses F ist dann immer periodisch meines wegen heißt wo ich zum macht man's Krater Mehr dieses He ist dann einfach der Konstruktion die BLT periodisch zur das heißt er hat gesehen haben wenn unsere Funktion wenn unsere vor er sei auf dem Intervall konvergiert dann wird sie auf dem ganzen er Leben geben diese periodischen Fortsetzung konvergieren und das schöne ist dass du sie erstaunlich A nein kann also der Hauptsatz von dem ganzen Kapelke der ihnen sagt man die vorige Reihe vernünftiges nährungs
Mittel ist und das schöne ist das klar wahnsinnig
oft das nach wie vor jeweils Sonne wunderbaren Hilfsmittel und erklärt im Nachhinein warum der gute sowie alle sie verwendet hat ohne sich irgendwelche Gedanken über Konvergenzen zu machen gut Glück hatte Tor also Konvergenz der zuvor in einem Unternehmen das Hintergrundwissen das ist ein Konvergenz hatte vorher einen D also zufolge zuvor vierstündige Vorlesung über ein Semester machen und Probleme das ist super detailliert untersucht total spannend gibt's ganz viel eher nicht jeder natürlich nur ein Auswärtssieg aber der Satz der hier kommt ist der den man eigentlich in einem praxisnahen fehlen immer zieht weil das einfach eine ist der denn die universell tut also wir haben unser übliches Folie rein Zeit denn wir haben ne Periode t größer 0 wir Funktion auf dem Intervall -minus die halbe Nacht ist die halbe Nacht war da und die sei es die nur stückweise stetig sein damit die vorher 3 existiert und das reicht aber nicht für Konvergenz was sie brauchen es steht weil sie glatt das war der an der Begriff den ich damals eingeführt hatte Beweise stetig war also der Westen der Walzer hatten in Teilen auf jeden ist es stetig und indirekt zum gegenseitigen Grenzwerte existieren Beweise Glatteis zusätzlich auf jedem Intervall ist sie wenigstens noch stetig differenzierbar ab ist ist auch nicht viel mehr als wenn wir unseren 7 von wollen der in der Serie mit dabei konstant das ist ziemlich stetig differenzierbar also des Problem dürfte weil sie glaubt dass das aus liest sind er an sich Reisende nicht Differenzierbarkeit stellen also der Funktion der wenn egal das ist kein Problem bei Dateien ist dabei hat noch 1 5 Knickstellen dazu ne also in ihre Funktion so war es zählt er könnte man erst auf den Gedanken kommen dies nicht geht weil sie glatt bei in Teilen der Wahl ist die zwar stetig aber nicht differenzierbar aber dies wohl stellenweise glatt müssen halt der weil hier hier auftrennen darauf drängen darauf drängen darauf drängen wenn es auf jeden Abschnitt stückweise differenzierter erklären Tag differenzieren alles ist gut wir weiß das verbietet es dass sie sozusagen die Stelle haben wo diese Ecken sich immer mehr häufen Thomson von zu was was immer mehr Zitat wer sowas ist verboten und fraktaler sagt Graph oder sowas aber sowas kommt im realen Leben eh ziemlich selten vor insofern ist das nicht eine voraussetzen stellenweise glatt weiß nicht dabei sie glatte funktio war man sich der bei sieht es ist insbesondere stellenweise weil sich stetig also könne die Koeffizienten ausrechnen am in Kundus Anteil des entführten Siemens-Anteil und dann sagt der Satz dann können wir dir die vorher 3 immer das ist eigentlich an der Stelle total überraschend wenige sehen wie wir gesehen haben diese Konvergenz auf relativ schwachen müssen manchmal also die nicht nur daran dass der Sinus so schön oder wackelt und deswegen ganz direkt los und das Fell er sie Kokh vorher Reihe konvergiert auf ganz R A unter es gilt ebenso gern wesentlichen die was und wir gesehen haben dass die Folie Reihe gegen die Funktion f konvergiert mit einer Vorsichtsmaßnahme also die vorher im März kann es endlich
so hinschreiben alles dazwischen immer so sehen geschrieben aber jetzt wissen wir dass das was da steht auch im Sinne also dieses Ding hier wenn dies 11 stückweise R wenn das Gegenstück F stückweise glatt ist dann ist diese vorher reine vernünftig definierte Funktion auf ganz R welche jedes x er keine geht diese Reihe und jetzt muss man aufpassen es kommt im Prinzip erst war es nur an den Stellen wo das kann sich die Musik die vorher rein natürlich entscheidend und dann sei denn rechts einen Grenzwert also den bringt seit komme gegenüber den rechtzeitigen oder was anderes dazu ist es vÃllig Herzproblemen und das ist die vorher eine er ganz diplomatisch und entscheidet sich für den Mittel wir also dass die Folie Reihe machte sie konvergiert gegen den wenn es gegen X von rechts von der periodischen Fortsetzung von 11 loslegen ist y gegen x von links von der periodischen Fortsetzung von 11 eine was bedeuten wenn sie also wenn Sie an unsere Siegen und zum Beispiel denken das war das aber um den es geht ist wie ein habe die periodische Fortsetzungen angeschaut da sie die geht so weiter da geht so weiter so weiter dann konvergiert das Ding an jeder Stelle gegen den Mittelwert aus Winsen rechtzeitigen Grenzwerte man sie also dass Umstände sind also zum Beispiel 0 und ist der rechtsseitige Grenzwert 1 unter linksseitige Grenzwert ist -minus 1 und dann wird an dieser Stelle vor ihrer eigenen kommen was ist muss ich in die entscheidende alles zwischen -minus 1 und 1 ist sie nicht und dann denn zahlt sich für den der metrischen fahren konnte der die 0 1 aber was heißt das wenn Sie es an der Stelle sind wo das er nicht springt eine also den sie an einer Stelle x sehen wo das er stetig ist und das ist ja auch in der Wahl fast überall so eine Funktion ist Weise glatt also hat sie nur die 31 bestellen muss ich bringen haben eine er ein als stelle sich stetig an den sich die GIS wenn es gelingt mir entweder die Grenze Leichen gleich dem Funktionswert also an die stellen ist das Ding hier einfach 11 die von x 1 Tätigkeit linksseitige Grenzwert der rechtsseitige Grenzwert den Funktionswert also steht der Airport Express Evonik der liegt als es gibt kommen die endlich gegen SPD Donner mit aber unser schönes Mittel das uns Konvergenz von Fräulein lieferte wann immer sie es stellenweise glatt haben und ich behaupte mal alles was ihnen in Berlin und läuft in solchen Zusammenhängen ist stückweise also das damit ausgeschlossen ist im Wesentlichen zur Fraktale von Ort und Zeit zur wenn man dann tatsächlich in solche Bereiche kommen dann muss man weiterhin die Konvergenz Telefonvorwahl einsteigt also wie gesagt das ist nicht der einzige Satz also selbst wenn Sie so ein würde Fraktale Funktion bei kriegen die Folie transformieren sollen und irgendwie was wir Konvergenz auch brauchen ist der ist der ist das nicht verloren da ist viel weniger von einem Posten ergibt durchaus noch Theorie ich dabei das als zur die gesagt Pulli ist kann man viel zu erzählen und ich erzähle Ihnen jetzt noch eine Kleinigkeit also die nächsten 3 Nummern die jetzt kommen bin bisschen als Exkurs zu verstehen das ist so bisschen nebenbei 1. endlich kann man damit schön sehen werden das Projekt in viele Seiten hat und das eine ist sehr sehr praktisches Hilfsmittel und dass es andererseits als Halsbereich mathematische Theorie die überraschende Einsichten und eine überraschende Einsichten hin bringen auch weil ich damit ein uraltes Versprechen einlösen dazu ,komma dann also ein Versprechen aus bemalter 1 Thomas ich Ihnen zeigen will es etwas was was bei Jahns oft vorkommt es gibt sehr genaue Korrespondenzen zwischen Eigenschaften der Funktionen insbesondere Glattheit Eigenschaften also wie oft ist die Funktion differenzierbar und dem asymptotischen Verhalten der Trojekurow 10. pauschal gesprochen je glatter die Funktion es ist schneller keine Freude kurz man die 0 das ist die Philosophie also die das Konvergenz also die Folge 10. werden Kleinwagen von irgendwas gab die hierdurch in die oder was wie schnell die kleinen ist oder dass die Funktion das heißt sie können Eigenschaften Funktionen Vorliebe 10 ablesen umgekehrt und da stecken ganz reiche Theorie dahinter nicht in einen kleinen Abschnitt davon zeigen dazu brauch ich erst noch mal eine Notation oder eine
Definition und zwar ist es ein spezieller weg da war mein Lektoren von Folgen und der heißt üblicherweise kleine L 2 EL das ist eher ein kleines L mit Exponent 2 und das ist Mehr Menge von folgen Sie nehmen sich alle die Folgen aber für die die reine über ein Quadrat konvergent also da drin dass zum Beispiel die Folge einzig Enten bei dir einen einstigen klar kommen wir da drin ist nicht die Folge 1 Nforce Ehen bei einer einzig in die Welt also an alle die Folgen für die die Reise bei einem Quadrat konvergent ist das Ding heißt eben kleine 2 er und das schöne an den Raum ist erstmal weg da muss man sich überlegen aber wenn 2 Folgen wenn diese Reife 2 Folgen konvergiert komme jetzt auch die Sonne und es gab auch vielfache und so weiter Bundesländern diese Raumes sie können der Trauben Skalarprodukt definieren und diese Skalarprodukt ist im Wesentlichen einfach die Fortsetzung des 200 Skalarprodukt auf also salopp gesprochen es der kleinen 2 der erholen sich mit mitgehen "anführungszeichen also die definieren das Skalarprodukt sehen Sie 2 Folgen der aus dieser Menge aus diesem weg da waren in den ist das Skalarprodukt der 1. Folge mit dem mit der 2. Folge einfach gegeben durch die Reihe der von 0 bis unendlich einmal weg muss sie wegen das ist Gelaber bist mit riesigen sofort definiert es auch nicht werde er Legalität geht auch ein was sei es kritisch bisher noch zu zeigen dass die Reiter überhaupt konvergent ist es liegt aber wieder da dran das A 1 B 1 bei den kleinen 2 sind so genann Quadrat und mir war sind und dann kriegt man raus wenn beide Deklaration über sind dann komme ich wieder doch die Reihe Zorn wenn sie Skalarprodukt haben nach dem Skalarprodukt gesehen und die Kälte nicht ebenso unklar das gab wollten die Namen die zugehörigen Lanzen Skalarprodukt ist mir die Wurzel aus dem Skalarprodukt von weg damit die selbst also in dem Fall sogenannte
induzierte Normen in dem Fall wenn Sie dann en aus in kleine 2 haben seine Folge und an die Norm schreibt man üblicherweise 2 3 1 1 1 2 ist und wie gesagt das ist eigentlich die Verallgemeinerung offen und ehrlich die Winsener Raum von der Stand vom Standard Skalarprodukt und von der Standard euklidischen Norm also das ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt von 1 mit sich selbst das Skalarprodukt war gegeben durch die Reihe einmal DEN also dem Volk weil ja in Quadrate mit denn sie passt genau das kann man dann daraus geworden es geht länge von sonder folgte zur jetzt kommt dieser Zusammenhang der Ihnen sagt wie hängen die in hängt die Funktion mit den Abfall Verhalten der wo 10. zusammen es will ich ihn auch nur angeben muss Besatz 10 14 und das ist ein fundamentaler Satzbällen Folie rein er heißt der 1. weiße Theorien würde zur was wir haben ist unser 11 die Schweiz für den Fall -minus die Whisky auf reicht uns vollkommen können Sie wieder transformieren auf Mindestgehalt ist der also der anderen 11 und das reicht einfach stückweise stetig ja und dann entsteht weil sich stetig ist wissen Sie nach dem vorherigen Satz nix über die Konvergenz der vorher sei aber sie können die vor 10. mal ausrechnen also ein und gehen in eine vorher einen schreiben und das schöne es jetzt wenn Sie nur stückweise stetig haben dann reicht das schon dafür dass diese folge A 1 und die Folgen des N beide in diesem kleinen 2 sind also die Folie Reihe bitte vorher Koeffizienten von jeder stückweise stetige Funktionen zum Quadrat zu mir war das ist möglich aber das tolle ist es geht noch was Mehr und zwar wenn Sie sich anschauen dieses Integral dicker als Richtlinien -minus Babys P f von x Quadrat X das von Integral drin ich nun Integrale sondern man beachte das ist das Skalarprodukt von er mit sich selbst in diesen Funktionen auch nur eine Funktion Armada Skalarprodukt Integral über 11 Mal die es da so steht es im Prinzip die Norm Quadrat von unserm also dass sie entspricht der Norm Quadrathlon sein R-Quadrat untersagt sagt jetzt dieses Ding ist genau das gleiche damit nicht gleich in die 2 Namen also die L 2 Namen von dem AN Quadrat das Geld 2 Namen von den PIN ab also dass es wahr ist dass es in gleich 0 bis unendlich ein Quadrat Lust sondern gleich 1 bis unendlich gehen kann eine enormes die Worte draußen Norm legt verdrehen hält und das bedeutet es haben sie dort sagen auf den Funktionen Seite Raum mit enormen und auf der Koeffizienten Seite bewiesen Norm stimmten überein also die Fouriertransformation macht außer Funktion der Reihe wurde sogar von 2 1 und wir ob ich die aber Länge dieser dieser dieses Gebildes in einen Raum Messe und dem einen Raum die Geige wohl Transfer sogenannte Isometrie beträgt die Länge länge ein rollendes identisch das kann man zunutze machen wenn
damit der ich jetzt mein Beispiel 1 wie gesagt es geht es geht es zum einen darum meine Versprechen einzulösen es geht zum einen darum ihnen zu zeigen dass es da eine ganz reichhaltige Theorie gibt mich darum dass jetzt wieder das passe ich Theoreme aber kommen durchdrungen hat aber nehmen Sie mit ergibt sich ganze Menge und Bereiche Strukturen ganz starke Verbindungen zwischen der Funktion und ihren Eigenschaften und den Koeffizienten in Eigenschaften man kann die jeweils besonders willkürlich 10. weiß weiß man nie was dauern und umgekehrt so was wir jetzt machen in seinem Beispiel zurück das wir vorhin formal oder letzten Freitag hatten es war diese Funktion von -minus ky Whisky wieder der mir davon dass damit Intervall F von X gleich X bei der Teil an vom Beispiel sind sie und dann das vorhin die vorher einen das vorher Polynom ausgerichtet wir werden da hatten wir festgestellt die Florida Reihe war in dem Fall eine reine Sinus frei über das Lennon gerade Funktion des also er im Tivoli Reihe war so Mehr wenngleich 1 bis unendlich EN -minus von NX und PIN war dann 2 durch N -minus 1 zu 1 +plus 1 nicht und jetzt sehen Sie zum einen erstmal 1. Teil vom Puzzle beistimmend S 11 stückweise stetig und die B 1 im Quadrat in zu mir waren sie wären Quadrieren 3 das Eisen die über die Wupper wer übrig schwierig in knapp 4 Kriterien verraten die Reise Ferienparadies kommen geht aber passt überall sagt noch mehr das überall sagt nämlich wenn sie ihre Funktion einzig P Integral von -minus P von x Quadrat dann ist das das gleiche steht noch oben wie die kleine 2 Namen von einem Quadrat lustig seine 2 Namen von den Crackern eines konstant 0 DIN-Norm davon ist damit auch ziemlich klein wird also der 2 Namen von dem PIN übrig also dieser Bayer n gleich 1 bis unendlich in Quadrate und damit sehen Sie an dass die also dass hier keine auftaucht liegt daran dass am 0 ist für alle da und jetzt sehen Sie warum der passte weil zum Beispiel so wertvoll ist und das nutzen wir jetzt geliefert in die Gelegenheit Reihen auszurechnen indem sie in die Kriege in stiegen die gerade stehen Reihe weil der Kasse weil eben Ihnen Bezug die Wahl zwischen der Länge Funktion Raummodelle also der Normen .punkt Raum unternommen Polterer und integriert ist zum Teil ätzend und man kriegt die würden Stammfunktion nicht raus aber integrieren ist viel schöner und einfacher summieren also rein werde bestimmt ist der Horror gegenüber integrieren und deswegen ist das ein toller Satz und bei den speziellen Beispiele kann ich Ihnen jetzt einen speziellen rein ausrechnen wenn er mal beide Seiten für unser spezielles Beispiel aus also
was ist in dem Fall 1 durch Pi -minus bist P f von x Quadrat DX also das ist einzig P Integral von minus 4 bis p x Quadrat Text das kriegen wir darauf hin dass es eines will 3 p x hoch 3 in den Grenzen X von Industriebesitz Bächli also war 1 durch 3 P zur P ihr hoch 3 -minus -minus die auch 3 also +plus p hoch 3 die teren 2 wie hoch 3 durch 3 G oder 2 Drittel ich je Quadratmeter Tor das ist das eine was sie da auf der anderen Seite wir müssen noch ausrechnen die Reihe von n gleich 1 bis unendlich über das im Quadrat das ist die Reihe von n gleich 1 Person EN war war es still um noch 2 durch mal diese -minus 1 7 -minus 1 quadrieren bleibt da nicht viel übrig ist über 1 also Stevie Ray überfällig im Quadrat und jetzt da es noch deutlicher zu machen dass es dir mal die Reihe in gleich 1 bis unendlich ein Stich im Quadrat und die Reihe tauchte sehr prominent auch alle allerersten Einführungsvortrag zum Thema Konvergenz ja teilweise in Karantanien damals zum Raten gegeben kommentiert die divergiert die ja ich Bilder gezeigt sie konvergiert und ich habe ihm gesagt dass ist ein Beispiel von einer wo man sich am Rhein wirklich die Zähne ausbeißt und der Rhein wird von der Reihe ist eine der zieht sich wirklich durch die Geschichte der Analysis nahm sich sich 200 Jahre lang die Zähne daran ausgebissen Euler was dann der den 1. Beweis gefunden hat wir das was herauskommt kann also große Namen damit verbunden er und mittlerweile gibt die muntere ich Beweise dafür dass also für das was jetzt herauskommt er wir was folgt daraus dass die beiden Dinge zusammen den er aber in deine Sachen zusammen denen kriegen sie die Reihe wenngleich 1 bis unendlich ich hätte es damals auch gesagt ist heise durch 4 2 12. piquadrat also ein die Quadrat Wechsel also über 1 im Quadrat ist liefert er wächst und die Quadrat wechseln wie gesagt sieht sich durch die Analysis es gebe den Sieg Beweise und sie können nicht aber das ist der den man noch am ehesten in Einführungsvorlesung bringen kann also es ist wirklich mindern dieser einer der ausrechnen so sehen an dieser Stelle die vorher einen können wir helfen neue einsehen ganz wesentliches mit Nummer 1 wird aus rechnen das ist ein Beispiel damit will ich mit dem Thema gut sein lassen wir steigen jetzt dann ins Kapitel 6 ein er aber das MoMA nach der Pause zur euch wird dann gern in die 2. Hälfte
einsteigen und das war ich anfang kann dann noch die Frage und das habe ich vorhin vergessen wir noch weiter gehen Abgabe der Ausübung donnerstags Gruppe diese Woche also Abgabe des den Übungsplatz bitte auch wie vor 3 Wochen das heißt Abgabe in der Großen in der Probeklausur am Montag in den Hörsaal da werden wir die machen dass es einen solchen können und dann wenn wir dass er die Tutoren weiterleiten gut also wir haben uns durch ist der reitet differenzierten geklärt ob wir mit dem vorher einen 1. wenn es zu viel wenn man so will ab ja es der gibt und sein Verein Integrationstechniken gesehen und jetzt kommt noch ein 2. Thema das sehr sozusagen nicht reiten wartet sondern Zwi sogenannten Differenzialgleichung oder um es genauer zu sagen gewöhnliche Differenzialgleichung 1. ist sage ich gleich oder ja was ist das so Sorte Gleichungen lösen will sagt schon der Name ab also wenn sie welche ob lösen dann so kann sie jetzt hab ich diese glatt schon komplexe Aalen oder natürlich jetzt eine weiße Sohnes teilen die Gleichung lösen und das geht jetzt die hatten wir also nicht mehr zahlen die Gleichung lösen suchen ganze Funktionen die Gleichungen lösen also die einfachste also eine der einfachsten Differentialgleichungen wähle gesuchte Funktion nur zu der die Ableitung von er ist das hier genauso wie in Beispiel 1 Funktion die ihre eigene Ableitung ist er ja Ericsson dich die 1 aber es hat mir hat an das wäre ein ein sehr kompliziert wäre wir suchen Funktion zuletzt f strich von liegt das klappt es Steaks Quadrat ab 1 Uhr muss von des Pakets er war es aber Zählern der Vernissage ist da alle sei gleich gut das mag er wie Spielerei erscheinen und es ist da ich Spielereihe sondern hochgradig spannend Anwendung weil egal wo sie schauen von Naturwissenschaften über Ingenieurwissenschaften Wirtschaftswissenschaften in jeder irgendwie Ablehnung von in sehr vielen Anwendung formalen Martic dessen Differentialgleichungen wenn der Physik dann ab etwa wenn man geschrieben wird sei so was Banales Winzling ist keine dieser Fragen deren tialgleichung das schlimme Hände ist denen Auslegung müsse Funktion von derzeit und diese Funktion wurde von tialgleichung aber sie könnten wirklich wie gesagt kreuz und quer durch die Bereiche gehen und bis jetzt kann immer noch jeder sagen Herr ein Informatikern aber viel Glück das haben Sie was die reine sozusagen Theoretische Informatik angeht ziemlich aber sobald sie irgendein Anwendungsprobleme haben müssen sie aber meistens irgendeine Gnumeric irgendeine Ingenieurs oder Physik oder sonst wie Anwendung wurde die in Ihrem Rechner und dann müssen Sie verstehen was ich sage dass die Einführung des ist über seine wurde sie ehrten also das Beispiel Art ein Institut das wird eine der Fußball zu tun hat weil das die Dinger machen es Differentialgleichungen rauf und runter der Welt er kann so eine gut und wenn Sie interessieren mussten alle Wirtschaftsinformatiker wie gesagt die Wirtschaftswissenschaften sind auch folgende uns ja und und wir fragen mal wieder an sollen klassischen in Menschen ,komma hält er an klar er wird in dem aus dem Mode aber am Ende Englisch ist Händel Aktienmarkt ja und weil der jetzt mathematisches war dieses Modell beschreibt das wir beim Singen kenne das ein paar seines einem Aktienmarkt aber das Problem ist ist leicht zu und ist man sieht wann Namen wie sich das Web dann daraus tialgleichung raus und die Mehr vereinfachende Annahmen sie machen so einfach aber die Differentialgleichungen sowie die ganz mit der Realität zu tun und das ist immer so ein Zielkonflikt ja so wenn Sie die Realität möglichst genau abbilden mit Tausend Bedienung und alle Fenster gab es 2 die Karten lösen oder betrachten wir müssen schon gar nicht wenn sie bereit sind zu sagen habe sich so genau machen wenn sich für Vergleich aber halten der Spaß und jetzt kommen sehr schwach wurde in einer besonderen tialgleichung nicht dass man gleich alle wegrennen also werden Wachstumsmodell uns war das ein mögliche nichts böse denn an Wachstumsmodell Wissenschaften er und die Modellierung es Annahme ist also das ist jetzt sozusagen der Annahme die aber erst mal plausibel ist der Zuwachs einer Größe an diese Größe kann jetzt also sie Wachstumsmodell am das kappen der Population von Bakterien sagten dass keine Geldmenge sein das kann er wir Jahre leben 100 Songs Größe Geldmenge Anzahl von lasse ja Anzahl hat Ende hätte es sagen die gibt er sich bei ziemlich gut nach dem Modell die Idee ist wenn Sie sozusagen von fest weg da er an sehr kompakten Hammer aufgesetzt wenn wird am 1. 7. ja ich also die Wahrscheinlichkeit dass es dennoch mal wogegen Client wird ja immer schon da ist und das ist mit wir uns an der Zuwachs ist proportional zur Größe der Populationen in es das ist zum Beispiel wenn sie wenn sie in einem der Bakterienkultur haben total sinnvoll Annahme bei Aktien und und und als er sich und immer ist also mehr denn sie ja aber das kleine Becken kommt es auch weiterhin darauf sind n danach ab mehr so was heißt das also setzen y und die die Größe dieser Population wie gesagt Populationen können Bakterien sein kann aber auch etwas anderes sein kann auch ihr Geld seien zurzeit t R also die hab ich ich jetzt meist die das sollte seinen Idee sein dass das gezeigt mehr der derzeit werde Emulation die größte J und was heißt es diese Modellierung es Annahme die welches auf die
Gleichung und zwar der Zuwachs der Mogul Nationen ist proportional zur Größe das ist der Zuwachs der Population der Zuwachses ihrer Ableitung ,komma Phontäne ist der zum Zapp wie die dein also der die Veränderung der größte ,komma von ist der Zuwachs derzeit die und es proportional dazu wie wir sie schon haben Landstriches weil ja das ist mir gleich und wird je größer ein und zu haben das ist der Zeitpunkte gleich 0 startet das System und danach geht diese Gleichung dieses müde ist der Proporz ergänzt fragst an denen man dem zusammen ein gern die Wachstumsraten ich als er denn zur Last wird sie Eva ab und wird wird negativ werden das wäre zum Beispiel die Leichen der radioaktiven Zerfall zum Weitergeben Verhaltens der so und das war sie gab es der gleicht gleichen einer einlassen würden Events ja gleich und und wenn sie wenn sie ein eigenes Mehr als es 9 und ihrer Haltung beziehungsweise ihren Ableitungen der kann natürlich auch begleichen schreiben y 3 Strich ist y 2 Strich -minus wird ,komma +plus y oder so was immer noch machen n ja es kann auch ich hab leider mit reinbringen und ganz allgemein bildenden tialgleichung super aus das sich jetzt erst mal viel ist aber so dass nicht mal wieder daran dass es völlig allgemeine die uns allen aber es ist mir nicht ein vorstellen müssen denn die oben einfach ist bestritt er wie man ist also das haben wir brauchen eine Zahl n die sagt die oft sie ihre Funktion ableiten wollen wir brauchen in der Wahlen er in dem die Zeitvariable spielt zu und sie brauchen diesen funktionalen eben hat er die Gleichung mit wie welcher sei das ist der Name der Funktion die es definiert auf diesen derweil I man hat noch in weiter Variablen und geht nach in keine pathologischen Aktion kriegen wir den Ball gleich stetig zu und das ist jetzt nicht gewöhnliche Differentialgleichungen gewöhnliche Differenzialgleichung
diese Gleichung der Form in der Ableitung von y Weise oben bei im gleich ein aber nur von y ist eine Funktion die abhängt 1. von die selbst 2. von y von The von y strich von die und da und so weiter das Land ,komma von die ist zu Ende des 1. ab wir es ist der allgemeiner hat ja Gleichung in der Ableitung durch die 1. -minus ein Visum heute den eine gewöhnliche die Randlage Gleichung und im folgenden es das Wort Differenzialgleichung nicht mehr so oft geben zwar die Abkürzung DDR und das in wenn man die Ordnung der Gleichung also die höchst Auftreten ab Rettung ist die Georg also doch ein Wachstumsmodell Rom war die auf 1 und das das niemals an darum hängt es nur von dir selbst anhand und dem Fall verloren zu das ist er wurde TRY ist nur das an geht Ort ernste fragen sich wenn gewöhnliche muss es ja auch ungewöhnliche geben die ungewöhnliche heißt nicht ungewöhnlich sondern Patienten rtr Differentialgleichungen auf wenn Sie vom wenn ihr y ich auf i der Wahl ist sondern auch in allen und sie mehrere Eingangsparameter haben sie partiell bleiben müssen und total perverse statt ich einfach ,komma wenn er er selber da Gleichungen sind verdammt viel schwieriger als gewöhnlichen und insofern den sie hier vor allen und deswegen da sie zur Comfort gewöhnliche wird wird er sich mit mir diesen Vergleich und damit sind der gewöhnlichen Anzeige ungemein Tiere wir für den tialgleichung sind wirklich hat am Daumen noch ein weiterer begibt wenn sich die gleiche und Norman Share das Landstrich der immer y wert Großeltern ein knapp 11 von Tigern y ist mir mal Y das hängt von den TG explizit nicht ab er also das geht eben nicht ja und die Brust mir das ab was da DE und in Gleichung bringen spezielle nahm er die besondere Eigenschaften haben also wenn das Großeltern gibt und wichtig Conti ab weil das y der Bank aber wenn es sozusagen nur in den Funktion y drinsteht dass dann nennt man die Gleichungen autonom und die oben in den 1. Beispiel ist es zum Beispiel autonome gleich so Fahnder Beispiel oben wir von The die Ordnung ist eine von der der S-Bahn ab weiter in sich tauchen immer nur die Ableitung bis zur Ordnung in das einsame N 1 ist nur bis zur nullten Ordnung und es ist ungemein y und die echte und Sie sehen das ist out das D steht 9 in welchen
Ypsilons aber nicht mit in's in Rom zur beschreiben nochmals 3 3 andere Differenzialgleichung mit den 11 dass man sieht immer wieder so rein Brugge denn dieses allgemeine Setting ist das Beispiel 1 3
wir müssen jetzt einfach irgendwie Differenzialgleichung mehr also die n am das eine oder hat explizit Demolierung Speed weiter um seinen Sohn hat er nicht Differenzialgleichung die gesagt sie könne auch Gleichung anschauen zum Beispiel Ypsilons 2 ,komma wollen die +plus 2 y Strich von T +plus y von die Kleisthenes Dinos von wäre so eine da werden wir als ich jung Zusammenhang zwischen n bisschen Ableitungen y auch wieder nur noch lösen was wäre hier en wäre je 2 höchste auftretende Ableitung was wäre das 1. das es hängt es ab von The von y von und von y strich von Till dort gleich 2. dort am und um das Air France geben müssen Sie ihre gleich immer schreiben als höchste Ableitung =ist gleich also in dem Fall wäre das 11 sehen aus -minus 2 bis 7 Landstrich von des -minus selbst aber die wenn und Sie sehen das 1. Beispiel nicht autonom Gleichungen und zwar wegen des Mehr das den Tee kann das nicht denn er NY Tabak und damit ist die nicht autonom zu anderes Beispiel das ist sozusagen das einfachste Beispiel eine Differenzialgleichung noch ein Fahrrad das aus dem 1. Beispiel nämlich das was wir schon kennen y Strich von TSG Quadrat plus 1 also der Fall währe n gleich 1 und das entfernt des und y von The ab und ist einfach die Quadratur des 1 ist auch sicher nicht autonom ist das Gegenstück zu den ist hängt jetzt nicht explizit von y aber nur wie unsere Herren sagen können sie so und weil es diese Aufgabe die sie hat ist nicht anders als die Aufgabe sich dann .punkt und die Fahrer pro Seite an Lösung dieser Gleichung ist unter den 4 ist die Mannschaft Funktion und liefere Band 1 und sie sehen also Differentialgleichungen gibt eine Verallgemeinerung eine Verkomplizierung des Problems Stammfunktion zu finden und das lässt den Mond schon mal nicht direkt steigen dass das einfache Probleme bei Stammfunktion finden ist auch von netten Probleme und deren tialgleichung dementsprechend die bei Tampons und Binden ist ein ist ein will ich es ja sagen wir seine Fans eine Sauna aber wie gesagt es geht auch komplizierte Gleichungen hier ist ein Beispiel das einfach nur zum Abschrecken dienen soll also auch Folgendes ist wenn Sie eine Gleichung ist Anstoß sogar 1. Ordnung in's Landstrich ist er hoch Agus Tangens von Wurzel von y und will mal Betrag von Cosinus und y und wie hoch wir -minus 3 und Betrag zu hören ist er ob die ganze Akte ist eine wunderschöne liefert er sich ein er gleich am 1. Ordnung und so autonome es sowie der damals nächste die sie nicht bei der besorgt das Nachbarland Ungetüme
von neuen setzt den Begriff hatte vor meinen wir so erstmal natürlich die Komplexität bisherigen und sich einfache Problem anzuschauen und es gibt eine sehr schöne Eigenschaft von gewöhnlichen Differentialgleichungen wird und dass es die Ordnung ist nicht wirklich ein großes und das wird hier eher ein großes Problem wenn Sie Differenzialgleichung 1. Ordnung können wenn ich ihn mit 1 2 3 4 Vorlesung zeigen dann können Sie auch Differenzialgleichung weniger Ordnung ab es ist sie nicht sich erst mal auf dem Hl 1. Ordnung einzuschränken der so ein bisschen übersichtlicher also man erstmal nur in gleich 1 wenn die allgemeine Form von Differenzialgleichung ist dann als kommt das Großeltern mit ,komma es groß F von die an eine niedrige und Ableitung es gibt die aber nur eine niedrigerer Ableitung also die rechte Seite ist eine Funktion f die von Tieren y abhängt und dass es ist jetzt der Funktion auf dem Intervall I kreuzt er nachher essen war wieder stetig voraus und das ist das Ziel das ist jetzt der ganzen Folge Songs Abschnitt so ist in der die gesuchte Funktion Sie es immerhin gibt es ab den die gleich und y ist die gesuchte Funktion man er gleich autonom ist dann sie die noch einfacher außen autonome Gleichung 1. Ordnung hat die Form y strich von The ist er von y der man 17 Funktion haben wir 10 an die das Ding löst dann
meine das Ding löst muss es y erstmal differenziert was sonst kann leicht lösen aber ein möchte ich differenziere reicht also im Sinne einer stetig differenzierbare Funktion haben in diese Gleichung Stern erfüllen The wir mit denen man die sinnigerweise eine Lösung der Franz jagt und die ganze da wird jetzt in die Differenz ja gleich um die wir nicht die Lösung im Allgemeinen gar nicht er entweder schon dass man sonst wie er in geben der Funktionen für die Stammfunktion bescheinigten na also soll ich mal der ist gehen also gibt es verschiedene Dinge an kann und die alle wichtig sind das eine natürlich versuchen sich die Gleichung man lösen kann wenn die Tricks und Kniffe wie man manche Gleichung tatsächlich lösen kann alles anderes genauso wichtig werden sich einfach zu überlegen ob er Songs Theorie also die Frage welche Gleichungen sind überhaupt lösbar wie das mit Eindeutigkeit von Lösungen aus so die E-Books und das kann man ganz auf machen ohne dass 3 explizit ist das sind die 2 Stränge die jetzt in der Vorlesung immer neben einer laufen einmal Frage wie löse ich manche Gleichung explizit und zum anderen welche Struktur ab sorgen Bandits welche Wahnsinn die eindeutig und und solche Fragen die man den mit 8. kann ohne dass man es wird und sie lösen kann aber und er wieder zurück sondern aus ganz Beispiel ganz Beispiel ist natürlich renzjahr naja also das war y Landstrich ist mir mal 10 Jahren je größer der Klone wie sieht's jedes sind es und wir wissen in dicht vor und überlegen uns da einer mal was sind denn das ist so ne einfache Gleichung da kommt man vielleicht einfach durch Nachdenken auf die Lösung eine Funktion die sich im Ballon zu testen weil wir schön einfache Funktionen ist und hier auch eine Lösung Liz die Funktion die einfachen und nun ist die Funktion der einfachen und Dulles oder einsetzen längsten nur Rechtsnormen alles ist fein also Lösung das geht es nach einer langen ist eine Funktion deren Ableitung ihr eigenes Vielfaches ist wenn wir gleich 1 habe die Frage gerade heuer schon geklärt ist es urigsten und für ein anderes Mühe können Sie im gleichen Dunstkreis suchen und dann stellt sich raus die hochmütige zum ganz guter Kandidat an weil das Weiße sind ,komma es herrscht reges Mitte Mai auch mit mitnehmen und das ist nun mal so dass er Anna nicht anders wenn sie sich mal überlegen sie gleich und da oben haben dann ja diese schöne Struktur des immer noch sehr die sogenannte ja wenn Sie ganze gleich immer mit der konstanten durch multiplizieren können die konstant und entspricht nehme stellen fest werden wenn sie die Lösung haben ist viel mal diese Lösung auch immer nur so dass die war jeder Lösung müsse nur also können sagte einmal was dann mal ausrechnen wenn sie ihr hochmütiges eine dann ist auch CEO hochmütige eine witzige aus er beliebig warum ist aber dem zehnmal Mühe neue hochmütig und das ist mir mal 10 mal urgemütlichen mit Leben und das ist schon mal y das ist bei diesen bei dieser Gruppe der linearen Gleichung immer noch sehen was was immer geht wenn sie eine Lösung haben es auch in den vielfachen löst er haben will wenn wir hier in Stade Lösungen und Sie sehen Eindeutigkeiten wie schon bei der einfachen Gleichung die nicht gegeben auch das ist wenn Sie jetzt wieder von den einfachen Fall der Stammfunktion angucken ein großes Wunder auch dann keine Eindeutigkeit also dann jetzt das starke Lösungen und die Frage ist jetzt das allerdings noch immer meint das war zu die auf die man durch draufgucken kommt da kann ja sein dass es noch eine Lösung die den funktionaler Ausdruck hat über 3 Zeilen geht die sieht man dann nicht so schnell aber ich hab ich kann Ihnen jetzt schon ohne dass Theorie haben zeigen dass das eine Lösung sein ist n dazu es erst einmal wichtig in diesem 3. .punkt 10 der 2. der 1. Gruppe enthalten mehr also alle Lösung der Form C hochmütige enthalten natürlich die Lösung die auch mit C gleich 1 Uhr 14 gleich 0 kriegen Sie auch den und Korruption also was wir jetzt haben was wir jetzt
haben ist er die Lösung y und gleich CI wobei wer die konstant ist das sind die so richtig erraten zu sehen waren wieder hat es in allen und der darum dass alle sehen Sie mal mit der ganz einfachen schnell Rechnung und ist und 1. typische trinken zusammen mit Differentialgleichungen gegeben und Erinnerung vor also sei y der Lösung von unserer gleich ja wenn sie dann können war Folgendes machen den nehmen wir selbst daran und multiplizieren Sie mit ihr Wochenminus benötige das ist die Idee dahinter wir wollen zeigen y von T =ist gleich Konstante mal hochmütige was wir also für diese Funktion zeigen wollen sie es konstant der Werke zeigen können die Funktion ist konstant Na ja dann ist Y die von der hochmütigen und zu und zeigen Sie es konstant ist relativ einfach und weiß die Funktionen sind ist der sie über und das wissen wir weil unsere Business-Lösung voller Differentialgleichungen also leiten wir diesen Ausdruck mal ab und zeigen dass 0 was für passiert wenn Sie das Abgleiten und eine Kette Produktregel 10 Landstrich von G weil ihn auch -minus mit T aus y von die Ableitung von e hoch minus mit je weil man ableiten von EU-Mitteln -minus mit Mindestzeichnung unter ihnen 7 -minus Mühe mal y von die wie hoch T wo -minus mit T Zauner sehr jetzt wissen ist y ist nur so also Herz der Landstrich dem alle bislang und jeden steht mir meine Zählern erhoben das die Na ja wenn sich das jetzt genau angucken geht es aber das der also ist diese Ableitung 0 was heißt das sie eine Funktion deren Ableitung konstant 0 ist dann gibt ja Konstante in R oder das y von t e hoch minus MByte gleich dieser Konstanten ist und das bedeutet genau das y von der Lau y von T gleich konstante E-Mobilität und Jan wenig der Lösung habe hatte die Frau denn tatsächlich eine Lösung gefunden einfach durch Daten ende des ist übrigens eines der schärfsten Mittel gegen Differenzialgleichung also wenn sie einen kriegen dann ist ein 1. und die sieht nicht so aus dann ist eine 1. in interessierte Blick kann ich nicht bergen die das raten also das ist der zulässiges und häufig verwendetes Hilfsmittel und überhaupt nicht anrüchig und rauskriegen Essen ganztägig Effekt sie haben nicht sparen wir sagen das ist eigentlich immer so und dieses Jahr ist in dem Fall durch eine konstante gegeben und diese Konstante das ist nicht einmal Zeit eine Konstante die Außen Berechnung was kommt es natürlich auch aber die hat durchaus ne anfangs in der 3. und was ist denn diese Konstante diese Konstante kriegen Sie wenn Sie meinen dass Y 0 einsetzen können um 17 Uhr 0 einsetzen steht der konstante Major 0 also Konstante das heißt diese Konstante ist wenn sie in unser Modell zurückdenken an diese Gleichung wurde hier der unser Wachstumsmodell unter der Annahme immer da heißt es dann erwächst und dieses y 0 das ist sozusagen die Population mit der Sie sich da Population mit der sie in das Modell eingehen der so genannte Anfangswerte immer sehen jetzt diese Lösung sagte ist wenn sie als am Anfange Population C haben dann haben Sie zurzeit des also in Anfang der Zeit 0 die Population C haben wir dann sieht derzeit die Koproduktion zehnmal die hochmütig weil sie herauskriegen ist aus diesen einfachsten Wachstumsmodell das klassische exponentielle Wachstum er an dass ihn bei Bakterien Population sinnig ist n die sehen wir zum Beispiel auch sehr sinnig wenn die anfangs Population 0 ist ja also fragen sie mit dem Dodo starten wird keiner Evolution dann bleibt die da allezeit nun eine to also dieses C als einsehen und wenn sie auch wenn sie aus Modell raus denn es total logisch dass sie keine eindeutige Lösung kriegen können weil dieses Wachsmodell beschreibt eben wie sich das System ändert aber um zu wissen wie es zum Zeitpunkt des aussieht müssen Sie wissen wie es am Anfang ausgesehen hat sie Unterschied ob sie mit der derzeitigen Dodo Population derzeitigen Menschen Population Staaten es wird sich Verschiedenheit deswegen kann zwar keine eindeutige Lösung geben sollen sie müssen System noch sagen wie sieht's denn zum Zeitpunkt 0 aus dann kann das dann kann die gleichen Gene Vorhersage liefern wie sie zurzeit die zum Zeitpunkt des 1. 2 also da ist vieles von dem was in den Bemerkung 1
6 kommt hab ich jetzt schon bezahlt also was Sie sehen an dessen ganz typisches Verhalten von Differenzial gleich dort im ich einmal es ist es aus ich als strenger mathematischer Satz zu verstehen im Allgemeinen eine DGL der Ordnung n brauche Anfangswerte wir alle wieder Leitungen kann essen man anfangs wird wird waren wir bisschen Anstrich für bislang 2 strich und für y n mindert ein er weil sie brauchen in Anfangswerte wenn Sie eine eindeutige Lustbarkeit wollen ja also die Gleichung man ist aufpolieren wollen Mehr gleich und damit sagen der Ordnung N beschreibt in einem physikalisch Wirtschaftstheorie Wirtschafts inne haben wissenschaftliches ingenieurwissenschaftliche sonst geht es stehen mit n Freiheitsgraden das Wachstumsmodell hier Badeordnung einst das hatte ein Freiheitsgrade wichtig da Population der sich da Population des dann ist das weitere fernhalten für alle Zeiten festgelegt wenn sie gleich und 3. Ordnung haben dann haben Sie ja 3 Freiheitsgrade an den sie am Anfang einstellen müssen und dann läuft das indeterministisch durch es ist das Haus träge und wenn sie sich das klar machen oder sich merken wollen dann denken Sie an dieses Beispiel das wir vorhin hatten die einfachst mögliche Differenzialgleichung suchen von Stammfunktion haben wie die gleichen Namens ,komma ist die Kamera 1 als Beispiel was sind dann alle Lösungen der alle Lösungen sind hier y von die Darmfunktion ein Drittel die hoch 3 plus tv -minus konstante nur
geringer dass sie einmal integrieren beliebig wählbar konstante dazu das ist eine Freiheitsgrad und so geht es eben weiter wenn Sie jetzt zum Beispiel nehmen y 2 Strich von T =ist gleich t Quadrat plus 1 Watt Wetten wir warten wir noch mal die Stammfunktion von diesen Lösungen der 1. Ordnungs Gleichung also integrieren das noch auch kriegen sind 12. Theorie hoch hier muss innerhalb des C-Quadrat Thema des W wir sind 2 Freiheitsgraden jedes Mal die jeder Art und Krisen Freiheitsgrad dazu und diesen diesen Effekt in ansehnlicher beim Stammfunktion wählen sondern sich Prinzip bei jeder nicht völlig absurden es gibt ein paar logische Ausnahmefälle allmählich in glaubt mir sogar noch zeigen aber im Großen und Ganzen ist das das der Effekt die jeder Ordnung kriegen sie einen Freiheitsgrad den sie dann mit dem anfangs werde wieder festtackern das zuordnen jetzt haben wir unser Wachstumsmodell und zugegebenermaßen aber es gern verwendet wird ist ist das den unrealistisch weißen ziemlich un 6. das Wachstum zuletzt Ehren und dem allgemeinen sind endliche Ressourcen begrenzt da also ein exponentielles Wachstumsmodell macht nur dann Sinn wenn man wird sein wie die geringere Soest hat und alles also B-Klasse Freiberg in der Petrischale daher dessen Zeitlang ganz gut ist dies natürlich dann die ganz den bevölkert haben auch dann wird das Wachstum nicht mehr exponentiell sein und eine Art denn nach Modifikationen Wachstumsmodelle um diesen Effekt mit zu berücksichtigen also das Max aber nur begrenzt ist es sie sagen Sachsen ist begrenzt es gibt eine maximale Grenze Populationen in Berlin aus das nicht funktioniert und Inhalte Einsichten oder setzt man die üblicherweise auf 1 berechnet sozusagen Prozent der Grenze Population also sagt einfach 1 ist meine Insulation müsste es geht 0 ist komplett das Aussterben und dazwischen hab ich dann wer wie viel Prozent der Grenze Ovulation schon erreicht bevor die Show das ist meine 1. nahm aber jetzt muss man natürlich der dergleichen noch sagen oder in der Modellierung sich noch überlegen wie dringlich das sie die Gleichung diese Idee das geht nirgends Population auf der Sony Bevölkerung ist das mehr nicht passt dass danach das zumindest wenn sie die Bevölkerung haben im Allgemeinen das große Sterben einsetzt und die die Population der sinkt und Mehr und die Idee
dazu ist oder hat eine Möglichkeit das zu moderieren die dieser Schritt von der vom vom drum physikalischen sonst dieses auf die Gleichung ist die Frage der Modellierung der wollen wir uns an eine typische Modellierens Einnahme ist dabei sie bleiben dabei das 1. das y strich proportional zu y ist das ist die bisherige Wachstumsannahmen immer da ist umso stärker wächst das bin aber die sagen aber auch der Zuwachs ist gleichzeitig proportional dazu wie viel Platz noch ist und das ist 1 -minus y ein besitzen und sagt wie viele noch von der Grenze holen zum wechseln und die Annahme ist jetzt viel weniger Platz noch ist so viel langsamer wächst das die und das hört auch die sogenannte des Geldes logistischen Wachstumsmodells er ist es ,komma ist proportional zu y und ist proportional zum Abstand zur einst ist das sogenannte logistische Wachstumsmodell es ist sie wieder tja gleich also eine autonome Differenzialgleichung wir also er ist die will ich dann in der nächsten Vorlesung bisschen diskutil ist sozusagen die 1. die sich in der Realität an so die 1. Verfeinerung des exponentiellen Wachstums Modells und da wollen uns diesen Anschlag mit jeweils wir Lösung sagen kann das Problem bei der Gleichung ist natürlich sie können ein bisschen probieren aus also durch draufgucken und traten Lösung zu finden es ist hier schwierig der Berliner davon noch aus denen sie auch sehr ,komma nicht wahrgenommen hat er das heißt hier muss ich jetzt andere Wege gehen als raten aber ich will in den nächsten Wald sagten in sehr vielen mationen über die Lösung von aus der Gleichung 10 ohne die gleiche Lösung ab auszurichten bis dahin er einen schönen Feiertag am Donnerstag und wir sehen uns dann am Freitag in danke auf ab
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Länge
Punkt
Stetige Funktion
Biprodukt
Normale
Regularität
Frequenz
Basisfunktion
Summe
Skalarprodukt
Homogenes Polynom
Koeffizient
Stützpunkt <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Mathematische Größe
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Länge
Kurve
Angewandte Physik
Reihe
Fortsetzung <Mathematik>
Zahl
Integral
Summe
Polynom
Absolute Konvergenz
Eigenwert
Vorzeichen <Mathematik>
Symmetrie
Glattheit <Mathematik>
Ecke
Gerade
Funktion <Mathematik>
Länge
Fortsetzung <Mathematik>
LTE
Zahl
Funktion <Mathematik>
Reihe
Fortsetzung <Mathematik>
Frequenz
Sinusfunktion
Mittelungsverfahren
Koeffizient
Wärmespannung
Differenzierbarkeit
Reihe
Ecke
Grenzwertberechnung
Folge <Mathematik>
Multifunktion
Zusammenhang <Mathematik>
Exponent
Asymptotik
Reihe
Fortsetzung <Mathematik>
Mittelungsverfahren
Elementare Zahlentheorie
Quadrat
Skalarprodukt
Menge
Mittelwert
Glattheit <Mathematik>
Mathematiker
Raum <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Sinusfunktion
Länge
Folge <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Reihe
Stetige Funktion
BAYES
Norm <Mathematik>
Physikalische Theorie
Integral
Polynom
Quadrat
Skalarprodukt
Stammfunktion
Menge
Theorem
Verallgemeinerung
Koeffizient
Isometrie <Mathematik>
EUKLID <Programm>
Struktur <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Physik
Reihe
Gleichungssystem
Gleichung
Differentialgleichung
Zahl
Integral
Quadrat
Rechenbuch
Differentialgleichungssystem
Ganze Funktion
Ableitung <Topologie>
Analysis
Variable
Last
Differentialgleichungssystem
Gruppenoperation
Gleichungssystem
Gleichung
Differentialgleichung
Rangstatistik
Ereignishorizont
Zahl
Ableitung <Topologie>
Gewöhnliche Differentialgleichung
Kosinusfunktion
Stammfunktion
Zusammenhang <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Fächer <Mathematik>
Verallgemeinerung
Differentialgleichungssystem
Formation <Mathematik>
Gleichungssystem
Integration <Mathematik>
Gleichung
Differentialgleichung
Ableitung <Topologie>
Lösung <Mathematik>
Punkt
Stammfunktion
Differenzierbare Funktion
Eindeutigkeit
Lineare Gleichung
Gleichungssystem
Gleichung
Differentialgleichung
Ableitung <Topologie>
Klon <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Gewöhnliche Differentialgleichung
Physikalischer Effekt
Berechnung
Gleichung
Differentialgleichung
Zahl
Konstante
Freiheitsgrad
Lösung <Mathematik>
Mittelungsverfahren
Differential
Stammfunktion
Prognose
Kettenregel
Theorem
Differentialgleichungssystem
Ordnung n
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Aggregatzustand
Mathematische Größe
Lösung <Mathematik>
Freiheitsgrad
Quadrat
Stammfunktion
Physikalischer Effekt
Extrempunkt
Inhalt <Mathematik>
Ordnung <Mathematik>
Gleichung
Autonome Differentialgleichung
Gleichung
Mathematische Logik

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Gewöhnliche Differentialgleichungen, Problemstellung und Motivation
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 20
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34548
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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